MATEMÁTICA II - 17

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ANÁLISE COMBINATÓRIA PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM(PFC)

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PRINCÍPIOS BÁSICOS Existem dois princípios que servirão de suporte para toda teoria que será desenvolvida aqui. São os princípios aditivo e multiplicativo, como veremos a seguir.

Princípio aditivo Considere a seguinte situação: João interessou-se em assistir a 3 filmes e 2 peças de teatro que estão em cartaz, no entanto, só tem condições de custear um único evento. De quantas maneiras João poderá escolher um programa para fazer?

No exemplo anterior podemos identificar os conjuntos: • • •

A = {x | x é um filme} = {F1, F2, F3}

B = {y | y é uma peça de teatro} = {P1, P2}

A ∪ B = {z | tal que z é um filme ou uma peça}

Princípio multiplicativo Considere a seguinte situação: João interessou-se em assistir a 3 filmes e 2 peças de teatro que estão em cartaz, tendo condições de custear um filme e uma peça de teatro. De quantas maneiras João poderá fazer uma programação, escolhendo um filme e uma peça para assistir? Resolução: Vamos enumerar as possibilidades: Filme Filme Filme Filme Filme Filme

(Disponível em: https://www.kp40.ru/news/society/20196/. Acesso em: outubro de 2016)

Resolução: Se ele tem dinheiro para assistir apenas a um evento, então ou ele assiste ao Filme 1, ou ao Filme 2, ou ao Filme 3, ou à Peça 1, ou à Peça 2. Ao todo, serão cinco programas distintos. O que nós acabamos de usar é um princípio muito importante nos métodos de contagem, chamado de Princípio Aditivo. De uma maneira geral, podemos enunciar o princípio aditivo da seguinte forma: •

Princípio aditivo: se A e B são dois conjuntos disjuntos (A ∩ B = ø) com, respectivamente, p e q elementos, então A ∪ B possui:

1 1 2 2 3 3

e e e e e e

Peça Peça Peça Peça Peça Peça

1 2 1 2 1 2

Portanto, João poderá escolher dentre 6 programas diferentes, se optar por assistir a um filme e a uma peça. Note que, para cada filme escolhido, existem duas possibilidades de escolha para a peça de teatro. Como são três possibilidades de filme, temos um total de 3 . 2 = 6 maneiras de fazer uma programação. O que nós acabamos de usar é um princípio muito importante nos métodos de contagem, chamado de Princípio Multiplicativo. De um modo geral, podemos enunciar o princípio multiplicativo da seguinte forma: •

Princípio multiplicativo: se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se, para cada uma dessas m maneiras possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m . n.

p + q elementos

PROENEM

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ANÁLISE COMBINATÓRIA - PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)

O princípio da exclusão Considere o seguinte exemplo: (UFRJ) Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez? Resolução: Resolver esse problema de forma direta seria muito trabalhoso. Pois pensar que o algarismo 2 deve aparecer pelo menos uma vez, significa que ele pode aparecer uma vez, duas vezes, três vezes ou quatro vezes. Logo teríamos que calcular todos esses casos, o que seria muito trabalhoso. Note que, se queremos que o algarismo 2 apareça pelo menos uma vez, a única situação que não queremos é o caso onde ele não aparece. E é trabalhando com essa ideia que resolveremos o problema de forma mais simples. Calcularemos o total de casos que existem e excluímos os casos que não nos interessam. Daí ficamos apenas com os casos que nos interessam. Primeiramente vamos calcular quantos números de 4 algarismos existem (com ou sem o algarismo 2). 9 . 10 . 10 . 10 = 9.000 Vamos agora calcular quantos números de 4 algarismos existem onde não aparece o algarismo 2. 8 . 9 . 9 . 9 = 5.832

Logo, existem 3.168 números de quatro algarismos onde o algarismo 2 aparece pelo menos uma vez. Esse método onde calculamos o total de casos possíveis e excluímos os casos que não nos interessa, é chamado de princípio da exclusão.

O princípio das gavetas de Dirichlet Considere o seguinte exemplo: Qual é o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que entre elas há duas que fazem aniversário no mesmo mês? Resolução: A resposta é 13. Se houvesse apenas 12 pessoas, seria possível que cada uma delas fizesse aniversário em um mês diferente, já que o ano possui 12 meses. Com 13 pessoas, há, necessariamente, pelo menos um mês com mais de um aniversariante (se houvesse, no máximo, um aniversário por mês, o número de pessoas presentes seria, no máximo, 12). O argumento empregado acima é conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet ou Princípio das Casas do Pombos. Um possível enunciado para este princípio é o seguinte: Se n objetos forem colocados em, no máximo, (n – 1) gavetas, então pelo menos uma delas conterá, pelo menos, dois objetos.

Agora fazemos a diferença. 9.000 – 5.832 = 3.168

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Acesse os códigos de cada questão para ver o gabarito

QUESTÃO 01 Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela abaixo. Grupos Taxonômicos

a)

1320  

b)

2090 

c)

5845 

Artiodáctilos

4

Carnívoros

18

d)

6600 

Cetáceos

2

e)

7245

Quirópteros

103

Lagomorfos

1

Marsupiais

16

Perissodáctilos

1

Primatas

20

Roedores

33

Sirênios

1

Edentados

10

Total

60

Número de espécies

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos — uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a:

209

QUESTÃO 02 O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe abaixo um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras.

MATEMÁTICA II

Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001.

a)

928

b)

1152  

c)

1828  

d)

2412  

e)

3456

QUESTÃO 05

Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 10001101011101011010. No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima.

As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é:

Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderandose todas as barras claras ou todas as escuras, é: a)

14 

b)

12 

c)

8 

d)

6

e)

4

a)

PROVA

b)

VAPOR 

c)

RAPOV 

d)

ROVAP 

e)

RAOPV

QUESTÃO 06 Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números 1 a 4, com 1 e 2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme o esquema.

QUESTÃO 03 Uma secretária possui 6 camisas, 4 saias e 3 pares de sapatos. O número de maneiras distintas com que a secretária poderá se arrumar usando 1 camisa, 1 saia e 1 par de sapatos corresponde a: a)

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O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é:

b)

126  

a)

4

c)

72  

b)

6

d)

54

c)

8

e)

84

d)

12

e)

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QUESTÃO 04 Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso:

QUESTÃO 07

1.

a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;

O número de maneiras que 3 pessoas podem sentar-se em uma fileira de 6 cadeiras vazias de modo que, entre duas pessoas próximas (seguidas), sempre tenha exatamente uma cadeira vazia, é:

2.

Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.

a)

3

d)

12

b)

6

e)

15

c)

9

Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros na lotação é igual a:

PROENEM

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ANÁLISE COMBINATÓRIA - PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)

QUESTÃO 08 A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por:

QUESTÃO 09 Considere a identificação das placas de veículos, compostas de três letras seguidas de 4 dígitos. Sendo o alfabeto constituído de 26 letras, o número de placas possíveis de serem combinações possíveis de 3 letras seguidas de 4 dígitos, é: a) 3120 

d) 156000000 

b) 78624000

e) 175760000

c) 88586040  O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é: a) 12

QUESTÃO 10 Considere todos os números de 3 algarismos formados com os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9. Dentre eles, a quantidade de números pares com exatamente 2 algarismos iguais é:

b) 31 c) 36 d) 63 e) 720

a) 17  

d) 22  

b) 18  

e) 24

c) 15  

ANOTAÇÕES

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