CUADERNO CALCULO INTEGRAL UNIDAD 2

SAVE OFFLINE

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE NUEVO LEÓN PLANTEL SALINAS VICTORIA

CUADERNO DE TRABAJO DE: CALCULO INTEGRAL AGOSTO 2020 -ENERO 2021

UNIDAD 2

NOMBRE DEL ALUMNO: ______________________________________ GRUPO: _____ N° DE MATRÍCULA_____________________________ NOMBRE DEL MAESTRO(A): _________________________________

SECUENCIA DIDÁCTICA NO.3 Tratamiento analítico de las integrales definida e indefinida y uso intuitivo delos procesos infinitos y las situaciones límite. (Integración por partes.)

Aprendizajes Esperados: : Obtiene la integral de productos de funciones (algebraicas con trigonométricas, logarítmicas y exponenciales

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: 2. Formula y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Disciplinar:

Genéricas:

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

PRODUCTO ESPERADO: Obtiene la integral de productos de funciones (algebraicas con trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________

APERTURA Actividad 1. Dada la siguiente integral

∫ 5𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

Integrando: _______________________

identifica sus elementos

Diferencial:____________________________

¿Se puede resolver el integrando? ___________ ¿Por qué? ________________________________

¿Aparecen funciones parciales?_________ ¿Cuál? ________________________________________

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ DESARROLLO Actividad 2. Lee el tema “Integración por partes” y subraya lo más importante y copia el ejemplo del video. INTEGRACIÓN POR PARTES Cuando fracasa la integración por sustitución, se intenta una doble sustitución, conocida como integración por partes. Este método se basa en la integración de la fórmula de la derivada del producto de dos funciones. Se usa para integrar un gran número de integrales no inmediatas que se plantean como funciones algebraicas, logarítmicas y trigonométricas inversas.

dy  dy dy  u ( x) v( x)  v( x) u ( x)  dx  dx dx 

Sea u  (x) y v  v(x) . Entonces

y mediante la integración de ambos miembros de esta ecuación, se obtiene y en forma simbólica la integración por partes de integrales indefinidas:

 udv  uv   vdu Procedimiento para integrar por partes: 1.-

Dada la integral

u

 udv , se seleccionan

u

y

dv .

dv debe ser un término que se pueda integrar fácilmente.

2.-

La función

debe ser derivable y

3.-

En la fórmula de integración por partes se sustituyen los datos obtenidos del paso anterior, considerando que

 vdu

no debe ser más complicada que la integral original

 udv .

En la integración por partes, se usa generalmente para resolver integrales en las que el integrando está formado por productos y/o cocientes de diversas funciones, tales como: 

Función algebraica con algebraica.



Función algebraica con exponencial.



Función algebraica con logarítmica.



Función algebraica con trigonométrica.

Función

TIPOS DE FUNCIONES Ejemplos

Algebraica

𝑥 3 , 𝑥 2 , 2𝑥 + 10, 𝑥, etc.

Exponencial

73𝑥 , 𝑒 5𝑥 , 9−4𝑥 , 𝑒 5 , etc.

Logarítmica

ln(3𝑥 − 1), ln(𝑥) , 𝑙𝑛√(4 − 𝑥), 𝑒𝑡𝑐.

Trigonométrica

Sen(2𝑥), Cos(5𝑥), Tan(

2

2𝑥 ), 3

𝑆𝑒𝑛√𝑥 , etc.

En este método de integración, en ocasiones es necesario aplicar varias veces la integración por partes, es decir realizamos una iteración de este procedimiento. Enseguida se muestran el procedimiento para resolver algunos ejemplos de cómo resolver las integrales, donde el integrando está formado por alguna de las combinaciones anteriores.



Integración por partes de función Algebraica con Algebraica.

a) ∫ 𝑥 √1 Paso 1 y 2 𝒖=𝒙

1

− 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(1 − 𝑥)2 𝑑𝑥  udv  uv   vdu

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = √1 − 𝑥 𝑉 = ∫(1 −

𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

Ejemplos:

1 𝑥)2 𝑑𝑥

𝑢 =1−𝑥 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥

= 1

𝑉 = (−) ∫(1 − 𝑥)2 (−) 𝑑𝑥 1 2

(1 − 𝑥)2+2 𝑉 = (−) ( ) 1 2 + 2 2

𝑉 = (−) (

𝑉=

∫ 𝑥√(1 − 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 (

3 𝑥)2

(1 − 3 2

−2(1 − 3

−𝟐 √(𝟏 − 𝒙)𝟑 𝑽= 𝟑

3

2(1−𝑥)2

−2𝑥(1 − 3

−∫

3 𝑥)2 3

3

(−𝑑𝑥 )

3 2 − ∫(1 − 𝑥)2 (−𝑑𝑥) 3 3 2

−2𝑥(1 − 𝑥)2 2 (1 − 𝑥)2+2 = − [ 3 2 ] 3 3 +2 2

=

)

3 𝑥)2

3

−2𝑥(1−𝑥)2 3

=

−2 √(1 − 𝑥)3 −2 √(1 − 𝑥)3 )−∫ (𝑑𝑥) 3 3

=

3

5

−2𝑥(1−𝑥)2

2 2(1−𝑥)2

− [

3

3

5

3

5

−2𝑥(1−𝑥)2

4(1−𝑥)2

3

−

15

−𝟐𝒙√(𝟏−𝒙)𝟑

=

−

𝟑

]

=

𝟒√(𝟏−𝒙)𝟓 𝟏𝟓

+𝑪

1

b) ∫ 𝑥 √(𝑥 − 4)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(𝑥 − 4)2 𝑑𝑥 Paso 1 y 2

𝒖=𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

 udv  uv   vdu

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = √(𝑥 − 4) 1

3

𝑉 = ∫(𝑥 − 4)2 𝑑𝑥

=

𝑢 =𝑥−4 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

3

3

2𝑥(𝑥−4)2

2(𝑥−4)2

− ∫(

3

1 2

(𝑥 − 4)2+2 𝑉= 1 2 + 2 2 3

2(𝑥 − 4)2 𝑉= 3 3

2√(𝑥 − 4)3 𝑉= 3

3

2√(𝑥 − 4)3 2√(𝑥 − 4)3 ∫ 𝑥√(𝑥 − 4)𝑑𝑥 = 𝑥 ( )−∫ (𝑑𝑥) 3 3

3

) (𝑑𝑥)

3

3 2𝑥(𝑥 − 4)2 2 = − ∫(𝑥 − 4)2 (𝑑𝑥) 3 3 3

2𝑥(𝑥−4)2

=

3

3 2

2

+ (𝑥−4)2 2

3

3 2 + 2 2

− (

3

= =

2𝑥(𝑥−4)2 3

3

3

5

4(𝑥−4)2

−

𝟐𝒙 √(𝒙−𝟒)𝟑 𝟑

]

15 𝟑

𝟑

=

5

2𝑥(𝑥−4)2 3

5

2 2(𝑥−4)2

− [

)

−

𝟒 √(𝒙−𝟒)𝟓 𝟏𝟓

+𝑪

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ Ejemplo: Realiza el problema de ejemplo observando el Video de la explicación del tema. 3

1

c) ∫ 𝑥 √(𝑥 − 4) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(𝑥 − 4)3 𝑑𝑥 Paso 1 y 2

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ 4

1

d) ∫ 𝑥 √(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(𝑥 − 4)3 𝑑𝑥 Paso 1 y 2

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ Actividad 3. Resuelve los problemas utilizando la integración por partes. Algebraica con Algebraica

1. ∫ 𝑥 √2 − 𝑥 𝑑𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ 4

2. ∫ 𝑥 √𝑥 + 9 𝑑𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________

3. ∫ 𝑥 √7 − 𝑥 𝑑𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________

4. ∫ 𝑥√𝑥 − 6 𝑑𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

 udv  uv   vdu



Función Algebraica con Exponencial.

Ejemplos: Completa los ejemplos observando el video de explicación del tema.

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________

∫ xe2𝑥 𝑑𝑥

a) Paso 1 y 2 u= du =

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

𝑑𝑣 = 𝑉=

∫ xe−7x 𝑑𝑥

b) Paso 1 y 2 u=

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=

du =

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________

∫ xe20𝑥 𝑑𝑥

c) Paso 1 y 2 u= du =

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

𝑑𝑣 = 𝑉=

∫ xe−15x 𝑑𝑥

d) Paso 1 y 2 u=

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=

du =

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ Actividad 4. Resuelve los problemas, utiliza la integración por partes. .Algebraica con Exponencial

∫ xe4𝑥 𝑑𝑥

1) Paso 1 y 2 u=

du =

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

𝑑𝑣 = 𝑉=

∫ xe−5x 𝑑𝑥

2) Paso 1 y 2 u=

du =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________

∫ xe12𝑥 𝑑𝑥

3) Paso 1 y 2 u=

du =

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

𝑑𝑣 = 𝑉=

∫ xe−8x 𝑑𝑥

4) Paso 1 y 2

Paso 3 Se sustituye en

u=

𝑑𝑣 =

du =

𝑉=

 udv  uv   vdu



Función Algebraica con Logarítmica.

Ejemplos: Completa los ejemplos observando el video de explicación del tema.

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ a) ∫ x ln(2x) Paso 1 y 2

dx

u=

𝑑𝑣 =

du =

𝑉=

b) ∫ 𝑥 Paso 1 y 2

u=

2

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

ln(𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑣 =

du = 𝑉=

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ c) ∫ x ln(x) Paso 1 y 2

dx

u=

𝑑𝑣 =

du =

𝑉=

d) ∫ 𝑥 Paso 1 y 2

u=

2

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

ln(5𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑣 =

du = 𝑉=

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ Actividad 5. Resuelve los problemas utilizando la integración por partes. Algebraica con Logarítmica

1. ∫ x ln(7x) dx Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 =

 udv  uv   vdu

𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

2. ∫ 𝑥 2 ln(2𝑥 ) 𝑑𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________

3. ∫ 𝑥 4 ln(𝑥 ) 𝑑𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 =

 udv  uv   vdu

𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

4. ∫ x ln(8𝑥 ) 𝑑𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

 udv  uv   vdu



Función Algebraica con Trigonométrica.

Ejemplos: Completa los ejemplos observando el video de explicación del tema.

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________

a) ∫

x Cos(2x) 𝑑𝑥

Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

b) ∫ x Sen(3𝑥)𝑑𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________

c) ∫ x Cos(x) Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

𝑑𝑥 Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

Paso 3 Se sustituye en

 udv  uv   vdu

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

d) ∫ x Sen(𝑥)𝑑𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ Actividad 6. Resuelve los problemas utilizando la integración por partes. Algebraica con Trigonométrica

1. ∫ x Sen(10x) dx Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 =

 udv  uv   vdu

𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

2. ∫ 𝑥 𝐶𝑜𝑠(9𝑥 ) 𝑑𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________

3. ∫ x Cos(8x) dx Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 =

 udv  uv   vdu

𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

4. ∫ x Sen(5x) d𝑥 Paso 1 y 2 𝒖= 𝒅𝒖 =

Paso 3 Se sustituye en

𝑑𝑣 = 𝑉=∫ 𝑢= 𝑑𝑢 =

𝑉=

 udv  uv   vdu

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ CIERRE Actividad 7. Contesta cada una de las siguientes preguntas y resuelve los problemas. 1. Método de integración que tiene como objetivo encontrar la función primitiva del producto de una función por la derivada de otra función de la misma variable, y se basa en la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones. A) Potencia de funciones trigonométricas B) Sustitución trigonométrica

C) Por partes D) Fracciones parciales

2. Método de integración que consiste en desarrollar una doble sustitución A) Potencia de funciones trigonométricas B) Fracciones parciales

C) Sustitución trigonométrica D) Por partes

3. Para la aplicación de la fórmula de integración por partes

 udv  uv   vdu

¿Cómo debe ser la función u?_________________ ¿Cómo debe ser dV? _________________ 4. Escribe los pasos del procedimiento de la aplicación de la fórmula

 udv  uv   vdu

   

5. De las siguientes integrales identifica la que resolverías mediante integración por partes x xe  dx

3x xe  dx

2

A)

B)

C)

6. A continuación se presenta una integral indefinida para iniciar la integración por partes.

A) u = x dv =

e 5 x dx

B) u = dx

dv = e

6x

3x e  dx

∫ 𝑥𝑒 5𝑥

D)

 xdx

identifica cuáles son los valores necesarios

x C) u = dx dv = e dx

D) v = -x dv =

e 5 x dx

7. Revisa detenidamente la integral que se presenta en la primera de tabla y complementa los elementos faltantes. Integral

u

 xSen( x)dx

x

8. En la siguiente integral A)

u  xdx dv  Cos(2 x)

du

v

Sen( x)dx

du =

 xSen(2 x)dx B)

dv 𝑉=∫

, indica cuales son los valores de “u” y “dv” :

ux

dv  Sen(2 x)dx

C)

u  xSen(2 x) dv  dx

D)

u  2x dv  Sen(2 x)dx

9. En la siguiente integral

 xCos(3x)dx

su integración por partes se puede efectuar por medio de la siguiente

expresión: Sugerencia: (determina u, du, dV y V y sustituye en la ecuación de integración por partes sin resolver)

 udv  uv   vdu

A)

y escribe en el espacio en blanco abajo e identifica la respuesta correcta.

B)

xSen(3x)   Sen(3x)dx 3



C)

xSen(3 x) 1   Sen(3 x)dx 3 3

xSen(3 x) 1   Sen(3 x)dx 3 3

D)

xSen(3 x) 1   Sen(3 x)dx 3 3

Resuelve los siguientes problemas utilizando la integración por partes que le corresponda. 10. ∫ 𝑥(7𝑥

1

+ 4)3 𝑑𝑥

Tipo de expresión de integración: ____________________________________

11.

7x  xe dx

12. ∫

x ln(6x) dx

Tipo de expresión de integración: ____________________________________

Tipo de expresión de integración: ____________________________________

13. ∫ 𝑥𝑆𝑒𝑛(22𝑥)𝑑𝑥

Tipo de expresión de integración: ____________________________________

1

14. Indica que tipo de funciones componen esta integral. ∫ 𝑥(5𝑥 + 2)3 𝑑𝑥 ____________ con __________. 15. Indica que tipo de funciones componen esta integral ∫ 𝑥𝑆𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 ._____________ con ____________. 16. Indica que tipo de funciones componen esta integral ∫ 𝑥𝑙𝑛(12𝑥) 𝑑𝑥 ._____________ con ____________. 17. Indica que tipo de funciones componen esta integral ∫ 𝑥𝑒 10𝑥 𝑑𝑥 ._____________ con ____________. 18. El método de integración por partes se usa para resolver integrales en las que el integrando está formado por el producto y/o cociente de diversas funciones. Escribe las opciones que corresponden: * * * * 19. Escribe un ejemplo de cada tipo de función 1. Algebraica _______________________ 2. Exponencial 3. Logarítmica

_______________________ _______________________

4. Trigonométrica _______________________ 1. 20. De las siguientes integrales identifica la que resolverías mediante integración por partes

A) ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥

B) ∫ 𝑆𝑒𝑛(8𝑥) 𝑑𝑥

C) ∫ 𝑥𝑙𝑛(7𝑥)𝑑𝑥

D) ∫ 𝑥 𝑑𝑥

SECUENCIA DIDÁCTICA NO. 4

TEOREMA FUNDAMENTAL DE CALCULO

INTENCIONES FORMATIVAS APRENDIZAJE ESPERADO: Reconoce el significado de la integral definida con el área bajo la curva.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: Disciplinares o 2. Formula y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Profesionales: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización Genéricas: de medios 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos. PRODUCTOS DE APRENDIZAJE: Resolver integrales definidas donde se aplica el Teorema Fundamental del Calculo Integral.

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ APERTURA Actividad 1. Resuelve las siguientes integrales.

1. ∫ 𝑥 𝑑𝑥

2. ∫ 3𝑥 𝑑𝑥

3. ∫ 4𝑥 𝑑𝑥

DESARROLLO Actividad 2. Analiza cuidadosamente la siguiente información que a continuación se presenta del tema y realiza tus anotaciones respectivas del tema. Teorema fundamental del Cálculo Con el este teorema podemos determinar directamente el área bajo la curva de una función, donde la interpretación de su resultado queda sujeta a la naturaleza de las magnitudes que representan los ejes coordenados; estas aplicaciones se estudiarán más adelante Teorema fundamental del Cálculo y sus propiedades  Si una función f es continua en el intervalo cerrado a, b entonces siempre f es integrable en a, b . 

Si una función f es continua en el intervalo a, b , y sea F una anti derivada cualquiera de f .Entonces: Donde:



b

a

f ( x)dx  F (b)  F (a )

“b”

es Límite superior

“a”

es Límite inferior

F(b)

Función evaluada en límite superior

F(a)

Función evaluada en límite inferior

Pasos para evaluar una integral definida utilizando el Teorema Fundamental del cálculo, 1. Determinar la integral indefinida sin agregar la constante de integración. 2. Evaluar la integral indefinida o antiderivada para el extremo superior del intervalo [𝑎. 𝑏] 3. Evaluar la integral indefinida o antiderivada para el extremo inferior del intervalo [𝑎. 𝑏] 4. Restar los valores de la antiderivada del extremo superior menos el extremo inferior.

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ Teorema Fundamental del Cálculo. Ejemplos: Evalúa cada una de las siguientes expresiones por medio del Teorema fundamental del Cálculo. Copia los ejemplos con la explicación del video 3

1. ∫ 𝑑𝑥 =

6

2. ∫ 4𝑑𝑥 =

−2

−2

2

3

3. ∫ 7𝑥 𝑑𝑥 = 0

4. ∫ (𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = −2

3

2𝑥 4 5. ∫ ( ) 𝑑𝑥 = 3 −2

3

6. ∫ (9 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 0

1

1 2

10

7. ∫ (𝑥 + 1) 0

𝑑𝑥 =

8. ∫ (2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 8𝑥 + 1)𝑑𝑥 = −1

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ Actividad 3. Evalúa cada una de las siguientes expresiones por medio del teorema fundamental del cálculo.

 4 x dx 6

1.

0

2

 5xdx 8

2.

4

3.



5

2

( x 2  5 x  3)dx

4.



2

0

( 4 x 2  3 x )dx

Nombre ___________________________________________ Grupo ________ Fecha_________ CIERRE Actividad 4. Contesta cada una de las siguientes preguntas y resuelve los problemas. 1. Teorema con el cual podemos determinar directamente el área bajo la curva de una función, donde la interpretación de su resultado queda sujeta a la naturaleza de las magnitudes que representan los ejes coordenados. ______________________________________________________

2. Completa el teorema: “Si una función f es ___________ en el intervalo cerrado a, b

entonces siempre

f es ____________ en a, b ”.

3. Escribe los nombres de las partes del Teorema Fundamental del Calculo _______________



b

a

_________________

f ( x)dx  F (b)  F (a )

________________

________________

4. Une con una línea el orden correcto de los pasos para resolver las integrales por medio del Teorema Fundamental del Cálculo. 1.

a) Se evalúa la función en el límite inferior.

2.

b) Se resta el resultado obtenido de las funciones evaluadas en el límite superior e inferior.

3.

c) Se evalúa la función en el límite superior.

4.

d) Se obtiene la Función (la integral).

Resuelve los siguientes problemas utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo y relaciona con el resultado de su evaluación. Resultados a) 31 b) 32 c) 20 d) 36

PROBLEMA 2

1. ∫1 5𝑥 2 𝑑𝑥

6

2. ∫−2 4 𝑑𝑥.

Inciso Solución

3

3. ∫1 (3𝑥 2 − 2𝑥 + 5)𝑑𝑥

2

4. ∫−1(4𝑥 3 + 2)𝑑𝑥