MATEMATICA I - 30

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30

GEOMETRIA ANALÍTICA – INTRODUÇÃO

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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Situação 1 C

3 2 1 A 0 -1 -2

01. Determine a distância entre os pontos A(-1,4) e B(3,7). SOLUÇÃO:

5 4

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1

2

B 3

4

5

6

7

D

Você saberia responder qual é a distância entre os pontos A e B? E entre os pontos C e D? É possível observar que a distância de A e B são de 4 unidades, que seria o comprimento no segmento AB. Tal distância pode ser calculada como o módulo da diferença entre as abscissas de A e B, isto é, AB = | 6 - 2 | ou AB = | 2 - 6 |, ou simplesmente, a abscissa maior menos a menor, AB = 6 - 2 = 4. De maneiro análoga, a distância entre os pontos C e D, pode ser calculada da seguinte maneira: CD = | 4 - (- 2) | = 6 Para calcularmos a distância entre os pontos A e B  basta calcular o módulo do vetor AB ou simplesmente ter a visão analítica e fazer a distância entre dois pontos. Situação 2 Para calcular tal distância entre A e B, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Veja abaixo:

Utilizando vetores podemos determinar o vetor e calcular o seu módulo.  AB = B - A = [3 - (-1), 7 - 4 ]  AB = (4,3)  = a2 + b2 AB  = 42 + 32 AB  AB = 25  AB = 5 Logo, a distância entre os pontos A e B é igual a 5. Ou simplesmente podemos utilizar a relação: d=

(xB − x A )2 + (yB − y A )2

= d

(3 − ( −1))2 + (7 − 4)2

= d = d

(4)2 + (3)2 = 25 5

DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM UMA RAZÃO DADA Se um ponto C pertence a um segmento AB e C é distinto de A e de B, dizemos que C divide o segmento AB na razão

AC . CB

Assim, podemos dizer que a distância entre qualquer dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) é dado por: d2 = (xB − x A )2 + (yB − y A )2 d=

(xB − x A )2 + (yB − y A )2

PROENEM

49

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GEOMETRIA ANALÍTICA – INTRODUÇÃO

Supondo que AB não é paralelo ao eixo Ox, sendo Xa, Xc e Xb as abscissas de A, C e B, respectivamente, e Ya, Yc, Yb as ordenadas de A, C e B, respectivamente, temos pela semelhança dos triângulos TAC e RCB que: = xc

y a − yb xa − xc = e yc xc − xb y c − yb

M − A =B − M

G=

A +B +C 3 (2, 5 ) + ( −1, 0 ) + (5, − 2 )

(6, 3 ) G=

3

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE 3 PONTOS

2M= A + B

A +B 2

Assim, podemos dizer que para qualquer dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), o ponto médio M(xM, yM) do segmento AB é dado por: x A + xB y A + yB = e yM 2 2

Os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) estarão alinhados se, e somente se: xA y A 1 xB yB 1 = 0 xC y C 1

Área do Triângulo

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01.  Achar as coordenadas do ponto médio do segmento AB , sendo A(2, 5) e B(4,-3). SOLUÇÃO: A +B M = →M = 2 M = ( 3, 1)

SOLUÇÃO:

3 G = ( 2, 1)

  AM = MB

= xM

01. Determine o baricentro do triângulo A (2, 5) , B (–1, 0) e C (5, –2).

G=

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

M=

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Caso três pontos não estejam alinhados, com certeza estarão formando um triângulo cuja área pode ser calculada por:

(2, 5 ) + ( 4, − 3=) (6, 2 ) 2

2

BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Baricentro é o ponto de encontro das medianas de um triângulo.

ÁLGEBRA LINEAR Segmento Orientado O segmento de reta orientado de origem em  A e extremidade em B, será representado por AB e geometricamente representado por:

  AG = 2GN G − A = 2(N − G) B+C G − A = 2N − 2G, onde N = 2 3G= A + 2N 3G = A + B + C A +B +C G= 3 Assim, podemos dizer que para qualquer três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) vértices de um triângulo, o baricentro G(xG, yG) desse triângulo é dado por:

= xG

50

x A + xB + xC y A + yB + y C = e yG 3 3

Caracterizado pelo sentido do segmento. A distância de A até B (comprimento do segmento) é chamado  de módulo do segmento orientado e representado por | AB |.  A direção de AB é a direção dareta suporte  do  segmento, e o seu sentido é representado pela flecha ( AB , de A para B).

Segmentos orientados equipolentes Se dois ou mais segmentos orientados têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, serão ditos segmentos equipolentes.

MATEMÁTICA I Vetor

  Vetor v determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientadosdo espaço  que são equipolentes ao segmento AB .

Analogamente, tudo que foi visto acima vale para o 3.

  Logo, podemos afirmar que AB é o vetor v aplicado   em A, CD é o vetor v aplicado em C etc.    = v AB = CD = 

Componentes de um vetor no plano (2)

Módulo (Norma) de um vetor O módulo ou norma de um vetor, como vimos anteriormente, é o comprimento do segmento orientado que representa o vetor.   Se u = (a, b) então | u | = a2 + b2

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Determine o módulo do vetor = (3, 2). SOLUÇÃO:  = |u| a2 + b2  = |u| 32 + 22  | u | = 13 

Logo, se = |u|

  v = AB = B − A = (xb − xa , yb − y a )

Exemplo:

  A(3,-1) e B(0,3), se v = AB , então:  v = B – A = (0,3) - (3,–1) = (–3,4)  v = (–3,4)

Representação de um vetor no plano   v = AB = ( −3,1)

 a2 + b2 , podemos concluir que | u=|

  u⋅u

02. (definição análoga para o IR3).  Determine o módulo do vetor u = (3, 2, –4). SOLUÇÃO:  | u=| 32 + 22 + ( −4)2  | u | = 29 Propriedades:  | u | ≥ 0. •     | u + u | ≤ | u | + | v | (desigualdade triangular) •

Vetor unitário

 O vetor é dito unitário quando | u | = 1.

OBSERVAÇÃO

OBSERVAÇÃO A projeção de qualquer dos segmentos orientados acima no eixo x é –3, e no eixo y é 1,  logo todos os segmentos acima representam o vetor V = (-3,1). Porém, em geral, procuramos marcar um vetor no plano cartesiano aplicando-o na origem, pois assim marcamos apenas o ponto representado pelo par do vetor.

  u u Dado um vetor , não nulo, o vetor  é um vetor |u|  unitário de mesma direção e sentido de u . Esse vetor  é denominado versor de u .

EXERCÍCIO RESOLVIDO

 01. Determine o versor do vetor u = (4, 3) SOLUÇÃO:   u (4,3) 4 3  = u = =  ,  |u| 42 + 32  5 5 

PROENEM

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GEOMETRIA ANALÍTICA – INTRODUÇÃO

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Acesse os códigos de cada questão para ver o gabarito

QUESTÃO 01

QUESTÃO 06

O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas medianas. Sendo assim, as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo de vértices (2,2), (-4,-2) e (2,-4) são:

Um triângulo tem vértices P = (2,1), Q = (2,5) e R = (x,4). Sabendo-se que a área do triângulo é 20, calcule a abscissa do ponto R:

a)

(0, -4/3)

d)

(1/2, -3/2)

a)

8 e 12

d)

11 ou –8

b)

(0, -5/4)

e)

(1/2, -5/4)

b)

9 ou –12

e)

12 ou –8

c)

(0, -3/4)

c)

10 ou 9

QUESTÃO 02

QUESTÃO 07

Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( -6,3), a abscissa de P vale:

A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a:

a)

-2

d)

1

a)

6

d)

10

b)

-1

e)

3

b)

8

e)

12

c)

0

c)

9

QUESTÃO 03

QUESTÃO 08

A distancia entre os pontos A(-2,y) e B(6,7) é 10. O valor de y é:

O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é:

a)

–1

d)

–1 ou 10

a)

(3, 1)

d)

(3, 2)

b)

0

e)

2 ou 12

b)

(3, 6)

e)

(3, 0)

c)

1 ou 13

c)

(3, 3)

QUESTÃO 04

QUESTÃO 09

Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento AB é:

No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1,-2), B(m,4) e C(0,6) é retângulo em A. O valor de m é igual a:

a)

(3, 4)

d)

(1, 7)

a)

47

d)

50

b)

(4, 6)

e)

(2, 3)

b)

48

e)

51

c)

(–4, -6)

c)

49

QUESTÃO 05

52

QUESTÃO 10

Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então  mn é igual a:

A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos (-2,-7) e (-4,1) é:

a)

2

d)

1

a)

3

d)

1

b)

0

e)

1/2

b)

2

e)

3√2

c)

2

c)

-3