36 EJERCICIOS CONGRUENCIA TRIANGULOS

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C u r s o : Matemática Material N° 17-E

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 17 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS 1.

En la figura 1, MRN  DFE. Si MN  NR , ¿cuánto mide el ángulo exterior HEF? M

A) 56º B) 64º C) 112º D) 118º E) 124º

F N

62º

H

R

2.

E

D

Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman 2 triángulos A) B) C) D) E)

3.

fig. 1

Isósceles rectángulos congruentes. Acutángulos escalenos congruentes. Acutángulos congruentes. Escalenos rectángulos congruentes. Equiláteros congruentes.

En la figura 2, ABC isósceles y rectángulo en C. Si AB  CD , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

ABC  CBD ABC  ACD ADC  BDC

C fig. 2

Sólo III Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III Ninguna de ellas

A

1

D

B

4.

En el ABC, isósceles de base AB de la figura 3, BD es bisectriz del ABC. Si CAB = 70º, entonces la medida de ángulo x es

C fig. 3

A) 40º B) 60º C) 75º D) 90º E) 105º

5.

D x

A

B

En el triángulo ABC de la figura 4, AB = AC y CD es altura. La medida del ángulo x es A) B) C) D) E)

C

10º 20º 40º 50º 70º

x

80º

A

6.

fig. 4

D

B

En el triángulo de la figura 5 es rectángulo en Q, SP  SR . La medida del x es R A) B) C) D) E)

30º 45º 65º 75º 85º

15º

S x

P 7.

fig. 5

Q

En la figura 6, ABC equilátero, Sb y Sc son simetrales, AE es bisectriz del ABC, entonces el valor de x + y es

C Sb

A) 60º B) 90º C) 100º D) 120º E) 140º

F x A

H y G Sc

2

fig. 6

E

B

8.

En la figura 7, ABD y BDC son isósceles de base AB y BC respectivamente. E, D y C son puntos colineales y E es punto medio de AB , entonces x + y = C A) 20º B) 80º C) 100º D) 140º E) 160°

D x

A 9.

fig. 7

y

50º

E

B

En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 8, CD es altura. La medida del ángulo x es B A) B) C) D) E)

100º 105º 115º 125º 135º

D 35º

fig. 8

x 45º

C

E

A

10. El PQR de la figura 9, es rectángulo en P y ED es simetral del lado QR . Si QRP = 70º, entonces el valor del EDP es P A) B) C) D) E)

70º 50º 30º 20º 10º

E

fig. 9

R

D

Q

11. En la figura 10, AC  BD y AD  BC . ¿Cuál de los siguientes postulados permite afirmar que DCA  CDB? A B A) B) C) D) E)

LLL LAL ALA LLA> AAA

E

D 3

fig. 10

C

12. En la figura 11, los triángulos BUT y AND son congruentes en ese orden. Si BU // AN , entonces el GFN mide

U fig. 11

A) 144º B) 140º C) 76º D) 68º E) 36º

68º

B

T

N

F A

76º

G

D

13. Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura 12 son congruentes, es necesario saber que D B fig. 12 A) AB  DC B) BAO  DCO O C)

AB // CD

E)

C

A

D) AO  DO  y  AB  DC BO  CO  y  AO  DO

14. En la figura 13, PTR y SVQ son congruentes en ese orden. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I)

TR // VQ

II)

PR // SQ

III) A) B) C) D) E)

S 

R

T



SQV  PRT

fig. 13



Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

V

Q

 P

15. En la figura 14, los segmentos AE y BD se intersectan en C, BC  CD y AC  EC . Si el segmento GF pasa por el punto C, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

D

A

GC  FC BAC  DEC

fig. 14 C

GC  AB y CF  DE

F

G

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

B 4

E

16. En la figura 15, ABC equilátero y AF  BD  CE . El criterio que permite demostrar que los triángulos AFE, CED y BDF son congruentes es C A) B) C) D) E)

ALA LAL LLL LLA> AAA

fig. 15

D E

A

B

F

17. En la figura 16, GDC equilátero, GF = FE = ED y AC = BC. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

C

GFC  DEC AEF  BFE AEC  BFC

G

Sólo I Sólo II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

D

E

F

A

fig. 16

B

18. En el cuadrilátero PQRS de la figura 17, PS = QS = RS, PQ = QR y SQR = 2QSR. Entonces, SPQ =

S R

A) 144º B) 108º C) 90º D) 72º E) 36º

fig. 17 P

fig. 12

Q

 19. El ABC de la figura 18, es isósceles de base AB . Si AE y BF son bisectrices de los CAB y CBA, respectivamente y CD es altura, entonces es FALSO afirmar que C A) B) C) D) E)

DPA  DPB EBA  FAB DCA  DCB BFC  BFA CF  CE

fig. 18 F

P

E

fig. 12 

A 5

D

B

20. El ABC de la figura 19 es rectángulo en C. Si se traza la altura CD y la transversal de gravedad CE , entonces el DCE mide

A) B) C) D) E)

C fig. 19

10º 20º 40º 50º no se puede determinar.

fig. 12 55º

A

D



E

B

21. Los triángulos ABC y ABD de la figura 20, son congruentes en ese orden y se encuentran en distintos planos. Si E es un punto del lado común AB , entonces siempre se cumple que: C I) CAB  CAD fig. 20 II) III) A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

AE  EB CE  ED

fig. 12 

I II III I y II II y III

A

E

D

B

22. En el triángulo ABC de la figura 21, D, E y F puntos medios, si CD : AE : BF = 3 : 5 : 4 y AE = 15 cm, entonces CG + AG + GF = C A) B) C) D) E)

fig. 12

12

15 19 20 24

F

E

G

fig. 21 fig. 12

A



D

B

23. En la figura 22, el MNP es isósceles de base MP , NQ es bisectriz del MNP y MP  MR . Si MPN = 4PNM, entonces el valor del MSQ es

P A) B) C) D) E)

70º 55º 50º 40º 30º

Q

M 6

fig. 22 S

R

N

24. En la figura 23, ED perpendicular a AB , BC perpendicular a CE . ¿Cuál es la medida del ángulo , si  = 120º? E A) B) C) D) E)

20º 30º 45º 60º ninguna de las anteriores.

C

fig. 23 fig. 12





 D

A

B

25. En la figura 24, se puede determinar cuánto mide el x, si: C

(1) ABC es equilátero. (2) L simetral de AB . A) B) C) D) E)

fig. 24

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por si sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

x A

B L

26. En la figura 25, se puede determinar que los triángulos ABD y BCD son congruentes, si: (1) AB = BC = CD = DA

D

(2) BCD = 60º A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola (1) ó (2) Se requiere información adicional

C

fig. 25 fig. 12 A

B



27. En la figura 26, CD // AB . Se puede determinar que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DCB, si: (1)  = 

C

(2) AB  CD A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

D fig. 26

 A

7

 B

fig. 12 

28. En la figura 27, se puede determinar cuánto mide el ángulo exterior , si: C

(1) ABC es rectángulo en C. (2) CD es altura del triángulo ABC. A) B) C) D) E)

fig. 27

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

fig. 12   A

D

B

29. En la figura 28, se puede determinar que el triángulo ABC es rectángulo, si: C

(1) CD es transversal de gravedad. (2) DB  DC A) B) C) D) E)

fig. 28

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

fig. 12 A

D

B 

30. En la figura 29, se puede determinar que el triángulo PQR es isósceles, si: (1) RS  PQ

R

(2) PRS  QRS A) B) C) D) E)

fig. 29

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

fig. 12 Q

S

P



CLAVES 1. 2. 3. 4. 5.

E D A E C

6. A 7. D 8. E 9. A 10. B

11. 12. 13. 14. 15.

A A E E C

16. 17. 18. 19. 20.

B E D D B

21. 22. 23. 24. 25.

C D A D C

26. 27. 28. 29. 30.

A D E C C

DMCAMA17-E

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