MAT1_3002 CONJUNTOS NUMERICOS 2020

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02

CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS

CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS Para obtermos o conjunto dos números naturais, começamos por zero e acrescentamos sempre uma unidade para encontrar os outros elementos.  = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} O conjunto dos números naturais é infinito por isso utilizamos as reticências. Quando utilizamos o asterisco(*), estamos excluindo o zero do conjunto, ou seja: * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Pertencem ao conjunto dos números inteiros todos os elementos do conjunto dos Naturais e acrescenta-se o elemento oposto a cada um dos elementos de . O conjunto dos inteiros é representado pela letra .  = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

MATEMÁTICA I

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Os números que podem ser expressos sob a forma de fração m , com m e n inteiros e n não nulo, são chamados de números n racionais. O conjunto dos racionais pode ser representado por:

m  ={x | x = , com m∈   e  n ∈ * } n Pode-se afirmar que o conjunto dos racionais é formado por números fracionários, decimais exatos, dizimas periódicas e números inteiros.

DÍZIMAS PERIÓDICAS: Dízimas são números decimais em que, a partir de alguma casa decimal, um algarismo ou grupo de algarismos passa a se repetir infinitamente. Exemplo:

Atenção!

•

3,141414141414...=3,14

•

•

0,135777777777...= 0,1357

•

2,728368368368...= 2,72836

Números inteiros não nulos  = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} *

•

Números inteiros não positivos - = {..., -3, -2, -1, 0}

•

Números inteiros negativos - = {..., -3, -2, -1} *

•

Números inteiros não negativos + = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = 

•

Esses números são Números Racionais porque podem ser colocados em forma de fração. Essas frações que geram as dízimas periódicas são chamadas de Fração Geratriz.

FRAÇÃO GERATRIZ

Números inteiros positivos +* = {1, 2, 3, 4, ...} = *

Graficamente podemos representar o conjunto dos inteiros da seguinte forma: Exemplo:

O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros. ( ⊂ )

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02 CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS

INTERVALOS REAIS

PROEXPLICA •

Todo racional possui um oposto e um simétrico.

•

Entre dois números racionais distintos sempre existe um outro número racional.

•

O conjunto dos números naturais e dos inteiros são subconjuntos de .

O subconjunto dos números reais, desigualdades é chamado de intervalo.

determinado

por

Assim, podemos ter intervalos como:

Intervalo aberto

Os extremos a e b não pertencem ao intervalo. •

Outras maneiras de representar esse intervalo são:

]a, b[ ou (a, b) {x ∈  / a < x < b} Exemplo:

⊂⊂

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS • •

 ={x ∈  / x ∉  }

B = {x ∈  / 1 < x < 5}

B = ]1, 5[ ou (1, 5)

Intervalo fechado

São todos os números que não podem ser colocados em forma de fração. Os extremos a e b pertencem ao intervalo.

•

Dízimas não periódicas

•

Raízes não inteiras:

•

Números Transcendentes: π, φ, e, ...

2,

5 ,...

Números irracionais são números que possuem uma representação infinita e não periódica. Exemplo:

Outras maneiras de representar esse intervalo são: [a, b] {x ∈  / a ≤ x ≤ b} Exemplo: A = {x ∈  / 1 < x < 5}

π = 3,1415926...

5 = 2,236067...

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS () O conjunto dos números reais é a união dos racionais com os irracionais.

A = [1, 5]

Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita (ou simplesmente intervalo semiaberto à direita) Apenas o extremo a pertence ao intervalo. Outras maneiras de representar esse intervalo são: [a, b[ ou [a, b) {x ∈  / a ≤ x < b} Exemplo: C = {x ∈  / 1 ≤ x < 5}

Representando graficamente:

Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita (ou simplesmente intervalo semiaberto à esquerda) Apenas o extremo b pertence ao intervalo. Outras maneiras de representar esse intervalo são: ] a, b] ou (a,b] {x ∈  / a < x ≤ b}

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02 CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS Exemplo:

EXERCÍCIOS

D = {x ∈  / 1 < x ≤ 5}

PROTREINO 01. Obtenha a fração geratriz da dízima periódica 5,646464... .

D = ]1, 5] ou (1, 5]

02. Determine o menor número que pertence ao conjunto abaixo: A ={x ∈  / x > -5}

PROEXPLICA

03. Escreva dois números racionais compreendidos entre 2 e 3 . [a, + ∞[ ou [a,+ ∞) ] -∞, b [ ou (-∞,b)

Sempre usaremos “aberto” quando o intervalo apresentar “infinito”

04. Marque as sentenças corretas: ( ) Todo número inteiro é natural; ( ) Toda dízima não periódica é um número irracional; ( ) O produto de quaisquer dois números inteiros sempre será um número natural; ( ) O inverso de um número irracional é um número irracional; ( ) Números reais são somente aqueles que podem ser representados pela razão entre dois números inteiros; 05. Dados os intervalos A = [4, 12] e B = ]9, 19[, determine:

OPERAÇÕES COM INTERVALOS

a) A ∪ B=

b) A ∩ B =

c) A – B =

d) B – A =

Intersecção Se A = {x ∈  / 2 < x ≤ 6} e B = {x ∈  / 4 ≤ x < 8}, determine a A ∩ B.

EXERCÍCIOS

PROPOSTOS 01. De acordo com os conjuntos numéricos, analise as afirmativas abaixo: I.

Todo número natural é inteiro.

II. A soma de dois números irracionais é sempre irracional. Logo A ∩ B = { x ∈  / 4 ≤ x ≤ 6 }

União Se A= {x ∈  / 2 < x ≤ 6 } e B= {x ∈  / 4 ≤ x < 8 }, determine A ∪ B.

III. Todo número inteiro é real. IV. Todo número racional é inteiro. São verdadeiras as afirmativas a) I e II.

b) I e III.

c) I e IV.

d) II e III.

e) III e IV.

02. Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de

1 3 5 , e . 2 8 4

Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos A ∪ B = {x ∈  / 2 < x < 8}

Subtração Se A = {x ∈  / -2 < x ≤ 4} e B = {x ∈  / 1 < x < 8}, determine A - B

a)

1 3 5 , , . 2 8 4

c)

5 3 1 , , . 4 8 2

b)

1 5 3 , , . 2 4 8

d)

3 5 1 , , . 8 4 2

e)

3 1 5 , , . 8 2 4

03. Se colocarmos os números reais  5 , 1,  3 e 3 em ordem 5 8 decrescente, teremos a sequência: a)

3 3 , 1,  ,  5 8 5

3 3 , 1,  5 ,  8 5 3 3 c) 1, ,  ,  5 8 5 b)

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d) 1,

3 3 ,  5,  8 5

3 3 5 8

e)  5 , 1,  ,

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02 CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS

04. No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado, No início do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um jogador são como no esquema:

d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre um intervalo numérico. e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um conjunto vazio. 11. (Uece 2019) Seja U o conjunto de todos os números inteiros positivos menores do que 200. Se X2= {n ∈ U tal que n é múltiplo de 2}, X3= {n ∈ U tal que n é múltiplo de 3} e X5= {n ∈ U tal que n é múltiplo de 5},

então, o número de elementos de X2 ∪ X3 ∪ X5 é a) 140

b) 135

c) 150

d) 145

e) 155

12. (Uece 2018) A quantidade de números inteiros positivos n, que 3 n 2 satisfazem a desigualdade: < < é 7 14 3 a) 2 Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa? a) 9

b) 7

c) 5

d) 4

e) 3

05. Em nossos trabalhos com matemática, mantemos um contato permanente com o conjunto  dos números reais, que possui, como subconjuntos, o conjunto  dos números naturais, o conjunto  dos números inteiros, o  dos números racionais e o dos números irracionais . O conjunto dos números reais também pode ser identificado por a)

∪

b)

∪

c)

d)

∪

∪

e)

∪

06. Considerando os intervalos de números reais, o resultado de ]5, 7] ∩ [6, 9] é a) ]5, 9]

b) Ø

c) [6, 7[

d) {6}

e) {7}

07. Define-se o comprimento de cada um dos intervalos [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como sendo a diferença (b – a). Dados os intervalos M = [3, 10], N = ]6, 14], P = [5, 12[, o comprimento do intervalo resultante de (M ∩ P) ∪ (P – N) é igual a: a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

08. Se x e y são números reais que satisfazem, respectivamente, às desigualdades 2 ≤ × ≤ 15 e 3 ≤ y ≤ 18, então todos os números da forma x/y possíveis, pertencem ao intervalo a) [5, 9]

d) [

2 5 b) [ , ] 3 6

c) [

1 , 5] 9

e) [1, 2]

09. Define-se a amplitude d do intervalo [a, b] como sendo o número d = b - a, então a amplitude de [-1, 7] ∩ [1, 9] ∩ [0, 8] é: b) 5

c) 6

d) 7

10. Assinale a alternativa verdadeira. a) {1, 2, 4, 6, 7} = [ 1, 7]. b) Se C = ] –1, 3] , então -1 ∉ C, mas 3 ∈ C. c) Se D = [2, 6], então 2 ∈ D, mas 6 ∉ D.

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c) 4

d) 5

e) 6

13. (ENEM 2018) Um edifício tem a numeração dos andares iniciando no térreo (T), e continuando com primeiro, segundo, terceiro, …, até o último andar. Uma criança entrou no elevador e, tocando no painel, seguiu uma sequência de andares, parando, abrindo e fechando a porta em diversos andares. A partir de onde entrou a criança, o elevador subiu sete andares, em seguida desceu dez, desceu mais treze, subiu nove, desceu quatro e parou no quinto andar, finalizando a sequência. Considere que, no trajeto seguido pela criança, o elevador parou uma vez no último andar do edifício. De acordo com as informações dadas, o último andar do edifício é o a) 16º

b) 22º

c) 23º

d) 25º

e) 32º

14. (CMRJ 2018) O valor da expressão 37 × (0,243243243... ÷ 1,8) + 0,656565... × 6,6 é 3 11 × (1,353535... − 0,383838...) 8 a) 4,666666

c) 4,333333

b) 4,252525

d) 4,25

e) 4,5

15. (Unicamp 2018) Considere três números inteiros cuja soma é um número ímpar. Entre esses três números, a quantidade de números ímpares é igual a a) 0 ou 1.

c) 2 ou 3.

b) 1 ou 2.

d) 1 ou 3.

e) 2 ou 4.

16. Antes de uma eleição para prefeito, certo instituto realizou uma pesquisa em que foi consultado um número significativo de eleitores, dos quais 36% responderam que iriam votar no candidato X; 33% no candidato Y e 31% no candidato Z. A margem de erro estimada para cada um desses valores é de 3% para mais ou para menos. Os técnicos do instituto concluíram que, se confirmado o resultado da pesquisa,

3 , 6] 2

a) 4

b) 3

e) 8

a) apenas o candidato X poderia vencer e, nesse caso, teria 39% do total de votos. b) apenas os candidatos X e Y teriam chances de vencer. c) o candidato Y poderia vencer com uma diferença de até 5% sobre X. d) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de, no máximo, 1% sobre X. e) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de até 5% sobre o candidato Y.

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02 CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS 17. Considere , os seguintes conjuntos numéricos , , , ,  =  –  e considere também os seguintes conjuntos:

EXERCÍCIOS DE

APROFUNDAMENTO

A = ( ∪ ) – ( ∩ )

05.

D = ( ∪ ) ∪ ( – )

01. (UFRJ 2002) Sejam x = 1 e y = 0,999... (dízima periódica). Quais das afirmações a seguir são verdadeiras?

B =  – ( – )

Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertencem aos conjuntos A, B e D, nesta ordem, é a) -3; 0,5 e

5 2

b)

20; 10; 5

c)

− 10; − 5  e  2

d)

3 ; 3 e 2, 31 2

18. Sobre os números

xy x=y Justifique rigorosamente sua resposta. 02. (UFPE 2003) Seja A/B, com A e B inteiros primos entre si, a fração geratriz da dízima periódica 4,373737.... Indique a soma dos algarismos de A.

25 36 ,  e   17 afirma-se que 3 5

03. (CFTCE 2005) A expressão

5+

a) pertencem ao conjunto dos números naturais.

1 2+

b) pertencem ao conjunto dos números inteiros. c)

25 36 < < 17 3 5

d)

36 25 17 < < 5 3

36 < 17 < 25 e) 5 3 19. (UPF 2018) Considere os seguintes conjuntos de números reais: A ={x ∈  : 4 − 3x ≥ 6} e B ={x ∈  : x2 > 2x − 8} Qual dos conjuntos abaixo representa o conjunto A ∩ B?

a)  − 2 , + ∞     3 

representa uma fração

1

1+

1 3

a . Calcule a + b. b

04. (UFRJ 2007) O professor escreveu no quadro-negro: DESAFIO: Qual é o maior:

3

1800 ou 12,34?

05. (PUCRJ 2008) A figura a seguir representa uma região de ruas de mão única. O número de carros se divide igualmente em cada local onde existam duas opções de direções, conforme a figura:

b)  −∞, 2  3  c)  −∞, − 2   3   d)  e) ∅

20. (ENEM 2018) Em um aeroporto, os passageiros devem submeter suas bagagens a uma das cinco máquinas de raio-X disponíveis ao adentrarem a sala de embarque. Num dado instante, o tempo gasto por essas máquinas para escanear a bagagem de cada passageiro e o número de pessoas presentes em cada fila estão apresentados em um painel, como mostrado na figura. Se 320 carros entram em A, quantos deixam a saída B?

Um passageiro, ao chegar à sala de embarque desse aeroporto no instante indicado, visando esperar o menor tempo possível, deverá se dirigir à máquina a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

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02 CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS

GABARITO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. B

05. E

09. C

13. C

17. D

02. E

06. C

10. B

14. E

18. D

03. C

07. C

11. D

15. D

19. C

04. E

08. D

12. B

16. D

20. B

EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 01. x = y

02. 10

03. 70

04.

3

1800

05. 120

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ANOTAÇÕES

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