MECHANIKA OGÓLNA II - TEORIA

SAVE OFFLINE

MECHANIKA OGÓLNA II OPRACOWANA TEORIA od prof. Kurnika (2016/17)

PW SiMR Opracowała Sylwia Makuch

S t r o n a 1 | 11

1. KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO 1) W jaki sposób opisujemy położenie ciała sztywnego w przestrzeni? Położenie dowolnie wybranego punktu P bryły o ciągłym rozkładzie masy w przestrzeni możemy określić za pomocą wektora wodzącego 𝑟⃗ w nieruchomym układzie współrzędnych Oxyz (rys. 8.2). Położenie dowolnego punktu bryły w każdej chwili można opisać za pomocą sześciu funkcji: współrzędnych wybranego punktu A bryły xA(t), yA(t) i zA(t) oraz trzy kąty Eulera 𝜗(𝑡), 𝜓(𝑡) i 𝜑(𝑡).

2) Co to są kąty Eulera? Kąty Eulera są to kąty obrotu bryły, które umożliwiają dowolną transformację położenia bryły przy zachowaniu niezmiennego położenia wybranego jej punktu. 3) Klasyfikacja ruchów ciała sztywnego.

S t r o n a 2 | 11

4) Co rozumiemy przez prędkość kątową bryły? 𝜔 ⃗⃗ =

⃗⃗ 𝑑𝜃 𝑑𝑡

jest prędkością kątową bryły rozumianą jako stosunek elementarnego wektorowego kąta obrotu

i odpowiadającego mu elementarnego przedziału czasu. 5) Definicje prędkości i przyspieszenia dowolnego punktu bryły. Prędkością dowolnego punktu P bryły wskazanego przez wektor wodzący 𝜌⃗ w bryle nazywamy pochodną względem czasu wektora wodzącego punktu P w układzie nieruchomym: ⃗⃗ = 𝒗

⃗⃗ 𝒅𝒓 𝒅𝒕

=

⃗⃗𝑨 𝒅𝒓 𝒅𝒕

+

⃗⃗ 𝒅𝝆 𝒅𝒕

⃗⃗𝑨 + 𝝎 ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 𝝆 ⃗⃗. = 𝒗

Przyspieszenie dowolnego punktu bryły jest określone wzorem: ⃗⃗ 𝒅𝒗 ⃗⃗ = 𝒑 ⃗⃗𝑨 + 𝜺 ⃗⃗ 𝐱 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 (𝝎 ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗𝑨 = 𝑨 . 𝒑 𝑨𝑷 + 𝝎 𝑨𝑷), gdzie 𝒑 𝒅𝒕

6) Wektory globalne określające pole prędkości i pole przyspieszeń punktów bryły. ⃗⃗𝑨 oraz wektor prędkości Pole prędkości charakteryzują dwa wektory – wektor prędkości pewnego punktu 𝒗 ⃗⃗⃗⃗. kątowej bryły 𝝎 Wektorami charakteryzującymi pole przyspieszeń są trzy wektory – wektor przyspieszenia wybranego punktu ⃗⃗𝑨 , wektor przyspieszenia kątowego 𝜺 ⃗⃗ i wektor prędkości kątowej 𝝎 ⃗⃗⃗⃗. 𝒑 7) Czym charakteryzuje się ruch postępowy bryły? Ruch postępowy to taki ruch, w którym nie doznaje ona obrotów. Oznacza to, że prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe są tożsamościowo równe 0. Wynika z tego, że w ruchu postępowym wszystkie punkty bryły mają taką samą prędkość i takie samo przyspieszenie. Wszystkie punkty bryły w ruchu postępowym poruszają się po takich samych torach, które są przesunięte względem siebie równolegle. 8) Co to jest ruch kulisty, ruch kulisty regularny i precesja regularna? Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bryły, w którym jeden z jej punktów jest nieruchomy (środek ruchu kulistego). Ruch kulisty można traktować jako chwilowy ruch obrotowy względem osi przechodzącej przez środek ruchu kulistego i mającej kierunek wektora prędkości kątowej 𝜔 ⃗⃗. Precesja regularna – szczególny przypadek ruchu kulistego. W szczególnym przypadku precesji regularnej aksoidy stała I ruchoma są stożkami kołowymi. 9) Aksoidy bryły w precesji regularnej.

S t r o n a 3 | 11

10) Przyspieszenie kątowe bryły w precesji regularnej. 𝜀⃗ = 𝜔 ⃗⃗1 x 𝜔 ⃗⃗ 11) Aksoidy i centroidy bryły w ruchu płaskim. Aksoidą stałą nazywamy miejsce geometryczne kolejnych położeń chwilowej osi obrotu obserwowanych w układzie nieruchomym. Kolejne chwilowe osi obrotu obserwowane w układzie poruszającym się razem w bryłą tworzą aksoidę ruchomą. Centroidami, odpowiednio stałą i ruchomą, nazywamy krzywe, w których aksoidy stała i ruchoma przecinają się z płaszczyzną ruchu Oxy. Są one zatem miejscami geometrycznymi chwilowego środka obrotu bryły w czasie jej ruchu. 12) Ile stopni swobody ma bryła w ruchu śrubowym? Bryła w ruchu śrubowym ma 2 stopnie swobody, które są opisane przez funkcję przemieszczenia osiowego oraz kąt obrotu własnego względem osi ruchu śrubowego. 13) Co to jest przyspieszenie obrotowe i przyspieszenie doosiowe bryły w ruchu dowolnym? Przyspieszenie obrotowe: ⃗𝜺⃗ 𝐱 ⃗𝝆⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 (𝝎 ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 𝝆 ⃗⃗). Przyspieszenie doosiowe: 𝝎 2. RUCH ZŁOŻONY PUNKTU MATERIALNEGO 1) Układ odniesienia inercjalne i nieinercjalne. Układ odniesienia poruszający się ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym nazywamy układem inercjalnym. Układ odniesienia poruszający się ruchem innym niż jednostajny prostoliniowy jest układem nieinercjalnym. 2) Ruch unoszenia i ruch względny punktu materialnego. Ruchem unoszenia nazywamy ruch bryły i związanego z nią układu Aξηζ. Z punktu widzenia kinematyki jest to ruch dowolny ciała sztywnego. Ruchem względnym nazywamy ruch punktu materialnego obserwowany w układzie unoszenia. Ruch ten opisuje wektor wodzący 𝜌⃗ w układzie ruchomym Aξηζ. Podstawowym związkiem wiążącym ruch unoszenia i ruch względny jest relacja wektorów 𝑟⃗𝐴 , 𝜌⃗, 𝑟⃗: 𝑟⃗ = 𝑟⃗𝐴 + 𝜌⃗. 3) Prędkość i przyspieszenie unoszenia w ruchu złożonym punktu materialnego. Prędkością unoszenia nazywamy prędkość tego punktu układu unoszenia (bryły), w którym aktualnie znajduje się punkt materialny poruszający się ruchem złożonym. ⃗⃗ = 𝒗 ⃗⃗𝑨 + 𝝎 ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 𝝆 ⃗⃗ w – prędkość względna 𝒖 ⃗⃗ = 𝒖 ⃗⃗ + 𝒘 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗 u – prędkość unoszenia Przyspieszeniem unoszenia nazywamy przyspieszenie tego punktu układu unoszenia (bryły), w którym aktualnie znajduje się punkt poruszający się ruchem złożonym. pA – przyspieszenie wybranego punktu bryły 𝜔 ⃗⃗ x (𝜔 ⃗⃗ x 𝜌⃗) – przyspieszenie doosiowe ⃗⃗𝒖 = 𝒑 ⃗⃗𝑨 + 𝜺 ⃗⃗ 𝐱 𝝆 ⃗⃗ + 𝝎 ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 (𝝎 ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 𝝆 ⃗⃗) 𝜀⃗ x 𝜌⃗ – przyspieszenie obrotowe 𝒑

S t r o n a 4 | 11

4) Przyspieszenie Coriolisa – definicja i znaczenie praktyczne. Przyspieszenie Coriolisa jest podwójnym iloczynem wektorowym wektorów prędkości układu unoszenia ⃗⃗⃗⃗ i 𝒘 ⃗⃗⃗⃗: i prędkości względnej. Jest to więc wektor prostopadły do wektorów 𝝎 ⃗⃗𝒄 = 𝟐 𝝎 ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 𝒘 ⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝝎𝒘 𝐬𝐢𝐧 𝜶. 𝒑 ⃗⃗⃗⃗ , 𝒘 ⃗⃗𝒄 tworzą układ prawoskrętny. ⃗⃗⃗⃗, 𝒑 Wektory 𝝎 5) Równanie dynamiki ruchu względnego punktu materialnego. ⃗⃗ − 𝒎𝒑 ⃗⃗𝒘 = ⃗𝑭⃗ + ⃗𝑹 ⃗⃗𝒖 − 𝒎𝒑 ⃗⃗𝒄 𝒎𝒑 −𝑚𝑝⃗𝑢 i −𝑚𝑝⃗𝑐 – siły bezwładności – unoszenia i Coriolisa. W ruchu względnym odgrywają one rolę sił działających na punkt materialny – mogą zmieniać prędkość względną, a także istotnie wpływać na warunki równowagi. 6) Równowaga względna punktu materialnego – definicja i warunki. Równowagą względną nazywamy stan, w którym jednocześnie prędkość względna i przyspieszenie względne są równe 0: 𝑤 ⃗⃗⃗ = 0, 𝑝⃗𝑤 = 0. Innymi słowy, w stanie równowagi względnej punkt materialny jest unieruchomiony w układzie unoszenia. Warunek zaistnienia tego stanu wynika bezpośrednio z równania dynamiki ruchu względnego przy ⃗⃗ − 𝒎𝒑 ⃗⃗𝒖 = 𝟎. 𝑤 ⃗⃗⃗ = 0, 𝑝⃗𝑤 = 0: ⃗𝑭⃗ + ⃗𝑹 3. DYNAMIKA CIAŁA SZTYWNEGO 1) Jak obliczamy energię kinetyczną ciała sztywnego? Podać wzór Königa. 𝟏 𝟏 ⃗⃗𝑨 ∙ (𝝎 ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 𝝆 ⃗⃗𝒄 ) + 𝑰𝒍 𝝎𝟐 𝑬𝒌 = 𝒎𝒗𝑨 𝟐 + 𝒎𝒗 𝟐 𝟐 Gdy punkt A jest środkiem masy C: 𝟏

𝟏

𝑬𝒌 = 𝟐 𝒎𝒗𝑪 𝟐 + 𝟐 𝑰𝒍𝑪 𝝎𝟐 - wzór Königa m – masa bryły vC – prędkość środka masy ω – prędkość kątowa bryły IlC – moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy i równoległej do wektora prędkości kątowej 𝜔 ⃗⃗. 2) Jak brzmi prawo zmienności energii kinetycznej ciała sztywnego? Elementarny przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego równa się elementarnej pracy wykonanej przez siły i momenty swobodne działające na to ciało. 𝒅𝑬𝒌 = 𝒅𝑳 3) Jaką postać przyjmuje prawo zmienności energii kinetycznej bryły, jeśli jest ona pod działaniem sił potencjalnych? Wprowadzając energię potencjalną w postaci: 𝐸𝑝 = 𝑉 − 𝑉0, gdzie V0 jest wartością potencjału odniesienia, zapisujemy prawo zmienności energii kinetycznej bryły w postaci: zapisujemy prawo zmienności energii kinetycznej bryły w postaci: 𝑬𝒌 + 𝑬𝒑 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕. 4) Pęd bryły i prawo jego zmienności. Pędem ciała sztywnego nazywamy wektor, który jest sumą iloczynów elementarnych mas bryły ⃗⃗ = ∫ 𝒗 ⃗⃗𝒅𝒎 = 𝒎(𝒗 ⃗⃗𝑨 + 𝝎 ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 𝝆 ⃗⃗𝒄 ) = 𝒎𝒗 ⃗⃗𝑪 . i odpowiadających im wektorów prędkości. ⃗𝑩 𝒎

S t r o n a 5 | 11

Prawo zmienności pędu bryły: Pochodna względem czasu wektora pędu bryły równa się sumie geometrycznej sił zewnętrznych działających na bryłę.

⃗⃗⃗ 𝒅𝑩 𝒅𝒕

⃗⃗ ⃗⃗⃗ = ∑𝑵 𝒊=𝟏(𝑭𝒊 + 𝑹𝒊 )

5) Prawo ruchu środka masy bryły. Środek masy bryły porusza się jak pojedynczy punkt materialny o masie równej masie bryły, na który 𝒎

działa suma geometryczna wszystkich sił działających na bryłę.

⃗⃗𝑪 𝒅𝒗 𝒅𝒕

⃗⃗ ⃗⃗⃗ = ∑𝑵 𝒊=𝟏(𝑭𝒊 + 𝑹𝒊 )

6) Kręt bryły względem punktu stałego i względem punktu poruszającego się oraz prawa ich zmienności. Kręt bryły względem należącego do tej bryły punktu A jest wektorem, który jest sumą momentów elementarnych pędów tej bryły względem punktu A. ⃗⃗𝑨 = ∫ 𝝆 𝐱 𝒗 ⃗⃗ 𝒅𝒎 = ∫ 𝝆 𝐱 (𝒗 ⃗⃗𝑨 + 𝝎 ⃗⃗⃗⃗ 𝐱 𝝆 ⃗⃗)𝒅𝒎 Kręt względem punktu A: ⃗𝑲 𝒎

𝒎

W układzie współrzędnych Aξηζ poruszających się razem z bryłą współrzędne wektora krętu względem punktu A przedstawiają się następująco:

Prawo zmienności krętu:

⃗⃗⃗⃗𝑨 𝒅𝑲 𝒅𝒕

𝒔

𝑵 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗𝑨 𝐱 𝒎𝒗 ⃗⃗𝑪 . = ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝑴𝑨𝒊 (𝑭𝒊 , 𝑹𝒊 ) + ∑𝒊=𝟏 𝑴𝒊 − 𝒗

⃗⃗⃗𝐴𝑖 – momenty sił czynnych i reakcji względem bieguna A 𝑀 𝑠

⃗⃗⃗𝑖 – momenty swobodne jako zewnętrzne oddziaływania mechaniczne. 𝑀 Prawo zmienności krętu odpowiednio względem wybranego ruchomego punktu A oraz środka masy C przyjmuje postać:

⃗⃗⃗⃗𝑨 𝐝𝑲 𝒅𝒕

⃗⃗⃗⃗𝑨 , ⃗⃗𝑨 𝐱 𝒎𝒗 ⃗⃗𝑪 = 𝑴 +𝒗

⃗⃗⃗⃗𝑪 𝐝𝑲 𝒅𝒕

⃗⃗⃗⃗𝑪 = 𝑴

7) Wyprowadzić wzór na moment precesyjny w precesji regularnej bryły obrotowej. Oś AX pokrywa się z osią symetrii Aξ, a pozostałe osie AY i AZ obracają się wokół osi precesji razem z płaszczyzną utworzoną przez wektory 𝜔 ⃗⃗1 i 𝜔 ⃗⃗2 . Oś AZ jest zawsze prostopadła do prędkości kątowej 𝜔 ⃗⃗. 𝜔𝑋 = 𝜔2 + 𝜔1 cos 𝜗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝜔𝑌 = 𝜔1 sin 𝜗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝜔𝑍 = 0 Współrzędne wektora krętu: 𝐾𝐴𝑋 = 𝐼𝑋 (𝜔2 + 𝜔1 cos 𝜗) 𝐾𝐴𝑌 = 𝐼𝑌 𝜔1 sin 𝜗 𝐾𝐴𝑍 = 0 Równanie prawa krętu: ⃗⃗𝐴 = 𝑀 ⃗⃗⃗𝐴 𝜔 ⃗⃗1 x 𝐾 Rzutując otrzymujemy: 𝑀𝐴𝑋 = 𝑀𝐴𝑌 = 0, 𝑀𝐴𝑍 ≠ 0 ⃗⃗⃗𝐴 jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny utworzonej przez wektory 𝜔 Moment precesyjny 𝑀 ⃗⃗1 i 𝜔 ⃗⃗2 . 𝜔1 𝐼𝑋 − 𝐼𝑌 𝑀𝐴𝑍 = −𝜔1 𝜔2 sin 𝜗 𝐼𝑋 (1 + cos 𝜗) 𝜔2 𝐼𝑋 ⃗⃗⃗𝐴 jest zwrócony przeciwnie do dodatniego zwrotu osi Jeśli wyrażenie w nawiasie jest dodatnie, to moment 𝑀 AZ, podobnie jak iloczyn wektorowy 𝜔1 x 𝜔2 . Natomiast człon 𝜔1 𝜔2 sin 𝜗 jest długością iloczynu wektorowego 𝜔1 x 𝜔2. 𝝎 𝑰 − 𝑰𝒀 ⃗⃗⃗⃗𝑨 = (𝝎𝟏 𝐱 𝝎𝟐 )𝑰𝑿 (𝟏 + 𝟏 𝑿 𝑴 𝐜𝐨𝐬 𝝑) 𝝎𝟐 𝑰𝑿

S t r o n a 6 | 11

8) Na czym polega zjawisko giroskopowe? (?) Paradoks giroskopowy polega na tym, że ruch obrotowy wirującej bryły względem osi innej niż oś obrotu własnego można wywołać, przykładając moment o kierunku prostopadłym do osi zamierzonego obrotu. 9) Podać i uzasadnić wzór na moment giroskopowy. ⃗⃗⃗𝐺 = 𝑀 ⃗⃗⃗𝐴 = 𝐼𝑋 (𝜔 𝑀 ⃗⃗1 x 𝜔 ⃗⃗2 ) Wektor momentu giroskopowego jest prostopadły do osi precesji, a nie leży na niej. 10) Co to są reakcje dynamiczne w łożyskach bryły? Reakcje dynamiczne w łożyskach wirującej bryły – reakcje zależne od prędkości kątowej, występujące nawet wówczas, gdy na bryłę nie działają żadne siły czynne; reakcje te wiążą się z niewyrównoważeniami wirującej bryły. 11) Jaka jest różnica między niewyrównoważeniem statycznym i dynamicznym bryły obracającej się w łożyskach? Płaszczyzny reakcji wirujących razem z bryłą w obu przypadkach są na ogół różne.

12) Jak wyznacza się reakcje dynamiczne wirującej bryły? - metoda geometryczna – polega na analizie zmian wektorów pędu i krętu wraz z obrotem bryły; - metoda analityczna – wiąże się z wyborem układu osi głównych Aξηζ i ostatecznie prowadzi do układu sześciu równań liniowych algebraicznych ze względu na 6 współrzędnych reakcji dynamicznych w obu łożyskach. 13) Równania dynamiki toczącego się koła. 𝐼𝜀 = 𝑇𝑟 − 𝑁𝑓 𝑝 = 𝜀𝑟 lub 𝑇 = 𝜇𝑁 4. ELEMENTY MECHANIKI ANALITYCZNEJ 1) Co to są współrzędne uogólnione w układach mechanicznych i jaki jest cel ich wyprowadzenia? Współrzędne uogólnione – zdefiniowanie takiej ilości funkcji opisujących ruch, która jest równa liczbie stopni swobody układu s. Wprowadza się je w celu zmniejszenia liczby funkcji opisujących ruch o funkcje wzajemnie od siebie zależne. 2) Co to jest przemieszczenie wirtualne puntu materialnego? Przemieszczenie wirtualne – dowolne przemieszczenie spełniające warunek: gra ⃗⃗⃗⃗d 𝑓 ∙ 𝛿𝑟⃗ = 0, 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 gdzie gra ⃗⃗⃗⃗d 𝑓 = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ jest wektorem gradientu powierzchni więzów w aktualnym położeniu 𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑧

punktu materialnego.

S t r o n a 7 | 11

3) Co to są przemieszczenia wirtualne układu punktów materialnych bryły? Układem przemieszczeń wirtualnych zbioru n punktów materialnych poddanych więzom geometrycznym w liczbie w będzie każdy zbiór n przemieszczeń 𝛿𝑟⃗𝑖 , które spełniają warunki: 𝒏

⃗⃗⃗⃗⃗𝐝𝒊 𝒇𝒌 ∙ 𝜹𝒓 ⃗⃗𝒊 = 𝟎, ∑ 𝐠𝐫𝐚

(𝒌 = 𝟏, … , 𝒘)

𝒊=𝟏

gdzie gra ⃗⃗⃗⃗d𝑖 𝑓𝑘 jest gradientem k-tej powierzchni więzów w miejscu, w którym znajduje się i-ty punkt materialny. Przemieszczenia wirtualne 𝛿𝑟⃗𝑖 możemy nadać wszystkim punktom układu będącego w równowadze lub będącego w ruchu, w jego bieżącej konfiguracji w „zamrożonej” chwili czasu t. 4) Czego dotyczy zasada prac wirtualnych? Zasada prac wirtualnych: Układ punktów materialnych jest w równowadze (wtedy i tylko wtedy), gdy suma prac sił zewnętrznych czynnych, reakcji zewnętrznych oraz sił wewnętrznych w połączeniach podatnych na przemieszczeniach wirtualnych punktów układu jest równa 0. 𝒏 𝒑

⃗⃗𝒊 + ⃗𝑹 ⃗⃗𝒊 + ⃗𝑾 ⃗⃗⃗⃗𝒊 ) ∙ 𝜹𝒓 ⃗⃗𝒊 = 𝟎 ∑ (𝑭 𝒊=𝟏

5) Na podstawie zasady prac wirtualnych wyprowadzić geometryczne warunki równowagi bryły. ⃗⃗𝒊 = 𝜹𝒓 ⃗⃗𝑨 + 𝜹𝝆 ⃗⃗𝒊 = 𝜹𝒓 ⃗⃗𝑨 + 𝜹𝝋 ⃗⃗⃗ 𝐱 𝝆 ⃗⃗𝒊 𝜹𝒓 𝛿𝜑 – kąt obrotu 𝒔

⃗⃗𝒊 + 𝑹 ⃗⃗⃗𝒊 ) ∙ 𝜹𝒓 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗𝒊 + (∑𝑵 ⃗⃗⃗ = 𝟎 Zasada prac wirtualnych bryły: ∑𝑵𝒊=𝟏(𝑭 𝒊=𝟏 𝑴𝒊 ) ∙ 𝜹𝝋

Po podstawieniu pierwszego równania oraz przekształceniu z zasady prac wirtualnych wynikają następujące warunki: 𝑵

𝑵

𝑵 𝒔

⃗⃗𝒊 + 𝑹 ⃗⃗⃗𝒊 ) = 𝟎 , ∑(𝑭

⃗⃗⃗⃗𝑨𝒊 (𝑭 ⃗⃗𝒊 + 𝑹 ⃗⃗⃗𝒊 ) + ∑ 𝑴 ⃗⃗⃗⃗𝒊 = 𝟎 ∑𝑴

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

6) Jakie jest sformułowanie zasady d’Alemberta i do czego jest ona stosowana? Praktyczne znaczenie zasady d’Alemberta polega na algorytmie działań, w wyniku których możemy otrzymać dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych jak i układów mechanicznych złożonych z punktów materialnych i brył. Zasada d’Alemberta: Ruch układu punktów materialnych odbywa się w taki sposób, że suma prac wirtualnych sił zewnętrznych, wewnętrznych i sił bezwładności na przemieszczeniach wirtualnych pomyślanych w dowolnej 𝒑

⃗⃗𝒊 + 𝑾 ⃗⃗⃗⃗⃗𝒊 + 𝑹 ⃗⃗⃗𝒊 + 𝑭 ⃗⃗𝒃𝒊 ) ∙ 𝜹𝒓 ⃗⃗𝒊 = 𝟎 chwili podczas ruchu jest równa zeru. ∑𝒏𝒊=𝟏 (𝑭 7) Jaką postać mają równania Lagrange’a II rodzaju? 𝒅 𝝏𝑬𝒌 𝝏𝑬𝒌 = 𝑸𝒋 , (𝒋 = 𝟏, … , 𝒔) ( )− 𝒅𝒕 𝝏𝒒̇ 𝒋 𝝏𝒒𝒋 - Jeśli na punkty układu działają siły potencjalne: 𝑑 𝜕𝐸𝑘 𝜕𝐸𝑘 𝜕𝐸𝑝 + = 0, (𝑗 = 1, … , 𝑠) ( )− 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 - Jeśli na punkty układu działają siły potencjalne i dyssypacyjne typu oporów płynnych: 𝑑 𝜕𝐸𝑘 𝜕𝐸𝑘 𝜕𝐸𝑝 𝜕𝐷 + + = 0, (𝑗 = 1, … , 𝑠) ( )− 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞̇ 𝑗

S t r o n a 8 | 11

- Jeśli na punkty układu działają oprócz sił potencjalnych i dyssypacyjnych jeszcze inne siły: 𝑑 𝜕𝐸𝑘 𝜕𝐸𝑘 𝜕𝐸𝑝 𝜕𝐷 + + = 𝑄𝑗 , (𝑗 = 1, … , 𝑠) ( )− 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞̇ 𝑗 gdzie: 𝑄𝑗 – siła uogólniona niepotencjalna i niedyssypacyjna 𝐷 – siły dyssypacyjne 𝐸𝑝 – energia potencjalna 𝐸𝑘 – energia kinetyczna 8) Co to jest dyssypacyjna funkcja Rayleigha i jak się ją buduje? Kiedy wszystkie siły o charakterze dyssypacyjnym można wyrazić przez jedną funkcję skalarną 𝜕𝐷

𝜕𝐷

𝜕𝐷

𝑖

𝑖

𝑖

𝐷 = 𝐷(𝑥̇ 1 , 𝑦̇1 , 𝑧̇1 , … , 𝑥̇ 𝑛 , 𝑦̇𝑛 , 𝑧̇𝑛 ) w następujący sposób: ℑ𝑖𝑥 = − 𝜕𝑥̇ , ℑ𝑖𝑦 = − 𝜕𝑦̇ , ℑ𝑖𝑧 = − 𝜕𝑧̇ . Jeśli funkcja D istnieje, to nazywamy ją dyssypacyjną funkcją Rayleigha. 5. ELEMENTARNA TEORIA ZDERZENIA 1) Jakie właściwości mają siły zderzeniowe? (?) Rzeczywista siła zderzeniowa działa w bardzo małym, ale skończonym przedziale czasu o długości 𝜏. Siła zderzeniowa jest wektorem 𝐹⃗ (𝑡) = 𝐹⃗ [𝐹𝑥 (𝑡), 𝐹𝑦 (𝑡), 𝐹𝑧 (𝑡)]. 2) Co to jest impuls siły? Liczbowo, impuls siły jest polem pod wykresem rzeczywistego przebiegu siły zderzeniowej. Impulsem siły zderzeniowej 𝐹⃗ (𝑡) będziemy nazywać wektor, który jest całką siły względem czasu w przedziale działania siły: 𝒕𝟎 +𝝉

𝑱⃗ = ∫ ⃗𝑭⃗(𝒕)𝒅𝒕 𝒕𝟎

Jednostką impulsu siły jest [N ∙ s]. 3) Jakie prawo mechaniki opisuje zderzenie punktu materialnego z przegrodą? Zderzenie jest opisane równaniem prawa zmienności pędu w postaci 𝑚∆𝑣⃗ = 𝐽⃗ + 𝐽⃗𝑅 . 4) Na czym polega hipoteza restytucji normalnej i jaką ma postać przy zderzeniu puntu z przegrodą? Hipoteza restytucji normalnej polega na przyjęciu założenia (opartego na obserwacjach), że stosunek wartości bezwzględnych współrzędnych normalnych prędkości punktu przed zderzeniem i po nim jest wielkością charakterystyczną dla pary materiałów punktu i przegrody i nie zależy od tego, z jaką prędkością punkt uderza 𝒗

𝒗

w przegrodę: − 𝒗𝟐𝒏 = |𝒗𝟐𝒏 | = 𝒌 ∈ 〈𝟎, 𝟏〉. 𝟏𝒏

𝟏𝒏

k – współczynnik restytucji normalnej 5) Jakie inne założenia muszą być przyjęte, aby rozwiązać problem zderzenia punktu z przegrodą? (?) Hipoteza impulsu stycznego – polega na założeniu postaci 𝐽𝑅𝑡 , np. 𝐽𝑅𝑡 = 0 lub 𝐽𝑅𝑡 = 𝑓(𝛼, 𝑣1𝑡 , 𝐽𝑅𝑛 ).

S t r o n a 9 | 11

6) Jakie prawo mechaniki opisuje zderzenie dwóch punktów materialnych? Zderzenie punktów opisuje prawo zmienności pędu układu dwóch punktów materialnych, które wobec niewystępowania sił innych niż zderzeniowe (a te są wewnętrzne) – przyjmuje postać prawa zachowania pędu. ⃗⃗⃗ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 = 𝑩 ⃗⃗⃗𝟎 = 𝑩 ⃗⃗⃗𝟎 ′ 𝑩 7) Jaka jest postać hipotezy restytucji normalnej przy zderzeniu dwóch punktów materialnych? 𝒘

−𝒘

| 𝒗𝟐𝒏−𝒗 𝟏𝒏 | = − 𝟐𝒏

𝟏𝒏

𝒘𝟐𝒏 −𝒘𝟏𝒏 𝒗𝟐𝒏 −𝒗𝟏𝒏

= 𝒌 ∈ 〈𝟎, 𝟏〉.

8) Co rozumiemy przez zderzenie proste, ukośne, centralne i niecentralne? Zderzenie nazywamy prostym, jeśli prędkość względna 𝑣⃗12 jest równoległa do linii zderzenia n; w przeciwnym razie zderzenie nazywamy ukośnym. Zderzenie nazywamy centralnym, jeśli 𝐶1 , 𝐶2 ∈ 𝑛 (środki mas leżą na linii zderzenia); w przeciwnym przypadku zderzenie nazywamy niecentralnym. 9) Hipoteza restytucji normalnej przy zderzeniu dwóch brył w ich ruchu po płaszczyźnie. 𝒘𝟐𝒏 − 𝒘𝟏𝒏 𝒘𝑪𝟐𝒏 − 𝛀𝟐 𝒓𝟐𝒕 − 𝒘𝑪𝟏𝒏 + 𝛀𝟏 𝒓𝟏𝒕 | | = 𝒌 ∈ 〈𝟎, 𝟏〉 = | | 𝒗𝟐𝒏 − 𝒗𝟏𝒏 𝒗𝑪𝟐𝒏 − 𝛚𝟐 𝒓𝟐𝒕 − 𝒗𝑪𝟏𝒏 + 𝝎𝟏 𝒓𝟏𝒕 10) Jaki jest wpływ sił niezderzeniowych na efekty zderzenia?

6. DYNAMIKA UKŁADÓW O ZMIENNEJ MASIE 1) Jakie równanie opisuje ruch punktu materialnego o zmiennej masie? Równanie Mieszczerskiego: ⃗⃗ 𝒅𝒗 𝒅𝒎(𝒕) ⃗⃗ + (𝒖 ⃗⃗ − 𝒗 ⃗⃗) 𝒎(𝒕) = 𝑭 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑢 ⃗⃗ − 𝑣⃗ – prędkość cząstki dołączającej się ( 𝑑𝑡 > 0) lub odłączającej się ( 𝑑𝑡 < 0) względem punktu o zmiennej masie. 2) Na podstawie jakiego prawa mechaniki wyprowadza się równanie Mieszczerskiego? Na podstawie prawa zmienności pędu układu. 3) Kiedy równanie Mieszczerskiego ma postać II prawa Newtona? Gdy 𝑤 ⃗⃗⃗ = 0 4) Równanie dynamiki ruchu obrotowego bryły względem stałej osi przy zmiennym momencie bezwładności względem osi obrotu. Równanie Mieszczerskiego dla ruchu obrotowego: 𝒅𝝎 𝒅𝑰 𝑰(𝒕) = 𝑴 + (𝛀 − 𝝎) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 M – moment działający na bryłę względem osi obrotu Ω – prędkość kątowa, z jaką elementarna bryła o momencie bezwładności dI dołącza się do właściwej bryły obracającej się z prędkością chwilową ω.

S t r o n a 10 | 11

5) Równanie ruchu rakiety. ⃗⃗ 𝒅𝒗 𝒅𝒎 𝟎 ⃗⃗ − 𝒗𝒆 ⃗⃗ 𝒎(𝒕) =𝑭 𝝉 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗ 𝒗 ⃗⃗𝟎 = |𝒗⃗⃗| 𝜏⃗0 – wersor osi stycznej do toru 𝝉 6) Co rozumiemy przez siłę ciągu rakiety? 𝒅𝒎 𝟎 ⃗⃗𝒄 = −𝒗𝒆 ⃗⃗ 𝑭 𝝉 𝒅𝒕 7) Od czego zależy siła ciągu rakiety? Siła ciągu rakiety zależy od prędkości spalania i może być sterowana według potrzeb. Wartość chwilowa siły ciągu zależy od: - prędkości efektywnej wypływu gazów 𝒗𝒆 - prędkości ubytku masy rakiety

𝑑𝑚 , 𝑑𝑡

czyli od wielkości zużycia paliwa.

Opracowane na podstawie książki: „Wykłady z mechaniki ogólnej” W. Kurnik, Warszawa 2012

S t r o n a 11 | 11