6- TRIGONOMETRIA - OPERAÇÕES COM ARCOS

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OPERAÇÕES COM ARCOS Nesta apostila aprenderemos mais algumas ferramentas para calcular o seno, cosseno e tangente de arcos que não estão na tabela trigonométrica. A ideia será relacionar esses arcos quaisquer (arcos diferentes de 30°, 45° e 60°) com os arcos da tabela trigonométrica através da soma, subtração, multiplicação e divisão de arcos. Vamos começar?

SOMA DE ARCOS Como você faria para calcular as razões trigonométricas de um arco que não está na tabela trigonométrica, como o seno de 75°, por exemplo? Bom, 75° pode ser visto como a soma de 10° e 65°, 20° e 55°, 35 e 40° e assim por diante, porém não conhecemos o seno de nenhum desses arcos. Mas 75° também pode ser visto como a soma de 30° e 2 1 45° e o seno desses ângulos já conhecemos: 𝑠𝑒𝑛 30° = e 𝑠𝑒𝑛 45° = . Ah, então o 2 2 2 1 𝑠𝑒𝑛de 45° + = seno de 75° é igual a𝑠𝑒𝑛 soma ? A reposta é não, pois o sen (30°+45°) é diferente 30° = 2 2 de sen 30° + sen 45°! A maneira correta de calcular as razões trigonométricas desses ângulos é a que veremos agora. Para isso, considere a e b arcos quaisquer. Temos então: 𝒔𝒆𝒏 𝒂 + 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 + 𝒔𝒆𝒏 𝒃 � 𝒄𝒐𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒂 + 𝒃 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 − 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒔𝒆𝒏 𝒃 𝒕𝒈 𝒂+ 𝒕𝒈 𝒃

𝒕𝒈 𝒂 + 𝒃 = 𝟏 − 𝒕𝒈 𝒂 . 𝒕𝒈 𝒃

SUBTRAÇÃO DE ARCOS Assim como podemos somar arcos, também podemos subtraí-los. Vamos ver como: 𝒔𝒆𝒏 𝒂 − 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 − 𝒔𝒆𝒏 𝒃 � 𝒄𝒐𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒂 − 𝒃 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 + 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒔𝒆𝒏 𝒃 𝒕𝒈 𝒂 − 𝒕𝒈 𝒃

𝒕𝒈 𝒂 − 𝒃 = 𝟏 + 𝒕𝒈 𝒂 . 𝒕𝒈 𝒃

Exemplo: Calcule as razões trigonométricas de 15°.

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Operações com arcos

Solução: 𝑠𝑒𝑛 15° = 𝑠𝑒𝑛 45° − 30° = 𝑠𝑒𝑛45° � 𝑐𝑜𝑠30° − 𝑠𝑒𝑛30° � 𝑐𝑜𝑠45° =

𝑐𝑜𝑠 15° = 𝑐𝑜𝑠 45° − 30° = 𝑐𝑜𝑠45° � 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑠𝑒𝑛45° � 𝑠𝑒𝑛30° =

2 3 1 2 6 2 � − ∙ = − = 2 2 2 2 4 4

2 3 2 1 6 2 � + � = + = 2 2 2 2 4 4

3 3− 3 1− 𝑡𝑔45° − 𝑡𝑔30° 3− 3 3 3 𝑡𝑔 15° = 𝑡𝑔 45° − 30° = = = = 1 + 𝑡𝑔45° � 𝑡𝑔30° 3 3 + 3 3+ 3 1+1� 3 3

6− 2 4

6+ 2 4

Em resumo

𝒔𝒆𝒏 𝒂 ± 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ± 𝒔𝒆𝒏 𝒃 � 𝒄𝒐𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒂 ± 𝒃 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ∓ 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒔𝒆𝒏 𝒃 𝒕𝒈 𝒂± 𝒕𝒈 𝒃

ARCOS DUPLOS

𝒕𝒈 𝒂 ± 𝒃 = 𝟏 ∓ 𝒕𝒈 𝒂 . 𝒕𝒈 𝒃

Agora imagine que o arco a é igual ao arco b, e que queremos encontrar as razões trigonométricas da soma desses arcos. Para isso usaremos as fórmulas de soma de arcos e chegaremos às fórmulas do seno, cosseno e tangente de arcos duplos. Acompanhe! Como a = b temos: ff 𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 � cos 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 � cos 𝑎 = 2 � 𝑠𝑒𝑛 𝑎 � cos 𝑎 ⇒ 𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 2 � 𝑠𝑒𝑛 𝑎 � cos 𝑎

ff cos 𝑎 + 𝑏 = cos 𝑎 + 𝑎 = cos 2𝑎 = cos 𝑎 � cos 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 � 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 cos 2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 𝑡𝑔 � + 𝑡𝑔 �

2.𝑡𝑔 �

𝑡𝑔 2𝑎 =

2 � 𝑡𝑔 𝑎 1 − 𝑡𝑔2 𝑎

ff 𝑡𝑔 𝑎 + 𝑏 = 𝑡𝑔 𝑎 + 𝑎 = 𝑡𝑔 2𝑎 = 1 − 𝑡𝑔 � . 𝑡𝑔 � = 1 − 𝑡𝑔²� ⇒

Vamos deduzir agora, através da relação fundamental da trigonometria, mais duas formas de calcular o cosseno de arcos duplos. Temos: a. sen² � + cos² � = 1 ⇒ sen2 � = 1 � cos2 � (Relação fundamental da trigonometria)

b. sen² � + cos² � = 1 ⇒ cos2 � = 1 � sen2 � (Relação fundamental da trigonometria) c. cos (2�) = cos² � � sen² �

Substituindo a em c obtemos: 𝑐𝑜𝑠 2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 − 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 − 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 ⟹ 𝑐𝑜𝑠 2𝑎 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 − 1

Substituindo b em c obtemos: 𝑐𝑜𝑠 2𝑎 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 ⟹ 𝑐𝑜𝑠 2𝑎 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑎

2

Solução: Vamos calcular o cosseno de 120° das usando as três fórmulas e você verá como chegamos à mesma resposta. cos (60°) = cos (2.30°) = cos²(30°) – sen²(30°) = cos (60°) = cos (2.30°) = 2 · cos²(30°) – 1 = 2 �

3 2

3 2

2

1 cos (60°) = cos (2.30°) = 1 – 2 · sen²(30°) = 1 − 2 � 2

ARCOS METADE

2

−

1 2

2

=

3 1 2 1 − = = 4 4 4 2

3 3 −2 1 −1 = 2 � − 1 = = 4 2 2 2

= 1−

Operações com arcos

Exemplo: Calcule o cosseno de 120°.

2 4 −2 2 1 = = = 4 4 4 2

Agora que já sabemos calcular as razões trigonométricas de arcos duplos vamos usar fórmula do cosseno duplo para deduzir as fórmulas das razões trigonométricas de arcos metade. Para isso considere 2 � = 𝑥, ou seja, � = 𝑥 . 2 Sabemos que cos (2�) = 1 – 2 sen² � portanto: cos(2𝑎) = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑎 cos 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2

𝑥 2

2 cos=𝑥1 + = −2𝑠𝑒𝑛 cos(2𝑎) −1 2𝑠𝑒𝑛 𝑎 2

𝑥 2

𝑥 2𝑥 cos 𝑥 −2𝑠𝑒𝑛 = 1 −2 2𝑠𝑒𝑛 = 2cos=𝑥1 + cos(2𝑎) − 12𝑠𝑒𝑛2 𝑎 2 2𝑥 22 𝑥 cos 𝑥 + 1 =𝑥 −2𝑠𝑒𝑛 cos 𝑥cos = 11 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 cos(2𝑎) = − 2𝑠𝑒𝑛 𝑎 2 𝑠𝑒𝑛2 =− 2 2 2 𝑥 cos 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥2 𝑥 −2𝑠𝑒𝑛2 = cos 𝑥 + 1 = −2𝑠𝑒𝑛 2 2 2 𝑠𝑒𝑛2

2𝑥 𝑥 cos 𝑥 +2 1𝑥= = −2𝑠𝑒𝑛 −2𝑠𝑒𝑛 cos 𝑥 2+ 1 =− 2 2 2 2𝑥 𝑥 = cos 𝑥 + 1 −2𝑠𝑒𝑛 2 2= − 𝑠𝑒𝑛 2 2 𝑥 cos 𝑥 + 1 𝑠𝑒𝑛2 =− 2 2

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Operações com arcos

Sabemos também que cos (2�) = 2cos²� – 1 portanto:

2 𝑎2 − 1 cos(2𝑎) cos(2𝑎)==2𝑐𝑜𝑠 2𝑐𝑜𝑠 𝑎−1

2 2𝑥 𝑥 − 1 cos cos𝑥 𝑥==2𝑐𝑜𝑠 2𝑐𝑜𝑠 −1 22

𝑥 22 𝑥 cos −2𝑐𝑜𝑠 cos𝑥 𝑥++1 1==−2𝑐𝑜𝑠 22 𝑥 2 2 𝑥 = cos 𝑥 + 1 2𝑐𝑜𝑠 2𝑐𝑜𝑠 = cos 𝑥 + 1 22 11 cos𝑥 𝑥++ 2 2𝑥 𝑥 = cos 𝑐𝑜𝑠 = 𝑐𝑜𝑠 22 22

Exemplo: Calcule a tangente de 7,5°. Solução:

15° 1 − 𝑐𝑜𝑠 15° 𝑠𝑒𝑛 ± 1 − 𝑐𝑜𝑠 15° 15° 2 2 = =± tg (7,5°) = tg = 15° 1 + 𝑐𝑜𝑠 15° 2 𝑐𝑜𝑠 15° + 1 𝑐𝑜𝑠 2 ± 2

Como já calculamos o cosseno de 15° através da diferença de arcos, temos: tg (7,5°) = ANOTAÇÕES

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