CAP.12-TRIGONOMETRIA EM UM TRIANGULO QUALQUER

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Cossenos dedoisângulos suplementares

no capítulo anterior As propriedades estudadas paraos trÌângulos retângulos. sãoválidas somente Nestecepítulo vamosapresentar as propriedades 0s velores dedoisângulos supledoscossenos pâraqLraisquer triângulos. válidas mentares dìferem apenas no sinal, ou seia: paraos étricasestabelecidas Asrazõestrigonom paraos ouângulos agudos tambémsãodefinìdas cos(180"- x) = -çe5v no tfos tiposde ángulos. Ìâl estudoseráiniciado capítulo14destevolume. sendoxamedida deumtÍiânBulo. deumângulo obtusângulos, Ainda, Porque trataÍemos detriângulos sendox = 450,temos: de os senose cossenos inclusive, apresentaÍemos 1"

ângulos suplementares.

2 AssÌm:

Angulos s{.rplementares cos(180" x)= cost:S"= -lE dedoisângulos Senos suplementares

r', i_,Ç c, .,.,' t | ' --: iì

P a rao c a s op a rt ic u ladr e x = 9 0 0 .t e mo s s ê n9 0 o= 1 e c o s9 0 0 =0 .

dedoisángLrlos supìemen0svaloresdossenos istoé: tarescoincidem, sen(1800- x) = senx deumâng!o deumtriângulo. sendoxamedida Porexemplo, sendox = 450,temos:

t-eirtne eÊnnc rìrâ teoremãdssssnCIs EmtodotrÌângulo, os ladossãoproporcionaisaossenosdosângulos opostos a eles.

^,2 2

Demonstração: = 5en (180"-x) = sen(180' 45o)= sen135Ô

.,"

2.

> Sejao triângulo ABC, âcutángulo, e CHa âhura relativaaoJadoAã

:*s

Sejao triânguloABC,retângulo. Temos: c

senÂ=![ =+cg= o sen ] ^cAH. .q t-

senB=!a

ACBH. senB= fl1=

senL=:=

CU= a senB

]

â

+ b sen = a senÊ + --!= !-senA senB Procedendo de modoan5lono. !- = -9-- senB sen C Podemos escfêver, então: senA

senB

a= !- l senBI . =-----:-

a

Í

b cÊnR senc

senc l

Poroutrolado,temos:senÀ = sen 900= 1 e eb_ebc =senã= T - * " 8 -- * " 4 *"c Como pudemos percebef nostrês casos, emqualquertriânguloABCtemos: abc senA

senC

senB

senC

Sejao triângulo ABC, obtusângulo emÂ, e CHa alturârelatÌvaao lâdofB. c NotriânguloABCdafiguraabaixo, vamosdeterminaras medidasdeACe EÌ.

ACAH: sen(180"0 = 6ggH..un f,=Ita a

f,= '"n

Â+

I

e=reo.-1:s"* +og=ros"

= sen75o= 0,96593 sene = sen1050

6H= 6 sgrìg

Pelaleidossenos, podemos escreveÍ:

=b se n Â= asenÊ =+ 9-= sena

b

AC BC AB sen400 sen35o sen105o

senB

Procedendo demodoa-aloso:--i- = c - sênA sen C Podemos escrever, então: " ^= sen A

b-= senB

"-C sen

âfifi

AC = BC - .------:n 10 _^ n ;;zq n ã.o o;or - 10352 l- - - "- ' "- """' "' - "" At = 10,3520,64279=6,65cm e = BC 10,3520,57358 = 5,94cm

I I

i

As medídas doslèdosABe BCdo 1riáneulo abâixopodemsêr expressas em funçãoda medidâdoterceiroledo. À 3. Dttermine a medida.r em cad.rcaso. a)

c

b ABBC sen600 sen459 sen75o ----l::. 49 , sen4!l r 6 -. gg= 1!9lZlr.6 senbu"' senbu",, 0, 816

1 ,1 1 5

Ëtffiexerctctosmffi l.. Nurì rrilnguìoABC.JodddoçB -o0o.C-45o e AB _I Lm. Determine o .omprimenlo de A(-.

4. Det.-rminer medjda cloangutox.

2 . Bm cailacaso,