60 GEOMETRIA ANALÍTICA CIRCUNFERÊNCIA

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GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA

MATEMÁTICA II

INTRODUÇÃO

Assim, teríamos:

Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão a uma mesma distância r de um ponto fixo O, chamado de centro.

(x + 2)2 + (y – 2)2 = 25

x² + 4x + 4 + y² –4y + 4 = 17 + 4 + 4 que é a equação que representa uma circunferência de centro (-2, 2) e raio 5.

ANALISANDO OS COEFICIENTES Como vimos no exemplo acima, podemos escrever a equação 0 , com da circunferência da forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = coeficientes reais. Mas nem sempre isso é possível. Agora tomando a equação geral da circunferência x² + y² - 2ax - by + a² + b² - r² = 0, vamos analisar as condições para que os coeficientes dessa equação represente uma circunferência.

Se O(a,b) e P(x,y), teremos: dO,P =

(x− a)2 + (y − b)2 , mas se dC,P = r

Primeiro, vamos dividir toda Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 por A ≠ 0.

(x− a)2 + (y − b)2

r=

Equação reduzida da circunferência

B 2 C D E F y + xy + x + y + = 0 A A A A A Comparando cada coeficiente com a equação geral da circunferência, iremos obter as relações:

Se desenvolvermos os S produtos notáveis encontraremos: x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2

EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA A equação geral da circunferência de centro O (a,b) e raio r, pode ser escrito como:

B =1→ A =B ≠ 0  A 2 os  coeficientes de x e y2  dser evem  sere diferentes  iguais e  de diferente de zero (os coeficientes de x² e y² devem iguais zero)

(

x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 +b2 - r2 = 0

C = 0 → C = 0 (não pode haver o  termo xy ) A

 m = −2a  onde  n = −2b k = a2 + b2 − r 2 

−D D =−2a → a = A 2A −E E =−2b → b = A 2A

que poderá também ser representada na forma: x2 + y2 + mx + ny + k = 0 Para determinar a equação de uma circunferência com centro em C(-2, 5) e raio 3, teríamos a equação reduzida 2

F F D2 E2 4AF = a2 + b2 − r2 →  r2 = a2 + b2 − → r2 = + 2− → 2 A A 4A 4A 4A2

→r + ( y − 5) = 9 , que poderá ser escrita na forma= geral: 2

x2 + y2 + 4x − 10y + 20 = 0.

Analisando o processo inverso que acabamos de verificar acima, iremos descobrir agora qual é a circunferência representada pela equação na forma geral dada (e saber de fato se a equação irá representar uma circunferência ou não). Será utilizado um processo prático que consiste em completar os quadrados para assim podermos reescrever a equação na sua forma reduzida. Dada a equação x2 + y2 + 4x − 4y − 17 = 0 , iremos agrupar os termos em x e em y e isolar o termo livre x2 + 4x + …+ y2 − 4y + … = 17 . Perceba que no primeiro membro estão faltando dois números reais que completam dois quadrados perfeitos, que seriam os números 4 e 4, e que deverão também ser adicionados ao segundo membro da equação.

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D2 + E2 − 4AF  com  D2 + E2 − 4AF > 0 4A2

Essas relações servirão para determinar se realmente a equação dada é de uma circunferência ou não. Caso seja, poderá determinar as coordenadas do centro e o raio.

COMPLETANDO OS QUADRADOS

(

equação

x2 +

(x – a)2+ (y –b)2 = r2

( x + 2)

a

)

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA Seja uma circunferência qualquer de equação x2 + y2 + mx +ny + k = 0 com centro em O (a, b) e um ponto P qualquer de coordenadas (x, y). Podemos representá-los de três formas possíveis: 1º Caso → Ponto exterior → dPO > r P dPO

o

r

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32 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA

Representado pela inequação (x - a)2 + (y - b)2 > r2

3º Caso → Reta exterior à circunferência.

2º Caso → Ponto pertencente a circunferência → dPO = r P dPO

o

r

Representado pela equação (x - a)2 + (y - b)2 = r2

dSO > r

3º Caso → Ponto interior → dPO < r P

dPO

o

PROEXPLICA Uma outra maneira de descobrirmos as posições relativas entre reta e circunferência é resolvendo o sistema.

r

ax + by + c = 0   2 2 0 x + y + mx + ny + k =

Representado pela inequação (x - a)2 + (y - b)2< r2

PROEXPLICA

Que resultará em uma equação de 2º grau onde: •

D > 0 → reta secante (dois pontos comuns).

Circunferência com centro na origem:

•

D = 0 → reta tangente (um ponto comum).

•

D < 0 → reta exterior (sem ponto comum).

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS C(0,0) a = 0 e b = 0 Equação Geral x +y =r 2

2

2

TANGENTES EXTERNAS Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A distância entre os centros é igual à soma das medidas de seus raios.

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE CIRCUNFERÊNCIA E RETA Seja uma circunferência qualquer de equação x2 + y2 + mx +ny + k = 0 com centro em O(w, t) e uma reta s qualquer de equação ax + by + c = 0. Podemos representá-las de três formas possíveis: 1º Caso → Reta tangente à circunferência.

dOC = r1 + r2

TANGENTES INTERNAS  Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios.

dSO = r

aw + bt + c a2 + b2

=r

2º Caso → Reta secante à circunferência.

dOC = r1 – r2

CIRCUNFERÊNCIAS EXTERNAS.  Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum. A distância entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios.

dSO < r 132

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

dOC > r1 + r2

CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES.  Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em comum. A distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.

01. Na decoração de uma pré-escola são usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma destas placas é formada por uma figura que pode ser definida por x2 + y2– 8x – 8y + 28 ≤ 0 quando projetada em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em metros. Esta placa vai ser pintada usando duas cores, cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy. Considerando o plano cartesiano xy como re-ferência, a região acima da reta será pintada de vermelho e a região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola vai fazer 12 destas placas e que é necessária uma lata de tinta para pintar 3m2 de placa, serão necessárias, no mínimo, quantas latas de tinta vermelha? a) 12

b) 24

c) 26

d) 32

e) 48

Resolução: C (x2 - 4 · x + 16) - 16 + (y2 - 4 · y + 16) - 16 + 28 ≤ 0 (x - 4)2 + (y - 4)2 ≤ 22 → Círculo de raio r = 2 e centro O (0, 0) Área de cada placa → s = π · r2 → s = π · 22 → s = 4 · π Área das 12 placas → S = 12 · s → S = 48 · π A reta y = x divide cada círculo ao meio. | r1 - r2 | < dCO < r1 + r2

CIRCUNFERÊNCIAS INTERNAS. 

Área a ser pintada em vermelho = 24 · π 75,4 m2 75,4/3 ≅ 25,1 Logo, serão necessárias 26 latas.

Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A distância entre os centros das circunferências deve ser maior que zero e menor que a diferença entre as medidas de seus raios.

EXERCÍCIOS

PROTREINO 01.Escreva a equação de uma circunferência de centro em C(3, -4) e que passa pela origem de um plano cartesiano. 02. Analise se a equação 2x² + 2y² - 4x – 6y -3 = 0 é uma equação de uma circunferência.

0 ≤ dOC < | r1 – r2 |

CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS.  Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.

(

)

03.Dado um ponto P 1,  2 , descubra qual a posição do ponto em relação à circunferência x² + y² - 4x -4y + 4 = 0. 04.Sabendo que a circunferência x² + y² + 6x – 6y + 9 = 0 é tangente ao eixo x em um ponto A, determine as coordenadas de A. 05. Determine a posição relativa entre as duas circunferências a seguir: x² + y² = 81 e x² + y² - y = 0.

EXERCÍCIOS dCO = 0

COMO ÁREA DE CIRCUNFERÊNCIAS PODE CAIR NO ENEM?

Quando se deseja pintar uma determinada superfície plana, muitas das vezes se faz necessário o cálculo volumétrico da quantidade de tinta necessária. Para isso é necessário ter o conhecimento das principais áreas de figuras planas bem como as equações de retas e curvas tal qual a questão a seguir.

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PROPOSTOS 01. (ENEM) Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada. Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é a) 30

b) 40

c) 45

d) 60

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e) 68

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02. (ENEM) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébricogeométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando "tiros", seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0; 4),B (4;4), C(4;0), D(2;2) e E(0;2).

04. (UEG) Uma circunferência no primeiro quadrante tangencia os eixos coordenados. Sabendo-se que a distância entre o centro (x0, y0) dessa circunferência e a origem do sistema é d = 3 2, então a equação da circunferência é 2 2 0 a) x + y − 6x − 6y + 9 =

b) x2 + y2 + 6x + 6y − 9 = 0 c) x2 + y2 + 3x + 3y − 6 2 = 0 2 2 0 d) x + y − 3x − 3y + 6 2 =

e) x2 + y2 − 27 = 0 05. FUVEST) No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a,b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x² e a>0, a ordenada b do ponto P é igual a a) 2 + 2 2

d) 5 + 2 2

b) 3 + 2 2

e) 6 + 2 2

c) 4 + 2 2 06. (FUVEST) A equação x² + 2x + y² + my = n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y = - x +1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (-3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente, a) -4 e 3

Passando pelo ponto A, qual a equação forneceria a maior pontuação? a) x = 0

d) x² + (y - 2)² = 4

b) y = 0

e) (x - 2)2 + (y - 2)² = 8

c) x² + y² = 16 03. (ENEM) A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.

b) 4 e 5

c) -4 e 2

d) -2 e 4

e) 2 e 3

07. (FUVEST) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação (x - 1)² + (y - 2)² = 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é a)

15

b)

17

c)

18

d)

19

e)

20

08. (FUVEST) No plano cartesiano 0xy, a circunferência C é tangente ao eixo 0x no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale a)

5

b)

2 5

c) 5 d)

3 5

e)

10

09. (UFRGS) A menor distância entre as circunferências de equação (x - 1)² + (y - 2)² = 1 é a) 2

d)

b) 5

10 + 2.

e)

10 − 2.

c)

Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo x é paralelo ao chão do parque, e o eixo y tem orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função a)

f(x) = − 2−x

b)

f(x) =

c)

f(x) = x2 − 2

134

2 − x2

2

d)

f(x) = − 4−x

e)

f(x) =

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4 − x2

2

10.

10. (FUVEST) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível. Então, a área de PQR é igual a: a) 2 2 - 2

d) 2 2 + 2

b) 2 2 - 1

e) 2 2 + 4

c) 2 2

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32 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA 11. (UECE) Em um plano munido do sistema de coordenadas cartesiano usual, a circunferência s possui dois de seus diâmetros sobre as retas representadas pelas equações 4x – 3y + 2 = 0 e 3x + 4y – 11 = 0. Se a medida de um diâmetro de s é 6 u.c., então, a equação que representa a circunferência s é

19. (FUVEST) Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2).

u.c. ≡ unidades de comprimento

a)

a)

x2 + y2 + x + 2y − 10 = 0. b) x² + y² - 2x - 2 y + 4 = 0.

c)

x2 + y2 + 2x + y − 10 = 0. d) x² + y² - 4x -2 y + 4 = 0.

12. (UECE) No plano cartesiano, a reta t, paralela x = 3 y tangencia a circunferência x2 + y2 − 4x − 4y + 4 = 0 no ponto Z = (x y), y > 2. Para os pontos x = (2, 0) e y = (0, 2) na circunferência, a medida do arco xyz (que contém o ponto y) é igual a Observação: tg 30° =

1 3

a)

4π . 3

c)

5π . 4

b)

5π . 3

d)

6π . 5

a)

6x + 8y − 25 = 0.

c)

6x − 8y + 7 = 0.

b)

4x − 3y = 0.

d)

4x + 3y − 12 = 0.

c) 1.

b)

7 2

c)

9 2

d)

11 2

13 e) 2

20. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2, 4) é tangente a C no ponto (0, 3). Então, o raio de C vale a)

5 8

b)

5 4

c)

5 2

d)

3 5 4

e)

5

d) 2.

15. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a equação da reta que contém o ponto P(9, 8) e é tangente à curva representada pela equação x² + y² - 10x - 10y + 25 = 0 é a) 3x + 4y – 59 = 0,

c) 4x – 3y – 12 = 0.

b) 3x – 4y + 5 = 0.

d) 4x + 3y – 60 = 0.

05.

APROFUNDAMENTO

01. (UNICAMP) No plano cartesiano, considere a reta r de equação 2x + y = 1 e os pontos de coordenadas A = (1, 4) e B = (3, 2). a) Encontre as coordenadas do ponto de intersecção entre a reta r e a reta que passa pelos pontos A e B. b) Determine a equação da circunferência na qual um dos diâmetros é o segmento AB.

14. (UECE) Em um plano munido com o sistema de coordenadas cartesianas usual, fixada uma unidade de comprimento (u.c.), a equação x² + y² + 2x – 2y + 1 = 0, representa uma circunferência com centro no ponto P (p,q) cuja medida do raio é r u.c. Assim, é correto afirmar que o valor da soma p + q + r é igual a b) 3.

5 2

EXERCÍCIOS DE

13. (UECE) Considere, em um plano com o sistema de coordenadas cartesiano usual, a circunferência que contém os pontos M(0, 0), P(3, 0) e Q (0, 4). Se K é o centro dessa circunferência, então, a equação da reta que contém o ponto K e é perpendicular ao segmento PQ é

a) 0

O valor de (x1 + y1)2 + (x2 + y2)2 é igual a

02. (UNESP) Uma expedição arqueológica encontrou um pedaço de um prato de cerâmica antigo, supostamente circular. Para estimar o tamanho do prato, os arqueólogos desenharam o pedaço de cerâmica encontrado, em tamanho real, em um plano cartesiano de origem 0(0, 0). A circunferência do prato passa pela origem do plano cartesiano e pelos pontos A (-4, 2) e B(6, 4), como mostra a figura.

16. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesiano usual, as equações das retas tangentes à circunferência x² + y² - 10y + 16 = 0 e que passam pelo ponto (0, 0) são a) 3x – 4t = 0 e 3x + 4y = 0.

c) 4x –3t = 0 e 4x + 3y = 0.

b) 2x – 3y = 0 e 2x + 3y = 0.

d) 3x – 2y = 0 e 3x + 2y = 0.

17. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a distância do centro da circunferência x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0 à origem é u.c. ≡ unidade de comprimento a) 3 u.c.

b) 6 u.c.

c) 5 u.c.

d) 4 u.c.

18. (UNICAMP) Sabendo que 𝑐 é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação x² + y² = 2cx. Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação x + 2y = 3, então seu raio é igual a a)

2.

b)

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3

c)

2.

d)

3.

a) A área do pedaço de cerâmica é aproximadamente igual à área do triângulo ABO. Calcule a área desse triângulo, em cm². b) Calcule as coordenadas do ponto em que estaria localizado o centro do prato cerâmico circular nesse sistema de eixos cartesianos ortogonais.

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03. (UFJF-PISM 3) Considere os pontos P(2, 4), Q(-1, 0) e S(-5, 3)

ANOTAÇÕES

a) Determine a equação da reta contendo o segmento PQ, da reta contendo o segmento PS e da reta contendo o segmento QS. b) Considere o triângulo de vértices P, Q e S. O triângulo dado é retângulo? Justifique sua resposta. c) Obtenha a equação da circunferência que contém os pontos P, Q e S. 04. (UERJ) Considere a circunferência c de equação x² + y² - 8x + 8 = 0, representada graficamente a seguir.

Determine as equações das retas r e s que passam pela origem e são tangentes à circunferência. 05. (FUVEST) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (2, 1), e a reta t é tangente a C no ponto Q = (-1, 5). a) Determine o raio da circunferência C. b) Encontre uma equação para a reta t. c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x. GABARITO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. B

05. B

09. E

13. C

17. C

02. E

06. A

10. D

14. C

18. D

03. D

07. D

11. B

15. D

19. C

04. A

08. C

12. B

16. C

20. E

EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 01. a) x = - 4 e y = 9; b) (x – 2)2 + (y-3)2 = 2. 02. a) 14 cm².  3 41 b) C =  ,  7 7  03. a) reta PQ ⇒ y =

4 4 x+ 3 3

reta PS ⇒ y =

3 3 1 26 reta QS ⇒ y = − x− x+ 4 4 7 7

b) Sim, pois as retas PQ e QS são perpendiculares 2

2

3  7  50  c)  x +  +  y −  = 2  2 4  04. As equações das retas r e s, são, respectivamente, y = x e y = -x. 05. a) r = 5 b)  reta t ⇒ 3x − 4y + 23 = 0 c)  S = 125 6

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