MAT_16 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS

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C u r s o : Matemática Material N° 16 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS DEFINICIONES CIRCUNFERENCIA:

RADIO:

Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O. Trazo

O

cuyos extremos son el centro de la

Trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia ( DE ).

DIÁMETRO:

Cuerda

que

contiene

cuerda

D

circunferencia y un punto de ésta ( OA ). CUERDA:

0: Centro r: Radio C(O,r) = (O,r)

r

centro

de

la

arco

diámetro

B

O

secante

al

E

P

radio

Q

T

circunferencia ( BC ).

C A M

tangente

SECANTE:

Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)

TANGENTE:

Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto de tangencia.

ARCO:

Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella (CE)

ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma ((EOD).

ÁNGULO INSCRITO:

D O E H

Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta ((FHG).

G F

EJEMPLO

1.

¿Cuál de las siguientes opciones es falsa? A) B) C) D) E)

El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro En circunferencias congruentes los radios son congruentes Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia

1

2.

En la circunferencia de centro O (fig. 1), AC es diámetro. Entonces, el valor de α es

A) B) C) D) E)

10º 20º 40º 80º 140º

C O a A

20º

fig. 1

B

3.

En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 2, ¿cuánto mide el (BCA?

A) B) C) D) E)

22º 34º 36º 44º 68º

C fig. 2 O

A

4.

68º

B

En la circunferencia de centro O de la figura 3, (BOA = 70º y (COB = 40º. ¿Cuánto mide el ángulo ABC? A) B) C) D) E)

140º 125º 120º 110º 95º

O C

A B

2

fig. 3

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco. D α O

DE = (EOD = α E TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. C D 1 β β= α β E 2 0 β 0 0 α α α A

B

A

B

A

B

O: centro de la circunferencia

EJEMPLOS

1.

p ≅ DC p y AED q + CB p = 3 BA p. En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que BA Entonces, la medida del (x es

A) B) C) D) E)

C

45º 60º 72º 84º 90º

B x A

D O

fig. 1 E

2.

AC

y

BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si (BOA = 2(COB,

entonces el (CDB mide

A) B) C) D) E)

30º 35º 45º 600º 120º

E

D C fig. 2

O A

3

B

TEOREMA

Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida. β α α=β B A

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. C (BCA = 90º

A

O: centro de la circunferencia

B

O

TEOREMA

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. D α + γ = 180º β + δ = 180º

δ α

γ

C

β

A

B

TEOREMA

La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

O

QP tangente en P ⇒ QP ⊥ OP

Q

r P

EJEMPLOS

1.

En la figura 1, (TPQ = 140º y (QRP = 15º. ¿Cuánto mide el (PQT? A) B) C) D) E)

15º 20º 25º 30º 35º

T

R fig. 1 P

4

Q

2.

AC es diámetro de la circunferencia de centro O (fig. 2). ¿Cuánto mide el ángulo BCA?

A) B) C) D) E)

15º 25º 35º 55º 70º

A

O

C

55º

fig. 2 B

3.

En la figura 3, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el (OPT? T A) B) C) D) E)

4.

10º 20º 30º 40º 50º

P 40º

O fig. 3

En la circunferencia de centro O de la figura 4, PA y PB son tangentes en A y B, respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA? B A) B) C) D) E)

25º 50º 65º 100º 130º

C

O

50º

P fig. 4

A

5.

En la figura 5, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si β = 145° y α = β – δ , entonces γ = A) B) C) D) E)

D

35° 45° 55° 60° 70°

δ fig. 5

A α β

B

5

γ

C

EJERCICIOS

1.

AC y BD son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 1). Si el ángulo DOC mide 80º, ¿cuánto mide el ángulo ABO?

A) B) C) D) E)

2.

C

D

20º 30º 40º 45º 50º

O

fig. 1 B

A

En la circunferencia de centro O y diámetro DB de la figura 2, ¿cuánto mide el ángulo COA? A) B) C) D) E)

C

70º 100º 120º 140º 160º

30º

D

B

O

fig. 2

40º

A 3.

O y O’ son los centros de las circunferencias de la figura 3. Si (DAC = 40º, ¿cuánto mide el ángulo ACD? D A) B) C) D) E)

10º 20º 25º 40º 50º

A

O

O’

C fig. 3

B

4.

O es centro de la circunferencia de la figura 4, y QROP es cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo RSP? A) B) C) D) E)

22,5º 30º 45º 60º 90º

S P

O fig. 4

Q

6

R

5.

En la circunferencia de centro O de la figura 5, ¿cuánto mide el ángulo OPR? A) B) C) D) E)

R

35º 40º 45º 50º 70º

70º

O

T

Q fig. 5 P

6.

En la circunferencia de centro O de la figura 6, CA , AB y CB son secantes. Si α = 80º y β = 50º, (x = C A) B) C) D) E)

65º 75º 90º 100º 130º

fig. 6 O x α

7.

A

B

β

En la figura 7, O es el centro de la circunferencia. Si (ORQ = 36º y (ROP = 54º, ¿cuánto mide el (RTP?

A) B) C) D) E)

8.

fig. 7

63º 72º 108º 117º 144º

O

Q

T

P

R

En la circunferencia de centro O de la figura 8, (BAC + (BDC = 80º. Entonces, el (BOC mide A) B) C) D) E)

B

falta información 80º 60º 40º 20º

A

C

O

D fig. 8

7

9.

En la figura 9, (BCA = 40º y (CDB = 30º. ¿Cuánto mide el (ABC? C A) B) C) D) E)

60º 90º 100º 120º 110º

40º

B 30º

D

fig. 8 A

10.

En la figura 10, MQ es diámetro y (TNQ = 16º. ¿Cuánto mide el (MQT?

A) B) C) D) E)

74º 64º 45º 32º 16º

Q

T

fig. 10 M N

11.

En la figura 11, O es el centro de la circunferencia. Si BE // CD

y (COA = 110º, entonces

¿cuánto mide α? D

E A) B) C) D) E)

55º 110º 125º 135º 140º

A C

B 12.

fig. 11

O

α

p = 80º, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones En la figura 12, CB // DA . Si CD es(son) siempre verdadera(s)?

A) B) C) D) E)

I)

(BCA = 40º

II)

(BEA = 80º

III)

p = 100º DA

C

B fig. 12

E

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

D

8

A

13.

O es centro de la circunferencia de la figura 13, (QOP = (ROQ = (SOR y (RSO = 72º. ¿Cuánto mide el ángulo PTQ? A) B) C) D) E)

T

54º 36º 35º 27º 18º

O

R

Q

14.

fig. 13

S

P

p es un cuarto de circunferencia con centro en A (fig. 14). Si BD = AB , entonces el (CAD BC

mide A) B) C) D) E)

C

15º 30º 45º 60º 75º

D

fig. 14 B

A

15.

En la figura 15, la circunferencia tiene centro en O. El valor del ángulo x es C A) B) C) D) E)

12,25º 12,5º 25º 37,5º 50º

a x

A

O 50º a

D

fig. 15

B

16.

En la circunferencia de centro O (fig. 16), (ABO = 2(BOA. ¿Cuánto mide el ángulo OAB?

A) B) C) D) E)

36º 45º 60º 72º 90º

fig. 16 O

A

9

B

17.

En la figura 17, ¿cuánto mide el ángulo inscrito β? A) B) C) D) E)

k + 30º

28º 40º 55º 80º 110º

fig. 17

2k + 10º k

β

18.

En la circunferencia de centro O de la figura 18, ¿cuánto mide β? A) B) C) D) E)

Q

40º 70º 80º 100º 140º

140º

P

R β

O fig. 18

19.

En la circunferencia de centro O, (BCD = 125º (fig. 19). Entonces, el (DAB mide

A) B) C) D) E)

C

55º 60º 45º 65º no se puede determinar

D A

B

O

fig. 19

20.

En la circunferencia de centro O, AB es diámetro y (BCD = 130º (fig. 20). Entonces, la medida del ángulo x es A) B) C) D) E)

D

faltan datos para determinarlo 40º 55º 65º 70º

A

C x O

B fig. 20

10

21.

En la circunferencia de centro O (fig. 21), (BOA = 2(ABD. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?

A) B) C) D) E)

22.

O

C

D

A

B

fig. 21

Si en la circunferencia de centro O de la figura 22, el ángulo inscrito BCA mide 80º, ¿cuánto mide el ángulo ABO? A) B) C) D) E)

23.

22,5º 30º 40º 45º 90º

C

10º 20º 25º 50º 70º

O •

fig. 22 B

A

En la figura 23, DE es tangente a la circunferencia de centro O, en D. ¿Cuál es el valor del (x?

A) B) C) D) E)

36º 26º 18º 12º Falta información

A

O •

x

E 126º

fig. 23

D

24. En el cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de la figura 24, α – γ = 120º. Si β = ¿cuánto mide el ángulo x? A A) B) C) D) E)

α

30º 75º 105º 150º 155º

fig. 24 B β γ C 11

x

D

α , 2

25.

p ≅ BD p . Si En la circunferencia de centro O de la figura 25, AB es diámetro y CA p = 3m + 10 y el (ADC = 3m – 10, entonces (x + (y = CA

A) B) C) D) E)

170º 160º 150º 140º 120º

C

y

D x

A

B

O

fig. 25

26.

En la circunferencia de centro O de la figura 26, se puede conocer el valor de α si: (1)

27.

28.

(BOA = 2α

(2)

(ABO = α

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

α

B

A

fig. 26

• O

En la circunferencia de centro O de la figura 27, AD y BC son diámetros. Se puede conocer el valor de x si: (1)

CA = 110º

(2)

(BCA + (BDA = 70º

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

D

C

fig. 27 O

A

x B

AB es diámetro de la circunferencia de centro O (fig. 28). La medida del (CBA se puede

determinar si: (1)

AB = 2 AC

(2)

(BOC = 2(COA

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

B fig. 28 O

A

12

C

29.

En la figura 29, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Se puede saber la medida del (CDA si: C (1)

(BCD = 80º

(2)

(DAB = 100º

A) B) C) D) E)

30.

D

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

O

B fig. 29

A

En la circunferencia de centro O de la figura 30, A y B son puntos de tangencia. Se puede determinar la medida del (BOA si: (1)

(PBO = (OAP

(2)

(BOA = 3(APB

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

B

O•

P

A

13

fig. 30

RESPUESTAS

Ejemplos Págs.

1

1

3

4

C

A

B

3

C

4

C A

C

A C

CLAVES PÁG. 6

5

E

2

5

2

E

1. 2. 3. 4. 5.

E D C C D

6. 7. 8. 9. 10.

D A B E A

11. 12. 13. 14. 15.

C C E B B

16. 17. 18. 19. 20.

D C C A B

21. 22. 23. 24. 25.

D A C C D

26. 27. 28. 29. 30.

A D D E B

DOMA16

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