FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 04

SAVE OFFLINE

IPON Vestibulares e Concursos

AULA 04

1

IPON Vestibulares e Concursos

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Esta aula pode parecer até um pouco complexa mas não se preocupe. Vamos simplificar para você. Deixe a magia conosco! Toda função definida pela lei f(x) = logax, com a (base) ≠ 1 e > 0, é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelos números do conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio pelo conjunto dos números reais, f : R*+ → R. Calma! Antes de nos aprofundarmos no assunto vamos revisar a base de Logaritmos. O logaritmo de um número B é definido como o expoente X ao qual se deve elevar a base a para se obter o número B, ou seja:

Vejamos alguns exemplos:

2

IPON Vestibulares e Concursos

*Para melhor aproveitar esta aula recomendamos que você revise as propriedades de logaritmo*

Voltando a falar de função logarítmica, temos aquela lei que você já conheceu . f(x) = logax Assim como nas funções anteriores, nosso trabalho é descobrir os valores de f(x) para cada valor de x. Podendo variar o valor de a (base). Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log2x f(x) = log0,5x

f(x) = log5(x – 2) f(x) = log1/2x

Domínio da função logarítmica O domínio de uma função representa os valores de x onde a função é definida. No caso da função logarítmica, devemos levar em consideração as condições de existência do logaritmo. Portanto, o logaritmando deve ser positivo e a base também deve ser positiva e diferente de 1. Vamos determinar o domínio da função f (x) = log2 (x + 3):

Para encontrar o domínio, devemos considerar que (x + 3) > 0, pela condição de existência do logaritmo. Resolvendo essa inequação, temos: x + 3 > 0 ⇒ x > - 3 (O símbolo > (maior que) funciona como uma igualdade =. Então podemos aplicar as propriedades básicas da matemáticas como passar um número para o outro lado. Assim, o domínio da função pode ser representado por:

x pertence ao conjunto dos números reais de forma que x é maior que -3. 3

IPON Vestibulares e Concursos

Gráfico da função logarítmica Em geral, o gráfico da função y =

x está localizado no 1º e 4º quadrantes

(imagine um plano cartesiano), pois a função só é definida para x > 0. Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e corta o eixo x no ponto igual a 1, pois y = loga1 = 0 para qualquer valor de a. Novamente, para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:

a>1

0 1 - Função Decrescente

do

gráfico

da

função

logarítmica f(x) = logax - O gráfico de ambas as funções está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0. O eixo x é sempre intesectado no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

4

IPON Vestibulares e Concursos

- Note que y assume todos as soluções reais (qualquer número real), por isso dizemos que a Im(imagem) = R.

Vamos ver algumas resoluções de exercícios para você entender melhor o conteúdo: 1 – Se log5 x = 2 e log10 y = 4, então log20 y/x é a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Resolução: Usando a definição de logaritmo, podemos encontrar o valor de x e de y:

Substituindo esses valores na expressão apresentada, temos:

Resposta: Letra “a”. 2 - Se 10x = 20y, atribuindo 0,3 para log 2, então o valor de x/y é a) 0,3. b) 0,5. c) 0,7. 5

IPON Vestibulares e Concursos d) 1. e) 1,3.

Resolução: Podemos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação para tirar as incógnitas do expoente. log 10x = log 20y⇒ x . log 10 = y . log 20 Note que 20 = 2.10 e ao substituir por esse produto, podemos aplicar a propriedade que diz que o logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos, assim a equação ficará: x . log 10 = y . log 2 . 10 ⇒ x . log 10 = y (log 2 + log 10) Lembrando que o log 10 = 1 e substituindo o valor indicado para o log 2: x = y (0,3 + 1) x/y = 1,3 Resposta: Letra “e”

3 - (Espcex 2011). Na figura abaixo, dois vértices do trapézio sombreado estão no eixo x e os outros dois vértices estão sobre o gráfico da função real f(x)=log(k) x, com k>0 e k≠1. Sabe−se que o trapézio sombreado tem 30 unidades de área; assim, o valor de k+p−q é:

a) −20 b) −15 c) 10 d) 15 e) 20 Resolução: Analisando a figura, vamos utilizar a fórmula da área do trapézio, onde: lado maior = 2 lado menor = 1 altura = q – p área = 30 6

IPON Vestibulares e Concursos

(q – p)(1 + 2)/2 = 30 (q – p).3/2 = 30 (q – p).1,5 = 30 q – p = 20 Agora vamos analisar os dois pontos que sabemos do gráfico, utilizando a definição de logaritmos. Temos:

Substituindo na equação anterior: q – p = 20 k² – k – 20 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau através do método da soma e do produto: Soma = -b/a = 1 Produto = c/a = -20 Os dois números cuja soma é 1 e o produto é -20 são -4 e 5. Como k é a base do logaritmo, não pode assumir valor negativo, logo k = 5. Daí, p = 5 e q = 25 Finalizando, k + p − q = 5 + 5 – 25 = -15 Resposta: Letra “B”

4 - Estabeleça o domínio da função y = log3 (x – ½) Resolução: Para a função y = log3 (x – ½), temos apenas uma restrição: x–½>0→x>½ Então, o domínio da função logarítmica é D = {x

| x > ½}.

5 - Construa o gráfico das funções: a) y = log2 x b) y = log1/2 x

7

IPON Vestibulares e Concursos

Resolução da A: Como a = 2 > 1, já sabemos que se trata de uma função crescente. Vamos escolher alguns valores de x para calcular os valores de y e montar o gráfico da função logarítmica:

Resolução da B: Como a = ½ < 1, estamos trabalhando com uma função decrescente. Vamos escolher alguns valores de x para calcular os valores de y e montar o gráfico da função logarítmica

8

IPON Vestibulares e Concursos

E aí, aluno (a)? O que achou dessa aula de Funções Logarítmicas? Apesar de o próximo e-book ser o último da nossa série de funções, não irá parar por aí. Teremos um presente muito legal para te dar ao fim deste curso. Haja ansiedade, hein!? Te esperamos amanhã no capítulo final do nosso curso. Bons estudos e independentemente de qualquer coisa, só não pare!

9