PROVAS ANTERIORES CN 1975 - 2009

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PROVAS ANTERIORES DO COLÉGIO NAVAL 1975 - 2009

08. Um composto A leva 20% de álcool e 80% de gasolina e um

COLÉGIO NAVAL - 1975 01. Achar o valor de: 6  a)

3

3+ 2

(

b) 20

3

3,375 + 1,777... + 5 32−1 c)

2+ 3

d) 17 +

5

composto B leva 30% de álcool e 70% de gasolina. Quantos litros devemos tomar do composto A para, complementando com o composto B, preparar 5 litros de um composto com 22% álcool e 78% de gasolina?

) e)

48 7

02. A que taxa mensal deve ser colocado um capital durante certo tempo, para que o juro recebido seja o triplo do que receberá na taxa anual de 2%? a) 2,5%

b) 5%

c) 3%

d) 1%

e) 0,5%

a) 2 litros b) 3 litros

a)

6 3 cm2

b)

8 3 cm2

d)

4 3 cm2

e)

3cm 2

a 4cm e 3cm que se tangenciam exteriormente. Qual o ângulo descrito pela roda menor enquanto a roda maior gira de um ângulo de 12º48’?

a) ortocentro d) paricentro

c) 20º10’

d) 18º25’

irredutível, para que o produto de seus termos seja b) 23

c) 32

d) 61

e) 19

em recreio. Havendo duas crianças por centiare, quantas crianças estão no pátio? b) 3000

c) 3500

d) 4000

divisor comum igual a 12. Dar o maior dos dois nú- meros sabendo que o produto deles deve ser o maior possível b) 84

c) 60

d) 72

1 deste 3 tempo para resolver a parte de aritmética e 25% do tempo restante para resolver a parte de álgebra, ele só gastou 2 do da prova de MATEMÁTICA. Um candidato gastou

3

tempo de que ainda dispunha para resolver a parte de geometria, entregou a prova faltando 35 minutos para o término da mesma. Qual foi o tempo T concedido? 3h10min

b) 3h

c) 2h50min

2

b) baricentro e) circuncentro

c) incentro

b)

3 2

c)

2 3 3

d)

1 2

e)

3 6

d) 3h30min

m? a) 12

3m

8 3m

b) 12

6m

e) 12

2m

c)

6 3m

13. Os pontos A, B, C, D e E são cinco vértices consecutivos de um decágono regular. Achar o ângulo BAE. a) 60º b) 36º c) 45º d) 108º e) 54º

14. O lado de um triângulo equilátero é igual ao lado de um

e) 36

07. Em um concurso foi concedido um tempo T, para a realização

a)

3

a)

d)

e) 5000

06. Dois números inteiros positivos têm soma 96 e o máximo

a) 48

c) 16 cm

12. Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a 3 6

05. Em um pátio retangular de 500dm por 0,4hm estão crianças

a) 2500

= 4cm

11. Achar a razão do apótema para o lado do hexágono regular.

e) 10º40’

04. Calcular a soma dos termos da maior fração própria a) 17

e) 4 litros

10. Qual é o nome do ponto de interseção das mediatrizes de um triângulo?

b) 17º04’

d) 3,5 litros

09. Achar a área de um triângulo equilátero de lado

03. Uma engrenagem é constituída por duas rodas de raios iguais

a) 9º36’

c) 2,5 litros

hexágono regular e ambos medem 6 3 cm . Se colocarmos, sobre um plano, o triângulo ao lado do hexágono, de maneira que dois lados fiquem em coincidência, qual será a distância entre os centros das duas figuras. a) 12

3 cm b) 12 cm c) 18cm d) 7,5cm e) 12,5cm

15. Um trapézio de 2 2 cm de altura tem, para uma de suas bases, a diagonal de um quadrado de 6cm de lado. Achar a área do trapézio, sabendo que a outra base tem as extremidades sobre os lados do quadrado .

e) 4h a) 16 cm

2

b)

20 cm 2

c)

20 2 cm2

d) 16

2 cm2

e)

32 cm 2

16. Uma circunferência de 4cm de raio está dentro de um ângulo de 120º tangenciando os lados do ângulo nos pontos A e B. Achar a área do retângulo inscrito na circunferência que tem, para um dos lados a corda AB .

16 cm 2

a)

d) 16

3 cm2

b)

8 3 cm2

e)

24 cm 2

c) 12

(12 + 4 2 ) cm e) (10 + 12 6 ) cm 2

b)

d) 12,5cm

2

A−9+ A 3

b)

A + 3 + 3A

d)

3− A+ 3

e)

9+ A

c) A − 3 +

A

22. Achar o produto dos valores inteiros de M que fazem com

deles tem o mesmo centro que o quadrado e cada um dos demais tangencia o primeiro círculo e dois lados consecutivos do quadrado. Achar a área do quadrado.

cm2

a)

3 cm2

17. Cinco círculos de 1cm de raio são interiores ao quadrado. Um

a) 18

A A −3 3 A− 3

21. Simplificar a expressão

c)

(12 + 8 2 ) cm

4x2 M que a equação em x, − Mx + = 0 não tenha raízes M 4 reais: a) 0

b) 1

c) -1

2

23. Resolvendo a inequação

2

18. Achar a área do círculo inscrito em um triângulo de lados 9cm,

a) d)

x 1 x2

b) e)

d) -4

e) 4

( x − 1)3  ( x 2 − 4 x + 4) 0 − x2 + x − 1

x2 x =1

c)

x  −2

5cm e 6cm. a)

 2

cm2 b)  cm2 c) 4 cm 2 d) 2 cm 2 e) 5 cm2

AB = 55 cm e AC = 5 cm . Calcule a razão entre a área do triângulo ABC e a área do triângulo BDC

24. Calcular o menor valor positivo de K, para que a raiz real da equação inteiro.

4 − 3 x3 − k = 1 seja um número racional

19. Na figura, temos

a) 1

b) 60

c) 27

d) 37

e) 40

25. Calcular a soma dos valores de m e n de modo que as equações

(2n + m) x 2 − 4mx + 4 = 0 e (6n + m) x 2 + 3(n − 1) x − 1 = 0 tenham as mesmas raízes.

6 a) 5

5 c) 6

b) 1

d)

a)

11 6

e) 2

20. Três círculos de raio igual a 2 cm, são tangentes 2 a 2, nos pontos A, B e C. Calcular a área da figura plana limi- tada pelos menores arcos AB, BC e CA.

(3 2 − 4 ) cm c) ( 2 3 − 2  ) cm e) ( 4 3 − 2  ) cm a)

2 2

2

(2 d) ( 4 b)

) 3 − 4  ) cm

3 − 4  cm2 2

9 5

b)

7 5

c)

−

9 5

d)

−

33 37

e) 1

COLÉGIO NAVAL - 1976 01. Achar o valor de Marcar a frase certa: a)

Todo número terminado em 30 é divisível por 3 e por 5.

b) Todo número cuja soma de seus algarismos é 4 ou múltiplo de 4, é divisível por 4.

b) O baricentro de qualquer triângulo é eqüidistantes dos seus vértices. c) Os ângulos opostos de qualquer quadrilátero inscritível são complementares. d) As diagonais de todo retângulo são iguais e perpendiculares. e) O incentro de qualquer triângulo é eqüidistante dos três lados do triângulo.

c) O produto de dois números é igual ao produto do M.D.C pelo M.M.C desses números.

07. Duas retas paralelas são cortadas por uma terceira reta

d) O M.M.C. de dois números primos entre si é a semi-soma desses números.

x5 + 5 x + 16  0 dados, em graus, pelas expressões − x2 + 5x − 4

e) Toda soma de dois quadrados perfeitos é um quadrado perfeito.

A = 10x + 20 e B = 6x - 20. Calcular B.

02. A raiz cúbica de um número N, é 6,25. Calcular a raiz sexta desse número N.

de modo que dois ângulos colaterais internos são

a) 62º20’

b) 52º12’

d) 67º30’

e) 72º15’

c) 47º30’

08. A razão entre o raio do círculo inscrito para o raio do círculo circunscrito ao mesmo triângulo equilátero é:

2 5 a) 5

b) 2,05

c) 2 5

d)

2 5

e) 1,5

3 3

a)

03. Um capital é empregado à taxa de 8% a.a. No fim de quanto tempo os juros simples produzidos ficam iguais a a) 5 anos e 4 meses

b) 8 anos e 2 meses

c) 7 anos e 3 meses

d) 7 anos e 6 meses

3 do capital? 5

m−1

c) 3

2

d) 4

m

e) 1

05. Em uma Universidade estudam 3000 alunos, entre moças e

2 7 rapazes. Em um dia de temporal faltaram das moças e 3 9 dos rapazes, constatando-se ter sido igual, nesse dia, o número de moças e rapazes presentes. Achar a porcentagem das moças que estudam nessa Universidade, em relação ao efetivo da Universidade. a) 40%

2 3

d)

1 2

e)

3 2

interno de 45º e bases 10cm e 8cm.

36 cm 2

d) 18

 3  5 , de modo que o M.D.C entre o número A e o número 9000 seja 45. b) 2

c)

b) 18cm

2 cm2

e)

2

c)

20 2 cm2

9 3 cm2

10. Calcular o ângulo interno do polígono regular em que o

04. Calcular m, no número A = 2 a) 0

1 3

09. Achar a área do trapézio retângulo que tem um ângulo a)

e) 6 anos e 4 meses

b)

b) 55%

c) 35%

d) 60%

e) 62%

06. Marcar a frase certa: a) O ortocentro de qualquer triângulo é o ponto de interseção de suas medianas.

número de diagonais excede de 3 unidades o número de lados a) 60º

b) 72º

c) 108º

d) 150º

e) 120º

11. A área de um losango é 120cm2 . Calcular o seu perímetro, sabendo que uma das diagonais vale 10 cm. a) 48cm

b) 52cm

c) 60cm

d) 40cm

e) 76cm

12. Dividindo-se um círculo de 8 cm de raio em duas partes equivalentes, por meio de uma circunferência interior ao círculo, qual será o raio do círculo inferior? a)

4 cm2

b)

2 cm2

d)

2 2 cm2

e)

4,8cm 2

c)

4 2 cm2

13. Sobre os lados de um hexágono regular de 4cm de lado, e exteriormente a ele, constroem-se quadrados, de mo- do que cada quadrado tenha um lado em comum com o hexágono. Calcular a área do dodecágono cujos vértices são os vértices dos quadrados que não são vértices do hexágono:

50( 3 + 2) cm

a)

48( 3 + 2) cm

b)

c)

24( 3 + 4) cm2

d) 192cm

2

2

2

e)

36 cm 2

d) 1 < x < 4

e) x > 3

para x = 3. Sabendo que um dos valores de x que anulam esse trinômio é o dobro do outro, dar o valor de p. b) 64

22. A equação

5x 2 − 20

c) x < 2

21. O valor mínimo do trinômio y = 2 x 2 + bx + p ocorre

a) 32

( 2 x − 4)( 2 x + 6 ) :

14. O valor numérico de

a) impossível b) qualquer x real

c) 16

d) 128

2 x+3 − = −1: x −1 x + 1 2

a)

depende do valor dado x

a) tem duas raízes de sinais contrários

b)

é maior que 5, para x maior que 3

b) tem só uma raiz positiva

c)

é menor que 2, para x menor que 1

c) tem uma raiz nula

d)

é nulo para x = 0

d) é impossível

e)

é sempre o mesmo, para x ≠ 2

e) tem só uma raiz negativa

23. Dar os valores de m, na equação mx 2 − 2mx + 4 = 0 ,

15. O resto da divisão de x3 − x 2 + 1 por x − 2 é: a) 4

b) 5

c) 3

d) -2

para que as suas raízes tenham o mesmo sinal.

e) -5 a)

16. O M.D.C. dos polinômios x3 − x 2 + 6 x e x3 − 3x 2 + 2 x é: a)

x − 3x 2

x − 2x 2

b)

c)

x + 2x 2

d)

x−2

e)

m  0 b) m  3 c) m  7 d) m  5 e) m  4

24. Um recipiente é dotado de duas torneiras. A primeira

x

17. O número 38 é dividido em duas parcelas. A maior parcela

torneira esvazia-o em um tempo inferior a outra de 30 minutos. Sabendo que as duas torneiras juntas esvaziam o recipiente em 20 minutos, determine em quanto tempo a primeira torneira esvazia 60% do recipiente.

dividida pela menor dá quociente 4 e resto 3. Achar o produto dessas duas partes:

a) 18 minutos

b) 30 minutos

a) 240

d) 20 minutos

e) 12 minutos

b) 136

c) 217

d) 105

e) 8

e) 380

c) 15 minutos

25. Dois inteiros positivos, primos entre si x e y, satisfazem 18. Sabendo que na equação x + Bx − 17 = 0 , B é positivo e que 2

as raízes são inteiras, achar a soma das raízes: a) 17

b) 16

19.

Dar

c) -17

a

d) -10

soma

das

raízes

da

2 x − 4 − 3 2 x − 4 = −2 a) 12,5

b) 11,5

20. Resolver a inequação

c) 7

a) 6 b) 8

e) -16

4

d) 7,5

x5 + 5 x + 16 0 − x2 + 5x − 4

e) 0

a equação

equação

y 2 − 6 xy − 7 x 2 = 0. . Achar a soma x + y. c) 4

d) 10

e) 13

COLÉGIO NAVAL - 1977 01. O valor de

16 8  6 0,125 é:

3

07. A medida da distância entre os centros de 2 circunferências é dada pelo número 13 e os raios são representados pelos números 4x - 3 e 2x - 1. A soma dos valores de x inteiros que tornam as circunferências secantes, sendo o 1º raio maior que o 2º, é: a) 6

a)

2 8

b)

3

4 4

c)

4 2

d)

3

4 2

e)

6

4 2

respectivamente. Sabendo que o produto desses 3 números é xyz = 960, a soma será: b) 48

c) 36

d) 72

c) 13

d) 20

e) 22

08. Um ponto está a 3 2 cm e 3cm, respectivamente, de 2 duas

02. Os números x, y e z são diretamente proporcionais a 3, 9 e 15

a) 45

b) 25

retas de seu plano que se cortam em um outro ponto que está a 6cm do primeiro. O ângulo entre as retas mede: a) 60º

b) 90º

c) 75º

d) 80º

e) 83º

e) 24

2 03. Em uma prova realizada em uma escola, foram reprovados 25% 09. Um triângulo ABC tem 96 m de área. AM e BN são

dos alunos que a fizeram. Na 2ª chamada, para os 8 alunos que faltaram, foram reprovados 2 alunos. A porcentagem de aprovação da turma toda foi de: a) 23%

b) 27%

c) 63%

d) 50%

duas medianas e P é o ponto de inserção dessas media- nas. A área do triângulo PMN é de: a) 10 m

e) 75%

04. O MMC de dois números é 300 e o MDC desses números é 6. O quociente entre o maior e o menor desses nú- meros: b) tem 4 divisores positivos

c) é um número primo

d) tem 6 divisores positivos

3 da 2

largura e o seu perímetro é de 100m. O terreno foi vendido à razão de R$3000,00 o are e ficou combinado que a metade do preço seria paga na hora e a outra metade seria paga 18 meses depois com um juros de 8% ao ano. O custo total do terreno ficou em b) R$21800,00

d) R$25800,00

e) R$19440,00

8 m 2 c) 12,5 m2 d) 9, 6 m2 e) 6, 4 m2

10. A área do segmento circular determinado por uma corda de

c) R$23640,00

06. Assinale a frase falsa: a) Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são iguais ou suplementares

 9  − 6 3  cm2   3 

a)

 8  − 3 3  cm 2   3 

b)

c)

( 4 − 3 3 ) cm

d) 

e)

 16  − 2 3  cm2   9 

e) nada se pode afirmar

a) R$19080,00

b)

4 3 cm em um círculo de 4cm de raio é:

a) pode ser 2

05. Um terreno retangular tem o comprimento igual a

2

 16  − 4 3  cm2  3 

2

11. A área de um triângulo equilátero inscrito em uma 2

circunferência tem 200 cm . A área do hexágono regular inscrito na mesma circunferência medirá: a) 1200 d)

cm2

800 cm2

b)

450 cm2

e) 1000

c)

600 cm2

cm2

b) O triângulo retângulo de catetos 6m e 8m, tem a altura 12. Em um círculo de centro em P e 20 cm de raio está inscrito relativa à hipotenusa igual a 4,8m. c) Se os ângulos opostos de um quadrilátero são iguais, o quadrilátero é um paralelogramo.

um ângulo de 30º formado por duas cordas iguais

d) A diferença entre o ângulo interno e o ângulo central de um pentágono regular é 60º.

a) 150

3 cm2

b)

e) O hexágono regular tem 9 diagonais.

d) 100

3 cm2

e) 100(

MA e

MB . A área do quadrilátero MAPB é de: 200 cm2 c) 200( 3 + 1) cm2

3 + 1) cm2

13. Uma corda de uma circunferência divide um diâmetro da mesma circunferência em partes proporcionais a 1 e 3. Sabendo que a corda é perpendicular ao diâmetro, vamos ter que a razão do arco maior para o arco menor determinados pela referida corda é: a) 5

b) 4

c)

3 2

d) 3

e) 2

14. No triângulo isósceles ABC, o ângulo em A, oposto à base, tem

a) p = 6q + 2

b) p + q = 7

d) p - 2 = 0

e) 2p + 3q = 8

ponto D, podemos afirmar que a)

( AB )

d)

DC  BC

2

( AD )

b)

AC + BC

e)

DB  DC

a 4 − b4 2ab − 2 2 2 2 2 2 (a + b + 2ab)(a + b − 2ab) a − b

20. Simplificando para b 

 a obtém-se:

a) 1

b)

36º e a bissetriz do ângulo em B intercepta o lado AC em um

c) 3q = p + 2

a+b a−b

c)

b a

d)

a−b a+b

e)

a b

2

é igual a: c)

21. Uma liga ouro e cobre contém 9 partes de ouro para 12 de cobre. Outra liga, também de ouro e cobre tem 60% de ouro. Para se obter uma liga com 36 gramas e partes iguais de ouro e cobre, devemos tomar das ligas iniciais:

AC  DC

a) 12 gramas da 1ª e 24 gramas da 2ª

15. As tangentes tiradas de um ponto P a um círculo de centro O e 4cm de raio formam um ângulo de 60º e tocam o circulo nos pontos Q e T. A área do quadrilátero PQOT é de:

b) 24 gramas da 1ª e 12 gramas da 2ª c) 18 gramas de cada uma d) 21 gramas da 1ª e 15 gramas da 2ª

a)

8 3 cm

d) 12

2

b) 16

3 cm2

e)

3 cm

2

c)

24 3 cm

2

e) 16 gramas da 1ª e 20 gramas da 2ª

32 3 cm2

22. Uma das raízes da equação

16. A soma da média aritmética com a média geométrica das raízes da equação a)

ax 2 − 8 x + a3 = 0 dá:

4 − a2 a

b)

−4 + a 2 a

c)

8 + a2 a

4 + a2 a

d)

c) 5

17. Um retângulo é tal que se aumentarmos de 1cm a menor de suas dimensões, a sua área aumentará de 20%, mas se tivéssemos aumentado cada uma das dimensões de 2cm, a área seria aumentada de 75%. O perímetro do retângulo é de: a) 32cm

b) 24cm

c) 26cm

d) 20cm

e) 28cm

18. Uma expressão do 1º grau em x se anula para x = 2 e tem

2 − 8 para x = 1. O valor numé- rico dessa expressão para x = 8 é: valor numérico

a) 1

b)

4 2

c)

2

d)

3 2

e)

2 2

19. Se as equações do 2º grau (2 p + q) x 2 − 6qx − 2 = 0 e

(6 p + 3q) x 2 − 3( p − 2) x − 9 = 0 raízes, então:

possuem

as

mesmas

a)

2

b)

− 5

c)

2 + x − 2 − x = 2 è:

− 3

1 1 3  − = 23. O sistema  x y 8  xy = 16 

d)

− 2

e)

6

admite para x e y valores

positivos cuja soma é: a) 6

b) 10

c) 12

d) 14

e) 16

24. Se abc  0 e a + b + c = 0, o trinômio

y = ax 2 + bx + c : a) pode ter raízes nulas

b) não tem raízes reais.

c) tem uma raiz positiva.

e) tem as raízes simétricas.

d) só tem raízes negativas.

25. A razão entre as áreas dos quadrados inscritos em um semicírculo e num círculo de mesmo raio é igual: a) 1:2

b) 2:3

c) 2:5

d) 3:4

e) 3:5

06. O máximo divisor comum dos polinômios x3 − 5 x 2 + 6 x

COLÉGIO NAVAL – 1978 ANULADA

e

(A) x− 1 (D) x+ 1

01. A área do quadrilátero circunscrito a um círculo de 4 cm de raio e que tem para soma dos comprimentos de dois de seus dois lados opostos 17 cm , é: (B) 34 cm2

(A) 68 cm2 (D)

51 cm 2

(C) 136 cm

x2 − 4 x + 3 é :

2

(E) 40 cm2

(B) x− 2 (E) x+ 3

(C) x− 3

07. Para que o trinômio y = x2 − 4 x + k tenha seu valor mínimo igual a −9 , o maior valor de x , que anula este trinômio, é: (A) 2 (B) 4 (C) 1 (D) 5 (E) 3

08. A

soma dos cubos das x − 3 3x+ 3 9 = 0 é : (A) −3 (B) −12 (D) 12 (E) −6

raízes

da

equação

2

02. A hipotenusa do triângulo retângulo, em que as medianas dos catetos medem

17cm e

8 cm, tem :

(A) 5 2 cm

(B) 2 5 cm

(C) 5 cm

(D) 8 cm

(E) 4 2 cm

(C) −9

09. ABC é um triangulo retângulo em A , de hipotenusa

igual a 8 cm. O ângulo C mede 30 º . Ligando o vértice ___

03.

C a um ponto M do cateto oposto AB , e sendo P o pé A área de um círculo inscrito em um setor circular de 90 º , de um círculo de 3 + 3 2 cmde raio, é :

(

( 4 + 3 2 ) cm ( 27 + 18 2 )  cm (C)

)

2

(A)

2

4 2 (E) 9 cm

(B)

(3 − 4 2 ) cm

(D)

( 4 − 3 2 ) cm

___

2

valor de MB é :

( (D) 8 ( (A)

2

04. Um triângulo eqüilátero ABC tem 16 3 cm de área. Do ponto

) 2 − 1) cm

2 + 1 cm

(B)

(

)

2 + 1 cm

(C) 3 5 cm

(E) 2 3 cm

igual a 30 º , o menor arco QS é dobro do menor arco ___

___

___

Q sobre BC, traçamos paralelas aos outros dois lados, determinando os pontos P e R sobre estes lados. O perímetro do paralelogramo APQR mede: (A) 24 cm (B) 16 cm (C) 12cm (D) 8 3 cm (E) 16 3 cm

05. A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 29 , e a diferença entre as somas dos ângulos internos destes polígonos é de 360 º . A soma dos números de lados dos dois polígonos é: (A) 22 (B) 28 (C) 32 (D) 36 (E) 35

06. O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é 2 cm. A área deste triângulo é igual a: (A) 1+ 3 cm2 (B) 2 − 2 cm2 3 (D) cm2 (E) 3 − 2 2 cm2 2

)

3

10. Na figura abaixo temos que a medida do ângulo A é 2

(

___

da perpendicular baixada de M sobre a hipotenusa CB, obtém-se os triângulos AMC e MBP de mesma área. O

( (

)

)

2

(C) 3 cm

PR e as cordas PQ e RS são iguais. A razão da corda ___

___

QS para a corda PR é : 3 (A) 2 (B) 2 (C) 2

Q P A

(D) 3 (E) faltam dados

11. Na ___

R S

figura ___

___

abaixo, ___

___

AD = DF = FC = AE = EG = GB = 2cm ___

temos

___

BC = 6 2 . A área do trapézio DEGF é igual a:

e

(A) 2 2 cm2

B =  x  Z | − 2  2 x + 2  2

A



2

(B) 6 cm (C) 3 cm2 (D) 4 2 cm2

E

C = x  (R

D

G

Então, (A) A − C = 0 

F

(E) 4 cm2

comum de dois múltiplos de um número inteiro N é 4235 . O número N é: (A) 385 (B) 77 (C) 55 (D) 11 (E) 35

13. Se, ao efetuarmos o produto do número 13 por um número inteiro N de dois algarismos e, por engano, invertemos a ordem dos algarismos desse número N , o resultado poderá aumentar de (A) 130 (B) 260 (C) 65 (D) 167 (E) 234

14. Os ângulos internos de um quadrilátero convexo são proporcionais aos números 3 , 7, 10 e 12. O menor dos ângulos mede: (A) 16º 52' 30" (B) 11º 15' (C) 27º 20' (D) 33º 45' (E) 31º 12' 17"

15. Se 30 operários gastaram 18 dias , trabalhando 10horas por dia, para abrir um canal de 25 metros , quantos dias de 12horas de trabalho 10opeários, que têm o triplo da eficiência dos primeiros, gastarão para abrir um canal de 20 metros, sabendo-se que a dificuldade do primeiro está para a do segundo do como 3 está para 5 ? (A) 20 dias (B) 24 dias (C) 60 dias (D) 25 dias (E) 13 dias

16. Certa pessoa pesava 65 quilos no dia primeiro de setembro. Durante este mês, seu peso diminuiu de 20%. Todavia, durante o mês de outubro, seu novo peso aumentou de 20%. Esta pessoa pesará, no dia primeiro de novembro: (A) 78 quilos (B) 65 quilos (C) 62 ,4 quilos (D) 54 ,95 quilos

(E) 63 ,4 quilos

17. O resto da divisão por 5 do número 57439319 é : (B) 2

(C) 1(D) 4

(E) 3

18. Seja R o conjunto dos números reais e Z o conjunto dos números inteiros. Seja



(C) C A = A

C

12. O produto do mínimo múltiplo comum pelo máximo divisor

(A) 0

 

(B) C− B = 2 (E) A  B = C

(D) A  C = B B



Z) | x2 − 2  x = 0



A = x  R | x3 + x = 0

19. Para que 4 + 11 sejam uma das raízes da equação

x 2 − Bx + C = 0 , com B e C inteiros , o produto BC será (A) 20

(B) 40

(C) 30

(D) 60

(E) 64

20. Para que, no sistema x + my = 6  x y  m + 3 = 2 O valor de x seja o dobro do valor de y , m pode ter valores cuja soma é: (A) 1 (B) −2 (C) 3 (D) −1 (E) 5

21. Na solução do sistema 3 2 2 3 2 2  x + 3 x y + 3 xy + y = 2x + 4 xy + 2y  2 2 2 2  2x − 4 xy + 2y = x − y encontramos, para x e y , valores tais que x+ y é igual a (A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) 5 (E) −3

22. O menor número inteiro que se deve somar ao polinômio x3 + x − 1, para que o resto da sua divisão por x+ 3 seja um número par positivo, é: (A) 33 (B) 31 (C) 39 (D) −1 (E) 29

23. Todos os valores de x que satisfazem a expressão

−15  3x 2 − 2 x − 20  20 , são os do intervalo :  10   5  (A)  − ,−1   ,4   3  3   −10 ,−1   5 ,3  (C)      3  3  5  (E)  ,4  3 

5  (B) (− 3 ,−1)   ,4  3   −10 ,−2    5 ,4  (D)      3  3 

24. O valor de K positivo, para que a diferença das raízes da equação (A) 6 (D) 1

x 2 − 2Kx + 2K = 1 seja 10 , é : (B) 8 (E) 10

(C) 5

COLÉGIO NAVAL – 1978 01. Sejam os conjuntos X = {-1, 0, 1, 2};  = conjunto vazio; Y = Conjunto dos números pares positivos que são primos; Z = Conjunto dos múltiplos de 2 que têm um algarismo e que não são negativos. É falso afirmar que: a)

{x  ( X  Y ) / x  3} = 

b)

{x  ( X − Y ) / x  4} = {−1,0,1}

c)

{x  ( X  Y ) / x  5} = X

d)

{x  ( X  Y ) / x  2} = {2}

e)

{x  (Z − Y ) / x  8} = Z − {8}

06. Depois

de

transformarmos

  x − xy − yx + y = 16  3 2 2 3   x − xy + yx − y = 32 3

2

2

o

sistema

3

em um do 1º grau, os

valores de módulo diferentes de x e y têm para módulo da diferença: a) 1

b) 5

c) 4

d) 3

07. O valor mais aproximado de

a) 0,045

b) 0,125

e) 2

16−0,75 + 5 0, 00243 é: 2 + 4,333... 3

c) 0,315

d) 0,085

e) 0,25

08. Se na equação ax 2 + bx + c = 0 a média harmônica 02. A 3

soma

das

raízes

da

equação

54 x − 27 6 − 1458 x − 729 = −2 é: 3

a) 20,5

b) 10,5

c) 33,5

d) 30,5

e) 23,5

03. Um retângulo tem dimensões 8cm e 6cm. De cada vértice traça-se a bissetriz interna. A área do quadrilátero cu- jos vértices são as interseções das bissetrizes é: a)

3cm 2 b) 4 cm2

c)

6 cm2 d) 2 cm2 e) 12 cm 2

das raízes é igual ao dobro da média aritmética destas raízes, podemos afirmar que: a)

2b 2 = ac

b)

b2 = ac

d)

b 2 = 4ac

e)

b 2 = 8ac

0,5dam de largura. Sabendo-se que para ladrilhar a cozinha foram usados ladrilhos quadrados de lado 15cm, ao preço unitário de R$0,30 e que comprou-se 8% a mais do número de ladrilhos necessários para eventuais perdas, a despesa na compra de ladrilho foi de: a) R$324,00

b) R$234,00

equação x − 2(k + 1) x + k + 2k − 3 = 0 tenha uma de suas raízes igual ao quadrado da outra é:

d) R$243,00

e) R$342,00

a) 3

b) 4

2

c) 5

d) 6

consecutivos de um octógono regular de 6 2 cm de lado. Ligando-se os pontos A1, A2, A3, A4 obtém-se um trapézio cuja área é, em cm2. de:

d)

2 + 1)

36( 2 + 2)

b)

24( 2 + 2)

e)

36( 2 + 1)

c)

c) R$423,00

10. O comprimento do arco de um setor circular com

6  cm2 de área, de um círculo com 12cm de raio é:

e) 7

05. A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 são os vértices

a) 18(

b 2 = 2ac

09. O piso de uma cozinha tem 0,045hm de comprimento e

04. A soma dos valores reais de k que fazem com que a 2

c)

24( 2 + 1)

a)

4 cm

b)

3  cm 2

d)

2 cm

e)

 cm

c)

3 cm

11. A divisão de um número inteiro e positivo A pelo número inteiro positivo B dá o quociente Q e deixa o resto R. Se aumentarmos o dividendo A de 9 unidades, mantendo o mesmo divisor B, a divisão dá exata e o quociente aumenta de 2 unidades. O menor valor da soma A + B que satisfaz as condições acima é:

a) 9

b) 11

c) 8

d) 10

e) 13

12. Certa máquina, trabalhando 5 horas por dia, produz 1200 peças em 3 dias. O número de horas que deveria tra- balhar no 6º dia, para produzir 1840 peças se o regime de trabalho fosse de 4 horas diárias seria: a) 18 horas

b) 3,75 horas

d) 3 horas

e) Nenhuma hora

c) 4,5cm

 R2 + 3 12

17. Sejam N = o conjunto dos inteiros não negativos; Z = o

a projeção do lado c sobre o lado b mede: b) 4cm

e)

4

c) 2 horas

13. Num triângulo de lados a = 148 cm, b = 6cm e c = 8cm a) 3cm

d)

 R2 + 3

d) 3 ,5cm

conjunto dos números inteiros e Q = o conjunto dos números racionais. Podemos afirmar que: a) {x 

/ x  0} = Z − {0}

e) 5cm

14. O produto de dois números inteiros é 2880. O primeiro

b) {x (

3 1  ) / x 2 − x + = 0}   2 2

destes números é um quadrado perfeito e o segundo não é quadrado perfeito, mas a raiz quadrada do segundo por falta excede a raiz quadrada do primeiro de 2 unidades. O maior destes dois números é:

c) {x 

/ 2 x − 5 = 0} 

d) {x 

/ x 2 − 4 = 0} 

a) múltiplo de 15

b) menor que 50 c) maior que 90

e)

d) menor que 68

e) maior que 70

15. Um triângulo retângulo tem os catetos medidos 3cm cada um. Tomando-se os catetos e a hipotenusa como la- dos, construirmos externamente 3 quadrados cujos centros são os pontos A, B e C. A área do triângulo ABC é: a)

9 2 cm 2

b) 18cm

d)

9 2 cm 4

e)

2

c)

9 cm2

6 cm2

16. Determine a área da figura hachurada OBCD sabendo

R ;O é o centro do círculo; CD 2 é o paralelo a OB ; AB e XY são diâmetros perque

 ( R 2 + 3) 4

R 2 (2 + 3 3) b) 24 c)

=

18. Dois ângulos internos e opostos de um quadrilátero inscrito em uma circunferência são proporcionais aos números 2 e 5. O menor desses ângulos mede: a) 24º22’23

4" 7

d) 37º27’32

6 7

R 2 (3 + 3)



b) 35º22’35

3" 7

e) 52º23’35

5 7

"

c) 51º25’42

6" 7

"

19. A soma dos valores inteiros e positivos de x que satisfazem a inequação

− x2 + 4 x + 7  1 dá: − x 2 + 3x + 4

y = Px − P − 3 − x 2

OB = R ; OD =

pendiculares. a)

 

a) 8

b) 10

c) 6

d) 9

e) 14

20. Um losango é interno a uma circunferência de 6cm de raio, de maneira que a diagonal maior do losango coincide com um diâmetro da circunferência. Sabendo que um dos ângulos internos do losango tem 60º podemos afirmar que a área deste losango é: a) 12

d)

3 cm2

6 3 cm2

b)

e)

24 3 cm2 36 3 cm2

c)

48 3 cm2

21. Se P( x) = ax 2 + bx + c e P(k) é o seu valor numérico para x = k e sabendo que P(3) = P(-2) = 0 e que P(1) = 6, podemos afirmar que P(x) a) tem valor negativo para x = 2

27 4

b) tem valor máximo igual a

c) tem valor máximo igual a

11 4

d) tem valor máximo igual a

25 4

e) tem valor mínimo igual a

−

25 4

22. Um ponto P dista d de uma circunferência de raio R. Do ponto P traçam-se as tangentes PA e PB à circunferência. A expressão da flecha menor da corda AB é: a)

d−R d+R

b)

( d + R )( d − R )

d)

dR R − d2

e)

dR R + d2

2

c)

dR d+R

2

23. Num triângulo de vértices A, B, e C, os lados opostos medem respectivamente a = 13cm, b = 12cm e c = 5cm. O círculo inscrito tem centro em O e tangencia os lados a e b respectivamente nos pontos T e P. A área do quadrilátero CTOP mede: a) 6cm2

b)20cm2

c)4cm2

d)10cm2

24. O quociente de dois números inteiros dá

e) 8cm2

7 e o mínimo 4

múltiplo comum entre esses dois números é 1680, o máximo divisor comum terá a) 12 divisores

b) 16 divisores

d)10 divisores

e) 20 divisores

c) 8 divisores

25. A soma de todos os valores inteiros e positivos de P que fazem com que y = Px − P − 3 − x seja negativo para qualquer valor de x é: 2

a) 21

b) 28

c) 10

d) 14

e) 15

a) 14

COLÉGIO NAVAL - 1979 01. Um quadrilátero é circunscritível a um círculo e tem os lados proporcionais aos números 6 , 18, 24 e 36 e a soma das medidas de dois lados opostos dá 14 . Podemos dizer que o produto dos dois lados maiores dá: a) 24 b) 96 c) 72 d) 60 e) 100

b) 19

c) 2 25

d) 116

e) 9 16

09. Um trapézio retângulo tem a base maior medindo 9 cm e uma diagonal medindo 6 cm é perpendicular ao lado não paralelo. A área do trapézio é de: a) 18 5 cm2 b) 15 5 cm2 c) 13 5 cm2 d) 27 5 cm2

e) 16 5 cm2 ___

___

02. Um paralelogramo está inscrito em uma circunferência e um 10. Em um círculo as cordas AB e CD são perpendiculares e de seus ângulos internos mede em graus 7x − 20º . O valor de x é:

3" 7 2" d) 15º 45´35 7 a) 15º 42´51

b)

15º 43´17

1" 7

c) 15º 40´32

1" 7

e) O problema é impossível

2º

grau

px − 4 p x + 24 p tenha máximo igual a 4K , quando x= K é: 2

a) 2

___

b) −2

d) −3

c) 3

e) 1

I . Sabendo que AI = 6 cm ,

___

IB = 4 cm ; CI = 2 cm , podemos dizer que a área do círculo é de : (A) 144 cm2 (D) 60  cm2

03. O valor de p para que o trinômio do 2

___

se cortam no ponto

(B) 100 cm2 (E) 50  cm2

(C) 120 cm2

11. O número de divisores de X = 2 5  3 2  6 2 é : a) 54

b) 28

c) 20

d) 9

e) 40

___

___

12. No triângulo ABC , AB = 12 e AC= 8 . A bissetriz interna ___

04. Um polígono regular convexo tem o ângulo interno medindo

do ângulo em A corta o lado BC em D e a bissetriz externa

150 º . O número das diagonais deste polígono que não

do mesmo ângulo corta o prolongamento do lado BC em E . A razão da área do triângulo ACE para a para a área do triângulo ABD é : a) 8 3 b) 3 2 c) 4 9 d) 103 e) 5 2

passam pelo seu centro é: a) 48 b) 42

c) 54

d) 65

e) 30

05. O lado de um losango é igual ao lado de um quadrado. Tendo áreas diferentes, a soma de suas áreas dá 18cm2 . A soma das duas diagonais do losango dá : a) 6 2 cm b) 8 2 cm c) 9 2 cm d) 12 2 cm

e) 10 2 cm

06. Se a distância do ponto P ao centro de um círculo aumentar 2 de sua medida (x) a potência do ponto P em relação 5 ao círculo aumentará de :

___

13. Sejam os conjuntos: X = conjunto dos números ímpares positivos que têm um algarismo. Y = conjunto dos divisores ímpares e positivos de 10 . Z = conjunto dos múltiplos não negativos de 3 , que têm um algarismo .  = conjunto vazio.

de

a)

20% de x 2

b) 42%

d)

86% de x 2

e)

de x 2

c)

96% de x 2

92% de x 2

07. O valor de K na equação x 2 + Mx + K = 0 , para que uma de

Assinale a afirmativa correta a) X− Y = 3 , 6, 7, 9 b) Y − X = 3 , 7, 9 c) (X Y) − (X Z) = 3 , 6, 7, 9, 0  d) (Y  Z)  X = 1, 3, 5, 7, 9 e) Z − Y = 

suas raízes seja o dobro da outra e o seu discriminante seja igual a 9 é 14. Em um círculo uma corda AB de 4 2 cm forma com a) 20 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 uma tangente ao círculo no ponto A um ângulo de 45º . O menor arco tem comprimento medindo: 08. Dois círculos se tangenciam extremamente e ambos tangenciam a) 6 cm b) 4 cm c) 2 cm os lados de um ângulo de 60 º que os contém. A razão da área d) 8 cm e) 4 3  cm do menor círculo para a área do maior é:

15.Simplificando

( 2x

2

)(

− 4x + 8 . x − 4 2

a)

2 (x + 2)

2  x3 + 128 b) 2 (x − 2)

d)

2

e)

2

) vamos encontrar:

c)

(

2 x2 − 4

)

20. O maior divisor comum dos 3 polinômios: x2 − 4 x + 4 ; 2x2 − 8 ; mx+ p é x− 2 . Então:

a) p − m = 0

b) 2p − m = 0

d) p + 2m = 0

e) p − 2m = 0

c) 2p + m = 0

21. Com uma produção diária constante, uma máquina

2

produz 200 peças em D dias . Se a produção diária fosse

16. O sistema

de mais 15peças , levaria menos 12dias para produzir as

 mx + y = 1 + 3 x  2 x − 3 y = my

200 peças . O número D é um número :

a) é possível e determinado para todo m b) é impossível para m 2 e m  1. c) é possível e indeterminado para m= 2 e m− 1. d) não é indeterminado, qualquer que seja o valor de m . e) não é impossível, seja qual for o valor de m .

a) múltiplo de 6 d) maior que 24

22. Sendo x e y números positivos e x maior do que y , que satisfazem o sistema

x+ y + x− y =5 x2 − y 2 = 6

17. As divisões, do número x por 4 e do número y por 3 , têm resultado exatos e iguais. Sabendo que o menor múltiplo comum multiplicado pelo maior divisor comum desses dois números x e y , dá 588 , podemos dizer que a soma x+ y dá a) 36 b) 52 c) 49 d) 42 e) 64

18. Sejam os conjuntos : N = conjunto dos inteiros não negativos Z = conjunto dos inteiros Q = conjunto dos racionais R = conjunto dos reais Assinale a afirmativa falsa a)

x  N

elemento.

 c)  x  R



| x2 − 4 = 0

| x

2

 + 4 = 0

elementos. d)

x  Z



| x2 − 4 = 0

é um conjunto que tem dois

x

d) 45

e) 45 ,5

3 de uma peça de fazenda 10 com um lucro de 30% e a parte restante com um prejuízo de 10% . No total da operação, o comerciante: a) teve um lucro de 20% . b) teve um lucro de 2% . c) teve um prejuízo de 20% . d) teve um prejuízo de 20% . e) não teve lucro nem prejuízo

23. Um comerciante vendeu

24. A expressão a)

3

3

−2

d) − 12 é um conjunto que tem dois

elementos. e)

vamos ter x2 + y2 igual a: a) 48 ,5 b) 42 c) 40 ,5

é um conjunto com um

b) x  Q | x − 3 = 0 é um conjunto vazio. 2

b) primo c) menor que 17 e) entre 17 e 24

 Z | x  N é um conjunto não vazio.

3 2 x + y =  2  3 x + y = m − 4m + 1 quando x assume o seu valor mínimo é : a) 11 b) 1 c) 7 d) 15

25. A soma dos quadrados dos inversos das raízes da equação

e) 9

Kx 2 − Wx + p = 0 , sendo Kp  0 , é :

W 2 − 2 Kp p2 2Kp − W 2 c) p2 a)

19. O valor de y no sistema :

0 ,25 − 3 2 é equivalente a: 3 2 3 2 b) c) −1 4 e) 3 0 ,5

W 2 − 4 Kp p2 4Kp − W 2 d) p2 b)

e)

Kp W

07. A área do losango que tem um ângulo interno de 120º e

COLÉGIO NAVAL - 1980 01. PQ é a corda comum de duas circunferências secantes de centros em A e B . A corda PQ , igual a 4 3 cm, determina, nas circunferências, arcos de 60 º e 120º . A área do quadrilátero convexo APBQé:

( 6 3 ) cm (C) (12 + 6 3 ) cm (E) (16 3 ) cm (A)

2

(B) 2

(3

(D) 12

)

3 + 12 cm2 cm 2

que circunscreve um círculo de 16 cm2 de área é de: 132 3 (A) 64 3 cm2 (B) 128 3 cm2 (C) cm2 3 128 80 (D) (E) 3 cm2 3 cm2 3 3

08. Em uma circunferência de 6 cm de raio estão os arcos AB = 60 º e BC= 120º . A altura do triângulo ABC relativamente ao maior lado mede: (A) 2 3 cm (B) 2 cm (C) 5 3 cm (D) 3 3 cm

(E) 4 3 cm

2

09. Um triângulo isósceles tem o ângulo de 30 º formado

02. A razão entre as áreas de dois círculos tangentes exteriores dá 9 e a soma dos comprimentos de suas circunferências 8 cm. Uma tangente comum aos dois círculos corta a reta que contém os dois centros em um ponto exterior P que está a uma distância do centro do círculo maior de: (A) 5 cm (B) 7 cm (C) 4 cm (D) 3 cm (E) 6 cm

03. Uma figura de 6 pontas é obtida pela arrumação de 2 triângulos equiláteros circunscrito ao círculo de 4 cm de raio, de maneira que os lados fiquem 2 a 2 , paralelos. A área dessa figura: (A) 32 3 cm2 (B) 64 3 cm2 (C) 96 3 cm2 (D) 36 3 cm2 (E) 72 3 cm2

04. Na base AB de um triângulo isósceles de vértice C , toma-se o ponto P . A base mede 3 cm e o perímetro 17 cm . Do ponto P tomam-se paralelas aos lados iguais, obtendo um paralelogramo que terá de perímetro: (A) 20 cm (B) 23 cm (C) 14cm (D) 18 cm (E) 16 cm

05. Um quadrilátero convexo inscrito em um círculo de 3 cm de raio tem dois ângulos internos iguais. Um 3 o ângulo interno mede 150 º . A soma das diagonais dá:

( 3 + 3)cm (D) ( 2 + 3 3 )cm (A)

(B) 9 cm

(

)

(C) 6 cm

(D) 16cm2

06. A área do círculo inscrito no trapézio que tem 32 3 cm de 2

(E) 64 cm2

10. Um paralelogramo tem 24 cm de perímetro, 24 cm2 de área e uma altura é o dobro da outra . A soma dessas alturas dá: (A) 5 cm (B) 7 cm (C) 9 cm (D) 11 cm (E) 13 cm

11. Um

exercício sobre inequações tem como resposta x  R / x  −1 ou 0  x  5 . O exercício pode ser : x2 − 4 x − 5 3 (A) (B) − x + 4 x + 5 x  0 0 −x

(

(

)

(C) x − 4 x − 5 x  0 (E)

3

2

(D)

−x 0 x2 − 4 x − 5





)

1 0 − x + 4 x2 + 5x 3

12. Sendo −3, − 2, − 2, − 1, 1 será vazio o conjunto :  (A) x X | 

(E) 3 + 3 3 cm

área, e 16 cm para soma dos lados não paralelos é de: (A) 18 cm2 (B) 12 cm2 (C) 27 cm2 (D) 16 cm2 (E) 9 cm2

pelos lados iguais, que mede 8 cm cada um . A área desse triângulo é de : (A) 16 3 cm2 (B) 8 3 cm2 (C) 12cm2

 2 x2 − 1 = 2  

  2 3 (C) x X | x + x = x + x (D) x X | x − x + 2 = 0 (B) x X | x2  1 e x  −2

  x2 + 5 (E) x  X |  0 − x+ 2  

13. Se

P ( x ) = ax 2 + bx + c

P ( −1)  P (1)  0

e

e

P (1)  P ( 2 )  0 , P(x) pode admitir, para raízes, os números : (A) 0 ,3 e 3 ,2 (D) 0 ,7 e 1,9

14. O

(C) −0 ,3 e 0 ,5

(B) −2,4 e 1,5 (E) 1,3 e 1,6

triângulo

do

(

segundo

y = ( K + 1) x + ( K + 5 ) x + K − 16 2

2

grau

)

apresenta

máximo e tem uma raiz nula. A outra raiz é : (A) uma dízima periódica positiva (B) uma dízima periódica negativa (C) decimal exata positiva (D) decimal exata negativa (E) inteira

representa o quociente

(A) 1

o

16. A

(C) 4 o

(B) 6 o soma

é: (E) 2 o

(D) 8 o

das

(E) 1

20. Se o trinômio : y = mx ( x − 1) − 3x 2 + 6 admite (−2 ) como uma de suas raízes, podemos afirmar que o trinômio : (A) tem mínimo no ponto x = −0 ,5 (B) pode ter valor numérico 6 ,1 (C) pode ter valor numérico 10 (D) tem máximo no ponto x = 0 ,5 (E) tem máximo no ponto x = 0 ,25

21. Em um problema de regra de três composta, entre as

15. Sendo B e C números inteiros, o grau do polinômio que

(x3 − Bx2 + 3 x − 1)4 .(x2 − 7x)2 (x2 + Cx− 3 )4 + (x2 − 3 )4

obtemos: x+ 2 x− 2 x− 2 x+ 1 (A) (B) (C) (D) x− 1 x− 2 x− 2 x+ 2

soluções

variáveis X , Y e Z , sabe-se que, quando o valor de Y aumenta, o de X também aumenta; mas, quando Z aumenta, o valor de X diminui , e que para X= 1 e Y = 2 , o valor de Z = 4 . O valor de X , para Y = 18 e Z= 3 é : (A) 6 ,75 (B) 0 ,333 ... (C) 15 (D) 12 (E) 18

22. Se, ao multiplicarmos o número inteiro e positivo N por da

equação 2 x + 1 − 4 3 2 x + 1 + 3 6 2 x + 1 = 0 dá um número: (A) nulo (B) par entre 42 e 310 (C) ímpar maior que 160 (D) irracional (E) racional

3x − 4 17. Para se decompor a fração 2 na soma de x − 5x + 6

outro número inteiro e positivo de 2 algarismos, invertemos a ordem dos algarismos deste segundo número, o resultado fica aumentado de 207 . A soma dos algarismos que constituem o número N dá : (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

23. Dois veículos partem juntos de um ponto A , em uma corrida de ida e volta entre os pontos A e B . Sabendo ___

duas outras frações com denominadores do 1o grau, a soma das constantes que aparecerão nos numeradores dará : (A) 3 (B) −5 (C) 6 (D) −4 (E) 5

que a distância AB = 78 km e que as velocidades dos veículos são 70 kmh e 1000 metros por minuto , concluímos que eles voltam a se encontrar depois do tempo de : (A) 1h 30min . (B) 1h 12min. (C) 1h 40min . (D) 1h 42min. (E) 1h 36min .

18. Relativamente às operações com conjuntos, é falso

24. O número inteiro e positivo N , de dois algarismos ,

afirmar que : (A) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (B) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (C) se A  B =  então A − B = A (D) se A  B = B  A então A = B ; (E) se A − B = B − A então A = B .

quando dividido por 13 , dá quociente A e resto B e, quando dividido por 5 , dá quociente B e resto A . A soma de todos os valores de N que se adaptam às condições acima dá : (A) 160 (B) 136 (C) 142 (D) 96 (E) 84

25. A soma de dois números inteiros positivos, em que o

19. Fatorando e simplificando a expressão

( (x

) (

x x4 5x2 + 4 − 2 x4 − 5x2 + 4 3

)(

)

− 6 x + 12 x − 8 . x − 1 2

2

)

maior é menor que o dobro do menor, dá 136 e o máximo divisor comum entre eles é 17. A diferença entre esses números é : (A) 102 (B) 65 (C) 34 (D) 23 (E) 51

COLÉGIO NAVAL – 1981

06. Um triângulo retângulo tem os catetos com 2 cm e 6 cm. A área do círculo que tem o centro sobre a hipotenusa e tangencia os dois catetos é de:

01. Em um triângulo AB = AC = 5 cm e BC = 4 cm .

AB

respectivamente, de maneira

AC os pontos D e E , que DE seja paralela a BC e

que o quadrilátero

BCED

seja circunscritível a um círculo, a

distância

mede :

Tomando-se

sobre

AD = AE

(A) 0 ,75 cm (D)

e

(B) 1,2 cm

4 cm 3

(E)

(C)

15 cm 7

5 cm 3

02. Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a circunferência ___

nos pontos

M

e

N

de maneira

que

___

PN = 3 x

e PM = x − 1 . Do mesmo ponto P tiramos outra secante que corta a mesma circunferência em R e S , de maneira ___

___

que PR = 2 x e PS = x + 1 . O comprimento do segmento da tangente à circunferência tirada do mesmo ponto P , se todos os segmentos estão medidos em cm é : (B) 60 cm (E) 8 cm

(A) 40 cm (D) 10 cm

(C) 34 cm

___

03. O triângulo ABC tem 60 cm de área. Dividindo-se o lado BC

9 2 cm 4 2 (D) 20  cm (A)

25 2 cm 9 2 (E) 18 cm (B)

(C)

16 2 cm 9

07. A área máxima do retângulo que se pode inscrever no triângulo retângulo de catetos com 3 cm e 4 cm de maneira que dois lados do retângulo estejam sobre os catetos e um vértice do retângulo sobre a hipotenusa é : (A) 3 cm2

(B) 4 cm2

2 (D) 4 ,5 cm

2 (E) 3 ,5 cm

(C) 5 cm2

08. Um hexágono regular tem 24 3 cm2 de área. Se ligarmos, alternadamente, os pontos médios dos lados desse hexágono, vamos encontrar um triângulo equilátero de área : 2 (A) 12 3 cm

2 (B) 8 3 cm

2 (D) 6 3 cm

2 (E) 18 3 cm

2 (C) 9 3 cm

09. Duas circunferências são tangentes exteriores em P . Uma reta tangencia essas circunferências nos pontos ___

___

respectivamente. Se PM = 4cm e PN produto dos raios desses circunferências dá : (A) 8 cm2

(B) 4 cm2

(D) 10cm2

(E) 9 cm2

M e N

= 2cm ,

o

(C) 5 cm2

2

em 3 partes proporcionais aos números 2 , 3 e 7 e tomando-se esses segmentos para bases de 3 triângulos que têm para vértice o ponto A , a área do maior dos três triângulos é : 2

2

2

(B) 21cm

(A) 30 cm

2

(C) 35 cm

2

04. O triângulo ABC é retângulo em A . A hipotenusa BC mede

AB o ponto M e sobre BC o ponto P , de maneira que PM seja perpendicular a BC e as áreas dos triângulos CAM e PMB 6 cm e o ângulo em C é de 30 º . Tomando-se sobre

sejam iguais, a distância BM será: (C) 6

(

lados que medem 10

cm

e 6 cm. A área desse triângulo é :

(A) 30 cm2

2 (B) 30 3 cm

2 (D) 15 3 cm

(E) 15cm2

2 (C) 12 3 cm

(E) 28 cm

(D) 42 cm

(A) 4 cm

10. O ângulo interno de 150º de um triângulo é formado por

)

3 − 2 cm

( 3 − 2)cm (D) 6 ( 2 + 1)cm

(B) 6

(E) 6

(

)

2 − 1 cm

11. Em um círculo de 3 cm de raio, a corda AB tem 1,8 cm. A distância do ponto B à tangente ao círculo em A mede : (A) 0 ,54 cm (B) 1,08 cm (C) 1,5 cm (D) 2,4 cm (E) 1,8 cm

12. Um capital foi empregado da seguinte maneira: seus dois quintos rendendo 40 % ao ano e a parte restante rendendo 30 %ao ano. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$2.700,00 . Qual era o capital inicial ? (A)

05. X é o lado do quadrado de 4820 mm de área; Y é o lado do

(C)

7 3 cm de apótema e Z é o lado do 2 triângulo equilátero inscrito no círculo de 4 cm de raio. Escrevendo

(E)

2

hexágono regular de

em ordem crescente esses três números teremos: (A) Z, X,Y (B) Z, Y, X (C) Y, Z, X (D) Y, X,Z (E) X, Y, Z

R$94.500,00 R$140.000, 00 R$135.000, 00

(B) (D)

R$27.000,00 R$120.000, 00

13. Um número natural de 6 algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se este algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a sequência dos demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é :

(A) 100.006 (D) múltiplo de 180.000

14.

3

10 + 6 3

(B) múltiplo de 11 (E) divisível por 5

é igual a:

(A) 1+ 7

(B) 1+ 6

(D) 1+ 3

(E) 1+ 2

15.

Sendo

X

e

(C) múltiplo de 4

(C) 1+ 5

Y conjuntos em que: (B) a

(D) a, c, d

(E) a, b, c, d

X− Y = a, b e

(C) a, b

Uma bicicleta tem uma roda de 40 cm de raio e outra de 50 cm de raio. Sabendo que a roda maior dá 120 voltas para fazer certos percursos, quantas voltas dará a roda menor, para fazer 80% do mesmo percurso ? (A) 78 ,8 (B) 187,5 (C) 120 (D) 96 (E) 130

− x 2 − 17 x + 12 . A soma (C) 6

constanteinteira, podemos afirmar que ele pode : a) se anular para um valor par de x b) se anular para dois valores reais de x cuja soma seja 4 c) se anular para dois valores reais de x de sinais contrários d) ter valor mínimo igual a 1 e) ter máximo para b = 3

Kx 2 − 4 x + K = 0 tenha raízes reais e que seja satisfeita a inequação 1 − K  0 são os mesmos que satisfazem a inequação : (A) x2 − 4  0 (B) 4 − x2  0 (C) x2 − 1 0

17.

Se h, g e a são, respectivamente, as médias: harmônica, geométrica e aritmética entre dois números, então : (A) ah= 2g

(B) ah= g

(D) ah= g2

(E) ah= 2 g

(C) ah= 2g2

25. x 2 −

x2 z2 x2 y2 y2 z2 =3 e 2 =2, 2 = x . O produto dos 2 2 x +z x +y y + z2 valores de x nesse sistema é : (A) −1,5 (B) −2,4 (C) −3 ,2 (D) 2,5 (E) 3 ,4

20.

Na equação x2 − mx− 9 = 0 , a soma dos valores de m , que fazem com que as suas raízes a e b satisfaçam a relação 2a + b = 7 dá : (A) 3 ,5 (B) 20 (C) 10,5 (D) 10 (E) 9 Para valores de x inteiros e x 2 , os inteiros P e Q têm

P = x2 + 2x − 3

e

Q = ax 2 + bx + c

e o

produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum

3 x + 1− 2x − 1= 1 tem duas raízes cuja soma (C) 8

(B) 4 (E) 6

4x x −3

x  −1 dá : (A) x+ 1 (B) x− 4 (C) x+ 4

2

para expressões:

2 (E) x − 3 x + 2  0

é: (A) 10 (D) 5

 ax + y = 1 18. Sobre o sistema  podemos afirmar:   x+ y = a a) para a = 1, o sistema é indeterminado. b) para a = −1, o sistema é determinado. c) para a  1, o sistema é impossível. d) para a = 0 , x = y = 2 . e) para a = −1, x = y = 3 . Se

2 (D) x − 3 x + 2  0

24. A equação

2

21.

3

23. Os valores de K que fazem com que a equação:

16.

19.

4

22. Relativamente ao trinômio : y = x 2 − bx + 5 , com b

X Y = c o conjunto X pode ser: (A) 

desses números, P e Q dá x + 5 x de a, b e c é: (A) 0 (B) 8 (D) 2 (E) 1

(D) x2 − 3 (E) x− 1

dividido por

x+

4 x2 + 4 x x2 − 2 x − 3

para x  3 e

COLÉGIO NAVAL – 1982 01. Na expressão,

( 0,125 )

b−a

8a − b

0

b + 21  + a b = 191 a e b são a

2

aumentaria de 50 m . O número de metros quadrados da área do terreno todo é: (A) 1600 (B) 1400 (C) 1200 (D) 1100

(E) 900

 x− y = 2  09. No sistema  x + y = 13 a soma de todos os valores de x e (C) 13  y x x y que satisfazem ao sistema é : (A) 9 (B) 20 (C) 11 02. x + y + z = 201. x é diretamente proporcional a 2 e inversamente (D) 14 (E) 13 1 proporcional a 5 ; y é diretamente proporcional a e z é 2 10. Ao extrairmos a raiz cúbica do número natural N , verificamos 3 que o resto era o maior possível e igual a 126. A soma dos inversamente proporcional a . O menor desses números é : algarismos de N é: 4 (A) 11 (B) 9 (C) 8 (A) 30 (B) 45 (C) 36 (D) 7 (E) 6 (D) 20 (E) 15 números inteiros e positivos, a+ b vale : (A) 15 (B) 14 (D) 12 (E) 11

03. Um número natural N é formado por dois algarismos. Colocando-se 11. O um zero entre esses dois algarismos, N aumenta de 270 unidades. O inverso de N dá uma dízima periódica com 2 algarismos na parte não periódica. A soma dos algarismos de N é : (A) 5 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 11

( a − 2 ) x + ( b − 1) x

05. Efetuando (A) 4 (D) 2

3

(C)

2

respectivamente, 72% e 58 % de ferro. Uma mistura desses dois minérios deu um terceiro minério possuindo 62% de ferro. A razão entre as quantidades do minério da mina X para o da mina Y , nessa mistura, é: (A) 1,4 (B) 1,2 (C) 0 ,5 (D) 0 ,2 (E) 0 ,4

07. Se M  P = 2, 4, 6  e M  Q = 2, 4, 7 , logo M  (P  Q) , é: (D) 7

(E) 6 , 7

(C) −3

2x + 2y = b

12. O sistema  é indeterminado . O produto ab é: 3 x + ay = 4 (B) 24 (E) 18

(C) 8

real de x , se, e somente se: (A) p  −

06. Os minérios de ferro de duas minas X e Y possuem,

(B) 2, 4, 6, 7

independente de

13. A inequação 2px2 + x + p  0 , é satisfeita para qualquer valor

(E) 1

(A) 2, 4

expressão

+ (c − 1) x + 10 x2 − x + 5

(A) 12 (D) 6

2+ 3 2− 3 + , obtém-se 2− 3 2+ 3 (B)

3

(C) 120

da 2

x. A soma dos valores de a , b e c é: (A) 4 (B) 2 (D) 0 (E) 1

04. Seja N = 2 4  3 5  5 6 . O número de divisores de N que são múltiplos de 10 , é : (A) 24 (B) 35 (D) 144 (E) 210

valor

3

(C) 6 

08. Um terreno deve ser dividido em lotes iguais por certo número de herdeiros. Se houvessem três herdeiros a mais, cada lote diminuiria 2 de 20 m e se houvessem quatro herdeiros a menos, cada lote

2 4

2 2 p 4 4 2 (C) p  − 4 2 2 (D) p  − ou p  4 4 2 (E) p  4 (B) −

14. O valor de m que torna mínima a soma dos quadrados das raízes da equação (A) −2 (D) 1

x 2 − mx + m − 1 = 0 , é: (B) −1 (E) 2

(C) 0

( zx

15. (A)

2

)(

+ y 2 z + 2 xyz x 2 − y 2

x3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 z(x + y) (B) z(x − y)

23. Num círculo de 2cm de raio traçam-se dois diâmetros perpendiculares, AA' e BB' . Sobre o arco AB marca-se o ponto P de modo que

(C) zx+ y

O polinômio

x3 + px 2 + x + q

é divisível por

x + 1 . Logo

p+ q é igual a: (C) 0

(B) 1 (E) −2

(A) 2 (D) −1

6 cm . As diagonais desse trapézio dividem-no em quatro triângulos. 2 A área, em cm , de um dos triângulos que não contêm nenhum das (B) 6 (E) 12

(C) 9

18. Duas retas tangenciam uma circunferência, de centro P e 8 cm de raio, nos pontos R e S . O ângulo entre essas tangentes é de 120º . A área do triângulo (A) 16 (D) 8 3

PRS

2

em cm , é:

(B) 16 3

(C) 16 2

(E) 8 2

19. Um quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. O lado AB é o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo. O lado CD é o lado do hexágono regular inscrito nesse círculo. O ângulo formado pelas diagonais do quadrilátero é de: (A) 30 º (B) 45º (C) 60 º (D) 90 º

(E) 108º

20. Um polígono ABCD... é regular. As bissetrizes internas dos ângulos dos vértices A e C formam um ângulo de 72º . O número de lados desse polígono é: (A) 7 (B) 10 (C) 12 (D) 15 (E) 20

21. O segmento da bissetriz do ângulo reto de um triângulo vale 4 2cm. Um dos catetos vale 5cm. A hipotenusa vale, em cm: (A) 3 17

(B) 4 17

(D) 6 17

(E) 7 17

(C) 5 17

22. Pela extremidade A de um diâmetro AB de uma circunferência de raio R , traça-se uma tangente. Com centro na extremidade B, descreve-se um arco de raio 4R , que intercepta a tangente no ponto C . Traça-se BC que encontra a circunferência dada em E . O valor de BE é: (A) 0 ,25R (D) 0 ,8 R

(B) 0 ,5R (E) R

3

(A) (D) 1

(B) 2 3 − 2

(C)

3 +1

(E) 2 3

24. Duas circunferências têm centros, respectivamente, em R e S .

17. As bases de um trapézio isósceles medem 8 cm e 4cm e a altura

bases é: (A) 8 (D) 10

PB = PQ , sendo PQ perpendicular

a AA' e Q situado em AA' . A medida de PB , em cm, vale :

(E) z + y

(D) zx− y

16.

) é igual a:

(C) 0 ,75R

Seus raios medem 3cm e 4cm . Essas circunferências se cortam em P e Q . Sabendo que a maior passa no centro da menor, a área do quadrilátero convexo

RPSQ , em cm2 , é:

(A) 3 55

(C)

(D)

3 55 2

(B) 2 55 (E)

55

55 2

25. A diagonal de um pentágono regular convexo de lado igual a 2 cm, mede, em cm: (A) 5 + 2 (B) 5 − 2 (D) 5 − 1 (E) 5 + 1

(C)

5

COLÉGIO NAVAL – 1983

07. De um pedaço quadrado de metal corta-se uma peça

01. O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41. Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro. O ângulo interno do polígono que tem o ângulo central menor, mede: (A) 120º (B) 135º (C) 140º (D) 144º (E) 150º

02. A área do segmento circular determinado por uma corda de 6 3 cm e sua fecha de 3cmé :

(12 + 9 3 ) cm (C) (12 + 3 3 ) cm (E) (12 − 6 3 ) cm (A)

2

(B)

2

(12 − 9 3 ) cm (D) (12 − 3 3 ) cm 2

2

circular de diâmetro máximo e desta peça circular cortase outro quadrado de lado máximo. A quantidade de material desperdiçada é : 1 (A) da área do quadrado primitivo 4 1 (B) da área do círculo 2 1 (C) da área do quadrado primitivo 3 1 (D) da área do círculo 4 1 (E) da área do quadrado primitivo 2

2

08. O número de triângulos diferentes cujos lados têm

03. Um triângulo ABC circunscreve um círculo de raio R . O segmento da tangente ao círculo tirado do veículo do vértice A mede 4cm . Se o lado oposto a esse vértice mede 5cm, a área do triângulo ABC , é : (A) 20 R cm2 (D) 9Rcm2

cm2 2 (E) 4 R cm (B) 10 R

(C) 5Rcm2

09. Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O e raio

04. Um triângulo de 30 cm de altura é dividido por duas paralelas perpendiculares a essa altura, em altura em três partes equivalentes. O maior dos segmentos em que ficou dividida essa altura por essas paralelas é : (A) 5 3 cm (B) 6 3 cm (C) 10 3 cm (D) 15 3 cm

(E) 20 3 cm

circunscrito a um hexágono regular de área 54 3 cm2 , é: (B) 9 cm2 (E) 27 cm2

R e tal que OP = R 3 . Traça-se por P a secante

PAB o círculo se PA = R , AB é igual a : R 2

(A) R

(B)

(D) 2R

(E) R 2

(C) R 3

10. Em um triângulo ABC , o ângulo A é o dobro do ângulo

05. A área da coroa circular determinada pelos círculos inscritos e (A) 6  cm2 (D) 18 cm2

medidas representados por números inteiros e de perímetro 12cm , é : (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

(C) 12

cm 2

06. Na figura : AC = 3 AF e BC = 3CE , sendo S a área do triângulo ABC , a área do triângulo AGF é: A S (A) 3 S F (B) G 7 S (C) 9 S (D) B 21 E S (E) 18

B , AB = 9cm e AC= 4cm. O lado BC mede: (A) 9 13cm (B) 3 13cm (C) 4 13cm (D) 6 13cm (E) 2 13cm

11. Se a divisão

3

− 6 x 2 + 12 − 8

é exata, o valor de K é: (A) 3 (B) 5 (D) 7 (E) 8

12. Se

C

(x

)

16

+ 2 x2 − 8x + 1 + K

x2 − 4x + 4 (C) 6

2 2 2 x y z 8 + + + + + = e x + y + z = 16 , o x y z yz xz xy 3

produto x y  z é : (A) 192 (B) 48 (C) 32

(D) 108 (E) 96

13. O

maior

valor

4 5   x+ y  2 5   x+ y

(A) 1

14.

de

na

solução

do

sistema

é:

= 5

(C) 32

(D) 64

(E) 128

3 + 2 3 2 2 − 3 − 2 3 2 2 , é igual a : (A) 1 (D) 4

(B) 2 (E) 5

(C) 3

15. a2 − 2ab− b2 , onde a e b são números positivos é um número real se, e somente se: a a (A)  1+ 2 (B)  2 b b a a (D)  0 (E)  1 b b

a (C)  2 b

(B) −8 (E) −18

(C) −12

17. A soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação :

(− x + 3 )3 é: (x2 + x − 2) (5 − x)11 (2x − 8 )10  0

(A) 11 (D) 8

(B) 4 (E) 2

(A) 139 (D) 121

(C) 92

22. Duas

estradas de iguais dimensões começam simultaneamente a ser construídas por 15 operários cada uma delas. Mas, exclusivamente devido a dificuldades no terreno , percebe-se que enquanto uma turma avançou 2 na sua obra, a outra avançou 4 da sua . Quantos 3 5 operários deve-se retirar de uma por na outra, para que as duas obras fiquem prontas ao mesmo tempo? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 10

(C) 6

comprimento, a sua área aumentará de: (A) 55 % (B) 47% (C) 30 % (D) 69 % (E) 90 %

24. Um reservatório contém

0 ,064 dam2 de água, e seu esvaziamento é feito por uma torneira, à razão de 17000 d’água por hora. O tempo mais aproximado para que ele se esvazie é de : (A) 23h 35min (B) 23h 48min (C) 23h 12min10s (D) 23h05min12s (E) 23h 31min45s

18. O número de divisores inteiros de N , sendo N igual ao 25. Sendo : produto de K números primos distintos, é : (A) K2 (B) 2K (C) K (D) 2 K (E) K+ 2

19. A diferença entre dois números naturais que têm para produto 2304 e para máximo divisor comum 12, é : (A) 180 (B) 72 (C) 0 (D) 192 (E) 168

20. Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se que : 40 % 30 % consomem macarrão; 15% consomem arroz; consomem feijão e arroz; 20% consomem feijão e macarrão; 60% consomem feijão. A porcentagem correspondente às famílias que não consomem esses três produtos é: (A) 10% (B) 3% (C) 15% (D) 5% (E) 12%

21. O valor de

(B) 120 (E) 100

23. Se o lado de um quadrado aumentar de 30 % de seu

16. A soma dos cubos das raízes da equação x2 + x − 3 = 0 , é: (A) −10 (D) −6

( )

2 5   5 3 − 5  1   212  2   ( 0,333...) 2   2  −  10   −  −  3   5− 3   2    3 5       1

3

= 3

(B) 16

y,



3



A = x

| x2 − 4 = 0

B = x 

| − 2  x  5

 C = x  

| 0

O conjunto A  (B  C) é : (A) 0 , 2 (B) −2, 2, 1 (D) −2, 0, 3, 5

−3x + 2   5 3 

(E) −2, 0, 2, 4

(C) −2, − 1, 0, 2

COLÉGIO NAVAL – 1984

06. Calcule a diferença

01. Num colégio verificou-se que 120não alunos têm pai e mãe professores . Qual o número de alunos do colégio , sabendose que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmão ? a) 125 d) 155 b) 135 e) 165 c) 145

02. O resto da divisão por 11 do resultado da expressão

121120 + 911932  34326 é : a) 9

b) 6

c) 1

d) 7

e) 10

03. Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita, sendo a e b números inteiros positivos quaisquer, tem-se: I - média harmônica dos números a e b ; a) a b II - média ponderada dos números a e b ; a III – a média proporcional entre os números a e b ; b) b IV – O produto do máximo divisor comum pelo a b c) mínimo múltiplo comum de a e b ; 2 V – a média aritmética simples entre a e b ; 2ab d) a+ b e) a b (A) (I; b) ; (II; c) ; (IV; e) (B) (II; c) ; (III; a) ; (IV; e) (C) (I; d) ; (II; c) ; (V;b)

4

y

y − x , de forma que o número

possa ser expresso como uma potência de base (B) 0

(C) 4

(E) 3

07. A, B e C são respectivamente os conjuntos dos múltiplos de 8 , 6 e 12, podemos afirmar que o conjunto A  (B  C) é o conjunto dos múltiplos de : (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 48 (E) 36

08. Sendo P  3 , podemos

a firmar que o trinômio

y = 2x − 6x − P : 2

(A) se anula para dois valores positivos de x ; (B) se anula para valores de x de sinais contrários (C) se anula para dois valores negativos de x : (D) não se anula para valores de x real ; (E) tem extremo positivo

 x3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 = 8 09. No sistema  2 a soma 2 2 2 x − y . x − 2 xy + y = 12 

(

)(

)

dos valores de x e y é : (C) 2 3

(B) 3 4 (E) 3 2

(A) 1 (D) 4 3

(D) (III; a) ; (IV; e) ; (V;b) (E) (I; d) ; (III; a) ; (IV; e)

10. O valor de a , para que a soma dos quadrados das raízes da equação x2 + (2 − a)x − a − 3 = 0 seja mínima, é :

04. Uma grandeza X é diretamente proporcional às grandezas P e T e inversamente proporcional ao quadrado da natureza W . Se aumentarmos P de 60% do seu valor e diminuirmos T de 10% do seu valor, para que a grandeza X não se altere, devemos : (A) diminuir W de 35% do seu valor ; (B) aumentar W de 35% do seu valor ; (C) diminuir W de 20% do seu valor (D) aumentar W de 20% do seu valor ; (E) aumentar W de 25% do seu valor ( −2)( −2)

05. Seja o número N = (10.000 ) positivos de N é : (A) 6 (B) 13 (D) 4 (E) 2

2  3  26 39 . (A) 8 (D) 2 x

, o número de divisores

(A) 1 (D) −1

11. A

(B) 9 (E) −9

soma

(C)

das

raízes

2

da

equação

x2 − 6x + 9 = 4 x2 − 6 x + 6 , é : (B) −12 (E) −6

(A) 6 (D) 0

(C) 12

12. Efetuando o produto

( x + 1) ( x100 − x99 + x98 − x97 +  + x 2 − x + 1) ,

encontramos : (A) x100 − 1 (D) 2x100 + 2

(C) 15

(B) x200 + 1 (E) x101+ 1

(C) x101+ x50 − 1

P ( x ) = 2 x 4 − 5 x 2 + 3x − 2

13. Seja

e

Q ( x ) = x − 3x + 1 ; se P ( x )  Q ( x ) determina um 2

quociente

Q´(x)

e um resto

R( x) , o valor de

Q´( 0 ) + R (1) é : (A) 0

(B) 28

(C) 25

(D) 17

(E) 18

14. Sabendo que 3x − y − 10 z = 0 e que x + 2 y − z = 0 , o valor de

x3 + x 2 y sendo z  0 , é : xy 2 − z 3

(A) 18

(B) 9

(C) 6

15. Simplificando a expressão

n

− 0; 1 , temos :

(D) 1

600 25 − 5 2n+ 2 n+ 2

para

n N

(C) 5 −2

(B) 5 −1 (E) 5 0

(A) 5 (D) 5 2

(E) 0

(A) um valor positivo de k (B) um valor negativo de k (C) 3 valores distintos de k ; (D) dois valores distintos de k ; (E) nenhum valor de k

17. A soma dos valores inteiros de x , no intervalo −10  x  10 , e é: (A) 42

18. A secante

22. Num triângulo ABC de lado AC de medida 6 cm , traça-se a ceviana AD que divide internamente o lado BC nos segmentos BD de medida 5 cm e DC de medida 4 cm . Se o ângulo B mede 20º e o angulo C mede 85º , então o ângulo BAD mede : (A) 65 º (A) 55 º (C) 75º (D) 45 º (E) 35 º

R nos pontos A e B respectivamente. Se PA= 3 x e x é a

2

que satisfazem a inequação

em velocidade constante, completa 10 voltas em cada segundo, com um gasto de um litro de combustível por 10km rodados. Sabendo-se que o veículo fez uma viagem de 6 h , o número que mais se aproxima da quantidade de litros gastos na viagem é : (A) 52 (B) 40 (C) 30 (D) 34 (E) 20

23. As retas PA e PB são tangentes à circunferência de raio

16. A equação k x − kx = k − 2k − 8 + 12x é impossível para : 2

21. A roda de um veículo tem 50 cm de diâmetro. Este móvel,

(x

2

+ 4 x + 4 ) ( x + 1)  x 2 − 4

distância do ponto A à reta PB , então R é (A) 3 − 2 2 x

(

(B) (C) (D) (E)

(

)

)

3 3+2 2 x 3x 2 2+3 3 x x

(

)

___

24. Num triângulo ABC , a medida do lado AB é o dobro da ___

(B) 54

medida do lado

(C) −54 (D) −42 (E) −44

___

AC . Traça-se a mediana AM e a

___

(r ) a uma circunferência de 6 cm de raio

determina uma corda AB de 8 2cm de comprimento. A reta (s ) é paralela a (r ) e tangencia a circunferência no menor arco AB . A distância entre (r ) e (s ) é de : (A) 6 cm (B) 10cm (C) 5cm (D) 4cm (E) 7cm

___

bissetriz AD ( M e D pertencentes a BC). Se a área do triângulo ABC é S , então a área do triângulo AMD é : 3S S S S S (A) (B) (C) (D) (E) 12 8 6 3 4 ___

___

25. Na figura, o diâmetro AB mede 8 3 e a corda CD forma ___

___

19. Um trapézio é obtido cortando-se um triângulo escaleno de área S por uma paralela a um dos lados do triângulo que passa pelo baricentro do mesmo. A área do trapézio é : 1 5 2 4 1 (A) (B) (C) S (D) S (E) S S S 2 9 3 3 9

20.

Um triângulo ABC está inscrito em um círculo e o arco BC mede 100º . Calcular a medida do ângulo BEC, sendo E o ponto de interseção da bissetriz externa relativa a B com

o prolongamento do segmento do arco menor AB (A) 15º (B) 25º (C) 20 º

CM , onde M é o ponto médio (D) 40 º

(E) 50 º

um ângulo de 30 º com AB . Se E é ponto médio de AO, onde O é o centro do círculo, a área da região hachurada mede :

(8 − 3 3 ) (B) (10 + 13 ) (C) (18 + 2 3 ) (D) ( 27 − 3 2 ) (E) (8 + 3 3 ) (A)

D A C

E

O B

COLÉGIO NAVAL – 1985

(A) 13 cm (B) 14

01. Dado dois conjuntos de A e B tais que : - O número de subconjuntos de A está compreendido entre 120e 250 . - B tem 15 subconjuntos não vazios O produto cartesiano de A por B tem (A) 8 elementos (B) 12 elementos (C) 16 elementos (D) 28 elementos (E) 32 elementos

02. O valor da expressão 0  1 3 2 1      0, 666... +   −   6  3  1,333...   

(A)

2 5

(B)

2 5

(C)

5 2

(D)

−

1 2

5 2 2

2 5 5

03. Antônio constrói 20 cadeiras em 3 dias de 4 horas de trabalho por dia . Severino constrói 15 cadeiras do mesmo tipo em 8 dias de 2 horas de trabalhando por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de 6 horas por dia, produzirão 250 cadeiras em : (A) 15dias (B) 16 dias (C) 18 dias (D) 20 dias (E) 24 dias

( 3x − 12 )( x + 2 )( x − 2 ) = ( 3x − 12 )( − x + 6 ) é : (B) −1

(C) 0

(D) 1

 (A) 0

2

(B) 1

x (D) 3

(C) 2

(E) 4

mx− 5 y = 3

09. O sistema  é equivalente  3 x + ky = 4

ao sistema

2x − y = 4 . Logo, pode-se afirmar que :  3 x + y = 1 (A)

m − k = −8

(D)

mk =

7 2

10. Considere

(B)

k m = −1

(E)

m+k =8

a

soma

(C)

de

mk =

1 7

parcelas

n

S = n + n +  + n . Sobre as raízes da equação 4 S = 13n 2 − 36 podemos afirmar que 15

15

15

(A) seu produto é −36 . (C) sua soma é 5 (E) seu produto é 36

(B) sua soma é nula (D) seu produto é 18

11. José e Pedro constituíram uma sociedade, onde José entrou e Pedro com R$2.000.000, 00 R$2.500.000, 00 . Após 8 meses, José aumentou seu capital para R$3.500.000, 00 e Pedro diminui seu capital para R$1.500.000, 00 . No fim de 1ano e 6 meses houve um lucro de R$344.000, 00 . A com

04. A soma de todas as raízes da equação (A) −3

2 1 1 08. Se  x +  = 3 , então x3 + 3 é igual a

é:

(E)

cm (C) 15 cm (D) 16 cm (E) 20 cm

(E) 3

05. Um polígono regular possui 70 diagonais que não passam pelo seu centro. O valor da medida do ângulo interno do referido polígono está, em graus, compreendidos entre (A) 70 º e 80º (B) 100º e 120º (C) 120º e 130º (D) 140º e 150º (E) 150º e 160º

parte do lucro que coube a José foi : (A) R$140.000, 00 (B) R$144.000, 00 (C) R$186.000, 00 (E)

(D)

R$204.000, 00

R$240.000, 00

06. Uma empresa possui uma matriz M e duas filiais A e B . 45% dos empregados da empresa trabalham na matriz M e 25% 12. Num triângulo eqüilátero de altura h , seu perímetro é dado por dos empregados trabalham na filial A . De todos os empregados dessa empresa, 40 % optaram por associarem-se 2h 3 (A) (B) h 3 (C) 2h 3 (D) 6 h (E) 6 h 3 a um clube classista, sendo que 25% dos empregados da 3 matriz M e 45% dos empregados da filial A se associaram ao clube. O percentual dos empregados da filial B que se 13. O menor valor inteiro da expressão 5n2 − 195n + 15 associaram ao clube é de: ocorre para n igual a : 2 1 (A) 10 (B)15 (C) 20 (D) 25 (E) 30 (A) 17,5% (B) 18,5% (C) 30 % (D) 58 % (E) 61 % 3 3

07. Dois lados de um triângulo são iguais a 4 cm e 6 cm. O terceiro lado é um número inteiro expresso por x2 + 1. O seu perímetro é:

14. O círculo de centro O da figura abaixo tem ___

6 cm de

raio . Sabendo que PA é tangente à circunferência e que

a medida do segmento PC é igual a

6 cm, a área

2

hachurada é, em cm , aproximadamente, igual a (A) 10 (B) 10,5 (C) 11 (D) 11,5 (E) 12

15. Sendo x2 = 343 , y 3 = 49 2 e z6 = 7 5 , o algarismo das 24

xy unidades simples do resultado de   é  z (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9

21. Unindo-se os pontos médios dos quatro lados de um quadrilátero L , obtém-se um losango . Pode-se afirmar que L (A) é um retângulo (B)tem diagonais perpendiculares (C) é um trapézio isósceles. (D) é um losango (E) tem diagonais congruentes

22. Considere os conjuntos M dos pares ordenados (x, y) que satisfazem

16. O pentágono ABCDE da figura abaixo é regular e de lado  . Sabendo que o segmento AF tem medida igual a  , podese afirmar que o ângulo BFE mede (A) 36 º A (B) 45 º F (C) 54 º (D) 60 º B E (E) 72º

à

( a1 x + b1 + c1 )  ( a2 x + b2 y + c2 = 0 )

ordenados

(x, y)

 a1 x + b1 y + c1  a2 x + b2 y + c2

que

equação e N dos pares

satisfazem

o

sistema

= 0 . = 0

Sendo a1  b1  c1  a2  b2  c2  0 , pode-se afirmar que : (C) M N = 

(B) M N = M (E) M N = 

(A) M = N (D) M N = N

23. A figura abaixo representa a planta de uma sala e foi 17. Sejam r e s as raízes da equação x 2 3 + 3x − 7 = 0 . O

(A)

2 7

(B)

3 7

(C)

9 7

( r + s + 1)( r + s − 1) é (D)

4 3

(B) 28 ,5 cm2 (C) 2850 cm2 (D) 28 ,5 m2

(E) 2

(E) 80 ,4 m2

0,01 m

valor numérico da expressão

desenhada na escala 1: 100 . A área real da sala é 4 cm (A) 20 cm2 0,4 dm

D

6 cm

C

 1 , 2 e B = 1, 2, 2 e

18. Considere os conjuntos A = 1,

70 mm

as cinco afirmações : I) III)

A − B = 1

II) 2  (B − A)

1  A

24. Os hexágonos regulares da figura são congruentes e os

IV) A  B = 1, 2, 1, 2

segmentos CD e GH são congruentes e os segmentos são colineares. A razão entre a área de um deles e a área do triângulo EMN é igual a : (A) 6 A L J (B) 9 (C) 12 N M (D) 16 B I (E) 18

V) B − A = 2 Logo, (A) todas as afirmações estão erradas. (B) só existe uma afirmação correta. (C) as afirmações ímpares estão corretas. (D) as afirmações III e V estão corretas. (E) as afirmações I e IV são as únicas incorretas.

E

19. O coeficiente do termo de 2º grau do produto entre o quociente

e o resto, resultantes da divisão

x3 − 3x + x 4 + 7 por 2 − x 2 é :

(A) −22

(B) −11

(C) −10

(D) −1

C

D

G

H

de

25. Sabendo-se que a média aritmética e a harmônica entre (E) 1

20. Dois lados de um triângulo medem 4 cm e 6 cm e a altura relativa ao terceiro lado mede 3 cm. O perímetro do círculo circunscrito ao triângulo mede (A) 4 cm (B) 6 cm (C) 8 cm (D) 12 cm (E) 16 cm

dois números naturais valem, respectivamente, 10 e

32 , 5 esses

pode-se dizer que a média geométrica entre números será igual a : (A) 3 ,6 (B) 6 (C) 6 ,4 (D) 8 (E) 9

COLÉGIO NAVAL – 1987

09. O número 1+ 3 4 + 3 16 está situado entre

01. Representando-se por n( X) o número de elementos de um conjunto X , considere dois conjuntos A e B tais que n(A  B) = 4 , n(A − B) = 5 e n(A  B) = 36 . Podemos afirmar que n(A  B) é igual a : (A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 9 (E) 10

02. Considere os conjuntos X = x  N | x  4 e Y , Y  X. O número de conjuntos Y tais que 4  Y e 0  Y é : (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 15 (E) 16

03. A

média harmônica 340𝑥2−13𝑥−91=0 é: (B) −7

(A) 7

(C)

entre

340 7

as

(D)

raízes

1 7

da

equação

(E) −14

04. O número máximo de divisores do número natural 48  2 − x +2x , x  N, é: (A) 12 (B) 10 (C) 24 2

(D) 6

(E) 18

16x − y



= 1

05. O valor de x no sistema  é: 4  x + 2 − y + 33 = 1 (A) 15+ 14 2

(B) 15+ 12 2

(D) 15+ 8 2

(E) 15+ 6 2

lucro de 60% sobre o preço de venda, esta mercadoria deve ser vendida por: (A) 𝑅$32,00 (B) 𝑅$50,00 (C) 𝑅$48,00 (D) 𝑅$45,00 (E) 𝑅$58,00

07. O valor da expressão E = 9a − 3a , para 3

(A)

08. O resto da divisão de

(x

2

)

)  2 é : 1

 

(x5 + x4 − 5x3 − x2 + 9x− 8 )

+ x− 3 é : (A) independente de x e não nulo 5 (B) positivo para x  2 (C) nulo (D) par, para x  N. (E) igual a 21, para x = 13

(C) 2 e 2,5

10. Sendo P e Q dois polinômios de mesma variável e de graus respectivamente iguais a m e n , e sendo m n , podemos afirmar que : (A) a soma de P e Q é de grau m+ n (B) o produto de P por Q é de grau m n (C) a soma de P e Q é de grau m (D) o quociente entre de P e Q , caso exista, é de grau m− n (E) a diferença entre P e Q é de grau n .

11. Duas pessoas constituíram uma sociedade: a primeira entrou com um capital de 𝑅$5.000,00 e a segunda com 𝑅$6.000,00. Um ano depois, admitiram um terceiro sócio, que entrou com um capital de 𝑅$10.000,00. Decorridos 18 meses desde o início da sociedade, a firma teve um lucro de 𝑅$12.900,00. A parte do lucro que caberá ao terceiro sócio é: (A) 𝑅$1.000,00 (B) 𝑅$2.000,00 (C) 𝑅$3.000,00 (D) 𝑅$4.000,00 (E) 𝑅$5.000,00

y  x + 2

06. Uma mercadoria foi comprada por 𝑅$20,00. Para que haja um

(

(B) 1,5 e 2 (E) 3 ,5 e 4

12. O sistema  y  x − 2

(C) 15+ 10 2

 5 − 1  3 3 + 3 2  (− 2 ) 3 a =  0 ,2666 ...+ (0 ,333 ...)−3  (− 5 )  5 3 (B) 2 (C) (D) 0 (E) 1 5

(A) 1 e 1,5 (D) 2,5 e 3

por

(A) não tem solução. (B) tem solução contida no 4º quadrante. (C) tem solução que contem o 2º quadrante. (D) é satisfeito por apenas um ponto do plano cartesiano. (E) tem solução apenas para y  2 .

13. Um vendedor de refresco acondiciona o seu produto numa caixa de isopor com as seguintes dimensões internas: 1 m × 60 cm × 40cm. Cada copo de refresco de 300 ml é vendido por 𝑅$0,40. Nestas condições, ao término de um dia de trabalho, pela venda de uma quantidade de refresco 3 correspondente a da capacidade da caixa, o vendedor 4 apurou: (A) R$ 360,00 (B) R$ 300,00 (C) R$270,00 (D) R$ 330,00 (E) R$ 240,00

14. O maior

divisor comum dos polinômios x4 − 16, x3 − 6 x2 + 12x − 8 e x4 − 8 x2 + 16 é : (A) x+ 2 (B) x+ 4 (C) x− 2 (D) x− 4 (E) 1

15. Uma

equação biquadrada tem duas raízes respectivamente iguais a 2 e 3 . O valor do coeficiente do termo de 2º grau dessa equação é : (A) 7 (B) −7 (C) 11 (D) −11 (E) 1

16. O retângulo ABCD da figura abaixo tem base igual a x+ y . O

21. O intervalo - solução da inequação

(x + 3 )(x + 2 )(x − 3 )  (x + 2 )(x − 1)(x + 4 ) é :

___

5 5   medida Sabe-se que z. (A)  −  , −  (B) (− , − 1) (C)  − 2, −  3 3     x2 + y 2 + z2 = 3,54 e que xy + yz − xy = 0 ,62 . A área do  5  quadrado 𝐹𝐵𝐶𝐸 é (D)  − , +   (E) (−1, 2 ) 3   (A) 2 D E C (B) 2,1 22. Em um triângulo os lados de medidas m e n são opostos, (C) 2,3 respectivamente, aos ângulos de 60 º e 40 º . O segmento (D) 2,7 da bissetriz do maior ângulo interno do triângulo é dado (E) 2,5 por: m+ n n m+ n (A) m (B) n (C) m n m+ n m F A B m m (D) n (D) m+ n n 17. Na figura abaixo, as retas r , s e t são tangentes à circunferência de diâmetro. O segmento mede 4 cm. A 23. Considere um ponto P interno a um hexágono regular medida, em centímetros, do segmento CD é : de lado igual a 6 cm. A soma das distâncias de P a cada uma (A) 16 das retas suportes dos lados deste hexágono (B) 14 (A) depende da localização de P D 60º (C) 12 (B) é igual a 36 cm (D) 8 (C) é igual a 18 cm C (E) 20 (D) é igual a 12cm B A t (E) é igual a 18 cm segmento

AFtem

24. Na figura abaixo tem-se QB e QA são tangentes ao r

s

18. O número de triângulos de perímetro igual a 19 a uma das alturas igual a 4 , inscritíveis num círculo de raio 5 , e cujos lados têm medidas expressas por números inteiros é: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

19. Um trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷 retângulo possui bases AB e CD de medidas iguais a 10 e 6 respectivamente. Sabendo que a bissetriz do ângulo A intercepta BC no seu ponto médio M , a altura do trapézio é igual a : 6 D C (A) 2 15 (B) 8 15 (C) 6 15

círculo de raio 2 ; a medida do segmento PA é 2 3 e a potência do ponto P em relação ao círculo é igual a 24 . A área hachurada da figura é igual a 4 Q (A) 2 3 − 3 4 (B) 3 3 − 3 4 (C) 3 − 3 4 P B A (D) 4 3 − 3 4 (E) 6 3 − 3

( ( ( ( (

) )

)

) )

M

(D) 4 15 (E) 5 15

25. Num triângulo ABC de lado AC = 12, a reta AD divide A

10

B

20. As bases de um trapézio medem 3 cm e 9 cm. Os segmentos determinados pelas diagonais do trapézio sobre a base média, são proporcionais aos números : (A) 1, 1, 1 (B) 1, 2, 1 (C) 1, 3, 1 (D) 1, 4, 1 (E) 2, 3, 4

internamente o lado BC em dois segmentos : BD= 18 e DC= 6 . Se ABD = x e ACD= y , o ângulo BDA é dado por (A) y − x (B) x+ y (C) 2x − y (D) 2 y − x (E) 2x + y

COLÉGIO NAVAL – 1987

obtém-se : (A) 3 50

01. Sendo a e b números inteiros quaisquer,

(D)



a   R =  x | x = , b  0 e S = 2; 1,3; 0,444...; 2 b  



então : (A) S  R (D) S  R tem dois elementos (B) S  R =  (E) S − R é unitário (C) S  R é unitário

02. a e b são números reais diferentes de zero e a − b  0 , então, necessariamente (A)

a 2  b2

(D)

a−2b−2

a 1 b (E) 1 − a  1 − b (B)

(

(C)

a b + 2 b a

)

2

03. A soma dos algarismos na base 10 de 10n + 3 , onde n é 3

um número inteiro positivo é : (A) 16 (B) 13 (D) n3 + 3n (E) n6 + 2n3 + 1

(C) 13n

ano. A soma dos capitais é igual a

R$50000, 00 . Cada

(B)

3 4

3 (C)   2

3 2

25

(E) 2 25

08. O conjunto dos valores de m para os quais as equações 3 x2 − 8 x + 2m = 0 e 2x2 − 5 x + m = 0 possuem uma e apenas uma raiz real comum é (A) unitário, de elemento positivo. (B) unitário, de elemento não negativo. (C) composto de dois elementos não positivos. (D) composto de dois elementos não negativos. (E) vazio. 2   x − 5 y = 8000 :  0 ,001x − y = 5000

09. O sistema 

(A) tem apenas uma solução (x, y ) , x  0 e y  0 . (B) tem apenas uma solução (x, y ) , x  0 e y  0 . (C) tem apenas uma solução (x, y ) , x  0 e y  0 . (D) tem duas soluções. (E) não tem soluções.

10. Num sistema S de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, x e y , os coeficientes de x e y de uma das 04. Dois capitais são empregados a uma mesma taxa de 3 % ao

R$600, 00 de juros. O primeiro permaneceu empregado 4 meses mais que o segundo. O segundo capital capital produz

foi empregado durante (A) 6 meses (B) 8 meses (D) 2 anos (E) 3 anos

(C) 10

meses

11. A equação do 2º grau x2 − 2x + m = 0 , m 0 , tem raízes

05. Dados os conjuntos M , N e P tais que N  M ,

n(M

N ) = 60%  n ( M ) ,

n(M

N

n(N

P ) = 50%  n ( N ) ,

P ) = 40%  n ( P ) e n ( P ) = x%  n ( M ) . O

valor de x é : OBS : n(A ) indica o número de elementos do conjunto A. (A) 80 (B) 75 (C) 60 (D) 50 (E) 45

06. O denominador racionalizado de (A) 10

(B) 8

(C) 4

07. Simplificando-se a expressão

equações são, respectivamente, proporcionais aos coeficientes de x e de y da outra. Logo, o conjunto solução de S : (A) é unitário (B) é infinito (C) é vazio (D) pode ser vazio (E) pode ser unitário

1

3 + 12+ 1 (D) 3 (E) 2 4

é:

( 6 12 18  300 ) ( 2  6 10 14  98)  ( 4  8 12 16 100 )

x1 e x2 . Se

x1n−2 + x2n−2 = a e x1n−1 + x2n−1 = b , então

xn1 + xn2 é igual a : (A) 2a + mb

(B) 2b − ma

(D) ma− 2b

(E)

m ( a − 2b )

(C) ma+ 2b

12. No processo da divisão do polinômio P( x) , de coeficientes não nulos, pelo polinômio g( x) , obteve-se, para quociente um polinômio do 4 º grau e, para penúltimo resto, um polinômio do 2º grau. Considerando-se as afirmativas, I. O grau de P( x) é 6 . II. O grau de g( x) pode ser 1. III. P( x) é composto de 7 monômios. Conclui-se que : (A) apenas I é verdadeira.. (B) apenas III é falsa.

(C) apenas II é verdadeira. (D) apenas I e III são verdadeiras. (E) todas são falsas.

13. Considere os números reais x− a , x− b e x− c ; onde a , b e

intersecta a mesma circunferência no ponto C . Sabendo que o ângulo OPA mede 15º , o comprimento do menor arco BC, em centímetros, é :    (A) (B) (C) 12 6 4 5  (D) (E) 12 3

c são constantes. Qual o valor de x para que a soma de seus quadrados seja a menor possível ? 2a + 2b + 2c a+ b+ c a+ b+ c (A) (B) (C) 2 18. Um polígono regular tem vinte diagonais. A medida, em 3 3 graus, de um de seus ângulos internos é : 2a − 2b + 2c a− b− c (D) (E) (A) 201º (B) 167º (C) 162º 3 3 (D) 150º (E) 135º 2

 x4 −1  x2 , 1+  − 2  2  2x 

14. Simplificando a expressão x  R* obtém-se : 1 (A) 2x2 (D)

(B)

x2 + 1 2

(E)

para 19. Um triângulo retângulo de perímetro 2p está inscrito num círculo de raio R e circunscrito a um círculo de raio r . Uma expressão que dá a altura relativa à hipotenusa do 4 2 triângulo é : x −x −1 (C) p+ r pr R 2 x2 (A) (B) (C) pr R R 2pr R (D) (E) p+ r R

x 4 + x2 − 1 2 x2

x2 2

( ) med ( CD ) = 9 cm ,

15. Considere o quadrilátero ABCD onde med AB = 5 cm , 20. Uma expressão que dá o lado do eneágono regular, em

( ) med ( AD ) = 4 cm

med BC = 7,5 cm , e

( )

med BD = 6 cm . O ângulo

ABC deste quadrilátero é igual a: ADC (A) BCD+ 2 (B) BAD + ADC − BCD (C) BAD + BCD (D) 2BCD + ADC (E) ADC + 2 BAC − BCD

16. O vértice E de um triângulo eqüilátero ABE está no interior de um quadrado ABCD e F é o ponto de interseção da diagonal BD e o lado AE . Se a medida de AB é igual a

1+ 3 , então a área do triângulo BEF é : (A) (D)

3 4 3 −1 4

3−

3 4 3− 3 (E) 4 (B) 1−

(C)

3 +1 4

17. Por um ponto P exterior a um círculo de centro O e raio

R = 1 cm, traça-se uma secante que intersecta a circunferência do círculo dado nos pontos A e B , nesta ordem. Traça-se pelo ponto A uma paralela à reta

PO que

função das diagonais a , b e c , com

c +b a (c + b)2 (D) a 2

(A)

2

cb a (c − b)2 (E) a (B)

abc,é: (C)

c 2 − b2 a

COLÉGIO NAVAL – 1988

Pode-se afirmar que o número de sentenças verdadeiras é (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) 0

 −2 4  x + y retângulo medem 17cm e 23 cm. A medida da mediana 06. Sobre o sistema  traçada do ângulo reto é :  x −4 − y  (A) 5 2 cm (B) 4 2 cm (C) 3 2 cm

01. As medianas traçadas dos ângulos agudos de um triângulo

(D) 2 2 cm

(E)

2 cm

02. Os lados de um triângulo medem AB= 40 , AC= 50 e BC= 60 . Sendo D a interseção da bissetriz interna do ângulo B com o lado AC, a área do triângulo ABD é : 375 7 (A) 225 7 (B) (C) 150 7 2 (D) 125 7 (E) 75 7

03. Considere as 4 afirmações abaixo. A seguir, coloque (V) ou

(F) nos parêntesis, conforme sejam verdadeiras ou falsas, e assinale a alternativa correta. (1) – ( ) Em qualquer trapézio circunscrito a uma circunferência, a medida da base média é a quarta parte do seu perímetro. (2) – ( ) As diagonais de um trapézio podem se intersectar no seu ponto médio. (3) – ( ) Todo quadrilátero que tem as diagonais perpendiculares é um losango (4) – ( ) Existe quadrilátero plano cujos segmentos das diagonais não se intersectam. (A) Apenas 2 é verdadeira. (B) Apenas 3 é verdadeira. (C) Apenas 3 e 4 são verdadeiras. (D) 2, 3 e 4 são verdadeiras. (E) 1 e 4 são verdadeiras.

04. Num grupo de rapazes e moças, 10 moças foram embora e o número de rapazes ficou igual ao número de moças. Após um certo tempo, 24 rapazes foram embora, e o número de moças ficou o quíntuplo do número de rapazes. Podemos afirmar que, inicialmente, havia no grupo (A) 30 moças (B) 40 moças (C) 40 rapazes (D) 50 rapazes (E) 60 pessoas

05. Considere as sentenças dadas abaixo : 0

(I) 3 5 = 1 3

3 2

= 23 1 (III) − 3 −2 = 9 (II) 2 3

1 2

(IV) 81 = 9

7 6 pode-se afirmar 7 = 36

=

que : (B) é indeterminado (C) x =

(A) é impossível (D) x =

6 3

(E) y =

1 2

1 16

07. As raízes da equação 2x2 − x − 16 = 0 são r e s , (r  s ) . O valor da expressão

129 2 129 (D) 4 (A)

(B)

r 4 − s4 ,é r + r 2 s + rs 2 + r 3 127 127 (C) 2 4 3

(E) impossível calcular.

08. Uma mercadoria que teve dois aumentos sucessivos de 30 % e 20% deverá ter um único desconto de x% para voltar ao preço inicial. Logo (A) 30  x  35 (B) 35  x  40 (C) 45  x  55 (D) 55  x  65 (E) x  65

09. Cláudio

10 dólares com 125 australes e Marta comprou com 5 australes 120 pesos chilenos . Assim João pode comprar : (A) 3 dólarescom 100 pesos chilenos (B) 3000 pesos chilenos com 10 dólares (C) 1200 pesos chilenos com 5 dólares (D) 800 pesos chilenos com 2 dólares (E) 50 dólarescom 1000 pesos chilenos comprou

10. Se a + b + c = 0 , onde a , b e c são números reais diferentes de zero, qual a opção que é uma identidade ? (A) a3 − b3 + c3 = 3abc (B) a3 + b3 + c3 = −3abc (C) a3 + b3 + c3 = 3abc (D) a3 − b3 − c3 = −3abc (E) a2 + b2 + c 2 = −2abc

11. O

valor

da

expressão

1 1 1 1 é: + + +  + 1+ 2 2+ 3 3+2 99 + 10

(A) −10

(B) −9

(C)

1 9

(D) 9

(E) 10

12. A solução da equação 2 + 3 3 x − 1 + 3 3 x − 1= 4 é : (A) divisor de 30 (D) múltiplo de 7

(B) múltiplo de 5 (C)fator de 40 (E) divisível por 9

13. Considere as 5 afirmações abaixo. A seguir, coloque (V) ou (F) nos parêntesis, conforme sejam verdadeiras ou falsas: 1. ( ) 2,4h = 2h 40min 6 2. ( ) Km= 1200dm 5 3. ( ) 0 ,2dm2 = 2m2 4. ( ) 5 = 5000 cm3 5. ( ) 3 0 ,008 m2 = 2000 cm2 Pode-se concluir que são verdadeiras apenas as afirmações : (A)1 e 4 (B)3 e 4 (C)2, 4 e 5 (D)4 e 5 (E) 1 e 2

14. Num grupo de 142pessoas foi feita uma pesquisa sobre três

AD AE = AB AC (II) B = D e E = C AD DE = (III) AB BC (IV) Se a razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADE é 16 , então a razão de semelhança é 4 . Pode-se concluir que o número de afirmações corretas é : (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 (I)

17. Considere as seguintes afirmações sobre o trinômio

y = −497 x 2 + 1988 x − 1987 (I) Seu valor máximo é 1. (II) Tem duas raízes de mesmo sinal. (III) Os valores numéricos para x = −103 e x = 107 são iguais. (IV) O gráfico intersecta o eixo das ordenadas em −1987 . Pode-se concluir que o número de afirmações verdadeiras é: (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) 0

programas de televisão A , B e C e constatou-se que : I - 40 não assistem a nenhum dos três programas. 18. Um polígono regular convexo de 18 vértices II - 103 não assistem ao programa C . A1 A2 A3 ... A18 está inscrito em uma circunferência de raio III - 25 só assistem ao programa B . IV - 13 assistem aos programas A e B . R . Traçam-se as diagonais A1 A7 e A2 A5 . A área da V - O número de pessoas que assistem somente aos parte do círculo compreendida entre essas diagonais é : programas B e C é a metade dos que assistem somente a A R2 R2 e B. 4 − 3 3 (A) (B) (C) R2  − 3 VI - 25 só assistem a 2 programas ; e 12 3 VII - 72 só assistem a um dos programas. R2 R2 2 − 3 3 (D) (E) Pode-se concluir que o número de pessoas que assistem 12 6 (A) ao programa A é 30 (B) ao programa C é 39 19. Considere as cordas AP= 13 e BD = 12 de uma (C) aos 3 programas é 6 circunferência, que se intersectam no ponto Q ; e um (D)aos programas A e C é 13 ponto C da corda AP , tal que ABCD seja um (E) aos programas A ou B é 63 . paralelogramo. Determinado este ponto C , AC mede mx+ ny = 2m+ 3n (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 18 15. Dado o sistema  onde m n p  q  0 , px + qy = 2 p + 3 q  20. Um subconjunto do conjunto solução da inequação (A) se mq − np = 0 , então o sistema pode ser impossível. (B) se mq − np = 0 , então o sistema não é indeterminado. (C) se mq − np  0 , então o sistema não é determinado. (D) o sistema não é impossível (E) se mq − np  0 , então o sistema é impossível.

16. Sobre os lados AB e AC de um triângulo ABC tomam-se os pontos D e E , respectivamente, de modo que os triângulos ABC e ADE sejam semelhantes. Considere as 4 afirmações abaixo :

(

)

(

)

(

)

1 + 4 x − x2 0 é: x2 + 1 (A) x  R | x  5 (B) x  R | x  2 (C) x  R | x  0  (D) x  R | 0  x  4 (E) x  R | - 1 x  3

COLÉGIO NAVAL – 1989

07. Sabe-se que a equação do 1º grau na variável x 2mx− x + 5 = 3px − 2m + p admite as raízes

01. Num triângulo ABC traça-se a ceviana interna AD que o decompõe em dois triângulos semelhantes e não congruentes ABD e ACD . Conclui-se que tais condições: (A) só são satisfeitas por triângulos acutângulos. (B) só são satisfeitas por triângulos retângulos. (C) só são satisfeitas por triângulos obtusângulos. (D) podem ser satisfeitas, tanto por triângulos acutângulos tanto quanto por triângulos retângulos. (E) podem ser satisfeitas, tanto por triângulos retângulos tanto quanto por triângulos obtusângulos.

02. Os números da forma 4k sempre múltiplos de : (A) 17 (B) 19 (C) 23

2

+50

+ 4k

2

+51

(D) 29

+ 4k

2

+52

+ 4k

2

+53

2+ 3 e

3 + 2 . Entre os parâmetros m e p vale a relação:

(A) p2 + m2 = 25

(B) p  m = 6

(D) pm = 32

(E)

(C) mp = 64

p 3 = m 5

m.d.c.(a;b; c) = 100 e o m.m.c.(a;b; c) = 600 , podemos afirmar que o número de conjuntos de três elementos distintos a , b e c é : (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10

08. Se o

09. O cubo de 12(b) e 1750(b) . A base de numeração b é : são

(E) 31

03. O maior valor inteiro que verifica a inequação x  ( x + 1)  ( x − 4 )  2  ( x − 4 ) é: (A) 1 (B) negativo (D) ímpar maior que 4 (E) primo

3

3

(C) par positivo

04. Um aluno, ao tentar determinar as raízes x1 e x2 da equação

ax 2 + bx + c = 0 , a.b.c.  0 , explicitou x da seguinte forma: − b  b2 − 4ac 2c Sabendo-se que não teve erro de contas, encontrou como resultado: (A) x1 e x2 (B) − x1 e − x2 (C) x1−1 e x2 −1 (D) c.x1 e c.x2 (E) a.x1 e a.x2 x=

05. O número de polígonos regulares, tais que quaisquer duas de suas diagonais, que passam pelo seu centro formam entre si ângulo expresso em graus por número inteiro, é: (A) 17 (B) 18 (C) 21 (D) 23 (E) 24

06. Uma pessoa tomou um capital C a uma taxa mensal numericamente igual ao número de meses que levará para saldar o empréstimo. Tal pessoa aplica o capital C a uma taxa de 24% ao mês. Para que tenha um lucro máximo na operação, deverá fazer o empréstimo e a aplicação durante um número de meses igual a: (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 (E) 36

(A)primo (B)ímpar e não primo (C)par menor que 5 (D) par entre 5 e 17 (E) par maior que 17

10. No Colégio Naval, a turma do 1º Ano é distribuída em 5 salas. Num teste de Álgebra, as médias aritméticas das notas dos alunos, por sala, foram, respectivamente: 5,5 ; 5,2 ; 6 ,3 ; 7,1 e 5 ,9 . A média aritmética das notas da turma é : (A) 5 ,9 (B) 6 ,0 (C) 6 ,15 (D) 6 ,5 (E) impossível calcular

11. Sejam A =  x 

*



| x  1200 e

B =  y  A | y é primo com 1200 . O número de elementos de B é: (A) 270 (B) 300 (D) 360 (E) 420

(C) 320

12. O quadrilátero ABCD está inscrito num círculo de raio unitário. Os lados AB , BC e CD são respectivamente, os lados do triângulo eqüilátero, do quadrado e do pentágono regular inscrito no círculo. Se x é a medida do lado AD do quadrilátero, pode-se afirmar que : Observação : CD é aproximadamente igual a 1, 2 . (A) 1,0  x  1,2 (B) 1,2  x  1,4 (C) 1,4  x  1,6 (D) 1,6  x  1,8 (E) 1,8  x  2,0

13. Os lados do triângulo ABC medem AB= 2 ; AC = 2 3 e BC= 4 . A área da interseção entre o círculo de centro B

2S 15 S (B) 15 4S (C) 15 S (D) 3 2S (E) 5

e raio BA , o círculo de centro C e raio CA e o triângulo ABC é: 3 5 4 (A) (B) (C) −2 3 −2 3 −2 3 4 2 3 6 5 (D) (E) −2 3 −2 3 3 5

(A)

14. O denominador da fração irredutível, resultante da racionalização de

1

A

F

B

E

C

D

6 50 − 5 75 − 128− 16 48 é: (A) 11 (D) 44

(B) 22 (E) 55

18. No trinômio y = ax 2 + bx + c , a  0 , o seu valor

(C) 33

numérico para x = −3 é positivo, para x = 2 é positivo e para x = 7 é negativo. Logo, pode-se afirmar que : (A) b  0 (B) b  0 (C) b = 0 ou c = 0 (D) c  0 (E) c  0

15. Na figura abaixo tem-se que O é o centro do círculo, P é um ponto

( )

qualquer

( )

do

seu

interior,

Med PM = Med MB = a e AB é tangente ao círculo em A . Se a2 = bc , o rio do círculo é igual a : (A) a + c − b (B) 2a + c − b (C) a + b − c (D) 2a − c (E) b − c

A

O

b

c

a P

a M

B

16. Um vendedor sempre coloca os seus produtos à venda com lucro de 70 % sobre o preço de custo. Se o preço de custo de um certo produto aumentou de R$170, 00 , o que corresponde a 20% do preço que tal produto era vendido, o novo preço de vendas é: (A) R$850, 00

R$1.020,00 (C) R$1.139,00 (D) R$1.139, 00 (E) R$1.445,00

8  x  yz =  3  4 2  19. Resolvendo-se o sistema x  y  z = , tem-se 3  x  y  z = 16 2  27 x+ y + z que é igual a: x y  z 35 35 21 (A) (B) (C) 16 4 8 105 105 (D) (E) 32 16

20. Numa divisão polinomial, o dividendo, o divisor, o

(B)

01.

17. No quadrado ABCD de áreas S da figura acima, os pontos E e F são médios. A área da parte hachurada é:

quociente e o resto são, respectivamente:

4 x3 + ax 2 + 19 x − 8, 2 x − b, 2x 2 − 5 x + 7 e − 1 A soma dos valores de a e b é igual a: (A) −14 (B) −13 (D) −11 (E) −10

(C) −12

COLÉGIO NAVAL – 1990

c)

C [(AA(BB]C () AC )]

( A  B) − [( A  B)  ( A  C )] e) [( B  C ) − A]  ( A − B) d)

01. Considere três números naturais x, y e z, tais que x < y < z.

Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois e que o menor é um quinto do maior. Então x, y e z são, nesta ordem,07. A representação decimal do número (2a  3b  5c ) −1 , sendo a, diretamente proporcionais a: b e c números naturais, é uma dízima periódica composta. a) 1, 2, 3 Sendo assim, pode-se afirmar que, necessariamente: b) 1, 4, 4 a) a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0 b) a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0 c) 1, 3, 5 c) a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0 d) a ≠ 0, ou c = 0 e b ≠ 0 d) 1, 4, 6 e) a ≠ 0, b ≠ e c ≠ 0 e) 2, 5, 6

08. Sejam os conjuntos 02. O número 583ab é divisível por 9. O valor máximo da soma x −3   dos algarismos a e b, é: A = x  /  0 , x + 5   a) indeterminado b) 20 c) 18 d) 11 e) 2 03. Um minério A tem massa igual a 5kg e contém 72% de ferro, é um minério B de massa m, contém 58% de ferro. A mistura dessas massas contém 62% de ferro. A massa m, em kg, é: a) 10 b) 10,5 c) 12,5 d) 15,5 e) 18,5

04. O número 12 é o máximo divisor comum entre os números 360, a e b tomados dois a dois. Sabendo-se que 100 < a < 200, e que 100 < b < 200, pode-se afirmar que a + b vale: a) 204 b) 228 c) 288 d) 302 e) 372 4

05. O valor de

8+

2 −1 − 4

a) 1

b)

2

c) 2

8−

4

8−

2 −1

2 −1

d) 2

2

e) 3

é:

2

06. Considere os conjuntos A, B, C e U no diagrama. A região hachurada corresponde ao conjunto:

  x +2 x − 2 − 54 x − 4 + 6  0 B= −1  1500 x  80 C =  x  / ( x − 3)  0 e ( x + 5)  0 . Pode se afirmar que: a) A=B=C b) A ⊂ B ⊂ C d) C ⊂ A ⊂ B e) C ⊂ A = B

09. Os ponteiros das horas, dos minutos e dos segundos de um relógio indicam zero hora. Até as 9 horas do mesmo dia, os ponteiros dos minutos e dos segundos terão se encontrado um número de vezes igual a: a) 524 b) 531 c) 540 d) 573 e) 590

10. Considere um losango de lado L e área S. A área do quadrado inscrito no losango, em função de L e S é:

4S 2 L2 + 2S 4S 2 d) 4 L2 + S a)

U A

B

c) A ⊂ C ⊂ B

16S 2 4 L2 + S S2 e) 2 L + 2S b)

c)

S2 L2 + S

11. O total de polígonos cujo número n de lados é expresso por dois algarismos iguais e que seu número d de diagonal é tal que d > 26n, é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 C

12. No triângulo ABC, tem-se BC = a e a altura AH = h. O a) b)

[ A − ( B  C ]  [( B  C ) − A]

C

[( A B ]−C ] A B C

lado do triângulo equilátero DEF inscrito em ABC tal que

DE é paralelo a

2ah , é dado pela expressão: 2a 3 + h

2ah a 3 + 2h ah b) h+a 3 2a c) h 3+a 2a d) h+a 3 2ah e) 2a 3 + h a)

13.

determinam na circunferência um arco de 10 cm. O ângulo formado pelas duas tangentes vale: a) 30º b) 120º c) 145º d) 150º e) 330º

A

19. O triângulo ABC da figura tem área S. A área da região hachurada é, em função de S: Dados:

h D

AB = BC = 2AC BH é a altura AD é a bissetriz do ângulo Â

E

B

C a

Qual a solução do sistema

 x + 2  x − 2 − 54 x − 4 + 6  0 ?  −1 1500 x  80 a) x>85 d) 20