AULA CN 11 10MAI ÁLGEBRA

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QUESTÕES DE ÁLGEBRA DO COLÉGIO NAVAL

PROF. RENATO MADEIRA

1) (CN 1988) A equação do 2º grau x 2  2x  m  0 , m  0 , tem raízes x1 e x 2 . Se x1n 2  x n2 2  a e

x1n 1  x n2 1  b , então x1n  x 2n é igual a: (A) 2a  mb (B) 2b  ma (C) ma  2b (D) ma  2b (E) m  a  2b  RESPOSTA: B RESOLUÇÃO: Seja Sk  x1k  x 2k , então, pela fórmula de Newton, temos Sn  2  Sn 1  m  Sn 2  0 . Do enunciado, vem Sn 2  a e Sn 1  b , logo Sn  2  b  m  a  0  Sn  x1n  x 2n  2b  ma . 2) (CN 1988) No processo da divisão do polinômio P  x  , de coeficientes não nulos, pelo polinômio g  x  , obteve-se, para quociente um polinômio do 4º grau e, para penúltimo resto, um polinômio do 2º grau. Considerando-se as afirmativas: I) O grau de P  x  é 6 . II) O grau de g  x  pode ser 1 . III) P  x  é composto de 7 monômios. Conclui-se que: (A) apenas I é verdadeira. (B) apenas III é falsa. (C) apenas II é verdadeira. (D) apenas I e III são verdadeiras. (E) todas são falsas. RESPOSTA: C RESOLUÇÃO: A divisão de polinômios é tal que o dividendo é o divisor vezes o quociente mais o resto, onde o grau do resto não supera o grau do divisor. Se o penúltimo resto é do 2º grau, então o grau do divisor g  x  é menor ou igual a 2. Assim, o grau de g  x  pode ser 1 ou 2. Como o quociente é do 4º grau, o grau do dividendo é a soma do grau do divisor com o do quociente, ou seja, o grau do dividendo P  x  é 5 ou 6. I) Falsa, pois o grau de P  x  pode ser 5 ou 6. II) Verdadeira.

III) Falsa, pois isso só ocorre no caso de P  x  ser de grau 6. Veja exemplos das duas situações possíveis: x 5  x 4  x 3  2x 2  x  1  x5  x 4

x 1 x4  x2  x

x 3  2x 2  x  1  x3  x 2 x2  x 1  x2  x 1 x 6  x 5  x 4  x 3  2x 2  x  1  x6  x5  x 4

x2  x 1 x4  x 1

x 3  2x 2  x  1  x3  x 2  x 1

x2

 x2  x 1 x

3) (CN 1988) O conjunto dos valores de m para os quais as equações 3x 2  8x  2m  0 e 2x 2  5x  m  0 possuem uma e apenas uma raiz real comum é (A) unitário, de elemento positivo. (B) unitário, de elemento não negativo. (C) composto de dois elementos não positivos. (D) composto de dois elementos não negativos. (E) vazio. RESPOSTA: D RESOLUÇÃO: Se as equações possuem apenas uma raiz real comum, então ambas devem ter discriminante positivo. 64 8 2 3x 2  8x  2m  0     8   4  3  2m  64  24m  0  m   24 3 25 2 2x 2  5x  m  0     5   4  2  m  25  8m  0  m  8 8 Assim, devemos ter m  . 3

Se dividirmos 3x 2  8x  2m por 2x 2  5x  m , o resto R  x  obtido se anula para o valor da raiz comum. Assim, temos: 3x 2  8x  2m 2x 2  5x  m 3x 2  7,5x  1,5m 1,5 /

 0,5x  0,5m

x m e a raiz comum deve ser igual a m .  2 2 Se m é raiz comum das equações 3x 2  8x  2m  0 e 2x 2  5x  m  0 , então deve ser raiz de cada uma das equações. Assim, temos: 3m2  8m  2m  0  3m2  6m  0  m  0  m  2

Portanto, R  x   

2m2  5m  m  0  2m2  4m  0  m  0  m  2

Se m  0 , as equações resultantes são 3x 2  8x  0 (raízes 0 e 8 3 ) e 2x 2  5x  0 (raízes 0 e 5 2 ). Se m  2 , as equações resultantes são 3x 2  8x  4  0 (raízes 2 e 2 3 ) e 2x 2  5x  2  0 (raízes 2 e 1 2 ). Portanto, m  0, 2 que é um conjunto composto de dois elementos não negativos.

4) (CN 1987) Qual a solução do sistema abaixo?  x  2  54 x  4  6  0   x 2    1   1500x  x  80  (A) x  85 (B) 30  x  50 (C) 20  x  85 (D) 20  x  50 ou x  85 (E) 20  x  30 ou 50  x  85 RESPOSTA: E RESOLUÇÃO: x 2

x  2  54 x  4  6  0 



x  2  x  2   5 4 x  4  6  0

 x  4  54 x  4  6  0  x  0

y  4 x  4  y2  5y  6  0  2  y  3  2  4 x  4  3  16  x  4  81  20  x  85

1500x 1  x  80 

 x  50  x  30  1500 x 2  80x  1500  x  80  0 0 x x x

 0  x  30  x  50 Efetuando a interseção dos dois intervalos obtidos, visto que x deve satisfazer as duas inequações, temos 20  x  30 ou 50  x  85

8

4

5) (CN 1987) O valor de

2 1 

4

8

8

2 1

2 1  2

4 8 

8

2 1

4

2 1

é:

(A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 2 2 (E) 3 2 RESPOSTA: B RESOLUÇÃO: 4

x

8

2 1  4

x  2



4

8

8

2 1

2 1

2 1  4 8 

4

24 8  2 4

8

4

8

8  2 1 2 1



2

4 8  4

8

2 1 2 1

2 1

2

x 0x  2

6) (CN 1986) O número 1  3 4  3 16 está situado entre (A) 1 e 1, 5 (B) 1, 5 e 2 (C) 2 e 2, 5 (D) 2,5 e 3 (E) 3, 5 e 4 RESPOSTA: C RESOLUÇÃO:

 4 8 

2 1



3

3

3

1  3 4  3 16  1  22  24  1  22  2 3 2 

1  3 2 2  1  3 2

2  1  3 2  1  2  2, 4

7) (CN 1986) Sendo P e Q dois polinômios de mesma variável e de graus respectivamente iguais a m e n , e sendo m  n , podemos afirmar que: (A) a soma de P e Q é de grau m  n . (B) o produto de P por Q é de grau m  n . (C) a soma de P e Q é de grau m . (D) o quociente entre de P e Q , caso exista, é de grau m  n . (E) a diferença entre P e Q é de grau n . RESPOSTA: D RESOLUÇÃO: (A) INCORRETA Contra exemplo: Sejam P  x   x  1 e Q  x    x , onde m  n  1 , então P  x   Q  x   1 e  P  Q  0  2  m  n . (B) INCORRETA   P  Q  P  Q  m  n (C) INCORRETA Vide contra exemplo de (A). (D) CORRETA P O quociente entre P e Q só existirá no caso em que m  n e teremos     P  Q  m  n  0 . Q Observe que nesse caso, o quociente é uma constante numérica e, portanto, possui grau zero. (E) INCORRETA Contra exemplo: Sejam P  x   x  1 e Q  x   x , onde m  n  1 , então P  x   Q  x   1 e   P  Q  0  1  n .

8) (CN 1985) Considere os conjuntos M dos pares ordenados

 a1x  b1y  c1    a 2 x  b2 y  c2   0

e N dos pares ordenados

 x, y   x, y 

a1x  b1y  c1  0 . Sendo a1  b1  c1  a 2  b2  c2  0 , pode-se afirmar que :  a 2 x  b 2 y  c 2  0 (A) M  N (B) M  N  M (C) M  N   (D) M  N  N (E) M  N  

que satisfazem à equação que satisfazem o sistema

RESPOSTA: B RESOLUÇÃO: As soluções da equação

 a1x  b1  c1    a 2 x  b2 y  c2   0

são os valores de

 x, y  tais que

a1x  b1y  c1  0 ou a 2 x  b 2 y  c2  0 .

a1x  b1y  c1  0 As soluções do sistema de equações  são os valores de  x, y  tais que a x  b y  c  0  2 2 2 a1x  b1y  c1  0 e a 2 x  b 2 y  c2  0 . Sejam A o conjunto solução da equação a1x  b1y  c1  0 e B o conjunto solução de a 2 x  b 2 y  c2  0

, então o conjunto solução da equação  a1x  b1  c1    a 2 x  b2 y  c2   0 é M  A  B e o conjunto

a1x  b1y  c1  0 solução do sistema de equações  é N  AB . a 2 x  b 2 y  c 2  0 Como A  B  A  B , então N  M , o que implica M  N  M . mx  5y  3 9) (CN 1985) O sistema  é equivalente ao sistema 3x  ky  4 (A) m  k  8 (B) k m  1 1 (C) m k  7 7 (D) m  k  2 (E) m  k  8

RESPOSTA: D RESOLUÇÃO: 2x  y  4 Inicialmente, deve-se resolver o sistema  . 3x  y  1  2x  y  3x  y  4 1  5x  5  x  1 3x  y  1  3 1  y  1  y  2 2x  y  4 Portanto, a solução do sistema  é  x, y   1, 2 . 3x  y  1

2x  y  4 . Logo, pode-se afirmar que:  3x  y  1

Se os dois sistemas apresentados no enunciado são equivalentes, então eles possuem a mesma solução, ou mx  5y  3 seja,  x, y   1, 2 também é solução do sistema . Assim, temos:  3x  ky  4 m 1  5   2   3 1  1 7  m  7  k   , que satisfaz m  k   7       .  2  2 2 3 1  k   2   4 10) (CN 1984) A soma dos valores inteiros de x , no intervalo 10  x  10 , e que satisfazem a inequação  x 2  4x  4   x  1  x 2  4 é: (A) 42 (B) 54 (C) 54 (D) 42 (E) 44 RESPOSTA: E RESOLUÇÃO:  x 2  4x  4   x  1  x 2  4   x  2 2   x  1   x  2  x  2   0   *

  x  2    x  2  x  1   x  2   0   x  2   x 2  2x  4   0   x  2  0  x  2 (*) Como o discriminante do trinômio do 2 grau x 2  2x  4 é   22  4 1 4  12  0 , então o trinômio é sempre positivo. Portanto, os valores inteiros de x no intervalor 10  x  10 que satisfazem a equação dada são os elementos do conjunto S  x  | 10  x  2  9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 cuja soma é 44 .

11) (CN 1984) Sabendo que 3x  y  10z  0 e que x  2y  z  0 , o valor de (A) 18 (B) 9 (C) 6 (D) 1 (E) 0 RESPOSTA: B RESOLUÇÃO: 3x  y  10z  0 3x  y  10z    x  2y  z  0  x  2y  z

2  3x  y    x  2y   2 10z  z  7x  21z  x  3z

x3  x 2 y sendo z  0 , é: xy2  z3

x  2y  z  3z  2y  z  y  z



3 2 x 3  x 2 y  3z    3z    z  27z3  9z3   9 xy 2  z3 3z3  z3  3z    z 2  z3

12) (CN 1984) Sendo P  3 , podemos afirmar que o trinômio y  2x 2  6x  P : (A) se anula para dois valores positivos de x ; (B) se anula para dois valores de x de sinais contrários; (C) se anula para dois valores negativos de x ; (D) não se anula para valores de x reais; (E) tem extremo positivo. RESPOSTA: B RESOLUÇÃO: 2 O discriminante do trinômio y  2x 2  6x  P é    6   4  2   P   36  8P  0 , a soma das raízes é   6  P  0 . Portanto, o trinômio se anula para dois valores de x de 1   3  0 e o produto  2  2 2 sinais contrários.   6  3    36  8P  9       P   0 para x V  O trinômio tem ponto de mínimo y V    0 , ou 42 8 2  22 2 seja, tem extremo negativo.

13)

(CN

1983) A soma dos ( x  3)3  0 é: (x 2  x  2)  (5  x)11  (2x  8)10 (A) 11 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 2

valores

inteiros

que

satisfazem

a

inequação:

RESPOSTA: E RESOLUÇÃO: ( x  3)3 (x  3)3 0 0  x  2  x  1  (5  x)11  210  (x  4)10 (x 2  x  2)  (5  x)11  (2x  8)10 Vamos representar as raízes (bolas cheias) e os pontos de descontinuidade (bolas vazadas) sobre a reta real, e marcar os de multiplicidade par (sublinhado). Para x  5 , a expressão é positiva. Vamos marcar

 S  2,1  3, 4  4,5 A soma dos valores inteiros do conjunto solução é 1 0  3  2 .

14) (CN 1983) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

3  2 3 2 2  3  2 3 2 2 , é igual a:

RESPOSTA: B RESOLUÇÃO: 3  23 2 2  3  23 2 2  3  2 3 2 

3

23  3  2

2 1 

3

3

22  2  3  2

23  3  2 2  3  2 2 

22  2 

3



2  1  2



2  1  2

2  1   2  1   2  1  2

15) (CN 1982) O valor de m que torna mínima a soma dos quadrados das raízes da equação x 2  mx  m  1  0 , é: (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1 (E) 2 RESPOSTA: D RESOLUÇÃO: Sejam r1 e r2 as raízes da equação x 2  mx  m  1  0 , então   m  1  r1  r2  m 1 m 1 2  r1  r2   m 1 1 A soma dos quadrados das raízes é dada por

S2  r12  r22   r1  r2   2r1r2  12  22  m2  2  m  1  m2  2m  2 2

Portanto, a soma dos quadrados das raízes da equação original é mínima quando m 

  2  1. 2 1

16) (CN 1980) A soma das soluções da equação 2x  1  4 3 2x  1  36 2x  1  0 dá um número: (A) nulo. (B) par entre 42 e 310 . (C) ímpar maior que 160. (D) irracional. (E) racional. RESPOSTA: E RESOLUÇÃO: Fazendo 6 2x  1  y , temos:

2x  1  4 3 2x  1  36 2x  1  0  y3  4y 2  3y  0  y  y 2  4y  3  0  y  0  y 1  y  3 1 6 2x  1  0  2x  1  0  x   2 6 2x  1  1  2x  1  1  x  0

2x  1  3  2x  1  729  x  364 1  S   , 0, 364 2 1 727 A soma das soluções da equação é   0  364  que é um número racional. 2 2 6



