TÓPICO 01 - PRISMA 01

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ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX TÓPICO 01 – PRISMA Um prisma é o sólido geométrico formado pela união de todos os segmentos de reta congruentes e paralelos a um segmento dado, com uma extremidade nos pontos de um polígono fixo não paralelo a esse. Ou seja, um prisma é um poliedro com duas faces congruentes e paralelas (bases) e cujas demais faces (faces laterais) são paralelogramos. Os prismas são classificados de acordo com a forma de suas bases. Por exemplo, se temos pentágonos nas bases, teremos um prisma pentagonal. O prisma pode ser classificado em reto quando suas arestas laterais são perpendiculares às bases, e oblíquo quando não são. Na figura abaixo, temos um prisma hexagonal oblíquo

I – DEFINIÇÃO Um prisma (limitado) é o sólido geométrico formado pela união de todos os segmentos de reta congruentes e paralelos a um segmento dado PQ (chamado de segmento de reta suporte), com uma extremidade nos pontos de um polígono fixo não paralelo a PQ. Desta forma, o sólido formado é um poliedro com duas faces congruentes e paralelas (chamadas de bases) e cujas demais faces (chamadas faces laterais) são paralelogramos. O termo prisma também pode significar prisma ilimitado, que é o sólido formado pela união de todas as retas paralelas a uma reta dada r e que interceptam um polígono fixo não paralelo a r. Salvo menção, usaremos o termo prisma para significar um prisma limitado. II – ELEMENTOS Um prisma n-poligonal é formado por duas bases congruentes e paralelas, n faces laterais, 3ndiedros, 3n arestas, 2n triedros e 2n vértices. Em um espaço orientado, as bases são comumente classificadas em base inferior ou superior, conforme a orientação dada.

O prisma sempre terá dois tipos de faces: I) Bases – As bases são polígonos congruentes II) Faces Laterais – As faces laterais sempre serão paralelogramos 1

ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX III – CLASSIFICAÇÃO Os prismas são classificados conforme as propriedades dos polígonos que formam suas bases. Assim, prismas de bases convexas são chamados de prismas convexos. Prismas triangulares, quadrangulares, pentagonais, ... , n-poligonais, são aqueles cujas bases são triângulos, quadriláteros, pentágonos, ..., polígonos com n lados, respectivamente. Prismas quadrangulares seguem classificação específica. Um prisma cujas bases são paralelogramos é chamado de paralelepípedo. Um paralelepípedo cujas arestas são todas congruentes entre si é chamado de romboedro.

Os prismas também são classificados quanto ao ângulo que a reta suporte faz com os planos que contém suas bases. Ou seja, um prisma é dito ser oblíquo quando sua reta suporte faz um ângulo oblíquo com os planos das bases. É dito ser reto quando a reta suporte faz um ângulo reto com os planos das bases. Neste caso, as faces laterais são retângulos. Observe que: I) Um romboedro reto cujas bases são retângulos é chamado cubo. II) Um prisma reto cujos polígonos das bases são regulares é chamado de prisma regular. III – ALTURA A altura de um prisma é a distância entre suas bases. Desta forma, observamos que a altura de um prisma reto é igual ao comprimento de qualquer uma de suas arestas laterais. IV – ÁREA DA SUPERFÍCIE Superfície (total) de um prisma é a união de todas as suas faces. A união apenas de ALAT suas faces laterais é chamada de superfície lateral. A área da superfície lateral éa soma das áreas de cada face lateral do prisma. A área da superfície total ATOTAL é dada por: ATOTAL  ALAT  2  ABASE onde, ABASE é a área de qualquer uma das bases do prisma. V – VOLUME O volume V de um prisma é dado por: V  ABASE  h A onde, BASE é a área de qualquer uma de suas bases e h é sua altura, ou distância entre os planos que contém as bases. 2

ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – TÓPICO 01 01. (UFMG) Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8m de comprimento, 5m de largura e 120cm de profundidade. Bombeia-se água para dentro do reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo. Quantos minutos são necessários para se encher completamente esse reservatório? SOLUÇÃO. Escrevendo tudo em DM, pois cada dm3 equivale a 1 litro, temos: V  (80 dm ).(50 dm ).(12 dm )  48000 dm 3  48000 litros Como a taxa é de 2 litros por segundo temos, que o tempo necessário será de: 2litros 48000 litros 48000  x  24000 segundos  400 min utos 1segundo x 2 02. (UFP) A base de um prisma hexagonal regular está inscrita num círculo de 10 cm de diâmetro. A altura desse prisma, para que a área lateral seja 201 cm² mede: a) 4,5 cm b) 6,7 cm c) 7,5 cm d) 9,3 cm e) 12,6 cm SOLUÇÃO.

 Alateral  6.b.h  6.(5)( h)  30 h 201  30 h  201  h   6, 7 cm  30  Alateral  201

03. (UFRGS) Na figura está representada a planificação de um prisma hexagonal regular de altura igual à aresta da base. Se a altura do prisma é 2cm, seu volume é: a) 4 3 cm3 b) 6 3 cm3 c) 8 3 cm3 d) 10 3 cm3 e) 12 3 cm3 SOLUÇÃO. De acordo com o enunciado temos, que:  L2 3   22 3  i ) Abase ( hexágono regular )  6.   3.   6 3cm 2   4   2     





ii ) Volume  Abase .h  6 3 .(2)  12 3cm 3

3

ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX 04. (PUC) Considere um paralelepípedo retangular com lados 2, 3 e 6 cm. Calcule a distância máxima entre dois vértices deste paralelepípedo. Solução. A maior distância entre dois vértices é a diagonal do paralelepípedo. Assim a resposta é: d  2²  3²  6²  4  9  36  13  36  49  7 cm 05. Um prisma hexagonal regular tem a área da base igual a 96 3 cm². Calcular a área lateral sabendo que sua altura é igual ao apótema da base. SOLUÇÃO. Como a base é formada por triângulos equiláteros, temos que:  l2 3 2  Abase  6   6. l 3 3.l 2 192   4   96 3   96  l   64  8cm .    4 2 3   Abase  96 3 O apótema do hexágono é a altura de um triângulo equilátero. Portanto temos: A(lateral )  6  l  h   6. 8  4 3  6. 32 3  192 3cm²









06. Calcular as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo-se que são proporcionais aos números 5, 8, 10, e que sua diagonal mede 63cm. SOLUÇÃO. Considerando a, b, c as dimensões do paralelepípedo e utilizando a proporcionalidade indicada, temos: a = 5k, b = 8k e c = 10k Assim, temos que 25k ²  64 k ²  100 k ²  63  189 k ²  65  3k 21  63   a  5 21cm  63 21 21 21 k   .  21  b  8 21cm 3 21 21 21 21   c  10 21cm 07. (UFMG) Encontre todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1. Solução. Teremos três possibilidades para as distâncias. I) Podemos ter uma aresta, assim d = 1. II) Podemos ter uma diagonal da face, assim d = 2 III) Podemos ter uma diagonal do cubo, assim d = 3 .

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ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX 08. (UFSC) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. Calcule a terça parte do volume da caixa, em cm³. Solução. De acordo com o enunciado devemos ter V = 192 cm 3. Onde a terça parte é 64cm3. 09. (UNIFOR). Um aquário com forma de paralelepípedo de faces retangulares tem 40cm de comprimento, 30cm de largura e 20cm de altura e contém água, que ocupa 2/3 de sua capacidade. Um objeto é mergulhado na água, de maneira que o conteúdo do aquário passa a ocupar 19600cm³. Qual volume, em centímetros cúbicos, do objeto? Solução. A capacidade do aquário é o volume total V = (40).(30).(20) = 24000cm³. A parte ocupada é 2/3 desse volume. Logo, V(ocupada) = 2/3 de 24000cm³ = 16000cm³. O volume aumentado corresponde exatamente ao volume do objeto mergulhado. Logo o volume do objeto é V(objeto) = 19600m³ – 16000cm³ = 3500m³. 10. (UFRGS). Considere o trapézio ABCD da figura a seguir, obtido pela interseção de um cubo de aresta 1 com um plano que passa por dois vértices opostos A e D de uma face e pelos pontos médios B e C de arestas da face não adjacente. Calcule a área do trapézio. Solução. Considere os pontos M, N e P da figura abaixo. Assim, temos que: 2

2

1 1 I) BC        BC  2 2

2 2  4 2

II) Como AD é a diagonal da face, temos: AD  2 . Observe que os segmentos AM e ND tem medidas iguais, assim, temos que: AM  ND 

1  1  2 2 2 . 2    AM  ND  .    2  2  2  2  4 2

1 III) Usando o teorema de Pitágoras temos, DC  1     DC  2 2

No triângulo retângulo CND temos:. 2

2

 5  2 h  NC     NC   2   4     

5 2 18 3 2    4 16 16 4

iv) Assim, a área pedida é  2 2  3 2  3 2   AD  BC    2  . 3 2   2 A .  A   .h  A    2   4   4  2 2              3 2   3 2  18 9 A .    4   4  16 8   

5

5 5  . 4 2

ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – TÓPICO 01 – PARTE I 01. Determine a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma cuja base é um polígono de n lados.

02. Em um prisma, a soma dos ângulos internos de todas as faces é igual a 2880º. Quantas faces laterais tem o prisma?

03. Em um prisma, a soma dos ângulos internos de duas bases é igual a 1800º. Quantas faces laterais tem o prisma?

04. Em um prisma, a soma dos ângulos internos de todas as faces laterais é igual a 3 960º. Quantas são as faces laterais?

05. Um prisma tem, no total, 12 faces. Calcule a soma dos ângulos internos de todas as faces.

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ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – TÓPICO 01 – PARTE Ii EF 01. Calcule a soma de todos os diedros de um paralelepípedo (note que arestas opostas, situadas em uma mesma face, determine diedros suplementares).

EF 02. Calcule a área total e a diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo de arestas 3, 5 e 12.

EF 03. Um paralelepípedo reto-retângulo tem como base um retângulo de lados 4 e 6. Sabendo que a área total é 308, determine a altura e a diagonal desse paralelepípedo.

EF 04. As arestas de um paralelepípedo reto-retângulo têm por medidas três números inteiros e consecutivos. Determine essas arestas, sabendo que a área total é 52. EF 05. Seja  o ângulo agudo formado por duas diagonais de um paralelepípedo retoretângulo de dimensões 2 cm , 3 cm e 6 cm . Calcule cos  .

EF 06. As dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo são proporcionais a 3, 4 e 12 e a sua diagonal mede 26 cm . Calcule as dimensões do paralelepípedo.

EF 07. Quantos recipientes em forma de paralelepípedo reto-retângulo podem ser fabricados, no máximo, a partir de uma chapa de aço de 140 cm  70 cm , se as dimensões dos recipientes são 35 cm  20 cm  10 cm ?

EF 08. As diagonais das faces laterais de um paralelepípedo reto-retângulo formam com o plano da base ângulos de 30º e 45º. Sendo  o ângulo que a diagonal do paralelepípedo forma com o plano da base, calcule tg  .

EF 09. O perímetro da base de um paralelepípedo reto-retângulo é 14 cm , sua diagonal é 13 cm e sua altura é 12 cm . Calcule a área total.

EF 10. As áreas das faces de um paralelepípedo reto-retângulo são proporcionais a 3, 5 e 15 e a área total é 184 cm 2 . Determine as dimensões do paralelepípedo.

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ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – TÓPICO 01 – PARTE I EF 01. n  1  720º ; EF 02. cinco faces; EF 03. 7 faces; EF 04. 11 faces; EF 05. 6480º; GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – TÓPICO 01 – PARTE Ii EF 01. 1080º; EF 02. S L  222 , D  178 ; EF 03. h  13 e D  221 ; EF 04. 2, 3, 4; EF 05. cos  

23 31 41 ; cos   ; cos   ; 49 49 49

EF 06. 6 cm, 8 cm e 24 cm; EF 07. três recipientes; 1 ; 2 EF 09. 192 cm 2 ;

EF 08. tg  

EF 10. 2 cm, 6 cm, 10 cm;

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ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TÓPICO – NÍVEL 01 EP 01. A diagonal da base de um paralelepípedo reto-retângulo é 16 cm . O lado maior da base determina, na circunferência circunscrita, um arco de 120º. A área lateral do paralelepípedo é 24 cm 2 . Calcule o seu volume. EP 02. Em um cubo, a aresta, a diagonal e a área total formam, nessa ordem, uma PG . Determine o volume do cubo. EP 03. A diferença entre as arestas de dois cubos é x e a diagonal do maior é d. Calcule a área total e o volume do menor. EP 04. Três cubos de chumbo, com aresta 6 cm , 8 cm e 10 cm são fundidos em um só cubo. Qual é a aresta do cubo obtido? EP 05. Um cubo de chumbo, de aresta 20 cm , é dividido, por fusão, em três cubos cujas arestas são proporcionais a 3, 4 e 5. Calcule os volumes dos cubos assim obtidos. EP 06. Calcule a área total de um cubo cujo volume é igual ao de um paralelepípedo retoretângulo de dimensões 4 cm , 6 cm e 9 cm . EP 07. Um cubo de um paralelepípedo reto-retângulo têm mesma área total. As dimensões do paralelepípedo são proporcionais a 1, 6 e 6, e o seu volume é 562,5 cm 3 . Calcule o volume do cubo. EP 08. São dados um cubo de aresta 12 cm e um paralelepípedo reto de mesmo volume do cubo. O ângulo agudo da base do paralelepípedo é 30º e as suas arestas são proporcionais a 12, 9 e 4 (as duas primeiras são as arestas da base). Determine a área total do paralelepípedo. EP 09. Um prisma reto pentagonal tem altura 7 e área lateral 91. Qual é o perímetro da base? EP 10. A altura do prisma reto pentagonal da figura é 6 e as arestas da base têm as medidas 2, 3, 5, 7 e 8. Determine a área lateral do prisma.

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3

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ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TÓPICO 01 – NÍVEL 02 EP 01. A diagonal de um prisma quadrangular regular mede d e faz, com o plano da face lateral, um ângulo de 60º. Determine a medida da aresta da base. EP 02. A diagonal de um prisma quadrangular regular mede d e faz, com a aresta lateral, um ângulo de 60º. Determine a medida da aresta da base. EP 03. A aresta da base de um prisma quadrangular regular é igual a 20 cm . Calcule a distância entre a diagonal do prisma e uma aresta lateral que não a corta. EP 04. Calcule a diagonal de um prisma quadrangular regular no qual a área da base é igual a 450 cm 2 e a aresta lateral a 40 cm . EP 05. Calcule a diagonal de um prisma quadrangular regular no qual a área da base é 2 200 cm 2 e a área da face lateral é 210 2 cm . EP 06. A base de um prisma reto é um losango. Sendo 8 cm e 5 cm as medidas das diagonais do prisma e 2 cm a altura, calcule o lado da base. EP 07. A base de um prisma reto é um hexágono regular de lado a. As faces laterais são quadrados. Calcule as diagonais do prisma. EP 08. A base de um prisma reto é um losango com lado de 10 cm e altura 9,6 cm . A altura do prisma é 12 cm . Calcule as diagonais do prisma. EP 09. Na figura a seguir I e J são os centros das faces BCGF e EFGH do cubo ABCDEFGH de aresta a. Determine os comprimentos dos segmentos AI e IJ.

EP 10. No cubo da figura a seguir, a distância do vértice A a diagonal PQ é Determine o volume do cubo.

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6.

ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TÓPICO 01 – NÍVEL 03 EP 01. A base de um prisma reto é um paralelogramo, cujos lados são iguais a 13 cm e 15 cm e cuja altura é 12 cm . A diagonal menor do prisma forma 45º com o plano da base. Calcule as diagonais do prisma. EP 02. A base de um prisma oblíquo é um triângulo equilátero de lado a. A aresta lateral forma 60º com o plano da base. Um dos vértices da base superior tem projeção ortogonal sobre o plano da base no centro da circunferência circunscrita. Calcule a altura do prisma as diagonais do prisma e a área de cada face lateral. EP 03. A base de um prisma reto é um paralelogramo de lados 15 cm e 2 38 cm . A soma das diagonais da base é 32 cm e a altura do prisma é 12 cm . Calcule as diagonais do prisma. EP 04. Em um prisma quadrangular regular, a diagonal faz 30º com o plano da base e a área lateral é igual a 48 6 cm 2 . Calcule a aresta da base. EP 05. Em um prisma triangular regular, a aresta da base é a. A diagonal da face lateral faz, com o plano de outra face lateral, um ângulo de 30º. Calcule a área lateral. EP 06. A altura de um prisma triangular regular é igual a 14 3 cm e as áreas da base e lateral são proporcionais a 2 e 7. Determine a aresta da base. EP 07. A diagonal de um prisma quadrangular regular faz 30º com a face lateral. A aresta da base é a. Determine a área lateral. EP 08. A aresta da base de um prisma hexagonal regular é a. A maior diagonal forma 60º com o plano da base. Calcule a área total. EP 09. Em um prisma reto, a base é um triângulo retângulo de catetos 10 cm e 24 cm . A diagonal da maior face lateral forma 60º com o plano da base. Calcule a área lateral. EP 10. A base de um paralelepípedo reto é um losango cuja diagonal maior é igual a quatro vezes o raio R do círculo inscrito. A menor diagonal do paralelepípedo forma 60º com o plano da base. Determine a área lateral.

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ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TÓPICO 01 – NÍVEL 04 EP 01. Em um prisma regular, a altura é igual à aresta da base. Seja  o ângulo formado por duas diagonais de faces que concorrem num mesmo vértice. Calcule cos  .

EP 02. A altura de um prisma reto de base quadrada é 40 cm e sua total é 2 208 cm 2 . Determine o volume do prisma.

EP 03. Determine o volume de um paralelepípedo reto cujas arestas são todas iguais a 4 cm , sendo 60º o ângulo da base.

EP 04. A base de um paralelepípedo reto é um losango com lado a e ângulo de 60º. A área lateral do paralelepípedo é 8a 2 . Calcule o volume do paralelepípedo.

EP 05. A base de um paralelepípedo reto é um paralelogramo de lados a e 4a e cujo ângulo agudo é 60º. A maior diagonal do paralelepípedo mede 5a. Calcule o volume.

EP 06. A base de um paralelepípedo reto é um paralelogramo cujo lado maior é igual a 25 cm e cuja diagonal menor é igual a 15 cm e serve como altura do paralelogramo. A menor diagonal do paralelepípedo forma 45º com o plano da base. Calcule o volume.

EP 07. (VUNESP) Secciona-se o cubo ABCDEFGH, cuja aresta mede 1 m, pelo plano BDE, passando por vértices do cubo e pelo plano IJK, passando por pontos médios do cubo, como na figura, calcule o volume do tronco de pirâmide IJKDBE, assim formado.

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ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX EP 08. Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura 20 3 cm, com 2/3 de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral abaixo). Determine a altura h do nível da água em relação ao solo

EP 09. Um recipiente cúbico, sem tampa, com arestas medindo 12 cm, está apoiado em um plano horizontal e contém água até um nível de h cm. Ao se inclinar esse recipiente sobre uma de suas arestas, de maneira que a face inferior faça um ângulo de 30º com o plano horizontal, são derramados 300 cm 3 de água, conforme mostrado nestas figuras.

EP 10. Um paralelepípedo reto de base quadrada, com medida do lado da base igual a 40 cm e contendo água no seu interior, foi inclinado sobre uma aresta do sólido. Estando essa aresta sobre um plano horizontal p, a altura que a água atinge em duas laterais do paralelepípedo é de 30 cm e 50 cm, conforme representado na figura abaixo.

A quantidade de água, em centímetros cúbicos, contida nesse paralelepípedo é de

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ITA-IME/2016 – GEOMETRIA ESPACIAL – ONOFRE CAMPOS/MAX GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TÓPICO 01 – NÍVEL 01





EP 01. V  48  3  3 cm 3 ; EP 02. V 

1 ; 8





2

EP 03. S T  2  d  x 3 , V  EP 04. a  12 cm ; EP 05. 1000 cm 2 ;





3 3  dx 3 ; 9

125000 64000 cm 2 ; cm 2 ; 27 27

EP 06. 216 cm 2 ; EP 07. 1000 cm 3 ; EP 08. 1104 cm 2 ; EP 09. 13; EP 10. S L  150 . GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TÓPICO 01 – NÍVEL 02 EP 01.

d 3 . 2

EP 02.

d 6 . 4

EP 03. 10 2 cm . EP 04. d  50cm . EP 06. 4,5 cm. EP 07. 2a, a 5 . EP 08. 20 cm e 12 2 cm . a 6 a 2 EP 09. A) e . 2 2 EP 10. 27. GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TÓPICO 01 – NÍVEL 03 EP 01. 2 122 cm , 2 197 cm ; 2 a 2 3 a 2 39 a 2 39 , , ; 3 6 6 EP 03. 13 cm, 3 97 cm ; EP 04. a  6 cm ;

EP 02. a,

EP 05. S l  3a 2 2 ; EP 06. 16 cm; EP 07. 4 a 2 2 ; EP 08. 15a 2 3 ; EP 09. 1560 3 cm 2 ; EP 10.

64 R 2 3 ; 3 14

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GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TÓPICO 01 – NÍVEL 04 3 . 4 EP 02. V  5760 cm 3 . EP 03. V  32 3 cm 3 .

EP 01. cos  

EP 04. a 3 3 . EP 05. 4 a 3 3 . EP 06. 4500 cm 3 . EP 07. 7/48 cm3 EP 08. 21 cm. 169  24 3 EP 09. h  . 12 EP 10. 48.000 cm3.

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