MATERIAL COMPLEMENTARIO- NÚMEROS

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Matemática

Material complementario: Números APROXIMACIÓN, REDONDEO Y TRUNCAMIENTO Base conceptual: Aproximación: Representación inexacta (aunque muy cercana) de un número, mediante la eliminación de cifras decimales. Los métodos más comunes son la aproximación por redondeo y la aproximación por truncamiento. Redondeo: Al aproximar por redondeo a la enésima cifra decimal se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), y si el decimal en la posición (n + 1) es mayor o igual que 5, entonces el decimal en la posición n se aumenta en una unidad. Por ejemplo: 3,126 redondeado a la segunda cifra decimal (centésima) es igual a 3,13. 4,73 redondeado a la primera cifra decimal (décima) es igual a 4,7. Truncamiento (aproximación por defecto): Al aproximar por truncamiento a la enésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), independiente del valor de este. Por ejemplo: 3,126 truncado a la segunda cifra decimal (centésima) es igual a 3,12. 4,73 truncado a la primera cifra decimal (décima) es igual a 4,7. Aproximación por exceso: Al aproximar de esta forma a la enésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), y el decimal en la posición n se aumenta en una unidad. Por ejemplo: 3,126 aproximado por exceso a la segunda cifra decimal (centésima) es igual a 3,13. 4,73 aproximado por exceso a la primera cifra decimal (décima) es igual a 4,8.

Cpech

1

Matemática

Ejercicios

1.

Al realizar la operación 20 ÷ 3 en una calculadora, ella da como resultado 6,666666667. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?



I)

La calculadora redondea a la novena cifra decimal.



II)

La calculadora trunca a la novena cifra decimal.

20 III) es un número decimal periódico. 3

A) B) C)

Solo I D) Solo II E) Solo III

Solo I y III Solo II y III

Modelo de Prueba Matemática DEMRE (Proceso de admisión 2015)

2.

El resultado de

(

)

1 1 2 , truncado a la décima es + + 3 6 7

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3

D) 0,8 E) 0,7 Modelo de Prueba Matemática DEMRE (Proceso de admisión 2015)

3. Sea q una aproximación por exceso a la centésima de �2 y p una aproximación por defecto a la centésima de �2 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) q=p p+q = �2 II) 2 III) q = �2 – k, con k un número real positivo.

A) B) C)

Solo I D) Solo II E) Solo III

Solo II y III Ninguna de ellas.

Modelo de Prueba Matemática DEMRE (Proceso de admisión 2015)

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Cpech

MATERIAL COMPLEMENTARIO 4.

Se define R

()

a b como “el valor de redondeado a la décima”, con a y b números positivos. b a+b

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones da(n) como resultado 0,8? I) R

() ( ) () 7 9

II) R

21 4

III) R

1 3



A) B) C)

Solo I Solo II Solo III

D) Solo II y III E) Ninguna de ellas.

x , con x un número natural menor que 9. ¿Cuál es la razón entre el valor de w y el valor 9 de w truncado a la décima?

5. Sea w =

100 A) D) 1 99 9 10 B) E) 10 9 99 C) 100

Cpech

3

Matemática

ORDEN EN LOS IRRACIONALES (RAÍCES Y LOGARITMOS).

Base conceptual: Raíces • Para números reales positivos a y b cualesquiera y n un número natural mayor que 1, se n

n

cumple que a < b ⇔ �a < �b . Luego, para ordenar raíces de igual índice y cantidades subradicales positivas, basta comparar las cantidades subradicales. Ejemplo:

4

4

7

7

Como 3 < 5, entonces �3 < �5 ; �3 < �5 ; �3 < �5 ; .… • Para números naturales n y p mayores que 1 y a un número real mayor que 1, se cumple n

p

que n < p ⇔ �a < �a . Luego, para ordenar raíces de igual cantidad subradical e índices naturales, basta comparar los índices. Ejemplo:

7

4

Como 2 < 4 < 7 … , entonces... �6 < �6 < �6 • Si se desea comparar raíces de distinto índice y distinta cantidad subradical, una posibilidad es elevar ambas raíces al m.c.m. de sus índices. Ejemplo:

3

Para comparar �5 y �11 , se elevan ambas a 6 (m.c.m. entre 2 y 3). Como (�5 ) = 53 = 125 > (�11 ) = 112 = 121, entonces �5 > �11 . 6

3

6

3

Logaritmos • Para números reales positivos a y b cualesquiera y n un número real mayor que 1, se cumple que a < b ⇔ logn a < logn b. Luego, para ordenar logaritmos de igual base y argumentos positivos, basta comparar los argumentos. Ejemplo: Como 4 < 7, entonces log 4 < log 7 ; log3 4 < log3 7 ; log8 4 < log8 7

4

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MATERIAL COMPLEMENTARIO

• Para números reales positivos n y p mayores que 1 y a un número real mayor que 1, se cumple que n < p ⇔ logn a > logp a. Luego, para ordenar logaritmos de igual argumento y bases mayores que 1, basta comparar las bases. Ejemplo: Como 3 < 5 < 6 … , entonces... log6 2 < log5 2 < log3 2 Si se desea comparar logaritmos de distinta base y distinto argumento, una posibilidad es cambiar las expresiones a una base común y aplicar propiedades. Recordar el cambio de base logm b , con a y m positivos distintos de 1 y b positivo. ⇒ loga b = logm a Ejemplo: Para comparar log4 3 y log8 5 se cambian ambas expresiones a base 2. Luego, log4 3 =

log2 3 log2 4

=

log2 3 2

=

log2 5 log2 5 1 3 1 = = · log2 3 = log2 �3 y log8 5 = · log2 5 = log2 �5 . log2 8 3 2 3

Al comparar los argumentos, se elevan las raíces a 6 (m.c.m. entre 2 y 3). Como (�3 ) = 33 = 27 > (�5 ) = 52 = 25, entonces �3 > �5 , lo que significa que: 3

6

3

6

3

log2 �3 > log2 �5 , y por ende que log4 3 > log8 5

Ejercicios

1.

11 , entonces el Si se ordenan de menor a mayor los siguientes números: �5 , 2�3 , 3�2 , �7 y 3 término del medio es

�5 A)

B) 2�3



C) 3�2

D)

�7

E)

11 3

Modelo de Prueba Matemática DEMRE (Proceso de admisión 2015)

Cpech

5

Matemática 2. Si x es un número real tal que x? I)



A) B) C)

3

< x < �2 , ¿cuál(es) de los siguientes valores podría(n) tomar

11

�6 7 5

II) III)

�17

�31 4 Solo II Solo III Solo I y II

3

D) E)

Solo II y III I, II y III

4

3. Si p = �5 , q = �8 y r = �3 , entonces el orden correcto entre ellos es A) q < r < p D) q