MATEMÁTICA - PROF. ALBERTO CHUPETA

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Matemática e suas Tecnologias

Matemática

Módulo

Único

Prof. Alberto César @alberto.chupeta

ÁLGEBRA 1. TEORIA DOS CONJUNTOS  CONCEITOS PRIMITIVOS O ponto de partida da teoria dos conjuntos consiste nos seguintes conceitos primitivos: - conjunto: designado, em geral, por uma letra maiúscula (A, B, C, ..., X, Y, Z); - elemento: designado, em geral, por uma letra minúscula (a, b, c, ..., x, y, z); - pertinência: a relação entre elemento e conjunto, denotada pelo símbolo

, que se lê

“pertence a”.  NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO A representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.  FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO o 1ª Forma: POR EXTENSÃO Enumeram-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgula ou ponto e vírgula.

Exemplos: A = {1; 2; 3} ou A = {1; 2; 3} O conjunto A possui três elementos. B = { 1; 2,3} O conjunto B possui dois elementos: o número 1 e o número 2,3. C = {1; 3} O conjunto C possui dois elementos: o número 1; e o número 3. o 2ª Forma: POR COMPREENSÃO O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos. Observe que a propriedade que caracteriza o conjunto permite estabelecer se um dado elemento pertence ou não ao conjunto. Exemplos:

a)

Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: B = {x / x é vogal do nosso

alfabeto}

1

b)

Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {x/x é

algarismo do sistema decimal de numeração}

o 3ª Forma: DIAGRAMA DE VENN A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado.

Exemplo: Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto.

 CARDINALIDADE Cardinalidade de um conjunto finito, nada mais é que a quantidade de elementos que esse conjunto possui. Ex.: 𝐀 = {𝟔; 𝟕; 𝟖} O conjunto A tem cardinalidade 3 .  RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, dizemos que: a pertence a A e escrevemos a

A

Caso contrário, dizemos que a não pertence a A e escrevemos a ∈ A.

Exemplo: Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}

2

O algarismo 2 pertence ao conjunto A, então: 2 ∈ A. O algarismo 7 não pertence ao conjunto A, então: 7 ∉ A.

 ALGUNS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS < (é menor que) > (é maior que) ≤ (é menor ou igual a) ≥ (é maior ou igual a) { } ou

(conjunto vazio)

(“para todo” ou “para qualquer que seja) (pertence) (não pertence) (existe)

(está contido) (não está contido)

 SUBCONJUNTOS - Relação de Inclusão

(contém) Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer

a A, pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da | (tal que)

seguinte simbologia: 𝑨⊂𝑩

(Lê-se: A contido em B)

Obs.: Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão: 𝑩⊃𝑨

(Lê-se: B contém A)

O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira: 𝑨⊄𝑩

(Lê-se: A não está contido em B) 3

Exemplos:

Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como

todo

elemento

do

conjunto A pertence

ao conjunto A,

dizemos

que A é subconjunto de A e, por extensão, todo conjunto é subconjunto dele mesmo. Importante  A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos.

Exemplo: Considerando P o conjunto dos números naturais pares e N o conjunto dos números naturais, temos:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}

E

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Neste caso P  N, pois todos os elementos de P pertencem a N.

Representação por diagrama:

 CONJUNTOS ESPECIAIS Embora conjunto nos ofereça a ideia de “reunião” de elementos, podemos considerar como conjunto agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum. 4

- Conjunto Unitário: Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento.

Exemplos:

1º) Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2} 2º) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua} 3º) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6}

- Conjunto Vazio: Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio, considerando um conjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível.

Exemplo: Conjunto das raízes reais da equação: x2 + 1 = 0 O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas:  ou { }. Não podemos confundir as duas notações representando o conjunto vazio por {} , pois estaríamos apresentando um conjunto unitário cujo elemento é o  . O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.

- Conjunto Universo: Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U. Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que for estabelecido.  CONJUNTO DAS PARTES Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

5

Determinação do Conjunto de partes Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos: 1º) Subconjunto vazio:  , pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}. 3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}. 4º) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma:

P(A) = {  , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}.

Número de Elementos do conjunto de partes Podemos

determinar

o

número

de

elementos

do conjunto de

partes

de

um conjunto A dado, ou seja, o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P(A). Se A tem n elementos, P(A) tem 2n elementos.

 IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta.

Veja o exemplo abaixo: {1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}

Por isso, convencionamos não repetir elementos de um conjunto.

Observação 1: Se o conjunto A está contido em B (A

B) e B está contido em A (B

A),

podemos afirmar que A = B.

6

Observação 2: Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A ≠ B.  OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

- União de Conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, a união (ou reunião) é o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B. E é indicado por A  B (lê-se: A união B ou A reunião B). Representamos a união de dois conjuntos da seguinte forma:

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵} Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, calcular A  B . Sol.: A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

Graficamente, temos:

Observe que os elementos comuns não são repetidos.

- Intersecção de Conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, a intersecção é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. E é indicado por A  B (lê-se: A intersecção B ou, simplesmente, A inter B). Representamos a intersecção de dois conjuntos da seguinte forma:

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵} Exemplo 1: Sendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9}, determinar A  B . Sol.: A  B = {3, 5, 8}, apenas os elementos comuns a A e B. 7

Graficamente:

Exemplo 2: Calcule M  N onde M = {2, 3, 5} e N = {4, 6}. Sol.: M  N   , não há elementos comuns. Nesse caso, dizemos que os conjuntos são disjuntos.

- Diferença de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, podemos determinar um conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Esse conjunto é chamado diferença entre A e B e indicado por A – B, que se lê “A menos B”. Assim, definese: A – B = {x | x  A e x  B}

Graficamente, temos:

8

Exemplo 1: Calcular A – B, sabendo que A = {3, 4, 6, 8, 9} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 10}. Sol.: A – B = {3, 8, 9}, elementos que estão em A mas não estão em B.

Graficamente:

Exemplo 2: Sendo A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 3, 5, 6}, calcule A – B. Sol.: A – B =  , não existe elemento de A que não pertença a B.

Exercícios de Fixação

1. O Departamento de Ensino de uma determinada Instituição fez um levantamento sobre os 50 professores alocados nos cursos oferecidos, e verificou que 30 professores lecionavam no Ensino Médio, 26 professores lecionavam no Ensino Fundamental, 10 em outras modalidades e alguns no Ensino Médio e Fundamental. Com base nestas informações, conclui-se que o número de professores que não lecionavam no Ensino Médio é igual a: a) 10 b) 16 c) 20 d) 34 e) 44 2. Em uma turma de cinquenta alunos de Medicina, há dezoito cursando Anatomia, quinze cursando Citologia e treze cursando Biofísica. Seis alunos cursam simultaneamente Anatomia e Citologia, cinco cursam simultaneamente Citologia e Biofísica e quatro cursam simultaneamente Anatomia e Biofísica. Dezesseis alunos não cursam nenhuma destas disciplinas. O número de alunos que cursam, simultaneamente, exatamente duas disciplinas é a) 31. b) 15. 9

c) 12. d) 8. e) 6. 3. Uma agência de viagens oferece aos seus primeiros clientes, na primeira semana do ano, três pacotes promocionais: Básico, Padrão e Luxo. No regulamento da promoção há uma cláusula que não permite que o cliente que opte por apenas 2 pacotes, simultaneamente, adquira os pacotes Padrão e Luxo. No final da semana, constatou-se que: - 37 clientes ficaram com pelo menos um dos pacotes promocionais; - 13 clientes adquiriram, simultaneamente, os pacotes Básico e Padrão; - 19 clientes ficaram com apenas um pacote. A quantidade de clientes que adquiriram, simultaneamente, apenas os pacotes Básico e Luxo foi de: a) 5 b) 6 c) 18 d) 24 e) 32 4. Em uma cooperativa de agricultores do município de Vitória de Santo Antão, foi realizada uma consulta em relação ao cultivo da cultura da cana-de-açúcar e do algodão. Constatou-se que 125 associados cultivam a cana-de-açúcar, 85 cultivam o algodão e 45 cultivam ambos. Sabendo que todos os cooperativados cultivam pelo menos uma dessas duas culturas, qual é o número de agricultores da cooperativa? a) 210 b) 255 c) 165 d) 125 e) 45 5. Numa creche com 32 crianças: -

5 crianças moram na Tijuca, vão de ônibus e jantam na creche. 3 crianças moram na Tijuca, vão de ônibus, mas não jantam na creche. 9 crianças não moram na Tijuca, não vão de ônibus e não jantam na creche. 11 crianças moram na Tijuca e jantam na creche. 16 crianças moram na Tijuca. 9 crianças vão de ônibus e jantam na creche. 13 crianças vão de ônibus.

Quantas crianças jantam na creche? a) 11. b) 15. c) 17. d) 18. 6. Em um grupo de 100 jovens, verificou-se que 10

- dos que usam óculos de grau, 12 usam aparelho ortodôntico. - a metade dos que usam óculos de grau não usa aparelho ortodôntico. - 70% dos que usam aparelho ortodôntico não usam óculos de grau. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de jovens que não usam óculos de grau e nem aparelho ortodôntico é igual a a) 36 b) 48 c) 62 d) 70 e) 88 7. No texto “Somos todos estrangeiros”, de Diana Corso, a autora afirma que convivemos “com as diferentes cores de pele, interpretações dos gêneros, formas de amar e casar, vestimentas, religiões ou a falta delas, línguas” e isso pode levar a atitudes discriminatórias. Para investigar a realidade do preconceito nas escolas, realizou-se uma pesquisa sobre atitudes discriminatórias com um certo número de alunos, cujas respostas são apresentadas na tabela. Atitude Discriminatória

Número de Alunos

Gênero

148

Deficiência

118

Étnico-racial

108

Gênero e deficiência

36

Gênero e étnico-racial

42

Deficiência e étnico-racial

30

Gênero, deficiência e étnico-racial

24

Outra

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O número de entrevistados foi de a) 576 b) 444 c) 308 d) 290 8. Com o objetivo de realizar um levantamento sobre o número de professores afastados para cursos de capacitação do campus Vitoria de Santo Antão, verificou-se que, de um total de 88 professores na instituição, 45 professores lecionam no Ensino Integrado; 35 professores lecionam no Ensino Superior; 30 professores lecionam no Ensino Subsequente; 15 professores lecionam no Integrado e Superior; 10 professores lecionam no Integrado e Subsequente; 10 professores lecionam no Superior e Subsequente; 5 professores lecionam no Integrado, Superior e Subsequente.

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Sabe-se que o campus Vitória de Santo Antão apenas oferece essas três modalidades de ensino e que todos os professores que não estão afastados lecionam em, pelo menos, uma das três modalidades. Com base nestas informações, conclui-se que o número de professores que não estão lecionando em nenhuma das três modalidades por estarem afastados para curso de capacitação é a) 20 b) 16 c) 12 d) 8 e) 10 9. Em um grupo de 60 jovens praticantes de vôlei, basquete e futsal, sabe-se que: -

03 praticam os três esportes citados, 01 não pratica nenhum esporte, 07 jogam vôlei e basquete, 25 jogam vôlei, 27 praticam basquete, 10 praticam basquete e futsal, 30 jogam futsal, 08 praticam vôlei e futsal.

Quantos jovens praticam apenas dois esportes? a) 16 b) 17 c) 19 d) 25 10. Em uma pesquisa para estudar a incidência de três fatores de risco (A, B e C) para doenças cardíacas em homens, verificou-se que, do total da população investigada, 15% da população apresentava apenas o fator A; 15% da população apresentava apenas o fator B; 15% da população apresentava apenas o fator C; 10% da população apresentava apenas os fatores A e B; 10% da população apresentava apenas os fatores A e C; 10% da população apresentava apenas os fatores B e C; em 5% da população os três fatores de risco ocorriam simultaneamente.

Da população investigada, entre aqueles que não apresentavam o fator de risco A, a porcentagem dos que não apresentavam nenhum dos três fatores de risco é, aproximadamente, a) 20%. b) 50%. c) 25%. d) 66%. e) 33%. 2. INTRODUÇÃO À FUNÇÃO

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   

O conjunto A é o domínio da função. O conjunto B é o contradomínio da função. O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x. O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos de A é denominado conjunto imagem ou apenas imagem da função.

 CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES  FUNÇÃO INJETORA A função é injetora quando elementos diferentes de A correspondem a elementos diferentes de B.

 FUNÇÃO SOBREJETORA A função é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A, isto é, quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio da função. Im(f) = CD(f).

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 FUNÇÃO BIJETORA É toda função de A em B que é simultaneamente, injetora e sobrejetora. Somente a função bijetora admite inversa.

 FUNÇÃO SIMPLES Quando uma função não é nem injetora, nem sobrejetora é dita simples.  FUNÇÃO INVERSA Denomina-se função inversa da função bijetora f: A  B a função f- -1: B  A, que associa a cada x de B um elemento y de A, tal que y = f - -1 (x).  Para se obter a inversa de uma função devemos realizar as seguintes etapas: 1) verificar se a função é bijetora ; 2) trocar x por y e y por x; 3) isolar novamente o y, deixando-o em função de x;  O gráfico da função inversa é simétrico ao gráfico da função de origem, em relação à reta y = x, que é bissetriz dos quadrantes ímpares.

FUNÇÃO COMPOSTA Dadas as funções f : A  B e g : B  C, denominamos função composta de g e f a função gof :

A  C, que é definida por (gof)(x) = g(f(x)), com x  A. Podemos ter ainda fof, fog e

gog.

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 FUNÇÃO AFIM Denominamos função afim ou função polinomial do primeiro grau a toda função f : IR ⇾ IR definida por f(x) = ax + b , com a, b e x  IR ( com a ≠ 0 ).

A figura representativa de uma função de primeiro grau é uma reta.  COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO AFIM 1º caso: se a > 0 ⇾ a função f(x) = ax + b é crescente.

2º caso: se a < 0 ⇾ a função f(x) = ax + b é decrescente.

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 COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM  a : coeficiente angular – Tangente do ângulo formado pela reta representativa de uma função do primeiro grau e o eixo das abscissas. É também chamado de declividade da reta ou taxa de variação da reta.

Dados dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) pertencentes à reta representativa da função de 1º grau. Definimos algebricamente o coeficiente angular como sendo: 𝐲𝟐 − 𝐲𝟏 𝐚= 𝐱𝟐 − 𝐱𝟏  b : coeficiente linear: ponto de encontro da reta representativa de uma função de 1º grau com o eixo das ordenadas. É também chamado de valor inicial da reta.

 Raiz ou zero: Valor de x que produz imagem nula (f(x) = 0). x é raiz de f  f(x) = 0 Se f(x) = 0, então f(x) = ax + b = 0 ⇾ ax = -b ⇾ 𝐱 =

−𝐛 𝐚

No gráfico, a raiz é representada pelo ponto de encontro da reta com o eixo das abcissas.

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SINAL DA FUNÇÃO AFIM

1º caso : Para a>0 : - f(x) > 0, para x > -b/a - f(x) < 0, para x < -b/a

2º caso : Para a 0, para x < -b/a - f(x) < 0, para x > -b/a

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: QO = –20 + 4P QD = 46 – 2P em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33 2. Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x).

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A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é x 1 2 1 y  x 2 y  2x  2

a) y  b)

c) d) y  2x  2 e) y  2x  2 3. Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo os recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por água e o risco de racionamento não pode ser descartado. O nível de água de um reservatório foi monitorado por um período, sendo o resultado mostrado no gráfico. Suponha que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pelos próximos meses.

Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade? a) 2 meses e meio. b) 3 meses e meio. c) 1 mês e meio. d) 4 meses. e) 1 mês. 4. O gráfico representa a função real definida por f(x) = a x + b.

O valor de a + b é igual a a) 0,5. 18

b) 1,0. c) 1,5. d) 2,0. 5. A figura a seguir representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.

Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então a) M(x)  500  0,4x. b) M(x)  500  10x. c) M(x)  510  0,4x. d) M(x)  510  40x. e) M(x)  500  10,4x. 6. Uma cisterna de 6.000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo.

Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora? a) 1.000 b) 1.250 c) 1.500 d) 2.000 e) 2.500 7. O gráfico abaixo apresenta informações sobre a relação entre a quantidade comprada 19

(x) e o valor total pago (y) para um determinado produto que é comercializado para

revendedores.

Um comerciante que pretende comprar 2.350 unidades desse produto para revender pagará, nessa compra, o valor total de: a) R$ 4.700,00. b) R$ 2.700,00. c) R$ 3.175,00. d) R$ 8.000,00. e) R$ 1.175,00. 8. O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada. Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é a) y  4300x b) y  884 905x c) y  872 005  4300x d) y  876 305  4300x e) y  880 605  4300x 9. O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00 , enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00 . As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? a) 100n  350  120n  150 20

b) 100n  150  120n  350 c) 100(n  350)  120(n  150) d) 100(n  350.000)  120(n  150.000) e) 350(n  100.000)  150(n  120.000) 10. O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será a) menor que 1150. b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1150 e menor que 1200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1200. 11. Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra. Revista Exame. 21 abr. 2010. A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é a) f(x)  3x b) f(x)  24 c) f  x  27 d) f(x)  3x  24 e) f(x)  24x  3 12. Um reservatório é abastecido com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litro por minuto, do volume de água que entra no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, em minuto.

21

Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem uma vazão constante de enchimento? a) De 0 a 10. b) De 5 a 10. c) De 5 a 15. d) De 15 a 25. e) De 0 a 25. 13. Os pontos de um plano cartesiano de coordenadas (2, 2) e (4,  2) pertencem ao gráfico de uma função f :  , definida por f(x)  ax  b. Qual o valor de a  b? a) 0. b) 2. c) 4. d) 6. e) 8. 14. Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia proporcional aos quilômetros percorridos. Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma corrida de 5 km paga-se R$ 19,50, então o valor da bandeirada é a) R$ 7,50. b) R$ 6,50. c) R$ 5,50. d) R$ 4,50. 15. Um motorista de táxi cobra, para cada corrida, uma taxa fixa de R$5,00 e mais R$2,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é função da quantidade total (x) de quilômetros percorridos e calculado por meio da função R(x)  ax  b, em que a é o preço cobrado por quilômetro e b, a soma de todas as taxas fixas recebidas no dia. Se, em um dia, o taxista realizou 10 corridas e arrecadou R$410,00, então a média de quilômetros rodados por corrida, foi de a) 14 b) 16 c) 18 d) 20

3. FUNÇÃO QUADRÁTICA A função quadrática ou função polinomial do 2º grau é uma função f : IR ⇾ IR definida por f(x) = ax² + bx + c, onde a;b;c são números reais e a ≠ 0. Num sistema cartesiano ortogonal XoY, o gráfico da função quadrática é uma curva denominada parábola. 22

 CONCAVIDADE DA PARÁBOLA 1° caso : Se a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima. 2° caso : Se a 0, a função quadrática possui duas raízes reais e distintas ( x1 ≠x2 )

2° caso: Se Δ = 0, a função quadrática apresenta duas raízes reais e iguais ( x1 = x2 )

3° caso: Se Δ < 0, a função quadrática não admite raízes reais.

 RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES

 Soma de raízes :

X1 + X 2 =

−𝒃 𝒂

𝒄

 Produto de raízes : X1 . X2 = 𝒂 24

 FORMA FATORADA DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Qualquer função quadrática na forma f(x) = ax² + bx + c pode ser escrita como um produto de duas funções de primeiro grau, na forma: a( x – x1 )( x – x2 ), onde x1 e x2 são as raízes da função quadrática.  ESTUDO DO VÉRTICE Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.

Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.

O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "equidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. Trocando em miúdos, a coordenada "x" do vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a soma das duas dividido por dois. Vamos chamá-lo de Xv ("x" do vértice): 𝐱 𝐯 =

−𝐛 𝟐𝐚

e

𝐲𝐯 =

− 𝟒𝐚

.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t)  

t2  400, 4

25

com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0

2. A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) 

3 2 x  6x  C, 2

onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros.

Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6.

26

3. Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)  3x2  12x e o custo mensal da produção é dado por C(x)  5x2  40x  40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes.

4. Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h)  h2  22h  85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. Intervalos de temperatura (C)

Classificação

T0

Muito baixa

0  T  17

Baixa

17  T  30

Média

30  T  43

Alta

T  43

Muito alta

Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como a) muito baixa. b) baixa. c) média. d) alta. e) muito alta.

27

5. Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y  f(x), da seguinte maneira:

- A nota zero permanece zero. - A nota 10 permanece 10. - A nota 5 passa a ser 6. A expressão da função y  f(x) a ser utilizada pelo professor é a) y  

1 2 7 x  x. 25 5

b) y  

1 2 x  2x. 10

c) y 

1 2 7 x  x. 24 12 4 5

d) y  x  2. e) y  x.

6. Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = −x2 + 12x − 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a a) 4. b) 6. c) 9. d) 10. e) 14.

7. Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:

28

y  9  x2, sendo x e y medidos em metros.

Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a

2 3

da área do retângulo cujas

dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado? a) 18 b) 20 c) 36 d) 45 e) 54

8. A receita obtida pela venda de um determinado produto é representada pela função R(x) = – x2 + 100x, onde x é a quantidade desse produto. O gráfico da referida função é apresentado abaixo.

É CORRETO afirmar que as quantidades a serem comercializadas para atingir a receita máxima e o valor máximo da receita são, respectivamente, a) 50 e 2.000. b) 25 e 2.000. c) 100 e 2.100. d) 100 e 2.500. e) 50 e 2.500.

9. De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela 29

expressão matemática L  R  C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma indústria produziu x peças e verificou que o custo de produção era dado pela função C(x)  x2  500x  100 e a receita representada por R(x)  2000x  x2. Com base nessas informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo. a) 625

b) 781150

c) 1000

d) 250

e) 375

10. Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t)  2t2  120t (em que t é expresso em dia e t  0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1.600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. A segunda dedetização começou no a) 19º dia. b) 20º dia. c) 29º dia. d) 30º dia. e) 60º dia.

11. Preocupados com o lucro da empresa VXY, os gestores contrataram um matemático para modelar o custo de produção de um dos seus produtos. O modelo criado pelo matemático segue a seguinte lei: C = 15000 – 250n + n2, onde C representa o custo, em reais, para se produzirem n unidades do determinado produto. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? a) – 625. b) 125. c) 1245. d) 625. e) 315.

30

12. A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. Em regiões com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação e armazenamento da água da chuva. Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão V(t)  

1 t2  3 43200

representa o volume (em m3 ) de água presente no tanque no instante t (em minutos). Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado? a) 360. b) 180. c) 120. d) 6. e) 3. 13. A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo de fabricação de cada unidade é dado por 3x2 + 232, e o seu valor de venda é expresso pela função 180x − 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo.A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é a) 10 b) 30 c) 58 d) 116 e) 232

14. O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição a seguinte tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria calculada ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam contadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação. Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova? a) 0 b) 25 31

c) 50 d) 75 e) 100

15. A empresa SKY transporta 2 400 passageiros por mês da cidade de Acrolândia a Bienvenuto. A passagem custa 20 reais, e a empresa deseja aumentar o seu preço. No entanto, o departamento de pesquisa estima que, a cada 1 real de aumento no preço da passagem, 20 passageiros deixarão de viajar pela empresa. Nesse caso, qual é o preço da passagem, em reais, que vai maximizar o faturamento da SKY? a) 75 b) 70 c) 60 d) 55 e) 50 4. FUNÇÃO EXPONENCIAL Seja a um número real positivo e diferente de um ( a  IR+ ; a ≠ 1 ). Denomina-se função exponencial de base a, a função f de 𝐼𝑅 em 𝐼𝑅+∗ que associa a cada x real o número real ax.

𝑓 ∶ 𝐼𝑅  𝐼𝑅+∗

y = 𝑎𝑥

 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 01 - Na função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , com a > 0 e a ≠ 1, temos, para x = 0 : 𝑓(0) = 𝑎0 = 1. Ou seja : O ponto P(0,1) pertence ao gráfico de f,  a > 0 e a ≠1.

02 - Se a > 1 a função exponencial é crescente.

32

03 - Se 0 < a < 1 a função exponencial é decrescente.

04 - A função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 é injetora. 05 - Na função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , com a > 0 e a ≠ 1, temos : f( x + y ) = f(x) . f(y)

 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS São equações cuja incógnita se apresenta no expoente (com a > 0 e a ≠ 1 ). Sendo a função exponencial injetora ( propriedade 04 ), podemos concluir que: 𝒂𝒙 = 𝒂𝒚 ⟺ 𝒙 = 𝒚 Com a > 0 e a ≠ 1. Isso significa que : potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:

p(t)  40  23t

em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias.

Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será a) reduzida a um terço. b) reduzida à metade. 33

c) reduzida a dois terços. d) duplicada. e) triplicada.

2. O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1.800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t)  1.800  (1,03)t .

De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de tempo de serviço será, em reais, a) 7.416,00. b) 3.819,24. c) 3.709,62. d) 3.708,00. e) 1909,62.

3. A análise de uma aplicação financeira ao longo do tempo mostrou que a expressão V(t)  1000  20,0625t fornece uma boa aproximação do valor V (em reais) em função do

tempo t (em anos), desde o início da aplicação. Depois de quantos anos o valor inicialmente investido dobrará? a) 8. b) 12. c) 16. d) 24. e) 32.

4. Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir 65°C será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em minutos, pela expressão T  160  20,8t  25. Qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? a) 0,25 minutos. 34

b) 0,68 minutos. c) 2,5 minutos. d) 6,63 minutos. e) 10,0 minutos.

5. Biólogos estimam que a população P de certa espécie de aves é dada em função do t

tempo t, em anos, de acordo com a relação P  250  (1,2) 5 , sendo t  0 o momento em que o estudo foi iniciado. Em quantos anos a população dessa espécie de aves irá triplicar? (dados: log 2  0,3 e log 3  0,48.)

a) 45 b) 25 c)

12

d) 18 e) 30

6. Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, modelado pela função y(t)  at1, na qual y representa a altura da planta em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior que

1.

O

gráfico representa a função y.

Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando plantada, e deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o plantio. 35

O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a a) 3. b)

4.

c) 6. d) log2 7. e) log2 15.

7. O valor de certo equipamento, comprado por R$60.000,00, é reduzido à metade a cada 

15 meses. Assim, a equação V (t) = 60.000. 2

t 15

, onde t é o tempo de uso em meses e

V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a: a) R$ 3.750,00 b) R$ 7.500,00 c) R$10.000,00 d) R$20.000,00

8. Em um experimento de laboratório, 400 indivíduos de uma espécie animal foram submetidos a testes de radiação, para verificar o tempo de sobrevivência da espécie. Verificou-se que o modelo matemático que determinava o número de indivíduos sobreviventes, em função do tempo era N(t)  C  At , com o tempo t dado em dias e

A

eC

dependiam do tipo de radiação. Três dias após o início do experimento, havia 50 indivíduos.

Quantos indivíduos vivos existiam no quarto dia após o início do experimento? a) 40 b) 30 c) 25 d) 20 e) 10

9. Em um experimento no laboratório de pesquisa, observou-se que o número de bactérias de uma determinada cultura, sob certas condições, evolui conforme a função 36

B(t)  10  3t1, em que B(t) expressa a quantidade de bactérias e t representa o tempo em

horas. Para atingir uma cultura de 810 bactérias, após o início do experimento, o tempo decorrido, em horas, corresponde a: a)

1.

b)

2.

c) 3. d)

4.

e) 5.

10. Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura pode ser descrita pela expressão N t  N0  2kt , sendo N0 a população no início do tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, que descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é igual a a) 51 b) 51 c) 10 d) 101 e) 101

11. A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico modelado pela fórmula q  10  2kt , onde q representa a quantidade de substância radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é a)  35 5 b)  33 10 c)  5 33 d) 10 33 e) 100 33

37

12. Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de bactérias Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t, de acordo com a lei Q(t)  Q0  ekt , sendo k  0 uma constante que depende da natureza das bactérias; o número irracional e vale aproximadamente 2,718 e Q0 é a quantidade inicial de bactérias.

Se uma cultura tem inicialmente 6.000 bactérias e, 20 minutos depois, aumentou para 12.000, quantas bactérias estarão presentes depois de

a)

1,8  104

b)

2, 4  104

c)

3,0  104

d)

3,6  104

e)

4,8  104

1

hora?

5. LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARITIMICA  LOGARITMO Sejam a um número real tal que a > 0 e a ≠ 1 e b um número real tal que b > 0. Chamase logaritmo de b na base a ao expoente x que deve atribuir à base a de modo que a potência obtida seja igual a b. Representamos por 𝑥 = log 𝑎 𝑏 e lê-se x é o logaritmo de b na base a.

log 𝑎 𝑏 = 𝑥 ⟺ 𝑎 𝑥 = 𝑏,  𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1. - Valor de b: logaritmando - Valor de a: Base do logaritmo - Valor de x: logaritmo Obs: o valor de b é também chamado de antilogaritmo.

Antilog 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⟺ log 𝑎 𝑏 = 𝑥  LOGARITMO DECIMAL: Quando a base é 10, omitimos a base escrevendo apenas 𝑙𝑜𝑔𝑏.



Log b = x  a = 10

 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO: Sejam a,b e c números reais e positivos ( a ≠ 1 ) e n um número real qualquer, decorrem da definição de logaritmos: - log 𝑎 1 = 0 38

- log 𝑎 𝑎 = 1 - log 𝑎 𝑎𝑛 = 𝑛 - 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 - log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 𝑐 ⟺ b = c ( princípio da equação logarítmica )

 OPERAÇÕES COM OS LOGARITMOS I – LOGARITMO DO PRODUTO

log 𝑎 (𝑏. 𝑐) = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐 Podemos estender essa propriedade para “n” fatores reais e positivos:

log 𝑎 (𝑏1 . 𝑏2 … . . 𝑏𝑛 ) = log 𝑎 𝑏1 + log 𝑎 𝑏2 + … . . + log 𝑎 𝑏𝑛 II – LOGARITMO DA DIVISÃO

𝑏 log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐 𝑐 III – LOGARITMO DA POTÊNCIA

log 𝑎 𝑏  = . log 𝑎 𝑏 IV – MUDANÇA DE BASE

log 𝑎 𝑏 =

log 𝑐 𝑏 log 𝑐 𝑎

Uma consequência da mudança de base de um logaritmo é a seguinte propriedade operatória:

log 𝑎 𝑏 =

1 log 𝑏 𝑎

V – LOGARITMO DO EXPOENTE NA BASE

log 𝑎 𝑏 =

log 𝑎 𝑏



 FUNÇÃO LOGARITMA

Sendo

f

uma

função

de

𝑅+∗ → 𝑅,

temos:

log 𝑏 𝑎 = 𝑦 ↔ 𝑎 = 𝑏 𝑦

,

no

entanto log 𝑏 𝑎 = 𝑦 → 𝑎 > 0 𝑒 0 < 𝑏 ≠ 1. 39

Sendo f(x) = log 𝑎 𝑥, temos 2 possibilidades: 1ª caso: Quando a > 1

2ª caso: Quando 0 < a < 1

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. MW e M0 se relacionam pela fórmula: MW  10,7 

2 log10 (M0 ) 3

Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW  7,3 .

40

U.S. GEOLOGICAL SURVEY, Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)? a) 105,10 b) 100,73 c) 1012,00 d) 1021,65 e) 1027,00 2. Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t)  A (2,7)kt , onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log10 2. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100 3. A solução da equação na variável real a) primo. b) par. c) negativo. d) irracional.

x,

logx (x  6)  2, é um número

4. Se logx  logx2  logx3  logx4  20, o valor de x é: a) 10 b) 0,1 c) 100 d) 0,01 e) 1 5. Se a) b) c) d)

log1 2 x  3,

então 3 x  x2 vale:

34

6 28 50 41

e) 66 6. Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por M

 E  2 log  , 3  E0 

sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que E1 e E2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente. Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).

Qual a relação entre E1 e E2 ? a) E1  E2  2 b) E1  102  E2 c) E1  103  E2 9

d) E1  10 7  E2 e)

E1 

9  E2 7

7. Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y  log(x), conforme a figura.

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros. 42

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é  n  n2  4   2    log  n  n  4      2 2      n  n b) log  1    log  1   2    2

a) log 

 n      n  n2  4   d) log    2  

n

c) log  1    log  1   2 2 

 n  n2  4     2  

e) 2 log 

8. Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função P  0,1 log2  x  1996, onde P é a população no ano x, em milhares de habitantes. Considerando 2  1,4, podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: a) 2005 b) 2002 c) 2011 d) 2007 e) 2004

6. PROGRESSÃO ARITMÉTICA Chamamos de progressão aritmética (PA) qualquer sequência onde cada termo , a partir do segundo menos o anterior é constante, chamada de razão. Assim

𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = 𝑟, ( n > 1) 

CLASSIFICAÇÃO: As progressões aritméticas, quanto ao número de termos podem ser: a) finitas, se possuem um número finitos de termos. b) infinitas, se possuem um número infinitos de termos.

As progressões aritméticas formadas por números reais podem ser: a) Crescente (r > 0) b) Constante ou estacionárias (r = 0) 43

c) Decrescente (r < 0)

Observação:Concluímos rapidamente que: PA crescente  an  an1 PA constante  an  an1 PA cecrescente  an  an1 

FÓRMULA DO TERMO GERAL Se (ai ) é uma progressão aritmética de razão r , então o termo de ordem n , a n é dado por 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑟(𝑛 − 1)



PROPRIEDADES

1ª.Em toda PA cada termo , a partir do segundo , é a média aritmética entre o antecedente e o consequente. 2ª.Em toda PA finita , a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 3ª.Em toda PA finita , com número ímpar de termos , o termo médio (central) é a média aritmética dos extremos ( ou de dois termos equidistantes dos extremos). 

REPRESENTAÇÃO ESPECIAL

P.A. de 3 termos:

x  r; x; x  r 

P.A. de 4 termos: x  3y; x  y; x  y; x  3yonde r =2y PA de 5 termos: x  2r; x  r; x; x  r; x  2r  

FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS A soma S n dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por

𝑆𝑛 =

(𝑎1 + 𝑎𝑛 )𝑟 2

44

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. As projeções para a produção de arroz no período de 2012–2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. Ano

Projeção da produção (t)

2012

50,25

2013

51,50

2014

52,75

2015

54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de a) 497,25. b) 500,85. c) 502,87. d) 558,75. e) 563,25. 2. O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) 38 000 b) 40 500 c) 41 000 d) 42 000 e) 48 000 3. Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício? a) 40 b) 60 c) 100 d) 115 e) 120 45

4. O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m2. b) 2,0 m2. c) 1,5 m2. d) 3,5 m2. 5. Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro. Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010. Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente, a) 12 dias. b) 13 dias. c) 14 dias. d) 15 dias. e) 16 dias. 6. O trabalho em empresas de exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal. Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas.

Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta: Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas. Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas. Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas. Funcionário IV: aproximadamente 22 500 estrelas. Funcionário V: aproximadamente 22 800 estrelas. Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária? a) I b) II c) III d) IV e) V 46

7. Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na 1ª fileira há 10 lugares, na 2ª há 12, na 3ª há 14 e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente). O número total de cadeiras é a) 250 b) 252 c) 254 d) 256 e) 258 8. Um ciclista participará de uma competição e treinará alguns dias da seguinte maneira: no primeiro dia, pedalará 60 km; no segundo dia, a mesma distância do primeiro mais r km; no terceiro dia, a mesma distância do segundo mais r km; e, assim, sucessivamente, sempre pedalando a mesma distância do dia anterior mais r km. No último dia, ele deverá percorrer 180 km, completando o treinamento com um total de 1560 km. A distância r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em km, é a) 3. b) 7. c) 10. d) 13. e) 20. 9. Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios: - os dois primeiros cartões recebidos não geram multas; - o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00; - os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior. Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta. Cartão amarelo

Valor da multa (R$)

recebido 1º

–

2º

–

3º

500

4º

1.000

5º

1.500

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. 47

O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a: a) 30.000 b) 33.000 c) 36.000 d) 39.000 10.

Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O vigésimo termo dessa progressão corresponde a: a) −50 b) −40 c) −30 d) −20 11. Os valores das prestações mensais de certo financiamento constituem uma P.A. crescente de 12 termos. Sabendo que o valor da 1ª prestação é R$ 500,00 e o da 12ª é R$ 2.150,00, pode-se concluir que o valor da 10ª prestação será igual a a) R$ 1.750,00. b) R$ 1.800,00. c) R$ 1.850,00. d) R$ 1.900,00. e) R$ 1.950,00. 12. Suponha que, em certo país, observou-se que o número de exames por imagem, em milhões por ano, havia crescido segundo os termos de uma progressão aritmética de razão 6, chegando a 94 milhões / ano, ao final de 10 anos. Nessas condições, o aumento percentual do número de tais exames, desde o ano da observação até ao final do período considerado, foi de 48

a) 130%. b) 135%. c) 136%. d) 138%. 13. Num laboratório está sendo realizado um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. A seguinte sequência de figuras representa os três primeiros minutos da reprodução do vírus (representado por um triângulo).

Supondo que se mantém constante o ritmo de desenvolvimento da população de vírus, qual o número de vírus após uma hora? a) 140 b) 180 c) 178 d) 240 e) 537 14. Uma campanha entre microempresas, para ajudar o Hospital do Câncer, arrecadou R$16.500,00. A primeira microempresa, a menor entre elas, doou a quantia de R$350,00; a segunda doou R$50,00 a mais que a primeira, e cada uma das microempresas seguintes doou R$50,00 a mais que a anterior. Quantas microempresas participaram dessa campanha? a) 08 b) 11 c) 15 d) 20 e) 35 15. Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém 200 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a 20mg. Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um destes comprimidos tenha 30mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados os seguintes procedimentos: - numeram-se os frascos de 1 a 15; - retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua numeração; - verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos retirados é igual a 2540mg.

A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é: a) 12 b) 13 c) 14 49

d) 15 7. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Chamamos de progressão geométrica (PG) qualquer sequência onde cada termo, a partir do segundo, dividido pelo termo anterior é constante denominada razão. Assim:

𝑎𝑛 = 𝑞, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒒 é 𝑎 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝐺. 𝑎𝑛−1



CLASSIFICAÇÃO As progressões geométricas formadas só por números reais podem ser: a) Crescente: se cada termo é maior que seu antecedente. Observação: as progressões geométricas crescente tem razão q > 1 se seus termos

são positivos e razão 0 1 se seus termos são negativos.

d) oscilante ou alternante: se cada termo tem o sinal contrário ao do seu antecedente. 

FÓRMULA DO TERMO GERAL Se (ai ) é uma progressão geométrica de razão q , então o termo de ordem n , a n é dado por 𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞 𝑛−1



PROPEIEDADES 1ª. Em toda PG cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica entre o antecedente e o consequente. 2ª.Em toda PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. 50

3ª.Em toda PG finita, com número ímpar de termos, o termo médio (central) é a média aritmética dos extremos (ou de dois termos equidistantes dos extremos). 

FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS

A soma Sn dos n primeiros termos de uma progressão geométrica com razão diferente de um é dada por 𝑆 =

𝑎𝑛 .𝑞 − 𝑎1 𝑞−1

.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) - objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais - objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é

a)

b)

51

c)

d)

e) 2. O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8.000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t  1? a) P(t)  0,5  t1  8.000 b) P(t)  50  t1  8.000 c) P(t)  4.000  t1  8.000 d) P(t)  8.000  (0,5)t1 e) P(t)  8.000  (1,5)t1 3. A Copa do Mundo, dividida em cinco fases, é disputada por 32 times. Em cada fase, só metade dos times se mantém na disputa pelo título final. Com o mesmo critério em vigor, uma competição com 64 times iria necessitar de quantas fases? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 4. Para que a sequência (9,  5, 3) se transforme numa progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é: a) par b) quadrado perfeito c) primo d) maior que 15 e) não inteiro

52

5. Uma maneira muito útil de se criar belas figuras decorativas utilizando a matemática é pelo processo de autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, criado por um processo recursivo, descrito a seguir: - Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados idênticos (Figura 1). Iniciase o processo removendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos (Figura 2). - Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3). - Passo 3: Repete-se o passo 2.

Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um deles. O número de quadrados pretos restantes nesse momento é a) 64. b) 512. c) 568. d) 576. e) 648. 6. Em uma escola com 512 alunos, um aluno apareceu com o vírus do sarampo. Se esse aluno permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte forma: no primeiro dia, um aluno estaria contaminado; no segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro, e assim sucessivamente. A diretora dispensou o aluno contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 512 alunos teriam sarampo no: a) 9º dia. b) 10º dia. c) 8º dia. d) 5º dia. e) 6º dia. 53

7. Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento. Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é a) 3  345 b) (3  3  3)  345 c) 33  345 d) 3  4  345 e) 34  345 8. Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa afirmação. Ele usou uma população inicial de 105 bactérias X e encerrou a observação ao final de uma hora. Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias X se duplica a cada quarto de hora. Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias foi de a) 22  105 b) 21  105 c) 22  105 d) 23  105 e) 24  105

X

8. MATRIZES Matriz m x n é uma tabela de m . n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais).

1  2 3 1. A    é uma matriz 2 x 3; 0 4 2  4 0  é uma matriz 2 x2; 2. B    1 1

3 2 1 0 3. C  0

4

5 2 3 é uma matriz 4 x 3.

1 1  6 2

54

Como podemos notar nos exemplos 1, 2 e 3 respectivamente, uma matriz pode ser representada por colchetes, parênteses ou duas barras verticais. 

REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ:

As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna ocupadas pelo elemento.

Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n é representada por:

a 11 a  21 A  a 31    a  m1

a 12 a 22 a 32  a m2

a 13  a 1n  a 23  a 2n  a 33  a 3n       a m3  a m n 

 

ou, abreviadamente, A= a ij

mxn

, onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna

1  i  m que o elemento ocupa,  . 1  j  n Por exemplo, na matriz anterior, a 23 é o elemento da segunda linha com o da terceira coluna.

 

Exemplo 1: Seja a matriz A= a ij

2x2

, onde a ij  2i  j :

a 12  a Genericamente, temos: A   11  . a a 21 22  2 x 2

Utilizando a regra de formação dos elementos dessa matriz, temos:

a ij  2i  j a 11  2(1)  1  3 a 21  2(2)  1  5 a 12  2(1)  2  4 a 22  2(2)  2  6

3 4  . Assim, A=  5 6

55



MATRIZES ESPECIAIS:

a) Matriz linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha. Ex: A  4 7  3 11x 4 .

b) Matriz coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.

4 Ex: B   1 .  0  3x1 c) Matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é de ordem n. 4 7  Ex: C     2  1 2 x 2

 4 1  D  0   2 7

0  3  3  3x 3

Matriz de ordem 2

Matriz de ordem 3

Observação: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j. Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = n + 1..

Exemplo:

 1 2 5    A3   3 0  3  5 7  6  

09. DETERMINANTES Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.

56

Aplicações dos determinantes na matemática: -

Cálculo da matriz inversa;

-

Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;

-

Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices.



DETERMINANTE DE PRIMEIRA ORDEM a

Dada uma matriz quadrada de 1  ordem M= a 11  , chamamos de determinante associado à matriz M o número real a11 .

Notação: det M ou a 11 = a11 Exemplos: 1. M1  5  det M1  5 ou 5  5 2. M2   3  det M1  3 ou - 3  3 

DETERMINANTE DE SEGUNDA ORDEM a 12  a Dada a matriz M=  11  , de ordem 2, por definição, temos que o determinante a 21 a 22  a

associado a essa matriz, ou seja, o determinante de 2  ordem é dado por: a det M   11 a 21

a 12   a 11a 22  a 12a 21  a 22 

2 3 Exemplo: Sendo M=   , então:  4 5

Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

57



REGRA DE SARRUS Dispositivo prático para calcular o determinante de ordem.

Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus.

a 11 a 12 D= a 21 a 22 a 31 a 32

a 13 a 23 a 33

Solução:

1º Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da 3ª:

a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32

a 13 a 11 a 12 a 23 a 21 a 22 a 33 a 31 a 32

2º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.

OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:

 a11a 22a 33  a12a 23a 31  a13a 21a 32  3°Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:

 a13a 22a 31  a11a 23a 32  a12a 21a 33  Assim:

D  a13a 22a 31  a11a 23a 32  a12a 21a 33   a11a 22a 33  a12a 23a 31  a13a 21a 32  58

Exemplo

3 1 6 a) x 2 x  16 0 4 4

2 1 5 x 5 b) x  2 1  2 15 0 x 4

10. SISTEMAS LINEARES Um conjunto de equações lineares da forma: a11 x1  a12 x 2  a13 x3    a1n x n  b1 a x  a x  a x    a x  b  21 1 22 2 23 3 2n n 2    a m1 x1  a m 2 x 2  a m3 x3    a mn x n  bm

é um sistema linear de m equações e n incógnitas. Chamamos de solução do sistema a nula de números reais ordenados

r1 , r2 ,, rn  que é, simplesmente, solução de todas equações do sistema. 

REGRA DE CRAMER Todo sistema normal tem uma única solução dada por xi 

Di , onde i 1, 2, 3, , n, D

D= detA é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e Di é o determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Exemplo: Resolver com o auxílio da Regra de Cramer, os seguintes sistemas:

a  b  c  7  2a  b  c  9 a  2b  2c  2  Agora temos um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas (m = n) e determinante da matriz incompleta diferente de zero, veja:

1 1 1 1 1 D  2 1  1 2 1  1  2  4  2  1  4  7  3  10  0 1 2 2 1 2

59

1º Passo: Calcular Da , Db e Dc substituindo as colunas 1, 2 e 3, respectivamente, pelos termos independentes: 7 1 1 7 1 Da  9 1  1 9 1  2  14  18  14  2  18  34  6  40 2 2 2 2 2

1 Db  2 1

7 1 1 7 9  1 2 9  9  2  28  18  7  4  35  15  20 2 2 1 2

1 1 Dc  2 1 1 2

7 1 1 9 2 1  7  18  4  2  9  28  7  17  10 2 1 2

Portanto, por Cramer vem: a

Da  40  4 D  10

b

Db  20  2 D  10

c

Dc  10  1 D  10

Discussão de um Sistema Linear

Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se

D  0  Sistema é possível e determinado (SPD), ou seja tem solução única. D  0  Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas soluções) ou impossível (SI) (não ter solução).

Observações: Se todos os Di forem iguais a 0, teremos um SPI Se pelo menos um Di diferente de zero, teremos um SI. 

SISTEMAS ESCALONADOS

A técnica de escalonar um sistema linear é muito mais utilizada, pois com essa técnica podemos encontrar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas (o que não é permitido na Regra de Cramer). Além disso, quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de 60

incógnitas) excede três, não é conveniente utilizar a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. Por exemplo, um sistema com quatro equações e quatro incógnitas requer o cálculo de cinco determinantes de 4ª ordem. Neste caso, usamos a técnica de escalonamento, que facilita a resolução e a discussão de um sistema. Dado um sistema linear: a11x1  a12 x 2  a13 x3    a1n x n  b1 a x  a x  a x    a x  b  22 2 23 3 2n n 2 S   21 1    a m1 x1  a m 2 x 2  a m3 x3    a mn x n  bm

onde existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente nãonulo aumenta de equação para equação.

Exemplos:

3x  y  6 1) S1   2y  3 

4 x  y  z  9  2) S 2   2 y  3z  2  4z  -5  2 x  4 y  5 z  8 3) S 3   4y  z  0 

2 x  3 y  2 z  t  1  4) S 4   2 y  2z  t  4  3t  7 

Procedimentos para escalonar um sistema

1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.

61

2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.

4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Exemplos:

2 x  y  z  5  1) Vamos escalonar o sistema 3x  2 y  4 z  0  x - 2y  z  2 

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades:

Trocamos de posição a 1ª e a 3ª equações:

 x - 2y  z  2  3x  2 y  4 z  0 2 x  y  z  5 

Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-3) com a 2ª equação:  ( x - 2 y  z  2)  - 3  x- 2 y  z  2   8 y  7 z  6 3x  2 y  4 z  0     2 x  y  z  5 2 x  y  z  5  

Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 3ª equação:

62

 ( x-2 y  z  2)  - 2  x- 2 y  z  2    8 y  7 z  6  8y  7z  - 6 2 x  y  z  5    3y  z  1  

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:

 3  8

Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por    com a 3ª equação:  x- 2 y  z  2  3  (8 y  7 z  - 6)   8   3y  z  1   

 x- 2 y  z  2   8 y  7 z  6  13 26 8 z  8 

Agora, como o sistema está escalonado, podemos resolvê-lo:

13 26 z  8 8

z2

Substituindo este valor em 8 y  7z  6 , vem:

8 y  7  2  6  8 y  8  y  1 Substituindo, agora, y  1 e z  2 em x  2 y  z  2 , vem: x  2 1  2  2  x  2

Portanto, o sistema é possível e determinado, admitindo uma única solução que é dada por: (x, y, z) = (2, 1, 2).

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Uma coleção de artrópodes é formada por 36 exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total da coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não há exemplares das classes às quais pertencem o caranguejo, a centopeia e o piolho-de-cobra. Sobre essa coleção, é correto dizer que é composta por exemplares das classes Insecta e a) Arachnida, com maior número de exemplares da classe Arachnida. b) Diplopoda, com maior número de exemplares da classe Diplopoda. c) Chilopoda, com igual número de exemplares de cada uma dessas classes. d) Arachnida, com maior número de exemplares da classe Insecta. e) Chilopoda, com maior número de exemplares da classe Chilopoda. 63

2. A matriz A

Aij (2  3)

tem elementos definidos pela expressão aij  i3 – j2. Portanto, a matriz

é  0 3 8  . 1 

a)  7 4 0

7 26 

0  7  26  0   3  8  0  1

3   4 . 23 

b)  .  3 4 23  c)

d) e)

7  4 . 1 1 2  . 0 1

3. Rasgou-se uma das fichas onde foram registrados o consumo e a despesa correspondente de três mesas de uma lanchonete, como indicado abaixo.

Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os sanduíches também. O valor da despesa da mesa 3 é a) R$5,50 . b) R$6,00 c) R$6,40 . d) R$7,00 e) R$7,20 . 4. Em uma floricultura, é possível montar arranjos diferentes com rosas, lírios e margaridas. Um arranjo com 4 margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa 42 reais. No entanto, se o arranjo tiver uma margarida, 2 lírios e uma rosa, ele custa 20 reais. Entretanto, se o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma rosa, custará 32 reais. Nessa floricultura, quanto custará um arranjo simples, com uma margarida, um lírio e uma rosa? a) 5 reais b) 8 reais c) 10 reais d) 15 reais e) 24 reais 5. Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é: a) 20. 64

b) 30. c) 40. d) 50. e) 60. 6. Cristina resolveu empilhar seus 48 livros de duas coleções, de Matemática e de História. Seus livros de Matemática possuem 8 cm de espessura cada um, enquanto que os livros de História possuem 5 cm de espessura cada um. No fim da organização, Cristina viu que a pilha de livros tinha 321cm de altura. Quantos livros de Matemática Cristina possui? a) 27 b) 25 c) 23 d) 22 e) 21 7. Três sócios A, B e C resolvem abrir uma sociedade com um capital de R$ 100.000,00. B entrou com uma quantia igual ao dobro da de A, e a diferença entre a quantia de C e a de A foi R$ 60.000,00. O valor absoluto da diferença entre as quantias de A e B foi: a) R$ 10 000,00 b) R$ 15 000,00 c) R$ 20 000,00 d) R$ 25 000,00 e) R$ 30 000,00 8. Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se diferenciam pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua montagem. Quatro desses buquês estão representados na figura a seguir, sendo que três deles estão com os respectivos preços.

De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa a) R$ 15,30. b) R$ 16,20. c) R$ 14,80. d) R$ 17,00. e) R$ 15,50. 9. Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didático para o ano letivo de 2012. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram: 65

1ª) 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por R$ 62,00; 2ª) 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66,00; 3ª) 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44,00. Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é: a) R$ 20,00 b) R$ 18,00 c) R$ 16,00 d) R$ 14,00 e) R$ 12,00 10. Nas olimpíadas de 2016, serão disputadas 306 provas com medalhas, que serão distribuídas entre competidores de esportes masculinos, femininos e, ainda, de esportes mistos. Sabe-se que o total de competições femininas e mistas é 145. Sabe-se, também, que a diferença entre o número de provas disputadas somente por homens e somente por mulheres é de 25. Então, o número de provas mistas é a) 3 b) 9 c) 25 d) 136 e) 161 11. ANÁLISE COMBINATÓRIA 

FATORIAL No estudo da análise combinatória surgem, nos cálculos, produtos de números

naturais consecutivos, tais como : 13.12.11.10.9 5.4.3.2.1 É conveniente adotar uma notação que simplifique a representação das expressões acima; surge, então, a notação fatorial. n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)......3.2.1 Para n  IN, com n ≥ 2. Exemplos: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Consequência da definição: n! = n.(n-1)! Exemplo: 6! = 6.5! ; 8! = 8.7! = 8.7.6! = 8.7.6.5! Da propriedade anterior, concluímos que : 1! = 1 e 0! = 1 66



PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM: Consideremos a seguinte situação : Para a eleição da associação de Pais e Mestres da escola ,há três candidatos a

presidente (Arnaldo ,Fábio e Carmem) e dois a vice - presidente (Beatriz e Dárcio). Quais os possíveis resultados dessa eleição?

Existem 3.2 maneiras diferentes de se escolher um presidente e um vice-presidente. Conclusão : Se um evento A pode ocorrer de “m” maneiras distintas e se, para cada uma das m maneiras possíveis de ocorrência de A, um segundo evento B pode ocorrer de “n” maneiras distintas, então o mínimo de maneiras distintas de ocorrer o evento A seguido do evento B é m.n Se um acontecimento Xi pode ocorrer de xi maneiras diferentes, para i = 1,2,3...,n, então esses “n” acontecimentos podem ocorrer, sucessivamente, de x1.x2.x3...xn maneiras distintas. 

PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutação simples de n elementos distintos tomados “p a p”, onde n ≥ 1 e p um

número natural tal que p = n, são todas as sequências de p elementos distintos, que diferem entre si pela ordem e pela natureza dos “p” elementos que formam cada sequência. Pn,p =Pn,n = 

𝒏! (𝒏−𝒏)!

= 𝒏!

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Permutação dos n elementos, onde

existem n 1 elementos iguais a a1, n2

elementos iguais a a2, n3 elementos iguais a a3, ..., nr elementos iguais a ar e representada 𝑛 ,𝑛2 …𝑛𝑟

por 𝑃𝑛 1

. 67

𝒏 ,𝒏𝟐 …𝒏𝒓

𝑷 𝒏𝟏 

=

𝒏! 𝒏𝟏 !.𝒏𝟐 !…𝒏𝒓 !

ARRANJOS SIMPLES Arranjos simples de n elementos distintos tomados “p a p”, onde n ≥ 1 e p é um

número natural tal que p ≥ n, são todas as sequências de p elementos distintos, que diferem entre si pela ordem e pela natureza dos “p” elementos que formam cada sequência. An,p =



𝒏! (𝒏−𝒑)!

COMBINAÇÃO SIMPLES Combinações simples de n elementos distintos tomados “p a p”, onde n ≥ 1 e p é

um número natural tal que p ≥ n, são todas as escolhas não ordenadas de p desses n elementos sem repetição. Considere o conjunto A = { a,b,c,d }. As combinações dos quatro elementos de A, tomados dois a dois, são os subconjuntos (já que a ordem dos elementos, nas combinações, não é importante) : {1,2};{1,3};{1,4};{2,3};{2,4};{3,4} OBS!! : note que as combinações {1,2} e {2,1} são iguais já que a ordem dos elementos, nas combinações, não é importante. Cn,p =

𝒏! 𝒑!(𝒏−𝒑)!

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por 68

a) b) c) d) e)

9! 2! 9! 7! 2! 7! 5!  4! 2! 5! 4!  4! 3!

2. O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 3. Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? a) 20  8! (3!)2 b) 8! 5! 3! c) d) e)

8! 5! 3! 28 8! 5! 3!

22 16! 28

4. O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é a) 24. b) 31. 69

c) 32. d) 88. e) 89. 5. Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. d) duas combinações. e) dois arranjos. 6. Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta-corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é a)

626

106 62! b) 10! 62! 4! c) 10! 56!

d) 62!  10! e) 626  106 7. O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? a) b)

10! 4!  2! 8! 2! 2! 10! 4!  8! 2!

70

c) d) e)

10! 2 2! 8! 6!  44 4! 6!  64 4!

8. O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras. Folha de Sao Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012. (adaptado) De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto? a) 14 b) 18 c) 20 d) 21 e) 23 9. Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Quantidade de números escolhidos em uma cartela

Preço da cartela (R$)

6

2,00

7

12,00

8

40,00

9

125,00

10

250,00

Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: - Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; - Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; - Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; 71

- Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; - Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são a) Caio e Eduardo. b) Arthur e Eduardo. c) Bruno e Caio. d) Arthur e Bruno. e) Douglas e Eduardo. 10. Um artesão de joias tem a sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36 11. Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: (B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C)

O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: a) 6 b) 90 c) 180 d) 720 12. Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é a) menor que 7%. b) maior que 7%, mas menor que 10%. 72

c) maior que 10%, mas menor que 13%. d) maior que 13%, mas menor que 16%. e) maior que 16%. 13. Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por a) 102  262 b) 102  522 4! 2! 4! 2 2 10  26  2! 2! 4! 102  522  2! 2!

c) 102  522  d) e)

14. No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

73

15. Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir. Museus nacionais Masp — São Paulo MAM — São Paulo Ipiranga — São Paulo Imperial — Petrópolis

Museus internacionais Louvre — Paris Prado — Madri British Museum — Londres Metropolitan — Nova York

De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar? a) 6 b) 8 c) 20 d) 24 e) 36 12. PROBABILIDADE Na análise combinatória estudamos métodos de contagem do número de maneiras de ocorrência de determinados acontecimentos e do número de agrupamentos que podem ser formados com uma quantidade finita de objetos dados. No estudo das probabilidades pretendemos quantificar a chance de que tais acontecimentos ocorram de determinados modos e de que tais agrupamentos obedeçam a certas condições.

A teoria das probabilidades permite que se calcule a chance de ocorrência de um

a) EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS São aqueles que, quando repetidos em idênticas condições, podem produzir diferentes resultados. Essa diversidade de resultados é devida ao acaso. Exemplos - lançar um dado e observar o número da face voltada para cima; - Retirar uma carta de um baralho e observar o seu naipe; - Lançar uma moeda não viciada e observar o número de caras obtido.

b) ESPAÇO AMOSTRAL Conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Denotando-o pelo símbolo 𝛺 e o seu número de elementos ( cardinalidade ) por n(𝛺). 74

Exemplos - lançar um dado e observar o número da face voltada para cima. 𝛺 = { 1,2,3,4,5,6 } e n(𝛺) = 6 - Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. 𝛺 = { cara,coroa } e n(𝛺) = 2

c) ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL Espaço amostral formado por elementos que têm a mesma chance de ocorrer. Exemplo - Ao lançar uma moeda, a probabilidade de dar cara é igual à probabilidade de dar coroa. P(cara) = 1/2

e

P(coroa) = 1/2

d) EVENTO Qualquer subconjunto de um espaço amostral. Um evento é representado por E e o número do evento (sua cardinalidade) Por n(E).

Exemplo - Lançar um dado e observar o número da face voltada para cima. Determinando os seguintes eventos: E1 : ocorrer um número ímpar.

𝛺 = { 1,2,3,4,5,6 } e n(𝛺) = 6 E1 = { 1,3,5 } e n(E1) = 3 E2 : ocorrer um número maior ou igual a 3.

𝛺 = { 1,2,3,4,5,6 } e n(𝛺) = 6 E2 = { 3,4,5,6 } e n(E2) = 4

e) EVENTO CERTO 75

É o evento que é igual ao espaço amostral. Ou seja, E = 𝛺. Exemplo - Lançar um dado e observar o número da face voltada para cima, considerando os seguintes eventos: E1 : Ocorrer um número natural.

𝛺 = { 1,2,3,4,5,6 } e n(𝛺) = 6 E1 = { 1,2,3,4,5,6 } e n(E1) = 6 E2 : Ocorrer um número divisor de 60.

𝛺 = { 1,2,3,4,5,6 } e n(𝛺) = 6 E2 = { 1,2,3,4,5,6 } e n(E2) = 6

f) EVENTO IMPOSSÍVEL É o evento que nunca ocorre. Isto é : E = . - Lançar um dado de seis faces e observar o número da face voltada para cima, considerando os seguintes eventos: E1 : Ocorrer um número múltiplo de 25; Como no intervalo de 1 a seis não existem múltiplos de 25, dizemos que o evento é impossível, ou seja : E1 = . E2 : Ocorrer um número racional fracionário; Novamente, E2 = .



DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE

Consideremos um evento cujo espaço amostral 𝛺 é finito, e E um evento de 𝛺. A probabilidade do evento E ocorrer é dada pela razão entre o número de casos favoráveis (casos que interessam ao problema) e o número de casos possíveis (número total de casos). Logo:

𝑷(𝑬) =

𝒏º 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓á𝒗𝒆𝒊𝒔 𝒏º 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔í𝒗𝒆𝒊𝒔

Algebricamente, usamos a seguinte notação: 76

𝑷(𝑬) =

𝒏(𝑬) 𝒏(𝜴)

Situação-problema: Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 15? Resposta

𝛺 = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 } n(𝛺) = 20 E = { 15,16,17,18,19,20 } n(E) = 6 podemos concluir que: 𝑃(𝐸) =



𝒏(𝑬) 6 3 = = = 30% 𝒏(𝜴) 20 10

A probabilidade de ocorrência de um evento certo é igual a 1. Para E= 𝛺 ⇾ 𝑃(𝜴) =



𝒏(𝜴) 𝒏(𝜴)

=𝟏

A probabilidade do evento impossível é igual a zero. Para E =  ⇾ 𝑃(𝜴) =

𝟎 𝒏(𝜴)

=𝟎

0  P(E)  1



PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS Sejam E1 e E2 dois eventos de um mesmo espaço amostral. Devemos considerar dois

casos: 1º caso : E1  E2 =  ( eventos mutuamente exclusivos )

77

Como n(E1  E2) = n (E1) + n(E2), então: P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) Situação-problema : Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída aleatoriamente dessa urna, qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7? Resposta

𝛺={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25 } E1 : O número da bola sorteada é um múltiplo de 5. E1 = { 5,10,15,20,25 } ⇾ n(E1) = 5 E2 : O número da bola sorteada é um múltiplo de 7. E2 = { 7,14,21 } ⇾ n(E2) = 3 Podemos concluir que P(E1) = 5/25 = 1/5 P(E2) = 3/25 Como E1  E2 = , temos P(E1  E2) = P(E1) + P(E2), logo : P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) ⇾ P(E1  E2) = 1/5 + 3/25 = 8/25

2º caso : E1  E2 ≠  Neste caso, os conjuntos possuem elementos em comum. Sabe-se pela teoria dos conjuntos que n(E1 E2) = n(E1) + n(E2) – n(E1 E2) Dividindo todos os elementos da sentença anterior pelo número de elementos do espaço amostral (n(𝛺)), obtemos: P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2)



PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR

Seja E um evento de um espaço amostral 𝛺. Ec é o evento complementar de E. Esquematicamente, temos:

EC E Observamos no diagrama que E  Ec = 𝛺. 78

Como os eventos E e Ec são mutuamente exclusivos(E  Ec = 0), podemos concluir que : P(E) + P(Ec) = 1 Exemplo1 : Se E é um evento tal que P(E) = 0,6. Determine P(Ec). Resposta Sabe-se que P(E) + P(Ec) = 1, logo P(E) + P(Ec) = 1⇾ 0,6 + P(Ec) = 1⇾ P(Ec) = 1 – 0,6 ⇾ P(Ec) = 0,4



PROBABILIDADE CONDICIONAL

Sejam E1 e E2 dois eventos, onde E2≠, do mesmo espaço amostral 𝛺. Chamamos de probabilidade do evento E1 condicionada ao evento E2( indicado por P(E1/E2) ) ao número P(E1/E2) = n( E1E2) / n( E2 )

Situação-problema : Um número é sorteado ao acaso entre os números naturais de 1 a 100. Determine a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que ele é par. Resposta :

𝛺 = { 1,2,3,4,5,.........,100 } ⇾ n(𝛺) = 100 E1 : O número obtido é par E1 = { 2,4,6,8,......100 } ⇾ n(E1 ) = 50 E2 : o número obtido é divisível por 5 E2 = { 5,10,15,20,25,......,95,100 } ⇾ n(E2 ) = 20 E1  E2 = { 10,20,30,40......,100 } ⇾ n(E1  E2) = 10 Assim , temos : P(E2/E1) = n( E2E1) / n( E1 ) ⇾ P(E1/E2) = 10 / 50 = 1/5 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto. 79

Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos? a) b) c) d) e)

49 144 14 33 7 22 5 22 15 144

2. Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20? a) b) c) d) e)

1 100 19 100 20 100 21 100 80 100

3. Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? a) b)

1 20 3 242

80

c) d) e)

5 22 6 25 7 15

4. Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 1. Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 2. Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 3. Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 4. Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença. O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos. Doença A Resultado do Teste Presente Ausente Positivo

95

15

Negativo

5

85

BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática. São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado). Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de a) 47,5% b) 85,0% c) 86,3% d) 94,4% e) 95,0% 5. Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

81

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é a) b) c) d) e)

1 5 1 4 2 5 3 5 3 4

6. Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? a) b) c) d) e)

1 2 5 8 1 4 5 6 5 14

7. Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.

82

O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por a) 0,09. b) 0,12. c) 0,14. d) 0,15. e) 0,18. 8. Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é a) 23,7% b) 30,0% c) 44,1% d) 65,7% e) 90,0% 9. O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é a) 0,02048. b) 0,08192. c) 0,24000. d) 0,40960. e) 0,49152. 83

10. O gráfico mostra a velocidade de conexão à internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são resultado da mais recente pesquisa, de 2009, realizada pelo Comitê Gestor da Internet (CGI).

Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de haver banda larga de conexão de pelo menos 1 Mbps neste domicílio? a) 0,45 b) 0,42 c) 0,30 d) 0,22 e) 0,15 11. O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: TAMANHO DOS CALÇADOS

NÚMERO DE FUNCIONÁRIAS

39,0

1

38,0

10

37,0

3

36,0

5

35,0

6

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calcado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é a) 1 b) c) d)

3 1 5 2 5 5 7

84

e)

5 14

12. Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada uma. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. Cor Amarela Azul Branca Verde Vermelha

Urna 1 4 3 2 1 0

Urna 2 0 1 2 3 4

Uma jogada consiste em: 1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º) se a cor da última bolsa retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? a) Azul b) Amarela c) Branca d) Verde e) Vermelha 13. Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para uma entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é a) 1/5 b) 1/15 c) 1/45 d) 3/10 e) 3/7 14. Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso. Em setembro, a máquina I produziu 54 do total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos 100

parafusos produzidos por essa máquina,

25 1000

eram defeituosos. Por sua vez,

38 1000

dos

parafusos produzidos no mesmo mês pela máquina II eram defeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso.

85

0P

2 100

Excelente

2 4 P 100 100

Bom

4 6 P 100 100

Regular

6 8 P 100 100

Ruim

8 P 1 100

Péssimo

O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como a) excelente. b) bom. c) regular. d) ruim. e) péssimo. 15. Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das cinco áreas com os brinquedos disponíveis e dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da entrada até chegar à área IV.

Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções existentes de percurso pelos caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita escolhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna. Nessas condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem retornar é igual a a) 1 b) c)

96 1 64 5 24

86

d) e)

1 4 5 12

16. Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo: Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes; Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas; Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se a) P(I)  P(III)  P(II) b) P(II)  P(I)  P(III) c) P(I)  P(II)  P(III) d) P(I)  P(II)  P(III) e) P(I)  P(II)  P(III) 17. O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2  (0,2%)4. b) 4  (0,2%)2. c) 6  (0,2%)2  (99,8%)2. d) 4  (0,2%). e) 6  (0,2%)  (99,8%). 18. Um protocolo tem como objetivo firmar acordos e discussões internacionais para conjuntamente estabelecer metas de redução de emissão de gases de efeito estufa na atmosfera. O quadro mostra alguns dos países que assinaram o protocolo, organizados de acordo com o continente ao qual pertencem. Países da América do Norte Estados Unidos da América Canadá México

Países da Ásia China Índia Japão

Em um dos acordos firmados, ao final do ano, dois dos países relacionados serão escolhidos aleatoriamente, um após o outro, para verificar se as metas de redução do protocolo estão sendo praticadas. 87

A probabilidade de o primeiro país escolhido pertencer à América do Norte e o segundo pertencer ao continente asiático é a) 1 b) c) d) e)

9 1 4 3 10 2 3

1

19. Um bairro residencial tem cinco mil moradores, dos quais mil são classificados como vegetarianos. Entre os vegetarianos, 40% são esportistas, enquanto que, entre os não vegetarianos, essa porcentagem cai para 20%. Uma pessoa desse bairro, escolhida ao acaso, é esportista. A probabilidade de ela ser vegetariana é a) 2 b) c) d) e)

25 1 5 1 4 1 3 5 6

20. A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada, Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é a) E1E3. b) E1E4. 88

c) E2E4. d) E2E5. e) E2E6.

GEOMETRIA PLANA 13. ÂNGULOS Região formada pela união de duas semirretas de mesma origem.

Ângulos consecutivos: São ângulos que possuem um lado em comum.

Ângulos adjacentes: Ângulos consecutivos que não possuem ponto interno em comum.

Ângulos opostos pelo vértice: Ângulos compostos por duas retas cujos lados de um são semirretas opostas dos lados do outro.

89

Congruência de ângulos: Dois ou mais ângulos são congruentes entre si se possuírem a mesma medida.

Bissetriz de um ângulo: Semirreta interna a esse ângulo com origem em seu vértice e que o divide em dois ângulos adjacentes e congruentes.

Classificações: Quanto à medida absoluta:

Quanto à medida relativa: Ângulos complementares: Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 90°.

90

Ângulos suplementares: Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 180°.

ALGUNS CONCEITOS SOBRE RETAS: RETAS CONCORRENTES: Retas que possuem um único ponto em comum.

RETAS PERPENDICULARES: Retas que dividem o plano em quatro sub-regiões congruentes entre si.

PROJEÇÕES SOBRE UMA RETA:

91

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO: Reta perpendicular em relação a um segmento e que intercepta o seu ponto médio.

ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL:

CORRESPONDENTES: 1 e 5 – 2 e 6 – 3 e 7 – 4 e 8. Propriedade: São congruentes. EXTERNOS → 1 e 7 − 2 e 8 ALTERNOS { INTERNOS → 3 e 5 − 4 e 6 Propriedade: São congruentes. EXTERNOS → 1 e 8 − 2 e 7 COLATERAIS { INTERNOS → 3 e 6 − 4 e 5 Propriedade: São suplementares.

92

ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS : Dois ângulos agudos ou dois ângulos obtusos, que tem seus lados paralelos iguais, são iguais.

Dois ângulos, um agudo e outro obtuso, que têm seus lados paralelos, são suplementares.

14. POLÍGONOS

Chamaremos de polígonos as regiões do plano cujos contornos são formados apenas por segmentos. Os polígonos recebem nomes de acordo com o número de seus lados. Os mais importantes são: 3 – triângulo

4 – quadrilátero

5 – pentágono

6 – hexágono

7 – heptágono

8 – octógono

9 – eneágono

10 – decágono

11 – undecágono

12 – dodecágono

15 – pentadecágono

20 - icoságono

PROPRIEDADES: Soma dos ângulos Internos: Si = (n – 2).180º Soma dos ângulos Externos: Se = 360º Polígonos regulares: têm o mesmo tamanho e todos seus ângulos internos são iguais. Medida de cada ângulo: ai

=

𝐒𝐢 𝐧 93

Soma das diagonais:

𝐝 = (𝐧 – 𝟑) .𝐧 𝟐

Soma das diagonais que passam pelo centro: d =

𝐧 𝟐

15. TRIÂNGULOS É todo polígono que possui apenas três lados. Observe a seguir seus elementos:

Condição de existência: Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é menor que a soma das medidas dos outros dois lados e maior que a diferença absoluta entre elas.

Propriedades: Em todo triângulo temos: P1) Número de diagonais igual a zero. P2) Soma dos ângulos internos igual a 180°.

94

P3) Soma dos ângulos externos igual a 360°.

P4) Teorema do ângulo externo (a medida de um ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes).

CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS: Há duas formas para classificá-los. Observe: 1.

QUANTO AOS LADOS:

Equilátero: Possui os três lados congruentes. 

As medidas dos ângulos internos valem 60°.



É o polígono regular de três lados.

𝑏

Isósceles: Possui dois lados congruentes.  O lado diferente, quando existe, é chamado de base BC e o ângulo oposto a ele, é chamado de ângulo do vértice. 

Os ângulos da base são congruentes (B = C).



Todo triângulo equilátero é isósceles.

95

Escaleno: Possui os três lados com medidas diferentes. 

Os três ângulos têm medidas distintas.



É todo triângulo não-isósceles.

2. QUANTO AOS ÂNGULOS Acutângulo: Possui todos os ângulos agudos (medidas menores que 90°).

𝑎2 < 𝑏 2 + 𝑐 2

Retângulo: Possui um ângulo reto (medida igual a 90°)

𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2

Obtusângulo: Possui um ângulo obtuso (medida maior que 180°).

𝑎2 > 𝑏 2 + 𝑐 2

Observação: Nas relações acima, considere que “𝑎” é a medida do maior dos lados do triângulo.

96

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS: Um triângulo ABC e congruente a outro DEF (∆ABC ≡ ∆DEF) se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que os lados do ∆ABC sejam ordenadamente congruentes aos lados do ∆DEF, assim como seus ângulos internos.

Há condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes e tais condições são denominadas casos ou critérios de congruência, são eles: LAL, ALA, LLL e LAAo. CASO LAL (Lado – Ângulo – Lado)

CASO ALA (Ângulo – Lado – Ângulo)

CASO LLL (Lado – Lado – Lado)

97

Caso LAAo (Lado – Ângulo – Ângulo oposto)

Observação: Dois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas e um cateto congruentes (Caso especial – HC). 16. TEOREMA DE TALES: Sejam duas transversais a um feixe de retas paralelas. A razão entre quaisquer dois segmentos determinados por uma das transversais nas paralelas é igual a razão entre os segmentos correspondentes da outra.

Teorema da bissetriz interna: Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos respectivos lados adjacentes.

17.

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO:

Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores, que são semelhantes entre si e ao triângulo original.

98

Aplicando a semelhança nos triângulos ABC, HAC e HBA, obtém-se as seguintes relações métricas: 𝒃𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒏

𝒄𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒎

Teorema de Pitágoras:

𝒉𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒏

𝒂∙𝒉=𝒃∙𝒄

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐

18. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO: Em todo triângulo retângulo, em relação aos ângulos internos agudos, define-se: Seno de um ângulo: é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.

𝒔𝒆𝒏𝒐 =

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

Cosseno de um ângulo: é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐 =

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

Tangente de um ângulo: é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 =

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

Sendo assim, no ∆ABC da figura abaixo, temos:

99

OBS.: 1) Se 𝜶 e 𝜷 são complementares, 𝒔𝒆𝒏 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝜷. 2) 𝒕𝒈 𝜶 =

𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜶

, 𝑐𝑜𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ≠ 0.

3) Relação fundamental: 𝒔𝒆𝒏² 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔² 𝜶 = 𝟏 4) Tabela de ângulos notáveis:

19. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER LEI DOS SENOS: Em todo triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o dobro do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

LEI DOS COSSENOS: Em todo triângulo, a medida de qualquer lado depende das medidas dos outros dois lados e do ângulo entre eles.

100

20. QUADRILÁTEROS

Trapézios: são quadriláteros em que dois lados opostos são paralelos. Os lados são as bases e se forem desiguais uma é a base maior e a outra a base menor. Classificação dos Trapézios:

Trapézio isósceles

Trapézio retângulo

AB = CD

 = 90°

Trapézio escaleno

= Um trapézio isósceles é aquele cujos lados opostos não paralelos são iguais. Um trapézio retângulo é aquele em que um dos lados opostos não paralelos é perpendicular às bases. Um trapézio escaleno é aquele cujos lados opostos não paralelos são desiguais.

Relações de um trapézio isósceles

1 - Num trapézio isósceles os ângulos adjacentes à mesma base são geometricamente iguais:

a=e= 101

2 - As diagonais de um trapézio isósceles são geometricamente iguais:

[AC]  [BD]

3 - A mediana de um trapézio isósceles é paralela às bases do trapézio e o seu comprimento é igual à semissoma das bases:

AD//BC//EF EF = AD + BC 2 Linhas notáveis de um trapézio

Bases de um trapézio são os lados opostos paralelos. Diagonal de um trapézio é o segmento de reta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero. Altura de um trapézio é o segmento de reta perpendicular às bases e compreendido entre elas. Mediana de um trapézio é o segmento de reta cujos extremos são os pontos médios dos lados opostos não paralelos.

Trapézio escaleno: 102

Em qualquer trapézio ABCD (Notação Cíclica) de Bases AB e CD temos:

̂ = 𝐵̂ + 𝐶̂ 𝐴̂ + 𝐷

Paralelogramos: São trapézios cujos lados opostos são paralelos e geometricamente iguais.

Classificação dos Paralelogramos

Paralelogramo AB = CD e AD = BC

Retângulo (todos os ângulos são geometricamente iguais)

=e=

 =  =  =  = 90°

Losango ou Rombo

Quadrado

(todos os lados são geometricamente iguais)

(todos os lados e ângulos são geometricamente iguais) 103

AB = BC = CD = DA

AB = BC = CD = DA

=e=

 =  =  =  = 90º



Retângulo é o quadrilátero cujos lados consecutivos são perpendiculares.



Losango ou Rombo é o quadrilátero cujos lados são todos iguais e suas diagonais distintas.



Quadrado é o retângulo cujos lados são todos iguais.

Relações de um paralelogramo

1 - Os ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais e os ângulos internos consecutivos de cada lado são suplementares:

BAD  BCD (ABC) + (BCD) = 180° ABC  ADC (BAD) + (ADC) = 180°

2 - Os lados opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais:

[AB]  [CD] [AD]  [BC]

3 - As diagonais de um paralelogramo bissetam-se (dividem-se em duas partes geometricamente iguais) uma à outra:

104

[AO]  [OC] [BO]  [OD] O é o ponto médio de [AC] e [BD]

4 - Uma diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos geometricamente iguais:

Δ[ABC]  Δ[ACD]

Linhas notáveis de um paralelogramo



Base de um paralelogramo é qualquer um dos seus lados.



Diagonal de um paralelogramo é o segmento de reta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero.



Altura de um paralelogramo é o segmento de reta perpendicular à base e compreendida entre ela e o lado paralelo oposto.

21. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

Circunferência: É o conjunto dos pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo chamado de centro.

105

Círculo: É o conjunto de todos os pontos do plano limitado por uma circunferência.

Elementos:

O

– Centro

̅̅̅̅ OC – Raio

̅̅̅̅ AB

–

Diâmetro – Arco

̅̅̅̅ DE – Corda

̅̅̅̅ GF – Flecha

Posições relativas entre reta e circunferência:

106

Ângulos na circunferência:

Ângulo central:

Ângulo inscrito:

Ângulo de segmento:

Ângulo excêntrico interno:

Ângulo excêntrico externo:

107

Obs.: 1) Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares.

2) Se de um ponto P traçarmos os segmentos PA e PB ambos tangentes a uma circunferência, com A e B na circunferência, então PA = PB. (TEOREMA DO BICO)

̅̅̅̅ 𝑷𝑨 = ̅̅̅̅ 𝑷𝑩

3) Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, então a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois. (TEOREMA DE PITOT).

108

4) Em toda circunferência, o raio, quando perpendicular à corda, divide essa corda ao meio.

5) O comprimento da circunferência de raio r é dado por: 𝑪=𝟐∙𝝅∙𝒓

22. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS É a quantidade de espaço bidimensional, ou seja, medida da superfície. Existem várias unidades de medida, sendo a mais usada o metro quadrado (m²), que é a superfície ocupada por um quadrado de lado 1 metro, e os seus múltiplos e submúltiplos. Quadriláteros: Paralelogramos

109

Retângulos

Losangos

Quadrados

Trapézios

110

Triângulos: Padrão

Triângulo equilátero

“fórmula de heron” (Para usar quando forem fornecidos os três lados do triângulo)

Triângulo inscrito na circunferência

Fórmula trigonométrica (Para usar quando forem fornecidos dois lados e o ângulo entre eles)

111

Triângulo circunscrito à circunferência

Regiões Circulares Círculo

Setor circular

Coroa circular

Segmento circular

112

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Júlia começou a estudar Geometria na sua escola. Com dúvida em um exercício passado pelo professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O enunciado era: “As retas r e s são paralelas; as retas u e t, duas transversais. Encontre o valor do ângulo x na figura abaixo”. Portanto, o valor de x é:

a) 120º b) 125Ί c) 130º d) 135º e) 140º ˆ 2. Na figura abaixo, OP é bissetriz do ângulo AOB. Determine o valor de x e y.

a) b) c) d) e)

x  13 e y  49 x  15 e y  35

x  12 e y  48 x  17 e y  42 x  10 e y  50

3. Na figura abaixo, a e b são retas paralelas.

113

A afirmação correta a respeito do número que expressa, em graus, a medida do ângulo α é a) um número primo maior que 23. b) um número ímpar. c) um múltiplo de 4. d) um divisor de 60. e) um múltiplo comum entre 5 e 7. 4. Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é a) 3. b) 5. c) 6. d) 8. e) 10. 5. O valor de x no pentágono abaixo é igual a:

a) b) c) d)

25. 40. 250. 540.

114

e) 1.000. 6. Calcule o valor de x, em graus, na figura:

a) b) c) d) e)

16. 10. 20. 58. 32.

7. Um triângulo isósceles tem dois lados congruentes (de medidas iguais) e o outro lado é chamado de base. Se em um triângulo isósceles o ângulo externo relativo ao vértice oposto da base mede 130°, então os ângulos internos deste triângulo medem: a) 10°, 40° e 130°. b) 25°, 25° e 130°. c) 50°, 60° e 70°. d) 60°, 60° e 60°. e) 50°, 65° e 65°. 8. No triângulo OYZ, os lados OY e OZ têm medidas iguais. Se W é um ponto do lado OZ tal que os segmentos YW, WO e YZ têm a mesma medida, então, a medida do ângulo YÔZ é a) 46°. b) 42°. c) 36°. d) 30°. 9. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros. 10. Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura.

115

Considere que – os pontos A, B, C e D estão alinhados; – os pontos H, G, F e E estão alinhados; – os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos entre si; – AB  500 m, BC  600 m, CD  700 m e HE  1980 m. Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros, a) 665. b) 660. c) 655. d) 650. e) 645. 11. Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 25 dm e 125 dm. Portanto, a altura do “pau de sebo”, em metros, é a) 5,0. b) 5,5. c) 6,0. d) 6,5. 12.

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a a) 1,8 m. b) 1,9 m. c) 2,0 m. 116

d) 2,1m. e) 2,2 m. 13. Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: a) 8 metros b) 10 metros c) 12 metros d) 14 metros e) 16 metros 14. Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15km dessa estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25km dessa estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B. 15. Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm 2. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço.

A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: a) 6 cm b) 5 cm c) 4 2 cm d) 5 2 cm e) 6 2 cm 16. Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o ângulo 117

formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, a medida de um ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de

a) 50°. b) 60°. c) 70°. d) 80°. e) 90°. 17. Na figura a seguir, calcule o ângulo α.

Dica: Use o resultado do ângulo externo de um triângulo. a) 30. b) 33. c) 37. d) 38. e) 42. 18. Manuela desenha os seis vértices de um hexágono regular (figura abaixo) e une alguns dos seis pontos com segmentos de reta para obter uma figura geométrica. Essa figura não é seguramente um

a) retângulo b) trapézio c) quadrado 118

d) triângulo equilátero 19. Considerando que as medidas de dois ângulos opostos de um losango são dadas, em graus, por 3x  60 e 135  2x, a medida do menor ângulo desse losango é a) 75°. b) 70°. c) 65°. d) 60°. e) 55°. 20. A figura abaixo exibe um retângulo ABCD decomposto em quatro quadrados.

O valor da razão a) b) c) d)

AB BC

é igual a

5 . 3 5 . 2 4 . 3 3 . 2

21. Em uma das paredes de um depósito existem compartimentos de mesmo tamanho para armazenamento de caixas de dimensões frontais a e b. A terceira dimensão da caixa coincide com a profundidade de cada um dos compartimentos. Inicialmente as caixas são arrumadas, em cada um deles, como representado na Figura 1. A fim de aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de disposição das caixas foi idealizada e está indicada na Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o aumento do número de caixas armazenadas de 10 para 12 e a eliminação de folgas.

119

É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta? a) Não, porque a segunda proposta deixa uma folga de 4 cm na altura do compartimento, que é de 12 cm, o que permitiria colocar um número maior de caixas. b) Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário praticamente dobrar a altura e reduzir à metade a largura do compartimento. c) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de 20 cm de altura por 27 cm de largura. d) Sim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria o número de folgas para apenas uma de 2 cm na largura do compartimento. e) Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de largura. 22. Um terreno com perímetro de 176 m é subdividido em 5 retângulos congruentes, como mostrado na figura a seguir.

O perímetro de qualquer um dos 5 retângulos congruentes vale, em m, a) 80. b) 76. c) 35,2. d) 84. e) 86. 23. A figura a seguir mostra uma das peças do jogo “Pentaminós”.

120

Cada peça é formada por cinco quadradinhos, e o lado de cada quadradinho mede 5cm. Com 120 dessas peças, Jorge montou uma faixa, encaixando perfeitamente as peças como mostra a figura a seguir:

Quanto mede o perímetro dessa faixa? a) 1 200 cm b) 1 500 cm c) 3 000 cm d) 3 020 cm e) 6 000 cm 24. Numa praça de alimentação retangular, com dimensões 12 m por 16 m, as mesas estão dispostas em fileiras paralelas às laterais do ambiente, conforme o esquema da figura, sendo as linhas pontilhadas os corredores entre as mesas.

Pela disposição das mesas, existem várias maneiras de se chegar do ponto A ao ponto C, movendo-se apenas pelos corredores. Seguindo-se o caminho destacado e desprezandose a largura dos corredores, a distância percorrida é: a) 12 m b) 20 m c) 24 m d) 28 m e) 16 m 25. O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 121

m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.

Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 26. Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°. d) 124,30°. e) 124,50°. 27. Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:

122

7 5

Considere que AC  BD e que

é a medida de um dos lados da base da bandeja.

Qual deve ser o menor valor da razão

BD

para que uma bandeja tenha capacidade de

portar exatamente quatro copos de uma só vez? a) 2 b)

14 5

c) 4 d) e)

24 5 28 5

28. Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos B e E, ˆ  60. respectivamente, e BAE

ˆ Se os arcos BPC, CQD e DRE têm medidas iguais, a medida do ângulo BEC, indicada na figura por α, é igual a a) 20° b) 40° c) 45° d) 60° e) 80°

29. Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é 123

um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F. Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.

Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida? a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 120 graus 30. Pedro, passeando de bicicleta pela bela orla de Maceió percorreu 900 πm. Se o diâmetro da roda de sua bicicleta tem 60 cm, então o número de voltas realizadas pela roda é a) 15. b) 500. c) 1500. d) 5000. e) 50. 31. Um carrinho de brinquedo que corre em uma pista circular completa 8 voltas, percorrendo um total de 48 m.

Desprezando a largura da pista e considerando π  3, o seu raio é, em metros, igual a a) 0,8 b) 1,0 c) 1,2 d) 2,0 32. Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

124

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em a) 8π. b) 12π. c) 16π. d) 32π. e) 64π. 33. Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00 125

34. Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a a) 7,5 e 14,5. b) 9,0 e 16,0. c) 9,3 e 16,3. d) 10,0 e 17,0. e) 13,5 e 20,5. 35. Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 1: 55 m por 45 m Terreno 2: 55 m por 55 m Terreno 3: 60 m por 30 m Terreno 4: 70 m por 20 m Terreno 5: 95 m por 85 m Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno a) 01. b) 02. c) 3. d) 4. e) 5. 36. Brincando de construir circunferências e quadrados, Antônio construiu uma figura semelhante à que está representada abaixo. A área pintada dessa figura corresponde a quantos por cento da área total do quadrado? Considere π  3,14 126

a) b) c) d) e)

15,53% 17,00% 21,50% 33,40% 34,00%

37. A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm). O valor da segunda encomenda será a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo. 38. O prefeito de uma cidade deseja promover uma festa popular no parque municipal para comemorar o aniversário de fundação do município. Sabe-se que esse parque possui formato retangular, com 120 m de comprimento por 150 m de largura. Além disso, para segurança das pessoas presentes no local, a polícia recomenda que a densidade média, num evento dessa natureza, não supere quatro pessoas por metro quadrado. Seguindo as recomendações de segurança estabelecidas pela polícia, qual é o número máximo de pessoas que poderão estar presentes na festa? a) 1.000 b) 4.500 c) 18.000 d) 72.000 e) 120.000 39. Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. 127

Área do círculo: r2 As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. e) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 40. Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma de triângulo equilátero ABC de lado 1 metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em sua obra, o artista traça segmentos que unem os pontos médios D, E e F dos lados BC, AC e AB, respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos menores, como mostra a figura.

Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF? a) b) c)

1 16

3 16 1 8

d)

3 8

e)

3 4

41. A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo 2 cm e um círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono.

128

Considere: π  3 e 3  1,7 Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada? a) 2,0 cm2 b) 3,0 cm2 c) 7,2 cm2 d) 8,0 cm2 e) 10,2 cm2 42. Uma praça retangular é contornada por uma calçada de 2 m de largura e possui uma parte interna retangular de dimensões 15 m por 20 m, conforme a figura.

Nessas condições, a área total da calçada é, em metros quadrados, igual a a) 148. b) 152. c) 156. d) 160. e) 164. 43. A figura representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado. Sabendo-se que a diagonal do quadrado mede 3 8 cm , a área da figura, em centímetros quadrados, é igual a Adote   3

a) 72. 129

b) 63. c) 54. d) 45. e) 30. 44. O banheiro de uma escola pública, com paredes e piso em formato retangular, medindo 5 metros de largura, 4 metros de comprimento e 3 metros de altura, precisa de revestimento no piso e nas paredes internas, excluindo a área da porta, que mede 1 metro de largura por 2 metros de altura. Após uma tomada de preços com cinco fornecedores, foram verificadas as seguintes combinações de azulejos para as paredes e de lajotas para o piso, com os preços dados em reais por metro quadrado, conforme a tabela. Fornecedor

Azulejo

Lajota

(R$ m )

(R$ m2 )

A

31,00

31,00

B

33,00

30,00

C

29,00

39,00

D

30,00

33,00

E

40,00

29,00

2

Desejando-se efetuar a menor despesa total, deverá ser escolhido o fornecedor a) A. b) B. c) C. d) D. e) E. 45. O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:

Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é (Aproxime 3 para 1,7 e π para 3.) a) 30. b) 34. c) 50. d) 61. e) 69. 130

GEOMETRIA ANALÍTICA 23. PONTO: Plano cartesiano:

Distância entre dois pontos: Considere os pontos : A( 𝑥1 , 𝑦1 ) e B( 𝑥2 , 𝑦2 ) do plano cartesiano.

̅̅̅̅ )2 = (𝐴𝐶 ̅̅̅̅ )2 + (𝐵𝐶 ̅̅̅̅ )2 (𝐴𝐵 ̅̅̅̅ )2 = (𝑥 − 𝑥 )2 + (𝑦 − 𝑦 )2  (𝐴𝐵 2 1 2 1

 𝐷𝐴,𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

Ponto Médio: Se M é o ponto médio do segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , então : 131

Baricentro Ponto de encontro das medianas de um triângulo.

Condição de alinhamento entre três pontos: Considere os pontos A( 𝑥1 , 𝑦1 ); B( 𝑥2 , 𝑦2 ) e C( 𝑥3 , 𝑦3 ) colineares. Então, teremos sempre 𝑥1 |𝑥2 𝑥3

𝑦1 𝑦2 𝑦3

1 1| = 0 1

Área do Triângulo Cálculo da área do triângulo conhecendo-se os vértices: 𝐴(𝑥1 ; 𝑦1 ), 𝐵(𝑥2 ; 𝑦2 ) 𝑒 𝐶(𝑥3 ; 𝑦3 ):

132

24. RETA

Equação geral da reta Considere os pontos 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ); 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ) e 𝑆(𝑥, 𝑦) colineares.

Assim temos:

𝑥1 |𝑥2 𝑥

𝑦1 𝑦2 𝑦

1 1| = 0 1

Desenvolvendo, temos:

E assim concluímos que 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Equação reduzida da reta Ax + By + C = 0 133

By = −Ax − C y=

−Ax C − B B

fazendo

−A B

=me−

C B

= 𝑛, temos: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏

Onde 𝒎 ∶ Coeficiente angular da reta 𝒏 ∶ Coeficiente linear da reta

Equação da reta a partir de um ponto e do coeficiente angular Seja 𝑚 o coeficiente angular da reta r que intercepta os pontos 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) e 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ). Portanto 𝒎=

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Considerando que o ponto P é fixo e que existe um ponto 𝐴(𝑥, 𝑦) qualquer da reta, temos que 𝒎=

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟏

E assim 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝑚. ( 𝒙 − 𝒙𝟏 )

134

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS Sejam 𝑟 e 𝑠 duas retas no plano e 𝑚𝑟 ; 𝑚𝑠 os coeficientes angulares dessas retas, respectivamente. Se 𝑟 e 𝑠 são paralelas, então 𝒎𝒓 = 𝒎𝒔 Se 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares, então 𝒎𝒓 . 𝒎𝒔 = -1

Ângulo entre duas retas Sejam 𝑟 e 𝑠 duas retas no plano e concorrentes entre si, formando um ângulo agudo  entre elas. 𝒎𝒓 − 𝒎𝒔 𝒕𝒈 = | | 𝟏 + 𝒎𝒓 . 𝒎 𝒔

Distância entre um ponto e uma reta Considere uma reta 𝑟 de equação geral Ax + By + C = 0 e um ponto 𝑃(𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 ) , não pertencente à reta 𝑟. A distância entre o ponto 𝑃 e a reta 𝑟 pode ser obtida a partir da relação

𝒅𝑷,𝒓 =

|𝑨𝒙𝒑 + 𝑩𝒚𝒑 + 𝑪| √𝑨² + 𝑩²

25. CIRCUNFERÊNCIA

Equação reduzida da circunferência Considere a circunferência  de raio 𝑟 e centro 𝐶(𝑎, 𝑏) no plano cartesiano a seguir

135

Por definição, a distância entre o centro 𝐶 e o ponto 𝑃 é igual ao raio da circunferência  . Ou seja, 𝒅𝑷,𝑪 = 𝒓 Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos que : √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 Elevando ambos os membros ao quadrado, concluímos que (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓²

Equação normal da circunferência A equação normal da circunferência é obtida através do desenvolvimento dos binômios e redução dos termos semelhantes. (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟² 𝑥² − 2𝑎𝑥 + 𝑎² + 𝑦² − 2𝑦𝑏 + 𝑏² − 𝑟² = 0 𝑥² + 𝑦² − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎² + 𝑏² − 𝑟² = 0 Fazendo 𝐴 = −2𝑎, 𝐵 = −2𝑏 𝑒 𝐶 = 𝑎² + 𝑏² − 𝑟², temos: 𝒙² + 𝒚² + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 Posições relativas entre um ponto 𝑷 e uma circunferência  𝑑𝑃,𝑟 < 𝑟  𝑃 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎ç𝑎𝑜 𝑎 . 𝑑𝑃,𝑟 = 𝑟  𝑃 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎 . 𝑑𝑃,𝑟 > 𝑟  𝑃 é 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎ç𝑎𝑜 𝑎 . Posições relativas entre uma reta 𝒔 e uma circunferência  𝑑,𝑠 < 𝑟  𝑠 é 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 à . 𝑑,𝑠 = 𝑟  𝑠 é 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 à . 𝑑,𝑠 > 𝑟  𝑠 é 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 à . 136

Pontos de interseção entre uma reta e uma circunferência

Resolver o sistema contendo as respectivas equações da reta e da circunferência. - Se a resolução do sistema gerar 2 pontos ( > 0), a reta é secante à circunferência. - Se a resolução do sistema gerar 1 ponto ( = 0), a reta é tangente à circunferência. - Se a resolução do sistema não gerar ponto algum ( < 0), a reta é exterior à circunferência.

Pontos de interseção entre duas circunferências

Resolver o sistema contendo as respectivas equações das duas circunferências. - Se a resolução do sistema gerar 2 pontos ( > 0), as circunferências são secantes. - Se a resolução do sistema gerar 1 ponto ( = 0), as circunferências são tangentes. - Se a resolução do sistema não gerar ponto algum ( < 0), as circunferências não se interceptam.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q.

Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais. De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são 137

a) b) c) d) e)

(290; 20). (410; 0). (410; 20). (440; 0). (440; 20).

2. Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

A reta de equação y  x  4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P  (5,5) , localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto a) (5,0) . b) (3,1) . c) (2,1) . d) (0,4) . e) (2,6) . TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.

138

3. Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de a) 1500 m. b) 500 5 m. c) 1000 2 m. d) 500 + 500 2 m. 4. Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.

Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro. Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação para 2. 139

O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de a) 1.260. b) 2.520. c) 2.800. d) 3.600. e) 4.000. 5. Um construtor pretende murar um terreno e, para isso, precisa calcular o seu perímetro. O terreno está representado no plano cartesiano, conforme a figura, no qual foi usada a escala 1: 500. Use 2,8 como aproximação para 8.

De acordo com essas informações, o perímetro do terreno, em metros, é a) 110. b) 120. c) 124. d) 130. e) 144. 6. A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região.

Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X  (20; 60). O helicóptero segue o percurso: 0,8L  0,5N  0,2O  0,1S  0,4N  0,3L

140

De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é a) menor ou igual a 200 m. b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. e) maior que 800 m. 7. Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x2  y2  2x  4y  31  0.

A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não. Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas a) A e C. b) B e C. c) B e D. d) A, B e C. e) B, C e D. 8. Observou-se que todas as formigas de um formigueiro trabalham de maneira ordeira e organizada. Foi feito um experimento com duas formigas e os resultados obtidos foram esboçados em um plano cartesiano no qual os eixos estão graduados em quilômetros. As duas formigas partiram juntas do ponto O, origem do plano cartesiana xOy. Uma delas caminhou horizontalmente para o lado direito, a uma velocidade de 4 km h. A outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 3 km h. 141

Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das posições de cada formiga? a) (8; 0) e (0; 6). b) (4; 0) e (0; 6). c) (4; 0) e (0; 3). d) (0; 8) e (6; 0). e) (0; 4) e (3; 0). 9. O plano cartesiano representado abaixo mostra o deslocamento de uma pessoa por 4 pontos diferentes, no interior do pavilhão da Oktoberfest. Considere que essa pessoa partiu do ponto A e formou, com seu trajeto, segmentos de reta entre os pontos consecutivos A, B, C e D, nessa ordem. Em uma escala em metros, é CORRETO afirmar que ela se deslocou

a) b) c) d) e)

5(3 5  5) m.

(3 5  5) m. 53 m.

2(3 2  7) m. 4(3 5  5) m.

10. No plano cartesiano da figura, considere que as escalas nos dois eixos coordenados são iguais e que a unidade de medida linear é 1 cm. Nele, está representada parte de uma linha poligonal que começa no ponto P(0; 3) e, mantendo-se o mesmo padrão, termina em um ponto Q.

Na figura, a linha poligonal é formada por segmentos de reta - que são paralelos aos eixos coordenados e - cujas extremidades têm coordenadas inteiras não negativas. 142

Sabendo que o comprimento da linha poligonal, do ponto P até o ponto Q, é igual a 94 cm, as coordenadas do ponto Q são a) (25; 2) b) (28; 1) c) (32; 1) d) (33; 1) e) (34; 2) 11. Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas a) (65 ; 35). b) (53 ; 30). c) (45 ; 35). d) (50 ; 20). e) (50 ; 30). 12. Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.

143

Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá a) diminuir em 2 unidades. b) diminuir em 4 unidades. c) aumentar em 2 unidades. d) aumentar em 4 unidades. e) aumentar em 8 unidades. 13. Os procedimentos de decolagem e pouso de uma aeronave são os momentos mais críticos de operação, necessitando de concentração total da tripulação e da torre de controle dos aeroportos. Segundo levantamento da Boeing, realizado em 2009, grande parte dos acidentes aéreos com vítimas ocorre após iniciar-se a fase de descida da aeronave. Desta forma, é essencial para os procedimentos adequados de segurança monitorar-se o tempo de descida da aeronave. A tabela mostra a altitude y de uma aeronave, registrada pela torre de controle, t minutos após o início dos procedimentos de pouso. tempo t (em minutos) altitude y (em metros)

0

5

10

15

20

10000

8000

6000

4000

2000

Considere que, durante todo o procedimento de pouso, a relação entre y e t é linear. Disponível em www.meioaereo.com. De acordo com os dados apresentados, a relação entre y e t é dada por a) y = – 400t b) y = – 2000t c) y = 8000 – 400t d) y = 10000 – 400t e) y = 10000 – 2000t 14. O cristalino, que é uma lente do olho humano, tem função de fazer ajuste fino na focalização, ao que se chame acomodação. À perda da capacidade de acomodação com a 144

idade chamamos presbiopia. A acomodação pode ser determinada por meio da convergência do cristalino. Sabe-se que a convergência de uma lente, para pequena distância focal em metros, tem como unidade de medida a diopria (di). A presbiopia, representada por meio da relação entre convergência máxima Cmax (em di) e a idade T (em anos), mostrada na figura seguinte.

Considerando esse gráfico, as grandezas convergência máxima Cmax e idade T estão relacionadas algebricamente pela expressão a) Cmax  2T b) Cmax  T2  70T  600 c) Cmax  log2 (T2  70T  600) d) Cmax  0,16T  9,6 e) Cmax  0,16T  9,6 15. As baterias B1 e B2 de dois aparelhos celulares apresentam em determinado instante, respectivamente, 100% e 90% da carga total. Considere as seguintes informações: - as baterias descarregam linearmente ao longo do tempo; - para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2 leva duas horas a mais do que B1; - no instante z, as duas baterias possuem o mesmo percentual de carga igual a 75%. Observe o gráfico:

145

O valor de t, em horas, equivale a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 16. A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.

Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função a) f(x)   2  x2 b) f(x)  2  x2 c) f(x)  x2  2 d) f(x)   4  x2 e) f(x)  4  x2 17. Um fabricante de brinquedos utiliza material reciclado: garrafas, latinhas e outros. Um dos brinquedos despertou a atenção de um estudante de Geometria, por ser confeccionado da seguinte forma: amarra-se um barbante em um bico de garrafa pet cortada e, na extremidade, cola-se uma bola de plástico que, ao girar em torno do bico, forma uma circunferência. O estudante representou-a no sistema por coordenadas cartesianas, conforme a figura a seguir: 146

Considerando o tamanho do barbante igual a 6 unidades de comprimento (u.c.) e o bico centrado no ponto (3,4), a equação que representa a circunferência é igual a a) x2  y2  6x  8y  11  0 b) x2  y2  6x  8y  11  0 c) x2  y2  6x  8y  11  0 d) x2  y2  6x  8y  11  0 e) x2  y2  8x  6y  11  0 18. Uma antena de telefone celular rural cobre uma região circular de área igual a 900 πkm2. Essa antena está localizada no centro da região circular e sua posição no sistema cartesiano, com medidas em quilômetros, é o ponto (0,10). Assim, a equação da circunferência que delimita a região circular é a) x2  y2  20y  800  0. b) x2  y2  20y  70  0. c) x2  y2  20x  800  0. d) x2  y2  20y  70  0. e) x2  y2  900. 19. Observe a figura a seguir.

147

Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa pelo centro da circunferência de menor raio, a equação da circunferência de maior raio é a) x2  y2  4x  4y  18  0 b) x2  y2  4x  4y  14  0 c) x2  y2  8x  8y  14  0 d) x2  y2  8x  8y  18  0 20. As retas 2x  y  4  0 e 2x  3y  12  0 interceptam-se no centro de uma circunferência de raio igual a 3. Então podemos dizer que a) a circunferência possui centro no ponto (2, 3). b) a circunferência corta o eixo y em dois pontos. c) a circunferência corta o eixo x em um ponto. d) a circunferência é tangente ao eixo x. e) a circunferência é tangente ao eixo y.

TRIGONOMETRIA 26. RELAÇÃO FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICA A soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo é igual a 1.

148

𝒔𝒆𝒏𝟐  + 𝒄𝒐𝒔𝟐  = 𝟏

27. ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA Dados os dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessas partes, que incluem A e B, é denominada arco de ̂. circunferência 𝐴𝐵

̂ : Arco de circunferência. 𝐴𝐵 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 : Raio da circunferência.

Medidas de arcos 1

Grau : é o arco cujo comprimento é igual a 360 da circunferência. Radiano : Arco cujo comprimento é igual a um raio da circunferência.

Equivalência entre as medidas de um arco 360°  400gr  2 rad 180°  200gr   rad

Comprimento de uma circunferência Considere uma circunferência 𝐶 de raio 𝑟, então: 𝑪 = 𝟐.  . 𝒓

Medidas de um ângulo 149

Então, pode-se concluir que

 =

𝒍 𝒓

28. CICLO TRIGONOMÉTRICO

Consideremos uma circunferência de raio unitário ( r = 1 ), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal.

Esse sistema é denominado circunferência trigonométrica.

Considerações no ciclo trigonométrico - O ponto A(1,0) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência. - Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo ( - ). - Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo ( + ). - Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A.

150

Relação dos eixos coordenados com o ciclo trigonométrico ̂ de medida , 0° <  < Consideremos na circunferência trigonométrica um arco 𝐴𝑀 90°.

No triângulo retângulo OMP, temos 𝑐𝑜𝑠 =

̅̅̅̅ 𝑂𝑃 1

̅̅̅̅ = 𝑂𝑃

e

𝑠𝑒𝑛 =

̅̅̅̅̅ 𝑀𝑃 1

̅̅̅̅̅ = 𝑀𝑃

̂ de medida 𝑎. Chama-se cosseno e seno de 𝑎 a abcissa e Dado um arco trigonométrico 𝐴𝑀 a ordenada do ponto M, respectivamente.

𝒄𝒐𝒔 = 𝒂𝒃𝒄𝒊𝒔𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝑴 = 𝒙𝑴 𝒔𝒆𝒏 = 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝑴 = 𝒚𝑴

151

Podemos então afirmar que o eixo das abcissas ( eixo x ) representa o cosseno enquanto o eixo das ordenadas ( eixo y ) representa o seno.

29. ESTUDO DOS SINAIS

Seno de um arco: É a ordenada da extremidade desse arco. Como os pontos de ordenadas positivas são os do 1º e 2º quadrantes e os pontos de ordenadas negativas são os do 3º e 4º quadrantes, temos o seguinte quadro de sinais para o seno :

Cosseno de um arco: É a abcissa da extremidade desse arco. Como os pontos de ordenadas positivas são os do 1º e 4º quadrantes e os pontos de ordenadas negativas são os do 2º e 3º quadrantes, temos o seguinte quadro de sinais para o cosseno :

Cálculo dos ângulos pertencentes sobre os eixos x e y Na estrutura de um ciclo trigonométrico, juntamente com a relação dos eixos coordenados estudados na geometria analítica, encontramos os ângulos pertencentes aos eixos x e y.

152

Sabe-se que: 𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝑷(𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐, 𝒔𝒆𝒏𝒐)

De acordo com o que vimos, podemos concluir os resultados da tabela a seguir :

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de π  (h  12)  , sendo h o tempo, medido em horas, a 12  

acordo com a função T(h)  A  B sen 

partir da meia-noite (0  h  24) e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26 C, a mínima 18 C, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã. Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido? a) A  18 e B  8 b) A  22 e B  4 c) A  22 e B  4 d) A  26 e B  8 e) A  26 e B  8 2. No jogo mostrado na figura, uma bolinha desloca-se somente de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos de circunferências centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8. Durante o jogo, a bolinha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é 120. 153

Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto a) B. b) D. c) E. d) F. e) G. 3. Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra. A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um  πx  π   , onde x  6 

certo produto sazonal pode ser descrito pela função P(x)  8  5cos 

representa o mês do ano, sendo x  1 associado ao mês de janeiro, x  2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x  12 associado ao mês de dezembro. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).

Na safra, o mês de produção máxima desse produto é a) janeiro. b) abril. c) junho. d) julho. e) outubro. 4. Uma pessoa usa um programa de computador que descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som escolhido. A equação da onda é dada, num sistema de coordenadas cartesianas, por y  a  sen[b(x  c)], em que os parâmetros a, b, c são positivos. O programa permite ao usuário provocar mudanças no som, ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A pessoa deseja tornar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda. O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser alterado(s) é(são) 154

a) a. b) b. c) c. d) a e b. e) b e c. 5. Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por r t 

5865 1  0,15.cos  0,06t 

Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de a) 12 765 km. b) 12 000 km. c) 11 730 km. d) 10 965 km. e) 5 865 km. 6. Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho", conseguiu realizar a manobra denominada "900", na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900" refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas. 7. Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. Suponha que a função π  N  x   180  54cos   x  1  6 

represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Saúde, com x  1 correspondendo ao mês de janeiro, x  2, ao mês de fevereiro e assim por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a a) 693. 155

b) 720. c) 747. d) 774. e) 936. 8. Na competição de skate a rampa em forma de U tem o nome de vert, onde os atletas fazem diversas manobras radicais. Cada uma dessas manobras recebe um nome distinto de acordo com o total de giros realizados pelo skatista e pelo skate, uma delas é a “180 allie frontside”, que consiste num giro de meia volta. Sabendo-se que 540 e 900 são côngruos a 180, um atleta que faz as manobras 540 Mc Tuist e 900 realizou giros completos de a) 1,5 e 2,5 voltas respectivamente. b) 0,5 e 2,5 voltas respectivamente. c) 1,5 e 3,0 voltas respectivamente. d) 3,0 e 5,0 voltas respectivamente. e) 1,5 e 4,0 voltas respectivamente. 9. Na cidade de Recife, mesmo que muito discretamente, devido à pequena latitude em que nos encontramos, percebemos que, no verão, o dia se estende um pouco mais em relação à noite e, no inverno, esse fenômeno se inverte. Já em outros lugares do nosso planeta, devido a grandes latitudes, essa variação se dá de forma muito mais acentuada. É o caso de Ancara, na Turquia, onde a duração de luz solar L, em horas, no dia d do ano, após 21 de março, é dada pela função:  2π  L(d)  12  2,8  sen  (d 80)  365 

Determine, em horas, respectivamente, a máxima e a mínima duração de luz solar durante um dia em Ancara. a) 12,8 e 12 b) 14,8 e 9,2 c) 12,8 e 9,2 d) 12 e 12 e) 14,8 e 12 10. A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um produto, é dada por f  x   100  0,5x  3sen  x , em que x = 1 corresponde a janeiro de 2011, x 6

= 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é: (Use a aproximação decimal 3  1,7 ) a) 308,55 b) 309,05 c) 309,55 d) 310,05 e) 310,55

156

GEOMETRIA ESPACIAL 30. POLIEDROS Denomina-se poliedro o sólido geométrico limitado pelo conjunto de polígonos planos tais que cada um de seus lados pertença a dois dos referidos polígonos e dois polígonos quaisquer que tenham um lado comum não estejam situados no mesmo plano.

Poliedro convexo Um poliedro é dito convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer está contido no poliedro.

Poliedro não convexo Um poliedro é dito convexo quando, pelo menos um segmento de reta que une dois pontos quaisquer não está contido no poliedro.

31. RELAÇÃO DE EULER Para toda superfície poliédrica convexa fechada vale a segunda relação :

V+F=A+2 157

Onde V = número de vértices; A = número de arestas; F = número de faces.

Propriedades Num poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces é dada por:

S = ( V – 2).360° Poliedros regulares ou poliedros de Platão Um poliedro convexo é dito regular quando as suas faces são polígonos regulares e congruentes e todos os ângulos poliédricos são congruentes. Há somente cinco poliedros regulares, que são:

Tetraedro regular Quatro faces triangulares regulares.

Hexaedro regular ou cubo Seis faces quadrangulares regulares

158

Octaedro regular Oito faces triangulares regulares.

Dodecaedro regular Doze faces pentagonais regulares.

Icosaedro regular Vinte faces triangulares regulares.

32. PRISMAS Prisma é um poliedro convexo em que duas faces são polígonos quaisquer, congruentes e paralelos, chamados bases, e todas as outras faces são paralelogramos, chamados faces laterais.

159

Se as arestas são perpendiculares aos planos das bases, o prisma é dito reto. Se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases, o prisma é dito oblíquo. Se o prisma é reto e sua base é um polígono regular, ele é dito regular.

Medidas de um prisma

I - Área lateral de um prisma reto ( Al ) : produto do perímetro de sua base pela sua aresta lateral( altura ). II – Área total de um prisma reto ( At ) : Medida da área lateral somada ao dobro da área da base. At = Al + 2.Ab

III – Volume de um prisma ( Vprisma ) : Qualquer volume de um prisma tem pro medida o produto da área da base pela altura do prisma. Vprisma = Ab.H

Princípio de cavalieri Suponha dois sólidos com bases num mesmo plano . Se todo plano , paralelo a , que intercepta um dos sólidos também intercepta o outro e determina nesses sólidos secções transversais de mesma área, então os sólidos têm o mesmo volume.

160

PARALELEPÍPEDO Denomina-se paralelepípedo o prisma no qual as seis faces são paralelogramos.

PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO OU ORTOEDRO Prisma reto cujas bases são retangulares.

CUBO OU HEXAEDRO REGULAR Paralelepípedo retângulo cujas faces são todas quadradas.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces. Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu? a) 6 161

b) c) d) e)

8

14 24 30

2. A bola de futebol evoluiu ao longo do tempo e, atualmente, é um icosaedro truncado, formado por 32 peças, denominadas de gomos e, geometricamente, de faces. Nessa bola, 12 faces são pentágonos regulares, e as outras, hexágonos, também regulares. Os lados dos pentágonos e dos hexágonos são iguais e costurados. Ao unirem-se os dois lados costurados das faces, formam-se as arestas. O encontro das arestas formam os vértices. Quando cheio, o poliedro é similar a uma esfera.

O número de arestas e o número de vértices existentes nessa bola de futebol são, respectivamente, Pode ser utilizado o Teorema de Descartes-Euler, a) 80 e 60 b) 80 e 50 c) 70 e 40 d) 90 e 60 e) 90 e 50

A  2  V F

3. Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.

Considere o número de vértices V, de faces A soma V  F  A é igual a: a) 102 b) 106 c) 110 d) 112

F

e de arestas

A

desse poliedro côncavo.

162

4. Para confeccionar, em madeira, um cesto de lixo que comporá o ambiente decorativo de uma sala de aula, um marceneiro utilizará, para as faces laterais, retângulos e trapézios isósceles e, para o fundo, um quadrilátero, com os lados de mesma medida e ângulos retos. Qual das figuras representa o formato de um cesto que possui as características estabelecidas? a)

b)

c)

d)

e)

5. Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V  A  F  2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente. Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces? a) 2V  4F  4 b) 2V  2F  4 c) 2V  F  4 d) 2V  F  4 e) 2V  5F  4 6. Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.

163

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3? a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 7. Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% b) 20% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0% 8. Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo.

Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito? a) 8. b) 10. 164

c) 16. d) 18. e) 24. 9. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm. d) 24 cm. e) 25 cm. 10. Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2m3 desse tipo de silo. EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado). Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 125. c) 130. d) 220. e) 260. 11. Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que e interno, mede 8 cm.

165

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 12 cm3. b) 64 cm3. c) 96 cm3. d) 1 216 cm3. e) 1 728 cm3. 12. Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115cm. A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.

O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é a) 25. b) 33. c) 42. d) 45. e) 49. 13. Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 20 cm por 10 cm. No processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25%, ficando com consistência cremosa. Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de 1.000 cm3 e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar. O volume máximo, em embalagem é

cm3,

da mistura sabor morango que deverá ser colocado na 166

a) b) c) d) e)

450. 500. 600. 750.

1.000.

14. Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por 60 m 10 m de base e 10 m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7 m de altura e 10 m de base, de modo que os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará.

Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga máxima: ele sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento C. Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias. Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de a) 1,4 103 m3 b) 1,8 103 m3 c) 2,0 103 m3 d) 3,2 103 m3 e) 6,0 103 m3 15. Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d’água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma. Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é a) oito vezes maior. b) quatro vezes maior. c) duas vezes maior. d) a metade. e) a quarta parte.

167

33. PIRÂMIDE: Poliedro convexo tal que uma face (base) é um polígono convexo e as demais faces (laterais) são triângulos que têm um vértice comum.

Nomenclatura: é dada de acordo com o polígono da base.

PIRÂMIDE REGULAR: o polígono da base é regular e a pirâmide é reta.

Relações métricas usuais das pirâmides regulares: 𝒂𝒑 𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒓𝟐

𝒂𝒍 𝟐 = 𝑹𝟐 + 𝒉𝟐

ÁREAS: 168

Volume: Um terço do produto entre a área da base e a altura.

𝑽=

𝟏 .𝑨 .𝒉 𝟑 𝒃

Secção transversal: qualquer intersecção não vazia da pirâmide com um plano paralelo à base. Dois sólidos ficam determinados: uma pirâmide semelhante à original e um tronco de pirâmide.

T

𝑽𝑻𝑹𝑶𝑵𝑪𝑶 = 𝑽𝑨𝑩𝑪 − 𝑽𝑫𝑬𝑭 OU 𝑽𝑻𝑹𝑶𝑵𝑪𝑶 =

𝒉𝑻 . (𝑨𝑩 + √𝑨𝑩 . 𝑨𝒃 + 𝑨𝒃 ) 𝟑

169

Tetraedro regular: pirâmide regular triangular cujas faces são todas triângulos equiláteros.

At = a² √𝟑

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –, espaçados de 1cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? a) 156 cm3. b) 189 cm3. c) 192 cm3. d) 216 cm3. 170

e) 540 cm3. 2. Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide?

a)

16 3 cm3 . 3 3

b) 16 3 cm . c) 32 cm3. d) e)

32 2 cm3 . 3 64 cm3 . 3

3. Na molécula do Metano (CH4 ), o átomo de carbono ocupa o centro de um tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio.

Considerando que as arestas 1 h 3

6,

do tetraedro regular medem 6 cm e que a altura mede

assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro.

a) 3 3 cm3 b) 18 2 cm3 c) 18 3 cm3 d) 36 2 cm3 e) 54 2 cm3 171

4. Desde a descoberta do primeiro plástico sintético da história, esse material vem sendo aperfeiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve ao fato de o plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. Uma peça plástica usada na fabricação de um brinquedo tem a forma de uma pirâmide regular quadrangular em que o apótema mede 10mm e a aresta da base mede 12mm. A peça possui para encaixe, em seu interior, uma parte oca de volume igual a 78mm3. O volume, em a) 1152. b) 1074. c) 402. d) 384. e) 306.

mm3,

dessa peça é igual a

5. O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE  2cm, AD  4cm e AB  5cm.

A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a

4 3

do volume

da pirâmide SEFGH é a) 2 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm 6. Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide a) será reduzido à quarta parte. b) será reduzido à metade. c) permanecerá inalterado. d) será duplicado. e) aumentará quatro vezes. 7. Uma peça de madeira tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular com 21cm de altura. Essa peça é seccionada por um plano paralelo à base, de forma que o volume da pirâmide obtida seja 8 27 do volume da pirâmide original. 172

A distância (em cm) da base da pirâmide até essa secção é um número: a) fracionário. b) primo. c) múltiplo de 3. d) quadrado perfeito. 8. Para a premiação dos melhores administradores de uma galeria comercial, um designer projetou um peso de papel com a forma de um tetraedro regular reto, de aresta 20 cm que será entregue aos vencedores. Esse peso de papel será recoberto com placas de platina, nas faces laterais e com uma placa de prata na base. Se o preço da platina é de 30 reais por centímetro quadrado, e o da prata é de 50 reais por centímetro quadrado, assinale a alternativa que apresenta o valor mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento. Considere 3  1,7 a) 24 000 b) 18 000 c) 16 000 d) 14 000 e) 12 000 9. A cobertura de uma tenda de lona tem formato de uma pirâmide de base quadrada e é formada usando quatro triângulos isósceles de base y. A sustentação da cobertura é feita por uma haste de medida x. Para saber quanto de lona deve ser comprado, deve-se calcular a área da superfície da cobertura da tenda.

A área da superfície da cobertura da tenda, em função de y e x, é dada pela expressão a) 2y x2 

y2 4

b) 2y x2 

y2 2

c) 4y x 2  y 2 d) 4 x2 

y2 4

e) 4 x2 

y2 2

10. A figura mostra a pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Quéops seja regular, sua base seja um quadrado 173

com lados medindo 214 m, as faces laterais sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m.

O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metro, é a) 97,0. b) 136,8. c) 173,7. d) 189,3. e) 240,0. 34. CILINDRO Sejam 𝛼 e 𝛽 dois planos paralelos distintos, uma reta 𝑠 secante a esses planos e um círculo 𝐶 de centro 𝑂 contido em 𝛼. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a 𝑠, de modo que cada um deles tenha um extremo no círculo 𝐶 e o outro extremo em 𝛽.

A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado cilindro circular limitado ou, simplesmente, cilindro.

Elementos

174

Classificação Cilindro circular reto é todo cilindro circular cujas geratrizes são perpendiculares às bases (g = h).

O cilindro circular reto também é conhecido como cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360° de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.

OBSERVAÇÃO: Todo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas é chamado de cilindro equilátero (h = 2r).

175

Todo cilindro circular não reto é chamado de cilindro circular oblíquo (g ≠ h).

Medidas de um cilindro

ÁREA DA BASE (𝑨𝑩 ): Área do círculo da base:

𝑨𝑩 = 𝝅. 𝒓𝟐 1) ÁREA LATERAL (𝑨𝑳 ): É equivalente à área de um retângulo cuja base é o comprimento da circunferência da base e a altura é a mesma do cilindro: 𝑨𝑳 = 𝟐. 𝝅. 𝒓. 𝒉 2) ÁREA TOTAL (𝑨𝑻 ): É a medida da área lateral somada ao dobro da área da base. Ou ainda: 𝑨𝒕 = 𝟐. 𝝅. 𝒓. (𝒓 + 𝒉) 3) VOLUME (𝑽): É o produto da área da base pela altura. Ou seja:

176

𝑽 = 𝝅. 𝒓𝟐 . 𝒉

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81m3 de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da

nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π. Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado? a) 0,5 b) 1,0 c) 2,0 d) 3,5 e) 8,0 2. Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.

A medida da altura desconhecida vale a) 8 cm. b) 10 cm. c) 16 cm. d) 20 cm. e) 40 cm. 3. É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três 177

vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, n. 166, mar 1996. Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize   3 ) a) 20 mL. b) 24 mL. c) 100 mL. d) 120 mL. e) 600 mL. 4. Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de ð, então o preço dessa manilha é igual a a) R$ 230,40. b) R$ 124,00. c) R$ 104,16. d) R$ 54,56. e) R$ 49,60. 5. Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12m3, cuja base tem um raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4m3.

Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de a) 1,6. b) 1,7. 178

c) 2,0. d) 3,0. e) 3,8. 6. Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 7. Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3? 179

a)

b)

c)

d)

e) 8. A figura abaixo representa um tanque de combustível de certa marca de caminhão a diesel. Sabendo que esse veículo faz, em média, 3 km L, e, observando o marcador de combustível no início e no final de uma viagem, quantos quilômetros esse caminhão percorreu? Considere π  3.

a) b) c) d) e)

243 km 425 km 648 km 729 km 813 km

180

9. No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se "rodo" da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore.

Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo • 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m3; • 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m3. Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente, a) 29,9 toneladas. b) 31,1 toneladas. c) 32,4 toneladas. d) 35,3 toneladas. e) 41,8 toneladas. 10. Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser substituídas por uma nova embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura:

De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem de 350 mL? a) r '  r r 2 r'  r

b) r '  c)

181

d) r '  2r e) r '  3 2

35. CONE Consideremos um círculo (região circular) e centro O e raio r situado num plano α e um ponto V fora de a. Chama-se cone circular ou cone a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo.

Classificação: classificam-se como oblíquo ou reto (também chamado cone de revolução).

g

h

r

𝒈𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒓𝟐

A geratriz de um cone circular reto é também dita apótema do cone.

Secção meridiana: é a interseção do cone com um plano que contém o seu eixo (reta determinada pelo vértice e pelo centro da base). A seção meridiana de um cone circular reto ou cone de revolução é um triângulo isósceles.

Cone equilátero: É um cone cuja seção meridiana e um triângulo equilátero.

182

𝒈 = 𝟐𝒓 𝒉 = 𝒓√𝟑

ÁREAS:

Área lateral: a superficie lateral de um cone circular reto ou cone de revolução de raio da base 𝑟 e geratriz 𝑔 é equivalente a um setor circular de raio 𝑔 e comprimento do arco 2𝜋𝑟.

Área total: a área total (𝐴𝑡 ) de um cone é a soma da área lateral (𝐴𝑙 ) com a área da base (𝐴𝑏 ), logo: 𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 → 𝐴𝑡 = 𝜋𝑟𝑔 + 𝜋𝑟 2 → 𝑨𝒕 = 𝝅𝒓(𝒈 + 𝒓) Volume: o volume de um cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura. 𝑽=

𝝅𝒓𝟐 𝒉 𝟑

Secção transversal: qualquer interseção não-vazia entre um cone e um plano paralelo à base. O cone fica dividido em dois sólidos: um novo cone, semelhante ao original, e um tronco de cone.

183

RELAÇÕES PARA TRONCOS DE CONES:

𝑨𝒍𝒕 = 𝝅(𝑹 + 𝒓)𝒈

𝒓 𝒉 = 𝑹 𝑯

𝑨𝑨′ 𝑩′ 𝒉 𝟐 =( ) 𝑨𝑨𝑩 𝑯

𝟏

𝑽𝒕 = 𝟑 𝝅𝒉𝒕 (𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 + 𝑹𝒓)

𝑽𝑽𝑨′ 𝑩′ 𝒉 𝟑 =( ) 𝑽𝑽𝑨𝑩 𝑯

𝑨𝑨′ 𝑩′ 𝟑 𝑽𝑽𝑨′ 𝑩′ 𝟐 ( ) =( ) 𝑨𝑨𝑩 𝑽𝑽𝑨𝑩

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposta por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m3. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

Utilize 3 como aproximação para π. O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é a) 6. 184

b) 16. c) 17. d) 18. e) 21. 2. Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura

Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26m2 , considerando π  3,14 , a altura h será igual a a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 9 m. e) 16 m. 3. Um torneiro mecânico construiu uma peça retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir: Considere π  3

Qual é o volume aproximado da peça em milímetros cúbicos? a) 2,16  105 b) 7,2  104 c) 2,8  105 d) 8,32 104 e) 3,14  105 4. Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra 185

retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. Qual é a profundidade, em metros, desse poço? a) 1,44 b) 6,00 c) 7,20 d) 8,64 e) 36,00 5. Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual a 8 metros e altura igual a 9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta igual a 10 metros. Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório cúbico, a altura do nível atingida pela água será de (considere π  3 ) a) 5,76m. b) 4,43m. c) 6,38m. d) 8,74m. 6. Prato da culinária japonesa, o temaki é um tipo de sushi na forma de cone, enrolado externamente com nori, uma espécie de folha feita a partir de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe cru, ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha.

Um temaki típico pode ser representado matematicamente por um cone circular reto em que o diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o peixe corresponde a 90% da massa do seu recheio, que a densidade do salmão é de 0,35 g/cm3, e tomando π  3, a quantidade aproximada de salmão, em gramas, nesse temaki, é de a) 46. b) 58. c) 54. d) 50. e) 62. 7. Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.

186

A altura do cone formado pela areia era igual a a) b) c) d)

3 da altura do cilindro. 4 1 da altura do cilindro. 2 2 da altura do cilindro. 3 1 da altura do cilindro. 3

8. A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m2 construído, tomando por base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo.

Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de: Use: π = 3,14 a) 100.960 b) 125.600 c) 140.880 d) 202.888 e) 213.520 9. Um cone circular reto de madeira, homogêneo, com 20 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base, flutua livremente na água parada em um recipiente, de maneira que o 187

eixo do cone fica vertical e o vértice aponta para baixo, como representado na figura a seguir.

Denotando-se por h a profundidade do vértice do cone, relativa à superfície da água, por r o raio do círculo formado pelo contato da superfície da água com o cone e sabendo-se que as densidades da água e da madeira são 1,0 g/cm 3 e 0,6 g/cm3, respectivamente, os valores de r e h, em centímetros, são, aproximadamente: Dados: 3 3  1,44, 3 5  1,71. a) 5,8 e 11,6 b) 8,2 e 18,0 c) 8,4 e 16,8 d) 8,9 e 15,0 e) 9,0 e 18,0 10. Um silo para armazenamento de cereais é formado pela junção de um cilindro e um cone com o mesmo raio da base e dimensões internas indicadas na figura a seguir. Determine quantos metros cúbicos de cereais podem ser armazenados neste silo. (Adote π  3,14)

a) b) c) d) e)

3.140 3.346 3.454 3.512 3.816

36. ESFERA

Considere um ponto C e um segmento de medida R. Chama-se esfera de centro C e raio R ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância ̅̅̅̅ 𝑂𝑃 seja menor ou igual a R. 188

A esfera é também o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Elementos: considere a superfície de uma esfera de eixo e, temos: Pólos: são as interseções da superfície com o eixo. Equador: é a secção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície. Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É "paralela" ao equador. Meridiano: é uma secção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo .

Secção da esfera: a interseção de um plano com uma esfera é um círculo. Observe a figura abaixo, na qual o plano 𝛼 determina uma seção na esfera de centro O e raio r.

Sendo d a distância de 𝛼 ao centro O e s o raio da seção, temos: 𝒓𝟐 = 𝒔𝟐 + 𝒅𝟐

Área da superfície esférica: a área de uma superfície esférica de raio r é dada por:

189

𝑨 = 𝟒𝝅𝒓𝟐

Volume da esfera: o volume V de uma esfera de raio r é dado por:

𝑽=

𝟒 𝟑 𝝅𝒓 𝟑

PARTES DA ESFERA Fuso esférico: é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semicircunferência de um ângulo 𝛼 (0 < 𝛼 < 2𝜋) em torno de seu eixo. A área do fuso pode ser calculada por uma regra de três simples:

 CUNHA ESFÉRICA: é o sólido gerado pela rotação de um semicírculo que gira 𝛼 graus (0 < 𝛼 < 360°) em torno de um eixo que contém seu diâmetro.

 HEMISFÉRIO / CALOTA / ZONA / SEGMENTO:

190

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Considere: 4 Vesfera    R3 3

e Vcone 

1  R 2h 3

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de a) 1,33. b) 6,00. c) 12,00. d) 56,52. e) 113,04. 2. Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. 191

Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para π. A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a a) 168. b) 304. c) 306. d) 378. e) 514. 3. Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro.

O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada. Dados: O volume de uma esfera de raio r é

4  π  r3; 3

O volume do cilindro de altura h e área da base S é S  h; O volume do cone de altura h e área da base S é

1  S  h; 3

Por simplicidade, aproxime π para 3. A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é a) 45. b) 48. c) 72. d) 90. e) 99. 4. A figura representa um sorvete de casquinha, no qual todo o volume interno está preenchido por sorvete e a parte externa apresenta um volume de meia bola de sorvete. 192

Considerando que o cone tem 12 cm de altura e raio 6 cm, então o volume total de sorvete é a) 216 π cm3. b) 360 π cm3. c) 288 π cm3. d) 264 π cm3. 5. Um artesão resolveu fabricar uma ampulheta de volume total V constituída de uma semiesfera de raio 4 cm e de um cone reto, com raio e altura 4 cm, comunicando-se pelo vértice do cone, de acordo com a figura abaixo.

Para seu funcionamento, o artesão depositará na ampulheta areia que corresponda a 25% de V. Portanto o volume de areia, em cm3, é a) 16π. b)

64 π . 3

c) 32π. d)

128 π . 3

e) 64π. 6. Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por

4 π  (R)3 . 3

Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base

R , 3

2

R cujo volume será dado por π    h, sendo h a altura da nova embalagem. 3

193

Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a a) 2R. b) 4R. c) 6R. d) 9R. e) 12R. 7. Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. Volume da esfera: Vesfera 

4 πr 3 3

Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é igual a a) 15 b) 12 c) 24 d) 3 3 60 e) 6 3 30 8. Um tubo cilíndrico reto de volume 128π cm3, contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes entre si e tangentes externamente. Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de: a) 75. b) 50. c) 33. d) 66. 9. Suponha que haja laranjas no formato de uma esfera com 6cm de diâmetro e que a quantidade de suco que se obtém ao espremer cada laranja é 2 / 3 de seu volume, sendo o volume dado em litros. Nessas condições, se quiser obter 1 litro de suco de laranja, devese espremer no mínimo Use π  3,14. a) 13 laranjas b) 14 laranjas c) 15 laranjas d) 16 laranjas 10. Sua bexiga é um saco muscular elástico que pode segurar até 500ml de fluido. A incontinência urinária, no entanto, tende a ficar mais comum à medida que envelhecemos, apesar de poder afetar pessoas de qualquer idade; ela também é mais comum em mulheres que em homens (principalmente por causa do parto, mas também em virtude da anatomia do assoalho pélvico). (BREWER. 2013, p. 76).

194

Considerando-se que a bexiga, completamente cheia, fosse uma esfera e que π  3, podese afirmar que o círculo máximo dessa esfera seria delimitado por uma circunferência de comprimento, em cm, igual a a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

ARITMÉTICA 37. MÚLTIPLOS E DIVISORES Dados os números inteiros x e y, o número y é múltiplo de x se, e somente se, existe um número inteiro k, de modo que : y = k.x

Sendo y um múltiplo de x, podemos dizer também que x é um divisor ou fator de y. Exemplos : . 15 é múltiplo de 5, então 5 é divisor ou fator de 15; . 36 é múltiplo de 4, então 4 é divisor ou fator de 36; Considerações: . Como 0 = 0.k, então dizemos que 0 é múltiplo de qualquer número inteiro. Ou seja, o número 0 é um múltiplo universal. . Como n = 1.n, então dizemos que 1 é divisor de qualquer número inteiro. Ou seja, o número 1 é um divisor universal.

Algoritmo da divisão: Sejam D e d dois números inteiros, com d≠0, existe um único par de números inteiros ( q,r ) de modo que D = d.q + r e 0  r  |𝑑|. Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de D por d( D é o dividendo e d o divisor ).

Critérios de divisibilidade 195

Todo número a  N dize-se divisível por b  N * se, e somente se, o resto da divisão de a por b for zero, ou seja, se existe um único q  N de modo que a = bq. Há alguns critérios para saber se um número é divisível por outro: são os chamados critérios de divisibilidade, os quais passaremos a estudar. Divisibilidade por 2 – Um número é divisível por 2 quando ele for par, isto é, quando ele terminar por 0,2,4,6,ou 8. Divisibilidade por 3 – Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Divisibilidade por 4 – Um número é divisível por 4 quando terminado em dois zeros ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Divisibilidade por 5 – Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Divisibilidade por 6 – Um número é divisível por 6 quando for divisível simultaneamente por 2 e por 3. Divisibilidade por 7 – Separa-se do número dado o algarismo da unidade. O dobro do algarismo da unidade subtrai-se do restante do número. Se a diferença for um múltiplo de 7, o número será divisível por 7, se não for, continua-se a operação até sabermos se é ou não. Divisibilidade por 8 – Um número é divisível por 8 quando terminado em três zeros ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Divisibilidade por 9 – Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Divisibilidade por 10 - Um número é divisível por 5 quando termina em 0. Divisibilidade por 11 – Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, começando da direita para a esquerda, forem iguais, ou quando a diferença entre essas somas for um múltiplo de 11.

Resto da divisão de um número Divisão por 2 – Se o último algarismo da direita for par, o resto será zero; se for ímpar, o resto será 1. Divisão por 3 – O resto da divisão de um número por 3 será o mesmo resto da soma dos valores absolutos dos algarismos do número dividida por 3. Divisão por 4 – O resto será o mesmo que resultar da divisão do número formado pelos dois últimos algarismos da direita por 4. Divisão por 5 – Se o algarismo das unidades for maior que 5, o resto será a diferença entre este e 5. Se o algarismo das unidades for menor que 5, o resto será esse algarismo. 196

Divisão por 6 – O resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que o resto da divisão da soma do algarismo das unidades do número dado com o quádruplo da soma dos algarismos restantes. Divisão por 7 – Caso a diferença entre o somatório das classes não seja um número múltiplo de 7, porém maior que 7, pode-se obter o resto, efetuando-se a divisão da diferença obtida por 7. Divisão por 8 – O resto da divisão de um número por 8 será o mesmo resto da divisão do número formado pelos três últimos algarismos da direita por 8. Divisão por 9 – Somamos os valores absolutos dos algarismos. Se esta soma for maior que 9, o resto será dado pelo resto da divisão dessa soma por 9. Se a soma for menor que 9, o resto será o número resultado dessa soma. Divisão por 10 – O resto será o próprio algarismo das unidades. Divisão por 11 – O resto será a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par.

Quantidade de divisores positivos de um número natural (fórmula de Euler) Se n for um número primo por definição só possui 2 divisores. Se n for composto, então possui uma fatoração em números primos: N = P1k1 .P2k 2 .P3k 3 ...Pnkn , onde P1, P2, P3 ...Pn são bases em números primos e k1, k2, k3...kn os respectivos expoentes, assim o número de divisores é: N.D(n) = (k1 + 1) (k2 + 1) (k3 + 1) ... (kn + 1)

Números primos e compostos Dizemos que p é um número primo quando tem 4, e apenas quatro divisores inteiros, a saber: D(p) = { 1,-1,p,-p } Dizemos que p é um número composto quando tem mais de quatro divisores inteiros Teorema fundamental da aritmética Todo número x > 1 pode ser representado por um produto de fatores primos. Mínimo múltiplo comum O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais não-nulos ( números diferente de zero ) é o menor número que é múltiplo de todos eles. Cálculo do mínimo múltiplo comum a) Decompõem-se cada número em seus fatores primos; b) Multiplicam-se todos os fatores primos comuns e não comuns elevados aos seus maiores expoentes. 197

Propriedades do M.M.C de dois números 1ª – o m.m.c de dois números primos entre si é o produto desses números. 2ª – o m.m.c de dois números em que o número maior seja divisível pelo número menor, é o maior desses números. 3ª – multiplicando-se ou dividindo-se dois números por um outro número, diferente de zero, o m.m.c desses dois números ficará multiplicado ou dividido por esse outro número. Máximo divisor comum O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não-nulos( números diferentes de zero ) é o maior número que é divisor ao mesmo tempo de todos eles. Calculamos o M.D.C de dois ou mais números através de dois processos, que são : - Método das divisões sucessivas; - Processo da decomposição em fatores primos; Método das divisões sucessivas: Sendo dados dois números, para se determinar o M.D.C entre eles, divide-se o número maior pelo menor, se a divisão for exata o M.D.C será o número maior. Se a divisão não for exata, divide-se o número menor pelo resto encontrado. Se a divisão for exata, o resto, que serviu de divisor, será o M.D.C procurado. Processo da decomposição em fatores primos: a) Decompõem-se cada número dado em seus fatores primos; b) O M.D.C será igual ao produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes que entram na composição dos números. Propriedades do m.d.c de dois ou mais números 1ª – Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um terceiro diferente de zero, o seu m.d.c ficará multiplicado ou dividido por esse terceiro número. 2ª – se dois números forem divididos pelo seu m.d.c, os quocientes obtidos serão primos entre si. 3ª – todo número que divide dois outros, divide, também, seu m.d.c 4ª – o m.d.c de dois números primos entre si é a unidade Propriedade fundamental do m.m.c e do m.d.c: O produto do m.d.c pelo m.m.c de dois números é igual ao produto desses números. m.d.c( A,B ) x m.m.c ( A,B ) = A x B

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1. A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e 198

volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1: 25000, por um período de cinco dias.

Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa? a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 e) 40 2. Um show especial de Natal teve 45.000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicados. Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas? a) 1 hora. b) 1 hora e 15 minutos. c) 5 horas. d) 6 horas. e) 6 horas e 15 minutos. 3. A Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) de São Paulo testou em 2013 novos radares que permitem o cálculo da velocidade média desenvolvida por um veículo em um trecho da via.

199

As medições de velocidade deixariam de ocorrer de maneira instantânea, ao se passar pelo radar, e seriam feitas a partir da velocidade média no trecho, considerando o tempo gasto no percurso entre um radar e outro. Sabe-se que a velocidade média é calculada como sendo a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. O teste realizado mostrou que o tempo que permite uma condução segura de deslocamento no percurso entre os dois radares deveria ser de, no mínimo, 1minuto e 24 segundos. Com isso, a CET precisa instalar uma placa antes do primeiro radar informando a velocidade média máxima permitida nesse trecho da via. O valor a ser exibido na placa deve ser o maior possível, entre os que atendem às condições de condução segura observadas. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado). A placa de sinalização que informa a velocidade que atende a essas condições é

a)

b)

c)

d)

e) 4. O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano, serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para 200

uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos: 1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos). O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é a) 2. b) 4. c) 9. d) 40. e) 80. 5. Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1.080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir a) 105 peças. b) 120 peças. c) 210 peças. d) 243 peças. e) 420 peças. 6. A capacidade mínima, em BTU/h, de um aparelho de ar-condicionado, para ambientes sem exposição ao sol, pode ser determinada da seguinte forma: • 600 BTU/h por m2, considerando-se ate duas pessoas no ambiente; • para cada pessoa adicional nesse ambiente, acrescentar 600 BTU/h; • acrescentar mais 600 BTU/h para cada equipamento eletrônico em funcionamento no ambiente. Será instalado um aparelho de ar-condicionado em uma sala sem exposição ao sol, de dimensões 4 m x 5 m, em que permaneçam quatro pessoas e possua um aparelho de televisão em funcionamento. A capacidade mínima, em BTU/h, desse aparelho de ar-condicionado deve ser a) 12 000. b) 12 600. c) 13 200. d) 13 800. e) 15 000. 7. O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:

201

A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é a) 2614 . b) 3624 . c) 2715 . d) 3725 . e) 4162 . 8. Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota de água tem volume de 0,2mL. Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros? a) 0,2 b) 1,2 c) 1,4 d) 12,9 e) 64,8 9. Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x  5y  7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é a) x  y  z b) (x  1)  (y  1) c) x  y  z  1 d) (x  1)  (y  1)  z e) (x  1)  (y  1)  (z 1)  1 10. Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

202

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, a) 0,23 e 0,16 b) 2,3 e 1,6 c) 23 e 16 d) 230 e 160 e) 2300 e 1600 11. O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual.

Nessa disposição, o número que está representado na figura é a) 46.171. b) 147.016. c) 171.064. d) 460.171. e) 610.741. 12. Uma campanha de supermercado permite a troca de oito garrafas vazias, de qualquer volume, por uma garrafa de 1 litro cheia de guaraná. Considere uma pessoa que, tendo 96 garrafas vazias, fez todas as trocas possíveis. Após esvaziar todas as garrafas que 203

ganhou, ela também as troca no mesmo supermercado. Se não são acrescentadas novas garrafas vazias, o total máximo de litros de guaraná recebidos por essa pessoa em todo o processo de troca equivale a: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 13. A London Eye é urna enorme roda-gigante na capital inglesa. Por ser um dos monumentos construídos para celebrar a entrada do terceiro milênio, ela também é conhecida como Roda do Milênio. Um turista brasileiro, em visita à Inglaterra, perguntou a um londrino o diâmetro (destacado na imagem) da Roda do Milênio e ele respondeu que ele tem 443 pés.

Não habituado com a unidade pé, e querendo satisfazer sua curiosidade, esse turista consultou um manual de unidades de medidas e constatou que 1 pé equivale a 12 polegadas, e que 1 polegada equivale a 2,54 cm. Após alguns cálculos de conversão, o turista ficou surpreendido com o resultado obtido em metros. Qual a medida que mais se aproxima do diâmetro da Roda do Milênio, em metro? a) 53 b) 94 c) 113 d) 135 e) 145 14. Lucas deve comprar exatamente 75 latas de refrigerante para a sua festa de aniversário. O mercado próximo à sua casa oferece pacotes com seis latas por R$ 13,00 e latas vendidas separadamente por R$ 2,40 a unidade. Pergunta-se: qual a despesa mínima, em reais, de Lucas na compra das 75 latas? a) 163,20 b) 169,00 c) 156,00 d) 156,20 204

15. Na Escola Pierre de Fermat, foi realizada uma gincana com o objetivo de arrecadar alimentos para a montagem e doação de cestas básicas. Ao fim da gincana, foram arrecadados 144 pacotes de feijão, 96 pacotes de açúcar, 192 pacotes de arroz e 240 pacotes de fubá. Na montagem das cestas, a diretora exigiu que fosse montado o maior número de cestas possível, de forma que não sobrasse nenhum pacote de alimento e nenhum pacote fosse partido. Seguindo a exigência da diretora, quantos pacotes de feijão teremos em cada cesta? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

38. RAZÃO E PROPORÇÃO Pesquisas realizadas numa escola “x” afirmam que, de cada 10 alunos entrevistados, apenas 2 gostam de matemática. Encontramos nesta relação uma comparação entre duas grandezas representadas pelos números 10 e 2. Quando expressamos este tipo de comparação através do quociente entre duas grandezas, estamos estabelecendo uma razão entre essas grandezas. Razão entre duas grandezas: Fração cujo numerador é representado por uma das grandezas e o denominador é representado pela outra grandeza.

Exemplos : a) De cada 10 alunos, dois gostam de matemática. Razão : 2/10 b) Uma liga metálica é composta de duas partes de estanho para cinco partes de cobre. Razão : 2/5 A razão entre dois números a e b, com b  0, é o quociente

a , ou a : b e lê-se “a está para b”. b

Onde : a é chamado de antecedente. b é chamado de consequente.

205

A cada 6 partidas, o atacante do time “A” faz 4 gols.

Razões Especiais Concorrência de um concurso : é a razão entre o número de candidatos inscritos no concurso e o número de vagas oferecidas por eles. Concorrência =

𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑒𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠

Velocidade média: é a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrê-la. Velocidade média =

𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜

Densidade de um corpo: É a razão entre a massa do corpo e o volume por ele ocupado. Densidade =

𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

Densidade demográfica de uma região : É a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Densidade demográfica =

𝑛º 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 á𝑟𝑒𝑎

Escala numérica : É a razão entre um comprimento no no desenho e o seu correspondente comprimento no tamanho real, medidas na mesma unidade. Escala =

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙

Existem razões entre duas grandezas que apresentam antecedentes e conseqüentes diferentes, mas que têm o mesmo quociente. A pesquisa na escola “x” comprovou que, de cada 10 alunos, apenas 2 gostam de matemática. Poderíamos supor,por exemplo, que se 206

forem entrevistados 20 alunos, teríamos 4 que gostam de matemática, e se forem entrevistados, por exemplo, 50 alunos, teríamos 10 que gostam de matemática. 4 2  20 10

10 4 2   50 20 10

e

A igualdade entre as razões acima é denominada proporção. Proporção : igualdade entre duas ou mais razões.

Também podemos representar uma proporção das seguintes formas :

Sejam

a b

e

c d

duas razões, com

b; d  0, teremos uma proporção se :

a c  b d

ou

a:b::c:d

e lê-se : “ a está para b assim como c está para d “

Na proporção

a c  , os termos b e c são denominados meios da proporção, enquanto os b d

termos a e d são denominados extremos da proporção.

PROPRIEDADES I-

a c   a.d  c.b ( Propriedade fundamental das proporções ). b d

II -

a c ab cd    b d a c

III -

a c ab cd    b d b d

IV -

a c ac a c     b d bd b d

V-

a c e abe    b d f bd  f

Números diretamente proporcional

207

Os números de uma sucessão numérica A = ( a 1,a2,...,an ) são ditos diretamente proporcionais aos números da sucessão numérica B = ( b1,b2,b3,...,bn ), quando as razões de cada termo de A pelo seu correspondente em B forem iguais, isto é : 𝑎1 𝑏1

=

𝑎2 𝑏2

=

𝑎3 𝑏3

…

𝑎𝑛 𝑏𝑛

=𝑘

Onde k é o chamado fator de proporcionalidade.

Números inversamente proporcional Os números de uma sucessão numérica A = ( a 1,a2,...,an ) são ditos inversamente proporcionais aos números da sucessão numérica B = ( b1,b2,b3,...,bn ), quando os elementos da sucessão A são diretamente proporcionais aos inversos dos elementos da sucessão B, isto é : 𝑎1 1 𝑏1

=

𝑎2 1 𝑏2

=

𝑎3 1 𝑏3

…

𝑎𝑛 1 𝑏𝑛

=𝑘

Onde k é o chamado fator de proporcionalidade. Ou seja : 𝑎1 . 𝑏1 = 𝑎2 . 𝑏2 = ⋯ 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 = 𝑘

REGRA DE TRÊS Consiste num método prático de resolver problemas envolvendo grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais. De acordo com a quantidade de grandezas relacionadas. Podemos classificar a regra de três em regra de três simples e regra de três composta. Simples Quando são dados um par de valores de duas grandezas e outro valor de uma delas. Ou seja, é uma proporção formada por duas grandezas onde são conhecidos três termos e o quarto termo é procurado.

Utilizando o esquema de setas indicativas, quando as grandezas forem diretamente proporcionais, colocamos as setas no mesmo sentido. Quando as grandezas forem inversamente proporcionais, colocamos as setas em sentidos contrários. EXEMPLO DE REGRA DE TRÊS SIMPLES ENVOLVENDO GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS : 208

Uma olaria fabrica 1200 tijolos em 5 dias. Quantos tijolos seriam fabricados em 3 dias? Resposta: Observe que, quanto maior a quantidade de tijolos a serem fabricados, maior será o número de dias necessários para a fabricação destes tijolos( sem a alteração de outras grandezas envolvidas, como por exemplo o número de funcionários da olaria ). As grandezas “número de tijolos fabricados” e “dias necessários para a fabricação destes tijolos” são diretamente proporcionais. TIJOLOS FABRICADOS

DIAS NECESSÁRIOS PARA A FABRICAÇÃO

1200

5

X

3

Escrevendo a proporção, temos : 1200 5 1200.3   5. X  1200.3  X   X  720 X 3 5

Portanto, em 3 dias a olaria fabrica 720 tijolos. EXEMPLO DE REGRA DE TRÊS SIMPLES ENVOLVENDO GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS : Um carro faz um percurso entre duas cidades em quatro horas, com uma velocidade de 120Km/h. Se a velocidade fosse de 80Km/h, quantas horas gastaria? Resposta: Observe que, quanto menor a velocidade desenvolvida no percurso, maior será o número de horas necessárias para completar este percurso. As grandezas “velocidade” e “tempo” são inversamente proporcionais. VELOCIDADE

TEMPO(EM HORAS)

120

4

80

X

Invertendo os termos e escrevendo a proporção, temos : 80 4 120.4   80. X  120.4  X   X 6 120 X 80

O carro gastaria 6 horas para completar o percurso. Composta É a ferramenta matemática utilizada para resolver problemas que relacionem valores de mais de duas grandezas. Para resolvermos tais problemas, devemos proceder da seguinte forma: 209

1 – Identificar as grandezas e preencher os valores; 2 – Verificar se as grandezas são diretamente (setas no mesmo sentido) ou inversamente proporcionais (setas em sentidos opostos), tendo o cuidado de sempre comparar a grandeza que tem o “x” com outra grandeza; 3 – Montar o problema pondo a razão que tem o “x” antes do igual e as outras após o igual, todas se multiplicando. Exemplo: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m 3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m 3? Qtd de Horas 8

Qtd de Caminhões 20

5

X

Qtd de Areia (m3) 160 125

(Diminuindo o número de caminhões, deve-se aumentar o número de horas de trabalho, para realizar um mesmo serviço.) (Diminuindo o número de caminhões, o volume de areia a descarregar também diminui.) Resolvendo a proporção, temos:

20 5 160 20 800      20  25  20  x  x  25 x 8 125 x 1000

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1: 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3cm, 1cm e 2cm. O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6. b) 600. c) 6.000. d) 60.000. e) 6.000.000.

210

2. Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em

1 , 8

preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é a) b) c) d) e)

1 8 7 8 8 7 8 9 9 8

3. A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1: 25000, por um período de cinco dias.

Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa? a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 e) 40 4. Diariamente, uma residência consome 20.160Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6cm 8cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. 211

Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo? a) Retirar 16 células. b) Retirar 40 células. c) Acrescentar 5 células. d) Acrescentar 20 células. e) Acrescentar 40 células. 5. Um show especial de Natal teve 45.000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicados. Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas? a) 1 hora. b) 1 hora e 15 minutos. c) 5 horas. d) 6 horas. e) 6 horas e 15 minutos. 6. Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. Qual é a profundidade, em metros, desse poço? a) 1,44 b) 6,00 c) 7,20 d) 8,64 e) 36,00 7. Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de a) 12 kg. b) 16 kg. c) 24 kg. d) 36 kg. e) 75 kg. 8. Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14m3 de concreto. Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido pela betoneira? a) 1,75 212

b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00 9. Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.

A largura e o comprimento reais da pegada, em centímetros, são, respectivamente, iguais a a) 4,9 e 7,6. b) 8,6 e 9,8. c) 14,2 e 15,4. d) 26,4 e 40,8. e) 27,5 e 42,5. 10. No tanque de um certo carro de passeio cabem até 50 L de combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada é de 15 km L de combustível. Ao sair para uma viagem de 600 km o motorista observou que o marcador de combustível estava exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do medidor, conforme figura a seguir.

Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a chegada a seu destino, cinco postos de abastecimento de combustível, localizados a 150 km,187 km, 450 km, 500 km e 570 km do ponto de partida. Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer até ser necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem combustível na estrada? a) 570 213

b) c) d) e)

500 450 187 150

11. Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.

Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? a) I b) II c) III d) IV e) V 12. Cinco marcas de pão integral apresentam as seguintes concentrações de fibras (massa de fibra por massa de pão): - Marca A: - Marca B: - Marca C: - Marca D: - Marca E:

2 g de fibras a cada 50 g de pão; 5 g de fibras a cada 40 g de pão; 5 g de fibras a cada 100 g de pão; 6 g de fibras a cada 90 g de pão; 7 g de fibras a cada 70 g de pão.

Recomenda-se a ingestão do pão que possui a maior concentração de fibras. Disponível em: www.blog.saude.gov.br. Acesso em: 25 fev. 2013.

A marca a ser escolhida é a) A. b) B. c) C. d) D. e) E. 13. A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.

214

Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é a) menor que 10. b) maior que 10 e menor que 20. c) maior que 20 e menor que 30. d) maior que 30 e menor que 40. e) maior que 40. 14. Um paciente necessita de reidratação endovenosa feita por meio de cinco frascos de soro durante 24 h. Cada frasco tem um volume de 800 mL de soro. Nas primeiras quatro horas, deverá receber 40% do total a ser aplicado. Cada mililitro de soro corresponde a 12 gotas. O número de gotas por minuto que o paciente deverá receber após as quatro primeiras horas será a) 16. b) 20. c) 24. d) 34. e) 40. 15. Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que ”o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M“. HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: a) S  k  M 1

b) S  k  M3 1

1

c) S  k 3  M3 215

1

2

d) S  k 3  M3 e) S

1 3 k

 M2

16. A resistência mecânica S do uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k e chamada de resistência da viga.

A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é a) S  b) S  c) S 

k.b.d2 x2 k.b.d

x2 k.b.d2 x

k.b2 .d x k.b.2d S 2x

d) S  e)

17. A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar sua aplicação, foi desenvolvida uma “caneta” na qual pode ser inserido um refil contendo 3mL de insulina, como mostra a imagem.

216

Para controle das aplicações, definiu-se a unidade de insulina como 0,01mL. Antes de cada aplicação, é necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar. A um paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite. Qual o número máximo de aplicações por refil que o paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita? a) 25 b) 15 c) 13 d) 12 e) 8 18. Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m 3. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m 3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a a) 2. b) 4. c) 5. d) 8. e) 9. 19. Diante da hipótese do comprometimento da qualidade da água retirada do volume morto de alguns sistemas hídricos, os técnicos de um laboratório decidiram testar cinco tipos de filtros de água. Dentre esses, os quatro com melhor desempenho serão escolhidos para futura comercialização. Nos testes, foram medidas as massas de agentes contaminantes, em miligrama, que não são capturados por cada filtro em diferentes períodos, em dia, como segue: - Filtro 1 - Filtro 2 - Filtro 3 - Filtro 4 - Filtro 5

(F1) : 18 mg em 6 dias;

(F2) : 15 mg em 3 dias; (F3) : 18 mg em 4 dias; (F4) : 6 mg em 3 dias; (F5) : 3 mg em 2 dias.

Ao final, descarta-se o filtro com a maior razão entre a medida da massa de contaminantes não capturados e o número de dias, o que corresponde ao de pior desempenho. Disponível em: www.redebrasilatual.com.br. Acesso em: 12 jul. 2015 (adaptado).

O filtro descartado é o 217

a) b) c) d) e)

F1. F2. F3. F4. F5.

20. Para garantir a segurança de um grande evento público que terá início às 4 h da tarde, um organizador precisa monitorar a quantidade de pessoas presentes em cada instante. Para cada 2.000 pessoas se faz necessária a presença de um policial. Além disso, estima-se uma densidade de quatro pessoas por metro quadrado de área de terreno ocupado. Às 10 h da manhã, o organizador verifica que a área de terreno já ocupada equivale a um quadrado com lados medindo 500 m. Porém, nas horas seguintes, espera-se que o público aumente a uma taxa de 120.000 pessoas por hora até o início do evento, quando não será mais permitida a entrada de público. Quantos policiais serão necessários no início do evento para garantir a segurança? a) 360 b) 485 c) 560 d) 740 e) 860 39. PORCENTAGEM Denomina-se porcentagem a uma razão especial, cujo denominador é 100. Para abreviar a expressão “por cento” usa-se o símbolo ( % ). 𝑋

x% = 100

Para calcular uma porcentagem x% de certa quantidade “n”, basta multiplicar x por “n” e , em seguida, dividir o resultado obtido por 100. 𝑥.𝑛

x% de “n” = 100

Exemplo : a) 20% de 72 =

20.72 100

=

1440 100

= 14,4

- Calcular os x% de y é o mesmo que calcular os y% de x. Exemplo : 60% de 50 = (60.50) / 100 = 30 ou 50% de 60 = (50.60) / 100 = 30

AUMENTO PERCENTUAL : 218

Para calcular um aumento percentual de i sobre um número A, obteremos um resultado “N”, de modo que : N = A (1 + i)

DESCONTO PERCENTUAL Para calcular um desconto percentual de i sobre um número A, obteremos um resultado “N”, de modo que : N = A (1 - i)

AUMENTOS SUCESSIVOS Considere i1,i2,i3,...,in os aumentos percentuais sucessivos sobre o número A, obtemos : N = A.( 1 + i1 )( 1 + i2 )( 1 + i3 )... ( 1 + in )

DESCONTOS SUCESSIVOS Considere i1,i2,i3,...,in os descontos percentuais sucessivos sobre o número A. o valor resultante após os descontos seria : N = A.( 1 - i1 )( 1 - i2 )( 1 - i3 )... ( 1 - in )

- É comum encontrarmos nos problemas envolvendo porcentagem as seguintes grandezas da matemática comercial e financeira: I – capital (c): Valor inicial, valor de giro, podendo sofrer aumentos e descontos percentuais. II – taxa (i): Indica o valor percentual ( i% ) III – Venda, Faturamento, Receita ou Arrecadação (V): Valor bruto numa transação comercial, referente á soma do valor de custo (C) com o lucro (L) .

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. A figura abaixo exibe, em porcentagem, a previsão da oferta de energia no Brasil em 2030, segundo o Plano Nacional de Energia.

219

Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do país irá atingir 557 milhões de tep (toneladas equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever que a parcela oriunda de fontes renováveis, indicada em cinza na figura, equivalerá a a) 178,240 milhões de tep. b) 297,995 milhões de tep. c) 353,138 milhões de tep. d) 259,562 milhões de tep. 2. Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada. A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era a) R$166,00. b) R$156,00. c) R$84,00. d) R$46,00. e) R$24,00. 3. O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de a) R$ 900,00. b) R$ 1200,00. c) R$ 2100,00. d) R$ 3900,00. e) R$ 5100,00. 4. Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os 220

clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de a) 15,00. b) 14,00. c) 10,00. d) 5,00. e) 4,00. 5. Uma compra no valor de 1.000 reais será paga com uma entrada de 600 reais e uma mensalidade de 420 reais. A taxa de juros aplicada na mensalidade é igual a a) 2%. b) 5%. c) 8%. d) 10%. 6. 1. 2. 3. 4.

De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente, 25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes. 33% são utilizados em descarga de banheiro. 27% são para cozinhar e beber. 15% são para demais atividades.

No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia. O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades.

Atividade

Consumo total de água na atividade (em litros)

Tomar banho Dar descarga Lavar as mãos Escovar os dentes Beber e cozinhar

24,0 18,0 3,2 2,4 22,0

Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais atividades, então economizará diariamente, em média, em litros de água, a) 30,0. b) 69,6. c) 100,4. d) 130,4. e) 170,0. 7. O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recursos naturais, dispondo de uma das maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas calculam que, dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, as reservas 221

indígenas e as áreas de preservação, incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. Aproximadamente 280 milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as perenes, como o café e a fruticultura. FORTES, G. “Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos”. Folha de S. Paulo, 30 out. 2011. De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada para agricultura em relação à área do território brasileiro é mais próximo de a) 32,8% b) 28,6% c) 10,7% d) 9,4% e) 8,0% 8. Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12t. O ponto de sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros dois pontos de sustentação. No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, respectivamente, a) 1,8t; 8,4t; 1,8t. b) 3,0t; 6,0t; 3,0t. c) 2,4t; 7,2t; 2,4t. d) 3,6t; 4,8t; 3,6t. e) 4,2t; 3,6t; 4,2t. 9. Uma organização não governamental divulgou um levantamento de dados realizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resultados indicam que somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de esgoto sem nenhum tratamento são lançados todos os dias nas águas. Uma campanha para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a redução da quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses. Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concretizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser a) 72% b) 68% c) 64% d) 54% e) 18% 10. Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir.

222

Hipoglicemia

taxa de glicose menor ou igual a 70 mg/dL

Normal

taxa de glicose maior que 70 mg/dL e menor ou igual a 100 mg/dL

Pré-diabetes

taxa de glicose maior que 100 mg/dL e menor ou igual a 125 mg/dL

Diabetes Melito

taxa de glicose maior que 125 mg/dL e menor ou igual a 250 mg/dL

Hiperglicemia

taxa de glicose maior que 250 mg/dL

Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estavam com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa em 30% e na segunda etapa em 10%. Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de a) hipoglicemia. b) normal. c) pré-diabetes. d) diabetes melito. e) hiperglicemia. 11. Uma pessoa comercializa picolés. No segundo dia de certo evento ela comprou 4 caixas de picolés, pagando R$ 16,00 a caixa com 20 picolés para revendê-los no evento. No dia anterior, ela havia comprado a mesma quantidade de picolés, pagando a mesma quantia, e obtendo um lucro de R$ 40,00 (obtido exclusivamente pela diferença entre o valor de venda e o de compra dos picolés) com a venda de todos os picolés que possuía. Pesquisando o perfil do público que estará presente no evento, a pessoa avalia que será possível obter um lucro 20% maior do que o obtido com a venda no primeiro dia do evento. Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os picolés disponíveis foram vendidos no segundo dia, o valor de venda de cada picolé, no segundo dia, deve ser a) R$ 0,96. b) R$ 1,00. c) R$ 1,40. d) R$ 1,50. e) R$ 1,56. 12. Em uma cidade, o valor total da conta de energia elétrica é obtido pelo produto entre o consumo (em kWh) e o valor da tarifa do kWh (com tributos), adicionado à Cosip (contribuição para custeio da iluminação pública), conforme a expressão: Valor do kWh (com tributos)  consumo (em kWh)  Cosip

O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo. O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas. Faixa de consumo mensal (kWh) Valor da Cosip (R$) 223

Até 80 Superior a 80 até 100 Superior a 100 até 140 Superior a 140 até 200

0,00 2,00 3,00 4,50

Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com tributos) seja de R$0,50. O morador dessa residência pretende diminuir seu consumo mensal de energia elétrica com o objetivo de reduzir o custo total da conta em pelo menos 10%.

Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para produzir a redução pretendida pelo morador? a) 134,1 b) 135,0 c) 137,1 d) 138,6 e) 143,1 13. Os Jogos Olímpicos de 2016, que serão realizados no Brasil, contarão com a participação de 10.500 atletas. Considerando que desses atletas 8.400 são do sexo masculino, qual a probabilidade de que, em se escolhendo aleatoriamente um atleta, este seja do sexo feminino? a) 80%. b) 50%. c) 40%. d) 20%. e) 10%. 14. Numa pesquisa dos candidatos a prefeito de uma cidade, têm-se os candidatos Pedro Divino, Maria Bemvista e José Inocêncio. Com relação ao gráfico das intenções de votos, a seguir, se a cidade possui 50.000 eleitores, o número de votos do candidato mais cotado será

a) 7.000. b) 11.500. c) 15.000. d) 17.500. e) 20.000. 15. Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. 224

Supondo-se que, no Sudeste, 14900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? a) 5513 b) 6556 c) 7450 d) 8344 e) 9536

40. ESTATÍSTICA Estatística é o ramo da matemática que trabalha com elementos de pesquisa ou com modelos probabilísticos. A estatística é responsável pela coleta, organização e análise dos dados para uma posterior tomada de decisão. Estatística descritiva Responsável pelas etapas iniciais do processo estatísticos. Estatística inferencial Responsável pela etapa final do processo estatístico. População A Estatística parte da observação de grupos, geralmente numerosos, aos quais damos o nome de população ou universo estatístico. Cada elemento da população estudada é denominado unidade estatística. Amostra A população estatística pode ser finita ou infinita. -Finita: quando apresenta um número finito de elementos. (ex.: um número de operários que trabalham em uma fábrica em uma determinada data.) -Infinita: quando apresenta um número infinito de elementos. (ex.: as temperaturas nos diversos pontos do Brasil em determinado momento.)

225

Quando o universo estatístico é infinito, não é possível fazer uma observação que abranja todos os seus elementos. Nesse caso, recorre-se a um subconjunto do universo estudado que chamamos de amostra. Variável A observação da população é dirigida ao estudo de uma dada propriedade ou característica dos elementos dessa população. Essa característica pode ser: -Qualitativa: se os valores tomados não são numéricos. (raça, área de estudos, meio de transporte, etc.) -Quantitativa: se os valores tomados são numéricos. (altura, peso, o preço de um produto etc.) Uma característica quantitativa também se chama variável estatística ou simplesmente variável. Cada valor que essa variável pode assumir chama-se dado estatístico. Frequencia absoluta Numa tabela de distribuição de freqüências, podemos ter as seguintes colunas: -Freqüência absoluta (fi): é o número de vezes que a variável estatística assume determinado valor. -Freqüência relativa (fr): é o quociente entre a freqüência absoluta (fi) e o número de elementos N da amostra, ou seja: fr 

fi N

Em geral, a freqüência relativa é dada na forma de porcentagem, para tornar mais clara a análise de dados. exemplo: Analise a seguinte situação: O quadro seguinte mostra as notas de Matemática dos alunos de uma classe de 8ª série de uma determinada escola. Disciplina: Matemática

Turma: 8ª série

Nº

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nota

5,0

4,0

6,0

8,0

4,0

5,0

8,0

8,0

4,0

6,0

Nesse caso, tem-se:  População estatística: grupo de 10 alunos da 8ª série.  Unidade estatística: cada aluno desse ano.  Variável estatística: as notas da prova de Matemática. A partir desses conhecimentos, elabora-se a seguinte tabela: Notas (Xi)

Nº de alunos (fi) Freq. relativa (fr)

226

4,0

3

3 10 = 30%

5,0

2

2 10 = 20%

6,0

2

2 10 = 20%

8,0

3

3 10 = 30%

Total

10

100%

Assim:  Notas (Xi): valores da variável estatística.  Número de alunos (fi): freqüência absoluta, número de vezes que cada nota se repete.  Freqüência relativa (fr): percentual em que cada nota aparece.

Gráficos estatísticos O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo. - Gráfico em linhas ou segmentos : Esse tipo de gráfico usa uma linha poligonal para representar a série estatística. Exemplo :

- Gráfico em colunas ou em barras : Esse tipo de gráfico usa coluna para representar a série estatística. Podem ser verticais ou horizontais e conter barras múltiplas. 227

Exemplos :

Gráfico em setores : Esse gráfico é usado quando se pretende comparar a representatividade de cada categoria da série. Também chamado, popularmente, de gráfico de pizza. Exemplos :

- Histograma e polígono de frequência : O histograma é a representação gráfica de uma distribuição de frequências através de retângulos justapostos, quando os dados são apresentados em intervalos de classes iguais. O polígono de frequência é obtido unindo-se os pontos médios das classes. - Cartograma : O cartograma é a representação sobre uma carta geográfica. Esse tipo de gráfico é empregado quando o objetivo é o de figuras os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. Exemplos :

228

- Pictograma : Pictograma é a apresentação de uma série estatística por meio de símbolos representativos do fenômeno. O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representação gráfica consta de figuras. Exemplos :

41. MEDIDAS DE CENTRALIDADE

Média aritmética simples ( 𝑀𝑎 ) Denominamos média aritmética simples como sendo o resultado da soma de todos os valores de um dado conjunto A = {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 … , 𝑥𝑛 } , dividido pelo número de elementos desse conjunto. 𝑀𝑎 =

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + … + 𝑥𝑛 𝑛

Podemos também representar em notação somatório : 229

𝑀𝑎 =

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛

Média aritmética ponderada ( 𝑀𝑃 ) Denominamos média ponderada como sendo o resultado da soma dos produtos de cada elemento do conjunto A = {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 … , 𝑥𝑛 } pelos respectivos elementos do conjunto B = {𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 … , 𝑝𝑛 }, dividido pela soma dos elemento do conjunto B. Obs : os valores do conjunto B = {𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 … , 𝑝𝑛 } são os pesos dos respectivos elementos do conjunto A. 𝑀𝑝 =

𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 + 𝑥3 𝑝3 + … + 𝑥𝑛 𝑝𝑛 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + … + 𝑝𝑛

Podemos também representar em notação somatório :

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑃𝑖 𝑀𝑝 = ∑𝑛𝑖=1 𝑃𝑖 Moda ( mo ) É o valor que mais aparece ou de maior frequência simples ( absoluta ou relativa ) numa distribuição de frequências. Tal distribuição pode ser amodal ( não há moda ), unimodal ou modal ( uma só moda ), bimodal ( duas modas ) ou multimodal ( três ou mais modas ). Exemplos : a) Determine a moda do conjunto a seguir. 3-4-4-1-2-7-6-2-3-4-2-2-9-1 Mo = 2 ( unimodal ) b) Determine a moda do conjunto a seguir. 2-1-6-5-7-8-9-0 Amodal c) A tabela a seguir mostra as notas dos alunos de uma turma. NOTA ( Xi ) 5 6 7 8 9

Fi 12 7 13 8 10

Determine a moda da distribuição. 230

Mo = 7, pois é a nota de maior frequência. APLICAÇÕES DA MODA A moda é utilizada : - Quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição; - Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição. MEDIANA ( Me ) A mediana de um conjunto de números, ordenados crescente ou decrescentemente em ordem de grandeza ( isto é, em rol ), será : - O termo que ocupa a posição central da distribuição de frequências, se o número de termos for ímpar; - A média aritmética dos dois valores centrais, se o número de termos for par. Exemplos : a) Determine a mediana do conjunto seguir. 3-4-2-1-1-1-6-5-7-9-8-0-0-4-3-7-11 Resposta : Inicialmente, devemos dispor os números em ordem crescente ou decrescente ( rol ). 0-0-1-1-1-2-3-3-4-4-5-6-7-7-8-9-11 Como o conjunto apresenta uma quantidade ímpar de termos ( 17 termos ), a mediana será o termo central, portanto : Me = 4. b) Determine a mediana do conjunto seguir. 0-1-4-7-7-6-9-8-0-5-0-4-3-3-10-11 Resposta : Inicialmente, devemos dispor os números em ordem crescente ou decrescente ( rol ). 0-0-0-1-3-3-4-4-5-6-7-7-8-9-10-11 Como o conjunto apresenta uma quantidade par de termos ( 16 termos ), a mediana será a média aritmética dos termos centrais , portanto : Me =

4+5 2

 Me = 4,5

APLICAÇÕES DA MEDIANA Sua característica principal é dividir um conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais : metade terá valores inferiores à mediana e a outra metade, valores superiores.

42. MEDIDAS DE DISPERSÃO

231

O estudo das medidas de dispersão tem por objetivo principal a análise do grau de afastamento ou de concentração entre os valores de uma dada distribuição de frequências. As principais medidas de dispersão são : - Desvio médio; - Variância; - Desvio padrão. DESVIO MÉDIO É a media aritmética dos desvios até a média. 1º caso : Média aritmética simples Dm =

∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅ | 𝑛

2º caso : Média aritmética ponderada Dm =

∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅ |.𝐹𝑖 ∑ 𝐹𝑖

Exemplo : Calcule o desvio médio do conjunto A = { 2,3,3,4,8 }. Resposta : 𝑥̅ =

2+3+3+4+8 5

=4 𝒙𝒊 2 3 3 4 8

Dm =

2+1+1+0+4 5

|𝒙 ̅ − 𝒙𝒊 | |4 − 2|=2 |4 − 3|=1 |4 − 3|=1 |4 − 4|=0 |4 − 8|=4

= 1,6

VARIÂNCIA É a média aritmética dos desvios até a média elevados ao quadrado. 1º caso : Média aritmética simples Var(x) =

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛

2º caso : Média aritmética ponderada Var(x) =

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 .𝐹𝑖 ∑ 𝐹𝑖

Exemplo : Os preços do pacote de café ( 500g ) obtidos em diferentes supermercados locais são : { 3,50; 2,00;1,50 e 1,00 }, dadas essas informações, pergunta-se : Qual a variância dos preços? Resposta :

232

𝑥̅ =

(𝒙 ̅ − 𝒙𝒊 ) 𝟐 (2,00 − 3,50)2 = 2,25 (2,00 − 2,00)2 = 0 (2,00 − 1,50)2 = 0,25 (2,00 − 1,00)2 = 1,00

𝒙𝒊 3,50 2,00 1,50 1,00 Var(x) =

3,50 + 2,00 + 1,50 + 1,00 = 2,00 4

2,25+0+0,25+1,00 4

=0,875

PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA - A variância de uma constante é igual a zero; - Multiplicando ou dividindo uma variável aleatória x por uma constante, sua variância ficará multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante; - Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua variância não se altera. Desvio padrão É a raiz quadrada da variância. S = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) PROPRIEDADES DO DESVIO PADRÃO - O desvio padrão de uma constante é igual a zero; - Multiplicando ou dividindo uma variável aleatória x por uma constante, seu desvio padrão será multiplicado ou dividido pela constante. - Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, o seu desvio padrão não se altera.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olimpíada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos: Raia Tempo (segundo)

1

2

3

4

5

6

7

8

20,90

20,90

20,50

20,80

20,60

20,60

20,90

20,96

A mediana dos tempos apresentados no quadro é a) 20,70. b) 20,77. c) 20,80. d) 20,85. e) 20,90. 233

2. Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego em uma empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos. Candidatos Português Matemática Direito Informática K 33 33 33 34 L 32 39 33 34 M 35 35 36 34 N 24 37 40 35 P 36 16 26 41 Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior. O candidato aprovado será a) K. b) L. c) M. d) N. e) P. 3. O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro. 1ª 2ª 3ª DesvioAtleta pesagem pesagem pesagem Média Mediana padrão (kg) (kg) (kg) I II III IV

66

72

83

72 65

65

75

70

65

71 70

80

77

62

73

78

72 65 70

77

4,90

8,49 4,08 7,87

Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas a) I e III. b) l e IV. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV. 4. Ao iniciar suas atividades, um ascensorista registra tanto o número de pessoas que entram quanto o número de pessoas que saem do elevador em cada um dos andares do edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta os registros do ascensorista durante a 234

primeira subida do térreo, de onde partem ele e mais três pessoas, ao quinto andar do edifício. Número de pessoas que entram no elevador que saem do elevador

Térre o

1º andar

2º andar

3º andar

4º andar

5º andar

4

4

1

2

2

2

0

3

1

2

0

6

Com base no quadro, qual é a moda do número de pessoas no elevador durante a subida do térreo ao quinto andar? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 5. O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram a) março e abril. b) março e agosto. c) agosto e setembro. d) junho e setembro. e) junho e agosto. 6. Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: Dia do mês Temperatura (em ºC) 1 15,5 3 14 5 13,5 7 18 9 19,5 11 20 13 13,5 235

15 17 19 21 23 25 27 29

13,5 18 20 18,5 13,5 21,5 20 16

Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a a) 17°C,17°C e 13,5°C b) 17°C,18°C e 13,5°C c) 17°C,135°C e 18°C d) 17°C,18°C e 21,5°C. e) 17°C, 13,5°C e 21,5°C. 7. Um cientista trabalha com as espécies l e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie l e 1.250 bactérias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana.

Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima? a) Terça-feira. b) Quarta-feira. c) Quinta-feira. d) Sexta-feira. e) Domingo. 8. Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico com o intuito de reclamar com o fabricante. A tabela contém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos. 236

Estatísticas sobre as numerações dos sapatos com defeito Média Mediana Moda Numerações dos sapatos com 36 37 38 defeito Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor preta pelo número 1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45. Os donos da loja decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais vendidas. A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cor a) branca e os de número 38. b) branca e os de número 37. c) branca e os de número 36. d) preta e os de número 38. e) preta e os de número 37. 9. Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$200,00; B = R$300,00; C = R$400,00 e D = R$600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária.

O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é a) 300,00. b) 345,00. c) 350,00. d) 375,00. e) 400,00. 10. Uma pesquisa de mercado foi realizada entre os consumidores das classes sociais A, B, C e D que costumam participar de promoções tipo sorteio ou concurso. Os dados comparativos, expressos no gráfico, revelam a participação desses consumidores em cinco categorias: via Correios (juntando embalagens ou recortando códigos de barra), via internet (cadastrando-se no site da empresa/marca promotora), via mídias sociais (redes sociais), via SMS (mensagem por celular) ou via rádio/TV. 237

Uma empresa vai lançar uma promoção utilizando apenas uma categoria nas classes A e B (A B) e uma categoria nas classes C e D (C D). De acordo com o resultado da pesquisa, para atingir o maior número de consumidores das classes A B e C D, a empresa deve realizar a promoção, respectivamente, via a) Correios e SMS. b) internet e Correios. c) internet e internet. d) internet e mídias sociais. e) rádio/TV e rádio/TV. 11. O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas).

De acordo com os gráficos, a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas a produção de tecidos e malhas, em kton, é mais aproximada de a) 16,0. b) 22,9. c) 32,0. d) 84,6. e) 106,6. 12. Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, 238

em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual. O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa.

Empresa F G H M P

Lucro (em milhões de reais) 24 24 25 15 9

Tempo (em anos) 3,0 2,0 2,5 1,5 1,5

O empresário decidiu comprar a empresa a) F. b) G. c) H. d) M. e) P. 13. O gráfico abaixo representa a quantidade aproximada de animais adotados ao longo de cinco anos em uma determinada cidade.

Qual foi a média anual de animais adotados, ao longo dos cinco anos nessa cidade? a) 350. b) 380. c) 390. d) 410. e) 440. 14. Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de suas propriedades. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m 2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m2). A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)2 é a) 20,25. 239

b) 4,50. c) 0,71. d) 0,50. e) 0,25. 15. Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global. Eram três alternativas possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico.

Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam “Não” à enquete? a) Menos de 23. b) Mais de 23 e menos de 25. c) Mais de 50 e menos de 75. d) Mais de 100 e menos de 190. e) Mais de 200. 16. Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com alguns alunos de um curso, coletou as idades dos entrevistados e organizou esses dados em um gráfico.

Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados? a) 9 b) 12 c) 13 d) 15 e) 21 17. Uma falsa relação O cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não é garantia de nota acima da média. 240

Dos países com notas abaixo da média nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade de horas de estudo é a) Finlândia. b) Holanda. c) Israel. d) México. e) Rússia. 18. Os salários, em reais, dos funcionários de uma empresa são distribuídos conforme o quadro: Valor do salário

622,00

1.244,00

3.110,00

6.220,00

24

1

20

3

(R$)

Número de funcionários

A mediana dos valores dos salários dessa empresa é, em reais, a) 622,00. b) 933,00. c) 1.244,00. d) 2.021,50. e) 2.799,00. 19. Uma pessoa está disputando um processo de seleção para uma vaga de emprego em um escritório. Em uma das etapas desse processo, ela tem de digitar oito textos. A quantidade de erros dessa pessoa, em cada um dos textos digitados, é dada na tabela.

241

Número Texto de erros I 2 0 II III 2 IV 2 6 V 3 VI VII 4 5 VIII Nessa etapa do processo de seleção, os candidatos serão avaliados pelo valor da mediana do número de erros. A mediana dos números de erros cometidos por essa pessoa é igual a a) 2,0. b) 2,5. c) 3,0. d) 3,5. e) 4,0. 20. O gráfico abaixo apresenta informações sobre os números de livros lidos no mês passado pelos alunos de uma determinada turma. Sabendo-se que a informação de todos os alunos consta nesse gráfico, e que não há aluno que leu mais de 3 livros, utilize-o para responder à questão. (modificação no gráfico, para melhor representar a ideia envolvida)

A média do número de livros lidos no mês passado por essa turma é exatamente: a) 2,6. b) 1,5. c) 1,9. d) 2,05. e) 1,73.

242

GABARITOS:

TEORIA DOS CONJUNTOS

Resposta da questão 1: C Resposta da questão 2: E Resposta da questão 3: A Resposta da questão 4: C Resposta da questão 5: C Resposta da questão 6: B Resposta da questão 7: C Resposta da questão 8: D Resposta da questão 9: A Resposta da questão 10: E

FUNÇÕES E FUNÇÃO AFIM

Resposta da questão 1: B Resposta da questão 2: C Resposta da questão 3: A Resposta da questão 4: C Resposta da questão 5: C Resposta da questão 6: C 243

Resposta da questão 7: E Resposta da questão 8: C Resposta da questão 9: A Resposta da questão 10: C Resposta da questão 11: D Resposta da questão 12: B Resposta da questão 13: C Resposta da questão 14: D Resposta da questão 15: C

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Resposta da questão 1: D Resposta da questão 2: E Resposta da questão 3: D Resposta da questão 4: D Resposta da questão 5: A Resposta da questão 6: B Resposta da questão 7: C Resposta da questão 8: E Resposta da questão 9: A Resposta da questão 10: B Resposta da questão 11: B Resposta da questão 12: D Resposta da questão 13: B Resposta da questão 14: B Resposta da questão 15: B

FUNÇÃO EXPONENCIAL Resposta da questão 1: D Resposta da questão 2: E Resposta da questão 3: C Resposta da questão 4: C 244

Resposta da questão 5: E Resposta da questão 6: B Resposta da questão 7: B Resposta da questão 8: C Resposta da questão 9: E Resposta da questão 10: B Resposta da questão 11: D Resposta da questão 12: E

FUNÇÃO LOGARITÍMICA

Resposta da questão 1:E Resposta da questão 2:E Resposta da questão 3:A Resposta da questão 4:D Resposta da questão 5:E Resposta da questão 6:C Resposta da questão 7:E Resposta da questão 8:D

PROGRESSÃO ARITMÉTICA Resposta da questão 1:D Resposta da questão 2:D Resposta da questão 3:D Resposta da questão 4:C Resposta da questão 5:D Resposta da questão 6:C Resposta da questão 7:B Resposta da questão 8:C Resposta da questão 9:B Resposta da questão 10:A Resposta da questão 11:C Resposta da questão 12:B Resposta da questão 13:C Resposta da questão 14:D Resposta da questão 15:C PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 245

Resposta da questão 1:C Resposta da questão 2:E Resposta da questão 3:B Resposta da questão 4:C Resposta da questão 5:B Resposta da questão 6:B Resposta da questão 7:C Resposta da questão 8:E

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMA LINEAR Resposta da questão 1:D Resposta da questão 2:A Resposta da questão 3:A Resposta da questão 4:D Resposta da questão 5:B Resposta da questão 6:A Resposta da questão 7:A Resposta da questão 8:A Resposta da questão 9:D Resposta da questão 10:B ANÁLISE COMBINATÓRIA

Resposta da questão 1:A Resposta da questão 2:A Resposta da questão 3:B Resposta da questão 4:E Resposta da questão 5:A Resposta da questão 6:A Resposta da questão 7:A Resposta da questão 8:C Resposta da questão 9:A Resposta da questão 10:B Resposta da questão 11:B Resposta da questão 12:B Resposta da questão 13:E Resposta da questão 14:B Resposta da questão 15:D

PROBABILIDADE

Resposta da questão 1:C Resposta da questão 2:C Resposta da questão 3:A Resposta da questão 4:E 246

Resposta da questão 5:E Resposta da questão 6:A Resposta da questão 7:D Resposta da questão 8: Resposta da questão 9:B Resposta da questão 10:D Resposta da questão 11:D Resposta da questão 12:E Resposta da questão 13:B Resposta da questão 14:B Resposta da questão 15:C Resposta da questão 16:E Resposta da questão 17:C Resposta da questão 18:C Resposta da questão 19:D Resposta da questão 20:D

GEOMETRIA PLANA Resposta da questão 1: E Resposta da questão 2: E Resposta da questão 3: D Resposta da questão 4: A Resposta da questão 5: B Resposta da questão 6: A Resposta da questão 7: E Resposta da questão 8: C Resposta da questão 9: D Resposta da questão 10: B Resposta da questão 11: A Resposta da questão 12: D Resposta da questão 13: B Resposta da questão 14: C Resposta da questão 15: A Resposta da questão 16: B Resposta da questão 17: B 247

Resposta da questão 18: C Resposta da questão 19: A Resposta da questão 20: A Resposta da questão 21: E Resposta da questão 22: A Resposta da questão 23: D Resposta da questão 24: D Resposta da questão 26: B Resposta da questão 27: D Resposta da questão 28: B Resposta da questão 29: C Resposta da questão 30: C Resposta da questão 31: B Resposta da questão 32: A Resposta da questão 33: B Resposta da questão 34: B Resposta da questão 35: C Resposta da questão 36: C Resposta da questão 37: B Resposta da questão 38: D Resposta da questão 39: E Resposta da questão 40: B Resposta da questão 41: C Resposta da questão 42: C Resposta da questão 43: B Resposta da questão 44: D Resposta da questão 45: D

GEOMETRIA ANALÍTICA

Resposta da questão 1: E Resposta da questão 2: B Resposta da questão 3: B Resposta da questão 4: B Resposta da questão 5: C 248

Resposta da questão 6: A Resposta da questão 7: D Resposta da questão 8: A Resposta da questão 9: A Resposta da questão 10: C Resposta da questão 11: E Resposta da questão 12: C Resposta da questão 13: D Resposta da questão 14: E Resposta da questão 15: D Resposta da questão 16: D Resposta da questão 17: A Resposta da questão 18: A Resposta da questão 19: C Resposta da questão 20: E

TRIGONOMETRIA

Resposta da questão 1: B Resposta da questão 2: D Resposta da questão 3: D Resposta da questão 4: B Resposta da questão 5: B Resposta da questão 6: D Resposta da questão 7: B Resposta da questão 8: A Resposta da questão 9: B Resposta da questão 10: D

POLIEDROS E PRISMAS

Resposta da questão 1: C Resposta da questão 2: D Resposta da questão 3: D Resposta da questão 4: C 249

Resposta da questão 5: C Resposta da questão 6: C Resposta da questão 7: D Resposta da questão 8: B Resposta da questão 9: B Resposta da questão 10: A Resposta da questão 11: D Resposta da questão 12: E Resposta da questão 13: C Resposta da questão 14: D Resposta da questão 15: B

PIRÂMIDE

Resposta da questão 1: B Resposta da questão 2: D Resposta da questão 3: B Resposta da questão 4: E Resposta da questão 5: E Resposta da questão 6: D Resposta da questão 7: B Resposta da questão 8: A Resposta da questão 9: A Resposta da questão 10: B

CILINDRO

Resposta da questão 1: C Resposta da questão 2: B Resposta da questão 3: C Resposta da questão 4: C Resposta da questão 5: A Resposta da questão 6: A Resposta da questão 7: E Resposta da questão 8: D 250

Resposta da questão 9: A Resposta da questão 10: C

CONE

Resposta da questão 1: D Resposta da questão 2: B Resposta da questão 3: A Resposta da questão 4: B Resposta da questão 5: A Resposta da questão 6: D Resposta da questão 7: A Resposta da questão 8: E Resposta da questão 9: C Resposta da questão 10: C

ESFERA

Resposta da questão 1: B Resposta da questão 2: E Resposta da questão 3: E Resposta da questão 4: C Resposta da questão 5: A Resposta da questão 6: E Resposta da questão 7: D Resposta da questão 8: D Resposta da questão 9: B Resposta da questão 10: C

MÚLTIPLOS E DIVISORES

Resposta da questão 1: E Resposta da questão 2: B Resposta da questão 3: C Resposta da questão 4: C 251

Resposta da questão 5: E Resposta da questão 6: D Resposta da questão 7: A Resposta da questão 8: C Resposta da questão 9: E Resposta da questão 10: B Resposta da questão 11: D Resposta da questão 12: B Resposta da questão 13: D Resposta da questão 14: A Resposta da questão 15: C

RAZÃO E PROPORÇÃO

Resposta da questão 1: E Resposta da questão 2: D Resposta da questão 3: E Resposta da questão 4: A Resposta da questão 5: B Resposta da questão 6: B Resposta da questão 7: A Resposta da questão 8: B Resposta da questão 9: D Resposta da questão 10: B Resposta da questão 11: D Resposta da questão 12: B Resposta da questão 13: D Resposta da questão 14: C Resposta da questão 15: D Resposta da questão 16: A Resposta da questão 17: A Resposta da questão 18: C Resposta da questão 19: B Resposta da questão 20: E

252

PORCENTAGEM

Resposta da questão 1: D Resposta da questão 2: B Resposta da questão 3: B Resposta da questão 4: E Resposta da questão 5: B Resposta da questão 6: C Resposta da questão 7: D Resposta da questão 8: C Resposta da questão 9: B Resposta da questão 10: D Resposta da questão 11: C Resposta da questão 12: C Resposta da questão 13: D Resposta da questão 14: D Resposta da questão 15: D

ESTATÍSTICA

Resposta da questão 1: D Resposta da questão 2: D Resposta da questão 3: C Resposta da questão 4: D Resposta da questão 5: E Resposta da questão 6: B Resposta da questão 7: A Resposta da questão 8: A Resposta da questão 9: C Resposta da questão 10: B Resposta da questão 11: C Resposta da questão 12: B Resposta da questão 13: D Resposta da questão 14: E 253

Resposta da questão 15: C Resposta da questão 16: A Resposta da questão 17: C Resposta da questão 18: B Resposta da questão 19: B Resposta da questão 20: C

254