CAPITULO 3 - PRE CALCULO

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Pré-Cálculo Capítulo 3

Funções Conceitos gerais

Licenciatura em Física Prof. Dr. Mateus das Neves Gomes [email protected]

Pré-Cálculo

3. Funções: Conceitos gerais Prof. Mateus Gomes

1 Licenciatura em Física – 2018 Prof. Dr. Mateus das Neves Gomes ([email protected])

Pré-Cálculo 3. Funções: Conceitos gerais 3.1. Noção Intuitiva de função 3.2. Definição 3.3. Representação: Analítica, Implícita e Paramétrica. 3.4. Domínio e Imagem 3.5. Operações com funções: Soma, subtração, produto e divisão 3.6. Igualdade de funções 3.7. Função par, impar e periódica 3.8. Funções crescente e decrescente 3.9. Pontos extremos de uma função 3.10. Função Limitada 3.11. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras 3.12. Função inversa 3.13. Relação entre o gráfico da função original e o da inversa 3.14. Função composta 3.15. Transformações dos gráficos da função

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Pré-Cálculo 3.1. Noção Intuitiva de função É uma relação estabelecida entre variáveis. Ex. Conta de Luz

Conceito: Uma função pode ser considerada como uma correspondência de um conjunto X de números reais x a um conjunto Y de números reais y, onde o número y é único para um valor especifico de x. O conceito formal de função torna-se mais preciso se ela for definida como um conjunto de pares ordenados, ao invés de usarmos uma regra de correspondência. 3 Licenciatura em Física – 2018 Prof. Dr. Mateus das Neves Gomes ([email protected])

Pré-Cálculo 3.2. Definição Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y), sendo que dados dois pares ordenados distintos, nenhum deles terá o mesmo primeiro número. O conjunto de todos os valores admissíveis de x é chamado de domínio da função e o conjunto de todos os valores resultantes de y é chamado imagem da função. Verificando se é função → Esquema das flechas 10) Todo elemento x  A participe de pelo menos um par x, y   f , isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida da flecha; 20) É necessário que cada elemento x  A participe de apenas um único par x, y   f , isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha. Uma correspondência não é função se não satisfazer uma das condições acima.

→ Verificação através do gráfico Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não função: basta verificarmos se a reta parela ao eixo y conduzida pelo ponto (x,0) em que x  A , encontra sempre o gráfico de f em um só ponto.

Notação: Para indicarmos uma função f, definida em A com imagem em B segundo a lei de correspondência y  f x , usaremos as seguintes notações: f :AB 1) x  f x 

f

2) A  B x  f x 

f :AB 3) tal que y  f x 

3.3. Representação: Analítica, Implícita e Paramétrica. - Forma explicita: y  f x, x  X  y  Y - Forma implícita: F x, y   0, x  X  y  Y

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Pré-Cálculo    x, y , p   0 - Forma paramétrica:    x, y, p   0

3.4. Domínio e Imagem

Domínio: É o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f. Imagem: É o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.

3.5. Operações com funções: Soma, subtração, produto e divisão Sejam f e g funções, então: Soma:  f  g x  f x  g x Diferença:  f  g x  f x  g x Produto:  f .g x  f x.g x Quociente:  f / g x  f x / g x Obs: O domínio da função resultante consiste naqueles valores de x comuns aos domínios de f e g, coma exigência adicional, no caso (4) de que os valores de x para os quais g(x)=0 sejam excluídos.

3.6. Igualdade de funções Duas funções f : A  B e g : C  D são iguais se, e somente se, apresentarem: a) domínios iguais (A=C); b) contradomínios iguais (B=D); c)

f x  g x para todo x pertencente ao dominio.

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Pré-Cálculo Obs: a) f x   x 2

e g x   x de R em R são iguais, pois

x2  x

x  R ;

b) f x   x e g x   x de R em R não são iguais pois x  x para x  0 ;

3.7. Função par, impar e periódica → Função par: Para qualquer x do seu domínio: f x  f  x x  X - O domínio é simétrico em relação à origem; - O gráfico é simétrico em relação ao eixo y;

→ Função Impar: Para qualquer x do seu domínio: f x   f x x  X - O seu domínio é simétrico em relação á origem; - O seu gráfico é simétrico em relação à origem;

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Pré-Cálculo

→ Função periódica: Uma função f será periódica se existir um número real p  0 tal que quando x estiver no domínio de f, então x  p estará também no domínio de f e

f x  p  f x . O menor número real positivo p é chamado de período de f.

4.8. Funções crescente e decrescente → Funções monótonas: Uma função é dita monótona se ela é crescente ou decrescente.

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Pré-Cálculo → Função crescente: A função f x é crescente estritamente num intervalo a, b se para quaisquer dois valores x1 e x2 desse intervalo, tais que x1  x2 sendo que

f x1   f x2 .

Crescente não extritamente

x1 , x2  D; x1  x2  f x1   f x2  → Função decrescente: A função f x é decrescente estritamente num intervalo a, b se para quaisquer dois valores

x1 e x2 desse intervalo tais que x1  x2 sendo que

f x1   f x2  .

Decrescente não extritamente

x1 , x2  D; x1  x2  f x1   f x2  Obs: Um ponto x, a  do domínio da função é chamado do ponto de crescimento (ou decrescimento0 não estrito se existe vizinhança deste ponto, onde a função é crescente (ou decrescente) estritamente.

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Pré-Cálculo 3.9. Pontos extremos de uma função → Valores extremos locais Definição: Diz-se que uma função tem um máximo local em c se f c  f x para todo x suficientemente próximo de c c   , c    . Definição: Diz-se que uma função tem um mínimo local em c se f c  f x para todo x suficientemente próximo de c c   , c    . Os máximos locais e mínimos locais de f são chamados de valores extremos locais de f. → Valores extremos absolutos Para uma função ter ou não um valor extremo local em algum ponto depende inteiramente do comportamento de f, perto do ponto. Valores extremos absolutos, que são definidos a seguir dependem do comportamento da função em todo o seu domínio. Definição: Diz-se que uma função f tem um máximo absoluto em d se f d   f x para todo x no domínio de f. Definição: Diz-se que uma função f tem um mínimo absoluto em d se f d   f x para todo x no domínio de f.

3.10. Função Limitada → Função Limitada: A função f x é chamada de limitada superiormente num conjunto num conjunto do seu domínio se x desse conjunto é válida a seguinte propriedade:

f x  M , M- cota superior Temos a mesma definição para função limitada inferiormente, porém:

f x  m , m –cota inferior A função é chamada de limitada no conjunto do seu domínio se ela é limitada superiormente ou inferiormente.

m  f x   M



f x   c

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Pré-Cálculo 3.11. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras → Função sobrejetora: Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, para todo y pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que: f x  y . Simbolicamente: f :AB f é sobrejetor a  y, y  B, x, x  A | f  x   y f : A  B é sobrejetor a  Im f   B(contrado min io)

→ Função injetora: Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam x1 e x2 de A, se x1  x2  f x1   f x2  Simbolicamente:

f : AB f é injetora  x1 , x1  A, x2 , x2  A | x1  x2  f x1   f x2 

A definição proposta é equivalente a:

x1  x2  f x1   f x2  → Função bijetora: Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora.

3.12. Função inversa Definição: Se f for uma função bijetora então existirá uma função f

1

, chamada de

inversa de f, tal que: x f

O domínio de f

1

1

 y   y  f x 

é a imagem de f e a imagem de f

1

é o domínio de f.

Obs.: A propriedade de sobrejetora nos garante a existência da inversa e a propriedade da injetora nos garante a unicidade da inversa. 10 Licenciatura em Física – 2018 Prof. Dr. Mateus das Neves Gomes ([email protected])

Pré-Cálculo Teorema: Se f for uma função bijetora tendo f

1

como sua inversa, então f

função bijetora tendo f como sua inversa. Além disso f e f f

1

x   x

para x no domínio de f

1

1

 f x   x

1

será uma

para x no domínio de f

.

3.13. Relação entre o gráfico da função original e o da inversa

Relação entre o gráfico de f e f

1

O gráfico de f consiste nos pontos x, f x  . Como f de f

1

1

toma o valor x em f x , o gráfico

consiste nos pontos  f x , x  .Se, como usual, usarmos no eixo y a mesma escala

que usamos no eixo x, então os pontos x, f x  e

 f x, x

são simétricos em relação a

bissetriz dos quadrantes I e II.

3.14. Função composta

Sejam duas funções f e g e um número x no domínio de g. Aplicando g a x obtemos o número g x  . Se g x  está no domínio de f, então podemos aplicar f a g x  e dessa maneira obtemos o número f g x , dizemos então que f é uma função composta por

g x  e denotamos por f o g. Definição: Dadas duas funções f e g, a função composta, denotada por f o g, é definida por:

f

o g x  f g x

e o domínio de f o g é o conjunto de todos os números x no domínio de g tal que

g x 

esteja no domínio de f.

Observações:

 g o f , isto é, a composição de funções não é comutativa;

a)

Em geral f o g

b)

A composição de funções é associativa;

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Pré-Cálculo f

g

h

Teorema: Quaisquer que sejam as funções A  B  C  D tem-se:

h o g  o

f  h o  f o g

3.15. Transformações dos gráficos da função

Função g x   f x   k

g x   f x  h  g x   a f x 

g x  f  px

g x   x

Tipo de Transformação - Se k>0, o gráfico sobe k unidades; - Se k0, o gráfico desloca-se para a direita h unidades; - Se h1 o gráfico estica na vertical; - Se 0