MATEMATICA II - 25

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GEOMETRIA ESPACIAL PRISMAS

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DEFINIÇÃO Uma forma geométrica muito usual e imersa no cotidiano das pessoas é a chamada prisma. Podemos tomar como exemplo as caixas de uma maneira geral, tijolos, formas de edifícios, etc. Para definirmos um prisma, considere dois planos paralelos distintos, α e β e uma reta r secante a esses planos e um polígono convexo A1A2A3....An contido em α. Considere ainda todos os segmentos de reta paralelos a r, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao polígono e o outro extremo pertencente a β. A reunião de todos esses segmentos de reta é um poliedro chamado prisma convexo limitado ou, simplesmente, prisma.

PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO Um prisma é chamado reto quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Os prismas que não são retos são chamados oblíquos.

As faces situadas nos planos paralelos α e β são chamadas de bases, a distância entre esses planos é chamada de altura do prisma, as arestas com extremidades nos dois planos são as arestas laterais e as faces na forma de paralelogramo, limitadas por duas arestas laterais consecutivas e duas arestas das bases são chamadas de faces laterais. Na figura acima destacamos: • • • •

Bases: A1A2A3....An e B1B2B3....Bn

PRISMA REGULAR Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

Arestas laterais: A1B1, A2B2, A3B3, ...., An Bn. Faces laterais: A1A2B2B1, ...., AnA1B1Bn

Altura: h

primas hexagonal regular: prisma reto com bases hexagonais regulares

CLASSIFICAÇÃO Um prisma é denominado de acordo com o número de lados das bases. Dessa maneira, um prisma cuja base é um triângulo é chamado de prisma triangular, um prisma cuja base é um quadrilátero é chamado prisma quadrangular, etc.

Podemos ainda notar que toda face lateral de um prisma regular são retângulos congruentes.

PROENEM

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GEOMETRIA ESPACIAL - PRISMAS

PLANIFICAÇÃO DO PRISMA RETO

VOLUMES

Observemos a seguir a planificação de um prisma triangular reto.

Intuitivamente, o volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupado. Para exprimir essa quantidade de espaço através de um número, devemos comparála com uma unidade. Chamamos de volume o resultado dessa comparação.

Unidades de volume Considere um cubo com 1 cm de aresta. A porção do espaço ocupada por esse cubo é uma unidade de volume definida como 1 cm³ (lemos: “um centímetro cúbico”).

Para cada unidade de comprimento, temos uma unidade correspondente de volume. Definimos então de maneira análoga 1mm³, 1 dm³, 1m³, 1dam³, 1hm³ e 1km³ como a porção do espaço ocupada por cubos com arestas de 1 mm, 1 dm, 1 m, 1 dam, 1 hm e 1 km, respectivamente. Essas unidades podem ser representadas na escala a seguir.

ÁREAS LATERAL E TOTAL A soma das áreas de todas as faces laterais do prisma é denominada área lateral do prisma e a soma da área lateral com as áreas das duas bases é chamada de área total do prisma. Atotal = Alateral + 2 . Abase

km³

hm³

dam³

m³

dm³

cm³

mm³

Note que cada unidade dessa escala vale 1.000 vezes a unidade imediatamente à sua direita. Para ilustrar a situação, observe o cubo abaixo de lado 1 metro, dividido em 1000 cubinhos de aresta 1 dm, que por sua vez pode ser dividido em 1000 outros cubinhos de aresta 1cm.

Exercício Resolvido Cada uma das bases de um prisma reto com 10 cm de altura é um trapézio isósceles com lados 5 cm, 5 cm, 6cm e 12cm. Calcule a área lateral desse prisma.

Solução: A área lateral é a soma das áreas das faces laterais de um prisma, isto é, não usamos as áreas das bases. Nesse caso, as bases são os trapézios, que devemos desconsiderar. A área lateral dessa figura é composta por 4 retângulos, portanto a sua área lateral pode ser facilmente calculada. AL = 5 . 10 + 6 . 10 + 5 . 10 + 12 . 10 = 50 + 60 + 50 + 120 = 280 cm2.

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Outra unidade usada para medir volumes é o litro (L), que é definido como 1 dm³. 1L = 1dm3

MATEMÁTICA II As unidades derivadas do litro podem ser expressas na escala abaixo, onde cada unidade vale dez vezes a unidade imediatamente à sua direita.

Observe que 1mL = 1cm3.

PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO O paralelepípedo retângulo, ou simplesmente um bloco retangular, é um poliedro formado por 6 retângulos. Ele fica perfeitamente determinado por três medidas: o seu comprimento (a), a sua largura (b) e a sua altura (c).

VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO Observe que em um paralelepípedo retângulo de comprimento a, largura b e altura c, pode ser dividido em a . b . c cubos unitários.

ÁREA TOTAL DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO Observe que das 6 faces retangulares de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, temos 2 retângulos com base a e altura b, 2 com base a e altura c e 2 com base b e altura c. Logo a soma das áreas desses retângulos são: Atotal = 2 . ab + 2 . ac + 2 . bc Atotal = 2(ab + ac + bc)

DIAGONAL

Para calcular a diagonal do paralelepípedo retângulo acima ABCDEFGH, observemos o triângulo retângulo BDH destacado acima. Note que a hipotenusa BH é a diagonal do paralelepípedo. Observe ainda que no triângulo ABD, temos que d2 = a2 + b2, assim no triângulo BDH temos D2 = d2 + c2 e portanto, D2 = a2 + b2 + c2.

Exercício Resolvido Dado um paralelepípedo retângulo de arestas iguais a 3 cm, 4 cm e 12 cm, determine a sua área total, a diagonal e o volume. Solução: a = 3, b = 4 e c = 12. Assim, o volume do paralelepípedo retângulo é: Vparalelepípedo = a . b .c

OBSERVAÇÃO Podemos dizer ainda que o volume de um paralelepípedo retângulo é calculado pelo produto da área da base pela altura:

Atotal = 2(ab + ac + bc) Atotal = 2(3 . 4 + 3 . 12 + 4 . 12) = 2(12 + 36 + 48) = 2(96) = 192 cm2 D2 = a2 + b2 + c2 D2 = 32 + 42 + 122 D2 = 9 + 16 + 144 = 169 D = 13 cm Vparalelepípedo = a . b . c Vparalelepípedo = 3 . 4 . 12 = 144 cm3

Vparalelepípedo = abase . haltura

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GEOMETRIA ESPACIAL - PRISMAS

CUBO O cubo é um bloco retangular de arestas com a mesma medida, ou seja, um paralelepípedo retângulo, onde todas as arestas medem a.

Solução: Vcubo = a3 e Atotal = 6 . a2, igualando as duas fórmulas encontramos o valor da aresta. Note que a3 = 6a2 implica em a = 6. Dessa forma podemos calcular a diagonal, pois Dcubo = a 3. Dcubo = 6 3cm

PRINCÍPIO DE CAVALIERI

Volume do cubo Calculamos o volume de modo análogo ao paralelepípedo retângulo. Assim, o volume do cubo de aresta a será V = a . a . a. Vcubo = a3

Para entender esse princípio, façamos a seguinte experiência: Coloque em cima da mesa uma resma de papel. Ela perfeitamente arrumada é um paralelepípedo retângulo e, dessa maneira, já sabemos calcular seu volume. Podemos transformar o paralelepípedo retângulo em um outro paralelepípedo, só que oblíquo, encostando uma régua nas faces laterais, ou ainda, usando as mãos, poderemos moldar um sólido diferente como a figura abaixo exemplifica.

Área total Observemos que o cubo de aresta a contém 6 quadrados de lado a. Logo: Atotal = 6 . a2

Diagonal Considere a seguir o cubo ABCDEFGH, de aresta a.

Observe que os sólidos possuem volumes iguais. De modo mais geral, suponha que dois sólidos A e B estão apoiados num plano horizontal e que qualquer outro plano também horizontal corte ambos segundo seções de mesma área. O Princípio de Cavalieri afirma que o volume de A é igual ao volume de B.

VOLUME DO PRISMA Suponha agora que um prisma e um paralelepípedo retângulo com a mesma altura, mesma área da base AB e apoiados sobre um mesmo plano horizontal, sejam cortados por um outro plano horizontal, e produzem seções de áreas A1 e A2 no paralelepípedo e no prisma, respectivamente.

Note que a diagonal do cubo BH forma um triângulo retângulo com a aresta a e a diagonal da face BD. Logo, D2 = d2 + a2, mas no triângulo ABD, temos que d2 = a2 + a2 = 2a2. Portanto, D2 = a2 + 2a2 = 3a2 e assim: Dcubo = a 3

Exercício Resolvido A medida do volume de um cubo, em cm3, é igual à medida de sua área total, em cm2. Determine a medida da diagonal desse cubo.

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Como A1 = AB = A2, pelo princípio de Cavalieri, o volume de um prisma pode ser sempre calculado pelo produto da sua área da base pela altura. Vprisma = Abase . h

MATEMÁTICA II

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Acesse os códigos de cada questão para ver o gabarito

QUESTÃO 01 Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é: a)

9

b)

11

c)

13

d)

15

e)

17

QUESTÃO 02 Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir um reservatório fechado, que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de um período anual chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a quantidade média mensal de chuva na região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser construído.

QUESTÃO 03 Uma piscina tem a forma de um prisma reto, cuja base é um retângulo de dimensões 15m e 10m. A quantidade necessária de litros de água para que o nível de água da piscina suba 10cm é: a)

0,15 L

b)

1,5 L

c)

150 L

d)

1.500 L

e)

15.000 L

QUESTÃO 04 O lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três números em progressão geométrica. A área total desse cubo é: a)

20

b)

48

c)

24

d)

18

e)

12

QUESTÃO 05 Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em cm³, é: Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do reservatório deverá medir:

a) b)

27 3 13 2

c)

12

a)

4m

d)

54 3

b)

5m

e)

17 5

c)

6m

d)

7m

e)

8m

PROENEM

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GEOMETRIA ESPACIAL - PRISMAS

QUESTÃO 06

QUESTÃO 09 De uma viga de madeira de seção quadrada de lado l=10cm extrai-se uma cunha de altura h=15cm, conforme a figura. O volume da cunha é:

Na fabricação da peça acima, feita de um único material que custa R$ 5,00 o cm³, deve-se gastar a quantia de: a)

R$ 400,00

b)

R$ 380,00

a)

250 cm³

c)

R$ 360,00

b)

500 cm³

d)

R$ 340,00

c)

750 cm³

e)

R$ 320,00

d)

1000 cm³

e)

1250 cm³

QUESTÃO 07 Uma piscina retangular de 10,0m x 15,0m e fundo horizontal está com água até a altura de 1,5m. Um produto químico em pó deve ser misturado à água à razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes a serem usados é: a)

45

b)

50

c)

55

d)

60

e)

75

QUESTÃO 10 O sólido representado na figura a seguir é formado por um cubo de aresta de medida x/2 que se apoia sobre um cubo de aresta de medida x.

QUESTÃO 08 Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e xcm. O valor de x é:

70

O volume de sólido representando é dado por: a)

9x³/8

b)

x³/8

a)

16

c)

3x³

b)

17

d)

3x³/2

c)

18

e)

7x³

d)

19

e)

20