PROCENTOWE 60-70%
16 Pages • 2,122 Words • PDF • 96.2 KB
Uploaded at 2021-09-24 16:41
This document was submitted by our user and they confirm that they have the consent to share it. Assuming that you are writer or own the copyright of this document, report to us by using this DMCA report button.
Zad. 1 Wyznacz równanie okręgu, którego środek leży na prostej : − punkty 1,0 i −1,4 leżą na tym okręgu.
+ 3 = 0, jeśli
Rozwiązanie: Niech = , będzie środkiem okręgu z treści zadania, wtedy W takim bądź razie:
1−
|
+
+3
|=|
|
=
+1
+
=
,
+3 .
−1
Obie strony powyższego równania są nieujemne, a więc możemy obustronnie podnieść to równanie do kwadratu: 1−
+
+3
+6
+3
= =
+
+2
+1
+1
+9= 4
+1
= −8
= −2
A więc: =|
= −2,1
| = √9 + 1 = √10
Odpowiedź: Równanie szukanego okręgu wynosi: +2
+
−1
= 10
−1
−6 +
Zad. 2 Wyznacz równania stycznych do okręgu
− 2 + 5 = 0:
a) przechodzących przez początek układu współrzędnych, b) równoległych do prostej
− 2 = 0,
c) prostopadłych do prostej 4 − 2 = 1. Rozwiązanie: Przekształćmy równanie okręgu z treści zadania: −6 + −3
−2 +5= 0
+
−1
=5
= 3,1 oraz promieniu
Jest to równanie okręgu o środku
= √5.
Ad a) Szukana prosta dana jest równaniem: =
−
+
=0
Szukamy takiej prostej, aby jej odległość od środka okręgu była równa promieniowi okręgu: √5 = √5 ∙
|−3 + 1| √
+1
+ 1 = | − 3 + 1|
Obie strony równania są nieujemne, a więc możemy obustronnie podnieść równanie do kwadratu: 5
=
+5 =1−6 +9
4
−6 −4= 0
Δ = 36 + 64 = 100
6 − 10 1 =− 8 2
=
A więc szukane proste dane są równaniami:
=−
1 2
=2
6 + 10 =2 8
Ad b) Szukana prosta jest postaci: =
− Podobnie jak wcześniej:
1 + 2
1 +" 2
−" = 0
3 #− + 1 − "# 2 √5 = $5 4 5 1 = %" + % 2 2
" = 2 ∨ −3 A więc szukane styczne dane są równaniami: =
1 +2 2
= Ad. c) Szukane styczne są postaci:
=−
Podobnie jak wcześniej:
1 + 2
1 −3 2
1 +" 2
−" = 0
3 | + 1 − "| √5 = 2 $5 4 5 5 = % − "% 2 2
" = 0∨" = 5 A więc szukane styczne dane są równaniami:
=− =−
1 2
1 +5 2
Zad. 3 Punkt 2,3 jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku )))))⃗ = +8,4,, )))))⃗ ' = +2,6,. Oblicz:
'( oraz
a) współrzędne wierzchołków równoległoboku, ',
b) miarę kąta
'.
c) promień okręgu opisanego na trójkącie Rozwiązanie: Ad. a) Z treści zadania otrzymujemy, że:
Niech
=
-, -
)))))⃗ ' = +10,10,
jest środkiem odcinka ', a więc:
. Wiemy, że punkt
2,3 =
=
-, -
-
+ )))))⃗
+ 5,
-
+5
= −3, −2
A wtedy: =
'=
-
.
+ 8,
+ 2,
-
.
+ 4 = 5,2
+ 6 = 7,8
Dodatkowo: )))))⃗ = +−3,1, = )))))⃗ ( A więc: (= Ad. b) Zauważmy, że: Wtedy:
0
− 3,
+ 1 = −1,4
)))))⃗ = +−8, −4, )))))⃗ ∘ )))))⃗ ' = −8 ∙ 2 − 4 ∙ 6 = −16 − 24 = −40
Ale z drugiej strony: )))))⃗ ∘ )))))⃗ ' = 2)))))⃗2 ∙ 2)))))⃗ ' 2 ∙ cos 6 = √80 ∙ √40 ∙ cos 6 = 40√2 cos 6
A więc: 40√2 cos 6 = −40 cos 6 = −
Dodatkowo wiemy, że 6 ∈ 0, 8 , a więc:
√2 2
6 = 135∘
Ad c) Wiemy, że: | '| = 10√2
Z twierdzenia sinusów w trójkącie
' otrzymujemy:
Gdzie ; to promień szukanego okręgu:
| '| = 2; sin 6
10√2 10√2 = 2; ⟺ = 2; ⟺ 20 = 2; ⟺ ; = 10 sin 135∘ √2 2
A więc szukany promień jest równy 10.
Zad. 4 Wyznacz skalę i środek jednokładności, która okrąg = przekształca na okrąg = , gdzie = : + + 6 − 6 + 14 = 0, = : + − 18 + 2 + 78 = 0. Rozwiązanie: Przekształćmy równanie okręgu = :
+
Jest to okrąg o środku
+ 6 − 6 + 14 = 0
+3
+
−3
= −3,3 oraz o promieniu
Przekształćmy równanie okręgu = : +
Jest to równanie okręgu o środku
=4
= 2.
− 18 + 2 + 78 = 0
−9
+
+1
=4
= 9, −1 oraz o promieniu
Niech > będzie skalą jednokładności, wtedy: |>|
= 2.
=
|>| = 1
> ∈ ?−1,1@ Rozważmy dwa przypadki: Przypadek I:> = 1 Wtedy obrazem każdego punkty byłby ten sam punkt, więc ten przypadek odrzucamy, bo ≠ .
Przypadek II: > = −1 Wtedy jednokładność jest symetrią środkową, a więc środek jednokładności to środek , czyli punkt: odcinka = = 3,1
Zad. 5 Pole trójkąta ' jest równe 20. Wysokość poprowadzona z wierzchołka zawiera się w prostej o równaniu = 3 + 1. Długości ramion i ' są równe i wierzchołek = 7,2 . Wyznacz współrzędne punktów i '. Rozwiązanie: Niech prosta zawierająca odcinek ' dana będzie równaniem: Prosta ta jest prostopadła do prostej
=
+"
= 3 + 1, a więc
prosta przechodzi przez punkt , a więc:
= − , dodatkowo szukana B
7 2=− +" 3 "=
13 3
A w takim bądź razie prosta ' dana jest wzorem:
1 13 + 3 3 jest punktem przecięcia się wcześniej wspomnianych prostych: =−
Punkt
1 13 9 + 3 = − + 13D = 1D + D C ⟺E 3 3 ⟺E =3 +1 =4 = 3 +1 = 1,4 . Znamy więc współrzędne środka odcinka ': =−
Dlatego
1,4 = F
G
+7 , 2
G
' = −5,6
+2 H 2
Korzystając ze wzoru na pole otrzymujemy: | '| ∙ Punkt prostej
leży na prostej B
+
−
B
B
ℎ ℎ = 20 ⟺ 4√10 ∙ = 20 ⟺ ℎ = √10 2 2
= 3 + 1, więc
= 0 o √10:
1 √10 = 3 #
-
=
-, 3 -
+3
-
+ 1 . Wiemy, że
+1−
$10 9
13 # 3
jest odległy od
10 10 =% 3 3 1=|
-
A więc:
-
=2∨
= 2, 7 ∨
-−
10 % 3
− 1| -
=0
= 0,1
Odpowiedź: Są dwie pary punktów spełniających warunki zadania: E
= 2,7 D = 0,1 D ∨ E ' = −5,6 ' = −5,6
Zad. 6 Odcinek o końcach = 4,1 i = 6,3 jest podstawą prostokąta '(. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta, wiedząc, że bok tego prostokąta ma długość dwa razy większą niż długość podstawy. Rozwiązanie: Zauważmy, że )))))⃗ = +2,2,. Niech dany będzie wektor: J⃗ = +4,4,
Korzystając ze wzoru na wektor prostopadły do wektora J⃗ o tej samej długości co J⃗, dostajemy: ))))⃗ K = +−4,4, ∨ K )))))⃗ = +4, −4, Jeżeli przesuniemy wierzchołki
,
o wektor ))))⃗ K to otrzymamy: ' = 0,5
Jeżeli przesuniemy wierzchołki ,
( = 2,7
o wektor K )))))⃗ to otrzymamy: ' = 8, −3
( = 10, −1
Zad. 7 Punkt L = −3,8 jest punktem styczności prostej M do okręgu o środku 3,1 .Napisz równanie okręgu oraz równanie prostej M.
=
Rozwiązanie: Obliczymy długość promienia okręgu: = | L| = √36 + 49 = √85 A więc szukany okrąg dany jest równaniem:
Niech
=
−3
+
−1
= 85
+ " będzie równaniem prostej M. Wiemy, że punkt L leży na tej prostej: 8 = −3 + " " = 8+3
Dlatego szukana prosta jest postaci: −
Dodatkowo punkt
+
−8−3 =0
ma być oddalony o promień od prostej M: √85 = 85
|−3 + 1 − 8 − 3 | √
+1
+ 1 = |7 + 6 |
Obie strony powyższego równania są nieujemne, dlatego możemy podnieść to równanie obustronnie do kwadratu: 85
+ 85 = 49 + 84 + 36
49
− 84 + 36 = 0
7 −6
=
Odpowiedź: Szukana prosta dana jest równaniem: =
6 7
=0
6 74 + 7 7
Zad. 8 Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu = 2,1 i styczny do prostej o równaniu
długość promienia tego okręgu.
=
= 2 − 3 w punkcie
+ 9 w punkcie
= −4,7 . Oblicz
Rozwiązanie: Niech >:
=
+ " będzie prostą prostopadłą do prostej
przez środek okręgu . Wtedy z prostopadłości mamy
przechodzi przez punkt , a więc:
= 2 − 3 i przechodzącą
= − . Dodatkowo prosta >
1 = −1 + " ⟺ " = 2
W takim bądź razie prosta > dana jest równaniem:
Niech :
=
=−
1 +2 2
+ " będzie prostą prostopadłą do prostej
punkt . Z prostopadłości dostajemy
=
+ 9 i przechodzi przez
= −2, zaś z informacji o punkcie :
7 = 8 + " ⟺ " = −1 Dlatego prosta dana jest wzorem: = −2 − 1
Środek okręgu
jest punktem przecięcia się prostych > i : C
A więc
1 −4 − 2 = − + 4D = −2D +2 ⟺E ⟺E 2 = −2 − 1 =3 = −2 − 1
=−
= −2,3 . Teraz możemy policzyć długość promienia tego okręgu: =|
| = √4 + 16 = 2√5
Zad. 9 Punkty = −2,12 i = 6, −2 są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ' o kącie prostym przy wierzchołku '. Oblicz współrzędne wierzchołka ' tego trójkąta, wiedząc, że należy on do prostej o równaniu + 3 = 22. Sporządź rysunek w prostokątnym układzie współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki. Rozwiązanie: Jeżeli trójkąt ' jest prostokątny to środek okręgu opisanego na nim jest środkiem przeciwprostokątnej: =F
−2 + 6 12 − 2 , H = 2, 5 2 2
Znamy także jego promień, który jest równy połowie przeciwprostokątnej: =|
| = √16 + 49 = √65
A więc okrąg ten jest dany równaniem: −2
+
−5
= 65
Wystarczy więc znaleźć punkty wspólne tego okręgu oraz prostej E
−2
+ −5 = 22 − 3
= 65D
⟺E
20 − 3
+ 3 = 22:
+ −5 = 22 − 3
Rozważmy pierwsze równanie 400 − 120 + 9 10
+
− 10 + 25 = 65
− 130 + 360 = 0 − 13 + 36 = 0
−4
−9 =0
=4∨
=9
Z powyższych rozważań otrzymaliśmy, że punkty: ' = 10,4
' = −5,9 Spełniają warunki zadania.
= 65D
Zad. 10 Przez punkt = 2,3 poprowadzona prostą odcinającą na półosiach układu współrzędnych odcinki równej długości. Znajdź równanie tej prostej. Rozwiązanie: Niech = + " będzie równaniem szukanej prostej. Wstawiając punkt równania otrzymujemy:
do tego
3=2 +" " = 3−2 A więc: =
+3−2
Punkt przecięcia się tej prostej z osią =N to 0,3 − 2 , znajdziemy teraz miejsce zerowe: +3−2 =0 =2 −3
Jeżeli = 0 to powyższe równanie jest sprzeczne, a więc możemy założyć, że podzielić obustronnie powyższe równanie przez : =
2 −3
Z treści zadania wiemy, że: |3 − 2 | = %
2 −3
%
| ||3 − 2 | + |3 − 2 | = 0 |3 − 2 || + 1| = 0
|3 − 2 | = 0 ∨ | + 1| = 0 =
3 ∨ 2
=1∨
= −1
Odpowiedź: Proste spełniające warunki zadania są podane przez poniższe równania: =
=
3 2
+1
=− +5
≠0i
Zad. 11 Przekątna kwadratu opisanego na okręgu o równaniu + −2 −4= 0 zawiera się w prostej o równaniu 2 − − 2 = 0. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego kwadratu. Rozwiązanie: Przekształćmy równanie okręgu z treści zadania: +
−1
−2 −4 =0 +
=5
Jest to okrąg o środku = 1,0 oraz promieniu = √5, z tego wynika, że bok kwadratu = 2√5, a jego przekątna O = 2√10. Niech = - , - będzie jednym z szukanych wierzchołków i niech leży on na prostej danej równaniem: = 2 −2
Wtedy = - , 2 - − 2 . Wierzchołki kwadratu są równo oddalone od środka okręgu wpisanego w ten kwadrat: 1−
-
|
| = √10
+4
−1
-
= √10
Obie strony powyższego równania są nieujemne, dlatego możemy podnieść równanie obustronnie do kwadratu: 1−2
-
-
+
5
-
-
-
+4
− 10
−2
-
-
-
−8
-
+ 4 = 10
−5 = 0
−1=0
Δ=8
√Δ = 2√2
= 1 − √2
-P
= −2√2
-
-Q
= 1 + √2 = 2√2
Drugim rozwiązaniem z powyższych rozważań jest punkt ', a więc: = R1 − √2, −2√2S
Zauważmy, że:
' = R1 + √2, 2√2S ))))⃗ ' = R√2, 2√2S
Korzystając ze wzoru na wektor prostopadły do danego i takiej samej długości otrzymujemy poniższy wektor:
Przesuwając punkt
J⃗ = T−2√2, √2U ∨ J⃗ = T2√2, −√2U
o powyższe wektory otrzymujemy:
= R1 + 2√2, −√2S
( = R1 − 2√2, √2S
+ 3 = 0, jeśli
Rozwiązanie: Niech = , będzie środkiem okręgu z treści zadania, wtedy W takim bądź razie:
1−
|
+
+3
|=|
|
=
+1
+
=
,
+3 .
−1
Obie strony powyższego równania są nieujemne, a więc możemy obustronnie podnieść to równanie do kwadratu: 1−
+
+3
+6
+3
= =
+
+2
+1
+1
+9= 4
+1
= −8
= −2
A więc: =|
= −2,1
| = √9 + 1 = √10
Odpowiedź: Równanie szukanego okręgu wynosi: +2
+
−1
= 10
−1
−6 +
Zad. 2 Wyznacz równania stycznych do okręgu
− 2 + 5 = 0:
a) przechodzących przez początek układu współrzędnych, b) równoległych do prostej
− 2 = 0,
c) prostopadłych do prostej 4 − 2 = 1. Rozwiązanie: Przekształćmy równanie okręgu z treści zadania: −6 + −3
−2 +5= 0
+
−1
=5
= 3,1 oraz promieniu
Jest to równanie okręgu o środku
= √5.
Ad a) Szukana prosta dana jest równaniem: =
−
+
=0
Szukamy takiej prostej, aby jej odległość od środka okręgu była równa promieniowi okręgu: √5 = √5 ∙
|−3 + 1| √
+1
+ 1 = | − 3 + 1|
Obie strony równania są nieujemne, a więc możemy obustronnie podnieść równanie do kwadratu: 5
=
+5 =1−6 +9
4
−6 −4= 0
Δ = 36 + 64 = 100
6 − 10 1 =− 8 2
=
A więc szukane proste dane są równaniami:
=−
1 2
=2
6 + 10 =2 8
Ad b) Szukana prosta jest postaci: =
− Podobnie jak wcześniej:
1 + 2
1 +" 2
−" = 0
3 #− + 1 − "# 2 √5 = $5 4 5 1 = %" + % 2 2
" = 2 ∨ −3 A więc szukane styczne dane są równaniami: =
1 +2 2
= Ad. c) Szukane styczne są postaci:
=−
Podobnie jak wcześniej:
1 + 2
1 −3 2
1 +" 2
−" = 0
3 | + 1 − "| √5 = 2 $5 4 5 5 = % − "% 2 2
" = 0∨" = 5 A więc szukane styczne dane są równaniami:
=− =−
1 2
1 +5 2
Zad. 3 Punkt 2,3 jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku )))))⃗ = +8,4,, )))))⃗ ' = +2,6,. Oblicz:
'( oraz
a) współrzędne wierzchołków równoległoboku, ',
b) miarę kąta
'.
c) promień okręgu opisanego na trójkącie Rozwiązanie: Ad. a) Z treści zadania otrzymujemy, że:
Niech
=
-, -
)))))⃗ ' = +10,10,
jest środkiem odcinka ', a więc:
. Wiemy, że punkt
2,3 =
=
-, -
-
+ )))))⃗
+ 5,
-
+5
= −3, −2
A wtedy: =
'=
-
.
+ 8,
+ 2,
-
.
+ 4 = 5,2
+ 6 = 7,8
Dodatkowo: )))))⃗ = +−3,1, = )))))⃗ ( A więc: (= Ad. b) Zauważmy, że: Wtedy:
0
− 3,
+ 1 = −1,4
)))))⃗ = +−8, −4, )))))⃗ ∘ )))))⃗ ' = −8 ∙ 2 − 4 ∙ 6 = −16 − 24 = −40
Ale z drugiej strony: )))))⃗ ∘ )))))⃗ ' = 2)))))⃗2 ∙ 2)))))⃗ ' 2 ∙ cos 6 = √80 ∙ √40 ∙ cos 6 = 40√2 cos 6
A więc: 40√2 cos 6 = −40 cos 6 = −
Dodatkowo wiemy, że 6 ∈ 0, 8 , a więc:
√2 2
6 = 135∘
Ad c) Wiemy, że: | '| = 10√2
Z twierdzenia sinusów w trójkącie
' otrzymujemy:
Gdzie ; to promień szukanego okręgu:
| '| = 2; sin 6
10√2 10√2 = 2; ⟺ = 2; ⟺ 20 = 2; ⟺ ; = 10 sin 135∘ √2 2
A więc szukany promień jest równy 10.
Zad. 4 Wyznacz skalę i środek jednokładności, która okrąg = przekształca na okrąg = , gdzie = : + + 6 − 6 + 14 = 0, = : + − 18 + 2 + 78 = 0. Rozwiązanie: Przekształćmy równanie okręgu = :
+
Jest to okrąg o środku
+ 6 − 6 + 14 = 0
+3
+
−3
= −3,3 oraz o promieniu
Przekształćmy równanie okręgu = : +
Jest to równanie okręgu o środku
=4
= 2.
− 18 + 2 + 78 = 0
−9
+
+1
=4
= 9, −1 oraz o promieniu
Niech > będzie skalą jednokładności, wtedy: |>|
= 2.
=
|>| = 1
> ∈ ?−1,1@ Rozważmy dwa przypadki: Przypadek I:> = 1 Wtedy obrazem każdego punkty byłby ten sam punkt, więc ten przypadek odrzucamy, bo ≠ .
Przypadek II: > = −1 Wtedy jednokładność jest symetrią środkową, a więc środek jednokładności to środek , czyli punkt: odcinka = = 3,1
Zad. 5 Pole trójkąta ' jest równe 20. Wysokość poprowadzona z wierzchołka zawiera się w prostej o równaniu = 3 + 1. Długości ramion i ' są równe i wierzchołek = 7,2 . Wyznacz współrzędne punktów i '. Rozwiązanie: Niech prosta zawierająca odcinek ' dana będzie równaniem: Prosta ta jest prostopadła do prostej
=
+"
= 3 + 1, a więc
prosta przechodzi przez punkt , a więc:
= − , dodatkowo szukana B
7 2=− +" 3 "=
13 3
A w takim bądź razie prosta ' dana jest wzorem:
1 13 + 3 3 jest punktem przecięcia się wcześniej wspomnianych prostych: =−
Punkt
1 13 9 + 3 = − + 13D = 1D + D C ⟺E 3 3 ⟺E =3 +1 =4 = 3 +1 = 1,4 . Znamy więc współrzędne środka odcinka ': =−
Dlatego
1,4 = F
G
+7 , 2
G
' = −5,6
+2 H 2
Korzystając ze wzoru na pole otrzymujemy: | '| ∙ Punkt prostej
leży na prostej B
+
−
B
B
ℎ ℎ = 20 ⟺ 4√10 ∙ = 20 ⟺ ℎ = √10 2 2
= 3 + 1, więc
= 0 o √10:
1 √10 = 3 #
-
=
-, 3 -
+3
-
+ 1 . Wiemy, że
+1−
$10 9
13 # 3
jest odległy od
10 10 =% 3 3 1=|
-
A więc:
-
=2∨
= 2, 7 ∨
-−
10 % 3
− 1| -
=0
= 0,1
Odpowiedź: Są dwie pary punktów spełniających warunki zadania: E
= 2,7 D = 0,1 D ∨ E ' = −5,6 ' = −5,6
Zad. 6 Odcinek o końcach = 4,1 i = 6,3 jest podstawą prostokąta '(. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta, wiedząc, że bok tego prostokąta ma długość dwa razy większą niż długość podstawy. Rozwiązanie: Zauważmy, że )))))⃗ = +2,2,. Niech dany będzie wektor: J⃗ = +4,4,
Korzystając ze wzoru na wektor prostopadły do wektora J⃗ o tej samej długości co J⃗, dostajemy: ))))⃗ K = +−4,4, ∨ K )))))⃗ = +4, −4, Jeżeli przesuniemy wierzchołki
,
o wektor ))))⃗ K to otrzymamy: ' = 0,5
Jeżeli przesuniemy wierzchołki ,
( = 2,7
o wektor K )))))⃗ to otrzymamy: ' = 8, −3
( = 10, −1
Zad. 7 Punkt L = −3,8 jest punktem styczności prostej M do okręgu o środku 3,1 .Napisz równanie okręgu oraz równanie prostej M.
=
Rozwiązanie: Obliczymy długość promienia okręgu: = | L| = √36 + 49 = √85 A więc szukany okrąg dany jest równaniem:
Niech
=
−3
+
−1
= 85
+ " będzie równaniem prostej M. Wiemy, że punkt L leży na tej prostej: 8 = −3 + " " = 8+3
Dlatego szukana prosta jest postaci: −
Dodatkowo punkt
+
−8−3 =0
ma być oddalony o promień od prostej M: √85 = 85
|−3 + 1 − 8 − 3 | √
+1
+ 1 = |7 + 6 |
Obie strony powyższego równania są nieujemne, dlatego możemy podnieść to równanie obustronnie do kwadratu: 85
+ 85 = 49 + 84 + 36
49
− 84 + 36 = 0
7 −6
=
Odpowiedź: Szukana prosta dana jest równaniem: =
6 7
=0
6 74 + 7 7
Zad. 8 Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu = 2,1 i styczny do prostej o równaniu
długość promienia tego okręgu.
=
= 2 − 3 w punkcie
+ 9 w punkcie
= −4,7 . Oblicz
Rozwiązanie: Niech >:
=
+ " będzie prostą prostopadłą do prostej
przez środek okręgu . Wtedy z prostopadłości mamy
przechodzi przez punkt , a więc:
= 2 − 3 i przechodzącą
= − . Dodatkowo prosta >
1 = −1 + " ⟺ " = 2
W takim bądź razie prosta > dana jest równaniem:
Niech :
=
=−
1 +2 2
+ " będzie prostą prostopadłą do prostej
punkt . Z prostopadłości dostajemy
=
+ 9 i przechodzi przez
= −2, zaś z informacji o punkcie :
7 = 8 + " ⟺ " = −1 Dlatego prosta dana jest wzorem: = −2 − 1
Środek okręgu
jest punktem przecięcia się prostych > i : C
A więc
1 −4 − 2 = − + 4D = −2D +2 ⟺E ⟺E 2 = −2 − 1 =3 = −2 − 1
=−
= −2,3 . Teraz możemy policzyć długość promienia tego okręgu: =|
| = √4 + 16 = 2√5
Zad. 9 Punkty = −2,12 i = 6, −2 są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ' o kącie prostym przy wierzchołku '. Oblicz współrzędne wierzchołka ' tego trójkąta, wiedząc, że należy on do prostej o równaniu + 3 = 22. Sporządź rysunek w prostokątnym układzie współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki. Rozwiązanie: Jeżeli trójkąt ' jest prostokątny to środek okręgu opisanego na nim jest środkiem przeciwprostokątnej: =F
−2 + 6 12 − 2 , H = 2, 5 2 2
Znamy także jego promień, który jest równy połowie przeciwprostokątnej: =|
| = √16 + 49 = √65
A więc okrąg ten jest dany równaniem: −2
+
−5
= 65
Wystarczy więc znaleźć punkty wspólne tego okręgu oraz prostej E
−2
+ −5 = 22 − 3
= 65D
⟺E
20 − 3
+ 3 = 22:
+ −5 = 22 − 3
Rozważmy pierwsze równanie 400 − 120 + 9 10
+
− 10 + 25 = 65
− 130 + 360 = 0 − 13 + 36 = 0
−4
−9 =0
=4∨
=9
Z powyższych rozważań otrzymaliśmy, że punkty: ' = 10,4
' = −5,9 Spełniają warunki zadania.
= 65D
Zad. 10 Przez punkt = 2,3 poprowadzona prostą odcinającą na półosiach układu współrzędnych odcinki równej długości. Znajdź równanie tej prostej. Rozwiązanie: Niech = + " będzie równaniem szukanej prostej. Wstawiając punkt równania otrzymujemy:
do tego
3=2 +" " = 3−2 A więc: =
+3−2
Punkt przecięcia się tej prostej z osią =N to 0,3 − 2 , znajdziemy teraz miejsce zerowe: +3−2 =0 =2 −3
Jeżeli = 0 to powyższe równanie jest sprzeczne, a więc możemy założyć, że podzielić obustronnie powyższe równanie przez : =
2 −3
Z treści zadania wiemy, że: |3 − 2 | = %
2 −3
%
| ||3 − 2 | + |3 − 2 | = 0 |3 − 2 || + 1| = 0
|3 − 2 | = 0 ∨ | + 1| = 0 =
3 ∨ 2
=1∨
= −1
Odpowiedź: Proste spełniające warunki zadania są podane przez poniższe równania: =
=
3 2
+1
=− +5
≠0i
Zad. 11 Przekątna kwadratu opisanego na okręgu o równaniu + −2 −4= 0 zawiera się w prostej o równaniu 2 − − 2 = 0. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego kwadratu. Rozwiązanie: Przekształćmy równanie okręgu z treści zadania: +
−1
−2 −4 =0 +
=5
Jest to okrąg o środku = 1,0 oraz promieniu = √5, z tego wynika, że bok kwadratu = 2√5, a jego przekątna O = 2√10. Niech = - , - będzie jednym z szukanych wierzchołków i niech leży on na prostej danej równaniem: = 2 −2
Wtedy = - , 2 - − 2 . Wierzchołki kwadratu są równo oddalone od środka okręgu wpisanego w ten kwadrat: 1−
-
|
| = √10
+4
−1
-
= √10
Obie strony powyższego równania są nieujemne, dlatego możemy podnieść równanie obustronnie do kwadratu: 1−2
-
-
+
5
-
-
-
+4
− 10
−2
-
-
-
−8
-
+ 4 = 10
−5 = 0
−1=0
Δ=8
√Δ = 2√2
= 1 − √2
-P
= −2√2
-
-Q
= 1 + √2 = 2√2
Drugim rozwiązaniem z powyższych rozważań jest punkt ', a więc: = R1 − √2, −2√2S
Zauważmy, że:
' = R1 + √2, 2√2S ))))⃗ ' = R√2, 2√2S
Korzystając ze wzoru na wektor prostopadły do danego i takiej samej długości otrzymujemy poniższy wektor:
Przesuwając punkt
J⃗ = T−2√2, √2U ∨ J⃗ = T2√2, −√2U
o powyższe wektory otrzymujemy:
= R1 + 2√2, −√2S
( = R1 − 2√2, √2S
