P MATEMATICO V

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5 PENSAMIENTO MATEMÁTICO V Francisco García González

2ª Privada a Calzada Zavaleta 1326 Col. Santa Cruz Buenavista Puebla, Pue. C.P. 72154 Directora Editorial Edelmira Ramírez Meléndez Autor Francisco García González © D.R. 2020, 1era. edición, Didacteca Editores S.A. de C.V. Impreso en México Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Las imágenes empleadas en la obra son utilizdas con fines didácticos. /didacteca /didacteca www.didacteca.com.mx

3

Índice 11

UNIDAD DE APRENDIZAJE I “NO ESTABA MUERTO, ANDABA DE PARRANDA”

14

Funciones

14 16 18 28 31 41 45 46

Concepto (variable dependiente, independiente, rango, dominio) Evaluación de funciones (elaboración de tablas) Gráfica (polinomiales hasta de 3er grado, trascendentes, escalonadas y por partes) Valor absoluto: ecuaciones e inecuaciones Noción intuitiva de límite de una función en un punto Límites laterales Noción intuitiva de continuidad y discontinuidad de una función Criterios de continuidad

49

Actividades Unidad I

58

Evaluación sumativa: Unidad I

61

UNIDAD DE APRENDIZAJE II “ALCANZANDO MIS METAS”

64

Derivada

66 69 72 79 81 82 84 86 88 92 95 95 100

Noción intuitiva de derivadas Regla General para la derivación Reglas de derivación de funciones Regla de la cadena Reglas de derivación de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas Trigonométricas Trigonométricas Inversas Exponenciales Logarítmicas Puntos de inflexión Criterios de la primera y la segunda derivada Primera derivada Segunda derivada

104

Actividades Unidad II

113

Evaluación Sumativa: Unidad II

4

117

UNIDAD DE APRENDIZAJE III ¡CÓRRELE QUE TE ALCANZO!

120

Optimización

132 132 135 138

Cálculo de valores máximos y mínimos Valor máximo relativo Valor mínimo relativo Número crítico

146

Actividades Unidad III

153

Evaluación Sumativa: Unidad III

Impacto del campo disciplinar y sus unidades en el perfil de egreso EMS PROPÓSITO DEL CAMPO DISCIPLINAR:

Al término del semestre, el alumnado resolverá problemas variacionales mediante la aplicación de herramientas del cálculo diferencial para explicar fenómenos diversos. ÁMBITOS

DESEMPEÑOS DEL PERFIL DE EGRESO

PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Construye e interpreta situaciones reales, hipotéticas o formales que requieren de la utilización del pensamiento matemático. Formula y resuelve problemas, aplicando diferentes enfoques. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos gráficos o analíticos.

PENSAMIENTO CRÍTICO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Utiliza el pensamiento lógico y matemático, así como los métodos de las ciencias para analizar y cuestionar críticamente fenómenos diversos. Desarrolla argumentos, evalúa objetivos, resuelve problemas, elabora y justifica conclusiones y desarrolla innovaciones. Asimismo, se adapta a entornos cambiantes

Competencias del programa de Pensamiento Matemático V de quinto semestre GENÉRICAS

CG4 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

• A1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

CG5 Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

• A1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. • A4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

CG6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva • A4. Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

DISCIPLINARES

Matemáticas

• CD1-MA. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. • CD2-MA. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. • CD3-MA. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. • CD4-MA. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. • CD5-MA. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. • CD6-MA. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. • CD8-MA. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Construye-T

El Nuevo Modelo Educativo (NME) considera el desarrollo de las Habilidades Socioemocionales (HSE) como un aspecto prioritario en el perfil de los egresados de educación media superior. Para incorporar el desarrollo de las HSE de manera más efectiva en el marco del NME, se han rediseñado algunos aspectos del programa Construye-T. Dicho programa tiene por objetivo mejorar los ambientes escolares y promover el aprendizaje de las habilidades socioemocionales de las y los jóvenes de Educación Media Superior para elevar su bienestar presente y futuro, y puedan enfrentar exitosamente sus retos académicos y personales. Así, el programa Construye-T se compone de tres dimensiones: CONOCE T

Que promueve habilidades para identificar, conocer y manejar nuestras propias emociones. RELACIONA T

Para establecer relaciones constructivas con otras personas. ELIGE T

Para tomar decisiones reflexivas y responsables en distintos ámbitos de la vida y para lograr metas. Cada uno de los aspectos se trabajará a partir del desarrollo de habilidades socioemocionales específicas: autoconocimiento, autorregulación, conciencia social, colaboración, toma de decisiones y perseverancia. Y de tres herramientas que se trabajan transversalmente: atención, claridad y lenguaje emocional. A través del logro de los aprendizajes esperados de esta área de estudio gradualmente se impulsará el desarrollo de las siguientes HSE: HABILIDADES SOCIOEMOCIONALES • Toma responsable de decisiones.

Metodología APRENDIZAJE SITUADO

La perspectiva situada asume que el conocimiento se construye cuando una persona se enfrenta a una situación propia del contexto mediada por las interacciones sociales de esa comunidad de práctica; de este modo lo importante es que la persona, al realizar actividad, sea capaz de construir conocimiento y, en palabras de Cantoral (2016), saberes. Así, aprender y hacer son acciones inseparables por lo que los procesos de aprendizaje son más pertinentes si rescatan las necesidades, intereses y particularidades de los contextos específicos en los que los estudiantes se desempeñan. En palabras de Lave y Wenger (1991), el aprendizaje situado exige la participación del estudiante en una comunidad de práctica, esto es, las interacciones sociales propias de una cultura permiten la adquisición de saberes que de otra forma el estudiante no podría construir. Así, puede afirmarse que el contexto social y las habilidades –competencias- no pueden separarse. Basados en estos principios, las propuestas de los diversos campos disciplinares en el Modelo Educativo tienden a recuperar situaciones contextuales de aprendizaje, situaciones problemáticas (Gil, Macedo, ­Martínez, Torregrosa, Valdés y Vilchez, 2005 en Valdés, 2017) o problematizar el saber en el más amplio sentido del término, situándolo en el entorno de la vida del aprendiz (individual o colectivo), lo que exige el rediseño compartido, orientando y estructurando al discurso Matemático Escolar (Cantoral, 2016). Se propone utilizar la taxonomía o clasificación elaborada por Marzano y Kendall, también llamada la Taxonomía de los Objetivos Educativos. Esta taxonomía sirve para: • Formular objetivos o resultados esperados del aprendizaje en términos de conductas observables, medibles y posibles de alcanzar durante el proceso de aprendizaje. • Diseñar evaluaciones. • Ser una herramienta para formular estándares de mayor utilidad para los educadores. • Ser una estructura para diseñar el currículo. • Ser una base para los currículos de habilidades del pensamiento.

ACTIVIDADES PARA LA RECUPERACIÓN

Son subprocesos de recuerdo y reconocimiento que pertenecen al primer nivel del sistema cognitivo para el manejo del tipo de conocimiento denominado información, y sirven para llevar a cabo actividades que le permitan al estudiante realizar el ejercicio de recuperación de conocimientos.

ACTIVIDADES PARA LA COMPRENSIÓN

El proceso de comprensión en el sistema cognitivo es el encargado de traducir el conocimiento en las formas adecuadas para que su almacenaje en la memoria permanente se produzca, es decir, que tome la estructura y el formato que se requiere para que la información clave se preserve.

ACTIVIDADES PARA EL ANÁLISIS

El análisis en la Nueva Taxonomía corresponde a la extensión razonada del conocimiento. En este estadio, las personas elaboran a partir del conocimiento que comprenden, por lo tanto, se puede afirmar que el análisis va más allá de la identificación de lo esencial versus lo no esencial, que son funciones propias de la comprensión. Los procesos que conforman el análisis son: asociación, clasificación, análisis del error, generalización y especificación. Para que se desarrollen estos procesos debe haber ciertas condiciones y, por lo tanto, tareas a realizar en las actividades de aprendizaje.

ACTIVIDADES PARA UTILIZACIÓN DEL CONOCIMIENTO

La utilización del conocimiento se presenta cuando la persona se ve en la necesidad de cumplir con determinadas tareas. En la Nueva Taxonomía, el nivel utilización de conocimiento está conformado por cuatro categorías: toma de decisiones, resolución de problemas, experimentación e investigación, de modo que se sugiere implementar las condiciones para lograr este nivel.

ACTIVIDADES PARA METACOGNICIÓN

La Nueva Taxonomía el nivel de metacognición sostiene cuatro funciones: • Especificar las metas. • Monitorear los procesos. • Monitorear la claridad. • Monitorear la precisión.

ACTIVIDADES PARA EL SISTEMA INTERNO DE PENSAMIENTO

Contiene una interrelación entre diversos elementos que intervienen en el proceso de aprendizaje, como las actitudes, las creencias y las emociones. Es la interrelación entre diversos elementos lo que determina finalmente la motivación y la atención. Permite a los aprendices tomar posturas ante la opción de aprender o no algo. Existen cuatro tipos de pensamiento que conforman el sistema interno (self): • Examinación de la importancia. • Examinación de la eficacia. • Examinación de las respuestas emocionales. • Examinación de la motivación. Las actividades, tablas, rúbricas, índices y otros recursos que aparecen en el presente libro, han sido tomados del plan de estudios vigente del sistema del Bachillerato General Estatal con fines d ­ idácticos.

SITUACIÓN I

NO ESTABA MUERTO, ANDABA DE PARRANDA

SITUACIÓN I NO ESTABA MUERTO, ANDABA DE PARRANDA CAMPO DISCIPLINAR: MATEMÁTICAS

ÁMBITO(S): Pensamiento Matemático: Construye e interpreta situaciones reales, hipotéticas o formales que requieren de la utilización del pensamiento matemático. Formula y resuelve problemas, aplicando diferentes enfoques. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos gráficos o analíticos. Pensamiento crítico y solución de problemas: Utiliza el pensamiento lógico y matemático, así como los métodos de las ciencias para analizar y cuestionar críticamente fenómenos diversos. Desarrolla argumentos, evalúa objetivos, resuelve problemas, elabora y justifica conclusiones y desarrolla innovaciones. Asimismo se adapta a entornos cambiantes.

SITUACIÓN EN CONTEXTO:

“NO ESTABA MUERTO, ANDABA DE PARRANDA” En el mes de noviembre tu bachillerato realizará una exposición de ofrendas. Cada grupo colocará una, que deberá estar pegada a una pared y cuya superficie debe estar delimitada por una cuerda de 7m de longitud, que el director entregará, la cual debe cumplir con las condiciones siguientes: 1. La superficie debe ser rectangular.

2. La cuerda solo debe abarcar tres de los cuatro lados del ­rectángulo. 3. No debe usarse la cuerda en el lado de la pared.

Si tuvieras que dedicar la ofrenda a algún matemático, ¿a quién elegirías?, ¿por qué?, y ¿qué colocarías en ella? a. ¿Qué ideas puedes aportar a tu grupo para que la superficie que ocupe la ofrenda tenga el área más grande posible considerando la longitud de la cuerda y que debe estar pegada a la pared? b. ¿Qué medidas tendría el rectángulo que ocuparía tu grupo para colocar su ofrenda? c. ¿Cómo puedes asegurarte de que el rectángulo que trazaste es el de mayor área? d. Al final de esta unidad, como producto esperado, enviarán una descripción del proceso que siguieron para resolver la situación de aprendizaje, una fotografía de tu ofrenda y las aportaciones del matemático a quien se la dedicaron.

14

PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

FUNCIONES CONCEPTO (VARIABLE DEPENDIENTE, INDEPENDIENTE, RANGO, DOMINIO)

El número, considerado en forma abstracta, es la representación simbólica de una cantidad real. Y en ciertas situaciones, una cantidad no se representa con un símbolo numérico, sino que también existe una forma de generalizarla por medio de letras o literales ya sea mayúsculas o minúsculas del alfabeto arábigo, griego, etc., así, a una cantidad que no queda especificada numéricamente se le denomina variable ya que puede tomar o serle asignado un valor numérico cualquiera dependiendo del contexto en que se esté ubicando. Las variables se utilizan en diversas situaciones donde, sin mencionar su valor, pueden llegar a tenerlo. Por ejemplo, en un salón de clases hay x número de alumnos, un recipiente tiene y litros, a es un número par, etc. Las variables son también un elemento importante en las matemáticas para poder incursionar en el campo del Álgebra y las funciones, que se irán explorando más adelante conforme se describan y se apliquen posteriormente conceptos adicionales. Cuando en una expresión algebraica existen dos variables que tienen entre sí una regla de correspondencia, y una de ellas se despeja, obtenemos una función o relación de dependencia entre ambas variables, donde la variable despejada se denomina variable dependiente y la otra variable se denomina independiente. Por lo tanto, los valores de la variable dependiente forman un conjunto conocido como contradominio y resulta de asignar valores arbitrarios a la variable independiente formando el conjunto de los valores del dominio. La regla de correspondencia que asocia a ambos conjuntos permite determinar pares ordenados o coordenadas, las cuales se pueden graficar para dar como resultado rectas en las funciones lineales, o curvas en las funciones cuadráticas o de grado superior. Mientras que las funciones reales de variables reales se dan generalmente por una o más fórmulas matemáticas. Una función se puede representar de las siguientes formas: y = f (x), (x, f (x)),  f : A→B, p = f (q), etc. En todas estas representaciones existe una variable dependiente y una independiente, las cuales quedan relacionadas por medio de una regla de correspondencia, operación o condición que queda establecida desde un principio. En funciones reales de variable real, la regla de correspondencia es una ecuación algebraica, donde el dominio es el conjunto de valores que pueden ser asignados a la variable independiente para obtener el rango o imagen, o conjunto de valores que adquiere la variable dependiente. De esta forma podemos establecer lo que se conoce como Función real de la Variable real a cualquier función que se representa, como se mencionó previamente, y por lo tanto, a cada elemento x de  (o de un subconjunto de ) le asociamos un único elemento y = f (x) de , lo cual se representa como: x y = f (x) En este sentido tenemos, por ejemplo: La expresión f (x) = x 2 - 3x define una función para la que: f (0) = (0)2 - 3(0) = 0 f (-1) = (-1) 2 - 3(-1) = 1 + 3 = 4

La definición moderna del concepto de función se debe al matemático francés Agustín-Louis Cauchy (1789 - 1857. Cauchy inició la sistematización de la teoría de grupos, imprescindible en el álgebra moderna, y fue uno de los precursores del rigorismo en Matemáticas.

SITUACIÓN I

1 3 1 1 2 1 5 =   -3 = - =4 2 2 2 2 4 De lo anterior se puede decir que cualquier número real puede ser aplicado a esta función. f

1

Para la función g(x) = 2x de la cual podemos observar: 1

g(1) = 21 = 21 = 2 1

1

g(2) = 22 = √2

g(0) = 20 ; no existe ya que este resultado no define un número real. Por lo tanto, para el valor x = 0, dicha función no está definida y no es parte del dominio de la misma. Para obtener el DOMINIO (D) de una función dada por su fórmula, debemos tener en cuenta que: 1. No es posible la división por cero.

2. No es posible extraer raíces cuadradas, cuartas, sextas, o cualquier raíz de índice par cuando el radicando es negativo, caso contrario con raíces de índice impar (tercera, quinta, séptima, etc) que sí aceptan la operación con números negativos.

3. No es posible calcular el logaritmo de un número negativo, ni tampoco de cero. El RANGO (R) corresponde a todos los resultados obtenidos al evaluar una función y que pertenezcan a R, de tal forma que se obtiene un conjunto de valores que son imagen o CODOMINIO del DOMINIO, (otros nombres que puede recibir es CONTRADOMINIO o RECORRIDO). Consideremos también que el dominio de cualquier función polinómica es todo R. En este sentido, para la función f (x) = 3x - 2 su dominio es D = R ya que cualquier valor de x es evaluable en esta. De igual forma su rango será R = R.

1 , observamos que el denominador debe ser diferente de cero para que la x -4 función esté definida, sin embargo, al asignar x = 2 o x = -2, el denominador será cero, por lo tanto podemos expresar el dominio como: D = R -{±2}, que se lee “Dominio es todo real excepto ±2” De esta manera, el rango estará definido por todos los valores que tome x excepto para aquellos donde x = ±2. Sea la función g(x) = √3x + 9, al ser una raíz de índice par, el radicando deberá ser igual o mayor a cero, es decir 3x + 9 ≥ 0, ya que no está definida para valores negativos en el radicando. Para poder establecer el grupo de valores de x que la definen, es necesario resolver la desigualdad de la siguiente forma: 3x + 9 ≥ 0 3x ≥ -9 9 x≥3 x≥-3 Por lo tanto, el dominio de la función es D = [-3, ∞), mientras que el rango es R = [0,∞). Otro ejemplo lo observamos en la función h(x) = √x - 1 + √1 - x, donde se puede observar que el dominio estará dado por todos los valores reales que no hagan negativos los radicandos, es decir: para el primer radicando: x - 1 ≥ 0  →  x ≥ 1 para el segundo radicando: 1 - x ≥ 0  →  1 ≥ x Inferimos por los valores de x que, para la primera función solo se aceptan valores mayores o iguales a 1, mientras que la segunda acepta valores menores o iguales a 1, es decir, la intersección de ambos conjuntos es únicamente 1, por lo que el dominio D = {1} y el rango R = {0}. Para la función f (x) =

2

15

16

PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

EJEMPLO 1 Obtener dominio y rango de la función 3x + y = 7.

Paso 1. Despejamos a la variable y, la cual será la variable dependiente. y = 7 – 3x Paso 2. Asignamos valores arbitrarios a x o variable independiente para formar pares ordenados o ­coordenadas. X

1

2

3

4

Y

7 - 3 (1) = 4

7 - 3 (2) = 1

7 - 3(3) = -2

7 - 3(4) = -5

5

6

7 - 3(5) = -8 7 - 3(6) = -11

Paso 3. Observamos que prácticamente para cualquier valor de x asignado se obtiene el respectivo valor de y, podemos decir entonces que, tanto el dominio como el rango de la función anterior son todos los valores de x y y que pertenecen a los reales. Ahora que hemos terminado con este tema, veamos un ejemplo práctico que nos ayudará a resolver la situación en contexto planteada al inicio. EJEMPLO 2 Un padre de familia desea determinar el consumo diario de agua en el hogar, para ello, sabe que al bañarse cada integrante de la familia consumen en promedio 9 litros por minuto, y que al utilizar la lavadora automática se consumen 6 litros por minuto. El volumen máximo de agua del que se dispone al día es de 500 litros para el consumo total. Con la información proporcionada, determina la expresión con la cual se representa el consumo diario en el hogar con base en el tiempo que tarden en bañarse o usando la lavadora automática. Paso 1. Se representa las variables que aparecen en el problema: x = tiempo al bañarse. y = tiempo de uso de la lavadora.

Paso 2. Como existe un límite diario de agua, la expresión queda: 9x + 6y = 500 Esta expresión permite calcular el número de litros consumidos al día en el hogar con base en el tiempo de consumo.

EVALUACIÓN DE FUNCIONES (ELABORACIÓN DE TABLAS)

Evaluar una función, significa, de forma sencilla, asignar diferentes valores, ya sea arbitrarios o preestablecidos a la variable independiente (comúnmente x), cuando existe una regla de correspondencia, para obtener los respectivos valores de la variable dependiente (por lo regular y), por lo que en este tenor, los valores de la variable independiente formarán el dominio de la función y los valores de la variable dependiente, los respectivos del rango. Matemáticamente es posible obtener la gráfica de una función asignando valores arbitrarios a la variable independiente (estos valores pueden estar definidos por un intervalo) para obtener los valores de la variable dependiente. Cuando se sustituye el valor arbitrario de la variable independiente en la regla de correspondencia de una función, se obtiene el valor de la variable dependiente y con ambos se forman parejas de coordenadas de la forma P (x, y). Estos se localizan en el plano cartesiano y se unen mediante trazos suavizados. Al proceso anterior comúnmente se le conoce como tabulación.

SITUACIÓN I

EJEMPLO 1 Traza la gráfica de la función y = -x2 + 4 en el intervalo [-1, 3] tomando valores enteros. Paso 1. Construir una tabla de valores: x

y = - x2 + 4

P (x, y)

-1

y = -(-1)2 + 4 = 3

(-1, 3)

0

y = -(0)2 + 4 = 4

(0, 4)

1

y = -(1)2 + 4 = 3

(1, 3)

2

y = -(2)2 + 4 = 0

(2, 0)

3

y = -(3)2 + 4 = - 5

(3, -5)

Paso 2. Localizar los puntos en el plano cartesiano y unirlos mediante una línea suavizada. Por lo tanto, la gráfica de la función y = -x2 + 4 en el intervalo [1, -3] es: 6

y

5 4 3 2 -x -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 -1

1

2

3

4

5

6

-2 -3 -4 -5

-6 -y

EJEMPLO 2 Traza la gráfica de la función y =

1 y determina su dominio. x+2 Paso 1. Elaborar una tabla de valores enteros en un intervalo I = [-3, 3]. x

f (x) = 1/x + 2

P (x, y)

-3

1 / (-3) + 2 = -1

(-3, -1)

-2

1 / (-2) + 2 = N.E.

Indefinido

-1

1 / (-1) + 2 = 1

(-1, 1)

0

1 / (0) + 2 = 1/2

(0, 1/2) Continúa...

x

17

18

PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

Continúa...

x

f (x) = 1/x + 2

P (x, y)

1

1 / (1) + 2 = 1/3

(1, 1/3)

2

1 / (2) + 2 = 1/4

(1, 1/4)

3

1 / (3) + 2 = 1/5

(1, 1/5)

Paso 2. Localizar los puntos de coordenadas en el plano cartesiano y trazar la gráfica de la función: 6

y

5 4 3 2 -x

1 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1

1

2

3

4

5

6

x

-2 -3 -4 -5

-6 -y

Paso 3. En la gráfica se puede apreciar que cuando x = -2, la función no está definida, por lo tanto, lo cual representa una Asíntota, es decir, se produce una línea vertical imaginaria que parte del eje x y toma infinitos valores para y. el dominio es: D = {x | x ∈ R, π ≠ -2}

GRÁFICA (POLINOMIALES HASTA DE 3ER GRADO, TRASCENDENTES, ESCALONADAS Y POR PARTES)

Las funciones se clasifican de acuerdo a la estructura de su regla de correspondencia. A continuación, se muestran algunos tipos de funciones por el método gráfico: FUNCIONES POLINOMIALES • Función constante y = C, donde C ∈ R

SITUACIÓN I

Gráficamente:

y

a

f (x)

-x

x

Fig. 1.1 Representación gráfica de la función constante.

En este caso se puede inferir que, para cualquier valor de x, se obtiene el mismo valor de y. Así, el -y dominio es D = {R}, mientras que el rango es R = {C}. • Función lineal o de primer grado y = mx + b, donde m, b, x ∈ R, m ≠ 0. Gráficamente: y y = f (x) b

-x

x

b a

-y Fig. 1.2 Representación gráfica de la función lineal.

En las funciones lineales se cumple que, para todo valor de x, se obtendrán los respectivos valores de y, de tal suerte que el dominio es D = {R}, y el rango R = {R}. • Función cuadrática o de segundo grado y = ax2 + bx + c, donde a, b, c, x ∈ R, a ≠ 0.

19

20

PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

Gráficamente: y

y = f (x) -x

x

-y Fig. 1.3 Representación gráfica de la función cuadrática.

Este tipo de gráficas se caracterizan por tener una variable lineal (y) y una variable que tiene como exponente máximo 2 (x); sin embargo, recordando la Geometría Analítica, la curva obtenida o parábola, se orientará dependiendo de la relación de ambas variables. Además, se recordará que existe para cualquiera de estos casos, un valor máximo o mínimo, denominado Punto de Inflexión (donde la curva “da vuelta”), que será discutido en temas posteriores. • Función de grado n y = a1xn + a2x n-1 + … + an-1x + an, donde a1, a2, … … an-1, an son coeficientes reales. Gráficamente: y

y = f (x) -x

x

-y Fig. 1.4 Representación gráfica de la función de grado n.

SITUACIÓN I

Para las gráficas de grado superior, que provienen de funciones polinómicas de grado superior, la curva obtenida será una “sigmoide” (forma de s) como se muestra en la gráfica de la figura anterior, dependiendo de las relaciones que guarden los términos dentro de la función, y en las cuales se pueden observar múltiples puntos de inflexión. • Funciones de proporcionalidad inversa k y = , x ≠ 0, k ∈ R x y

y=

k (k < 0) x

-x

x

-y Fig. 1.5 Representación gráfica de una función de proporcionalidad inversa.

Las gráficas de proporcionalidad inversa se caracterizan por no estar definidas cuando el denominador es cero, y la forma que toma la gráfica es una Hipérbola. • Graficas de funciones trascendentes A manera de preámbulo, recordemos que las funciones trascendentes elementales se clasifican como exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas. Es decir, son aquellas que no pueden ser expresadas mediante un polinomio, un cociente de polinomios o raíces de polinomios.  y

1 2

1 e

x

x

8 6 4 2

1x -x

ex

-8

2x

-6

-4

-2

0

2

4

-y Fig. 1.6 Representación gráfica de una función exponencial

6

6

x

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

y log1(e)

4

2

log0.5(x) 2 -x

0

2

-2

4

6

8

10

x

12

log2(x) loge(x)

-4 -y

Fig. 1.7 Representación gráfica de una función logarítmica.

y 4 3 2 1

-x

0 -1

0.5π

π

1.5π

2π

2.5π

x

-2 -3 -4 -y Fig. 1.8 Representación gráfica de funciones trigonométricas y trigonométricas inversas. y

5

y

y 4= senh x

-x -5

2 1 -4

-3

-2 -1-10 -2

1

2

3

y = senh-1 x (xx = senh y) 4 5

y= -x

-3

2

e -x 2

y=

1 -2

-1

-3 -4 -5

y = cosh x

3

y=x

3

-1

0

1

-x

-2

-3

-y

x

-y

y

2

y=1 y = tanh x

0

-1

3

-2

y

y=1

2

ex 2

1

y = -1

-2 -y

2

x

-x

-2

y = coth x

y = coth x

2

0

-1

1

y = -1 -2 -y

2

x

-x -5

2 1 -4

-3

-2 -1-10 -2

1

2

y=

y = senh-1 x (xx = senh y) 4 5

3

-x

e 2

-3

y=

1 -2

-1

-3

-1

0

1

-2

-y

y=1 y = tanh x

0

1

2

-x

x

y = -1

-2

-y

-2

y = coth x

2

0

-1

y

y=1 0

-1

x

-y

2

2

2

-2

y

-2

1

y = -1

y = coth x

-y

-x

x

y

2

-1

3

SITUACIÓN I

-3

y

-x

2

-2

-4 -5

y=1

e 2

1

y = sech x 2

y = csch x

1 -x

x

-2

-1

0

1

-1

2

x

-2

-2

-y

-y

Fig. 1.9 Representación gráfica de funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas.

• Gráficas de funciones escalonadas. y

4 3 2 -x

1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

-y Fig. 1.10 Representación gráfica de funciones escalonadas.

Una función escalonada es una función a trozos que está definida en cada uno de sus subintervalos como una función constante.

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

• Gráficas de funciones por partes o a trozos. y 5 4 3 2 1

-x

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

-y Fig. 1.11 Representación gráfica de funciones por partes o a trozos.

Una función definida por partes es aquella que no está definida por una ecuación sola, sino por dos o más. Cada ecuación es válida para algún intervalo. Las funciones también pueden trabajarse con las operaciones aritméticas independientemente si se trata de lineales, cuadráticas o de grado superior, razón por la cual se vuelve necesario mencionar las principales operaciones entre ellas: • Combinación de funciones Dos funciones f y g pueden combinarse en varias formas para obtener nuevas funciones. En este caso analizaremos dos formas en las que es posible combinar funciones: mediante operaciones aritméticas y a través de la operación de composición de funciones. • Funciones Potencia Una función de la forma f (x) = x n Se denomina Función Potencia, donde n es un número racional. El dominio de la función poten1 cia depende de la potencia n. Por ejemplo, para n = 2, n = y n = -1 tenemos respectivamente: 2 • El dominio de f (x) = x 2 es el conjunto R de los números reales o (-∞,∞) 1

• El dominio de f (x) = x 2 = √x es [0,∞) 1 • El dominio de f (x) = x -1 = es el conjunto R de los reales excepto x = 0 x Las funciones potencia simples, o versiones modificadas de estas funciones, ocurren muy a menudo en problemas del cálculo y, en ocasiones, está por demás invertir tiempo en los trazos de sus gráficas, por lo que se sugiere tratar de memorizar o tener presentes las formas principales que presentan a continuación a manera de catálogo de gráficas de funciones donde se reconocen las formas más comunes de estas:

SITUACIÓN I

a.

y

y

b.

y

c.

x

x x

y

y

d.

y

f.

e. x

x

x

g.

y

h. x

a. n = 1, f (x) = x  b. n = 2, f (x) = x 2 c. n = 3, f (x) = x 3 d. n = 4, f (x) = x 4

y

i.

y

x

x

1 x2 1 2 g. n = 1/2, f (x) = x = √x f. n = - 2, f (x) = x - 2 = 1

3

h. n = 1/3, f (x) = x 3 = x

2 1 3 3 x i. n = 2/3, f (x) = = x2 x • Combinaciones aritméticas. Dos funciones pueden combinarse por medio de las cuatro operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división), las cuales se definen:

e. n = -1, f (x) = x - 1 =

Si f y g son dos funciones, entonces la suma f + g, la diferencia f – g, el producto fg y el cociente f / g se definen como sigue: (f + g) = f (x) + g(x) (f - g) = f (x) - g(x) (fg)(x) = f (x)g(x) f f (x) para g(x)≠0 (x) = g g (x) • Dominio de una combinación aritmética. Al combinar aritméticamente dos funciones es necesario que ambas f y g estén definidas en el mismo número x. Por lo tanto, el dominio de las funciones f + g, f – g y fg, es el conjunto de los números reales que son comunes a ambos dominios; es decir, el dominio de la intersección del dominio de f con el dominio de g. En el caso del cociente f / g, el dominio también es la intersección de los dos dominios, pero es necesario excluir cualquier valor de x para que el denominador g(x) sea cero. En otras palabras, si el dominio de f es el conjunto X1 y el dominio de g es el conjunto X2, entonces el dominio de f + g, f – g y fg es X1 ∩ X2 y el dominio de f / g es: {x|x ∈ X1 ∩ X2, g(x) ≠ 0}

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

EJEMPLO Sabiendo que el dominio de f (x) = x 2 es el conjunto R de los números reales, o (-∞,∞) y el dominio de g(x) = √x es [0,∞), en consecuencia el dominio de la suma f (x) + g(x) = x 2 + √x Es la intersección de los dos dominios (-∞,∞) ∩ [0,∞) = [0,∞) • Funciones Polinomiales. Muchas de las funciones que se trabajan en cálculo se construyen al realizar operaciones aritméticas sobre funciones potencia, estas últimas son de especial interés donde n es un entero no negativo. Para n = 0, 1, 2, 3,…, la función f (x) = x n, se denomina función polinomial de un solo término. Al usar las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, es posible construir funciones polinomiales con muchos términos. Por ejemplo, si f1 (x) = x 3, f 2(x) = x 2, f 3(x) = x, y f 4(x) = 1, ­entonces: f 1(x) - f 2(x) + f 3(x) + f 4(x) = x 3 - x2 + x + 1 En general, una función polinomial y = f (x) es una función de la forma: f (x) = anx n + an-1 x n-1 +  a2x 2 + a1x + a0 La cual se ha mencionado con anterioridad, donde n es un entero no negativo y los coeficientes ai, i = 0, 1, …, n son números reales. El dominio de cualquier función polinomial f es el conjunto de todos los números reales (-∞,∞). Las siguientes no son funciones polinomiales: No es un entero no negativo no es un entero no negativo ↓ ↓ y = 5x 2 - 3x-1

1

y = 2x 2 - 4

EJEMPLO Considere las funciones polinomiales f (x) = x 2 + 4x y g(x) = x 2 - 9 a. Con base en las combinaciones aritméticas, se puede producir tres nuevas funciones polinomiales: (f + g)(x) = f (x) + g(x) = (x 2 + 4x) + (x 2 - 9) = 2x 2 + 4x - 9 (f - g)(x) = f (x) - g(x) = (x 2 + 4x) - (x 2 - 9) = 4x + 9 (f g)(x) = f (x)g(x) = (x 2 + 4x)(x 2 - 9) = x 4 + 4x 3 - 9x 2 - 36x Finalmente, con base en la definición para el cociente, tenemos:

f f (x) x 2 + 4x (x) = = g g (x) x 2 - 9 En este ejemplo, observamos que para g(-3) = 0 y g(3) = 0, que el dominio del cociente (f/g)(x) es (-∞,∞) con excepción de x = -3 y x = 3; en otras palabras, el dominio de (f/g)(x) es la unión de tres intervalos: (-∞,-3) ∪ (-3, 3) ∪ (3,∞). • Funciones racionales f (x) es un caso de funciones racionales. En general, una función racional y = f (x) es g una función de la forma: f p (x) f (x) = g q (x) Donde p y q son funciones polinomiales. Por ejemplo, las funciones La función

y=

x x3 - x + 7 1 , y = ,y= 2 x +5 x +3 x

SITUACIÓN I

Son funciones racionales. La función:

x y= 2 x -1

no es un polinomio

No es una función racional. • Composición de funciones Otro método para combinar las funciones f y g se denomina composición de funciones. Para ilustrar esta idea, se puede suponer que para una x dada en el dominio de g el valor funcional g(x) es un número en el dominio de la función f. Esto significa que es posible evaluar f en g(x); en otras palabras f (g(x)). Por ejemplo, supongamos f (x) = x 2 y g(x) = x + 2. Entonces, para x = 1, g(x) = 3, y como 3 es el dominio de f, es posible escribir f (g(1)) = f (3) = 3 2 = 9. En efecto, para estas dos funciones particulares resulta que es posible evaluar f en cualquier valor funcional g(x); es decir: f (g(x)) = f (x + 2) = (x + 2)2 A continuación se define la función resultante, denominada composición de f y g: Si f y g son dos funciones, la composición de f y g, denota por f °g, es la función definida por (f °g)(x) = f (g(x)) La composición de g y f, denotada por f °g, es la función definida por (g°f)(x) = g(f (x)). EJEMPLO 1 Si f (x) = x 2 + 3x y g(x) = 2x 2 + 1 , hallemos a. (f °g)(x) y b. (g°f )(x).

Paso 1. Para a. (f °g)(x) enfatizamos sustituyendo x por el conjunto de paréntesis ( ) y f se escribe en la forma f (x) = ( ) 2 + 3( ). Entonces, para evaluar (f °g)(x), simplemente llenamos cada paréntesis con la expresión de g(x): (f °g)(x) = f (g(x)) = f (2x 2 + 1) f (g(x)) = (2x 2 + 1) 2 + 3(2x 2 + 1) Paso 2. Realizamos las operaciones algebraicas correspondientes para obtener a nueva función compuesta: f (g(x)) = 4x 4 + 4x 2 + 1 + 6x 2 + 3 f (g(x)) = 4x 4 + 10x 2 + 4

Paso 3. Para el caso de g(x), la escribimos en la forma g(x) = 2( ) 2 + 1, por lo tanto: (g°f )(x) = g(f (x)) = g(x 2 + 3x) g(f (x)) = (x 2 + 3x) 2 + 1

Paso 4. Realizamos las operaciones para obtener la nueva función compuesta: g(f (x)) = 2(x 2 + 3x) 2 + 1 g(f (x)) = 2(x 4 + 6x 3 + 9x 2 ) + 1 g(f (x)) = 2x 4 + 12x 3 + 18x 2 + 1 De los resultados anteriores podemos inferir que la composición de funciones no es conmutativa, es decir: f °g ≠ g°f

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

EJEMPLO 2 Expresemos ahora la F(x) = √(6x 3 + 8) como la composición de dos funciones f y g, estando estas definidas por: f (x) = √x y g(x) = 6x 3 + 8 Paso 1. Expresamos la composición: F(x) = (f °g)(x) = f (g(x)) = f (6x 3 + 8) = √(6x 3 + 8)

Paso 2. Podemos obtener otro resultado si ahora definimos las funciones f y g como: f (x) = √(6x + 8)  y  g(x) = x 3 Paso 3. Entonces:

(f °g)(x) = f (x 3) = √(6x 3 + 8)

• Dominio de una composición Para evaluar la composición (f °g)(x) = f (g(x)) el número g(x) debe estar en el dominio de f. Por ejemplo, el dominio de f (x) = √x es [0, ∞) , y el dominio de g(x) = x – 2 es el conjunto de números reales (-∞,∞). Observamos que no es posible evaluar f (g(1)), porque g(1) = -1, y este valor no se encuentra en el dominio de f. Para poder sustituir g(x) en f (x), g(x) debe satisfacer la desigualdad que define al dominio de f, por lo tanto g(x) ≥0. Esa última desigualdad es la misma que x - 2 ≥ 0 o x ≥ 2. El dominio de la composición f (g(x)) = √x = √(x - 2) es [2, ∞), que solo es una porción del dominio original (-∞,∞) de g. En general, el dominio de la composición f °g es el conjunto de números x en el dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f. Para cuna constante c > 0, las funciones definidas por y = f (x) + c y y = f (x) - c son la suma y la diferencia de la función f (x) y la función constante g(x) = c. La función y = cf (x) es el producto de f (x) y la función constante g(x) = c Las funciones definidas por y = f (x+c), y = f (x - c) y y = f (cx) son las composiciones de f (x) con las funciones polinomiales g(x) = x+c, g(x) = x - c y g(x) = cx respectivamente.

VALOR ABSOLUTO: ECUACIONES E INECUACIONES

El valor absoluto de un número real x es una cantidad no negativa definida por: -x, x > 0 |x| = x, x ≤ 0 En este contexto podemos decir que existen ecuaciones de valor absoluto y desigualdades o inecuaciones de valor absoluto como se describe a continuación: • Ecuaciones de Valor Absoluto: consideremos que |6| = 6, puesto que 6 > 0 y además |-6| = 6, de tal forma que |-6| = -(-6) = 6, porque -6 < 0. Por lo tanto tiene dos soluciones: |x| = 6 y x = 6 x = -6. La situación anterior se puede resumir en el siguiente teorema: Teorema 1: Ecuación de valor absoluto, si a denota un número real positivo, entonces |x| = a,  sí y solo sí  x = -a o x = a

SITUACIÓN I

EJEMPLO 1 Sea |-2x| = 9, obtener los valores de x.

Paso 1. Por el teorema 1, podemos retirar el símbolo de valor absoluto de la ecuación, de tal forma que el valor de la derecha del signo (=) adquiere ambos signos (±): -2x = ±9

Paso 2. Transponemos el coeficiente -2 hacia el lado derecho dividiendo a ±9, de tal forma que los signos se mantienen sin cambio del lado derecho: 9 x=± 2 Paso 3. El conjunto solución para los valores de x en la ecuación de valor absoluto es: 9 9 x= - , 2 2 EJEMPLO 2 Sea |5x - 3| = 8, obtener los valores de x:

Paso 1. Por el teorema 1, eliminamos los símbolos de valor absoluto y colocamos los signos (±) del lado derecho del signo (=):

5x - 3 = ±8 Paso 2. Transponemos -3 al lado derecho sumando:

5x = ±8 + 3 Paso 3. Transponemos el coeficiente de x al lado derecho dividiendo: x=

±8 + 3 5

Paso 4. Se obtiene dos ecuaciones para x las cuales se resuelven por separado debido a los signos que tiene el valor 8: x=

+8 + 3 11 = 5 5

x=

-8 + 3 = -1 5

Paso 5. El conjunto solución para x son los valores: x = -1,

11 5

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

• Desigualdades de Valor Absoluto: muchas aplicaciones importantes de las desigualdades implican también valores absolutos, donde |x| representa la distancia a lo largo de la recta numérica desde x hasta el origen. Así la desigualdad |x| < a, (a > 0) significa que la distancia desde x hasta el origen es menor que a, lo cual se muestra en la siguiente figura donde el conjunto de números reales abarca -a < x < a. |x| < a ⎛ ⎝

-a

⎛ ⎝

0

a

Análogamente, |x| > a, significa que la distancia desde a hasta el origen es mayor que a, donde, a continuación se muestra que x < -a o x > a: |x| > a ⎛ ⎝

-a

⎛ ⎝

0

a

Las situaciones anteriores se expresan en el siguiente teorema dividido en dos casos: Teorema 2. Desigualdades de Valor Absoluto: i) |x| < a si y solo si -a < x < a ii) |x| > a si y solo si x < -a o x > a Ambos incisos son verdaderos en el teorema 2 con ≤ en lugar de < y ≥ en lugar de >.

EJEMPLO 1 Sea la desigualdad |x| < 1, hallar el conjunto solución de x.

Paso 1. Por i) del teorema 2, |x| < 1 equivale a la desigualdad simultánea -1 < x < 1. Paso 2. Por lo tanto el conjunto solución es el intervalo para x = {-1, 1}. EJEMPLO 2 Sea la desigualdad |x| ≥ 5, hallar el conjunto solución para x.

Paso 1. Por ii) del teorema 2 tenemos que |x| ≥ 5 equivale a la pareja de desigualdades: x ≤ -5 o x ≥ 5.

Paso 2. Por lo tanto |x| ≥ 5 se satisface para los valores dentro del intervalo (-∞, -5] o del intervalo [5, ∞). Nota: El paréntesis indica una aproximación infinitesimal hacia el valor al que se aproxima, el corchete indica que el intervalo inicia o termina exactamente en el valor del extremo correspondiente. Podemos de igual forma, construir una desigualdad de valor absoluto dada alguna condición para crearla:

SITUACIÓN I

EJEMPLO 3 Hallar una desigualdad de la forma |x - b| < a cuyo conjunto solución sea el intervalo abierto (4, 8).

Paso 1. Iniciamos hallando el punto medio del intervalo por medio de la semisuma (mitad de la suma) de ambos extremos de este: m=

4+8 =6 2

Paso 2. Asumimos que la distancia entre el punto medio y uno de los extremos es d(m, 8) que analíticamente es: d = |8 - 6| = 2 Paso 3. Análogamente, para el otro extremo tenemos que d(m, 4), es decir: d = |4 - 6| = 2

Paso 4. Debido a que en la desigualdad inicial, b representa la distancia hacia el punto medio que se representa en este caso como a, tenemos que b = 6 y a = 2, por lo tanto, la desigualdad solicitada es: |x - 6| < 2 Nota: Con la finalidad de evitar confusión al consultar diversas fuentes o, como ocurre incluso en el aula, las expresiones a < b o a > b también se denominan desigualdades estrictas, mientras que las expresiones a ≤ b o a ≥ b se les denomina desigualdades no estrictas.

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El cálculo es una parte de las matemáticas que opera con las diferencias infinitamente pequeñas de las cantidades variables, es decir, se interesa en el estudio de los cuerpos que están en movimiento o en constante cambio; en otras palabras, aquellos cuerpos que son más dinámicos y menos estáticos . Por esta razón, el cálculo trata cantidades que se aproximan a otras cantidades, más pequeñas (velocidad instantánea). Un límite es una secuencia infinita de magnitudes, magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de la secuencia. Sin embargo, para crear la noción de lo que es un límite matemático, analicemos cuatro ejemplos que comúnmente trata el cálculo. Comencemos indicando a manera informal el concepto de límite: 16 - x 2 Considerando la función f (x) = cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales, excepto 4+x 0 -4. Aunque no es posible evaluar f en -4 ya que se obtiene la cantidad indefinida , f (x) puede evaluarse en 0 tabulaciones con valores cualquier número x que esté muy próximo a -4, como se muestra en las siguientes menores y mayores a -4: x

-4.1

-4.01

-4.001

-4

-3.9

-3.99

-3.999

f (x)

8.1

8.01

8.001

-

7.9

7.99

7.999

La tabla anterior muestra las aproximaciones por la izquierda y la derecha al valor límite -4, donde los valores en f (x) parecen tender a 8, es decir, cuando x se aproxima a -4, la función se acerca a 8. Por lo tanto, para poder obtener el límite, requerimos de herramientas algebraicas dependiendo de la estructura de la función. • Movimiento: estado de los cuerpos mientras cambian de lugar o posición. • Dinámica: algo es dinámico cuando existe una pertenencia a la fuerza cuando produce movimiento. • Estática: estado de los cuerpos cuando permanecen en un mismo lugar, “sin mudanza”.

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

16 - x 2 podemos observar que el numerador corresponde con una 4+x diferencia de cuadrados*, ya que ambos términos que lo forman tienen raíz cuadrada exacta, por lo tanto se puede factorizar* como una diferencia de cuadrados, la cual resulta en binomios conjugados*: Para nuestro caso particular de f (x) =

16 - x 2 (4 + x)(4 - x) = =4-x 4+x 4+x Se cancelaron un factor del numerador con el denominador al representar la misma cantidad, de manera que al aplicar el límite cuando x tiende a -4 (x → -4) tenemos: límf (x) = 4 - x = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8 x →-4 f (x) =

*La diferencia de cuadrados y los binomios conjugados corresponden a los temas de productos notables y factorización del curso previo de algebra, por lo que se recomienda tenerlos presentes o repasarlos de ser necesario. Gráficamente podemos representar el valor del límite para el par ordenado (-4, 8) con un círculo hueco en esta coordenada indicando que la recta que se obtiene no está definida en este punto: y 9 8 7 6 5 4 3 2 -x

1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

x

-y 2 Fig. 1.12 Gráfica del límite para y = 16 - x  4-x

Podemos definir de manera informal al límite de una función en un punto por medio del supuesto que L denota un número finito. El concepto de f(x) que tiende a L a medida que x tiende a un número a, puede definirse informalmente de la siguiente manera: • Si f (x) puede hacerse arbitrariamente próximo al número L al tomar x suficientemente cerca de, pero diferente de un número a, por la izquierda y por la derecha de a, entonces el límite de f (x) cuando x tiende a a es L. Por otro lado, es importante considerar la existencia o no existencia de un límite por un lado o ambos lados de una función para un valor de x que tiende a un valor a, en el entendido que, no necesariamente deba existir el límite según la siguiente descripción:

SITUACIÓN I

• La existencia de un límite de una función f cuando x tiende a a (desde un lado o de ambos) no depende de si f está definida en a, sino solo de si está definida para x cerca de a. El enunciado anterior se puede ilustrar como sigue: 16 - x 2 Supongamos que se modifica la función f (x) = de la siguiente forma: 4+x 16 - x 2 f (x) = , x ≠ -4 f (x) = 4+x 5 x = -4 Lo cual indica que para f (-4) = 5 se colocaría este punto en la gráfica original de la función, además 16 - x 2 sabemos que xlím = 8 como se observa en la gráfica siguiente, donde el par ordenado (-4, 5) se = →-4 4+x encuentra indicado en la región donde el límite no existe: y 9 8 7 6 5 4 3 2 -x

1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

x

-y 16 - x  Fig. 1.13 Gráfica del límite para y = f (x) = 4 - x ,  x ≠ -4 5      x = -4 2

En general, el límite por los dos lados xlím f (x) no existe: →a • Si alguno de los dos límites laterales, xlím f (x) o xlím f (x) no existe, o →a →a • Si xlím f (x) = L1 y xlím f (x) = L2, pero L1 ≠ L2. →a →a +

-

-

+

EJEMPLO 1 Cuando se observa el velocímetro de un automóvil y se lee que viaja a 90 kilómetros por hora, quiere decir que después de viajar durante una hora se habrán recorrido 90 kilómetros si la velocidad es constante, pero si la velocidad del automóvil varía. Entonces, ¿qué significa decir que la velocidad en un instante dado es de 90 km/h? La siguiente tabla muestra el registro del tiempo transcurrido y la distancia recorrida por el automóvil. VARIABLE FÍSICA

DATOS

t = Tiempo trasncurrido (s)

0

1

2

3

4

5

d = Tiempo trasncurrido (pies)

0

2

10

25

43

78

33

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

Paso 1. Nuestro propósito ahora es conocer la velocidad en un instante de tiempo de acuerdo a la distancia recorrida. Por lo cual nos interesa conocer la velocidad promedio (Vprom) distancia recorrida d 2 - d 1 ∆x Vprom = = = tiempo transcurrido t 2 - t 1 ∆t Paso 2. Para hallar la velocidad promedio durante el intervalo 2 ≤ t ≥ 4 se se tiene que: 43 - 10 33 pies Vprom = = = 16.5 4-2 2 s EJEMPLO 2 Paso 1. Para hallar la velocidad promedio en el intervalo de tiempo 2 ≤ t ≥ 3, nuevamente se sustituyen los valores de la tabla en la fórmula anterior: d -d Vprom = 2 1 t2 - t1 =

25 - 10 3-2

= 15

pies s

Paso 2. Para calcular la velocidad instantánea, es decir, en el instante t = 2, se toman intervalos tan cortos que inicien en t = 2. Para ello se usan intervalos de 0.1 segundos, así como se muestra en la siguiente tabla: UNIDADES FÍSICA

DATOS

t (s)

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

d (pies)

10.00

11.02

12.16

13.45

14.96

16.80

Entonces se puede calcular la velocidad promedio en el intervalo 2 ≤ t ≥ 2.1 11.02 - 10.00 Vprom = 2.1 - 2.0 pies s Las velocidades promedio sobre intervalos sucesivamente más pequeños parecen aproximarse cada vez más a un número muy cercano a 10 por lo que se espera que la velocidad en exactamente t = 2 sea alrededor pies de 10 por lo tanto, se puede definir la velocidad instantánea de un objeto en movimiento como el valor s del límite de las velocidades promedio sobre intervalos cada vez más pequeños. = 10.2

SITUACIÓN I

EJEMPLO 3 Observa en las siguientes figuras geométricas como se inscriben los polígonos en los círculos, luego determina el área del polígono inscrito en el círculo cuando este tenga un determinado número n de lados, en otras palabras, cuando n sean tan grandes como sea posible. A3

A4

A5

A6

A7

A12

Los antiguos griegos hallaron áreas aplicando el “método del agotamiento”. El método griego consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a la misma figura. Sea An el área del polígono inscrito con n lados, al aumentar n , se observa que An se aproxima cada vez el área del círculo. Se dice entonces que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos y se representa de la siguiente manera: A = x→∞ lím An

EJEMPLO 4 En el siglo V a. C. el filósofo griego Zenón de Elea propuso cuatro problemas, conocidos ahora como las paradojas de Zenón, que desafiaban algunas de las ideas referentes al espacio y al tiempo, que se sostenían en sus días. La segunda paradoja de Zenón se refiere a una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado una ventaja inicial. Zenón argumentaba que Aquiles nunca podría rebasar a la tortuga, es decir, si Aquiles arrancara en la posición a1 y la tortuga en la posición t1, cuando Aquiles llegara al punto a2 = t1, la tortuga se encontraría aún más adelante, en la posición t2. Cuando Aquiles llegara a a3 = t1, la tortuga estaría en t3. Este proceso continúa indefinidamente y, de este modo, ¡parece que la tortuga siempre estará adelante!, situación que contradice el sentido común. Una manera de explicar esta paradoja es con la idea de sucesión. Las posiciones de Aquiles son: a1, a2, a3, ... y las posiciones de la tortuga son: t1, t2, t3, ... ambas posiciones forman lo que se conoce como una sucesión. En general, una sucesión {an} es un conjunto de números escritos en un orden definido. Por ejemplo 1 1 1 1 1 an = 1, , , , ,... . Esta sucesión se puede calcular con la siguiente fórmula: an = donde n puede ser n 2 3 4 5 1 tan grande como sea posible, por lo tanto, an = se aproxima cada vez más a 0 al aumentar n. Se dice que n el límite de la sucesión es 0 y matemáticamente se representa de la manera siguiente: 1 lím =0 x→∞ n .

{

}

• Circunscribir: en Geometría se entiende como el trazo de una figura en el exterior de otra, de modo que ambas sean tangentes en el mayor número posible de puntos. • Paradoja: empleo de expresiones o frases que encierran una aparente contradicción entre sí, como: “En mira al avaro, en sus riquezas, pobre”. • Zenón: fue uno de los grandes filósofos de la escuela eleática. La realidad del movimiento, idea sostenida por los pitagóricos, lleva, según Zenón, a paradojas inevitables. Estas paradojas se conocen hoy como las “aporías de la multiplicidad y del movimiento”, y desempeñarían un papel fundamental en el desarrollo posterior de nuestras ideas sobre la naturaleza del espacio y el tiempo.”

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

EJEMPLO 5 ¿Cómo hallar la ecuación de una recta tangente t a una curva que tiene como ecuación y = f (x), en un punto P? Para hallar la ecuación de la recta tangente t se necesita dos puntos para calcular la pendiente m y para ello primero se busca una aproximación para m al tomar un punto Q de la curva y calcular la pendiente mQP de la recta secante PQ. Por lo tanto:

y

t

Q (x, f (x)) f (x) P (a, f (a)) f (x) - f (a) f (x) - f (a) f (a) mPQ = x a x-a

a

0

x

x

Imaginemos ahora que Q se mueve a lo largo de la curva hasta estar tan cerca de P como sea posible. Gráficamente se aprecia que la recta secante gira y se aproxima a la recta tangente como su posición límite. Esto significa que la pendiente mQP de la recta secante se acerca cada vez más a la pendiente m, matemáticamente se escribe de la siguiente manera:

y

t

Q

P

m = Q→P lím mPQ

a

0

x

x

Donde m es el límite de mQP cuando Q se aproxima a P en lo largo de la curva. Es decir que, x se acerca a a cuando Q se acerca P. Escrito de otra manera, se tiene que:

y

m = x→a lím

f (x) - f (a) x-a

t

y = f (x)

P

0

x

SITUACIÓN I

En resumen, los ejemplos anteriores introducen de manera intuitiva el concepto de límite. En cada caso, el tema común es el cálculo de una cantidad como el límite de otras cantidades calculadas con facilidad. Esta idea básica de límite separa al cálculo de las demás áreas de las matemáticas. De tal manera que se puede definir como la rama de las matemáticas que trata con límite. Hasta ahora se ha tratado de manera intuitiva el concepto de límite, así que para formalizar el concepto considera la siguiente situación: cuando un físico matemático desea estudiar los efectos de la presión P en las latas de alimento, comienza midiendo cuando la presión del aire es cero (conocido como vacío). Sabiendo que es imposible logar un vacío perfecto en un laboratorio, la primera idea es ir reduciendo gradualmente el valor de la presión y acercarse lo más cerca posible al vacío, en otras palabras, las mediciones del científico se acercan a un número L, por lo que puede suponerse que el valor de la presión en el vacío vale L. Si el valor buscado de la presión puede expresarse como una función en x de la presión, entonces el resultado experimental puede expresarse como: lím f (x) = L x→a El límite de una función real de variable real y con una regla de correspondencia y = f (x), cuando la variable independiente x tiende a un valor fijo a, es el valor de L hacia el cual tiende la función y se representa como: lím f (x) = L x→a Y se lee el límite de f (x) cuando x tiende a a es igual a L. En otras palabras, el límite de una función determina el valor de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto determinado, o bien, la velocidad instantánea en un momento específico. • Definición formal El límite de f (x) cuando x tiende a a es igualar L si y solo si para todo número real ∈ mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y a es menor que δ entonces se cumple que la distancia entre f (x) y L es menor que ∈. lím f (x) = L ⇔ ∨ ∃ > 0 : 0 < |x - a| < δ ⇒ |f (x) - L|L ∈ x→ a • Definición de límite por la derecha Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite f (x), conforme x tiende a a por la derecha, es L, lo que se denota por lím f (x) = L

x→a+

Si para cualquier ∈ > 0, sin importar qué tan pequeña sea, existe una δ > 0 tal que Si 0 < x - a < δ entonces |f (x) - L|L ∈ • Definición de límite por la izquierda Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (d, a). Entonces, el límite f (x), conforme x tiende a a por la izquierda, es L, lo que se denota por lím f (x) = L x→a Si para cualquier ∈ > 0, sin importar qué tan pequeña sea, existe una δ > 0 tal que Si 0 < a - x < δ entonces |f (x) - L|< ∈

37

38

PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

EJEMPLO 1 lím Para entender mejor este concepto, calculemos el límite de la función: f (x) = 2x, cuando x → 2, es decir x→2 (2x):

Paso 1. Para hallar el límite de f (x) = 2x se le asignan valores a x, de tal forma que se acerquen lo más posible a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, pero sin llegar a ser 2. Lo anterior se encuentra representado en las dos tablas siguientes: x

f (x) = 2x

x

f (x) = 2x

1.9

3.8

2.1

4.2

1.99

3.98

2.01

4.02

1.999

3.998

2.001

4.002

1.9999

3.9998

2.0001

4.0002

1.99999

3.99998

2.00001

4.00002

1.999999

3.999998

2.000001

4.000002

Paso 2. El acercamiento a x = 2 también puede hacerse de manera gráfica: y 6 4 2 -x

0

1

2

3

4

x

-y

Al tabular y graficar los valores de x, de las tablas anteriores se puede apreciar que, a medida que la x se acerca a 2 (tiende a 2) y se acerca a 4, matemáticamente se puede escribir de la siguiente manera: lím(2x) = 4 x→2

EJEMPLO 2 Para algunas funciones con características particulares, el límite se obtiene directamente de la expresión. lím (2x + 3) = lím[2(1) + 3]

x→1

x→1

= lím[2 + 3] x→1

=5 lím (2x + 3) = 5

x→1

SITUACIÓN I

En el ejemplo anterior se determinó que para calcular el límite de una función, se puede sustituir directamente el valor de x en la función; sin embargo, para su mejor estudio se establecen los siguientes teoremas de límites: Teorema 1. Si C es una constante, entonces para cualquier número a: lím (c) = c x→ a EJEMPLO: lím (3) = 3

x→10

Teorema 2. Para la función identidad: lím (x) = a

x→ a

EJEMPLO: lím (x) = -13

x→-13

Teorema 3. Si (m) y (b) son dos constantes cualesquiera, entonces: lím (mx + b) = ma + b

x→ a

EJEMPLO: lím (2x + 1) = 2(-3) + 1 = -5

x→-3

Teorema 4. Sean dos funciones (f ) y (g) cuyos límites son: lím f (x) = L y lím g (x) = M x→ a x→ a

Entonces, el límite de la suma o diferencia de estas funciones será: lím [ f (x) ± g (x)] = L ± M

x→ a

EJEMPLO: Consideremos dos funciones y sus límites:

lím (2x 2 + 1) = 2(-2) 2 + 1 = 9

x→-2

lím (-x + 1) = -(-2) + 1 = 3

Entonces:

x→-2

lím [(2x 2 + 1) + (-x + 1)] = 9 + 3 = 12

x→-2

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40

PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

Teorema 5. El límite del producto de las funciones será: [f (x) ∙ g(x)] = L1 L2 lím [f (x) ∙ g(x)] = xlím x→ a →a EJEMPLO: lím [(2x 2 + 1) (-x + 1)] = [(2(-2) 2 + 1)(-(-2) + 1)]

x→-2

= [(2(4) + 1)(2 + 1)] = [(8 + 1)(3)] = [(9)(3)] = 27

Teorema 6. El límite del cociente de las funciones será: f (x) g (x)

lím x→ a

=

L M

Con M ≠ 0 EJEMPLO: lím

x →-2

9 2x 2 + 1 = =3 -x + 1 3

Teorema 7. Si (n) es cualquier número, entonces: lím [ f (x)]n = Ln

x→ a

EJEMPLO: lím [(2x 2 + 1) 3 = 9 3 = 729

x→-2

SITUACIÓN I

LÍMITES LATERALES

Supongamos que f (x) está definida en un cierto intervalo (a, x0). Si para números x del dominio de f suficientemente próximos a x0 y menos que x0, los valores correspondientes de f (x) están tan próximos a a1 como queramos, decimos que a1 es el límite por la izquierda de f (x), cuando x tiende a x0. Lo anterior se denota mediante: lím f (x) = a1; x→x0-

x → x se lee: x tiende a x0 por la izquierda. 0

Supongamos que f (x) está definida en un cierto intervalo (x0, b). Si para números x del dominio de f suficientemente próximos a x0 y mayores que x0, los valores correspondientes de f (x) están tan próximos a a2 como queramos, decimos que a2 es el límite por la derecha de f (x), cuando x tiende a x0. Lo anterior se denota lím f (x) = a2;

x→x+0

x → x0+ se lee: x tiende a x0 por la derecha. y lím f (x) = α2 x → x0

lím f (x) = α1 x → x0

x → x0

a

b

x0

x → x0

x

lím f (x) y lím f (x) se les conoce como límites laterales. A los límites x→x x→x Es claro que: lím f (x) = α ⇔ lím f (x) = α = lím f (x). 0

+ 0

x→x0

x→x+0

x→x0-

y y = f (x) a

a

x0

b

x

Este resultado se usa frecuentemente para probar la no existencia de un límite.

41

42

PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

En algunos casos al reemplazar x por un número determinado a la función f (x) adopta algunas ve0 ∞ ces las formas o de expresiones que como no representan ningún valor real se les llama a cada una ­indeterminada.0 ∞

Sea f (x) una función definida de ambos lados de a, excepto de a, se dice que: 1. xlím f (x) = ∞, significa que los valores de f (x) pueden hacerse arbitrariamente grandes cuando x está →a muy cerca de a, pero siempre diferente de a y se lee: el límite de f (x) cuando x tiende a a es infinito. 2. xlím f (x) = -∞, significa que f (x) es muy pequeño (valores negativos), cuando x está muy cerca de a, →a pero sin ser a y se lee: el límite de f (x) cuando x tiende a a es menos infinito. En el ejemplo de los aviones se puede considerar al eje y como una asíntota. Una recta que tiene como ecuación x = a, se llama asíntota vertical de la curva y = f (x) si cumple al menos una de las siguientes afirmaciones: a. xlím f (x) = ∞ d. xlím f (x) = -∞ →a →a b. lím f (x) = ∞ e. lím f (x) = -∞ x→a-

x→a-

lím f (x) = -∞ c. x→a

lím f (x) = ∞ f. x→a

+

+

En el ejemplo de la simulación o control automático de los dos aviones militares cuando x → 0, el límite es ∞, si se cumplen las siguientes condiciones: 6 lím 2 = ∞ a. x→x x 6 lím 2 = ∞ b. x→x x 6 Por lo tanto: lím 2 = ∞ x→x x • Definición del límite izquierdo lím f (x) = L + 0

0

0

x→a-

Si para todo número ε > 0 existe un número correspondiente δ < 0 tal que |f (x) - L| < ε siempre que a < δ < x < a. • Definición del límite derecho lím f (x) = L x → a+

Si para todo número ε > 0 existe un número correspondiente δ > 0 tal que |f (x) - L| < ε siempre que a < x < a < δ. EJEMPLO 1 Los campos magnéticos son de mucha aplicación en los aparatos eléctricos, se sabe que dos polos de igual carga se repelen y de carga contraria se atraen, los aparatos de telecomunicaciones combinan los campos eléctricos con los magnéticos para su funcionamiento, con base en el principio de carga, muchos usan cargas idénticas que son forzadas a acercarse para que la fuerza de repulsión sea mayor. El comportamiento 1 variacional de este fenómeno se calcula con la función f (x) = . 1-x 1 lím ¿Cuál es el x→1 ? 1-x

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SITUACIÓN I

Paso 1. Al trazar la gráfica de f (x) se obtiene lo siguiente: y

5 4 3 2

Carga forzada

1 -5

-4

-3

Carga forzada

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Gráficamente se puede apreciar que el dominio de la función son todos los números reales, excepto cuando x = 1, porque cuando x → 1 la gráfica tiende al infinito, en otras palabras existe una asíntota. 1 1 Paso 2. Gráficamente se puede observar que lím = ∞ en este caso decimos que lím = -∞ x→1 1 - x x→1 1 - x no existe.

1 = ∞ no existe, se tiene que existen los límites laterales y se cumplen algunas 1-x de las condiciones para que exista la asíntota. lím y Recordemos que cuando tenemos la expresión matemática lím, esta puede tener dos vertientes: x→1 x→1 lím , es decir, los límites por la derecha e izquierda respectivamente. x→1 Por otro lado, al calcular límites muchas veces sustituimos el valor de x directamente en la función, pero si hacemos eso en el siguiente caso se puede obtener lo siguiente: Paso 3. Aunque el lím x→1

+

-

lím

x→ 2

x2 - 4 (2) 2 - 4 0 = = = Indeterminado x-2 (2) - 2 0

Como se podrá apreciar, si se sustituye directamente el valor de x la función se indetermina, pero si se factoriza el binomio al cuadrado como dos binomios conjugados, se puede evitar la indeterminación: lím

x→ 2

x2 - 4 →(x - 2)(x + 2) = lím x→ 2 x-2 x-2 = lím(x + 2) x→2

= (2) + (2) =4 Si la función se factoriza, se simplifica y luego se sustituye el valor de x, es probable que se pueda evitar la indeterminación.

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

EJEMPLO 2 x -1 Calcular el lím = x → 1 √x - 1 Sustituyendo de manera directa se tiene que: x -1 1 -1 0 lím = = Indeterminado. x → 1 √x - 1 √1 - 1 0 Una estrategia de solución para evitar la indeterminación es la siguiente: Paso 1. Multiplicar la expresión por el conjugado del denominador, así: conjugado

x -1 x-1 Paso 2. Simplificar la expresión: Paso 3. Sustituir el valor de x:

√x + 1 (x - 1)(√x + 1) = √x + 1 x-1

(x - 1)(√x + 1) = (√x + 1) x-1 lím

x→ 1

x -1 = lím √x + 1 √x - 1 x → 1 = √1 + 1 = 1 +1 =2

De esta manera, nuevamente se puede evitar la indeterminación. Para resolver problemas que impliquen límites, podemos utilizar la información del siguiente diagrama de flujo. LÍMITES

Al infinito Cuando x→∞ x → -∞ 1. Evaluar a x tan grande como sea posible y determinar el valor al cual tiende la función. 2. Verificar si el signo de (∞) es positivo o negativo para determinar el conjunto numérico con el que se trabajará.

Evitables Infinitos Cuando f (x) → ∞ f (x) → -∞ 1. Determinar si el valor crece en sentido positivo o negativo. 2. Determinar la ecuación de la asíntota vertical, usualmente x = a, donde a es el valor para el cual f (x) no existe.

1. Factorizar y simplificar. 2. Racionalizar con el conjugado. 3. Expresar siempre de manera simple y aplicar los teoremas de límites.

SITUACIÓN I

NOCIÓN INTUITIVA DE CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Gracias a los teoremas de límites se puede definir la continuidad o discontinuidad de una función. La palabra continuidad, en el lenguaje cotidiano, está íntimamente ligada a un proceso continuo sin interrupción ni cambio abrupto alguno. En otras palabras, una función continua es aquella que se puede trazar de forma gráfica sin despegar el lápiz del papel. Matemáticamente se tiene por definición que una función f es continua en un número a si xlím f (x) = f (a). →a Si f no es continua en a, entonces se dice que f es discontinua en a o que f tiene una discontinuidad en a. Pero para que una función sea continua deben cumplirse las siguientes condiciones: 1. f (a) está definido, es decir que existe. 2. xlím f (x) existe, de modo que f está definida en un intervalo abierto que →a contiene a a.

3. Si alguna condición no se cumple en a entonces, se dice que f (x) es discontinua en a. lím f (x) = f (a) x→ a En general, supóngase que f (x) es una función discontinua en el número a para la cual xlím f (x) existe, →a entonces f (a) no existe, es decir, xlím f (x) ≠ f (a) →a Recordemos que en una función f (x) existe un límite si: xlím f (x) = lím f (x) →a x→ a Por lo tanto, el límite existirá si es el mismo valor al evaluar la función por la derecha o por la izquierda. +

-

EJEMPLO 1 El Sr. Mario Cabrera repara bicicletas y el servicio más demandado en su taller es el de cambiar los balines de los rines. Si el número de balines cambiados es menor o igual a 10, el costo por balín es de $2.00; y si el número de balines es mayor a 10, entonces el costo por balín cambiado será de $1.80 ¿Cómo se puede representar gráficamente la situación problema o contexto del Sr. Mario? Las condiciones se traducen así: C = 2x, si 0 < x ≤ 10 C = 1.8x, si x > 10 Gráficamente se tiene: y

30 25 20 15 10 5 0

2

4

6

8

10 12 14

16 x

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46

PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

Observa que la gráfica se rompe cuando x = 10 Gráficamente se observa que al acercarse a x = 10 por la derecha C(x) tiende a 18, es decir; lím C(x) = 18 x→10 Gráficamente se observa que: lím C(x) = 20 x→10 Por lo tanto: lím C(x) = 20, +

-

x→10-

lím C(x) = 18,

Entonces: lím C(x) ≠ lím C(x) x→10-

x→10+

x→10+

lím C(x) NO EXISTE

x→10

La gráfica de esta situación es un caso particular de una función discontinua. EJEMPLO 2 La siguiente gráfica muestra el ritmo cardiaco de un atleta después de realizar su rutina de ejercicios previos a la carrera.

La gráfica muestra un caso en particular de una función continua.

CRITERIOS DE CONTINUIDAD Teorema 1: La función polinómica es continua en todo número ∈ R. EJEMPLO Sea el polinomio 2x 3 + 5x 2 - 9x + 2, al asignar cualquier valor de x, se obtiene un valor real y por lo tanto representa una función continua. Teorema 2: Una función racional es continua en todo número de su dominio. En este caso la excepción es para aquellos valores que den como resultado cero en el denominador. EJEMPLO

3 , se observa que dicha función no es continua para los valores x = 1 y (x - 1)(x - 5) x = 5 ya que el denominador da por resultado cero, por lo que el dominio de la función es x ∈ R -{1, 5}. Sea la función f (x) =

n

Teorema 3: Si n ∈ Z+ y f (x) = x , entonces Si n es impar, f es continua en todo número.

EJEMPLO 3 Sea la función f (x) = -8 = -2 5 Sea la función f (x) = √1024 = 4 Si n es par, f es continua en todo número positivo.

SITUACIÓN I

EJEMPLO Sea la función f (x) = ±√64 = ±8 4 Sea la función f (x) = ±√625 = ±5 Con anterioridad se vio que el valor funcional f (a) no determina la existencia de xlím f (x), y posterior→a mente observamos que los límites x → a cuando de funciones polinomiales y ciertas funciones racionales pueden encontrarse simplemente al evaluar la función en x = a. La razón por la cual se puede hacer lo anterior en algunas instancias es el hecho de que la función es continua en un número a. Ahora veremos que tanto el valor de f (a) como el límite de f cuando x tiende a un número a desempeñan papeles primordiales al definir el concepto de continuidad. Previamente a su definición, se observan a continuación gráficas intuitivas de funciones que no son continuas en a: a.

y

b.

y

c.

x

y

x

d.

x

y

x

Donde: a. xlím f (x)  no existe y f (a) no está definida. →a

b. xlím f (x)  no existe pero f (a) está definida. →a

c. xlím f (x)  existe pero f (a) no está definida. →a

d. xlím f (x)  existe y f (a) está definida pero xlím f (x) ≠ f (a). →a →a

Las gráficas anteriores sugieren la condición tripartita de continuidad de una función f en un número a mencionada con anticipación, es decir: Se dice que una función f es continua en un número a si: i) f (a) está definida ii) xlím f (x) existe →a iii) xlím f (x) = f (a) →a

Además, se estableció que de no cumplirse alguna de las condiciones anteriores, se dice que f es discontinua en el número a. Para ilustrar estas condiciones, se emplean los siguientes ejemplos para determinar su continuidad cuando x = 1: EJEMPLO 1 f (x ) =

x3 - 1 x -1

Por inspección podemos determinar que la función es discontinua en 1 puesto que al sustituir x = 1 en la función se obtiene 0/0. Se afirma entonces que f (1) no está definida, de modo que no cumple con la condición de continuidad i).

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

Su gráfica es: y

y = f (x) 3

-x

x

1 -y

EJEMPLO 2 g (x) =

x3 - 1   x ≠ 1 x -1 2    x = 1

Debido a que g está definida en 1, es decir g (1) = 2, a continuación se determina si límg (x) existe: x3 - 1 (x - 1)(x 2 + x + 1) lím = lím = lím(x 2 + x + 1) = 3 x→ 1 x - 1 x→ 1 x→ 1 x-1

x→1

Observa que en el numerador se aplicó la factorización de una diferencia de cubos, que corresponde a temas del algebra “productos notables y factorización”. Concluimos que lim g(x) existe y es igual a 3, pero como este valor no es el mismo que g(1) = 2, no se cumple la condición ii), y la función es discontinua en 1. Su gráfica es: y

y = g (x) 3 2

-x

1 -y

x

SITUACIÓN I

EJEMPLO 3 h (x) =

x3 - 1   x ≠ 1 x -1 3    x = 1

Primero h(1) = 3, luego h(x) = 3, como ocurre en el ejemplo anterior. x3 - 1 También se observó que lím = 3, por lo tanto se cumplen las tres condiciones de continuidad de x→1 x - 1 una función y la función h es continua en 1. Su grafica es: y

y = h(x) 3

-x

1

x

-y

ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN ACTIVIDAD 1 INSTRUCCIONES: En parejas, realicen lo siguiente. 1. Lean la siguiente situación: ¿Cuántas decisiones han tomado hoy? Si piensan que pocas, revisen de nuevo. Desde elegir qué ponernos de ropa, la hora en que nos levantamos, si desayunamos o no, si tomamos un camino u otro; todo el tiempo estamos decidiendo. Por lo general, no vemos más de una alternativa para enfrentar cada situación. ¿Qué pasaría si pudiéramos abrir nuestra perspectiva y encontrar otros caminos para resolver lo que nos pasa, tomando en cuenta las consecuencias y transformando nuestro entorno? El reto es analizar alternativas factibles y creativas para actuar frente a diversas situaciones de su vida cotidiana, considerando las características de las posibles consecuencias. Analicen el siguiente caso: Pedro y María debaten sobre la decisión de a quién dedicar la ofrenda para la exposición de disciplina de Pensamiento Matemático V, en la Situación I. Pedro propone que se dedique a un matemático, mientras que María comenta que se dedique a un personaje prehispánico. Ambos sustentan sus propuestas con buenos argumentos. Ustedes, ¿a quién apoyarían? Cada uno tome el papel de los personajes, y comenten las razones de su decisión.

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

2. Anoten a continuación los motivos por los que apoyarían las alternativas de Pedro y María. PROPUESTA PEDRO

PROPUESTA MARÍA

3. Ahora bien, de forma individual, piensen en una decisión que tomarán después de haber concluido el bachillerato, identifiquen al menos dos alternativas y anótelas en los espacios a continuación: DECISIÓN

ALTERNATIVA 1

ALTERNATIVA 2

4. Elijan una de las alternativas y argumenten por qué les pareció la mejor. ALTERNATIVA SELECCIONADA

ARGUMENTO DE LA ELECCIÓN

SITUACIÓN I

5. Compartan sus respuestas con su pareja. 6. Finalmente, lean juntos lo siguiente:

Reafirmo y ordeno: el hecho de que una alternativa sea más atractiva que las otras opciones disponibles para decidir, favorece su selección, sin embargo, solo incrementará las posibilidades de tomar una decisión responsable cuando además de los intereses, gustos y necesidades, lo que nos atrae de ella sea la posibilidad de que después de elegir obtengamos un beneficio personal y colectivo, que resuelva un problema o aporte a nuestro desarrollo.

ACTIVIDAD 2 INSTRUCCIONES: Organizados en equipos, realicen lo siguiente. 1. En equipos de al menos cuatro estudiantes, elijan un sitio en su plantel donde puedan colocar una ofrenda. 2. Lleven una cuerda de 7m de longitud y con ella delimiten una superficie que cumpla con las tres condiciones listadas en la Situación de Aprendizaje.

pared

3. Luego, discutan los siguientes planteamientos y expongan sus conclusiones al grupo. a. ¿Cómo saben que la superficie encerrada es un rectángulo? b. ¿Cómo comprueban que los ángulos construidos con la cuerda son rectos?

ACTIVIDAD 3

INSTRUCCIONES: Organizados en equipos, realicen lo siguiente. 1. En el pizarrón completen una tabla como la siguiente, donde cada equipo anote la medida de los lados de los rectángulos que construyeron y el área de las superficies encerradas. ANCHO

LARGO

ÁREA

largo y x ancho

x ancho pared

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

2. De manera grupal, comparen las medidas y el área de los rectángulos que construyeron sus compañeros de clase. Después, de manera individual, respondan lo siguiente: a. ¿Algún equipo construyó el rectángulo con el área más grande? ¿Por qué?

b. ¿Algún equipo empleó longitudes no enteras para construir su rectángulo? ¿Cuáles?

3. Finalmente, propongan medidas de anchura y longitud de un rectángulo, que pueda construir con la cuerda de 7 m como se hizo en la actividad anterior, cuya área sea mayor que la de los rectángulos que construyeron.

ACTIVIDADES DE COMPRENSIÓN ACTIVIDAD 1 INSTRUCCIONES: De manera individual, realiza lo siguiente. 1. Retomando lo hecho en las actividades de recuperación, expresa algebraicamente la sección del perímetro del rectángulo conformada por la cuerda. 2. Construye la ecuación que relaciona la longitud de la cuerda con la expresión algebraica obtenida anteriormente. 3. Con esta ecuación, plantea una forma de calcular la longitud del segmento y en términos de x. 4. Emplea esta ecuación para comprobar que, la medida del largo de cada rectángulo que anotaron en la tabla de la Actividad 3 de recuperación, se obtiene a partir de la medida del ancho del mismo ­rectángulo. 5. Luego, responde las preguntas siguientes y explique sus respuestas: • ¿Es posible que a una medida del ancho le correspondan dos medidas del largo? • ¿Existen dos rectángulos que tengan la misma medida del largo con medidas de ancho distintas? • ¿Es posible trazar un rectángulo como los de la Actividad 3 que tenga 4m de ancho? ¿Por qué? • ¿Entre qué números reales puede tomar valor la variable x? ¿En qué intervalo de números reales se encuentra la variable y? 6. Todo lo anterior deberán elaborarlo en hojas blancas y entregarlo al profesor para que sea evaluado.

SITUACIÓN I

ACTIVIDAD 2 INSTRUCCIONES: De manera individual, realiza lo siguiente. 1. Define la siguiente relación: • A cada ancho “x” le corresponde uno y solamente un largo “y = f (x)”. ¿Esta relación de correspondencia es una función? ¿Por qué? 2. Utiliza el dominio de esta función f (x) para hallar el rango de la misma. Enseguida completa la tabla siguiente para algunos valores de “x”. x

f (x)

3. Construye la gráfica de esta función. ¿Cómo se puede interpretar la gráfica de la función en términos comunes?

ELABORA AQUÍ TU GRÁFICA

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

4. Ahora, explica si las relaciones de correspondencia siguientes definen una función: • El uso del sanitario “x” con las descargas de agua “y”.

• La ingesta de refrescos de cola “x” con la azúcar dañina para el cuerpo “y”.

• La deforestación de bosques “x” con la cantidad de árboles vivos “y”.

• Una persona “x” con la cantidad de parejas que tiene “y”.

5. Finalmente, responde lo siguiente: • ¿En qué otros ámbitos cotidianos se presentan relaciones de correspondencia que definen ­funciones?

6. Muestra tus respuestas al profesor.

ACTIVIDAD 3

INSTRUCCIONES: De manera individual, realiza lo siguiente. 1. Recuperando lo hecho en las actividades de recuperación, expresa algebraicamente el área del rectángulo con ancho x y largo y delimitado con la cuerda.

SITUACIÓN I

2. Emplea la expresión algebraica anterior y la función f (x) = 7 - 2x, de la actividad anterior, para expresar la relación de correspondencia siguiente: • El ancho x del rectángulo con el área del mismo. Llame a esta relación g (x). ¿Es esta relación una función? ¿Por qué? 3. Usa algunos valores del dominio de g (x) para completar la tabla siguiente y hacer la gráfica de g (x). x

f (x)

ELABORA AQUÍ TU GRÁFICA

4. ¿Cómo se puede interpretar la gráfica de g (x) en términos comunes? Responda las preguntas ­siguientes: • ¿Qué forma geométrica tiene la gráfica de g (x)?

• ¿Alguno de los rectángulos que trazaron en la Actividad 2 de recuperación tuvo el área más grande según lo muestra la gráfica? ¿Por qué?

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

ACTIVIDADES DE ANÁLISIS ACTIVIDAD 1 INSTRUCCIONES: Organizados en equipos, realicen lo siguiente. 1. Recuperando lo hecho en las actividades de recuperación y de comprensión, expliquen en cuál intervalo de números reales creen que se encuentra el valor de “x” que determina el rectángulo con el área más grande. 2. Asimismo, discutan cómo podrían determinar, utilizando la gráfica, a qué valor de x le corresponde el rectángulo con el área más grande. Básense en el siguiente cuestionamiento: • ¿Será necesario usar valores no enteros de “x” para hallar el rectángulo con el área más grande? 3. Presenten sus respuestas al profesor en hojas blancas.

ACTIVIDAD 2

INSTRUCCIONES: De manera individual, realiza lo siguiente. 1. Recuperando lo hecho en las actividades de recuperación y de comprensión, halla el valor del límite de “g (x)” cuando “x” se aproxima al número que proporciona el área más grande que se puede encerrar con la cuerda y la pared. 2. Desarrolla tu respuesta en el siguiente espacio:

ELABORA AQUÍ TUS OPERACIONES

SITUACIÓN I

PRODUCTO ESPERADO

ACTIVIDAD 3

INSTRUCCIONES: Organizados en equipos, realicen lo siguiente. 1. Redacten el procedimiento matemático y empírico utilizado para construir el rectángulo con las características solicitadas en la situación de aprendizaje. 2. Hagan un croquis del rectángulo construido donde se observe la pared que emplearon para la delimitación de la superficie donde se colocará la ofrenda de día de muertos. 3. Sustenten su redacción con evidencias fotográficas. Después pueden compartir evidencias de su trabajo en redes sociales con el hashtag #MatemáticasPuebla. 4. Con este hashtag podrán observar los trabajos de otros bachilleratos del Estado de Puebla. Se les invita a participar emitiendo su opinión acerca de los demás productos.

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PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

EVALUACIÓN SUMATIVA INSTRUCCIONES: Pon a prueba tus nuevos conocimientos y responde las siguientes preguntas. 1. Sea f (x) = x 3 + 3, el valor de es f (4): a. 15 b. 64 c. 67 d. 201 2. La función f (x) = x 5 se clasifica como: a. Polinomial b. Irracional c. Racional d. Exponencial 3. El valor de x en la desigualdad 5x - 0 ≥ 0 es: c. x ≤ 3 a. x ≥ 8 5 d. x ≤ -3 5 b. x ≥ 8 4. Observa la siguiente gráfica y con base en ella indica el tipo de función a la que corresponde: y

y = f (x) -x

x

-y

a. Lineal b. Cuadrática c. Cúbica d. Logarítmica

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SITUACIÓN I

5. El dominio de la función f (x) = √25 - x 2 , está indicado CORRECTAMENTE en el inciso: a. x = 5 b. (-5, 5) c. [-5, 5] d. -5 x 2 - 2x + 6 6. El dominio de la función f (x) = es: x 2 - 36 a. R -{6} b. R -{-6, 6} c. R d. (-∞, ∞) x2 - 1 7. Hallar lím : x→1 x - 1 a. 2 b. 3 c. 4 d. 5

8. Hallar lím f (x), donde f (x) x + 3,  x < 0 : x→x -x + 3,  x ≥ 0 a. 1 b. 2 c. 3 d. 5 0

9. ¿Cuál de las siguientes gráficas cumple con la discontinuidad descrita por: lím f (x) existe pero f (a) no está definida

x→ a a.

y

y

a.

x

a.

b.

y

y

a.

x

y

b.

x

c.

y

y

a.

y

b.

x

b.

10. Sea , hallar los valores de x que la satisfacen: a. (6, -2) 4 b. 2, 3 4 c. 2, 3 4 d. -2, 3

x

y

c.

x

y

d.

x

y

b.

x

c.

y

c.

x

y

d.

x

y

c.

x

x

y

d.

x

y

d.

x

d.

x

x

60

PENSAMIENTO MATEMÁTICO V

EVALUACIÓN DE LAS COMPETENCIAS PROFESIONALES DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE CURRICULAR I ATRIBUTO

BÁSICO

INTERMEDIO

AVANZADO

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Expresa pocas ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o ­gráficas.

Expresa algunas ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o ­gráficas.

Expresa diversas ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, identificando los conceptos y evaluación de funciones, así como la noción intuitiva de límite, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la ­comunicación.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, aplicando los conceptos y evaluación de funciones, así como la noción intuitiva de límite, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, valorando la utilidad los conceptos y evaluación de funciones, así como la noción intuitiva de límite, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la ­comunicación.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo ­rodean.

Sigue pocas instrucciones y procedimientos, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un ­objetivo.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las medidas de una figura cuya superficie encerrada por sus lados sea mayor y así reconocer las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Sigue algunas instrucciones y procedimientos, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las medidas de una figura cuya superficie encerrada por sus lados sea mayor y así emplear las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las medidas de una figura cuya superficie encerrada por sus lados sea mayor y así justificar la utilidad de las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.