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En Primaria y Secundaria

“El mejor nivel educativo”

R.D.R. Nº 052-2007

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R.D.R. N°052-2007

MEDIANTE EL PRESENTE MATERIAL DESARROLLAREMOS TRES CAPACIDADES GENERALES:  RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN  COMUNICACIÓN MATEMÁTICA 

RESOLUCIÓN MATEMÁTICA

DOCENTE:

Lic. TEODORO VARAS BOZA

AÑO:

4° de Secundaria

ICA – PERU 2014 http:// Teodorovarasboza.blogspot.com

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MÉTODO DE FALSA SUPOSICIÓN

MÉTODOS OPERATIVOS - I Hemos clasificado operativos en:

los

métodos

Se aplica cuando en un problema existen 4 datos como mínimo

I. Método de operaciones inversas (cangrejo) II. Método del rombo (Falsa su suposición) III. Método de diferencias (Comparación de Cantidad) IV. Método de la regla conjunta (Equivalencia) La clave para la resolución de los problemas radica en saber reconocer en que caso aplicar determinado método y cuál es el procedimiento de solución.. ¡He ahí nuestro desafío!

I.

MÉTODO DE INVERSAS

1. _____________________________ 2. _____________________________ 3. _____________________________ 4. _____________________________

El procedimiento de solución radica en realizar una falsa suposición (asumiendo que todos los elementos son de una sola clase). El presente diagrama resume estas apreciaciones

OPERACIONES

Se aplica en aquellos problemas donde la variación inicial se desconoce, hay una seriede operaciones y nos dan como dato el valor final (resultado). El procedimiento de solución consiste en invertir el sentido de las operaciones. La idea queda resumida en el siguiente esquema:

Proceso Directo

x

Operaciones Directas

Dato

Dato

# de elementos (conjunto x A)  TOTAL  de "B" AB

Valor Inicial

Valor Final Proceso

Lo que despejamos al realizar estas operaciones es la cantidad de elementos que no fueron tomados en cuenta en la suposición (Clase “B”)

Valor Final

Valor Inicial

Operaciones Inversas

# de elementos  de " A"

x

Inverso

MATERIAL DE CLASES 1. Una persona ingreso a un restaurante, gastó la mitad de lo que tenía y dejo 3 soles de propina: Luego ingreso a una heladería, gastó la mitad de los que aún le quedaba y dejó 2 soles de propina, quedándose sin dinero. ¿Cuánto tenía inicialmente?. http:// Teodorovarasboza.blogspot.com

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8. Hallar la profundidad de un pozo de agua sabiendo que cada día su nivel desciende en 4 metros por debajo de su mitad, quedando vació al cabo del cuarto día. a) 110m b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 9. En un billetera hoy 24 billetes que hace un total de $560. Si sólo habían billetes de $50 y $10. ¿Cuántas eran de cada clase?.

a) 12 soles b) 16 c) 10 d) 14 e) 18 2. Aun número se le efectuaron las siguientes operaciones, se le agrego 10, al resultado se le multiplico por 5, para quitarle enseguida 26. Si a este resultado se extrae la raíz cuadrada y por último se multiplica por 3, se obtiene 24. ¿Cuál es el número?. a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 14 3. El nivel del agua de un pozo en cada hora desciende 3 cm. por debajo de su mitad, hasta quedar vació el pozo luego de 4 horas. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente?.

a) 14 y 10 b) 16 y 8 c) 12 y 12 d) 15 y 19 e) N.A. 10. En un examen, cada respuesta correcta vale 4 puntos y cada incorrecta vale (-1) punto. Si un alumno, luego de responder 30 preguntas obtuvo 80 puntos. ¿En cuántas se equivocó?. a) 7 b) 9 c) 8 d) 6 e) 10

a) 144cm b) 120 c) 80 d) 72 e) 90 4. En un lejano país existe una imagen milagrosa que duplica el dinero con la condición de que el favorecido deja una ofrenda de 80 monedas después de cada milagro. Uno de sus feligreses resultó favorecido 3 veces seguidas y dejó también sus ofrendas, pero que al final quedó poseedor de nada. ¿Cuánto tenía inicialmente?. a) 90 monedas b) 120 c) 70 d) 80 e) 160 5. Dos jugadores; acuerdan que después de cada partida la que pierde duplicará el dinero de otra. Después de dos partidas, que las ha ganado una sola jugadora cada una tiene 64 soles. ¿Cuánto tenía la perdedora al inicio?. a) S/.16 b) 128 c) 96 d) 112 e) 32 6. Jorge le dice a Rosa: “Si a la cantidad de dinero que tengo le agrego 20 soles y luego a ese resultado lo multiplico por 6, para quitarle a continuación 24 soles. Y si a este resultado le extraigo la raíz cuadrada y por último lo divido entre 3, obtengo 8 soles, lo que tengo al inicio es”.

11. En un zoológico, entre todas las jirafas y avestruces se podían contar 30 ojos y 44 patas. Determinar el número de alas. a) 14 b) 28 c) 16 d) 12 e) 30 12. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos, si un vendedor entregó 55 litros que pasaban 56,5 kg. Calcular la cantidad de agua que contenía esta entrega. a) 5L b) 4 c) 9 d) 13 e) 11 13. En una prueba de 50 preguntas, un alumno gana 2 puntos por repuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. ¿Cuántas respondió correctamente, si obtuvo 64 puntos y contesto todas?. a) 42 b) 36 c) 38 d) 34 e) 32 14. Se tiene 3600 soles en billetes de S/.100 y S/.50 que se han repartido entre 45 personas tocándole c/u un billetes. ¿Cuántas personas recibieron un billete de S/.100?. a) 30 b) 18 c) 27 d) 15 e) N.A.

a) S/.92 b) 24 c) 80 d) 576 e) 352 7. Lili, cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/.20; si gastó todo en 4 días. ¿Cuánto gasto el segundo día?. a) 100 b) 110 c) 160 d) 130 e) 140 http:// Teodorovarasboza.blogspot.com

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15. Dos niños han recorrido en total 64 metros dando entre los dos 100 pasos. Si cada paso del segundo mide 50 cm. y cada paso del primero mide 70 cm. ¿Cuántos pasos más que el segundo ha dado el primero?. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

5. Con 34 monedas de 5 y 10 pesos se desea colocar una a continuación de otra hasta alcanzar la longitud de un metro. Si los diámetros de las monedas son de 20 y 30mm respectivamente, el # de monedas de 5 pesos es: a) 20 b) 32 c) 18 d) 30 e) 2 6. Paola escribe cada día la mitad de las hojas en blanco de un cuaderno más 5 hojas. Si al cabo de 4 días gastó todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?. a) 200 b) 175 c) 225 d) 120 e) 150

ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Los métodos operativos nos ayudan a _________________ los problemas abreviando: __________________ y ________________. 2. Relacionar correctamente : a) Se aplica operaciones ( ) Met. Rombo inversas b) Generamos un Cangrejo valor supuesto

7. En un concurso de admisión, la prueba de R.M. tenía 100 preguntas, por cada respuesta correcta se le asigna un punto y cada incorrecta tiene puntaje en contra de 1/4 de punto. César ha obtenido en dicha prueba 50 puntos, habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas. ¿Cuántas erró?

( ) Met.

c) Es dato el valor final ( ) Met. Rombo d) Existen 4 datos ( ) Met. Cangrejo

a) 10 d) 25

b) 50 e) 40

c) 30

8. Tres jugadores: A, B y C acuerdan que después de cada partido el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. Habiendo perdido cada jugador una partida en el orden ABC, resulta que el 1º tiene 24 soles, el 2º 28 y el 3º 14. ¿Cuánto dinero perdió “A”?. a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 18

3. En el siguiente problema : Tres jugadores: A, B y C convienen en que el que pierda duplicará el dinero a los demás si pierden en ese orden quedando al final c/u con 32 soles. Responder: a) b) c) d)

¿Cuánto tenía c/u inicialmente? ¿Quién ganó más y cuánto?. ¿Quién perdió y cuánto? ¿Quién tuvo más dinero en las diferentes etapas del juego?. 4. Juan le dice a Luis: “Si el doble de mi edad, lo multiplicas por 8, luego divides por 10, al cociente lo multiplicamos por 3, agregas 36 y por último, ivides el resultado entre 6, obtendrías 30 años. ¿Cuántos años tienen Juan?. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

9. Martín trabaja en una compañía en la cual, por cada día de trabajo le pagan 300 soles y por cada día que falta le descuentan 100 soles de sus sueldos. ¿Cuántos días ha trabajado si al final de 40 días adeuda a la empresa la suma de 2000 soles?.

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a) 12

b) 13

d) 5

e) 10

c) 18

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10. Cada vez que una persona ingresa a una cafetería gasta la tercera parte de lo que tiene en ese momento, más cuatro soles. Al salir por 3ra vez se queda sin dinero, ¿Cuánto tenía al comienzo?. a) S/.48 b) 15,6 c) 28,5 d) 22,5 e) 17,5

MÉTODOS OPERATIVOS II MÉTODO DE DIFERENCIAS Dado el siguiente problema: “Un vendedor ofrece un lote de camisas a 24 soles c/u para ganar 60 soles respecto a su inversión pero si decide venderlo a 18 soles cada camisa, pierde 30 soles. ¿Cuántas camisas tienen el lote?

11. A Jorgito, por cada día que asiste al colegio, le dan 4 caramelos y por cada día que falta le quitan uno. ¿Cuántos días faltó si después de 28 días reunió 12 caramelos?. a) 24 b) 20 c) 25 d) 12 e) 4

Podemos observar: Un # desconocido de elementos (n) de una misma _________________ que cambia su valor ___________________ y esto genera una variación en el valor _________________ de los (n) elementos.

12. Si trabaja los lunes inclusive, Juan economiza 40 soles semanales; en cambió, la semana que no trabaja el día lunes, debe quitar 20 soles. De sus ahorros. Si durante 10 semanas se logra economizar 220 soles. ¿Cuántos lunes dejó de trabajar en esas 10 semanas?. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8 13. Con un cierto número se hacen estas operaciones : se eleva al cubo, al resultado se suma 9 y se extrae raíz cuadrada; al número resultante se divide entre 3 para luego restarle 1 y por último elevarlo al cuadrado, obteniéndose 16. ¿De qué número se trata?. a) 4 b) 6 c) 9 d) 12

Para hallar este # desconocido (n) se aplica la siguiente fórmula. n= Lo más importante es reconocer correctamente ambas diferencias y esto puede lograrse con la ayuda del siguiente gráfico.

e) N.A.

14. Un tren de 325 pasajeros tiene que recorrer 150 km. Los pasajeros de 1ra clase pagan 4 soles por km y los de 2da clase pagan 2 soles por km. ¿Cuántos pasajeros iban en el de 1ra clase, si en ese viaje se ha recaudado : 129 600 por concepto de pasajes?. a) 125 b) 218 c) 99 d) 145 e) 107

MATERIAL DE CLASES 1. Unos alumnos hacen una colecta para adquirir una pelota para su equipo de Básquet. Su c/u colaborase con 3 soles faltarían 20 soles, entonces deciden aumentar la colaboración a 3,5 soles y ahora les alcanza y sobra 5 soles. ¿Cuánto cuesta la pelota?. a) 150 b) 170 c) 180

15. El nivel del agua de una piscina desciende a 3cm. Por debajo de su mitad y luego de 4 horas se desagua toda la piscina. ¿Qué profundidad tenía el agua actualmente?. a) 80cm b) 90 cm c)96 d) 108 cm

d) 120

e) 125

2. Un padre va con sus hijos a un concierto y al querer comprar entradas de 65 soles. Observa que le falta para 4 de ellos y tiene que comprar entradas de 35 soles.

e) 120 cm

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Es así que entran todos y le sobra 10 soles. ¿Cuántos hijos llevó al concierto?. a) 6 b) 7 c) 8

MÉTODOS DE LA REGLA CONJUNTA

d) 9

Se aplica en aquellos problemas donde se dan una serie de _____________________.

e) 10

3. Se requiere rifar una computadora con cierto # de boletos si se vende cada boleta a 10 soles se pierde 1000 y si se vende a 15 soles se gana 1500 soles. Determinar el # de boletos y el precio de la computadora. a) 500; 6400

b) 600 ; 1200

c) 400 ; 5000

d) 500 ; 6000

Se resuelven verificando que el segundo miembro de cada _________________ sea de la misma ____________________ que el primero de la siguiente y así sucesivamente, para finalmente multiplicar estas _____________________. 8. Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros y que 2 metros valen 300 soles. ¿Cuánto costarán 4 varas? a) 500 b) 400 c) 600

e) 300 ; 7000 4. Se desea rifar un reloj vendiéndose cierto # de boletos. Si se vende cada boleto a S/.0,70 se pierde 40 soles y si se vende cada boleto a S/.0,80. Se gana 50 soles. El precio del reloj en soles es: a) 90 b) 220 c) 720 d) 670

d) 800

9. Sabiendo que 2 kilos de frijoles cuestan lo mismo que 3 kilos de azúcar, 4 lápices valen lo que 5 kilos de azúcar, que 3 cuadernos valen 30 soles y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos. ¿Cuánto costarán 6 kilos de frijoles?. a) S/.63 b) 24 c) 36

e) 120

5. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/.8 le faltaría S/.12 y si adquiere entradas a S/.5 le sobraría S/.15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio?. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7

e) N.A

d) 48

e) N.A.

10. ¿El trabajo de cuántos hombres equivaldría el trabajo de 8 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre?. a) 1 b) 2 c) 3

e) 9

6. Un ingeniero quiere premiar a algunos de sus ayudantes; dando 5 soles a c/u le faltarían 3 soles y dándoles 4 soles le sobrarían 7 soles, dar la suma del # de ayudantes y el # total de soles?. a) 10 b) 47 c) 57 d) 67 e) 48

d) 4

e) 6

11. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de azúcar, de la misma manera por 8 kilos de azúcar dan 4 kilos de frijoles, por 10 kilos de frijoles dan 2 kilos de carne de res. ¿Cuántos kilos de carne de res nos darán por 30 kilos de arroz?. a) 2 b) 4 c) 5

7. Se contrata un empleado; por el tiempo de 9 meses; prometiéndole pasar S/.800 más un reloj; pero al cabo de 5 meses se le despide, pagándole entonces S/.200 más el reloj. Determine el precio del reloj?. a) S/.400 b) 450 c) 500 d) 550 e) 600

d) 8

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e) 12

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12. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos, 5 monos cuestan 150 dólares. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos?. a) $50 b) 80 c) 60 d) 65 e) N.A.

d) 6 e) 9 5. Si compro 10 camisas me faltarían 100 soles para comprar 4 más, pero si sólo 6 camisas me sobran 200 soles. Entonces el dinero que tengo es: a) 750 b) 425 c) 525 d) 325 e) 875 6. Si se posaron 3 palomas en cada poste, sobrarían 4 postes, pero si se osara una paloma en cada poste, sobrarían 6 palomas. ¿Cuál es la cantidad de postes? a) 6 b) 7 c) 10 d) 8 e) 9 7. Un alumno dice a otro; si quiero comprar 15 chocolates me faltan 10 soles, pero comprando tan solo 10 me sobran 15 soles. ¿Cuánto dinero tenía?. a) 80 b) 75 c) 48 d) 90 e) 65 8. Un grupo de personas decide ir al teatro, si van a platea les faltan 240 soles y si van a galería les sobra 160 soles. Si invitan a uno les sobraría solo 10 soles, pero si uno de ellos se va sólo les faltaría 40 soles. ¿Cuántos son el grupo?. a) 5 b) 8 c) 6 d) 7 e) N.A. 9. En cierto pueblo se realiza el siguiente trueque: - 5 sacos de papa se cambian por 4 de camote. - 10 sacos de yuca se cambian por 6 de olluco. - 8 sacos de camote se cambian por 3 de olluco. ¿Cuántos sacos de papa se cambian por 2 sacos de yuca?.

13. Si 2 triángulos pueden cambiarse por 5 círculos, 3 círculos por 4 cuadrados. ¿Cuántos cuadrados pueden ser cambiados por 9 triángulos?. a) 32 b) 31 c) 36 d) 28 e) 30 14. En un bazar 4 pantalones equivalen al precio de 5 camisas; 4 chompas cuestan tanto como 6 camisas. ¿Cuántas chompas pueden comprarse con el precio de 12 pantalones?. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A.

ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Relacionar correctamente: a) Operaciones ( ) Regla Conjunta Inversas b) Valor supuesto c) Diferencia total y unitaria

( ) Cangrejo ( ) Rombo

d) Equivalencias ( ) Rectángulo. 2. Una persona quiere repartir cierto número de caramelos a sus sobrinos. Si les da 8 caramelos a c/u le sobran 45 y si les da 11 a c/u, le faltan 27. ¿Cuántos caramelos quiere repartir?. a) 237 b) 327 c) 273 d) 723 e) 372 3. Si se forman filas de 7 niños sobran 5 pero faltarían 4 niños para formar 3 filas adicionales de 6 niños. ¿Cuántos niños son?. a) 72 b) 61 c) 68 d) 116 e) 12 4. Un padre va con sus hijos al teatro y al querer comprar entradas de 30 soles observa que le falta para 3 de ellos, y resuelve comprar de 15 soles. De esta manera entran todos y le sobran 30 soles. ¿Cuántos eran los hijos?. a) 5 b) 8 c) 7

a) 2

b) 4

d) 8

e) 1

c) 6

10. Si por 2 cuadrados dan 5 círculos, por 3 círculos dan 12 triángulos. ¿Cuántos triángulos dan por 2 cuadrados?. a) 16 b) 18 c) 20 d) 22

e) 24

11. En una joyería 4 cadenas de oro equivalen a 10 de plata, 9 de plata equivalen a 3 de diamante, 24 de acero equivalen a 6 de diamante, además por

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36000 soles me dan 4 cadenas de acero. ¿Cuántas cadenas de oro dan por 60000 soles?. a) 2 b) 3 c) 5 d) 4

Ejemplo 2: El costo de cada pasaje en un micro es de S/. 5 y por cada pasajero que baja suben dos. Si al final se ha recaudado S/. 300. ¿Con cuántos pasajeros partió al inicio, si al final llegó con 50 pasajeros?

e) 8

12. En una feria agropecuaria 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta 30 soles?. a) 36 b) 42 c) 60 d) 54

Resolución S/.300  60

# de pasajeros : S/.5 Se sabe que cada vez que baja una persona suben 2. Como al paradero final llegan 50 personas, esto quiere decir que bajaron 60 50 = 10 y subieron 20. De las 60 personas, 20 subieron en el camino, En el paradero inicial subieron 60 - 20 = 40 pasajeros

e) 28

Ejemplo 3: En una balanza de 2 platillos se tiene 38 esferas que pesan 25 g c/u y 77 esferas que pesan 10 g c/u. ¿Cuántas esferas se deben intercambiar para que se encuentren en equilibrio, sabiendo que de ambos platillos se saca la misma cantidad de esferas?

OPERACIONES COMBINADAS Este capítulo permite dar una noción amplia y nítida de los propios fundamentos que tienen lugar en las cuatro operaciones principales (adición, sustracción, multiplicación y división), además de otras operaciones que implican a las ya mencionadas. Es cierto que la mayoría de los problemas de este capítulo se pueden resolver por ecuaciones; pero el objetivo fundamental de este capítulo es que Ud. resuelva los problemas utilizando sólo las 4 operaciones fundamentales. A continuación, presentamos 5 problemas resueltos para que Ud. vea la idea de cómo resolver los problemas, y luego hay una serie de problemas propuestos para que Ud. practique.

Ejemplo 4: Se compran limones a 2 por S/. 5 y se venden a 3 por S/. 8. ¿Cuánto ganará si se venden 180 limones? Resolución COMPRA

3

S/. 5 S/. 15

2

3 lim. 6 lim.

S/. 8 S/. 16

Entonces, se deduce que :

Ejemplo 1: ¿Entre cuántas personas se repartieron S/. 185, si cada una recibió S/. 10 y sobraron S/. 15? Resolución Dinero a repartir : S/. 185 - S/. 15 = S/. 170 Como cada uno recibe S/. 10, entonces el número de personas es S/. 170/10 = 17 se repartió entre 17 personas

2 lim. 6 lim.

VENTA

En 6 limones

Gana

S/. 1

En 180 limones Gana

S/. x

x = S/. 30 Ejemplo 5: Un galgo persigue a una liebre que lleva 90 saltos de adelanto, sabiendo que el galgo da 7 saltos mientras la liebre da 6 y que 4 saltos de la liebre equivalen a 3 del galgo. ¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar a la liebre?

:

Resolución Sea: L: Salto de Liebre http:// Teodorovarasboza.blogspot.com

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G: Salto de Galgo

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. De una pieza de tela, se ha cortado la mitad y luego la cuarta parte del resto, sabiendo que al final quedaron 24 metros, ¿cuál es la longitud total cortada?

Luego: Se sabe que hay una ventaja de 90L

Acercamiento: 7G - 6L .............. (1) Equivalencia: 4L = 3G L = 3K .............. () G = 4K .............. ()

a) 36 m d) 40 m

() y () en (1) Cada vez que el galgo da 7 saltos, se acerca a la liebre 10K. Para acercarse 90(3K) = 270K Entonces:

a) 1 d) 2

10K 270K

x

a) 49 d) 47

MATERIAL DE CLASES 01. Un comerciante compra 500 vasos a S/. 2 cada uno y luego 6 docenas de vasos a S/. 60 cada docena. Si se vende todo por S/. 1932, ¿cuánto ganará en cada vaso?

c) 3,5

b) 48 e) 52

c) 50

07. En un estante pueden caber 20 libros de R.M. y 15 de R.V. ¿Cuántos libros de R.M. pueden caber en todo el estante? a) 30 d) 36

a) S/. 1 b) S/. 2 c) S/. 1,2 d) S/. 2,1 e) S/. 1,5

b) 48 e) 24

c) 40

08. Un ladrillo pesa 4 Kg, ¿cuánto pesará otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad del ladrillo anterior?

02. Pedro tiene billetes de S/. 50 y Pablo tiene billetes de S/. 100. Sumando lo que tienen es S/. 3000. Si Pedro le da 12 billetes a Pablo, ambos tienen igual cantidad. ¿Cuántos billetes tenía inicialmente Pablo? b) 9 e) 18

b) 2,5 e) 3

06. En una fiesta hay 99 personas; en un momento determinado 15 hombres y 10 mujeres no bailan. ¿Cuántas mujeres hay en la fiesta?

x = 1 89 G

a) 8 d) 12

c) 42 m

05. En un edificio de 20 pisos, Sebastián vive en el noveno piso y Lucas en el tercer piso, con respecto al primer piso, ¿cuántas veces más alejado se encuentra Sebastián que Lucas?

7(4K) - 6 (3K) = 10K

7G

b) 30 m e) 48 m

a) 0,5 Kg b) 0,25 Kg c) 2 Kg d) 1,5 Kg e) 0,75 Kg 09. Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175 gramos, ¿cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciar en ellas el contenido de un barril de 225 litros?

c) 42

03. Un comerciante tiene al inicio del día 8 pelotas de S/. 1 cada una y 4 pelotas de S/. 2 cada una. Si al final del día vendió S/. 12, ¿cuántas pelotas le sobran si le quedan por lo menos una pelota de cada tipo?

a) 150 d) 350

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b) 200 e) 300

c) 400

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10. Pilar tiene "S" soles más que Luis. ¿Cuánto debe darle Pilar a Luis, para que ambos tengan la misma suma? a) S/2 d) S/4

b) S/3 e) S

¿A cómo debo vender cada uno de los restantes para obtener una ganancia total de 2125 soles?

c) 2S

a) 175 soles c) 165 soles e) 205 soles

11. En una fuente habían 20 personas esperando para llenar un cántaro cada una de ellas. La fuente arroja 9 litros por minuto y la capacidad del cántaro es de 18 litros. ¿Qué tiempo habrá esperado la última persona para empezar a llenar su cántaro, si cuando llegó se estaba acabando de llenar el primero? a) 34 min c) 32 min e) 36 min

16. Para cercar un terreno cuadrado se necesitan 360 postes, ¿cuántos más son necesarios para cercar otro terreno cuadrado de área 9 veces del anterior? a) 740 c) 880 e) 850

b) 35 min d) 30 min

13.

b) 28 e) 30

c) 60

a) 60 cm c) 54 cm e) 48 cm

Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores 250 soles. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno 300 soles. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente? a) 4 d) 10

b) 5 e) 6

b) 12 e) 6

b) 64 cm d) 32 cm

18. Un ómnibus llegó a su paradero final con 53 pasajeros, además se observó durante el trayecto que en cada paradero por cada pasajero que bajaba subían 3; si cada pasaje cuesta S/. 0,60 y se recaudó un total de S/. 39. ¿Con cuántos pasajeros partió del paradero inicial?

c) 7

a) 29 d) 30

4. Se tiene un libro de Aptitud Matemática, uno de Lenguaje, uno de Historia y uno de Física. ¿De cuántas maneras distintas podrán extraerse los libros hasta sacar el de Física? a) 9 d) 16

b) 720 d) 920

17. Dos cirios de igual calidad y de igual diámetro difieren en 16 cm. Se encienden los dos al mismo instante y después de cierto tiempo la longitud de uno es el triple de la longitud del otro y a partir de ese momento, el más pequeño dura en consumirse media hora. ¿Cuál es la longitud inicial del cirio más grande si este duró 3 horas en total?

12. Alex posee 80 monedas de 5 soles, y Luis tiene 110 monedas de 2 soles, ¿cuántas monedas deben intercambiarse para que ambos tengan la misma suma de dinero? a) 20 d) 35

b) 180 soles d) 190 soles

b) 24 e) 36

c) 25

19. Cada vez que compro 12 manzanas, me regalan 3 y cada vez que vendo 16 manzanas regalo 1. Si compro y vendo las manzanas al mismo precio. ¿Cuántas manzanas debo comprar para ganar 90 manzanas?

c) 15

15. Se compraron 65 vasos a 150 soles cada uno. Después de vender 17 con una ganancia de 30 soles por vaso, se rompieron 5.

a) 480 d) 300

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b) 320 e) 500

c) 400

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20. Por error, en vez de multiplicar un número por 100, lo dividí por 100 y encontré como resultado 23,18. La diferencia entre el número de dígitos que corresponde a la parte entera del resultado verdadero y el equivocado es : a) 4 b) 2 c) 3 d) 0 e) 6

¿Cuántos vasos había bebido Alex cuando se cumplió lo acordado? a) 16 d) 24

b) 250 min d) 277 min

a) S/. 230 c) S/. 2620 e) S/. 2120

22. Se quiere cercar un terreno de forma cuadrada cuya área es 7225 m 2 con una cerca de 5 hileras de alambre. Se desea saber cuánto costará toda la obra, si el metro de alambre cuesta 2 soles y la mano de obra total 150 soles. a) S/. 3650 c) S/. 3850 d) S/. 3270

c) 20

25. Un almacenista compró a un fabricante cierto número de objetos iguales, a razón de S/. 72 la docena y los vendió después a un comerciante, a razón de S/. 70 la decena. El comerciante vendió los objetos al público a S/. 22 el par y resulta que ganó S/. 1260 más que el almacenista. ¿Cuánto cobró el fabricante?

21. Dos depósitos contienen 2587 y 1850 litros de agua, resepectivamente. Con una bomba se traslada del primero al segundo 4 litros de agua por minuto. ¿Después de cuánto tiempo uno contendrá el doble de litros que el otro? a) 120 min c) 185 min e) 264 min

b) 18 e) 15

b) S/. 2540 d) S/. 2520

CRIPTO ARITMÉTICO La criptoaritmética es un arte que desempeñó un importante papel en el desenvolvimiento de la Historia. La criptoaritmética no es más que un juego. No se sabe en qué época se inventó; pero los aficionados a las variedades comenzaron a interesarse por ellas en el Primer Congreso Internacional de Recreaciones Matemáticas, que se reunió en Bruselas en 1935.

b) S/. 3520 e) S/. 3550

23. Jesica sale todos los días de su trabajo a las 19:00 h y en ese mismo instante llega su esposo y la recoge en su auto dirigiéndose a casa. Un día Jesica salió a las 18:20 h y va al encuentro de su esposo quien la encuentra en el camino dirigiéndose a su casa, llegando 36 minutos antes que de costumbre. ¿Cuánto tiempo estuvo caminando Jesica?

Cripto viene del griego "criptus" que quiere decir oculto, escondido. La criptoaritmética consiste en reemplazar las cifras por letras en la transcripción de una operación de aritmética clásica, de una ecuación. El problema consiste en hallar las cifras que están "bajo las letras". Para complicar las cosas, en ciertos sitios se puede marcar simplemente el lugar de una cifra con un punto o un asterisco. En el caso extremo, sólo quedan asteriscos.

a) 26 min b) 24 min c) 22 min d) 20 min e) 18 min 24. Dos bebedores de cerveza Alex y Luis acordaron dejar de beber cuando hubiesen consumido la misma cantidad. Cuando empezó a beber Alex, había bebido Luis 15 vasos; por cada 4 vasos que bebió Alex, Luis bebió 5. Además, se sabe que la capacidad de cada vaso de Alex es el doble de cada vaso de Luis.

Es fácil ver que la criptoaritmética es un procedimiento de cifrar por sustitución y que la clave es una regla matemática. Los enunciados criptoaritméticos son, a veces, seductores. Sus soluciones no presentan dificultades matemáticas; pero en cambio exigen numerosísimas hipótesis y,

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en consecuencia, cálculos largos y trabajosos que implican grandes riesgos de confusión.

3. Si:

ROMA  AMOR  MMARM

Hallar OMAR y dar como respuesta la suma de sus cifras.

Por eso, se aconseja que se dediquen a este género de problemas sólo los lectores pacientes y minuciosos como ustedes, alumnos de Santísimo Jesús.

Resolución: MULTIPLICACIÓN

El objetivo de la criptoaritmética es redescubrir las operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación, división, radicación y potenciación. En los problemas a tratar en este capítulo, se cumple que a letras iguales le corresponde cifras iguales y a letras diferentes, cifras diferentes. Cada letra, cada asterisco (*), representa una cifra.

Debemos tener en cuenta las siguientes reglas:

PAR  PAR = PAR PAR  IMPAR = PAR IMPAR  IMPAR = IMPAR 4. Hallar la suma de las cifras del producto:

Además, la suma de dos dígitos como máximo es 18, siempre y cuando los dígitos sean iguales (9 + 9) y 17 si es que los dígitos son diferentes (9 + 8).

3 * * * * 5 * * *

Para que este tema sea más entendible, lo dividiremos de la siguiente manera: ADICIÓN

Resolución:

Debemos recordar las siguientes reglas:

PAR + PAR = PAR PAR + IMPAR = IMPAR IMPAR + IMPAR = PAR

5. Dada la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos en los productos parciales.

suma de las cifras del resultado de:

MAS  ALLA

* 3 * 3 * 2 * 2 * 5 1 * 8 *

Resolución:

(a  b)2  169

Calcular :

Multiplicando Multiplicador

Producto Final

8

SAL  MAS  ALLA dar el valor de la

8

Productos Parciales

5

1. Después de reconstruir la siguiente suma:

2. Si:



3

*  * *

2abab 5  5 baba 2

1 *  * 2 3 * * 3 0

Resolución:

Resolución:

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6. Las letras representan las cifras de un número, que al multiplicarle por 4, resulta de invertir el orden de las cifras en el primitivo.

9. Hallar la suma de las cifras del cociente si es el máximo posible:

3    9     

ROMPE  4  EPMOR

Hallar: P + E + R + O Resolución:

 9  9       1   

Resolución: DIVISIÓN RADICACIÓN 7. En la siguiente división, hallar la suma de las cifras del dividendo:

2 * * * *   * * 

10. Reconstruir la siguiente operación y dar como respuesta la suma de las cifras del radicando.

2      2     

* * * * * * 3 * * 8 * * 5 *  

Signo radical: Operador matemático convencional que identifica la sexta operación aritmética 2 4 Radicando Raíz cuadrada

Divisor

2 3  

  

Resolución:

Resolución:

Dividendo

4  

Cociente

2

4

8 

2

5   Resto o residuo 8. Hallar la suma de las cifras del cociente.

      3     

11. Dar como respuesta la suma de las cifras del radicando.

 7 2  

  1  

8  

Resolución:

   6     2 1  

     8     

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05. Reconstruir la división mostrada y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente.

POTENCIACIÓN 12.Reconstruir la siguiente operación y dar como respuesta la suma de las cifras de: Z+ A + P + A+ T+ O

2    3    7   6  

ZOO 2  TOPAZ

Resolución:

MATERIAL DE CLASES 01. Sabiendo que a letras iguales le corresponden cifras iguales y además:

a) 12 d) 10

NE  EN  SOS Hallar: N + O + S + E a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

a) 20 d) 14

b) 16 e) 15

c) 17

1 a b c d e  3 a b c d e 1

a) 21 d) 23

Halar : c + e + b + a + d + a b) 29 e) 32

c) 30

c) 11

2      3 5 3  

  4 

b) 12 e) 18

c) 13

b) 22 e) 24

c) 20

07. Reconstruir la siguiente operación y dar como respuesta la suma de las cifras de la raíz.

04. Hallar la suma de las cifras del primer producto parcial.

a) 10 d) 14

b) 13 e) 14

3  4            8         8  8

 NADA

03. Si:

a) 28 d) 31

  1

06. Reconstruir la división adjunta y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo, si el divisor es el menor posible.

c) 12

02. Sabiendo que: SIN  SIN Hallar: N + D + S + A

6  3   

a) 8 d) 9

0

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5      7     

5  

b) 13 e) 12

c) 10

  

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08. Después de reconstruir la siguiente operación, dar como respuesta la suma de las cifras de la raíz.

  9   

a) 5 d) 8

12. De la siguiente operación, dar la suma de cifras del dividendo:

5    8   3    3  

 8       2  1 

       4 2  2

b) 6 e) 10

a) 20 d) 21

c) 7

b) 17 e) 21

10. Sabiendo que :

R A D A R  5 C R A A C TRILCE  99  .... 291403

b) 6 e) 9

b) 29 e) 32

el

   a a  0   

b) 426140 d) 326340

14. En la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras del producto, si cada * representa una cifra.

de:

7  2  6     8   1 

c) 7

11. Si: TRES  DOS  CINCO . Además: N = 5 y R > D y que a letras iguales le corresponden cifras iguales. Hallar: R + E + T + O + S a) 30 d) 28

c) 22

 a  4  

a) 361840 c) 326350 e) 316240

DRACA a) 5 d) 8

b) 25 e) 19

 2   9    

c) 20

Hallar la suma de las cifras

 6 2

13. Hallar el resultado final, si multiplicador tiene 3 cifras iguales.

09. Si : además a letras iguales les corresponden cifras iguales. Calcular : L + E + T + I a) 22 d) 18

     3

a) 10 d) 13

c) 31

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b) 11 e) 14

    0 c) 12

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a a b 7             0 4

15. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente, si es el máximo posible.

  5         6  a) 10 d) 13

       0 3 b) 11 e) 14

a) 384941 c) 357041 e) 426041

c) 12

      

    

     

Hallar: P + E + R + O + M a) 16 d) 19

b) 17 e) 14

1

b) 295041 d) 455041

19. Hallar la suma de las cifras del cociente.

3   

16. En este criptograma, todas las letras representan números primos, excepto P que vale 1.

R O M P P M O R                  M

b  7 

E  E 

a) 13 d) 14

      

  5 4   

  2 6 2         6  

b) 11 e) 15

c) 12

E

c) 18

17. ¿Cuál es la suma de cifras del dividendo y el cociente en la siguiente división?

   

2  0 9

a) 26 d) 36

      

5  3 2 5 1     5  5    b) 27 e) 41

c) 31

18. En la multiplicación, el producto total es: http:// Teodorovarasboza.blogspot.com

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MATERIAL DE CLASES 1. Si se suma a 19, la cuarta parte de un número, la suma es 5 veces dicho número, éste número es: Rpta:……………………….

Una de las habilidades más importantes en la resolución de problemas es la destreza, para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matemático. Lenguaje Escrito (Palabras)

2. Dos cajas rectangulares tienen el mismo volumen. Las dimensiones de una caja son: 4, 6 y “x”. Las dimensiones de la otra son: 8, 6 y “x–3”. El valor de “x” es: Rpta:……………………….

Lenguaje Matemático (Forma Simbólica)

TRADUCCIÓN

EJEMPLOS FORMA VERBAL

FORMA SIMBÓLICA



El triple del número

__________________

 

__________________ X es dos veces y El triple del número, __________________ disminuido en 8



El triple, del número disminuido en 8

3. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. El padre es 6 años mayor que la madre, que tuvo a los dos gemelos a los 27 años. ¿Cuál es la edad de la madre? Rpta:……………………….

__________________



El número de peras excede al de __________________ manzanas en 4



La mitad de los ¾ de lo __________________ que tienes



La cuarta parte de mi edad es tanto como el cuádruple de tu edad __________________



9 menos 2 veces un __________________ número



M excede en unidades a N



La suma de 2 números __________________ al cuadrado



Suma de los cuadrados de 2 números __________________



La inversa o reciproco de

4. Un hortelano ha plantado 1/6 de su huerta con ajos, 5/12 con tomates, 1/3 con papas y el resto que son 250 m 2 de pimientos. ¿Cuál es la superficie de la huerta? Rpta:……………………….

3 __________________

5. En un número de dos cifras las decenas son el triple que las unidades. Si se invierte el orden de las cifras, se obtiene otro número 36 unidades menor. El número primitivo es: Rpta:……………………….

el un __________________

número

6. El quíntuplo, de un número disminuido en 60 es igual al triple del mismo, aumentado en 20. El exceso de dicho número sobre 75 es: Rpta:……………………….

RECOMENDACIONES PARA PLANTEAR UNA ECUACIÓN 

Leer y comprender el enunciado



Seleccionar los datos



Establecer la ecuación o enunciado para

7. En un árbol hay 80 plátanos, un mono sube y coge la cuarta parte de lo que no coge y baja para comérselos, luego vuelve a subir y baja con la tercera parte

luego resolverlo

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que no baja. ¿Cuántos plátanos se comió? Rpta:……………………….

14. En un hotel lujoso, Jean Paul pregunta por el precio del hospedaje y le contestan que cobran “p” soles por la primera semana y “A” soles por cada día adicional, ¿cuál es la expresión que define el costo “K” del hospedaje para un tiempo de “h” semanas y “d” días? (h

8. Un “cuadrado perfecto” se le denomina a un entero elevado al cuadrado. Si “J” es un cuadrado perfecto, el anterior cuadrado perfecto en orden decreciente es: Rpta:……………………….

 1 ; d  1) Rpta:………………………. 15. El ancho de una finca rectangular es 1/4 del largo, si se prolongase ésta 5 m y aquella 3 m, la finca tendría un aumento de 185 m 2. ¿Qué dimensiones tiene dicha finca? Rpta:……………………….

9. En una canasta hay 40 huevos y en otra 140, ¿cuántos huevos se debe pasar de la segunda canasta a la primera, para que en esta haya la mitad de la segunda? Rpta:……………………….

16. Dos corredores recorren una pista circular c/u con velocidad constante, parten simultáneamente de 2 puntos A y B diametralmente opuestos. Si van en sentido contrario y se cruzan por primera vez en el punto M a 40 m de B y una segunda vez en P a 20 m de A sabiendo que entre la primera y segunda vez que se cruzan han transcurrido 20 seg. Calcular la longitud de la pista circular y las velocidades. Se supondrá que los puntos M y P están en el mismo lado del diámetro de AB. Rpta:……………………….

10. Un electricista debe colocar 24 focos en la casa de Mirella, ganando 2 soles por cada foco que coloque, pero debe pagar 6 soles por cada foco que rompa, concluido el trabajo recibió 24 soles, ¿cuántos focos rompió? Rpta:………………………. 11. Si Luis diese $ 15 a Andrés, éste tendría el triple de lo que le quedaría a Luis, si juntos tienen $ 280. ¿Cuánto tiene Andrés? Rpta:………………………. 12. Por cada problema bien resuelto, un alumno recibe 4 soles y por cada equivocado él devuelve 3 soles. Después de haber hecho 10 problemas, el alumno cuenta con 19 soles. ¿Cuántos problemas ha resuelto bien? Rpta:……………………….

ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Siendo “x” un número par, la suma de los dos números impares que le siguen a “x” será: A) 2x + 3 C) 2x + 6 E) 2x + 4 B) 2x + 8 D) 2x – 3

13. Dividir 98 en dos partes tales que dividiendo la mayor entre la menor el cociente sea 5 y el residuo 8. Hallar la parte menor. Rpta:……………………….

2. Hallar un número que exceda a “x” en la misma medida que sea menor que “3x”.

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A)

x 2

B) x

C)

3x 2

11. Hallar el doble de cierto número donde la suma de su mitad, cuarta y octava parte, resulta dicho número disminuido en una unidad. A) 1 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

D) 2x E) N.A.

3. Dos cajas rectangulares tienen el mismo volumen. Las dimensiones de una de ellas son: 12, 16 y “x”. Las dimensiones de la otra son: 16, 20 y “x–2”, el valor de “x” es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

12. Un holgazán duerme tantas horas del día como las que no duerme. ¿Cuántas horas permanece despierto diariamente? A) 4 h B) 8 h C) 10 h D) 12 h E) 16

4. Si de un número se resta 10, el resultado es igual a los 3/4 del número, ¿cuál es el número? A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 80

13. Preguntando a un alumno por su nota en un examen, responde: si cuadruplico mi nota y resto 40 tendría lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene? A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16

5. La suma de la tercera parte y la cuarta parte de un número es igual a su mitad más 2. ¿Qué número es? A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) 28

14. El tiempo máximo que debe tardarse en resolver este problema se descompone del modo siguiente: 1/25 del total en leerlo, 1/4 en plantearlo, 41/100 en operarlo y minuto y medio en su comprobación. ¿Qué tiempo tardaría?

6. Se ha vendido la quinta parte, la tercera parte y la cuarta parte de una pieza de tela, quedando aún 26 metros. ¿Cuántos metros se han vendido? A) 96 B) 49 C) 94 D) 120 E) 70 7. ¿Qué número hay que restarle al numerador de la fracción 7/15 para que su valor sea 1/3? A) 3 B) 2 C) –2 D) 4 E) –5

A) 3 min.

1 min. C) 3 13

1 min. B) 3 11

9 min. D) 3 13

E)5

15. Un profesor propone a su alumno 48 problemas con la condición de que por cada problema bien resuelto recibirá 15 soles y por cada problema mal resuelto devolverá al profesor 25 soles. ¿Cuántos problemas ha resuelto bien si el profesor no debe nada al alumno, ni el alumno al profesor, sabiendo que el alumno ha resuelto todos los problemas. A) 18 B) 24 C) 30 D) 28 E) 32

8. Gasté $ 4, luego los 2/3 del resto; quedándome todavía la quinta parte de lo que tenía al principio. ¿Cuánto tenía? A) $ 10 C) $ 20 E) $ 30 B) $ 16 D) $ 24 9. La suma de tres números consecutivos es 180, hallar el mayor de los números. A) 60 B) 59 C) 62 D) 61 E) 58

16. Divídase el número 180 en dos partes, tales que dividiendo la primera entre 25 dé lo mismo que dividiendo la segunda entre 20. Una de las partes es: A) 80 B) 100 C) 60 D) 120 E) A ó B

10. ¿Qué número hay que sumarle a los dos términos de la fracción 3/10 para que el valor de ella sea 1/2? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

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17. En una granja hay 92 patas y 31 cabezas. Si sólo hay patos y conejos ¿cuál es la diferencia entre el número de estos animales? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

23. Se tiene dos secretarias, la primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 20 cartas por hora. Si la primera empieza a las 8 a.m. y la segunda recién a las 11 a.m., ¿a qué hora las dos secretarias han escrito igual número de cartas? A) 12 p.m. C) 10 p.m. E) 8 p.m. B) 11 p.m. D) 9 p.m. 24. Jacinto hace dos apuestas, en la primera gana 2/3 de lo que tiene más S/. 10 y luego en la segunda, pierde 1/4 de lo que ahora tiene más S/. 10. Si lo que le queda excede en S/. 5 a lo que tenía al principio, ¿cuánto ganó en la primera apuesta? A) S/. 20 C) S/. 30 E) S/. 40 B) S/. 25 D) S/. 35

18. Con 12 monedas en total, unas de 50 céntimos y otras de 20 céntimos, se quiere pagar una deuda de S/. 3,60. ¿Cuántas monedas de cada clase se utilizarán? A) 3 y 9 C) 5 y 7 E) 1 y 11 B) 4 y 8 D) 10 y 2 19. La edad de Gaby y la edad de Marcos son actualmente como 5 es a 4. Si hace 3 años era como 7 es a 5, ¿cuál será la relación de sus edades dentro de 20 años? A)

7 4

B)

15 14

C)

30 27

D)

27 30

E)

25. Dos números “A” y “B” están en relación “m” es a “n”, si a “A” le aumento “n”, ¿cuánto debo aumentar a “B” para que se mantenga la relación?

7 5

20. Las edades de un padre y su hijo se diferencian en 20 años. Si dentro de 5 años la edad del padre será el doble de la edad del hijo, calcular la edad actual del hijo. A) 25 años C) 16 años E) 15 B) 10 años D) 20 años 21. Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco, más 4 hojas. Si después de 3 días consecutivos le quedan aún 12 hojas en blanco. ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona? A) 50 B) 69 C) 70 D) 80 E) 57

A) m 2

B)

n m

C)

n2 m

D)

m3 n

E) m 3

22. Un granjero tiene 50 animales entre gallinas, conejos y cuyes. El número de gallinas es al número de cuyes como 3 es a 2. Si en total se cuentan 164 patas ¿cuántos cuyes hay en la granja? A) 20 B) 18 C) 16 D) 14 E) 12 http:// Teodorovarasboza.blogspot.com

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EDADES En este capítulo desarrollaremos los problemas donde intervienen las edades de uno o más sujetos. Según el número de sujetos cuyas edades intervienen los problemas de edades se pueden tipificar en dos:

Tiempo

Sujetos

+x

Edad actual

 ¿Qué pasaría si en un enunciado se indica dentro de “n” años o hace “m” años? Dentro de “x” años

En estos casos, (en los cuadros correspondientes a los tiempos) en el cuadro correspondiente a pasado será preferible colocar hace “m” años y en el correspondiente a futuro colocar dentro de “n” años. En mucho casos se pueden usar los términos “tengo”, “tienes”, “tenía”, “tendré”, “tendrás”, etc. en lugar de “pasado”, “presente” o “futuro”. Esto deberá hacerse siempre y cuando el uso de éstos términos represente mejor el enunciado del problema.

 Ejemplo 1: Si Toledo actualmente tiene 54 años, ¿Qué edad tuvo hace 13 años y qué edad tendrá dentro de 23 años?

54 años Hace 13 años

Edad

actual

Dentro de 23 años

 Ejemplo 2:

 Ejemplo 1:

Dentro de 20 años, José tendrá el doble de la edad que tuvo hace 10 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?

Hace 20 años, la edad de Julio era el doble de la edad de Pedro. Actualmente sus edades suman 85 años, ¿cuál es la edad actual de Julio? Hace 20 años

Hace 10 años

Edades

A2 – A1 = B2 – B1 ...................... (I) A3 – A1 = B3 – B1 ...................... (II) A3 – A2 = B3 – B2 ...................... (III)

E Hace “y” años

Pasado Presente Futuro A1 A2 A3 B1 B2 B3

 Relaciones:

 TIPO I: “Cuando interviene la edad de un solo sujeto” -y

A B

Edad actual

Actual

Julio

Dentro de 20 años

Pedro

 Ejemplo 2: Tengo el doble de la edad que tuviste, cuando tuve la tercera parte de tu edad actual y cuando tengas el doble de mí edad actual nuestras edades sumarán 155 años. ¿Cuál es tu edad actual?

 Tipo II: “Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos” En esté caso es recomendable usar el siguiente cuadro: http:// Teodorovarasboza.blogspot.com

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Tuve

Tengo

Tendré

Yo Tu

 Ecuación Fundamental  Ejemplo 1: En 1980, una persona observó que su edad era igual a las dos últimas cifras del año de su nacimiento, ¿en qué año nació la persona?

5.

NOTA: Para resolver éste tipo de problemas tener presente que: Año de nacimiento

+

Edad

=

Año Edad

6. Material de clases 1. Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 2. Hace 2 años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 22 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tenía hace 5 años? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3. La edad que tendrá Lulú dentro de 15 años y la edad que tenía hace “x” años están en la relación de 17 es a 11; mientras que la que tendrá dentro de “x” años y la edad que tenía hace 10 años están en la relación de 3 a 2. Hallar “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Las edades del profesor, tutor y alumno están en la relación de 5, 4 y 3 respectivamente. Hace 10 años las

7.

8.

9.

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edades del tutor y alumno sumaban la mitad de lo que el profesor tendrá dentro de catorce años. ¿Cuánto suman las edades de los tres actualmente? a) 64 b) 70 c) 72 d) 74 e) 80 Noemí es madre de Lady y Rommel es hijo de Alex. Cuándo nació Rommel, Alex tenía el triple de la edad que tenía Noemí y cuando nació Lady, Noemí tenía la misma edad que tenía Alex cuando nació Rommel, y cuando Lady tenga la mitad de la edad que tenía Rommel cuando nació Lady, las edades de Noemí y Alex sumarán, 80 años. ¿Cuántos años tenía Noemí cuando nació Rommel? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando yo tenga el triple de la edad que tú tenías hace 6 años, tú tendrás 72 años. ¿Cuántos años tenía uno de ellos cuando el otro nació? a) 16 b) 17 c) 18 d) 20 e) 22 Gildeer le dice a Arturo: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tu tengas mi edad, la suma de nuestras edades será 63 años”. ¿Qué edad tiene Arturo? a) 19 b) 21 c) 25 d) 26 e) 30 Patty le dice a Verónica: “Tú edad es el doble de aquella que tenías, cuando yo tuve el doble de edad que tú tuviste, cuando cumplí 4 años. Si nuestras edades actuales suman 32 años”. ¿Qué edad tengo? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 Al preguntarle la edad de Guadalupe ella respondió: “Si al año en que cumplí los 18 años le suman el año en [email protected]

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que cumplí los 23 años y le restan el año en que nací y el actual, obtienen 17 años”. La suma de las cifras de la edad de Guadalupe es: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 10. En 1993 la edad de una persona era igual a la suma de las cifras del año en que nació. ¿Qué edad tendrá en el año 2000? a) 21 b) 23 c) 25 d) 27 e) 29 11. Una persona en 1996 tenía tantos años como lo indicaba el número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tenía en 1987? a) 31 b) 33 c) 35 d) 37 e) 39 12. Luis Alberto dice: “Ya no soy tan joven porque paso los 80; pero todavía a mi edad no llega a 141 años, cada una de mis hijas me ha dado tantas nietas como hermanas tiene, mi edad es el cuádruplo de hijas y nietas”, ¿Cuántas hijas tiene Luis Alberto y cuál es su edad? a) 5; 95 b) 6; 140 c) 7; 108 d) 5; 100 e) 6; 100

b) Junio, 1992 c) Octubre, 1992 d) Julio, 1992 e) Enero, 1992 15. Un hijo decía a su padre. “La diferencia entre el cuadrado de mi edad y el cuadrado de la edad de mi hermano es 95”. El padre le contesta: “Es la misma diferencia que hay entre los cuadrados de mi edad y la de tu madre”. ¿Qué edad tenía el padre cuando nació su hijo mayor? a) 36 b) 32 c) 38 d) 34 e) 35 ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. La edad de Nancy es el doble de la edad que Luis tenía hace 4 años. Si la edad actual de Luis y la que tendrá Nancy dentro de 5 años suman 39 años. ¿Cuántos años tuvo Nancy cuando Luis nació? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 2. La edad de Norka es el triple de la edad de Alberto. Hace cuatro años la suma de sus edades era la mitad de la edad que tendrá Norka dentro de catorce años. ¿Cuántos años tiene Norka? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 3. Él tiene el doble de tu edad, que es igual a la edad que él tenía cuando yo tenía 2 años más de la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el triple de tu edad, él tendrá 18 años más de lo que yo tengo. ¿Dentro de cuántos años la suma de nuestras edades será 220? a) 52 b) 54 c) 56 d) 58 e) 60 4. Hace dos años tenía el cuádruple de tu edad. Dentro de 8 años mi edad será 30 veces la edad que tú tenías cuando

13. En Octubre de 1972 en un salón donde habían 40 alumnos, el profesor suma los años del nacimiento de todos ellos y las edades de todos ellos luego suma los dos resultados obteniéndose 78868. ¿Cuántos alumnos habían cumplido años a la fecha? a) 15 b) 28 c) 12 d) 25 e) 16 14. El 30 de junio de 1992 le preguntaron a Karina por su edad. Ella dijo que la suma de los años más todos los meses vividos en 329. ¿En qué mes y en qué año nació? a) Febrero, 1992 http:// Teodorovarasboza.blogspot.com

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yo tenía la edad que tú tendrás dentro de 9 años. ¿Qué edad tenía cuando tú naciste? a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 Don Tomás tiene 6 hijos y cada uno de sus hijos le dio tantos nietos como hermanos tenían. En el mes de agosto del año 2000 Don Tomás suma los años de nacimiento de todos sus nietos e hijos y las edades de cada uno de ellos. si en total obtuvo 71991. ¿Cuántos todavía no habían cumplido años? a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 13 Una persona nacida en el siglo XX, tiene en 1988, tantos años como la suma de cifras el año de su nacimiento. ¿Cuántos años tendrá en el año 2000? a) 30 años b) 34 c) 32 d) 22 e) 26 La edad que tendrá una persona dentro de “x” años y la edad que tenía hace “x” años sumaban 36 años. Sabiendo esto determinar, hace cuántos años tenía el triple de la edad que tenía hace 13 años. Hace 2 años d) Hace 5 a) Hace 3 años e) Hace 6 años b) Hace 4 años Dentro de 10 años, la edad de un padre será el doble de la edad de su hijo, ¿Cuál es la edad actual del hijo, si hace 2 años, la edad del padre era el triple de la de su hijo? a) 20 años b) 16 años c)15 años d) 18 años e) 14 años Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años tu edad sumada a la mía es 18 años menos que la edad de él. ¿Qué edad tengo?

a) 12 b) 14 c) 18 d) 16 e) 24 10. Fiorella tuvo su primer hijo a los 17 años y 4 años después tuvo a su segundo hijo. Si en 1996 las edades de los tres sumaban 49 años. ¿En qué año nació Fiorella? a) 1970 b) 1968 c) 1966 d) 1969 e) 1967 11. Hace “a” años César tenía “m” años. Dentro de “a” años tendrá “n” veces la edad que tenía Pepe hace “a” años. ¿Cuál es la edad actual de Pepe? a)

m  a(n  2) n

d)

m a2 n

b)

m  2(a  n) n

e)

nam n

c)

m  a(n  1) n

12. Cuando entre los hermanos teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene y él la tercera parte de lo que tú tendrás cuando entre los tres tengamos 300 años, y yo tenga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo. Si yo tuviese lo que tengo, tuve y tendré, tendría 240 años. ¿Cuántos años tengo ahora? a) 60 b) 100 c) 120 d) 80 e) 70 13. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía el doble de la edad que tuviste, cuando yo tuve la dieciseisava de la edad que tú tienes. Si dentro de 10 años nuestras edades sumarán 175. ¿Dentro de cuántos años cumpliré 90 años? a) 15 b) 10 c) 18 d) 20 e) 22 14. Karen le dice a Rosa; la suma de nuestras edades es 46 años y tú edad es el triple de la edad que tenías, cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. ¿Dentro de cuántos años la edad de Karen

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MATERIAL DE CLASES

será el doble de la edad que tiene Rosa? a) 18 b) 26 c) 24 d) 20 e) 25 15. La edad que tú tienes es la edad que yo tenía, cuando él tenía la octava parte de lo que tendré. Y Cuando tú tengas lo que yo tengo, él tendrá 6 años más de lo que yo tuve. Si lo que tuve es 6 años más de lo que el tiene y 12 años más de lo que tuviste. ¿Qué edad tengo? a) 36 b) 38 c) 40 d) 37 e) 42

1. A se encuentra 11 Km al oeste de una torre y B se encuentra 15 Km al sur de esta. Si A viaja a 2 Km/h y B a 3 Km/h (ambos hacia la torre), dentro de 1h, ¿qué distancia los separa?. 2. Una hormiga se desplaza con una velocidad de 5 cm/s desde el punto “A” al punto “O” donde recoge un terrón de azúcar, luego del cual sigue con velocidad constante hasta el punto E. Hallar la velocidad con la que recorre el tramo OE, si el tiempo que emplea es el quíntuplo del tiempo que emplea en el tramo AO. 3. Un móvil recorre cierta distancia en Km en 8 horas; al regreso aumenta su velocidad en 3 km/h, recorriendo el mismo camino en 3 horas menos. ¿Cuánto es el espacio recorrido?

MÓVILES Para el presente capítulo sólo debemos recordar:

e

v

e = espacio total recorrido v = velocidad (rapidez) t = tiempo

t

E

A

12 cm

3 cm

e=vt

4 cm

I.

O

5 cm

TIEMPO DE ENCUENTRO vA

vB

A

B

4. Dos móviles están separados 2300 m, se ponen en marcha al mismo tiempo y van al encuentro con velocidades de 60 y 40 m/s. ¿Dentro de cuánto tiempo estarán separados por primera vez una distancia de 1300 m? ¿Es posible que estén separados por segunda vez una distancia de 1300 m? 5. Una persona dispone de 10 horas para salir. Si la ida la hace en bicicleta a 15 km/h y el regreso a pie a 5 km/h, hallar el espacio total que recorrió dicha persona. 6. Dos móviles parten de un mismo punto al medio día formando un ángulo de 120° con velocidades de 30 km/h y 40

e

e= II. TIEMPO DE ALCANCE vA

vB

A

B

e

Si VA > VB

e= http:// Teodorovarasboza.blogspot.com

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km/h. A las 2:00 p.m, ¿qué distancia los separa? 7. Un móvil viaja hacia una pared con una velocidad constante de 20 m/s. Cuando el móvil se encuentra a 100 m de la pared, un insecto parte del móvil y se dirige a la pared, luego regresa al móvil y así sucesivamente. Si el insecto se mueve en todo momento a 30 m/s, hallar el espacio que recorre hasta el momento en que el móvil choca con la pared. 8. Un padre lleva a su hija de su casa al colegio, y del colegio se va al trabajo, y por la tarde, del trabajo regresa a su casa. Se sabe que la distancia de la casa al colegio es 10 km; del colegio al trabajo 7 km y del trabajo a la casa 15 km. Además el carro tiene un tanque de 2 galones y rinde 20 km por galón. Si el tanque está lleno y realiza el recorrido completo; ¿cuántos galones le sobran para el día siguiente?

3. Una mujer ha estado caminando durante 14 horas. Si hubiera caminado una hora menos, con una velocidad mayor en 5 km/h, habría recorrido 5 km menos. ¿Cuál es su velocidad? A) 60 km/h C) 70 km/h E) N.A. B) 50 km/h D) 65 km/h 4. Un móvil recorre un tramo AB de 2500 m para luego recorrer un tramo BC con la misma velocidad. Si AB lo recorrió en 20 s y recorrió 5 veces la distancia recorrida en el tramo BC , ¿qué tiempo empleó en viajar de B a C? A) 2 s C) 4 s B) 3 s D) 5 s

E) N.A.

5. Hallar el tiempo que tardarán en encontrarse 2 móviles que están separados una distancia de 300 Km y cuyas velocidades son 10 km/h y 20 km/h. A) 5 h B) 10 h C) 15 h D) 20 h E)25 6. Dos móviles parten simultáneamente de un mismo punto con velocidades de 30 y 50 km/h, uno llega a las 9:40 a.m. y el otro llega 9:20 a.m. Hallar la hora de partida. A) 8:05 a.m. C) 8:50 a.m. E)8:55a.m. B) 8:15 a.m. D) 8:35 a.m.

ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Un automóvil recorre una distancia BC de 200 Km con velocidad constante; si por “B” pasa a las 6:00 a.m. y por “C” pasa a las 10:00 a.m., ¿cuál es la velocidad del automóvil? A) 20 km/h C) 40 km/h E) 60 B) 30 km/h D) 50 km/h

7. Se tienen 3 móviles A, B y C que parten simultánea-mente en una misma dirección, como se muestra en la figura.

2. Dos móviles separados 100 m, parten simultáneamente uno al encuentro del otro con velocidades constantes de 15 m/s y 25 m/s. ¿Después de cuánto tiempo están separados 20 m por segunda vez? A) 2 s C) 5 s E) 8 s B) 3 s D) 7 s

3m/s A

5m

2,5m/s

10m

B

1,5m/s C

Cuando A alcanza a C, B ¿dónde se ubicará? A) B) C) D)

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5 m a la derecha de C. 5 m a la izquierda de C. 15 m a la derecha de C. 5 m a la izquierda de C. [email protected]

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E) Se encuentra en el mismo punto. 8. En 5 horas A camina 4 Km más que B en 4 horas, y A en 7 horas camina 2 Km más que B en 6 horas. ¿Cuántos kilómetros camina B en cada hora? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

A) 6n/7 B) 3n/7 C) 2n/7 D) 5n/2 E)3n/14 14. Un móvil cubre una distancia de “x” km en “t” horas, llegando retrasado en 2 horas ¿Cuál sería la velocidad (en km/h) que permitiría el móvil llegar a su hora? A) x/t C) x/(t + 2) E) xt/(t – 2) B) x/(t – 2) D) xt/(t + 2)

9. Una persona debe viajar 120 Km por auto. Calcula que si aumenta su velocidad en 10 km/h, llegará a su destino 2 horas antes. Si se decide por esta opción, ¿a qué velocidad viajará? A) 15 km/h C) 25 km/h E) 20 B) 30 km/h D) 35 km/h 10. Una persona recorre “a” Km en 6 días. Si cada día recorre “b” Km menos que el día anterior, halla cuántos kilómetros recorrió el tercer día. A)

a  3b 6

B)

a  2b 6

C)

a  3b 6

D)

a  2b 6

15. Un bus parte de Lima a Tacna a las 6:00 a.m. con una velocidad de 30 km/h y a las 11:00 a.m. sale otro bus de Tacna a Lima con una velocidad desconocida “V”. Si la distancia entre Lima y Tacna es de 300 Km, hallar la hora de encuentro si este se produce a 60 Km de Tacna. A) 12:00 p.m. C) 2:00 p.m. E)4:00 p.m. B) 1:00 p.m. D) 3:00 p.m.

E) N.A. 16. La suma de las edades del padre, la madre y el hijo es 100 años. Si la diferencia de las edades del padre y del hijo es igual a la edad de la madre, ¿cuántos años suman la edad del hijo y la madre? A) 100 B) 75 C) 50 D) 80 E) N.A.

11. Dos caminantes recorren cada uno 34 Km. Si una persona tiene una velocidad que es un cuarto de kilómetro por hora mayor que la otra, y se demora media hora menos que ésta, hallar la velocidad del más veloz.(en km/h) A) 4 B) 4,25 C) 4,5 D) 3,75 E) 4,75

17. La edad de Beto es 1/5 de la de Carlos, si hace 5 años dicha relación era 1/7. Dentro de 5 años, ¿cuál será la relación entre sus edades? A) 1/5 B) 1/3 C) 1/2 D) ¼ E) 1/6

12. Se ha recorrido una distancia de 400 km en auto y a caballo; primero en auto a razón de 45 km/h; luego a caballo a razón de 8 km/h habiendo empleado en total 13 horas. ¿Qué distancia se recorrió en auto y qué distancia a caballo? A) 320, 80 KmC) 340, 60 Km E) N.A. B) 280, 120 Km D) 360, 40 Km 13. Steve ha recorrido los 3/5 del camino que une a A con B. Si aún le falta recorrer “n” km y lleva caminando 7 horas, ¿cuál es la velocidad de Steve en km/h?

18. Hallar la edad de Patty si sabemos que al agregarle 40 años obtenemos el triple de dicha edad, aumentada en 10 años. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 12 19. Mónica dentro de 3 años va a tener la misma edad que tenía Pedro hace 7 años; el triple de la suma de sus edades es 42. Hallar las edades de ellos. A) P = 8, M = 5

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C) E) B) D)

P = 12, M= 2 P=8,M= 6 P = 10, M = 2 P = 10, M = 4

A) 8 años B) 5 años

E) 12

26. La edad de Sara es mayor en 7 que el cuadrado de un número P y menor en 4 que el cuadrado del número siguiente a P. ¿Cuántos años tiene Sara? A) 25 años C) 4 años E) 35 B) 32 años D) 28 años 27. Pedro tendrá P2 años dentro de 12 años. ¿Cuántos años tuvo hace 13 años? A) P2 – 25 C) P2 + 1 E) N.A. 2 B) P + 5 D) P – 1 28. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 20 años, ¿qué edad tenía cuando las edades de los 3 sumaban 70 años? A) 5 años C) 15 años E) 21 B) 10 años D) 18 años 29. Las edades de un padre y su hijo se diferencian en 20 años. Si dentro de 5 años la edad del padre será el doble de la edad del hijo, calcular la edad actual del hijo. A) 25 años C) 16 años E) 15 B) 10 años D) 20 años 30. Hace “a – b” años la edad de Juan era “a” veces la de María, pero dentro de “a + b” años será “b” veces la de María. ¿Cuál es la edad actual de María? A) 2a (b–1) / (a–b) D) (a + b) (a – b) B) (a2 – 2a + b2) / (a–b) E) a / b C) (a2 – b2) / (a + b) 31. La edad de María es el triple de la edad de Rosa, más 15 años y ambas suman 59 años. Dar como respuesta la suma de las cifras de la edad de Rosa. A) 1 B) 2 C) 12 D) 15 E) 13

20. Dentro de 30 años tendré el triple de la edad que tuve hace 20 años. ¿Cuántos años tengo? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 21. ¿Dentro de cuántos años tendrás la edad que yo tendré cuando tú tengas 20 años, si ahora tengo 20 años y tú 15 años? A) 5 años C) 15 años E) 8 B) 10 años D) 3 años 22. Al preguntársele a un hombre por su edad, este respondió: “multipliquen por 3 los años que tendré dentro de 3 años, réstenle el triple de los que tenía hace 3 años y obtendrán precisamente los años que tengo”. ¿Qué edad tendrá dentro de 3 años? A) 21 años C) 15 años E) N.A. B) 18 años D) 12 años 23. Juana tuvo su primer hijo a los 20 años y 8 años después tuvo a su segundo hijo. Si en 1992 las edades de los tres suman 42 años, ¿en qué año nació Ana? A) 1980 B) 1969 C) 1968 D) 1962

C) 7 años D) 9 años

E) 1966

24. Tres veces el producto de la edad de Natalia disminuido en uno, con su edad aumentado en tres es igual a 63. Hallar dicha edad. A) 6 años C) 9 años E) 12 B) 8 años D) 4 años 25. La tercera parte de la edad de M es 13 años más que la edad de N y el quíntuplo de la edad de N es 25 años menos que la edad de M. Hallar la edad de N

32. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6

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años tu edad sumada a la mía es 18 años menos que la edad de él, ¿qué edad tengo actualmente? A) 12 años C) 18 años E) 24 B) 14 años D) 16 años 33. La suma de las edades de 2 personas es 29 años. Si el cuadrado de la edad del mayor excede en 253 al triple de la edad del menor, determina la diferencia de las edades. A) 3 años C) 5 años E) 7 B) 4 años D) 6 años

CRONOMETRÍA A. PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS O AFINES Cuando nos referimos a un evento que implica una acción, como campanadas golpes, contactos seguidos a velocidad constante, debemos considerar que el tiempo transcurrido es propiamente el de los periodos comprendidos entre contacto y contacto, y no la duración del contacto. Ejemplo 1 En el campanario de una iglesia se hace oscilar el péndulo dando tres campanadas en seis segundos. ¿En cuántos segundos se dieron 7 campanadas?

34. Jorge suma 1 años más 2 años más tres años y así sucesivamente hasta su edad actual que tiene dando como resultado un número de tres cifras iguales. ¿Cuál es la edad de Jorge? A) 36 años C) 25 años E) 27 B) 45 años D) 16 años

Resolución: 1er método: Graficando tenemos 1ºC

35. Dentro de 4 años la suma de las edades de 2 hermanos será “k” años, si hace 4 años la edad del mayor era el triple de la edad del menor; hallar la edad actual del mayor. A)

3 k+6 4

B)

3 3 k – 6D) k+8 4 4

C)

3 k–8 4

i

2ºC

i

3ºC

Se observa que en tres campanadas hay 2 intervalos de tiempo (I) 2I = 6 seg I = 3 seg Ahora en 7 campanadas habrá 6 intervalos de tiempo, entonces el tiempo pedido será : 6(3) = 18 seg. Finamente se deduce :

E) N.A.

Número de intervalos de tiempo (I)

=

Número de campanadas

1

2º método: DP Nº de campanadas

Nº de intervalos

Tiempo

3 7

2 6

6 seg x seg 2x = 6(6) x = 18seg

Ejemplo 2 Un reloj de pared indica la hora con igual número de campanadas; para indicar las 6: 00 p.m. demora 9 segundos.

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¿Qué hora indica si dicho reloj ha tocado campanadas durante 18 segundos? Resolución: Hora

Nº de campanadas

Nº de intervalos

Ejemplo 3 El 1 de Enero de cierto año fue martes. ¿Qué día fue el 24 de Enero de ese mismo año? Resolución: De los datos se plantea lo siguiente:

Tiempo

E N E R O

El reloj indica las……. B. PROBLEMAS SOBRE CALENDARIOS

Martes 1 8 15 22

Miércoles 2 9 16 23

Jueves 3 10 17 24

Viernes 4 11 18

Sá bado 5 12 19

Domingo 6 13 20

Lunes 7 14 21

el 24 de Enero fue Jueves. El calendario a lo largo de la historia: Observación: Del cuadro se observa que los grupos de 7 días son de Martes a Lunes, y nos damos cuenta que de el 1 de enero al 24 de enero, hay 3 grupos de 7 días más 3 días, esto se consigue haciendo lo siguiente:

* Todos los calendarios están basados en los movimientos de los astros, principalmente el sol, la tierra y la luna. * A lo largo de la historia las diferentes civilizaciones han propuesto distintas soluciones al problema del cómputo del tiempo, viéndose obligadas siempre a establecer mecanismos de corrección. Según el predominio de uno u otro ciclo, los calendarios se pueden clasificar en lunares, solares y lunisolares. He aquí algunos ejemplos: CALENDARIO DISTRIBUCIÓN DEL AÑO EGIPCIO 12 meses de 30 días + 5 días festivos. GRIEGO 12 meses de 29 días y 30 días. AZTECA 18 meses de 20 días + 5 días. ISLÁMICO 12 meses de 29 días y 30 días. HEBREO 50 semanas y 3; 4 ó 5 días. CHINO 12 meses de 29 y 30 días.

24 21 3

Ejemplo 4 Si el 8 de enero de 1912 fue Jueves. ¿Qué día fue en ese año el 10 de Junio? Ejemplo 5 Si el 2 de febrero de 1935 fue Viernes. ¿Qué día fue en ese mismo año 26 de Diciembre?

Cada 36 u 8 años se añade 1 mes. Correcciones discrecionadas. Ciclo de 30 años con 12 bisiestos. Corrección por criterios litúrgicos. Años bisiestos de 13 meses.

Ejemplo 6 Si el 12 de Febrero de 1980 fue Miércoles. ¿Qué día será el 12 de Febrero del año 2010?

Observación: En los problemas a tratar debemos tener a consideración los años bisiestos, los cuales son todos aquellos cuyas dos últimas cifras dan un número múltiplo de 4. Ejm : 32

4

si es bisiesto

1942

42

no es 4

no es bisiesto

Ejemplo 7 Si el 16 de Octubre del año 2004 fue Sábado. ¿Qué día será 25 de Noviembre del año 2080? C. PROBLEMAS SOBRE TIEMPO TRANSCURRIDO La referencia en éste caso es a problemas que en su enunciado establezcan una relación entre un intervalo de tiempo transcurrido y otro que falte por transcurrir; de tal manera que ambos intervalos sumen un periodo conocido como son las 24 horas de un día, los 7 días de la semana, los 30 días

Además en aquellos años que terminan en 2 ceros sólo será bisiesto si es que es múltiplo de 400. Ejm: 1900 1600

de Martes a Lunes

Ma Mi Jueves

CORRECCIÓN O DESVIACIÓN Cada 1461 años se retrasa 1 año.

1932

7 3 grupos

no fue bisiesto si fue bisiesto

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del mes de Abril, los 365 días de un año ordinario, etc. He aquí algunos ejemplos:

doble del número de minutos transcurrido desde las 10 : 00 h. ¿Qué hora será dentro de 20 minutos?

Ejemplo 8 Si el tiempo que falta transcurrir del día es la tercera parte del tiempo transcurrido. ¿Qué hora es? Resolución: De los datos se hace del siguiente diagrama:

Ejemplo 12 Juan se casó en 1997 cuando la mitad del tiempo transcurrido de aquel año era igual a la cuarta parte de lo que faltaba por transcurrir. ¿En qué fecha y hora se casó? D. RELACIÓN ENTRE LOS RECORRIDOS DEL HORARIO Y MINUTERO Observamos el siguiente esquema:

24 horas Tiempo transcurrido

Tiempo que falta transcurrir (24 x)

(x)

12

Hora

11

Del enunciado: (24  x)  x 3

10

8

5 divisiones 3

4 7

6

5

En la circunferencia de un reloj hay : 60 divisiones < > 60 minutos < > 360º Simplificando se obtiene: 1 división

Resolución: Sea "x" el tiempo transcurrido hasta hace 3 horas. Entonces "3x" será el tiempo que faltará para acabar el día dentro de 5 horas. Ahora veamos el siguiente esquema:

< >

1 minuto

< >

6º

Cada hora : Espacio recorrido por el horario = 5 divisiones (E R H) Espacio recorrido por el minutero = 60 divisiones (E R M)

24 horas 5h

30°

9

Ejemplo 9 Si fuera 5 horas más tarde de lo que es, faltarían para acabar el día, el triple de las horas que habían transcurrido hasta hace 3 horas. ¿Qué hora es?

3h

2

H

72 - 3x = x 72 = 4x 18 = x La hora es 18 : 00 h < > 6 p.m.

x

1

M

3x

Hora

Se deduce:

Del gráfico se deduce: x + 3 + 5 + 3x = 24 Resolviendo: x = 4 La hora es: x + 3 = 7 : 00 h

ERH  1 ERM 12

Observación:

Ejemplo 10 ¿A qué hora los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido? Ejemplo 11 Cuando sean 2 horas más tarde de lo que es, faltarán para las 14 : 00 h el http:// Teodorovarasboza.blogspot.com

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 12 H 1 2 3  x  n

Esta relación respecto a los espacios recorridos

M 12 24 36  12x 12 12n

MATERIAL DE CLASES 1.

Ejemplo 13 ¿Qué hora indica el reloj mostrado? 2.

12 11 M

10

2

2



9

3

H 8

4 7

6

3.

5

Ejemplo 14 ¿A qué hora entre las 7 y las 8, el minutero ha pasado a la marca de las 9 tantas divisiones como el triple de las divisiones que le falta al horario para llegar a las 8?

4.

F. USO DE LA FÓRMULA GENERAL    11 (M)  30(H) 2

Ejemplo 15 ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a las siguientes horas? I. 08 : 26 h II. 02 : 48 h III. 12 : 18 h

5.

Ejemplo 16 ¿A qué hora entre las 4 y las 5 las agujas del reloj forman un ángulo de : I. 80º por primera vez.

6.

7.

II. 80º por segunda vez Ejemplo 17 ¿A qué hora entre la 1 y las 2, las agujas del un reloj forman un ángulo de 100º por segunda vez?

8.

9.

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Hace 8 horas que un reloj se adelanta 4 minutos cada media hora. ¿Qué hora marcara el reloj cuando exactamente sea 10 h 32 min 20 s? a) 11 h 36 min 20 s b) 11 h 36 min c) 12 h 30 min 25 s d) 10 h 48 min 20 s e) 12 h 20 min 25 s Un reloj adelanta 2 minutos cada 3 horas, si en este momento marca las 6:35. ¿Qué hora marcará dentro de 12 horas? a) 6:48 b) 6:50 c) 6:35 d) 6:27 e) 6:43 Un reloj se adelanta 3 minutos cada 8 horas. ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que marque nuevamente la hora exacta? a) 80 días b) 15 c) 30 d) 50 e) 48 Un reloj se empieza adelantar 10 minutos cada hora. ¿Dentro de cuánto tiempo volverá a marcar la hora correcta? a) 12 horas b) 4 días c) 3 días d) 5 días e) 6 días Si un reloj se atrasa 6 horas cada día y empieza a fallar un 6 de junio. ¿En qué fecha volverá a marcar la hora correcta por tercera vez? a) 12 de junio d) 7 de junio b) 8 de junio e) 13 de junio c) 10 de junio ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 6:30 p.m.? a) 15º b) 60º c) 7º d) 42º e) 21º ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 4:20 p.m.? a) 15º b) 20º c) 350º d) 9º e) 11º ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 8:24 h? a)100º b) 112º c) 108º d) 120º e) 100º Silvia al ver la hora confunde el minutero por el horario y viceversa y

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10.

11.

dice : “son las 4:42 h”. ¿Qué hora es realmente? a) 9:24 h b) 8:42 c) 8:24 d) 9:26 e) 9:27 ¿A qué hora inmediatamente después de las 2 el minutero adelanta el horario tanto como el horario adelanta a la marca de las 12? a) 2:16 h b) 2:20 c) 2:24 d) 2:26 e) 2:28

d) 5 h 15

b)

min

e) 5 h

1 2

H 9

9 11 7 10 11

a) 2:24 h b) 2:21 c) 2:20

d) 2 h 11

min

b)

min

e) 2 h

min

1. Un reloj se adelanta 5 minutos cada 2 horas. Si hace ya 12 horas que viene funcionando y marca las 3:00 a.m. ¿Qué hora será en realidad? a) 1:00 a.m. b) 2:48 a.m. c) 4:00. d) 2:00 a.m. e) 2:30 a.m. 2. Un reloj se adelanta 3 minutos cada “x” horas si empieza a fallar a las 10:29 p.m. y luego marca las 8:35 a.m. cuando en realidad son las 8:29 a.m. Calcular “x”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

min

¿A qué hora entre las 2 y las 3 las manecillas forman un ángulo de 90º? a) 2 h 28

min

d) 2 h 30

min

b)

min

e) 2 h

min

3. Un reloj se detiene exactamente a las 8:20 p.m. ¿Cada cuánto tiempo marca la hora correcta? a) 10 h b) 12 c) 16 d) 15 e)18 4. Desde las 7:18 p.m. hasta las 7:25. ¿Qué ángulo habrá girado el minutero? a) 84º b) 7º c) 60º d) 42º e) 21º

min

¿Qué hora es según el gráfico? 12 1

11

2

10  9 

4 7

a) 10:32

2 11

b) 10:35 c) 10:33

5. Se tiene 2 relojes, uno se adelanta 3 minutos por hora y el otro se atrasa 2 minutos por hora. Si ambos relojes se les sincronizó el 25 de febrero de un año bisiesto a las 15:00 h. ¿En qué fecha exactamente ambos relojes volverán a marcar la misma hora? a) 1 de marzo d) 29 de febrero b) 2 de marzo e) 28 de febrero c) 3 de marzo 6. Un reloj se adelanta 5 minutos cada 2 horas, si empieza correctamente el 28

3

8

5 6

h

d) 10:32 e) 10:31

7 11

d) 2:22 e) 2:32

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

min

2 11 3 27 11

4

min

a) 2 h 10

2 11 3 2 h 29 11 2 2 h 24 11

3

5

min

9 11 10 2 h 10 11 10 2 h 11 11

 3/2 M

6

¿A qué hora entre las 2 y las 3 el horario y el minutero se superpone?

c) 14.

3 11 5 17 11

min

c) 13.

3 11 4 5 h 16 11 2 5 h 11 11

a) 5 h 16

¿Qué hora marca el reloj de la figura mostrada? 12

¿A qué hora entre las 5 y las 6 el minutero y el horario forman un ángulo que es la quinta parte del ángulo externo antes que el minutero pase al horario?

c) 12.

15.

9 11 8 11

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de julio a las 13 h. ¿En qué fecha volverá a marcar la misma hora? a) 8 de agosto d) 11 de agosto b) 9 de agosto e) 12 de agosto c) 10 de agosto 7. Un reloj se atrasa 4 min por hora. Si sincronizó el jueves 15 de agosto a las 14:00 h. ¿En qué fecha volverá a marcar dicho reloj la misma hora? a) 22 de agosto d) 25 de agosto b) 23 de agosto e) 26 de agosto c) 24 de agosto 8. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 las manecillas de un reloj forman un ángulo de 30º? a) 3:10 10/11 d) 3:15 10/11 b) 3:11 10/11 e) 3:20 10/11 c) 3: 21 10/11 9. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 3:20 h? a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 45º 10. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 4:30 h? a) 115º b) 45º c) 145º d) 60º e) 90º 11. Si nuestro reloj marca las 6:20 ¿Qué ángulo forman las agujas de nuestro reloj? a) 50º b) 60º c) 70º d) 80º e) 90º

14. Según el gráfico ¿Qué hora es? 12 a) 6:44 b) 6:43 c) 6:42 d) 6:41 e) 6:40 3

9 M



+14

8 H 7 6

12. ¿A qué hora exactamente entre las 7 y 8 las manecillas de un reloj forman un ángulo de 40º por segunda vez? a) 7:45 5/11 h d) 7:49 5/11 h b) 7:46 5/11 e) 7:50 5/11 h c) 7:48 5/11 13. ¿A qué hora exactamente el minutero y el horario forman un ángulo de 70 7 entre las 3 y 4 horas por primera vez? a) 3:2 2/11 min d) 3:3 2/11 b) 3:3 7/11 e) 3:5 8/11 c) 3:2 7/11

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