CLASE 22 INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

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An´alisis Matem´atico I Clase 22: t´ecnicas de integraci´on (continuaci´on) e integrales impropias Pablo Ochoa Facultad de Ingenier´ıa Universidad Nacional de Cuyo.

Mayo, 2020

Pablo Ochoa (Fac. de Ing.)

An´ alisis Matem´ atico I

Mayo, 2020

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Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de senos y cosenos

El objetivo de esta secci´on, es calcular integrales de la forma: ˆ senm (x).cos n (x)dx, n, m 0. Seguiremos procedimientos de acuerdo a los siguientes casos: m es impar (y no importa si n es par o impar). m es par y n es impar. m es par y n es par.

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Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de senos y cosenos El objetivo de esta secci´on, es calcular integrales de la forma: ˆ senm (x).cos n (x)dx, n, m 0.

Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de seno y coseno - Si m es impar, entonces m = 2k + 1, para alg´ un k integral:

0. Escribir en la

senm (x) = sen2k+1 (x) = sen2k (x).sen(x) = (sen2 (x))k .sen(x) y usar: sen2 (x) = 1

Pablo Ochoa (Fac. de Ing.)

cos 2 (x) en el u ´ltimo t´ermino.

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Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de senos y cosenos El objetivo de esta secci´on, es calcular integrales de la forma: ˆ senm (x).cos n (x)dx, n, m 0.

Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de seno y coseno - Si m es impar, entonces m = 2k + 1, para alg´ un k integral:

0. Escribir en la

senm (x) = sen2k+1 (x) = sen2k (x).sen(x) = (sen2 (x))k .sen(x) y usar: sen2 (x) = 1

cos 2 (x) en el u ´ltimo t´ermino.

Ejemplo: calcular: ˆ Pablo Ochoa (Fac. de Ing.)

sen3 (x)cos 2 (x)dx. An´ alisis Matem´ atico I

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Para calcular la integral, observemos que la potencia del seno m = 3 es impar. Luego, reescribimos: ˆ ˆ sen3 (x)cos 2 (x)dx = sen(x).sen2 (x).cos 2 (x) dx = =

ˆ

Pablo Ochoa (Fac. de Ing.)

ˆ

sen(x).(1 2

cos 2 (x)).cos 2 (x) dx

sen(x).cos (x) dx

ˆ

sen(x).cos 4 (x) dx.

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Para calcular la integral, observemos que la potencia del seno m = 3 es impar. Luego, reescribimos: ˆ ˆ sen3 (x)cos 2 (x)dx = sen(x).sen2 (x).cos 2 (x) dx = =

ˆ

ˆ

sen(x).(1 2

cos 2 (x)).cos 2 (x) dx

sen(x).cos (x) dx

ˆ

sen(x).cos 4 (x) dx.

En ambas integrales, hacemos la sustituci´ on u = cos(x) (du = sen(x)dx) y obtenemos: ˆ ˆ ˆ 1 1 sen3 (x)cos 2 (x)dx = u 2 du + u 4 du = cos 3 (x)+ cos 5 (x)+C . 3 5

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Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de senos y cosenos El objetivo de esta secci´on, es calcular integrales de la forma: ˆ senm (x).cos n (x)dx, n, m 0.

Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de seno y coseno - Si m es par y n es impar, entonces n = 2k + 1, para alg´ un k Escribir en la integral:

0.

cos n (x) = cos 2k+1 (x) = cos 2k (x).cos(x) = (cos 2 (x))k .cos(x) y usar: cos 2 (x) = 1

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sen2 (x) en el u ´ltimo t´ermino.

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Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de senos y cosenos El objetivo de esta secci´on, es calcular integrales de la forma: ˆ senm (x).cos n (x)dx, n, m 0.

Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de seno y coseno - Si m es par y n es impar, entonces n = 2k + 1, para alg´ un k Escribir en la integral:

0.

cos n (x) = cos 2k+1 (x) = cos 2k (x).cos(x) = (cos 2 (x))k .cos(x) y usar: cos 2 (x) = 1

sen2 (x) en el u ´ltimo t´ermino.

Ejemplo: calcular: ˆ Pablo Ochoa (Fac. de Ing.)

sen2 (x).cos 3 (x)dx. An´ alisis Matem´ atico I

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Para calcular ˆ

sen2 (x).cos 3 (x)dx aplicamos el procedimiento anterior: ˆ 2 3 sen (x).cos (x)dx = sen2 (x).cos 2 (x).cos(x) dx

´

= =

ˆ

ˆ 2

sen2 (x).(1

sen (x).cos(x) dx

sen2 (x))cos(x) dx ˆ

sen4 (x).cos(x) dx.

El estudiante puede resolver ambas integrales haciendo la sustituci´on u = sen(x).

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Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de senos y cosenos El objetivo de esta secci´on, es calcular integrales de la forma: ˆ senm (x).cos n (x)dx, n, m 0.

Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de seno y coseno - Si m es par y n es par, entonces utilizar las identidades: cos 2 (x) =

1 + cos(2x) , 2

sen2 (x) =

1

cos(2x) 2

para reescribir la integral en t´erminos de cos(2x).

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Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de senos y cosenos El objetivo de esta secci´on, es calcular integrales de la forma: ˆ senm (x).cos n (x)dx, n, m 0.

Integrales trigonom´etricas: productos de potencias de seno y coseno - Si m es par y n es par, entonces utilizar las identidades: cos 2 (x) =

1 + cos(2x) , 2

sen2 (x) =

1

cos(2x) 2

para reescribir la integral en t´erminos de cos(2x). Ejemplo: calcular: ˆ Pablo Ochoa (Fac. de Ing.)

sen2 (x).cos 2 (x)dx. An´ alisis Matem´ atico I

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ˆ

2

2

sen (x).cos (x)dx =

ˆ ✓

1

◆✓ ◆ cos(2x) 1 + cos(2x) . dx 2 2

ˆ 1 = (1 cos 2 (2x))dx 4 ✓ ◆ ˆ 1 2 = x cos (2x)dx 4 ✓ ◆ ◆ ˆ ✓ 1 1 + cos(4x) = x dx 4 2  ✓ ◆ 1 1 sen(4x) = x x+ +C 4 2 4 1 = x 8

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1 sen(4x) + C . 32

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Integrales trigonom´etricas: productos de senos y cosenos Para calcular integrales de la forma: ˆ ˆ ˆ sen(mx)cos(nx)dx, sen(mx)sen(nx)dx, y cos(mx)cos(nx)dx se pueden utilizar las siguientes identidades: sen(mx)cos(nx) =

1 [sen(m 2

1 [cos(m 2 1 cos(mx)cos(nx) = [cos(m 2 sen(mx)sen(nx) =

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n)x + sen(m + n)x] n)x

cos(m + n)x]

n)x + cos(m + n)x] .

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Integrales trigonom´etricas: productos de senos y cosenos Para calcular integrales de la forma: ˆ ˆ ˆ sen(mx)cos(nx)dx, sen(mx)sen(nx)dx, y cos(mx)cos(nx)dx se pueden utilizar las siguientes identidades: sen(mx)cos(nx) =

1 [sen(m 2

1 [cos(m 2 1 cos(mx)cos(nx) = [cos(m 2 Ejemplo: calcular ˆ sen(mx)sen(nx) =

n)x + sen(m + n)x] n)x

cos(m + n)x]

n)x + cos(m + n)x] .

sen(3x)cos(5x)dx.

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