COMBINATÓRIA - ARRANJO, COMBINAÇÃO, PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO - ALUNO

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Leia o texto para responder à questão a seguir. Uma tela de computador pode ser representada por uma matriz de cores, de forma que cada elemento da matriz corresponda a um 1pixel na tela. Numa tela em escala de cinza, por exemplo, podemos atribuir 256 cores diferentes para cada pixel, do preto absoluto (código da cor: 0) passando pelo cinza intermediário (código da cor: 127 ao branco absoluto (código da cor: 255) 1 Menor elemento em uma tela ao qual é possível atribuir-se uma cor. Suponha que na figura estejam representados 25 pixels de uma tela.

A matriz numérica correspondente às cores da figura apresentada é dada por

0 255  255 0 127  0 127 0 255 0   127 0 255 0 127    0 255 0 127 0   255 0 127 0 255  PR1. (FATEC /C01-H04) O número máximo de matrizes distintas que podem ser formadas com 25 pixels de tamanho, em que se possa preencher cada pixel com qualquer uma dentre as 256 cores da escala de cinza, é igual a A) 255256. B) 12525. C) 2525. D) 25625. E) 0256.

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PR2. (ENEM/C01-H02) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

A)

626 106

.

62! . 10! 62! 4! C) . 10! 56! B)

D) 62! − 10!. E) 626 − 106. PR3. (UEG 2018) O número de anagramas que se pode formar com a palavra ARRANJO é igual a A) 21. B) 42. C) 5040. D) 2520. E) 1260.

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PR4. (UNESP/C01-H03) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”.

O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é: A) 95 040. B) 40 635. C) 924. D) 792. E) 35. PR5. (UFPB/C01-H5) A prefeitura de certo município solicitou ao Governo Federal uma verba para a execução das seguintes obras: • saneamento básico; • calçamento de ruas; • construção de uma escola; • construção de uma creche; • construção de casas populares. O Governo Federal aprovou a concessão da verba solicitada, na condição de que fosse estabelecida uma ordem na execução das obras, de modo que, tendo sido liberada a verba para a primeira obra, a verba para a segunda só seria liberada após a conclusão da primeira, e assim sucessivamente até a execução da última obra. Nesse contexto, considere o planejamento feito pela prefeitura: • a primeira obra escolhida foi a construção das casas populares; • o calçamento das ruas só poderá ser executado com o saneamento básico concluído.

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Atendendo às condições estabelecidas pelo Governo Federal e ao planejamento da prefeitura, é correto afirmar que o número de maneiras possíveis e distintas para a realização dessas 5 obras é A) 8. B) 10. C) 12. D) 14. E) 16. PR6. (ENEM/C01-H03) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por A) 102  262. B) 102  522.

4! . 2! 4! . D) 102  262  2! 2! 4! . E) 102  522  2! 2! C) 102  522 

PR7. (UFRGS C01-H03) Se uma partida de futebol termina com o resultado de 5 gols para o time A e 3 gols para o time B, existem diversas maneiras de o placar evoluir de 0  0 a 5  3. Por exemplo, uma evolução poderia ser

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Quantas maneiras, no total, tem o placar de evoluir de 0  0 a 5  3? A) 16. B) 24. C) 36. D) 48. E) 56. PR8. (FCS/C01-H04) Em uma “deliciosa promoção de sorvetes” são oferecidos sorvetes de diversos sabores. Era possível comprar quatro bolas por R$1,00 e grátis uma saborosa cobertura, desde que estas bolas fossem dos sabores morango, chocolate, coco, bacuri ou pequi, repetidos ou não. Assim, um cliente que comprar as quatro bolas na promoção poderá escolher os sabores de x modos distintos, sendo x igual a A) 56. B) 70. C) 120. D) 225. E) 625. PR9. (FCS 2018/C01-H04) Fernando deseja guardar 7 bolas idênticas em 4 caixas numeradas:

O número de maneiras que Fernando poderá guardar todas as 7 bolas de forma que coloque pelo menos uma bola em cada caixa, é igual a A) 20. B) 35. C) 120. D) 420. E) 840.

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PR10. (ENEM/C01-H04) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo. Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir? A) C6,4. B) C9,3. C) C10,4. D) 64. E) 46.

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SOLUÇÃO PR1. [D] Temos 25 espaços e cada um destes espaços podemos utilizar uma das 256 cores, portanto o número máximo de matrizes distintas que podem ser formados será dado por: 25625. SOLUÇÃO PR2. [A] Sabendo que cada letra maiúscula difere da sua correspondente minúscula, há 2  26 + 10 = 62 possibilidades para cada dígito da senha. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue-se que existem 626 senhas possíveis de seis dígitos. Analogamente, no sistema antigo existiam 106 senhas possíveis de seis dígitos. Em consequência, a razão pedida é

626 106

.

SOLUÇÃO PR3. [E] O cálculo será obtido fazendo uma permutação de 7 elementos com repetição de dois deles. 7! P72,2 = = 1260. 2! 2! SOLUÇÃO PR4. [D] D = para direita

C = para cima

Em qualquer caminho mais curto a pessoa terá que se deslocar 7 vezes para direita e 5 vezes para cima, em qualquer ordem. Exemplo DDCDCDDCCDCD, logo o número de percursos será dado por: 12! 7,5 P12 = = 792 7!.5!

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SOLUÇÃO PR5. [C] 4! = 12 (foi divido por 2 pois o saneamento básico deve aparecer antes do 2 calçamento)

SOLUÇÃO PR6. [E] Existem 10 . 10=102 maneiras de escolher os dois algarismos e 52 . 52 = 52 2 maneiras de escolher as letras. Definidos os caracteres da senha, podemos 4! dispô-los de P4(2, 2) = modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, 2!  2! 4! segue que a resposta é 102  522  . 2!  2! SOLUÇÃO PR7. [E] Considere o diagrama abaixo onde são permitidos apenas deslocamentos para cima ou para a direita. Desse modo, o resultado pedido é equivalente ao número de trajetos possíveis de M até N.

Em qualquer trajeto serão percorridos cinco segmentos horizontais e três 8! verticais. Portanto, o placar pode evoluir de P8(5,3) = = 56 modos. 5!  3!

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SOLUÇÃO PR8. [B] a: quantidade de bolas sabor morango. b: quantidade de bolas sabor chocolate. c: quantidade de bolas sabor coco. d: quantidade de bolas sabor bacuri. e: quantidade de bolas sabor pequi. a + b+ c + d + e = 4 número de soluções da “EQUAÇÃO CERTA” com a, b, c, d , e > 0. C4 + 5 – 1, 5-1 = C8, 4 = 70 SOLUÇÃO PR9. [A] O número de maneiras que podemos distribuir as bolas corresponde ao número de combinações completas de 4 caixas tomados 3 a 3, isto é, CR34 = C34+3−1 = C36 = 20

SOLUÇÃO PR10. [B] Sabendo-se que cada caminhão cegonha possui 10 carros e que é preciso ao menos um carrinho de cada cor, então restam 6 carrinhos nos quais as cores podem ser permutadas. Sendo a, b, c e d a quantidade de carrinhos brancos, laranjas, amarelos e verdes, além dos 4 já pintados (um de cada cor), tem-se: a+b+c +d= 6 A quantidade de soluções inteiras não negativas dessa equação de quatro variáveis será:  6 + 4 − 1  9    =   = C9,3  4 − 1  3

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PC1. (C1/H3) Na figura, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os quadrados representam quarteirões.

A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A a B é A) 40320. B) 6720. C) 256. D) 120. E) 56. PC2. (C1/H3) No Brasil, os veículos de pequeno, médio e grande porte que se movimentam sobre quatro ou mais pneus são identificados com placas alfanuméricas que possuem sete dígitos, dos quais três são letras do alfabeto português e quatro são algarismos de 0 a 9 inclusive estes. Quantos desses veículos podem ser emplacados utilizando somente letras vogais e algarismos pares? A) 78625. B) 78125. C) 80626. D) 80125. E) 90233. PC3. (C1/H2) Considere a tabela: 000 001 010 011 100 101 110 111 COMBINATÓRIA: ARRANJO, COMBINAÇÃO, PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

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Com base na tabela apresentada, é correto afirmar que se trata de A) arranjo com repetição. B) combinação complementar. C) permutação simples. D) permutação circular. E) arranjo, com n = p. PC4. Se todos os anagramas da palavra ESPCEX forem colocados em ordem alfabética, a palavra ESPCEX ocupará, nessa ordenação, a posição A) 144. B) 145. C) 206. D) 214. E) 215. PC5. (C1/H5) Os alunos do curso de Computação Gráfica do campus Olinda estão desenvolvendo um vídeo com todos os anagramas da palavra CARNAVAL. Se cada anagrama é mostrado durante 0,5 s na tela, a animação completa dura A) menos de 1 minuto. B) menos de 1 hora. C) menos de meia hora. D) menos de 10 minutos. E) mais de 1 hora. PC6. Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco. Considerando que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total de possibilidades de os seis carros ocuparem as dez vagas é igual a A) 12600. B) 16200. C) 21600. D) 26100. E) 30200.

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PC7. (C1/H4) Uma criança possui 6 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 verde e 1 azul.

blocos

de

encaixe,

sendo

Usando essas peças, é possível fazer diferentes pilhas de três blocos. A seguir, são exemplificadas quatro das pilhas possíveis.

Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de três blocos, incluindo as exemplificadas, que a criança pode fazer é igual a A) 58. B) 20. C) 42. D) 36. E) 72. PC8. Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas? A) 24. B) 120. C) 480. D) 1920. E) 3840.

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PC9. (C1/H3) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui três sabores de sorvete: chocolate, morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra? A) 4. B) 6. C) 9. D) 12. E) 15. PC10. (C1/H2) Um pixel é o menor elemento de uma imagem digital e, em casos de imagens coloridas, é composto por um conjunto de 3 pontos: vermelho, verde e azul. Cada um desses pontos é capaz de exibir 256 tonalidades distintas. Combinando tonalidades desses três pontos, quantas cores diferentes podem ser exibidas? A) 3256. B) 3  256. C) 2563. D) 256. E) 27  256. PC11. (C1/H3) Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero. Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan. 2012 (adaptado).

Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual a A) 263 + 94. B) 263  94. C) 263 (104 − 1). D) (263 + 104 ) − 1. E) (263  104 ) − 1.

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PC12. (C1/H4) Fernando 4 caixas numeradas:

deseja

guardar

7

bolas

idênticas

em

O número de maneiras que Fernando poderá guardar todas as 7 bolas de forma que coloque exatamente duas bolas na caixa I, é igual a A) 21. B) 42. C) 120. D) 420. E) 840. PC13. (C1/H3) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e um gancho. Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar será de A) 180. B) 160. C) 140. D) 120. E) 100.

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PC14. (C1/H4) “Genius era um brinquedo muito popular na década de 1980 (...). O brinquedo buscava estimular a memorização de cores e sons. Com formato semelhante a um OVNI, possuía 4 botões de cores distintas que emitiam sons harmônicos e se iluminavam em sequência. Cabia aos jogadores repetir o processo sem errar”.

Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes irão acender de forma aleatória e em sequência, podendo cada cor acender mais de uma vez. O número máximo de formas que essa sequência de 3 luzes poderá acender é A) 12. B) 24. C) 36. D) 64. E) 128. PC15. (C1/H3) Como prêmio pela vitória em uma competição, serão distribuídas 12 moedas de ouro idênticas entre as três pessoas da equipe vencedora, e cada uma deverá receber, pelo menos, duas moedas. O número de maneiras distintas de efetuarmos essa distribuição é A) 12. B) 28. C) 38. D) 40. E) 120.

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1 2 3 4 5

E B A B B

COMBINATÓRIA: ARRANJO, COMBINAÇÃO, PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

6 7 8 9 10

A C C E C

16

11 12 13 14 15

C A A D B

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