MATEMÁTICA II - 16

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16

TRIGONOMETRIA

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)

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A FUNÇÃO SENO O gráfico função seno é chamado de senoide e continua à direita de 2π e a esquerda de 0, observemos apenas um pequeno intervalo da função abaixo:

x

0= 2 π

s en x

0

π 2

1

π

0

3π 2

−1

Solução: 2 π Período = e nesse caso, a = 8 portanto o período a 2π π é = . 8 4 b)

Solução: Período = é c)

Considerações: O domínio da função s en x é o conjunto dos números reais, isto é, D = � . A imagem da função s en x é o intervalo [-1, 1], isto é, −1 ≤ s en x ≤ 1 . A partir de 2π a função repetirá os seus valores pois é uma função periódica. Note que função seno é ímpar pois s en x = − s en ( − x ) . A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer outra função seno, de maneira geral podemos escrever as funções da seguinte forma: f (x) = p + q.s en ( ax + b)



Domínio: 



Imagem: [p − q,p + q]



Período:

2π a

y = 5s en10x

2π π = . 10 5 y = s en

2π e nesse caso, a = 10 portanto o período a

x 3

Solução: 2π 1 Período = e nesse caso, a = portanto o período a 3 2π = 6π . é 1 3 π  = d) y s en  4x +  3 

Solução: Período = é

2π π = . 4 2

2π e nesse caso, a = 4 portanto o período a

2) Dada a função f ( x ) = 7 s en ( 3x ) , responda: a)

Qual a imagem de f?

Solução: Usando como base a função f(x) = p + q . (ax + b), podemos perceber que p = 0 e q = 7 . Dessa forma, temos:

p+q= 7 e p − q =−7

Exercícios Resolvidos 1) Determine o período das funções abaixo: a)

Logo, a imagem da função é o intervalo [ −7, 7 ] .

y = s en 8x

PROENEM

99

16

TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)

b)

A função é par ou ímpar? Solução: A função é ímpar pois trata-se de uma função seno.

A FUNÇÃO COSSENO O gráfico função cosseno é chamado de cossenoide e continua à direita de 2π e a esquerda de 0, observemos apenas um pequeno intervalo da função abaixo:

x

0= 2 π

π 2

π

3π 2

1

0

1

0

cos x

Considerações: O domínio da função cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D =  . A imagem da função cos x é o intervalo [-1, 1], isto é, −1 ≤ cos x ≤ 1 . A partir de 2π a função repetirá os seus valores pois é uma função periódica. = x cos ( − x ) . Note que função seno é par, pois cos A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer outra função seno, de maneira geral podemos escrever as funções da seguinte forma:

Os extremos da imagem são p + q e p – q, como a imagem é dada por [ −1,5 ] e p e q são positivos fazemos

p − q =−1 e p + q = 5 . Resolvendo o sistema obtemos p=2 e q=3. Esboçando o gráfico da função y= 2 + 3cos 12x , obtemos:

A FUNÇÃO TANGENTE O gráfico função tangente é chamado de tangentoide e continua à direita de 2π e a esquerda de 0, observemos apenas um pequeno intervalo da função abaixo:

x

0= 2 π

π 2

π

3π 2

tg x

0

∃/

0

∃/

f (x) = p + q .cos ( ax + b)



Domínio: 



Imagem: [p − q,p + q]



Período:

2π a

Exercícios Resolvidos 1) Sabendo que o conjunto imagem e o período da função y= p + qcos ax valem, respectivamente, [ −1,5 ] e π rad, 6 calcule os valores positivos de p, q e a. Solução: Sabemos que o período da função cosseno é dado por 2π π = ⇒ a =±12 como estamos buscando apenas os a 6 valores positivos temos que a = 12 .

100

Considerações: O domínio da função tg x é o conjunto π D = { x ∈  |x ≠ + kπ } com k ∈  . 2 A imagem da função cos x é o intervalo ]−∞, +∞ [ isto é, o próprio conjunto  . A partir de π a função repetirá os seus valores (como observamos na figura) pois é uma função periódica. Note que função tangente é ímpar pois tg x = − tg ( − x ) .

MATEMÁTICA II A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer outra função seno, de maneira geral podemos escrever as funções da seguinte forma: f (x) = p + q . tg ( ax + b) π  Domínio:  − kπ +  2  Imagem: ]−∞, +∞ [ = 

• • •

π Período: a



Função Ímpar

Solução: Sabemos que o período da função tangente é dado por π π. = a 5 2) Determine o domínio das seguintes funções: π  y tg  x −  a) = 3  Solução: π π   x −  não pode ser igual a kπ + 2 . 3  π x − 3 ≠ kπ + 2 π π x ≠ kπ + + 2 3 5π x ≠ kπ + 6

Exercícios Resolvidos 1) Determine o período das funções abaixo: π  y tg  3x −  a)= 5   Solução: Sabemos que o período da função tangente é dado por π π. = a 3

b) = y tg ( x + 60) Solução:

( x + 60) não pode ser igual a 180⋅ k +90 x + 60≠ 180.k +90 x ≠ 180.k +90−60 x ≠ 180.k +30

π  y tg  5x +  b)= 3 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Acesse os códigos de cada questão para ver o gabarito

QUESTÃO 01

d)

julho e janeiro.

e)

junho e dezembro.

O menor valor de 1/(3 - cos x), com x real, é: a)

1/6 

b)

1/4 

c)

1/2 

d)

1

e)

3

QUESTÃO 03 O gráfico seguinte corresponde a uma das funções de  em  a seguir definidas. A qual delas?

QUESTÃO 02  πt π  Uma empresa utiliza a fórmula P = 200 + 40 ⋅ s en  +   6 2 para estimar a quantidade vendida mensalmente P de um produto, em que t = 1 representa o mês de janeiro de 2010, t = 2 representa o mês de fevereiro de 2010, t = 3 o mês de março de 2010 e assim por diante. Em quais meses de 2010 estão estimadas as vendas mínima e máxima respectivamente?

a)

outubro e abril.  

b)

setembro e março.  

c)

agosto e fevereiro.

a)

f(x) = sen 2x + 1 

b)

f(x) = 2.sen x 

c)

f(x) = cos x + 1

d)

f(x) = 2.sen 2x

e)

f(x) = 2 cos x + 1

PROENEM

101

16

TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)

Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano α, como se observa nas imagens:

QUESTÃO 04 Considerando 0 ≤ x ≤ 2π, o gráfico a seguir corresponde a:

a)

y = sen (x + 1) 

d)

y = sen² x + cos² x 

b)

y = 1 + sen x 

e)

y = 1 - cos x

c)

y = sen x + cos x

QUESTÃO 05

Considere as seguintes informações:

A função real definida por f(x) = k.cos(px), k > 0 e p ∈ R tem período 7π e conjunto imagem [-7,7]. Então, k.p vale: a)

7

d)

2/7

b)

7/2

e)

14

c)

2

QUESTÃO 06



o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro;



a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 0 < x ≤ π/2 ;



x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α;



o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y.

O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em m³, em função do ângulo x, em radianos, é:

Sobre a função f, de  em , definida por f(x) = cos 3x, é correto afirmar que: a)

seu conjunto imagem é [-3,3]. 

b)

seu domínio é [0,2π].

c)

é crescente para x ∈ [0,π/2].

d)

sua menor raiz positiva é π/3.

e)

seu período é 2π/3.

a)

b)

QUESTÃO 07 Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano α. Esse plano contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem:

c)

d)

e)

102

N.D.A.

MATEMÁTICA II

QUESTÃO 08

QUESTÃO 10

Na estação de trabalho de pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a expressão P(t) = 50 + 50 sen [t - (π/2)], t > 0.

O período da função y = sen ( π 2 . x) é: a)

2 2

Assinale a alternativa em que o instante t corresponda ao valor mínimo da pressão.

b)

π 2

a)

t = π/2 

d)

t = 2π 

c)

b)

t = π 

e)

t = 3π

c)

t = 3 π/2 

QUESTÃO 09

π 2

d)

2

e)

2 2

Seja f : R  →  R, onde R denota o conjunto dos números reais, uma função definida por f(x) = [3/(4 + cosx)] + 1. O menor e o maior valor de f(x), respectivamente, são: a)

1, 6 e 2 

d)

1, 4 e 1,6 

b)

1, 4 e 3 

e)

2e3

c)

1, 6 e 3 

ANOTAÇÕES

PROENEM

103

16

TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)

ANOTAÇÕES

104
MATEMÁTICA II - 16

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