PARTE COMPLEMENTAR

SAVE OFFLINE

SUMÁRIO MATEMÁTICA BÁSICA 1 2 3 4 5

– – – – –

( ( ( ( (

)( )( )( )( )(

) Operações fundamentais ----------------------------------------------------- 1 ) Frações ------------------------------------------------------------------------ 5 ) Potenciação ------------------------------------------------------------------- 7 ) Radiciação -------------------------------------------------------------------- 9 ) Produtos Notáveis ----------------------------------------------------------- 11 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

NÚMEROS PRIMOS

DIVISIBILIDADE

# Possuem apenas dois divisores, o número 1 Divisibilidade por 1 e o próprio número. Todo número é divisível por 1. # O conjunto dos números primos é infinito. Divisibilidade por 2 # O número 1 não é um número primo, porque Todo número par é divisível por 2, para isto basta ele tem apenas um divisor, que é ele mesmo. terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. # O único número par que é primo é o número Divisibilidade por 3 2, porque só tem dois divisores: 1 e ele Um número é divisível por 3 quando a soma de mesmo. seus algarismos constitui um número múltiplo de 3. DIVISORES Divisibilidade por 4 # Para ser divisor a divisão tem que ser exata, não sobra resto. Um número é divisível por 4 quando for par e a metade do último algarismo adicionado ao # O número 1 é divisor de qualquer número. penúltimo for um número par ou terminar com zero nas duas últimas casas. # Todo número diferente de zero é divisível Divisibilidade por 5 por si mesmo. # O maior divisor de um número é o próprio número.

É todo número terminado em 0 ou 5.

# Nenhum número é divisível por zero.

São todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante.

# O menor divisor de um número é 1

Divisibilidade por 7

MÚLTIPLOS

Um número é divisível por 7 quando estabelecida a diferença entre o dobro do último e os demais algarismos, constituindo um número divisível por 7.

Divisibilidade por 6

# O zero é múltiplo de qualquer número. # O zero só tem um múltiplo que é ele mesmo.

Divisibilidade por 8 # Todos os números naturais são múltiplos de Um número é divisível por 8 quando termina em 1. 000 ou os últimos três números são divisíveis por # Todo número natural é múltiplo de si 8. mesmo. Divisibilidade por 9

# O conjunto dos múltiplos são infinitos, ou Será divisível por 9 todo número em que a soma seja, não tem fim. Com exceção do número de seus algarismos constitui um número múltiplo zero. de 9. 1

Divisibilidade por 10

FATORAÇÃO

Fatorar um número significa escrevê-lo na Todo número terminado em 0 é divisível por 10. forma de produto de números primos. Por Divisibilidade por 11 exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os números (2.2.3.3). Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o A fatoração ajuda para a busca do (M.M.C.) do número formado pelos demais algarismos, de (M.D.C) e para a resolução de raízes. forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas 2 Ex.: √36 = √2 . 3² = 2.3 = 6 (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11. 36 18 9 3 1

÷2 ÷2 ÷3 ÷3

Divisibilidade por 12

2. 2. 3. 3. 2 2 . 3²

Se um número é divisível por 3 e 4, também será divisível por 12. Divisibilidade por 15 Todo número divisível por 3 e 5 também é divisível por 15.

NÚMERO DE DIVISORES

Ex.: Determinar o número de divisores de 90.

O número de divisores naturais de um número natural é igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos aumentados, cada expoente, do número 1

90 45 15 5 1

Assim, se 𝑎𝛼 . 𝑏 𝛽 . 𝑐 𝛾 , com 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:

÷2 ÷3 ÷3 ÷5

2. 3. 3. 5. 𝟏 𝟐 𝟏 2 .3 .5

𝑛[𝐷+ (𝐼𝑁)] = (𝛼 + 1)(𝛽 + 1)(𝛾 + 1) 𝑛[𝐷+ (90)] = (𝟏 + 1). (𝟐 + 1). (𝟏 + 1) = 12 [𝐷+ (90)] = {90; 45; 30; 18; 15; 10; 9; 6; 5; 3; 2; 1} MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C) 60 30 15 5 1

Ao maior dos divisores comuns de dois números naturais 𝑎 𝑒 𝑏 chama-se máximo divisor comum e representa-se por m.d.c. (a,b). 𝐷18 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟔, 9, 18} 𝐷24 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 4, 𝟔, 8, 12, 24}

30 ÷2 15 ÷2 15 ÷3 5 ÷5 2.3.5 = 30 1

𝐷60

Maior divisor comum: 6

Fator comum (15 não é divisível por 2)

Fator comum Fator comum M.D.C. = 30

𝐷30 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, 𝟑𝟎} = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 4, 𝟓, 𝟔, 𝟏𝟎, 12, 𝟏𝟓, 20, 𝟑𝟎, 60}

Maior divisor comum: 30 (Note que 60 é múltiplo de 30).

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)

𝑀18 = {18, 36, 54, 𝟕𝟐, … } 𝑀24 = {24, 48, 𝟕𝟐, … }

O m.m.c. é o menor número que é múltiplo comum, diferente de 0, entre 2 ou mais números.

Menor múltiplo comum de 18 e 24 = 72 m.m.c. (18, 24) = 72.

2

MÓDULO (|

|)

Assim, o módulo de +3 é 3, ou o módulo de -7 é 7.

O módulo ou valor absoluto de um número positivo ou negativo é o próprio número sem levar em consideração o sinal de + ou de -.

|−3| = 3 ; |3| = 3 |−7| = 7 ; |7| = 7

REPRESENTAÇÃO DECIMAL Para a representação decimal teremos que andar com a vírgula. Para a esquerda multiplicaremos o número por 10𝑛 . O valor de n será o tanto de casas “andadas”.

Km

Dam

Hm

M

Dm

Cm

Mm

1 1. 10−1 1. 10−2 1. 10−3 1. 10−4 1. 10−5 1. 10−6

1.101 1 1. 10−1 1. 10−2 1. 10−3 1. 10−4 1. 10−5

1.102 1.101 1 1. 10−1 1. 10−2 1. 10−3 1. 10−4

1.103 1.102 1.101 1 1. 10−1 1. 10−2 1. 10−3

1.104 1.103 1.102 1.101 1 1. 10−1 1. 10−2

1.105 1.104 1.103 1.102 1.101 1 1. 10−1

1.106 1.105 1.104 1.103 1.102 1.101 1

OU

Para a direita multiplicaremos por 10−(𝑛) . O valor de n será o tanto de casas “andadas”.

𝑥 1000 → Km 1 0,1 0,01 0,001

103,3 = 1,033. 102 0,001033 = 1,033. 10−3 A representação decimal por ser básica não vai nos interessar muito a essa altura do campeonato por isso já vamos aproveitar para vermos as transformações de Km para Cm.

OPERAÇÕES COM INTERVALOS REAIS A parte que consiste em operações com intervalos reais já é uma introdução ao estudo dos intervalos de nossas notáveis inequações. A saber: 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑘𝑥 0 > 𝑜𝑢 < 0 Os temos > 𝑒 < indicam que as raízes encontradas não entrarão na solução. Serão representadas por intervalos abertos (“bolinhas” não preenchidas) na reta real. Os temos ≥ 𝑒 ≤ indicam que as raízes encontradas entrarão na solução. Serão representadas por intervalos fechados (“bolinhas” preenchidas) na reta real.

3

𝑥 1000 → M 1 000 100 10 1 ← ÷ 1000

𝑥 1000 → Cm 100 000 10 000 1 000 1 ← ÷ 1000

Mm 1 000 000 100 000 10 000 1 000 ← ÷ 1000

Exercícios Propostos – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 1. Determine o produto dos cinco primeiros números primos, quando dispostos em ordem crescente.

8.O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, demesma dim ensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entr e ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serãoescolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.Na situação apres entada, o lado do ladrilho deverá medir:

a) 2310 b) 720 c) 30030 d) 2520 e) 15015

a) mais de 30 cm. b) menos de 15 cm. c) mais de 15 cm e menos de 20 cm. d) mais de 20 cm e menos de 25 cm. e) mais de 25 cm e menos de 30 cm.

2. O número de divisores naturais de 360 que não são primos é: a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

9. Em uma floricultura, há menos de 65 botões de rosas e um funcionário está encarregado de fazer ramalhetes, todos com a mesma quantidade de botões. Ao iniciar o trabalho, esse funcionário percebeu que se colocasse em cada ramalhete 3, 5 ou 12 botões de rosas, sempre sobrariam 2 botões. O número de botões de rosas era:

3. O número natural abaixo é divisível por:

a) 54. b) 56. c) 58. d) 60. e) 62.

(2103 + 2102 + 2101 − 2100 ) a) 6 b) 10 c) 14 d) 22 e) 26

10. Numa pista de videogame, um carrinho dá uma volta completa em 30 segundos, outro, em 45 segundos e um terceiro carrinho, em 1 minuto. Partindo os três do mesmo ponto P, no mesmo instante T, quando os três se encontrarem novamente, o número de voltas que o mais rápido terá dado será:

4. Determine o valor de n/2, sabendo que é o número de divisores naturais de 3000. a) 3 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32

a) 3. b) 4. c) 6. d) 8. e) 9.

5. Sendo D o número de divisores naturais de 252, e N o número de divisores naturais de 1296, então o valor de 2.D + 3.N será:

11. Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 115 e m.d.c(y, x) = 214, podemos dizer que o resto da divisão de xy por 23 é:

a) 18 b) 25 c) 43 d) 75 e) 111

a) é um número primo. b) é um número par. c) é maior que 100. d) é 214. e) é 115

6. O MDC de dois números A e B é 2x.33.54.7. Sendo A = 2x.34.5z.7 e B = 26.3y.55.7, então o valor do produto x.y.z é:

12. Se x é um número natural em que m.m.c(140, x) = 2.100 e m.d.c(140, x) = 10, podemos dizer que x:

a) 20 b) 80 c) 60 d) 40 e) 11

a) é um número primo b) é um número par c) é maior que 150 d) é divisível por 11 e) é múltiplo de 14

7. Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua colmeia nos seguintes grupos para exploração ambiental: um composto de 288 batedoras e outro de 360 engenheiras. Sendo você a abelha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas de um mesmo e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas em:

GABARITO: 1.A 2.B 3.E 4.D 5.E 6.C 7.B 8.A 9.E 10.C 11.B 12.B Dicas: # Uma propriedade do mmc e o mdc diz: mmc(y, x) x mdc(y, x) = y.x # Quando dois ou mais números naturais são primos entre si (isso significa que o mdc entre eles é 1), o mmc entre eles será o resultado da multiplicação simples entre eles.

a) 8 grupos de 81 abelhas. b) 9 grupos de 72 abelhas. c) 24 grupos de 27 abelhas. d) 2 grupos de 324 abelhas. e) não redistribuiria.

4

FRAÇÃO (ter em mente que para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo) SOMA

1 2 [(1). 3 + (2). 2] 3 + 4 7 + = = = 2 3 6 6 6

1° 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜. 2° 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑜 𝑀. 𝑀. 𝐶. 3° 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑜 𝑀. 𝑀. 𝐶. 𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟. 4° 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟. 5° 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟.

2𝑥 3 [(2𝑥). 𝑦 + (3). 3] 2𝑥𝑦 + 9 + = = 3 𝑦 3𝑦 3𝑦

DIFERENÇA

1 2 [(1). 3 − (2). 2] 3 − 4 1 − = = =− 2 3 6 6 6

1° 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜. 2° 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑜 𝑀. 𝑀. 𝐶. 3° 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑜 𝑀. 𝑀. 𝐶. 𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟. 4° 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟. 5° 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟.

2𝑥 3 [(2𝑥). 𝑦 − (3). 3] 2𝑥𝑦 − 9 − = = 3 𝑦 3𝑦 3𝑦

PRODUTO

1 2 1. 2 2 1 . = = = 2 3 2. 3 6 3

1° 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠.

2𝑥 3 [(2𝑥). 3] 6𝑥 2𝑥 . = = = 3 𝑦 3𝑦 3𝑦 𝑦

2° 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠.

1 2 = 1 . 3 = 3.1 = 3 2 2 2 2.2 4 3 2𝑥 3 = 2𝑥 . 𝑦 = 2𝑥𝑦 3 3 3 9 𝑦

DIVISÃO 1° 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑎. 2° 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑜𝑠 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜.

FRAÇÕES GERATRIZES

0,2222 … =

𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑠ã𝑜 𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑧í𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠. (↔)

2 9

0,231313131 … =

229 990

0,278278278 … parte inteira: 0 | parte periódica: 278

1° CASO (DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES) 1° 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑒, 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑢𝑚 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 9 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟.

0,278278278 … =

279 999

1,2727272 … parte inteira: 1 / parte periódica: 27

2° 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎.

1,2727272 … = 1 +

2° CASO (DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS)

27 99 + 27 126 42 14 = = = = 99 99 99 33 11

0,2777 … =

1° 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑢𝑚 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 9 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟. 𝑀𝑎𝑠, 𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑢𝑚 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 0, 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚. 2° 𝐸𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝑓𝑎𝑧 − 𝑠𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎: 𝑎 − 𝑏

𝑎) 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 27 𝑏) 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 2 21,30888 … =

𝑎) 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜. 𝑏) 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜

27 − 2 25 5 = = 90 90 18

21308 − 2130 19178 9589 = = 900 900 450

𝑎) 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 21308 𝑏) 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 2130

FRAÇÃO MISTA 1° 𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 2° 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑎 − 𝑠𝑒 𝑎𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 . 𝑏 3° 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎: 𝑎 𝑐

5

4 5.3 + 4 19 3 = = 5 5 5 4 3

=

4 |3 → 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 −3 1 → 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 1 → 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟

=

1

1 3

Exercícios Propostos – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS QUESTÕES NÍVEL 1

QUESTÕES NÍVEL 2 1. Certo trabalho foi executado em três etapas. A primeira etapa consumiu 1/3 do tempo total e a segunda etapa teve a duração de 2/5 do tempo restante para a conclusão de todo o trabalho. Finalmente, a terceira etapa concluiu o trabalho e durou 96 dias. Desse modo, pode-se concluir que a segunda etapa durou, em dias:

1. Calcular a soma das frações: 1

3

3

2

a) 2 + 4 = b) 4 + 3 = 4

1

3 5

2 3

3

c) 7 + 2 + 2 =

a) 48 b) 60 c) 64 d) 144 e) 240

3 d) + + 2 = 3 3 e) 5 4 + 3 2 = 3 6 f) 4 + 3 = 2 3

2. Em uma população carcerária de 14 400 presos, há 1 mulher para cada 11 homens nessa situação. Do total das mulheres, 2/5 estão em regime provisório, correspondendo a: a) 840 b) 480 c)1.200 d) 640 e) 450

2. Calcular a diferença das frações:

3. A população de uma cidade é de 30 432 habitantes. Desse total, 5/8 são pessoas cuja idade é menor do que 30 anos completos. Também desse total, 7/12 são pessoas que frequentam algum tipo de escola. Nessa cidade, ninguém com 30 anos completos ou mais, frequenta qualquer tipo de escola. Sendo assim, o número de pessoas com menos de 30 anos completos e que não estão em qualquer escola é:

3 2 a) 4 − 4 = 4 1 b) 5 − 2 = 7 4 c) 2 − 3 − 5 = 7 1 d) − 2 + 2 − 2 = 3 1 e) −4 2 + 3 2 = 3 3 f) −5 − 3 = 4 2

a) 3804 b) 1268 c) 2536 d) 634 e) 17752 4. O combustível contido no tanque de uma “van” de transporte escolar ocupava 1/3 da sua capacidade total. Foram então colocados 20 litros de gasolina, e o combustível passou a ocupar 3/4 da capacidade desse tanque. Em seguida, o proprietário completou o abastecimento, enchendo totalmente o tanque com álcool. Para tanto, foram colocados, de álcool:

3. Calcular o produto das frações: 1

a) 2 𝑥 3

b) 4 𝑥 2

c) 3 𝑥 7

3 = 4 2 = 3 3 3 𝑥 2 5

d) 2 𝑥 (−2) 𝑥 3 e) −4 2 3 f) −5 4

a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 d) 20

= 1 2

5. Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma é igual a 500.

=

1 32 = 3 32 =

𝑥 𝑥

a) 140, 100, 240 b) 120, 100, 280 c) 160, 100 ,240 d) 140, 120, 240 e) 160, 120, 220

4. Calcular as divisões das frações: 1

3

a) 3 ÷ 2 = 4

3

b)3 ÷ 2 = 4 c)2

4 5

÷ ÷ 3

d) 25 + 6

3 e) 4 2

f)

3 2 5 − 3

−

2 −3 3

3 2 4 5

1

5

4

÷

1 32

2

−6 𝑥5 =

2 34

𝑥

=

3 2 5

= 2 3

3

4 3

÷ (3 + ) =

5. Transforme as dízimas em frações:

4

a) 0,333 … + 1,222 = b) 0,777 … − 2, 3̅ = c) 2,2323 … + 1,7171 … = d) 3,21333 … = e) 0,23444 … 𝑥 2,31444 … = f) 1,323̅ ÷ 1,235252 … =

5

1. C

6

GABARITO c d

e

f

83 30

41 4

8

−2

1

a

B

5 4

17 12

1 4

3 10

3 8

1 2

3 5

−

7 2

2 9

8 9

4 3

−

41 30

14 9 2. B

18 7

−

17 15

14 9

391 99

241 75

3. B

4. C

5. C

−

−

35 4

67 14 439513 810000

−

23 4

153 8

−

91 75

13101 12229

POTENCIAÇÃO (PROPRIEDADES) BASE ELEVADA A EXPOENTE PAR

22 = 2.2 = 4 (−3)4 = −3. −3. −3. −3 = 81 ≠ −34 = −81

1° 𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎.

BASE ELEVADA A EXPOENTE ÍMPAR

−23 = −(2.2.2) = −8 = (−2)3 = −2. −2. −2 = −8 −(3)5 = −(3.3.3.3.3) = −243

1° 𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎.

(−3)5 = −3. −3. −3. −3. −3 = −15 . 35 = −243 2° 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑛ã𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙.

BASE ELEVADA A EXPOENTE NEGATIVO

3 −2 3 2 32 9 ( ) = ( ) = ( 2) = 2 2 2 4

1° 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒 − 𝑠𝑒 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟.

(−1)2 1 2 1 12 1 (−5)−2 = (− ) = ( )= 𝑜𝑢 ( )= 5 25 25 5² (−5)²

BASE ELEVADA A EXPOENTE RACIONAL

1

32 = √3

1° 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑒𝑟á 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜) 𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑟á 𝑜 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒.

2

3

3 3 3 3 3 3 3 3 √3² √9 √9 √2 √18 √2 √36 ( ) =3 =3 = 3 .3 = 3 .3 = 4 4 √4² √16 2√2 √2 2. √4 √2

2° 𝑓𝑎ç𝑎 𝑎 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜.

PRODUTO DE MESMA BASE 23 . 2−2 . 2.1 = 23−2+1+0 = 22 1° 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.

DIVISÃO DE MESMA BASE

23 . 2² 23+2 25 = −3+1 = −2 = 25−(−2) = 27 = 128 −3 2 .2 2 2

1° 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟 𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.

POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA

2

(2³)2 = 23.2 = 26 ≠ 23 = 23.3 = 29

1° 𝑐𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑢𝑚 𝑝𝑎𝑟ê𝑛𝑡𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑧 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎

PRODUTO DE BASES DIFERENTES COM MESMO EXPOENTE

23 . 33 = (2.3)3 = (6)3 = 6.6.6 = 216 182 = (2.3.3)2 = 22 . 32 . 33 = 4.9.9 = 4.81 = 324

1° 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚.

DIVISÃO DE BASES DIFERENTES COM MESMO EXPOENTE

4³ 4 3 = ( ) = 23 = 8 2 2³

1° 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚.

EXPOENTE DE BASE ZERO

032 = 0 0 0−13 = 13 = → 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 0 0 00 → 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 013

1° 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜𝑠𝑜, 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠.

7

Exercícios Propostos – POTENCIAÇÃO 1 1. Calcular:

2. Calcular:

3. Calcular:

a) (−3)2 = b) −3² = 1 c) (− ) ² =

a) (−3)3 = b) −3³ = 1 c) (− ) ³ =

a) (−3)−2 = b) −3−3 =

d)

d)

d)

3 −1²

=

3²

1 −2

c) (− )

3 −1³

=

3³

3 −1−3 = (3)−3 −2−3 =

=

e) −24 = f) (−2)4 =

e) −25 = f) (−2)5 =

e) f) (−2)−3 =

4. Calcular:

5. Calcular:

6. Calcular:

1

a)

a) (−3)3 = 1 3

b) −3 =

b)

1 3

1

c) (− ) =

c)

3

d)

1 −13 1 (3)3 1 5

d)

=

e)

e) −2 = 1

42 34 4 2 32 33 53 33 55 53 43

= =

54 4 5 6−2 34 23 63 3−1 24 4−4 37 45 54

1 42

=

=

4 3 35 4 2 24

a) 22 . 32 = b) 24 . 34 = c) 43 . 53 = d) 35 . 45 . 55 = e) 44 . 54 . 44 . 24 = f) 33 . 43 . 53 . 73 =

=

9. Calcular:

f) (−2)5 =

f)

7. Calcular:

8. Calcular:

a) 52 . 5³ = b) 32 . 3−2 . 33 =

a) 23 = −2 b) 3(2) =

=

2−2 53 4 2

a) 22 ÷ 32 = b) 24 ÷ 34 = c) 43 ÷ 53 = d) 35 ÷ 45 . 55 = e) 44 ÷ 54 ÷ 44 ÷ 24 = f) 33 ÷ 43 ÷ 53 ÷ 73 =

2

1

(−2)2

c) 42 . 23 = d) 33 . 9−2 =

c) (−3)2 d) 4

1

e) 33 . 92 = f) 42 . 43 . 4−7 =

3 −2(2) 1 −

e) 23 2 . (2)4 f)

2 43

2

=

= 1 3

−

=

−3 . (−4)−4

=

Exercícios Propostos – POTENCIAÇÃO 2

1. Depois de simplificar

2𝑛+4 −2.2𝑛 2.2𝑛+3

encontramos:

1

7

8

8

a) 2𝑛+1 − b) −2𝑛+1 c) 1 − 2𝑛 d)

6. O valor da expressão:

e) n.d.a.

2. Se 2𝑥 + 2−𝑥 = 3, o valor de 8𝑥 + 8−𝑥 é:

1 27.10−6 3 ) 64 −2 2 (16 +12²).5²) [ 2 ] (3 +4²).10

(

é:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

a) 12 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27 7. Se 53a = 64, o valor de 5-a é:

3. Sabendo que (𝑎 + 𝑏) = 𝑎 + 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏 e que 2

𝐴=

3𝑥 +3−𝑥

vale:

2

e𝐵=

3𝑥 −3−𝑥 2

2

2

a) –1/4 b) 1/40 c) 1/20 d) 1/8 e) ¼

, então, para x real, 𝐴2 − 𝐵2

a) 0 b) 1 c) -1 d) -2 e) 2 2

2

2

2

4. Calcule: . 83 − . 8−3 é igual a:

8. (FUVEST) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é:

a) 2,5 b) 0 c) 2³ d) 1 e) -1

a) 0,0264 b) 0,0336 c) 0,1056 d) 0,2568 e) 0,6256

3

3

1 0,5

5. O valor da expressão: ( ) 4

1

:( )

0,2

32

é:

a) 0,125 b) 0,25 c) 0,5 d) 0,75 e) 1

GABARITO: 1.D 2.B 3.B 4.A 5.E 6.B 7.E 8.B 8

RADICIAÇÃO (PROPRIEDADES) DEFINIÇÃO

3

4

√2 3 = 2 4

Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela é utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário.

1

𝑚

𝑛

√5 = 52 → √𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛

DIFERENÇA ENTRE ÍNDICE PAR E ÍMPAR

Quando par:

O índice de uma raiz 𝑛 (𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ )quando par, gera um 𝑏 ∈ 𝐼𝑅+ 𝑐𝑜𝑚 um radicando 𝑎 também ∈ 𝐼𝑅+ . Quando ímpar o radicando 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, gerando dessa forma um 𝑏 ∈ 𝐼𝑅.

2

√64 = 8 𝑒 √−2 = ∄ Quando ímpar:

Observe os exemplos →

3

3

√27 = 3 𝑒 √−27 = −3

ÍNDICE DO RADICAL = AO GRAU DO RADICANDO

46

46

√423 = 46√(22 )23 = √246 = 2

Se o radical possuir índice igual ao expoente do radicando, a raiz será igual à base do radicando.

7 1 7 1 √−9−7 = √(− ) = − 9 9

7

𝑛

√𝑎𝑛 = 𝑎, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∈ 𝐼𝑅+ 𝑠𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁 ∗ . √𝑎𝑛 = 𝑎, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 𝑠𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁 ∗ .

𝑛

PRODUTO DOS ÍNDICES

4

A raiz não sofre alteração se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo valor.

2.2

2

4 4 4 4 4 √2 + √4 = √2² + √4 = √4 + √4 = 2√4

O quociente também é valido:

𝑛.𝑝

𝑛

√𝑎 𝑚 = √𝑎𝑚.𝑝 , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ≠ 0, 𝑛, 𝑚 𝑒 𝑝 ∈ 𝐼𝑁 − {0,1} 𝑝 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑒 𝑛 𝑒 𝑚.

4

4÷2

3

3

3

√2. √4 = √8 = 2

𝐴 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠.

4

4 4 √5. √125 = √5.5³ = √54 = 5

4

3

3

3

3

√3. √−9 = √(3). (−9) = √−27 = −3

√𝑎 √𝑏 = √𝑎. 𝑏, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ 𝐼𝑅+ 𝑠𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁 ∗ . 𝑛 𝑛 𝑛 √𝑎 √𝑏 = √𝑎. 𝑏, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ 𝐼𝑅 𝑠𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁 ∗ . 𝑛

2

√56÷2 = √53 = 52 . 2√5

√56 →

PRODUTO DE RADICAIS DE MESMO ÍNDICE

𝑛

8

4.2

√56 → √56.2 = √512

𝑛

QUOCIENTE DE RADICAIS DE MESMO ÍNDICE

3

8 2 √8 √ →3 = 27 √27 3

3

entre as raízes n-ésimas. A raiz n − ésima de um quociente (divisão)de a por b é igual ao 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠.

4

81 3 √81 √ → = 256 4√256 4

4

𝑎 𝑛√𝑎 √ = 𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝐼𝑅+ , 𝑏 ∈ 𝐼𝑅+∗ 𝑠𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁 ∗ 𝑏 √𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 √𝑎 √ = 𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, 𝑏 ∈ 𝐼𝑅 ∗ 𝑠𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁 ∗ 𝑏 √𝑏 𝑛

2

1 √1 1 √ → = 4 √4 2

2

RAIZ M-ÉSIMA DE UMA RAIZ N-ÉSIMA

2

√ 2√16 = 2.2√16 = 4√16 = 4√24 = 2

Multiplicamos os índices entre si mantendo intacto o radical interno.

3 2 𝑚 𝑛

√ √𝑎 =

𝑚 𝑛

√ √𝑎 =

√ √64 = 3.2√64 = 6√64 = 6√26 = 2

𝑚.𝑛

√𝑎, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝐼𝑅+ 𝑠𝑒 𝑛. 𝑚 (𝑝𝑎𝑟) ∈ 𝐼𝑁 ∗

𝑚.𝑛

√𝑎, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 𝑠𝑒 𝑛. 𝑚 (í𝑚𝑝𝑎𝑟) ∈

3

√ 3√−512 = 3.3√−512 = 9√(−2)9 = −2

𝐼𝑁 ∗

9

Exercícios Propostos – RADICIAÇÃO 1 1. Calcular:

2. Calcular:

3. Calcular:

a) √64 = 2 b)√8 = 4 c) √256 = 6 d) √(−64) = 2 e) √324 = 2 f) √529 =

a) √−64 = 3 b) √8 = 5 c) √−243 = 3 d) √−512 = 5 e) √1024 = 3 f) √−343 =

a) √44 = 2 b) √252 = 3 c) √(−3)6 = 6 d) √43 = 6 e) √499 = 4 f) √(−8)8 =

4. Calcular:

5. Calcular:

6. Calcular:

a) √125. √64 = 4 4 b) √7. √343 = 5 5 5 c) √9. √16. √25 = 6 6 6 d) √4. √4. √4 = 5 5 5 5 e) √4. √5. √50. √100 = 3 3 3 6 f) √3. √9. √27. √64 =

a) √125 ÷ √64 = 4 4 b) √7 ÷ √343 = 5 5 5 c) √9 ÷ √16 ÷ √25 = 6 6 6 d) √4 ÷ √4 ÷ √4 = 5 5 5 5 e) √4 ÷ √5 ÷ √50 ÷ √100 = 3 3 3 6 f) √3 ÷ √9 ÷ √27 ÷ √64 =

2 a) √ √16 =

3

3

3

3

4

3

2

3

3 b) √ √(−512) = 2

2 2 c) √ √ √6561 = 2

2

2 2 d) √13 + √7 + √2 + √4 = 2

3 e) √ √15625 = 4 2 f) √ √256 =

Exercícios Propostos – RADICIAÇÃO 2 8 3

6. A expressão

1. O valor de (√ √2 √2) é: 2

3

√4−1

3

√2−1

é igual a:

a) 1 + √2 b) 1 − √2 d) 1 + √4 e) 1 − √4 3

3

3

3

3

3

a) 2√22 b) 26 √22 c) 2 d) 4 e) 8 7. Qual é o valor da expressão

2. O número √18 − √8 − √2

8. Assinale a alternativa verdadeira:

3. O quociente (7√3 − 5√48 + 2√192) ∶ 3√3 é igual a: √3 3

4. Subtraindo-se

8−3√7

𝑑𝑒

12 √7+3

𝑛

obtém-se:

9. Se 𝐴 =

a) 81 − 4√7 b) 22 + 21√7 c) −22 − 21√7 d) 41√7 − 81

12

4

12

a) √𝑎 b) √𝑎7 c) √2𝑎 d) √𝑎3 + 𝑎4 7

7

1

1 3

√10

,𝐵 =

1 2

√10

a) 𝐷 < 𝐵 < 𝐶 < 𝐴 b) 𝐵 < 𝐷 < 𝐶 < 𝐴 c) 𝐵 < 𝐴 < 𝐷 < 𝐶 d) 𝐵 < 𝐴 < 𝐶 < 𝐷 e) 𝐴 < 𝐶 < 𝐷 < 𝐵

5. A soma √𝑎 + √𝑎 é igual a: 3

1

a) √𝑎 + 𝑏 = 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 , 𝑎 > 0, 𝑏 > 0. b) (𝑎. 𝑏 𝑚 )𝑝 = 𝑎. 𝑏 𝑚.𝑝 , 𝑎 ≠ 1 c) 𝑎𝑚 + 𝑎−𝑚 = 1, 𝑎 > 0 d)𝑎𝑛 . 𝑏 𝑚 = (𝑎. 𝑏)𝑛+𝑚 , 𝑎 ≠ 1, 𝑏 ≠ 1 𝑚 𝑛 𝑚.𝑛 e) √ √𝑎 = √𝑎, 𝑎 > 0

d) 2 e) 1 5

√3−1

+

a) √3 b) 4 c) 3 d) 2 e) √2

a) √8 b) 4 c) 0 d) √10 − √2 e) √18 − √6

a) 3√3 b) 2√3 c)

√3+1

GABARITO: 1.D 2.C 3.E 4.C 5.E 6.A 7.B 8.E 9.B

10

1

1

,𝐶 = 3 𝑒 𝐷 = 𝜋

√3−1 √3+1

PRODUTOS NOTÁVEIS

DEFINIÇÃO

(𝑎 + 2). (𝑎 + 2) = (𝑎 + 2)2 (𝑏 − 3). (𝑏 − 3) = (𝑏 − 3)2

Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos.

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS Quadrado: 2 Soma de dois termos: Logo,

(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 + 𝑏) 𝑎2 + 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑎 + 𝑏 2

𝑎+𝑏

𝑎2 + 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏 2

(𝑎 + 𝑏)2

QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS Quadrado: 2 Diferença de dois termos: Logo,

(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 − 𝑏) 𝑎2 − 𝑎. 𝑏 − 𝑏. 𝑎 + 𝑏 2

𝑎−𝑏

𝑎2 − 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏 2

(𝑎 − 𝑏)2

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

(𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 2

𝑎 − 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑎 − 𝑏 2 =

Soma de dois termos: 𝑎 + 𝑏 Diferença de dois termos: 𝑎 − 𝑏

𝑎2 − 𝑏 2

Logo, (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏)

QUADRADO DA SOMA ENTRE 3 TERMOS Quadrado: 2 Soma de 3 termos:

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐). (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑎 + 𝑏 2 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏 + 𝑐 2

𝑎+𝑏+𝑐

𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2. 𝑎𝑏 + 2. 𝑎𝑐 + 2. 𝑏𝑐

Logo, (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 TRIÂNGULO DE PASCAL

1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 …

Eis o motivo de não termos visto o cubo da diferença ou mesmo o cubo da soma ou até mesmo graus maiores que 3. Como assim? Bom, aqui será visto um método bastante interessante para resolução de qualquer produto notável. Note ao lado o famoso Triângulo de Pascal. # Inícios e finais de linhas, sempre terminado pelo algarismo 1.

1 3 1 6 4 1 10 10 5 1 15 20 15 6 1

→ (𝑎 + 𝑏)0 → (𝑎 + 𝑏)1 → (𝑎 + 𝑏)2 → (𝑎 + 𝑏)3 → (𝑎 + 𝑏)4 → (𝑎 + 𝑏)5 → (𝑎 + 𝑏)6 → (𝑎 + 𝑏)𝑛

(𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5. 𝑎4 . 𝑏1 + 10. 𝑎3 . 𝑏 2 + 10. 𝑎2 . 𝑏 3 + 5. 𝑎1 . 𝑏 4 + 𝑏 5

# Como usar o triângulo? Em sala!

11

Exercícios Propostos – PRODUTOS NOTÁVEIS

1. Qual o valor de m de modo que o desenvolvimento de (𝑥 𝑚 + 𝑦)² seja um polinômio de 10º grau em x:

8. Sabendo-se que 10947836² = x² + y² , o valor de 10947839 · 10947833 é: a) x + y b) x² − y² c) x² + y² − 9 d) √𝑥 2 + 𝑦 2

a) 10 b) 5 c) 3 d) 2 e) 6

9. A soma dos valores absolutos dos algarismos do produto 1000100 × 999900 vale:

2. Qual deve ser o valor de m de modo que 𝑥 4 + 4𝑥² + 𝑚 seja o quadrado de uma soma em que 4𝑥² é o duplo produto dos termos desta soma?

a) 2 b) 9 c) 38 d) mais do que 40 10. Se a² + b² = x e ab = y, então (a + b)² é igual a:

a) 4 b) 2 c) 4x³ d) 2x e) 4x 3. Sabendo-se que 9𝑥 4 + 𝐵𝑥 + 4𝑥² é um trinômio quadrado perfeito, então B pode ser igual a:

a) x² b) x + y c) x − 2y d) x² + 2y e) x + 2y 11. Se x + 1/x = 3, então o valor de x³ + 1/x³ é:

a) −12x³ b) 12x³ c) −12x² d) 0 e) 12x

a) 9 b) 18 c) 27 d) 54

4. No desenvolvimento de (2x + A)² = B − 12xy² + C, temos:

12. Se a + 1/a = 5, o valor de a² + 1/a² é:

a) A = 3y³ , B = 4x² e C = 9𝑦 9 b) A = −3y³ , B = −4 x² e C = 9𝑦 6 c) A = 3y³ , B = 4x² e C = 9𝑦 6 d) A = −3y³ , B = 4x² e C = 9𝑦 6

a) 27 b) 25 c) 23 d) 21

5. Que termo devemos adicionar à expressão 4𝑥 8 − 6𝑥 4 𝑦 + 9𝑦 2 para que ela represente o quadrado de uma soma?

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6

13. Se m² + 1/m² = 18, então o valor de m – 1/m é:

2

14. Sabendo que a² + b² = 13 e que 3ab = −4, calcule o valor de (a + b)².

a) 6𝑥 4 𝑦 b) 12𝑥 4 𝑦 c) 18𝑥 4 𝑦 d) 24𝑥 4 𝑦

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Para que a igualdade (x + 3b²)² = 16𝑎6 + 𝑦 + 𝑧 se verifique, podemos ter:

15. Marque a opção FALSA:

a) x = 4𝑎6 , y = 12𝑎3 𝑏² e z = 6𝑏 4 b) x = 4𝑎3 , y = 12𝑎3 𝑏² e z = 9𝑏 4 c) x = 4𝑎3 , y = 24𝑎3 𝑏² e z = 6𝑏 4 d) x = 4𝑎3 , y = 9𝑏 4 e z = 24𝑎3 𝑏² 7. As expressões 𝐴 = 36𝑥 10 + 36𝑥 5 , 𝐵 = 2𝑦14

𝑥6 4

a) (a + b)² = a² + 2ab + b² b) a² − b² = (a − b)(a + b) c) a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) d) a² + b² = (a + b)² − 2ab e) a³ + b³ = (a + b)(a² − 2ab + b²) − 16. Efetuando-se (579865)² - (579863)², obtém-se

6𝑥 𝑒 𝐶 = 25𝑥 + 20𝑥𝑦 tornam-se trinômios quadrados perfeitos se a eles adicionarmos, respectivamente, os números a, b e c. Então podemos afirmar que a soma a + b + c é: 3

7

a) 4 b) 2 319 456 c) 2 319 448 d) 2 086 246 e) 1 159 728

a) Zero b) Um número primo c) Um número par d) Quadrado de um número natural

GABARITO: 1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.D 7.D 8.C 9.D 10.E 11.B 12.C 13. C 14.A 15.E 16.B

12