MATEMÁTICA - CADERNO 2 (9° ANO)

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CADERNO PEDAGÓGICO 2 – 9° ANO

ESCOLA MUNICIPAL ________________________________________________ ALUNO (A): ________________________________________________________ TURMA: __________________________________________________________ MATEMÁTICA – ATIVIDADE 1

Fatoração por evidência Considere o retângulo:

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS: FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS A fatoração de expressão algébrica consiste em escrever uma expressão algébrica em forma de produto. Em casos práticos, isto é, na solução de alguns problemas que envolvem expressões algébricas, a fatoração é extremamente útil, pois, na maioria das situações, ela simplifica a expressão trabalhada.

Observe que a área do retângulo azul mais a área do retângulo verde resultam no retângulo maior. Vamos analisar cada uma dessas áreas:

Para realizar a fatoração de expressões algébricas, utilizaremos um resultado muito importante na matemática chamado teorema fundamental da aritmética, que afirma que qualquer número inteiro maior que 1 pode ser escrito na forma de produto de números primos, veja: 121 = 11 · 11 60 = 5 · 4 · 3 Acabamos de fatorar os números 121 e 60. Métodos para fatorar expressões algébricas Agora veremos os principais métodos de fatoração, nos mais utilizados faremos uma breve justificativa geométrica. Veja:

AAZUL = b · x AVERDE = b · y AMAIOR = b · (x + y) Assim, temos que: AMAIOR = AAZUL + AVERDE b (x + y) = bx + by 

Exemplos: a) Para fatorar a expressão: 12x + 24y. Nota-se que 12 é o fator em evidência, uma vez que ele aparece em ambas as parcelas, assim, para determinar os números que vão no interior dos parênteses, basta dividir cada parcela pelo fator em evidência. 12x : 12 = x  24y : 12 = 2y 12x + 24y = 12 · (x + 2y)

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b) Para fatorar a expressão 21ab2 –

b) Para fatorar 2.0202 – 2.0192.

70a2b. Do mesmo modo, inicialmente, determina-se o fator em evidência, isto é, o fator que se repete nas parcelas. Veja que da parte numérica temos o 7 como fator comum, uma vez que ele é o único que divide ambos os números. Agora, em relação à parte literal, veja que se repete somente o fator ab, logo, o fator em evidência é: 7ab. 21ab2 – 70a2b = 7ab (3b – 10a) Fatoração por agrupamento A fatoração por agrupamento é decorrente da fatoração por evidência, a única diferença é que, em vez de termos um monômio como fator comum ou fator em evidência, teremos um polinômio, veja o exemplo:

Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo: 2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019) 2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1 2.0202 – 2.0192 = 4.039

1. (Cefet-MG) Sendo o número n = 6842 – 6832, a soma dos algarismos de n é: (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17

Considere a expressão (a + b) · xy + (a + b) · wz2 Observe que o fator comum é o binômio (a + b), logo, a forma fatorada da expressão anterior é: (a + b) · (xy + wz2) Diferença entre dois quadrados Considere dois números a e b, quando temos a diferença do quadrado desses números, isto é, a2 – b2, então podemos escrevê-los como sendo o produto da soma pela diferença, ou seja: a2 – b2 = (a + b) · (a – b) Exemplos: a) Para fatorar a expressão x2 – y2. Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo: x2 – y2 = (x + y) · (x – y) 2

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MATEMÁTICA – ATIVIDADE 2 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2° GRAU As equações polinomiais são comuns na matemática para encontrarmos valores desconhecidos. É polinomial qualquer equação que tenha um polinômio igual a zero. O grau desse tipo de equação depende do maior expoente dos termos do polinômio. Pelo teorema fundamental da álgebra (TFA), toda equação polinomial de grau n possui n soluções complexas. Essas soluções são conhecidas como raízes da equação, quanto maior o grau do polinômio, mais difícil será encontrarmos essas raízes. O que é uma equação polinomial? Definimos como polinomial toda equação que possui um polinômio P(x) igualado a zero, ou seja, P(x) = 0. Dado um polinômio P(x) = an xn + ann-1 + … + a2 x2 + a1 x1 + a0, 1 x conhecemos então como equação exponencial a igualdade: an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x1 + a0 = 0 Em uma equação polinomial, é importante encontrarmos o grau dela para termos uma estratégia de resolução, e esse grau é definido pelo maior expoente dado à incógnita, assim como é feito nos polinômios. Exemplos: 3x + 1 = 0 → equação polinomial do 1º grau 4x² + 3x – 3 = 0 → equação polinomial do 2º grau -3y³ + 2y + 1 = 0 → equação polinomial do 3º grau 5a8 + 2a6 + a² + 2a = 0 → equação polinomial do 8º grau

As equações mais comuns em problemas, tanto na matemática quanto na física e química, são as de primeiro e segundo grau. Equação do segundo grau completa Para resolver uma equação do segundo grau completa, do tipo ax² + bx + c, recorremos ao cálculo do discriminante, conhecido também como delta, e à fórmula de Bhaskara. Existem outros métodos de resolução para equações polinomiais do segundo grau, como soma e produto.

Exemplo: Encontre as raízes da equação x² – 3x + 2 = 0. 1º passo: encontrar a, b e c a=1 b = -3 c=2 2º passo: calcular o valor do delta

3º passo: aplicar a fórmula de Bhaskara

As raízes da equação são {2,1}. Note que, ao substituirmos esses valores por x, isso faz com que a equação seja verdadeira. 3

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MATEMÁTICA – ATIVIDADE 3 2. Resolva a equação do 2° grau 2x2 + 8x – 24 = 0 utilizando os três passos. 1° Passo: Encontrar os coeficientes a= b= c= 2° Passo: Calcular o delta ∆ ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐

3° Passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara 𝑥=

−𝑏 ± √∆ 2𝑎

TEOREMA DE TALES Vamos relembrar alguns conceitos básicos sobre retas! Na matemática, retas são definidas como um conjunto de pontos, que por sua vez formam linhas infinitas e as quais não fazem curvas. As retas são infinitas, pois se existem dois pontos distintos de uma reta, sempre existirá um ponto entre eles que também faz parte dessa reta. Os principais tipos de reta são: Retas paralelas: são retas dispostas uma ao lado da outra, em um mesmo sentido e sem ponto comum entre elas; Retas concorrentes: retas que se cruzam em um único ponto; Retas coincidentes: retas que possuem dois ou mais pontos em comum. Teorema de Tales na prática Um conceito complementar ao de reta é o feixe, que basicamente é um conjunto de retas paralelas. Imagine três retas paralelas (a, b e c) destacadas em um plano, elas formam um feixe de retas paralelas. Caso uma quarta reta cruze as três, ela então será chamada de reta transversal. O feixe de retas paralelas pode formar segmentos de reta congruentes sobre uma reta transversal. Nesse caso, o feixe também dá origem a segmentos congruentes em outras retas transversais. Na imagem abaixo, é possível observar um feixe de retas paralelas interceptado por duas retas transversais que deram origem aos segmentos de reta:

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Feixe de retas. Na imagem acima, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r’ são transversais. De acordo com o Teorema de Tales é estabelecida a seguinte relação:

Exemplo 2 Seguindo o cálculo do exemplo anterior, vamos encontrar o valor de x:

AB/BC = A'B'/B'C' A relação contempla noções de razão e proporção. O segmento AB está para o segmento BC, do mesmo modo que o segmento A’B’ está para o segmento B’C’. A igualdade entre as razões forma uma proporção, cujo cálculo é feito através da multiplicação cruzada ou de acordo com a propriedade das proporções.

Aplicação do Teorema de Tales. 3𝑥 + 1 4 = 5𝑥 − 1 6 4.(5x – 1) = 6.(3x + 1) 20x – 4 = 18x + 6 20x – 18x = 6 + 4

Teorema de Tales nos triângulos O Teorema de Tales também é aplicado ao triângulo em sua relação de semelhança. Essa situação acontece quando um triângulo, que é cortado por um segmento paralelo à sua base forma triângulos semelhantes. Observe a resolução do problema abaixo:

2x = 10 x=5

3. Na figura abaixo, a // b // c, calcule o valor de x.

Exemplo 1 Observe a imagem abaixo. Nela, pode-se encontrar o valor de x utilizando o Teorema de Tales:

Aplicação do Teorema de Tales. 𝟏𝟓 𝟐𝟎 = 𝟓 𝒙 15x = 100 𝒙=

𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓

𝒙 ≅ 𝟔, 𝟔 5

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MATEMÁTICA – ATIVIDADE 4 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Duas figuras são semelhantes quando possuem exatamente o mesmo formato, mas tamanhos diferentes. Quando essas figuras são geométricas, em especial, no caso dos polígonos, é possível fazer essa comparação com exatidão. Dois polígonos são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes congruentes e seus lados correspondentes são proporcionais. Essa regra também vale para os triângulos, uma vez que eles também são polígonos. Contudo, para descobrir se dois triângulos são semelhantes, não é necessário comparar todos os seus ângulos e todas as razões entre seus lados. Para facilitar esse trabalho, existem casos em que, verificando apenas uma parte dos ângulos ou uma parte dos lados, é possível garantir a semelhança entre os triângulos. São eles: Caso Ângulo – Ângulo (AA) Se dois ângulos de um triângulo forem congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então esses triângulos serão semelhantes.

Caso Lado – Lado – Lado Se em dois triângulos existe proporcionalidade entre lados correspondentes, então esses dois triângulos são semelhantes.

Dois triângulos que possuem lados correspondentes proporcionais

Observe que os triângulos acima possuem lados correspondentes proporcionais. A razão entre os lados proporcionais, dividindo os lados do segundo triângulo pelos lados do primeiro, é sempre 2. Esse fato garante que os dois triângulos são semelhantes. Caso Lado – Ângulo – Lado Se dois triângulos possuem dois lados proporcionais e um ângulo congruente entre esses dois lados, então esses triângulos são semelhantes.

Triângulos que possuem dois lados proporcionais e um ângulo congruente

Dois triângulos que possuem dois ângulos congruentes

Os dois triângulos acima possuem todos os ângulos correspondentes congruentes. Além disso, a razão entre seus lados (também correspondentes) é sempre 2. Logo, esses triângulos são semelhantes. Pelo caso AA, observando apenas os ângulos da base, já é possível garantir a semelhança.

Observe que esse é justamente o caso dos triângulos acima. Dessa maneira, não é necessário medir os outros ângulos e o outro lado, uma vez que o terceiro caso de semelhança de triângulos já garante que esses dois triângulos são semelhantes. Para observar os casos de semelhança entre dois triângulos, é necessário ter em mente os conceitos de ângulos e lados correspondentes, além do conceito de proporcionalidade. 6

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MATEMÁTICA – ATIVIDADE 5 4. Existem alguns procedimentos que podem ser usados para descobrir se dois triângulos são semelhantes sem ter de analisar a proporcionalidade de todos os lados e, ao mesmo tempo, as medidas de todos os ângulos desses triângulos. A respeito desses casos, assinale a alternativa correta: (A) Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham três ângulos correspondentes congruentes. (B) Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham dois lados proporcionais e um ângulo congruente, em qualquer ordem. (C) Para que dois triângulos sejam congruentes, basta que eles tenham os três lados correspondentes com medidas proporcionais. (D) Dois triângulos que possuem dois lados correspondentes proporcionais não serão semelhantes em qualquer hipótese. 5. Na imagem a seguir, é possível perceber dois triângulos que compartilham parte de dois lados. Sabendo que os segmentos BA e DE são paralelos, qual a medida de x? DICA! Utilize proporção em seu cálculo!

TEOREMA DE PITÁGORAS O Teorema de Pitágoras é um dos assuntos mais conhecidos da Matemática. Ele é uma das primeiras coisas que lembramos quando falamos sobre geometria ou trigonometria. Sua descoberta foi importante para a época, pois impulsionou inúmeros outros estudos, os quais fizeram com que a matemática avançasse até os dias atuais. Seu enunciado é simples, assim como os cálculos envolvidos. Esse teorema só pode ser aplicado em um triângulo retângulo, que é aquele onde há um ângulo igual a 90°, que chamamos de ângulo reto. Daí o nome, triângulo retângulo. Para compreender, veja, abaixo, uma figura.

Em um triângulo retângulo, o lado maior, CB, recebe o nome de Hipotenusa. Este lado sempre estará oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados, AC e AB recebem o nome de Cateto. O enunciado do Teorema diz o seguinte: “O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma do quadrado das medidas dos catetos” Temos, então que: a2 = b2 + c2

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Exemplo: O portão de entrada de uma casa tem 4m de comprimento e 3m de altura. Que comprimento teria uma trave de madeira que se estendesse do ponto A até o ponto C?

MATEMÁTICA – ATIVIDADE 6 ANÁLISE DE PROBABILIDADE DE EVENTOS ALEATÓRIOS: EVENTOS DEPENDENTES E INDEPENDENTES Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

Resolvendo: t2 = 32 + 42 t2 = 9 + 16 t2 = 25 t = √25 t = 5 metros

Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) Vejamos as situações a seguir:

6. Quantos metros de fio são necessários para "puxar luz" de um poste de 6 m de altura até a caixa de luz que está ao lado da casa e a 8 m da base do poste?

a) Entre os 15 carros de uma linha de produção, 8 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso. A = o primeiro carro é defeituoso B = o segundo carro é defeituoso A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes. b) Dois dados são lançados. A = sair 4 no primeiro e B = sair 4 no segundo. 1 1 P(B) = 6 e P(B|A)= 6 Os eventos são independentes. Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das 8

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probabilidades de cada condição, ou seja: P(A e B) = P(A).P(B) Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10 20 200 2 ∙ = = ≅ 0,222 … ≅ 22,22% 30 30 900 9 Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

7. Uma urna tem 20 bolas, sendo 5 pretas, 7 brancas e 8 vermelhas. Se sortearmos 3 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade (em%) de a primeira ser branca, a segunda ser vermelha e a terceira ser preta? (A) 2,5% (B) 3,5% (C) 5,0% (D) 7,5%

MATEMÁTICA – ATIVIDADE 7 ANÁLISE DE GRÁFICOS DIVULGADOS PELA MÍDIA: ELEMENTOS QUE PODEM INDUZIR A ERROS DE LEITURA OU DE INTERPRETAÇÃO Diariamente vemos diversos tipos de gráficos em jornais, revistas, propagandas e em todas as mídias. Muitos desses gráficos apresentam elementos que podem induzir, às vezes propositalmente, a erros de leitura. Escalas inapropriadas Na sequência, temos o exemplo de um gráfico cujas escalas não são bem definidas, fica difícil identificar o percentual de crescimento da economia do Brasil com exatidão, além de não definir quais os países envolvidos na comparação.

Gráfico 1: Crescimento econômico. Crédito: Folha/UOL.

Legendas não explicitadas corretamente Para esse exemplo de gráfico as legendas não estão explicitadas. Os eixos não estão definidos, fica complicado saber o que os números em vermelho significam.

Gráfico 2: Evolução das taxas de homicídios de mulheres. Crédito: g1.globo. 9

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Omissão de informações importantes Um problema muito recorrente na apresentação de gráficos é a falta de algumas informações importantes. Para esse caso, não temos a data de quando ele foi realizado ou a fonte.

Gráfico 3: Mulheres e cargos políticos. Crédito: Estadão.com.br.

8. O estado do Rio de Janeiro vive em um início de ano de recordes nos números da violência. A polícia nunca matou tanto. De janeiro a maio, o Instituto de Segurança Pública do Rio (ISP-RJ), registrou 741 mortes, esse foi o maior número de vítimas causadas por policiais no Rio de Janeiro nos cinco primeiros meses de um ano desde 1998. Veja no gráfico a seguir a evolução dos números ano a ano. O G1 analisou índices de mortes em ações policiais no Rio de Janeiro, que mostraram que 78% das vítimas são pretas ou pardas. Com base exclusivamente nos dados apresentados no gráfico a seguir quanto ao total de mortos por intervenção policial nos 05 primeiros meses de um ano desde 1998, assinale a alternativa correta.

https://g1.globo.com/rj/rio-dejaneiro/noticia/2020/06/06/pretos-e-pardos-sao-78percentdos-mortos-em-acoes-policiais-no-rj-em-2019-

(A) O total de mortos por intervenção policial, nos 04 últimos anos é igual a 2.470. (B) O maior número de mortos por intervenção policial, nos meses de janeiro a maio, ocorreu no ano de 2019. (C) O estado registrou 741 vítimas nos cinco primeiros meses de 2020, o que equivale a quase cinco pessoas mortas diariamente no RJ por agentes do estado. (D) A diferença entre o número de mortos por intervenção policial de 2007 e de 2008 foi menor que 50 vítimas.

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MATEMÁTICA – ATIVIDADE 8

N° de alunos

CONSTRUINDO UM GRÁFICO

70%

No ensino fundamental, o aluno deve entrar em contato com o mundo da informação, analisando e interpretando informações através de gráficos variados. As atividades envolvendo tabulação de dados e construções de gráficos precisam ser supervisionadas pelo professor. Vamos envolver um exemplo na construção de um gráfico: A escola de Carlos promoveu uma olimpíada de Matemática entre os alunos do ensino fundamental. Todos os 1000 alunos participaram da olimpíada que utilizou os seguintes critérios de avaliação: ótimo, bom, regular e ruim.

60%

60%

50% 40%

30% 20% 20%

15%

10%

5%

0% Ótimo

Bom

Regular

Ruim

9. Construa o gráfico com base nas informações abaixo:

Veja os resultados na tabela: Avaliação

N° de alunos

Avaliação

N° de alunos

Ótimo

20

Ótimo

200

Bom

45

Bom

600

Regular

20

Regular

150

Ruim

15

Ruim

50

Precisamos agora construir planilha das porcentagens.

N° de alunos

a 60 55

Ótimo = 200/1000 = 0,2 = 20% Bom = 600/1000 = 0,6 = 60% Regular = 150/1000 = 0,15 = 15% Ruim = 50/1000 = 5%

50 45 40 35

Avaliação

N° de alunos

30

Ótimo

20%

25

Bom

60%

20

Regular

15%

Ruim

5%

Agora veja o gráfico produzido com base nas informações acima construídas:

15 10 5 0 Ótimo

Bom

Regular

Ruim

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ESCOLA MUNICIPAL ________________________________________________ ALUNO (A): ________________________________________________________ TURMA: __________________________________________________________ MATEMÁTICA – AVALIAÇÃO 2 1. Quais são as raízes da equação x2 – x – 30 = 0? (Habilidade EF09MA09) (A) 6 e 5 (B) 5 e – 6 (C) 6 e – 5 (D) – 5 e – 6

.

3. Calcule a medida da hipotenusa para o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sendo que os catetos AB e BC, têm medidas de 6 cm e 8 cm, respectivamente. (Habilidade EF09MA13) (A) 10 cm (B) 12 cm (C) 14 cm (D) 16 cm 4. Uma urna tem 10 bolas, sendo 4 verdes e 6 pretas. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser verde e a segunda ser preta? (Habilidade EF09MA20)

2. De acordo com a figura a seguir, calcule o valor de x, utilizando o Teorema de Tales. (Habilidade EF09MA10)

(A) 20% (B) 22% (C) 24% (D) 26% 5. Considere que as médias finais dos alunos de um curso foram representadas no gráfico abaixo: Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi a porcentagem de alunos aprovados? (Habilidade EF09MA21)

(A) 18% (B) 36% (C) 50% (D) 72%

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FONTES ANDRINI, Álvaro Praticando Matemática, 9 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. – 3. ed. renovada. – São Paulo: Editora do Brasil, 2012. – (Coleção Praticando Matemática) I. GAY, MARA REGINA GARCIA. II SILVA, WILLIAN RAPHAEL. Araribá Mais: Matemática – 9° ano, 1. Ed – São Paulo – Moderna, 2018. DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995. LUIZ, Robson. Fatoração de expressão algébrica. Brasil escola, 2020. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracaoexpressao-algebrica.htm. Acesso em 03 ago. 2020. Teorema de Tales. Educa mais Brasil, 2020. Disponível em: https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matemati ca/teorema-de-tales. Acesso em 04 ago. 2020. SILVA, Luiz Paulo Moreira. Semelhança de triângulos. Alunos online Uol, 2020. Disponível em: https://alunosonline.uol.com.br/matematica/semelha nca-triangulos.html. Acesso em 04 ago. 2020. SILVA, Luiz Paulo Moreira. Exercícios sobre semelhança de triângulos. Exercícios Brasil Escola, 2020. Disponível em: https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exerciciosmatematica/exercicios-sobre-semelhanca-entretriangulos.htm#resp-3. Acesso em 04 ago. 2020. Exercícios de aplicação do teorema de Pitágoras. Colégio Nomelini, 2020. Disponível em: http://www.colegionomelini.com.br/midia/arquivos/20 14/10/c67c8dceecfe0ad4c2b4b2d330d21741.pdf. Acesso em 04 ago. 2020. Probabilidade – Eventos Independentes. Só matemática, 2020. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/emedio/probabilid ade3.php. Acesso em 04 ago. 2020. NOÉ, Marcos. Construindo um gráfico de setores. Brasil Escola, 2020. Disponível em: https://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategiasensino/construindo-um-grafico-setores.htm. Acesso em 04 ago. 2020. DE OLIVEIRA, Raul Rodrigues. Equações polinomiais. Mundo educação, 2020. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/equa coes-polinomiais.htm#: Acesso em 04 ago. 2020.

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