ANALISE COMBINATORIA EEAR

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COLETÂNEA DE QUESTÕES DE ANÁLISE COMBINATÓRIA – EEAr RESOLUÇÕES POR FELIPE DI MARCO

Questão 01: (CFS-2 – 2017) De um grupo de 10 (dez) pessoas, 5 (cinco) serão escolhidas para compor uma comissão. Ana e Beatriz fazem parte dessas 10 (dez) pessoas. Assim, o total de comissões que podem ser formadas, que tenham a participação de Ana e Beatriz, é a) 24

b) 36

c) 48

d) 56

Resolução: Como Ana e Beatriz farão parte, obrigatoriamente, da comissão, teremos 8 pessoas (10 – 2) para ocupar 3 vagas restantes (5 – 2). Ressalta-se que a ordem de escolha dos componentes da comissão é irrelevante, ou seja, não importa, em um eventual sorteio, se Beatriz, por exemplo, é sorteada na primeira ou quarta posição. Ela fará parte da comissão, da mesma forma. Relembrando: quando a ordem de escolha dos elementos é irrelevante, temos uma Combinação. 𝒏!

Cn, p = 𝒑!.(𝒏−𝒑)! , onde n (no contexto da questão) é o total de pessoas a serem escolhidas e p é o número de vagas. 8!

8!

8.7.6.5!

Portanto, n = 8 e p = 3: C8, 3 = 3!.(8−3)! = 3!.5! = 3.2.1.5! =

8.7.6 6

= 8.7 = 56

Resposta: LETRA D Questão 02: (CFS-1 – 2017) Em um campeonato de tênis estão inscritos 10 militares. Para disputar o campeonato, esses militares podem formar_______duplas diferentes. a) 34

b) 35

c) 44

d) 45

Resolução: Quando escolhe-se uma dupla, tanto faz a ordem de escolha (Chitãozinho e Xororó/Xororó e Chitãozinho → mesma dupla). Relembrando: quando a ordem de escolha dos elementos é irrelevante, temos uma Combinação. 𝒏!

Cn, p = 𝒑!.(𝒏−𝒑)! , onde n (no contexto da questão) é o total de pessoas a serem escolhidas e p é o número de vagas. 10!

10!

Portanto, n = 10 e p = 2: C10, 2 = 2!.(10−2)! = 2!.8! =

10.9.8! 10.9 = 2 = 2.1.8!

5.9 = 45

Resposta: LETRA D Questão 03: (CFS-1 – 2018) Um professor montará uma prova com as 4 questões que ele dispõe. O número de maneiras diferentes que o professor pode montar essa prova, levando em conta apenas a ordem das questões, é a) 20

b) 22

c) 24

d) 26

Resolução: O detalhe da questão está em “levando em conta apenas a ordem das questões”. Ou seja, as 4 questões trocarão de lugar para formar provas diferentes. Relembrando: quando apenas trocamos (permutamos) de posição os elementos, temos uma Permutação. 𝑷𝒏 = 𝒏!, onde n é o numero de elementos que serão trocados (permutados). Na questão, n = 4: 𝑃4 = 4! = 4.3.2.1 = 𝟐𝟒 Resposta: LETRA C Questão 04: (CFS-2 – 2018) Um maestro escolherá 5 músicas distintas, dentre as 10 que dispõe, e montará uma apresentação. Para a escolha das músicas e da ordem que elas serão tocadas, o maestro possui um número de possibilidades cujo algarismo das unidades é a) 0

b) 2

c) 4

d) 6

Resolução: Na questão, o maestro escolherá não só as 5 músicas, dentre as 10 citadas, mas também a ordem em que serão apresentadas. Logo, há relevância na ordem de escolha. Relembrando: quando a ordem de escolha dos elementos é relevante, temos um Arranjo. 𝒏!

An, p = (𝒏−𝒑)! , onde n (no contexto da questão) é o total de músicas a serem escolhidas e p é o número de possibilidades. 10!

Portanto, n = 10 e p = 5: A10, 5 = (10−5)! =

10! 10.9.8.7.6.5! = 5! 5!

= 10.9.8.7.6

Há um produto de vários números, mas o fator relevante é o 10. Qualquer número multiplicado por 10, termina em 0. Então, não importa quanto é o produto 9.8.7.6, pois, ao multiplicá-lo pelo fator 10, esse terminará com algarismo 0. Resposta: LETRA A Questão 05: (CFS-1 – 2015) A metade do número de anagramas da palavra PRISMA que começam por S é a) 10

b) 20

c) 30

d) 60

Resolução: Anagrama é um jogo de palavras onde trocamos (permutamos) as letras de uma palavra original. Logo, em anagramas, temos uma Permutação. 𝑷𝒏 = 𝒏!, onde n é o numero de letras que serão trocadas (permutadas). Na questão, os anagramas começarão com a letra S. Portanto, permutaremos as letras restantes (P, R, I, M, A), ou seja, 5 letras. 𝑷𝟓 = 𝟓! = 𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 Como o enunciado pede metade do número de anagramas → metade de 120 = 60. Resposta: LETRA D

Questão 06: (CFS – 2013) Dentre 8 candidatos, 5 devem ser selecionados para comporem uma comissão de formatura. O número de formas distintas de se compor essa comissão é a) 56

b) 48

c) 46

d) 38

Resolução: Na questão, será montada uma comissão sem funções pré-definidas, ou seja, tanto faz se um membro for escolhido primeiro ou por último, pois o mesmo fará parte da tal comissão. Relembrando: quando a ordem de escolha dos elementos é irrelevante, temos uma Combinação. 𝒏!

Cn, p = 𝒑!.(𝒏−𝒑)! , onde n (no contexto da questão) é o total de pessoas a serem escolhidas e p é o número de vagas. Logo, n = 8 e p = 5: C8, 5 =

𝟖! 𝟖! = 𝟓!.(𝟖−𝟓)! 𝟓!.𝟑!

=

𝟖.𝟕.𝟔.𝟓! 𝟓!.𝟑.𝟐.𝟏

=

𝟖.𝟕.𝟔 = 𝟔

8.7 = 56

Resposta: LETRA A Questão 07: (CFS – 2014) Um determinado brinquedo possui uma haste onde devem ser colocadas 4 peças de formatos diferentes. O número de maneiras de se montar esse brinquedo é

a) 4

b) 12

c) 24

d) 36

Resolução: Na questão, vemos 4 brinquedos para ocupar 4 espaços distintos. Na verdade, apenas trocaremos (permutaremos) os brinquedos de posição. Logo, temos uma Permutação. 𝑷𝒏 = 𝒏!, onde n é o numero de brinquedos (elementos) que serão trocados (permutados). Como são 4 brinquedos, n = 4. 𝑷𝟒 = 𝟒! = 𝟒 . 𝟑 . 𝟐. 𝟏 = 𝟐𝟒 Resposta: LETRA C