MATEMÁTICA II - 19

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO, PERMUTAÇÃO CIRCULAR E COMBINAÇÕES COMPLETAS

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PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES Uma permutação de n elementos, sendo n1 elementos iguais a a1, n2 elementos iguais a a2, ..., nr elementos iguais a ar será dada por:

Pnn1, n2 ,...,nr

n! n1 ! n2 ! ⋅ ...nr !

Exercício Resolvido

Exercício Resolvido De quantos modos podemos formar uma mesa de buraco (jogo de cartas de baralho) com 4 jogadores? Resolução: Abaixo seguem todas as possibilidades de configurar dando destaque para àquelas que, pela definição, se tornam distintas entre si.

Quantos anagramas da palavra PALAVRA podem ser formados? Resolução: Se as letras fossem diferentes, a resposta seria 7!. Como as três letras A são iguais, quando as trocamos entre si, obtemos o mesmo anagrama e não um anagrama distinto, o que ocorreria se fossem diferentes. Isso faz com que, na nossa contagem 7!, tenhamos contado o mesmo anagrama 3! vezes, pois há 3! modos de trocar as letras A entre si. Logo, a resposta é: 3 P= 7

7! 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = = 840 3! 3!

PERMUTAÇÕES CIRCULARES Nosso objetivo agora é analisar as permutações quando os elementos estão dispostos de forma circular. Nesse caso, duas disposições serão consideradas iguais quando podem coincidir através de rotação. Dessa forma, o número de permutações circulares de n objetos distintos é dada por: PCn = (n – 1)! Temos, então: PC4 = (4 – 1)! = 3! = 6

PROENEM

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ANÁLISE COMBINATÓRIA - PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO, PERMUTAÇÃO CIRCULAR E COMBINAÇÕES COMPLETAS

COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO (OU COMBINAÇÕES COMPLETAS) É número de maneiras de selecionarmos p objetos dentre n objetos distintos onde cada um deles poderá ser tomado até p vezes. Note que é um tipo de combinação, onde os objetos selecionados podem aparecer repetidos, mas como em toda combinação, a ordem dos objetos não importa. Dizemos combinação com repetição de n elementos tomados p a p, e simbolizamos por CRn, p Em alguns textos chama-se combinações completas. Nosso objetivo agora será criar um método para calcular esse tipo de combinação.

Exercício Resolvido

Ou seja: As representações ( ... + + ... + ....) e (.. + . + ... + ....) podem ser analisadas como dois anagramas formados por 13 elementos, sendo 10 elementos do tipo “.” e três do tipo “+”. Portanto, podemos calcular o número de anagrama pela ferramenta da permutação com elementos repetidos. 10,3 = P13

Podemos agora seguir o mesmo raciocínio para uma generalização do problema. Suponha agora que temos n objetos distintos e quero formar subconjuntos com p elementos, podendo haver elementos repetidos no subconjunto. Nosso problema então é resolver a equação x1 + x2 + x3 + ... + xn = p

Considere a seguinte situação: Uma pessoa quer comprar para sua família 10 sorvetes numa padaria. Há sorvetes de abacaxi, banana, creme e damasco. Sabendo-se que podem ser compradas de zero a 10 sorvetes de cada tipo, de quantas maneiras diferentes esta compra pode ser feita? Resolução: Repare inicialmente que como a ordem da compra não influencia nos sorvetes comprados, estamos em um problema de combinação. Além disso, repare que temos apenas 4 sabores de sorvete e precisamos comprar 10 sorvetes. Dessa forma, necessariamente teremos sabores repetidos. Logo, estamos em um problema de combinação com repetição, onde temos n = 4 tipos de sorvetes, e desses sabores que estão à disposição, preciso formar grupos de p = 10 sorvetes. Podemos resolver esse problema imaginando que x1, x2, x3 e x4 representam os tipos de sabores e que precisamos comprar 10 sorvetes da seguinte forma: x1 + x2 + x3 + x4 = 10

X2

... ..

70

.

Que será o mesmo que calcular o número de permutações de p elementos do tipo “.” e n – 1 elementos do tipo “+”, sendo um total de p + n –1 elementos. ......... +++ ... +

    p vezes

(n −1) vezes

Logo, p,n−1 CR = P= n,p p +n−1

(n+ p− 1)! = Cn+p−1,p p!(n− 1)!

Isto é, CRn,p = CRn+p–1,p Podemos agora, resolver o problema anterior dos sorvetes usando essa fórmula. Temos 4 opções de sorvetes e vamos comprar 10 sorvetes, alguns sabores sendo repetidos. Assim, temos n = 4 e p = 10 CR = C4 +10= C= 4,10 −1,10 13,10

Algumas soluções que satisfazem a solução acima seriam: (0, 0, 0, 10); (3, 0, 3, 4); (2, 1, 3, 4). Se observarmos as duas últimas soluções poderíamos chegar à seguinte conclusão: X1

13! = 286 10! ⋅ 3!

X3

X4

10

...

....

.....

...

....

.....

=

13! 13! = 10! ⋅ (13 − 10)! 10! ⋅ 3!

13 ⋅ 12 ⋅ 11⋅ 10! 13 ⋅ 12 ⋅ 11 = = 286 10! ⋅ 3! 3 ⋅ 2 ⋅1

Logo, teremos 286 maneiras distintas. Como foi visto no exemplo anterior, nas combinações com repetição, podemos ter n menor do que p.

MATEMÁTICA II

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Acesse os códigos de cada questão para ver o gabarito

QUESTÃO 01 Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo:

QUESTÃO 04 A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”. O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:

(B,B,M,C,M,C) ou (B,M,M,C,B,C) ou (C,M,M,B,B,C) O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: a)

6 

b)

90 

c)

180 

d)

720

e)

745

QUESTÃO 02 A quantidade de anagramas da palavra CONCURSO é: a)

2520 

b)

5040 

c)

10080 

d)

20160 

e)

40320 

QUESTÃO 03 O número de anagramas que podem ser formados com as letras de PAPAGAIO, começando por consoante e terminando por O, é igual a:

a)

95040 

b)

40 635 

c)

924  

d)

792 

e)

35

QUESTÃO 05 O número de anagramas da palavra ALAMEDA que não apresenta as 4 vogais juntas é: a)

96  

b)

744  

c)

816 

d)

840

e)

900

QUESTÃO 06

a)

120 

b)

180 

c)

240 

d)

300 

O número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras AS, nesta ordem, é:

e)

320

a)

9!  

b)

11! 

c)

9!/(3! 2!)  

d)

11!/2!  

e)

11!/3!

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ANÁLISE COMBINATÓRIA - PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO, PERMUTAÇÃO CIRCULAR E COMBINAÇÕES COMPLETAS

QUESTÃO 07 Uma urna contém 6 bolas pretas idênticas e 3 bolas brancas, também idênticas. Retiradas, uma de cada vez, a extração das 9 bolas pode ser feita de k formas diferentes. Então k vale: a) 9!  

Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos? a) 15 b) 24

b) 84  

c) 18  

c) 81   d) 6.6!   e) 162

QUESTÃO 08 De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

d) 16   e) 12

QUESTÃO 10 Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número 718.844? a) 90   b) 720  

a) 12

c) 15  

b) 36 

d) 30  

c) 216 

e) 180

d) 720  e) 360

ANOTAÇÕES

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QUESTÃO 09