FisicaConceptual Thomas Griffith

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FÍSICA Conceptual

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FÍSICA Conceptual

W. Thomas Griffith Pacific University

REVISIÓN TÉCNICA

Ana Elizabeth García Hernández Cinvestav-Instituto Politécnico Nacional TRADUCCIÓN Lorena Peralta Rosales Traductora profesional

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA LISBOA • MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO

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Publisher de división escolar: Jorge Rodríguez Hernández Director editorial: Ricardo Martín del Campo Mora Editor sponsor: Luis Amador Valdez Vázquez Asistencia editorial: Sergio Gerardo López Hernández Supervisora de producción: Jacqueline Brieño Álvarez Diagramación: Juan Rico Vásquez y Andrés Landeros Bojorges

Física conceptual Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2008, respecto a la primera edición en español por: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES S.A DE C.V A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 10: 970-10-6377-5 ISBN 13: 978-970-10-6377-4

Translated from the 5th English edition of: PHENOMENA THE PHYSICS OF EVERYDAY: A CONCEPTUAL INTRODUCTION TO PHYSICS Copyright © 2007 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved ISBN-10: 0-07-282862-5 ISBN-13: 978-0-07-282862-7

1234567890

09765432108

Impreso en China

Printed in China

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índice de capítulos 1

Física, la ciencia fundamental

Unidad uno

2 3 4 5 6 7 8

12 13 14

La revolución newtoniana

Descripción del movimiento

18

Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles 38

15 16 17

Movimiento circular, los planetas y la gravedad 79 Energía y oscilaciones

102

Impulso y cantidad de movimiento

122

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

Fenómeno electrostático Circuitos eléctricos

142

18 19

166

187

20 21

Máquinas térmicas y segunda ley de la termodinámica 208

253

277

Movimiento ondulatorio y óptica

Formación de ondas

300

Ondas de luz y color

322

Luz y formación de imágenes

347

El átomo y su núcleo

Estructura del átomo

374

El núcleo y la energía nuclear

Unidad seis Temperatura y calor

232

Imanes y electromagnetismo

Unidad cinco

Fluidos y calor

Comportamiento de los fluidos

Electricidad y magnetismo

Unidad cuatro

Leyes de Newton: explicación del movimiento 58

Unidad dos

9 10 11

Unidad tres

1

399

Relatividad y más allá

Relatividad

424

Más allá de los fenómenos cotidianos

447

v

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índice de contenido Prefacio xi Agradecimientos xvii Secretos del éxito al estudiar física

1

3

xix

Física, la ciencia fundamental

1

3.1

Aceleración debida a la gravedad

3.2

Trayectoria de un cuerpo en caída libre

1.1

La aventura científica 2

3.3 3.4

Movimiento de proyectiles 46

1.2

cuadro 1.1 de fenómenos cotidianos El caso de la cafetera descompuesta 5 El campo de la física 4

Más allá de la caída libre: un objeto lanzado hacia arriba 44

3.5

Dar en el blanco 49

1.3

El papel de la medición y las matemáticas en la física 7

1.4

La física y los fenómenos cotidianos

1.5

Cómo aprovechar las características de este libro 10

Unidad uno

9

4

La revolución newtoniana

Descripción del movimiento

18

2.1

Velocidad media e instantánea

2.2

Velocidad 22

2.3

cuadro 2.1 de fenómenos cotidianos Transiciones en la circulación de automóviles 22 Aceleración 25

2.4

Gráficas de movimiento

2.5

cuadro 2.2 de fenómenos cotidianos Los 100 metros planos 30 Aceleración uniforme 31

39 42

cuadro 3.1 de fenómenos cotidianos Tiro de una pelota de basquetbol 50 Resumen 52, Conceptos clave 53, Preguntas 53, Ejercicios 55, Problemas de síntesis 56, Experimentos y observaciones para la casa 56

Resumen 13, Conceptos clave 13, Preguntas 14, Ejercicios 14, Problemas de síntesis 15, Experimentos y observaciones para la casa 15

2

Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles 38

Leyes de Newton: Explicación del movimiento 58 4.1

Una breve historia

4.2

Primera y segunda leyes de Newton

4.3

Masa y peso

4.4

cuadro 4.1 de fenómenos cotidianos El truco del mantel 64 La tercera ley de Newton 67

4.5

cuadro 4.2 de fenómenos cotidianos Subirse a un ascensor 69 Aplicaciones de las leyes de Newton

19

59 61

64

70

Resumen 74, Conceptos clave 74, Preguntas 75, Ejercicios 76, Problemas de síntesis 77, Experimentos y observaciones para la casa 78

27

5

Resumen 33, Conceptos clave 34, Preguntas 34, Ejercicios 36, Problemas de síntesis 37, Experimentos y observaciones para la casa 37

Movimiento circular, los planetas y la gravedad 79 5.1

Aceleración centrípeta

5.2

Fuerzas centrípetas

80

83

vii

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viii

Índice de contenido

5.3

cuadro 5.1 de fenómenos cotidianos Cinturones de seguridad, bolsas de aire y dinámica de los accidentes 84 Movimiento planetario 87

5.4

Ley de Newton de la gravitación universal 90

5.5

La Luna y otros satélites

8.5

6

Energía y oscilaciones

102

6.1

Máquinas simples, trabajo y potencia

6.2

Energía cinética

6.3

Energía potencial

6.4

Conservación de la energía

6.5

cuadro 8.2 de fenómenos cotidianos Engranajes de la bicicleta 158 Resumen 160, Conceptos clave 161, Preguntas 161, Ejercicios 162, Problemas de síntesis 163, Experimentos para la casa y observaciones 164

93

cuadro 5.2 de fenómenos cotidianos Explicación de las mareas 94 Resumen 97, Conceptos clave 97, Preguntas 98, Ejercicios 99, Problemas de síntesis 100, Experimentos y observaciones para la casa 101

103

106 108

Unidad dos

9

cuadro 6.1 de fenómenos cotidianos Energía y salto con garrocha 113 Resortes y movimiento armónico simple 114

Resumen 117, Conceptos clave 117, Preguntas 118, Ejercicios 119, Problemas de síntesis 120, Experimentos y observaciones para la casa 121

7

7.1

Cantidad de movimiento e impulso

7.2

Conservación de la cantidad de movimiento 126

7.3

Retroceso

128

7.4

Colisiones elásticas e inelásticas

7.5

Colisiones a determinado ángulo 130

130

10

8.1

¿Qué es el movimiento rotacional?

143

8.2

Momento de torsión y equilibrio

8.3

Inercia rotacional y segunda ley de Newton 149

8.4

Conservación de la cantidad de movimiento angular 152

146

174

9.2

Presión atmosférica y comportamiento de los gases 169

9.3

cuadro 9.1 de fenómenos cotidianos Medición de la presión sanguínea 171 Principio de Arquímedes 174

9.4

Fluidos en movimiento

9.5

Principio de Bernoulli

177 179

Temperatura y calor

187

10.1 Temperatura y su medición

188

10.2 Calor y capacidad de calor específico 191

10.4 Comportamiento de los gases y la primera ley 197 10.5 El flujo del calor 200 cuadro 10.1 de fenómenos cotidianos Colectores solares y el efecto invernadero 202 Resumen 203, Conceptos clave 204, Preguntas 205, Ejercicios 206, Problemas de síntesis 206, Experimentos para la casa y observaciones 207

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos 142

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Presión y principio de Pascal

10.3 Experimento de Joule y primera ley de la termodinámica 194

cuadro 7.1 de fenómenos cotidianos Colisión de un automóvil 134 Resumen 136, Conceptos clave 137, Preguntas 137, Ejercicios 139, Problemas de síntesis 140, Experimentos para la casa y observaciones 141

8

177

9.1

cuadro 9.2 de fenómenos cotidianos Lanzamiento de una bola curva 182 Resumen 183, Conceptos clave 184, Preguntas 184, Ejercicios 185, Problemas de síntesis 186, Experimentos para la casa y observaciones 187

122

123

Fluidos y calor

Comportamiento de los fluidos

110

Impulso y cantidad de movimiento

cuadro 8.1 de fenómenos cotidianos Dominio del yo-yo 155 Andar en bicicleta y otras proezas sorprendentes 156

11

Máquinas térmicas y segunda ley de la termodinámica 208 11.1 Máquinas térmicas

209

cuadro 11.1 de fenómenos cotidianos Motores híbridos para automóviles 212

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ix

Índice de contenido 11.2 Segunda ley de la termodinámica

212

14.4 Ley de Faraday: Inducción electromagnética 288

11.3 Refrigeradores, compresores y entropía 216

cuadro 14.2 de fenómenos cotidianos Sensores de vehículos en los semáforos 291 14.5 Generadores y transformadores 292

11.4 Plantas de energía térmica y recursos energéticos 219

Resumen 294, Conceptos clave 295, Preguntas 295, Ejercicios 297, Problemas de síntesis 297, Experimentos para la casa y observaciones 298

11.5 Movimiento perpetuo y fraudes energéticos 222 cuadro 11.2 de fenómenos cotidianos Una laguna productiva 224 Resumen 225, Conceptos clave 226, Preguntas 226, Ejercicios 228, Problemas de síntesis 228, Experimentos para la casa y observaciones 229

Unidad tres

12

Electricidad y magnetismo

Fenómeno electrostático

232

12.1 Efectos de la carga eléctrica 12.2 Conductores y aislantes

233

15

13

13.1 Circuitos eléctricos y corriente eléctrica

cuadro 13.1 de fenómenos cotidianos Impulsos eléctricos en las células nerviosas 256 13.2 Ley de Ohm y resistencia 259 13.3 Circuitos en serie y paralelos 13.4 Energía eléctrica y potencia

14.1 Imanes y fuerza magnética

277

278

14.2 Efectos magnéticos de las corrientes eléctricas 281

cuadro 14.1 de fenómenos cotidianos Motores de corriente directa 287

Ondas de luz y color

322

16.1 Ondas electromagnéticas

323

16.2 Longitud de onda y color

327

cuadro 16.1 de fenómenos cotidianos ¿Por qué el cielo es azul? 330 16.3 Interferencia de las ondas de luz 330 cuadro 16.2 de fenómenos cotidianos Capas antirreflejantes en anteojos 335 16.4 Difracción y red de difracción 334

267

cuadro 13.2 de fenómenos cotidianos El interruptor oculto en su tostador 268 Resumen 271, Conceptos clave 272, Preguntas 272, Ejercicios 274, Problemas de síntesis 275, Experimentos para la casa y observaciones 276

14.3 Efectos magnéticos de los circuitos cerrados 284

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16

260

Imanes y electromagnetismo

306

309

Resumen 317, Conceptos clave 318, Preguntas 318, Ejercicios 319, Problemas de síntesis 320, Experimentos para la casa y observaciones 321

264

13.5 Corriente alterna y circuitos en el hogar

14

233

303

cuadro 15.1 de fenómenos cotidianos El claxon de un automóvil en movimiento y el efecto Doppler 312 15.5 La física de la música 313

243

253

300

15.1 Pulsaciones de onda y ondas periódicas 301

15.4 Ondas sonoras

cuadro 12.1 de fenómenos cotidianos Rayos 247 Resumen 248, Conceptos clave 249, Preguntas 249, Ejercicios 250, Problemas de síntesis 251, Experimentos para la casa y observaciones 252

Circuitos eléctricos

Formación de ondas

15.3 Interferencia y ondas periódicas

239

241

12.5 Potencial eléctrico

Movimiento ondulatorio y óptica

15.2 Ondas en una cuerda

236

12.3 Fuerza electrostática: Ley de Coulomb 12.4 Campo eléctrico

Unidad cuatro

16.5 Luz polarizada

338

Resumen 225, Conceptos clave 226, Preguntas 226, Ejercicios 228, Problemas de síntesis 228, Experimentos para la casa y observaciones 229

17

Luz y formación de imágenes

347

17.1 Reflexión y formación de imágenes 17.2 Refracción de la luz

348

351

cuadro 17.1 de fenómenos cotidianos Arco iris 354 17.3 Lentes y formación de imágenes 356 17.4 Enfoque de la luz con espejos curvos 359

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x

Índice de contenido 17.5 Anteojos, microscopios y telescopios

362

20.2 La velocidad de la luz y los postulados de Einstein 428

cuadro 17.2 de fenómenos cotidianos Cirugía láser refractiva 365 Resumen 368, Conceptos clave 369, Preguntas 369, Ejercicios 370, Problemas de síntesis 371, Experimentos para la casa y observaciones 372

Unidad cinco

18

20.3 Dilatación del tiempo y contracción de la longitud 432 20.4 Leyes de Newton y equivalencia de masaenergía 435 cuadro 20.1 de fenómenos cotidianos La paradoja de los gemelos 436 20.5 Relatividad general 439

El átomo y su núcleo

Estructura del átomo

Resumen 443, Conceptos clave 444, Preguntas 444, Ejercicios 445, Problemas de síntesis 445, Experimentos para la casa y observaciones 446

374

18.1 La existencia de átomos: evidencia de la química 375 cuadro 18.1 de fenómenos cotidianos Pilas de combustible y economía de hidrógeno 378 18.2 Rayos catódicos, electrones y rayos X 381

21

21.3 Semiconductores y microelectrónica

452 454

21.5 Superconductores y otros materiales nuevos 461 cuadro 21.1 de fenómenos cotidianos Hologramas 464 Resumen 465, Conceptos clave 466, Preguntas 466, Ejercicios 467, Problemas de síntesis 467, Experimentos para la casa y observaciones 468

391

Resumen 395, Conceptos clave 396, Preguntas 396, Ejercicios 397, Problemas de síntesis 397, Experimentos para la casa y observaciones 398

Apéndice A

El núcleo y la energía nuclear 19.1 Estructura del núcleo 19.2 Decaimiento radiactivo

399

400 403

cuadro 19.1 de fenómenos cotidianos Exposición a la radiación 406 19.3 Reacciones nucleares y fisión nuclear 407

Uso de álgebra simple

Fracciones decimales, porcentajes y notación científica 472

Apéndice C

cuadro 19.2 de fenómenos cotidianos ¿Qué ocurrió en Chernobyl? 414 19.5 Armas nucleares y fusión nuclear 414

Apéndice D

Vectores y suma de vectores

487

Créditos fotográficos

Relatividad y más allá

Relatividad

476

Respuestas a preguntas seleccionadas, ejercicios y problemas de síntesis 480 Glosario

Unidad seis

469

Apéndice B

19.4 Reactores nucleares 410

Resumen 419, Conceptos clave 419, Preguntas 420, Ejercicios 421, Problemas de síntesis 421, Experimentos para la casa y observaciones 422

20

448

21.4 Computadoras e inteligencia artificial 458

18.4 Espectro atómico y modelo del átomo de Bohr 388

19

21.1 Quarks y otras partículas elementales 21.2 Cosmología y el principio del tiempo

cuadro 18.2 de fenómenos cotidianos Electrones y televisión 382 18.3 Radioactividad y descubrimiento del núcleo 384

18.5 Ondas de partícula y mecánica cuántica

Más allá de los fenómenos cotidianos 447

Índice analítico

497

499

424

20.1 Movimiento relativo en la física clásica 424

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1.1 El espíritu científico

1

Física, la ciencia fundamental

descripción del capítulo El objetivo principal de este capítulo consiste en ayudarte a comprender qué es la física y cuál es su lugar en el amplio repertorio de las ciencias. Un propósito secundario es familiarizarte con algunas de las características de esta obra y darte algunos consejos sobre cómo usarlas con eficacia.

esquema del capítulo

1 2 3

4 5

El espíritu científico. ¿Qué es el método científico? ¿En qué se diferencian las explicaciones científicas de las de otro tipo? El campo de la física. ¿Qué es la física? ¿Cómo se relaciona con otras ciencias y con la tecnología? ¿Cuáles son sus subcampos más importantes? El papel de la medición y las matemáticas en la física. ¿Por qué las mediciones son tan importantes? ¿Por qué se usan tanto las matemáticas en la ciencia? ¿Se puede hacer física sin matemáticas?

capítulo

1

La física y los fenómenos cotidianos. ¿Cómo se relaciona la física con la experiencia cotidiana y el sentido común? ¿Cuáles son las ventajas de usar la física para explicar la experiencia común? Cómo aprovechar las características de este libro. ¿Qué características tiene este libro? ¿Cómo pueden ayudarte a obtener una base sólida en física y aprovechar al máximo el curso?

1

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Capítulo 1

Física, la ciencia fundamental

I

magina que un caluroso día de otoño recorres en bicicleta un sendero en el campo. El sol ha salido después de un breve aguacero y las nubes de lluvia se alejan; al Este aparece un arco iris (fig. 1.1). Una hoja revolotea en el aire hasta llegar al suelo y una bellota, que cae de una rama sacudida por una ardilla casi golpea tu cabeza. El sol calienta tu espalda y te hallas en paz con el mundo que te rodea. No necesitas ningún conocimiento de física para disfrutar el momento, pero tu curiosidad puede suscitarte algunas dudas. ¿Por qué el arco iris aparece en el Este y no en el Oeste, donde tal vez también esté lloviendo? ¿Por qué aparecen los colores? ¿Por qué la bellota cae más rápido que la hoja? ¿Por qué es más fácil mantener derecha tu bicicleta cuando pedaleas que cuando estás detenido? Tu curiosidad respecto a preguntas como éstas es parecida a lo que motiva a los científicos. Aprender a concebir y aplicar teorías o modelos que puedan usarse para comprender, explicar y predecir estos fenómenos puede resultar un juego intelectual gratificante. Del mismo modo, construir una explicación y probarla con experimentos u observaciones sencillos es divertido. Ese placer se pierde cuando el objetivo de un curso de ciencias consiste en la mera acumulación de hechos. Esta obra puede ampliar tu capacidad para disfrutar los fenómenos que forman parte de la experiencia cotidiana. Aprender a producir tus propias explicaciones y a realizar pruebas experimentales simples puede ser gratificante. Las preguntas planteadas aquí entran en

consejo de estudio Si tienes una idea clara de lo que esperas lograr antes de empezar a estudiar un capítulo, tu lectura será más eficaz. Las preguntas que aparecen en el esquema del capítulo, así como las de los subtítulos de cada sección sirven como lista de control para que midas tu avance a medida que leas. Una idea clara de qué preguntas van a abordarse y dónde encontrarás las respuestas constituye un mapa mental que te guiará a lo largo del capítulo. Dedica unos minutos a estudiar el esquema y grábalo en tu mente. Será tiempo bien invertido.

1.1 El espíritu científico ¿Cómo explican los científicos algo como el arco iris descrito en la introducción de este capítulo? ¿En qué se diferencian las explicaciones científicas de las de otro tipo? ¿Podemos basarnos en el método científico para explicar casi todo? Es importante entender qué puede hacer la ciencia y qué no.

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el campo de la física, pero el espíritu de investigación y explicación subyace a todas las ciencias y a muchas otras áreas de la actividad humana. Las satisfacciones más profundas del estudio científico son la diversión y la emoción que surgen al comprender algo antes ininteligible. Y lo mismo es válido para un físico que hace un gran avance científico que para una persona en bicicleta que entiende cómo se forma el arco iris.

figura 1.1

Un arco iris aparece al este del cañón del río Columbia, en Oregon. ¿Cómo se explica este fenómeno? (Véanse las páginas 354-355.)

Los filósofos han dedicado incontables horas y páginas a analizar la naturaleza del conocimiento, en particular la del científico, pero aún hoy se discuten y perfeccionan varios de sus aspectos. La ciencia evolucionó rápidamente durante el siglo xx y ha ejercido una enorme influencia en nuestra vida. De los avances científicos han resultado innovaciones en los campos de la medicina, las comunicaciones, el transporte y la tecnología de cómputo. ¿Qué tiene la ciencia de particular que nos permite entender sus adelantos y su constante progreso?

¿Cómo se crean las explicaciones científicas? Consideremos un ejemplo concreto de cómo se llegó a una explicación científica. ¿A qué recurrirías para obtener una explicación acerca de cómo se forma el arco iris? Si regresas de tu paseo en bicicleta con esa pregunta en mente, podrías consultar una enciclopedia o un libro de texto sobre física, buscar en el índice la voz arco iris y leer la explicación correspondiente. ¿Estás comportándote como un científico? La respuesta es sí y no. Muchos científicos harían lo mismo si no conocieran la explicación. Cuando hacemos esto apelamos a la autoridad del autor del libro de texto y a quienes le

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3

1.1 El espíritu científico

precedieron en llegar a la explicación. Apelar a la autoridad es una forma de obtener conocimiento, pero la validez de la explicación queda a merced de la veracidad de la fuente. También esperas que alguien se haya planteado antes la misma pregunta y llevado a cabo el trabajo de crear y probar una explicación. Supón que viajas en el tiempo unos trescientos años atrás e intentas hacer lo mismo. Un libro podría decirte que un arco iris es una pintura de los ángeles; otro podría especular sobre la naturaleza de la luz y sus interacciones con las gotas de lluvia, pero ofrecer conclusiones tentativas. Cualquiera de esos libros podría haberse considerado fidedigno en aquellos días. ¿A qué recurres, entonces? ¿Qué explicación aceptarías? Si te comportas como un científico, podrías comenzar por leer las ideas de otros científicos sobre la luz y luego confrontarlas con tus propias observaciones acerca del arco iris. Registrarías pormenorizadamente cuáles son las condiciones que hay cuando aparece uno, cuál es la posición del Sol respecto a ti y al arco iris y cuál es la posición de la lluvia. ¿Cuál es el orden de los colores del arco iris? ¿Lo has observado en otros fenómenos? Construirías entonces una explicación o hipótesis usando ideas actuales sobre la luz y tu propia conjetura respecto a qué ocurre cuando ésta atraviesa una gota de lluvia. Podrías idear experimentos con gotas de agua o cuentas de vidrio para probar tu hipótesis (en el capítulo 17 se expone la concepción moderna de cómo se forman los arco iris). Si tu explicación concuerda con tus observaciones y experimentos, podrías divulgarla mediante un artículo u ofreciendo una conferencia a tus colegas científicos, quienes podrían así criticarla, sugerir modificaciones y realizar sus propios experimentos para confirmarla o refutarla. Si verifican tu resultado, tu explicación quedará sustentada y con el tiempo se volverá parte de una teoría* más amplia sobre los fenómenos relacionados con la luz. Los experimentos que tú y otras personas hacen también pueden llevar al descubrimiento de un fenómeno nuevo, que exigirá explicaciones y teorías mejores. ¿Qué resulta decisivo en el proceso recién descrito? Primero, destaca la importancia de una observación meticulosa; luego, la capacidad de realizar pruebas. Una explicación científica aceptable debe indicar los medios para probar sus predicciones, ya sea a partir de observaciones o de experimentos. Afirmar que los arco iris son pinturas de los ángeles puede ser poético, pero sin duda es incomprobable para los simples mortales. No es una explicación científica. Otra parte significativa del proceso es lo social, la comunicación de tu teoría y experimentos a tus colegas (fig. 1.2). Someter tus ideas a la crítica (a veces directa) de tus compañeros es crucial para el avance de la ciencia. La comunicación también es vital para asegurar tu propio cuidado en la realización de los experimentos y la interpretación del resultado. * El concepto de teoría, como se usa en la ciencia, suele entenderse mal. Una teoría es mucho más que una simple hipótesis; consiste en una serie de principios básicos a partir de los cuales es posible deducir numerosas predicciones. Los principios que forman la teoría gozan de gran aceptación entre los científicos que trabajan en el campo correspondiente.

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figura 1.2

Reunión de científicos. La comunicación y el debate son importantes para el desarrollo de las explicaciones científicas. El ponente es Albert Einstein.

Un ataque mordaz de alguien que ha encontrado un error o una omisión importante en tu trabajo constituye un fuerte incentivo para ser más precavido en el futuro. Es imposible que una persona que trabaja sola crea que ha pensado en todas las ramificaciones posibles, en todas las explicaciones que podría haber o en todos los errores potenciales de una teoría. En buena medida, el crecimiento explosivo de la ciencia ha dependido de la cooperación y la comunicación.

¿Qué es el método científico? ¿Hay algo que podamos llamar método científico dentro de esta descripción y, de ser así, qué es? El proceso que acabamos de describir esboza el funcionamiento del método científico. Aunque hay variaciones sobre el tema, este método se presenta casi siempre como se muestra en la tabla 1.1. Los pasos ahí enumerados describen en líneas generales cómo se llega a una explicación sobre los arco iris. Una observación meticulosa puede conducir a leyes empíricas que expliquen cuándo y dónde aparecen. Una ley empírica es una generalización derivada de experimentos u observaciones.

tabla 1.1 Pasos del método científico 1. Observación meticulosa de fenómenos naturales. 2. Planteamiento de reglas o leyes empíricas con base en generalizaciones a partir de esas observaciones y experiencias. 3. Planteamiento de hipótesis para explicar las observaciones y las leyes empíricas, y su perfeccionamiento para convertirlas en teorías. 4. Prueba de las hipótesis o teorías mediante una mayor observación y experimentación.

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4

Capítulo 1

Física, la ciencia fundamental

Un ejemplo de ley es la afirmación de que cuando vemos un arco iris el Sol se halla a nuestra espalda. Ésta es una pista importante para plantear la hipótesis, la cual debe ser congruente con esta regla. La hipótesis, a su vez, indica formas de crear un arco iris artificialmente, lo cual llevaría a pruebas experimentales y, al final, a una teoría más general. Esta descripción del método científico no es mala, aunque ignora el proceso crítico de la comunicación. Pocos científicos se dedican al ciclo completo que abarca estos pasos. Los físicos teóricos, por ejemplo, pueden dedicar todo su tiempo al tercer paso. Aun cuando tengan cierto interés en los resultados experimentales, tal vez nunca realicen ningún trabajo experimental. En la actualidad se hace poca ciencia mediante la simple observación, como sugiere el primer paso. La mayor parte de los experimentos y las observaciones se lleva a cabo para probar una hipótesis o una teoría existente. Aunque el método científico se presenta aquí como un proceso que comporta pasos, en realidad éstos suelen darse al mismo tiempo, con mucho movimiento hacia adelante y hacia atrás (fig. 1.3). El método científico es una manera de probar y perfeccionar ideas. Observa que sólo se aplica cuando es factible efectuar pruebas experimentales u otras observaciones relacionadas con los fenómenos. Las pruebas son cruciales para descartar hipótesis improductivas; sin pruebas, las teorías que buscan afianzarse pueden competir interminablemente entre sí para ser aceptadas.

¿Cómo debe presentarse la ciencia? Los cursos de ciencia tradicional se centran en presentar los resultados del proceso científico y no muestran cómo fueron obtenidos por los científicos. De aquí que el público considere la ciencia una colección de hechos y teorías establecidas. Hasta cierto punto, esa acusación podría enderezarse contra este libro, ya que describe teorías que han resultado del trabajo de otras personas y no presenta todo el cuadro de su desarrollo. Basarse en el trabajo de otros, sin necesidad de repetir sus errores y enfoques improductivos, es una condición necesaria para el ser humano y para el proceso científico. Observación o experimentación

Generalización

figura 1.3

Hipótesis o teoría

El método científico recorre el ciclo hacia atrás, hasta las observaciones o experimentos, cuando buscamos probar nuestras hipótesis o teorías.

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En este libro se busca que te involucres en el proceso, que hagas tus propias observaciones y desarrolles y pruebes tus explicaciones de los fenómenos cotidianos. Al realizar algunos experimentos u observaciones, construir explicaciones de los resultados y debatir tus interpretaciones con tus amigos advertirás los toma y daca esenciales para la ciencia. Concientes de ello o no, todos usamos el método científico en nuestras actividades diarias. El caso de la cafetera descompuesta descrito en el cuadro de fenómenos cotidianos 1.1 brinda un ejemplo del razonamiento científico aplicado a la resolución de problemas comunes. El proceso de la ciencia comienza y luego regresa a observaciones o experimentos de fenómenos naturales. Las observaciones pueden sugerir leyes empíricas y estas generalizaciones pueden incorporarse a una hipótesis más amplia. La hipótesis después se prueba con más observaciones o mediante experimentos controlados para formar una teoría. Los científicos se dedican a una o más de estas actividades y todos usamos el método científico en los problemas cotidianos.

1.2 El campo de la física ¿Cuál es el lugar de la física dentro de las ciencias? Puesto que esta obra trata sobre física y no sobre biología, química, geología o alguna otra ciencia, es razonable preguntar dónde se hallan las fronteras entre cada disciplina. Sin embargo, no es posible hacer distinciones claras entre ellas ni proporcionar una definición de la física que satisfaga a todos. La forma más fácil de dar una idea de qué es la física y qué hace es con ejemplos, es decir, por medio de una lista de algunos de sus subcampos y la exploración de su contenido. Primero consideremos una definición un tanto incompleta.

¿Cómo se define la física? La física puede definirse como el estudio de la naturaleza básica de la materia y las interacciones que rigen su comportamiento. Es la más fundamental de las ciencias. Los principios y las teorías de la física pueden usarse para explicar las interacciones esenciales que suceden en el nivel atómico o molecular en el ámbito de la química, la biología y otras ciencias. La química moderna, por ejemplo, utiliza la teoría física de la mecánica cuántica para explicar cómo se combinan los átomos para formar moléculas. La mecánica cuántica fue desarrollada principalmente por físicos en la primera mitad del siglo pasado, pero los químicos y los conocimientos de su disciplina también contribuyeron a ella de forma importante. Las ideas respecto a la energía que inicialmente surgieron en la física ahora se han extendido a la química, la biología y otras disciplinas. El campo general de la ciencia con frecuencia se divide en ciencias de la vida y ciencias físicas. Las primeras incluyen varios subcampos de la biología y disciplinas relativas a la salud relacionadas con los organismos vivos. Por su parte, las

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1.2 El campo de la física

fenómenos cotidianos

cuadro 1.1

El caso de la cafetera descompuesta Situación. Es lunes por la mañana y estás, como siempre, medio despierto y en desacuerdo con el mundo. Tratas de reanimarte con una taza de café recién preparado pero descubres que la cafetera no funciona. ¿Cuál de estas opciones es la mejor? 1. Golpeas el aparato con la palma de la mano. 2. Buscas desesperadamente el manual de instrucciones que tal vez tiraste a la basura hace dos años. 3. Llamas a un amigo que sabe de estas cosas. 4. Aplicas el método científico para resolver el problema.

Reparar una cafetera descompuesta —opción 1.

Análisis. Todas estas opciones tienen posibilidades de éxito. La respuesta a veces positiva de los aparatos eléctricos o mecánicos a los pequeños golpes está bien documentada. Las dos opciones siguientes son formas de apelar a una autoridad que podrían dar resultado. La cuarta opción, no obstante, puede ser la más productiva y rápida, salvo que tengas éxito con la primera. ¿Cómo aplicaríamos el método científico a este problema, según se explicó de manera resumida en la tabla 1.1? El primer paso consiste en observar detenidamente los síntomas de la falla. Supón que la cafetera simplemente no calienta. Cuando el interruptor se enciende no se escucha ningún indicio de que

ciencias físicas se ocupan del comportamiento de la materia, tanto en sistemas vivos como no vivos. Además de la física, las ciencias físicas incluyen la química, geología, astronomía, oceanografía y meteorología (el estudio del clima). La física subyace a todas ellas. En general, la física también se considera la más cuantitativa de las ciencias. Usa mucho las matemáticas y las mediciones

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el agua se esté calentando. Notas que no importa cuántas veces apagues o enciendas el interruptor, no calienta. Éste es el tipo de generalización simple que se indica en el segundo paso. Ahora podemos plantear algunas hipótesis respecto a la causa del mal funcionamiento, como señala el tercer paso. He aquí algunas posibilidades: a) b) c) d) e) f)

La cafetera no está conectada. El fusible externo se ha descompuesto. No hay suministro de electricidad en la casa o el vecindario. Se fundió un fusible interno de la cafetera. Hay un cable suelto o quemado dentro de la cafetera. El termostato interno de la cafetera está descompuesto.

No se necesita ningún conocimiento detallado de los circuitos eléctricos para comprobar estas posibilidades, aunque las últimas tres exigen más conocimientos (y es más problemático comprobarlas) que las tres primeras, las cuales son las más fáciles de comprobar y deben ensayarse primero (paso 4 de nuestro método). Un remedio simple como conectar la cafetera o cambiar el fusible puede ponerla en operación de nuevo. Si no hay energía eléctrica en el edificio, otros aparatos (luces, relojes electrónicos, etc.) tampoco funcionarán, lo cual proporciona una prueba fácil. Tal vez haya poco que puedas hacer en este caso, pero al menos habrás identificado el problema. Golpear la cafetera no ayudará. La cafetera puede tener un fusible interno. Si se funde, tal vez sea necesario ir a la ferretería. Un problema como un cable suelto o una conexión quemada se vuelve obvio al buscar dentro del aparato después de quitarle la parte inferior o el panel donde entra el cable de energía (debes desconectar la cafetera antes de hacer una inspección semejante) Si una de estas opciones es la causa, has identificado el problema, pero quizá la reparación requiera más tiempo o experiencia. Lo mismo es válido para la última opción. Sin importar qué encuentres, es probable que este método sistemático (y calmado) sea más productivo y satisfactorio que los demás. La resolución de problemas, si se hace así, es un ejemplo de la aplicación del método científico en pequeña escala a un problema ordinario. Todos somos científicos si abordamos las dificultades de esta manera.

numéricas para construir y probar sus teorías. Este aspecto la ha hecho parecer poco accesible a los estudiantes, aun cuando sus modelos e ideas puedan describirse de modo más simple y claro que los de otras disciplinas. Como estudiaremos en la sección 1.3, las matemáticas sirven como un lenguaje compacto que permite elaborar enunciados más breves y precisos de lo que sería posible sin ellas.

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Capítulo 1

Física, la ciencia fundamental

¿Cuáles son los principales subcampos de la física? En la tabla 1.2 se enumeran los principales subcampos de la física. La mecánica, que trata sobre el movimiento (o la falta de movimiento) de los cuerpos sujetos a la influencia de fuerzas, fue el primer subcampo que se explicó mediante una teoría general. La teoría de la mecánica de Newton, desarrollada en la última mitad del siglo xvii, fue la primera teoría completa que usó abundantemente las matemáticas. Se volvió un prototipo para las teorías subsiguientes de nuestra disciplina. A principios del siglo xx, los primeros cuatro subcampos indicados en la tabla 1.2 ya estaban bien desarrollados, aunque todos han seguido avanzando. A veces estos subcampos (mecánica, termodinámica, electricidad y magnetismo y óptica) se agrupan como física clásica. Los últimos cuatro subcampos (física atómica, nuclear, de partículas y de la materia condensada) suelen rotularse como física moderna, aun cuando formen parte de la práctica moderna de la física. Tal distinción se hace porque los últimos cuatro subcampos surgieron durante el siglo xx y sólo existieron en formas rudimentarias antes de finales de ese siglo. Además de los subcampos que aparecen en la tabla 1.2, muchos físicos trabajan en campos interdisciplinarios como biofísica, geofísica o astrofísica. Las fotografías de esta sección (figuras 1.4-1.7) ilustran actividades características o aplicaciones de los subcampos. La invención del rayo láser ha tenido suma importancia en los rápidos avances de la óptica en la actualidad (figura 1.4). El desarrollo de la cámara infrarroja ha proporcionado una herramienta para el estudio del flujo de calor en los edificios, el cual supone la termodinámica (fig. 1.5). El veloz crecimiento de la variedad de aparatos electrónicos de consumo –como se nota en la disponibilidad de computadoras para el hogar, calculadoras de bolsillo, etc., ha sido posible gracias a los desarrollos en la física de la materia condensada (figura 1.6). Los físicos de partículas usan aceleradores de partículas (fig. 1.7) para estudiar las interacciones de las partículas subatómicas en las colisiones de alta energía.

tabla 1.2

figura 1.4

Experimento de óptica que usa un láser.

1.5 La fotografía infrarroja que muestra los patrones de pérdida de calor de una casa es una aplicación de la termodinámica.

figura

Principales subcampos de la física Mecánica. Estudio de las fuerzas y el movimiento. Termodinámica. Estudio de la temperatura, el calor y la energía. Electricidad y magnetismo. Estudio de las fuerzas eléctricas y magnéticas y de la corriente eléctrica. Óptica. Estudio de la luz. Física atómica. Estudio de la estructura y el comportamiento de los átomos. Física nuclear. Estudio del núcleo del átomo. Física de partículas. Estudio de las partículas subatómicas (quarks, etcétera). Física de la materia condensada. Estudio de las propiedades de la materia en los estados sólido y líquido.

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La ciencia y la tecnología dependen una de otra para progresar. La física tiene mucha relevancia en la educación y el trabajo de los ingenieros, ya sea que se especialicen en los campos eléctrico, mecánico, nuclear u otro. De hecho, las personas que cursaron la carrera de física a menudo trabajan como ingenieros cuando se les emplea en la industria. Las fronteras entre la física y la ingeniería, o la investigación y el desarrollo, con frecuencia se pierden. En general, a los físicos les preocupa el desarrollo de la explicación fundamental de un fenómeno, y a los ingenieros la aplicación de esa explicación a tareas prácticas o productos, pero estas funciones a menudo se traslapan. Un comentario final: la física es divertida. Entender cómo funciona una bicicleta o cómo se forma un arco iris tiene un

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1.3 El papel de la medición y las matemáticas en la física

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1.3 El papel de la medición y las matemáticas en la física

1.6 Circuito integrado que emplea dispositivos semiconductores desarrollados a partir del conocimiento de la física de la materia condensada. Aumento: X50.

figura

Si entras en la biblioteca de la universidad, tomas un volumen de Physical Review o de alguna otra publicación importante sobre física y lo abres al azar, es probable que encuentres una página con muchos símbolos y fórmulas matemáticas. Quizá sean incomprensibles para ti. De hecho, muchos físicos que no son especialistas en el subcampo particular al que pertenece el artículo podrían tener dificultades para entenderlo porque no estarían familiarizados con los símbolos y las definiciones dados. ¿Por qué los físicos usan tanto las matemáticas en su trabajo? ¿El conocimiento de las matemáticas resulta esencial para comprender las ideas que analizan? Las matemáticas son un lenguaje compacto para representar las ideas de los físicos que facilita establecer con precisión y manipular las relaciones entre las cantidades que medimos en física. Una vez que te familiarizas con el lenguaje, el misterio desaparece y su utilidad se vuelve más clara. Aun así, este libro utiliza las matemáticas de forma muy limitada, ya que gran parte de las ideas de la física pueden estudiarse sin tantas fórmulas y ecuaciones.

¿Por qué las mediciones son tan importantes?

1.7 Acelerador de partículas Super-ProtónSincrotón (SPS: Super-Proton-Synchrotron) usado para estudiar las interacciones de las partículas subatómicas a altas energías. Se localiza en el CERN, el laboratorio europeo de física de partículas, en Suiza.

figura

atractivo que cualquiera puede notar. La emoción de llegar a comprender el funcionamiento del Universo puede experimentarse en cualquier nivel. En este sentido, todos podemos ser físicos. La física es el estudio de las características básicas de la materia y sus interacciones. Es la más fundamental de las ciencias; muchas otras disciplinas se construyen con base en sus ideas. Los subcampos más importantes de la física son la mecánica, la electricidad y el magnetismo, la óptica, la termodinámica, la física atómica y nuclear, la física de partículas y la de la materia condensada. La física es muy importante para la ingeniería y la tecnología, pero la diversión real surge de la comprensión del funcionamiento del universo.

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¿Cómo probamos las teorías en la física? Sin mediciones meticulosas, las predicciones y explicaciones imprecisas parecen razonables y no es posible elegir entre varias de ellas. Una predicción cuantitativa, por su parte, puede confrontarse con la realidad, y una explicación o teoría puede aceptarse o rechazarse con base en los resultados de las mediciones. Por ejemplo, si una hipótesis predice que una bala de cañón aterrizará a 100 metros de nosotros y otra indica una distancia de 200 metros en las mismas condiciones, disparar el cañón y medir la distancia real arroja datos contundentes para elegir una hipótesis o la otra (figura 1.8). El rápido crecimiento y éxito de la física comenzó cuando se aceptó la idea de hacer mediciones precisas como prueba. La vida diaria está llena de casos en que las mediciones, así como la capacidad de expresar las relaciones que hay entre ellas son importantes. Imagina que normalmente los domingos por la mañana preparas panqués para tres personas, pero un domingo hay una boca más que alimentar. ¿Qué harías: duplicarías la receta y darías al perro los panqués que sobren o averiguarías qué cantidades debes aumentar para preparar la cantidad adecuada? Digamos que la receta normal requiere 1 taza de leche. ¿Cuánta leche usarías si vas a aumentar la receta para cuatro personas en vez de tres? Quizá puedas resolver mentalmente el problema, pero a algunas personas este proceso puede parecerles peligroso. (Veamos, 1 taza es suficiente para tres personas; por tanto, para cada persona se necesita 1/3 de taza, y 4 veces 1/3 es igual a 4/3 o 11/3 tazas (figura 1.9.) Si tuvieras que describir a alguien más esta misma operación para la leche

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Capítulo 1

figura 1.8

Física, la ciencia fundamental

Balas de cañón y cinta métrica: la prueba se basa en la medición.

y los demás ingredientes, te darías cuenta de que usas muchas palabras. Si miraras bien a la persona con quien hablas, notarías que su ceño se frunce y se siente confundida.

¿Cómo pueden ayudar las matemáticas? Puedes reducir la confusión si formas un enunciado que funcione para todos los ingredientes de la receta y evitas así la necesidad de repetirte. Podrías decir: “La cantidad de cada ingrediente necesario para cuatro personas se relaciona con la cantidad requerida para tres personas como 4 es a 3”. Eso aún requiere unas cuantas palabras y tal vez no sería claro a menos que la persona con quien hablaras estuviera muy familiarizada con una proporción. Si tienes a la mano una hoja de papel, podrías escribir este enunciado como: Cantidad para cuatro: Cantidad para tres = 4 : 3. Si quieres abreviar aún más el enunciado, podrías usar el símbolo Q4 para representar la cantidad de cualquier ingrediente necesario para preparar la receta para cuatro personas, y el símbolo Q3 para representar la cantidad requerida para tres personas. Por consiguiente, el enunciado puede expresarse como una ecuación matemática, Q4 4 = Q3 3 El uso de símbolos es simplemente una forma concisa de decir lo mismo que expresamos antes con palabras. Este breve

2 tazas

2 tazas

2 tazas

2 tazas

1 taza

1 taza

1 taza

1 taza

1.9 Dos tazas de medida, una con leche para hacer panqués para tres personas y otra con leche para panqués para cuatro personas.

figura

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enunciado también tiene la ventaja de facilitar el manejo de la relación. Por ejemplo, si multiplicas ambos miembros de esta ecuación por Q3, quedará así: Q4 =

4 Q, 3 3

que en palabras expresa que la cantidad requerida para cuatro personas es 4/3 veces lo que se necesita para tres personas. Si no tienes problemas con las fracciones, podrías usar esta relación para hallar rápidamente la cantidad adecuada de cualquier ingrediente. Hay dos cuestiones por considerar en este ejemplo. La primera es que hacer mediciones es una rutina y una parte importante de la experiencia cotidiana. La segunda es que el uso de símbolos para representar cantidades en un enunciado matemático es una manera más breve de expresar una idea relacionada con los números en comparación con el mismo enunciado en palabras. El uso de las matemáticas también facilita el manejo de las relaciones para construir argumentos concisos. Éstas son las razones por las cuales los físicos (y muchas otras personas) consideran útiles los enunciados matemáticos. A pesar de la brevedad y la aparente claridad de los enunciados matemáticos, mucha gente se siente más cómoda con las palabras. Es asunto de elección y experiencia personales, aunque algunos temen que pueda haber matemáticas implicadas. Por ello, en esta obra se dan los enunciados en palabras junto con casi todas las expresiones matemáticas que usaremos. Aunados al enunciado matemático y a las figuras, tales enunciados en palabras te ayudarán a comprender los conceptos que expondremos.

¿Por qué se usan las unidades métricas? Las unidades de medición son parte esencial de cualquier medición. No nos comunicamos con claridad si nos limitamos a decir un número. Si sólo indicamos “añade 1/3 de leche”, por ejemplo, el enunciado queda incompleto, pues hay que precisar si nos referimos a tazas, pintas o mililitros. El litro y el mililitro son unidades métricas de volumen. Las tazas, pintas, cuartos y galones son vestigios del viejo sistema

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1.4 La física y los fenómenos cotidianos

inglés de unidades. La mayoría de los países han adoptado el sistema métrico, el cual tiene varias ventajas sobre el sistema inglés aún empleado en Estados Unidos. De ellas, la principal es el uso de prefijos estándar para representar los múltiplos de 10, lo que facilita mucho la conversión de unidades dentro del sistema. El que un kilómetro (km) sean 1 000 metros y un centímetro (cm) sea 1/100 de un metro, aunado a que los prefijos kilo- y centi- siempre signifiquen 1 000 y 100, respectivamente, hace que estas conversiones sean fáciles de recordar (tabla 1.3). Para convertir 30 centímetros en metros, todo lo que debemos hacer es recorrer el punto decimal dos lugares a la izquierda para obtener 0.30 metros. Recorrer el punto decimal dos lugares a la izquierda equivale a dividir entre 100. La tabla 1.3 es una lista de los prefijos comunes usados en el sistema métrico. (En el apéndice B se ofrece una explicación de las potencias de 10, o notación científica, la cual se utiliza para describir números muy grandes y muy pequeños.) La unidad básica de volumen en el sistema métrico es el litro (L), que es ligeramente mayor que un cuarto (1 litro = 1.057 cuartos). Un mililitro (mL) es 1/1000 de litro, un tamaño práctico para las cantidades de una receta. Un mililitro también es igual a 1 cm3, o 1 centímetro cúbico; por tanto, hay una relación simple entre las mediciones de longitud y volumen en el sistema métrico. Es difícil hallar en el sistema inglés relaciones tan simples como éstas, pues 1 taza es ¼ de un cuarto y un cuarto son 67.2 pulgadas cúbicas. El sistema métrico predomina en este libro. Usaremos las unidades inglesas ocasionalmente porque son conocidas y pueden ayudar a comprender conceptos nuevos. En Estados Unidos la mayoría de nosotros aún relaciona las distancias con millas más fácilmente que con kilómetros, por ejemplo. Sin embargo, el que haya 5 280 pies en una milla es un fastidio comparado con los ordenados 100 metros que hay en 1 kilómetro. Familiarizarse con el sistema métrico es un objetivo que merece consideración. Tu capacidad para participar en el comercio internacional (por placer o por negocios) mejorará si conoces el sistema de unidades más usado en el mundo.

tabla 1.3 Prefijos más usados del sistema métrico Significado Prefijo giga mega kilo centi mili micro nano

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en cifras 1 000 000 000 1 000 000 1 000 1/100 1/1 000 1/1 000 000 1/1 000 000 000

en notación científica 9

= 10 = 106 = 103 = 0.01 = 10–2 = 0.001 = 10–3 = 1/106 = 10–6 = 1/109 = 10–9

en palabras = 1 mil millones = 1 millón = 1 millar = 1 centésimo = 1 milésimo = 1 millonésimo = 1 mil millonésimo

Expresar un resultado o una predicción en números da una exactitud que de otro modo no sería sino una afirmación vaga. La medición es parte esencial de la ciencia y la vida diaria. El empleo de símbolos y enunciados matemáticos es una forma eficaz de exponer el resultado de las mediciones y facilita el manejo de las relaciones que hay entre las cantidades. Las unidades de medición son fundamentales en cualquier medición, y el sistema métrico de unidades usado en la mayor parte del mundo tiene numerosas ventajas sobre el viejo sistema inglés.

1.4 La física y los fenómenos cotidianos El estudio de la física puede y nos llevará a ideas tan significativas para todos como la naturaleza básica de la materia y la estructura del universo. Con ideas como éstas, ¿por qué dedicar tiempo a asuntos más mundanos como la explicación de cómo se mantiene erguida una bicicleta o cómo funciona una linterna? ¿Por qué no simplemente realizar análisis trascendentales de la naturaleza fundamental de la realidad?

¿Por qué estudiar los fenómenos cotidianos? Lo que sabemos de la naturaleza fundamental del universo se basa en conceptos tales como masa, energía y carga eléctrica, que son abstractos y no directamente accesibles a nuestros sentidos. Es posible aprender algunas palabras asociadas con estos conceptos y leer y estudiar ideas que los implican sin siquiera comprender bien su significado. Éste es uno de los riesgos de jugar con las grandes ideas sin contar con las bases apropiadas. Usar la experiencia cotidiana para formular preguntas, introducir conceptos y practicar el planteamiento de explicaciones físicas tiene la ventaja de que se trabaja con ejemplos conocidos y concretos que, al mismo tiempo, también atraen tu curiosidad natural respecto a cómo funcionan las cosas, lo cual, a su vez, puede motivarte a comprender los conceptos subyacentes. Si puedes describir y explicar claramente sucesos comunes, adquirirás confianza para manejar conceptos más abstractos. Con ejemplos conocidos, los conceptos se establecen sobre un terreno más firme y su significado se vuelve más real. Por citar un caso, la razón por la cual una bicicleta (o un trompo) permanece erguida mientras pedaleas pero se cae en cuanto dejas de hacerlo está relacionada con el concepto de cantidad de movimiento angular, tema del capítulo 8. La cantidad de movimiento angular también es importante en lo que sabemos sobre los átomos y el núcleo atómico, ambos en el campo de lo muy pequeño, y la estructura de las galaxias en el extremo opuesto de la escala (figura 1.10). No obstante, es más probable que comprendas la cantidad de movimiento angular al estudiarla primero en el contexto de las llantas de una bicicleta o de los trompos. Los principios por los que se explican los cuerpos en caída libre, como la bellota mencionada en la introducción del capítulo, se relacionan con los conceptos de velocidad, aceleración,

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Capítulo 1

Física, la ciencia fundamental

–

figura 1.10

+

La llanta de una bicicleta, un modelo de un átomo y una galaxia suponen el concepto de cantidad de movimiento

angular.

fuerza y masa, que se estudian en los capítulos 2, 3 y 4. Igual que la cantidad de movimiento angular, estos conceptos también son significativos para nuestra comprensión de los átomos y el Universo. Para comprender cómo se forman los arco iris debes conocer el comportamiento de la luz, estudiado en el capítulo 17 y que es, asimismo, relevante para la forma como pensamos respecto a los átomos y el Universo. Nuestro “sentido común” a veces induce a errores en nuestra comprensión de los fenómenos cotidianos. Ajustarlo para incorporar principios físicos bien establecidos es uno de los retos que encaramos día con día. Al realizar experimentos sencillos, en casa (como sugiere con frecuencia este libro) o en el laboratorio, lo mismo que demostraciones asociadas con nuestro curso de física tomarás parte activa en la construcción de tu propia visión científica. Aunque puede parecer un oxímoron, la experiencia cotidiana es extraordinaria. Un arco iris es un espectáculo increíble, y comprender cómo se origina no le resta valor. Añade emoción a la explicación de una manifestación hermosa con sólo un puñado de conceptos elegantes. De hecho, las personas que comprenden estas ideas ven más arco iris porque saben dónde buscar. Todos tenemos acceso a esta emoción y a la noción adicional de la naturaleza que le es inherente. Estudiar los fenómenos cotidianos puede volver las ideas abstractas más accesibles. Esas ideas son necesarias para comprender la naturaleza fundamental de la materia y el Universo, pero se encuentran más fácilmente en ejemplos conocidos. Poder explicar los fenómenos comunes da seguridad en el uso de las ideas y mejora nuestro conocimiento de lo que ocurre a nuestro alrededor.

1.5 Cómo aprovechar las características de esta obra Esta obra tiene una serie de características diseñadas para facilitarte la organización y la comprensión de los conceptos que exploraremos; entre ellas se cuentan la descripción y el esquema que aparece al principio de cada uno de los capítulos, así como el resumen al final de éstos y la estructura de las secciones individuales. Las preguntas, los ejercicios y los problemas de síntesis al final de cada capítulo también tienen

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relevancia. ¿Cómo se obtiene el mayor provecho de estas características?

Esquemas y resúmenes del capítulo Si sabes adónde te diriges antes de emprender un viaje tendrás en las manos gran parte del éxito de la misión. Los estudiantes comprenden mejor los conceptos si antes cuentan con cierta estructura o marco que les ayude a organizarlos. Tanto la descripción como el esquema de cada capítulo, aunados al resumen del final están diseñados para proporcionar ese marco. Si tienes una idea clara de lo que intentas lograr antes de leer un capítulo tu lectura será más eficaz y agradable. La lista de temas y las preguntas del esquema del capítulo sirven como lista de control para medir tu progreso a medida que lees. Cada tema numerado en el esquema, con sus preguntas correspondientes, pertenece a una sección del capítulo. El esquema está diseñado para estimular tu curiosidad al proporcionar algunos espacios en blanco (preguntas sin contestar) para que los llenes a medida que leas. Sin esos espacios tu mente no tendría la estructura para almacenar la información. Sin estructura, recordar es más difícil. Puedes usar las preguntas del esquema para comprobar la eficacia de la lectura. ¿Puedes contestarlas todas cuando terminas de leer? Cada sección también empieza con preguntas y a menudo los subtítulos de sección también se plantean como interrogantes. Al final de cada sección hay un párrafo de resumen, enmarcado con dos líneas horizontales, diseñado como ayuda para que consolides las ideas expuestas en la sección. El resumen presentado al final de cada capítulo ofrece una breve descripción de las ideas clave de cada sección, con frecuencia formuladas en forma de respuestas a las preguntas planteadas en el esquema (figura 1.11). Los resúmenes proporcionan un repaso rápido, pero no sustituyen una lectura detallada del texto principal. Al seguir la misma estructura que el esquema, el resumen te hace recordar dónde se halla una exposición completa de los conceptos. El propósito de los esquemas y los resúmenes es volver tu lectura más organizada y eficaz. El estudio de una disciplina nueva requiere la formación de patrones de pensamiento nuevos que quizá necesiten tiempo para asentarse. Los resúmenes al final de cada sección, así como al final de cada capítulo, pueden resultar útiles para que se lleve a cabo tal asentamiento. Una estructura se construye

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1.5 Cómo aprovechar las características de esta obra

resumen

Física, la ciencia fundamental

El primer capítulo presenta el espíritu científico y sus métodos, el campo de la física y el uso de las matemáticas y la medición en esta disciplina. Asimismo, brinda sugerencias sobre cómo usar con eficacia las características del libro. Entre los aspectos más importantes se hallan los siguientes:

de modelos cuantitativos, los cuales producen predicciones ciertas que pueden verificarse por medio de mediciones físicas. Las matemáticas son un lenguaje compacto para describir y manipular estos resultados. Los conceptos básicos de la física con frecuencia pueden describirse y comprenderse con un mínimo de matemáticas.

1

esquema del capítulo

1

capítulo

1

descripción del capítulo El objetivo principal de este capítulo consiste en ayudarte a comprender qué es la física y cuál es su lugar en el amplio repertorio de las ciencias. Un propósito secundario es familiarizarte con algunas de las características de esta obra y darte algunos consejos sobre cómo usarlas con eficacia.

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4 5

El campo de la física. ¿Qué es la física? ¿Cómo se relaciona con otras ciencias y con la tecnología? ¿Cuáles son sus subcampos más importantes? El papel de la medición y las matemáticas en la física. ¿Por qué las mediciones son tan importantes? ¿Por qué se usan tanto las matemáticas en la ciencia? ¿Se puede hacer física sin matemáticas? La física y los fenómenos cotidianos. ¿Cómo se relaciona la física con la experiencia cotidiana y el sentido común? ¿Cuáles son las ventajas de usar la física para explicar la experiencia común? Cómo aprovechar las características de este libro. ¿Qué características tiene este libro? ¿Cómo pueden ayudarte a obtener una base sólida en física y aprovechar al máximo el curso?

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Observación y experimentación

Generalización

20 10

Hipótesis o teoría

La física y los fenómenos cotidianos. Muchos de los 4conceptos básicos de la física se entienden más claramente si los aplicamos a los fenómenos cotidianos. Poder comprender y explicar fenómenos conocidos vuelve los conceptos más gráficos, lo cual aumenta el placer de estudiar física.

El campo de la física. La física es la más fundamental de 2las ciencias aprovechar las características de la obra. 5MuchasCómo naturales debido a que sus teorías subyacen a las explide las características de cada capítulo están diseñadas para caciones de otras ciencias. Sus principales subcampos comprenden la mecánica, la termodinámica, la electricidad y el magnetismo, la óptica, la física atómica, la nuclear, la de la materia condensada y la de partículas.

de la medición y las matemáticas en la 3física.El papel Gran parte del avance de la física puede atribuirse al uso

ayudarte a construir una estructura para aprender los conceptos básicos de la física. Estas características incluyen esquemas y resúmenes del capítulo, preguntas y párrafos de resumen dentro de cada sección, cuadros de fenómenos cotidianos y de ejemplo, así como preguntas, ejercicios, problemas de síntesis y experimentos para la casa al final de cada capítulo.

conceptos clave hipótesis, 3 teoría, 3 método científico, 3 ley empírica, 3 física clásica, 6 física moderna, 6

mecánica, 6 termodinámica, 6 electricidad y magnetismo, 6 óptica, 6 física atómica, 6 física nuclear, 6

física de partículas, 6 física de la materia condensada, 6 proporción, 8 sistema métrico, 9 potencias de 10, 9 notación científica, 9

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center

*P1. ¿Cuál de los criterios siguientes permite distinguir mejor las explicaciones científicas de las que proporciona la religión: verdad, capacidad para realizar pruebas o apelar a la auto-

ridad? ¿En qué difieren las explicaciones religiosas de las científicas? P2. Una persona que afirma tener poderes paranormales asegura que puede predecir qué carta sacará de un mazo con sólo ejercerlos. ¿Se trata de una afirmación comprobable? Explica por qué.

El esquema y el resumen del capítulo proporcionan marcos relacionados para organizar los conceptos.

capa por capa y las últimas capas estarán poco firmes si la base es inestable.

¿Cómo deben usarse las preguntas y los ejercicios? Al final de cada capítulo se halla un grupo de preguntas, seguido por un conjunto de ejercicios y, finalmente, por un pequeño número de problemas de síntesis. Tu comprensión del capítulo mejorará si anotas las respuestas a las preguntas y ejercicios, ya sea que te los asigne tu instructor o que estudies de forma autodidacta. Las ideas expuestas en cada capítulo no pueden dominarse a la perfección sin este tipo de práctica. Las preguntas son cruciales para ayudarte a corregir en tu mente los conceptos y las distinciones importantes. La mayoría de ellas requiere una respuesta breve y una explicación. Algunas preguntas, marcadas con asterisco, son más abiertas y exigen respuestas más completas. Es buena idea escribir las explicaciones con frases claras cuando respondas a esas preguntas, pues sólo mediante el reforzamiento se volverán parte de ti. Además, cuando explicas con claridad algo a alguien más significa que lo comprendes bien. Una pregunta y una respuesta de muestra aparecen en el cuadro de ejemplo 1.1. Los ejercicios están diseñados para que practiques el uso de las ideas y las fórmulas relacionadas para hacer cálculos

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El espíritu científico. ¿Qué es el método científico? ¿En qué se diferencian las explicaciones científicas de las de otro tipo?

unidad uno

figura 1.11

El espíritu científico. Las explicaciones científicas se desarrollan por medio de la generalización de observaciones de la naturaleza, la formación de hipótesis o teorías y después la prueba de estas teorías mediante experimentos y observaciones ulteriores. Este proceso se llama método científico, pero la práctica puede apartarse en varias formas de este modelo.

simples. También ayudan a consolidar tu comprensión de los conceptos al darte una idea de las unidades y los tamaños de las cantidades implicadas. Aun cuando muchos de los ejercicios son lo suficientemente sencillos para que los resuelvas mentalmente sin hacer anotaciones, te recomendamos escribir la información conocida, la que se busca y la solución, como se muestra en el cuadro de ejemplo 1.2. Esto desarrolla hábitos

cuadro de ejemplo 1.1 Ejercicio: ¿qué tan confiable es la astrología? Pregunta: los astrólogos sostienen que muchos sucesos de la vida están determinados por las posiciones de los planetas en relación con las estrellas. ¿Esta hipótesis es comprobable? Respuesta: sí, podría comprobarse si los astrólogos estuvieran dispuestos a hacer predicciones explícitas sobre sucesos futuros que observadores independientes pudieran verificar. Pero como no las hacen y prefieren realizar predicciones con frases vagas sujetas a una interpretación amplia, impiden llevar a cabo pruebas contundentes.

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12

Capítulo 1

Física la ciencia fundamental

cuadro de ejemplo 1.2 Ejercicio: conversiones Ejercicio: si te dicen que hay 2.54 cm en 1 pulgada, a) ¿Cuántos centímetros hay en 1 pie (12 pulgadas)? b) ¿Cuántos metros representa 1 pie? a) Conocidos: 1 pulg. = 2.54 cm 1 pie = 12 pulg. × 2.54 cm/pulg. 1 pie = 12 pulgadas 1 pie = 30.5 cm 1 pie = ? (en cm) b) 1 pie 1m 1 pie

= 30.5 cm = 100 cm = ? (en m)

30.5 cm 1 pie = ———— 100 cm/m 1 pie = 0.305 m

de trabajo meticulosos que te ayudarán a evitar errores por descuido. La mayoría de los estudiantes considera que estos ejercicios son más fáciles que las preguntas. Los ejercicios de ejemplo distribuidos a lo largo de cada capítulo pueden ayudarte a empezar. Los problemas de síntesis son más variados que las preguntas o los ejercicios. Con frecuencia tienen características de ambos. Aunque no necesariamente son más difíciles que las preguntas o los ejercicios, requieren más tiempo y a veces se utilizan para ampliar las ideas más allá de lo expuesto en el capítulo. Resolver uno o dos de estos problemas por capítulo te ayudará a adquirir seguridad. En particular, se recomiendan para los estudiantes que han resuelto los ejercicios y quieren explorar un tema con más profundidad. Las respuestas a los ejercicios impares, a los problemas de síntesis impares y a preguntas selectas se incluyen en el apéndice D, al final del libro. Buscar la respuesta antes de intentar resolver el problema resulta contraproducente, pues te priva de practicar el uso del razonamiento. En cambio, comprobar la respuesta después de haber resuelto un ejercicio puede darte

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seguridad. Las respuestas deben usarse sólo para confirmar o mejorar tu propio razonamiento.

Cuadros de experimentos y observaciones de los fenómenos cotidianos para la casa Resulta útil leer o conversar sobre conceptos de física, pero no hay sustituto para la experiencia práctica con los fenómenos. Ya tienes una vasta experiencia con muchos de ellos, pero quizá no la has relacionado con los conceptos que vas a aprender. Ver las cosas de forma diferente te convertirá en un observador más astuto. Además de los experimentos para la casa al final de cada capítulo, con frecuencia sugerimos experimentos más simples en el texto principal o en los consejos de estudio. Recomendamos ampliamente que hagas estas observaciones y lleves a cabo los experimentos. Las demostraciones en clase pueden ayudarte, pero al hacer algo tú mismo se queda grabado vívidamente en tu memoria. Es emocionante descubrir cosas por uno mismo y verlas bajo una nueva luz. Los cuadros en que se analizan los fenómenos cotidianos también te dan práctica en la aplicación de los conceptos de la física. El grueso de los fenómenos estudiados en estos cuadros son conocidos; los cuadros nos permiten explorarlos de manera más rigurosa. La participación en estas investigaciones en torno a los fenómenos cotidianos ayuda a aportar ideas para la casa. Tener un marco en el cual colocar ideas nuevas es crucial para comprenderlas y ponerlas en contexto. Este libro tiene características diseñadas explícitamente para ayudarte a construir esa estructura; entre ellas se cuentan las descripciones, los esquemas y los resúmenes de los capítulos, así como la estructura y los resúmenes por sección. El tiempo que dediques a las preguntas, los ejercicios, los problemas de síntesis y los experimentos para la casa determinará tu diversión y tu éxito. El aprendizaje de la ciencia, en particular de la física, no es un proceso pasivo. Necesita participación activa.

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Resumen

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resumen El primer capítulo presenta el espíritu científico y sus métodos, el campo de la física y el uso de las matemáticas y la medición en esta disciplina. Asimismo, brinda sugerencias sobre cómo usar con eficacia las características del libro. Entre los aspectos más importantes se hallan los siguientes:

de modelos cuantitativos, los cuales producen predicciones ciertas que pueden verificarse por medio de mediciones físicas. Las matemáticas son un lenguaje compacto para describir y manipular estos resultados. Los conceptos básicos de la física con frecuencia pueden describirse y comprenderse con un mínimo de matemáticas.

El espíritu científico. Las explicaciones científicas se 1desarrollan por medio de la generalización de observaciones de la

90

naturaleza, la formación de hipótesis o teorías y después la prueba de estas teorías mediante experimentos y observaciones ulteriores. Este proceso se llama método científico, pero la práctica puede apartarse en varias formas de este modelo.

80 70 60 50 40

Observación y experimentación

30 20 10

Generalización

Hipótesis o teoría

2

El campo de la física. La física es la más fundamental de las ciencias naturales debido a que sus teorías subyacen a las explicaciones de otras ciencias. Sus principales subcampos comprenden la mecánica, la termodinámica, la electricidad y el magnetismo, la óptica, la física atómica, la nuclear, la de la materia condensada y la de partículas. de la medición y las matemáticas en la 3física.El papel Gran parte del avance de la física puede atribuirse al uso

4

La física y los fenómenos cotidianos. Muchos de los conceptos básicos de la física se entienden más claramente si los aplicamos a los fenómenos cotidianos. Poder comprender y explicar fenómenos conocidos vuelve los conceptos más gráficos, lo cual aumenta el placer de estudiar física. aprovechar las características de la obra. 5MuchasCómo de las características de cada capítulo están diseñadas para ayudarte a construir una estructura para aprender los conceptos básicos de la física. Estas características incluyen esquemas y resúmenes del capítulo, preguntas y párrafos de resumen dentro de cada sección, cuadros de fenómenos cotidianos y de ejemplo, así como preguntas, ejercicios, problemas de síntesis y experimentos para la casa al final de cada capítulo.

conceptos clave hipótesis, 3 teoría, 3 método científico, 3 ley empírica, 3 física clásica, 6 física moderna, 6

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mecánica, 6 termodinámica, 6 electricidad y magnetismo, 6 óptica, 6 física atómica, 6 física nuclear, 6

física de partículas, 6 física de la materia condensada, 6 proporción, 8 sistema métrico, 9 potencias de 10, 9 notación científica, 9

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Capítulo 1

Física la ciencia fundamental

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P9. Con base en las breves descripciones de la tabla 1.2, ¿cuál subcampo de la física está relacionado con la explicación de los arco iris? ¿Y cuál subcampo está relacionado con la descripción de cómo cae una bellota? Explica por qué.

*P1. ¿Cuál de los criterios siguientes permite distinguir mejor las explicaciones científicas de las que proporciona la religión: verdad, capacidad para realizar pruebas o apelar a la autoridad? ¿En qué difieren las explicaciones religiosas de las científicas?

P10. Con base en las descripciones de la tabla 1.2, ¿qué subcampos de la física están relacionados con la explicación de por qué se funde un cubo de hielo? ¿Cuáles subcampos están relacionados con la explicación de cómo vuela un avión? Explica por qué.

P2. Una persona que afirma tener poderes paranormales asegura que puede predecir qué carta sacará de un mazo con sólo ejercerlos. ¿Se trata de una afirmación comprobable? Explica por qué.

P11. Se dice que la rapidez se define por medio de la relación s = d/t, donde s representa la rapidez, d la distancia y t el tiempo. Expresa esta relación con palabras, usando símbolos no matemáticos.

P3. Los historiadores a veces desarrollan teorías para explicar las pautas observadas en la historia de diferentes países. ¿Tales teorías son comprobables en el mismo sentido que una teoría en física? Explica por qué.

P12. El impulso se define como la fuerza media que actúa sobre un objeto multiplicada por el tiempo en que actúa la fuerza. Si representamos el impulso con I, la fuerza media con F y el tiempo con t, ¿I = F/t es una manera correcta de expresar esta definición? Explica por qué.

*P4. Con los años, han existido varias afirmaciones creíbles hechas por observadores experimentados de avistamientos de objetos voladores no identificados (ovnis). A pesar de ello, los científicos han rehuido el compromiso de realizar un estudio serio sobre los ovnis, aun cuando hay búsquedas continuas de señales de inteligencia extraterrestre. ¿Por qué razones crees que los científicos no han tomado los ovnis en serio? ¿Qué problemas identificas para estudiarlos? P5. Imagina que tu automóvil no arranca y formulas la hipótesis de que la batería está vacía. ¿Cómo la probarías? Explícalo. P6. Piensa que tu teléfono no ha sonado en varios días, pero una amiga te dice que te ha llamado. Propón dos hipótesis que podrían explicar por qué el teléfono no ha sonado e indica cómo las probarías. *P7. Un amigo formula la hipótesis de acuerdo con la cual el color de los calcetines que use determinado día, cafés o negros, determina si la bolsa de valores subirá o bajará. Puede citar varios casos en los que esta hipótesis se ha verificado, aparentemente. ¿Cómo evaluarías esta hipótesis? P8. ¿Cuál de los tres campos de la ciencia, biología, química o física, dirías que es el más fundamental? Explica al describir en qué sentido uno es más fundamental que los demás.

P13. La distancia que recorre un cuerpo que arranca del reposo y es sometido a una aceleración constante es la mitad de la aceleración multiplicada por el cuadrado del tiempo. Inventa tus propios símbolos y expresa este enunciado en forma simbólica. P14. ¿Cuáles son las principales ventajas del sistema métrico de unidades sobre el viejo sistema inglés? Explícalas. P15. ¿Cuáles son las ventajas, si las hay, de seguir usando el sistema inglés de unidades en la industria y el comercio en vez de convertir al sistema métrico? Explícalas. P16. ¿Cuál sistema de unidades, el métrico o el inglés, se usa más comúnmente en el mundo? Explica por qué. P17. El ancho de la mano de un hombre se usó como unidad de longitud común hace varios cientos de años. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de usar una unidad de este tipo? Explícalas. P18. Un mapa pirata indica que un tesoro se enterró a 50 pasos al este y 120 pasos al norte de una roca grande. ¿Sabrías dónde excavar? Explica por qué.

ejercicios E1. Una receta de panqués diseñada para tres personas requiere 600 mL de harina. ¿Cuántos mililitros de harina usarías si tuvieras que preparar la receta para cuatro personas?

E3. Se estima que seis pizzas grandes son suficientes para 30 estudiantes que asisten a la reunión del club de física. ¿Cuántas pizzas se necesitan si el grupo aumenta a 50 estudiantes?

E2. Una receta para preparar 12 magdalenas glaseadas requiere 900 mL de harina. ¿Cuántos mililitros de harina usarías si quisieras preparar ocho magdalenas?

E4. Un hombre utiliza su mano para medir el ancho del tablero de una mesa. Si su mano tiene un ancho de 12 cm en su punto más ancho, y el tablero mide 10.5 manos de ancho, ¿cuál es el ancho del tablero en cm? ¿Y en metros?

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Experimentos y observaciones para la casa E5. El pie de una mujer mide 9 pulgadas de largo. Si mide la longitud de una habitación, colocando un pie directamente en frente del otro, y descubre que mide 15 de sus pies, ¿cuál es la longitud de la habitación en pulgadas? ¿Y en pies? E6. Un libro mide 220 mm de ancho. ¿Cuál es este ancho en centímetros? ¿Y en metros? E7. Un cráter tiene una masa de 8.60 kg (kilogramos). ¿Cuál es la masa en gramos? ¿Y en miligramos? E8. A un tanque le caben 2.18 kL (kilolitros) de agua. ¿A cuántos litros equivale esa cantidad? ¿Y a cuántos mililitros?

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E9. Una milla mide 5 280 pies de largo. El ejercicio del cuadro de ejemplo 1.2 muestra que 1 pie es aproximadamente 0.305 m. ¿Cuántos metros hay en una milla? ¿Y kilómetros (km)? E10. Si una milla mide 5 280 pies de longitud y una yarda 3 ft, ¿cuántas yardas hay en una milla? E11. El área se obtiene multiplicando el largo de una superficie por el ancho. Si un piso mide 6.25 m2, ¿cuántos centímetros cuadrados representa esto? ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en 1 m2?

problemas de síntesis PS1. Los astrólogos afirman que pueden predecir sucesos importantes en tu vida por medio de la configuración de los planetas y el signo astrológico bajo el que naciste. Las predicciones astrológicas, llamadas horóscopos, pueden encontrarse en la mayoría de los periódicos. Encuentra algunas en un diario y responde a estas preguntas:

a) ¿Son comprobables? b) Elige la predicción de tu signo; ¿cómo comprobarías su precisión, digamos durante el mes siguiente? c) ¿Por qué los diarios imprimen esos textos? ¿Qué atractivo tienen?

experimentos y observaciones para la casa EC1. Mira alrededor de tu casa, automóvil o dormitorio para ver qué herramientas de medición (reglas, tazas de medidas, velocímetros, etc.) tienes a la mano. ¿Cuál de ellas, si las hay, proporciona unidades tanto inglesas como métricas? Para las que lo hacen, determina el factor de conversión necesario para pasar las unidades inglesas a métricas.

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unidad

Uno

La revolución newtoniana

E

Aunque la teoría newtoniana no describe con precisión el movimiento de cuerpos muy rápidos (que ahora se explica con la teoría de la relatividad de Einstein) ni muy pequeños (para lo cual debe usarse la mecánica cuántica), aún se utiliza mucho en la física y la ingeniería para dar cuenta del movimiento y analizar las estructuras. En los últimos trescientos años, esa teoría ha ejercido enorme influencia en esferas del pensamiento que trascienden las ciencias naturales y merece ser comprendida por todo aquel que se precie de gozar de una buena educación. Uno de los aspectos medulares de la teoría de Newton es la segunda ley del movimiento, que establece que la aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta ejercida sobre él e inversamente proporcional a su masa. Al empujar un cuerpo éste se acelera en la dirección de la fuerza aplicada. Contrario a la intuición y a la doctrina aristotélica, la aceleración, no la velocidad, es proporcional a la fuerza aplicada. Para comprender esta idea examinaremos detalladamente la aceleración, la cual supone un cambio en el movimiento de un cuerpo. En vez de sumergirnos en la teoría de Newton, comenzaremos esta unidad estudiando las ideas de Galileo sobre el movimiento y la caída libre. Ello nos proporcionará las bases para luego abordar las ideas de Newton. Para entender bien debemos encaramarnos en los hombros de estos gigantes.

n 1687 Isaac Newton publicó su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica o Principios matemáticos de la filosofía natural. En este tratado, con frecuencia llamado simplemente Principia, Newton expuso su teoría del movimiento, la cual comprendía las tres leyes acerca de ese fenómeno más la ley de la gravitación universal. Juntas, esas leyes explican la mayor parte de lo que en ese entonces se conocía respecto al movimiento de los cuerpos cerca de la superficie de la Tierra (mecánica terrestre), así como al movimiento de los planetas alrededor del Sol (mecánica celeste). A lo largo de su trabajo, Newton tuvo que inventar las técnicas matemáticas designadas en conjunto cálculo. La teoría de Newton de la mecánica descrita en los Principia fue un logro intelectual increíble que transformó la ciencia y la filosofía. Sin embargo, la revolución no comenzó con Newton. El verdadero rebelde fue el científico italiano Galileo Galilei, quien murió en 1642, unos años después del nacimiento de Newton. Galileo defendió la postura del sistema solar centrado en el Sol, propuesta cien años antes por Nicolás Copérnico, y por ello lo condenó la Inquisión. También desafió la opinión ortodoxa, basada en las ideas de Aristóteles, respecto al movimiento de los cuerpos comunes. En el proceso, desarrolló muchos de los principios de mecánica terrestre que más tarde Newton incorporó en su teoría.

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Descripción del movimiento

esquema del capítulo

1

capítulo

unidad uno

2 GRIFFITH 02.indd 18

descripción del capítulo El propósito principal de este capítulo consiste en dar definiciones y ejemplos claros, como el del movimiento del automóvil descrito al principio, de los términos usados en física para explicar el movimiento. Rapidez, velocidad y aceleración son conceptos cruciales para el análisis del movimiento que se emprenderá en capítulos posteriores. Una descripción exacta es el primer paso para comprender. Sin ella nos formaríamos ideas vagas que no están lo suficientemente bien definidas para probar nuestras explicaciones. Cada tema numerado se basa en lo expuesto en la sección anterior, así que es importante entenderlo muy bien antes de proseguir. Las distinciones entre rapidez, velocidad y aceleración son particularmente importantes.

2 3 4 5

Rapidez media e instantánea. ¿Cómo describimos cuán rápido se mueve un cuerpo? ¿Cuál es la diferencia entre rapidez instantánea y rapidez media? Velocidad. ¿Cómo introducimos la dirección en las descripciones del movimiento? ¿Cuál es diferencia entre rapidez y velocidad? Aceleración. ¿Cómo describimos los cambios en el movimiento? ¿Cuál es la relación entre velocidad y aceleración? Gráficas de movimiento. ¿Cómo se usan las gráficas para describir el movimiento? ¿Cómo pueden ayudarnos a comprender mejor la rapidez, la velocidad y la aceleración? Aceleración uniforme. ¿Qué ocurre cuando un cuerpo se acelera a velocidad constante? ¿Cómo varían la velocidad y la distancia recorrida con el tiempo cuando un cuerpo se acelera de manera uniforme?

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2.1 Rapidez media e instantánea

I

magina que estás en un automóvil detenido en un crucero. Después de esperar a que pasen los coches, arrancas con la señal de siga, acelerando hasta los 56 kilómetros por hora (35 millas por hora). Mantienes esa rapidez hasta que un perro se atraviesa corriendo frente a tu auto y pisas el freno, con lo que la reduces abruptamente a 10 km/h (figura 2.1). Una vez que pasa el can, aceleras de nuevo a 56 km/h. Recorres una cuadra más y llegas a otra señal de alto, así que bajas gradualmente la rapidez a cero. Todos podemos identificarnos con esta descripción. Medir la rapidez en kilómetros por hora (mi/h) puede resultar más cercano que hacerlo en millas por hora (km/h), aunque los velocímetros de los autos muestran ambas medidas. El uso del término aceleración para describir un aumento en la rapidez también es común. No obstante, en física esos dos conceptos, rapidez y aceleración, tienen significados más precisos y especializados que los vuelven aún más útiles

figura 2.1

para describir con exactitud lo que ocurre. Esos significados a veces difieren de los del uso cotidiano. Aceleración, por ejemplo, es el término empleado por los físicos para describir cualquier situación en la que haya un cambio en la velocidad, aun cuando la rapidez disminuya o la dirección cambie. ¿Cómo definirías rapidez a un hermano o hermana menor? ¿Significa lo mismo que velocidad? ¿Qué hay respecto a la aceleración: se trata de una noción vaga o tiene un significado preciso? ¿Es lo mismo que velocidad? Las definiciones claras son esenciales para desarrollar explicaciones claras. El lenguaje que usan los físicos es un tanto diferente del que usamos nosotros a diario, aun cuando las ideas están relacionadas y se ocupen las mismas palabras. ¿Cuáles son los significados exactos que los físicos dan a estos conceptos y cómo pueden ayudarnos a comprender el movimiento?

Cuando el automóvil frena porque se atraviesa el perro hay un cambio súbito en la rapidez.

2.1 Rapidez media e instantánea Puesto que manejar o viajar en automóvil son actividades comunes en la vida cotidiana, estamos familiarizados con el concepto de rapidez. La mayoría de nosotros tiene experiencia en la lectura de un velocímetro (aunque tal vez algunos de nosotros no hayamos logrado leerlo con suficiente cuidado para evitar la atención de los agentes de tránsito). Si describes cuán rápido se mueve algo, como lo hicimos en el ejemplo de la introducción, estás hablando de rapidez.

¿Cómo se define la rapidez media? ¿Qué queremos expresar cuando decimos que viajamos a una rapidez de 55 mi/h? Significa que recorreremos una distancia de 55 millas en un tiempo de 1 hora si viajamos ininterrumpidamente a esa rapidez. Observa con detenimiento la estructura de esta descripción: hay un número, 55, y algunas unidades o dimensiones, millas por hora. Los números y las unidades son parte esencial de la descripción de la rapidez. El término millas por hora implica que las millas se dividen entre las horas para obtener la rapidez. Ésta es la manera exacta como calcularíamos la rapidez media de un viaje: piensa

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19

que recorremos una distancia de 260 millas en un tiempo de 5 horas, como se muestra en el mapa de carreteras de la figura 2.2. La rapidez media es, por tanto, igual a 260 millas divididas entre 5 horas, lo que es igual a 52 mi/h. Este tipo de cálculo resulta familiar para casi todos nosotros. También podemos expresar con palabras la definición de rapidez media como sigue: La rapidez media es igual a la distancia recorrida divida entre el tiempo de viaje.

o distancia recorrida Rapidez media = ————–——— tiempo de viaje

Podemos representar esta misma definición mediante símbolos, como sigue: s = d—, t

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Capítulo 2

Descripción del movimiento

120 mi

2.4 h

cuadro de ejemplo 2.1 Conversión de unidades

h

2. 6

14

0

m i

Kingman

Flagstaff

1 km = 0.6214 millas 1 milla = 1.609 km

Convierte 70 kilómetros por hora en millas por hora. ( )( ) millas km 70 —— 0.6214 ——— = 43.5 MPH h km Convierte 70 kilómetros por hora en metros por segundo. ( )( ) km m 70 —— 1 000 –— = 70 000 m/h h km ( ) s Pero 1 h = (60 min) 60 —— = 3 600 s min

Phoenix

2.2 Mapa que muestra un viaje de 260 millas, con tiempos de manejo para las dos etapas del recorrido.

figura

donde la letra s denota rapidez, d distancia y t tiempo. Como se observó en el capítulo 1, las letras o símbolos son una forma abreviada de expresar lo que podría decirse, con un poco más de esfuerzo y espacio, por medio de palabras. Juzga por ti mismo cuál es la forma más eficiente de expresar esta definición de rapidez media. La mayoría de las personas considera la expresión simbólica más fácil de recordar y usar. La rapidez media que acabamos de definir es la razón a la que se recorre la distancia en el tiempo. Las razones siempre representan una cantidad dividida entre otra. Galones por minuto, pesos por dólar y puntos por juego son ejemplos de razones. Si estamos considerando las razones de tiempo, la cantidad entre la que dividimos es el tiempo, como ocurre con el caso de la rapidez media. Muchas cantidades con las que trabajaremos se relacionan con razones de tiempo.

¿Cuáles son las unidades de la rapidez? Las unidades son parte esencial de la descripción de la rapidez. Imagina que dices que vas a 70, sin mencionar las unidades. En Estados Unidos, esto probablemente se entendería como 70 mi/h, ya que es la unidad que se usa con más frecuencia. En Europa las personas quizá supondrían que estás hablando de 70 km/h, rapidez considerablemente menor. Si no mencionas las unidades, no te comunicarás con eficacia. Es fácil traducir una unidad en otra si conocemos los factores de conversión. Por ejemplo, si queremos convertir kilómetros por hora en millas por hora debemos conocer la relación entre millas y kilómetros. Un kilómetro es aproximadamente 6/10 de una milla (0.6214, para ser más preciso). Como se muestra en el cuadro de ejemplo 2.1, 70 km/h equivale a 43.5 mi/h. El proceso supone una multiplicación o una división por el factor de conversión apropiado.

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70 000 m/h ————— = 43.5 MPH 3 600 s/h Las unidades tachadas indican cancelación.

Las unidades de rapidez siempre serán una distancia dividida entre un tiempo. En el sistema métrico, la unidad fundamental de rapidez es metros por (o mejor, entre) segundo (m/s). En el cuadro de ejemplo 2.1 también se muestra la conversión de kilómetros por hora en metros por segundo, realizada como un proceso de dos pasos. Como puedes ver, 70 km/h también puede expresarse como 19.4 m/s o 20 m/s, aproximadamente. Este tamaño es práctico para estudiar la rapidez de cuerpos comunes. (Como aparece en el cuadro de ejemplo 2.2, la unidad conveniente para medir el crecimiento del pasto tiene un tamaño muy diferente.) En la tabla 2.1 aparecen algunas expresiones de rapidez conocidas indicadas en millas por hora,

cuadro de ejemplo 2.2 Ejercicio: observar el crecimiento del pasto Pregunta: las unidades km/h o m/s tienen un tamaño apropiado para el movimiento de automóviles o personas. Sin embargo, muchos otros procesos ocurren con mayor lentitud. ¿Qué unidades serían apropiadas para medir la rapidez a la que crece una brizna de hierba? Respuesta: cuando el pasto está bien fertilizado y regado, no es inusual que crezca de 3 a 6 centímetros en una semana, lo cual puede verse al medir la longitud de la hierba cortada después de podar el césped. Si medimos la rapidez en m/s, obtendríamos un número sumamente pequeño que no proporcionaría una buena idea intuitiva de la razón de crecimiento. Las unidades cm/semana o mm/día brindan una mejor indicación de esta rapidez.

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21

2.1 Rapidez media e instantánea

tabla 2.1 120

Rapidez conocida en diferentes unidades

Rebase del camión

20 MPH = 32 km/h = 9 m/s 60 MPH = 97 km/h = 27 m/s 80 MPH =130 km/h = 36 m/s 100 MPH =160 km/h = 45 m/s

kilómetros por hora y metros por segundo para darte una idea de sus relaciones.

Rapidez (km/h)

40 MPH = 64 km/h = 18 m/s

90

60 Detrás de un camión lento 30

¿Qué es la rapidez instantánea? Si viajamos una distancia de 260 millas en 5 horas, como en el ejemplo anterior, ¿será posible que todo el recorrido se lleve a cabo a una velocidad de 52 mi/h? Desde luego que no; la rapidez aumenta y disminuye conforme el camino asciende o desciende, cuando rebasamos vehículos más lentos, cuando nos detenemos a descansar o cuando se divisa la patrulla en el horizonte. Si queremos saber a qué rapidez nos movemos en un instante específico, miramos el velocímetro, que indica la rapidez instantánea (figura 2.3). ¿Cuál es la diferencia entre la rapidez instantánea y la media? La primera expresa la rapidez con la que nos movemos en un instante concreto, pero informa muy poco sobre cuánto tomará recorrer varias millas, a menos que la rapidez se mantenga constante. Por su parte, la rapidez media permite calcular cuánto podría durar un viaje largo, pero dice muy poco sobre la variación en la rapidez durante el viaje. Una descripción más completa de la variación de la rapidez de un automóvil durante cierto tramo del viaje podría proporcionarse mediante una gráfica como la que se muestra en la figura 2.4, donde cada punto representa la rapidez instantánea en el tiempo, indicado en el eje horizontal. Aun cuando todos tenemos una idea intuitiva del significado de la rapidez instantánea gracias a que hemos visto un

45

55

65

35

75

25 15 5

60 40 20 0

0

80 100 120 140

85 95

160

km/h

180

105

MPH

2.3 Velocímetro con dos escalas para medir la rapidez instantánea en mi/h y km/h.

figura

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Entrada en la carretera 5

10 15 Tiempo (minutos)

Semáforo 20

2.4 Variaciones en la rapidez instantánea en cierta parte de un viaje en una carretera local.

figura

velocímetro, el cálculo de esa cantidad plantea ciertos problemas que no se presentan al definir la rapidez media. Podríamos decir que la rapidez instantánea es la razón de la distancia que se cubre en un instante de tiempo, pero ¿cómo calculamos esa razón? ¿Qué intervalo de tiempo debemos usar? ¿Qué es un instante de tiempo? La solución a este problema consiste simplemente en elegir un intervalo de tiempo muy breve durante el cual se recorre una distancia muy corta y en el que la rapidez no cambia de forma considerable. Si sabemos, por ejemplo, que en 1 segundo se recorrió una distancia de 20 metros, dividir 20 metros entre 1 segundo para obtener una rapidez de 20 m/s brinda una buena estimación de la rapidez instantánea, siempre que esa rapidez no cambie mucho durante ese segundo. Si la rapidez se modificara súbitamente tendríamos que elegir un intervalo de tiempo aún más pequeño. En principio, podemos elegir intervalos tan breves como queramos, pero en la práctica resulta difícil medir cantidades muy chicas. Si reunimos estas ideas en una definición en palabras, podríamos enunciarla como sigue: La rapidez instantánea es la razón a la que se recorre la distancia en un instante específico. Se obtiene calculando la rapidez media en un intervalo de tiempo muy breve, en el que la rapidez no cambia de forma considerable.

La rapidez instantánea se relaciona íntimamente con el concepto de rapidez media, pero supone intervalos de tiempo muy cortos. Cuando se analiza la circulación de vehículos la rapidez media es decisiva, como se muestra en el cuadro de fenómenos cotidianos 2.1.

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Capítulo 2

Descripción del movimiento

fenómenos cotidianos

cuadro 2.1

Transiciones en la circulación de vehículos Situación. Jennifer viaja todos los días por la autopista para ir al trabajo en la ciudad. A diario, a medida que se acerca a su destino observa en los mismos lugares los mismos patrones en la circulación. En esa circulación su auto se desplaza a una rapidez aproximada de 60 mi/h cuando de pronto todo se para en seco. El tráfico frena, avanza brevemente y luego se adapta a un modo intermitente con una rapidez que va de 10 a 30 mi/h. A menos que haya un accidente, el resto del viaje a la ciudad prosigue de esta manera.

El tráfico de los carriles superiores fluye libremente con una distancia adecuada entre los automóviles a fin de permitir una rapidez mayor. El tráfico de más alta densidad en los carriles inferiores se mueve mucho más lento.

¿Qué causa esos patrones? ¿Por qué el tráfico se detiene cuando no hay razón evidente, digamos, un accidente? ¿Por qué los semáforos de las vías de acceso y salida parecen contribuir al congestionamiento? Responder a preguntas como éstas conciernen al campo cada vez más amplio de la ingeniería de tráfico. Análisis. Aunque un análisis global de la circulación de automóviles es complejo, algunas ideas sencillas pueden explicar muchos de los patrones que Jennifer observa. La densidad vehicular, medida en automóviles por milla, es un factor clave. Al añadirse vehículos a las vías de acceso aumenta la densidad. La distancia entre los autos varía con la rapidez, así que ésta y la densidad están relacionadas. Cuando Jennifer y otras personas van a su trabajo a 60 mi/h, deben mantener una distancia de varios automóviles entre sí. La mayoría de los conductores lo hace así mecánicamente, aunque siempre hay alguien que sigue demasiado cerca o va pegado al vehículo de adelante. Ir tan próximo al auto delantero conlleva el riesgo de un choque si la circulación se detiene de repente. Cuando se incorporan más vehículos a una vía de acceso, la densidad aumenta, lo que reduce la distancia entre ellos. A medida que esa distancia disminuye, los conductores deben reducir su rapidez para mantener un espacio de frenado seguro. Si esto ocurriera uniformemente, habría una disminución gradual de la rapidez media de la circulación para adecuarse a la mayor densidad. Sin embargo, generalmente no ocurre así.

(continúa)

La rapidez media se obtiene dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo necesario para hacerlo; por tanto, es la razón media a la que se recorre la distancia. La rapidez instantánea es la razón a la que se recorre la distancia en un instante concreto y se calcula considerando lapsos muy pequeños o leyendo el velocímetro. La rapidez media es útil para estimar cuánto tiempo durará un viaje, pero la policía de caminos está más interesada en la rapidez instantánea.

2.2 Velocidad ¿Las palabras rapidez y velocidad significan lo mismo? Con frecuencia se usan de manera indistinta en el lenguaje cotidiano, pero los físicos hacen una distinción importante entre ambos términos, la cual se relaciona con la dirección: ¿hacia dónde se mueve el objeto? Esta distinción resulta esencial para

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comprender la teoría del movimiento de Newton (expuesta en el capítulo 4); por tanto, no sólo es cuestión de capricho o jerigonza.

¿Cuál es la diferencia entre rapidez y velocidad? Imagina que conduces un automóvil para tomar una curva (figura 2.5) y que mantienes una rapidez constante de 60 km/h. En este caso, ¿tu velocidad también es constante? No, ya que la velocidad se refiere tanto a la dirección del movimiento de un objeto como a la rapidez con que se desplaza. La dirección del movimiento cambia a medida que el automóvil recorre la curva. Para exponer de manera simple esta distinción, la rapidez, según la hemos definido, indica cuán rápido se mueve un objeto pero no informa la dirección en que lo hace. La velocidad lleva implícita la idea de dirección. Para especificar una

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2.2 Velocidad

Un porcentaje considerable de conductores intentará mantener su rapidez de 50 a 60 mi/h aun cuando no sea aconsejable debido al aumento de la densidad vehicular. Ello crea una situación inestable. En algún punto, en general cerca de una vía de acceso, la densidad se vuelve demasiado grande para mantener tal rapidez. En ese punto se presenta un descenso súbito de la rapidez media y un gran aumento de la densidad local. Como se muestra en el dibujo, los autos se separan unos de otros una distancia menor a un automóvil cuando se detienen o avanzan muy lento. Una vez que la rapidez media de algunos autos se reduce a menos de 10 mi/h, los vehículos que se mueven de 50 a 60 mi/h comienzan a formarse detrás de este congestionamiento. Como esto no ocurre uniformemente, algunos vehículos deben frenar por completo, lo que torna aún más lenta la circulación. En el extremo frontal del congestionamiento la densidad se reduce debido a la circulación más lenta que hay atrás. Los autos pueden entonces avanzar a una rapidez constante con la nueva densidad, tal vez a alrededor de 30 mi/h. Si cada vehículo se moviera con la rapidez apropiada, la circulación sería uniforme y se adaptaría mejor a la mayor densidad. No obstante, es más frecuente que los conductores aprensivos excedan la rapidez apropiada y ocasionen fluctuaciones en la rapidez media mientras los vehículos comienzan a formar de nuevo la fila. Observa que en este cuadro estamos utilizando el concepto de rapidez media con dos significados distintos. Uno es la rapidez media de un vehículo individual a medida que su rapidez instantánea

N v2

E

B

v1

A

2.5 La dirección de la velocidad cambia cuando el automóvil se mueve por la curva; en consecuencia, la velocidad v2 no es la misma que la velocidad v1 aun cuando la rapidez no haya cambiado.

figura

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aumenta y disminuye. El otro es la rapidez media de la circulación vehicular en general, que abarca muchos vehículos. Cuando los autos circulan libremente la rapidez media de algunos de ellos puede diferir. Cuando hay un congestionamiento y los vehículos se mueven con lentitud, la rapidez media de algunos de ellos es, en esencia, la misma, al menos en un carril. Los semáforos de las vías de acceso que permiten a los vehículos entrar uno a la vez a intervalos apropiados pueden ayudar a integrar uniformemente los ahutos a la circulación existente, lo cual reduce los cambios repentinos en la rapidez debidos al crecimiento de la densidad. Una vez que esta última aumenta más allá de cierto grado, es inevitable que haya una reducción en la rapidez de la circulación. El cambio abrupto de la circulación de baja densidad y gran rapidez a una mayor densidad que circula lentamente es análogo a una transición de fase de un gas a un líquido. (Las transiciones de fase se estudian en el capítulo 10.) Los ingenieros de tráfico han utilizado esta analogía para comprender mejor el proceso. Si pudiéramos controlar y coordinar de manera automática la rapidez de todos los vehículos en la autopista ésta podría soportar un volumen mucho mayor de autos a una razón de circulación más uniforme. La rapidez podría ajustarse para permitir cambios en la densidad y se podría mantener una distancia entre vehículos más pequeña a una rapidez más alta, pues todos los vehículos se desplazarían de forma sincronizada. Quizá en el futuro, con mejor tecnología, se logre este sueño.

velocidad debemos proporcionar tanto su tamaño o magnitud (con qué rapidez) como su dirección (norte, sur, este, hacia arriba, abajo o algún punto intermedio). Si dices que un objeto se mueve a 15 m/s habrás proporcionado su rapidez. Si dices que se desplaza con dirección al oeste a 15 m/s, habrás dado su velocidad. En el punto A del diagrama de la figura 2.5 el automóvil viaja con dirección norte a 60 km/h. En el punto B, debido a las curvas de la carretera, el auto va hacia el noroeste a 60 km/h. Su velocidad en el punto B es diferente de la que tiene en el punto A (puesto que las direcciones son diferentes). La rapidez en los puntos A y B son las mismas. La dirección es irrelevante al especificar la rapidez del objeto, no tiene efecto en el velocímetro. Los cambios de velocidad son producto de fuerzas que actúan sobre el automóvil, como veremos en el capítulo 4. La fuerza más importante relacionada con el cambio de velocidad de un auto es la fricción ejercida por la superficie de la carretera sobre los neumáticos. Se precisa una fuerza para cambiar el tamaño o la dirección de la velocidad. Si no actuara ninguna fuerza neta sobre el automóvil, continuaría moviéndose con rapidez constante en línea recta. Esto ocurre a veces cuando hay hielo o aceite en la superficie de la carretera, lo cual puede reducir la fuerza de fricción casi a cero.

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Capítulo 2

Descripción del movimiento 10 m/s

consejo de estudio La ciencia siempre se ha basado en imágenes y tablas para hacer entender las ideas. En el libro se exponen y también se ilustran numerosos conceptos. En las ilustraciones se usa el mismo color para ciertos fenómenos. Las flechas: azules indican vectores de velocidad.

20 m/s

figura 2.7

La longitud de la flecha muestra el tamaño del vector de la velocidad.

verdes denotan vectores de aceleración. rojas representan vectores de fuerza. moradas indican cantidad de movimiento, concepto expuesto en el capítulo 7.

¿Qué es un vector? La velocidad es una cantidad para la cual el tamaño y la dirección son importantes. Llamamos a estas cantidades vectores; y para describirlas cabalmente debemos indicar tanto su tamaño como su dirección. La velocidad es un vector que describe cuán rápido se mueve un cuerpo y en qué dirección lo hace. Muchas de las cantidades usadas en la descripción del movimiento (y en física) son cantidades vectoriales; entre ellas se cuentan la velocidad, la aceleración, la fuerza y la cantidad de movimiento. Reflexiona en lo que sucede cuando arrojas una pelota de goma contra una pared, como se muestra en la figura 2.6. La rapidez de la pelota después de golpear la pared puede ser la misma que tenía antes de hacerlo y, sin embargo, su velocidad claramente ha cambiado, pues tras el golpe la pelota se mueve en una dirección diferente. Algo ha ocurrido al movimiento de la pelota. La pared tuvo que haber ejercido una fuerza intensa sobre ella para producir tal cambio en la velocidad.

v2

v1

2.6 La dirección de la velocidad de una pelota cambia cuando ésta rebota en una pared. La pared ejerce una fuerza en la pelota que produce tal modificación.

figura

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Los vectores de la velocidad de las figuras 2.5 y 2.6 están representados con flechas, lo cual es una elección natural para denotar vectores, ya que la dirección de la flecha a todas luces muestra también la del vector, y la longitud puede trazarse proporcional a la magnitud. En otras palabras, cuanto más grande sea la velocidad, más larga será la flecha (fig. 2.7). En el texto representaremos los vectores con sus símbolos en negritas y más grandes que los demás: v es, por tanto, el símbolo de la velocidad. En el apéndice C se presenta una descripción más completa de los vectores.

¿Cómo definimos la velocidad instantánea? Al considerar los viajes en automóvil, la rapidez media es la cantidad más útil. En este caso, realmente no nos interesa la dirección del movimiento. La rapidez instantánea es la cantidad que importa a la patrulla de caminos. Sin embargo, la velocidad instantánea es más útil si consideramos las teorías de la física del movimiento. Podemos definir la velocidad instantánea a partir de nuestra definición anterior de rapidez instantánea: La velocidad instantánea es una cantidad vectorial de igual tamaño que la rapidez instantánea en un instante específico y con una dirección que corresponde a la del movimiento del cuerpo en ese instante.

La velocidad y la rapidez instantáneas están estrechamente relacionadas, pero la velocidad implica dirección y tamaño. Son los cambios en la velocidad instantánea los que requieren la intervención de fuerzas. Esos cambios se destacarán cuando estudiemos, en el capítulo 4, la teoría de Newton de la mecánica. También podemos definir el concepto de velocidad media, pero ésa es una cantidad mucho menos útil para nuestros propósitos que la velocidad instantánea o la rapidez media. Para especificar la velocidad de un cuerpo debemos indicar a qué rapidez se mueve y en qué dirección lo hace; la velocidad es una cantidad vectorial. La velocidad instantánea tiene una magnitud igual a la rapidez instantánea y apunta en la dirección en que se desplaza el cuerpo. Es en los cambios en la velocidad instantánea donde está la acción, por decirlo así, por lo que los consideraremos con más detalle cuando expongamos la aceleración en la sección 2.3.

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2.3 Aceleración

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2.3 Aceleración La aceleración es una idea que nos resulta familiar. Usamos el término cuando hablamos de la aceleración de un automóvil que se aleja de una señal de alto, o de la aceleración de un corredor en futbol americano. Pensamos en los efectos de la aceleración en nuestro cuerpo cuando la velocidad de un auto cambia rápidamente y aún más sorprendente cuando un ascensor se sacude hacia abajo y deja nuestro estómago ligeramente atrás (figura 2.8). Todos estos ejemplos son aceleraciones. Puedes considerar tu estómago un detector de aceleración —¡una montaña rusa te da un verdadero taller de aceleración! Comprender la aceleración es crucial para nuestro estudio del movimiento. La aceleración es la razón a la que cambia la velocidad (observa que dijimos velocidad, no rapidez) y y tiene relevancia central en la teoría de Newton del movimiento. Pero ¿cómo logramos hallar un valor para la aceleración? Como hicimos con la rapidez, conviene empezar con una definición de aceleración media y luego ampliar la idea a la aceleración instantánea.

¿Cómo se define la aceleración media? ¿Cómo proporcionamos una descripción cuantitativa de una aceleración? Supón que tu automóvil, dirigido hacia el este, arranca desde el reposo total en una señal de alto y que su velocidad aumenta de cero a 20 m/s, como se muestra en la figura 2.9. El cambio en la velocidad se obtiene restando la velocidad inicial de la final (20 m/s – 0 m/s = 20 m/s). No obstante, para determinar la razón de cambio también debe-

Detector de aceleración

v=0

v = 20 m/s

t=0

t=5s

figura 2.9

Automóvil que arranca desde el reposo y acelera a una velocidad de 20 m/s con dirección este en un tiempo de 5 s.

mos saber el tiempo requerido para producir tal cambio. Si se precisaron sólo 5 segundos para que la velocidad se modificara, la razón de cambio sería mayor que si se necesitaran 30 segundos. Pienso, que para producir este cambio de velocidad se requiere un tiempo de 5 segundos. La razón de cambio en la velocidad podría entonces calcularse dividiendo el tamaño del cambio en la velocidad entre el tiempo requerido para producirlo. Por tanto, el tamaño de la aceleración media, a, se obtiene dividiendo el cambio en la velocidad de 20 m/s entre el tiempo de 5 segundos, a=

20 m/s = 4 m/s/s. 5s

La unidad m/s/s comúnmente se escribe m/s2 y se lee metros por segundo cuadrado. Sin embargo, es más fácil comprenderla como metros por segundo por segundo. La velocidad del automóvil (medida en m/s) cambia a una razón de 4 m/s cada segundo. Podrían usarse otras unidades para la aceleración, pero todas tendrán esta misma forma: distancia por unidad de tiempo por unidad de tiempo. Al analizar la aceleración de un automóvil sobre una pista de drágsters, por ejemplo, a veces se usa la unidad millas por hora por segundo. La cantidad que acabamos de calcular es el tamaño de la aceleración media del automóvil. La aceleración media se determina dividiendo el cambio total en la velocidad entre cierto intervalo de tiempo entre ese intervalo de tiempo, y se desprecian las posibles diferencias en la razón de cambio de la velocidad que podrían ocurrir dentro del intervalo de tiempo. Su definición puede expresarse en palabras como sigue: La aceleración media es el cambio en la velocidad dividido entre el tiempo requerido para producirlo.

Podemos replantearla en símbolos como Aceleración = a

figura 2.8

Tu detector de aceleración siente la aceleración descendente del ascensor.

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cambio en la velocidad tiempo transcurrido

o a

¢v . t

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Capítulo 2

Descripción del movimiento

Como el cambio es de suma importancia en esta definición, hemos usado el símbolo especial Δ (la letra griega delta) para expresar un cambio en una cantidad. Por ende, Δv es una forma concisa de escribir el cambio en la velocidad, que de lo contrario se expresaría como v2 – v1, ya que un cambio es la diferencia entre dos cantidades. Puesto que el concepto de cambio es medular, esta notación aparecerá con frecuencia. La idea de cambio es muy significativa. La aceleración no es la velocidad a lo largo del tiempo. Es el cambio ocurrido en la velocidad dividido entre el tiempo. Es común que las personas asocien aceleraciones grandes con velocidades grandes, cuando de hecho suele ocurrir lo contrario. Por ejemplo, la mayor aceleración de un automóvil puede presentarse en el arranque, cuando su velocidad es casi de cero. En ese instante la razón de cambio de la velocidad es mayor. Por otra parte, un automóvil puede desplazarse a 100 mi/h y tener una aceleración de cero si su velocidad no cambia.

¿Qué es aceleración instantánea? La aceleración instantánea es similar a la aceleración media con una excepción importante. Igual que hicimos con la rapidez o la velocidad instantáneas, ahora nos ocuparemos de la razón de cambio en un instante específico. Es la aceleración instantánea a lo que responde nuestro estómago. Ésta puede definirse como sigue: La aceleración instantánea es la razón a la que cambia la velocidad en un instante concreto. Se obtiene calculando la aceleración media en un intervalo de tiempo muy breve, durante el cual la aceleración no cambia de manera perceptible.

Si la aceleración cambia con el tiempo, elegir un lapso muy pequeño garantiza que la aceleración calculada para él no diferirá demasiado de la aceleración instantánea en ningún instante dentro de ese lapso. Ésta es la misma idea usada para determinar la rapidez o la velocidad instantáneas.

v1 = 8 m/s

v2 = 20 m/s

Δv =12 m/s v1

v2

v1

Δv

+

=

v2

a

figura 2.10

El vector de la aceleración tiene la misma dirección que los vectores de la velocidad cuando ésta aumenta.

de la velocidad, como aparece en la figura 2.11. Como la velocidad inicial v1, es mayor que la final v2, el cambio en la velocidad debe apuntar en la dirección opuesta para producir una flecha más corta v2. La aceleración también tiene la dirección opuesta a la velocidad, ya que está en la dirección del cambio en ésta. En la teoría del movimiento de Newton, la fuerza requerida para producir esta aceleración también tendría una dirección opuesta a la velocidad. Debe empujar el automóvil hacia atrás para que reduzca su velocidad. El término aceleración describe la razón de cualquier cambio en la velocidad de un cuerpo. El cambio puede ser un aumento (como en nuestro ejemplo inicial), un cambio de dirección o incluso una disminución en la velocidad (desaceleraciones). Para un físico estos cambios son simplemente aceleraciones en dirección opuesta a la de la velocidad. Si un automóvil frena mientras va en línea recta, su velocidad disminuye y su aceleración es negativa si la velocidad es positiva. Esta situación se ilustra en el ejercicio del cuadro de ejemplo 2.3. El signo menos es una parte importante del resultado del ejercicio de ese cuadro, ya que indica que el cambio en la velocidad es negativo. La velocidad se está reduciendo. Podemos

¿Cuál es la dirección de una aceleración? Como la velocidad, la aceleración es una cantidad vectorial. Su dirección es importante. La dirección del vector de la aceleración es la que corresponde al cambio en la velocidad Δv. Por ejemplo, si un auto se mueve en línea recta y su velocidad es cada vez mayor, el cambio en la velocidad tiene la misma dirección que la velocidad misma, como se muestra en la figura 2.10. El cambio en la velocidad Δv, debe sumarse a la velocidad inicial v1, para obtener la velocidad final v2. Los tres vectores apuntan hacia delante. El proceso de sumar vectores puede advertirse fácilmente cuando los representamos como flechas en una gráfica. (En el apéndice C encontrarás más información sobre la suma de vectores.) Sin embargo, si la velocidad se reduce el cambio en la velocidad, Δv, apunta en la dirección opuesta a los dos vectores

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v1 = 20 m/s

v2 = 8 m/s

Δv = –12 m/s v1

v1

v2

Δv

+

=

v2

a

figura 2.11

Vectores de la velocidad y la aceleración para la velocidad en disminución: Δv y a tienen ahora dirección opuesta a la de la velocidad. La aceleración a es proporcional a Δv.

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2.4 Gráficas de movimiento

cuadro de ejemplo 2.3 Ejercicio: aceleraciones negativas El conductor de un auto frena hasta bajar la velocidad de 20 m/s con dirección este a 10 m/s en la misma dirección en un tiempo de 2.0 segundos. ¿Cuál es la aceleración? v1 = 20 m/s por este v2 = 10 m/s por este t = 2.0 s a=?

v1 v2

a

v2 − v1 ∆v a= = t t =

10 m/s − 20 m/s 2.0 s

v1 Δv

−10 m/s = 2.0 s = −5 m/s2 a = 5.0 m/s2 por el oeste Observa que cuando sólo trabajamos con la magnitud de una cantidad vectorial no usamos la notación del tipo negritas. No obstante, el signo puede indicar dirección en un problema relacionado con el movimiento en línea recta.

llamarla desaceleración si queremos, pero es lo mismo que una aceleración negativa. Una palabra, aceleración, abarca todas las situaciones en las que la velocidad cambia.

¿Un automóvil puede acelerar cuando su rapidez es constante? ¿Qué sucede cuando un automóvil circula por una curva con una rapidez constante? ¿Está acelerando? La respuesta es sí, ya que la dirección de su velocidad está cambiando. Si la dirección del vector de la velocidad cambia, la velocidad también lo hace. Ello significa que debe haber una aceleración. Esta situación se ilustra en la figura 2.12, donde las flechas señalan la dirección del vector de la velocidad en diferentes puntos del movimiento. El cambio en la velocidad Δv, es el vector que debe sumarse a la velocidad inicial v1, para obtener la velocidad final v2. El vector que representa el cambio en la velocidad apunta hacia el centro de la curva y, por consiguiente, el vector de la aceleración también señala en esa dirección. El tamaño del cambio se denota por medio de la longitud de la flecha Δv. A partir de esto podemos obtener la aceleración. Hay aceleración siempre que hay un cambio en la velocidad, sin importar la naturaleza de ese cambio. Casos como el de la figura 2.12 se considerarán con más detenimiento en el capítulo 5, al estudiar el movimiento circular.

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v2

2.12 Un cambio en la dirección del vector de la velocidad también supone una aceleración, aun cuando la rapidez sea constante.

figura

La aceleración es la razón de cambio de la velocidad y se determina dividiendo el cambio en la velocidad entre el tiempo requerido para producir ese cambio. Cualquier cambio en la velocidad implica una aceleración, ya sea que aumente o disminuya la rapidez, o un cambio en la dirección. La aceleración es un vector que tiene una dirección que corresponde a la del cambio en la velocidad, el cual no necesariamente tiene la misma dirección que la velocidad instantánea en sí. El concepto de cambio es crucial. Las representaciones gráficas de la sección 2.4 te ayudarán a visualizar los cambios en la velocidad, así como en otras cantidades.

2.4 Gráficas de movimiento Con frecuencia se dice que una imagen vale más que mil palabras, y lo mismo puede afirmarse de las gráficas. Imagina que tratas de describir el movimiento representado en la figura 2.4 precisamente con palabras y números. La gráfica brinda una descripción general inmediata de lo que ocurre. Una descripción con palabras sería mucho menos eficiente. En esta sección mostraremos cómo las gráficas también contribuyen a comprender la velocidad y la aceleración.

¿Qué nos dice una gráfica? ¿Cómo podemos crear y usar las gráficas como ayuda para describir el movimiento? Imagina que observas un carrito de juguete que funciona con baterías y se mueve a lo largo de una regla de un metro (figura 2.13). Si el carrito se desplaza con lentitud suficiente, podrías anotar su posición al mismo tiempo que registras con un reloj digital el tiempo transcurrido para llegar a ella. A lapsos regulares (digamos, cada 5 segundos), observarías en la regla el valor de la posición del frente del carrito y anotarías estos valores. Los resultados podrían parecerse a los que se presentan en la tabla 2.2.

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Capítulo 2

Descripción del movimiento

2.13 Carrito de juguete que se mueve a lo largo de una regla de un metro. Su posición puede registrarse en diversos instantes.

figura

¿Cómo trazamos la gráfica de estos datos? Primero creamos intervalos a espacios iguales en cada uno de los dos ejes perpendiculares, uno para la distancia recorrida (o posición) y el otro para el tiempo. Para mostrar cómo varía la distancia respecto al tiempo, en general registramos éste en el eje horizontal y aquélla en el vertical. La gráfica correspondiente aparece en la figura 2.14, donde se marca cada punto de los datos de la tabla 2.2 y se traza una línea que los una a todos. Para cerciorarte de que comprendes este proceso, elige puntos diferentes de la tabla 2.2 y márcalos en la gráfica. ¿Dónde iría el punto si el carrito estuviera a 21 centímetros en 25 segundos? La gráfica resume la información presentada en la tabla en un formato visual que facilita captarla con una mirada. La gráfica también contiene información sobre la velocidad y la aceleración del carrito, aunque esto es menos evidente. Por

tabla 2.2 Posición del carrito de juguete a lo largo de una regla de un metro en diferentes instantes Tiempo

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ejemplo, ¿qué podemos decir respecto a la velocidad media del carrito entre los 20 y 30 segundos? ¿El carrito se mueve durante ese lapso? Una mirada a la gráfica muestra que la distancia no cambia durante ese intervalo de tiempo; por tanto, el carrito no se movió. La velocidad es cero durante ese tiempo, lo cual se representa por medio de una línea horizontal en nuestra gráfica de la distancia contra el tiempo. ¿Qué sucede con la velocidad en otros puntos del movimiento? El carrito se desplaza con mayor rapidez entre los 0 y los 20 segundos que entre los 30 y los 50 segundos. La curva de la distancia crece más rápidamente entre los 0 y los 20 segundos que entre los 30 y los 50 segundos. Puesto que se recorre más distancia en el mismo tiempo, el carrito debe haberse desplazado más rápido ahí. Una pendiente más pronunciada de la curva se asocia con una mayor rapidez. La pendiente de la curva de distancia contra tiempo en cualquier punto de la gráfica es igual a la velocidad instantánea del carrito.* La pendiente indica cuán rápido cambia la distancia en cualquier instante. La razón de cambio de la distancia respecto al tiempo es la rapidez instantánea, de acuerdo con la definición que dimos en la sección 2.1. Como el movimiento ocurre a lo largo de una línea recta, podemos representar la dirección de la velocidad con un signo menos o un signo más. Sólo hay dos posibilidades: hacia delante o hacia atrás. Así que tenemos la velocidad instantánea, que implica tanto el tamaño (rapidez) como la dirección del movimiento. Cuando el carrito se desplaza hacia atrás, su distancia desde el punto inicial disminuye. La curva va hacia abajo, como ocurre cuando está entre los 50 y los 60 segundos. Nos referimos a esta parte de la curva donde la pendiente va hacia abajo como una pendiente negativa, y además decimos que la velocidad es negativa durante esa parte del movimiento. Una pendiente pronunciada hacia arriba representa una velocidad instantánea grande; una pendiente igual a cero (línea horizontal) indica una velocidad de cero, y una pendiente hacia abajo denota una velocidad negativa (hacia atrás). Al mirar la pendiente de la gráfica sabremos todo lo que necesitamos respecto a la velocidad del carrito.

Posición

0s

0 cm

5s

4.1 cm

10 s

7.9 cm

15 s

12.1 cm

20 s

16.0 cm

25 s

16.0 cm

30 s

16.0 cm

35 s

18.0 cm

40 s

20.1 cm

45 s

21.9 cm

50 s

24.0 cm

55 s

22.1 cm

60 s

20.0 cm

Gráficas de velocidad y aceleración Estas ideas acerca de la velocidad pueden resumirse mejor trazando una gráfica de la velocidad contra el tiempo para el carrito (figura 2.15). La velocidad es constante siempre que la pendiente de la gráfica de distancia contra tiempo de la figura 2.14 también lo sea. Cualquier segmento en línea recta de una gráfica tiene una pendiente constante; por ende, la velocidad cambia sólo cuando la pendiente de la gráfica de la figura 2.14 lo hace. Si comparas detenidamente la gráfica de la figura 2.15 con la de la figura 2.14, se aclararán estas ideas.

* Como la definición matemática de pendiente es el cambio en la coordenada vertical, Δd, dividido entre el cambio en la coordenada horizontal, Δt, la pendiente, Δd/Δt, es igual a la velocidad instantánea, siempre que Δt sea lo suficientemente pequeña. No obstante, es posible entender el concepto de pendiente sin recurrir a la definición matemática.

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29

2.4 Gráficas de movimiento

Distancia (cm)

30

20

10

0

0

20

40

60

Tiempo (s)

figura 2.14

Distancia trazada contra el tiempo para el movimiento del carrito de juguete. Los puntos corresponden a los datos de la tabla 2.2.

Velocidad (cm/s)

1.5 1.0 0.5 0

20

40

60

–0.5 –1.0 Tiempo (s)

figura 2.15

Aceleración (cm/s2)

Velocidad instantánea trazada contra el tiempo para el movimiento del carrito de juguete. La velocidad es mayor cuando la distancia recorrida cambia más rápidamente.

figura 2.16

20

40 60

Tiempo (s)

Bosquejo de la aceleración trazada contra el tiempo para los datos del carrito de juguete. La aceleración sólo es distinta de cero cuando la velocidad cambia.

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¿Qué podemos decir acerca de la aceleración a partir de estas gráficas? Como la aceleración es la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo, la gráfica de la velocidad (figura 2.15) también arroja información sobre la aceleración. De hecho, la aceleración instantánea es igual a la pendiente de la gráfica de velocidad contra tiempo. Una pendiente pronunciada representa un cambio rápido en la velocidad y, por tanto, una aceleración grande. Una línea horizontal tiene una pendiente cero y representa una aceleración de cero. La aceleración resulta ser cero para la mayor parte del movimiento descrito por nuestros datos. La velocidad sólo cambia en algunos puntos del movimiento. La aceleración sería grande en ellos y cero en cualquier otra parte. Como nuestros datos no indican con qué rapidez ocurren los cambios en la velocidad, no tenemos suficiente información para decir cuán grande es la aceleración en esos pocos puntos donde no es igual a cero. Necesitaríamos mediciones de la distancia o la velocidad cada décima de segundo más o menos para formarnos una idea clara de cuán rápido se presentan esos cambios. Como veremos en el capítulo 4, sabemos que tales modificaciones en la velocidad no pueden ocurrir de manera instantánea, se requiere cierto tiempo. Así, podemos esbozar una gráfica de la aceleración contra el tiempo, como se muestra en la figura 2.16. Los picos de esa figura 2.16 ocurren cuando la velocidad cambia. A 20 segundos hay una disminución rápida de la velocidad representada por un pico hacia abajo o una aceleración negativa. A 30 segundos, la velocidad aumenta rápidamente de cero a un valor constante, lo cual se representa con un pico hacia arriba o una aceleración positiva. A los 50 segundos hay otra aceleración negativa a medida que la velocidad cambia de un valor positivo a uno negativo. Si pudieras meterte en el carrito, sin duda sentirías estas aceleraciones. (En el cuadro de fenómenos cotidianos 2.2 se da otro ejemplo de la utilidad de una gráfica para analizar el movimiento.)

¿Podemos determinar la distancia recorrida a partir de la gráfica de la velocidad? ¿Qué otra información puede obtenerse de la gráfica de velocidad contra tiempo de la figura 2.15? Reflexiona un momento en qué harías para calcular la distancia recorrida si conocieras la velocidad. Para una velocidad constante puedes obtener la distancia con sólo multiplicar la velocidad por el tiempo, d = vt. En los primeros 20 segundos del movimiento, por ejemplo, la velocidad es de 0.8 cm/s y la distancia recorrida es de 0.8 cm/s veces 20 segundos, que es igual a 16 cm. Esto es simplemente lo contrario a lo que usamos para determinar la velocidad anteriormente. Obtuvimos la velocidad dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo. ¿Cómo se representaría esta distancia en la gráfica de la velocidad? Si recuerdas las fórmulas para calcular áreas, puedes reconocer que la distancia d es el área del rectángulo sombreado de la figura 2.15. El área de un rectángulo se obtiene multiplicando el alto por el ancho, como hemos hecho aquí. La velocidad, 0.8 cm/s, es el alto y el tiempo, 20 segundos, es el

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Capítulo 2

Descripción del movimiento

fenómenos cotidianos

cuadro 2.1

Los 100 metros planos de la velocidad instantánea es igual a la rapidez instantánea. El corredor alcanza la rapidez máxima en aproximadamente 2 a 3 s en la carrera.

s (m/s)

Situación. Un velocista de talla mundial puede correr 100 m en un tiempo menor a 10 s. La carrera comienza con los corredores en una posición en cuclillas en los bloques de salida, en espera del disparo del juez de salida. La carrera termina cuando cruzan la línea de meta, momento en que los cronómetros o relojes automáticos registran el tiempo.

12 10 8 6 4 2

Aceleración cero Disminución de la aceleración Aceleración constante 2

Los corredores en los bloques de salida esperan el disparo del juez.

¿Qué ocurre entre la salida y el fin de la carrera? ¿Cómo varía la velocidad y la aceleración de los corredores durante la competencia? ¿Podemos hacer suposiciones razonables respecto a cómo se ve la gráfica de velocidad contra tiempo para un corredor común? ¿Podemos estimar la velocidad máxima de un buen velocista? Y lo más importante para mejorar el desempeño, ¿qué factores afectan el éxito de un corredor en la pista? Análisis. Supongamos que el corredor cubre la distancia de los 100 m en un tiempo exacto de 10 s. Podemos calcular su rapidez media a partir de la definición s = d/t : 100 m s= = 10 m/s. 10 s Resulta evidente que ésta no es la rapidez instantánea del corredor a lo largo de la carrera, ya que la rapidez del corredor al principio es de cero y se requiere cierto tiempo para acelerar hasta alcanzar la rapidez máxima. El objetivo es alcanzar cuanto antes la rapidez máxima y mantenerla durante el resto de la carrera. El éxito depende de dos cosas: cuán rápido puede acelerar el corredor hasta esta rapidez máxima y el valor de ésta. Un corredor pequeño suele tener una mejor aceleración pero una rapidez máxima menor, en tanto que un corredor más grande a veces requiere más tiempo para llegar a la rapidez máxima pero ésta es mayor. El corredor común no llega a la rapidez máxima antes de recorrer al menos de 10 a 20 m. Si la rapidez media es 10 m/s, la rapidez máxima del corredor debe ser un tanto mayor que este valor, pues sabemos que la rapidez instantánea será menor que 10 m/s mientras el corredor esté acelerando. Estas ideas son más fáciles de visualizar si se traza una gráfica de rapidez contra tiempo, como se muestra. Como el corredor se desplaza en línea recta, la magnitud

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4

6 t (s)

8

10

Gráfica de rapidez contra tiempo para un corredor hipotético en la carrera de 100 m planos.

La rapidez (o velocidad) media durante el tiempo en que el corredor está acelerando es aproximadamente la mitad de su valor máximo si la aceleración del corredor es más o menos constante durante los primeros 2 s. Si suponemos que la rapidez media del corredor durante ese tiempo es de 5.5 m/s (la mitad de 11 m/s), aproximadamente, entonces la rapidez durante el resto de la carrera tendría que ser de alrededor de 11.1 m/s para dar una rapidez media de 10 m/s para toda la carrera. Esto puede advertirse si se calcula la distancia a partir de estos valores: d = (5.5 m/s)(2 s) + (11.1 m/s)(8 s) = 11 m + 89 m = 100 m. Lo que hemos hecho aquí es realizar algunas suposiciones razonables para estos valores que harán que la rapidez media sea de 10 m/s; comprobamos luego estos cálculos determinando la distancia total. Esto indica que la rapidez máxima de un buen velocista debe ser aproximadamente 11 m/s (25 mi/h). Por hacer una comparación, un corredor de distancia que puede correr una milla en 4 minutos tiene una rapidez media de alrededor de 15 mi/h, o 6.7 m/s. La estrategia del corredor debe consistir en arrancar con un buen salto en los bloques de salida, manteniendo el cuerpo inicialmente agachado e inclinado hacia delante para reducir al mínimo la resistencia del aire y potenciar al máximo el impulso de las piernas. Para conservar la rapidez máxima durante el resto de la carrera, el corredor necesita mucha resistencia. Un corredor que pierde fuerza casi al final necesita más ejercicios de acondicionamiento. Para un corredor con una rapidez máxima fija, la rapidez media depende de cuán pronto pueda llegar a esa rapidez. Esta capacidad para acelerar rápidamente depende de la fuerza de las piernas (la cual puede mejorarse por medio del trabajo con pesas y otros ejercicios de entrenamiento) y la rapidez natural.

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31

2.5 Aceleración uniforme

ancho de ese rectángulo en la gráfica. Podemos determinar la distancia de esta forma incluso cuando las áreas que se hallan en la gráfica no sean rectángulos, aunque el proceso es más difícil cuando las curvas son más complicadas. La regla general es que la distancia recorrida es igual al área bajo la curva de velocidad contra tiempo. Cuando la velocidad es negativa (debajo del eje del tiempo en la gráfica), el objeto está desplazándose hacia atrás y su distancia desde el punto de arranque está disminuyendo. Aun sin calcular el área con precisión, es posible obtener una idea aproximada de la distancia recorrida si se estudia la gráfica de velocidad. Un área grande representa una distancia grande. Las comparaciones visuales rápidas dan una buena idea de lo que sucede sin necesidad de realizar cálculos largos. En ello radica la belleza de una gráfica. Una buena gráfica puede presentar una imagen del movimiento rica en información. La distancia recorrida trazada contra el tiempo no sólo nos informa sobre dónde está el objeto en cierto instante, sino que además su pendiente también nos indica cuán rápido se movía. La gráfica de velocidad contra tiempo contiene información acerca de la aceleración y la distancia recorrida. La producción y el estudio de este tipo de gráficas nos da una idea general del movimiento y las relaciones entre distancia, velocidad y aceleración.

Tiene el mismo valor en cualquier momento, lo cual produce una gráfica de línea horizontal. La gráfica de velocidad contra tiempo para esta misma situación arroja datos más interesantes. Con base en la explicación dada en la sección 2.4, sabemos que la pendiente de una gráfica de velocidad contra tiempo es igual a la aceleración. Para una aceleración uniforme positiva, la gráfica de velocidad debe tener una pendiente ascendente constante; la velocidad aumenta a una razón constante. Una pendiente constante produce una línea recta, que se inclina hacia abajo si la aceleración es positiva, como se muestra en la figura 2.18. Al trazar esta gráfica suponemos que la velocidad inicial es igual a cero. Esta gráfica también puede representarse con una fórmula. La velocidad en cualquier instante t es igual a la velocidad original más la que se ha ido adquiriendo debido a que el auto va acelerando. El cambio en la velocidad, Δv, es igual a la aceleración por el tiempo, Δv = at, pues la aceleración se define como Δv/t. Estas ideas resultan en la relación siguiente: v = v0 + at. El primer término de la derecha, v0, es la velocidad original (en la figura 2.18 se supone que es cero), y el segundo, at, a

2.5 Aceleración uniforme Si dejas caer una piedra está llega al piso a una aceleración constante, como veremos en el capítulo siguiente. Una aceleración uniforme o constante es la forma más simple de movimiento acelerado. Ocurre siempre que hay una fuerza constante que actúa sobre un cuerpo, que es el caso de una piedra y de muchas otras situaciones. ¿Cómo describimos el movimiento resultante? La importancia de esta pregunta fue reconocida primero por Galileo, quien estudió el movimiento de pelotas que rodaban hacia abajo por planos inclinados, así como los cuerpos en caída libre. En su famoso trabajo, Diálogos sobre dos nuevas ciencias, publicado en 1638, casi al final de su vida, Galileo creó las gráficas y las fórmulas presentadas en esta sección y que han sido analizadas por los estudiantes de física desde entonces. Su trabajo sentó las bases de gran parte de las ideas de Newton, aparecidas décadas más tarde.

t

figura 2.17

La gráfica de la aceleración para la aceleración uniforme es una línea horizontal. La aceleración no cambia conforme transcurre el tiempo. v v

– 1– v = 2v

¿Cómo varía la velocidad en la aceleración uniforme? Piensa que un automóvil se desplaza a lo largo de una carretera recta y acelera a una razón constante. En la figura 2.17 hemos trazado la gráfica de aceleración contra tiempo para esta situación. La gráfica es muy sencilla, pero ilustra lo que queremos decir con aceleración uniforme. La aceleración uniforme es aquella que no cambia mientras el movimiento continúa.

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t

2.18 Velocidad trazada contra tiempo para la aceleración uniforme, a partir del reposo. Para este caso especial, la velocidad media es igual a la mitad de la velocidad final.

figura

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32

Capítulo 2

Descripción del movimiento

representa el cambio en la velocidad debido a la aceleración. La suma de estos dos términos es la velocidad en cualquier instante posterior t. Un ejemplo numérico en que se aplican estas ideas es el automóvil que acelera según se describe en una parte del cuadro de ejemplo 2.4. El automóvil no puede acelerar indefinidamente a una razón constante porque la velocidad pronto alcanzaría valores increíbles, lo cual no sólo sería peligroso, sino, además, los límites físicos impuestos por la resistencia del aire lo impedirían. ¿Qué sucede si la aceleración es negativa? La velocidad disminuye en lugar de aumentar y la pendiente de la gráfica de la velocidad resulta descendente en vez de ascendente. Como la aceleración es entonces negativa, el segundo término de la fórmula para v se resta del primero, lo que hace que la velocidad decrezca a partir de su valor inicial. En consecuencia, la velocidad baja a una razón constante.

2.19 A medida que el automóvil acelera de manera uniforme, la distancia recorrida aumenta más y más rápido con el tiempo debido a que la velocidad está aumentando.

¿Cómo varía la distancia recorrida respecto al tiempo?

cero, la final es at; por tanto, al multiplicar la velocidad media por el tiempo se obtiene:

Si la velocidad aumenta a una razón constante, ¿qué efecto tendrá en la distancia recorrida? A medida que el automóvil se mueve más y más velozmente recorre una distancia mayor cada vez más rápido. Galileo mostró cómo calcular esa distancia en este caso. Obtenemos la distancia multiplicando la velocidad por el tiempo, pero en este caso debemos usar la velocidad media, ya que la velocidad está cambiando. Si observamos la gráfica de la figura 2.18 advertiremos que la velocidad media debe ser sólo la mitad de la velocidad final, v. Si la velocidad inicial es

cuadro de ejemplo 2.4 Ejercicio: aceleración uniforme Un automóvil que viaja hacia el este con una velocidad inicial de 10 m/s acelera durante 6 segundos a una razón constante de 4 m/s2. a) ¿Cuál es su velocidad al final de ese lapso? b) ¿Cuánta distancia recorre durante ese tiempo? a) v0 = 10 m/s

v = v0 + at

a = 4 m/s2

= 10 m/s + (4 m/s2)(6 s)

t = 6s

= 10 m/s + 24 m/s

v = ?

= 34 m/s v = 34 m/s este 1

b) d = v0t + 2 at2

d

t

figura

d =

1 2

at2.

El tiempo t entra dos veces, una vez al determinar la velocidad media y después cuando multiplicamos la velocidad por el tiempo para hallar la distancia.* En la gráfica de la figura 2.19 se ilustra esta relación; la curva de la distancia se inclina hacia abajo a una razón cada vez mayor a medida que aumenta la velocidad. Esta fórmula y la gráfica correspondiente sólo son válidas si el objeto parte del reposo, como se muestra en la figura 2.18. Como la distancia recorrida es igual al área bajo la curva de velocidad contra tiempo (como vimos en la sección 2.4), esta expresión para la distancia también puede pensarse como el área bajo el triángulo en la figura 2.18. El área de un triángulo es igual a un medio de su base por su altura, lo cual produce el mismo resultado. Si el automóvil ya se está moviendo antes de acelerar, la gráfica de la velocidad puede trazarse de nuevo como se presenta en la figura 2.20. El área total bajo la curva de velocidad puede entonces dividirse en dos partes, un triángulo y un rectángulo, como se muestra. La distancia total recorrida es la suma de estas dos áreas, d = v0 t +

1 2

at 2.

El primer término de esta fórmula representa la distancia que el cuerpo recorrería si se moviera a una velocidad constante v0, y el segundo término es la distancia adicional recorrida debido a que el cuerpo está acelerando (el área del triángulo de la figura 2.20). Si la aceleración es negativa, lo que significa que el cuerpo reduce su velocidad, el segundo término se restará del primero.

1

= (10 m/s)(6 s) + 2 (4 m/s2)(6 s)2 = 60 m + (2 m/s2)(36 s2) = 60 m + 72 m = 132 m

GRIFFITH 02.indd 32

* Si expresamos este argumento en forma simbólica queda así: 1

1

La velocidad media v = 2 v = 2 at

d = vt =

1 2

1 2

at t = at2.

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33

Resumen v

v – v0 = Δv

d = 1–2 at2 v0

v0

d = v0t

no es difícil sumarlas. Las dos partes de la gráfica de la figura 2.20 representan estas dos contribuciones. El cuadro de ejemplo 2.4 brinda una muestra numérica de estas ideas. El automóvil de ese ejemplo se acelera de manera uniforme a partir de una velocidad inicial de 10 m/s hacia el este hasta alcanzar una velocidad final de 34 m/s hacia el este, y recorre una distancia de 132 metros mientras ocurre esta aceleración. Si no estuviera acelerando sólo habría recorrido 60 metros en el mismo lapso. Los 72 metros adicionales provienen de la aceleración del automóvil.

t

figura 2.20

La aceleración supone un cambio, y la aceleración uniforme supone una razón de cambio constante. Por consiguiente, representa el tipo más simple de movimiento acelerado que podemos imaginar. La aceleración uniforme es esencial para comprender la caída libre, estudiada en el capítulo 3, así como muchos otros fenómenos. Este movimiento puede representarse por medio de cualquiera de las gráficas o las fórmulas expuestas en esta sección. Observarlas y ver cómo se relacionan reforzará estas ideas.

Gráfica de velocidad contra tiempo trazada de nuevo para una velocidad inicial diferente de cero. El área bajo la curva se divide en dos partes, un rectángulo y un triángulo.

Esta expresión más general para la distancia parece compleja, pero el truco para comprenderla radica en separarla en partes, como acabamos de indicar. Simplemente añadimos dos términos que representan diferentes contribuciones a la distancia total. Cada una puede calcularse de forma sencilla, y

resumen El propósito principal de este capítulo es exponer los conceptos cruciales para describir el movimiento con precisión. A fin de entender la aceleración, primero debes comprender el concepto de velocidad, el cual a su vez se basa en la idea de rapidez. Las diferencias entre rapidez y velocidad, y entre velocidad y aceleración son particularmente importantes.

2

Velocidad. La velocidad instantánea de un cuerpo es una cantidad vectorial que implica tanto dirección como magnitud. El tamaño del vector de la velocidad es igual a la rapidez instantánea, y la dirección es la del movimiento del cuerpo.

Rapidez media e instantánea. La rapidez media se de1fine como la distancia recorrida entre el tiempo. Se trata de la razón

v

a la que se cubre la distancia. La rapidez instantánea es la razón a la que la distancia se recorre en un instante específico y para calcularla es preciso usar intervalos de tiempo muy breves.

v = rapidez y dirección La aceleración se define como la razón de 3tiempoAceleración. del cambio de velocidad y se calcula dividiendo el cambio

d s=– t

en la velocidad entre el tiempo. La aceleración también es una cantidad vectorial. Puede calcularse como un valor medio o como uno instantáneo. Un cambio en la dirección de la velocidad puede ser tan importante como uno en la magnitud. Los dos se relacionan con la aceleración.

v1

+

Δv

= a =

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v2

Δv t

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34

Capítulo 2

Descripción del movimiento

Gráficas de movimiento. Las gráficas de la distancia, la 4rapidez, la velocidad y la aceleración trazadas contra el tiempo pueden ilustrar la relación que hay entre estas cantidades. La velocidad instantánea es igual a la pendiente de la gráfica de distancia contra tiempo. La aceleración instantánea equivale a la pendiente de la gráfica de velocidad contra tiempo. La distancia recorrida es igual al área bajo la gráfica de velocidad contra tiempo.

memente acelerado. Las gráficas nos ayudan a comprender las dos fórmulas que describen cómo la velocidad y la distancia recorrida varían con el tiempo para este caso especial e importante. v

v

d

v0 t

t

5razón constante y le corresponde por tanto una gráfica de velocidad Aceleración uniforme. Cuando un cuerpo se acelera a una

contra tiempo con una pendiente constante, se dice que está unifor-

t v = v0 + at d = v 0t +

1 – at 2 2

conceptos clave rapidez, 19 rapidez media, 19 razón, 20 rapidez instantánea, 21 velocidad, 22

magnitud, 23 vector, 24 cantidad vectorial, 24 velocidad instantánea, 24 aceleración, 25

aceleración media, 25 aceleración instantánea, 26 pendiente, 28 aceleración uniforme, 31

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center

P1. Imagina que se descubren unos bichos en Marte que miden la distancia en boogles y el tiempo en bops. a) ¿Cuáles serían las unidades de rapidez en este sistema? Explica por qué. b) ¿Cuáles serían las unidades de velocidad? ¿Por qué? c) ¿Cuáles serían las unidades de aceleración? ¿Por qué? P2. Piensa que elegimos las pulgadas como la unidad básica de distancia y los días como la unidad básica de tiempo. a) ¿Cuáles serían las unidades de velocidad y aceleración en este sistema? Explica por qué. b) ¿Sería ésta una buena elección de unidades para medir la aceleración de un automóvil? Explica por qué. P3. ¿Qué unidades tienen un tamaño apropiado para medir la razón a la que crecen las uñas? Explica por qué. P4. Una tortuga y una liebre recorren la misma distancia en una carrera. La liebre va muy rápido por intervalos breves, pero se detiene con frecuencia, mientras que la tortuga camina lenta y pesadamente a un ritmo constante y termina la carrera antes que la liebre.

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a) ¿Cuál de los dos corredores tiene mayor velocidad media durante la carrera? Explica por qué. b) ¿Cuál de los dos corredores es probable que alcance la rapidez instantánea máxima durante la carrera? ¿Por qué? P5. Una conductora sostiene que iba a 80 cuando la policía hizo que se orillara. ¿Es un afirmación clara? ¿La interpretación correspondiente en Inglaterra sería diferente a la realizada en Estados Unidos? Explica por qué. P6. ¿El velocímetro de un automóvil mide la rapidez media o la instantánea? ¿Por qué? P7. ¿Es más probable que la rapidez media durante varios minutos sea más aproximada a la rapidez instantánea en cualquier instante para un automóvil que transita libremente en circulación con baja densidad vehicular o para otro que lo hace con alta densidad? Explica por qué. *P8. La patrulla de caminos a veces usa radares para identificar autos que posiblemente excedan el límite de velocidad; en ocasiones esos radares se emplean en aviones que observan el tiempo que toma a un auto pasar entre dos marcas separadas cierta distancia en la carretera. ¿Qué mide cada uno de estos métodos, la rapidez media o la instantánea? ¿Puedes imaginar situaciones en que cualquiera de estos dos métodos pudiera sancionar injustamente a un conductor? ¿Por qué?

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Preguntas P9. Una pelota es lanzada contra una pared y rebota hacia atrás, a la persona que la lanzó, con la misma rapidez que tenía antes de que golpeara la pared. ¿La velocidad de la pelota cambia en este proceso? Explica por qué. P10. Se da vueltas en círculos horizontales a una pelota amarrada a una cuerda, de manera que se mueve con una rapidez constante. a) ¿La velocidad de la pelota cambia en este proceso? ¿Por qué? b) ¿La aceleración de la pelota es igual a cero? Explica por qué. *P11. Una pelota amarrada a una cuerda atada en el otro extremo a un soporte rígido forma un péndulo. Si tiramos de la pelota hacia un lado y luego la soltamos, se moverá de un lado a otro a lo largo de un arco determinado por la longitud de la cuerda. a) ¿La velocidad es constante en este proceso? ¿Por qué? b) ¿Es probable que la velocidad sea constante en este proceso? ¿Qué pasa con la rapidez cuando se invierte la dirección de la pelota? P12. Una pelota que se deja caer desde el reposo adquiere rapidez mientras cae. ¿La velocidad de la pelota puede ser constante en este proceso? Explica por qué. P13. El conductor de un automóvil frena y se detiene, haciendo que la velocidad del automóvil disminuya. De acuerdo con la definición de aceleración dada en este capítulo, ¿el automóvil acelera en este proceso? Explica por qué. P14. En cierto instante , dos automóviles viajan a diferentes velocidades, una el doble que la otra. Con base en esta información, ¿es posible decir cuál de los dos autos tiene mayor aceleración en ese instante? Explica por qué.

P19. Un automóvil se mueve en línea recta de modo que su posición (distancia desde el punto de partida) varía con el tiempo como se describe en la gráfica mostrada abajo. a) ¿El automóvil retrocede en algún momento? Explica por qué. b) ¿La velocidad instantánea en el punto A es mayor o menor que en el punto B? Explica por qué. d

B A t P20. Para el automóvil cuya distancia se grafica contra el tiempo en la pregunta 19, ¿la velocidad es constante durante cualquier intervalo mostrado en la gráfica? Explica por qué. P21. Un automóvil se mueve a lo largo de una sección recta de carretera de modo que su velocidad varía con el tiempo, como se advierte en la gráfica. a) ¿En algún momento retrocede el automóvil? Explica por qué. b) ¿En cuál de los puntos rotulados en la gráfica, A, B o C, la magnitud de la aceleración es mayor? Explica por qué. v

P15. Un automóvil detenido en una señal de alto tiene una velocidad igual a cero en el instante en que arranca. ¿La aceleración del auto también debe ser cero en ese instante? Explica por qué. P16. Un automóvil que viaja con rapidez constante toma una curva en la carretera. ¿Su aceleración es igual a cero en esta situación? Explica por qué. P17. Un automóvil de carreras que se desplaza a una velocidad constante de 100 mi/h hacia el oeste asusta a una tortuga que se halla a la vera de la carretera y que comienza entonces a apartarse de ella. ¿Cuál de estos dos cuerpos es probable que tenga la mayor aceleración en ese instante? Explica por qué. P18. En la gráfica mostrada abajo, la velocidad se traza en una función del tiempo para un objeto que se desplaza en línea recta. a) ¿La velocidad es constante para cualquier intervalo de tiempo mostrado? Explica por qué. b) ¿Durante cuál intervalo de tiempo mostrado el objeto alcanza la mayor aceleración? ¿Por qué? v

35

B C A 2

4

6

t (s) P22. Para el automóvil cuya velocidad se grafica en la pregunta 21, ¿en cuál de los segmentos de tiempo 0-2 segundos, 2-4 segundos o 4-6 segundos la distancia recorrida por el auto es mayor? Explica por qué. P23. Mira de nuevo la gráfica de velocidad contra tiempo para el carrito de juguete mostrado en la figura 2.15. a) ¿La rapidez instantánea es mayor en cualquier instante durante el recorrido que la rapidez media durante todo el viaje? Explica por qué. b) ¿El automóvil se acelera cuando su dirección se invierte en t = 50 s? Explica por qué. P24. Imagina que la aceleración de un automóvil aumenta con el tiempo. ¿Podríamos usar la relación v = v0 + at en esta situación? Explica por qué.

2

4

6 t (s)

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8

P25. Cuando un automóvil se acelera de manera uniforme a partir del reposo, ¿cuál de estas cantidades aumenta con el tiempo: aceleración, velocidad o distancia recorrida? Explica por qué.

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Capítulo 2

Descripción del movimiento

P26. La gráfica de velocidad contra tiempo de un cuerpo es una curva como la mostrada en el diagrama. ¿La aceleración del cuerpo es constante? Explica por qué. v

P29. Un automóvil arranca a partir del reposo, acelera de manera uniforme durante 5 segundos, viaja a una velocidad constante durante 5 segundos y finalmente desacelera de manera uniforme durante 5 segundos. Traza las gráficas de velocidad contra tiempo y aceleración contra tiempo para este caso. P30. Supón que dos corredores participan en una carrera de 100 metros planos, pero el primero alcanza una rapidez máxima antes que el segundo. Ambos mantienen una rapidez constante una vez que han alcanzado su rapidez máxima y cruzan la línea de meta al mismo tiempo. ¿Cuál corredor tiene la mayor rapidez máxima? Explica por qué.

P27. Para un automóvil uniformemente acelerado, ¿la aceleración media es igual a la instantánea? Explica por qué.

P31. Traza una gráfica que muestre curvas de velocidad contra tiempo para los dos corredores descritos en la pregunta 30. (Traza las dos curvas en la misma gráfica, de manera que esas diferencias sean evidentes.)

P28. Un automóvil que viaja hacia el frente experimenta una aceleración uniforme negativa durante 10 segundos. ¿La distancia recorrida durante los primeros 5 segundos es igual, mayor o menor que la distancia cubierta durante los 5 segundos siguientes? Explica por qué.

*P32. Un instructor de educación física camina con una rapidez cada vez mayor frente al salón y de repente invierte la dirección y camina hacia atrás con rapidez constante. Traza las gráficas de velocidad y aceleración que correspondan a esta situación.

t

ejercicios E1. Un viajero recorre una distancia de 460 millas en 8 horas. ¿Cuál es la rapidez media de ese viaje? E2. Un marchista cubre una distancia de 1.8 km en 30 minutos. ¿Cuál es su rapidez media para esta distancia, en km/h? E3. Se sabe que el pasto cortado tiene una longitud media de 4.8 cm cuando se hace una poda 12 días después de la anterior. ¿Cuál es la rapidez media de crecimiento de este pasto, en cm/día? E4. Una conductora maneja durante 2.5 horas a una rapidez media de 54 mi/h. ¿Qué distancia viaja en ese lapso? E5. Una mujer camina una distancia de 240 m a una rapidez media de 1.2 m/s. ¿Qué tiempo requirió para andar esa distancia? E6. Una persona con prisa viaja en promedio a 62 mi/h y recorre una distancia de 300 millas. ¿Qué tiempo necesita para cubrir esa distancia? E7. Un excursionista camina con una rapidez media de 1.2 m/s. ¿qué distancia, en kilómetros, recorre en 1 hora? E8. Un automóvil viaja con una rapidez media de 22 m/s. a) ¿Cuánto es esta rapidez en km/s? b) ¿Cuánto es esta rapidez en km/h? E9. Un automóvil viaja con una rapidez media de 58 mi/h. ¿Cuánto es esta rapidez en km/h? (Véase el cuadro del ejemplo 2.1.) E10. A partir del reposo y moviéndose en línea recta, un corredor alcanza una velocidad de 7 m/s en 2 s. ¿Cuál es su aceleración media? E11. A partir del reposo, un automóvil acelera a una razón de 4.2 m/s2 durante 5 segundos. ¿Cuál es su velocidad al final de este tiempo? E12. La velocidad de un automóvil disminuye de 30 m/s a 18 m/s en 4 segundos. ¿Cuál es la aceleración media del automóvil en este proceso?

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E13. Un automóvil que se desplaza a una velocidad inicial de 12 m/s acelera a una razón constante de 2.5 m/s2 durante 2 segundos. a) ¿Cuál es su velocidad al final de este tiempo? b) ¿Qué distancia recorre durante este proceso? E14. Una persona que corre a una velocidad inicial de 2.0 m/s acelera a una razón constante de 1.2 m/s2 durante 2 segundos. a) ¿Cuál es su velocidad al final de ese tiempo? b) ¿Qué distancia recorre durante el proceso? E15. Un automóvil que se desplaza con una velocidad inicial de 30 m/s reduce su velocidad a una razón constante de –3 m/s2. a) ¿Cuál es su velocidad después de 3 segundos de desaceleración? b) ¿Qué distancia recorre el automóvil en ese lapso? E16. Una corredora que se desplaza con una velocidad inicial de 4.0 m/s reduce su velocidad a una razón constante de –1.5 m/s2 durante 2 segundos. a) ¿Cuál es su velocidad al final de ese tiempo? b) ¿Qué distancia recorre durante el proceso? E17. Si un velocista de talla mundial corrió una distancia de 100 metros a partir de su velocidad máxima de 11 m/s y a una rapidez constante a lo largo de la prueba, ¿cuánto tiempo le llevará recorrer la distancia? E18. Un automóvil acelera a partir del reposo a una razón constante de 3.0 m/s2 durante 5 segundos. a) Calcula la velocidad del auto a 1 s, 2 s, 3 s, 4 s y 5 s y grafica estos valores de la velocidad contra el tiempo. b) Calcula la distancia recorrida por el auto para estos mismos tiempos y grafica los valores de la distancia contra el tiempo.

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Experimentos y observaciones para la casa

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problemas de síntesis PS1. Una locomotora se mueve hacia delante a lo largo de una sección de pista recta una distancia de 80 m con dirección oeste a una rapidez constante de 5 m/s. Luego invierte su dirección y recorre 20 m con dirección este a una rapidez constante de 4 m/s. El tiempo requerido para esta desaceleración y movimiento en dirección opuesta es muy breve debido a que la rapidez implicada es muy pequeña. a) ¿Cuál es el tiempo requerido para todo el proceso? b) Traza una gráfica de rapidez media contra tiempo para este proceso. Muestra la desaceleración y reaceleración con base en el movimiento en dirección inversa ocurrido durante un intervalo de tiempo muy breve. c) Usando valores negativos de velocidad para representar el movimiento en dirección inversa, traza una gráfica de velocidad contra tiempo para la locomotora. d) Traza una gráfica de aceleración contra tiempo para la locomotora. PS2. La velocidad de un automóvil aumenta con el tiempo como se muestra en la gráfica. a) ¿Cuál es la aceleración media entre los 0 y los 4 segundos? b) ¿Cuál es la aceleración media entre los 4 y los 8 segundos? c) ¿Cuál es la aceleración media entre los 0 y los 8 segundos? d) ¿El resultado del inciso c es igual al promedio de los dos valores de los incisos a y b? Compara y explica por qué.

v (m/s)

12 8 4 2

4

6

8

10

PS3. Un automóvil que viaja con dirección oeste en una carretera recta acelera a una razón constante durante 10 segundos aumentando su velocidad de 0 a 24 m/s. Después viaja a una rapidez constante durante 10 segundos y luego desacelera a una razón constante durante los 5 segundos siguientes hasta alcanzar una velocidad de 10 m/s. Viaja a esta velocidad durante 5 segundos y luego desacelera hasta detenerse por completo en un tiempo de 2 segundos. a) Traza una gráfica de la velocidad del automóvil contra el tiempo para todo el recorrido descrito. Rotula los ejes de la gráfica con las velocidades y tiempos apropiados. b) Traza una gráfica de aceleración contra tiempo para el automóvil. c) ¿La distancia recorrida por el auto aumenta continuamente en el movimiento descrito? Explica por qué. PS4. Un automóvil que viaja en línea recta a una velocidad inicial de 14 m/s acelera a una razón de 2.0 m/s2 hasta alcanzar una velocidad de 24 m/s. a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar la velocidad de 24 m/s? b) ¿Qué distancia recorre el auto en este proceso? c) Calcula los valores de la distancia recorrida en intervalos de 1 segundo y traza con cuidado una gráfica de distancia contra tiempo para este movimiento. PS5. En el preciso instante que el automóvil A arranca, lo rebasa el automóvil B, que viaja a una velocidad constante de 10 m/s, mientras que el automóvil A acelera de forma constante a 4.5 m/s2 a partir del reposo. a) Calcula la distancia recorrida por cada auto para 1 s, 2 s, 3 s y 4 s. b) ¿En qué tiempo, aproximadamente, el auto A alcanza al B? c) ¿Qué harías para calcular este tiempo con exactitud? Explícalo.

t (s)

experimentos y observaciones para la casa EC1. ¿Con qué rapidez caminas normalmente? Usando una regla o una cuerda de un metro traza un camino recto de 40 o 50 metros. Luego usa un reloj con segundero o un cronómetro para determinar: a) La rapidez con que caminas normalmente, en m/s. b) La rapidez con que caminas a paso ligero. c) La rapidez con que trotas esta distancia. d) La rapidez con que corres la misma distancia. Anota y compara los resultados de estos casos. ¿La rapidez de una carrera rápida es más del doble que tu rapidez cuando caminas a paso ligero?

en milímetros, estima la rapidez del crecimiento de una o más de las opciones siguientes: uñas de las manos, uñas de los pies, barba (si te afeitas con regularidad) o patillas. Esto proporcionará un punto de referencia fácil. Mide a intervalos regulares el tamaño medio de los recortes o del crecimiento. a) ¿Cuál es la rapidez media del crecimiento? ¿Qué unidades son más apropiadas para describirla? b) ¿La rapidez parece ser constante con el tiempo? ¿Parece ser la misma para las distintas uñas (pulgar en comparación con los demás dedos, las uñas de las manos en comparación con las de los pies), o en el caso del cabello, para las diferentes partes de la cara?

EC2. La rapidez con que crece el cabello o las uñas proporciona algunos retos interesantes de medir. Con una regla graduada

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Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles esquema del capítulo

1

capítulo

3

descripción del capítulo Nuestro propósito principal en este capítulo consiste en explorar cómo se mueven los cuerpos por la influencia de la aceleración gravitacional cerca de la superficie de la Tierra. La aceleración uniforme, expuesta en el capítulo anterior, tiene en ello un papel relevante. Empecemos por estudiar detenidamente la aceleración de un cuerpo que se deja caer desde el reposo y luego ampliamos las ideas correspondientes a los cuerpos lanzados o proyectados en cierto ángulo respecto del suelo.

2

3

unidad uno

4

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5

Aceleración debida a la gravedad. ¿Cómo un cuerpo que se deja caer se mueve por la influencia de la atracción gravitacional de la Tierra? ¿Cómo se mide su aceleración y en qué sentido es constante? Trayectoria de un cuerpo en caída libre. ¿Cómo varían, respecto al tiempo, la velocidad y la distancia recorrida por un cuerpo que cae libremente? ¿Cómo podemos estimar rápido estos valores si conocemos la aceleración gravitacional? Más allá de la caída libre: lanzamiento de un objeto hacia arriba. ¿Qué cambia cuando se lanza una bola hacia arriba en vez de dejarla caer? ¿Por qué parece mantenerse inmóvil en el aire cerca del punto más alto de su vuelo? Movimiento de proyectiles. ¿Qué determina el movimiento de un objeto que se lanza horizontalmente? ¿Cómo cambian en este caso la velocidad y la posición del objeto a lo largo del tiempo? Dar en el blanco. ¿Qué factores determinan la trayectoria de una bala de rifle o de un balón de futbol americano que se han lanzado en cierto ángulo respecto a la horizontal para golpear un blanco?

38

19/10/07 19:17:58

3.1 Aceleración debida a la gravedad

39

¿A

lguna vez has visto una hoja o una pelota caer al suelo? Quizá durante tus primeros años de vida a veces te hayas divertido repetidamente soltando un objeto y viéndolo caer. A medida que crecemos esa experiencia se vuelve tan común que en general no reparamos en ella ni nos preguntamos por qué los objetos caen como lo hacen. Mas esta interrogante ha intrigado a los científicos y filósofos durante siglos. Para comprender la naturaleza primero debemos observarla con detenimiento. Si controlamos las condiciones en las que realizamos nuestras observaciones, estamos haciendo un experimento. Las observaciones de los objetos que caen que realizaste cuando eras niño eran una forma sencilla de experimentar, y nos gustaría reavivar ese interés aquí. El avance de la ciencia se ha basado en experimentos controlados cuidadosamente y tu propio avance en la comprensión de la naturaleza depende de la demostración de tus ideas por medio de experimentos. Tal vez te sorprenda lo que descubras. Mira a tu alrededor en busca de objetos pequeños y compactos. Un lápiz pequeño, una goma de borrar, un clip o una pelota chica pueden servirte. Sostén dos objetos con los brazos extendidos y déjalos caer al mismo tiempo; obsérvalos mientras caen al piso (figura 3.1). Ten cuidado de soltarlos desde la misma altura respecto del suelo, sin impulsarlos hacia arriba o hacia abajo. ¿Cómo describirías el movimiento de estos objetos que caen? ¿Su movimiento es acelerado? ¿Llegan al piso al mismo tiempo? ¿El movimiento depende de la forma y la composición del objeto? Para explorar esta última

3.1 Aceleración debida a la gravedad Si dejas caer algunos objetos como se indica en la introducción, ya conoces la respuesta a una de las preguntas planteadas aquí. ¿Los objetos que caen tienen aceleración? Reflexiona un momento acerca de si la velocidad cambia. Antes de soltar un objeto su velocidad es cero, pero un instante después de dejarlo caer tiene un valor distinto. Ha ocurrido un cambio en la velocidad. Si ésta cambia, hay una aceleración. Las cosas pasan tan rápido que es difícil, con sólo observar la caída, decir mucho sobre la aceleración. Parece ser grande porque la velocidad aumenta rápidamente. ¿El objeto alcanza una velocidad grande de forma instantánea, o la aceleración ocurre de manera más uniforme? Para responder a esta pregunta debemos reducir la velocidad del movimiento hacia abajo, de manera que nuestros ojos y nuestra mente puedan mantenerse al tanto de lo que está sucediendo.

¿Cómo podemos medir la aceleración gravitacional? Hay varias formas de reducir la velocidad de la acción. Una fue aplicada por primera vez por el científico italiano Gali-

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3.1 Un experimentador deja caer objetos de masa diferente. ¿Llegan al piso al mismo tiempo?

figura

pregunta, podrías tomar una pequeña hoja de papel y soltarla al mismo tiempo que una goma o una pelota. Primero suelta el papel sin arrugarlo; luego prueba doblándolo o arrugándolo hasta formar una bolita. ¿Cuál es la diferencia? A partir de estos experimentos simples podemos extraer algunas conclusiones generales acerca de los cuerpos que caen. Podemos también tratar de arrojar o lanzar objetos en diferentes ángulos para estudiar el movimiento de un proyectil. Encontraremos que en todos estos casos hay presente una aceleración gravitacional descendente y constante. Esa aceleración afecta prácticamente todo lo que hacemos cuando nos movemos o jugamos en la superficie terrestre.

leo Galilei (1564-1642), quien fue el primero en describir con precisión la aceleración debida a la gravedad. Su método consistió en hacer rodar o deslizar objetos hacia abajo por un plano ligeramente inclinado. Ello permite que sólo influya una pequeña parte de la aceleración, únicamente esa parte que va en la dirección del movimiento a lo largo del plano. Por tanto, resulta una aceleración menor. Otros métodos (no disponibles para Galileo) usan la fotografía con tomas a intervalos fijos, los detectores de movimiento ultrasónico o la grabación de video para ubicar en diferentes momentos la posición de los objetos que caen. Si tienes a mano una regla marcada y una pelota pequeña o una canica puedes hacer un plano inclinado. Coloca el lápiz debajo de un extremo de la regla para levantarla un poco y deja que la pelota o la canica ruede hacia abajo por ella bajo la influencia de la gravedad (figura 3.2). ¿Puedes ver si adquiere rapidez gradualmente mientras se desliza? ¿Se observa con claridad que se mueve más rápido en la parte baja del plano inclinado que a la mitad? Galileo tenía una clara desventaja por la falta de dispositivos precisos para medir el tiempo. Con frecuencia debía usar su propio pulso como cronómetro. Pese a ello, estableció que

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40

Capítulo 3

Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles

figura 3.2

Una canica rueda hacia abajo por una regla que sirve como plano inclinado. ¿Su velocidad aumenta a medida que rueda por el plano?

la aceleración era uniforme o constante a lo largo del tiempo y estimó su valor empleando planos inclinados. Nosotros somos más afortunados, pues contamos con aparatos que nos permiten estudiar de manera más directa el movimiento de un objeto que cae. Uno de esos dispositivos es el estroboscopio, una luz que se enciende intermitentemente y cuyos destellos ocurren en intervalos de tiempo regulares. La figura 3.3 es una fotografía tomada con un estroboscopio para iluminar un objeto a medida que cae, y cuya posición se ubica con exactitud cada vez que la luz se enciende. Si miras con atención la figura 3.3, notarás que la distancia recorrida por la pelota en intervalos de tiempo sucesivos aumenta de manera regular. Los intervalos de tiempo entre las posiciones de la pelota son iguales. (Si la luz del estroboscopio se enciende cada 1/20 de segundo, ves la posición de la pelota cada 1/20 de segundo.) Como la distancia recorrida por la pelota en intervalos de tiempo iguales va incrementándose, la velocidad debe ir en aumento. En la figura 3.3 se muestra una pelota cuya velocidad crece rápidamente con dirección hacia abajo.

El cálculo de los valores de la velocidad media para cada intervalo de tiempo hará esto más evidente. Podemos realizarlo si conocemos el intervalo de tiempo que hay entre los destellos y podemos medir la posición de la pelota en la fotografía, siempre que conozcamos la distancia que hay entre las marcas de la cuadrícula. En la tabla 3.1 se indican los datos obtenidos de esta forma. En ella se presenta la posición de una pelota en intervalos de 1/20 de segundo (0.05 segundo). Para advertir que la velocidad realmente aumenta, calculamos la velocidad media para cada intervalo de tiempo sucesivo. Por ejemplo, entre los destellos segundo y tercero la pelota recorrió una distancia de 3.6 centímetros, la cual se obtiene restando 1.2 centímetros (cm) de 4.8 cm. La división de esta distancia entre el intervalo de tiempo de 0.05 segundos resulta en el tamaño medio de la velocidad: v=

3.6 cm = 72 cm/s. 0.05 s

Podrías verificar los otros valores mostrados en la tercera columna de la tabla 3.1 mediante cálculos similares. Es evidente en la tabla 3.1 que los valores de la velocidad aumentan de modo regular. Para notar que la velocidad crece a razón constante podemos trazar una gráfica de velocidad contra tiempo (figura 3.4). Observa que cada punto de datos de la velocidad se sitúa en el punto medio entre los dos tiempos (o luces) a partir del cual se calculó. Esto se debe a que estos valores representan la velocidad media para los intervalos de tiempo cortos entre la luz. Para una aceleración constante, la velocidad media para cualquier intervalo de tiempo es igual a la velocidad instantánea en el punto medio de ese intervalo. ¿Observaste que la pendiente de la recta es constante en la figura 3.4? Todos los valores de la velocidad se hallan aproximadamente en una línea recta de pendiente constante. Como la aceleración es la pendiente de la gráfica de velocidad contra tiempo, la aceleración también debe ser constante. La velocidad aumenta uniformemente con el tiempo.

tabla 3.1 Valores de distancia y velocidad para una pelota que cae Tiempo 0 0.05 s

figura 3.3

Una pelota que cae es iluminada por un estroboscopio que se enciende intermitentemente en intervalos de tiempo regulares.

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Distancia

Velocidad

0

24 cm/s

1.2 cm

72 cm/s

0.10 s

4.8 cm

124 cm/s

0.15 s

11.0 cm

174 cm/s

0.20 s

19.7 cm

218 cm/s

0.25 s

30.6 cm

268 cm/s

0.30 s

44.0 cm

320 cm/s

0.35 s

60.0 cm

368 cm/s

0.40 s

78.4 cm

416 cm/s

0.45 s

99.2 cm

464 cm/s

0.50 s

122.4 cm

19/10/07 19:18:05

41

3.1 Aceleración debida a la gravedad

500

Velocidad (cm/s)

400 300 200 100 0

0

0.1

0.2 0.3 Tiempo (s)

0.4

0.5

figura 3.4

Velocidad trazada contra tiempo para la pelota que cae. Los valores de la velocidad proceden de la tabla 3.1.

Para hallar el valor de la aceleración elegimos dos valores de la velocidad en línea recta y calculamos cuán rápido cambia la velocidad. Por ejemplo, el último valor de la velocidad, 464 cm/s, y el segundo valor, 72 cm/s, están separados por un intervalo de tiempo de 8 encendidos de la luz o 0.40 de segundo. El aumento en la velocidad Δv se determina restando 72 cm/s de 464 cm/s, con lo que se obtiene 392 cm/s. Para calcular la aceleración dividimos este cambio en la velocidad entre el intervalo de tiempo (a = Δv/t), como sigue: a=

392 cm/s = 980 cm/s2 = 9.8 m/s2. 0.4 s

Este resultado nos da la aceleración debida a la gravedad para los cuerpos que caen cerca de la superficie de la Tierra. Su valor en realidad varía ligeramente de un lugar a otro de la superficie del planeta debido a las diferencias de altitud y otros factores. Esta aceleración se usa con tal frecuencia que se le ha asignado su propio símbolo, g, donde g = 9.8 m/s2.

télico, según el cual los objetos más pesados caen más rápido. ¿Por qué esa teoría de Aristóteles se aceptó tanto tiempo si experimentos tan simples la rebatían? La experimentación no formaba parte de la perspectiva intelectual de Aristóteles y sus seguidores, quienes valoraban mucho más el pensamiento puro y la lógica. Galileo y otros científicos de su época abrieron nuevos caminos al experimentar como ayuda para el razonamiento. Una nueva tradición había surgido. Por otra parte, la teoría aristotélica coincide con nuestra intuición de que los objetos pesados caen más pronto que los ligeros. Por ejemplo, si soltamos al mismo tiempo un ladrillo y una pluma o una hoja de papel sin doblar (figura 3.5), aquél llegará al suelo primero. Ni el papel ni la pluma caerán en línea recta sino que revolotearán de manera muy parecida a como cae la hoja de un árbol. ¿Qué es lo que sucede en este caso? Quizá reconozcas que los efectos de la resistencia del aire impiden la caída de la pluma o de la hoja de papel mucho más que la del ladrillo, la de un balín de acero o la de un clip. Cuando arrugamos el papel para hacer una bolita y la dejamos caer al mismo tiempo que un ladrillo u otro objeto pesado, los dos llegan al suelo aproximadamente al mismo tiempo. Vivimos en el fondo de un mar de aire, y los efectos de la resistencia que ofrece pueden ser sustanciales para objetos tales como las hojas, las plumas y las hojas de papel. Estos efectos producen un vuelo más lento y menos regular en los objetos ligeros que tienen un área de superficie grande. Si dejamos caer una hoja y un ladrillo de manera simultánea en el vacío o en la atmósfera muy delgada de la Luna, llegarán al suelo a la vez. Pero las condiciones lunares no forman parte de nuestra experiencia cotidiana, así que estamos acostumbrados a ver a plumas caer más lentamente que las rocas o los ladrillos. La propuesta de Galileo consiste en que la aceleración gravitacional es la misma para todos los cuerpos, sin importar su peso, siempre que los efectos de la resistencia del aire no sean significativos. Aristóteles no separó en sus observaciones el efecto de la resistencia del aire del ejercido por la gravedad.

Se le llama aceleración gravitacional o aceleración debida a la gravedad y sólo es válida cerca de la superficie de la Tierra; por tanto, no es una constante fundamental.

¿Cuál es la diferencia entre las ideas de Galileo y las de Aristóteles sobre los cuerpos que caen? Hay otro sentido en el que la aceleración gravitacional es constante, el cual nos remite a los experimentos propuestos al principio del capítulo (página 39). Cuando dejas caer objetos de diferente tamaño y peso, ¿llegan al piso al mismo tiempo? Excepto la hoja de papel sin doblar, es probable que todos los objetos con que pruebes, sin importar su peso, lleguen simultáneamente al piso cuando los sueltas al mismo tiempo. Este descubrimiento indica que la aceleración gravitacional no depende del peso del objeto. Galileo realizó experimentos parecidos para demostrar su teoría. Sus experimentos contradecían el punto de vista aristo-

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figura 3.5

El ladrillo llega al suelo primero cuando se deja caer al mismo tiempo que una pluma.

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Capítulo 3

Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles

La aceleración gravitacional para los objetos cercanos a la superficie de la Tierra es uniforme y equivale a 9.8 m/s2. Puede medirse con un estroboscopio o mediante técnicas similares que registren la posición de un cuerpo que cae en intervalos de tiempo muy pequeños y regulares. Esta aceleración es constante en el tiempo. Contrario a la creencia de Aristóteles, también tiene el mismo valor para objetos de diferente peso.

3.2 Trayectoria de un cuerpo en caída libre Imagina que dejas caer una pelota desde una ventana del sexto piso, como se muestra en la figura 3.6. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Con qué rapidez viaja al llegar ahí? Las cosas pasan tan de prisa que las respuestas a estas preguntas no son obvias. Si suponemos que los efectos de la resistencia del aire son pequeños para el objeto que estamos rastreando, sabemos que se acelera hacia el suelo a una razón constante de 9.8 m/s2. Hagamos algunas estimaciones inmediatas de cómo cambia este valor con el tiempo sin realizar cálculos detallados.

¿Cómo varía la velocidad con el tiempo? Al estimar la velocidad y la distancia para un cuerpo que cae solemos aprovechar que el valor de la aceleración gravitacional de 9.8 m/s2 sea casi 10 m/s2, así que lo redondeamos, lo que facilita el cálculo de los valores numéricos sin sacrificar mucha precisión. Multiplicar por 10 es más rápido que hacerlo por 9.8. Luego de 1 segundo, ¿con qué rapidez se mueve la pelota que acabamos de soltar? Una aceleración de 10 m/s2 significa que la velocidad aumenta 10 m/s cada segundo. Si su velocidad original es cero, entonces después de 1 segundo habrá aumentado a 10 m/s, en 2 segundos a 20 m/s, y en 3 segundos a 30 m/s. Por cada segundo adicional la pelota gana 10 m/s en velocidad.* Para comprender mejor estos valores mira de nuevo la tabla 2.1, donde se comparan las unidades de diversa rapidez. La velocidad de 30 m/s equivale aproximadamente a 70 mi/h; por tanto, después de 3 segundos la pelota se mueve rápidamente. Tras 1 segundo, se mueve a una velocidad descendente de 10 m/s, que es más de 20 mi/h. La pelota adquiere velocidad a una razón más rápida de lo que es posible para un automóvil de gran potencia en una superficie llana.

¿Qué distancia recorre la pelota durante su caída en diferentes tiempos? Las altas velocidades son más significativas si examinamos qué distancia recorre la pelota en su caída durante estos tiempos. A medida que la pelota cae adquiere rapidez y, por tanto, * En la sección 2.5 observamos que la velocidad de un objeto que se mueve a aceleración uniforme es v = v0 + at, donde v0 es la velocidad original y el segundo término es el cambio en la velocidad, Δv = at. Cuando se deja caer una pelota, v0 = 0; por tanto, v es simplemente at, el cambio en la velocidad.

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3.6 Se deja caer una pelota desde una ventana de un sexto piso. ¿Cuánto tiempo le toma llegar al suelo?

figura

viaja más lejos en intervalos sucesivos de tiempo, como en la fotografía de la figura 3.3. Debido a la aceleración uniforme, la distancia aumenta en una razón cada vez mayor. Durante el primer segundo de movimiento la velocidad de la pelota aumenta de cero a 10 m/s. Su velocidad media en ese primer segundo es de 5 m/s, y recorre una distancia de 5 m en ese lapso. Esto también puede obtenerse usando la relación entre distancia, aceleración y tiempo expuesta en la sección 2.5. 1 Si la velocidad inicial es cero, tenemos que d = 2 at2. Luego de 1 segundo, la pelota ha caído una distancia 1

d = 2 (10 m/s2)(1 s)2 = 5 m. Como la altura de un piso cualquiera de un edificio alto es menor de 4 metros, la pelota recorre en su caída más de un piso en un solo segundo. Durante el siguiente segundo de movimiento, la velocidad aumenta de 10 m/s a 20 m/s, lo que arroja una velocidad media de 15 m/s para ese intervalo. La pelota recorre 15 metros en ese segundo, los cuales, cuando se suman a los 5 metros recorridos en el primero, producen un total de 20 metros. Tras 2

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43

3.2 Trayectoria de un cuerpo en caída libre

segundos, la distancia de caída es cuatro veces los 5 metros recorridos después de 1 segundo.* Como 20 metros son apenas cinco pisos de altura, la pelota que se dejó caer desde el sexto piso estará cerca del suelo después de 2 segundos. En la figura 3.7 se da la velocidad y la distancia recorrida en la caída en intervalos de tiempo de medio segundo para una pelota que se suelta desde el sexto piso de un edificio. Observa que apenas en medio segundo la pelota cae 1.25 metros. Una persona con los brazos extendidos suelta un objeto, el cual llega al suelo en apenas medio segundo, lo que dificulta la medición del tiempo con un cronómetro (véase el cuadro de ejemplo 3.1.) El cambio en la velocidad es proporcional al tamaño del intervalo de tiempo seleccionado. En 1 segundo el cambio en la velocidad es de 10 m/s; en consecuencia, en medio segundo ese cambio es de 5 m/s. En cada medio segundo la pelota adquiere aproximadamente 5 m/s de velocidad, como se ilustra en la figura 3.7. A medida que la velocidad se incrementa, las flechas que representan los vectores de velocidad crecen. Si trazamos los de velocidad contra tiempo obtendríamos una gráfica de una línea recta con pendiente hacia arriba como en la figura 3.4. ¿Cómo se ve la gráfica de los valores de la distancia? Éstos aumentan en proporción al cuadrado del tiempo, lo cual significa que crecen más y más rápido a medida que transcurre el tiempo. En vez de ser una línea recta, la gráfica de los valores de la distancia se curva hacia arriba como en la figura 3.8. La razón de cambio de la distancia respecto al tiempo aumenta con el tiempo.

Lanzamiento de una pelota hacia abajo Imagina que en vez de soltar la pelota la lanzamos hacia abajo en línea recta, dándole una velocidad inicial v0 distinta de cero. ¿Cómo afecta esto el resultado? ¿Llega la pelota al piso más rápidamente y con mayor velocidad? Quizá intuyas, correctamente, que la respuesta es sí. En el caso de los valores de la velocidad no es difícil advertir el efecto de la velocidad inicial. La pelota aún se está acelerando debido a la gravedad, por lo que el cambio en la velocidad por cada segundo de movimiento sigue siendo Δv = 10 m/s, o para medio segundo, 5 m/s. Si la velocidad descendente inicial es de 20 m/s, después de medio segundo la velocidad es 25 m/s, y luego de 1 segundo es 30 m/s. Simplemente sumamos el cambio en la velocidad a la velocidad inicial, como indica la fórmula v = v0 + at. Sin embargo, en el caso de la distancia los valores aumentan con mayor rapidez. La expresión completa para la distancia recorrida por un objeto uniformemente acelerado (presentada en la sección 2.5) es la que sigue: 1

d = v0t + 2 at2. * Éste es un resultado del tiempo que se está elevando al cuadrado en la 1 fórmula para la distancia. Al poner 2 s en lugar de 1 s en la fórmula d = 2 at2 2 se multiplica el resultado por un factor de 4 (2 = 4), con lo que se obtiene una distancia de 20 m.

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t = 0.5 s

d = 1.25 m

v = 5 m/s

t = 1.0 s

d = 5.0 m

v = 10 m/s

t = 1.5 s

d = 11.3 m

v = 15 m/s

t = 2.0 s

d = 20 m

v = 20 m/s

3.7 Valores de velocidad y distancia para la pelota que se deja caer mostrados en intervalos de tiempo de medio

figura

cuadro de ejemplo 3.1 Ejercicio: uso del número de pulsaciones para medir la caída de un objeto Pregunta: piensa que el número de pulsaciones en reposo de Galileo era de 60 latidos por minuto. ¿Constituye este pulso un medidor de tiempo útil para obtener datos de posición contra tiempo para un objeto que se deja caer de 2 a 3 metros de altura? Respuesta: el número de pulsaciones de 60 latidos por minuto corresponde a 1 latido por segundo. En 1 segundo, un objeto que se deja caer recorre una distancia de aproximadamente 5 m (cae 1.22 m en sólo medio segundo, como se ve en la tabla 3.1). Por tanto, este número de pulsaciones (o la mayoría de los números de pulsaciones) sería un medidor de tiempo adecuado para un objeto que se suelta desde una altura de unos cuantos metros. Podría ser un tanto más eficaz para un objeto que se deja caer desde una torre de varios pisos de altura.

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Capítulo 3

Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles

se tenían cuando la pelota simplemente se soltaba. Después de sólo 1 segundo la pelota ya ha recorrido 25 metros, lo que significa que estaría cerca del suelo si se lanzara de nuestro edificio de seis pisos. Considera, no obstante, que hemos ignorado los efectos de la resistencia del aire al obtener estos resultados. Para un objeto compacto que cae sólo unos cuantos metros, los efectos de tal resistencia son muy pequeños. Sin embargo, aumentan conforme crece la velocidad, así que cuanta más distancia recorra el objeto al caer, mayores serán los efectos de la resistencia del aire. En el capítulo 4 estudiaremos su importancia con mayor detalle, en el contexto del paracaidismo.

Distancia (m)

20

10

0

0

1.0

2.0 Tiempo (s)

figura 3.8

Gráfica de distancia contra tiempo para la pelota

que se dejó caer.

El primer término es la distancia que recorrería la pelota si continuara moviéndose sólo a su velocidad original. Esta distancia también aumenta con el tiempo. El segundo término se debe a la aceleración y tiene los mismos valores que se muestran en las figuras 3.7 y 3.8. En el ejercicio del cuadro de ejemplo 3.2 calculamos la velocidad y la distancia recorrida durante los primeros 2 segundos de movimiento para una pelota que se lanza hacia abajo. Observa que tras 2 segundos la pelota ha recorrido una distancia de 60 metros, mucho mayor que los 20 metros que

cuadro de ejemplo 3.2

Cuando un objeto se deja caer, su velocidad aumenta aproximadamente 10 m/s cada segundo debido a la aceleración gravitacional. La distancia recorrida crece a una razón cada vez mayor debido a que la velocidad va en aumento. En sólo unos segundos el objeto se mueve muy rápido y ha caído una distancia grande. En la sección 3.3, exploraremos los efectos de la aceleración gravitacional de un cuerpo lanzado hacia arriba.

3.3 Más allá de la caída libre: lanzamiento de un objeto hacia arriba En la sección 3.2 analizamos lo que ocurre cuando una pelota se deja caer o se lanza hacia abajo. En ambos casos, la pelota adquiere velocidad a medida que cae debido a la aceleración gravitacional. Pero ¿qué sucede si la pelota se lanza hacia arriba, como en la figura 3.9? ¿Cómo afecta la aceleración gravitacional su desplazamiento? Todo lo que sube tiene que bajar, pero cuándo y con qué rapidez son preguntas interesantes con las aplicaciones diarias.

Ejercicio: lanzamiento de una pelota hacia abajo Se lanza una pelota hacia abajo con una velocidad inicial de 20 m/s. Con el valor de 10 m/s2 para la aceleración gravitacional, calcula a) la velocidad y b) la distancia recorrida en intervalos de tiempo de 1 s para los primeros 2 s de movimiento. a) v0 = 20 m/s a = 10 m/s2 v = ?

t = 2s b) d = ? t = 1s

v = para v = = =

v0 + at t = 1s 20 m/s + (10 m/s2)(1 s) 20 m/s + 10 m/s 30 m/s

v = 20 m/s + (10 m/s2)(2 s) = 20 m/s + 20 m/s = 40 m/s 1

d = v0t + 2 at2 d = (20 m/s)(1 s) +

1 2

(10 m/s2)(1 s)2

= 20 m + 5 m = 25 m t = 2s

d = (20 m/s)(2 s) +

1 2

(10 m/s2)(2 s)2

= 40 m + 20 m = 60 m

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3.9 Una pelota lanzada hacia arriba regresa al suelo. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la velocidad en diferentes puntos del vuelo?

figura

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3.3 Más allá de la caída libre: lanzamiento de un objeto hacia arriba

La dirección de los vectores de la aceleración y la velocidad merecen toda nuestra atención. La aceleración gravitacional siempre tiene dirección hacia abajo, hacia el centro de la Tierra, porque ése es el sentido de la fuerza gravitacional que la produce. Ello significa que la aceleración va en dirección opuesta a la velocidad ascendente original.

t = 2s d = 20 m v = 0

t = 1s d = 15 m v = +10 m/s

¿Cómo cambia la velocidad de la pelota? Imagina que lanzamos una pelota en línea recta hacia arriba a una velocidad original de 20 m/s. Muchos de nosotros podemos lanzar una pelota a tal velocidad: son aproximadamente 45 mi/h. Esto es mucho menos que una bola rápida de 90 mi/h, pero lanzar una pelota hacia arriba con buena velocidad es más difícil que arrojarla en forma horizontal. Una vez que la pelota deja nuestra mano, la principal fuerza que actúa sobre ella es la gravedad, la cual produce una aceleración descendente de 9.8 m/s2, o aproximadamente 10 m/s2. Cada segundo hay un cambio en la velocidad de 10 m/s; sin embargo, este cambio está dirigido hacia abajo, es opuesto a la velocidad original, de la cual ha de restarse en vez de sumarse. Una vez que reconozcas la importancia de la dirección al observar la pelota lanzada hacia arriba, el cálculo de la velocidad en tiempos distintos no resultará difícil. Tras 1 segundo la velocidad de la pelota ha disminuido 10 m/s; por tanto, si empezó a +20 m/s (se elige la dirección hacia arriba como positiva en este caso), ahora se mueve hacia arriba a una velocidad de sólo +10 m/s. Después de 2 segundos pierde otros 10 m/s; por ende, su velocidad es de cero. No se detiene ahí, desde luego. En otro segundo (3 segundos a partir del lanzamiento), su velocidad disminuye otros 10 m/s y enseguida se mueve hacia abajo a –10 m/s. El signo de la velocidad indica la dirección. Todos estos valores pueden determinarse a partir de la relación v = v0 + at, donde v0 = +20 m/s y a = –10 m/s2. A todas luces, la pelota ha cambiado de dirección, como cabía esperar. Igual que antes, la velocidad cambia uniformemente a –10 m/s cada segundo debido a la aceleración descendente uniforme. Luego de 4 segundos la pelota se mueve hacia abajo a una velocidad de –20 m/s y regresa al punto de partida. En la figura 3.10 se ilustran estos resultados. El punto más alto del movimiento ocurre en un tiempo de 2 segundos después de lanzada la pelota, donde la velocidad es igual a cero. Si la velocidad es cero, la pelota no está moviéndose ni hacia arriba ni hacia abajo; por tanto, se trata del punto donde da vuelta. Una pregunta interesante, infaltable en los exámenes de física (y que suelen responder mal los estudiantes), pide el valor de la aceleración en el punto máximo del movimiento. Si ahí la velocidad es igual a cero, ¿cuál es el valor de la aceleración? La respuesta rápida, e incorrecta que dan muchas personas es que la aceleración también debe ser cero en ese punto. La respuesta correcta es que la aceleración sigue siendo –10 m/s2. La aceleración gravitacional es constante, no cambia. La velocidad de la pelota está cambiando en ese instante de un valor positivo a otro negativo, aun cuando la velocidad instantánea sea cero. La aceleración es la razón de cambio de la velocidad y guarda poca relación con el tamaño de la velocidad.

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45

t = 0 d = 0 v = +20 m/s

t = 3s d = 15 m v = –10 m/s

t = 4s d = 0 v = –20 m/s

figura 3.10

Vectores de la velocidad en diferentes puntos en el vuelo de una pelota lanzada hacia arriba a una velocidad inicial de +20 m/s.

¿Cómo sería la gráfica de velocidad contra tiempo para el movimiento descrito? Si volvemos positiva la dirección ascendente del movimiento, la velocidad empieza con un valor de +20 m/s y cambia a una razón constante, disminuyendo –10 m/s cada segundo. Ésta es una gráfica de línea recta, con pendiente hacia abajo como en la figura 3.11. Los valores positivos de la velocidad representan el movimiento ascendente, donde el tamaño de la velocidad está disminuyendo; los valores negativos indican el movimiento descendente. Si la pelota no llegara al suelo, sino que fuera lanzada desde el borde de un precipicio, seguiría adquiriendo velocidad negativa conforme avanzara hacia abajo.

¿Qué tan alto llega la pelota? La posición de la altura de la pelota en diferentes tiempos puede calcularse con los métodos descritos en la sección 3.2. Estos cálculos de la distancia implican la fórmula para la aceleración uniforme desarrollada en la sección 2.5. En el ejercicio del cuadro de ejemplo 3.3 calculamos la altura o la distancia recorrida en intervalos de 1 segundo para la pelota lanzada hacia arriba a +20 m/s, usando –10 m/s2 para la aceleración gravitacional.

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Capítulo 3

Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles

+20

v (m/s)

+10 0

1

2

3

4

t (s)

–10 –20

figura 3.11

Gráfica de velocidad contra tiempo para una pelota lanzada hacia arriba a una velocidad inicial de +20 m/s. Los valores negativos de la velocidad representan el movimiento descendente.

¿Qué debes observar en torno a estos resultados? Primero, el punto más alto del movimiento es 20 metros sobre el punto de partida, se alcanza cuando la velocidad es cero y determinamos que esto ocurre en un lapso de 2 segundos. Este tiempo depende de cuán rápido se lanza la pelota inicialmente. Cuanto mayor sea la velocidad original, mayor será el tiempo para llegar al punto máximo. Sabiendo esto podemos usar la fórmula de la distancia para hallar la altura. También debes observar que después de sólo 1 segundo la pelota alcanza una altura de 15 metros. Nada más recorre 5 metros adicionales en el siguiente segundo de movimiento, y luego cae de nuevo a 15 metros en el segundo siguiente. La pelota pasa 2 segundos completos encima de la altura de 15 metros, aun cuando sólo llega a una altura de 20 metros. Se mueve más lentamente cerca del punto más alto de su vuelo que en los puntos inferiores, razón por la cual parece “quedar suspendida” cerca del punto más alto.

Finalmente, el tiempo que demora la pelota en regresar al punto de partida desde el punto más alto es igual al tiempo que le toma llegar a este último punto. Precisa 2 segundos para alcanzar el punto más alto y otros 2 para caer de nuevo al punto de partida. El tiempo total de vuelo es sólo el doble del necesario para llegar al punto máximo, en este caso, 4 segundos. Una velocidad inicial más grande produciría un punto de cambio de dirección más alto y un “tiempo de suspensión” mayor. Una pelota lanzada hacia arriba disminuye su velocidad debido a la aceleración gravitacional hasta que su velocidad se reduce a cero en el punto más alto. La pelota entonces cae desde ese punto acelerándose hacia abajo a la misma razón constante que tenía cuando subía. La pelota viaja más lenta cerca del punto más alto de su vuelo; por tanto, parece “quedar suspendida” ahí. Pasa más tiempo en los pocos metros superiores que en el resto del vuelo. Veremos que estas características también se presentan cuando una pelota se proyecta en cierto ángulo respecto a la horizontal, como se explica en la sección 3.5.

3.4 Movimiento de proyectiles Piensa que en vez de lanzar una pelota en línea recta hacia arriba o hacia abajo, la avientas horizontalmente cierta distancia sobre el nivel del piso. ¿Qué ocurre? ¿La pelota se mueve en línea recta hasta que pierde toda su velocidad horizontal y luego comienza a caer como el coyote perplejo de los dibujos animados del Correcaminos (figura 3.12)? ¿Cómo es la ruta, o trayectoria, real? Los dibujos animados ofrecen una idea engañosa. De hecho, suceden dos cosas al mismo tiempo: (1) la pelota se acelera hacia abajo por la influencia de la gravedad, y (2) también se mueve de manera lateral a una velocidad horizontal más o menos constante. La combinación de estos dos movimientos nos da la trayectoria o ruta general.

cuadro de ejemplo 3.3 Ejercicio: lanzamiento de una pelota hacia arriba Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcula su altura en intervalos de 1 s para los primeros 4 s de su vuelo. d = ?

d = v0t +

1 2

at2 1

t = 1s

= (20 m/s)(1 s) + 2 (−10 m/s2)(1 s)2 = 20 m − 5 m = 15 m

t = 2s

d = (20 m/s)(2 s) + 2 (−10 m/s2)(2 s)2 = 40 m − 20 m = 20 m

t = 3s

d = (20 m/s)(3 s) + 2 (−10 m/s2)(3 s)2 = 60 m − 45 m = 15 m

t = 4s

d = (20 m/s)(4 s) + 2 (−10 m/s2)(4 s)2 = 80 m − 80 m = 0 m

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1

1

1

figura 3.12

El coyote de los dibujos animados cae de un precipicio. ¿Se trata de una imagen objetiva de lo que ocurre en realidad?

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3.4 Movimiento de proyectiles

¿Cómo es la trayectoria? Puedes realizar un experimento sencillo que te ayude a ver la trayectoria que sigue el proyectil. Toma una canica o una pelota pequeña, ruédala a lo largo de la superficie de un escritorio o una mesa y deja que caiga por un borde. ¿Cómo es la trayectoria de la pelota mientras viaja por el aire hasta llegar al suelo? ¿Es parecida a la del coyote de la figura 3.12? Haz rodar la pelota a diferentes velocidades y observa cómo cambia la trayectoria. Trata de esbozarla después de hacer estas observaciones. ¿Cómo analizamos este movimiento? La clave radica en pensar en las componentes horizontal y vertical del movimiento por separado y luego combinarlas para obtener la trayectoria real (figura 3.13). La aceleración del movimiento horizontal es cero, siempre que la resistencia del aire sea lo suficientemente pequeña como para ignorarla. Ello implica que la pelota se mueve con una velocidad horizontal constante una vez que ha rodado fuera de la mesa o ha dejado la mano. La pelota recorre distancias horizontales iguales en intervalos de tiempo iguales, como se muestra en la parte superior de la figura 3.13. Para construir este diagrama consideramos una velocidad horizontal inicial de 2 m/s para la pelota. Por tanto, cada décimo de segundo la pelota recorre una distancia horizontal de 0.2 metros. Al mismo tiempo que la pelota se desplaza con una velocidad horizontal constante, se acelera hacia abajo por la influencia de la aceleración gravitacional constante, g. Su velocidad vertical aumenta exactamente como la de la pelota fotografiada que cae de la figura 3.3. Este movimiento se representa en la parte izquierda de la figura 3.13. En cada intervalo de tiempo sucesivo la pelota cae una distancia mayor que en el intervalo de tiempo anterior, ya que la velocidad vertical aumenta con el tiempo. Si combinamos los movimientos horizontal y vertical obtenemos la trayectoria sesgada hacia abajo que se muestra en la figura 3.13. Para cada tiempo mostrado, trazamos una línea t = 0.1 s

x t = 0.2 s

punteada horizontal situando la posición vertical de la pelota, y una línea punteada vertical para la posición horizontal. La ubicación de la pelota en cualquier momento es el punto donde se intersecan estas líneas. La trayectoria resultante (la curva continua) debe parecerte conocida si has realizado los experimentos simples sugeridos en el primer párrafo de esta página. Si comprendes cómo obtuvimos la trayectoria de la pelota, te será más fácil entender el movimiento de proyectiles. La velocidad total de la pelota en cada posición trazada tiene la dirección de la trayectoria en ese punto, puesto que es la dirección real del movimiento de la pelota. Esta velocidad total es una suma vectorial de las componentes horizontal y vertical de la velocidad (figura 3.14). (En el apéndice C se explica qué son las componentes de los vectores.) La velocidad horizontal permanece constante debido a que no hay aceleración en esa dirección. La velocidad descendente (vertical) es cada vez mayor.

consejo de estudio Si no estás familiarizado con los vectores, debes dedicar tiempo para leer y resolver los ejercicios del apéndice C, donde se describe qué son, cómo se suman usando procedimientos gráficos sencillos y cómo se definen sus componentes. En esta sección usamos las ideas de que una cantidad vectorial como la velocidad puede tener tanto componentes horizontales como verticales y que esos componentes se suman para obtener la velocidad total. Estos conceptos tienen una importancia fundamental para comprender el movimiento de proyectiles. La suma y los componentes de los vectores también se usan en muchas otras situaciones que encontraremos en capítulos posteriores.

La forma real de la trayectoria seguida por la pelota depende de la velocidad horizontal que se imprime a la pelota al lanzarla o rodarla hacia fuera por la superficie de la mesa. Si esa velocidad horizontal inicial es pequeña, la pelota no viaja muy lejos horizontalmente. Por tanto, su trayectoria será como la velocidad inicial más pequeña v1 de la figura 3.15. Las tres trayectorias mostradas en esa figura tienen tres velocidades iniciales diferentes. Como cabría esperar, la pelota vhorizontal

t = 0.3 s

vtotal

vvertical

t = 0.4 s

y

figura 3.13

Los movimientos vertical y horizontal se combinan para producir la trayectoria de la pelota arrojada.

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figura 3.14

La velocidad total en cualquier punto se calcula sumando la componente vertical de la velocidad a la componente horizontal.

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48

Capítulo 3

Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles

cuadro de ejemplo 3.4 Ejercicio: movimiento de proyectiles

v1

v2

v3

figura 3.15

Trayectorias para diferentes velocidades iniciales de una pelota que rueda hacia fuera de una mesa: v3 es mayor que v2, la cual a su vez es mayor que v1.

Una pelota rueda hacia fuera de la superficie de una mesa con una velocidad inicial de 3 m/s. Si la mesa está a 1.25 m del suelo, a) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al piso? b) ¿Cuán lejos viaja la pelota horizontalmente? a) En la figura 3.7 vimos que una pelota caerá una distancia de 1.25 m en aproximadamente medio segundo. Esto podría determinarse directamente a partir de dvertical = 1.25 m a = g = 10 m/s2 t = ?

recorre distancias horizontales más grandes cuando se proyecta a una velocidad horizontal inicial mayor.

dvertical =

1 2

at 2

Al resolver para t2: t2 = =

d 1 2

a

1.25 m 5 m/s2

= 0.25 s2

¿Qué determina el tiempo de vuelo? ¿Cuál de las tres pelotas de la figura 3.15 golpeará el suelo primero si todas dejan la superficie de la mesa al mismo tiempo? ¿El tiempo que tarda la pelota en golpear el suelo depende de su velocidad horizontal? Hay una tendencia natural a creer que la pelota que viaja más lejos se demora más en llegar al suelo. Las tres pelotas deben llegar al suelo a la vez. La razón es que todas aceleran hacia abajo a la misma razón de 9.8 m/s2. Esta aceleración descendente no se ve afectada por la rapidez con que la pelota viaja horizontalmente. El tiempo que tardan en llegar al suelo las tres pelotas de la figura 3.15 está determinado totalmente por la distancia desde el suelo a la que se halla la superficie de la mesa. El movimiento vertical es independiente de la velocidad horizontal. Este hecho a menudo sorprende a la gente. Contradice nuestra idea intuitiva de lo que sucede, mas puede confirmarse haciendo experimentos sencillos con dos pelotas iguales (figura 3.16). Si lanzas una pelota horizontalmente al mismo tiempo que sólo dejas caer la segunda pelota desde la misma altura, ambas deben llegar al suelo aproximadamente al mismo tiempo. Podría no ocurrir así, y la razón más probable de ello es que es difícil lanzar la primera pelota de manera completamente horizontal y soltar ambas pelotas de manera simultánea. Una pistola de resortes especial, usada con frecuencia en las demostraciones, hace esto de manera más precisa. Si sabemos a qué distancia cae la pelota podemos calcular el tiempo de vuelo, lo cual puede entonces usarse para determinar la distancia horizontal que recorrerá la pelota, si conocemos la velocidad horizontal inicial. En el ejercicio del cuadro de ejemplo 3.4 se muestra este tipo de análisis. Observa que la distancia horizontal recorrida está determinada por dos factores: el tiempo de vuelo y la velocidad inicial.

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Obtenemos la raíz cuadrada para determinar t: t = 0.5 s b) Si conocemos el tiempo de vuelo t, podemos entonces calcular la distancia horizontal recorrida: v0 = 3 m/s t = 0.5 s dhorizontal = ?

dhorizontal = v0t = (3.0 m/s)(0.50 s) = 1.5 m

3.16 Una pelota se deja caer al mismo tiempo que se lanza horizontalmente otra desde la misma altura. ¿Cuál de las dos llega primero al suelo?

figura

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3.5 Dar en el blanco

Tratar el movimiento vertical independientemente del horizontal y luego combinarlos para hallar la trayectoria es el secreto para comprender el movimiento de proyectiles. Un movimiento horizontal se combina con una caída vertical para producir una curva grácil. La aceleración gravitacional descendente se comporta del mismo modo que para cualquier cuerpo que cae, pero no hay aceleración en dirección horizontal si la resistencia del aire puede ignorarse. El proyectil se mueve a velocidad horizontal constante mientras se acelera hacia abajo.

3.5 Dar en el blanco Desde que los humanos han sido cazadores o guerreros han querido predecir dónde aterrizará un proyectil, como una bala de cañón, después de ser disparado. Acertar a un blanco, digamos un pájaro en un árbol o un barco en el mar, tiene implicaciones obvias para la supervivencia. Poder golpear la manopla de un catcher con el lanzamiento de una pelota de béisbol desde el centro del campo también es una habilidad muy valorada.

Cuando se dispara un rifle, ¿la bala cae? Imagina que disparas con un rifle a un pequeño blanco ubicado a cierta distancia; el rifle y el objetivo se hallan exactamente a la misma altura desde el suelo (figura 3.17). Si se dispara el rifle directamente hacia el blanco con dirección horizontal, ¿la bala acertará en el centro? Si piensas en la pelota que rueda hacia fuera de la mesa en la sección 3.4, debes concluir que la bala dará en el blanco ligeramente debajo del centro. ¿Por qué? La bala se acelerará hacia abajo debido a la atracción gravitacional de la Tierra y caerá levemente mientras viaja hacia el objetivo. Como el tiempo de vuelo es corto, la bala no cae muy lejos, sólo lo suficiente para no atinar en el centro del blanco. ¿Cómo

figura 3.17

49

compensas la caída de la bala? Apuntas un poco más alto. Corriges la puntería mediante ensayo y error o ajustando la mira del rifle para que el blanco quede automáticamente un poco arriba del centro. Las miras de los rifles suelen ajustarse para cierta distancia promedio al blanco. Para distancias más grandes debes apuntar alto; para distancias cortas, un tanto bajo. Si apuntas un poco alto, la bala ya no se dispara en una dirección completamente horizontal, sino que viaja un tanto hacia arriba la primera parte de su recorrido y luego baja para dar en el blanco. Esto también ocurre cuando disparas un cañón o lanzas una pelota para golpear un objetivo lejano. Sin embargo, la elevación y caída es más evidente para la trayectoria de un balón de futbol americano que para una bala.

El vuelo de un balón de futbol americano Siempre que lanzas una pelota o un balón, por ejemplo, uno de futbol americano, hacia cierto objetivo un tanto distante, debes hacerlo en cierto ángulo respecto a la horizontal para que no caiga al suelo demasiado deprisa. Un buen atleta hace esto de manera automática como resultado de la práctica. Cuanto más fuerte sea tu lanzamiento, menos necesitarás dirigir el balón hacia arriba, ya que una velocidad inicial mayor hace que el balón llegue al objetivo más rápido y le da menos tiempo para caer. En la figura 3.18 se muestra el vuelo de un balón de futbol lanzado en un ángulo de 30° respecto a la horizontal. La posición vertical del balón se trazó en el lado izquierdo del diagrama, como en la figura 3.13 para el balón lanzado horizontalmente. La posición horizontal se muestra a lo largo de la parte inferior del diagrama. Hemos supuesto que la resistencia del aire es muy pequeña, así que el balón viaja a una velocidad horizontal constante. La combinación de estos dos movimientos produce la trayectoria general. A medida que el balón de futbol asciende, la componente vertical de su velocidad disminuye debido a la aceleración gravitacional constante hacia abajo. En el punto más alto, esta

Una tirador dispara a un blanco distante. La bala cae mientras viaja hacia el objetivo.

30°

3.18 El vuelo de un balón de futbol lanzado en un ángulo de 30° respecto a la horizontal. Las posiciones vertical y horizontal del balón se muestran en intervalos de tiempo regulares.

figura

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50

Capítulo 3

Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles

componente de la velocidad es cero, como sucede con una pelota lanzada hacia arriba en línea recta. La velocidad del balón es completamente horizontal en este punto máximo; después, el balón empieza a caer y adquiere velocidad descendente conforme se acelera. A diferencia de la pelota lanzada hacia arriba en línea recta, hay una componente horizontal constante de la velocidad a lo largo de todo el recorrido. Debemos sumar este movimiento horizontal al movimiento ascendente y descendente descrito en la sección 3.3. Al lanzar un balón puedes variar dos cantidades para ayudarte a acertar en el blanco. Una es la velocidad inicial, la cual está determinada por la fuerza con que lanzas el balón. La otra es el ángulo de tiro, que puedes variar para adecuarlo a las circunstancias. Un balón lanzado a una velocidad inicial grande no necesita apuntarse tan alto y llegará al objetivo más pronto. Pero tal vez lo bloqueen los jugadores defensivos que se lanzan por él, y podría ser difícil atraparlo debido a su gran velocidad. No hay mejor momento que el presente para probar estas ideas. Toma una hoja de papel inservible y arrúgala hasta formar una bola compacta. Luego toma tu bote de basura y ponlo sobre una silla o un escritorio. Sin levantar el brazo por encima

fenómenos cotidianos Tiro de una pelota de básquetbol Situación. Siempre que lanzas una pelota de básquetbol, inconscientemente eliges la trayectoria en la que consideras tienes mayor probabilidad de encestar. Tu objetivo está por arriba del punto de tiro (salvo de las clavadas y los tiros de gancho), pero la pelota ha de dirigirse a la canasta para anotar. ¿Qué factores determinan la mejor trayectoria? ¿Cuándo es deseable hacer un tiro alto y bombeado y cuándo hay que hacerlo en una trayectoria más plana para ser más eficaz? ¿Estos factores serán diferentes para un tiro libre que para uno hecho cuando te cubre otro jugador? ¿Cómo puede servirnos lo que sabemos del movimiento de proyectiles para responder a estas preguntas? Análisis. El diámetro de la pelota de básquetbol y el de la abertura de la canasta limitan el ángulo en el que el balón puede atravesar el aro. El segundo dibujo muestra las rutas posibles para un balón que entra en línea recta y para otro que llega en un ángulo de 45°. El balón con líneas grises indica en cada caso cuánto más puede variar el centro del balón del de la línea del centro si aquél va a atravesar el aro. Como puedes ver, hay más rutas posibles cuando el balón entra en línea recta. Su diámetro mide un poco más de la mitad del diámetro de la canasta. En este segundo dibujo se ilustra la ventaja de un tiro bombeado. Hay un margen de error mayor en la ruta que la pelota puede tomar y aún así atraviesa el aro limpiamente. Según las dimensiones reglamentarias de un balón de básquetbol y de una canasta, el

del hombro, experimenta con lanzamientos a diferentes velocidades y ángulos para ver cuál es más eficaz para caer dentro del bote. Intenta formarte una idea de cómo se relacionan el ángulo de tiro y la rapidez del lanzamiento para producir un tiro certero. Un tiro con trayectoria plana y baja debe requerir mayor rapidez de lanzamiento que otro arqueado más alto. El tiro más plano también debe dirigirse con mayor precisión, ya que el área efectiva de abertura del bote es menor cuando la bola de papel se aproxima en un ángulo plano. La bola de papel “ve” una abertura menor (este efecto se estudia en el cuadro de fenómenos cotidianos 3.1.)

¿Cómo podemos alcanzar la distancia máxima? Al disparar un rifle o un cañón, la velocidad inicial del proyectil en general se establece por la cantidad de pólvora que hay en el cartucho. El ángulo de tiro es por tanto la única variable que podemos cambiar en el intento de acertar en el blanco. En la figura 3.19 se muestran tres trayectorias posibles para una bala de cañón disparada en diferentes ángulos con la misma rapidez

cuadro 3.1 ángulo debe medir cuando menos 32° para un tiro limpio. A medida que el ángulo aumenta, las rutas posibles también lo hacen. A ángulos menores, lanzar el balón con el afecto apropiado a veces hace que éste juegue en el aro, pero cuanto más pequeño sea el ángulo, menor será la probabilidad de que eso ocurra.

Distintas trayectorias posibles para un tiro libre. ¿Cuál tiene la mayor probabilidad de acertar?

(continúa)

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51

3.5 Dar en el blanco

70°

45° 20°

3.19 Trayectorias de balas de cañón en diferentes ángulos de tiro pero a la misma rapidez inicial.

figura

inicial. Para ángulos de tiro diferentes, inclinamos el tubo del cañón en distintos ángulos de la posición mostrada. Observa que la mayor distancia se alcanza en un ángulo intermedio, un ángulo de 45° si los efectos de la resistencia del aire son insignificantes. Las mismas consideraciones son

válidas en el lanzamiento de bala de las pruebas de atletismo. El ángulo de tiro es muy importante y para la mayor distancia, será casi de 45°. La resistencia del aire y el hecho de que el tiro llega al suelo debajo del punto de lanzamiento también influyen; por tanto, el ángulo más eficaz es un tanto menor que 45° en el lanzamiento de bala. Reflexionar sobre lo que pasa con las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial en diferentes ángulos nos mostrará por qué el ángulo para la distancia máxima es aproximadamente 45° (figura 3.20.) La velocidad es un vector, y sus componentes horizontal y vertical pueden determinarse dibujándolo en escala y añadiendo líneas punteadas a las direcciones horizontal y vertical (figura 3.20). Este proceso se describe de manera más completa en el apéndice C. Para el ángulo de tiro menor 20°, se advierte que la componente horizontal de la velocidad es mucho mayor que la vertical. Como la velocidad inicial ascendente es pequeña, la bala no llega muy alto. Su tiempo de vuelo es breve y toca el suelo más pronto que en los otros dos casos mostrados. La bala llega ahí más rápido debido a su gran velocidad horizontal y su tiempo de viaje corto, pero no viaja muy lejos antes de alcanzar el piso.

45°

Un tiro bombeado desde una distancia grande permanece en el aire más tiempo que otro lanzado en el mismo ángulo pero mucho más cerca de la canasta. Trayectorias posibles para un balón de básquetbol que baja en línea recta y para uno que llega en un ángulo de 45°. El balón que baja en línea recta tiene más rutas posibles.

La desventaja del tiro bombeado es menos obvia. A medida que te alejes de la canasta, las condiciones de lanzamiento para un tiro arqueado deben ser más precisas para que el balón recorra la distancia horizontal a la canasta. Si se lanza un tiro arqueado desde 30 pies, ha de viajar una ruta mucho mayor que otro lanzado en el mismo ángulo pero más cerca de la canasta, como se muestra en el tercer dibujo. Como el balón permanece en el aire durante más tiempo, variaciones pequeñas ya sea en la rapidez inicial o en el ángulo de tiro pueden causar errores grandes en la distancia recorrida. Esta distancia depende tanto del tiempo de vuelo como de la componente horizontal de la velocidad.

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Un tiro muy arqueado a veces es mejor cuando estás cerca de la canasta. Puedes entonces aprovechar que hay más rutas posibles sin verte muy afectado por la incertidumbre de la distancia horizontal. Lejos de la canasta, las trayectorias deseables gradualmente se vuelven más planas, lo que permite un control más preciso del tiro. Sin embargo, un tiro bombeado a veces es necesario desde cualquier parte de la cancha para evitar que sea bloqueado. El efecto impreso al balón, la altura inicial y otros factores influyen considerablemente en la precisión de un tiro. Puedes leer un análisis más completo en un artículo del American Journal of Physics (abril de 1981), escrito por Peter J. Brancazio, titulado “Physics of Basketball”. Entender bien el movimiento de proyectiles podría mejorar el juego incluso de un jugador experimentado.

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Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles

v

0

v0

Capítulo 3

v0 20°

45°

70°

figura 3.20

Diagramas de vectores que muestran las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial para los tres casos ilustrados en la figura 3.19.

El gran ángulo de tiro de 70º produce una componente vertical mucho mayor que la horizontal. Por ende, la bala viaja mucho más alto y permanece en el aire por más tiempo que a 20º. Pero no llega muy lejos en forma horizontal porque su velocidad horizontal es muy pequeña. Recorre la misma distancia horizontal que para 20º, pero le toma más tiempo llegar ahí.* (Si lanzamos un tiro en línea recta hacia arriba, la distancia horizontal recorrida será, claro, igual a cero.) El ángulo intermedio de 45º divide la velocidad inicial en componentes horizontal y vertical de igual tamaño. Por consiguiente, la bala permanece en el aire más tiempo que en el lanzamiento del ángulo menor, pero también viaja a una velo-

cidad horizontal más grande que en el lanzamiento del ángulo mayor. En otras palabras, con valores relativamente grandes para las componentes vertical y horizontal de la velocidad, el movimiento vertical mantiene la bala en el aire el tiempo suficiente para que la velocidad horizontal sea adecuada. Esto produce la mayor distancia de recorrido. El tiempo de vuelo y la distancia horizontal cubierta pueden determinarse si se conocen el ángulo de tiro y el tamaño de la velocidad inicial. Sin embargo, primero es necesario hallar las componentes horizontal y vertical de la velocidad para hacer este cálculo, lo que vuelve el problema más complejo de los que hemos analizado antes. Las ideas pueden entenderse sin hacer cálculos. La clave es razonar en los movimientos vertical y horizontal por separado y luego combinarlos. Para un proyectil lanzado en cierto ángulo, la velocidad inicial puede dividirse en componentes vertical y horizontal. La vertical determina a qué altura llegará el objeto y cuánto tiempo permanecerá en el aire, mientras que la horizontal determina cuán lejos llegará en ese tiempo. El ángulo de tiro y la rapidez inicial indicarán dónde caerá el objeto. A lo largo del vuelo, la aceleración gravitacional constante descendente ejerce influencia, pero sólo cambia la componente vertical de la velocidad. La producción u observación de estas trayectorias forma parte de nuestra experiencia cotidiana.

resumen El principal objetivo de este capítulo ha consistido en presentarte la aceleración gravitacional ejercida sobre los objetos cercanos a la superficie de la Tierra y mostrarte cómo afecta el movimiento de los cuerpos que se dejan caer desde el reposo o se lanzan de varias maneras.

Aceleración debida a la gravedad. Para calcular la 1aceleración debida a la gravedad usamos mediciones de la posición, en diferentes tiempos, de un objeto que cae desde el reposo. La aceleración gravitacional es de 9.8 m/s2. No varía con el tiempo a medida que el objeto cae y tiene el mismo valor para diferentes objetos sin importar su peso.

2

Trayectoria de un cuerpo en caída libre. La velocidad de un cuerpo en caída libre aumenta aproximadamente 10 m/s cada segundo de su caída. La distancia recorrida aumenta en proporción al cuadrado del tiempo, de modo que crece a una razón cada vez mayor. En sólo 1 segundo, una pelota que se deja caer desde el reposo se mueve a una velocidad de 10 m/s y recorre 5 metros.

v

d

v = v0 + at

t

d = 1–2 at2

t

* Los ángulos de 20° y 70° son complementarios porque su suma es de 90°. Cualquier par de ángulos de tiro complementarios (30° y 60°, por ejemplo) producen el mismo alcance horizontal que ellos.

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Preguntas

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allá de la caída libre: lanzamiento de un objeto 3haciaMás 5 Dar en el blanco. Hay dos factores, la rapidez inicial y el ángulo de tiro, que pueden variarse para determinar la trayectoria arriba. La rapidez de un objeto lanzado hacia arriba primero disminuye debido a la aceleración gravitacional descendente, pasa por cero en el punto más alto y luego aumenta a medida que el objeto cae. El objeto pasa más tiempo cerca del punto más alto de su vuelo porque ahí se mueve más lentamente.

de un objeto lanzado en cierto ángulo respecto a la horizontal. Una vez más, los movimientos horizontal y vertical se combinan para producir el movimiento general a medida que el proyectil se mueve hacia un blanco.

v

t

4

Movimiento de proyectiles. Si un objeto se lanza horizontalmente, se mueve con una velocidad horizontal constante al mismo tiempo que se acelera hacia abajo debido a la gravedad. Estos dos movimientos se combinan para producir la trayectoria curva del objeto.

conceptos clave aceleración debida a la gravedad, 41 resistencia del aire, 41

trayectoria, 46 movimiento de proyectil, 47

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. Una hoja de papel pequeña se deja caer desde el reposo y revolotea hasta caer al piso. ¿Se acelera en algún instante durante este movimiento? Explica por qué. P2. El diagrama de abajo muestra las posiciones e intervalos de 0.10 segundos de una pelota que se mueve de izquierda a derecha (como en la fotografía tomada con un estroboscopio que se enciende y se apaga cada décimo de segundo). ¿La pelota está acelerada? Explica por qué.

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P3. El diagrama muestra las posiciones en intervalos de 0.05 segundos de dos pelotas que se mueven de izquierda a derecha. ¿Está alguna de ellas, o ambas, aceleradas? Explica por qué. A B P4. Un balín de plomo y otro de aluminio, cada uno de 1 pulgada de diámetro, se dejan caer simultáneamente hasta llegar al suelo. Debido a su mayor densidad, el balín de plomo tiene una masa considerablemente mayor que el de aluminio. ¿Cuál de ellos, si lo hay, tiene la mayor aceleración debida a la gravedad? Explica por qué.

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Capítulo 3

Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles

P5. Dos hojas de papel idénticas, una arrugada y hecha bola y la otra sin arrugar, se dejan caer de manera simultánea desde la misma altura a partir del suelo. ¿Cuál de ellas, si es que alguna, cabe esperar que llegue al suelo primero? Explica por qué. P6. Dos hojas de papel idénticas, una arrugada y hecha bola y la otra sin arrugar, se dejan caer al mismo tiempo desde el interior de un tubo de vacío grande. ¿Cuál de las dos, si es que alguna, cabe esperar que llegue al fondo del tubo primero? Explica por qué. *P7. Aristóteles sostenía que los cuerpos más pesados caen más rápido que los más ligeros. ¿Estaba equivocado? ¿En qué sentido podría el punto de vista de Aristóteles considerarse correcto? P8. Una piedra se deja caer desde la parte superior de un trampolín hacia la alberca. ¿La distancia recorrida por la piedra en un intervalo de 0.1 segundos cerca del inicio de su vuelo será la misma que la cubierta en un intervalo de 0.1 segundos justo antes de que toque el agua? Explica por qué.

velocidad

P9. En la gráfica se muestra la velocidad trazada contra el tiempo para cierto objeto que cae. ¿La aceleración de este objeto es constante? Explica por qué.

*P16. Una pelota rueda hacia arriba por un plano inclinado, reduce su velocidad hasta detenerse y luego rueda de regreso hacia abajo. ¿Cabe esperar que la aceleración sea constante durante este proceso? ¿La velocidad es constante? ¿La aceleración es igual a cero en cualquier punto durante el movimiento? Explica por qué. P17. Una pelota que rueda rápidamente a lo largo de la parte superior de una mesa sale disparada desde el borde y cae al piso. Al instante exacto que esta primera pelota rueda hacia fuera del borde, una segunda pelota se deja caer desde la misma altura. ¿Cuál de las dos, si es que alguna, llega al piso primero? Explica por qué. P18. Para las dos pelotas de la pregunta anterior, ¿cuál, si es que alguna, tiene la velocidad total mayor cuando golpea el piso? Explica por qué. P19. ¿Es posible que un objeto tenga una componente horizontal de la velocidad que sea constante al mismo tiempo que el objeto se acelera en la dirección vertical? Explícalo mediante un ejemplo, si es posible. P20. Una pelota rueda hacia fuera de una mesa con una velocidad horizontal grande. ¿La dirección del vector de la velocidad cambia a medida que la pelota se mueve por el aire? Explica por qué. P21. Una pelota rueda hacia fuera de una mesa con una velocidad horizontal de 5 m/s. ¿Esta velocidad es un factor importante para determinar el tiempo que tarda la pelota en llegar al piso? Explica por qué.

tiempo P10. Una pelota se lanza hacia abajo con una gran velocidad inicial. a) ¿Llegará al suelo más rápido que una que se dejar caer al mismo tiempo desde la misma altura? Explica por qué. b) ¿Esta pelota se acelerará más rápido que una que se deja caer sin velocidad inicial? Explica por qué.

P22. Un tirador experto apunta un rifle de alta velocidad directamente al centro de un blanco cercano. Supón que la mira del rifle se ha ajustado con precisión para blancos más lejanos; ¿la bala dará en el blanco por arriba o por abajo del centro? Explica por qué. P23. En el diagrama se muestran dos trayectorias para una pelota lanzada por un jardinero central al home plate en un juego de béisbol. ¿Cuál de las dos, si es que alguna, la más alta o la más baja, dará como resultado un tiempo mayor para que la pelota llegue a su destino? Explica por qué.

P11. Una pelota lanzada hacia arriba en línea recta se mueve inicialmente con una velocidad ascendente que va disminuyendo. ¿Cuáles son las direcciones de los vectores de la velocidad y la aceleración durante esta parte del movimiento? ¿La aceleración disminuye también? Explica por qué. P12. Una piedra que se lanza en línea recta hacia arriba alcanza una altura de 20 metros. En su camino hacia arriba, ¿pasa más tiempo en los 5 metros superiores de vuelo que en los primeros 5 metros? Explica por qué. P13. Una pelota se lanza hacia arriba en línea recta y luego regresa a la Tierra. Tomando la dirección positiva como ascendente, traza una gráfica de su velocidad contra el tiempo. ¿Dónde cambia de dirección la velocidad? Explica por qué. P14. Una pelota se lanza hacia arriba en línea recta. En el punto más alto del vuelo, su velocidad es cero. ¿Su aceleración en este punto también es cero? Explica por qué. P15. Una pelota se lanza en línea recta hacia arriba y luego regresa a la Tierra. ¿La aceleración cambia de dirección durante este movimiento? Explica por qué.

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P24. ¿Para cuál de las trayectorias mostradas en el diagrama de la pregunta 23 la velocidad de la pelota es igual a cero en el punto más alto? Explica por qué. P25. Las dos trayectorias del diagrama de la pregunta 23 representan lanzamientos de dos jardineros centrales; ¿cuál de las dos es probable que haya lanzado el jugador con el brazo más fuerte? Explica por qué. P26. Una bala de cañón disparada en un ángulo de 70° respecto a la horizontal permanece en el aire más tiempo que una disparada en 45° desde el mismo cañón. ¿El disparo de 70° recorrerá mayor distancia horizontal que el tiro de 45°? Explica por qué.

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Ejercicios P27. ¿Un cañonazo disparado en un ángulo de 20° recorre una distancia horizontal mayor que uno disparado en 45°? Explica por qué.

P29. En la situación ilustrada en la pregunta anterior, ¿la magnitud de la velocidad es importante para el éxito del lanzamiento? Explica por qué.

P28. El diagrama muestra un cesto de basura colocado detrás de una silla. Indica tres direcciones para una pelota lanzada a la misma velocidad por la mujer que está de rodillas. ¿Cuál de las tres, A, B o C, es más probable que caiga dentro del cesto? Explica por qué.

P30. Al lanzar un tiro libre en el básquetbol, ¿cuál es la principal ventaja de un tiro alto bombeado sobre uno con una trayectoria más recta? Explica por qué.

A B C

P31. Al lanzar una pelota de básquetbol desde la distancia de tiro libre, ¿cuál es la principal desventaja de un tiro alto bombeado? Explica por qué. *P32. Un mariscal de campo de futbol debe pegar en un blanco en movimiento mientras elude a los jugadores que lo presionan. Comenta las ventajas y desventajas de un lanzamiento fuerte con una trayectoria baja en comparación con un lanzamiento alto.

ejercicios E1. Un balín de acero se deja caer desde una plataforma de clavados (con una velocidad inicial de cero). Con el valor aproximado de g = 10 m/s2, a) ¿Cuál es la velocidad del balín 0.8 segundos después de que se le suelta? b) ¿Cuál es su velocidad 1.6 segundos después de que se le suelta? E2. Para el balín del ejercicio 1: a) ¿Qué distancia cae en los primeros 0.8 segundos? (Piensa g = 10 m/s2.) b) ¿Qué distancia cae durante los primeros 1.6 segundos? E3. Una gran piedra se deja caer desde la cima de un acantilado alto. La resistencia del aire puede ignorarse y que la aceleración tiene un valor constante de 10 m/s2; ¿cuán rápido viaja la piedra 5 segundos después de que se le suelta? ¿Cuál es la rapidez en mi/h? (Busca en el anverso de la portada los factores de conversión.) E4. El número de pulsaciones de Galileo era de 80 latidos por minuto. a) ¿Cuál es el tiempo, en segundos, entre latidos de pulso consecutivos? b) ¿Qué distancia recorre un objeto en este tiempo si se deja caer desde el reposo? E5. Una pelota se lanza hacia abajo con una velocidad inicial de 12 m/s. Con el valor aproximado de g = 10 m/s2, ¿cuál es su velocidad 1.0 segundos después de ser lanzada? E6. Se suelta una pelota a partir del reposo desde un edificio alto. Con el valor aproximado de g = 10 m/s2, calcula el cambio en la velocidad entre el primero y el cuarto segundos de su recorrido. E7. Una pelota se lanza hacia arriba a una velocidad inicial de 15 m/s. Con el valor aproximado de g = 10 m/s2, ¿cuál es la magnitud y la dirección de su velocidad? a) 1 segundo después de ser lanzada. b) 2 segundos después de ser lanzada.

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E8. ¿A qué altura desde el suelo está la pelota del ejercicio 7: a) 1 segundo después de ser lanzada? b) 2 segundos después de ser lanzada? E9. ¿Cuánto tiempo transcurre para que la pelota del ejercicio 7 llegue al punto más alto de su recorrido? (Usa el valor aproximado de g = 10 m/s2 y recuerda que la velocidad es igual a cero en el punto más alto.) E10. La aceleración gravitacional en cierto planeta es de sólo 3.0 m/s2. Un explorador espacial parado en la superficie de ese planeta lanza una pelota en línea recta hacia arriba con una velocidad inicial de 18 m/s. a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota 4 segundos después de ser lanzada? b) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que la pelota llegue al punto más alto de su recorrido? E11. Una bala se dispara en forma horizontal con una velocidad inicial de 900 m/s hacia un blanco ubicado a 150 m del rifle, a) ¿Cuánto tiempo se requiere para que la bala llegue al blanco? b) Con el valor aproximado de g = 10 m/s2, ¿a qué distancia cae la bala en este tiempo? E12. Una pelota rueda fuera de una repisa a una velocidad horizontal de 6 m/s. ¿A qué distancia horizontal de la repisa aterriza la pelota si tarda 0.4 s en llegar al piso? E13. Una pelota rueda hacia fuera de una mesa a una velocidad horizontal de 4 m/s. Si la pelota tarda 0.5 segundos en llegar al suelo, ¿a qué altura desde el suelo está la superficie de la mesa? (Usa g = 10 m/s2.) E14. Una pelota rueda hacia fuera de una mesa con una velocidad horizontal de 5 m/s. Si tarda 0.6 segundos en llegar al piso: a) ¿Cuál es la componente vertical de la velocidad de la pelota justo antes de llegar al piso? (Usa g = 10 m/s2.) b) ¿Cuál es la componente horizontal de la velocidad de la pelota justo antes de llegar al piso?

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Capítulo 3

Caída de cuerpos y movimiento de proyectiles

E15. Una pelota rueda hacia fuera de una plataforma que mide 5 metros desde el suelo. La velocidad horizontal de la pelota cuando deja la plataforma es 6 s. a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? (Consulta el cuadro de ejemplo 3.3 y usa g = 10 m/s2.) b) ¿A qué distancia de la base de la plataforma golpea la pelota el suelo?

E16. Un proyectil se lanza en un ángulo tal que las componentes vertical y horizontal de su velocidad son iguales a 30 m/s. a) Con el valor aproximado de g = 10 m/s2, ¿cuánto tarda la pelota en llegar a su punto más alto? b) ¿Qué distancia horizontal recorre la pelota en ese tiempo?

problemas de síntesis PS1. Una pelota se lanza en línea recta hacia arriba con una velocidad inicial de 16 m/s. Usa g = 10 m/s2 para los cálculos enumerados aquí. a) ¿Cuál es su velocidad en el punto más alto de su movimiento? b) ¿Cuánto tiempo se requiere para que llegue al punto más alto? c) ¿A qué altura desde su punto de partida está la pelota en su punto más alto? d) ¿A qué altura desde su punto de partida está la pelota 2 segundos después de que se lanza? e) ¿La pelota se mueve hacia arriba o hacia abajo 2 segundos después de ser lanzada? PS2. Dos pelotas se sueltan en forma simultánea desde la cima de un edificio alto. La pelota A simplemente se deja caer sin velocidad inicial y la pelota B se lanza hacia abajo con una velocidad inicial de 12 m/s. a) ¿Cuáles son las velocidades de las dos pelotas 1.5 segundos después de que ser soltadas? b) ¿Qué distancia ha caído cada pelota después de 1.5 segundos? c) ¿La diferencia en las velocidades de las dos pelotas cambia en algún momento después de ser soltadas? Explica por qué. PS3. Dos pelotas se ruedan hacia fuera de la superficie de una mesa que se halla a 0.8 m sobre el suelo. La pelota A tiene una velocidad horizontal de 3 m/s y la B de 5 m/s. a) Supón que g = 10 m/s2; ¿cuánto tarda cada pelota en llegar al suelo después de rodar fuera del borde de la mesa?

b) ¿Qué distancia recorre cada pelota horizontalmente antes de llegar al suelo? c) Si las dos pelotas empezaron a rodar al mismo tiempo a 1.2 m detrás del borde de la mesa, ¿llegarán al suelo al mismo tiempo? Explica por qué. PS4. Un cañón se dispara sobre el nivel del suelo en un ángulo de 30° respecto a la horizontal. La velocidad inicial de la bala es de 400 m/s, pero como el cañón se dispara en cierto ángulo, la componente vertical de la velocidad es 200 m/s y la componente horizontal es 346 m/s. a) ¿Cuánto tarda la bala de cañón en el aire? (Usa g = 10 m/s2 y el hecho de que el tiempo total de vuelo es el doble del tiempo requerido para llegar al punto más alto.) b) ¿Qué distancia recorre la bala de cañón horizontalmente? c) Repite estos cálculos, suponiendo que el cañón se disparó 60° respecto a la horizontal, lo que resulta en una componente vertical de la velocidad de 346 m/s y una componente horizontal de 200 m/s. ¿Cómo se compara la distancia recorrida con el resultado anterior? PS5. Un buen pitcher puede lanzar una pelota de béisbol con una rapidez de 90 mi/h. El montículo del pitcher está aproximadamente a 60 pies del home plate. a) ¿Cuál es la rapidez en m/s? b) ¿Cuál es la distancia al home plate en metros? c) ¿Cuánto tiempo se requiere para que la pelota llegue al home plate? d) Si la pelota se lanza horizontalmente, ¿a qué distancia cae en este tiempo, ignorando el efecto que se le imprime?

experimentos y observaciones para la casa EC1. Reúne varios objetos pequeños y déjalos caer desde la misma altura, dos a la vez. Anota cuáles objetos caen considerablemente más lento que un objeto denso compacto como una canica o algo parecido. Clasifica los objetos más lentos según su tiempo de descenso. ¿Qué factores parecen ser importantes en la determinación de ese tiempo? EC2. Deja caer una pelota desde una mano al mismo tiempo que lanzas una segunda pelota con la otra mano. Al principio, trata de lanzar la segunda pelota de manera horizontal, sin

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una componente hacia arriba o hacia abajo para su velocidad inicial. (Esto puede requerir un poco de práctica.) a) ¿Las pelotas llegan al piso al mismo tiempo? (Invita a un amigo para que haga este juicio.) b) Si la segunda pelota se lanza ligeramente hacia arriba respecto a la horizontal, ¿cuál llega al suelo primero? c) Si la segunda pelota se lanza ligeramente hacia abajo respecto a la horizontal, ¿cuál llega al suelo primero?

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Experimentos y observaciones para la casa EC3. Saca una pelota al aire libre y lánzala en línea recta hacia arriba con todas tus fuerzas. Cuenta los segundos tú mismo, o pide a un amigo que lo haga con un reloj para estimar el tiempo que permanece la pelota en el aire. A partir de esta información, ¿puedes determinar la velocidad inicial que imprimiste a la pelota? (El tiempo requerido para que la pelota llegue al punto más alto es sólo la mitad del tiempo total de vuelo.) EC4. Lleva un cronómetro a un partido de futbol americano y estima el tiempo en el aire del balón en varias patadas de despeje. También observa qué distancia (en yardas) recorre el balón en forma horizontal en cada patada. ¿Las patadas más altas tienen los tiempos en el aire más largos? ¿Recorren las distancias más grandes en forma horizontal? EC5. Usando ligas y una regla de plástico u otro objeto que sirva como apoyo, diseña y construye un lanzador de canicas. Al jalar la liga hacia atrás la misma distancia cada vez, debes poder lanzar la canica aproximadamente con la misma rapidez en cada tiro. (Advertencia: deja suficiente espacio libre para no romper algún objeto.)

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a) Haz un dibujo detallado de tu lanzador y observa las características de diseño que usaste. (Habrá premios para el mejor diseño.) b) Coloca el lanzador en varios ángulos respecto a la horizontal y lanza canicas sobre una superficie plana; luego mide la distancia que recorren desde el punto de lanzamiento. ¿Qué ángulo produce la mayor distancia? c) Lanza las canicas en diferentes ángulos desde el borde de un escritorio o una mesa. ¿Qué ángulo produce la mayor distancia horizontal? EC6. Prueba lanzando una pelota o una hoja de papel hecha bola para que caiga dentro de un cesto de basura colocado a unos metros de tu punto de lanzamiento. a) ¿Qué es mejor, lanzar un objeto por encima de la cabeza o sin levantar el hombro? (Cinco lanzamientos de práctica con diez intentos por cada uno son una prueba adecuada.) b) Repite este proceso con una barrera, digamos una silla colocada cerca del cesto.

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Leyes de Newton: explicación del movimiento esquema del capítulo

1

capítulo

4

descripción del capítulo El propósito principal de este capítulo consiste en explicar las tres leyes de Newton del movimiento y cómo se aplican en situaciones conocidas. Comenzamos con un apunte histórico de su desarrollo y luego proseguimos con un estudio detallado de cada ley. Los conceptos de fuerza, masa y peso resultan básicos en este análisis. Concluimos el capítulo aplicando la teoría de Newton a varios ejemplos conocidos.

2

3 4

unidad uno

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Una breve historia. ¿De dónde provienen nuestras ideas y teorías sobre el movimiento? ¿Qué importancia tuvieron Aristóteles, Galileo y Newton? Primera y segunda leyes de Newton. ¿Cómo influyen las fuerzas en el movimiento de un cuerpo? ¿Qué nos dicen la primera y la segunda ley de Newton del movimiento y cómo se relacionan entre sí? Masa y peso. ¿Cómo definimos masa? ¿Cuál es la diferencia entre masa y peso? La tercera ley de Newton. ¿De dónde provienen las fuerzas? ¿Cómo nos ayuda la tercera ley de Newton del movimiento a definir la fuerza y cómo se aplica? Aplicaciones de las leyes de Newton. ¿Cómo se aplican las leyes de Newton en distintas situaciones, como empujar un sillón, lanzarse en paracaídas, arrojar una pelota y arrastrar por el piso dos carritos unidos?

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4.1 Una breve historia

U

na persona grande te da un empujón y te mueves en la dirección de ese empujón. Un niño jala un carrito de juguete con una cuerda y el carrito se mueve tambaleándose. Un atleta patea un balón de futbol y el balón sale disparado hacia la meta. Éstos son ejemplos conocidos que comportan fuerzas en forma de empujones o jalones que producen cambios en el movimiento. Para elegir un ejemplo menos complejo, imagina que empujas un sillón a lo largo de un piso de duela o loseta (figura 4.1). ¿Por qué se mueve? ¿Seguirá su movimiento si dejas de empujarlo? ¿Qué factores determinan su velocidad? Si empujas con más fuerza, ¿su velocidad aumenta? Hasta ahora hemos expuesto ideas útiles sobre la descripción del movimiento, pero no hemos hablado mucho sobre qué lo hace cambiar. Explicar el movimiento constituye un reto mayor que describirlo. Ya tienes algunas nociones intuitivas acerca de la causa por lo que el sillón se mueve. Desde luego, la fuerza de empuje que ejerces sobre él tiene relación con su movimiento. Pero ¿la fuerza de ese empujón está relacionada directamente con la velocidad del sillón o con su aceleración? En este punto, la intuición resulta de poca utilidad. Hace dos mil años, el filósofo griego Aristóteles (384322 A.N.E.) intentó responder a algunas de estas preguntas. Para muchos de nosotros sus explicaciones coinciden con lo que intuimos en el caso del sillón que se mueve, pero son menos satisfactorias en el de un objeto lanzado, donde el impulso no es continuo. Las ideas de Aristóteles gozaron de gran aceptación hasta ser remplazadas por la teoría presentada por Isaac Newton en el siglo XVII. La

4.1 Una breve historia ¿Algún genio, sentado bajo un manzano, inventó una teoría completa del movimiento en un deslumbrante momento de inspiración súbita? No exactamente. La historia de cómo se desarrollaron las teorías y ganaron aceptación involucra a muchos participantes durante largos periodos. Destaquemos el papel de algunas personas, cuyos descubrimientos fueron fundamentales para que se produjeran avances importantes. Una noción de esta historia te ayudará a advertir los conceptos físicos que estudiaremos al mostrar cuándo y cómo surgieron. Es importante, por ejemplo, saber si una teoría se acaba de proponer ayer o se ha probado y evaluado durante largo tiempo. No todas las teorías conllevan igual peso en su aceptación y uso por parte de los científicos. Aristóteles, Galileo y Newton tuvieron gran importancia en la formación de nuestras ideas acerca de las causas del movimiento.

Concepción de Aristóteles sobre la causa del movimiento Las preguntas acerca de las causas del movimiento y de sus cambios mantuvieron perplejos muchos siglos a los filósofos

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teoría de Newton del movimiento ha demostrado explicar este fenómeno de forma mucho más completa y satisfactoria, al tiempo que permite hacer predicciones cuantitativas, lo cual resulta imposible con buena parte de las ideas de Aristóteles. Las tres leyes de Newton del movimiento forman la base de su teoría. ¿Cuáles son esas leyes y cómo se usan en la explicación del movimiento? ¿En qué difieren las ideas de Newton de las de Aristóteles y por qué las de éste parecen coincidir con nuestras nociones de sentido común de lo que ocurre? Comprender bien las leyes de Newton te permitirá analizar y explicar casi cualquier movimiento simple. Esa comprensión te dará la oportunidad de entender bien el manejo de un automóvil, el movimiento de objetos pesados y muchas otras actividades cotidianas.

figura 4.1

Movimiento de un sillón. ¿El sillón seguirá moviéndose cuando la persona deje de empujar?

y otros observadores de la naturaleza. Las ideas de Aristóteles prevalecieron por más de mil años. Ese filósofo griego fue un observador de la naturaleza astuto y meticuloso. Investigó una variedad increíble de temas, y él (o tal vez sus estudiantes) produjeron cuantiosas obras sobre temas como lógica, metafísica, política, crítica literaria, retórica, psicología, biología y física. En sus estudios del movimiento, Aristóteles imaginó la fuerza en gran parte como la hemos visto hasta ahora: como un empuje o tirón que actúa sobre un cuerpo. Él creía que una fuerza debía actuar para que un cuerpo se moviera y que la velocidad del cuerpo era proporcional a la intensidad de la fuerza. Un objeto pesado caería más rápido a la Tierra que uno ligero, pues había una fuerza mayor tirando de él hacia la Tierra. La intensidad de esta fuerza podía notarse con el simple hecho de sostener al objeto en la mano. Aristóteles también estaba conciente de la resistencia que un medio ofrece al movimiento de un cuerpo. Una roca cae más rápidamente por el aire que a través del agua. El agua ofrece mayor resistencia al movimiento que el aire, como sin duda habrás observado al tratar de caminar en la playa con el agua hasta la cintura. Por tanto, Aristóteles consideró que la

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Capítulo 4

Leyes de Newton: explicación del movimiento

velocidad de un cuerpo era proporcional a la fuerza ejercida sobre él e inversamente relacionada a la resistencia, pero nunca definió cuantitativamente el concepto de resistencia. No distinguió aceleración de velocidad y habló de velocidad al establecer el tiempo requerido para recorrer una distancia fija. Más que un experimentador Aristóteles era un observador de la naturaleza. No hizo predicciones cuantitativas que tuviera que comprobar por medio de experimentos. Sin embargo, aun sin esas pruebas, algunos problemas con las ideas básicas del movimiento preocupaban a Aristóteles, lo mismo que a pensadores posteriores. Por ejemplo, en el caso de una pelota o piedra lanzada, la fuerza que inicialmente impulsa el objeto ya no actúa una vez que sale de la mano. ¿Qué mantiene la pelota en movimiento? La pelota sigue desplazándose durante cierto lapso después de dejar la mano que la arroja, por lo que, según la teoría de Aristóteles, se requiere una fuerza. Sugirió que la fuerza que mantiene el movimiento una vez que se lanza la pelota es ejercida por el aire de alrededor que se desplaza para llenar el vacío que hay en el lugar donde la pelota acaba de pasar (figura 4.2). Este flujo de aire empuja por tanto la pelota desde atrás. ¿Te parece razonable? Después de la decadencia del Imperio Romano, durante varios siglos sólo llegaron a manos de los pensadores europeos fragmentos de las obras de Aristóteles. Sus trabajos completos, que habían sido preservados por los eruditos árabes, no resurgieron en Europa sino hasta el siglo xii. Junto con el trabajo de otros pensadores griegos, las obras de Aristóteles se tradujeron al latín durante los siglos xii y xiii.

¿Cómo cuestionó Galileo las ideas de Aristóteles? Por la época en la que el científico italiano Galileo Galilei (1564-1642) entró en escena, las ideas de Aristóteles estaban bien establecidas en las universidades europeas, incluidas las de Pisa y Papua, donde Galileo estudiaba y enseñaba. De hecho, la educación en las universidades estaba organizada en torno a las disciplinas definidas por Aristóteles, y gran parte

de la filosofía natural del filósofo griego se había incorporado a la enseñanza de la Iglesia católica romana. El teólogo italiano Tomás de Aquino había entretejido el pensamiento de Aristóteles con la teología de la Iglesia. Cuestionar las ideas de Aristóteles equivalía a desafiar la autoridad de la Iglesia y podía acarrear graves consecuencias. Galileo no era el único que cuestionaba las ideas aristotélicas sobre el movimiento; otros habían notado que los cuerpos que se dejan caer desde el reposo con forma parecida pero pesos muy distintos caen prácticamente a la misma razón, lo cual contradecía la concepción aristotélica. Quizá Galileo nunca dejó caer objetos desde la torre inclinada de Pisa, pero realizó experimentos meticulosos con objetos soltados desde el reposo y publicitó activamente sus resultados. Los principales problemas de Galileo con la Iglesia surgieron por defender las ideas de Copérnico, quien había propuesto un modelo de sistema solar centrado en el Sol (heliocéntrico) (que se estudiar en el capítulo 5) opuesto a los modelos centrados en la Tierra de Aristóteles y otros, que en ese entonces prevalecían. Galileo fue un activista en varios frentes al desafiar las ideas de Aristóteles y el pensamiento tradicional, lo cual lo colocó en una posición de conflicto con muchos de sus colegas universitarios y con los miembros de la jerarquía eclesiástica. Finalmente fue juzgado por la Inquisición y se le declaró culpable de herejía. Quedó bajo arresto domiciliario y fue obligado a retractarse de algunas de sus ideas. Además de su trabajo sobre la caída de los cuerpos, Galileo desarrolló concepciones nuevas sobre el movimiento que contradecían la teoría aristotélica. Sostuvo que la tendencia natural de un cuerpo que se mueve es seguir haciéndolo: no se requiere ninguna fuerza para mantenerlo así. (Piensa de nuevo en el sillón empujado. ¿Esta afirmación tiene sentido en tal situación?) A partir del trabajo de otros, Galileo también elaboró una descripción matemática del movimiento que incluía la aceleración. La relación d = ½at2 para la distancia recorrida por un cuerpo que se acelera de manera uniforme fue demostrada cuidadosamente por Galileo. Publicó gran parte de sus ideas hacia el final de su vida en sus famosos Diálogos sobre dos nuevas ciencias.

¿Cuáles fueron los logros de Newton?

v

figura 4.2

Aristóteles imaginó que el aire se desplaza alrededor de un objeto lanzado y sigue empujándolo hacia delante. ¿Esta imagen parece razonable?

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Isaac Newton (1642-1727; figura 4.3) nació en Inglaterra el mismo año que Galileo murió en Italia. Con base en las ideas de éste, Newton propuso una teoría que podía explicar el movimiento de cualquier cuerpo: el de objetos ordinarios como una pelota o una silla, lo mismo que el de cuerpos celestes como la Luna y los planetas. En la tradición griega se creía que los movimientos celestes pertenecían a un campo diferente que el de los movimientos ocurridos en la Tierra y, por consiguiente, requerían explicaciones diferentes. Newton abolió esta distinción al explicar con una sola teoría las mecánicas terrestre y celeste. Las ideas centrales de la teoría newtoniana son sus tres leyes del movimiento (estudiadas en las secciones 4.2 y 4.4) y su ley de la gravitación universal (expuesta en el capítulo 5). La teo-

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4.2 Primera y segunda leyes de Newton

figura 4.3

Retrato de Isaac Newton.

ría de Newton ofrecía explicaciones satisfactorias de aspectos del movimiento que ya se conocían, al tiempo que brindaba un marco para muchos estudios nuevos en física y astronomía. Algunos de esos estudios condujeron a predicciones de fenómenos que no se habían observado antes. Por ejemplo, los cálculos que aplicaban la teoría de Newton a irregularidades en las órbitas de los planetas conocidos llevaron a pronosticar la existencia de Neptuno, lo cual fue pronto confirmado mediante la observación. Las predicciones verificadas son una de las características distintivas de una teoría satisfactoria. La de Newton fue la teoría básica de la mecánica durante más de doscientos años y aún tiene un uso muy amplio en física e ingeniería. Newton desarrolló las ideas básicas de su teoría alrededor de 1665, cuando aún era joven. Para evitar la peste había vuelto a la granja de su familia y ahí tuvo tiempo de reflexionar con pocas interrupciones. Quizá haya pasado algún tiempo sentado debajo de los manzanos. Cuenta la historia que al ver caer una manzana comprendió que la Luna también cae hacia la Tierra y que la fuerza de gravedad participa en ambos casos (consulta el capítulo 5.) Los destellos de comprensión o inspiración sin duda formaron parte del proceso. Aunque Newton desarrolló gran parte de su teoría y sus detalles en 1665, no publicó formalmente sus ideas sino hasta 1687. Una razón de este retraso radicó en su necesidad de elaborar algunas de las técnicas matemáticas necesarias para calcular los efectos de la fuerza gravitacional propuesta sobre cuerpos tales como los planetas. (En general, se le reconoce como coinventor de lo que ahora llamamos cálculo.) El título en español del tratado de Newton de 1687 es Principios

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matemáticos de la filosofía natural (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en latín), al cual se conoce más bien como los Principia de Newton. Las teorías científicas como la de Newton no surgen en un vacío intelectual, sino que son producto de su época y del estado del conocimiento y la cosmovisión de ese entonces. Comúnmente remplazan a teorías anteriores que con frecuencia son más rudimentarias. En la época de Newton la teoría aceptada del movimiento era la de Aristóteles, aunque Galileo y otros la atacaban. En general, se reconocían sus deficiencias. Newton dio el toque final a la revolución del pensamiento que ya estaba en gestación. Pese a que las ideas aristotélicas sobre el movimiento ahora se consideran poco satisfactorias y no tienen ningún valor para hacer predicciones cuantitativas, utilizan un recurso intuitivo muy parecido a nuestro propio pensamiento falto de formación respecto al movimiento. Por ello, cuando aprendemos mecánica solemos destacar la necesidad de sustituir las nociones aristotélicas del movimiento con los conceptos newtonianos. Si bien nuestras ingenuas ideas acerca del movimiento casi nunca están tan desarrolladas como las de Aristóteles, descubrirás que algunas de ellas precisan ciertos ajustes. La teoría de Newton, a su vez, ha sido parcialmente sustituida por teorías más complejas que ofrecen descripciones más precisas del movimiento. Entre ellas se incluyen la teoría de la relatividad de Einstein, así como la teoría de la mecánica cuántica, las cuales surgieron a principios del siglo xx. Aunque sus predicciones difieren considerablemente de la teoría newtoniana en el campo de lo muy rápido (en el caso de la relatividad) y de lo muy pequeño (en la mecánica cuántica), se apartan de manera insignificante respecto al movimiento de cuerpos comunes que viajan a rapidez mucho menor que la de la luz. La teoría de Newton es un enorme paso adelante y todavía se usa mucho para analizar el movimiento de cuerpos comunes. Las ideas de Aristóteles sobre el movimiento, aunque no permiten hacer predicciones cuantitativas, ofrecen explicaciones que gozaron de gran aceptación durante muchos siglos y que coinciden con nuestro sentido común. Galileo desafío las ideas aristotélicas sobre la caída libre, así como su suposición general de que se requería una fuerza para mantener un cuerpo en movimiento. Con base en el trabajo de Galileo, Newton desarrolló una teoría más completa del movimiento que remplazó las ideas de Aristóteles. La teoría de Newton sigue usándose para explicar el movimiento de cuerpos comunes.

4.2 Primera y segunda leyes de Newton Si empujamos un sillón por el piso, ¿cuál es la causa de que se mueva o deje de hacerlo? Las primeras dos leyes de Newton del movimiento abordan estas cuestiones y, en el proceso, proporcionan parte de una definición de fuerza. La primera ley nos dice lo que ocurre en la ausecia de una fuerza; la segunda describe los efectos de aplicar una fuerza a un cuerpo.

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Capítulo 4

Leyes de Newton: explicación del movimiento

Exponemos la primera y segunda leyes del movimiento juntas porque la primera en realidad es un caso especial de la segunda, que es más general. No obstante, Newton pensó en la necesidad de establecer la primera ley por separado para rebatir las ideas aristotélicas sobre el movimiento que en aquel entonces se consideraban totalmente válidas. Al hacerlo, Newton seguía el ejemplo de Galileo, quien había establecido un principio similar a la primera ley de Newton varios años atrás.

Primera ley de Newton del movimiento En un lenguaje no muy diferente del suyo, la primera ley de Newton del movimiento puede enunciarse como sigue: Un cuerpo permanece en reposo, o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que al actuar una fuerza externa sobre él lo obligue a cambiar.

En otras palabras, a menos que haya una fuerza que actúe sobre el cuerpo, su velocidad no cambiará. Si inicialmente está en reposo, así permanecerá; si está en movimiento, seguirá moviéndose a velocidad constante (figura 4.4). Observa que al parafrasear la primera ley de Newton hemos usado el término velocidad en vez de rapidez. La velocidad constante implica que ni la dirección ni la magnitud de la velocidad cambian. Cuando el cuerpo está en reposo, su velocidad es cero, valor que permanece constante en ausencia de una fuerza. Si no hay fuerza que actúe sobre el cuerpo, su aceleración es cero, la velocidad no cambia. Aunque esta ley parece muy sencilla contradice de manera directa las ideas de Aristóteles (y tal vez también tu propia intuición). El filósofo griego creía que se necesitaba una fuerza para mantener un cuerpo en movimiento. Sus ideas eran intuitivas si hablamos del movimiento de un objeto pesado como el sillón mencionado en la introducción de este capítulo. Si dejas de empujar, deja de desplazarse. Sin embargo, esta idea encuentra problemas si consideramos el movimiento de una pelota lanzada o incluso un sillón que se mueve sobre una superficie resbaladiza. Esos cuerpos siguen desplazándose desSi F = 0 v permanece igual a cero (en reposo)

o v

v

v permanece constante (movimiento rectilíneo uniforme)

figura 4.4

Primera ley de Newton: en ausencia de una fuerza, un cuerpo permanece en reposo o se mueve con velocidad constante.

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pués del impulso inicial. Newton (y Galileo) tenían la firme convicción de que no se precisa una fuerza para mantener un cuerpo en movimiento. ¿Cómo pueden diferir tanto las ideas de Aristóteles de las de Newton y Galileo y aún así parecer muy razonables en ciertos casos? La clave para responder a esta pregunta estriba en la existencia de fuerzas de resistencia o de fricción. El sillón no se mueve lejos después de que dejas de empujarlo debido a que las fuerzas de fricción ejercidas por el piso sobre el sillón hacen que la velocidad disminuya rápidamente a cero. Una pelota lanzada a la postre dejará de moverse, incluso si no cae al suelo, porque la fuerza de resistencia del aire empuja contra ella. Es muy difícil encontrar una situación en la que no haya fuerzas que actúen sobre un cuerpo. Aristóteles reconoció la presencia de la resistencia del aire y efectos parecidos, pero no los trató como fuerzas en su teoría.

¿Cómo se relaciona una fuerza con la aceleración? La segunda ley de Newton del movimiento es una exposición más completa sobre el efecto de una fuerza aplicada al movimiento de un cuerpo. Planteada en términos de la aceleración, establece que La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada e inversamente proporcional a su masa. La aceleración tiene la misma dirección que la fuerza aplicada.

Este planteamiento se capta mejor en forma simbólica. Al elegir las unidades de fuerza apropiadas se establece la proporcionalidad de la segunda ley de Newton como la ecuación: a=

Fneta . m

donde a es la aceleración, Fneta es la fuerza neta o total que actúa sobre el cuerpo y m es la masa de éste. Como la aceleración es directamente proporcional a la fuerza aplicada, si duplicamos la que se ejerce sobre el cuerpo duplicamos también su aceleración. Sin embargo, la misma fuerza ejercida sobre un cuerpo con una masa más grande producirá una aceleración menor (figura 4.5). Observa que la aceleración está directamente relacionada con la fuerza aplicada, no con la velocidad. Aristóteles no distinguió con claridad entre aceleración y velocidad. Muchos de nosotros tampoco podemos hacer tal distinción cuando pensamos de manera informal en el movimiento. En la teoría de Newton esta diferenciación es fundamental. La segunda ley de Newton es la idea central de su teoría del movimiento. De acuerdo con esa ley, la aceleración de un cuerpo está determinada por dos cantidades: su masa y la fuerza neta que actúa sobre él. De hecho, los conceptos de fuerza y masa están, en parte, definidos por la segunda ley. La fuerza neta ejercida sobre el cuerpo es la causa de su aceleración,

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4.2 Primera y segunda leyes de Newton

f=2N

m1

F = 10 N

5 kg

figura 4.6

F

Se tira de un bloque a lo largo de una mesa. Participan dos fuerzas horizontales.

a

cuadro de ejemplo 4.1 m2

Ejercicio: cálculo de la fuerza neta F a

figura 4.5

El objeto de masa pequeña experimenta una aceleración mayor que el de masa grande cuando se aplican fuerzas idénticas a ambos.

Se tira de un bloque con una masa de 5 kg a lo largo de la superficie de una mesa con una fuerza de 10 N aplicada mediante una cuerda atada al extremo frontal del bloque (figura 4.6). La mesa ejerce una fuerza de fricción de 2 N sobre el bloque. ¿Cuál es la aceleración de éste? Fcuerda = 10 N (a la derecha)

Fneta = Fcuerda − fmesa

fmesa = 2 N (a la izquierda)

y la magnitud de la fuerza queda definida por el tamaño de la aceleración que produce. La tercera ley de Newton, estudiada en la sección 4.4, completa la definición de fuerza al establecer que las fuerzas son resultado de la interacción que hay entre los cuerpos. La masa de un cuerpo es una cantidad que indica cuánta resistencia tiene a cambiar su movimiento, como establece la segunda ley. Llamamos inercia a tal resistencia al cambio en el movimiento, siguiendo a Galileo. (Lee el cuadro de fenómenos cotidianos 4.1.) Podemos definir masa como sigue: Masa es una medida de la inercia de un cuerpo, la propiedad que hace que se resista al cambio en su movimiento.

La unidad métrica estándar para la masa es el kilogramo (kg). En breve ahondaremos en la determinación de la masa y su relación con el peso de un cuerpo (sección 4.3). Las unidades de fuerza también pueden derivarse de la segunda ley de Newton. Si despejamos Fneta multiplicando ambos miembros de la ecuación de la segunda ley por la masa, podemos expresarla como Fneta = ma. La unidad apropiada para la fuerza, por consiguiente, debe ser el producto de una unidad de masa por una unidad de aceleración o, en el sistema métrico, kilogramos por metros por segundo al cuadrado. Esta unidad, usada con frecuencia, se llama newton (N). Por ende, 1 newton = 1 N = 1 kg · m/s2.

¿Cómo se suman las fuerzas? Nuestra versión de la segunda ley implica que la fuerza aplicada es la fuerza total o fuerza neta que actúa sobre el cuerpo. La fuerza es una cantidad vectorial cuya dirección claramente es importante. Si se ejerce más de una fuerza sobre un cuerpo,

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= 10 N − 2 N = 8 N Fneta = 8 N (a la derecha)

m = 5 kg a=? a=

Fneta m

=

8N 5 kg

= 1.6 m/s2 (a = 1.6 m/s2 a la derecha)

como ocurre con frecuencia, entonces debemos sumarlas todas como vectores, considerando sus direcciones. Este proceso se ilustra en la figura 4.6 y en el ejercicio del cuadro de ejemplo 4.1. Se tira de un bloque a lo largo de una mesa mediante una fuerza de 10 N aplicada con una cuerda atada al bloque. Una fuerza de fricción de 2 N actúa sobre el bloque como resultado del contacto con la mesa. ¿Cuál es la fuerza total ejercida sobre el bloque? ¿La fuerza neta es la suma numérica de las dos fuerzas, 10 N más 2 N, o 12 N? El diagrama de la figura 4.6 debe convencerte de que esto no puede ser cierto. Las dos fuerzas se oponen entre sí. Como están en direcciones opuestas, la fuerza neta se determina restando la fuerza de fricción de la fuerza aplicada por la cuerda, con lo que se obtiene una fuerza neta de 8 N. No podemos ignorar las direcciones de las fuerzas que intervienen. El hecho de que las fuerzas sean vectores cuyas direcciones deben considerarse al calcular la fuerza neta es un aspecto importante de la segunda ley. Para las fuerzas restringidas a una dimensión, como en el cuadro de ejemplo 4.1, calcular la fuerza neta no es difícil. En problemas que implican fuerzas en dos o tres dimensiones la suma es más compleja pero puede realizarse con las técnicas descritas en el apéndice C. En este capítulo sólo abordaremos casos unidimensionales.

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Capítulo 4

Leyes de Newton: explicación del movimiento

Una nota final sobre la primera y segunda leyes de Newton que vale la pena repetir: la primera es un caso especial de la segunda, lo cual puede advertirse al preguntar qué sucede, de acuerdo con la segunda ley, cuando la fuerza neta que actúa Fneta sobre un cuerpo es cero. En este caso, la aceleración a = m también debe ser cero. Como es así, la velocidad debe ser constante. La primera ley postula que si la fuerza neta es cero, el cuerpo se mueve con velocidad constante (o permanece en reposo). La primera ley de Newton aborda el caso especial de la segunda ley en el que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es cero. El principio fundamental de la teoría de Newton del movimiento es su segunda ley, que establece que la aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta que se le aplica e inversamente proporcional a su masa. La masa de un cuerpo es su inercia o resistencia al cambio en el movimiento. La primera ley de Newton es un caso especial de la segunda, cuando la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es cero. Para obtener la fuerza neta ejercida sobre el cuerpo consideramos las direcciones de las fuerzas individuales y las sumamos vectorialmente.

fenómenos cotidianos

4.3 Masa y peso ¿Qué es exactamente el peso? ¿Tu peso es lo mismo que tu masa, o hay una diferencia en el significado de ambos términos? Desde luego la masa es muy importante en la segunda ley de Newton. El peso es un término conocido que en el lenguaje cotidiano se usa indistintamente con masa. De nuevo, los físicos hicieron una distinción entre masa y peso que resulta significativa para la teoría de Newton.

¿Cómo pueden compararse las masas? A partir del papel que tiene la masa en la segunda ley de Newton podemos idear métodos experimentales de comparación de masas. La masa se define como la propiedad de la materia que determina cuánto se resiste un cuerpo a cambiar su movimiento. Cuanto más grande sea la masa, mayor será la inercia o resistencia al cambio, y menor la aceleración provista por una fuerza. Figúrate que tratas de desacelerar una pelota de boliche y otra de ping-pong que se mueven con velocidades iguales (figura 4.7). Se requiere una fuerza mayor para desacelerar la pelota de boliche que la de ping-pong debido a la

cuadro 4.1

El truco del mantel Situación. Cuando era niño, Ricky Méndez vio a un mago hacer el truco del mantel. En una pequeña mesa había una vajilla y un vaso de vino lleno sobre un mantel. El mago, con las fanfarrias apropiadas, tiró del mantel sin hacer caer la vajilla. Pero Ricky terminó castigado cuando intentó hacer lo mismo en casa con resultados desastrosos. Hace poco Ricky vio a su maestro de física hacer un truco parecido con una mesa más simple. Les dijo a los estudiantes que la demostración se relacionaba con la inercia. ¿Por qué funciona el truco y que conexión tiene con la inercia? ¿Por qué el truco no funcionó cuando Ricky lo intentó cuando era niño? Análisis. El truco del mago, usado frecuentemente como una demostración de física, ilustra los efectos de la inercia. Como la naturaleza de las fuerzas de fricción también tiene que ver con ello, la elección de un material suave para el mantel es importante (el papel de estraza a veces se sustituye en las demostraciones de física). Por lo común un poco de práctica es imprescindible para la buena ejecución del truco. El ejecutor, ya sea un mago, un maestro o un estudiante, debe jalar la tela o el papel muy rápido, imprimiéndole una aceleración inicial. Jalar ligeramente hacia abajo por el borde de la mesa ayuda

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a asegurar que no haya una componente ascendente de la aceleración y que esta última sea razonablemente uniforme por todo el ancho del mantel. A medida que el mantel se acelera, ejerce una fuerza de fricción sobre la mesa. Si jalamos lentamente, esta fuerza de fricción jalaría los platos y vasos junto con el mantel. La inercia es la resistencia que ofrece un cuerpo (en relación con su masa) a cambiar su movimiento. Cuando un objeto está en reposo, permanece así a menos que se le aplique una fuerza. Sin embargo, existe una fuerza que actúa sobre los platos y los vasos: la fricción ejercida por el mantel. Si se jala de éste lo suficientemente rápido, la fuerza de fricción se ejerce sólo un instante, así que la aceleración de los objetos es muy breve. Los objetos se acelerarán ligeramente, pero no tanto como el mantel. Hay dos aspectos de la fuerza de fricción que son importantes para comprender lo que sucede. Uno es que la fuerza de la fricción estática (que surte efecto cuando las superficies no se deslizan una respecto a la otra) tiene un valor máximo que se determina por medio de la naturaleza de las superficies de contacto y por la fuerza que empuja las superficies juntas. El segundo es que una vez que los objetos comienzan a deslizarse, la cinética o fricción deslizante entra en juego. La fuerza de la fricción cinética en general es menor que la de la fricción estática.

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4.3 Masa y peso

diferencia de masas. De acuerdo con la segunda ley, la fuerza requerida es proporcional a la masa. En efecto, estamos usando la segunda ley de Newton para definir la masa. Si empleamos la misma fuerza para acelerar masas distintas, las diferentes aceleraciones podrían usarse para comparar las masas. Si elegimos una masa como estándar, cualquier otra masa puede medirse contra ella si se comparan las aceleraciones producidas por fuerzas iguales. Podríamos, por principio, determinar la masa de cualquier cuerpo de esta manera.

F1

m1

v

a

m2 F2

v

¿Cómo definimos el peso? En la práctica, el método que acabamos de describir no es práctico para comparar las masas debido a la dificultad de medir la aceleración. El método más común de comparación de masas es “pesar” los objetos en una balanza o báscula (figura 4.8). Lo que en realidad hacemos al pesar es comparar la fuerza gravitacional ejercida sobre la masa que queremos medir con la que actúa sobre la masa estándar. La fuerza gravitacional de un cuerpo es el peso del cuerpo. Como fuerza, el peso tiene unidades diferentes (newtons) que la masa (kilogramos).

Cuando el mantel recibe una aceleración lateral grande, la fuerza necesaria para acelerar también la vajilla (Fneta = ma) excede la fuerza máxima de la fricción estática que hay entre los platos o los vasos y el mantel. Por tanto, éste empieza a deslizarse debajo de la vajilla, con lo que se reduce el tamaño de la fuerza de fricción. Si las superficies son lisas, la fuerza de fricción nunca es lo suficientemente grande como para producir una aceleración de los platos o los vasos que en cualquier punto es casi del tamaño de la aceleración del mantel. En la fracción de segundo que esta fuerza actúa, no tiene oportunidad de aumentar mucho la velocidad ni de mover el objeto muy lejos (lee el problema de síntesis 3). Una vez que el mantel ya no está en contacto con el objeto, la fuerza de fricción ejercida por la mesa desacelera rápidamente el objeto. Puedes probar estas ideas tú mismo con un lápiz, una taza o un objeto similar (de preferencia irrompible) y una hoja de papel suave. Coloca el papel en una superficie lisa (por ejemplo, un escritorio o una mesa), con un extremo extendido sobre el borde. Cógelo con ambas manos cerca de las esquinas, como se muestra en el dibujo, y tira de él hacia abajo por el borde del escritorio o de la mesa. Observa que un tirón lento jala el objeto junto con el papel, pero uno muy rápido deja el objeto esencialmente en su lugar (los objetos casi siempre se mueven un poco en la dirección del tirón). Antes de pasar a poner la mesa y el mantel, es recomendable tomar algunas precauciones. Es más difícil trabajar con objetos que pueden voltearse, como vasos de vino llenos.

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a

4.7 Paro del movimiento de una pelota de boliche y una de ping-pong. Se requiere una fuerza mucho mayor para producir la misma razón de cambio en la velocidad para la masa más grande.

figura

Agarra el papel cerca de las esquinas y tira de él ligeramente hacia abajo por el borde de la mesa. Un tirón rápido dejará el lápiz casi en su posición inicial.

El fondo podría comenzar a moverse mientras que la parte superior (con mayor inercia) permanece en su lugar, haciendo que el vaso se caiga y el vino o el agua se derramen. Además, cuanto más grande sea el mantel más difícil será jalarlo dejando la mesa limpia, tus manos deben moverse muy rápido una distancia grande en el jalón. La práctica es esencial, como ocurre con la mayoría de los trucos que realizan los magos (y los maestros de física).

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Capítulo 4

Leyes de Newton: explicación del movimiento

¿Cómo se relaciona el peso con la masa? A partir de nuestro análisis de la aceleración gravitacional del capítulo 3 sabemos que los objetos de masa diferente experimentan la misma aceleración gravitacional cerca de la superficie terrestre (g = 9.8 m/s2). Esta aceleración es causada por la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre el objeto, que es el peso de éste. Por la segunda ley de Newton, la fuerza (el peso) es igual a la masa por la aceleración o W = mg.

cuadro de ejemplo 4.2 Ejercicio: cálculo de pesos Imagina que una mujer tiene una masa de 50 kg. ¿Cuál es su peso en

a) newtons? b) libras? a) m = 50 kg

El símbolo W representa el peso. Se trata de un vector cuya dirección va en línea recta hacia abajo, al centro de la Tierra. Si conocemos la masa de un cuerpo, podemos entonces calcular su peso. Hay una muestra en el cuadro de ejemplo 4.2, donde indicamos que una mujer con una masa de 50 kg tiene un peso de 490 N. Estamos más acostumbrados a expresar pesos en kgf (kilogramo-fuerza), aunque coloquialmente sólo se menciona la palabra kilogramo. Un kgf es una unidad de fuerza igual a 9.8 N. En el sistema inglés, se acostumbra expresar el peso en libras; en este caso, una mujer con una masa de 50 kg pesa 110 lb. En ese sistema se usa la libra comúnmente como una unidad de fuerza, no de masa. Una masa de 1 kg pesa aproximadamente 2.2 lb cerca de la superficie de la Tierra. Aun cuando el peso es proporcional a la masa, también depende de la aceleración gravitacional g. Como g varía ligeramente de un lugar a otro en la superficie del planeta y tiene un valor mucho menor en la Luna o en los planetas más pequeños, el peso de un cuerpo claramente depende de dónde se halla. Por otra parte, la masa de un cuerpo es una de sus propiedades relacionada con la cantidad de materia que lo forma y no depende de su ubicación.

W=?

W = mg = (50 kg)(9.8 m/s2) = 490 N

b) W = ? en libras 1 lb = 4.45 N

W=

490 N 4.45 N/lb

= 110 lb

La aceleración gravitacional en la Luna es aproximadamente un sexto de la que hay en la supercie terrestre. Si llevamos a ese satélite a la mujer del cuadro de ejemplo de arriba, su peso disminuiría a alrededor de 18 lb (u 82 N), un sexto de su peso en la Tierra. La masa de la mujer seguiría siendo 50 kg, siempre que el viaje no la adelgazara mucho. La masa de un cuerpo sólo cambia si sumamos o restamos materia de él.

¿Por qué la aceleración gravitacional es independiente de la masa? La distinción entre peso y masa puede ayudarnos a comprender por qué la aceleración gravitacional es independiente de la masa. Volvamos al caso de un cuerpo que cae y consideremos su movimiento usando la segunda ley de Newton. Invirtiendo el argumento empleado para definir el peso, utilizamos la fuerza gravitacional (el peso) para deteminar la aceleración. Por la segunda ley de Newton, la aceleración se obtiene dividiendo la fuerza (W = mg) entre la masa: a=

Westándares

figura 4.8

Wdesconocida

Comparación de una masa desconocida con masas estándar en una balanza.

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mg = g. m

Se elimina la masa de la ecuación cuando calculamos la aceleración de un cuerpo que cae. La fuerza gravitacional es proporcional a la masa, pero por la segunda ley de Newton, la aceleración es inversamente proporcional a ésta: estos dos efectos se anulan entre sí. Esto sólo es válido para los cuerpos que caen. En la mayoría de los otros casos, la fuerza neta no depende directamente de la masa. Fuerza y aceleración no son lo mismo, aunque están estrechamente relacionadas con la segunda ley de Newton. Un cuerpo muy pesado experimenta mayor fuerza gravitacional

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4.4 La tercera ley de Newton m2 m1

F=W a=g a=g F=W

4.9 Diferentes fuerzas gravitacionales (pesos) actúan sobre cuerpos con masas distintas que van en caída, pero como la aceleración es inversamente proporcional a la masa, los cuerpos tienen la misma.

figura

(su peso) que uno menos pesado, pero los dos cuerpos tendrán la misma aceleración gravitacional (figura 4.9). Como la fuerza gravitacional es proporcional a la masa, calculamos la misma aceleración para masas diferentes. La fuerza gravitacional se estudia más adelante, en el capítulo 5, cuando retomamos la ley de Newton de la gravitación, una pieza medular de su teoría general del movimiento. El peso y la masa no son iguales. El peso es la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo; la masa es una propiedad inherente relacionada con la cantidad de materia del cuerpo. Cerca de la superficie de la Tierra el peso es igual a la masa multiplicado por la aceleración gravitacional (W = m g), pero cambia si llevamos el cuerpo a otro planeta, donde g tendrá un valor distinto. Todos los cuerpos experimentan la misma aceleración gravitacional cerca de la superficie terrestre porque la fuerza gravitacional es proporcional a sus masas, pero la aceleración es igual a la fuerza dividida entre la masa.

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¿Cómo nos ayuda la tercera ley a definir la fuerza? Si empujas con las manos un sillón o cualquier objeto grande, como la pared de tu habitación, sentirás que el objeto empuja tus manos hacia atrás. Una fuerza actúa sobre ellas y puedes sentirla cuando las comprime. Tus manos interactúan con el sillón o la pared, y ese objeto las empuja hacia atrás cuando tú empujas contra el objeto. La tercera ley de Newton lleva implícita la idea de que las fuerzas son causadas por estas interacciones de los dos objetos, cada uno de los cuales ejerce una fuerza sobre el otro. Puede enunciarse como sigue: Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B, el cuerpo B ejerce una fuerza sobre el cuerpo A de igual magnitud pero en dirección opuesta a la fuerza ejercida sobre él.

La tercera ley a veces se conoce como principio de acción y reacción, para cada acción hay una reacción igual pero opuesta. Observa que las dos fuerzas siempre actúan sobre dos cuerpos diferentes, nunca sobre el mismo cuerpo. La definición de Newton de fuerza supone la idea de interacción entre cuerpos. Las fuerzas representan esa interacción. Si ejerces una fuerza F1 sobre el sillón con tus manos, el sillón las empuja hacia atrás con una fuerza F2, que es igual en tamaño pero opuesta en dirección (figura 4.10). Usando esta notación, la tercera ley de Newton puede establecerse en forma simbólica como sigue: F2 = −F1. El signo menos indica que las dos fuerzas tienen direcciones opuestas. La fuerza F2 actúa sobre tus manos y determina parcialmente tu propio movimiento, pero no guarda ninguna relación con el movimiento del sillón. De este par de fuerzas,

F2 = –F1 F1

4.4 La tercera ley de Newton ¿De dónde provienen las fuerzas? Si empujas un sillón para moverlo por el piso, ¿también te empuja a ti? Si es así, ¿cómo afecta ese empuje tu propio movimiento? Preguntas como ésta son importantes para lo que queremos dar a entender con fuerza. La tercera ley de Newton brinda algunas respuestas. La tercera ley de Newton del movimiento es una parte importante de esta definición de fuerza. Es una herramienta esencial para analizar el movimiento o la falta de movimiento de objetos reales, pero suele entenderse mal. Por ello es bueno estudiar detenidamente qué dice y cómo se usa la tercera ley.

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F2

figura 4.10

El sillón empuja hacia atrás la mano con una fuerza F2 de igual tamaño pero en dirección opuesta a la fuerza F1 ejercida por la mano sobre él.

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Capítulo 4

Leyes de Newton: explicación del movimiento

la única que afecta el movimiento del sillón es la que actúa sobre él, F1. Nuestra definición de fuerza ahora está completa. La segunda ley de Newton establece cómo una fuerza afecta el movimiento de un cuerpo, en tanto que la tercera indica de dónde provienen las fuerzas: de interacciones entre los cuerpos. Con una definición adecuada de masa, la cual también depende de la segunda ley, sabemos cómo medir el tamaño de las fuerzas si determinamos la aceleración que producen (F = ma). Tanto la segunda como la tercera ley son necesarias para definir fuerza.

¿Cómo podemos usar la tercera ley para identificar las fuerzas? ¿Cómo identificamos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo para analizar cómo se moverá? Primero, identificamos otros cuerpos que interactúan con el que nos interesa. Considera un libro sobre una mesa (figura 4.11). ¿Qué objetos interactúan con él? Como está en contacto directo con la mesa, debe interactuar con ella, pero también lo hace con la Tierra a través de la atracción gravitacional. La fuerza descendente de la gravedad que la Tierra ejerce sobre el libro es el peso de éste, W. El objeto que interactúa con el libro para producir tal fuerza es la Tierra misma. El libro y la Tierra se atraen entre sí (mediante la gravedad) con fuerzas iguales pero opuestas que forman un par de la tercera ley. La Tierra jala el libro hacia abajo con la fuerza W, y el libro tira de la Tierra hacia arriba con la fuerza –W. Debido a la enorme masa del planeta, el efecto de esta fuerza ascendente sobre la Tierra es sumamente pequeño. La segunda fuerza que actúa sobre el libro es una fuerza ascendente ejercida por la mesa. Esta fuerza con frecuencia se

¿Una mula puede acelerar una carreta? Considera la historia de la mula terca que, después de tener un breve contacto con la física, discutía con su cuidador que no tenía sentido tirar de la carreta a la que estaba unida. La mula sostenía que, de acuerdo con la tercera ley de Newton, cuanto más duro tirara de la carreta más la jalaba ésta hacia atrás (figura 4.13). El resultado neto es, por tanto, nulo. ¿Este argumento es correcto o es una falacia?

–N

N

llama fuerza normal, donde la palabra normal significa “perpendicular” en vez de “ordinario” o “usual”. La fuerza normal N siempre es perpendicular a las superficies de contacto. El libro, a su vez, ejerce una fuerza descendente igual pero opuesta −N sobre la mesa. Estas dos fuerzas, N y −N, constituyen otro par de la tercera ley. Son resultado de la compresión mutua del libro y la mesa cuando entran en contacto. Podrías pensar en la mesa como un resorte grande y muy rígido que se comprime un poquitito cuando el libro se coloca sobre él (figura 4.12). Las dos fuerzas ejercidas sobre el libro, la de gravedad y la de la mesa, también tienen el mismo tamaño y son opuestas entre sí, pero esto no se debe a la tercera ley. ¿Cómo sabemos que son iguales? Como la velocidad del libro no está cambiando, su aceleración debe ser cero. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza neta Fneta que actúa sobre el libro debe entonces ser cero, ya que Fneta = ma y la aceleración a es cero. La única manera de que la fuerza neta sea cero es que las dos fuerzas que actúan, W y N, se cancelen entre sí. Deben ser iguales en magnitud y opuestas en dirección para que su suma sea cero. Aun cuando son iguales en tamaño y opuestas en dirección, estas dos fuerzas no constituyen un par de acción y reacción de la tercera ley. Las dos actúan sobre el mismo objeto, el libro, y la tercera ley siempre se refiere a interacciones entre objetos diferentes. Por tanto, W y N son iguales en tamaño y opuestas en dirección en este caso como consecuencia de la segunda ley, no de la tercera. Si no se anulan entre sí, el libro se alejaría de la superficie de la mesa acelerándose. (La segunda y la tercera leyes de Newton son básicas para el análisis del ejemplo del ascensor del cuadro de fenómenos cotidianos 4.2.)

W

–W Tierra

4.11 Dos fuerzas, N y W, actúan sobre un libro que se halla sobre una mesa. Las fuerzas de reacción de la tercera ley, −N y −W, actúan sobre cuerpos diferentes, la mesa y la Tierra.

figura

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figura 4.12

Un resorte sin comprimir y el mismo resorte soportando un libro. El resorte comprimido ejerce una fuerza ascendente sobre el libro.

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4.4 La tercera ley de Newton

fenómenos cotidianos

cuadro 4.2

Transporte en ascensor Situación. Todos hemos tenido la experiencia de subir a un ascensor y tener sensaciones de pesadez o liviandad a medida que acelera hacia arriba o hacia abajo. La sensación de liviandad cuando se acelera hacia abajo es en general más sorprendente, sobre todo si la aceleración no es uniforme. ¿Realmente pesamos más o menos que lo usual en estas situaciones? Si metes una báscula en el ascensor, ¿marcaría tu verdadero peso cuando éste acelera? ¿Cómo podemos aplicar las leyes de Newton del movimiento para explorar estas preguntas?

a

W

N a

Diagrama de cuerpo libre de la mujer cuando el ascensor acelera hacia arriba. ¿Por qué la fuerza normal N es más grande que el peso W?

Una mujer parada sobre una báscula en el ascensor. ¿Verá su verdadero peso en ella?

Análisis. El primer paso en el análisis de cualquier situación usando las leyes de Newton consiste en aislar el cuerpo que nos interesa e identificar cuidadosamente las fuerzas que actúan sólo sobre él. Hay varias posibilidades acerca de qué cuerpos aislar, pero algunas serán más productivas que otras. En este caso, es lógico aislar a la persona que está en pie sobre la báscula, ya que su peso es el centro de nuestras preguntas. El segundo dibujo muestra un diagrama de cuerpo libre de la mujer que indica sólo las fuerzas que actúan sobre ella. En este caso, sólo otros dos cuerpos interactúan con la mujer, que se traducen en dos fuerzas. La Tierra jala a la mujer hacia abajo por la fuerza de gravedad W. La báscula empuja hacia arriba bajo sus pies con una fuerza N, la fuerza normal. La suma vectorial de estas dos fuerzas determina su aceleración. Si el ascensor acelera hacia arriba con una aceleración a, la mujer también debe acelerar en la misma dirección y a la misma razón. La fuerza neta también debe ser ascendente, lo cual implica que la fuerza normal N es mayor que la fuerza gravitacional W. Usando signos para indicar la dirección y estableciendo que la dirección positiva sea ascendente, la segunda ley de Newton requiere que Fneta = N − W = m a.

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¿Qué sucede con lo que marca la báscula? Por la tercera ley de Newton, la mujer ejerce una fuerza descendente en ella igual en tamaño a la fuerza normal N, pero opuesta en dirección. Como ésta es la fuerza que empuja hacia abajo en la báscula, este aparato debe mostrar el valor de W, la magnitud de la fuerza normal. El verdadero peso de la mujer no ha cambiado, pero su peso aparente según lo midió la báscula ha aumentado una cantidad igual a m a. (Si reordenamos la ecuación de la segunda ley obtenemos N = W + m a.) ¿Qué ocurre cuando el ascensor acelera hacia abajo? En ese caso, la fuerza neta que actúa sobre la mujer debe ser descendente, y la fuerza normal debe ser menor que su peso. Por tanto, la lectura de W en la báscula será menor que el peso real de la mujer por la cantidad ma, lo cual provocará que la mujer esboce una sonrisa en vez de fruncir el ceño. Si el cable del ascensor se rompe, tenemos un caso especialmente interesante. Tanto la mujer como el ascensor se acelerarían hacia abajo con la aceleración gravitacional g. Como el peso de la mujer es todo lo que se requiere para darle esa aceleración, la fuerza normal que actúa sobre sus pies debe ser cero. La lectura de la báscula también será cero y la mujer ¡aparentemente será ingrávida! La sensación de nuestro propio peso es producida en parte por la presión sobre nuestros pies y las fuerzas de nuestros músculos de las piernas necesarias para mantener nuestra postura. La mujer se sentirá ingrávida en esta situación aun cuando su peso verdadero (la fuerza gravitacional que actúa sobre ella) no haya cambiado. De hecho, podría flotar en el elevador como hacen los astronautas en el transborador espacial en órbita. (El transborador espacial también está cayendo hacia la Tierra a medida que se mueve lateralmente en esa órbita.) Sin embargo, este feliz escenario tendrá su fin cuando el ascensor se estrelle contra el piso.

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Capítulo 4

Leyes de Newton: explicación del movimiento

–F1 F1

f –f

figura 4.13

figura 4.14

La falacia es simple pero quizá no sea tan obvia. El movimiento de la carreta se ve afectado sólo por una de las dos fuerzas de las que habla la mula: la fuerza que actúa sobre la carreta. La otra fuerza en este par de la tercera ley actúa sobre la mula y debe considerarse junto con otras fuerzas ejercidas sobre el animal para determinar cómo se moverá. La carreta se acelerará si la fuerza ejercida sobre ella por la mula es mayor que las fuerzas de fricción que actúan sobre la misma carreta. Trata de ponerte en el papel del cuidador y explica la falacia a la mula.

mas pueden considerarse tras pensarlo un poco. La tercera ley es el principio que usamos para identificar cualquiera de esas fuerzas.

Una mula y una carreta. ¿La tercera ley de Newton impide que la mula mueva la carreta?

¿Qué fuerza hace que un automóvil se acelere? Igual que con la mula, la fuerza de reacción para un empujón o jalón ejercido por un cuerpo es sumamente importante en la descripción del movimiento del cuerpo mismo. Considera la aceleración de un automóvil. El motor no puede empujar el vehículo porque forma parte de él. El motor hace funcionar ya sea la parte posterior o el eje frontal del auto, lo que causa que las llantas giren. A su vez, éstas empujan contra la superficie del camino mediante la fuerza de fricción f entre las llantas y el camino (figura 4.14). De acuerdo con la tercera ley de Newton, el camino debe entonces empujar contra las llantas con una fuerza igual pero con dirección opuesta −f. Esta fuerza externa hace que el automóvil se acelere. Obviamente, la fricción es deseable en este caso. Sin ella las llantas girarían y el automóvil no iría a ninguna parte. El caso de la mula es parecido. La fuerza de fricción ejercida por el suelo sobre sus pezuñas provoca que acelere hacia adelante. Esta fuerza de fricción es la reacción a su empuje contra el suelo. Reflexiona en esto la próxima vez que des un paseo a pie. ¿Qué fuerza causa que aceleres en cuanto empiezas a caminar? ¿Cuál es tu papel y cuál es el de la fricción en la producción de esa fuerza? ¿Cómo caminarías en una superficie cubierta de hielo o resbalosa? Para averiguar qué fuerzas actúan sobre un cuerpo, primero debemos identificar los demás cuerpos que interactúan con él. Algunos de ellos serán obvios. Suponemos que cualquier cuerpo en contacto directo con el que nos interesa ejercerá una fuerza. Las interacciones que producen otras fuerzas, como la resistencia del aire o la gravedad, quizá sean menos evidentes,

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El automóvil empuja contra el camino y el camino, a su vez, empuja contra el automóvil.

La tercera ley de Newton del movimiento completa su definición de fuerza. Esa ley observa que las fuerzas surgen de las interacciones entre los cuerpos. Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B, éste ejerce una fuerza de igual magnitud pero dirección opuesta sobre A. Usamos la tercera ley para identificar las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo a fin de aplicar la segunda ley del movimiento.

4.5 Aplicaciones de las leyes de Newton Hemos expuesto las leyes de Newton del movimiento y, de acuerdo con ellas, hemos estudiado las definiciones de fuerza y masa . No obstante, para apreciar su utilidad debemos aplicarlas a algunos ejemplos conocidos, como empujar un sillón o lanzar una pelota. ¿Cómo nos ayudan las leyes de Newton a dar sentido a esos movimientos? ¿Proporcionan una imagen satisfactoria de lo que sucede?

¿Qué fuerzas están implicadas en el movimiento de un sillón? Hemos recurrido al ejemplo de un sillón que es empujado pero aún no hemos analizado cómo y por qué se mueve. Como indicamos en la sección 4.4, el primer paso en cualquier análisis consiste en identificar las fuerzas que actúan sobre el sillón. Como se muestra en la figura 4.15, cuatro fuerzas se ejercen sobre él a partir de cuatro interacciones: 1. La fuerza de gravedad (el peso) W debida a la interacción con la Tierra. 2. La fuerza ascendente (normal) N ejercida por el suelo debido a la compresión del suelo. 3. La fuerza ejercida por las manos de la persona que empuja, P. 4. La fuerza de fricción f ejercida por el suelo. Dos de estos factores, la fuerza normal N y la de fricción f, en realidad se deben a interacciones con un solo cuerpo, el suelo.

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4.5 Aplicaciones de las leyes de Newton

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de la magnitud de la fuerza de fricción, la cual, a su vez, está influida por el peso del sillón y la condición de la superficie del piso. Si no logras reconocer la importancia de la fuerza de fricción, tal vez llegues a pensar, como Aristóteles, que siempre se necesita una fuerza para mantener un cuerpo en movimiento. Las fuerzas de fricción casi siempre están presentes, pero no son tan obvias como las aplicadas directamente.

P

¿Un paracaidista se sigue acelerando? f W N

4.15 Cuatro fuerzas actúan sobre un sillón que se está empujando por el suelo: el peso W, la fuerza normal N, la fuerza P ejercida por la persona que empuja y la fuerza de fricción f.

figura

Puesto que se deben a diferentes efectos y son perpendiculares entre sí, en general se les trata de manera independiente. Los efectos de las dos fuerzas verticales ejercidas sobre el sillón, el peso W y la fuerza normal N, se cancelan entre sí. Igual que el libro sobre la mesa en la sección 4.4, se obtiene este resultado porque no hay aceleración del sillón en dirección vertical. Por la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas verticales debe entonces ser cero, lo cual implica que el peso W y la fuerza normal N son iguales en tamaño pero opuestos en dirección. No tienen relevancia directa para el movimiento horizontal del sillón. Las otras dos fuerzas, el empuje de las manos P y la fuerza de fricción f, no necesariamente se anulan. Estos dos factores juntos determinan la aceleración horizontal del sillón. El empuje P debe ser mayor que la fuerza de fricción f para que éste se acelere. En el escenario más probable para que se mueva, primero debes darle un empujón con las manos que sea mayor a la fuerza de fricción, lo que produce una fuerza total, de magnitud P − f, hacia adelante, provocando que el sillón se acelere. Una vez que hayas acelerado el sillón a una velocidad razonable, reduce la fuerza de tu empuje P para que sea igual en tamaño a la fuerza de fricción. La fuerza horizontal neta se vuelve igual a cero y la aceleración horizontal es también cero por la segunda ley de Newton. Si mantienes el empuje en este nivel, el sillón se moverá por el piso a velocidad constante. Por último, quita las manos y su empuje P, y el sillón rápidamente desacelera a una velocidad de cero por la influencia de la fuerza de fricción f. Si por casualidad tienes un sillón y un piso liso a mano, intenta producir el movimiento que acabamos de describir. Ve si puedes notar las diferencias en la fuerza que estás ejerciendo con las manos en varios puntos del movimiento. La fuerza debe ser mayor al principio del movimiento. El tamaño de la fuerza necesaria para mantener el sillón en movimiento a una velocidad constante se determina por medio

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En el capítulo 3 consideramos el hecho de que un cuerpo cae con una aceleración constante g si la resistencia del aire no es un factor significativo. ¿Qué pasa con cuerpos tales como un paracaista que recorre en su caída grandes distancias? ¿Siguen acelerándose a esta razón y adquieren velocidades descendentes cada vez mayores? Cualquier persona con experiencia en paracaidismo sabe que no es así. ¿Por qué? Si la resistencia del aire no fuera un factor, un cuerpo que cae sólo experimentaría la fuerza gravitacional (su peso) y seguiría acelerándose. En el paracaidismo, la resistencia del aire es importante y sus efectos se vuelven más grandes a medida que aumenta la velocidad del paracaidista (o de cualquier cuerpo), el cual tiene una aceleración inicial de g, pero a medida que su velocidad crece, la fuerza de resistencia del aire se vuelve significativa. Su aceleración disminuye (figura 4.16). Para velocidades pequeñas, la fuerza de resistencia del aire R es pequeña, y el peso es la fuerza dominante. Conforme la velocidad aumenta, la fuerza de resistencia del aire se vuelve mayor, haciendo que la magnitud total de la fuerza descendente, W − R, disminuya. Puesto que la fuerza neta es la causa de la aceleración, ésta también disminuye. A la larga, a medida que la velocidad siga aumentando, la fuerza de resistencia del aire alcanzará un valor igual en tamaño a la fuerza gravitacional. La fuerza neta será entonces cero y el paracaidista dejará de acelerarse. Decimos que ha alcanzado una velocidad terminal, y de aquí en adelante se moverá hacia abajo a velocidad constante. En general, la velocidad terminal se halla entre 100 y 120 mi/h. Las fuerzas de fricción o de resistencia tienen una importancia central en el análisis del movimiento. Aristóteles no tuvo la oportunidad de hacer paracaidismo (ni la tenemos muchos de nosotros), así que este ejemplo no formaba parte de su experiencia. No obstante, observó la velocidad terminal de objetos muy ligeros como las plumas o las hojas. El peso de estos objetos es pequeño y el área de superficie es grande respecto al peso, así que la fuerza de resistencia del aire R se iguala en tamaño al peso mucho antes que para un objeto más pesado. Arranca una esquina pequeña de una hoja de papel, déjala caer y observa. ¿Alcanza una velocidad constante (terminal)? Revolotea mientras cae, pero no parece acelerarse mucho durante la mayor parte de su descenso. Puedes advertir entonces por qué Aristóteles concluyó que los cuerpos pesados caen más rápido que los ligeros. Si dejas caer objetos pesados en el agua también observarás la velocidad terminal. El agua ejerce una fuerza de resistencia mayor a menores velocidades que el aire.

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Capítulo 4

Leyes de Newton: explicación del movimiento

general varía con el tiempo, un análisis completo del proceso de lanzamiento se vuelve muy complejo. No obstante, en cuanto la pelota deja la mano entramos en el segundo periodo, donde P ya no se considera. Durante este intervalo, la fuerza gravitacional W y la fuerza de resistencia del aire R producen cambios en la velocidad de la pelota. A partir de este momento, el problema se vuelve de movimiento de proyectiles (sección 3.4). La fuerza gravitacional acelera la pelota hacia abajo y la fuerza de resistencia del aire actúan en dirección opuesta a la velocidad, con lo que se reduce gradualmente la velocidad de la pelota. Contrario al concepto de Aristóteles, no se requiere fuerza alguna para mantener la pelota en movimiento una vez que ha sido lanzada. De hecho, si un cuerpo se lanza al espacio profundo, donde la resistencia del aire es inexistente y las fuerzas de gravitación son muy débiles, seguiría moviéndose a velocidad constante, como lo establece la primera ley de Newton. Por tanto, ten cuidado con las herramientas cuando trabajes en el espacio fuera de tu nave espacial. Como la fuerza de resistencia del aire o el empujón ejercido por una persona que lanza una pelota varía con el tiempo, hemos evitado trabajar con ejemplos numéricos para estas situaciones. El simple hecho de identificar las fuerzas implicadas y sus causas debidas a las interacciones de la tercera ley con otros cuerpos proporciona una descripción útil de lo que sucede.

R

W

R

W

R

W

figura 4.16

La fuerza de resistencia del aire R que actúa sobre un paracaidista aumenta a medida que la velocidad crece.

¿Qué sucede cuando se lanza una pelota? Aristóteles tuvo dificultades para explicar el movimiento de un objeto arrojado —digamos, una pelota— una vez que salía de la mano del lanzador. Reconsideremos este ejemplo desde el ángulo newtoniano. ¿Necesitamos una fuerza para mantener la pelota en movimiento? No, de acuerdo con la primera ley de Newton. Sin embargo, en el vuelo de una pelota participan tres fuerzas: el empuje inicial aplicado por el lanzador, el jalón hacia abajo de la gravedad y, una vez más, la resistencia del aire (figura 4.17). Para destacar el enfoque de Newton es mejor separar el movimiento descendente en dos periodos. El primero es el proceso de lanzamiento, cuando la mano está en contacto con la pelota. Durante este intervalo, la fuerza P ejercida por la mano domina el movimiento. Los efectos combinados de las demás fuerzas (gravedad y resistencia del aire) deben ser menores que la fuerza P si la pelota se va a acelerar. Por tanto, P acelera la pelota a una velocidad que denominamos inicial. La magnitud y la dirección de la velocidad inicial están determinadas por la intensidad y la dirección de la fuerza P y el lapso que esa fuerza actúa sobre la pelota. Como tal fuerza en

¿Cómo analizamos el movimiento de cuerpos unidos? La verificación de las leyes de Newton del movimiento provino inicialmente de ejemplos más sencillos y fáciles de recrear en un laboratorio. Un ejemplo fácil de representar y montar en un laboratorio de física (o incluso en casa, si tienes los juguetes adecuados) es el de dos carritos acelerados por el tirón de una cuerda (figura 4.18). Para mantener este ejemplo simple, supondremos que los carritos tienen excelentes baleros de rueda, de modo que ruedan con muy poca fricción. También supondremos que contamos con una báscula para determinar las masas de los carritos y su contenido. Para medir la magnitud de la fuerza aplicada mediante la cuerda, tendríamos que insertar una pequeña balanza de resorte en alguna parte entre la mano y los carritos. La parte más difícil de todo el experimento es la aplicación de una fuerza constante con este arreglo mientras los carritos se están acelerando. Si conocemos las masas de los carritos y su contenido, así como la magnitud de la fuerza aplicada mediante la cuerda,

R W P

W

R W

figura 4.17

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Tres fuerzas actúan sobre una pelota lanzada: el empuje inicial P, el peso W y la resistencia del aire R.

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4.5 Aplicaciones de las leyes de Newton

cuadro de ejemplo 4.3 m2

m1

F = 36 N

4.18 Dos carritos unidos se aceleran por medio de una fuerza F aplicada mediante una cuerda.

figura

debemos poder predecir el valor de la aceleración del sistema con base en la segunda ley de Newton (véase el cuadro de ejemplo 4.3.) Para las masas dadas en el ejemplo y una fuerza aplicada de 36 N, obtenemos una aceleración de 2.0 m/s2 para los dos carritos. La aceleración podría verificarse experimentalmente midiendo el tiempo requerido para que los carritos recorrieran una distancia fija y usando las ecuaciones desarrolladas para la aceleración constante en el capítulo 2 a fin de calcular un valor determinado de forma experimental. En el cuadro de ejemplo 4.3, primero tratamos los dos carritos como un solo sistema para obtener la aceleración. No obstante, supón que queremos determinar la magnitud de la fuerza ejercida por los ganchos que unen a los carritos. En este caso, tiene sentido tratar por separado el movimiento de cada uno de éstos. Una vez que conocemos la aceleración, aplicamos de nuevo la segunda ley de Newton para obtener la fuerza neta que actúa sobre cada uno de ellos. Este cálculo se realiza en la segunda parte del cuadro de ejemplo 4.3 y se ilustra en la figura 4.19. Para el segundo carrito, se precisa una fuerza de 16 N a fin de producir la aceleración de 2 m/s2. Por la tercera ley de Newton, debe entonces haber una fuerza de 16 N que jala hacia atrás al primer carrito. Combinados con la fuerza hacia delante de 36 N aplicada por la cuerda, esto da como resultado una fuerza neta de 20 N que actúa sobre el primer carrito (36 N − 16 N). Éste es exactamente el valor requerido para imprimir en el primer carrito una aceleración de 2 m/s2. A partir de este ejemplo, vemos que las leyes de Newton proporcionan una imagen completamente consistente de las fuerzas y aceleraciones de las diferentes partes del sistema de carritos unidos. Ésta es una condición necesaria para que aceptemos las leyes como válidas. Desde luego, otra condición es que cualquier predicción se confirme por medio de mediciones experimentales. Esto ya se ha hecho muchas veces con experimentos parecidos al que empleamos aquí. Podríamos probar numerosas variaciones de este experimento en el laboratorio para ver si los resultados concuerdan con las predicciones deducidas de las leyes de Newton. Sin embargo, incluso con una técnica experimental cuidadosa, usando cronómetros y balanzas precisas, es poco probable que nuestros resultados coincidan de manera exacta con nuestras predicciones. Es imposible eliminar los efectos de la fricción por completo, y ninguna de nuestras mediciones puede hacerse con precisión infinita. El arte del experimentalista es reducir tales imprecisiones al mínimo, así como predecir cómo influyen en los resultados.

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Ejercicio de ejemplo: objetos unidos Dos carritos unidos se jalan por el piso bajo la influencia de una fuerza de 36 N aplicada mediante una cuerda (figura 4.18). El carrito de adelante y su contenido tienen una masa de 10 kg, y el segundo carrito y su contenido tienen una masa de 8 kg. Suponiendo que las fuerzas de fricción son insignificantes: a) ¿Cuál es la aceleración de los dos carritos? b) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre cada uno de ellos? a) m1 = 10 kg m2 = 8 kg F = 36 N a = ?

Fneta = ma o:

a= =

Fneta 36 N = m 10 kg + 8 kg 36 N = 2.0 m/s2 18 kg

a = 2.0 m/s2 en dirección hacia delante b) Fneta = ? (para cada carrito)

primer carrito Fneta = ma = (10 kg)(2 m/s2) = 20 N segundo carrito Fneta = ma = (8 kg)(2 m/s2) = 16 N

m2

16 N

16 N

m1

36 N

figura 4.19

La interacción entre los dos carritos ilustra la tercera ley de Newton. Las leyes de Newton del movimiento proporcionan explicaciones cualitativas y cuantitativas de cualquier movimiento conocido. Primero identificamos las fuerzas que actúan sobre el cuerpo al examinar sus interacciones con otros cuerpos. El tamaño relativo de esas fuerzas, cuando se suman, dan la aceleración del cuerpo. La aceleración puede cambiar a medida que las fuerzas cambian con el tiempo, como en el caso de un paracaidista. Las leyes de Newton se han verificado muchas veces por medio de pruebas experimentales de sus predicciones cuantitativas. Son una teoría mucho más consistente de las causas del movimiento que las viejas ideas aristotélicas.

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Capítulo 4

Leyes de Newton: explicación del movimiento

resumen En 1685, Newton publicó sus Principia, obra en la que presentó las tres leyes del movimiento como la base de su teoría de la mecánica. Esas leyes siguen sirviendo como modelo sumamente útil para explicar las causas del movimiento y predecir cómo se moverán los cuerpos en situaciones conocidas.

1

4

La tercera ley de Newton. La tercera ley de Newton completa la definición de fuerza al mostrar que las fuerzas son resultado de las interacciones entre los cuerpos. Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B, entonces éste ejerce una fuerza de igual tamaño pero en dirección opuesta sobre el cuerpo A.

Una breve historia. La teoría de Newton se basa en el trabajo preliminar de Galileo y remplazó un modelo muy viejo y menos cuantitativo, desarrollado por Aristóteles para explicar el movimiento. La teoría de Newton tuvo una capacidad mucho más predictiva que las ideas aristotélicas. Aun cuando ahora reconocemos sus limitaciones, la teoría de Newton sigue utilizándose ampliamente para explicar el movimiento de cuerpos comunes. Primera y segunda leyes de Newton. La segunda ley 2de Newton establece que la aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza externa neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. La primera ley, un caso especial de la segunda, describe lo que ocurre cuando la fuerza neta es cero. La aceleración debe entonces ser cero y el cuerpo se mueve a velocidad constante.

m

A

B

FA

FB FA = – FB

Aplicaciones de las leyes de Newton. Al analizar el 5movimiento de un cuerpo usando las leyes de Newton, el primer paso consiste en identificar las fuerzas que actúan sobre él debido a las interacciones con otros cuerpos. La intensidad y dirección de la fuerza neta entonces determina cómo cambiará el movimiento del cuerpo.

Fneta a

a=

P Fneta m

y peso. La segunda ley de Newton define la masa 3inercialMasa de un cuerpo como la propiedad que hace que el cuerpo se resista a cambiar su movimiento. El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional ejercida sobre él y es igual a la masa multiplicada por la aceleración gravitacional g. El peso de un cuerpo puede variar conforme g cambia, pero la masa es una propiedad inherente del cuerpo relacionada con su cantidad de materia.

f W N

m

W

W = mg

conceptos clave fuerza, 61 primera ley de Newton del movimiento, 62 fuerza de fricción, 62 segunda ley de Newton del movimiento, 62 fuerza neta, 62

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masa, 63 inercia, 63 Newton (unidad de fuerza), 63 peso, 66 tercera ley de Newton del movimiento, 67

principio de acción y reacción, 67 fuerza normal, 68 diagrama de cuerpo libre, 69 fuerza de reacción, 70 velocidad terminal, 71

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Conceptos clave

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preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. ¿El trabajo de Galileo sobre el movimiento precede en tiempo a los de Aristóteles o Newton? Explícalo. P2. ¿Por qué Aristóteles creía que los cuerpos pesados caen más rápido que los cuerpos ligeros? Explícalo. P3. Aristóteles creía que se necesitaba una fuerza para mantener un cuerpo en movimiento. De acuerdo con él, ¿de dónde proviene esa fuerza en el caso de una pelota que se mueve por el aire? Explícalo. *P4. ¿Cómo explica Aristóteles el movimiento continuo de un cuerpo lanzado? ¿Esta explicación te parece razonable? Explica por qué. P5. ¿Galileo desarrolló una teoría más completa del movimiento que la de Newton? Explica por qué. P6. Dos fuerzas iguales actúan sobre dos cuerpos distintos, uno de los cuales tiene una masa diez veces mayor que la otra. ¿El cuerpo con mayor masa tendrá una aceleración mayor, igual o menor que el de menos masa? Explica por qué. P7. Se observa que un bloque de 3 kg se acelera a una razón del doble de un bloque de 6 kg. ¿La fuerza neta que actúa sobre el bloque de 3 kg es, por consiguiente, el doble de grande que la ejercida sobre el bloque de 6 kg? Explica por qué. P8. Dos fuerzas horizontales de igual magnitud actúan sobre una caja, como se muestra en el diagrama.¿El objeto se acelera horizontalmente? Explica por qué. –F

F

P9. ¿Es posible que el objeto representado en la pregunta 8 esté en movimiento, si las dos fuerzas que actúan sobre él tienen igual tamaño pero direcciones opuestas? Explica por qué. P10. Imagina que una bala se dispara desde un rifle en el espacio exterior donde no hay fuerzas debidas a la gravedad o resistencia del aire que actúe sobre ella. ¿La bala reducirá su velocidad a medida que se aleje del rifle? Explica por qué. P11. Dos fuerzas iguales actúan sobre un objeto en las direcciones representadas en el diagrama de abajo. Si fueran las únicas fuerzas implicadas, ¿el objeto se acelerará? Explica por qué, usando un diagrama.

F1

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F2

P12. Se observa que un objeto que se mueve horizontalmente sobre una mesa reduce su velocidad. ¿Existe una fuerza neta diferente de cero que actúe sobre él? Explica por qué. P13. Un automóvil recorre una curva a una rapidez constante. a) ¿Su aceleración es cero en este proceso? Explica por qué. b) ¿Hay una fuerza neta diferente de cero que actúa sobre el automóvil? Explica cuál. *P14. ¿La segunda ley del movimiento de Newton explica la primera ley? Explica por qué. ¿Por qué Newton enunció la primera ley como una ley del movimiento diferente? P15. ¿La masa de un objeto es lo mismo que su peso? Explica por qué. P16. La fuerza gravitacional que actúa sobre un balín de plomo es mucho mayor que la ejercida sobre un balín de madera del mismo tamaño. Cuando los dos balines se dejan caer, ¿el de plomo se acelera a la misma razón que el de madera? Explica por qué, usando la segunda ley de Newton del movimiento. P17. La aceleración debida a la gravedad de la Luna es aproximadamente un sexto de la aceleración gravitacional cerca de la superficie terrestre. Si una piedra se transporta de la Tierra a la Luna, ¿qué cambiará en el proceso: su peso o su masa? Explica por qué. P18. ¿La masa es una fuerza? Explica por qué. P19. Un estudiante parado sobre una silla deja caer desde la misma altura dos latas idénticas, una llena de balas de plomo y la otra de plumas. a) ¿Cuál lata, si es que alguna, experimenta la mayor fuerza debida a la atracción gravitacional de la Tierra? Explica por qué. b) ¿Cuál lata, si es que alguna, experimenta la mayor aceleración debida a la gravedad? Explica por qué. P20. Un niño está sentado en el piso. ¿Cuáles dos fuerzas verticales actúan sobre él? ¿Las dos fuerzas constituyen un par de acción y reacción según se define en la tercera ley de Newton del movimiento? Explica por qué. P21. El motor de un automóvil forma parte de éste y no puede empujarlo directamente para acelerarlo. ¿Qué fuerza externa que actúa sobre el auto es responsable de su aceleración en la superficie de la carretera? Explica por qué. P22. Es difícil detener un automóvil sobre una carretera cubierta de hielo. ¿También es difícil acelerarlo sobre la misma carretera? Explica por qué. P23. Una pelota cuelga de una cuerda atada al techo, como se muestra en el diagrama. a) ¿Qué fuerzas actúan sobre ella? ¿Cuántas son? b) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre la pelota? Explica por qué.

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Capítulo 4

Leyes de Newton: explicación del movimiento

c) Para cada fuerza identificada en el inciso a), ¿cuál es la fuerza de reacción descrita por la tercera ley de Newton del movimiento?

P29. Dos masas, m1 y m2, unidas por una cuerda, se colocan en una polea fija sin fricción como se muestra en el diagrama. Si m2 es mayor que m1, ¿las dos masas se acelerarán? Explica por qué.

m

*P24. Cuando un mago hace el truco del mantel, los objetos sobre la mesa no se mueven muy lejos. ¿Hay alguna fuerza horizontal que actúe sobre ellos cuando el mantel se jala para quitarlo de la mesa? ¿Por qué los objetos no se mueven muy rápido? Explícalo. P25. Un velocista acelera al principio de una carrera de 100 metros planos y luego trata de mantener una rapidez máxima durante el resto de la carrera. a) ¿Qué fuerza externa es responsable de acelerar al corredor al principio de la carrera? Explica detalladamente cómo se produce. a) Una vez que el corredor alcanza su velocidad máxima, es necesario seguir empujando contra la pista para conservarla? Explica por qué. P26. Una mula trata de mover una carreta cargada con piedras. Como la carreta jala hacia atrás a la mula con una fuerza igual en tamaño a la fuerza que la mula ejerce sobre la carreta (de acuerdo con la tercera ley de Newton), ¿es posible que la mula acelere la carreta? Explica por qué. P27. La fuerza normal ascendente ejercida por el piso sobre una silla es igual en tamaño pero opuesta en dirección al peso de ésta. ¿Tal igualdad ilustra la tercera ley de Newton del movimiento? Explica por qué. P28. Un tractor de jueguete que funciona con baterías empuja un libro por una mesa. Traza diagramas diferentes del libro y el tractor que identifiquen todas las fuerzas que actúan sobre cada objeto. ¿Cuál es la fuerza de reacción descrita por la tercera ley de Newton del movimiento para cada una de las fuerzas que dibujaste?

m2 m1 P30. Una fuerza constante F ejercida por una cuerda jala dos bloques con la misma masa, unidos mediante una cuerda, a través de una superficie sin fricción (véase el diagrama). a) ¿Los dos bloques se moverán con velocidad constante? Explica por qué. b) ¿La tensión en la cuerda que los une será mayor, menor o igual que la fuerza F? Explica por qué.

m

m

F

*P31. Imagina que un paracaidista usa un traje lubricado especialmente para reducir la resistencia del aire a una fuerza constante pequeña que no aumenta conforme crece la velocidad del paracaidista. ¿Alcanzó éste la velocidad terminal antes de abrir su paracaídas? Explica por qué. P32. Si en un edificio alto entras en un ascensor y comienza a acelerarse hacia abajo, ¿la fuerza normal que empuja sobre tus pies será mayor, igual o menor que la fuerza de gravedad que te jala hacia abajo? Explica por qué. P33. Si el cable del ascensor se rompe y te encuentras en una condición de ingravidez aparente mientras el elevador cae. ¿La fuerza gravitacional que actúa sobe ti es igual a cero? Explica por qué.

ejercicios E1. Una sola fuerza de 40 N actúa sobre un bloque de 5 kg. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del bloque? E2. Se observa que una pelota con una masa de 2.5 kg se acelera a razón de 6.0 m/s2. ¿Cuál es el tamaño de la fuerza neta que actúa sobre ella? E3. Una fuerza neta de 20 N que actúa sobre un bloque de madera produce una aceleración de 4.0 m/s2 para el bloque. ¿Cuál es la masa de éste?

E5. Un mantel jalado ejerce una fuerza de fricción de 0.6 N sobre un plato con una masa de 0.4 kg. ¿Cuál es la aceleración del plato? E6. Un bloque de 6 kg que se está empujando a lo largo de una mesa por una fuerza P tiene una aceleración de 3.0 m/s2. a) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre él? b) Si la magnitud de P es 20 N, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque?

E4. Un bloque de 3.0 kg que se está jalando a través de una mesa por una fuerza horizontal también experimenta una fuerza de fricción de 5 N. ¿Cuál es la aceleración del bloque?

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Problemas de síntesis E7. Dos fuerzas, una de 50 N y la otra de 30 N, actúan en direcciones opuetas sobre una caja como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la masa de la caja si su aceleración es de 4.0 m/s2? 50 N 30 N E8. Tres fuerzas horizontales actúan sobre un bloque de 4 kg como se muestra en el diagrama. a) ¿Cuál es la fuerza neta horizontal que actúa sobre el bloque? b) ¿Cuál es la aceleración horizontal del bloque? 10 N

5N 2 kg

25 N

E9. Un trineo de 4 kg que se desliza libremente sobre una superficie cubierta de hielo experimenta una fuerza de fricción de 2 N ejercida por el hielo y una fuerza de resistencia del aire de 0.5 N. a) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre él? b) ¿Cuál es la aceleración del trineo? E10. ¿Cuál es el peso de una masa de 40 kg? E11. ¿Cuál es la masa de un peso de 196 N? E12. Jennifer tiene un peso de 110 lb. a) ¿Cuál es su peso en newtons? (1 lb = 4.45 N) b) ¿Cuál es su masa en kilogramos?

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E14. ¿Quién tiene la masa más grande, un hombre que pesa 145 lb o uno que pesa 735 N? E15. En cierto instante, una piedra de 4 kg que se ha desprendido de un acantilado alto experimenta una resistencia del aire de 15 N. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la aceleración de la piedra? (No olvides la fuerza gravitacional.) E16. En cierto instante, se observa que una piedra de 5 kg cae con una aceleración de 7.0 m/s2. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de la resistencia del aire que actúa sobre la piedra en ese instante? E17. Un libro de 0.5 kg descansa sobre una mesa. Una mano que empuja hacia abajo el libro ejerce una fuerza descendente de 6 N. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre el libro? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ascendente (normal) ejercida por la mesa sobre el libro? (¿El libro se acelera?) E18. Una fuerza ascendente de 18 N se aplica a través de una cuerda para levantar una pelota con una masa de 1.5 kg. a) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre la pelota? b) ¿Cuál es la aceleración de ésta? E19. Una mujer de 60 kg en un ascensor se está acelerando hacia arriba a razón de 1.2 m/s2. a) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre ella? b) ¿Cuál es la fuerza gravitacional que actua sobre ella? c) ¿Cuál es la fuerza normal que empuja hacia arriba sobre los pies de la mujer?

E13. El autor de este texto tiene un peso de 600 N. a) ¿Cuál es su masa en kilogramos? b) ¿Cuál es su peso en libras? (1 lb = 4.45 N)

problemas de síntesis PS1. Una fuerza constante de 30 N es ejercida por una cuerda atada a un bloque de 5 kg que se está jalando por la superficie de una mesa. El bloque también experimenta una fuerza de fricción de 5 N debida al contacto con la mesa. a) ¿Cuál es la aceleración horizontal del bloque? b) Si el bloque parte del reposo, ¿cuál será su velocidad después de 3 segundos? c) ¿Qué distancia recorrerá en esos 3 segundos?

PS3. Un plato con una masa de 0.4 kg tiene una fuerza de fricción cinética de 0.15 N ejercida sobre éste por un mantel durante un tiempo de 0.2 s. a) ¿Cuál es la aceleración del plato? b) ¿Qué velocidad alcanza en este tiempo si parte desde el reposo? c) ¿A qué distancia (en cm) se mueven el plato en este tiempo?

PS2. Una cuerda ejerce una fuerza horizontal constante de 250 N para jalar un cajón de 60 kg por el piso. Se observa que la velocidad del cajón aumenta de 1 m/s a 3 m/s en un tiempo de 2 segundos bajo la influencia de esta fuerza y la fuerza de fricción ejercida por el piso sobre el cajón. a) ¿Cuál es la aceleración del cajón? b) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre el cajón? c) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción que actúa sobre el cajón? d) ¿Qué fuerza tendría que aplicarse al cajón por la cuerda para que el cajón se mueva con una velocidad constante? Explica por qué.

PS4. Un cajón de 60 kg es bajado de una zona de carga al suelo usando una cuerda que pasa por un soporte fijo. La cuerda ejerce una fuerza ascendente de 500 N sobre el cajón. a) ¿El cajón se acelerará? Explica por qué. b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la aceleración del cajón? c) ¿Cuánto tardará un cajón en llegar al suelo si la zona de carga tiene una altura de 1.4 m sobre el suelo? d) ¿Cuán rápido se mueve el cajón cuando llega al suelo?

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PS5. Una fuerza horizontal de 30 N jalando dos bloques unidos por una cuerda horizontal a lo largo de una mesa, como se

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Capítulo 4

Leyes de Newton: explicación del movimiento

muestra. El bloque de 2 kg tiene una fuerza de fricción de 6 N ejercida sobre él por la mesa, y el bloque de 4 kg tiene una fuerza de fricción de 8 N que actúa sobre él. a) ¿Cuál es la fuerza neta ejercida sobre todo el sistema de dos bloques? b) ¿Cuál es la aceleración de este sistema? c) ¿Qué fuerza ejerce la cuerda sobre el bloque de 2 kg? (Considera sólo las fuerzas que actúan sobre este bloque. Su aceleración es la misma que la de todo el sistema.) d) Determina la fuerza neta que actúa sobre el bloque de 4 kg y calcula su aceleración. ¿Cómo se compara este valor con el que obtuviste en el inciso b)? 2 kg

4 kg 30 N

6N

8N

PS6. Un hombre de 60 kg está en un ascensor que se acelera hacia abajo a una razón de 1.4 m/s2. a) ¿Cuál es el verdadero peso del hombre en newtons? b) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre el hombre requerida para producir la aceleración?

c) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre los pies del hombre por el piso del ascensor? d) ¿Cuál es el peso aparente del hombre en newtons? (Éste es el peso que se leería en la báscula si el hombre estuviera parado en ella en el elevador que se está acelerando.) d) ¿Cómo cambiarían tus respuestas a los incisos b) a d) si el elevador se estuviera acelerando hacia arriba a una aceleración de 1.4 m/s2? PS7. Un paracaidista tiene un peso de 750 N. Imagina que la fuerza de la resistencia del aire que actúa sobre el paracaidista aumenta en proporción directa a su velocidad de manera que por cada 10 m/s que crece la velocidad del paracaidista, la fuerza de fricción de la resistencia del aire aumenta 100 N. a) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre el paracaidista cuando su velocidad es 40 m/s? b) ¿Cuál es la aceleración del paracaidista a tal velocidad? c) ¿Cuál es la velocidad terminal del paracaidista? d) ¿Qué le pasaría a la velocidad del paracaidista si por alguna razón (tal vez una leve corriente de aire descendente) su velocidad excediera la velocidad terminal? Explica por qué.

experimentos y observaciones para la casa EC1. Reúne una variedad de objetos pequeños como monedas, lápices, llaves y tapas de botellas. Los cubos de hielo, si cuentas con ellos, también son objetos de prueba excelentes. Trata de deslizarlos por una superficie lisa, como la de una mesa o el piso, siendo lo más consistente posible en la velocidad inicial que les imprimas. a) ¿Los objetos se deslizan la misma distancia después de que dejan tu mano? ¿Qué diferencias son aparentes y cómo se relacionan con la naturaleza de la superficie y el tamaño de los objetos? ¿Cuáles objetos demuestran mejor la primera ley de Newton del movimiento? b) ¿Qué factores parecen ser importantes en la reducción de la fuerza de fricción entre los objetos y la superficie sobre la cual se deslizan? Si adviertes algunos principios generales, prueba esta idea encontrando otros objetos que puedan apoyar tu hipótesis. EC2. Coloca una hoja de papel bajo un libro mediano que esté sobre una superficie lisa, digamos una mesa o un escritorio. a) Trata de acelerar el libro uniformemente dando un jalón constante a la hoja de papel. ¿Qué sucede si tratas de acelerar el libro demasiado rápido? ¿Puedes jalar el papel con destreza debajo del libro sin mover este último? Explica tus observaciones en términos de las leyes de Newton del movimiento. b) Repite estas observaciones con algunos libros apilados. ¿Cómo afecta los resultados el aumento en la masa de libros? c) Prueba con otros objetos. ¿Qué objetos se mueven menos cuando jalas el papel rápidamente?

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EC3. Los objetos en caída cuya área de superficie es relativamente grande respecto a su peso alcanzan una velocidad más rápida que una pelota o una piedra. Intenta con varios objetos, como un globo, pedazos de papel pequeños, partes de una planta (hojas, flores o semillas), o cualquier cosa que pudiera funcionar. ¿Estos objetos alcanzan una velocidad terminal? ¿Cuán lejos caerá el objeto antes de adquirir una velocidad constante? ¿Cómo difiere la razón de la caída para objetos distintos cuando se dejan caer al mismo tiempo? ¿Cuál de los objetos probados produce la demostración más clara de la velocidad terminal, mostrando primero una breve aceleración seguida por una velocidad constante? EC4. En el ascensor de un edificio, observa los efectos de acelerarlo. La mayoría de los ascensores se aceleran brevemente cuando empiezan a moverse y cuando se detienen (desceleración). Los ascensores exprés de edificios de muchos pisos son mejores para observar los efectos de la aceleración. a) Si tienes una báscula, ve cuánto difiere tu peso aparente del verdadero cuando el elevador se detiene o empieza a moverse. ¿Puedes estimar la razón de la aceleración a partir de esta información? (Lee el cuadro de fenómenos cotidianos 4.2 y el problema de síntesis 6.) b) Trata de estirar el brazo a la altura del hombro y manténlo en esta posición cuando el ascensor se acelere. ¿Es muy difícil hacer esto en condiciones diferentes durante el movimiento del ascensor? Explica tus observaciones.

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Movimiento circular, los planetas y la gravedad descripción del capítulo

esquema del capítulo

1 2 3

4 5

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Aceleración centrípeta. ¿Cómo podemos describir la aceleración implícita en el cambio de dirección de la velocidad de un cuerpo? ¿Cómo depende tal aceleración de la rapidez del cuerpo? Fuerzas centrípetas. ¿Qué tipo de fuerzas participan en la producción de aceleraciones centrípetas en diferentes situaciones? ¿Qué fuerzas están presentes cuando un automóvil toma una curva? Movimiento planetario. ¿Cómo se mueven los planetas alrededor del Sol? ¿Cómo ha cambiado lo que sabemos acerca del movimiento planetario a lo largo de la historia? ¿Cuáles son las leyes de Kepler del movimiento planetario? Ley de Newton de la gravitación universal. ¿Cuál es la naturaleza fundamental de la fuerza gravitacional según Newton? ¿Cómo nos ayuda esa fuerza a explicar el movimiento planetario? La Luna y otros satélites. ¿Cuál es la órbita de la Luna alrededor de la Tierra? ¿En qué se diferencian las órbitas de los satélites artificiales de la lunar y entre sí?

capítulo

5 unidad uno

Con el ejemplo de una pelota atada a una cuerda, primero estudiamos la aceleración implícita en el cambio de dirección de la velocidad del movimiento circular (aceleración centrípeta). Luego consideramos las fuerzas relacionadas con la producción de una aceleración centrípeta en diferentes casos, incluido el de un automóvil que toma una curva. Después estudiamos las leyes de Kepler del movimiento planetario y exponemos la ley de Newton de la gravitación universal con objeto de explicar el movimiento planetario. También mostramos cómo se relaciona esta fuerza gravitacional con el peso de un cuerpo y con la aceleración gravitacional cerca de la superficie de la Tierra.

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

“E

l auto no logró librar la curva.” ¿Cuántas veces has leído una frase como ésta en una nota periodística sobre un accidente? Tal vez la superficie de la carretera estaba resbalosa o el conductor manejaba demasiado aprisa para lo pronunciado de la curva. En todo caso, quizá se combinó un mal juicio con una noción escasa de la física de la situación (figura 5.1). Cuando un auto toma una curva la dirección de su velocidad cambia. Un cambio en la velocidad significa aceleración y, según la segunda ley de Newton, una aceleración requiere una fuerza. Esta situación tiene mucho en común con la de la pelota que gira en círculo en el extremo de una cuerda y con otros ejemplos del movimiento circular. ¿Qué fuerzas mantienen un auto en movimiento alrededor de una curva? ¿Por qué la fuerza requerida depende de la rapidez del vehículo y de lo cerrado de la curva? ¿Qué otros factores están relacionados? Finalmente, ¿qué tiene en común el auto que toma una curva con la pelota que gira atada a una cuerda y con el movimiento de los planetas alrededor del Sol? El movimiento planetario en torno al Sol y el de la Luna alrededor de la Tierra fueron de suma importancia en el desarrollo de la teoría de la mecánica de Newton, de la cual la ley de la gravitación universal es una parte medu-

5.1 El automóvil no logró salvar la curva. Se trata de un caso de la primera ley de Newton.

figura

lar. La fuerza de gravedad explica el comportamiento de los cuerpos que caen cerca de la superficie terrestre, así como por qué los planetas se mueven en trayectorias casi circulares alrededor del Sol. El movimiento circular es un caso relevante y especial del movimiento en dos dimensiones, tanto en la historia de la física como en nuestra experiencia cotidiana.

5.1 Aceleración centrípeta Supón que atamos una pelota a una cuerda y la hacemos girar en un círculo horizontal (figura 5.2). Con un poco de práctica no es difícil mantenerla en movimiento a una rapidez constante, pero la dirección de su velocidad cambia continuamente. Un cambio en la velocidad implica aceleración, pero ¿cuál es su naturaleza? La clave para esta situación consiste en estudiar detenidamente lo que ocurre con el vector de la velocidad cuando la pelota se mueve en círculo. ¿Cómo cambia ese vector cuando la trayectoria de la pelota toma otra dirección? ¿Podemos evaluar el tamaño de tal cambio y cómo se relaciona con la rapidez de la pelota o el radio de la curva? Para definir el concepto de aceleración centrípeta debemos responder a esta pregunta.

¿Qué es la aceleración centrípeta? ¿Qué debemos hacer para que la pelota en la cuerda cambie de dirección? Si tratas de hacerla girar como se representa en la figura 5.2, sentirás una tensión en la cuerda. En otras palabras, debes aplicar una fuerza jalando la cuerda para producir el cambio en la dirección de la velocidad de la pelota. ¿Qué sucedería si esa fuerza no estuviera presente? De acuerdo con la primera ley de Newton del movimiento, un

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figura 5.2

Una pelota gira en un círculo horizontal. ¿La pelota

se acelera?

cuerpo seguirá moviéndose en línea recta a una rapidez constante si no hay una fuerza neta que actúe sobre él. Si la cuerda se rompe o si la soltamos eso es exactamente lo que ocurrirá: la pelota saldrá volando en la dirección en que viajaba al trozarse la cuerda (figura 5.3). Sin el tirón de la cuerda la pelota seguirá moviéndose en línea recta. También caerá, desde luego, ya que es jalada hacia abajo por la fuerza gravitacional. De acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento, si hay una fuerza neta debe haber una aceleración (Fneta = ma), la cual se asocia con el cambio en la dirección del vector de la

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5.1 Aceleración centrípeta

v2

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Δv v1

v1 v2

v

v

5.3 Si la cuerda se troza, la pelota vuela hacia fuera en una trayectoria rectilínea en la dirección que tenía en el instante que la cuerda se rompió.

figura

velocidad. En el caso de la pelota en la cuerda, ésta jala aquélla hacia el centro del círculo, haciendo que la dirección del vector de la velocidad cambie continuamente. La dirección de la fuerza, y de la aceleración que produce, es hacia el centro del círculo. Llamamos a esta aceleración aceleración centrípeta: La aceleración centrípeta es la razón de cambio en la velocidad de un cuerpo asociada con el cambio en la dirección de la velocidad. La aceleración centrípeta siempre es perpendicular al de la velocidad y está dirigido hacia el centro de la curva.

Para hallar el tamaño de la aceleración centrípeta debemos determinar cuán rápido cambia la velocidad. Quizá intuyas que esto depende de la rapidez con que gira la pelota, pero también del radio de la curva, es decir, del tamaño del círculo.

¿Cómo calculamos el cambio en la velocidad, ∆v? En la figura 5.4 se muestra la pelota y la cuerda vistas desde arriba. La pelota se desplaza en un círculo horizontal. Los vectores de la velocidad están trazados en dos posiciones en el círculo, separados por un intervalo de tiempo breve. La velocidad v2 ocurre un instante después que la velocidad v1, mientras la pelota se mueve en sentido contrario al de las manecillas del reloj, alrededor del círculo. Estos dos vectores se dibujan con la misma longitud, lo cual indica que la rapidez de la pelota permance constante. El cambio en la velocidad, Δv, es la diferencia entre la velocidad inicial y la final para cierto intervalo de tiempo. Dicho de otro modo, el cambio en la velocidad es un vector que se suma a la velocidad inicial para producir la velocidad final. La suma de ∆v más v1 resulta en v2. Esta suma de vectores se muestra en el triángulo de vectores que aparece a la derecha del círculo en la figura 5.4. (Estudia en el apéndice C la suma de vectores mediante métodos gráficos.)

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5.4 Los vectores de la velocidad para dos posiciones de una pelota que se mueve en un círculo horizontal. El cambio en la velocidad, ∆v, se suma a v1 para producir v2.

figura

Observa que el vector Δv tiene una dirección diferente de cualquiera de los vectores de la velocidad. Si elegimos un intervalo de tiempo lo suficientemente breve entre las dos posiciones, la dirección del cambio en la velocidad apunta hacia el centro del círculo, la dirección de la aceleración instantánea de la pelota. (La aceleración siempre tiene la misma dirección que el cambio en la velocidad.) La pelota se está acelerando hacia el centro del círculo, la dirección de la tensión de la cuerda.

¿Cuál es el tamaño de la aceleración centrípeta? Pero ¿cuán grande es la aceleración centrípeta y en qué depende de la rapidez de la pelota y el radio de la curva? El triángulo que ilustra la suma de vectores en la figura 5.4 sirve para examinar estas cuestiones. Hay tres efectos que hemos de considerar: 1. A medida que aumenta la rapidez de la pelota, los vectores de la velocidad crecen, lo cual incrementa el tamaño de Δv. El triángulo de la figura 5.4 también aumenta. 2. Cuanto más grande sea la rapidez de la pelota, más rápido cambiará la dirección del vector de la velocidad, ya que la bola llegará a la segunda posición más rápido en la figura 5.4. 3. Conforme el radio de la curva disminuye, la razón de cambio en la velocidad aumenta debido a que la dirección de la pelota cambia con mayor rapidez. Una curva cerrada (de radio pequeño) produce un cambio grande; una curva abierta (radio grande) causa un pequeño cambio. Los primeros dos efectos indican que la razón de cambio en la velocidad aumentará cuando haya un incremento en la rapidez de la pelota. La combinación de estos dos efectos indica que la aceleración centrípeta debe ser proporcional al cuadrado de la rapidez. Debemos multiplicar por la rapidez dos veces. El tercer efecto sugiere que la razón de cambio

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

de la velocidad es inversamente proporcional al radio de la curva. Cuanto más grande sea el radio, menor será la razón de cambio. Si se consideran juntos, estos efectos nos llevan a la expresión siguiente: ac =

v2 r

para el tamaño de la aceleración centrípeta, ac. Es proporcional al cuadrado de la rapidez e inversamente proporcional al radio, r, de la curva. La dirección del vector de la aceleración centrípeta ac siempre apunta hacia el centro de la curva, que es la dirección del cambio en la velocidad, Δv. Al moverse en círculo la pelota se acelera, aun cuando su rapidez permanezca constante. Cambiar la dirección del vector de la velocidad significa cambiar la velocidad, y hay implícita una aceleración. Las personas suelen resistirse a esta idea: usamos el término aceleración en el lenguaje cotidiano para describir los aumentos en la rapidez sin tener en cuenta los cambios en la dirección.

cuadro de ejemplo 5.1 Ejercicio: movimiento circular de una pelota en una cuerda Una pelota de 50 g (0.050 kg) de masa gira en el extremo de una cuerda formando un círculo cuyo radio mide 40 cm (0.40 m). La pelota se mueve a una rapidez de 2.5 m/s, o una revolución por segundo. a) ¿Cuál es la aceleración centrípeta? b) ¿Cuál es la componente horizontal de la tensión requerida para producir tal aceleración?

a) v = 2.5 m/s r = 0.40 m ac = ?

En virtud de que un cuerpo que se mueve en círculo está acelerado, de acuerdo con la segunda ley de Newton una fuerza debe actuar sobre él para producir tal aceleración. Para la pelota en estudio, la tensión en la cuerda que la jala proporciona la aceleración centrípeta. Una mirada más de cerca muestra que esa tensión tiene componentes horizontales y verticales, ya que la cuerda no está por completo dentro del plano horizontal. Como se muestra en la figura 5.5, la componente horizontal de la tensión tira de la pelota hacia el centro del círculo horizontal y produce la aceleración centrípeta. La tensión total de la cuerda queda determinada por las componentes horizontal y vertical de la tensión. La componente vertical es igual al peso de la pelota, ya que la fuerza neta en la dirección vertical debe ser cero. La pelota permanece en

Tv W

T

Th

5.5 La componente horizontal de la tensión es la fuerza que produce la aceleración centrípeta. La componente vertical de la tensión es igual al peso de la pelota.

figura

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v2 r

2 = (2.5 m/s) (0.4 m)

= 15.6 m/s2 b) m = 0.05 kg

¿Qué fuerza produce la aceleración centrípeta?

ac =

Th = ?

Fneto = Th = ma = (0.05 kg)(15.6 m/s2) = 0.78 N

La componente horizontal de la tensión debe tener una magnitud igual a 0.78 N.

el plano horizontal del círculo y no está acelerada en la dirección vertical. En el cuadro de ejemplo 5.1, el peso de la pelota es de aproximadamente 0.50 N (W = mg), así que se vuelve el valor de la componente vertical de la tensión. La pelota de ese cuadro tiene una rapidez lenta. Incluso así, la componente horizontal de la tensión es mayor que la componente vertical. A medida que la pelota gira a una razón más rápida, la aceleración centrípeta aumenta aún más aprisa, ya que es proporcional al cuadrado de la rapidez de la pelota. Por tanto, la componente horizontal de la tensión se vuelve mucho más grande que la vertical, la cual permanece igual al peso de la pelota (figura 5.6). Puedes observar estos efectos fácilmente con tu propia pelota y cuerda. Inténtalo. Sentirás que la tensión crece cuando aumenta la rapidez. La aceleración centrípeta consiste en la razón de cambio en la dirección del vector de la velocidad. Su tamaño es igual al cuadrado de la rapidez del cuerpo dividido entre el radio de la curva (ac = v 2/r ). Su dirección es hacia el centro de la curva. Del mismo modo que ocurre con cualquier aceleración, debe haber una fuerza que actúe sobre el cuerpo para producir la aceleración centrípeta. Para una pelota en una cuerda, esa fuerza es la componente horizontal de la tensión de la cuerda.

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5.2 Fuerzas centrípetas

Velocidad baja

Tv

W

Cuerda

T

Th

Velocidad alta Tv W

Cuerda T

Th

5.6 A velocidades mayores la cuerda está más próxima a estar en el plano horizontal debido a que se necesita una componente horizontal grande de la tensión para proporcionar la fuerza centrípeta requerida.

figura

5.2 Fuerzas centrípetas Para una pelota que se hace girar en el extremo de una cuerda, ésta tira de aquélla hacia dentro, lo que proporciona la fuerza que causa la aceleración centrípeta. Un automóvil que toma una curva, no obstante, no está atado a ninguna cuerda, por lo que han de intervenir diferentes fuerzas para producir ese tipo de aceleración. Una persona que se sube a una rueda de la fortuna también experimenta el movimiento circular. ¿Qué fuerzas producen la aceleración centrípeta en tales situaciones? La fuerza neta que causa aceleración centrípeta se denomina fuerza centrípeta. Este término a veces es fuente de confusión, pues supone que de alguna manera participa una fuerza especial. De hecho, las fuerzas centrípetas son cualquier fuerza, o combinación de fuerzas que en ciertas situaciones actúan sobre un cuerpo para producir la aceleración centrípeta. Casi cualquier fuerza puede realizar esto: jalones de cuerdas, empujones a partir del contacto con otros cuerpos, fricción, gravedad, etc. Debemos analizar cada situación de manera independiente para identificar las fuerzas y determinar sus efectos.

Para ese caso, la fricción por sí misma produce la aceleración centrípeta. La tendencia del auto a moverse en línea recta hace que las llantas ejerzan una fuerza contra el pavimento a medida que el vehículo da vuelta. Por la tercera ley de Newton, el pavimento ejerce entonces una fuerza en dirección opuesta a las llantas (figura 5.7). La fuerza de fricción ejercida sobre ellas apunta al centro de la curva. Si esta fuerza no estuviera presente, el auto no daría vuelta. El tamaño de una fuerza de fricción depende de si hay movimiento o no a lo largo de las superficies de contacto que la producen. Si no hay movimiento en la dirección de la fuerza, podemos llamarla fuerza de fricción estática. Si el cuerpo se está deslizando, como lo haría sobre una superficie mojada o cubierta de hielo, la fuerza implicada es la de fricción cinética. En general, la fuerza de fricción cinética es menor que la de fricción estática máxima posible, así que el que el automóvil se derrape o no se vuelve un factor importante. A menos que el auto ya haya comenzado a derraparse, la fuerza de fricción estática produce la aceleración centrípeta para que tome la curva. La parte de la llanta en contacto con el pavimento está momentáneamente en reposo en la carretera; no se desliza por ella. Si las llantas no se mueven en dirección de la fuerza de fricción, la fuerza estática entra en acción. ¿De qué tamaño es la fuerza de fricción que se necesita? Depende de la rapidez del auto y del radio de la curva. A partir de la segunda ley de Newton, sabemos que la magnitud de la fuerza requerida es Fneta = mac, donde la aceleración centrípeta ac es igual a v2/r. Si unimos estas dos ideas, notaremos que la fuerza de fricción debe ser igual a mv2/r, ya que es la única fuerza que opera para producir la aceleración centrípeta. La rapidez del auto es un factor fundamental en la determinación del tamaño de la fuerza que se precisa, que es la razón por la cual solemos bajar la velocidad al aproximarnos a una curva.

f

¿Qué fuerza ayuda a un automóvil a librar una curva? ¿Qué fuerzas participan en la producción de la aceleración centrípeta de un auto que toma una curva? Depende de si ésta está peraltada o no. La situación más fácil de analizar es cuando no lo está, de modo que sólo abordaremos el caso de una superfice de carretera plana.

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f

5.7 La aceleración centrípeta de un automóvil que toma una curva es producida por las fuerzas de fricción ejercidas sobre las llantas por la superficie de la carretera.

figura

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

Si la masa por la aceleración centrípeta es mayor que la fuerza de fricción máxima posible, estamos en problemas. Puesto que el cuadrado de la rapidez está implícito en esta relación, si duplicamos la velocidad se requerirá una fuerza de fricción cuatro veces el tamaño de aquélla para la rapidez más lenta. Además, como no podemos controlar la fuerza de fricción, una curva pronunciada con un radio menor r requiere una rapidez menor. Tanto la velocidad como el radio deben considerarse al tomar decisiones de manejo. ¿Qué sucede si la fuerza centrípeta requerida es mayor que la fuerza de fricción máxima posible? La fuerza de fricción no puede producir la aceleración centrípeta necesaria y el automóvil empieza a derraparse. Una vez que esto sucede, la fricción cinética entra en acción en vez de la estática. Como la fuerza de fricción cinética es, en general, menor que la de fricción estática, la fuerza de fricción disminuye y el derrape

fenómenos cotidianos

empeora. El automóvil, igual que la pelota en la cuerda rota, sigue su tendencia natural a moverse en línea recta. El valor máximo posible de la fuerza de fricción está dictado por la carretera y las condiciones de las llantas. Cualquier factor que reduzca la fuerza de fricción estática causará problemas. Las superficies mojadas o cubiertas de hielo casi siempre son las culpables. En el caso del hielo, la fuerza de fricción puede disminuir casi a cero, y se necesitará una rapidez extremadamente lenta para salvar la curva. No hay nada como manejar en una carretera cubierta de hielo para notar el valor de la fricción: la primera ley de Newton se ilustra gráficamente (lee también el cuadro de fenómenos cotidianos 5.1.)

¿Qué pasa si la curva está peraltada? Si la superficie de la carretera está peraltada apropiadamente, ya no dependemos por completo de la fricción para producir la

cuadro 5.1

Cinturones de seguridad, bolsas de aire y dinámica de los accidentes Situación. En los accidentes automovilísticos, las lesiones graves o fatales casi siempre son ocasionadas porque los pasajeros son arrojados fuera del vehículo. Desde la década de 1960, las reglamentaciones federales han exigido que los autos estén equipados con cinturones de seguridad. En fecha reciente, también se han pedido bolsas de aire en el asiento delantero en un esfuerzo por reducir la mortandad.Aun así, a menudo leemos en los informes de accidentes acerca de personas que son arrojadas fuera de su vehículo. ¿Cómo funcionan las bolsas de aire y los cinturones de seguridad? Si tu automóvil está equipado con bolsas de aire, como la mayoría lo está hoy día, ¿sigue siendo necesario usar el cinturón de seguridad? ¿En qué situaciones son más eficaces las bolsas de aire y cuándo son esenciales los cinturones de seguridad?

En una colisión frontal, la bolsa de aire se infla rápidamente para impedir que el pasajero se mueva hacia delante y se golpee con el parabrisas o el árbol de dirección.

Análisis. Excepto en las colisiones de alta velocidad en las que el compartimento de los pasajeros del vehículo es aplastado, la mayoría de las lesiones y muertes son causadas por el movimiento del pasajero dentro y fuera del vehículo. Éste se detiene o da vuelta de repente debido al choque y el pasajero sigue moviéndose en línea recta, de acuerdo con la primera ley de Newton del movimiento. En una colisión de frente, el auto se detiene mientras el pasajero sigue moviéndose hacia delante a menos que se le constriña. Si no se cuenta con cinturones de seguridad o bolsas de aire, los pasajeros del asiento delantero se golpean con el parabrisas o el árbol de dirección, lo que ocasiona lesiones graves en la cabeza o en el pecho. Si se usan apropiadamente, los cinturones de seguridad pueden impedirlo, pero las bolsas de aire también están diseñadas para proteger contra estas lesiones. Conforme el pasajero comienza a moverse hacia delante respecto al vehículo, la bolsa de aire se infla de inmediato, lo que ofrece protección entre el pasajero y los demás objetos dentro del auto. El pasajero desacelera más gradualmente, lo que supone una fuerza menor y menos golpes (esta idea se entiende mejor en términos del concepto de impulso estudiado en el capítulo 7). El uso de la bolsa de aire se ha traducido en una reducción considerable de lesiones graves de cabeza y pecho en los choques de frente con otros vehículos u objetos fijos. No obstante, ese tipo de colisiones no es el más frecuente. Los accidentes en los que se vuelca el auto son comunes, y los vehículos también pueden chocar en los cruceros, lo que genera impactos en sus lados. En el último caso, el coche golpeado suele girar. En los dos casos, el vehículo sufre un movimiento de rotación mientras el pasajero se mueve hacia delante en línea recta. (continúa)

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5.2 Fuerzas centrípetas

Nv N

θ

Nh

5.8 La componente horizontal de la fuerza normal Nh ejercida por la carretera sobre el automóvil puede ayudar a producir la aceleración centrípeta cuando la curva está peraltada.

figura

Éstos son accidentes en los cuales es probable que el pasajero sea arrojado fuera del vehículo. ¿Las bolsas de aire ayudan en tales casos? Las bolsas son más eficaces en los choques de frente y no brindan gran protección contra el movimiento lateral del pasajero (algunos vehículos más nuevos vienen equipados con bolsas de aire en las puertas delanteras, lo que puede proteger contra el movimiento lateral, pero en general no se proporcionan bolsas de aire para los asientos traseros). En un accidente de vuelco, el vehículo gira en torno a un eje a través de su larga dimensión. A veces las puertas se abren o las ventanas se hacen añicos durante la primera voltereta, lo que crea aberturas para que el pasajero salga disparado mientras sigue moviéndose hacia delante a medida que el vehículo gira. En algunos casos, el pasajero es arrojado fuera y el vehículo entonces lo atropella. Los cinturones de seguridad pueden marcar una gran diferencia. Como en un accidente de vuelco el vehículo gira rápidamente, se necesita una fuerza centrípeta que actúe sobre el pasajero para mantenerlo contra el asiento y que no se mueva en línea recta hacia delante. A falta de una fuerza como ésa, el pasajero es arrojado hacia fuera contra los lados del vehículo. El intento de los pasajeros por apoyarse resultan insuficientes para proporcionar la fuerza centrípeta requerida. El cinturón de seguridad y el arnés de los hombros, por otra parte, pueden proporcionar esa fuerza para mantenerlos en su lugar. Las estadísticas sobre muertes por accidente son convincentes. En los accidentes de vuelco, los pasajeros que usan los cinturones de seguridad en general sobreviven, mientras que quienes no se los ponen suelen morir o resultar gravemente lesionados. A menudo quienes fallecen son arrojados fuera del vehículo, pero incluso si permanecen dentro del vehículo, el traumatismo ocasionado al

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aceleración centrípeta. Para la curva peraltada, la fuerza normal entre las llantas del automóvil y la superficie de la carretera también pueden ser útiles (figura 5.8). La fuerza normal N siempre es perpendicular a las superficies implicadas; por tanto, apunta en la dirección mostrada en el diagrama. La cantidad total de fuerza ejercida sobre el automóvil (indicada en el dibujo) es la suma de las fuerzas de cada una de las cuatro llantas. Como el auto no está acelerado verticalmente, la fuerza neta en la dirección vertical debe ser cero. La componente vertical de la fuerza normal Nv debe ser igual en magnitud al peso del vehículo para producir una fuerza neta vertical de cero. Este hecho determina de qué tamaño será la fuerza normal. Sólo la componente horizontal de la fuerza normal Nh está en la dirección apropiada para producir la aceleración centrípeta. El ángulo de peralte y el peso del automóvil determinan el tamaño de la fuerza normal, así como el tamaño de su componente horizontal. A la rapidez adecuada, esta componente horizontal que empuja las llantas del automóvil es todo lo que

Conforme el vehículo gira, un pasajero del asiento trasero es arrojado contra ambos lados del vehículo (vista posterior). Un cinturón de seguridad y un arnés de hombros ajustados pueden evitarlo.

ser lanzado una y otra vez dentro del vehículo puede resultar fatal. Según un estudio reciente realizado en Estados Unidos, las estadísticas indican que 63% de las muertes en los accidentes de vuelco se deben a pasajeros expulsados del vehículo. La primera ley de Newton del movimiento se ilustra gráficamente en los accidentes automovilísticos. Un cuerpo se sigue moviendo en línea recta a rapidez constante a menos que una fuerza externa actúe sobre él. Las bolsas de aire y los cinturones de seguridad pueden proporcionar esa fuerza, pero estos últimos ofrecen mayor protección a todos los pasajeros que sufren un accidente de vuelco.

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

se necesita para proporcionar la aceleración centrípeta.Cuanto mayor sea la rapidez, más pronunciado será el ángulo de peralte requerido porque produce una componente horizontal más grande para la fuerza normal. Por fortuna, como la fuerza normal y la centrípeta necesarias son proporcionales a la masa del auto, el mismo ángulo de peralte funciona para vehículos de diferente masa. Una curva peraltada está diseñada para una rapidez específica. Como en general la fricción también está presente, la curva puede sortearse a límites de rapidez por arriba y por abajo de la idónea. La fricción y la fuerza normal se combinan para producir la aceleración centrípeta requerida. Si la carretera está cubierta de hielo y no hay fricción, la curva aún puede librarse a la rapidez idónea. Algo más alto que ella provocará que el auto vuele fuera de la carretera, precisamente como en una superficie plana. La rapidez demasiado baja, por otro lado, hará que el vehículo se deslice hacia abajo por la pendiente del peralte cubierta de hielo, hacia el centro de la curva.

¿Qué fuerzas hay implicadas cuando subes a una rueda de la fortuna? Una rueda de la fortuna es otro ejemplo del movimiento circular que muchos de nosotros hemos experimentado. En ella, el movimiento circular es vertical, a diferencia de los círculos horizontales de nuestros ejemplos anteriores. En la figura 5.9 se muestran las fuerzas ejercidas sobre el pasajero en la parte inferior del ciclo, cuando la rueda de la fortuna gira. En ese punto de la vuelta, la fuerza normal actúa hacia arriba y el peso hacia abajo. Como la aceleración centrípeta del pasajero está dirigida hacia arriba, hacia el centro del círculo, la fuerza neta que actúa sobre él también debe ser hacia arriba. En otras palabras, la fuerza normal del asiento que empuja sobre el pasajero debe ser mayor que el peso de éste.

N

W

5.9 En la parte inferior del ciclo, el peso del pasajero y la fuerza normal ejercida por el asiento se combinan para producir la aceleración centrípeta que siente aquél en la rueda de la fortuna.

figura

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Por la segunda ley de Newton, la fuerza neta debe ser igual a la masa por la aceleración centrípeta. En este caso, la fuerza centrípeta es la diferencia de dos fuerzas, la fuerza normal ascendente y el peso descendente del pasajero; por tanto, Fneta = N – W = mac. Como la fuerza normal es más grande que el peso del pasajero, se siente pesado en esta posición (N = W + mac). La situación es parecida a la que se siente en un ascensor que acelera hacia arriba (lee el cuadro de fenómenos cotidianos 4.2). A medida que el pasajero se mueve hacia arriba o hacia abajo a lo largo de los lados del ciclo, se necesita una componente horizontal de la fuerza normal para dar la aceleración centrípeta. Esa componente horizontal puede ser proporcionada por la fuerza de fricción ejercida por el asiento sobre el pasajero, por el asiento que empuja al pasajero hacia atrás en el lado izquierdo del ciclo, o por un cinturón de seguridad o una agarradera a la derecha del ciclo. El último caso es más emocionante. En la parte superior del ciclo, el peso de la pasajera es la única fuerza (distinta de una posible fuerza del cinturón de seguridad) en la dirección apropiada para producir la aceleración centrípeta. De nuevo, a partir de la segunda ley de Newton, la fuerza neta debe ser igual a la masa del pasajero por la aceleración centrípeta, la cual ahora está dirigida hacia abajo. Esto da como resultado la relación siguiente: Fneta = W – N = mac. A medida que la rapidez se vuelve más grande y la aceleración centrípeta, ac = v2/r, aumenta, la fuerza normal debe volverse menor para que aumente la fuerza total. En general, la rapidez superior de la rueda de la fortuna está ajustada de tal manera que la fuerza normal es pequeña cuando el pasajero se halla en la parte superior del ciclo. Como la fuerza ejercida por el asiento sobre el pasajero es pequeña, el pasajero se siente ligero, lo cual forma parte de la emoción de la aventura. Si hay una rueda de la fortuna cerca, toma un descanso y súbete. No hay nada como la experiencia directa para comprender las ideas recién descritas. Mientras das vuelta, trata de detectar la dirección y la magnitud de la fuerza normal. Durante el ciclo, la sensación de ligereza en la parte superior y la de caída hacia fuera en la inferior son lo que resulta atractivo de este juego. Una fuerza centrípeta es cualquier fuerza o combinación de fuerzas que produce la aceleración centrípeta para un cuerpo que se desplaza por una curva. En el caso de un automóvil sobre una superfice de carretera lisa, la fuerza centrípeta es provista por la fricción. Si la superficie de la carretera está peraltada, la fuerza normal de la carretera que empuja sobre las llantas del automóvil también contribuye a crearla. En el caso de una rueda de la fortuna, el peso del pasajero y la fuerza normal ejercida por el asiento sobre él se combinan para proporcionar la fuerza centrípeta. Usamos las leyes de Newton del movimiento para identificar las fuerzas y analizar cada situación.

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5.3 Movimiento planetario

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5.3 Movimiento planetario Desde una perspectiva histórica, los ejemplos más importantes de la aceleración centrípeta son los cuerpos celestes: el Sol, la Luna y los planetas, los cuales forman parte de nuestra experiencia cotidiana y, aun así, muchos de nosotros sorprendentemente ignoramos sus movimientos. ¿Cómo se mueven los planetas? ¿Cómo podemos darles sentido?

¿Cómo explicaron los griegos los movimientos de los cielos? La observación de los cielos probablemente fue un pasatiempo más popular cuando había menos techos sobre nuestras cabezas. Si alguna vez has pasado una noche en un saco de dormir bajo las estrellas, quizá hayas experimentado la sensación de estupor y maravilla ante todos esos cuerpos brillantes en el cielo. Si pasaste varias noches bajo las estrellas, tal vez hayas notado, como los antiguos, que algunos de los cuerpos más brillantes se mueven respecto a las demás estrellas. Esas luces errabundas son los planetas. Las llamadas estrellas fijas siempre mantienen la misma posición relativa entre sí a medida que se mueven por el cielo. La osa mayor parece nunca cambiar de forma, pero los planetas se desplazan respecto a las estrellas fijas de manera regular, aunque extraña. Sus movimientos despertaron la curiosidad de los antigüos observadores de los cielos. Imagina que eres un científico-filósofo que trata de dar sentido a esos movimientos. ¿Qué tipo de modelo desarrollarías? Algunas características parecen simples y regulares. El Sol, por ejemplo, se mueve por el cielo, de este a oeste, como si estuviera en el extremo de una cuerda enormemente larga e invisible atada al centro de la Tierra. Las estrellas siguen un patrón similar. Su movimiento aparente visto desde la Tierra podría explicarse representándolo como si estuvieran sobre una esfera gigante que gira alrededor de la Tierra. Este punto de vista centrado en la Tierra, o geocéntrico, del Universo parecía natural y razonable. La Luna también se mueve a través del cielo en una órbita aparentemente circular alrededor de nuestro planeta. A diferencia de las estrellas, la Luna no vuelve a aparecer en la misma posición cada noche, sino que atraviesa una serie de cambios de posición y fases regulares en un ciclo de aproximadamente 30 días. ¿Cuántos de nosotros podemos dar una explicación clara de las fases de la Luna? Su movimiento se estudiará con pormenores en la sección final del capítulo. Los primeros modelos del movimiento de los cuerpos celestes elaborados por los filósofos griegos consistían en una serie de esferas concéntricas centradas en la Tierra (figura 5.10). Platón y otros pensadores de su época consideraban las esferas y los círculos figuras ideales que reflejaban la belleza celestial. El Sol, la Luna y los cinco planetas entonces conocidos tenían su propia esfera. Las estrellas fijas se hallaban en la esfera exterior. Se creía que esas esferas giraban en torno a la Tierra de forma que explicaba las posiciones de los cuerpos celestes.

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figura 5.10

Las esferas celestes: una concepción del Universo centrada en nuestro planeta, en la que la tierra, el agua, el aire y el fuego se hallan en el centro. El Sol está en la cuarta esfera, después de la del fuego.

figura 5.11

El movimiento retrógrado de Marte respecto al fondo de estrellas fijas. Estos cambios ocurren durante un periodo de varios meses.

Por desgracia, los planetas no se comportan como si estuvieran en una esfera que gira sin cesar; a veces parecen moverse hacia atrás respecto a su dirección normal de movimiento contra un fondo de estrellas fijas. Llamamos a esto movimiento retrógrado. Marte tarda unos meses en trazar uno de tales patrones retrógrados (figura 5.11). Para explicar el movimiento retrógrado aparente de estos planetas, Ptolomeo (Claudius Ptolemaeus), en el siglo ii d.n.e., concibió un modelo más complejo que el de los primeros filósofos griegos. El modelo de Ptolomeo proponía órbitas circulares en vez de esferas, pero seguía siendo geocéntrico.

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

Epiciclo Planeta

Tierra

Planeta

Tierra

figura 5.12

Los epiciclos de Ptolomeo eran círculos que giraban a lo largo de las órbitas circulares de los planetas. Este modelo explicaba el movimiento retrógrado observado en los planetas más lejanos.

Postuló la idea de los epiciclos, círculos que daban vueltas a lo largo de la órbita básica más grande del planeta alrededor de la Tierra (figura 5.12). Los epiciclos justificaban el movimiento retrógrado y a un tiempo servían para explicar otras irregularidades de las órbitas planetarias. El modelo de Ptolomeo predijo con precisión el sitio de los planetas en cualquier época del año. Sin embargo, a medida que fue siendo posible hacer observaciones más precisas, se necesitaron ajustes para mejorar las predicciones. En algunos casos, esto significó añadir epiciclos a los epiciclos, pero el esquema básico de círculos se conservó. El sistema de Ptolomeo se volvió parte del conocimiento aceptado durante la Edad Media y se incorporó, junto con muchos de los trabajos de Aristóteles, a las enseñanzas de la Iglesia Católica Romana y de las universidades europeas que empezaban a surgir.

¿Cuál es la diferencia del modelo de Copérnico y la concepción de Ptolomeo? El modelo de Ptolomeo no es el que te enseñan en la escuela primaria, ha sido sustituido. Durante el siglo xvi, un astrónomo polaco, Nicolás Copérnico (1473-1543) propuso un mo-

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delo centrado en el Sol, o heliocéntrico, más tarde defendido por Galileo. Copérnico no fue el primero en sugerirlo, pero las versiones heliocéntricas anteriores no habían prosperado. Copérnico trabajó largos años en los detalles de su modelo, el cual no se publicó sino hasta un año después de su muerte. Galileo fue uno de los primeros defensores del modelo copernicano; incluso lo promovió de manera más enérgica que Copérnico mismo. En 1610, al enterarse de la invención del telescopio, Galileo construyó uno mejor y lo apuntó al cielo. Descubrió que la Luna tiene montañas, que Júpiter tiene lunas y que Venus pasa por fases igual que nuestra Luna. Mostró que esas fases podían explicarse mejor mediante el modelo copernicano que con uno geocéntrico. Galileo se volvió famoso en toda Europa por sus descubrimientos y terminó con problemas con las autoridades eclesiásticas, asunto que en ese entonces no debía tomarse a la ligera. Mucha gente había sido entregada a la hoguera por ofensas similares. Copérnico colocó el Sol en el centro de las órbitas circulares de los planetas y degradó a la Tierra al mismo estado que éstos. Además, el modelo copernicano requiere que la Tierra rote sobre un eje por su centro, con lo que explica los movimientos diarios del Sol y de otros cuerpos celestes (incluidas las estrellas fijas). Esta idea fue revolucionaria en la época. ¿Por qué los fuertes vientos que produciría tal rotación no nos hacen volar por los aires? La ventaja de la concepción copernicana es que no requería epiciclos complicados para explicar el movimiento retrógrado, aun cuando seguían empleándose para hacer otros ajustes a las órbitas planetarias. El movimiento retrógrado ocurre porque la Tierra gira alrededor del Sol junto con los demás planetas. La posición de Marte parece cambiar cuando tanto Marte como la Tierra se mueven en la misma dirección contra el fondo de las estrellas fijas (figura 5.13). Cuando nuestro planeta, de movimiento más rápido, pasa a Marte, éste se rezaga y parece moverse brevemente hacia atrás. Aceptar el modelo copernicano significaba abandonar la concepción del Universo centrado en la Tierra y adoptar lo que parecía una proposición absurda: la Tierra rota con una frecuencia de un ciclo al día. Como se conocía aproximadamente el radio terreste (6 400 km), la rotación implicaba que si estamos parados cerca del ecuador, debemos estar moviéndonos más o menos a 1 680 km/h (o un poco más de 1 000 m/h). Con toda seguridad no percibimos ese movimiento. Puesto que Copérnico supuso que las órbitas de los planetas eran circulares, la precisión de su modelo para realizar predecciones no fue mejor que la del de Ptolomeo. De hecho, precisaba algunos ajustes (para lo cual Copérnico usó epiciclos), de modo que concordara con los datos astronómicos conocidos. Para zanjar la controversia entre los dos modelos era necesario realizar observaciones más precisas, proyecto emprendido por el astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601). Tycho fue el último gran astrónomo que hizo sus observacio nes a simple vista. Inventó un gran cuadrante (figura 5.14), que utilizó para hacer observaciones más exactas de la posición de los planetas y las estrellas, la cual medía con una precisión

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5.3 Movimiento planetario

Marte

Sol Tierra

Líneas de observación

figura 5.13

Conforme la Tierra pasa a Marte, que se mueve más lento, este planeta parece desplazarse hacia atrás visto contra el fondo de estrellas fijas. (Dibujado no trazado a escala.)

Foco

Foco Eje semimayor

figura 5.15

Una elipse puede trazarse fijando un hilo en dos puntos (focos) y moviendo un lápiz alrededor de la trayectoria permitida por el hilo.

figura 5.14

El gran cuadrante de Tycho Brahe permitió una medición más precisa de las posiciones de los planetas y otros cuerpos celestes.

de 1/60 de grado, cifra considerablemente mejor que las entonces conocidas. Tycho pasó varios años reuniendo datos minuciosamente sobre las posiciones exactas de los planetas y otros cuerpos, todo sin la ayuda del telescopio.

Leyes de Kepler del movimiento planetario Tras la muerte de Tycho, el análisis de los datos que había reunido quedó en manos de su asistente, Johannes Kepler (1571-1630). Fue una tarea enorme, que requirió convertirlos

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en coordenadas alrededor del Sol y luego realizar ensayos numéricos de prueba y error para calcular las órbitas planetarias regulares. Para ese entonces ya se sabía que éstas no eran círculos perfectos. Kepler demostró que se trataba de elipses, con el Sol situado en uno de los dos focos. Una elipse puede trazarse amarrando un hilo entre dos focos fijos y luego moviendo un lápiz alrededor del perímetro de la trayectoria permitida por el hilo (figura 5.15). Un círculo es un caso especial de elipse, en el que coinciden los dos focos. Las órbitas de la mayoría de los planetas casi son círculos, pero los datos de Tycho eran tan precisos que mostraban una diferencia entre un círculo perfecto, por un lado, y una elipse con dos focos separados cierta distancia, por el otro. La primera ley de Kepler del movimiento planetario establece que las órbitas de los planetas son elipses. Sus otras dos leyes del movimiento planetario vinieron después de pruebas numéricas de ensayo y error aún más labo-

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

delo copernicano, el de Kepler era heliocéntrico (centrado en el Sol); por tanto, apoyaba los esfuerzos de Galileo por derrocar el modelo geocéntrico (centrado en la Tierra) de Ptolomeo. Sin embargo, lo más importante es que las leyes de Kepler describían un nuevo conjunto de relaciones establecidas de manera precisa que exigían una explicación. El escenario estaba puesto para que Isaac Newton las incorporara a una gran teoría que explica tanto la mecánica celeste (el movimiento de los cuerpos celestes) como el movimiento más mundano de los cuerpos cotidianos en la superficie de la Tierra.

figura 5.16

Como los planetas se mueven más rápido cuando están cerca del Sol, la línea del radio de cada uno de ellos barre áreas iguales en tiempos iguales (segunda ley de Kepler). En otras palabras, las dos secciones azules cubren cada una el mismo espacio de tiempo y tienen la misma área. (Dibujo no trazado a escala.)

riosas realizadas con los datos de Tycho. La segunda ley de Kepler describe cómo los planetas se mueven más rápido al aproximarse al Sol, de modo que el vector del radio barre áreas iguales en tiempos iguales sin importar en qué parte de su órbita se sitúe el planeta (figura 5.16). Las primeras dos leyes se publicaron en 1609. La tercera ley, hecha pública en 1619, establece una relación entre el radio promedio de la órbita y el tiempo que tarda un ciclo completo alrededor del Sol (el periodo de la órbita). Kepler encontró esta tercera ley después de probar muchas otras relaciones posibles entre los periodos T, y el radio medio de las órbitas planetarias r. Con un alto grado de precisión, halló que la razón de cuadrado del periodo al cubo del radio (T2/r3) era la misma para todos los planetas conocidos. El comportamiento planetario es sorprendentemente regular. Kepler publicó sus descubrimientos en documentos que incluían intrincadas especulaciones sobre misticismo numérico y armonías musicales asociadas con los planetas. Algunas de esas ideas deben haber parecido extrañas a Galileo y otros que admiraban el trabajo de Kepler. Las leyes de Kepler aumentaron la precisión con la que podemos predecir las posiciones de los planetas a medida que parecen vagar al garete entre las estrellas fijas. Igual que el mo-

Leyes de Kepler del movimiento planetario 1. Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, y éste se halla en un foco de la elipse. 2. El vector del radio trazado del Sol al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. 3. El cubo del radio medio respecto al Sol de cada planeta es proporcional al cuadrado del periodo de la órbita.

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Muchos de los primeros modelos para describir el movimiento de los planetas eran geocéntricos (centrados en la Tierra). El modelo de Ptolomeo incluía epiciclos para explicar el movimiento retrógrado aparente de los planetas. Copérnico introdujo un modelo heliocéntrico (centrado en el Sol) que explicaba el movimiento retrógrado de manera más simple. Este modelo fue defendido por Galileo, uno de los primeros científicos en utilizar un telescopio de manera sistemática, quien hizo descubrimientos significativos que apoyaban la concepción heliocéntrica. Kepler perfeccionó el modelo heliocéntrico al mostrar que las órbitas planetarias son elipses con regularidades sorprendentes.

5.4 Ley de Newton de la gravitación universal El movimiento planetario y la aceleración centrípeta llevan a la pregunta siguiente. Si los planetas se mueven en trayectorias curvas alrededor del Sol, ¿qué fuerza está presente para producir la aceleración centrípeta? Quizá sabes que la gravedad tiene algo que ver en ello, pero eso no era tan evidente cuando Newton comenzó su trabajo. Entonces, ¿cómo lo integró todo?

¿Cuál fue el gran adelanto de Newton? Newton se percató de que hay una similitud entre el movimiento de un proyectil lanzado cerca de la superficie de la Tierra y la órbita de la Luna. Para ilustrarla, trazó un famoso dibujo parecido al que se muestra en la figura 5.17. La idea es simple pero trascendental. Imagina, como Newton, que se lanza horizontalmente un proyectil desde una montaña increíblemente alta. Cuanto mayor sea la velocidad de lanzamiento, más lejos de la base de la montaña aterrizará el proyectil. A velocidades de lanzamiento muy grandes, la curvatura de la Tierra se vuelve un factor importante. Si la velocidad de lanzamiento fuera lo suficientemente grande, el proyectil nunca tocaría la superficie de la Tierra. Seguiría cayendo, pero por su curvatura la Tierra se alejaría al mismo tiempo. El proyectil entraría en una órbita circular alrededor del planeta. El descubrimiento de Newton fue que la Luna, por la influencia de la gravedad, en realidad está cayendo, del mismo modo que lo hace un proyectil. Desde luego, la Luna está a una distancia de la Tierra mucho mayor que la altura de una montaña. La misma fuerza que explica la aceleración de los

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5.4 Ley de Newton de la gravitación universal

cuerpos cerca de la superficie de la Tierra, según describió Galileo, justifica la órbita lunar.

Ley de Newton de la gravitación universal Por el trabajo de Galileo, Newton sabía que cerca de la superficie terrestre la fuerza gravitacional es proporcional a la masa del cuerpo, F = mg. Luego, la masa debe aparecer en cualquier expresión más general para la fuerza gravitacional. Pero ¿la fuerza gravitacional varía con la distancia y, de ser así, cómo lo hace? La idea de que una fuerza podría ejercer

influencia en dos masas separadas una distancia grande era difícil de aceptar en la época de Newton (y, de cierta forma, aun en la actualidad). Si hay una fuerza como ésa, que “actúa a distancia”, cabría esperar que disminuyera en intensidad a medida que aumenta la distancia. Usando razonamiento geométrico (figura 5.18), otros científicos habían especulado que la fuerza podría ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que hay entre las masas, pero no podían demostrarlo. En este punto aparecen las leyes de Kepler del movimiento planetario y el concepto de aceleración centrípeta. Newton pudo demostrar matemáticamente que la primera y la tercera leyes de Kepler del movimiento planetario podían deducirse de la suposición de que la fuerza gravitacional entre los planetas y el Sol decrece con el inverso del cuadrado de la distancia. La prueba consistía en establecer la igualdad de la fuerza 1/r2 con la fuerza centrípeta requerida en la segunda ley de Newton del movimiento. Todas las leyes de Kepler son congruentes con este supuesto. La prueba de que las leyes de Kepler podían explicarse por una fuerza gravitacional proporcional a las masas de dos cuerpos que interactúan, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa desembocó en la ley de Newton de la gravitación universal que, junto con las tres leyes del movimiento, son postulados fundamentales de la teoría de la mecánica. La ley de la gravitación puede enunciarse como La fuerza gravitacional entre dos cuerpos es proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay entre los centros de sus masas: F=

figura 5.17

En un diagrama parecido a éste, Newton imaginó un proyectil disparado desde una montaña increíblemente alta. Si se dispara a una velocidad horizontal lo suficientemente grande, el proyectil cae a la Tierra pero nunca llega a ella.

Gm1m2 r2

,

donde G es una constante. La dirección de la fuerza es atractiva y está a lo largo de la línea que une los centros de las dos masas (figura 5.19).

4A1

9A1

A1

m

r1 2r1 3r1

figura 5.18

Si se trazan líneas en forma radial hacia fuera de la masa puntual, las áreas intersecadas por esas líneas aumentan en proporción r 2. ¿Esto indica que la fuerza ejercida por la masa sobre una segunda masa podría perder intensidad en proporción 1/r 2?

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

m1

m2 F1

F2

Tierra (me)

r

figura 5.19

La fuerza gravitacional es atractiva y actúa a lo largo de la línea que une el centro de las dos masas. Obedece a la tercera ley de Newton del movimiento (F2 = −F1).

F

F

Cuerpo ( m)

re

Para que este enunciado sea completamente válido, las masas deben ser puntos de masa o esferas perfectas. En la ley de Newton de la gravitación universal G es la constante de gravitación universal. Tiene el mismo valor para dos cuerpos cualesquiera. En realidad, Newton desconocía su valor porque no conocía las masas de la Tierra, el Sol y los planetas. Su valor se determinó más de cien años después en un experimento realizado en Inglaterra por Henry Cavendish (1731-1810), quien midió la fuerza gravitacional muy débil entre dos balas de plomo macizo para diferentes distancias de separación. En unidades métricas, el valor de G es

figura 5.20

Para la Tierra y un cuerpo cercano a su superficie, la distancia entre los centros de los dos cuerpos es igual al radio del planeta.

G = 6.67 × 10−11 N · m2/km2. La notación de potencias de 10 (consulta el apéndice B) es útil aquí, ya que G es un número muy pequeño. La potencia —11 significa que el punto decimal se halla a once lugares a la izquierda de donde se muestra. Si no usáramos la notación de potencias de 10, el número aparecería como G = 0.000 000 000 066 7 N · m2/kg2. Debido al tamaño pequeño de esta constante, la fuerza gravitacional entre dos cuerpos de tamaño normal, como las personas, es sumamente pequeña y en general no es notoria. El experimento de Cavendish requirió verdadero ingenio para medir una fuerza tan débil.

¿Cómo se relaciona el peso con la ley de la gravitación? Piensa que una de las masas es un planeta u otro cuerpo muy grande. La fuerza de gravedad puede ser enorme debido a que una de las masas es muy grande. Considera la fuerza ejercida sobre una persona parada sobre la superficie de la Tierra. Como se ilustra en la figura 5.20, la distancia entre los centros de los dos cuerpos, la persona y la Tierra, es esencialmente el radio de ésta, re. A partir de la ley de Newton de la gravitación, la fuerza sobre la persona debe ser F = Gmme /re2, donde m es la masa de la persona y me la de la Tierra. Como la fuerza gravitacional es el peso de la persona, también podemos expresar la fuerza como F = W = mg. Para que estas dos expresiones

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de F sean iguales, g, la aceleración gravitacional, debe relacionarse con la constante gravitacional universal G mediante g = Gme/re2. La aceleración gravitacional cerca de la superficie terrestre, g, no es por consiguiente una constante universal. Será diferente en planetas distintos e incluso variará ligeramente en puntos diversos de la Tierra debido a las variaciones en el radio de la Tierra y otros factores. G es una constante universal de la naturaleza que sirve para calcular la aceleración gravitacional de cualquier planeta si sabemos su radio y su masa. Si conocemos la aceleración gravitacional cerca de la superficie de la Tierra, es más fácil usar la expresión F = mg para calcular un peso que aplicar la ley de la gravitación universal. Este cálculo se realiza de dos formas en el cuadro de ejemplo 5.2; con cualquiera se obtiene el mismo resultado. El peso de la persona de 50 kg es aproximadamente 490 N. La masa de la Tierra, 5.98 × 1024 kg, es un número muy grande que Cavendish determinó por primera vez cuando midió la constante universal G. En cierto sentido, Cavendish pesó a la Tierra al hacer esa medición. Si quisiéramos conocer la fuerza gravitacional ejercida sobre una persona de 50 kg en una cápsula espacial a varios kilómetros de distancia de nuestro planeta, tendríamos que usar la expresión más general de la ley de Newton de la gravitación. Asimismo, si buscáramos el peso de esa persona cuando está en pie sobre la Luna necesitaríamos usar la masa y el radio de ese satélite en lugar de los de la Tierra. El peso de una persona de 50 kg en la Luna es de sólo aproximadamente 1/6 del valor de 490 N que le calculamos sobre la Tierra. La expresión

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5.5 La Luna y otros satélites

cuadro de ejemplo 5.2 Ejercicio: gravedad, tu peso y el peso de la Tierra La masa de la Tierra es 5.98 × 1024 kg y su radio medio es de 6370 km. Calcula la fuerza gravitacional (el peso) de una persona de 50 kg que está parada sobre la superficie del planeta: a) Usando la aceleración gravitacional. b) Usando la ley de Newton de la gravitación. a) m = 50 kg g = 9.8

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5.5 La Luna y otros satélites La Luna ha fascinado a las personas desde que la humanidad ha existido y se ha maravillado ante la naturaleza. En el siglo xx la visitamos por primera vez y trajimos muestras de su superficie. Esa visita no ha opacado el romanticismo que nos inspira, pero tal vez haya reducido su misterio. ¿Cómo se relacionan las fases de la Luna con los cambios en su posición? ¿Las leyes de Kepler del movimiento planetario son válidas para la Luna? ¿En qué se parecen las órbitas de otros satélites de la Tierra a la órbita lunar?

F = W = mg

m/s2

F = ?

= (50 kg)(9.8 m/s2)

¿Cómo explicamos las fases de la Luna?

= 490 N

La Luna era el único satélite de la Tierra disponible para que Newton y sus predecesores lo estudiaran. Tuvo gran importancia en el pensamiento newtoniano y en el desarrollo de la ley de la gravitación. No obstante, las observaciones de la Luna y sus fases se remontan a mucho antes de la época de Newton. La Luna figura en muchas religiones y rituales antiguos. Su curso debe haberse seguido meticulosamente aun en la era preshistórica. ¿Cómo explicamos las fases de la Luna? ¿El momento en que la Luna sale en la noche se relaciona con si habrá luna llena o no? La luz de la Luna es un reflejo de la del Sol, por tanto, para comprender las fases lunares hemos de considerar las posiciones de ese astro, de la Luna y del observador (figura 5.21). Cuando la Luna está llena se encuentra en el lado opuesto de la Tierra en relación con el Sol, y vemos que el lado está completamente iluminado por el astro. La Luna sale en el este aproximadamente al mismo tiempo que el Sol se pone en el oeste. Estos sucesos están determinados por la rotación de la Tierra. Como la Tierra y la Luna son pequeñas comparadas con las distancias que hay entre la Tierra, la Luna y el Sol, en general no se interponen en el camino que sigue la luz que llega desde el Sol. No obstante, cuando lo hacen hay un eclipse. Durante un eclipse lunar la Tierra proyecta una sombra total o parcial sobre su satélite. En la figura 5.21 se observa que un eclipse

b) me = 5.98 × 1024 kg re = 6.37 × 106 m F = W = Gmme /re2 (6.67 × 10 −11 N·m2/kg2)(50 kg)(5.98 × 1024 kg) = (6.37 × 106 m)2 = 490 N La mayoría de las calculadoras científicas manejan la notación científica de manera directa. Las potencias se suman para la multiplicación y se restan en la división.

F = mg es válida únicamente cerca de la superficie de nuestro planeta. La fuerza gravitacional y la aceleración más débiles de la Luna se explican por su masa más pequeña. Como nuestros músculos están adaptados a las condiciones terrestres, descubriríamos que nuestro menor peso en la Luna nos permitiría dar algunos saltos y maromas sorprendentes. La fuerza gravitacional más pequeña de los cuerpos cerca de la superficie lunar también explica por qué la Luna, en esencia, no tiene atmósfera. Las moléculas de gas escapan a la succión gravitacional de la Luna mucho más fácilmente que en la Tierra.

Media luna

Newton reconoció que la Luna está cayendo hacia la Tierra de manera muy parecida a los proyectiles que se mueven en la superficie del planeta. Propuso que la fuerza gravitacional que explica el movimiento de los proyectiles también participa en los movimientos de los planetas en torno al Sol y de la Luna alrededor de la Tierra. La ley de Newton de la gravitación universal establece que la fuerza gravitacional entre dos masas es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Con esta ley y las del movimiento, Newton explicó las leyes de Kepler del movimiento planetario, así como el movimiento de los cuerpos ordinarios cerca de la superficie terrestre.

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Sol

Luna nueva

Tierra

Luna llena

Media luna

figura 5.21

Las fases de la Luna dependen de las posiciones del Sol, la Luna y la Tierra. (Dibujo no trazado a escala.)

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

lunar sólo puede ocurrir durante una luna llena. Un eclipse solar se presenta cuando la Luna está en la posición correcta para proyectar una sombra sobre nuestro planeta. ¿Durante qué fase lunar sucederá esto? En otros momentos, durante la revolución de 27.3 días alrededor de la Tierra, no vemos todo el lado iluminado de la Luna; miramos una luna creciente o media luna o a veces cierta forma intermedia (figura 5.22). La luna nueva ocurre cuando el satélite se halla en el mismo lado de la Tierra que el Sol y está más o menos invisible. Cuando estamos a unos días en cualquiera de los lados de la luna nueva, vemos la media luna que nos es familiar. Cuando el satélite está entre la luna llena y la nueva, con frecuencia puede verse con la luz del día. En particular, cuando está cerca de la media luna, sale alrededor del mediodía y se mete alrededor de la medianoche (o viceversa, según dónde está en su ciclo). En las condiciones adecuadas y precisas cerca de la puesta o el ocultamiento del Sol, a veces podemos ver la parte oscura de la Luna creciente iluminada por el brillo de la Tierra. La próxima vez que veas la Luna, reflexiona en dónde se halla en el cielo, cuándo saldrá y se meterá y cómo se relaciona esto con su fase. Mejor aún, trata de explicárselo a un amigo. También puedes convertirte en el mago que predice los movimientos celestes.

fenómenos cotidianos

figura 5.22

Fotografías de diferentes fases de la Luna. ¿En qué momento del día saldrá y se meterá?

¿La Luna obedece las leyes de Kepler? La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es más complicada que las de los planetas porque dos cuerpos, la Tierra y el Sol, ejercen fuerzas intensas sobre el satélite, no sólo uno (figura 5.23). La Tierra está mucho más cerca de la Luna que el Sol, pero éste tiene una masa mucho mayor que la terrestre, así que su influencia es considerable. Primero veremos sólo los efectos de la Tierra sobre el movimiento de la Luna.

cuadro 5.2

Explicación de las mareas Situación. Cualquiera que haya vivido cerca del mar conoce la variación regular de la marea. Más o menos dos veces al día la marea sube y baja de nuevo. El ciclo real de dos mareas altas y dos mareas bajas está cerca de las 25 horas. A veces la marea alta es más alta y la marea baja más baja que otras; esas veces corresponden a la luna llena o a la luna nueva. Las veces que ocurren las mareas altas y las bajas cambian de un día a otro debido a su ciclo de 25 horas, pero el patrón se repite cada mes. ¿Cómo explicamos tal comportamiento?

Análisis. El ciclo mensual y las correlaciones de las mareas más altas con las fases de la Luna indican influencia de ese satélite. Pero la Luna y el Sol ejercen fuerzas gravitacionales sobre la Tierra. El Sol ejerce la fuerza más intensa debido a que su masa es mucho más grande, pero la Luna está mucho más cerca y las variaciones en su distancia a la Tierra pueden ser significativas. La fuerza gravitacional depende de 1/r 2; por tanto, su intensidad varía conforme la distancia r cambia, como se indica en el dibujo de la página 95.

Marea alta

Marea baja

La marea alta y la marea baja producen diferentes niveles de agua en el muelle.

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5.5 La Luna y otros satélites

La física de la situación es la misma que para las órbitas de los planetas alrededor del Sol. La atracción gravitacional entre la Luna y la Tierra proporciona la aceleración centrípeta para mantener el satélite en movimiento en su órbita aproximadamente circular. Por la ley de Newton de la gravitación, la fuerza gravitacional que actúa sobre la Luna es proporcional a 1/r2, donde r es la distancia que hay del centro de la Luna al de la Tierra. Las mareas pueden explicarse por medio de esta dependencia de la fuerza gravitacional sobre la distancia (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 5.2). Igual que la de los planetas, la órbita lunar es una elipse, pero con la Tierra en uno de sus focos en vez del Sol. Éste también ejerce una fuerza sobre la Luna que distorsiona la elipse, provocando que la órbita lunar en turno suyo oscile aproximadamente en una verdadera trayectoria elíptica a medida que la Luna y la Tierra orbitan juntas alrededor del Sol. El cálculo de estas oscilaciones fue un problema que mantuvo ocupados a los físicos matemáticos durante largos años. La primera y la segunda leyes de Kepler del movimiento planetario son aproximadamente ciertas para la Luna, siempre que sustituyamos la Tierra por el Sol al enunciarlas. La tercera ley de Kepler muestra algunas diferencias entre la Luna y los

Luna

r2 r r1

Debido a que depende de la distancia, la fuerza gravitacional por unidad de masa ejercida por la Luna en distintas partes de la Tierra (y el agua de los océanos) se debilita a medida que nos movemos del lado más cercano a la Luna al más alejado de ella. (Dibujo no trazado a escala; el aumento de las figuras es muy exagerado.) Como el agua es un fluido (salvo cuando está congelada), la de los océanos se mueve sobre la corteza más rígida de la Tierra. La principal fuerza que actúa sobre el agua es la atracción gravitacional de la Tierra, que la mantiene en la superficie del planeta. Sin embargo, la fuerza gravitacional ejercida por la Luna sobre el agua también es significativa, y su intensidad por unidad de masa es mayor en el lado de la Tierra más cercano a la Luna y es más débil en el lado opuesto del planeta debido a la diferencia en la distancia. Esta diferencia en intensidad de la fuerza de atracción de la Luna produce un aumento en la superficie del agua en ambos lados de la Tierra. El aumento en el lado más cercano a la Luna resulta del agua que se está jalando hacia ella por una fuerza más intensa por unidad de masa que la fuerza por unidad de masa

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planetas. Cuando Newton dedujo la expresión para la razón de la tercera ley de Kepler llegó a la expresión siguiente: T2 4π 2 = r3 Gms donde ms es la masa del Sol. Para la Luna, sustituiríamos la masa del astro con la de la Tierra. Obtenemos una razón diferente para la órbita de la Luna alrededor de la Tierra que para las órbitas de los planetas en torno al Sol.

Órbitas de los satélites artificiales Cualquier satélite que gire en órbita alrededor de la Tierra debe tener el mismo valor para la razón T2/r3 que la Luna. Por ende, la tercera ley de Kepler es válida para cualquier satélite terrestre siempre que recordemos que la razón no valdrá lo mismo que para las órbitas de los planetas. El valor de esta razón para los satélites de la Tierra se calcula a partir de la masa del planeta o a partir de los valores del periodo y la distancia media de la órbita de la Luna.

ejercida sobre el resto de la Tierra. Esto produce una marea alta. El agua subirá hasta llegar cerca de la parte superior del muelle. En el lado opuesto de la Tierra, ésta está siendo jalada por la Luna con una fuerza más intensa por unidad de masa que el agua. Como la Tierra se aleja (un poco) del agua, esto también produce una marea alta. Las fuerzas ejercidas por la Luna son pequeñas en comparación con las que el agua y la Tierra ejercen entre sí, pero siguen siendo lo suficientemente grandes para producir las mareas. Cuando el Sol y la Luna se alinean con la Tierra durante la Luna nueva o la Luna llena, aquél también contribuye a esta diferencia en las fuerzas y produce aumentos en cualquier lado de la Tierra, que se suman a los producidos por la Luna. Las mareas más altas ocurren durante una Luna llena o una Luna nueva debido a esta combinación de la Luna y el Sol. ¿Por qué el ciclo es de 25 horas en vez de 24? Los aumentos de las mareas altas ocurren en cualquier lado de la Tierra a lo largo de la línea que une el planeta con su satélite. La Tierra rota debajo de estos aumentos con un periodo de 24 horas, pero en ese lapso la Luna también se mueve, ya que gira alrededor de la Tierra con un periodo de 27.3 días. En un día, por consiguiente, la Luna se ha movido aproximadamente 1/27 de su ciclo orbital, provocando que el tiempo en que la Luna se alinea de nuevo con un punto específico de la Tierra sea un tanto mayor que un día. Ese tiempo adicional es aproximadamente 1/27 de 24 horas, lo que equivale a poco menos de una hora. Este modelo fue concebido por Newton y explica perfectamente las características más importantes de las mareas. La variación de la fuerza gravitacional con la distancia es la clave de la explicación.

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

Sol

Luna

Tierra

150 millones de km

figura 5.23

La Luna recibe la influencia de la atracción gravitacional tanto de la Tierra como del Sol. (Las distancias y tamaños no están trazados a escala.)

Cualquier satélite artificial de la Tierra debe tener el mismo valor para esta razón. Si su distancia al centro de la Tierra r, es menor que la distancia a la Luna, su periodo orbital T también debe ser menor para mantener la razón T2/r3 igual. Usando esta razón podemos calcular la distancia apropiada de la Tierra a cualquier satélite si conocemos su periodo orbital. Por ejemplo, un satélilte con una órbita sincrónica tiene un periodo de 24 horas, lo cual lo mantiene más o menos en el mismo punto sobre la Tierra a medida que ésta rota. A partir de la razón de la tercera ley, calculamos una distancia r de 42 000 km para un satélite (medido desde el centro de la Tierra). Como el radio de la Tierra es de 6370 km, esto es aproximadamente siete veces el radio de la Tierra. Muy lejos del planeta, pero no tanto como la Luna. La mayoría de los satélites artificiales están incluso más cerca de la Tierra. El primer satélite ruso, el Sputnik, por ejemplo, tuvo un periodo de alrededor de 90 minutos o 1.5 h. Usando la razón de la tercera ley, esto produce una distancia media de 6640 km desde el centro de la Tierra. Al restar el radio de la Tierra, 6370 km, observamos que esta distancia es de sólo 270 km sobre la superficie terrestre. Cuanto menor sea el periodo, más cerca estará el satélite de la Tierra. El periodo orbital no puede ser mucho menor que el del Sputnik antes de que la succión de la atmósfera se vuelva demasiado grande para que el movimiento se mantenga. Como es lógico, la órbita no puede tener un radio menor al de la Tierra. Las órbitas de los diferentes satélites están planeadas para cumplir distintos objetivos. Algunas son más parecidas a un círculo, otras parecen más elipses alargadas (figura 5.24). Su plano puede pasar por los polos de la Tierra (órbita polar) o tomar cualquier orientación entre los polos y el ecuador. Todo depende de la misión del satélite. Los satélites artificiales se han vuelto algo rutinario en el mundo actual, pero no existían antes de 1958, fecha en que se lanzó el Sputnik. Sus usos son variados, entre ellos comu-

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Órbita polar

figura 5.24

Las órbitas de los diferentes satélites artificiales pueden tener distintas orientaciones y formas elípticas.

nicaciones, supervivencia, observaciones climáticas y varias aplicaciones militares. La física básica de su comportamiento queda explicada por la teoría de Newton. Si Newton pudiera regresar, tal vez se sorprendería con los avances, pero para él el análisis sería también rutina. El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra está regido por los mismos principios que el de los planetas en torno al Sol. La fuerza gravitacional proporciona la aceleración centrípeta que mantiene la Luna en una órbita aproximadamente elíptica. Ese satélite está iluminado principalmente por el Sol, y sus fases pueden explicarse mediante la posición de la Luna respecto a ese astro y a la Tierra. La Luna llena ocurre cuando el Sol y la Luna están en los lados opuestos de la Tierra. Otros satélites de nuestro planeta se rigen por estos principios, pero la razón de la tercera ley de Kepler tiene un valor diferente para los satélites terrestres (incluida la Luna) que para los planetas. La Luna ya no está sola; se le han unido muchos cuerpos más pequeños que vuelan lentamente alrededor de la Tierra en órbitas inferiores.

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Conceptos clave

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resumen Los cuerpos que se mueven en trayectorias circulares están acelerados debido a que la dirección del vector de la velocidad cambia continuamente. Las fuerzas implicadas en la producción de tal aceleración centrípeta se examinaron para el movimiento de una pelota atada a una cuerda, automóviles que toman curvas, un pasajero en una rueda de la fortuna y por último los planetas que se mueven alrededor del Sol. La fuerza que proporciona la aceleración centrípeta para el movimiento planetario queda descrita por la ley de Newton de la gravitación universal.

3

Movimiento planetario. Las tres leyes de Kepler del movimiento planetario describen las órbitas de los planetas alrededor del Sol. Las órbitas son elipses que barren áreas iguales en tiempos iguales (primera y segunda leyes). La tercera ley establece una relación entre el periodo de la órbita y la distancia del planeta al Sol. r

centrípeta. La aceleración centrípeta es la 1que estáAceleración implicada en el cambio de dirección del vector de la velocidad. Es proporcional al cuadrado de la rapidez del cuerpo e inversamente proporcional al radio de la curva.

v2 r r

Δv v1

v2

T2 —— = constante r3 Newton de la gravitación universal. La ley de 4NewtonLeydedela gravitación universal establece que la fuerza gravitacio-

v1

nal entre dos masas es proporcional a cada una de ellas e inversamente proporcional a la distancia que las separa. Usando ésta y sus demás leyes del movimiento, Newton pudo deducir las leyes de Kepler del movimiento planetario. m1

2

v ac = –– r

F2

F1

m2

r centrípetas. Una fuerza centrípeta es cualquier 2fuerzaFuerzas o combinación de fuerzas que actúa sobre un cuerpo para producir la aceleración centrípeta; incluye la fricción, las fuerzas normales, la tensión en una cuerda o la gravedad. La fuerza neta se relaciona con la aceleración centrípeta por medio de la segunda ley de Newton.

Fc

F=G

m 1m 2 _____ r2

5

La Luna y otros satélites. La órbita de la Luna en torno a la Tierra también puede describirse por medio de las leyes de Kepler, siempre que sustituyamos la masa terrestre por la del Sol en la expresión del periodo. Los satélites artificiales tienen la misma razón T 2/r 3 que la Luna.

v

Órbita polar

Fc = mac

conceptos clave aceleración centrípeta, 81 fuerza centrípeta, 83 fuerza de fricción estática, 83 fuerza de fricción cinética, 83 movimiento retrógrado, 87

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epiciclo, 88 heliocéntrico, 88 elipse, 89 periodo, 90 ley de Newton de la gravitación universal, 91

constante de gravitación universal, 92 fases de la Luna, 93 eclipse, 93 órbita sincrónica, 96

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center

P1. Supón que la rapidez de una pelota en movimiento en un círculo horizontal crece a razón constante. ¿Este aumento es producido por la aceleración centrípeta? Explica por qué. P2. Un automóvil toma una curva con una rapidez constante. a) ¿La velocidad del auto cambia en este proceso? Explica por qué. b) ¿El auto está acelerado? Explica por qué. P3. Dos automóviles toman la misma curva, uno con el doble de rapidez que el otro. Después de recorrer la misma distancia, ¿cuál, si es que alguno, ha experimentado el mayor cambio en la velocidad? Explica por qué. P4. Un automóvil recorre la misma distancia a rapidez constante al tomar dos curvas, una con el doble de radio de curvatura que la otra. ¿En cuál de estas curvas el cambio en la velocidad es mayor? Explica por qué. *P5. La aceleración centrípeta depende del cuadrado de la rapidez, no es simplemente proporcional a ella. ¿Por qué la rapidez se multiplica dos veces? Explícalo. P6. Una pelota en el extremo de una cuerda se hace girar a rapidez constante en un ciclo horizontal en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En el punto A del círculo, la cuerda se rompe. ¿Cuál de las curvas trazadas abajo (vistas desde arriba) representa con mayor precisión la trayectoria que tomará la pelota después de que eso sucede? Explica por qué. 4

P11. Si una curva está peraltada, ¿es posible que un auto la libre aun cuando la fuerza de fricción sea de cero debido a hielo muy resbaladizo? Explica por qué. *P12. Si una pelota se gira en un círculo vertical a rapidez constante, ¿en qué punto del círculo, si es que lo hay, la tensión de la cuerda es mayor? Explica por qué. (Pista: compara esta situación con la rueda de la fortuna descrita en la sección 5.2.) P13. Traza las fuerzas ejercidas sobre un pasajero en la rueda de la fortuna cuando él está en la parte superior del ciclo; rotula cada fuerza con claridad. ¿Cuál fuerza es la mayor en ese punto y cuál es la dirección de la fuerza neta? Explica por qué. *P14. ¿De qué manera la concepción heliocéntrica del sistema solar propuesta por Copérnico ofrece una explicación más simple del movimiento planetario que la concepción geocéntrica de Ptolomeo? Explica por qué. P15. ¿La concepción de Ptolomeo del sistema solar implicaba el movimiento de la Tierra, ya fuere rotacional o de otro tipo? Explica por qué. *P16. Los modelos heliocéntricos del sistema solar (copernicano o kepleriano) requieren que la Tierra gire sobre su eje produciendo rapidez en la superficie de aproximadamente 1000 mi/h. Si es así, ¿por qué no sentimos esa enorme rapidez? Explícalo. P17. ¿En qué difiere la concepción de Kepler del sistema solar de la de Copérnico? Explica por qué. P18. Considera el método de trazar una elipse representado en la figura 5.15. ¿Cómo lo modificaríamos para convertir la elipse en un círculo, que es un caso especial de elipse? Explica por qué.

3

2 A 1

P7. Antes de que la cuerda se rompa en la pregunta 6, ¿hay una fuerza neta que actúa sobre la pelota? De ser así, ¿cuál es su dirección? Explica por qué. P8. Para una pelota que se hace girar en un círculo horizontal en el extremo de una cuerda, ¿la componente vertical de la fuerza ejercida por la cuerda produce la aceleración centrípeta de la pelota? Explica por qué. P9. Un automóvil toma una curva plana (no peraltada) con una rapidez constante. a) Traza un diagrama que muestre todas las fuerzas que actúan sobre él. a) ¿Cuál es la dirección de la fuerza neta que actúa sobre él? Explica por qué.

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P10. ¿Hay una rapidez máxima a la que el auto de la pregunta 9 pueda librar la curva? De ser así, ¿qué factores la determinan? Explica por qué.

P19. ¿Un planeta que se desplaza en una órbita elíptica alrededor del Sol se mueve más rápido cuando está más lejos o cuando está más cerca del Sol? Explícalo remitiéndote a una de las leyes de Kepler. P20. ¿El Sol ejerce una fuerza más grande sobre la Tierra que la ejercida sobre el Sol por la Tierra? Explica por qué. P21. ¿Existe una fuerza neta que actúe sobre el planeta Tierra? Explícala. P22. Tres masas iguales se hallan como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la dirección de la fuerza neta que actúa sobre m2? Explica por qué. m1

m2

m3

P23. Dos masas están separadas por una distancia r. Si esta distancia se duplica, ¿la fuerza de interacción entre las dos masas se duplica, se reduce a la mitad o se cambia por alguna otra cantidad? Explica por qué.

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Ejercicios P24. Un pintor representa un fragmento del cielo nocturno como se observa en la figura de abajo, mostrando las estrellas y una luna creciente. ¿Este punto de vista es posible? Explica por qué.

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P28. ¿Durante qué fase lunar puede ocurrir un eclipse solar? Explica por qué. *P29. Un satélite sincrónico es el que no se mueve respecto a la superficie de la Tierra; siempre está en la misma ubicación hacia arriba. ¿Por qué un satélite como éste no cae simplemente hacia abajo, a la Tierra? Explícalo. P30. ¿La tercera ley de Kepler es válida para satelites artificiales que orbitan alrededor de la Tierra? Explica por qué. P31. Como la Tierra gira sobre su eje una vez cada 24 horas, ¿por qué las mareas altas ocurren exactamente dos veces cada 24 horas? Explícalo.

P25. ¿A qué hora durante el día o la noche esperarías que saliera y se metiera la Luna nueva? Explica por qué. P26. ¿A qué hora durante el día o la noche sale y se mete la media Luna? Explica por qué. P27. ¿Podemos ver la Luna nueva normalmente? Explica por qué.

P32. ¿Por qué hay una marea alta en vez de una marea baja en el mar cuando la Luna está en el lado opuesto de la Tierra y la fuerza gravitacional del satélite sobre el agua es la más débil? Explícalo. P33. ¿Existirían las mareas si la fuerza gravitacional no dependiera de la distancia entre los cuerpos? Explica por qué.

ejercicios E1. Una pelota viaja a una rapidez constante de 5 m/s en un círculo con un radio de 0.8 m. ¿Cuál es su aceleración centrípeta? E2. Un automóvil toma una curva con un radio de 25 m a una rapidez de 20 m/s. ¿Cuál es su aceleración centrípeta? E3. Una pelota que viaja en círculo con una rapidez constante de 3 m/s tiene una aceleración centrípeta de 9 m/s2. ¿Cuál es el radio del círculo? E4. ¿Cuánto más grande es la aceleración centrípeta que necesita un automóvil que toma una curva a 60 mi/h que otro que la toma a 30 mi/h? E5. Una pelota de 0.25 kg que se mueve en círculo en el extremo de una cuerda tiene una aceleración centrípeta de 4 m/s2. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza centrípeta ejercida por la cuerda sobre la pelota para producir esa aceleración? E6. Un automóvil con una masa de 1 200 kg circula por una curva con un radio de 40 m a una rapidez constante de 20 m/s (aproximadamente 45 mi/h). a) ¿Cuál es su aceleración centrípeta? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza necesaria para producir esa aceleración centrípeta?

b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza neta necesaria para producir esa aceleración centrípeta para un pasajero con una masa de 70 kg? E9. ¿Cuál es la razón del periodo orbital de la Tierra alrededor del Sol respecto al periodo de rotación de la Tierra sobre su propio eje? E10. Joe pesa 720 N (aproximadamente 162 lb) cuando está parado sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuál sería su peso (la fuerza gravitacional debida a la Tierra) si duplicamos esta distancia al centro de la Tierra mediante un vuelo en una nave espacial? E11. Dos masas son atraídas por una fuerza gravitacional de 0.36 N. ¿Cuál será la fuerza de atracción si la distancia entre ellas se triplica? E12. Dos masas de 200 kg (440 lb) están separadas por una distancia de 1 m. Usando la ley de Newton de la gravitación, calcula la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida por una masa sobre la otra. E13. Dos masas son atraídas por una fuerza gravitacional de 0.14 N. ¿Cuál será la fuerza de atracción si la distancia entre ellas se reduce a la mitad? E14. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna es aproximadamente 1/6 de la presente en la superfice de la Tierra (9.8 m/s2). ¿Cuál es el peso de una astronauta parada sobre la Luna cuyo peso en la Tierra es de 180 lb?

E7. Un automóvil con una masa de 1 000 kg transita por una curva peraltada con una rapidez constante de 27 m/s (aproximadamente 60 mi/h). El radio de la curva es de 40 m. a) ¿Cuál es la aceleración centrípeta del auto? b) ¿Cuál es la magnitud de la componente horizontal de la fuerza normal que se requeriría para producir esa aceleración centrípeta en ausencia de cualquier fricción?

E15. La aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter es 26.7 m/s2. ¿Cuál es el peso en Júpiter de una mujer cuyo peso en la Tierra es de 110 lb?

E8. Una rueda de la fortuna en un carnaval tiene un radio de 12 m y gira de tal forma que la rapidez de los pasajeros es de 8 m/s. a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta de los pasajeros?

E16. El tiempo que separa a las mareas altas es 12 horas y 25 minutos. Si la marea alta ocurre a las 2:10 p.m. una tarde: a) ¿A qué hora ocurrirá la marea alta la tarde siguiente? b) ¿Cuándo esperarías que ocurrieran las mareas bajas al día siguiente?

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Capítulo 5

Movimiento circular, los planetas y la gravedad

problemas de síntesis PS1. Una pelota de 0.20 kg se hace girar en el extremo de una cuerda en un círculo horizontal con un radio de 0.60 m. La pelota se mueve a una rapidez constante de 4.0 m/s. a) ¿Cuál es su aceleración centrípeta? b) ¿Cuál es la magnitud de la componente horizontal de la tensión en la cuerda que se necesita para producir tal aceleración centrípeta? c) ¿Cuál es la magnitud de la componente vertical de la tensión requerida para soportar el peso de la pelota? d) Dibuja un diagrama de vectores a escala que muestre estas dos componentes de la tensión y estima la magnitud de la tensión total del diagrama (consulta el apéndice C).

e) Usando tu diagrama, estima la magnitud de la componente horizontal de la fuerza normal. ¿La componente es suficiente para proporcionar la fuerza centrípeta? PS4. Piensa que un pasajero en un accidente de vuelco se da vuelta con un radio de 3.0 m para permanecer en el asiento del vehículo. Imagina que el vehículo da una vuelta completa en 1 segundo. a) Usando el hecho de que la circunferencia de un círculo es 2πr, ¿cuál es la rapidez del pasajero? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta? ¿Cómo se compara con la aceleración debida a la gravedad? c) Si el pasajero tiene una masa de 60 kg, ¿cuál es la fuerza centrípeta requerida para producir tal aceleración? ¿Cómo se compara con el peso del pasajero?

PS2. Una rueda de la fortuna con un radio de 12 m hace una rotación completa cada 8 segundos. a) Usando el hecho de que la distancia recorrida por un pasajero en una rotación es 2πr, la circunferencia de la rueda, calcula la rapidez con la que se mueven los pasajeros. b) ¿Cuál es la magnitud de su aceleración centrípeta? c) Para un pasajero con una masa de 40 kg, ¿cuál es la magnitud de la fuerza centrípeta requerida para mantener a ese pasajero en movimiento en un círculo? ¿El peso del pasajero es lo suficientemente grande para proporcionar esta fuerza centrípeta en la parte superior del ciclo? d) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza normal ejercida por el asiento sobre el pasajero en la parte superior del ciclo? e) ¿Qué pasaría si la rueda de la fortuna se moviera tan rápido que el peso de los pasajeros no fuera suficiente para proporcionar la fuerza centrípeta en la parte superior del ciclo?

PS5. La masa del Sol es de 1.99 × 1030 kg; la de la Tierra, 5.98 × 1024 kg, y la de la Luna, 7.36 × 1022 kg. La distancia media entre la Luna y la Tierra es de 3.82 × 108 m, y entre la Tierra y el Sol es de 1.50 × 1011 m. a) Usando la ley de Newton de la gravitación determina la fuerza media que ejerce el Sol sobre la Tierra. b) Calcula la fuerza media que ejerce la Luna sobre la Tierra. c) ¿Cuál es la razón de la fuerza ejercida por el Sol sobre la Tierra a la fuerza ejercida por la Luna? ¿La Luna tendrá mucha influencia sobre la órbita de la Tierra alrededor del Sol? d) Usando la que hay entre la Tierra y el Sol como la distancia media entre la Luna y el Sol, calcula la fuerza media ejercida por el Sol sobre la Luna. ¿El Sol tendrá mucha influencia sobre la órbita de la Luna alrededor de la Tierra?

PS3. Un automóvil con una masa de 900 kg circula por una curva con un radio de 60 m a una rapidez constante de 25 m/s (56 mi/h). La curva está peraltada en un ángulo de 15º. a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta del automóvil? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza centrípeta requerida para producir tal aceleración? c) ¿Cuál es la magnitud de la componente vertical de la fuerza normal que actúa sobre el automóvil para contrarrestar su peso? d) Traza un digrama del auto (como en la figura 5.8) en la curva peraltada. Dibuja a escala la componente vertical de la fuerza normal. Usando este diagrama, calcula la magnitud de la fuerza normal total, que es perpendicular a la superficie de la carretera.

PS6. El periodo de la órbita lunar alrededor de la Tierra es de 27.3 días, pero el tiempo medio entre lunas llenas es de aproximadamente 29.3 días. La diferencia se debe al movimiento de la Tierra alrededor del Sol. a) ¿A través de qué fracción de su periodo orbital total se mueve la Tierra en un periodo de la órbita de la Luna? b) Traza un esquema del Sol, la Tierra y la Luna con esta última en su condición de Luna llena. Enseguida, 27.3 días después traza de nuevo el esquema de la posición de la Luna para la nueva posición de la Tierra. Si la Luna tiene la misma posición respecto a la Tierra que tenía 27.3 días antes, ¿se trata de una Luna llena? c) ¿Cuánto más tendría que moverse la Luna para llegar a la Luna llena? Muestra que esto representa aproximadamente dos días más.

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Experimentos y observaciones para la casa

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experimentos y observaciones para la casa EC1. Pega con cinta adhesiva una cuerda de más o menos medio metro de longitud a una pelota pequeña de goma. Practica haciendo girar la pelota en círculos horizontales y verticales y haz estas observaciones: a) Para el movimiento horizontal de la pelota, ¿cómo varía el ángulo que la cuerda forma con la horizontal respecto a la rapidez de la pelota? b) Si sueltas la cuerda en cierto punto del círculo, ¿qué trayectoria sigue la pelota después de soltar la cuerda? c) ¿Puedes sentir la diferencia en la tensión en la cuerda para distinta rapidez de la pelota? ¿Cómo varía la tensión con la rapidez? d) Para un círculo vertical, ¿cómo varía la tensión en la cuerda para diferentes puntos en el círculo? ¿Es mayor en la parte inferior que en la superior cuando la pelota se mueve a rapidez constante? EC2. Une un vaso de papel pequeño a una cuerda, atándolo en dos puntos cerca del borde, como se muestra en el diagrama. Toma una canica u otro objeto pequeño y colócala dentro del vaso. a) Gira el vaso en un círculo horizontal. ¿La canica permanece en él? (¡Cuidado! Una canica que sale volando puede ser peligrosa.) b) Gira el vaso en un círculo vertical. ¿La canica permanece en el vaso? ¿Qué la mantiene ahí en la parte superior del círculo? c) Trata de bajar la velocidad del vaso. ¿La canica permanece en él? d) Si eres valiente, remplazar la canica con agua. ¿En qué condiciones el agua permanece en el vaso?

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EC3. Observa la posición y la fase de la Luna durante varios días sucesivos y a horas elegidas de manera regular durante el día y la noche (quizá lo mejor sea elegir un punto cerca del cuarto creciente del ciclo lunar, cuando la Luna está visible en la tarde y en la noche). a) Traza la forma de la Luna en cada día. ¿Cambia en diferentes horas del mismo día? b) ¿Puedes concebir un método para observar con precisión los cambios en la posición de la Luna en el mismo grupo de horarios, por ejemplo a las 10 p.m., o en días sucesivos? Un punto de avistamiento fijo, una regla de un metro y un transportador pueden ser útiles. Describe tu técnica. c) ¿Cuánto cambia la posición de la Luna de un día al siguiente en tu hora elegida regularmente? EC4. Consulta a tu maestro u otras fuentes para averiguar qué planetas son observables al anochecer. Venus, Júpiter o Marte en general lo son. a) Localiza el planeta visualmente y obsérvalo con binoculares de ser posible. ¿En qué se diferencia del que está próximo a las estellas? b) Traza la posición del planeta respecto a las estrellas cercanas durante varias noches. ¿Cómo cambia su posición?

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Energía y oscilaciones

esquema del capítulo

1

capítulo

unidad uno

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descripción del capítulo En general, el concepto de energía se explica considerando primero cómo se suma a un sistema. Ello supone la noción de trabajo, el cual tiene un significado especial en física. Si una fuerza realiza un trabajo en un sistema, la energía de este último crece. El trabajo es una forma de transferir energía. Comenzamos por definir qué es el trabajo y cómo se calcula en casos sencillos. En diferentes circunstancias, el trabajo realizado en un sistema aumenta ya sea su energía cinética o la potencial. Finalmente, unimos estas ideas mediante la introducción del principio de conservación de la energía y luego las aplicamos a situaciones prácticas, incluidas las oscilaciones.

2 3 4 5

Máquinas simples, trabajo y potencia ¿Qué es una máquina simple? ¿De qué forma la idea de trabajo sirve para comprender su funcionamiento? ¿Cómo definen los físicos el trabajo y cómo se relaciona éste con la potencia? Energía cinética ¿Qué es la energía cinética? ¿Cuándo y cómo el trabajo cambia la energía cinética de un cuerpo? Energía potencial ¿Qué es la energía potencial? ¿Cuándo y cómo el trabajo cambia la energía potencial de un cuerpo? Conservación de la energía ¿Qué es la energía total de un sistema y cuándo se conserva? ¿Cómo podemos usar estas ideas para explicar el movimiento de un péndulo y otros fenómenos? Resortes y movimiento armónico simple ¿En qué se parece el movimiento de una masa en un resorte al de un péndulo? ¿Qué es el movimiento armónico simple?

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6.1 Máquinas simples, trabajo y potencia

¿A

lguna vez has obsevado una pelota en el extremo de una cuerda que oscila hacia delante y hacia atrás? Un dije en el extremo de una cadena (figura 6.1), un columpio en el parque y el péndulo del reloj del abuelo, todos presentan el mismo movimiento hipnótico. Galileo (según dicen) se entretenía durante los aburridos sermones en la iglesia observando cómo los candelabros que colgaban de cadenas oscilaban lentamente hacia delante y hacia atrás. Lo que le intrigaba era cómo un péndulo parece siempre regresar al mismo lugar tras cada oscilación. Quizá no alcance la posición anterior en oscilaciones sucesivas, pero el movimiento perdura largo tiempo antes de cesar por completo. Por otra parte, la velocidad cambia continuamente, de cero en los extremos de la oscilación a un máximo en el punto inferior de la trayectoria. ¿Cómo puede el péndulo sufrir este cambio en la velocidad y aún así volver siempre a su punto de partida? Aparentemente algo se ahorra o conserva. La cantidad que permanece constante (y se conserva) resulta ser lo que ahora llamamos energía. La energía no tiene importancia en la teoría de la mecánica de Newton. No fue sino hasta el siglo XIX que junto con sus transformaciones alcanzó la posición trascendental de que hoy goza en lo que sabemos del mundo físico. El movimiento de un péndulo y otros tipos de oscilación pueden comprenderse mediante el principio de conservación de la energía mecánica. La energía poten-

6.1 Un dije oscila en el extremo de una cadena. ¿Por qué vuelve aproximadamente al mismo punto después de cada oscilación?

figura

cial que tiene el péndulo en sus extremos se convierte en energía cinética en el punto inferior y luego regresa a energía potencial. Pero ¿qué es la energía y cómo entra en el sistema? ¿Por qué la energía tiene en la actualidad un papel preponderante en la física y en toda la ciencia? La energía es la moneda corriente del mundo físico. Para usarla con prudencia hemos de entenderla, para lo cual debemos empezar por comprender el concepto de trabajo.

6.1 Máquinas simples, trabajo y potencia Si construyes un péndulo atando una pelota en un extremo de una cuerda (figura 6.2), ¿qué haces para que empiece a oscilar? En otras palabras, ¿cómo introduces tu energía en el sistema? En general, empezarías jalando la pelota lejos de su posición central, la cual está directamente debajo del punto del que pende la cuerda. Para hacerlo, debes aplicar una fuerza con la mano a fin de mover la pelota cierta distancia. Para un físico, la aplicación de una fuerza a fin de desplazar un objeto cierta distancia supone un trabajo, aun cuando el esfuerzo sea ligero. La realización de trabajo en un sistema aumenta la energía de éste, y esa energía puede usarse después en el movimiento de un péndulo. Pero ¿cómo definimos el trabajo y cómo las máquinas simples demuestran la utilidad de esta idea?

¿Qué son las máquinas simples? Una de las primeras aplicaciones del trabajo fue en el análisis de aparatos tales como palancas, sistemas de poleas o planos inclinados a los que denominamos genéricamente máquinas simples. Una máquina simple es cualquier dispositivo mecánico que multiplica el efecto de una fuerza aplicada. La palanca es un ejemplo de máquina simple. Como se muestra en la

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F

6.2 La fuerza aplicada realiza un trabajo al desplazar la pelota de su posición original, que se sitúa directamente debajo del punto de suspensión.

figura

figura 6.3, al aplicar una pequeña fuerza en un extremo de una palanca es posible ejercer una fuerza mayor sobre la roca que se halla en el extremo opuesto. ¿Qué precio hay que pagar por ese efecto multiplicador de la fuerza aplicada? Para mover la roca una distancia pequeña, el otro extremo de la palanca debe desplazarse una distancia mayor.

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104

Capítulo 6

Energía y oscilaciones

F1

F2

T

d1

T

T

d2

6.3 Una palanca sirve para levantar una roca. Una fuerza pequeña F1, genera una fuerza mayor F2, que levanta la roca, pero F1 actúa a lo largo de una distancia mayor d1, que F2.

figura

En general, con las máquinas simples es suficiente aplicar una fuerza pequeña si estamos dispuestos a hacerlo a lo largo de una distancia mayor. La fuerza resultante en el otro extremo puede ser grande, pero sólo actúa a lo largo de una distancia corta. El sistema de poleas de la figura 6.4 es otra máquina simple que logra un resultado similar. En este sistema, la tensión de la cuerda jala hacia arriba cualquier lado de la polea que soporta el peso. Si el sistema está en equilibrio, la tensión de la cuerda es de sólo la mitad del peso que se levanta, ya que en realidad hay dos cuerdas que jalan la polea. Para que ésta suba su carga cierta altura, la persona debe mover la cuerda el doble de la distancia que se desplaza la carga (los dos segmentos de cuerda en cualquiera de los lados de la polea deben disminuir en longitud una cantidad igual a la altura de la carga). El resultado neto de usar el sistema de poleas ilustrado en la figura 6.4 es que puedes levantar un peso cierta altura si aplicas una fuerza igual a la mitad del peso que levantas. Sin embargo, debes jalar la cuerda el doble de la distancia que se desplaza el peso. Así, el producto de la fuerza por la distancia desplazada será el mismo para la fuerza de entrada aplicada en la cuerda por la persona que para la fuerza de salida ejercida sobre la carga. Por tanto, la cantidad fuerza por distancia se conserva (si las pérdidas por fricción son menores). Llamamos a este producto trabajo, y el resultado para una máquina simple ideal es el que sigue: trabajo de salida = trabajo de entrada La razón de la fuerza de salida a la de entrada se denomina ventaja mecánica de la máquina simple. Para nuestro sistema de poleas, la ventaja mecánica es 2. La fuerza de salida que eleva la carga mide el doble que la fuerza de entrada ejercida por la persona en la cuerda.

¿Cómo se define el trabajo? Nuestro análisis de las máquinas simples muestra que la cantidad fuerza por distancia tiene un significado especial. Imagina

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W

6.4 Un sistema de poleas simple sirve para levantar un peso. La tensión de la cuerda jala cualquier lado de la polea inferior; por tanto, la tensión es únicamente la mitad del tamaño del peso soportado.

figura

que aplicas una fuerza horizontal constante a una caja pesada para desplazarla por un piso de concreto, como aparece en la figura 6.5. Coincidirás en que has realizado un trabajo para mover la caja y que cuanto más lejos la arrastres, más trabajo realizarás. La cantidad de trabajo que realizas también depende de cuán fuerte tengas que empujar para mantener la caja en movimiento. Éstas son ideas básicas que usamos en la definición de trabajo: el trabajo depende de la intensidad de la fuerza aplicada y de la distancia que se desplaza la caja. Si la fuerza y la distancia de desplazamiento tienen la misma dirección, entonces el trabajo es la fuerza aplicada multiplicada por la distancia que se mueve la caja por la influencia de esa fuerza, o trabajo = fuerza × distancia W = Fd donde W es el trabajo y d la distancia que se desplazó la caja. Las unidades del trabajo serán las de la fuerza multiplicadas por las de la distancia, o newton-metros (N·m) en el sistema métrico. Esta unidad se conoce como joule (J). El joule es la unidad métrica básica de energía (1 J = 1 N·m) La primera parte del ejercicio del cuadro de ejemplo 6.1 muestra cómo se calcula el trabajo realizado en un caso simple. Se usa una fuerza horizontal de 50 N para mover una caja una distancia de 4 m, lo cual da como resultado 200 J de trabajo realizado sobre la caja por la fuerza aplicada. Al hacer este trabajo, la persona que aplica la fuerza transfiere 200 J de energía a la caja y sus alrededores. La persona pierde energía; la caja y sus alrededores la ganan.

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6.1 Máquinas simples, trabajo y potencia Posición inicial

105

Posición final F

d

figura 6.5

Una caja se mueve una distancia d por un piso de concreto por la influencia de una fuerza constante F.

cuadro de ejemplo 6.1 Ejercicio: ¿cuánto trabajo?

40 N

b) la cuerda jala en cierto ángulo respecto al piso, de modo que la componente horizontal de la fuerza de 50 N es 30 N (figura 6.6)? a) F = 50 N d = 4m

= (50 N)(4 m) = 200 J

d = 4m W = ?

W = Fh d = (30 N)(4 m) = 120 J

¿Cualquier fuerza realiza un trabajo? En nuestro ejemplo inicial, la fuerza que actúa sobre la caja tiene la misma dirección que el desplazamiento producido. ¿Qué hay respecto a otras fuerzas que actúan sobre la caja, realizan trabajo? La fuerza normal del piso empuja la caja hacia arriba, por ejemplo, pero la fuerza normal no tiene un efecto directo en la producción del movimiento porque es perpendicular a su dirección. Las fuerzas perpendiculares al movimiento, como la fuerza normal o la gravitacional que actúan sobre la caja, no realizan trabajo cuando la caja se mueve horizontalmente. ¿Qué sucede si la fuerza que actúa sobre un cuerpo no es perpendicular ni paralela a la dirección de su desplazamiento? En este caso, no utilizamos la fuerza total en el cálculo del trabajo, sino que sólo usamos la parte o componente de la fuerza que tiene la dirección del movimiento. Esta idea se ilustra en la figura 6.6 y en la segunda parte del cuadro de ejemplo 6.1. En la figura 6.6, la cuerda usada para jalar la caja forma cierto ángulo respecto al piso, de modo que esa parte de la fuerza aplicada está dirigida hacia arriba, no está paralela al

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F

30 N

W = Fd

W = ? b) Fh = 30 N

50

a) la cuerda es horizontal y paralela al piso?

N

Una caja se jala por el piso una distancia de 4 m por la influencia de una fuerza de 50 N aplicada con una cuerda. ¿Cuál es el trabajo realizado sobre la caja por la fuerza de 50 N si

d

6.6 Una cuerda se usa para jalar una caja por el piso. En el cálculo del trabajo sólo se usa la parte de la fuerza que es paralela al piso.

figura

piso. La caja no se desplaza en la dirección de la fuerza. Imagina la fuerza con dos componentes, una paralela al piso y la otra perpendicular a él. Sólo la componente de la fuerza en la dirección del movimiento se usa para calcular el trabajo. La componente perpendicular al movimiento no realiza un trabajo. Al considerar la dirección podemos completar la definición de trabajo: El trabajo realizado por una fuerza es el producto de la componente de la fuerza a lo largo de la línea de movimiento del cuerpo multiplicada por la distancia que se desplaza debido a la influencia de la fuerza.

¿Cómo se relaciona la potencia con el trabajo? Cuando se acelera un automóvil se transfiere energía del combustible del motor a su movimiento. El trabajo se realiza para mover el auto, pero casi siempre nos interesa más con qué rapidez se realiza este trabajo. La razón de cambio a la que

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Capítulo 6

Energía y oscilaciones

ello sucede depende de la potencia del motor. Cuanto menor sea el tiempo, mayor será la potencia. Ésta puede definirse como sigue: Potencia es la razón de cambio al realizar un trabajo; se calcula dividiendo la cantidad de trabajo realizado entre el tiempo requerido para ello. poder = P=

trabajo tiempo W t

En la primera parte del ejercicio del cuadro de ejemplo 6.1, obtuvimos un valor de trabajo de 200 J al desplazar una caja 4 m por el piso usando una fuerza de 50 N. Si la caja está en movimiento durante 10 segundos, la potencia se calcula dividiendo 200 J entre 10 s, lo cual resulta en una potencia de 20 J/s. Un joule por segundo (J/s) se llama watt (W), que es la unidad métrica de la potencia. Los watts son de uso común en el análisis de la potencia eléctrica, pero también se emplean de forma más general en cualquier situación que comporta la razón de transferencia de energía. Otra unidad de potencia aún en uso para describir la potencia del motor de los automóviles es el caballo de fuerza (hp). Un caballo de fuerza es igual a 746 watts o 0.746 kilowatts (kW). Llegará el día en que comparemos automáticamente la potencia de los motores en kilowatts en vez de caballos de fuerza, pero aún hemos de aguardar. La relación entre los caballos de fuerza y el caballo típico es discutible, pero la comparación del caballo de hierro con el de carne y hueso sigue gozando de cierto atractivo. Trabajo es la fuerza aplicada por la distancia de desplazamiento, siempre que la fuerza actúe a lo largo de la línea de movimiento del cuerpo. En las máquinas simples, el trabajo de entrada no puede ser mayor que el de salida, aun cuando la fuerza de salida sea mayor que la de entrada. Potencia es la razón de cambio con que se realiza un trabajo: cuanto más rápido se haga el trabajo, mayor será la potencia. Cuando se realiza un trabajo sobre un cuerpo aumenta la energía de éste o del sistema, como en el ejemplo inicial donde se jaló la pesa del péndulo hacia fuera de su posición de equilibrio.

a la cantidad de trabajo realizado. ¿Cómo podemos definir la energía cinética de modo que comprenda este caso? El trabajo sirve como punto de partida.

¿Cómo se define la energía cinética? Imagina que empujas una caja por el piso (figura 6.5). Si la colocas sobre rodillos con buenos cojinetes las fuerzas de fricción pueden ser lo suficientemente pequeñas para ignorarlas. La fuerza que aplicas entonces acelerará la caja. Si conoces la masa de ésta, puedes calcular su aceleración a partir de la segunda ley de Newton del movimiento. A medida que la caja adquiere rapidez, tendrás que moverte más aprisa para seguir aplicando una fuerza constante. Para intervalos de tiempo iguales, la caja se desplaza distancias mayores conforme su rapidez aumenta, y te encontrarías realizando el trabajo cada vez más rápido. Para una aceleración constante, la distancia recorrida es proporcional al cuadrado de la rapidez final. El trabajo hecho, por consiguiente, también es proporcional al cuadrado de la rapidez. Como el trabajo realizado debe ser igual al incremento en la energía cinética, ésta debe aumentar con el cuadrado de la rapidez. Si el movimiento de la caja parte del reposo, la relación exacta es 1

trabajo realizado = cambio en la energía cinética = 2 mv2. A menudo usamos la abreviatura EC para representar a la energía cinética. La energía cinética es la que tiene un cuerpo asociada a su movimiento y es igual a un medio de la masa del cuerpo por el cuadrado de su rapidez. 1

EC  2 mv2

En la figura 6.7 se ilustra el proceso. Si la caja está inicialmente en reposo, su energía cinética es igual a cero. Después de ser acelerada a lo largo de la distancia d, tiene una energía 1 cinética final de 2 mv2, que es igual al trabajo llevado a cabo sobre la caja. El trabajo realizado en realidad es igual al cambio en la energía cinética. Si la caja ya estaba en movimiento cuando empezaste a empujarla, el aumento en su energía cinética será igual al trabajo realizado. EC = 0

6.2 Energía cinética Imagina que la fuerza aplicada para mover una caja es la única que actúa sobre ésta en la dirección del movimiento. ¿Qué sucede entonces a la caja? De acuerdo con la segunda ley de Newton, se acelerará, y su velocidad aumentará. Al realizar un trabajo sobre un cuerpo aumenta su energía. La energía asociada con el movimiento del cuerpo recibe el nombre de energía cinética. Puesto que el trabajo implica transferencia de energía, la cantidad de energía cinética ganada por la caja debe ser igual

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EC =

v=0 F

m

1 – 2

m

mv2

v

d

6.7 El trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza neta que actúa sobre él resulta en un aumento en su energía cinética.

figura

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107

6.2 Energía cinética

cuadro de ejemplo 6.2

tra en la figura 6.8. Cuando esto ocurre, decimos que el trabajo que realiza la fuerza es un trabajo negativo, ya que elimina energía del sistema (el auto) en vez de aumentarla. Para una fuerza de fricción de magnitud f el trabajo realizado es W = –fd, si el auto recorre una distancia d mientras desacelera.

Ejercicio: trabajo y energía cinética A partir del reposo y sobre un piso sin fricción, mueves una caja de 100 kg aplicando una fuerza neta de 50 N durante 4 s. Esto resulta en una rapidez final de 2 m/s después de que la caja se desplaza 4 m (véase el problema de síntesis 2). Calcula:

Distancia de frenado para un automóvil en movimiento

a) el trabajo realizado sobre la caja. b) la energía cinética final de la caja. a) F = 50 N

W = Fd

d = 4m

= (50 N)(4 m)

W = ?

= 200 J

b) m = 100 kg v = 2.0 m/s EC = ?

EC =

1 2

mv2

=

1 2

(100 kg)(2 m/s)2

= 200 J

En el cuadro de ejemplo 6.2 destacamos estas ideas al calcu lar la energía ganada por la caja de dos maneras. En el primer método usamos la definición de trabajo; en el segundo, la de energía cinética. Encontramos que 200 J de trabajo realizado sobre la caja resultan en un incremento en la energía cinética de 200 J. No es accidental que estos valores sean iguales. Nuestra definición de energía cinética garantiza que esto sea cierto.

¿Qué es el trabajo negativo? Si el trabajo realizado sobre un cuerpo aumenta su energía cinética, ¿también puede disminuirla? Las fuerzas pueden desacelerar y acelerar los cuerpos. Piensa que frenas un automóvil que se mueve rápidamente y el auto patina hasta detenerse. ¿La fuerza de fricción ejercida por la superficie de la carretera sobre las llantas del auto realiza trabajo? Cuando el automóvil se patina hasta detenerse pierde energía cinética. Una disminución en la energía cinética puede considerarse un cambio negativo en ella. Si el cambio en la energía cinética es negativo, el trabajo realizado sobre el auto también debe serlo. Observa que la fuerza de fricción ejercida por el auto actúa en dirección opuesta al movimiento de éste, como se mues-

La energía cinética del automóvil no es proporcional sino al cuadrado de la rapidez. Si duplicamos la rapidez, la energía cinética se cuadriplica. Esto significa que ha de realizarse cuatro veces el trabajo para alcanzar la rapidez duplicada, como se hizo para alcanzar la rapidez original. Asimismo, si detenemos el automóvil, debe eliminarse la energía en una cantidad equivalente a cuatro veces la energía. Una aplicación práctica son las distancias de frenado de los automóviles que viajan a distinta rapidez. La cantidad de trabajo negativo requerido para detener el automóvil es igual a la energía cinética de éste antes de frenar. Tal cantidad de energía debe eliminarse del sistema. Como la energía cinética es proporcional al cuadrado de la rapidez, el trabajo requerido (y la distancia de frenado) aumenta, muy aprisa con la rapidez del auto. Por ejemplo, para un automóvil que viaja a 60 mi/h, la energía cinética es cuatro veces mayor que la de un automóvil que viaja a 30 mi/h. Duplicar la rapidez requiere cuatro veces la cantidad de trabajo negativo que la que se necesita para eliminar la energía cinética. La distancia de frenado a 60 mi/h será cuatro veces la distancia requerida a 30 mi/h, ya que el trabajo realizado es proporcional a la distancia (si suponemos la fuerza de fricción constante). De hecho, la fuerza de fricción varía con la rapidez del automóvil. Si observas las distancias de frenado en los manuales para aprender a conducir, verás que crecen velozmente con la rapidez, aunque no exactamente en proporción al cuadrado de ella. Cuanto más energía cinética esté presente en un inicio, más trabajo negativo se precisa para reducirla a cero y mayor será la distancia de frenado. La energía cinética es la que se asocia con el movimiento de un cuerpo y es igual a un medio de la masa del cuerpo por el cuadrado de su rapidez. La energía cinética ganada o perdida por un cuerpo es igual al trabajo realizado por la fuerza neta que acelera o desacelera el cuerpo. v=0

v f

d W = –fd = ΔKE

6.8 Las fuerzas de fricción ejercidas sobre las llantas de un automóvil por la superficie de la carretera realizan un trabajo al frenar el auto, lo que resulta en una disminución de la energía cinética.

figura

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108

Capítulo 6

Energía y oscilaciones

6.3 Energía potencial Imagina que levantamos una caja a una posición más alta en un muelle de carga, como en la figura 6.9. En este proceso se realiza un trabajo, pero no se gana energía cinética si la caja termina simplemente sobre el muelle. ¿Ha aumentado la energía de la caja? ¿Qué ocurre al trabajo realizado por la fuerza de levantamiento? Jalar hacia atrás la cuerda de un arco o comprimir un resorte es parecido. Se realiza trabajo pero no se gana energía cinética: en vez de ello la energía potencial del sistema aumenta. ¿Qué diferencia la energía potencial de la cinética?

Energía potencial gravitacional Para levantar la caja de la figura 6.9 debemos aplicar una fuerza que la jala o impulsa hacia arriba. La fuerza aplicada no será la única que actúe sobre la caja. La atracción gravitacional de la Tierra (el peso de la caja) tira de ella hacia abajo. Si levantamos la caja con una fuerza exactamente igual a la de gravedad pero opuesta en dirección, la fuerza neta que actuará sobre la caja será cero y la caja no se acelerará. En realidad la aceleramos un poco al inicio del movimiento y la desaceleramos al final, moviéndola a una velocidad constante durante la mayor parte del desplazamiento. El trabajo realizado por la fuerza de levantamiento aumenta la energía potencial gravitacional de la caja. La fuerza de levantamiento y la gravitacional son iguales en magnitud pero opuestas en dirección, por lo que la fuerza neta es cero y no hay aceleración. La fuerza de levantamiento realiza un trabajo al mover el cuerpo contra el tirón gravitacional. Si soltamos

la cuerda, la caja se acelerará hacia abajo y ganará energía cinética. ¿Cuánta energía potencial gravitacional se gana? El trabajo realizado por la fuerza de levantamiento es igual al tamaño de la fuerza por la distancia de desplazamiento. La fuerza aplicada es igual al peso de la caja, mg. Si esta última se mueve a una altura h, el trabajo hecho es mg por h, o mgh. La energía potencial gravitacional es igual al trabajo realizado, EP = mgh, donde EP representa la energía potencial. La altura h es la distancia que se desplaza la caja por encima de cierto nivel o posición de referencia. En el cuadro de ejemplo 6.3 optamos por que nuestro nivel de referencia sea la posición original de la caja sobre el suelo. En general, se elige como nivel de referencia el punto inferior en el probable movimiento del cuerpo a fin de evitar valores negativos de energía potencial. Sin embargo, lo importante para nosotros son los cambios en la energía potencial, de forma que la elección del nivel de referencia no afecta la física de la situación.

La esencia de la energía potencial El término energía potencial implica el almacenamiento de energía para usarla después con otros propósitos. Desde luego, esta característica está presente en la situación recién descrita. Se podría levantar la caja de manera indefinida sobre el muelle de carga; no obstante, si la empujamos fuera de él rápidamente ganaría energía cinética a medida que fuera cayendo. La energía cinética, a su vez, podría usarse para comprimir los objetos que se encuentran debajo, clavar pilotes en el suelo o hacer algo útil (figura 6.10). Sin embargo, la energía cinética también tiene esta característica, así que el almacenamiento de energía no es lo que distingue a la energía potencial. La energía potencial supone un cambio de posición del cuerpo sobre el que actúa una fuerza específica. En el caso de la energía potencial gravitacional, esa fuerza es la atracción gravitacional de la Tierra. Cuanto más alejemos el cuerpo del centro de la Tierra, mayor será la energía potencial gravitacional. Otros tipos de energía potencial implican distintas fuerzas.

cuadro de ejemplo 6.3

F

Ejercicio: energía potencial h = 2.0 m W

Una caja con una masa de 100 kg se levanta 2 m por encima del nivel del piso en un muelle de carga. ¿Cuánta energía potencial gana? m = 100 kg h = 2m

figura 6.9

Una cuerda y una polea sirven para levantar una caja a una posición superior sobre el muelle de carga, lo que resulta en un aumento de la energía potencial.

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EP = mgh = (100 kg)(9.8 m/s2)(2 m) = (980 N)(2 m) = 1960 J

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6.3 Energía potencial

109

resorte está dada por la constante de resorte multiplicada por la distancia de estiramiento, o F = –kx,

Coco

figura 6.10

La energía potencial de la caja elevada puede convertirse en energía cinética y usarse con otros fines.

¿Qué es la energía potencial elástica?

1

PE = 2 kx2, La energía potencial del sistema del resorte estirado es un medio de la constante elástica por el cuadrado de la distancia de estiramiento. La misma expresión es válida cuando el resorte se comprime. Luego, en este caso la distancia x es la que el resorte se comprime desde su posición relajada original.

kx

Fuerza

¿Qué pasa si jalamos la cuerda de un arco o estiramos un resorte? En estos ejemplos se realiza un trabajo al aplicar una fuerza contra una fuerza elástica opuesta, que resulta de estirar o comprimir un objeto. Imagina un resorte sujeto a un poste, como en la figura 6.11, con un bloque de madera o un objeto similar atado en su otro extremo. Si jalamos el bloque desde la posición original que tenía el resorte sin estirar, el sistema gana energía potencial elástica. Si lo soltamos, el bloque se mueve hacia atrás. Puesto que debe aplicarse una fuerza a lo largo de una distancia para mover el bloque, el trabajo se realiza al jalar contra la fuerza ejercida por el resorte. La mayoría de los resortes ejercen una fuerza proporcional a la distancia que se estiran. Cuanto más se estire el resorte, mayor será la fuerza. Esto puede establecerse en una ecuación si definimos la constante elastica k que describe la rigidez del resorte. Un resorte rígido tiene una constante de resorte grande. La fuerza ejercida por el

donde x es la distancia que se estira el resorte, medida a partir de su posición original sin estirar. Esto se conoce como ley de Hooke, llamada así en honor de Robert Hooke (1635-1703). El signo menos indica que la fuerza ejercida por el resorte jala el objeto hacia atrás a medida que éste se aleja de su punto de equilibrio. Por tanto, si la masa se mueve a la derecha, el resorte jala a la izquierda. Si el resorte se comprime, empuja hacia atrás a la derecha. ¿Cómo calculamos el aumento en la energía potencial de un sistema de este tipo? Como antes, debemos determinar el trabajo realizado por la fuerza relacionada con el cambio de la posición del objeto. Queremos que el bloque se mueva sin aceleración, así que la fuerza neta que actúa sobre él será cero. La fuerza aplicada ha de ajustarse de tal forma que siempre sea igual en magnitud pero opuesta en dirección a la fuerza ejercida por el resorte, lo cual significa que la debe aumentar a medida que la distancia x crezca (figura 6.12). El aumento en la energía potencial elástica es igual al trabajo realizado por la fuerza media necesaria para estirar el resorte. La figura 6.12 indica que la fuerza media es un medio de la magnitud de la fuerza final kx. El trabajo realizado es la 1 fuerza media 2kx por la distancia x; por tanto,

0

figura 6.11

Un bloque de madera se ata a un resorte sujeto a un soporte fijo en el extremo opuesto. Al estirar el resorte aumenta la energía potencial elástica del sistema.

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x Distancia de estiramiento

figura 6.12

La fuerza aplicada para estirar el resorte varía con la distancia de estiramiento; parte de un valor inicial de cero y alcanza un valor final de kx.

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Capítulo 6

Energía y oscilaciones

La energía potencial almacenada en el resorte puede convertirse en otros tipos de energía y asignarse a varios usos. Si soltamos el bloque cuando el resorte está ya sea estirado o comprimido, ganará energía cinética. Tensar un arco con su flecha, apretar una pelota de goma o estirar una liga son ejemplos conocidos, similares al caso del resorte, en los que se genera energía potencial elástica.

¿Qué son las fuerzas conservativas? La energía potencial puede ser resultado del trabajo realizado contra una variedad de fuerzas distintas aparte de la gravedad y los resortes. Sin embargo, el trabajo hecho contra las fuerzas de fricción no resulta en un aumento de la energía potencial del sistema, sino que genera calor, el cual transfiere energía hacia fuera o aumenta la energía interna del sistema en el nivel atómico. Como veremos en el capítulo 11, esa energía interna no puede recuperarse por completo para hacer un trabajo útil. Fuerzas como la gravedad o las elásticas, que conducen a relaciones de energía potencial, se denominan fuerzas conservativas. Cuando se realiza un trabajo contra ellas, la energía ganada por el sistema es completamente recuperable para usarla en otras formas. La energía potencial es la que tiene un cuerpo en virtud de su posición a lo largo de la línea de acción de alguna fuerza conservativa (como la gravedad o la fuerza de un resorte). La energía potencial es la almacenada que se asocia con la posición del cuerpo, no con su movimiento. La energía potencial se obtiene calculando el trabajo realizado para desplazar el cuerpo contra la fuerza conservativa. El sistema está preparado para liberar esa energía, convirtiéndola en energía cinética o en trabajo realizado en algún otro sistema.

de la pelota, ya que su altura a partir del suelo aumenta a medida que la jalas hacia el lado. El trabajo realizado transfiere energía de la persona que está ejerciendo la fuerza al sistema formado por el péndulo y la Tierra. Se convierte en energía potencial gravitacional, EP = mgh, donde h es la altura de la pelota por encima de su posición inicial (figura 6.13). Cuando sueltas la pelota, esta energía potencial empieza a transformarse en energía cinética conforme la pelota oscila. En la parte inferior de la oscilación (la posición inicial de la pelota cuando sólo colgaba) la energía potencial es cero y la cinética alcanza su valor máximo. La pelota no se detiene en el punto inferior; su movimiento continúa hasta un punto opuesto al de liberación. Durante esta parte de la oscilación, la energía cinética disminuye y la potencial aumenta hasta alcanzar el punto donde la energía cinética es cero y la potencial es igual a su valor inicial antes de soltar la pelota. La pelota entonces oscila hacia atrás, repitiendo la transformación de la energía potencial en energía cinética y de regreso a energía potencial (figura 6.13).

¿Qué significa que la energía se conserva? Mientras el péndulo oscila hay un cambio continuo de energía potencial en energía cinética y viceversa. La energía mecánica total del sistema (la suma de las energías cinética y potencial) permanece constante debido a que no se realiza trabajo en el sistema para aumentar o disminuir su energía. La oscilación del péndulo demuestra el principio de conservación de la energía: Si no hay fuerzas no conservativas que realicen trabajo en un sistema, su energía mecánica total (la suma de sus energías cinética y potencial) permanece constante.

6.4 Conservación de la energía Los conceptos de trabajo, energía cinética y energía potencial ahora están a nuestra disposición. ¿Cómo pueden ayudarnos a explicar lo que ocurre en sistemas como un péndulo? La conservación de la energía es la clave. La energía total, es decir, la suma de las energías cinética y potencial, es una cantidad que permanece constante (se conserva) en muchas situaciones. Podemos describir el movimiento de un péndulo llevando un recuento de las transformaciones de la energía. ¿Qué nos indica esto acerca del sistema?

La energía cambia en la oscilación de un péndulo Imagina un péndulo que consta de una pelota colgando inicialmente sin movimiento en el extremo de una cuerda amarrada a un soporte rígido. Jalas la pelota hacia un lado y la sueltas para que comience a oscilar. ¿Qué sucede con la energía del sistema? En el primer paso, tu mano realiza el trabajo sobre la pelota. El efecto neto de este trabajo es aumentar la energía potencial

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E = EP = mgh

E = EP = mgh h

v

h

E = EC = 1_ mv2 2

figura 6.13

La energía potencial se convierte en energía cinética y luego de regreso a energía potencial a medida que el péndulo oscila hacia delante y hacia atrás.

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6.4 Conservación de la energía

El trabajo es fundamental. Si las fuerzas que lo realizan no añaden o eliminan energía, la energía total no debe cambiar. En símbolos, este enunciado toma la forma: Si W = 0,

E = EP + EC = constante,

donde E es el símbolo comúnmente usado para denotar la energía total. Aplicamos la conservación de la energía al describir el movimiento del péndulo. Algunos aspectos merecen mucha atención. Por ejemplo, ¿por qué no consideramos el trabajo realizado por la gravedad sobre el péndulo? La respuesta es que la fuerza gravitacional se vuelve parte del sistema al incluir la energía potencial gravitacional de la pelota en nuestra descripción. La gravedad es una fuerza conservativa que ya se ha considerado a través de su energía potencial. ¿Qué otras fuerzas actúan sobre la pelota? La tensión de la cuerda actúa en una dirección perpendicular al movimiento de la pelota (figura 6.14). Esta fuerza no realiza trabajo porque no tiene componente en la dirección del movimiento. La única fuerza de la que nos ocuparemos es la resistencia del aire, la cual lleva a cabo un trabajo negativo sobre la pelota porque disminuye lentamente la energía mecánica total del sistema. La energía total del sistema no es completamente constante en tal situación; lo sería sólo si la resistencia del aire fuera insignificante. No obstante, los efectos de ésta suelen ser pequeños y pueden despreciarse.

¿Por qué usamos el concepto de energía? ¿Cuáles son las ventajas de usar el principio de conservación de la energía? Imagina que intentas describir el movimiento del péndulo mediante la aplicación directa de las leyes de Newton del movimiento. Tendrías que tratar con fuerzas que

111

varían continuamente en dirección y magnitud a medida que el péndulo se mueve. Una descripción completa basada en las leyes de Newton es muy compleja. Sin embargo, si se considera la energía podemos plantear predicciones respecto al comportamiento de un sistema de manera mucho más sencilla que si aplicamos las leyes de Newton. Hasta el punto que podemos ignorar los efectos de la fricción, por ejemplo, podemos predecir que la pelota alcanzará la misma altura en cualquier extremo de su oscilación. La energía cinética es cero en los extremos de la oscilación donde la pelota se detiene momentáneamente, y ahí la energía total es igual a la potencial. Si no se ha perdido energía, la energía potencial tiene el mismo valor que poseía en el punto de liberación, lo cual implica que se alcanza la misma altura (EP = mgh). Una demostración que a veces se lleva a cabo en los salones de física ilustra esta idea de manera espectacular porque usa una bola de boliche como pesa de un péndulo. Se suspende la bola de boliche de un soporte cerca del techo de manera que, al jalarla hacia un lado, quede cerca del mentón de la maestra de física. Ella jala la bola a esa posición y luego la suelta para permitir que oscile por el salón mientras ella se queda inmóvil, sin chistar, cuando la bola regresa y se detiene a apenas unos centímetros de su mentón (figura 6.15). ¡No debe dudar en lo absoluto del principio de conservación de la energía! El éxito de esta demostración depende de que la bola no tenga ninguna velocidad inicial cuando se suelte; ¿qué ocurriría si se le aventara? También podemos usar el principio de conservación de la energía para predecir cuál será la rapidez en cualquier punto de la oscilación. La rapidez es cero en los extremos y alcanza su valor máximo en el punto inferior. Si colocamos nuestro nivel de referencia para medir la energía potencial en ese punto

T v

R

W

figura 6.14

De las tres fuerzas que actúan sobre la pelota, sólo la de la resistencia del aire realiza trabajo en el sistema para cambiar su energía total. La tensión no lo realiza, y el que hace la gravedad ya se ha incluido en la energía potencial.

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figura 6.15

Una bola de boliche en el extremo de un cable suspendido desde el techo se suelta y se permite que oscile por el salón para detenerse justo a tiempo.

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Capítulo 6

Energía y oscilaciones

inferior, la energía potencial será cero porque la altura es cero. Toda la energía potencial se ha convertido en energía cinética. Conocer la energía cinética en el punto inferior nos permite calcular la rapidez, como se muestra en el cuadro de ejemplo 6.4. Podríamos determinar la rapidez en cualquier otro punto de la oscilación si igualamos la energía total en cualquier punto a la energía inicial. Los diferentes valores de la altura h sobre el punto inferior producen valores distintos de la energía potencial. La energía restante debe ser cinética. El sistema tiene mucha energía, ya sea potencial, cinética o alguna de las dos, pero no puede rebasar el valor inicial.

cuadro de ejemplo 6.4 Ejercicio: el vaivén de un péndulo La pesa de un péndulo tiene una masa de 0.50 kg y se suelta a 12 cm sobre el punto inferior de su oscilación. ¿Cuál es la rapidez de la pesa cuando pasa por ese punto? m = 0.5 kg

La energía inicial es

h = 12 cm

E = EP = mgh

v = ? (en el punto inferior)

= (0.5 kg)(9.8 m/s2)(0.12 m) = 0.588 J

En el punto inferior, la energía potencial es cero; por tanto,

¿Cómo se lleva la contabilidad del análisis de la energía? Un trineo en una colina y una montaña rusa ilustran el principio de conservación de la energía, el cual sirve para hacer predicciones acerca de la rapidez del trineo o la montaña rusa que sería difícil realizar por medio de la aplicación directa de las leyes de Newton. Una contabilidad de la energía brinda una mejor descripción. El ejemplo del salto con garrocha presentado en el cuadro de fenómenos cotidianos 6.1 también puede analizarse así. Considera el trineo en la colina representado en la figura 6.16. Una persona tira de él hasta la cima de la colina, por lo que realiza trabajo sobre el trineo y el pasajero, lo cual aumenta su energía potencial. En la cima, la persona tal vez realice más trabajo al jalar el trineo, proporcionándole cierta energía cinética. El trabajo total que lleva a cabo es la entrada de energía en el sistema y es igual a la suma de las energías cinética y potencial mostradas en la tabla 6.1.

E = EC = 0.588 J 1 2

mv2 = 0.588 J 1

Al dividir los dos miembros entre 2 m : v2 = =

EC 1 2m

(0.588 J) 1 2

(0.5 kg)

= 2.35 m2/s2 Si obtenemos la raíz cuadrada de ambos miembros queda: v = 1.53 m/s

E = EP = mgh0

E = EP + EC v

F

W ⇒ΔEP h0 = 20 m 15 m

E = EC = _1 mv2 2

v

figura 6.16

El trabajo realizado al jalar el trineo colina arriba produce un aumento en la energía potencial del trineo y del pasajero. Esta energía inicial se convierte luego en energía cinética cuando se deslizan colina abajo.

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6.4 Conservación de la energía

fenómenos cotidianos

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cuadro 6.1

Energía y salto con garrocha Situación. Ben López es un atleta especializado en el salto con garrocha y a veces ayuda en las carreras de relevos, donde se aprovecha su rapidez para obtener ventaja de arranque. Su entrenador, conciente de que Ben asiste a un curso de introducción a la física, le sugiere que trate de comprender la física del salto con garrocha. ¿Qué factores determinan la altura alcanzada? ¿Cómo podemos optimizarlos? El entrenador sabe que las consideraciones sobre energía son importantes en el salto con garrocha. ¿Qué tipo de transformaciones de energía están implícitos? ¿Comprender tal influencia podría mejorar el rendimiento de Ben?

La flexibilidad de la garrocha y el punto en el que el atleta la coge son importantes para el éxito del salto.

Un atleta en la parte ascendente de su salto con garrocha. ¿Qué transformaciones de la energía están ocurriendo?

Análisis. No fue difícil para Ben describir las transformaciones de energía en el salto con garrocha: el atleta comienza corriendo un tramo hasta los postes y la fosa de despegue. Durante esa fase, él acelera y aumenta su energía cinética a expensas de la energía química almacenada en sus músculos. Cuando llega a los postes, clava el extremo de la garrocha en la fosa de despegue. En este punto, parte de su energía cinética se almacena en la energía potencial elástica de la garrocha torcida, que actúa como un resorte. El resto se convierte en energía potencial gravitacional a medida que comienza a elevarse hacia la barra horizontal. Cerca de la parte superior del salto, la energía elástica potencial en la garrocha torcida se convierte en energía potencial gravitacional a medida que la garrocha se endereza. El atleta realiza un trabajo adicional con los músculos de su brazo y de su torso para obtener un impulso adicional. En el punto más alto de su vuelo, su energía cinética debe ser cero, quedando sólo una velocidad horizontal mínima para traspasar la barra. Una energía cinética

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demasiado grande en este punto indicaría que no ha optimizado su salto al convertir la mayor cantidad de energía posible en energía potencial gravitacional. ¿Qué puede aprender Ben de su análisis? Primero, la importancia de la rapidez. Cuanta más energía cinética genera durante su carrera, más energía tendrá para convertirla en energía potencial gravitacional (mgh), lo que determina en gran medida la altura de su salto. Los atletas de salto con garrocha triunfadores son en general buenos velocistas. Las características de la garrocha y la manera como Ben la coge también son factores importantes. Si la garrocha es demasiado dura, o si la agarra demasiado abajo, experimentará el efecto de una sacudida en el cual se almacena poca energía potencial útil en la garrocha, y parte de su energía cinética inicial se pierde en la sacudida. Si la garrocha es demasiado flexible, o si Ben la coge muy arriba, no se recuperará de su pandeo con suficiente rapidez para proporcionarle energía útil en la parte superior del salto. Finalmente, tener fuerza en el torso es importante para saltar por encima de la barra. Un buen acondicionamiento del torso debe mejorar el salto con garrocha de Ben. La sincronización y la técnica también son fundamentales y pueden mejorarse sólo con la práctica. En cuanto al entrenador, esto último puede ser el mensaje más importante.

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Capítulo 6

Energía y oscilaciones

tabla 6.1 Contabilidad de la energía para el trineo Una persona jala un trineo y su pasajero que tienen un peso combinado de 50 kg hasta la cima de una colina de 20 m de altura y luego empuja el trineo, proporcionándole una velocidad inicial de 4 m/s. Las fuerzas de fricción que actúan sobre el trineo realizan un trabajo negativo de 2000 J a medida que el trineo se desliza colina abajo.

Entrada de energía La energía potencial ganada por el trabajo realizado al jalar un trineo colina arriba:

EP = mgh = (50 kg)(9.8 m/s2)(20 m)

9 800 J

Energía cinética ganada por el trabajo realizado al empujar al trineo en la cima:

EC = 12 mv 2 = 12 (50 kg)(4 m/s2)

400 J

Energía total inicial:

10 200 J

Gastos de energía Trabajo realizado contra la fricción a medida que el trineo se desliza colina abajo: W = –fd

–2 000 J

Saldo de energía:

8 200 J

¿De dónde proviene esta energía inicial? Del cuerpo de la persona que realiza el trabajo de jalar y empujar. Los grupos de músculos se activan, con lo que liberan energía química potencial almacenada en el cuerpo. Esa energía procede del alimento, el cual, a su vez, se compone de la energía solar almacenada por las plantas. Una persona que no se desayuna bien o que intenta subir varias veces la colina tal vez no tenga energía suficiente para llegar a la cima. Si el trineo y el pasajero se deslizan colina abajo con una fricción y una resistencia del aire insignificantes, la energía se conserva y la energía total en cualquier punto durante el movimiento debe ser igual a la energía inicial. Es más objetivo suponer que hay un poco de fricción cuando el trineo se desliza colina abajo (figura 6.17). Aun cuando es difícil predecir la cantidad de trabajo realizado contra la fricción de manera precisa, podemos estimarla si conocemos la distancia total recorrida y hacemos algunas suposiciones respecto a la fuerza W = –fd

f

v

figura 6.17

El trabajo realizado por las fuerzas de fricción es negativo y elimina la energía mecánica del sistema.

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de fricción media. En la contabilidad de energía presentada en la tabla 6.1 suponemos que se ha realizado un trabajo de 2000 J contra la fricción para cuando el trineo llega a la parte superior de la colina. El trabajo hecho contra la fricción elimina la energía del sistema y se muestra como un gasto en la contabilidad. El saldo de energía al llegar a la parte inferior de la colina es de 8200 J, en vez de 10 200 J. Esto conducirá a un valor menor más objetivo para la rapidez del trineo y el pasajero en las faldas de la colina que si se ignora la fricción. Aun cuando no siempre es posible realizar cálculos precisos, la contabilidad de la energía establece los límites de lo que es probable y nos ayuda a comprender el comportamiento de sistemas tales como el trineo en la colina. La energía es la moneda corriente del mundo físico; entender la contabilidad de energía es importante para la ciencia y la economía. Realizar un trabajo en un sistema es como guardar energía en el banco. La energía total, por tanto, se conserva, siempre que estén en acción las fuerzas conservativas. Numerosos aspectos del movimiento del sistema pueden predecirse a partir de una contabilidad detallada de la energía.

6.5 Resortes y movimiento armónico simple Si la conservación de la energía explica el movimiento de un péndulo, ¿qué podemos decir respecto a otros sistemas oscilatorios? Muchos sistemas constan de resortes o bandas elásticas que van y vienen, con la energía potencial convirtiéndose alternadamente en energía cinética y luego en potencial repetidas veces. ¿Qué tienen en común estos sistemas? ¿Qué los hace funcionar? Una masa en el extremo de un resorte es uno de los sistemas oscilatorios más sencillos, el cual, junto con el péndulo simple descrito en la sección 6.4, son ejemplos del movimiento armónico simple.

Oscilación de una masa unida a un resorte Si unimos un bloque al extremo de un resorte, como en la figura 6.18, ¿qué sucede cuando lo jalamos a un lado de su posición de equilibrio? La posición de equilibrio es donde el resorte no se estira ni se comprime. Realizar un trabajo para jalar la masa contra la fuerza opuesta del resorte aumenta la energía potencial del sistema resorte-masa. La energía potencial en este caso 1 es elástica, 2 kx2, y no la gravitacional asociada con el péndulo. El aumento en la energía potencial de la masa sobre el resorte es similar a tensar un arco con su flecha, o una resortera. Una vez que la masa se suelta, la energía potencial se convierte en cinética. Igual que el péndulo, el movimiento de la masa la transporta más allá de la posición de equilibrio y el resorte se comprime, con lo que se gana energía potencial de nuevo. Cuando la energía cinética se reconvierte por completo en energía potencial la masa se detiene y da marcha atrás, y todo el proceso se repite (figura 6.18). La energía del sistema

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6.5 Resortes y movimiento armónico simple Energía potencial

Posición (x)

T

x=0 (Punto de equilibrio)

amplitud 0

v

Energía cinética

Tiempo (t)

figura 6.19

La posición horizontal x de la masa en el resorte se traza contra el tiempo a medida que la masa se desplaza hacia delante y hacia atrás. La curva resultante es una función armónica.

0

Energía potencial 0

figura 6.18

La energía añadida al realizar un trabajo para estirar el resorte luego se transforma alternadamente en energía potencial del resorte y energía cinética de la masa.

cambia continuamente de energía potencial a energía cinética y de regreso. Si los efectos de la fricción pueden ignorarse, la energía total del sistema permanece constante mientras la masa oscila hacia delante y hacia atrás. Usando una cámara de video u otras técnicas de seguimiento es posible medir y trazar la posición de la pesa de un péndulo o la masa en un resorte a medida que varía con el tiempo. Si trazamos la posición de la masa contra el tiempo, la curva resultante adopta la forma mostrada en la figura 6.19. Las funciones matemáticas que describen este tipo de curvas se llaman armónicas y el movimiento recibe el nombre de movimiento armónico simple,* término que quizá se tomó prestado de las descripciones musicales de los sonidos producidos por la vibración de cuerdas, lengüetas y columnas de aire (véase el capítulo 15). La recta en el cero en la gráfica de la figura 6.19 es la posición de equilibrio para la masa en un resorte. Los puntos por encima de esa línea representan las posiciones de un lado del punto de equilibrio, y aquellos por debajo de la línea indican las posiciones del otro lado. El movimiento comienza en el punto de liberación, donde la distancia de la masa desde el punto de equilibrio tiene su valor máximo. A medida que la masa se mueve hacia la posición de equilibrio (x = 0 en la gráfica) adquiere rapidez, indicada por el incremento en la pendiente de la curva. La posición del objeto cambia más aprisa cuando se halla cerca del punto de equilibrio, donde la energía cinética y la rapidez tienen su valor más alto. Conforme la masa pasa por la posición de equilibrio empieza a alejarse de ella en dirección opuesta a su punto de partida. * Si has estudiado trigonometría, tal vez sepas que la curva trazada en la figura 6.19 es una función coseno. Los senos y los cosenos se conocen en conjunto como funciones armónicas.

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115

La fuerza ejercida por el resorte ahora tiene dirección opuesta a la velocidad y desacelera la masa. Cuando ésta alcanza el punto más lejano al de partida, la rapidez y la energía cinética son de nuevo cero, en tanto que la energía potencial ha vuelto a su valor máximo (véase el cuadro de ejemplo 6.5.) La pendiente de la curva es cero en este punto, lo que indica que la masa se ha detenido por un instante (su velocidad es cero). La masa continuamente gana o pierde rapidez mientras se mueve en vaivén.

cuadro de ejemplo 6.5 Ejercicio: movimiento de una masa en un resorte Una masa de 500 g (0.50 kg) está sometida a un movimiento armónico simple en el extremo de un resorte con una constante elástica de 800 N/m. El movimiento ocurre en una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la figura 6.18. La rapidez de la masa es 12 m/s cuando pasa por el punto de equilibrio.

a) ¿Cuál es la energía cinética en el punto de equilibrio? b) ¿Cuán lejos viaja la masa desde el punto de equilibrio antes de empezar su movimiento de regreso? a)

m = 0.50 kg

EC =

v = 12 m/s

EC =

EC = ? b)

1 2 1 2

mv2 (0.50 kg) (12 m/s)2

EC = 36 J

x = ? (cuando v = 0)

E = EC + EP = 36 J pero EC = 0 en el punto de regreso

por tanto EP =

1 2

kx2 = 36 J

x2 =

2(36 J) k

x2 =

72 J 800 N/m

x2 = 0.09 m2 x = 0.30 m = 30 cm

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Capítulo 6

Energía y oscilaciones

¿Qué son el periodo y la frecuencia? Si miras la gráfica de la figura 6.19, notarás que la curva se repite de manera periódica. El periodo T es el tiempo de repetición, o el tiempo requerido para dar un ciclo completo. En general se mide en segundos. Puedes considerarlo el tiempo que hay entre picos o valles adyacentes en la curva. Un sistema que oscila lentamente tiene un periodo largo; uno que oscila deprisa tiene un periodo corto. Supón que el periodo de oscilación de cierto resorte y masa es de medio segundo. Por tanto, hay dos oscilaciones por segundo, que es la frecuencia de oscilación. La frecuencia f es el número de ciclos por unidad de tiempo, y se determina obteniendo el recíproco del periodo, f = 1/T. Un sistema que oscila rápidamente tiene un periodo muy corto y, por consiguiente, una frecuencia alta. La unidad de uso más común para la frecuencia es el hertz, que se define como un ciclo por segundo. ¿Qué determina la frecuencia del sistema resorte-masa? De manera intuitiva, esperamos que un resorte suelto tenga una frecuencia de oscilación baja y un resorte rígido, una alta. De hecho, así sucede. La masa unida al resorte también tiene un efecto. Las masas más grandes ofrecen mayor resistencia al cambio en el movimiento, por lo que se producen frecuencias más bajas. El periodo y la frecuencia de oscilación de un péndulo dependen principalmente de su longitud, medida del punto de giro al centro de la pesa. Para medir el periodo, en general mides el tiempo requerido para dar varias oscilaciones completas y luego lo divides entre el número de éstas a fin de obtener el tiempo para una sola de ellas. Algunos experimentos simples con una pelota en una cuerda te darán una idea de cómo cambian el periodo y la frecuencia con la longitud. Prueba y ve si puedes obtener una tendencia (véase el experimento para la casa 1). El movimiento es regular —puedes llevar un registro de la oscilación de un péndulo o el movimiento de una masa en un resorte.

¿Cualquier fuerza de restitución produce un movimiento armónico simple? Cuando una masa unida a un resorte se mueve a cualquier lado del punto de equilibrio, aquél ejerce una fuerza que jala o empuja la masa hacia atrás, al centro. Esa fuerza se conoce como fuerza de restitución. En este caso, es la fuerza elástica ejercida por el resorte. En cualquier oscilación debe haber una fuerza de restitución. Como estudiamos en la sección 6.3, la fuerza ejercida por el resorte es directamente proporcional a la distancia x de la masa a partir de su posición de equilibrio (F = –kx). La constante elástica k tiene unidades de newtons por metro (N/m). El movimiento armónico simple ocurre siempre que la fuerza de restitución presenta esta dependencia simple en la distancia. Si la fuerza varía de forma más complicada con la distancia, podríamos obtener una oscilación pero no un movimiento armónico simple, y no se produciría una curva armónica simple (figura 6.19).

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x=0

figura 6.20

Una masa que pende de un resorte oscilará de arriba abajo con el mismo periodo que un sistema resorte-masa horizontal si se utilizan el mismo resorte y la misma masa.

Generalmente es más fácil instalar un sistema resorte-masa suspendiendo aquél de un soporte vertical y colgando la masa del extremo del resorte, como en la figura 6.20. Este arreglo evita las fuerzas de fricción en la superficie de una mesa en un arreglo horizontal. En la instalación vertical, cuando la masa se jala hacia abajo y luego se suelta, el sistema oscila de arriba abajo en vez de hacerlo horizontalmente. Por tanto, dos fuerzas actúan sobre la masa, la del resorte que jala hacia arriba y la gravitacional, que tira hacia abajo. Como la fuerza gravitacional en la instalación vertical es constante, simplemente desplaza el punto de equilibrio más abajo. El punto de equilibrio es donde la fuerza neta es cero, es decir, la fuerza descendente de la gravedad se equilibra con la fuerza ascendente del resorte. Las variaciones en la fuerza de restitución aún son proporcionadas por el resorte y son proporcionales a la distancia a partir del punto de equilibrio como lo son en el caso horizontal. Este sistema también cumple la condición del movimiento armónico simple. La energía potencial implicada, no obstante, es la suma de las energías gravitacional y potencial elástica. La gravedad es la fuerza de restitución para el péndulo simple. Cuando la pesa de éste se jala a un lado desde su posición de equilibrio, la fuerza gravitacional que actúa sobre ella la jala hacia atrás, al centro. La parte de la fuerza gravitacional en la dirección del movimiento es proporcional al desplazamiento, si el desplazamiento desde el equilibrio no es demasiado grande. Por tanto, para amplitudes de oscilación pequeñas, el péndulo simple también muestra un movimiento armónico simple. La amplitud es la distancia máxima desde el punto de equilibrio.

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Resumen

Busca a tu alrededor sistemas que oscilen. Hay muchos ejemplos; van desde un pedazo de metal elástico hasta una pelota que rueda sobre una depresión de algún tipo. ¿Qué fuerza jala hacia atrás, a la posición de equilibrio en cada caso? ¿Es probable que el movimiento sea armónico simple, o una oscilación más complicada? ¿Qué tipo de energía potencial está implicada? El análisis de vibraciones como éstas constituye un subcampo importante de la física que reviste importancia para la música, las comunicaciones, el análisis de estructuras y otras áreas.

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Cualquier oscilación supone un intercambio continuo de energías cinética y potencial. Si no hay fuerzas de fricción que eliminen la energía del sistema, la oscilación continuaría en forma indefinida. Una fuerza de restitución que aumenta en proporción directa a la distancia a partir de la posición de equilibrio resulta en el movimiento armónico simple, con una curva simple (una función armónica) que describe la posición del objeto a lo largo del tiempo.

resumen El concepto de trabajo es central para este capítulo. La energía se transfiere en un sistema al realizar un trabajo en él, lo cual puede resultar en un aumento en la energía cinética o en la potencial del sistema. Si no se realiza un trabajo adicional en éste, su energía total permanece constante. Este principio de conservación de la energía permite explicar numerosas funciones del comportamiento del sistema.

m

x

simples, trabajo y potencia. El trabajo se 1defineMáquinas como la fuerza por la distancia implicada en el desplazamiento de un cuerpo. Sólo se usa la parte de la fuerza que tiene la dirección del movimiento. En las máquinas simples, el trabajo de salida no puede ser mayor que el de entrada. La potencia es la razón de cambio debido a que se realiza trabajo. F

k

h

1

EP = –2 kx2 (elástica)

EP = mgh (gravitacional)

4

Conservación de la energía. Si no se realiza trabajo en un sistema, la energía mecánica total (cinética más potencial) permanece constante. Este principio de conservación de la energía explica el comportamiento de muchos sistemas que suponen intercambios de energía cinética y potencial. El sistema puede analizarse por medio de una contabilidad de la energía.

d W P =— t

W = Fd,

Energía cinética. El trabajo hecho por la fuerza neta que 2actúa sobre un cuerpo sirve para acelerar el cuerpo, y éste gana energía cinética. La energía cinética es igual a un medio de la masa del cuerpo por el cuadrado de su rapidez. El trabajo negativo elimina energía cinética. m

v

EC = _1 mv2

E = EC + EP = constante

5

Resortes y movimiento armónico simple. Los movimientos de un péndulo simple y una masa sobre un resorte ilustran el principio de conservación de la energía, pero implican diferentes tipos de energía potencial. También son ejemplos del movimiento armónico simple, el cual ocurre siempre que la fuerza de restitución es proporcional a la distancia del cuerpo a partir de su posición de equilibrio.

2

3

F

F

Energía potencial. Si el trabajo realizado sobre un cuerpo

lo mueve contra una fuerza conservativa opuesta, la energía potencial del cuerpo aumenta. Dos tipos de energía potencial se consideraron, la gravitacional y la potencial elástica.

x

x F = –kx

conceptos clave máquina simple, 103 ventaja mecánica, 104 trabajo, 104 potencia, 106 energía cinética, 106 trabajo negativo, 107

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energía potencial, 108 energía potencial gravitacional, 108 fuerza elástica, 109 constante elástica, 109 energía potencial elástica, 109 fuerzas conservativas, 110

conservación de la energía, 110 movimiento armónico simple, 115 periodo, 116 frecuencia, 116 fuerza de restitución, 116 amplitud, 116

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Capítulo 6

Energía y oscilaciones

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. Se usan fuerzas iguales para desplazar los bloques A y B por el piso. El bloque A tiene el doble de masa que el B, pero éste recorre el doble de distancia que el bloque A. ¿En cuál bloque, si es que en alguno, se realizó mayor cantidad de trabajo? Explica por qué. P2. Un hombre empuja con mucha fuerza una roca pesada durante varios segundos, pero la roca no se mueve. ¿El hombre ha realizado un trabajo sobre ella? Explica por qué. P3. Una cuerda se usa para jalar un bloque de madera por el piso sin acelerarlo. La cuerda forma un ángulo con la horizontal, como se muestra en el diagrama. a) ¿La fuerza aplicada con la cuerda realiza un trabajo sobre el bloque? Explica por qué. b) En la realización del trabajo, ¿está implicada la fuerza total o sólo una parte de ella? Explica por qué.

F

d

F

*P10. Una caja sobre rodillos se empuja hacia arriba por un plano inclinado hacia un camión. La fuerza de impulsión requerida es menor que la mitad de la fuerza que se necesitaría para levantar la caja en línea recta hasta el camión. ¿El plano inclinado sirve como máquina simple en esta situación? Explica por qué. P11. Un muchacho empuja a su amigo por una pista de patinaje. Como las fuerzas de fricción son muy pequeñas, la fuerza ejercida por el chico sobre la espalda de su amigo es la única significativa que actúa sobre el amigo en dirección horizontal. ¿El cambio en la energía cinética de su amigo es menor, igual o mayor que el trabajo realizado por la fuerza ejercida por el muchacho? Explica por qué. P12. Una niña arrastra un bloque por el piso con una fuerza aplicada con una cuerda que sostiene horizontalmente. Una fuerza de fricción más pequeña también actúa sobre el bloque, produciendo una fuerza neta sobre éste menor que la fuerza aplicada por la cuerda. ¿El trabajo realizado por la fuerza aplicada con la cuerda es igual al cambio en la energía cinética en esta situación? Explica por qué.

P4. En la situación descrita en la pregunta 3, si hay una fuerza de fricción opuesta al movimiento del bloque, ¿esa fuerza realiza trabajo sobre éste? Explica por qué.

P13. Si hay sólo una fuerza que actúa sobre un cuerpo, ¿este trabajo necesariamente resulta en un aumento en la energía cinética? Explica por qué.

P5. En la situación descrita en la pregunta 3, ¿la fuerza normal del piso que empuja al bloque hacia arriba realiza trabajo? Explica por qué.

P14. Dos pelotas con la misma masa son aceleradas por distintas fuerzas netas, de modo que una de ellas adquiere una velocidad del doble de la de la otra pelota. ¿El trabajo realizado por la fuerza neta que actúa sobre la pelota que se mueve más rápido es del doble de aquella que actúa sobre la pelota que se mueve más lento? Explica por qué.

P6. Una pelota se está haciendo girar en círculo en el extremo de una cuerda, la cual proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener la pelota moviéndose así a una rapidez constante. ¿La fuerza ejercida por la cuerda sobre la pelota realiza trabajo sobre ésta? Explica por qué. *P7. Un hombre atraviesa el salón. ¿Qué fuerzas actúan sobre él durante el proceso? ¿Cuál de esas fuerzas, si es que alguna, realiza trabajo sobre el hombre? Explica por qué. P8. Una mujer usa un arreglo de poleas para levantar una caja pesada. Aplica una fuerza equivalente a un cuarto del peso de la caja, pero mueve la cuerda una distancia de cuatro veces la altura que la caja se levanta. ¿El trabajo realizado por la mujer es mayor, igual o menor que el llevado a cabo por la cuerda sobre la caja? Explica por qué. P9. Una palanca se usa para levantar una roca como se muestra en el diagrama. ¿El trabajo realizado por la persona sobre la palanca será mayor, igual o menor que el llevado a cabo por la palanca sobre la roca? Explica por qué.

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P15. Una caja se mueve desde el piso hacia arriba, a la superficie de una mesa, pero no adquiere rapidez en el proceso. ¿Se realizó un trabajo sobre la caja y, de ser así, qué pasó con la energía cinética añadida al sistema? P16. Cuando se realiza un trabajo para aumentar la energía potencial de un objeto sin incrementar su energía cinética, ¿la fuerza neta que actúa sobre el objeto es mayor que cero? Explica por qué. P17. ¿Es posible que un sistema tenga energía sin que algo se mueva en él? Explica por qué. P18. Imagina que se realiza un trabajo sobre una caja grande para inclinarla de manera que se balancee sobre un borde, como se muestra en el diagrama, en vez de colocarla como es debido sobre el piso, como estaba al principio. ¿La energía potencial de la caja ha aumentado en este proceso? Explica por qué.

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Ejercicios

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jo, con lo que rompe su concha. Describe las conversiones de energía que ocurren en este proceso. P26. Una masa atada a un resorte, el cual a su vez está conectado a una pared, es libre de moverse en una superficie horizontal sin fricción. La masa se jala hacia atrás y luego se suelta. a) ¿Qué tipo de energía se suma al sistema antes de soltar la masa? Explica por qué. b) ¿En qué puntos del movimiento de la masa después de que se libera esta energía potencial es mayor? Explica por qué. c) ¿En qué puntos la energía cinética es mayor? Explica por qué. *P19. ¿Cuál tiene la mayor energía potencial: una pelota que está a 10 pies sobre el nivel del suelo o una con la misma masa que se halla a 20 pies sobre el fondo de un pozo de 50 pies de profundidad? Explica por qué.

P27. Piensa que la masa de la pregunta 26 está a medio camino entre uno de los puntos extremos de su movimiento y el punto central. En esta posición, ¿la energía del sistema es cinética, potencial o una combinación de ambas? Explica por qué.

P20. Cuando un arco con su flecha se tensa, una fuerza se aplica a la cuerda a fin de jalarlos hacia atrás. ¿La energía del sistema aumenta? Explica por qué.

*P28. Una pistola de resorte se carga con un dardo de goma, luego es amartillada y entonces se dispara apuntando a un blanco que está en el techo. Describe las transformaciones de energía que ocurren en este proceso.

P21. Imagina que la maestra de física representada en la figura 6.15 da a la bola de boliche un empujón cuando la suelta. ¿La bola regresará al mismo punto o el mentón de la maestra correrá peligro? Explica por qué.

P29. Imagina que una masa pende verticalmente del extremo de un resorte. La masa se jala hacia abajo y se suelta para que oscile. ¿La energía potencial del sistema aumenta o disminuye cuando la masa baja? Explica por qué.

P22. Un péndulo se jala hacia atrás desde su posición de equilibrio (centro) y luego se suelta. a) ¿Qué tipo de energía se suma al sistema antes de soltar el péndulo? Explica por qué. b) ¿En qué puntos del movimiento del péndulo después de que se le suelta la energía cinética es mayor? Explica por qué. c) ¿En qué puntos la energía potencial es mayor? Explica por qué.

*P30. Se da un empujón a un trineo en la cima de una colina. Es posible que el trineo cruce un montículo en la colina que es más alto que su punto de partida en estas circunstancias? Explica por qué.

P23. Para el péndulo de la pregunta 22 —cuando su pesa está a medio camino entre el punto más alto y el más bajo en su oscilación— ¿la energía es cinética, potencial o de ambos tipos? Explica por qué. P24. ¿Se conserva la energía mecánica total en el movimiento de un péndulo? ¿El péndulo oscilará por siempre? Explica por qué. *P25. Un pájaro atrapa una almeja, la lleva en el pico a una altura considerable y luego la deja caer sobre una roca que está aba-

*P31. ¿El trabajo realizado por una fuerza de fricción alguna vez aumenta la energía mecánica total de un sistema? (Pista: considera la aceleración de un automóvil.) Explica por qué. P32. Supón que un sistema de poleas se usa para levantar una caja pesada pero las poleas se han oxidado y hay fuerzas de fricción que actúan sobre ellas. ¿El trabajo de salida útil de este sistema es mayor, igual o menor que el trabajo de entrada? Explica por qué. P33. ¿La energía potencial elástica almacenada en la garrocha es el único tipo de energía potencial en el salto con garrocha? Explica por qué. P34. Si un atleta de salto con garrocha puede correr más rápido que otro, ¿el más veloz tiene una ventaja en el salto con garrocha? Explica por qué.

ejercicios E1. Un fuerza dirigida horizontalmente de 40 N se usa para jalar una caja una distancia de 2.5 m por la superficie de una mesa. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza de 40 N? E2. Una mujer realiza un trabajo de 160 J para mover una mesa 4 m por el piso. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que la mujer aplicó a la mesa si esta fuerza se aplica en dirección horizontal? E3. Una fuerza de 60 N usada para empujar una silla por un salón realiza un trabajo de 300 J. ¿Qué distancia se desplaza la silla en este proceso?

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E4. Una cuerda aplica una fuerza horizontal de 180 N para jalar una caja una distancia de 2 m por el piso. Una fuerza de fricción de 60 N se opone a este movimiento. a) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza aplicada con la cuerda? b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de fricción? c) ¿Cuál es el trabajo total realizado en la caja? E5. Una fuerza de 50 N se usa para arrastar una caja 4 m por el suelo. La fuerza está dirigida a cierto ángulo hacia arriba desde

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120

Capítulo 6

Energía y oscilaciones

la caja, de forma que la componente vertical de la fuerza es de 30 N y la horizontal de 40 N, como se muestra en el diagrama. a) ¿Cuál es el trabajo realizado por la componente horizontal de la fuerza? b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la componente vertical de la fuerza? c) ¿Cuál es el trabajo total realizado por la fuerza de 50 N?

30 N

50

N

40 N 4m

E6. Una fuerza neta de 60 N acelera una masa de 4 kg a lo largo de 10 m. a) ¿Cuál es el trabajo realizado por esa fuerza? b) ¿Cuál es el aumento en la energía cinética de la masa? E7. Una pelota de 0.4 kg tiene una velocidad de 20 m/s. a) ¿Cuál es su energía cinética? b) ¿Cuánto trabajo se necesita para detener la pelota? E8. Una caja con una masa de 5.0 kg se levanta (sin aceleración) hasta una altura de 2.0 m a fin de colocarla sobre el estante de un armario. a) ¿Cuál es el aumento en la energía potencial de la caja? b) ¿Cuánto trabajo se requirió para levantar la caja a esa posición? E9. Un resorte con una constante elástica k de 40 N/m se estira una distancia de 20 cm (0.20 m) desde su posición original sin estirar. ¿Cuál es el incremento en su energía potencial? E10. Para estirar un resorte 0.20 m se realiza un trabajo de 40 J. a) ¿Cuál es el incremento en su energía potencial? b) ¿Cuál es el valor de la constante elástica k del resorte? E11. ¿Qué requiere más trabajo: levantar 4 m una piedra de 2 kg sin aceleración, o acelerar la misma piedra horizontalmente a partir del reposo a una rapidez de 10 m/s? E12. En el punto inferior de su oscilación, la pesa de un péndulo con una masa de 0.2 kg tiene una velocidad de 4 m/s. a) ¿Cuál es su energía cinética en el punto inferior? b) Ignorando la resistencia del aire, ¿a qué altura oscilará la pesa sobre el punto inferior antes de invertir la dirección?

E13. Una masa de 0.20 kg atada a un resorte se jala hacia atrás horizontalmente por una mesa, de modo que la energía potencial del sistema aumenta de cero a 120 J. Si ignoramos la fricción, ¿cuál es la energía cinética del sistema después de que la masa se suelta y se desplaza a un punto donde la energía potencial ha disminuido a 80 J? E14. Un trineo y un pasajero con una masa combinada de 50 kg están en la parte superior de una colina a una altura de 15 m sobre el nivel del piso. El trineo se empuja proporcionándole una energía cinética inicial en la cima de una colina de 1600 J. a) Elige un nivel de referencia en la falda de la colina. ¿Cuál es la energía potencial del trineo y del pasajero en la cima? b) Después del empujón, ¿cuál es la energía mecánica total del trineo y el pasajero en la cima? c) Si la fricción puede ignorarse, ¿cuál será la energía cinética del trineo y el pasajero en la falda de la colina? E15. Un carrito de montaña rusa tiene una energía potencial de 450 000 J y una energía cinética de 120 000 J en el punto A de su recorrido. En el punto inferior de éste, la energía potencial es cero y se han realizado 50 000 J de trabajo contra la fricción desde que el carrito dejó el punto A. ¿Cuál es su energía cinética en ese punto inferior? E16. Un carrito de montaña rusa con una masa de 1200 kg parte del reposo desde un punto a 20 m sobre el nivel del suelo. En el punto B, está a 12 m sobre el suelo. a) ¿Cuál es su energía potencial? b) ¿Cuál es su energía potencial en el punto B? c) Si la energía cinética inicial fue de cero y el trabajo realizado contra la fricción entre el punto de partida y el punto B es de 30 000 J, ¿cuál es su energía cinética en el punto B? E17. Una masa de 200 g que se halla sobre una mesa sin fricción está unida a un resorte horizontal con una constante elástica de 400 N/m. El resorte se estira 40 cm (0.40 m). a) ¿Cuál es la energía potencial inicial del sistema? b) ¿Cuál es la energía cinética del sistema cuando la masa regresa a la posición de equilibrio después de ser soltada? E18. El tiempo requerido para un ciclo completo de una masa que oscila en el extremo de un resorte es 0.25 s. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación? E19. La frecuencia de oscilación de un péndulo es 8 ciclos/s. ¿Cuál es el periodo de oscilación?

problemas de síntesis PS1. Imagina que dos fuerzas horizontales actúan sobre un bloque de madera de 0.25 kg mientras se desplaza a lo largo de una mesa de laboratorio: una fuerza de 5 N que jala el bloque y una fuerza de fricción opuesta al movimiento. El bloque se desplaza 1.5 m por la mesa. a) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de 5 N? b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza neta que actúa sobre el bloque? c) ¿Cuál de estos dos valores debes usar para calcular el aumento en la energía cinética del bloque? Explica por qué.

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d) ¿Qué sucede con la energía añadida al sistema por medio del trabajo realizado por la fuerza de 5 N? ¿Puede explicarse toda? Por qué. e) Si el bloque partió del reposo, ¿cuáles son su energía cinética y su velocidad al final del movimiento de 1.5 m? PS2. Según se describió en el cuadro de ejemplo 6.2, una caja de 100 kg se acelera por medio de una fuerza neta de 50 N aplicada durante 4 s.

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Experimentos y observaciones para la casa a) ¿Cuál es su aceleración a partir de la segunda ley de Newton? b) Si parte del reposo, ¿qué distancia recorre en esos 4 s? (Consulta la sección 2.5 del capítulo 2.) c) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza neta de 50 N? d) ¿Cuál es la velocidad de la caja después de los 4 s? e) ¿Cuál es la energía cinética de la caja en ese tiempo? ¿Cómo se compara este valor con el trabajo calculado en el inciso c? PS3. Una resortera se compone de una banda de goma amarrada a un armazón en forma de Y, con una pequeña bolsa en el centro de la banda para sostener una piedra u otro proyectil pequeño. La banda de goma tiene un comportamiento muy parecido al de un resorte. Imagina que para cierta resortera se mide una constante elástica de 600 N/m en la banda. Ésta se jala hacia atrás aproximadamente 40 cm (0.4 m) antes de soltarla. a) ¿Cuál es la energía potencial del sistema antes de soltar la banda? b) ¿Cuál es la energía cinética máxima posible que puede ganar la piedra después de soltarla? c) Si la piedra tiene una masa de 50 g (0.05 kg), ¿cuál es su velocidad máxima posible después de soltarla? d) ¿La piedra en realidad alcanza esos valores máximos de la energía cinética y la velocidad? ¿La banda de goma gana energía cinética? Explica por qué. PS4. Imagina que una masa de 200 g (0.20 kg) oscila en el extremo de un resorte sobre una superficie horizontal que esencialmente está libre de fricción. El resorte puede estirarse y comprimirse y tiene una constante elástica de 240 N/m. Originalmente se estiró una distancia de 12 cm (0.12 m) desde su posición de equilibrio (sin estirar) antes de soltarlo. a) ¿Cuál es su energía potencial inicial?

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b) ¿Cuál es la velocidad máxima que la masa alcanzará en esta oscilación? ¿En qué parte del movimiento se alcanza? c) Ignorando la fricción, ¿cuáles son los valores de la energía potencial, cinética y velocidad de la masa cuando se halla a 6 cm de la posición de equilibrio? d) ¿cómo se compara el valor de la velocidad calculado en el inciso c con el calculado en el inciso b? (¿Cuál es la razón de los valores?) PS5. Un trineo y un pasajero con una masa total de 40 kg se hallan en la cima de una colina, como se muestra en el diagrama. La cima está a 40 m sobre el punto inferior de la ruta del trineo. Un segundo montículo en la colina está a 30 m sobre ese punto. Imagina que también sabemos que aproximadamente 2000 J de trabajo se realizan contra la fricción a medida que el trineo viaja entre esos dos puntos. a) ¿El trineo llegará a la cima del segundo montículo si no se le imprime energía cinética al inicio de su movimiento? Explica por qué. b) ¿Cuál es la altura máxima que podría tener el segundo montículo para que el trineo llegara a su cima, suponiendo que el mismo trabajo contra la fricción estaría implicado y no se imprimiera ninguna fuerza de empuje inicial? Explica por qué.

40 m 30 m

experimentos y observaciones para la casa EC1. Puedes construir un péndulo simple atando una pelota a una cuerda (con cinta adhesiva o una engrapadora) y fijando el otro extremo de la cuerda a un soporte rígido. (Un lápiz pegado con cinta firmemente al borde de un escritorio o una mesa servirán.) a) La frecuencia de oscilación puede establecerse midiendo el tiempo de las oscilaciones. El método usual consiste en utilizar un reloj para tomar el tiempo requerido para diez o más oscilaciones. El periodo T (el tiempo que lleva una oscilación) es, por tanto, el tiempo total dividido entre el número de oscilaciones contadas, en tanto que la frecuencia f es sólo 1/T. b) ¿Cómo cambia la frecuencia si varías la longitud de tu péndulo? (Prueba al menos con tres longitudes.) EC2. Una rampa para una canica o un balín de acero puede construirse doblando una tira larga de cartulina hasta darle forma de V y luego colocando dos rampas como ésta, extremo con extremo, como se muesta en el diagrama, para formar una pista en la que la canica oscile. a) ¿Puedes medir una frecuencia de oscilación para este sistema? ¿Esa frecuencia depende de la altura en la rampa en donde parta la canica?

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b) ¿A qué altura de la segunda rampa llega la canica? ¿Se pierde más energía por ciclo en este sistema que en un péndulo?

EC3. La altura a la que rebota una pelota después de ser soltada proporciona una medida de cuánta energía se pierde en el choque con el piso u otra superficie. Una pequeña parte de la energía se pierde por la resistencia del aire mientras la pelota se mueve, pero la mayor parte se pierde en la colisión. a) Prueba con varias pelotas; mide la altura del rebote soltando todas las pelotas a la misma altura. ¿Cuál pierde más energía y cuál menos? b) ¿Puedes explicar por qué muchas pelotas regresan a una altura mayor de la que alcanzaría una canica? ¿Qué características de las pelotas que probaste permiten un mejor rebote? c) Para una pelota que rebota varias veces, ¿el periodo (tiempo entre rebotes) cambia con cada uno de ellos? ¿La pelota que rebota tiene un movimiento armónico simple?

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Impulso y cantidad de movimiento

esquema del capítulo

1

capítulo

unidad uno

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descripción del capítulo En este capítulo exploramos la cantidad de movimiento y el impulso, conceptos cuya aplicación estudiamos al analizar sucesos tales como un choque de dos jugadores de futbol americano. Asimismo, exponemos el principio de conservación de la cantidad de movimiento y explicamos sus límites. Varios ejemplos nos permitirán entender cómo aplicar estas ideas, en particular la conservación de la cantidad de movimiento. Fundamental para comprender los temas expuestos en el capítulo, la cantidad de movimiento es a un tiempo herramienta poderosa para entender gran parte de los cambios que ocurren repentinamente en la vida diaria.

2

3 4

5 122

Cantidad de movimiento e impulso. ¿Cómo pueden describirse los cambios rápidos en el movimiento con base en los conceptos de cantidad de movimiento e impulso? ¿Cómo se relacionan estos conceptos con la segunda ley de Newton del movimiento? Conservación de la cantidad de movimiento. ¿Cuál es el principio de conservación de la cantidad de movimiento y cuándo es válido? ¿Cuál es la relación de ese principio con las leyes de Newton del movimiento? Retroceso. ¿Cómo podemos explicar el retroceso de un rifle o una escopeta con base en el concepto de cantidad de movimiento? ¿Qué semejanza hay entre disparar esas armas y lanzar un cohete? Colisiones elásticas e inelásticas. ¿Cómo pueden analizarse las colisiones con base en la conservación de la cantidad de movimiento? ¿Cuál es la diferencia entre una colisión elástica y otra inelástica? Colisiones en cierto ángulo. ¿Cómo podemos ampliar el concepto de cantidad de movimiento a dos dimensiones? ¿En qué se parece el juego de billar a los choques automovilísticos?

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7.1 Cantidad de movimiento e impulso

123

H

oy día, la palabra momentum, que para nosotros significa cantidad de movimiento, se usa con demasiada frecuencia en un encuentro deportivo cuando los comentaristas se refieren al cambio en el dominio de un equipo sobre otro. Tal uso de ese término sólo se limita a tender una relación metafórica con el concepto físico de momentum o, en español, cantidad de movimiento. Abundan los ejemplos reales de cambios en la cantidad de movimiento que podemos considerar tanto en el mundo de los deportes como en la vida en general. Citemos el caso de un choque entre un corredor y un profundo en el campo de futbol americano (figura 7.1). Si se encuentran de frente, la velocidad del primero se reduce bruscamente, aun cuando ambos podrían seguir unos instantes el movimiento del corredor en la dirección original de su velocidad. Si el defensivo está en movimiento antes de la colisión, su velocidad también cambia de manera abrupta. Debe haber presentes fuerzas intensas para producir tales aceleraciones, mas esas fuerzas sólo actúan durante un momento. ¿Cómo aplicamos las leyes de Newton para analizar este caso? La cantidad de movimiento, el impulso y la conservación de la cantidad de movimiento figuran en cualquier análisis de las colisiones. La cantidad de movimiento total del corredor y del profundo se considera en la predicción de qué ocurrirá tras el choque. ¿Cómo se define la

7.1 Choque entre un corredor y un defensa profundo de futbol americano. ¿Cómo se moverán los dos jugadores después de chocar?

figura

cantidad de movimiento y qué relación guarda su conservación con las leyes de Newton? ¿Por qué la conservación de la cantidad de movimiento resulta útil en la predicción de lo que sucederá en un choque? Hallaremos la respuesta a estas preguntas a medida que examinemos diversas colisiones y fenómenos similares.

7.1 Cantidad de movimiento e impulso Imagina una pelota de béisbol que se dirige a la manopla del cátcher cuando su vuelo es bruscamente interrumpido por el golpe de un bate. En un instante su velocidad cambia de dirección y se acelera en dirección opuesta a la original. Cambios semejantes ocurren cuando se golpea una pelota de tenis con la raqueta o cuando la pelota pega en una pared o en el piso. En muchas situaciones cotidianas, un pequeño impacto produce un cambio rápido en la velocidad de un cuerpo. Las fuerzas causantes de esos cambios súbitos en el movimiento pueden ser grandes, pero actúan en periodos muy cortos y son difíciles de medir. No sólo son breves, sino que pueden cambiar rápidamente durante la colisión.

v2

v1

¿Qué ocurre cuando una pelota rebota? Considera el ejemplo aparentemente sencillo de soltar una pelota de tenis. Al principio se acelera hacia abajo debido a la fuerza gravitacional. Cuando llega al suelo, su velocidad rápidamente cambia de dirección y se dirige entonces de nuevo hacia arriba, a donde estás tú (figura 7.2). Debe haber una gran fuerza ejercida sobre la pelota por el suelo durante el pequeño instante que entran en contacto. Esa fuerza proporciona la aceleración ascendente necesaria para cambiar la dirección de la velocidad de la pelota.

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7.2 Pelota de tenis que rebota en el suelo. Hay un cambio rápido en la dirección de la velocidad cuando la pelota choca con el suelo.

figura

Si usamos una cámara de alta velocidad para captar la acción en el momento que la pelota choca con el suelo, veremos que su figura se distorsiona (figura 7.3). La pelota se comporta como un resorte que se comprime mientras se mueve hacia abajo y luego se expande (saltando hacia atrás) cuando comienza a

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Capítulo 7

Impulso y cantidad de movimiento

¿Qué son el impulso y la cantidad de movimiento? El impulso se muestra como la cantidad en el miembro izquierdo de la segunda ley de Newton como acabamos de redefinirla, FnetaΔt. Por tanto, el impulso es la fuerza ejercida sobre un cuerpo multiplicada por el tiempo durante el que actúa. Si la fuerza varía en ese intervalo de tiempo, y con frecuencia así ocurre, debemos usar el valor medio de la fuerza durante el tiempo.

7.3 Fotografía de alta velocidad de una pelota que choca contra el suelo. La pelota se comprime como un resorte.

figura

moverse hacia arriba. Una prueba rápida (comprime la pelota con las manos) te convencerá de que se requiere una gran fuerza para distorsionar la pelota. Lo que tenemos entonces es una gran fuerza que actúa por un tiempo muy breve y produce una aceleración rápida que cambia de súbito la velocidad de la pelota de una dirección descendente a otra ascendente. La magnitud de la velocidad de la pelota disminuye rápidamente a cero y luego aumenta con igual rapidez en dirección opuesta. Todo esto ocurre en un tiempo tan corto que no lo veríamos si parpadeamos.

¿Cómo podemos analizar cambios tan rápidos? Hemos descrito el choque de la pelota con el suelo usando la fuerza y la aceleración; también podríamos usar la segunda ley de Newton para predecir cómo cambia la velocidad. El problema con este método radica en que el tiempo de interacción es muy corto y la fuerza varía con él, así que es difícil describir el choque con precisión. Es más productivo mirar el cambio total en el movimiento en esa breve interacción. En el capítulo 4 expusimos la segunda ley de Newton utilizando la expresión Fneta = ma. La aceleración a es la razón de cambio de la velocidad, la cual puede expresarse como el cambio en la velocidad, Δv, dividido entre el tiempo requerido para producir ese cambio, Δt. El intervalo de tiempo es importante: cuanto más breve sea para un cambio en la velocidad, mayores serán la aceleración y la fuerza requeridas para producir ese cambio. Podemos redefinir la segunda ley de Newton como sigue: Fneta = m

Δv , Δt

que expresa la aceleración en términos del cambio en la velocidad. Si multiplicamos ambos miembros de esta ecuación por el intervalo de tiempo Δt volvemos a escribir la segunda ley de Newton como Fneta∆t = m∆v.

Aun cuando sigue siendo la segunda ley de Newton, su redefinición brinda otra forma de mirar los acontecimientos, la cual resulta más práctica para describir el cambio general en el movimiento.

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El impulso es la fuerza media multiplicada por el tiempo en que actúa: impulso = F∆t

Como la fuerza es una cantidad vectorial, el impulso también lo es, y tiene la dirección de la fuerza media. La manera como una fuerza cambia el movimiento de un cuerpo depende del tamaño de la fuerza y del lapso en que ésta actúa. Cuanto mayor sea la fuerza, mayor será el efecto, y cuanto más tiempo actúe, su efecto también será más grande. La multiplicación de los dos factores entre sí para obtener el impulso muestra el efecto general de la fuerza. En el miembro derecho de la redefinición de la segunda ley, mΔv es la masa del cuerpo multiplicada por el cambio en la velocidad producido por el impulso. Este producto es el cambio en la cantidad de movimiento, para usar la expresión de Newton. Llamamos a este producto el cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo, donde cantidad de movimiento se define como sigue: La cantidad de movimiento es el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, o p = mv

El símbolo p se usa a menudo para denotar la cantidad de movimiento. Si la masa del cuerpo es constante, el cambio en la cantidad de movimiento es la masa por el cambio en la velocidad, o ∆p = m∆v. Igual que la velocidad, la cantidad de movimiento es vectorial cuya dirección es la misma que la del vector de la velocidad. Dos cuerpos que viajan en la misma dirección pueden tener masas y velocidades distintas pero la misma cantidad de movimiento. Por ejemplo, una bola de boliche de 7 kg que se mueve a la velocidad relativamente lenta de 2 m/s tiene una cantidad de movimiento de 14 kg m/s. Por otra parte, una pelota de tenis con una masa de sólo 0.07 kg, que se mueve a la velocidad mucho mayor de 200 m/s tiene la misma cantidad de movimiento, 14 kg·m/s (figura 7.4). Con base en estas definiciones de impulso y cantidad de movimiento podemos expresar la redefinición de la segunda ley de Newton como sigue: impulso = cambio en la cantidad de movimiento = ∆p.

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7.1 Cantidad de movimiento e impulso

125

m = 7 kg v = 2 m/s

p = 14 kg•m/s

m = 0.07 kg v = 200 m/s p = 14 kg•m/s

7.4 Una bola de boliche y una pelota de tenis con la misma cantidad de movimiento. La pelota de tenis tiene una masa menor, por lo que debe tener una velocidad mucho mayor.

figura

Este enunciado de la segunda ley a veces se conoce como principio de impulso y cantidad de movimiento: El impulso que actúa sobre un cuerpo produce un cambio en su cantidad de movimiento que es igual en magnitud y dirección que el impulso.

Este principio no es una ley nueva sino otra manera de expresar la segunda ley de Newton del movimiento y resulta muy útil para el estudio de las colisiones.

¿Cómo aplicamos el principio de impulso y cantidad de movimiento? El principio de impulso y cantidad de movimiento se aplica casi a cualquier colisión. Golpear una pelota de golf con un palo es un buen ejemplo (figura 7.5). El impulso proporcionado por el palo de golf produce un cambio en la cantidad de movimiento de la pelota, también descrito en el cuadro de ejemplo 7.1. Observa que las unidades del impulso (fuerza multiplicada por tiempo, o N·s) deben ser iguales a las de la cantidad de movimiento (masa por velocidad, o kg·m/s). ¿La cantidad de movimiento de la pelota de tenis que rebota antes estudiada cambia cuando golpea el suelo? Incluso si la pelota no pierde energía al chocar con el suelo y rebotar con la misma rapidez y energía cinética que tenía justo antes de hacerlo, la cantidad de movimiento cambia porque su dirección

∆p = pf

impulso

7.5 La cabeza del palo de golf imparte un impulso a la pelota. Si la cantidad de movimiento inicial de ésta es cero, la final será igual al impulso proporcionado.

figura

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cuadro de ejemplo 7.1 Ejercicio: cantidad de movimiento e impulso en el golf Un palo de golf ejerce una fuerza media de 500 N en una pelota de 0.1 kg, pero entra en contacto con la pelota sólo un centésimo de segundo. a) ¿Cuál es la magnitud del impulso impartido por el palo? b) ¿Cuál es el cambio en la velocidad de la pelota? a) F = 500 N

impulso = F∆t

∆t = 0.01 s

= (500 N)(0.01 s)

impulso = ?

= 5 N·s

b) m = 0.1 kg ∆v = ?

impulso = ∆p = m∆v ∆v = impulso m =

5Ns 0.1 kg

= 50 m/s Como la pelota parte del reposo, este cambio en la velocidad es igual a la velocidad de la pelota cuando se aparta de la cabeza del palo. La dirección de esta velocidad es la misma que el impulso de la fuerza ejercida por éste.

se modifica. La cantidad de movimiento disminuye a cero a medida que la pelota se detiene por un instante, y cambia de nuevo cuando la bola adquiere cantidad de movimiento en la dirección opuesta (figura 7.6). El cambio total en la cantidad de movimiento es mayor que el cambio que ocurriría si la pelota se detuviera y no rebotara. Cuando la bola de tenis rebota con la misma rapidez, el cambio total en la cantidad de movimiento es el doble del valor de la cantidad de movimiento antes de que la pelota golpeara el suelo. Su cantidad de movimiento final es mv, donde la dirección de v siempre es ascendente, pero su cantidad de movimiento inicial era –mv porque la velocidad inicial estaba

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126

Capítulo 7

Impulso y cantidad de movimiento

pf Δp –F

pi

–Impulso

F Impulso

Impulso Antes

Durante

Después

7.6 El impulso ejercido por el suelo sobre la pelota de tenis produce un cambio en su cantidad de movimiento.

figura

dirigida hacia abajo. Calculamos el cambio en la cantidad de movimiento restando el valor inicial del final: mv –(–mv) = 2mv. El impulso necesario para producir este cambio en la cantidad de movimiento es el doble que el requerido para detener la pelota. Hay muchas lecciones prácticas en que intervienen el impulso y el cambio en la cantidad de movimiento. ¿Por qué moverte hacia atrás te sirve cuando atrapas una pelota lanzada con fuerza? Cuando mueves la mano hacia atrás alargas el intervalo Δt, lo cual reduce la fuerza media que la mano ha de ejercer sobre la pelota, ya que el impulso es el producto de la fuerza por el tiempo (FΔt). Si este último es mayor, la fuerza puede ser menor y aun así producir el mismo impulso y cambio en la cantidad de movimiento. ¡Duele menos de esta forma! De modo similar, un tablero de mandos acolchado o una bolsa de aire alivian la lesión de los pasajeros al aumentar el tiempo requerido para llevarlos a la detención durante un choque. Todo lo que hemos hecho en esta sección es sólo otra manera de trabajar con la segunda ley de Newton del movimiento. De hecho, al dividir los dos miembros del principio de impulso y cantidad de movimiento entre el tiempo Δt, la segunda ley de Newton puede expresarse de tal manera que casi capta el significado del enunciado original de la segunda ley de Newton, Fneta = Δp/Δt. Dicho con palabras, esta forma de la segunda ley dice que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la razón de cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo. Esta forma abarca un repertorio más amplio de situaciones que la expresión más conocida de Fneta = ma. La cantidad de movimiento y el impulso son muy útiles para evaluar fenómenos tales como los choques, donde actúan fuerzas poderosas brevemente para producir cambios sorprendentes en el movimiento de los cuerpos. El principio de impulso y cantidad de movimiento establece que el cambio en la cantidad de movimiento es igual al impulso. Ésta es otra forma de enunciar la segunda ley de Newton. El impulso, el producto de la fuerza media por el tiempo que es aplicada, permite predecir el cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo. Los impulsos grandes producen cambios grandes en la cantidad de movimiento.

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7.7 Choque de dos jugadores de futbol americano. Los impulsos que actúan sobre ambos jugadores son iguales en magnitud pero opuestos en dirección.

figura

7.2 Conservación de la cantidad de movimiento ¿Cómo ayuda el impulso y la cantidad de movimiento a explicar la colisión entre el defensa profundo y el corredor mencionados en la introducción del capítulo? Las condiciones descritas en la sección 7.1 desde luego están presentes. El profundo ejerce una fuerza considerable pero breve sobre el corredor (figura 7.7), y la cantidad de movimiento de los dos jugadores cambia rápidamente durante el choque. El principio de conservación de la cantidad de movimiento ofrece la clave para comprender un choque como ése. Tal principio surge cuando aplicamos la tercera ley de Newton al impulso y al cambio en la cantidad de movimiento. La conservación de la cantidad de movimiento nos permite predecir muchas características de los choques sin precisar un conocimiento detallado de las fuerzas de impacto.

¿Por qué y cuándo se conserva la cantidad de movimiento? Veamos los pormenores del choque de frente entre el corredor y el profundo. Para simplificar la situación, supongamos que los dos jugadores chocan en el aire y después se mueven juntos, ya que el corredor queda atrapado por la tacleada del defensivo (figura 7.7). ¿Qué sucede cuando chocan? Durante la colisión, el defensivo ejerce una gran fuerza sobre el corredor; por la tercera ley de Newton, éste ejerce una fuerza de igual magnitud pero de dirección opuesta sobre aquél. Como el tiempo de la acción, Δt, es el mismo para ambas fuerzas, los impulsos FΔt también deben ser iguales en magnitud pero opuestos en dirección. A partir del principio de impulso y cantidad de movimiento (segunda ley de Newton), los cambios en la cantidad de movimiento Δp para cada jugador son asimismo iguales en magnitud pero tienen dirección opuesta. Si ambos jugadores experimentan cambios en la cantidad de movimiento iguales pero con dirección opuesta, el cambio total en la cantidad de movimiento de los dos juntos es cero. Estudiamos el sistema general y definimos su cantidad de movimiento total como la suma de valores de la cantidad de

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127

7.2 Conservación de la cantidad de movimiento

movimiento de los dos jugadores. No hay cambio en la cantidad de movimiento del sistema porque los cambios en la cantidad de movimiento de las partes se cancelan entre sí. La cantidad de movimiento total del sistema se conserva. Para llegar a esta colisión ignoramos las fuerzas externas (producidas por otros objetos) que actúan sobre los jugadores y suponemos que las significativas eran únicamente sus propias fuerzas de interacción. Las fuerzas que ejercen entre sí son internas al sistema, el cual se compone por los dos jugadores. Por tanto, el principio de conservación de la cantidad de movimiento puede expresarse como sigue: Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de cuerpos es cero, la cantidad de movimiento total del sistema se conserva.

Las fuerzas de interacción entre los cuerpos en un sistema son internas y sus efectos sobre la cantidad de movimiento total se cancelan entre sí debido a la tercera ley de Newton del movimiento. Diferentes partes del sistema pueden intercambiar cantidad de movimiento sin afectar la cantidad de movimiento total del sistema. Si hay una fuerza externa neta que actúe sobre el sistema debido a la interacción con algún cuerpo que no forme parte de él, todo el sistema se acelerará y su cantidad de movimiento cambiará.

Conservación de la cantidad de movimiento y colisiones Con base en el principio de conservación de la cantidad de movimiento, ¿qué información podemos obtener a partir de los resultados de un choque como el de los jugadores de futbol americano? Si conocemos las masas de los jugadores y sus velocidades iniciales, podemos hallar con qué rapidez y en qué dirección se moverán tras la colisión. No necesitamos saber nada en lo absoluto sobre los detalles de las fuerzas grandes implícitas en la colisión misma. En el ejercicio del cuadro de ejemplo 7.2 se analiza una colisión de frente entre un corredor y un defensivo, para lo que se emplean valores numéricos. El corredor tiene una masa de 100 kg (equivalente a un peso de alrededor de 220 lb) y se mueve en línea recta por el campo con una rapidez de 5 m/s a través del espacio que ha abierto la línea ofensiva de su equipo. El defensivo, un tanto más pequeño, corre para taclearlo a una velocidad de –4 m/s en dirección opuesta (figura 7.8). El signo menos indica la dirección: hemos elegido que la dirección del movimiento del corredor sea positiva. La cantidad de movimiento total del sistema antes de la colisión del cuadro de ejemplo 7.2 se calcula sumando la cantidad de movimiento inicial del corredor más la cantidad de movimiento del defensivo, sin perder de vista la diferencia de signos. Si suponemos que los pies de ambos jugadores dejan el suelo justo antes de estrellarse (de modo que no hay fuerzas de fricción entre sus pies y el suelo), la cantidad de movimiento debe conservarse. La cantidad de movimiento total de los dos jugadores que se mueven juntos después de la colisión tiene el mismo valor que antes de la colisión (figura 7.9).

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cuadro de ejemplo 7.2 Ejercicio: un choque de frente Un corredor de 100 kg que se mueve en línea recta hacia la meta a una velocidad de 5 m/s choca de frente con un defensivo profundo de 75 kg que se desplaza en dirección opuesta a una velocidad de –4 m/s. El defensivo abraza al corredor y los dos jugadores se desplazan juntos después del choque. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento inicial de cada jugador? b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento total del sistema? c) ¿Cuál es la velocidad inicial de los dos jugadores inmediatamente después del choque? p = mv

a) corredor: m = 100 kg

= (100 kg)(5 m/s)

v = 5 m/s

= 500 kg·m/s

p = ? p = mv

defensivo: m = 75 kg

= (75 kg)(−4 m/s)

v = −4 m/s

= −300 kg·m/s

b) ptotal = ?

ptotal = pcorredor + pdefensivo = 500 kg·m/s + (−300 kg·m/s) = 200 kg·m/s

c) v = ? (para ambos jugadores después del choque) m = 100 kg + 75 kg = 175 kg

p = mv v = =

ptotal m

200 kg m/s 175 kg

= 1.14 m/s

El valor positivo de la cantidad de movimiento después de la colisión significa que los dos jugadores viajan en la dirección del movimiento inicial del corredor. Éste tenía una cantidad de movimiento mayor que el defensivo, así que su dirección de movimiento prevalece cuando los dos valores se suman. El defensivo será empujado hacia atrás antes de que los jugadores caigan al suelo. La conservación de la cantidad de movimiento ocurre cuando los cambios en la cantidad de movimiento de diferentes partes de un sistema se cancelan entre sí por la tercera ley de Newton. Si no hay fuerzas externas que actúen sobre el sistema, la cantidad de movimiento total se conserva. El principio se aplica a todo tipo de situaciones que implican choques y explosiones u otras formas de interacción breve pero enérgica entre cuerpos.

21/10/07 10:16:54

128

Capítulo 7

Impulso y cantidad de movimiento 100 kg

Antes v = 5 m/s

p1 = 500 kg•m/s

figura 7.8

75 kg v = –4 m/s

p2 = –300 kg•m/s

Los dos jugadores antes del choque. Se indican los vectores de la velocidad y la cantidad de movimiento de cada uno. Después v = 1.14 m/s p = 200 kg•m/s v p

7.9 Los dos jugadores después del choque. Se indican los vectores de la velocidad y la cantidad de movimiento.

figura

7.3 Retroceso ¿Por qué una escopeta golpea en tu hombro cuando la disparas, a veces con consecuencias dolorosas? ¿Cómo puede un cohete acelerarse en el espacio vacío cuando no hay nada contra lo cual empujarse más que él mismo? Éstos son ejemplos del fenómeno de retroceso, algo común en nuestra experiencia cotidiana. La conservación de la cantidad de movimiento es la clave para comprender el retroceso.

¿Qué es el retroceso? Imagina que dos patinadoras se ponen una frente a la otra y se empujan entre sí con las manos (figura 7.10). Las fuerzas de fricción entre sus patines y el hielo son muy pequeñas, así que podemos ignorarlas. Además, la fuerza normal ascendente y la fuerza descendente de la gravedad se cancelan entre sí, ya que sabemos que no hay aceleración en la dirección vertical. La fuerza externa neta que actúa en el sistema de las dos patinadoras es entonces cero y debe haber conservación de la cantidad de movimiento. ¿Cómo aplicamos la conservación de la cantidad de movimiento en tal situación? Puesto que ninguna patinadora se movía antes del empujón, la cantidad de movimiento inicial total del sistema es cero. Si la cantidad de movimiento se conserva,

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figura 7.10

Dos patinadoras de diferentes masas se preparan para empujarse entre sí. ¿Cuál adquirirá mayor velocidad?

la cantidad de movimiento total del sistema después del empujón también será cero. ¿Cómo puede ser cero la cantidad de movimiento total cuando al menos una de las dos patinadores se mueve? Ambas patinadoras deben moverse con valores de cantidad de movimiento iguales en magnitud pero opuestos en dirección p2 = –p1. La cantidad de movimiento de la segunda patinadora p2 debe ser opuesta a la de la primera patinadora p1. Cuando estos valores individuales se suman para calcular la cantidad de movimiento total del sistema, se cancelan entre sí y producen una cantidad de movimiento total de cero. Después del empujón, las dos patinadoras se mueven en direcciones opuestas con vectores de cantidad de movimiento iguales en magnitud (figura 7.11), mas su velocidad no es la misma. Como la cantidad de movimiento es la masa por la velocidad (p = mv), la patinadora con la masa menor debe tener mayor velocidad a fin de producir la misma magnitud de cantidad de movimiento que la patinadora más grande. Imagina

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129

7.3 Retroceso Retroceso 100 kg

50 kg –p

–p

p

p v1

v2

figura 7.12

La bala y la escopeta tienen igual cantidad de movimiento, pero dirección opuesta tras el disparo.

cuadro de ejemplo 7.3 figura 7.11

Las dos patinadoras después de empujarse. Se indican los vectores de la velocidad y la cantidad de movimiento.

que la masa de la patinadora más pequeña es sólo la mitad de la patinadora más grande. La velocidad de la más pequeña será, por tanto, el doble que la velocidad de la patinadora más grande después del empujón. Los patinadores en hielo ilustran los conceptos básicos del retroceso. Una fuerza pequeña entre dos cuerpos provoca que los cuerpos se muevan en direcciones opuestas. El menos pesado adquiere mayor velocidad para igualar la magnitud de la cantidad de movimiento de los dos cuerpos. La cantidad de movimiento total del sistema tras el empujón es igual a cero, valor de la cantidad de movimiento del sistema antes del empujón si los cuerpos estuvieron inicialmente en reposo. La cantidad de movimiento total del sistema se conserva, no cambia.

Retroceso de una escopeta Si alguna vez has disparado una escopeta sin sostenerla firmemente contra tu hombro, quizá hayas sufrido una experiencia dolorosa de retroceso. ¿Qué ocurrió? La explosión de la pólvora en la escopeta hace que la bala se mueva muy rápido hacia el blanco. Si la escopeta es libre de moverse, retrocederá en la dirección opuesta con una cantidad de movimiento igual en magnitud a la cantidad de movimiento del disparo (figura 7.12). Aun cuando la masa de la bala es considerablemente menor que la de la escopeta, su cantidad de movimiento es mucho mayor debido a su gran velocidad. Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema pueden ignorarse, la escopeta retrocede con una cantidad de movimiento igual en magnitud a la cantidad de movimiento de la bala. La velocidad de retroceso será menor que la de la bala porque la escopeta tiene una masa mayor, pero sigue siendo considerable. Cuando una escopeta golpee contra tu hombro, sabrás que ha retrocedido. ¿Cómo evitar que tu hombro salga lastimado? El truco consiste en sostener el arma firmemente contra él (véase el cuadro de ejemplo 7.3.) Tu propia masa entonces se vuelve parte del sistema y producirá una velocidad de retroceso menor, incluso

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Pregunta: ¿la cantidad de movimiento se conserva cuando se dispara una escopeta? Pregunta: cuando se sostiene una escopeta firmemente contra el hombro, ¿la cantidad de movimiento del sistema se conserva? Respuesta: depende de cómo definas el sistema. Si se define simplemente como la escopeta y los perdigones, hay una gran fuerza externa ejercida sobre el sistema por el hombro de quien dispara. Como la condición de conservación de la cantidad de movimiento es que la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema sea cero, la cantidad de movimiento de este sistema no se conserva. Si incluimos en el sistema a la persona que dispara y la Tierra, entonces la cantidad de movimiento se conservaría debido a que las fuerzas serían internas. No obstante, el cambio en la cantidad de movimiento de la Tierra sería imperceptible.

si por casualidad estás parado en hielo sin fuerzas de fricción entre tus pies y la Tierra. Y lo más importante, la escopeta no se moverá contra tu hombro.

¿Cómo funciona un cohete? El disparo de un cohete es otro ejemplo de retroceso. Los gases de escape que son expulsados por la cola del cohete tienen masa y velocidad; por consiguiente, cantidad de movimiento. Si ignoramos las fuerzas externas, la cantidad de movimiento ganada por el cohete hacia delante será igual en magnitud a la cantidad de movimiento de los gases de escape en dirección opuesta (figura 7.13). La cantidad de movimiento se conserva, como en los demás ejemplos de retroceso. El cohete y los gases de escape se empujan entre sí y se aplica la tercera ley de Newton. La diferencia entre un cohete y nuestros ejemplos anteriores de las patinadoras y la escopeta radica en que el lanzamiento de un cohete es, en general, un proceso continuo. El cohete adquiere cantidad de movimiento gradualmente en vez de hacerlo en una sola explosión breve. La masa del cohete también cambia a medida que el combustible se consume y los

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130

Capítulo 7

Impulso y cantidad de movimiento

–∆p

∆p

figura 7.13

Si hay una sola explosión breve, el cohete adquiere una cantidad de movimiento igual en magnitud pero opuesta en dirección a la cantidad de movimiento de los gases de escape.

gases son expelidos de los motores. El cálculo de la velocidad final se vuelve más difícil que para las patinadoras. Para una explosión breve del cohete, no obstante, puede aplicarse el mismo análisis. El retroceso también se presenta en el vacío exterior: los dos cuerpos sólo necesitan empujarse entre sí, del mismo modo que ocurre con las patinadoras y la escopeta. Los motores del cohete pueden usarse para viajar en el espacio, a diferencia de los motores de hélice o los de jet que se utilizan en los aviones. Los motores de los aviones dependen de la presencia de la atmósfera, tanto como fuente de oxígeno usado en la quema de combustible como algo contra lo cual empujar. Una hélice de avión empuja contra el aire y éste, según la tercera ley de Newton, empuja contra la hélice. Tal interacción hace que el avión acelere. Un cohete, por su parte, es independiente. Ejerce una fuerza sobre sus propios gases expulsados y, por la tercera ley, éstos ejercen una fuerza sobre el cohete. Durante el retroceso, los cuerpos que se empujan unos contra otros se mueven en direcciones opuestas. Si es posible ignorar las fuerzas externas, la cantidad de movimiento se conserva. La cantidad de movimiento total antes y después de la interacción es igual a cero. Después de ella, los dos cuerpos se alejan con vectores de cantidad de movimiento iguales en magnitud pero de dirección opuesta, los cuales se cancelan entre sí. El retroceso es uno de muchos tipos de interacción breve para los cuales se aplica la conservación de la cantidad de movimiento.

¿Qué es una colisión perfectamente inelástica? La colisión más fácil de analizar es una donde dos cuerpos chocan de frente y permanecen juntos después de ello, como en el caso de los jugadores de futbol americano que estudiamos. Como se mantienen juntos y se mueven como un solo cuerpo tras la colisión, teníamos sólo una velocidad final con la cual lidiar. Una colisión en la cual los cuerpos se mantienen juntos después del chocar se llama colisión perfectamente inelástica. Los cuerpos no rebotan en lo absoluto. Si conocemos la cantidad de movimiento total del sistema antes de la colisión (y despreciamos las fuerzas externas), podemos calcular fácilmente la cantidad de movimiento y la velocidad finales de los dos cuerpos ahora juntos. Otro ejemplo de este tipo de colisión es el enganche de vagones de ferrocarril. En el cuadro de ejemplo 7.4 se utiliza la conservación de la cantidad de movimiento para predecir la cantidad de movimiento y la velocidad finales de los vagones enganchados a partir del conocimiento de la cantidad de movimiento del sistema antes del choque. El proceso es muy parecido al usado para pronosticar la velocidad final de los jugadores de futbol en la sección 7.2. En ambos casos, los cuerpos separados se mueven como uno solo tras la colisión. En el cuadro de ejemplo 7.4 la masa total de los vagones enganchados después de la colisión es cinco veces la masa del vagón 5; por tanto, la velocidad final de los vagones enganchados debe ser una quinta parte de la velocidad del vagón 5 para que se conserve la cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento del sistema inmediatamente después de la colisión es igual a la que tenía antes de ella, pero las velocidades cambian. La velocidad “final” que calculamos es válida justo después del choque. A medida que los vagones se siguen moviendo después de ello, las fuerzas de fricción los desaceleran en forma gradual hasta que llegan al reposo.

7.4 Colisiones elásticas e inelásticas

¿La energía se conserva en las colisiones?

Como el ejemplo relacionado con los jugadores de futbol americano, las colisiones son una de las áreas más fructíferas para aplicar la conservación de la cantidad de movimiento. En ellas intervienen grandes fuerzas de interacción que actúan en tiempos muy breves y producen cambios drásticos en el movimiento de los cuerpos que chocan. Como las fuerzas de interacción también son grandes, cualesquiera fuerzas externas que actúan sobre el sistema son, en general, poco importantes en comparación: la cantidad de movimiento se conserva. Diferentes tipos de colisiones producen resultados distintos. A veces los cuerpos se quedan juntos y otras veces se separan. ¿Qué distingue estos diferentes casos y qué significan los términos elástico, inelástico y perfectamente inelástico cuando se aplican a las colisiones? ¿La energía se conserva igual que la cantidad de movimiento? Los vagones de ferrocarril, las pelotas que rebotan y las bolas de billar ayudan a ilustrar las diferencias.

¿La energía cinética después de que los vagones de ferrocarril chocan es igual a la energía cinética original del vagón 5 en el 1 cuadro de ejemplo 7.4? Por medio de la relación EC = 2 mv2 expuesta en el capítulo 6 podemos calcular la energía cinética antes y después de la colisión. La energía cinética original del vagón 5 es 2250 kJ. [Un kilojoule (kJ) son mil joules.] Inmediatamente después de la colisión, la energía cinética de los cinco vagones que se mueven juntos es de 450 kJ (puedes comprobarlo). Una parte de la energía cinética original se pierde en toda colisión perfectamente inelástica. Si ponemos un resorte grande en el frente del vagón en movimiento y le permitimos que rebote en los otros cuatro vagones en vez de engancharlos, obtendríamos una parte de energía cinética mayor de la que se conserva durante la colisión. Cuando los cuerpos rebotan la colisión es elástica o sólo parcialmente inelástica en vez de perfectamente inelástica. La distinción se basa en la energía. Una colisión elástica es

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21/10/07 10:16:57

7.4 Colisiones elásticas e inelásticas

131

cuadro de ejemplo 7.4 Ejercicio: cuando los vagones de ferrocarril se enganchan Cuatro vagones de ferrocarril, todos con la misma masa de 20 000 kg, se hallan en una vía, como se muestra en el dibujo. Un quinto vagón de masa idéntica se aproxima a una velocidad de 15 m/s (a la derecha) y luego choca y se engancha con ellos.

a) m5 = 20 000 kg

pinicial = m5v5

v5 = 15 m/s

= (20 000 kg)(15 m/s)

pinicial = ?

= 300 000 kg·m/s (antes del choque)

b) mtotal = 100 000 kg vfinal =

a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento inicial del sistema? b) ¿Cuál es la velocidad de los cinco vagones enganchados después del choque?

pfinal = pinicial vfinal = ?

=

pfinal m total 300 000 kg m/s 100 000 kg

= 3 m/s (para los cinco vagones después del choque)

carro 5 AN

pinicial

TN

CN

DN

EN

Un vagón de ferrocarril se aproxima a otros cuatro vagones que se hallan en reposo en la vía. ¿Cuál es la velocidad de los vagones después de que se enganchan?

en la que no se pierde energía. Una parcialmente inelástica es en la que se pierde parte de la energía, pero los cuerpos no se mantienen juntos. La mayor cantidad de energía se pierde en la colisión perfectamente inelástica, cuando los cuerpos permanecen juntos. En la mayoría de estos casos, parte de la energía cinética se pierde debido a que las colisiones no son perfectamente inelásticas. Se genera calor, los cuerpos pueden deformarse y se crean ondas sonoras, todo lo cual implica conversiones de la energía cinética de los cuerpos en otros tipos. Aun si los cuerpos rebotan, no podemos suponer que la colisión sea elástica. Lo más probable es que sea parcialmente inelástica, lo que significa que parte de la energía cinética inicial se pierde. Una pelota que rebota en el piso o la pared sin disminución de la magnitud de su velocidad es un ejemplo de colisión elástica. Como la magnitud de la velocidad no cambia (sólo cambia la dirección), la energía cinética no disminuye. No se pierde energía. Desde luego, es más probable que parte de la energía se pierda en una colisión como ésta, y la magnitud de la velocidad de la pelota después de la colisión sea un poco menor que antes. El extremo opuesto a una colisión elástica de una pelota con la pared sería una colisión perfectamente inelástica en la que la pelota se quedara pegada a la pared. En este caso, su velocidad tras el choque cero, igual que su energía cinética. Toda la energía cinética se perdería (figura 7.14).

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¿Qué sucede cuando rebotan las bolas de billar? Cuando las bolas de billar chocan entre sí se pierde muy poca energía. (El tiempo invertido en jugar billar puede justificarse como una forma de física experimental. ¡Tu intuición respecto

vi Elástica vf = vi vf

Perfectamente inelástica

vi

vf = 0

7.14 Una colisión elástica y una colisión perfectamente inelástica de una pelota con una pared. La pelota golpea la pared en la colisión perfectamente inelástica.

figura

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132

Capítulo 7

Impulso y cantidad de movimiento

a las colisiones inelásticas puede mejorar!) Las colisiones son básicamente elásticas. La cantidad de movimiento y la energía cinética se conservan en la mayor parte de los choques de bolas de billar. Cuando dos objetos chocan —digamos, las bolas de billar que rebotan entre sí—, debemos lidiar con dos velocidades finales en vez de una. Podemos calcular fácilmente la cantidad de movimiento total del sistema antes y después de la colisión a partir de que sabemos los valores iniciales de la cantidad de movimiento de los objetos. Sin embargo, se necesita más información para determinar las velocidades individuales de los cuerpos tras la colisión, ya que un valor resulta insuficiente para determinar dos velocidades desconocidas. (De aquí que el caso de la colisión perfectamente inelástica, donde los cuerpos se mantienen juntos, sea particularmente fácil de analizar.) En una colisión elástica, la conservación de la energía proporciona información adicional. Para las bolas de billar, el caso más simple es el de la bola blanca que choca de frente con una segunda bola que no estaba en movimiento antes de ser golpeada (la bola 11 de la figura 7.15). ¿Qué sucede? Si el efecto es un factor menor en el choque, la bola blanca se queda parada en el impacto y la bola 11 se mueve hacia adelante a una velocidad igual a la de la bola blanca antes del choque. Si la bola 11 adquiere la misma velocidad que la bola blanca tenía antes del choque, también tiene la misma cantidad de movimiento mv que la cantidad de movimiento inicial de la bola blanca, ya que ambas bolas tienen la misma masa. La cantidad de movimiento se conserva. La energía cinética también se conserva. La bola blanca tenía una energía cinética de ½mv2 antes del choque. Después, su velocidad y su energía cinética son de cero, pero la bola 11 tiene ahora una energía cinética de ½mv2, pues su masa y rapidez son iguales a las de la bola blanca antes de la colisión. Debido a las masas iguales de las dos bolas, la única forma en que la cantidad de movimiento y la energía cinética se conserven es que la bola blanca se detenga y la bola 11 se mueva hacia delante con la misma cantidad de movimiento y energía cinética que tenía la bola blanca antes del choque. Cualquier jugador de billar conoce este efecto. El mismo fenómeno interviene en la conocida demostración de la bola que oscila que a menudo se ve como artículo decorativo en los escritorios (figura 7.16). Una fila de bolas de

p1

figura 7.16

El aparato de bolas oscilantes es un ejemplo de colisiones aproximadamente elásticas.

acero cuelga por medio de hilos de un marco de metal o madera. Si una bola se jala hacia atrás y se suelta, el choque con las demás bolas da como resultado que una sola bola en el otro extremo de la cadena se mueva hacia fuera a la misma velocidad que la primera bola justo antes del choque. Tanto la cantidad de movimiento como la energía cinética se conservan. Si se jalan dos bolas hacia atrás y se sueltan, dos bolas vuelan hacia fuera por el lado opuesto de la fila después del choque. De nuevo, a partir de este resultado podemos ver que la cantidad de movimiento y la energía cinética se conservan. Puedes explorar una variedad de otras combinaciones. Este juego puede ser divertido y adictivo. Las colisiones entre esferas sólidas, como las bolas de billar o las de acero del aparato que acabamos de describir, en general serán más o menos elásticas. Sin embargo, la mayoría de las colisiones que implican objetos cotidianos son inelásticas, hasta cierto punto. Parte de la energía cinética se pierde. No obstante, la cantidad de movimiento se conserva, y lo que nos interesa son los valores de la cantidad de movimiento y la velocidad justo antes e inmediatamente después de la colisión. La conservación de la cantidad de movimiento es la principal herramienta para comprender las colisiones. Las fuerzas externas pueden ignorarse durante el breve periodo del choque, cuando las fuerzas de colisión son dominantes y se aplica la ley de la conservación de la cantidad de movimiento. La energía cinética también puede conservarse si la colisión es elástica, como ocurre aproximadamente con las bolas de billar u otras esferas sólidas. La mayoría de las colisiones en las que participan cuerpos conocidos son parcialmente inelásticas e implican cierta pérdida de energía. La mayor parte de la energía se pierde en las colisiones perfectamente inelásticas en las que los cuerpos permanecen unidos.

p2

7.5 Colisiones en cierto ángulo

7.15 Un choque de frente entre la bola blanca y la bola 11 inicialmente en reposo. La bola blanca se detiene y la bola 11 se mueve hacia adelante.

figura

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¿Qué sucede cuando objetos como bolas de billar o automóviles chocan en cierto ángulo en vez de hacerlo de frente? Algunas aplicaciones interesantes de la conservación de la

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7.5 Colisiones en cierto ángulo

cantidad de movimiento surgen cuando el movimiento no queda confinado a una línea recta. Es más evidente que esta cantidad de movimiento es un vector cuando los objetos se mueven con libertad en dos dimensiones. Las bolas en una mesa de billar, los automóviles que chocan en un crucero o los jugadores de futbol americano que se taclean, todos ellos brindan ejemplos interesantes.

133

s

/ g •m k 3

58

p2 = 300 kg•m/s

31° p1 = 500 kg•m/s

figura 7.18 Una colisión inelástica bidimensional Dos jugadores de futbol americano, que originalmente viajan en ángulo recto uno respecto al otro, chocan y se quedan juntos, como en la figura 7.17. ¿Cuál será la dirección de su movimiento después del choque? ¿Cómo aplicamos la conservación de la cantidad de movimiento en este caso bidimensional? En la figura 7.17, suponemos que ambos jugadores tienen la misma masa y rapidez iniciales que en nuestro ejemplo anterior (sección 7.2), pero ya no tenemos una colisión de frente. La cantidad de movimiento del defensa ahora se desplaza por lo ancho del campo mientras el corredor se dirige a la meta. Puesto que la cantidad de movimiento es un vector, debemos añadir vectores de la cantidad de movimiento individual del corredor y el defensivo para obtener la cantidad de movimiento total del sistema antes de la colisión. Esto puede hacerse muy fácilmente mediante un diagrama de vectores trazados a escala. Luego se suman los vectores gráficamente como ya lo hemos hecho. Como se muestra en la figura 7.18, la cantidad de movimiento total del sistema antes del choque es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado al sumar los dos vectores de la cantidad de movimiento. Si la cantidad de movimiento se conserva durante el choque, la cantidad de movimiento total de los dos jugadores después de ello será igual a la cantidad de movimiento total antes de la colisión. Como los dos jugadores se mueven juntos tras la tacleada, viajarán en la dirección del vector de la cantidad de movimiento total en la figura 7.18 (repasa en el apéndice C

p1 = 500 kg•m/s

ángulo recto.

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la suma de vectores.) La dirección del movimiento de los jugadores cambia como resultado de la colisión. La mayor cantidad de movimiento del corredor antes del choque dicta que la dirección final del movimiento será más hacia la meta que a hacia la línea lateral, pero tendrá algo de las dos. Este resultado tiene sentido intuitivo si te imaginas como uno de los jugadores. La dirección final del movimiento de los jugadores tras el choque depende de los valores de su cantidad de movimiento un momento antes. Si el defensivo fuera más grande o se moviera más rápido de lo que supusimos originalmente, tendría una cantidad de movimiento mayor y su tacleada produciría un cambio más impresionante en la dirección del movimiento del corredor. Por otra parte, si es pequeño y se mueve lentamente, su efecto en la dirección del corredor será menor. El ajuste del tamaño de la flecha de la cantidad de movimiento p2, es decir, la cantidad de movimiento del defensivo de la figura 7.18, ilustra estos cambios. El cuadro de fenómenos cotidianos 7.1 describe una situación parecida. Dos automóviles que se aproximan a un crucero en ángulo recto chocan y se mantienen unidos. Al repasar los hechos a partir de la información respecto a la dirección final del viaje, la investigadora puede obtener conclusiones acerca de las velocidades iniciales de los autos. La conservación de la cantidad de movimiento es sumamente importante en el análisis de accidentes.

¿Qué ocurre en las colisiones elásticas bidimensionales? p2 = 300 kg•m/s

figura 7.17

La cantidad de movimiento total de los dos jugadores de futbol americano antes del choque es la suma de sus vectores de la cantidad de movimiento individuales.

El corredor y el defensivo se aproximan en un

Después de chocar las bolas de billar chocan no permanecen juntas: cuando los objetos rebotan debemos analizar dos velocidades finales en diferentes direcciones. Aun cuando muchos choques reales son como éste, el análisis es más complicado que el de los ejemplos perfectamente inelásticos estudiados. Se necesita más información para predecir las velocidades finales. No obstante, si sabemos que la colisión es elástica, la conservación de la energía cinética puede proporcionarla La física experimental sobre la mesa de billar se evidencia de nuevo con un ejemplo interesante (y uno de valor práctico para cualquier jugador de billar). Imagina que la bola blanca golpea la bola 11, que está en reposo, en cierto ángulo (descentrado), como en la figura 7.19. ¿Qué pasa con las dos bolas

21/10/07 10:17:01

134

Capítulo 7

Impulso y cantidad de movimiento

fenómenos cotidianos

cuadro 7.1

Choque de automóviles

Principal

Situación. La oficial Jones está investigando el choque de dos autos en el crucero de la calle Principal y la avenida Diecinueve. La conductora A viajaba al este sobre la avenida Diecinueve cuando fue golpeada lateralmente por el conductor B, que iba hacia el norte sobre la calle Principal. Los dos automóviles se mantuvieron juntos después de la colisión y terminaron contra el poste de luz de la esquina noreste del crucero. Los dos conductores aseguran que arrancaron cuando la luz en su dirección cambió a verde y luego chocaron con el otro conductor, quien tenía la luz roja y aceleraba. No hay otros testigos. ¿Cuál conductor dice la verdad?

Farol

vA

Después de trazar el diagrama y tomar nota del vector de la cantidad de movimiento final, la oficial Jones concluye que B miente. ¿Por qué? El vector de la cantidad de movimiento final debe ser igual a la suma de los vectores de la cantidad de movimiento inicial de ambos automóviles antes del choque. Como los autos viajaban formando un ángulo recto entre sí, los dos vectores de la cantidad de movimiento inicial forman los lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la cantidad de movimiento total del sistema. El diagrama muestra con claridad que la cantidad de movimiento del auto B debe haber sido considerablemente mayor que la del auto A.

Principal

Av. 19

4. La conservación de la cantidad de movimiento debe determinar la dirección del vector de la cantidad de movimiento después del choque.

vf

Farol

Av. 19

pA pB

vB

pT

N E

N

Choque en la calle Principal y la avenida Diecinueve

Análisis. La oficial Jones, quien tomó un curso de física en la universidad y se capacitó en el arte de la investigación de accidentes, toma estas notas: 1. El punto de impacto está bien marcado por los fragmentos de vidrio de los faros del automóvil B y otros restos. La oficial Jones señala este punto en el diagrama en su informe del accidente. 2. La dirección en que viajan los dos automóviles después del impacto también es obvia. Lo señala mediante una línea dibujada desde el punto de impacto hasta el lugar donde quedaron al final los automóviles. 3. Los dos automóviles tiene más o menos la misma masa (los dos son compactos, aproximadamente del mismo año y tamaño).

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E

El informe del accidente de la oficial Jones contiene un diagrama de vectores derivado de la conservación de la cantidad de movimiento.

Como los dos conductores afirmaban haber arrancado desde un alto total después de que la señal de tránsito cambió, el que tenía mayor velocidad antes de la colisión no describe los hechos tal como sucedieron. El conductor B iba a más velocidad y es de suponer que iba acelerando con la luz roja. Por tanto, es declarado responsable por la oficial Jones.

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7.5 Colisiones en cierto ángulo

después de la colisión? Los efectos combinados de la conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la energía cinética conducen a un resultado único conocido por los jugadores de billar profesionales. La cantidad de movimiento inicial del sistema es simplemente la de la bola blanca, la única que está en movimiento. Su dirección se indica por medio de la flecha etiquetada p1 en la figura 7.19 y los trazos de la figura 7.20. La fuerza de interacción (y el impulso) entre las dos bolas va a lo largo de una línea que une sus dos centros en el punto de impacto. La bola 11 se mueve hacia fuera a lo largo de su línea debido a que la fuerza de contacto la empuja en esa dirección. La cantidad de movimiento total del sistema después del choque debe estar aún en la dirección de la cantidad de movimiento inicial, ya que la cantidad de movimiento se conserva en la colisión. La conservación de la cantidad de movimiento también restringe la cantidad de movimiento posible y la dirección del movimiento de la bola blanca después de la colisión (figura 7.20). Los vectores de la cantidad de movimiento de las dos bolas tras el impacto se suman aquí para dar la cantidad de movimiento total del sistema ptotal, que debe ser igual en magnitud y dirección a la cantidad de movimiento inicial del sistema. Como la colisión es elástica, la energía cinética inicial de la bola blanca ½mv2, también debe ser igual a la suma de las energías cinéticas de las dos bolas después de la colisión. Como las masas de ambas bolas son iguales, la conservación de la energía cinética en la colisión requiere que*

135

pi

figura 7.19

La bola blanca se dirige a un punto que no está en el centro de la bola 11 para producir una colisión angular.

p1

pi

v2 = (v1)2 + (v2)2 donde v es la rapidez de la bola blanca antes del choque y v1 y v2 la rapidez de las dos bolas después de éste. Los vectores de la velocidad crean un triángulo como el formado por los vectores de la cantidad de movimiento en la figura 7.20. Si la suma de los cuadrados de los dos lados es igual al cuadrado del tercer lado del triángulo, este triángulo ha de ser un rectángulo, de acuerdo con el teorema de Pitágoras de la geometría plana. Si los vectores de la velocidad forman un triángulo rectángulo, también lo hacen los vectores de la cantidad de movimiento, los cuales tienen las mismas direcciones que los correspondientes vectores de la velocidad. La conservación de la cantidad de movimiento requiere que los vectores de la cantidad de movimiento se sumen para formar un triángulo, pero la conservación de la energía cinética dicta que se trata de un triángulo rectángulo. La bola blanca se moverá hacia fuera en un ángulo recto (90°) en la dirección del movimiento de la bola 11 después de la colisión. Si juegas billar, éste es un aspecto importante al planear tu siguiente tiro. La conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la energía cinética deben determinarlo. Si tienes una mesa de billar a la mano, prueba estas conclusiones usando diversos ángulos de impacto (canicas o ba1

1

1

* La conservación de la energía cinética requiere que 2 mv2 = 2 m(v1)2 + 2 m(v2)2, 1 pero la masa y el factor 2 se cancelan mutuamente en la ecuación.

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p2 Antes

Durante

Después

p1 p2

pi = pt

ota

l

Suma de vectores

figura 7.20

Los vectores de la cantidad de movimiento de las dos bolas después de la colisión se suman para dar la cantidad de movimiento (inicial) total del sistema. Las direcciones de las bolas forman aproximadamente ángulos rectos después de chocar.

lines de acero también funcionan para la prueba). Tal vez no obtengas ángulos de 90° perfectos después de la colisión: ésta no es perfectamente elástica, y el efecto a veces puede tener influencia. No obstante, el ángulo formado por las dos velocidades estará casi siempre a muy poco de ser recto. Ver para creer: haz la prueba.

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136

Capítulo 7

Impulso y cantidad de movimiento

restricción. Si puedes imaginar la dirección y magnitud del vector de la cantidad de movimiento original, te formarás una idea del resultado. Estas leyes de la conservación son elementos de predicción poderosos de lo que ocurre cuando las personas, las bolas de billar, los automóviles e incluso las partículas subatómicas o las estrellas chocan.

La conservación de la cantidad de movimiento requiere que tanto la dirección como el tamaño del vector de la cantidad de movimiento se conserven. Cuando las colisiones ocurren encierto ángulo, esta condición restringe la dirección y velocidad de los movimientos resultantes. Si la colisión es elástica, como con las bolas de billar, la conservación de la energía añade otra

resumen En este capítulo redefinimos la segunda ley de Newton del movimiento en términos del impulso y la cantidad de movimiento para describir interacciones entre los cuerpos tales como las colisiones, que implican grandes fuerzas de interacción que actúan durante intervalos de tiempo muy breves. El principio de conservación de la cantidad de movimiento, el cual se deduce de la segunda y tercera leyes de Newton, tiene en ello un papel central.

res de la cantidad de movimiento final de los dos cuerpos son iguales en tamaño pero opuestos en dirección.

p2

p1

1

Cantidad de movimiento e impulso. La segunda ley de Newton puede redefinirse en términos de la cantidad de movimiento y el impulso para expresar que el impulso neto que actúa sobre un cuerpo es igual al cambio en su cantidad de movimiento. El impulso se define como la fuerza media que actúa sobre un cuerpo multiplicada por el tiempo durante el que actúa la fuerza. La cantidad de movimiento se define como la masa de un cuerpo por su velocidad. Impulso

Δp

p2 = –p1

4

Colisiones elásticas e inelásticas. Una colisión perfectamente inelástica es aquella en la que los cuerpos permanecen juntos después de chocar. Si es posible ignorar las fuerzas externas, la cantidad de movimiento total se conserva. Una colisión elástica es aquella en la que la energía cinética total también se conserva.

FnetaΔt = Δp, p = mv vi

de la cantidad de movimiento. La 2segundaConservación y tercera leyes de Newton se combinan para producir el principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza neta externa que actúa en un sistema es cero, su cantidad de movimiento total es constante. Antes

Después

P

P

vi

vf Elástica

Perfectamente inelástica

en cierto ángulo. La conservación de la 5cantidadColisiones de movimiento no se restringe al movimiento unidimensional. Cuando los cuerpos cochan en cierto ángulo, la cantidad de movimiento total del sistema antes y después del impacto se obtiene sumando los vectores de la cantidad de movimiento de cada cuerpo.

Si Fexterna = 0 Ptotal = constante

pf

Antes

3

Retroceso. Si una explosión o empujón ocurre entre dos cuerpos inicialmente en reposo, la conservación de la cantidad de movimiento dicta que la cantidad de movimiento total después del suceso aún debe ser cero si no hay una fuerza externa neta. Los vecto-

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Después pf = pi

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Preguntas

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conceptos clave impulso, 124 cantidad de movimiento, 124 principio de impulso y cantidad de movimiento, 125

conservación de la cantidad de movimiento, 126 retroceso, 129 colisión perfectamente inelástica, 130

colisión elástica, 130 colisión parcialmente inelástica, 131

consejo de estudio Con excepción de los ejemplos en que interviene el impulso, la mayoría de las situaciones descritas en este capítulo ponen énfasis en el principio de conservación de la cantidad de movimiento. Las ideas básicas usadas en la aplicación de la conservación de la cantidad de movimiento son las siguientes:

de movimiento después del suceso pfinal. La cantidad de movimiento se conserva, no cambia. 3. La igualdad de la cantidad de movimiento antes y después del suceso puede aprovecharse para obtener otra información sobre el movimiento de los cuerpos.

1. Se supone que las fuerzas externas son mucho menores que las grandes fuerzas de interacción en una colisión u otro suceso breve. Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema pueden ignorarse, la cantidad de movimiento se conserva. 2. La cantidad de movimiento total del sistema antes de la colisión u otra interacción breve pinicial es igual a la cantidad

Como repaso, lee de nuevo cómo se utilizan estos tres aspectos en los ejemplos de este capítulo. La cantidad de movimiento total del sistema antes y después del suceso siempre se calcula sumando los valores de la cantidad de movimiento de los cuerpos individuales como vectores. Debes poder describir la magnitud y la dirección de esta cantidad de movimiento total en cada ejemplo.

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P7. ¿Existe una ventaja de seguir el movimiento con el bate después de golpear la pelota de béisbol, manteniendo de ese modo un contacto mayor entre el bate y la bola? Explica por qué.

P1. ¿El tiempo en que una fuerza actúa sobre un cuerpo ejerce algún efecto en la intensidad del impulso producido? Explica por qué.

P8. ¿Cuál es la ventaja de un tablero de control acolchado sobre uno rígido para reducir las lesiones durante un choque? Explícalo usando los conceptos de cantidad de movimiento e impulso.

P2. Dos fuerzas producen impulsos iguales, pero la segunda actúa durante el doble de tiempo que la primera. ¿Cuál fuerza, si es que alguna, es mayor? Explica por qué. P3. ¿Es posible que una pelota de béisbol tenga una cantidad de movimiento tan grande como una bola de boliche, que tiene mayor masa? Explica por qué. P4. ¿Impulso y fuerza son lo mismo? Explica por qué. P5. ¿Impulso y cantidad de movimiento son lo mismo? Explica por qué. P6. Si una pelota rebota en una pared de modo que su velocidad de regreso tiene la misma magnitud que antes de rebotar: a) ¿Hay un cambio en su cantidad de movimiento? Explica por qué. b) ¿Existe un impulso que actúa sobre ella durante su choque con la pared? Explica por qué.

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P9. ¿Cuál es la ventaja de una bolsa de aire en la reducción de lesiones durante un choque? Explícalo en función de los conceptos de impulso y cantidad de movimiento. *P10. Si una bolsa de aire se infla con demasiada rapidez y firmeza durante una colisión, a veces puede hacer más daño en los choques de baja velocidad. Explícalo usando los conceptos de impulso y cantidad de movimiento. P11. Si atrapas una pelota de béisbol o de softball con la mano desnuda, ¿la fuerza ejercida sobre ella por la pelota se reducirá si jalas tu brazo hacia atrás? Explica por qué. P12. Un camión y una bicicleta se mueven lado a lado a la misma velocidad). ¿Cuál de ellos, si es que alguno, requerirá el impulso mayor para detenerlo por completo? Explica por qué.

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Capítulo 7

Impulso y cantidad de movimiento

P13. ¿El principio de conservación de la cantidad de movimiento siempre es válido, o hay condiciones especiales para que lo sea? Explica por qué. P14. Una pelota se acelera hacia abajo por un plano inclinado fijo por la influencia de la fuerza de gravedad. ¿Su cantidad de movimiento se conserva en el proceso? Explica por qué. P15. Dos objetos chocan en condiciones en las que la cantidad de movimiento se conserva. ¿La cantidad de movimiento de cada cuerpo se conserva en el choque? Explica por qué. P16. ¿Qué leyes de Newton del movimiento están implicadas en la justificación del principio de conservación de la cantidad de movimiento? Explica por qué. *P17. Un automóvil compacto y un camión grande chocan de frente. Durante la colisión, ¿qué vehículo, si es que alguno, experimenta: a) la mayor fuerza de impacto? Explica por qué. b) el mayor impulso? Explica por qué. c) el cambio mayor en la cantidad de movimiento? Explica por qué. d) la aceleración mayor? Explica por qué. P18. Un corredor de futbol americano choca de frente, en el aire, con un defensa profundo, más ligero. Si los jugadores se mueven juntos siguiendo el movimiento de la colisión, ¿es posible que el corredor sea arrojado hacia atrás? Explica por qué. P19. Dos patinadoras, inicialmente en reposo, se empujan entre sí. ¿Cuál es la cantidad de movimiento total del sistema después de eso? Explica por qué. P20. Dos escopetas son idénticas en todo (incluido el tamaño del cartucho disparado) excepto en que una tiene el doble de masa de la otra). ¿Cuál tenderá a retroceder a mayor velocidad cuando se dispara? Explica por qué. *P21. Cuando un cañón montado firmemente sobre un bote grande se dispara, ¿la cantidad de movimiento se conserva? Explica por qué; al hacerlo procura definir con claridad el sistema que estás considerando. P22. ¿Es posible que un cohete funcione en el espacio exterior (en el vacío) donde no haya nada contra lo cual empujar excepto él mismo? Explica por qué. P23. Imagina que estás parado en una superficie que es tan resbaladiza que no logras tener tracción en lo absoluto para moverte por ella. Por fortuna, llevas una bolsa de naranjas. Explica cómo lograrías desplazarte. P24. Un vagón de ferrocarril colisiona y se engancha con un segundo vagón que aún está parado. Si se ignoran las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, su velocidad después de la colisión es igual, mayor o menor que la velocidad del primer vagón antes del choque? Explica por qué.

*P28. Una pelota rebota hacia fuera de una pared que está sujeta firmemente a la tierra. a) ¿La cantidad de movimiento de la pelota se conserva en este proceso? Explica por qué. b) ¿La cantidad de movimiento del sistema se conserva? Explica por qué, procurando esclarecer cómo defines el sistema. P29. Una bola blanca golpea la bola ocho, de igual masa, que se halla en reposo. La bola blanca se detiene y la bola ocho se mueve hacia delante a una velocidad igual a la inicial de la bola blanca. ¿La colisión es elástica? Explica por qué. P30. Dos bultos de barro que viajan por el aire en direcciones opuestas chocan y se mantienen juntos. En el diagrama de abajo se muestran sus vectores de la cantidad de movimiento antes de la colisión. Traza el vector de la cantidad de movimiento de los bultos de barro combinados tras el impacto, con una longitud y dirección apropiadas para la situación. Explica el resultado. 1

p1

p2

2

P31. Dos bultos de barro, con masas iguales, viajan por el aire en un ángulo recto entre sí y a igual velocidad. Chocan y permanecen juntos. ¿Es posible que su vector de la velocidad tras el choque quede en la dirección mostrada en el diagrama? Explica por qué. Antes v3

v1

Después

v2

P32. Dos automóviles de igual masa chocan en ángulo recto en un crucero. En el diagrama se muestra la dirección de su movimiento después del choque. ¿Cuál automóvil tenía mayor velocidad antes del choque? Explica por qué.

A v B

P25. ¿La colisión de la pregunta 24 es elástica, parcialmente inelástica o perfectamente inelástica? Explica por qué. P26. Si la cantidad de movimiento se conserva en una colisión, ¿esto indica de manera concluyente que es elástica? Explica por qué. P27. Una pelota rebota en una pared a una velocidad cuya magnitud es menor a la que tenía antes de estrellarse. ¿La colisión es elástica? Explica por qué.

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P33. Un automóvil y un camión pequeño que viajan en ángulo recto entre sí a la misma rapidez chocan y se mantienen unidos. La masa del camión es apenas el doble que la del auto. Traza un esquema de la dirección de su vector de la cantidad de movimiento inmediatamente después de la colisión. Explica el resultado.

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Ejercicios *P34. Una bola blanca golpea de refilón contra una segunda bola de billar inicialmente en reposo. Traza un esquema de la situación donde indiques las magnitudes y direcciones de los vectores de la cantidad de movimiento de cada bola antes y después del impacto.

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c) ¿El marinero de este dibujo estaría mejor con la vela recogida (abajo) o sin recoger (arriba)? Explica por qué.

*P35. Imagina que en un día completamente tranquilo, un entusiasta del velero decide traer un poderoso ventilador que funciona con baterías para formar una corriente de aire para su vela, como muestra el diagrama. a) ¿Cuáles son las direcciones del cambio en la cantidad de movimiento del aire en el ventilador y en la vela? b) ¿Cuáles son las direcciones de las fuerzas que actúan sobre el ventilador y sobre la vela debido a esos cambios en la cantidad de movimiento?

ejercicios E1. Una fuerza media de 300 N actúa durante un intervalo de 0.04 s sobre una pelota de golf. a) ¿Cuál es la magnitud del impulso que actúa sobre la pelota? b) ¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento de la pelota? E2. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de un automóvil de 1200 kg que viaja a una rapidez de 27 m/s (60 mi/h)? E3. Una bola de boliche tiene una masa de 6 kg y una rapidez de 1.5 m/s. Una pelota de béisbol tiene una masa de 0.12 kg y una rapidez de 40 m/s. ¿Cuál pelota tiene la mayor cantidad de movimiento? E4. Una fuerza de 45 N actúa sobre una pelota durante 0.2 s. Si la pelota está inicialmente en reposo: a) ¿Cuál es el impulso sobre ella? b) ¿Cuál es su cantidad de movimiento final? E5. Una pelota de 0.12 kg que viaja a una rapidez de 40 m/s llega al reposo en la manopla del cátcher. ¿Cuál es el tamaño del impulso ejercido por la manopla sobre la pelota? E6. Una pelota experimenta un cambio en la cantidad de movimiento de 24 kg·m/s. a) ¿Cuál es el impulso que actúa sobre ella? b) Si el tiempo de interacción es 0.15 s, ¿cuál es la magnitud de la fuerza media que actúa sobre ella? E7. Un pasajero de 60 kg sentado en el asiento delantero de un automóvil que se mueve inicialmente a una rapidez de 18 m/s (40 mi/h) es llevado al reposo por una bolsa de aire en un tiempo de 0.4 s.a. a) ¿Cuál es el impulso que actúa sobre él? b) ¿Cuál es la fuerza media que actúa sobre él en este proceso? E8. Una pelota que viaja con una cantidad de movimiento inicial de 2.5 kg·m/s rebota hacia fuera de una pared y regresa en dirección opuesta con una cantidad de movimiento de –2.5 kg·m/s.

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a) ¿Cuál es el cambio en su cantidad de movimiento? b) ¿Qué impulso se requeriría para producir tal cambio? E9. Una pelota que viaja con una cantidad de movimiento inicial de 4.0 kg·m/s rebota hacia fuera de una pared y regresa en dirección opuesta con una cantidad de movimiento de –3.5 kg·m/s. a) ¿Cuál es el cambio en su cantidad de movimiento? b) ¿Qué impulso se requiere para producir tal cambio? E10. Un corredor de futbol americano con una masa de 100 kg y una velocidad de 3.5 m/s con dirección oeste choca de frente con un defensivo profundo que tiene una masa de 80 kg y una velocidad de 6 m/s con dirección este. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento inicial de cada jugador? b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento total del sistema antes de la colisión? c) Si se mantienen juntos y se pueden ignorar las fuerzas externas, ¿en qué dirección viajarán inmediatamente después de chocar? E11. Un patinador con una masa de 80 kg empuja hacia fuera a otro patinador que tiene una masa de 32 kg. Ambos están inicialmente en reposo. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento total del sistema después del empujón? b) Si el patinador más grande se mueve hacia fuera a una rapidez de 3 m/s, ¿cuál es la rapidez correspondiente del patinador más pequeño? E12. Un rifle con una masa de 1.2 kg dispara una bala que tiene una masa de 6.0 g (0.006 kg). La bala se mueve a una velocidad de salida de 600 m/s después de ser disparada. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento de la bala después de ser disparada? b) Si las fuerzas externas que actúan sobre el rifle pueden ignorarse, ¿cuál es su velocidad de retroceso? El3. Un cohete espacial en reposo en el espacio hace una breve explosión en uno de sus motores, disparando 50 kg de gas del tubo de escape a una velocidad media de 400 m/s. ¿Cuál es

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Capítulo 7

Impulso y cantidad de movimiento

el cambio en la cantidad de movimiento del cohete durante esa explosión? E14. Un vagón de ferrocarril con una masa de 12 000 kg choca y se engancha con un segundo vagón que tiene una masa de 18 000 kg y está en reposo. El primer vagón se mueve a una rapidez de 12 m/s antes de la colisión. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento inicial del primer vagón? b) Si las fuerzas externas pueden ignorarse, ¿cuál es la velocidad final de los dos vagones después de engancharse? E15. Para los vagones de ferrocarril del cuadro de ejemplo 7.4: a) ¿Cuál es la energía cinética del vagón 5 antes de la colisión? b) ¿Cuál es la energía cinética de los cinco vagones después de la colisión? c) ¿Se conserva la energía en esta colisión? E16. Un camión de 4 000 kg que viaja a una velocidad de 10 m/s con dirección norte choca de frente con un vagón de 1200 kg

que viaja a una velocidad de 20 m/s con dirección sur. Los dos vehículos se mantienen juntos tras el choque. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento de cada vehículo antes de chocar? b) ¿Cuál es el tamaño y la dirección de la cantidad de movimiento total de los dos vehículos después del choque? E17. Para los dos vehículos del ejercicio 16: a) Traza un esquema de los vectores de la cantidad de movimiento de los dos vehículos antes del choque. b) Suma gráficamente los dos vectores de tu esquema. E18. Un camión con una masa de 4 000 kg que viaja a una rapidez de 10 m/s choca en ángulo recto con un automóvil que tiene una masa de 1 500 kg y viaja a una rapidez de 20 m/s. a) Traza un esquema a escala apropiada donde indiques las direcciones de los vectores de la cantidad de movimiento de cada vehículo antes del choque. b) Mediante el método gráfico, suma los vectores de la cantidad de movimiento para obtener la cantidad de movimiento total del sistema antes del choque.

problemas de síntesis PS1. Una bola rápida lanzada a una velocidad de 40 m/s (aproximadamente 90 mi/h) es golpeada por un bate de béisbol y regresa al pitcher a una velocidad de 60 m/s. La pelota está en contacto con el bate sólo 0.04 s y tiene una masa de 120 g (0.120 kg). a) ¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento de la pelota durante el proceso? b) ¿El cambio en la cantidad de movimiento es mayor que la cantidad de movimiento final? Explica por qué. c) ¿Cuál es la magnitud del impulso requerido para producir este cambio en la cantidad de movimiento? d) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza media que actúa sobre la pelota para producir tal impulso? PS2. Una bala se dispara hacia un bloque de madera que está sobre un bloque de hielo. La bala tiene una velocidad inicial de 500 m/s y una masa de 0.005 kg. El bloque de madera tiene una masa de 1.2 kg y está en reposo. La bala se queda incrustada en el bloque de madera. a) Suponiendo que la cantidad de movimiento se conserva, calcula la velocidad del bloque de madera y de la bala después de la colisión. b) ¿Cuál es la magnitud del impulso que actúa sobre el bloque de madera en el proceso? c) ¿El cambio en la cantidad de movimiento de la bala es igual al del bloque de madera? Explica por qué. PS3. Considera dos casos en los que la misma pelota se lanza contra una pared a la misma velocidad inicial. En el caso A, la pelota golpea la pared y no rebota. En el caso B, la pelota rebota hacia atrás a la misma rapidez con que llegó. a) ¿En cuál de estos dos casos el cambio en la cantidad de movimiento es mayor? b) Suponiendo que el tiempo durante el que la cantidad de movimiento cambia es aproximadamente el mismo para

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los dos casos, ¿en cuál de ellos está implicada la mayor fuerza media? c) ¿La cantidad de movimiento se conserva en esta colisión? Explica por qué. PS4. Un automóvil que viaja a una rapidez de 18 m/s (aproximadamente 40 mi/h) choca contra una pared de concreto. El conductor tiene una masa de 90 kg. a) ¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento del conductor cuando llega a detenerse? b) ¿Qué impulso se requiere para producir tal cambio en la cantidad de movimiento? c) ¿Cómo difieren la aplicación y la magnitud de esta fuerza en dos casos: el primero, en el cual el conductor usa el cinturón de seguridad, y el segundo, en el que no lo usa y se detiene el estrellarse contra el parabrisas y el árbol de dirección? ¿Cambiará el tiempo de acción de la fuerza que logra detenerlo? Explica por qué. PS5. Un automóvil de 1500 kg que viaja hacia el norte a una rapidez de 25 m/s choca de frente con un camión que viaja con dirección sur a una rapidez de 15 m/s. Los dos vehículos se matienen unidos después del choque. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento total del sistema antes del choque? b) ¿Cuál es la velocidad de los dos vehículos justo después de la colisión? c) ¿Cuál es la energía cinética total del sistema antes de la colisión? d) ¿Cuál es la energía cinética total justo después de la colisión? e) ¿La colisión es elástica? Explica por qué.

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Experimentos y observaciones para el hogar

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experimentos y observaciones para el hogar EC1. Toma dos canicas o balines de acero del mismo tamaño y practica disparando una contra la otra. Observa: a) Si produces una colisión de frente con la misma segunda canica que inicialmente estaba en reposo, ¿la primera canica se detiene completamente después de la colisión? b) Si la colisión con una segunda canica ocurre en cierto ángulo, ¿las trayectoras de las dos canicas después de chocar forman un ángulo recto (de 90°)? c) Si se usan canicas de diferente tamaño y masa, ¿cómo difieren los resultados de los incisos a y b de los obtenidos con canicas de la misma masa? EC2. Si tienes acceso a una mesa de billar, haz pruebas sobre ella con base en los inicisos a y b del experimento 1. ¿Qué sucede en las colisiones si se pone efecto a la primera bola? EC3. Si tienes una pelota de básquetbol y una de tenis, trata de soltarlas hacia un piso de superficie dura, primero por separado y luego juntas, con la pelota de tenis encima de la de básquetbol. a) Compara la altura del rebote de cada pelota en cada caso. El caso donde las dos pelotas se sueltan juntas puede sorprenderte.

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b) ¿Puedes explicar estos resultados usando el impulso y la tercera ley de Newton? (Considera la fuerza entre la pelota de básquetbol y el piso, así como entre la pelota de tenis y la de básquetbol para el caso en que se sueltan juntas.) EC4. Coloca una caja de cartón sobre un piso liso de losetas o de madera. Practica a rodar una pelota de básquetbol o una pelota de soccer a diferente rapidez, permitiendo que la pelota choque con la caja. Observa el movimiento de ambas, pelota y caja, justo después del choque. a) ¿Cómo varían los resultados del choque para la distinta rapidez de la pelota (lenta, media, rápida)? b) Si aumentamos el peso de la caja colocando libros dentro, ¿cómo cambian los resultados de la colisión para los casos del inciso a? c) ¿Puedes explicar tus resultados en términos de la conservación de la cantidad de movimiento?

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Movimiento rotacional de cuerpos rígidos esquema del capítulo

1

capítulo

unidad uno

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descripción del capítulo Primero consideramos qué conceptos son necesarios para describir el movimiento rotacional, para lo cual utilizamos el ejemplo de un tiovivo mecánico y hacemos una analogía entre los movimientos lineal y rotacional. Luego pasamos a las causas del movimiento rotacional, que supone una forma modificada de la segunda ley de Newton. El momento de torsión, la inercia rotacional y la cantidad de movimiento angular se exponen a medida que avanzamos. Nuestro objetivo es ofrecer una imagen clara tanto de la descripción como de las causas del movimiento rotacional. Después de estudiar el capítulo, debes poder predecir qué sucederá en muchos ejemplos comunes de cuerpos que giran o rotan, como los patinadores en hielo y los clavadistas. El mundo de los deportes abunda en ejemplos del movimiento rotacional.

142

2 3

4

5

¿Qué es el movimiento rotacional? ¿Cómo podemos describir el movimiento rotacional? ¿Qué son la velocidad y la aceleración angulares y cómo se relacionan con conceptos similares para describir el movimiento rectilíneo? Momento de torsión y equilibrio. ¿Qué determina si girará un objeto simple, ¿Qué es el momento de torsión y cómo participa para hacer que un cuerpo gire? Inercia rotacional y segunda ley de Newton. ¿Cómo puede adaptarse la segunda ley de Newton para explicar el movimiento de rotación? ¿Cómo describimos la inercia rotacional, es decir, la resistencia de un cuerpo al cambio en el movimiento rotacional? Conservación de la cantidad de movimiento angular. ¿Qué es la cantidad de movimiento angular y cuándo se conserva? ¿Cómo cambian su velocidad rotacional los patinadores o los clavadistas que giran? Paseo en bicicleta y otras proezas sorprendentes. ¿Por qué una bicicleta se mantiene erguida cuando se pedalea pero no cuando está en reposo? ¿Podemos tratar la velocidad angular y la cantidad de movimiento angular como vectores?

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8.1 ¿Qué es el movimiento rotacional?

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E

n el parque que está al lado de la casa del autor hay un tiovivo que gira cuando lo impulsan los niños (figura 8.1). Consta de una plataforma de acero circular montada sobre un soporte que gira sin mucha resistencia a la fricción. Una vez que se pone a girar, sigue haciéndolo. Incluso un niño puede empezar a girarlo y luego saltar en él (y algunas veces caerse). Junto con los columpios, la resbaladilla y los animalitos montados sobre resortes muy resistentes, el tiovivo es un centro de actividad muy frecuentado en el parque. Su movimiento tiene semejanzas y diferencias con los movimientos que ya hemos estudiado. Un niño sentado en él experimenta un movimiento circular; por tanto, algunas de las ideas expuestas en el capítulo 5 sirven aquí. Pero ¿qué sucede con el tiovivo en sí? Desde luego, se mueve, pero no va a ninguna parte. ¿Cómo se describe este movimiento? El movimiento rotacional de cuerpos rígidos como el tiovivo es común: la Tierra que rota, una patinadora que gira, un trompo y una rueda giratoria, todos presentan este tipo de movimiento. Para que la teoría del movimiento de Newton sea útil en términos generales, debe explicar qué ocurre tanto en el movimiento rotacional como en el lineal (en el que un cuerpo se desplaza de un punto a otro en línea recta). ¿Qué causa el movimiento

8.1 ¿Qué es el movimiento rotacional? Una niña empieza a hacer girar el tiovivo descrito en la introducción. Para ello se para junto a él y toma las barras del borde (figura 8.1). Comienza a empujarlo, acelerando mientras camina, hasta que finalmente empieza a correr y el tiovivo gira cada vez más aprisa. ¿Cómo describimos el movimiento rotacional del tiovivo o de la patinadora que gira en hielo? ¿Qué cantidades debemos usar para indicar cuán rápido giran o qué distancia han recorrido al hacerlo?

Desplazamiento y velocidad angulares ¿Cómo medirías con qué rapidez gira el tiovivo? Si te paras a un lado y observas a la niña pasar por donde te hallas, podrías contar el número de revoluciones que da en cierto lapso, medidas con tu reloj. Al dividir el número de revoluciones entre el tiempo en minutos obtendrás la rapidez angular media en revoluciones por minuto (rpm), unidad de uso común para describir la razón de la rotación de motores, ruedas de la fortuna y otros objetos giratorios. Si dices que el tiovivo gira a razón de 15 rpm, describes su rapidez de giro. La razón es análoga a la rapidez o a la velocidad, cantidades empleadas para describir cuán deprisa se mueve un cuerpo en el caso del movimiento rectilíneo. En general usamos el término velocidad angular para describir

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8.1 El tiovivo del parque es un ejemplo de movimiento rotacional. ¿Cómo describimos y explicamos este movimiento?

figura

rotacional? ¿Se puede usar la segunda ley de Newton para explicarlo? Te darás cuenta de que existe una analogía entre el movimiento rectilíneo de los cuerpos y el movimiento rotacional. Esta analogía resulta útil para responder a las preguntas que acabamos de plantear. Si aprovechamos las semejanzas entre el movimiento rotacional y el lineal ahorraremos espacio en nuestras computadoras mentales, con lo que lograremos que el proceso de aprendizaje sea más eficiente.

esa razón de rotación. Las revoluciones por minuto son sólo una de varias unidades para medir esta cantidad. En la medición de la velocidad angular del tiovivo describimos la distancia que gira en revoluciones por minuto o ciclos completos. Imagina que un cuerpo gira menos de una revolución. Podríamos entonces usar una fracción de revolución para describir la distancia que ha girado, pero también podríamos usar un ángulo medido en grados. Como hay 360° en una revolución o ciclo completo, las revoluciones pueden convertirse en grados si multiplicamos por 360°/rev. La cantidad que mide la distancia que ha girado o rotado un cuerpo es un ángulo, con frecuencia llamado desplazamiento angular. Éste puede medirse en revoluciones, grados o en una unidad simple pero menos conocida que se usa en matemáticas y física y que se denomina radián.* Las tres unidades empleadas más a menudo para describir el desplazamiento angular se resumen en la figura 8.2. El desplazamiento angular es análogo

* El radián se define dividiendo la longitud del arco que recorre el punto entre el radio del círculo en el que se desplaza. Por tanto, si el punto sobre la circunferencia de la figura 8.2 se mueve una distancia s a lo largo de la longitud del arco, el número de radianes que hay en este movimiento es s/r, donde r es el radio. Como estamos dividiendo una distancia entre otra, el radián en sí no tiene dimensiones. Además, como la longitud del arco s es proporcional al radio r, no importa el tamaño de radio que elijamos. La razón de s a r será la misma para un ángulo específico. Según la definición de radián, 1 revolución (rev) = 360° = 2π radianes, y 1 radián (rad) = 57.3°.

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144

Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

¿Qué es la aceleración angular?

r 1 revolución = 360° = 2π radianes

s 1 radián = 57.3°

1°

En nuestra descripción original de la niña que empuja el tiovivo, la razón de rotación aumentó a medida que ella corría al lado del juego. Esto supone un cambio en la velocidad angular, que a su vez sugiere el concepto de aceleración angular. La letra griega alfa (α) es el símbolo usado para denotar tal aceleración. Es la primera letra del alfabeto griego y corresponde a la letra a empleada para representar la aceleración lineal. La aceleración angular puede definirse de manera parecida a la lineal (véase el capítulo 2): La aceleración angular es la razón de cambio en la velocidad angular. Se calcula dividiendo el cambio en la velocidad angular entre el tiempo requerido para que ocurra ese cambio,

α =

8.2 Las revoluciones, los grados y los radianes son diferentes unidades para describir el desplazamiento angular del tiovivo.

figura

a la distancia recorrida por un cuerpo en movimiento rectilíneo. Si incluimos la dirección del recorrido, esta distancia a veces se llama desplazamiento lineal. Los símbolos usados para describir las cantidades angulares provienen principalmente del alfabeto griego. Las letras griegas se utilizan para evitar la confusión con otras cantidades representadas con letras de nuestro alfabeto habitual. La letra griega teta (θ ) se usa comúnmente para representar los ángulos (desplazamientos angulares), en tanto que la letra griega omega (ω) se ocupa para denotar velocidades angulares. Las cantidades que acabamos de mencionar para describir el movimiento de un objeto como el tiovivo pueden resumirse como sigue: El desplazamiento angular θ es un ángulo que muestra qué distancia ha girado un cuerpo.

y La velocidad angular ω es la razón de cambio del desplazamiento angular. Se calcula dividiendo este desplazamiento entre el tiempo que lleva hacerlo.

ω =

θ . t

Al describir la velocidad angular, en general usamos revoluciones o radianes como la medida de desplazamiento angular. Los grados se usan menos frecuentemente.

GRIFFITH 08.indd 144

Δω . t

Las unidades de la aceleración angular son rev/s2 o rad/s2. Estas definiciones tanto de la velocidad angular como de la aceleración angular en realidad proporcionan los valores medios de estas cantidades, respectivamente. Para obtener los valores instantáneos, el tiempo t debe ser muy pequeño, como en las definiciones de velocidad y aceleración instantáneas para el movimiento rectilíneo (véanse las secciones 2.2 y 2.3). Por tanto, esto arroja la razón de cambio del desplazamiento o la velocidad en un instante específico de tiempo. Recordarás más fácilmente estas definiciones de desplazamiento, velocidad y aceleración angulares si tienes en mente la analogía que hay entre el movimiento rectilíneo y el rotacional. Esta analogía se resume en la figura 8.3. En una dimensión, la distancia d representa el cambio en la posición o el desplazamiento lineal, el cual corresponde al desplazamiento angular θ. La velocidad y la aceleración medias para el movimiento rectilíneo se definen como antes, con las definiciones correspondientes de velocidad y aceleración angulares mostradas en el lado derecho del diagrama de la figura 8.3.

Aceleración angular constante En el capítulo 2 presentamos las ecuaciones para el caso especial de la aceleración lineal constante debido a la gran cantidad de aplicaciones que tiene, todas ellas importantes. Al comparar las cantidades lineales y rotacionales, podemos escribir ecuaciones similares para la aceleración angular constante si sustituimos las cantidades rotacionales con las cantidades lineales correspondientes en las ecuaciones desarrolladas para el movimiento rectilíneo. En la tabla 8.1 se muestran los resultados al lado de sus ecuaciones respectivas para ese tipo de movimiento. El cuadro de ejemplo 8.1 es una aplicación de las ecuaciones para la aceleración angular constante. El tiovivo del cuadro de ejemplo 8.1 empieza a moverse a partir del reposo y gira nueve revoluciones en 1 minuto, un gran esfuerzo para quien lo empuja. Es poco probable que esa razón de aceleración se mantenga por mucho tiempo después

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145

8.1 ¿Qué es el movimiento rotacional? Movimiento rotacional

Movimiento rectilíneo

d v

θ

ω

Desplazamiento = θ θ Velocidad = – = ω t Δω = α Aceleración = __ t

Desplazamiento = d Velocidad = d – =v t __ = a Aceleración = Δv t

8.3 Hay un gran parecido entre las cantidades usadas para describir el movimiento rectilíneo y las empleadas para describir el movimiento rotacional.

figura

de 1 minuto. La velocidad angular alcanzada en este lapso es un tanto menor a un tercio de una revolución por segundo, una velocidad angular rápida para un tiovivo como éste.

¿Cómo se relacionan las velocidades lineal y angular? ¿Cuán rápido se mueve la persona cuando el tiovivo del cuadro de ejemplo 8.1 gira a una velocidad de 0.30 rev/s? La respuesta a esta pregunta depende de dónde esté sentada la persona, que se moverá más rápido si está sentada cerca del borde del juego que si lo está cerca del centro. La pregunta implica una relación entre la rapidez lineal del pasajero y la velocidad angular del tiovivo. En la figura 8.4 se muestran dos círculos del tiovivo con diferentes radios que representan distintas posiciones de pasajeros. El pasajero sentado a una mayor distancia del centro recorre una distancia más grande en una revolución que el que se halla cerca del centro, ya que la circunferencia de su círculo es mayor. Por tanto, el pasajero exterior se mueve a una rapidez lineal mayor que el que está cerca del centro.

Cuanto más alejado del centro esté el pasajero, recorrerá una mayor distancia en una revolución y se moverá más rápido. La circunferencia del círculo en el que viaja aumenta en proporción al radio del círculo r, que es la distancia del pasajero a partir del centro. Si expresamos la velocidad angular en radianes por segundo (rad/s), la relación para la rapidez lineal del pasajero adopta la forma v = rω.

cuadro de ejemplo 8.1 Ejercicio: rotación de un tiovivo Supón que un tiovivo se acelera a una razón constante de 0.005 rev/s2 a partir del reposo. a) ¿Cuál es su velocidad angular tras 1 minuto? b) ¿Cuántas revoluciones gira en ese tiempo?

ω = ω0 + α t

a) α = 0.005 rev/s2

ω0 = 0

tabla 8.1 Ecuaciones de la aceleración constante para los movimientos lineal y rotacional Movimiento rectilíneo

Movimiento rotacional

v = v0 + at

ω = ω0 + α t

d = v0t +

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1 2

at2

θ = ω 0t +

1 2 2 αt

= 0 + (0.005 rev/s2)(60 s)

t = 60 s b) θ = ?

= 0.30 rev/s Como ω0 es igual a cero,

θ =

1 2

αt2

=

1 2

(0.005 rev/s2)(60 s)2

= 9 rev

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Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

empuja en línea recta hacia el centro, no pasa nada. ¿Cómo aplicamos una fuerza para producir el mejor efecto? Los momentos de torsión no equilibrados hacen que los objetos giren. Pero ¿qué son los momentos de torsión y cómo se relacionan con las fuerzas? El estudio de una báscula simple o una balanza nos puede ayudar a formarnos una idea.

¿Cuándo está equilibrada una balanza?

8.4 El pasajero cerca del borde recorre una distancia mayor en una revolución que el que está cerca del centro.

figura

La rapidez lineal v de un pasajero que se halla a una distancia r a partir del centro de un tiovivo es igual a r por la velocidad angular ω del juego (sin embargo, para que esta relación simple sea válida, la velocidad angular debe expresarse en radianes por segundo en vez de revoluciones o grados por segundo). La razón a la que gira el tiovivo u otro objeto afecta la rapidez con que se mueve un punto dentro de él; en otras palabras, influirá en su rapidez lineal. La rapidez lineal dependerá de la distancia medida a partir del eje de rotación. Un niño parado en el borde del tiovivo sentirá más emoción que otro en pie cerca del centro. El desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular son las cantidades que necesitamos para describir cabalmente el movimiento de un objeto que gira. Estas cantidades indican qué distancia ha girado el objeto (desplazamiento angular), con qué rapidez lo hace (velocidad angular) y la razón a la que cambia la rotación (aceleración angular). Estas definiciones son análogas a las cantidades similares empleadas para describir el movimiento rectilíneo; nos indican cómo gira el objeto, pero no por qué. Enseguida se estudiarán las causas de la rotación.

Considera una balanza hecha de una barra rígida delgada apoyada sobre un fulcro o punto de apoyo, como en la figura 8.5. Si la barra está en equilibrio antes de colocar pesos en ella, al poner pesos iguales a distancias iguales a partir del fulcro esperamos que la barra siga equilibrada. Por equilibrada queremos decir que no tenderá a girar en torno al fulcro. Piensa que queremos equilibrar pesos desiguales en la barra. Para equilibrar un peso dos veces mayor que cierto peso, ¿colocarías los dos pesos a distancias iguales del fulcro? La intuición sugiere que el peso más pequeño debe situarse más lejos del fulcro que el más grande para que el sistema esté equilibrado, pero quizá no te indique cuánto más lejos (figura 8.6). El ensayo y error con una balanza simple te mostrarán que el peso menor ha de colocarse al doble de distancia del fulcro que el mayor (que es el doble de grande). Trata de hacer una balanza con una regla en vez de la barra y un lápiz como fulcro. Puedes usar monedas para los pesos. Los experimentos mostrarán que tanto el peso como la distancia a partir del fulcro son importantes. Cuanto más lejos se sitúe un peso del fulcro, más fácil será equilibrar los pesos grandes al otro lado. El peso por la distancia medida a partir el fulcro determina el efecto en la balanza. Si este producto es el mismo para los pesos colocados en cualquiera de los lados del fulcro, la balanza no girará.

F1

8.5 Balanza simple con pesos iguales colocados a distancias iguales a partir del fulcro.

figura

F1

8.2 Momento de torsión y equilibrio ¿Qué hace que el tiovivo gire en primer lugar? Para comenzar a moverlo, un niño debe empujarlo, lo que supone la aplicación de una fuerza. La dirección y el punto de aplicación de la fuerza son importantes para el resultado del esfuerzo. Si el niño

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F2

F2

8.6 Balanza simple con pesos desiguales colocados a distancias distintas a partir del fulcro. ¿Qué determina si el sistema se halla en equilibrio?

figura

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147

8.2 Momento de torsión y equilibrio

¿Qué es un momento de torsión? Este producto de la fuerza por la distancia contada a partir del fulcro, el cual describe la tendencia de un peso a girar, se llama momento de torsión. En términos más generales: El momento de torsión τ, en torno a un eje o fulcro es igual al producto de la fuerza aplicada por el brazo de palanca, l ;

τ = Fl.

dicularmente a la barra. El brazo de palanca l es, por tanto, la distancia que va del fulcro al extremo de la barra. Si la fuerza se aplica en alguna otra dirección, como en la figura 8.8, el brazo de palanca es menor de lo que sería si la fuerza se aplicara perpendicular a la barra. El brazo de palanca se calcula trazando una línea perpendicular del fulcro a la línea de acción de la fuerza, como se indica en la figura 8.8.

¿Cómo se suman los momentos de torsión?

El brazo de palanca es la distancia perpendicular que va del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza aplicada.

El símbolo τ es la letra griega tau y por lo común se usa para denotar el momento de torsión. La longitud l es la distancia que hay del fulcro al punto de aplicación de la fuerza y debe medirse en una dirección perpendicular a la línea de acción de la fuerza. Esa distancia se llama brazo de palanca de esa fuerza. La intensidad del momento de torsión depende directamente del tamaño de la fuerza y de la longitud de su brazo de palanca. Si los momentos de torsión producidos por los pesos en cualquiera de los lados del fulcro de nuestra balanza son iguales en magnitud, la balanza se hallará en equilibrio, no girará. La mayoría de nosotros alguna vez ha tratado de aflojar una tuerca con una llave inglesa. Ejercemos la fuerza en un extremo de la llave, en dirección perpendicular al mango (figura 8.7). El mango es la palanca y su longitud determina el brazo de palanca. Un mango largo es más eficaz que uno corto debido a que el momento de torsión resultante es mayor. El término brazo de palanca proviene del uso de las palancas para mover objetos. Mover una piedra grande con una palanca, por ejemplo, implica apalancamiento. La fuerza resulta más eficaz si se aplica en el extremo de la barra y perpen-

La dirección de la rotación asociada con un momento de torsión también es importante. Algunos momentos de torsión tienden a producir rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj; otros las producen en contra de ese sentido, en torno a un eje particular. Por ejemplo, en la figura 8.6 el momento de torsión debido al peso mayor en el lado derecho del fulcro producirá una rotación en el sentido de las manecillas del reloj en torno al fulcro si actúa por sí solo. Esa rotación es opuesta por el momento de torsión de igual magnitud del peso que está en el lado izquierdo del fulcro, el cual produce una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Los dos momentos de torsión se cancelan entre sí cuando el sistema está equilibrado. Como los momentos de torsión pueden tener efectos contrarios, asignamos signos opuestos a los que causan rotaciones en direcciones opuestas. Por ejemplo, si elegimos llamar positivos a los momentos de torsión que producen una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj, los momentos de torsión que ocasionen rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj serán negativos. (Se trata de una elección convencional, pues carece de importancia qué dirección se elija como positiva siempre que se sea consistente en una situación específica.) El signo del momento de torsión indica si se sumarán o restarán otros momentos de torsión. En el caso de la balanza simple, el momento de torsión neto será cero cuando la barra se halle en equilibrio, ya que los dos

F F l

F l l

figura 8.7

Una llave inglesa con mango largo es más eficaz que otra con mango corto porque su brazo de palanca es mayor.

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figura 8.8

Cuando la fuerza aplicada no es perpendicular a la palanca, el brazo de palanca se calcula trazando una línea perpendicular del fulcro a la línea de acción de la fuerza.

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Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

momentos de torsión son iguales pero tienen signos opuestos. La condición para que la balanza esté en equilibrio es que el momento de torsión neto que actúa sobre el sistema sea cero. Ello significa que ninguno de los momentos de torsión actúa o que la suma de los momentos de torsión positivos es igual a la suma de los negativos, con lo que se anulan entre sí al sumar cero. En el cuadro de ejemplo 8.2 calculamos la distancia a la que ha de colocarse un peso de 3 N contada a partir del fulcro para equilibrar un peso de 5 N que produce un momento de torsión de cero. (Como W = mg, un peso de 5 N tiene una masa de aproximadamente 0.5 kg o 500 g.) Las unidades del momento de torsión son las de la fuerza por la distancia, newton-metros (N·m) en el sistema métrico.

cuadro de ejemplo 8.2 Imagina que tenemos un peso de 3 N que queremos equilibrar con otro peso de 5 N en una barra que está equilibrada cuando no se colocan masas en ella. El peso de 5 N se coloca a 20 cm a la derecha del fulcro. a) ¿Cuál es el momento de torsión producido por el peso de 5 N? b) ¿A qué distancia, contada a partir del fulcro, tendríamos que colocar el peso de 3 N para equilibrar el sistema?

20 cm

?

5N F

¿Dónde debe colocarse el peso de 3 N sobre la barra para equilibrar el sistema?

τ = −Fl

a) F = 5 N l = 20 cm = 0.2 m

= −(5 N)(0.2 m)

τ = ?

= – 1 N·m

El signo menos indica que este momento de torsión produciría una rotación en el sentido de las manecillas del reloj. b) F = 3 N l = ?

τ = Fl l = =

τ F +1 N·m 3N

= 0.33 m

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Wc Wp

8.9 ¿Qué distancia puede caminar el niño sin que se incline la tabla? Todo el peso de esta última puede tratarse como si estuviera situado en su centro de gravedad.

figura

¿Qué es el centro de gravedad de un cuerpo?

Ejercicio: equilibrio de un sistema

3N

Centro de gravedad de la tabla

(33 cm)

Con frecuencia, el peso de un cuerpo es por sí mismo un factor importante para determinar si éste girará o no. Por ejemplo, ¿qué distancia podría caminar el niño de la figura 8.9 sobre la tabla sin que ésta se incline? En este caso el peso de la tabla es importante y el concepto de centro de gravedad resulta útil. El centro de gravedad es el punto respecto al cual el peso del objeto por sí solo no ejerce un momento de torsión neto. Si suspendemos el objeto desde su centro de gravedad, no habría un momento de torsión neto en el punto de suspensión o de apoyo: el objeto estaría equilibrado. Podemos localizar el centro de gravedad de un objeto como una varilla calculando el punto donde se equilibra en tus dedos o en otro fulcro adecuado. Puedes hallar el centro de gravedad de un objeto bidimensional más complejo (en un plano) suspendiéndolo de dos puntos, trazando una línea recta hacia abajo a partir del punto de suspensión en cada caso y luego situando el punto de intersección de ambas líneas, como se ilustra en la figura 8.10. En el caso de la tabla (figura 8.9), el centro de gravedad se halla en su centro geométrico, siempre que la tabla sea uniforme en densidad y corte. El punto de giro estará en el borde de la plataforma de apoyo, el punto que ha de considerarse al calcular los momentos de torsión. La tabla no se inclinará mientras el momento de torsión en sentido contrario al de las manecillas del reloj producido por el peso de la tabla en torno al punto de giro sea mayor que el momento de torsión en sentido de las manecillas del reloj causado por el peso del niño. Se considera que el peso de la tabla está concentrado en el centro de gravedad de ésta. La tabla estará a punto de inclinarse cuando el momento de torsión del niño respecto al borde sea igual en magnitud al momento de torsión de la tabla. Ello determina qué distancia puede caminar el chico en la tabla antes de que se incline. En tanto el momento de torsión de la tabla en torno al eje de la plataforma sea mayor que el momento de torsión del niño, éste estará seguro. La plataforma evita que la tabla gire en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

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8.3 Inercia rotacional y segunda ley de Newton

1

2 1

Centro de gravedad

figura 8.10

Localización del centro de gravedad de un objeto en un plano. El centro de gravedad no necesariamente está dentro del objeto.

149

colocando la espalda y los talones contra una pared. ¿Por qué este truco aparentemente simple es imposible de hacer para la mayoría de las personas? ¿Dónde está tu centro de gravedad respecto al punto de giro determinado por tus pies? El centro de gravedad y el momento de torsión intervienen aquí. Los momentos de torsión determinan si algo girará o no. Un momento de torsión se determina multiplicando una fuerza por su brazo de palanca (la distancia perpendicular que va del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza). Si el momento de torsión tiende a producir una rotación en el sentido de las manecillas del reloj igual al momento de torsión que tiende a producir una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj, no habrá rotación. Si uno de estos momentos de torsión es mayor que el otro, el momento de torsión estará desequilibrado y el sistema girará.

8.3 Inercia rotacional y segunda ley de Newton

Punto de giro Centro de gravedad W

figura 8.11

El payaso regresa automáticamente a su posición en pie porque el centro de gravedad se halla debajo de su punto de giro.

La localización del centro de gravedad es importante en cualquier esfuerzo en equilibrio. Si el centro de gravedad está debajo del punto de giro, como en el payaso malabarista de juguete de la figura 8.11, el payaso automáticamente recuperará su equilibrio cuando lo pierda. El centro de gravedad regresa a la posición directamente debajo del punto de giro, donde el peso del payaso no produce ningún momento de torsión. En esta posición, el brazo de palanca para el peso del payaso y la barra es cero. De modo semejante, la localización de tu centro de gravedad es importante para realizar diversas maniobras, atléticas o de otro tipo. Por ejemplo, intenta tocarte los dedos de los pies

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Cuando un niño corre al lado de un tiovivo haciéndolo girar, la fuerza que ejerce produce un momento de torsión en torno al eje. A partir de lo que estudamos en la sección 8.2, sabemos que el momento de torsión neto que actúa sobre un cuerpo determina si éste comenzará a rotar o no. ¿Podemos predecir la razón de rotación si conocemos el momento de torsión? De acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento, en el movimiento rectilíneo la fuerza neta y la masa determinan la aceleración de un cuerpo. ¿Cómo adaptamos la segunda ley de Newton al movimiento rotacional? En este caso, el momento de torsión determina la aceleración angular. Una cantidad nueva, la inercia rotacional, ocupa el lugar de la masa.

¿Qué es la inercia rotacional? Volvamos al tiovivo. El sistema de propulsión (un niño con energía o un papá cansado) aplica una fuerza en el borde del juego. El momento de torsión en torno al eje se calcula multiplicando esa fuerza por el brazo de palanca, que en este caso es el radio del carrusel (figura 8.12). Si el momento de torsión por fricción en el eje es lo suficientemente pequeño como para ser ignorado, el momento de torsión producido por el niño será el único que actúe en el sistema. Este momento de torsión produce la aceleración angular del tiovivo. ¿Cómo calculamos esta aceleración angular? Para calcular la aceleración lineal producida por una fuerza que actúa sobre un cuerpo usamos la segunda ley de Newton, Fneta = ma. Por analogía, podemos desarrollar una expresión similar para el movimiento rotacional, donde el momento de torsión τ remplaza a la fuerza y la aceleración angular α a la aceleración lineal. Pero ¿qué cantidad debemos usar en vez de la masa del tiovivo? En el movimiento rectilíneo la masa representa la inercia o resistencia a un cambio en el movimiento. Para el movimiento rotacional precisamos un concepto nuevo, la inercia

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150

Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

F r m

Vista superior

τ = Fl

figura 8.13

Una sola masa concentrada en el extremo de una varilla muy ligera se pone en rotación al aplicarle la fuerza F. Usa la segunda ley de Newton para calcular la aceleración.

l=r

F

figura 8.12

El niño ejerce una fuerza en el borde del tiovivo que produce un momento de torsión en torno al eje.

rotacional, también conocida como momento de inercia. La inercia rotacional es la resistencia que ofrece un cuerpo a cambiar su movimiento rotacional y se relaciona con la masa del cuerpo, pero también depende de cómo se distribuye esa masa en torno al eje de rotación. Para formarte una idea más clara de este concepto, los físicos suelen recurrir al truco de considerar la situación más simple posible. Para el movimiento rotacional, el caso más simple es una sola masa concentrada en el extremo de una varilla muy ligera, como en la figura 8.13. Si se aplica una fuerza a esa masa en dirección perpendicular a la varilla, ésta y la masa comenzarán a girar en torno al eje fijo en el otro extremo de la varilla. Para que la varilla y la masa sufran una aceleración angular, la masa sola debe tener una aceleración lineal. No obstante, igual que los pasajeros de un tiovivo, cuanto más lejos esté la masa del eje, más rápido se moverá para una velocidad angular especifica (v = rω). Para producir la misma aceleración angular, una masa en el extremo de la varilla debe recibir una aceleración lineal mayor que la que recibe la masa más cerca del eje. Es más difícil hacer que el sistema gire cuando la masa se halla en el extremo de la varilla que cuando está cerca del eje. Al aplicar la segunda ley de Newton a esta situación encontramos que la resistencia a un cambio en el movimiento

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rotacional depende del cuadrado de la distancia de esta masa al eje de rotación. Como la resistencia al cambio también depende del tamaño de la masa, la inercia rotacional de una masa concentrada es inercia rotacional = masa × cuadrado de la distancia al eje I = mr 2, donde I es el símbolo usado con más frecuencia para la inercia rotacional, y r es la distancia de la masa m al eje de rotación. La inercia rotacional total de un objeto como el tiovivo puede calcularse sumando las contribuciones de las distintas partes del objeto que están a diferentes distancias del eje.

Segunda ley de Newton modificada para el movimiento rotacional Por analogía con la segunda ley de Newton, Fneta = ma, podemos establecer la segunda ley para el movimiento rotacional como sigue: El momento de torsión neto que actúa sobre un cuerpo en torno a un eje es igual a la inercia rotacional del cuerpo en torno al eje por la aceleración angular del cuerpo, o

τneta = Iα Para decirlo de otro modo, la aceleración angular producida es igual al momento de torsión dividido entre la inercia rotacional, α = τneto/I. A mayor momento de torsión, mayor aceleración angular, pero cuanto mayor sea la inercia rotacional, menor será la aceleración angular. La inercia rotacional dicta cuán difícil es cambiar la velocidad angular del cuerpo.

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151

8.3 Inercia rotacional y segunda ley de Newton

Para familiarizarte con estas ideas, considera un objeto simple como un bastón. Un bastón se compone de dos masas en el extremo de una varilla (figura 8.14). Si ésta es ligera, la mayor parte de la inercia rotacional del bastón procede de las masas en cualquiera de los extremos. Si sostienes el bastón por el centro, puedes aplicar un momento de torsión con la mano, con lo que producirás una aceleración angular y lo harás girar. Supón que podemos mover las masas a lo largo de la varilla. Si lo hiciéramos hacia el centro, de modo que la distancia al centro esté a la mitad de la distancia original, ¿qué ocurriría con la inercia rotacional? La inercia rotacional disminuiría a un cuarto de su valor inicial, si ignoramos la contribución de la varilla. La inercia rotacional depende del cuadrado de la distancia de la masa al eje. Al duplicar la distancia se cuadruplica la inercia rotacional; al reducirla a la mitad la inercia rotacional se divide entre cuatro. Será cuatro veces más difícil girar el bastón cuando las masas estén en los extremos que cuando estén a la mitad de esa distancia. En otras palabras, el momento de torsión necesario para producir una aceleración angular será cuatro veces mayor cuando las masas estén en los extremos que cuando estén en posiciones intermedias. Si tuvieras una varilla con masas ajustables podrías percatarte de la diferencia en la cantidad de momento de torsión necesaria para empezar a rotar. Haz la prueba con un lápiz usando pedazos de plastilina como sustitutos de las masas.

cuadrado del radio. No toda la masa del juego está en el borde exterior, parte se halla más cerca del eje y contribuirá menos a la inercia rotacional. Imagina que divides el tiovivo en varias piezas, calculas la inercia rotacional de cada una de ellas y luego las sumas para obtener el total. El resultado de este proceso para algunas formas simples se muestra en la figura 8.15. Las ecuaciones ilustran las ideas que hemos expuesto. Por ejemplo, un disco sólido tiene una inercia rotacional menor que un anillo de la misma masa y radio, ya que la masa del disco está, en promedio, más cerca del eje. La localización del eje también es importante. Una barra tiene una inercia rotacional mayor en torno a un eje que está a lo largo de un extremo que en torno a un eje que atraviesa la barra por su parte media. Cuando el eje de rotación está en el extremo de la barra, hay más masa a distancias mayores del eje. Según cómo se construya, el tiovivo podría ser como un disco sólido. Un niño sentado en él también se vería afectado por la inercia rotacional. Si varios niños se sientan cerca del borde del juego, su inercia rotacional dificulta ponerlo en movimiento. Si los niños se agrupan cerca del centro, proporcionan menos inercia rotacional adicional. Si te cansas de empujar, pide a los niños que se sienten cerca del centro, así te ahorrarás un poco de esfuerzo.

Barra con eje a lo largo del extremo

Cálculo de la inercia rotacional del tiovivo El cálculo de la inercia rotacional de un objeto como un tiovivo es más difícil que la simple multiplicación de la masa por el

Barra con eje que pasa por el centro

I = _1 ml2

1 I=_ ml2

3

12

l

l

a)

m

m

Disco uniforme o cilindro

La inercia rotacional de un bastón está determinada en gran medida por las masas en ambos extremos.

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Anillo

Esfera uniforme sólida

I = 1_ mr2

I = mr2

I = 2_ mr2

r

r

r

2

c)

figura 8.14

b)

d)

5

e)

figura 8.15

Expresiones para la inercia rotacional de varios objetos, cada uno con una distribución uniforme de la masa sobre su volumen. La letra m representa la masa total del objeto.

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152

Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

cuadro de ejemplo 8.3 Ejercicio: hacer girar un tiovivo con un pasajero Un tiovivo simple tiene una inercia rotacional de 800 kg·m2 y un radio de 2 m. Un niño con una masa de 40 kg se sienta cerca del borde del juego. a) ¿Cuál es la inercia rotacional total del tiovivo y el niño en torno al eje del juego? b) ¿Qué momento de torsión se requiere para proporcionar al tiovivo una aceleración angular de 0.05 rad/s2? a) Itiovivo = 800 kg·m2

Iniño = mr2

¿Qué es la cantidad de movimiento angular?

mniño = 40 kg

= (40 kg)(2 m)

r=2m

= 160 kg·m

2

2

La inercia rotacional total es Itotal = Itiovivo + Iniño = 800 kg·m2 + 160 kg·m2 = 960 kg·m2 b) α = 0.05 rad/s2

τneto = ?

lleva hacia su cuerpo. A medida que los cierra, la razón del giro aumenta; cuando extiende sus brazos de nuevo, su velocidad angular disminuye (figura 8.16). El concepto de cantidad de movimiento angular o rotacional es útil en situaciones como ésta. El principio de conservación de la cantidad de movimiento angular explica numerosos fenómenos, como los giros de una patinadora en hielo, los de los clavadistas o los de los gimnastas, así como el movimiento de los planetas alrededor del Sol. ¿Cómo valernos de la analogía entre los movimientos rectilíneo y rotacional para comprender estas ideas?

τneto = Iα = (960 kg·m2)(0.05 rad/s2) = 48 N·m

El cuadro de ejemplo 8.3 añade algunos números a estas cantidades. Un niño que se sienta en un tiovivo es acelerado por una fuerza de impulsión a una razón de 0.05 rad/s2.* Se necesita un momento de torsión de 48 N·m para producir esa aceleración angular. Una fuerza de 24 N aplicada al borde tendría un brazo de palanca de 2 m y produciría el momento de torsión necesario de 48 N·m, una fuerza razonable que un niño podría generar si no es muy pequeño. La inercia rotacional es la resistencia al cambio en el movimiento rotacional. Depende tanto de la masa del cuerpo como de su distribución en torno al eje de rotación. La forma rotacional de la segunda ley de Newton, τneto = Iα, muestra la relación cuantitativa entre el momento de torsión, la inercia rotacional y la aceleración angular. El momento de torsión toma el lugar de la fuerza, la inercia rotacional remplaza a la masa y la aceleración angular sustituye a la aceleración lineal.

Si te pidieran que inventaras la idea de cantidad de movimiento angular (rotacional), ¿cómo lo harías? La cantidad de movimiento lineal es la masa (la inercia) por la velocidad lineal de un cuerpo (p = mv). Un incremento en la masa o en la velocidad aumenta la cantidad de movimiento. Como es una medida de cuánto se mueve y con qué rapidez, Newton lo llamó momentum (momento). ¿Cuál es el equivalente rotacional de la cantidad de movimiento? Al comparar el movimiento rotacional con el rectilíneo, la inercia rotacional representa la masa y la velocidad angular remplaza la velocidad lineal. Por analogía, podemos definir a la cantidad de movimiento angular como La cantidad de movimiento angular es el producto de la inercia rotacional por la velocidad angular o L = Iω,

donde L es el símbolo usado para la cantidad de movimiento angular. El término cantidad de movimiento angular es más común que momento angular, pero se puede usar cualquiera de los dos. Igual que la cantidad de movimiento lineal, la cantidad de movimiento angular es el producto de dos cantidades: una inercia y una velocidad. Una bola de boliche que gira lentamente

ω1

ω2

8.4 Conservación de la cantidad de movimiento angular ¿Alguna vez has visto a una patinadora en hielo dar de giros? Empieza con los brazos y una pierna extendidos y luego los * Para usar la segunda ley de Newton para el movimiento rotacional, la aceleración angular debe establecerse en radianes por segundo al cuadrado. Si la aceleración angular se proporciona en rev/s2 o alguna otra unidad angular, la convertimos en rad/s2 antes de proseguir.

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figura 8.16

La velocidad angular de la patinadora aumenta cuando lleva sus brazos y su pierna hacia su cuerpo.

21/10/07 10:27:33

8.4 Conservación de la cantidad de movimiento angular

podría tener la misma cantidad de movimiento angular que una pelota de béisbol que gira mucho más rápido, debido a su mayor inercia rotacional I. Con su enorme inercia rotacional, la Tierra tiene una cantidad de movimiento angular gigantesca asociada con la rotación diaria sobre su eje, aun cuando la velocidad angular sea pequeña.

¿Cuándo se conserva la cantidad de movimiento angular? Hemos usado la analogía entre los movimientos rectilíneo y rotacional para hacer comprensible el concepto de cantidad de movimiento angular. ¿Podemos emplearla también para establecer el principio de conservación de la cantidad de movimiento angular? En el capítulo 7, explicamos que la cantidad de movimiento lineal se conserva cuando no hay una fuerza externa que actúe sobre un sistema. ¿Cuándo se conservaría la cantidad de movimiento angular? Como el momento de torsión adopta el papel de la fuerza en el movimiento rotacional, podemos establecer el principio de conservación de la cantidad de movimiento angular como Si el momento de torsión neto que actúa sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento angular total del sistema se conserva.

El momento de torsión remplaza a la fuerza y la cantidad de movimiento angular a la cantidad de movimiento lineal o normal. En la tabla 8.2 se muestran algunos aspectos similares que hay entre los movimientos rectilíneo y rotacional.

Cambios en la razón de giro de la patinadora La conservación de la cantidad de movimiento angular es la clave para entender qué sucede cuando la patinadora que gira aumenta su velocidad angular al contraer sus brazos. El momento de torsión externo que actúa sobre la patinadora en torno a su eje de rotación es muy pequeño, así que la condición para la conservación de la cantidad de movimiento angular se cumple. ¿Por qué aumenta su velocidad angular?

tabla 8.2 Correspondencia de conceptos de los movimientos rectilíneo y rotacional Concepto Inercia Segunda ley de Newton Cantidad de movimiento Conservación de la cantidad de movimiento Energía cinética

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Movimiento rectilíneo m

Movimiento rotacional I

Fneta= ma

τneto = Iα

p = mv

L = Iω

Si Fneta = 0, p = constante 1 EC = 2mv2

Si τneto = 0, L = constante 1 EC = 2Iω2

153

Cuando los brazos y una pierna de la patinadora están extendidos contribuyen a una parte relativamente grande de su inercia rotacional total, es decir, su distancia media contada a partir del eje de rotación es mucho mayor que para otras partes de su cuerpo. La inercia rotacional depende del cuadrado de la distancia de varias partes de su masa medidas a partir del eje (I = mr2). El efecto de esta distancia es considerable, aun cuando sus brazos y una pierna sean sólo una pequeña parte de su masa total. Cuando la patinadora contrae los brazos y la pierna hacia su cuerpo, su contribución a su inercia rotacional disminuye y, por consiguiente, su inercia rotacional también lo hace. La conservación de la cantidad de movimiento angular requiere que su cantidad de movimiento angular se mantenga constante. Como la cantidad de movimiento angular es el producto de la inercia rotacional por la velocidad angular, L = Iω, si I disminuye, ω debe aumentar para que la cantidad de movimiento angular permanezca constante. La patinadora puede volver más lenta su razón de giro si extiende de nuevo los brazos y una pierna, lo cual hace al final del giro. Esto incrementa su inercia rotacional y disminuye su velocidad angular: la cantidad de movimiento angular se conserva. Estas ideas se ilustran en el cuadro de ejemplo 8.4. Este fenómeno puede explorarse usando una plataforma o un banco giratorios con buenos soportes para que los momentos de torsión por fricción se mantengan pequeños (figura 8.17). En esta demostración solemos pedir a los estudiantes que sostengan una masa en cada mano, lo cual aumenta los cambios en la inercia rotacional que ocurren cuando los brazos se bajan hacia el cuerpo. ¡Se puede lograr un aumento sorprendente en la velocidad angular!

cuadro de ejemplo 8.4 Ejercicio: un poco de física relacionada con el patinaje de figura Una patinadora tiene una inercia rotacional de 1.2 kg·m2 cuando sus brazos están extendidos y otra de 0.5 kg·m2 cuando los tiene pegados al cuerpo. Si da un giro con los brazos extendidos y tiene una velocidad angular inicial de 1 rev/s, ¿cuál es su velocidad angular cuando los lleva hacia su cuerpo? I1 = 1.2 kg·m2 I2 = 0.5 kg·m2

Como la cantidad de movimiento angular se conserva:

ω1 = 1 rev/s

Lfinal = Linicial

ω2 = ?

I2ω2 = I1ω1

Al dividir ambos miembros entre I2,

ω2 = (I1 /I2)ω1 = (1.2 kg·m2/0.5 kg·m2)(1 rev/s) = (2.4)(1 rev/s) = 2.4 rev/s

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154

Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

ω

figura 8.17

Un estudiante que sostiene una masa en cada mano mientras gira sentado en un banco puede lograr un aumento considerable en la velocidad angular si lleva los brazos hacia su cuerpo.

Un efecto parecido se produce cuando una clavadista encoge el cuerpo para realizar un giro. En este caso, ella empieza con el cuerpo extendido y una razón de rotación lenta respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad de su cuerpo (figura 8.18). A medida que se encoge, la inercia rotacional en torno a ese eje se reduce y la velocidad angular aumenta. A medida que el clavado llega a su término, la clavadista sale de su posición encogida, con lo que aumenta la inercia rotacional y disminuye la velocidad angular. (El momento de torsión respecto al centro de gravedad debido a la fuerza de gravitación que actúa sobre la clavadista es cero.) Hay numerosos ejemplos en los que se varía la velocidad angular al cambiar la inercia rotacional. Es mucho más fácil producir un cambio en esta última que modificar la masa del cuerpo. Simplemente se cambia la distancia que hay de varias partes de la masa al eje de rotación. La conservación de la cantidad de movimiento angular proporciona una explicación rápida de estos fenómenos.

Segunda ley de Kepler La conservación de la cantidad de movimiento angular también es importante para la órbita del planeta alrededor del Sol, y de hecho puede usarse para explicar la segunda ley de Kepler del movimiento planetario (véase la sección 5.3). La segunda ley de Kepler establece que la línea del radio que va del Sol al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. El planeta se mueve más rápido en su órbita elíptica cuando está más cerca del Sol que cuando está más lejos de él. La fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta no produce ningún momento de torsión respecto al astro debido a que su línea de acción lo atraviesa directamente (figura 8.19). El brazo de palanca de esta fuerza es cero y el momento de torsión resultante también debe serlo. Por tanto, la cantidad de movimiento angular se conserva.

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figura 8.18

La clavadista aumenta su velocidad angular al encoger su cuerpo, con lo que reduce su inercia rotacional en torno a su centro de gravedad.

Cuando el planeta se mueve más cerca del Sol su inercia rotacional I respecto al astro disminuye. Para conservar la cantidad de movimiento angular, la velocidad angular del planeta con relación al Sol (y por tanto su velocidad lineal*) debe aumentar para mantener el producto L = Iω constante. Este requisito da como resultado que la línea del radio barra áreas iguales en tiempos iguales. La velocidad del planeta debe ser mayor cuando el radio se vuelve más pequeño para que el área que se barre permanezca igual. Puedes observar un efecto relacionado en un experimento simple con una pelota atada a una cuerda. Si dejas que la cuerda se arrolle a tus dedos mientras gira, lo cual produce un radio de rotación menor, la pelota aumentará su velocidad angular en torno a tu dedo. La velocidad angular ω aumenta a medida que la inercia rotacional I disminuye debido a la disminución del radio. La cantidad de movimiento angular se conserva. ¡Haz la prueba! El cuadro de fenómenos cotidianos 8.1 presenta un ejemplo en el que la cantidad de movimiento angular se conserva en algunos puntos del movimiento de un yo-yo. En otros puntos la cantidad de movimiento angular cambia por la influencia de los momentos de torsión. * Para que una masa compacta gire en torno a un eje, la definición de cantidad de movimiento angular se reduce a L = mvr, donde mv es la cantidad de movimiento lineal y r es la distancia perpendicular que corre del eje de rotación a la línea a lo largo de la cual el cuerpo se mueve en ese instante. Si r disminuye, v debe aumentar para conservar la cantidad de movimiento angular.

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8.4 Conservación de la cantidad de movimiento angular

fenómenos cotidianos

155

cuadro 8.1

El arte de dominar el yo-yo Situación. Una profesora de física notó que uno de sus estudiantes a veces llevaba un yo-yo a la clase y era muy bueno para hacer algunos trucos. Entonces lo retó a que explicara el comportamiento del juguete mediante los principios del momento de torsión y la cantidad de movimiento angular. En particular, la profesora le pidió que explicara por qué algunas veces el yo-yo regresa pero otras veces se queda “dormido”, o sigue girando, en el extremo de la cuerda. ¿Cuáles son las diferencias entre estas dos situaciones?

T

W

Un yo-yo regresará a tu mano o, si eres muy hábil, harás que se “duerma” en el extremo de la cuerda.

Análisis. El estudiante examinó detenidamente la construcción del yo-yo y cómo está atado a la cuerda, la cual notó no está amarrada de manera muy ajustada al eje del juguete, sino más bien tiene un nudo holgado. Cuando el yo-yo está en el extremo de la cuerda, ésta puede deslizarse sobre el eje. Cuando se arrolla alrededor del eje, por otra parte, es menos probable que la cuerda se duerma. En general, para empezar a jugar con el yo-yo la cuerda se arrolla alrededor del eje, el otro extremo se amarra en el dedo medio y el yo-yo se sostiene en la mano. Cuando el yo-yo se suelta, la cuerda se desarrolla y el yo-yo adquiere velocidad angular y cantidad de movimiento angular. El estudiante razonó que debe haber un momento de torsión y trazó un diagrama de fuerzas para el yo-yo parecido al mostrado aquí. Dos fuerzas actúan sobre el yo-yo, su peso, que lo hace hacia abajo, y la tensión en la cuerda, que actúa hacia arriba. Como el yo-yo se acelera hacia abajo, el peso debe ser mayor que la tensión para producir una fuerza neta descendente. No obstante, el peso no produce un momento de torsión en torno al centro de gravedad del yo-yo, porque su línea de acción pasa por el centro de gravedad y el brazo de palanca es cero. La tensión actúa a lo largo de una línea que está fuera del centro y produce un momento de torsión que producirá una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj en torno al centro de gravedad, como en el dibujo. El momento de torsión debido a la tensión en la cuerda produce una aceleración angular, y el yo-yo adquiere velocidad y cantidad

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Diagrama de corte transversal que muestra las fuerzas que actúan sobre el yo-yo cuando desciende. Su peso y la tensión en la cuerda son las únicas fuerzas importantes.

de movimiento angulares a medida que cae. El yo-yo tiene una cantidad de movimiento angular considerable cuando llega al final de la cuerda, y sin momentos de torsión externos que la cambien, se conservará. Esto es lo que ocurre cuando el yo-yo “se duerme” en la parte inferior de la cuerda: el único momento de torsión que actúa es el debido a la fricción de la cuerda que está durmiendo sobre el eje, el cual será pequeño si el eje es liso. Pero ¿qué sucede cuando el yo-yo regresa a la mano del estudiante? El artista del yo-yo (¿yoyoísta?) sacude ligeramente la cuerda en el instante en que el yo-yo llega al final. Esta sacudida proporciona un impulso breve y una aceleración ascendente del yo-yo. Como ya está girando, el yo-yo sigue girando en la misma dirección y la cuerda se rebobina a sí misma en torno al eje del juguete. Sin embargo, la línea de acción de la tensión en la cuerda ahora está en el lado opuesto del eje, y su momento de torsión provoca que la velocidad y la cantidad de movimiento angulares disminuyan. La rotación debe detenerse cuando el yo-yo llegue de nuevo a la mano del chico. Cuando el yo-yo está subiendo, la fuerza neta que actúa sobre él sigue siendo descendente y su velocidad lineal disminuye junto con su velocidad angular. La única vez que una fuerza neta actúa hacia arriba es cuando se proporciona el impulso ascendente al sacudir la cuerda. La situación es parecida a cuando una pelota rebota en el suelo: la fuerza neta es descendente excepto durante el instante que dura el contacto con el suelo. Nuestra capacidad para afectar la naturaleza y el tiempo que dura el impulso a través de la cuerda provoca que el yo-yo se duerma o regrese. Éste es el “arte del yo-yo”.

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Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

ω

ω

F V

L = mvr

figura 8.19

La fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta no produce ningún momento de torsión en torno a un eje a través del Sol porque el brazo de palanca para esta fuerza es cero.

Por analogía con la cantidad de movimiento lineal, la cantidad de movimiento angular es el producto de la inercia rotacional por la velocidad angular. La cantidad de movimiento angular se conserva cuando el momento de torsión externo neto que actúa sobre un sistema es cero. Las disminuciones en la inercia rotacional conducen a aumentos en la velocidad angular, como se demostró con el ejemplo de la patinadora en hielo que gira. Un clavadista que gira, una pelota que gira en el extremo de una cuerda y un planeta que orbita alrededor del Sol son otros ejemplos de este efecto.

8.5 Paseo en bicicleta y otras proezas sorprendentes ¿Alguna vez te has preguntado por qué una bicicleta se mantiene derecha cuando pedaleas pero se cae de inmediato si no lo haces? La cantidad de movimiento angular interviene, pero se necesitan algunos trucos adicionales para explicarlo. La dirección de la cantidad de movimiento angular es una consideración importante. ¿Cómo puede tener dirección la cantidad de movimiento angular y cómo ello permite explicar el comportamiento de una bicicleta, un trompo u otro fenómeno?

¿La cantidad de movimiento angular es un vector? La cantidad de movimiento lineal es un vector, donde dirección de la cantidad de movimiento p es la misma que la de la velocidad v del cuerpo. Como la cantidad de movimiento angular se asocia con una velocidad angular, la pregunta se reduce a si las velocidades angulares tienen dirección. ¿Cómo definirías la dirección de una velocidad angular? Si un tiovivo (o simplemente un disco) gira en dirección contraria a las manecillas del reloj, como en la figura 8.20, ¿cómo indicaríamos esa dirección con una flecha? El térmi-

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figura 8.20

La dirección del vector de la velocidad angular para la rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj se define como ascendente a lo largo del eje de rotación, como indica el pulgar de la mano derecha con los dedos doblados en la dirección de la rotación.

no en sentido contrario al de las manecillas del reloj señala la dirección de rotación como vista desde cierta perspectiva pero no define una dirección única. Para completar nuestra descripción, también podríamos especificar el eje de rotación y nuestra perspectiva o punto de vista. Un objeto que parece girar en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se observa desde arriba, al mirarlo desde abajo parece girar en el sentido de las manecillas. Podríamos dibujar un eje de rotación y una flecha curva alrededor de él, como solemos hacer, pero sería más conveniente especificar la dirección con una simple flecha en línea recta. La solución habitual a este problema consiste en definir la dirección del vector velocidad angular como si estuviera a lo largo del eje de rotación y en dirección ascendente para la rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj de la figura 8.20. Una regla que indica si el vector debe apuntar hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje se define con la ayuda de la mano derecha. Si levantas la mano derecha y cierras los dedos alrededor del eje de rotación en la dirección de ésta, tu pulgar apuntará en la dirección del vector de la velocidad angular. Si el tiovivo estuviera girando en el sentido de las manecillas del reloj (y no en sentido contrario), tu pulgar apuntaría hacia abajo, la dirección del vector de la velocidad angular. La dirección del vector de la cantidad de movimiento angular es la misma que la de la velocidad angular, ya que L = Iω. La conservación de la cantidad de movimiento angular requiere que la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular siga siendo constante, lo mismo que sus magnitudes.

Cantidad de movimiento angular y bicicletas La mayoría de nosotros tiene experiencia en el manejo de una bicicleta. Las llantas adquieren cantidad de movimiento angular cuando la bicicleta se mueve. El momento de torsión se aplica a la llanta posterior por medio de los pedales y la cadena a fin de producir una aceleración angular. Si la bicicleta se desplaza en línea recta, la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular es la misma para las dos llantas y es horizontal (figura 8.21).

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8.5 Paseo en bicicleta y otras proezas sorprendentes

157

L1 ΔL

figura 8.22

L

L

figura 8.21

El vector de la cantidad de movimiento angular para cada llanta cuando la bicicleta está vertical.

Para que la bicicleta se caiga, la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular debe cambiar, lo cual requiere un momento de torsión. Este momento de torsión normalmente procedería de la fuerza gravitacional que actúa sobre el ciclista y la bicicleta a través de su centro de gravedad. Cuando la bicicleta está exactamente vertical, esta fuerza actúa en línea recta hacia abajo y pasa por el eje de rotación para la bicicleta que cae. Este eje de rotación es la línea a lo largo de la cual las llantas entran en contacto con la superficie del suelo. El momento de torsión en torno al eje será cero, ya que la línea de acción de la fuerza pasa por el eje de rotación y el brazo de palanca es cero. La dirección y la magnitud de la cantidad de movimiento angular original se conservan. Si la bicicleta no está perfectamente vertical, un momento de torsión gravitacional actúa en torno a la línea de contacto de las llantas con el suelo. Cuando la bicicleta empieza a caer, adquiere una velocidad y una cantidad de movimiento angulares en torno a ese eje. Por nuestra “regla de la mano derecha”, la dirección de ese vector de la cantidad de movimiento angular está a lo largo del eje y apunta hacia delante o hacia atrás, según la dirección de inclinación. Si la bicicleta se inclina a la izquierda cuando se ve desde atrás, el cambio en la cantidad de movimiento angular asociado con ese momento de torsión apunta en línea recta hacia atrás, como en la figura 8.22. Si la bicicleta sigue parada, es todo lo que se necesita: el momento de torsión gravitacional hace que se caiga. Cuando la bicicleta se desplaza, el cambio en la cantidad de movimiento angular ΔL producido por el momento de torsión gravitacional se suma a la cantidad de movimiento angular ya presente (L1) y que procede de las llantas en rotación. Como se muestra en la figura 8.22, esto causa un cambio en la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular total (L2). Este cambio de dirección puede acomodarse simplemente al girar la llanta de la bicicleta en vez de dejar que ésta caiga. Compensamos los efectos del momento de torsión gravitacional volteando la

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L2

El cambio en la cantidad de movimiento angular asociado con una inclinación a la izquierda apunta en línea recta hacia atrás, en forma paralela a la línea de contacto de las llantas con el suelo.

bicicleta en la dirección de la caída inminente. Cuanto mayor sea la cantidad de movimiento angular inicial, menor será la vuelta requerida. La cantidad de movimiento angular de las llantas es un factor importante para estabilizar la bicicleta. Este resultado puede resultar sorprendente y aun así todos los que hemos andado en bicicleta lo aprovechamos automáticamente. Cuando la bicicleta se desplaza lentamente, las vueltas cerradas de la llanta pueden evitar que caiga mientras cambias tu peso. Basta hacer ajustes pequeños cuando la bicicleta se mueve con mayor rapidez. Al inclinarte en una curva usas el momento de torsión gravitacional para cambiar la dirección de la cantidad de movimiento angular, con lo que contribuyes a librar la curva. De igual forma, si ruedas una moneda a lo largo de la superficie de una mesa, la verás ladearse a medida que empieza a caer. La trayectoria se sesga en la dirección en que la moneda se inclina. También puedes observar este efecto del momento de torsión en el cambio de la dirección de un vector de cantidad de movimiento angular si mantienes la bicicleta erguida sobre su llanta trasera y pides a un amigo que gire la llanta de enfrente. Es más difícil cambiar la dirección de esa llanta cuando gira rápidamente que cuando lo hace con lentitud o cuando no está girando. También tendrás la impresión de que la llanta tiene voluntad propia. Cuando trates de inclinarla, tenderá a girar en una dirección perpendicular a la inclinación. Una llanta de bicicleta montada sobre un eje de mano es incluso mejor para sentir los efectos de los momentos de torsión aplicados al eje. Éste es un aparato de demostración común, pero en general la llanta se rellena con cable de acero en vez de aire. El cable le imprime una inercia rotacional mayor y una cantidad de movimiento angular mayor para una razón de giro dada. Si sostienes el eje en cualquiera de los lados mientras la llanta gira en un plano vertical y luego tratas de inclinarla, te formarás una idea de lo que ocurre cuando paseas en bicicleta. También demuestra lo difícil que es cambiar la dirección de la cantidad de movimiento angular de una llanta que gira rápidamente. El cuadro de fenómenos cotidianos 8.2 analiza cómo intervienen los momentos de torsión en el sistema de velocidades de una bicicleta.

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Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

fenómenos cotidianos

cuadro 8.2

Velocidades de la bicicleta Situación. La mayoría de las bicicletas modernas vienen equipadas con engranajes para cambiar de velocidad. Cuando subimos una colina, cambiamos a una velocidad baja, lo que facilita el pedaleo. Cuando estamos en el nivel del suelo o de bajada, cambiamos a velocidades más altas, lo cual nos permite recorrer más terreno por vuelta del cigüeñal del pedal. ¿Cómo funcionan los engranajes? ¿Cómo cambia el momento de torsión ejercido sobre la llanta trasera cuando cambiamos de velocidad? ¿Cuál es la ventaja de tener varias velocidades? Si damos una vuelta rotacional al concepto de máquina simple comprenderemos cómo funciona el sistema de velocidades y sus engranajes respectivos. Ideas parecidas se aplican a la transmisión de un automóvil.

Hay siete engranajes en el ensamblaje de la llanta trasera de una bicicleta de 21 velocidades. Los dos engranajes pequeños junto al pedal se hallan detrás del engranaje más grande.

Análisis. La fotografía muestra los engranajes del pedal y de la llanta trasera de una bicicleta de 21 velocidades. Hay siete engranajes de diferente tamaño. En el pedal hay tres engranajes, uno de los cuales se observa completo en la fotografía. Un mecanismo de polea y palanca (llamado cambio de velocidades) nos permite mover la cadena de engranaje a otro. Esto se controla por medio de palancas montadas en el manubrio, que están unidas a los cambios de velocidad por medio de cables. Cuando andamos en bicicleta aplicamos un momento de torsión a los engranajes del pedal. Si tus pies empujan perpendicularmente el eje del pedal, entonces el brazo de palanca es sólo la longitud del eje. Éste es el caso en que el pedal se halla en la posición hacia delante, donde obtenemos un momento de torsión máximo, como se muestra el dibujo. Esta posición de momento de torsión máximo alterna del pie izquierdo al derecho a medida que el gira el cigüeñal. El momento de torsión ejercido sobre el anillo de la cadena del pedal hace que el eje acelere angularmente siempre que ese momento de torsión sea mayor que el momento de torsión opuesto ejercido por la tensión en la cadena que jala hacia atrás sobre el engranaje. Esta tensión, a su vez, produce un momento de torsión en la llanta trasera a través del engranaje de la llanta trasera. El tamaño del momento de torsión transmitido a esa llanta depende de cuál de los engranajes esté usándose con la cadena. Cuanto más grande sea el radio del engranaje habrá un momento de torsión mayor debido al brazo de palanca más grande. (El brazo de palan-

(continúa)

Bancos giratorios y trompos La llanta de una bicicleta sostenida en una mano sirve para realizar otras demostraciones de la cantidad de movimiento angular como un vector. Si un estudiante sostiene la rueda con su eje en dirección vertical mientras está sentado sobre un banco giratorio, la conservación de la cantidad de movimiento angular produce resultados sorprendentes. Es mejor empezar el giro de la rueda sosteniendo el banco de modo que no gire. Luego pedimos al estudiante que haga girar la llanta, como aparece en la figura 8.23, invirtiendo la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular de la llanta. ¿Puedes imaginar lo que sucede? Para conservar la cantidad de movimiento angular, la dirección original del vector de la cantidad de movimiento angular debe mantenerse. La única forma de lograrlo es que el banco con el estudiante empiece a girar en la misma dirección que lo hacía la llanta inicialmente. La suma de los vectores de la cantidad de movimiento angular de la llanta y del estudiante y el banco resulta en la cantidad de movimiento angular original (figura 8.24). Esto será válido si la cantidad de movimiento angular ganada por el estudiante y el banco es exactamente el doble que la de la llanta. El

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figura 8.23

Un estudiante sostiene una llanta de bicicleta girando mientras está sentado en un banco que gira libremente. ¿Qué sucede si voltea la llanta hacia arriba o hacia abajo?

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8.5 Paseo en bicicleta y otras proezas sorprendentes

T

T r1

F

r2

Una fuerza aplicada al pedal produce un momento de torsión sobre la rueda del pedal. Ese momento de torsión genera una tensión en la cadena que ejerce un momento de torsión menor sobre el engranaje de la llanta trasera debido a que su radio es menor.

ca es igual al radio del engranaje en uso). Como con un automóvil, la llanta trasera empuja contra la superficie del camino a través de la fricción y, por la tercera ley de Newton, la fuerza de fricción empuja hacia delante la bicicleta. ¿Dónde se hallan aquí los conceptos de las máquinas simples? Supón que la cadena está usando el engranaje más pequeño de la llanta trasera. El momento de torsión ejercido sobre la llanta trasera por la cadena es, por tanto, relativamente pequeño debido al brazo de palanca pequeño. No obstante, la llanta gira varias veces por cada vuelta del engranaje del pedal. Por ejemplo, si el radio del enganaje del pedal es cinco veces mayor que el del engranaje de la llanta trasera, entonces ésta gira cinco veces por cada vuelta del cigüeñal. (La circunferencia de cada engranaje (2πr ) es proporcional al radio y determina qué distancia debe recorrer en cada vuelta.)

estudiante puede detener la rotación del banco si voltea el eje de la llanta a su dirección original. La dirección de la cantidad de movimiento angular y su conservación son importantes en muchas otras situaciones. La cantidad de movimiento angular de los rotores del helicóptero, por ejemplo, es un factor sumamente importante en el diseño de helicópteros. El movimiento de un trompo también muestra efectos fascinantes. Si tienes uno, observa lo que sucede a la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular a medida que se vuelve más lento. Cuando el trompo comienza a tambalearse, el cambio en la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular hace que el eje de rotación del trompo rote (dando giros) en torno a una línea vertical. ¿Esto te recuerda lo que ocurre con la llanta de la bicicleta? La cantidad de movimiento angular y su dirección también son fundamentales para la física atómica y nuclear. Las partículas que forman los átomos tienen espines, los cuales suponen cantidad de movimiento angular. Las formas en que los vectores de la cantidad de movimiento angular se suman sirven para explicar numerosos fenómenos atómicos. Aun cuando los tamaños difieren enormemente, es útil reconocer

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Por ende, en este caso un momento de torsión pequeño hace girar la llanta trasera a través de un ángulo grande, mientras la aplicación de un momento de torsión mayor gira el engranaje del pedal un ángulo menor. Por analogía con el trabajo lineal (fuerza por distancia recorrida), el trabajo rotacional puede definirse como el momento de torsión por el ángulo en torno al cual gira el engranaje (τ θ). Igual que para cualquier máquina simple, la salida de trabajo es igual a la entrada de trabajo, si despreciamos los momentos de torsión debido a la fricción en los ejes de las llantas. ¿La situación que acabamos de describir representa una velocidad baja o una alta? Como estamos haciendo girar la llanta trasera varias veces por cada manivela de pedal, se trata de una velocidad alta. Para una velocidad baja debemos mover la cadena a un engranaje más grande en la llanta trasera (o uno más pequeño en el pedal), lo que transmitirá un momento de torsión mayor a la llanta trasera a expensas de voltear la llanta y mover la bicicleta una distancia menor para cada vuelta de la manivela. Cuando avanzamos cuesta arriba, necesitamos este momento de torsión mayor para superar la fuerza de la gravedad. Una bicicleta de 21 velocidades tiene tres engranajes de distintos tamaños en el pedal y siete en la llanta trasera, los cuales permiten veintiún (3 × 7) razones entre los dos conjuntos de engranajes. Lo provechoso de tener estas opciones es que podemos ajustar la ventaja mecánica de nuestro sistema de velocidades a las condiciones, con lo que ajustamos la fuerza que debemos aplicar a los pedales para lograr el momento de torsión deseado. Si esta fuerza es demasiado grande, nos cansaremos muy rápido. Sin embargo, cuando es muy pequeña, tal vez no podamos aprovechar al máximo las condiciones de manejo fácil. Podemos avanzar más rápido en una velocidad más alta.

Antes de voltear la llanta

Después de voltear la llanta

Lll

–Lll

Le ⇒ Lll

figura 8.24

La cantidad de movimiento angular del estudiante y el banco, Le, se suma a aquella de la llanta, –Lll, para producir la dirección y magnitud de la cantidad de movimiento angular original, Lll.

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160

Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

los puntos en común que comparten los átomos y los núcleos con las llantas de bicicleta y el sistema solar.

Igual que la cantidad de movimiento lineal, la cantidad de movimiento angular es un vector cuya dirección es la misma que la del vector de la velocidad angular, el cual está a lo largo del eje de rotación, con la “regla de la mano derecha” especificando

hacia dónde apunta ese eje. La conservación de la cantidad de movimiento angular requiere que tanto la magnitud como la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular sean constantes (si no hay momentos de torsión externos). Muchos fenómenos interesantes pueden explicarse en función de estas ideas, incluida la estabilidad de una bicicleta en movimiento, el movimiento de un trompo y el comportamiento de los átomos y las galaxias.

resumen Hemos considerado el movimiento rotacional de un cuerpo rígido y lo que provoca los cambios en el movimiento rotacional. Hemos usado una analogía entre el movimiento rectlíneo y el rotacional para desarrollar muchos de los conceptos. Las ideas principales se resumen enseguida:

F r

es el movimiento rotacional? El desplazamiento 1angular¿Qué se describe por medio de un ángulo. La velocidad angular es

α τ neto = Ι α,

la razón de cambio de ese ángulo con el tiempo. La aceleración angular es la razón de cambio de la velocidad angular con el tiempo.

θ ω

t Δω α = ––– t

θ , ω= – t

m

Ι = mr2

de la cantidad de movimiento angu4lar. PorConservación analogía con la cantidad de movimiento lineal, la cantidad de movimiento angular se define como la inercia rotacional por la velocidad angular. Se conserva cuando ningún momento de torsión externo neto actúa sobre el sistema.

2

Momento de torsión y equilibrio. El momento de torsión es lo que hace que un cuerpo gire. Se define como una fuerza por el brazo de palanca de la fuerza, que es la distancia perpendicular que va de la línea de acción de la fuerza al eje de rotación. Si el momento de torsión neto que actúa sobre un cuerpo es cero, el cuerpo no cambiará su estado de rotación. F

l

τ = Fl

L = Iω Si τ ext = 0, L = constante

Paseo en bicicleta y otras proezas sorprendentes 5(cantidad de movimiento angular como vector). La dirección del vector de la velocidad angular y los vectores de la cantidad de movimiento angular se definen por medio de la regla de la mano derecha. Estos vectores explican la estabilidad de una bicicleta cuando se desplaza y otros fenómenos. Si no hay momentos de torsión externos, la dirección de la cantidad de movimiento angular se conserva, lo mismo que su magnitud.

3

Inercia rotacional y segunda ley de Newton. En la forma de la segunda ley de Newton que se relaciona con la rotación, el momento de torsión toma el lugar de la fuerza, la aceleración angular remplaza a la aceleración lineal normal y la inercia rotacional sustituye a la masa. La inercia rotacional depende de la distribución de la masa en torno al eje de rotación.

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ω

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Preguntas

161

conceptos clave aceleración angular, 144 fulcro, 146 momento de torsión, 147 brazo de palanca, 147 centro de gravedad, 148

lineal, 143 velocidad angular, 143 desplazamiento angular, 143 radián, 143 desplazamiento lineal, 144

inercia rotacional, 149 momento de inercia, 150 cantidad de movimiento angular, 152 conservación de la cantidad de movimiento angular, 153

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. ¿Qué unidades no serían apropiadas para describir una velocidad angular: rad/min2, rev/s, rev/h, m/s? Explica por qué. P2. ¿Qué unidades no serían apropiadas para describir una aceleración angular: rad/s, rev/s2, rev/m2, grados/s2? Explica por qué. P3. Una moneda rueda hacia abajo por un plano inclinado ganando rapidez a medida que desciende. ¿Tiene aceleración angular? Explica por qué. P4. La razón de rotación de un cuerpo se reduce gradualmente. ¿El cuerpo tiene aceleración angular? Explica por qué. P5. ¿La velocidad angular de un niño sentado cerca del centro de un tiovivo en rotación es la misma que la de otro niño sentado cerca del borde? Explica por qué. P6. ¿La rapidez lineal de una niña parada cerca del centro de un tiovivo que gira es la misma que la de otra niña parada cerca del borde? Explica por qué. P7. Si un cuerpo tiene una aceleración angular constante, ¿su velocidad angular también será constante? Explica por qué. *P8. Una pelota rueda hacia abajo por un plano inclinado adquiriendo rapidez mientras avanza. ¿Experimenta aceleración lineal y angular? ¿Qué distancia recorre la pelota en una revolución? ¿Cómo se relaciona su velocidad lineal con su velocidad angular? Explícalo. P9. ¿Cuál fuerza producirá el mayor momento de torsión, si es que alguna: una fuerza aplicada en el extremo del mango de una llave inglesa (perpendicular al mango) o una fuerza igual aplicada en la misma dirección cerca de la parte media del mango? Explica por qué. P10. ¿Cuál de las fuerzas representadas que actúan sobre la barra en el diagrama producirá un momento de torsión en torno a un eje perpendicular al plano del diagrama en el extremo izquierdo de la barra? Explica por qué. Eje F1 F2

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P11. Las dos fuerzas en el diagrama tienen la misma magnitud. ¿Qué orientación producirá el mayor momento de torsión sobre la rueda? Explica por qué. F1 F2

P12. ¿Es posible equilibrar a dos cuerpos de diferente peso en la barra de una balanza simple que descansa sobre un fulcro? Explica por qué. P13. ¿Es posible que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo sea cero, pero el momento de torsión neto sea mayor que cero? Explica por qué. (Pista: Las fuerzas que contribuyen a la fuerza neta tal vez no estén sobre la misma línea.) *P14. Estás tratando de mover una piedra grande usando una barra de acero como palanca. ¿Será mejor colocar el fulcro cerca de tus manos o de la piedra? Explica por qué. P15. Un lápiz está equilibrado sobre un fulcro situado a dos tercios de distancia de un extremo del lápiz. ¿El centro de gravedad del lápiz se localiza en su punto central? Explica por qué. P16. Una tabla rígida con una distribución uniforme de masa a lo largo de su longitud descansa sobre una plataforma con un extremo sobresaliendo del borde. ¿Qué distancia podemos empujar la tabla antes de que se incline? Explica por qué. *P17. Un alambre de metal uniforme se dobla en forma de L. ¿Su centro de gravedad estará sobre el mismo alambre? Explica por qué. P18. Un objeto gira a una velocidad angular constante. ¿Puede haber un momento de torsión neto que actúe sobre el objeto? Explica por qué. *P19. Una caja alta tiene un centro de gravedad más alto que una caja más baja. ¿Cuál tendrá la mayor tendencia a inclinarse si empujamos cerca de la parte superior de la caja? Explícalo con un diagrama de fuerzas. ¿Dónde está el eje de rotación probable? P20. Dos objetos tienen la misma masa total, pero el objeto A la tiene concentrada más cerca del eje de rotación que el B. ¿Cuál de los dos será más fácil poner en un movimiento rotacional? Explica por qué.

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Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

P21. ¿Es posible que dos cuerpos con la misma masa tengan diferentes inercias rotacionales? Explica por qué. P22. ¿Puedes cambiar tu inercia rotacional en torno a un eje vertical que pasa por el centro de tu cuerpo sin cambiar tu peso total? Explica por qué. P23. Una esfera sólida y otra hueca hechas de diferentes materiales tienen la misma masa y el mismo radio. ¿Cuál de ellas, si es que alguna, tendrá la mayor inercia rotacional en torno a un eje que pasa por su centro? Explica por qué. P24. ¿La cantidad de movimiento angular siempre se conserva? Explica por qué. P25. Una varilla de metal se rota primero respecto a un eje que pasa por su centro y luego en torno a un eje que pasa por uno de sus extremos. Si la velocidad angular es la misma en los dos casos, ¿la cantidad de movimiento angular también lo será? Explica por qué. P26. Un niño sobre un tiovivo que gira libremente se mueve de una posición cerca del centro a otra cerca del borde. ¿La velocidad angular del tiovivo aumenta, disminuye o no cambia? Explica por qué. *P27. Moviéndose en línea recta hacia dentro, una niña salta para subirse a un tiovivo que gira libremente. ¿Qué efecto tendrá esto en la velocidad angular del juego? Explica por qué.

P29. Imagina que estás haciendo girar en círculo una pelota atada a una cuerda. Si permites que la cuerda se enrolle en tu dedo, ¿la velocidad angular de la pelota cambiará a medida que la cuerda se acorte? Explica por qué. P30. ¿La dirección del vector de la cantidad de movimiento angular de las llantas cambia cuando una bicicleta da vuelta en una esquina? Explica por qué. P31. Una patinadora en hielo gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj respecto a un eje vertical cuando se le ve desde arriba. ¿Cuál es la dirección de su vector de cantidad de movimiento angular? Explica por qué. P32. Un lápiz, equilibrado verticalmente sobre su goma, se cae a la derecha. a) ¿Cuál es la dirección de su vector de la cantidad de movimiento angular mientras cae? b) ¿Su cantidad de movimiento angular se conserva durante la caída? Explica por qué. *P33. Un trompo se cae rápidamente si no está girando, pero permanece aproximadamente vertical durante cierto tiempo mientras gira. Explica por qué. P34. ¿Se puede hacer el truco del “dormilón” con un yo-yo si la cuerda se amarra muy ajustada al eje? Explica por qué.

P28. ¿Es posible que un patinador en hielo cambie su velocidad angular sin que intervenga ningún momento de torsión externo? Explica por qué.

ejercicios E1. Un tiovivo gira a una razón de 10 rev/min. a) Expresa esa velocidad angular en rev/s. b) Expresa esa velocidad angular en rad/s. E2. Cuando el autor del libro era un adolescente, la razón de rotación para los discos de música en un tocadiscos era de 45 rpm. a) Expresa esa velocidad angular en rev/s. b) ¿Cuántas revoluciones completa el disco en 5 s? E3. Un disco gira tres revoluciones en 4 segundos. a) ¿Cuál es el desplazamiento en radianes en ese tiempo? b) ¿Cuál es la velocidad angular media en rad/s?

E7. A partir del reposo, un tiovivo acelera a una razón constante de 0.2 rev/s2. a) ¿Cuál es su velocidad angular después de 5 s? b) ¿Cuántas revoluciones da en ese tiempo? E8. Una fuerza de 50 N se aplica en el extremo de un mango de llave inglesa que mide 24 cm de largo. La fuerza se aplica en dirección perpendicular al mango, como se observa en el diagrama. a) ¿Cuál es el momento de torsión que aplica la llave inglesa a la tuerca? b) ¿Cuál sería el momento de torsión si la fuerza se aplicara en la mitad del mango y no en el extremo?

50 N

24

E5. Una llanta de bicicleta está rotacionalmente acelerada a una velocidad constante de 1.2 rev/s2. a) Si parte del reposo, ¿cuál es su velocidad angular después de 4 s? b) ¿Cuántas revoluciones completa en ese tiempo?

cm

E4. La velocidad angular de un tiovivo aumenta a razón constante de 0.6 rad/s a 1.8 rad/s en 4 s. ¿Cuál es la aceleración angular del juego?

E6. La velocidad angular de un disco que gira disminuye de 6 rev/s a 3 rev/s en 12 s. ¿Cuál es la aceleración angular del disco?

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Problemas de síntesis E9. Un peso de 30 N se halla a una distancia de 10 cm del fulcro de la barra de una balanza simple. ¿A qué distancia del fulcro debe colocarse un peso de 20 N en el lado opuesto a fin de equilibrar el sistema? E10. Un peso de 3 N se halla a 10 cm del fulcro sobre la barra de una balanza simple. ¿Qué peso debe colocarse a 5 cm del fulcro en el lado opuesto para equilibrar el sistema? E11. Dos fuerzas se aplican a un tiovivo de 1.2 m de radio, como se muestra en el diagrama de abajo. Una fuerza tiene una magnitud de 80 N y la otra de 50 N. a) ¿Cuál es el momento de torsión en torno al eje del juego debido la fuerza de 80 N? b) ¿Cuál es el momento de torsión en torno al eje debido a la fuerza de 50 N? c) ¿Cuál es momento de torsión neto que actúa sobre el juego?

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a una llanta en torno a su eje. Un momento de torsión por fricción de 10 N·m actúa en el eje. a) ¿Cuál es el momento de torsión neto en torno al eje de la llanta? b) Si se observa que la llanta se acelera a razón de 2 rad/s2 por la influencia de estos momentos de torsión, ¿cuál es la inercia rotacional de la llanta? E15. Dos masas de 0.2 kg se hallan en cualquiera de los extremos de una varilla rígida pero muy ligera de 1 m de largo, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la inercia rotacional del sistema respecto a un eje que pasa por el centro de la varilla? Eje

0.2 kg

0.2 kg 1m

1.2 m

80 N

50 N E12. Un momento de torsión neto de 60 N·m se aplica a un disco que tiene una inercia rotacional de 12.0 kg·m2. ¿Cuál es la aceleración angular del disco? E13. Una llanta con una inercia rotacional de 4.5 kg·m2 se acelera a razón de 3.0 rad/s2. ¿Cuál es el momento de torsión neto necesario para producir tal aceleración? E14. Un momento de torsión de 60 N·m que produce una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj se aplica

E16. Una masa de 0.8 kg se halla en el extremo de una varilla rígida muy ligera de 50 cm de largo. La varilla gira en torno a un eje en su extremo opuesto a una velocidad angular de 3 rad/s. a) ¿Cuál es la inercia rotacional del sistema? b) ¿Cuál es cantidad de movimiento angular del sistema? E17. Un disco uniforme que tiene una masa de 4 kg y un radio de 0.2 m rota a una velocidad angular de 20 rad/s. a) ¿Cuál es la inercia rotacional del disco? (véase la figura 8.15). b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del disco? E18. Un estudiante, sentado en un banco que gira a razón de 20 rpm, sostiene una masa en cada mano. Cuando extiende los brazos, la inercia rotacional total del sistema es de 4.5 kg·m2. Cuando lleva los brazos al cuerpo, la inercia rotacional total se reduce a 1.5 kg·m2. Si no hay momentos de torsión externos, ¿cuál es la nueva velocidad angular del sistema?

problemas de síntesis PS1. Un tiovivo en el parque tiene un radio de 1.8 m y una inercia rotacional de 900 kg·m2. Una chico lo empuja con una fuerza constante de 80 N aplicada en el borde y paralela a éste. Un momento de torsión por fricción de 12 N·m actúa en el eje del juego. a) ¿Cuál es el momento de torsión neto que actúa sobre el tiovivo en torno a su eje? b) ¿Cuál es la aceleración angular del juego? c) A esa razón, ¿cuál será la velocidad angular del juego después de 15 s si parte del reposo? d) ¿Cuál es la aceleración angular del tiovivo si el chico deja de empujar después de 15 s? ¿Cuánto tiempo tardará el juego en detenerse? PS2. Una tabla de 4 m de longitud y un peso de 80 N se coloca sobre un muelle con 1 m de la tabla extendido sobre el agua, como se observa en el diagrama. La tabla es uniforme en densidad, de modo que su centro y el centro de gravedad se hallan en el

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mismo lugar. Un niño que pesa 150 N está parado en la tabla y se mueve lentamente desde la orilla del muelle. a) ¿Cuál es el momento de torsión ejercido por el peso de la tabla respecto al punto de giro en la orilla del muelle? (Trata al peso como si actuara sobre el centro de gravedad de la tabla.) b) ¿A qué distancia de la orilla del muelle puede caminar el niño antes de que la tabla comience a inclinarse? c) ¿Cómo podemos probar esta conclusión sin caer en el agua? Explícalo.

3m 1m

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Capítulo 8

Movimiento rotacional de cuerpos rígidos

PS3. En el parque, varios niños con una masa total de 240 kg juegan dentro de un tiovivo que tiene una inercia rotacional de 1500 kg·m2 y un radio de 2.2 m. La distancia media de los niños al eje del juego es de 2.0 m, inicialmente, ya que todos están en pie cerca del borde. a) ¿Cuál es la inercia rotacional de los niños respecto al eje del juego? ¿Cuál es la inercia rotacional total de los niños y el juego? b) Los niños ahora se mueven hacia el centro del tiovivo de modo que su distancia media al eje es de 0.5 m. ¿Cuál es la nueva inercia rotacional del sistema? c) Si la velocidad angular inicial del tiovivo era de 1.2 rad/s, ¿cuál es la velocidad angular después de que los niños se mueven hacia el centro, suponiendo que el momento de torsión por fricción puede ignorarse? (Usa la conservación de la cantidad de movimiento angular.) d) ¿El juego se acelera angularmente durante este proceso? De ser así, ¿de dónde proviene el momento de torsión de aceleración?

inercia rotacional del estudiante y la llanta, y la plataforma en torno al eje rotacional de la plataforma es de 6 kg·m2. a) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la cantidad de movimiento angular inicial del sistema? b) Si el estudiante voltea el eje de la llanta, invirtiendo la dirección de su vector de la cantidad de movimiento angular, ¿cuál es la velocidad angular (magnitud y dirección) del estudiante y el banco respecto a su eje después de que la llanta se voltea? (Pista: observa la figura 8.23.) c) ¿De dónde proviene el momento de torsión que acelera al estudiante y al banco? Explica por qué.

PS4. Un estudiante sentado en un banco que gira libremente pero que al principio está en reposo, sostiene una llanta de bicicleta. La llanta tiene una velocidad angular de 5 rev/s en torno a un eje vertical, como aparece en el diagrama. La inercia rotacional de la llanta es de 2 kg·m2 en torno a su centro y la

experimentos y observaciones para la casa EC1. Si hay un parque cercano que tenga un tiovivo que gire libremente, date un respiro y ve con un amigo o una amiga para que observes algunos de los fenómenos estudiados en el capítulo. En particular, haz estas observaciones: a) ¿Cuál es una velocidad angular común que puede lograrse con el tiovivo? ¿Qué harías para medirla? b) ¿Cuánto tiempo tarda el juego en detenerse hasta el reposo después de que dejas de empujar? ¿Podrías estimar el momento de torsión por fricción a partir de esta información? ¿Qué otra información necesitarías? c) Si tú o tu amiga o amigo se suben al tiovivo, ¿qué pasa con la velocidad angular cuando te mueves hacia dentro o hacia fuera del eje del juego? ¿Cómo lo explicas? EC2. Crea una balanza simple usando una regla como la barra y un lápiz como fulcro (es más fácil usar un lápiz o una pluma con un corte transversal hexagonal que usar uno con un corte transversal redondo). a) ¿La regla se equilibra exactamente en su punto medio? ¿Qué implica esto respecto a la regla? b) Usando una moneda de diez pesos como estándar, ¿cuáles son las razones de las monedas de cinco pesos, dos pesos y un peso respecto a la de diez pesos? Describe el proceso que usaste para calcular tales razones.

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c) ¿La distancia hasta el fulcro necesaria para equilibrar dos monedas de diez pesos en un lado con una sola moneda de diez pesos en el lado opuesto se halla exactamente a la mitad para la moneda de diez pesos sola? ¿Cómo explicarías cualquier discrepancia? EC3. Puedes hacer un trompo simple cortando un trozo de cartulina circular, haciendo un agujero en el centro y usando un lápiz corto como eje. Un palillo de madera corto con un extremo redondeado funciona aún mejor que un lápiz. a) Trata de construir un trompo como éste y pruébalo. ¿A qué distancia hacia arriba del lápiz debe colocarse la cartulina para que alcance la mayor estabilidad? b) Observa lo que ocurre con el eje de rotación del trompo cuando reduce su velocidad. ¿Cuál es la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular y cómo cambia? c) ¿Qué ocurre con la estabilidad del trompo si pegas con cinta adhesiva dos monedas de un peso cerca del borde en lados opuestos del disco de cartulina? EC4. Trata de girar una moneda de cinco pesos u otra moneda grande sobre su borde en una superficie lisa. Describe el movimiento que sigue, prestando particular atención a la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular.

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unidad

Dos

Fluidos y calor

L

as cuestiones relacionadas con la energía se han tornado cada vez más importantes a medida que las fuentes de suministro de petróleo escasean. Si bien la teoría de la mecánica de Newton nació en el siglo XVII, los conceptos físicos subyacentes a lo que sabemos sobre el uso de la energía no tuvieron grandes avances sino hasta el siglo XIX. Algunos de ellos, sobre todo de los campos de la mecánica de fluidos y la termodinámica, surgieron gracias a la Revolución Industrial, la cual no habría ocurrido sin la invención de las máquinas de vapor usadas en las fábricas, los trenes y los barcos. Comprender el comportamiento de los fluidos, en particular de los gases, resulta fundamental para entender numerosos tipos de máquinas, entre ellas las de vapor. La termodinámica es igualmente fundamental porque describe las conversiones de energía que ocurren en los motores térmicos y otros sistemas. El estudio de la mecánica de fluidos y la termodinámica es una parte central del aprendizaje de los ingenieros mecánicos que diseñan tales sistemas. La historia de la termodinámica ha dado giros extraños. Un científico e ingeniero francés, Sadi Carnot (1796-1832), desarrolló una teoría de las máquinas térmicas alrededor de 1820, pero planteaba más preguntas que las que respondía. Carnot comprendía hasta cierto punto lo que ahora llamamos la segunda ley de la termodinámica, pero le faltaban elementos centrales para

comprender la primera, que supone la conservación de la energía, idea que no resultó fructífera sino hasta 1850, aproximadamente treinta años después. La elaboración de una teoría integral hubo de esperar hasta entonces para comprender los resultados de la combinación de la primera y la segunda ley de la termodinámica. En general se atribuye a lord Kelvin (William Thompson; 1824-1907) la introducción de la primera y la segunda ley de la termodinámica, pero muchas otras personas contribuyeron a ello, incluido James Prescott Joule (1818-1889), quien midió el efecto del calor del trabajo mecánico, idea clave en la primera ley de la termodinámica. Juntas, esas dos leyes establecen los límites de lo que puede lograrse con la energía en forma de calor. Las leyes de la termodinámica revisten importancia cardinal en todo análisis del uso de los recursos energéticos. La energía sigue siendo un tema crítico porque nuestra gran dependencia del combustible fósil no puede durar de manera indefinida. La preocupación por el calentamiento global (asociada con el efecto invernadero) y otros problemas ambientales relacionados con el empleo de la energía se han vuelto centrales de la discusión política. Los conceptos científicos subyacentes a tales cuestiones son significativos para economistas, políticos, ambientalistas y ciudadanos en general. En los capítulos 9, 10 y 11 los estudiaremos.

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El comportamiento de los fluidos

esquema del capítulo

1

capítulo

9

descripción del capítulo Nuestro primer objetivo en este capítulo consiste en explorar el significado de la presión. Después investigaremos la presión atmosférica y cómo varía con la profundidad en un fluido. Estas ideas nos prepararán para explorar el comportamiento de los cuerpos que flotan, así como lo que ocurre cuando los fluidos se hallan en movimiento. Los fluidos en movimiento se describen mediante el principio de Bernoulli, lo que nos ayuda a explicar por qué una bola curva tiene una trayectoria sesgada y muchos otros fenómenos.

2

3 4

unidad dos

5

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Presión y principio de Pascal. ¿Qué es la presión? ¿Cómo se transmite de una parte de un sistema a otra? ¿Cómo funcionan un gato o una prensa hidráulicos? Presión atmosférica y comportamiento de los gases. ¿Cómo medimos la presión atmosférica y por qué varía? ¿Por qué podemos comprimir los gases más fácilmente que los líquidos? ¿Qué es la ley de Boyle? Principio de Arquímedes. ¿Qué es el principio de Arquímedes? ¿Cómo se relaciona con las diferencias en la presión? ¿Por qué un barco de vapor flota pero un bulto de acero se hunde? Fluidos en movimiento. ¿Qué características observamos en los fluidos en movimiento? ¿Qué es la viscosidad? ¿Cómo varía la velocidad de un fluido en movimiento si cambiamos el ancho de la tubería o de la corriente por donde circula? Principio de Bernoulli. ¿Qué es el principio de Bernoulli y cómo se relaciona con la conservación de la energía? ¿Cómo se puede aplicar para explicar el movimiento de una bola curva y otros fenómenos?

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9.1 Presión y principio de Pascal

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L

os barcos ejercen una fascinación especial en muchos de nosotros. Cuando eras niño quizá pusiste a flotar ramitas o varitas en los arroyos. Una vara o un barco de juguete seguirán la corriente de un arroyo, moviéndose a veces con rapidez y otras cayendo en un remolino o quedando atrapados cerca de la orilla. Al contemplar la ramita flotar, observaste algunas características del flujo de fluidos. Probablemente también notaste que algunas cosas flotan y otras no. Las piedras se hunden rápidamente hasta el fondo del arroyo. Cuando creciste, tal vez te hayas preguntado por qué un barco de acero flota, en tanto que un pedazo de metal que se deja caer en el agua se hunde de inmediato (figura 9.1). ¿La forma del material guarda alguna relación con si éste flota o no? ¿Puedes hacer un bote de concreto? Las cosas pueden flotar en el aire lo mismo que en el agua. Un globo lleno de helio jala hacia arriba sobre la cuerda, pero otro lleno de aire cae al piso. ¿Qué marca esta diferencia? El comportamiento de las cosas que flotan (o se hunden) en el agua o el aire es un aspecto del comportamiento de los fluidos. El agua y el aire son ejemplos de

9.1 Presión y principio de Pascal Una mujer pequeña que usa zapatos de tacón se hunde en el suelo blando, pero un hombre que usa zapatos talla 13 puede caminar sobre el mismo suelo sin dificultad (figura 9.2). ¿Por qué? El hombre pesa mucho más que la mujer; por tanto, debe ejercer una fuerza mayor sobre el suelo. Pero los tacones altos de la mujer dejan hendiduras más profundas en el suelo. Es claro que el peso por sí mismo no es el factor determinante. La manera como se distribuye la fuerza en toda el área de contacto entre los zapatos y la Tierra es más significativa. Los zapatos de la mujer tienen un área de contacto pequeña, en tanto que en los de él esa área es mucho mayor. La fuerza que los pies del hombre ejercen sobre el suelo debido a su peso se distribuye en un área mayor.

¿Cómo se define la presión? ¿Qué sucede cuando te paras o caminas sobre un suelo blando? Si no estás acelerando en dirección vertical, tu peso debe

9.2 Los tacones altos de una mujer se hunden en el suelo blando, pero los zapatos de un hombre de mayor tamaño, no.

figura

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9.1 Un barco de acero flota, pero un pedazo de metal que se deja caer en el agua se hunde rápidamente. ¿Cómo se explica esto?

figura

fluidos, aunque uno es un líquido y el otro es un gas. Los dos fluyen fácilmente y se ajustan a las formas de los recipientes que los contienen, a diferencia de los sólidos, que tienen formas propias. Aunque, en general, los líquidos son más densos que los gases, muchos de los principios que se aplican a ellos también son válidos para los gases, así que es lógico considerarlos juntos bajo el título común de fluidos. La presión es central en la descripción del comportamiento de los fluidos, por lo que la estudiaremos desde todos los ángulos. La presión interviene en el principio de Arquímedes, que explica por qué flotan las cosas, pero también es importante en otros fenómenos que expondremos, incluido el flujo de fluidos.

equilibrarse por la fuerza normal ejercida hacia arriba sobre tus pies por el suelo. Por la tercera ley de Newton, ejerces una fuerza normal descendente sobre el suelo igual a tu peso. La cantidad que determina si el suelo cederá, dejando que tus zapatos se hundan en el suelo, es la presión ejercida sobre éste por tus zapatos. La fuerza normal no importa tanto como la fuerza por unidad de área: La presión es la razón de la fuerza al área sobre la cual se aplica: P=

F A

La presión se mide en unidades de newtons por metro cuadrado (N/m2), que es la unidad métrica de fuerza dividida entre la unidad métrica de área. Esta unidad también se llama pascal (1 Pa = 1 N/m2). El área de un tacón puntiagudo de una mujer puede ser muy pequeña, digamos, 1 o 2 centímetros cuadrados (cm2). Cuando caminas, a veces casi todo tu peso queda soportado por tu talón. El peso cambia del talón a los dedos a medida que te desplazas hacia delante para cambiar el peso al otro pie. Da unos cuantos pasos para comprobar esta afirmación. El peso de la mujer dividido entre el área pequeña de su tacón produce una presión grande sobre el suelo. El zapato del hombre, por otro lado, puede tener un área de tacón grande, por ejemplo, 100 cm2 (para un zapato talla 13). Como el área de su tacón puede ser 100 veces más grande que el área del tacón de la mujer, puede pesar dos o tres veces más que

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Capítulo 9

El comportamiento de los fluidos 2 cm 1 cm

9.3 Un cuadrado con lados de 2 cm de largo tiene un área que mide cuatro veces el tamaño de un cuadrado con lados de 1 cm de largo.

figura

la mujer y aún así la presión que ejerce sobre el suelo (P = F/A) es una fracción pequeña de la ejercida por la mujer. Su presión menor conduce a una hendidura menos profunda en el suelo. El área sobre la que se distribuye una fuerza es el factor crítico en la presión. El área de una superficie aumenta más deprisa que las dimensiones lineales de la superficie. Un cuadrado que mide 1 cm por lado tiene un área de 1 cm2, por ejemplo, pero en otro de 2 cm por lado el área es de 4 cm2 (2 cm × 2 cm), cuatro veces el tamaño del cuadrado pequeño (figura 9.3). En un círculo, el área es igual a π veces el cuadrado de su radio (A = πr2). Un círculo con un radio de 10 cm tiene un área 100 veces mayor (102) que otro con un radio de 1 cm.

Principio de Pascal ¿Qué sucede dentro de un fluido cuando se ejerce presión sobre él? ¿La presión tiene dirección? ¿Transmite una fuerza hacia las paredes o el fondo del recipiente que lo contiene? Estas preguntas ponen de relieve otra característica importante de los fluidos. Cuando aplicamos una fuerza empujando hacia abajo el pistón de un cilindro, como en la figura 9.4, el pistón ejerce una fuerza sobre el fluido. Por la tercera ley de Newton, el fluido también ejerce una fuerza (en dirección opuesta) sobre el pistón. El fluido dentro del cilindro se aplastará y podría disminuir de volumen. Se ha comprimido. Igual que un resorte comprimido, el fluido comprimido empujará hacia fuera sobre las paredes y el fondo del cilindro, así como sobre el pistón. Aunque el fluido se comporte como un resorte, es un resorte poco común. Al comprimirlo empuja hacia fuera uniforme-

mente en todas direcciones. Cualquier aumento en la presión se transmite uniformemente a todo el fluido, como se indica en la figura 9.4. Si ignoramos las variaciones en la presión debidas al peso del fluido mismo, la presión que empuja hacia arriba sobre el pistón es igual a la presión que empuja hacia fuera sobre las paredes y hacia abajo sobre el fondo del cilindro. La capacidad de un fluido para transmitir los efectos de la presión de manera uniforme es la parte esencial del principio de Pascal y la base de la operación de un gato y otros dispositivos hidráulicos. Blas Pascal (1623-1662) fue un científico y filósofo francés cuyos principales aportes enriquecieron las áreas de la estática de fluidos y la teoría de la probabilidad. En general, el principio de Pascal se establece como sigue: Cualquier cambio en la presión de un fluido se transmite de manera uniforme en todas direcciones a través de todo el fluido.

¿Cómo funciona un gato hidráulico? Los sistemas hidráulicos son las aplicaciones más comunes del principio de Pascal. Dependen de la transmisión uniforme de la presión, así como de la relación establecida entre la presión, la fuerza y el área y que proviene de la definición de presión. La idea básica se ilustra en la figura 9.5. Una fuerza aplicada a un pistón que tiene un área pequeña puede producir un gran aumento en la presión del fluido debido justamente a esa área pequeña. Tal aumento en la presión se transmite a través del fluido al pistón que está a la derecha en la figura 9.5, el cual tiene un área mucho mayor. Puesto que la presión es igual a fuerza por unidad de área, la fuerza ejercida por esta presión sobre el pistón más grande es proporcional al área del pistón (F = PA). La aplicación de la misma presión al área más grande del segundo pistón resulta en una fuerza mucho más grande en el segundo pistón. Como es factible construir un sistema en el que el área del segundo pistón sea 100 veces más grande que la del primero, podemos producir una fuerza en el segundo pistón más de 100 veces mayor que la fuerza de entrada. La ventaja mecánica, es decir, la razón de la fuerza de salida a la fuerza de entrada,

50 kg F1

P

A2

A1 P

P

P

F2

F _2 = A _2 F1 A1

9.4 La presión ejercida sobre el pistón se extiende de manera uniforme por todo el fluido, empujando hacia fuera con una fuerza igual por unidad de área sobre las paredes y el fondo del cilindro.

figura

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9.5 Una fuerza pequeña F1 aplicada a un pistón con un área pequeña produce una fuerza mucho mayor F2 sobre el pistón más grande. Esto hace posible que un gato hidráulico levante objetos pesados.

figura

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169

9.2 Presión atmosférica y el comportamiento de los gases

de un sistema hidráulico en general será grande comparada con una palanca u otra máquina simple (véase la sección 6.1.) Una fuerza pequeña aplicada al pistón de entrada de un gato hidráulico puede multiplicarse para producir una fuerza lo suficientemente grande como para levantar un automóvil (figura 9.6). Estas ideas se ilustran en el cuadro de ejemplo 9.1. Como vimos en el capítulo 6, algo se cede para obtener una fuerza de salida mayor. El trabajo realizado por el pistón más grande al levantar el automóvil no puede ser mayor que el trabajo que entra en la manivela del gato. Como el trabajo es igual a la fuerza por la distancia (W = Fd), una fuerza de salida grande significa que el pistón más grande se mueve sólo una distancia pequeña. La conservación de la energía requiere que si la fuerza de entrada es 50 veces más grande que la fuerza de entrada, el pistón de entrada debe moverse 50 veces más lejos que el de salida. Con un gato hidráulico bombeado a mano, tienes que mover el pistón más pequeño varias veces, dejando que la cámara del gato se vuelva a llenar con fluido tras cada golpe. La distancia total movida por el pistón pequeño es la suma de las distancias movidas en cada golpe. El pistón más grande se mueve lentamente hacia arriba mientras tú bombeas. Un proceso parecido ocurre en los gatos hidráulicos más grandes. Los sistemas hidráulicos y el fluido también se usan en los sistemas de frenos de los automóviles y en muchas otras aplicaciones. El aceite es más eficaz que el agua porque no es corrosivo y, además, puede lubricar, lo que asegura la operación uniforme del sistema. Los sistemas hidráulicos aprovechan la capacidad de los fluidos para transmitir cambios en la presión, según describe el principio de Pascal. También pueden usar el efecto multiplicador producido por los pistones de diferentes áreas. Un sistema hidráulico es un buen ejemplo del concepto de presión en acción. La presión es la razón de la fuerza al área sobre la cual se aplica. Una fuerza aplicada a un área pequeña ejerce una presión mucho mayor que la misma fuerza aplicada a un área más grande. Los cambios en la presión se transmiten de manera uniforme a través de un fluido, y la presión empuja hacia fuera en todas direcciones, de acuerdo con el principio de Pascal. Ello explica la operación de un gato y otros sistemas hidráulicos.

cuadro de ejemplo 9.1 Ejercicio: algunas ideas básicas de los gatos hidráulicos Una fuerza de 10 N se aplica a un pistón circular de 2 cm2 de área en un gato hidráulico. El pistón de salida del gato tiene un área de 100 cm2. a) ¿Cuál es la presión en el fluido? b) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre el pistón de salida por el fluido? a) F1 = 10 N

P =

A1 = 2 cm2 = 0.0002 m2 P = ?

F1 A1

10 N = 0.0002 m 2 = 50 000 N/m2 = 50 kPa

Un kilopascal (kPa) es 1000 Pa, o 1000 N/m2. b) A2 = 100 cm2 = 0.01

m2

P = 50 kPa

F2 = PA2 = (50 000 N/m2)(0.01 m2) = 500 N

F2 = ? La ventaja mecánica de este gato es 500 N dividido entre 10 N, o sea, 50 N: la fuerza de salida es 50 veces mayor que la de entrada.

9.2 Presión atmosférica y el comportamiento de los gases Al vivir en la superficie de la Tierra nos hallamos en el fondo de un mar de aire. Excepto por el humo o la niebla, el aire en general es invisible. Pocas veces pensamos en él. ¿Cómo sabemos que está ahí? ¿Qué efectos medibles ejerce? Sentimos la presencia del aire, desde luego, cuando paseamos en bicicleta o caminamos en un día con viento. Los esquiadores, los ciclistas y los diseñadores de automóviles están conscientes de la necesidad de reducir la resistencia al flujo del aire que pasa por ellos y sus vehículos. La respiración ardua de un alpinista se debe en parte al adelgazamiento de la atmósfera cerca de la cima de una montaña alta. ¿Cómo medimos la presión atmosférica y sus variaciones con el clima o la altitud?

¿Cómo se mide la presión atmosférica?

figura 9.6 con facilidad.

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Un gato hidráulico puede levantar un automóvil

La presión atmosférica se midió por primera vez en el siglo xvii. Galileo notó que las bombas de agua que diseñaba podían bombear el líquido a una altura de sólo 32 pies, pero nunca se explicó adecuadamente por qué. Su discípulo, Evangelista Torricelli (1608-1647), inventó el barómetro cuando intentó responder a esa pregunta.

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170

Capítulo 9

El comportamiento de los fluidos

Torricelli estaba interesado en el vacío. Razonó que las bombas de Galileo creaban un vacío parcial y que la presión del aire que ejerce un empuje hacia abajo sobre el agua de la bomba era responsable de elevar el líquido. Al idear una demostración de su hipótesis, se le ocurrió usar un fluido mucho más denso que el agua. El mercurio o azogue era la opción lógica, ya que se trata de un fluido a temperatura ambiente que tiene una densidad aproximada de 13 veces la del agua. Por ende, cierto volumen de mercurio tiene una masa (y un peso) 13 veces mayor que un volumen igual de agua. La densidad es la masa de un cuerpo dividida entre su volumen. Las unidades métricas de la densidad son kg/m3 o g/cm3.

En sus primeros experimentos Torricelli empleó un tubo de vidrio de aproximadamente 1 metro de longitud, sellado en un extremo y abierto en el otro. Lo llenó de mercurio y luego, manteniendo su dedo sobre el extremo abierto, lo volteó y colocó este extremo en el recipiente abierto donde había también mercurio (figura 9.7). El mercurio fluyó del tubo al recipiente hasta alcanzar el equilibrio, dejando en el tubo una columna de mercurio de aproximadamente 76 cm (30 pulgadas) de altura. La presión ejercida por el aire hacia abajo, sobre la superficie del mercurio en el recipiente abierto, era en apariencia lo suficientemente sólida para soportar una columna de mercurio de 76 cm de altura. Torricelli fue cuidadoso para demostrar experimentalmente que había un vacío en el espacio que quedaba en la parte superior del tubo, encima de la columna de mercurio. La razón de que la columna de mercurio no caiga es que la presión que

hay en la parte superior de la columna es cero, en tanto que la que hay en la parte inferior es igual a la presión atmosférica. Aún seguimos refiriéndonos a la presión atmosférica ya sea en centímetros o en pulgadas de mercurio (la unidad de uso más generalizado en Estados Unidos). ¿Cómo se relacionan estas unidades con el pascal? Podemos establecer la relación entre estas unidades si conocemos la densidad del mercurio. A partir de ésta, es posible calcular el peso de la columna de mercurio que soporta la atmósfera. Al dividir ese peso entre el área transversal del tubo obtenemos la fuerza por unidad de área, o presión. Si seguimos esta lógica encontraremos que una columna de mercurio de 76 cm de altura produce una presión de 1.01 × 105 Pa, conocida como presión atmosférica estándar. La presión atmosférica mide aproximadamente 100 kilopascales (kPa) en el nivel del mar, o 14.7 libras por pulgada cuadrada (psi). (Las libras por pulgada cuadrada son la unidad británica de presión que aún se utiliza en Estados Unidos para medir la presión de las llantas y muchas otras presiones de interés práctico, 1 psi = 6.9 kPa.) Como vives en el fondo de este mar de aire, tienes 14.7 libras de fuerza que ejercen un empuje sobre cada centímetro cuadrado de tu cuerpo. ¿Por qué no lo notas? Los fluidos impregnan tu cuerpo y empujan hacia fuera de regreso, es decir, las presiones interior y exterior son en esencia iguales (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 9.1). Un famoso experimento diseñado para demostrar los efectos de la presión del aire fue realizado por Otto von Guericke (1602-1686). Von Guericke diseñó dos hemisferios de bronce que podía unir con facilidad por los bordes. Luego extrajo el aire de la esfera formada por los dos hemisferios mediante una bomba de vacío que había inventado. Como se muestra en la figura 9.8, dos equipos de ocho caballos no pudieron separar los hemisferios. Cuando se abrió la llave de paso para dejar que el aire entrara de nuevo en la esfera evacuada, los dos hemisferios se separaron con facilidad.

Variaciones en la presión atmosférica

76 cm Mercurio

9.7 Torricelli llenó un tubo de mercurio y lo volteó en un recipiente abierto donde también había mercurio. La presión del aire que actúa sobre el mercurio del recipiente puede soportar una columna de ese metal de 76 cm de altura.

figura

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Como vivimos en el fondo de un mar de aire, cabría esperar que la presión disminuyera a medida que subimos en altitud. La presión que experimentamos resulta del aire que se halla debajo de nosotros. Conforme ascendemos desde la superficie de la Tierra, hay menos atmósfera encima de nosotros; por tanto, la presión debe disminuir. Un razonamiento similar llevó a Blas Pascal a tratar de medir la presión atmosférica en diferentes altitudes poco tiempo después que Torricelli inventó el barómetro de mercurio. Como Pascal no gozó de buena salud la mayor parte de su vida adulta y no podía subir montañas, envió a su cuñado a la cima de la montaña Puy-de-Dome, situada en el centro de Francia, con un barómetro parecido al de Torricelli. El cuñado de Pascal descubrió que la altura de la columna de mercurio soportada por la atmósfera era aproximadamente 7 cm menor en la cima de la montaña de 1460 m (4800 pies) que en sus faldas. Pascal pidió a su cuñado que llevara un globo parcialmente inflado a la cima de la montaña. Y como lo predijo, el globo se

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9.2 Presión atmosférica y el comportamiento de los gases

fenómenos cotidianos

171

cuadro 9.1

Medición de la presión sanguínea Situación. Cuando vas al médico, en general la enfermera mide tu presión sanguínea antes de la revisión. Te colocan un brazalete alrededor del brazo (como se muestra en la fotografía) y luego bombean aire a él, lo que te produce la sensación de que te aprietan el brazo. Luego la columna de aire se suelta lentamente mientras la enfermera escucha algo con un estetoscopio y anota algunos números como 125 sobre 80.

cardiaco. La lectura baja, la presión diastólica, se toma cuando el flujo sanguíneo ocurre incluso en el punto inferior del ciclo. Existen sonidos distintivos que recoge el estetoscopio. La presión registrada es, en realidad, la del brazalete para estas dos condiciones. Es una presión manométrica, que representa la diferencia de presión entre la presión que se está midiendo y la presión atmosférica. Se registra en unidades de mm de mercurio, que es la forma común de registrar la presión atmosférica. Por ende, una lectura de 125 significa que la presión en el brazalete es 125 mm de mercurio arriba de la presión atmosférica. Un manómetro de mercurio que está abierto al aire en un lado (observa el dibujo) medirá el indicador de presión directamente.

Manómetro abierto

Brazalete Válvula

La medición de la presión sanguínea es un procedimiento normal en la mayoría de las visitas al médico. ¿Cómo funciona este procedimiento?

¿Cuál es el significado de esos dos números? ¿Qué es la presión sanguínea y cómo se mide? ¿Por qué esta lectura es un factor importante, junto con la de tu peso, temperatura e historia médica, en la valoración de tu salud? Análisis. Tu sangre fluye por un intrincado sistema de arterias y venas en tu cuerpo. Como sabemos, este flujo es impulsado por el corazón, el cual es básicamente una bomba; dicho con más exactitud, es una bomba doble. Una mitad bombea sangre a través de los pulmones, donde las células sanguíneas recogen oxígeno y desechan bióxido de carbono. La otra mitad del corazón bombea sangre por el resto de tu cuerpo para entregar oxígeno y nutrientes. Las arterias transportan sangre desde el corazón hacia pequeños vasos capilares que funcionan en conjunto con otras células en los músculos y los órganos. Las venas reúnen sangre de los vasos capilares y la llevan de vuelta al corazón. Medimos la presión sanguínea en una arteria principal de tu brazo superior aproximadamente a la misma altura a la que se halla tu corazón. Cuando se bombea aire hacia el brazalete alrededor de tu brazo, comprime esa arteria de manera que la sangre deja de fluir. La enfermera coloca el estetoscopio, un dispositivo para escuchar, cerca de la arteria en un punto inferior del brazo y escucha el flujo sanguíneo que reinicia cuando suelta el aire del brazalete. El corazón es una bomba palpitante que bombea sangre con más fuerza cuando el músculo cardiaco está comprimido casi completamente. Por tanto, la presión fluctúa entre valores alto y bajo. La lectura más alta en la medición de la presión sanguínea, la presión sistólica, se toma cuando la sangre acaba de comenzar a fluir por la arteria comprimida en el punto máximo del ciclo

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Estetoscopio

Un manómetro abierto sirve para medir la presión manométrica del brazalete. El estetoscopio se usa para escuchar sonidos que indiquen el reinicio del flujo sanguíneo.

La presión sanguínea alta puede ser un síntoma de muchos problemas de salud, pero concretamente es una advertencia de ataques al corazón y derrames cerebrales. Cuando las arterias se constriñen debido a la formación de depósitos de placas dentro de ellas, el corazón debe trabajar más duro para bombear sangre por el cuerpo. Con el tiempo esto puede debilitarlo. El otro peligro radica en que los vasos sanguíneos podrían reventarse en el cerebro, provocando un derrame o produciendo coágulos sanguíneos que podrían soltarse y bloquear las arterias más pequeñas del corazón o del cerebro. En todo caso, la presión sanguínea alta es un indicador importante de un problema potencial. La presión sanguínea baja también puede ser un indicio de problemas. Puede causar mareos cuando no llega suficiente sangre al cerebro. Cuando te paras rápidamente, a veces experimentas una sensación de “vértigo” porque el corazón tarda un momento breve en ajustarse a la nueva condición en la que tu cabeza está en una posición más alta. Las jirafas tienen una presión sanguínea aproximadamente tres veces mayor que la de los seres humanos (en términos de la presión manométrica). ¿Por qué crees que sea así?

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172

Capítulo 9

El comportamiento de los fluidos

El peso de una columna de aire

9.8 Dos equipos de ocho caballos no pudieron separar la esfera de metal al vacío de von Guericke. ¿Qué fuerza mantiene los dos hemisferios unidos?

figura

fue inflando a medida que los alpinistas ganaban altitud lo que indicaba una disminución en la presión atmosférica externa (figura 9.9). Pascal pudo demostrar un descenso en la presión dentro de la ciudad de Clermont entre su punto más bajo y la cima de la torre de su catedral. La disminución era pequeña pero mensurable. Con el barómetro recién inventado, Pascal también observó variaciones en la presión relacionadas con los cambios de clima. Las alturas de la columna eran más bajas en los días de tormenta que en los días despejados. Esta variación de la presión se ha usado desde entonces para indicar cambios climáticos. El descenso de la presión atmosférica significa que habrá un clima tormentoso. En general, las lecturas son correctas en el nivel del mar, así que las variaciones en altitud no ocultarán cambios relacionados con el clima.

9.9 Un globo que se infló parcialmente cerca del nivel del mar se expandió a medida que los experimentadores escalaban la montaña.

figura

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¿Podemos calcular la variación en la presión atmosférica con la altitud de la misma forma que calculamos la presión en el fondo de una columna de mercurio? Necesitaríamos saber el peso de la columna de aire que se encuentra sobre nosotros. Aunque el mercurio y el aire son fluidos, hay una diferencia significativa (además de la diferencia en la densidad) entre el comportamiento de una columna de mercurio y otra de aire. El mercurio, como la mayor parte de los líquidos, no se comprime con facilidad. En otras palabras, el aumento en la presión en cierta cantidad de mercurio no cambia mucho su volumen. La densidad del mercurio (masa por unidad de volumen) es la misma cerca de la parte inferior de la columna que de la superior. Un gas como el aire, por su parte, es fácil de comprimir. A medida que cambia la presión, el volumen cambia, lo mismo que la densidad. Por ende, no podemos usar un solo valor de la densidad para calcular el peso de una columna de aire. Su densidad se reduce a medida que subimos por la atmósfera (figura 9.10). Esta diferencia importante entre los gases y los líquidos procede de diferencias en su “empaquetamiento” atómico o molecular. Excepto a presiones muy altas, los átomos o moléculas de un gas están separados por distancias muy grandes comparadas con el tamaño de los átomos mismos, como se indica en la figura 9.11. Los átomos de un líquido, por otro lado, están empacados cercanamente de manera muy parecida a como lo están en un sólido. No pueden comprimirse fácilmente. Los gases son elásticos. Pueden comprimirse sin dificultad a una fracción pequeña de su volumen inicial. También pueden expandirse si la presión se reduce, como el gas en el globo de Pascal. Es probable que los cambios en la temperatura afecten el volumen o la presión de un gas mucho más de lo que afectan un líquido. No obstante, si la temperatura se mantiene constante, el volumen se modifica con los cambios en la presión.

figura 9.10

La densidad de una columna de aire disminuye a medida que la altitud aumenta porque el aire se expande cuando la presión disminuye.

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173

9.2 Presión atmosférica y el comportamiento de los gases Líquido

Gas

V1

V2

figura 9.11

Los átomos de un líquido están empacados cercanamente, mientras que los de un gas están separados por distancias mucho más grandes. a)

¿Cómo cambia el volumen de un gas con la presión? Las variaciones en el volumen y la densidad de un gas que acompañan los cambios en la presión fueron estudiadas por Robert Boyle (1627-1691) en Inglaterra, así como por Edme Mariotte (1620-1684) en Francia. Los resultados de Boyle se notificaron primero en 1660, pero pasaron inadvertidos en el continente, donde Mariotte publicó conclusiones similares en 1676. Ambos estaban interesados en la dilatación, o compresibilidad del aire. Los dos experimentadores utilizaron un tubo de vidrio doblado y sellado en uno de sus extremos y abierto en el otro (figura 9.12). En el experimento de Boyle, el tubo se llenó parcialmente de mercurio, de modo que el aire quedaba atrapado en la parte más cerrada. Permitía que el aire pasara hacia delante y hacia atrás inicialmente, de modo que la presión en el lado más cerrado era igual a la presión atmosférica y la columna de mercurio en cualquier lado tenía la misma altura. Cuando Boyle añadía mercurio en el extremo abierto del tubo, el volumen del aire atrapado en el lado cerrado disminuía. Cuando añadió suficiente mercurio para aumentar la presión atmosférica al doble, la altura de la columna de aire en el lado cerrado disminuyó a la mitad. En otras palabras, al duplicar la presión provocaba que el volumen de aire disminuyera a la mitad. Boyle descubrió que el volumen de un gas es inversamente proporcional a la presión. Simbólicamente podemos expresar la ley de Boyle como sigue:

b)

figura 9.12

En el experimento de Boyle, la adición de mercurio en el extremo abierto del tubo doblado produjo una disminución en el volumen del aire atrapado en el extremo cerrado.

Para que la ley de Boyle sea válida, una masa o cantidad de gas fija debe mantenerse a temperatura constante mientras la presión y el volumen cambian. A medida que ganamos altitud, la presión atmosférica disminuye, y el volumen de cierta masa de aire aumenta. Como la densidad es la razón de la masa al volumen, la densidad del aire debe disminuir a medida que el volumen aumenta. Al calcular el peso de una columna de aire debemos considerar el cambio en la densidad, y el cálculo se vuelve más complejo que para la columna de mercurio. La densidad de un gas también depende de la temperatura, la cual, en general, disminuye a medida que ganamos altitud, una complicación más.

cuadro de ejemplo 9.2 Ejercicio: ¿cómo cambia un gas con la presión? Un cilindro tapado en un extremo por un pistón movible contiene una cantidad fija de gas. La presión inicial del gas es de 1 atmósfera (101 kPa) y el volumen inicial es de 0.3 m3. ¿Cuál es el volumen final del gas si la presión aumenta a 3 atmósferas a temperatura constante?

PV = constante, donde P es la presión en el gas y V es el volumen de éste. Si la presión aumenta, el volumen disminuye en proporción inversa para mantener constante el producto de la presión y el volumen. Con frecuencia escribimos la ley de Boyle (también conocida como ley de Mariotte en el continente) como P1V1 = P2V2, donde P1 y V1 son la presión y el volumen iniciales, y P2 y V2 son la presión y el volumen finales (véase el cuadro de ejemplo 9.2).

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P1 = 1 atm V1 = 0.3

m3

P2 = 3 atm V2 = ?

P1V1 = P2V2 = constante V2 =

P1V1 P2

3 = (1 atm)(0.3 m ) 3 atm

= 13 (0.3 m3) = 0.1 m3

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174

Capítulo 9

El comportamiento de los fluidos

Vivimos en el fondo de un mar de aire, cuya presión podemos medir con barómetros. Los primeros barómetros consistían en una columna de mercurio en un tubo de vidrio cerrado. La altura de la columna soportada por la presión atmosférica es una medida de la presión. La presión atmosférica disminuye con el incremento de la altitud, ya que está determinada por la altura de la columna de aire que está encima. Sin embargo, determinar el peso de una columna de aire es más difícil que establecer el peso de una columna de mercurio porque el aire es compresible y su densidad varía con la altitud. La ley de Boyle describe cómo cambia el volumen de un gas con la presión: al aumentar la presión el volumen disminuye en proporción inversa.

9.3 Principio de Arquímedes ¿Por qué ciertas cosas flotan y otras no? ¿La flotación está determinada por el peso del objeto? Un trasatlántico grande flota, pero una piedrita se hunde rápidamente. Desde luego, no es cuestión del peso total del objeto; su densidad es fundamental. Los objetos más densos que el fluido en que están inmersos se hundirán, pero los menos densos flotarán. La respuesta completa a la pregunta de por qué las cosas se hunden o flotan se encuentra en el principio de Arquímedes, el cual describe la fuerza de flotación ejercida sobre cualquier objeto total o parcialmente inmerso en un fluido.

¿Qué es el principio de Arquímedes? Un bloque de madera flota, pero uno de metal con la misma forma y tamaño se hunde. El bloque de metal pesa más que el de madera, aun cuando tiene la misma forma, lo que significa que el metal es más denso que la madera. La densidad es la razón de la masa al volumen (o masa por unidad de volumen). El metal tiene una masa mayor que la madera para el mismo volumen. Como el peso se calcula multiplicando la masa por la aceleración gravitacional g, el metal también tiene un peso mayor para el mismo volumen. Si comparamos las densidades de los bloques de metal y de madera con la del agua, encontraremos que el de metal tiene una densidad mayor que el agua y que la del bloque de madera es menor que la del agua. La densidad media de un cuerpo comparada con un fluido es lo que determina si el cuerpo se hundirá o flotará en ese fluido. Si empujamos hacia abajo un bloque de madera que flota en una alberca, podemos sentir claramente que el agua lo empuja de regreso hacia arriba. De hecho, es difícil sumergir un bloque grande de madera o una cámara de hule llena de aire: ambos seguirán empujando hacia la superficie. La fuerza ascendente que los empuja de vuelta a la superficie se llama fuerza de flotación. Si el bloque de madera está parcialmente sumergido al principio y empujas hacia abajo para sumergirlo más, la fuerza de flotación se vuelve mayor a medida que se sumerge más parte del bloque. Cuenta la leyenda que Arquímedes estaba sentado en los baños públicos observando cómo flotaban los cuerpos cuando se dio cuenta de qué es lo que determina la intensidad de la fuerza

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de flotación. Cuando un cuerpo se sumerge, su volumen toma el espacio ocupado por el agua: desplaza el agua, en otras palabras. Cuanta más agua desplace el cuerpo cuando lo empujas hacia abajo, mayor será la fuerza de flotación ascendente. El principio de Arquímedes puede establecerse como sigue: La fuerza de flotación que actúa sobre un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.

Si el fluido tiene mayor densidad que el cuerpo, el peso del fluido desplazado cuando el cuerpo está totalmente sumergido será mayor que el peso del cuerpo. Por el principio de Arquímedes, la fuerza de flotación será mayor que el peso del cuerpo y habrá una fuerza neta ascendente sobre el cuerpo que lo empuja hacia la superficie.

¿Cuál es el origen de la fuerza de flotación? El origen de la fuerza de flotación descrita por Arquímedes es el aumento en la presión que ocurre con el aumento de la profundidad en un fluido. Cuando nadamos hacia el fondo o la parte más profunda de una alberca podemos sentir un aumento de presión en los oídos. La presión en el fondo de la alberca es mayor que en la superficie por la misma razón que la presión de la atmósfera es más grande cerca de la superficie de la Tierra que a altitudes mayores. El peso del fluido sobre nosotros contribuye a la presión que experimentamos. Por el principio de Pascal, la presión atmosférica que empuja hacia la superficie de la alberca se extiende de manera uniforme por todo el fluido. Para obtener la presión total a cierta profundidad, sumamos el exceso de presión que resulta del peso del agua a la presión atmosférica. El exceso de presión sobre la presión atmosférica resulta de gran interés para muchos propósitos. Como nuestro cuerpo tiene presiones internas iguales a la presión atmosférica, nuestros tímpanos son sensibles al incremento en la presión mayor que la presión atmosférica más que a la presión total. Para calcular el exceso de presión a cierta profundidad en un líquido debemos determinar el peso del líquido encima de esa profundidad. El problema es parecido a calcular la presión en el fondo de una columna de mercurio estudiado en la sección 9.2. Si imaginamos una columna de agua en una alberca (figura 9.13), el peso de la columna depende de su volumen y de la densidad del agua. El volumen de la columna es directamente proporcional a su altura h y por consiguiente también lo es su peso. El exceso de presión aumenta en proporción directa a la profundidad h debajo de la superficie.* Una lata grande llena de agua muestra esta variación de la presión con la profundidad. Si hacemos agujeros en la lata a diferentes alturas, el agua saldrá disparada del agujero cerca * Como el peso W = mg = Vdg y V = Ah, el exceso de presión es ΔP =

dgAh W = = dgh. A A

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9.3 Principio de Arquímedes

175

V = Ah h W A

T

figura 9.13

El peso de una columna de agua es proporcional al volumen de la columna. El volumen V es igual al área A por la altura h.

de la parte inferior de la lata a una velocidad horizontal mucho mayor que de un agujero cerca de la parte superior (figura 9.14). Como la lata se encuentra sumergida en la atmósfera, el exceso de presión sobre la presión atmosférica es más significativo. Un mayor exceso de presión proporciona una fuerza de mayor aceleración para el agua que sale. ¿Cómo el hecho de que la presión aumenta con la profundidad explica la fuerza de flotación? Imagina un objeto rectangular, como un bloque de acero, sumergido en agua. Si lo suspendemos de una cuerda, como en la figura 9.15, la presión del agua lo empujará por todos lados. Sin embargo, como la presión aumenta con la profundidad, la presión en la parte inferior del bloque será mayor que en su parte superior. Esa mayor presión produce una fuerza más grande (F = PA) que empuja hacia arriba la parte inferior del bloque que la que empuja hacia abajo sobre la parte superior. La diferencia en estas dos fuerzas es la fuerza de flotación. La fuerza de flotación es proporcional tanto a la altura como al área transversal del bloque y, por tanto, a su volumen, Ah. El volumen del fluido desplazado por el cuerpo está directamente relacionado con el peso del fluido desplazado, lo que conduce al enunciado del principio de Arquímedes.

figura 9.14

El agua que sale de un agujero cerca de la parte inferior de una lata llena de agua tiene una velocidad horizontal mayor que el agua que sale por un agujero cerca de la parte superior.

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W

figura 9.15

La presión que actúa sobre la parte inferior del bloque de metal suspendido es mayor que la ejercida sobre la parte superior debido al aumento de la presión con la profundidad.

¿Qué fuerzas actúan sobre un cuerpo que flota? Si no hay cuerdas atadas o algún otro objeto que empuje o jale un cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido, sólo el peso del cuerpo y la fuerza de flotación determinan lo que ocurre. El peso es proporcional a la densidad y al volumen del cuerpo, y la fuerza de flotación depende de la densidad del fluido y del volumen del fluido desplazado por el cuerpo. El movimiento del cuerpo está determinado por los tamaños de la fuerza de flotación que empuja hacia arriba y el peso que empuja hacia abajo. Sólo hay tres posibilidades: 1. La densidad del cuerpo es mayor que la del fluido. Si el cuerpo tiene una densidad media mayor que la del fluido en que está sumergido, su peso será mayor que el del fluido que desplaza cuando se sumerge por completo, puesto que se trata del mismo volumen. Como el peso, que actúa hacia abajo, es mayor que la fuerza de flotación, la cual actúa hacia arriba, la fuerza neta ejercida sobre el cuerpo será descendente y el cuerpo se hundirá (a menos que esté soportado por otra fuerza como la ejercida por una cuerda atada a él). 2. La densidad del cuerpo es menor que la del fluido. Si la densidad del cuerpo es menor que la del fluido, la fuerza de flotación será mayor que el peso del cuerpo cuando éste se halle sumergido totalmente. La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo será ascendente y el cuerpo flotará hacia la superficie. Cuando llegue a ella, sólo permanecerá sumergida una parte de él suficiente para que el peso del fluido desplazado por esa parte (la fuerza de flotación) sea igual al peso del cuerpo. La fuerza neta es cero y el cuerpo queda en equilibrio. No tiene aceleración. 3. La densidad del cuerpo es igual a la del fluido. El peso del cuerpo por tanto es igual al del fluido desplazado cuando el cuerpo está sumergido. El cuerpo flota cuando está totalmente sumergido, elevándose o hundiéndose en el fluido al cambiar ligeramente su densidad media, que es lo que hacen

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Capítulo 9

El comportamiento de los fluidos

un pez o un submarino. La densidad media de un submarino puede aumentar o disminuir cuando toma o suelta agua.

¿Por qué flota un barco hecho de acero? El acero es mucho más denso que el agua, y un barco grande de acero es un objeto muy pesado. ¿Por qué flota? La respuesta es que el barco no está hecho de acero completamente sólido. Tiene espacios abiertos llenos de aire y otros materiales. Una pieza sólida de acero se hundiría rápidamente, pero si la densidad media del barco es menor que el agua que desplaza, flotará con toda seguridad. Debido a los espacios de aire y otros materiales, la densidad media del barco será mucho menor que la del acero. De acuerdo con el principio de Arquímedes, la fuerza de flotación que actúa sobre el barco debe ser igual al peso del agua desplazada por su casco. Para que el barco esté en equilibrio (con una fuerza neta de cero), la fuerza de flotación debe ser igual al peso del barco. Cuando cargamos el barco con mercancía, el peso total del barco aumenta. Por tanto debe crecer la fuerza de flotación. La cantidad de agua desplazada por el casco debe aumentar, así que el barco se hunde más lento en el agua. Hay un límite para el peso que puede añadirse a un barco (con frecuencia expresado como toneladas de desplazamiento). Un buque cisterna petrolero completamente cargado se desplazará mucho más lento en el agua que otro sin carga (figura 9.16). Otras consideraciones importantes en el diseño de un barco son la forma del casco y cómo se cargará el barco. Si el centro de gravedad de la nave es demasiado alto o si la carga está distribuida de manera dispareja, se corre el riesgo de que el barco se vuelque. La acción de las olas y el viento se suman a

figura 9.16

Un buque cisterna completamente cargado se desplaza mucho más lento en el agua que otro sin carga.

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este riesgo, así que debe incluirse un margen de seguridad en el diseño. Una vez que entra agua en el barco, su peso general y su densidad media aumentan. Cuando la densidad media del barco se vuelve más grande que la densidad media del agua, el barco se hunde.

¿Cuánto flota un globo? Las fuerzas de flotación también actúan sobre cuerpos sumergidos en un gas, por ejemplo, el aire. Si un globo se llena de un gas cuya densidad es menor que la del aire, la densidad media del globo es menor que la del aire y se elevará. El helio y el hidrógeno son dos gases comunes con densidades menores que la del aire, pero el helio se usa con más frecuencia en los globos pese a que su densidad es un tanto mayor que la del hidrógeno. El hidrógeno puede combinarse de manera explosiva con el oxígeno del aire, por lo que su uso es peligroso. La densidad media del globo está determinada por el material del que está hecho, así como por la densidad del gas con el que se llena. Los materiales ideales para fabricar globos se estiran mucho sin perder resistencia. También deben permanecer impermeables al flujo del gas, de manera que el helio u otro gas no se pierda rápidamente a través de la piel del globo. Los globos hechos de Mylar (el cual con frecuencia se recubre con aluminio) son mucho menos permeables que los globos de látex comunes. Los globos de aire caliente aprovechan el hecho de que cualquier gas se expande al calentarse. Si el volumen del gas aumenta, su densidad disminuye. Siempre que el aire dentro del globo sea mucho más caliente que el aire que lo rodea, habrá una fuerza de flotación ascendente. La belleza de un globo de aire caliente radica en que podemos ajustar sin problema la densidad del aire dentro de él encendiendo o apagando el calefactor de gas. Ello nos permite tener cierto control sobre el descenso o ascenso del globo. Las fuerzas de flotación y el principio de Arquímedes son útiles en aplicaciones aparte de los barcos y los globos. Podemos usar el principio de Arquímedes para determinar la densidad de los cuerpos o del fluido en el que están sumergidos. De hecho, tal fue la aplicación original de Arquímedes. Se dice que el filósofo usó esta idea para determinar la densidad de la corona del rey con el propósito de determinar si era de oro puro (el rey sospechaba que el orfebre estaba cometiendo un fraude). El oro es más denso que los metales básicos que podrían haberlo sustituido. El principio de Arquímedes establece que la fuerza de flotación que actúa sobre un cuerpo es igual al peso del fluido que éste desplaza. Si la densidad media del cuerpo es mayor que la densidad del fluido que desplaza, el peso del cuerpo superará la fuerza de flotación y el cuerpo se hundirá. La fuerza de flotación es el resultado de que la presión en la parte inferior del cuerpo sea mayor que en la parte superior, ya que la presión aumenta con la profundidad. El principio de Arquímedes puede usarse para comprender el comportamiento de los barcos, globos u objetos que flotan en una tina o en un arroyo.

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9.4 Fluidos en movimiento

9.4 Fluidos en movimiento Si volvemos a la orilla del arroyo mencionado en la introducción de este capítulo, ¿qué más podemos observar? Cuando una vara o un barco de papel flotan corriente abajo, podríamos notar que la rapidez de la corriente varía de un punto a otro. Donde el arroyo es ancho, el flujo es lento; donde se estrecha, la rapidez aumenta. Además, en general la rapidez es mayor cerca de la parte media del arroyo que en las orillas. Es posible mirar remolinos y otros fenómenos característicos de un flujo turbulento. Todo ello es propio del flujo de fluidos. La rapidez del flujo se ve afectada por el ancho del arroyo y por la viscosidad del fluido, una medida de los efectos de fricción dentro del fluido. Algunas de estas características son fáciles de comprender, pero otras, en particular el comportamiento del flujo turbulento, aún son objeto de investigación activa.

¿Por qué cambia la rapidez del agua? Una de las características más evidentes de la corriente de un arroyo es que su rapidez aumenta donde éste se estrecha. Nuestra varita o barco de papel se mueve lentamente en las partes más anchas, mas adquiere rapidez al pasar por un punto estrecho o por los rápidos. En tanto ninguna afluente incorpore agua al arroyo y no haya pérdidas considerables por evaporación o filtración, el flujo del arroyo es continuo. En cierto momento, la misma cantidad de agua que entra en el flujo en algún punto superior lo deja en un punto inferior. Llamamos a esto continuidad de flujo. Si el flujo no fuera continuo, el agua se reuniría en un punto o quizá se perdería en cierto lugar dentro de ese segmento de arroyo, algo que generalmente no ocurre. ¿Cómo describiríamos la razón del flujo de agua por un arroyo o una pipa? Una razón de flujo es un volumen dividido entre el tiempo, así que muchos galones por minuto o, en términos del sistema métrico, litros por segundo o metros cúbicos por segundo. Como se muestra en la figura 9.17, el volumen de una parte de agua de longitud L que fluye por un punto dentro de un tubo es producto de la longitud por el área transversal A, es decir, LA. La rapidez a la que ese volumen se mueve determina la razón de flujo. ¿Cuál es la razón de flujo a través del tubo? Para calcularla dividimos el volumen del agua LA entre el intervalo de tiem-

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po t, lo cual resulta en LA/t. Como L/t es la rapidez v del agua, tenemos que: razón de flujo = vA. Esta expresión es válida para cualquier fluido y es intuitivamente lógica: a mayor rapidez, mayor razón de flujo, y cuanto más grande sea la sección transversal del tubo o arroyo, mayor será la razón de flujo. ¿Cómo explica la razón de flujo los cambios en la rapidez del agua? Si el flujo por el tubo es continuo, la razón de flujo debe ser la misma en cualquier punto. El mismo número de galones por minuto fluye por cada punto. Si el área transversal A disminuye, la rapidez v aumenta para mantener la razón vA constante. Si el área transversal aumenta, la rapidez disminuye para mantener la misma razón de flujo. El mismo principio se aplica a un arroyo. Donde éste se vuelve más estrecho, en general su área transversal es más pequeña que en un punto más ancho. El flujo puede ser más profundo en los lugares más estrechos, pero casi nunca lo suficiente para hacer las áreas transversales tan grandes como los lugares más anchos. Si el área transversal disminuye, la rapidez del fluido debe aumentar para mantener la razón de flujo.

¿Cómo afecta la viscosidad al flujo? Hasta ahora hemos ignorado cualquier variación en la rapidez del fluido a través de su área transversal. Dijimos que la rapidez del agua en general será mayor cerca de la parte media de la corriente. La razón de ello son los efectos de la fricción o viscosidad entre las capas del fluido mismo y entre el fluido y las paredes del tubo o las orillas del arroyo. Imagina que el fluido está formado por capas y que puedes ver por qué la rapidez será mayor cerca del centro. En la figura 9.18 se muestran diferentes capas de un fluido que se mueve a través de una depresión. Como la parte inferior de la depresión no está en movimiento, ejerce una fuerza de fricción sobre la capa del fondo del fluido, la cual se mueve con mayor lentitud que la capa inmediatamente encima de ella. Esta capa ejerce una resistencia al avance por fricción, a su vez, sobre la capa que está sobre ella, la cual fluye más despacio que la siguiente y así sucesivamente. La viscosidad del fluido es la propiedad de éste que determina la intensidad de las fuerzas de fricción entre las capas que

A

L

v

v

Razón de flujo = vA

figura 9.17

La razón a la que el agua pasa por un tubo se define por el volumen dividido entre el tiempo, lo que equivale a la rapidez del agua por el área transversal.

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figura 9.18

Debido a las fuerzas de fricción o viscosidad entre las capas, cada capa del fluido que pasa por la depresión se mueve más despacio que la capa inmediatamente superior.

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Capítulo 9

El comportamiento de los fluidos

lo forman, es decir, a mayor viscosidad, mayor fuerza de fricción. La magnitud de la fuerza de fricción también depende del área de contacto entre las capas y la razón a la que cambia la rapidez a través de ellas. Si estos otros factores son iguales, un fluido con alta viscosidad como la melaza experimenta una fuerza de fricción más grande entre capas que un fluido con una viscosidad baja como el agua. Una capa delgada de fluido que no se mueve en lo absoluto en general se halla al lado de las paredes del conducto o de la depresión. La rapidez del fluido aumenta a medida que la distancia a las paredes crece. La variación exacta con la distancia depende de la viscosidad del fluido y la razón general de flujo del fluido por el tubo. Para un fluido con una viscosidad baja, la transición a la rapidez máxima ocurre a poca distancia de la pared; para un fluido con una viscosidad alta, se presenta a una distancia mayor y la rapidez puede variar a lo largo de todo el tubo o depresión (figura 9.19). La viscosidad de los diferentes fluidos varía enormemente. Las melazas, los aceites gruesos y los jarabes tienen viscosidades mucho mayores que el agua o el alcohol. El grueso de los líquidos tiene viscosidades muchos más altas que los gases. La viscosidad de un fluido también cambia de forma considerable si su temperatura se modifica: un aumento de ésta casi siempre produce una disminución en la viscosidad. Al calentar una botella de jarabe, por ejemplo, se vuelve menos viscoso, lo que hace que fluya con más facilidad.

Flujo laminar y turbulento Una de las cuestiones más fascinantes del flujo de fluidos es por qué el flujo es más uniforme o laminar en ciertas condiciones pero es turbulento en otras. Los dos tipos de flujo pueden observarse en ríos o arroyos. ¿Qué los diferencia y qué determina cuál de ellos prevalece? En secciones donde un flujo es uniforme o laminar no hay remolinos ni alteraciones parecidas. El flujo del arroyo puede describirse por medio de líneas de corriente de flujo que indican la dirección de éste en cualquier punto. Las líneas de Baja viscosidad

v

Alta viscosidad

v

figura 9.19

La velocidad aumenta rápidamente de la pared hacia adentro en un fluido de baja viscosidad pero de manera más gradual en otro de alta viscosidad.

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Flujo laminar

Flujo turbulento

figura 9.20

En el flujo laminar, las líneas de corriente de flujo son aproximadamente paralelas entre sí. En el flujo turbulento, los patrones de flujo son mucho más complicados.

corriente del flujo laminar son aproximadamente paralelas, como en la figura 9.20. La rapidez de diferentes capas puede variar, pero cada una de ellas se mueve de modo uniforme. Cuando la corriente se estrecha y la rapidez del fluido aumenta, el patrón del flujo laminar simple desaparece y surgen giros en las líneas de corriente, después espirales y remolinos: el flujo se vuelve turbulento. En la mayoría de las aplicaciones, el flujo turbulento es poco deseable porque aumenta en gran medida la resistencia del fluido al flujo que pasa por un tubo u otras superficies. No obstante, hace que el recorrido en balsa por un río sea mucho más emocionante. Si la densidad de un fluido y el ancho del tubo o arroyo no varían, la transición de flujo laminar a turbulento se predice por dos cantidades, la rapidez media del fluido y la viscosidad. Es más probable que mayor rapidez produzca flujo turbulento, como cabría esperar. Por otra parte, viscosidades mayores inhiben el flujo turbulento. Las densidades de fluido más altas y los tubos más anchos son más conductivos del flujo turbulento. A partir de experimentos, los científicos han podido usar estas cantidades para predecir con cierta exactitud la rapidez a la que empezará la transición al flujo turbulento. Puedes observar la transición de flujo laminar a turbulento en muchos fenómenos comunes. La mayor rapidez en la parte estrecha de un arroyo suele producir flujo turbulento. La transición también puede notarse en el flujo de agua de un grifo. Una razón de flujo pequeña en general produce un flujo laminar, pero a medida que el flujo aumenta, se vuelve turbulento. El flujo puede ser uniforme cerca de la superficie de la columna de agua pero turbulento en la parte inferior, ya que el agua se acelera por la gravedad. La próxima vez que estés cerca de un lavabo haz la prueba. También puedes ver este fenómeno en el humo que sale del cigarro o de una vela. Cerca de la fuente, el flujo ascendente del humo suele ser laminar. A medida que se acelera hacia arriba (debido a la fuerza de flotación), la columna se ensancha y el flujo se vuelve turbulento (figura 9.21). Las espirales y los remolinos son muy parecidos a los que se ven en un arroyo.

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9.5 Principio de Bernoulli

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figura 9.22

Las espirales y los remolinos, incluido el punto rojo gigante (parte inferior izquierda), pueden observarse en la atmósfera de Júpiter.

figura 9.21

El humo que sale de una varita de incienso primero presenta un flujo laminar y luego, a medida que la rapidez aumenta y la columna se ensancha, aparece flujo turbulento.

Las condiciones que producen turbulencia están bien comprendidas, pero hasta hace poco los científicos no podían explicar por qué los patrones de flujo se desarrollan como lo hacen. Ciertos patrones sorprendentes pueden distinguirse en el comportamiento aparentemente caótico del flujo turbulento en diferentes situaciones. Los avances teóricos recientes en el estudio del caos han producido una mejor comprensión de las razones de esos patrones. El estudio del caos y los comportamientos regulares que surgen en un flujo turbulento han proporcionado nuevos elementos para entender los patrones del clima global y otros fenómenos. Tal vez los ejemplos más asombrosos de los patrones de flujo atmosféricos son las fotografías de los acercamientos al planeta Júpiter tomadas desde el Voyager. Las espirales y los remolinos pueden verse en el flujo de los gases atmosféricos en ese planeta, e incluyen el famoso punto rojo, el cual ahora se cree es un remolino atmosférico gigante muy estable (figura 9.22). La razón de flujo de una corriente es igual a la rapidez del fluido multiplicada por el área transversal a través de la cual circula el flujo. Para que éste sea continuo, la rapidez debe aumentar donde la corriente se estrecha para pasar por un área transversal más pequeña. La rapidez del fluido de la corriente también varía a lo largo de esta área debido a la viscosidad: la rapidez del fluido es mayor en el centro y menor cerca de las orillas o de las paredes del tubo. El flujo uniforme o laminar da paso al flujo turbulento con sus remolinos y espirales a medida que la rapidez del fluido aumenta o la viscosidad disminuye.

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9.5 Principio de Bernoulli ¿Te has preguntado cómo despega del suelo un avión grande? Sabes que los aviones vuelan, pero aun así eso te parece poco probable. ¿Qué fuerzas lo mantienen en el aire? Si bien las fuerzas que actúan sobre las alas de un avión, o el perfil aerodinámico, puede analizarse de diferentes maneras, una explicación parcial se encuentra en un principio relativo al flujo de fluidos publicado por Daniel Bernoulli (1700-1782) en 1738 en un tratado sobre hidrodinámica.

¿Qué es el principio de Bernoulli? ¿Qué sucede si realizamos un trabajo sobre un fluido y con ello aumentamos su energía? Ese aumento puede mostrarse como un incremento en su energía cinética, lo cual conduce a un aumento en la rapidez del fluido. También podría aparecer como un crecimiento en la energía potencial si el fluido se comprime (energía potencial elástica) o si se eleva en altura (energía potencial gravitacional). Bernoulli consideró todas estas posibilidades y el principio que lleva su nombre es resultado directo de la aplicación de la conservación de la energía al flujo de fluidos. Los ejemplos más interesantes del principio de Bernoulli suponen cambios en la energía cinética. Si un fluido no compresible (es decir, que no se puede comprimir) fluye en un tubo o corriente, cualquier trabajo realizado sobre él aumentará su energía cinética. Para acelerar el fluido y aumentar su energía cinética debe haber una fuerza neta que realice un trabajo sobre el fluido. Esa fuerza se asocia con una diferencia en la presión de un punto a otro en el fluido. Si hay una diferencia en la presión, el fluido se acelera desde la región de mayor presión hacia la de menor presión,

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Capítulo 9

El comportamiento de los fluidos

debido a que ésta es la dirección de la fuerza que actúa sobre el fluido. Esperamos encontrar rapidez de fluido más alta en las regiones de menor presión. En el caso simple de un fluido incompresible en un tubo o corriente planos,* las consideraciones de trabajo y energía conducen a un enunciado del principio de Bernoulli:

h1 h2

La suma de la presión más la energía cinética por unidad de volumen de un fluido en movimiento debe permanecer constante.

P +

1 2

dv2 = constante

Aquí, P es la presión, d la densidad del fluido y v su rapidez. El segundo término en esta suma es la energía cinética por unidad de volumen (la energía cinética dividida entre el volumen) del fluido, ya que la densidad es la masa dividida entre el volumen. Un enunciado más completo del principio de Bernoulli incluiría los efectos de la energía potencial gravitacional, lo que permite cambios en la altura del fluido. Sin embargo, muchos de los efectos más interesantes pueden investigarse usando la forma que acabamos de enunciar. Al aplicar el principio de Bernoulli, la asociación de las presiones más bajas con la rapidez del fluido más alta suele ser el punto clave.

¿Cómo varía la presión en los tubos y mangueras? Considera una tubería con un estrechamiento en el tubo de su sección central como aparece en la figura 9.23. ¿Esperarías que la presión del agua que fluye en el tubo sea mayor en el estrechamiento o en las secciones más anchas del tubo? La intuición te lleva a sospechar que la presión es mayor en la sección estrecha, pero no es así. Sabemos que la rapidez del agua será mayor en la sección estrecha (donde el área transversal es menor) que en las partes más anchas del tubo debido al concepto de flujo continuo. ¿Qué nos dice el principio de Bernoulli? Para mantener la su1 ma P + 2 dv2 constante, la presión debe ser mayor donde la rapidez del fluido es menor. En otras palabras, si la rapidez aumenta, la presión debe disminuir. Los tubos abiertos en diferentes lugares de la tubería (figura 9.23) pueden servir como indicadores de la presión. Para que el agua en esos tubos se eleve, la presión del fluido ha de ser mayor que la presión atmosférica. La altura a la que sube el fluido dependerá de cuánto más grande sea su presión. El nivel del agua en los tubos alcanzará una altura mayor por encima de la tubería principal donde la tubería es más ancha que en el estrechamiento, lo que indica que la presión es mayor en la parte más ancha. Este resultado va contra nuestra intuición debido a que tendemos, incorrectamente, a asociar la presión más alta con la rapidez más alta. Otro ejemplo que confirma esto es la boqui* Si la corriente no es plana, un término adicional, dgh, debe incluirse para representar los cambios en la energía potencial.

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v1

v2

figura 9.23

Las tuberías abiertas verticales pueden servir como medidores de presión. La altura de la columna de agua es proporcional a la presión. La presión de un fluido en movimiento es mayor donde la velocidad de éste es menor.

lla de una manguera. La boquilla estrecha el área del flujo y aumenta la rapidez del fluido. Por el principio de Bernoulli, la presión del agua es menor en el extremo estrecho de la boquilla que en la parte trasera de la manguera, contrario a lo que esperaríamos. Si colocas tu mano frente a la boquilla sentirás una gran fuerza en ella cuando el agua la golpee. Esa fuerza resulta del cambio en la velocidad y la cantidad de movimiento del agua al chocar con tu mano. Por la segunda ley de Newton, se requiere una gran fuerza para producir ese cambio en la cantidad de movimiento y por la tercera ley, la fuerza ejercida sobre el agua por tu mano es igual en magnitud a la fuerza ejercida sobre tu mano por el agua. Esa fuerza no está asociada directamente con la presión del fluido en la boquilla; en realidad, la presión es mayor en la parte de atrás de la manguera, donde el agua no tiene movimiento muy rápido.

¿Cómo funciona el ala de un avión? El principio de Bernoulli, como hemos mencionado, sólo es válido para fluidos cuya densidad no cambia (fluidos no compresibles), pero a menudo lo ampliamos para investigar los efectos del movimiento del aire y otros gases compresibles. Aun para los fluidos compresibles, una rapidez de fluido mayor en general se asocia con una presión de fluido menor. Una demostración simple te permitirá comprobarlo. Toma media hoja de un bloc pequeño (o incluso un pañuelo de papel) y sostenlo en frente de tu boca, como en la figura 9.24. El papel debe colgar hacia abajo, sin fuerza, frente de tu barbilla. Si soplas sobre su parte superior, el papel sube; si soplas con suficiente fuerza, el papel incluso puede quedarse tendido horizontalmente. ¿Qué es lo que sucede? Soplar sobre la parte superior del papel hace que el aire fluya por ella con mayor velocidad que debajo del papel. Se supone que el aire debajo no se mueve mucho. Esa velocidad mayor conduce a una reducción en la presión. Como la presión del aire es, por tanto, más grande en la parte inferior del papel que en la superior, la fuerza ascendente en la parte inferior es mayor que la fuerza descendente en la parte superior; por

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9.5 Principio de Bernoulli

181

bre el aire por el ala. Por la tercera ley de Newton, debe haber, por consiguiente, una fuerza igual pero opuesta (ascendente) ejercida sobre el ala por el aire. El diseño de las alas de los aviones y el flujo del aire que pasa por ellas se han estudiado de manera exhaustiva en los túneles de viento, donde un ala se mantiene estacionaria y se sopla aire que pasa por ella. Los efectos del ángulo al cual se fija el ala y el uso de alerones para cambiar la curvatura pueden explorarse detenidamente en los túneles de viento. En ciertas condiciones, el flujo de aire sobre el ala se vuelve turbulento, un efecto indeseable que reduce la fuerza de propulsión. Las consideraciones sobre el flujo de fluidos son sumamente importantes para el diseño y la operación de todo tipo de aparatos aeronáuticos.

figura 9.24

Soplar a lo largo de la parte superior de una hoja de papel flexible hace que el papel se eleve, lo que demuestra el principio de Bernoulli.

consiguiente, el papel sube. Contrario a la intuición, por la misma razón soplar entre dos tiras de papel hace que se muevan más cerca entre sí en vez de apartarlas. Inténtalo. Efectos parecidos entran en acción en el ala de un avión. La forma e inclinación del ala pueden hacer que el aire se mueva más rápido en su parte superior que en la inferior. Por el principio de Bernoulli, esperamos que esa rapidez mayor se asocie con una presión menor en la parte superior del ala, no en la inferior. Esa diferencia en presión produce una fuerza neta ascendente, o propulsión, que actúa sobre el ala. La fuerza de propulsión equilibra el peso del avión y, por tanto, le permite volar. Aunque brinda una explicación de la fuerza de propulsión, el principio de Bernoulli no sirve para calcular con precisión la fuerza de propulsión porque el aire es un fluido compresible. También es difícil predecir la diferencia en la rapidez del flujo de aire a lo largo de la parte superior e inferior del ala. Un análisis más completo ha de considerar las distintas direcciones y magnitudes de la fuerza que actúa en diferentes puntos del ala. Como se observa en la figura 9.25, el aire se desvía hacia abajo por el ala, lo cual requiere una fuerza descendente ejercida so-

figura 9.25

La forma del ala de un avión puede provocar un patrón de flujo de aire en el que el aire que fluye sobre el ala se mueve con rapidez mayor que el que fluye debajo de ella.

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¿Cómo se mantiene en el aire la pelota que empuja una aspiradora? Otra demostración del principio de Bernoulli que utiliza el flujo del aire se ve en los grandes almacenes cuando se publicitan las aspiradoras. Una pelota puede suspenderse en una columna de aire ascendente producida por una aspiradora. Como el aire se mueve hacia arriba, la rapidez del flujo del aire es mayor en el centro del flujo y desciende a cero cuando se aleja del centro. Una vez más, el principio de Bernoulli requiere que la presión sea menor en el centro, donde la rapidez es mayor. La presión aumenta en las regiones alejadas del centro de la columna de aire donde éste se mueve con menos rapidez. Si la pelota se desplaza hacia fuera del centro de la columna de aire, sobre el lado exterior de la pelota actúan una presión mayor y una fuerza mayor que sobre el lado que está más cerca del centro. La pelota regresa al centro. La fuerza ascendente del aire que golpea la parte inferior de la pelota la sostiene, mientras que la presión baja en el centro de la columna mantiene a la pelota cerca del centro. Puedes producir el mismo efecto con una pelota pequeña y una secadora de cabello (figura 9.26).

figura 9.26

Una pelota está suspendida en una columna de aire que se mueve hacia arriba producida por una secadora de cabello. La presión del aire es menor en el centro de la columna, donde el aire se mueve a mayor rapidez.

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182

Capítulo 9

El comportamiento de los fluidos

fenómenos cotidianos

cuadro 9.2

Lanzamiento de una bola curva Situación. Los beisbolistas saben que pueden ser engañados por una bola curva bien lanzada. La idea de que el lanzamiento rápido de una bola curva puede desviar a la pelota hasta 30 centímetros en su camino a la base es difícil de aceptar para algunas personas. Muchos han insistido, con los años, en que la curva es una mera ilusión. ¿La trayectoria de una bola curva en realidad es curva? Si es así, ¿cómo lo explicamos?

Vista superior F

v

El remolino de aire creado por el giro de la pelota hace que el aire se mueva más rápidamente en un lado de la bola que en el otro. Ello produce una fuerza de desviación, como predice el principio de Bernoulli.

Un bateador es engañado por una bola curva. ¿La trayectoria de la bola en realidad es curva?

Análisis. No hay secreto en lanzar una bola curva. Un pitcher diestro la lanza con un giro contrario al de las manecillas del reloj (si lo vemos desde arriba), de manera que describe una curva a medida que se aleja de un bateador diestro. El lanzamiento es más eficaz cuando empieza pareciendo que se dirige hacia dentro del plato y luego describe una curva hacia abajo sobre éste, alejándose del bateador. El principio de Bernoulli puede explicar la desviación de la trayectoria de la pelota. Como la superficie de la bola que gira es áspera, arrastra una capa de aire alrededor de ella, lo que crea un remolino de aire a su alrededor. La pelota también se está moviendo hacia el plato, lo cual produce un flujo adicional de aire que pasa por la pelota en dirección opuesta a la velocidad de la misma. El remolino creado por el giro de la pelota provoca que el aire se mueva a mayor rapidez en el lado opuesto del bateador diestro, donde se suman los dos efectos, que el lado cercano al bateador, como se muestra en el dibujo. Por el principio de Bernoulli, una rapidez mayor del flujo de aire se asocia con una presión inferior: la presión del aire es menor en el lado de la pelota opuesto al bateador que en el lado que está cerca de él. Esta diferencia en la presión produce una fuerza de desviación sobre la pelota, que la empuja hacia fuera del bateador diestro.

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Aun cuando el principio de Bernoulli brinda una buena explicación de la dirección tanto de la fuerza de deflexión como de la curva, no sirve para hacer predicciones cuantitativas. El aire es un fluido más compresible, y la forma usual del principio de Bernoulli es válida sólo para fluidos incompresibles como el agua u otros líquidos. Deben emplearse métodos más precisos de tratamiento de los efectos del flujo de aire que pasa a la pelota para pronosticar el grado de curvatura. Tanto los cálculos teóricos como las mediciones experimentales han confirmado que hay una fuerza de desviación sobre la pelota y que la trayectoria de ésta es, en efecto, curva. El grado de curvatura depende de la razón del giro (el efecto) sobre la pelota y de la aspereza de su superficie, como cabría esperar por el principio de Bernoulli. Algunos pitcheres se reconocen por engañar al raspar la superficie de la pelota con una lija oculta en su guante. El debate continúa respecto a si la orientación de las costuras de la pelota de beisbol también tiene un efecto. La forma en que el pitcher coge la pelota es un factor importante para determinar cuánto puede hacerla girar. Sin embargo, los datos experimentales indican que una vez que suelta la pelota, la orientación de las costuras no es importante en la intensidad de la fuerza de desviación. Un buen análisis de la teoría y la evidencia experimental se encuentra en un artículo escrito por Robert Watts y Ricardo Ferrer en la edición de enero de 1987 del American Journal of Physics, páginas 40-44. El movimiento curvilíneo de las pelotas que giran es importante en otros deportes, como el golf y el futbol soccer. Un buen atleta debe reconocer y aprovechar los efectos de estas curvas.

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Resumen

El movimiento curvilíneo de una bola curva estudiado en el cuadro de fenómenos cotidianos 9.2 proporciona otro ejemplo del principio de Bernoulli en acción. En todos estos fenómenos, vemos los efectos de una reducción en la presión del fluido asociada con un aumento en su rapidez, como predice el principio de Bernoulli. No siempre esperamos esto. Estamos tentados a pensar que el soplido entre dos tiras de papel las separará, por ejemplo, pero un experimento simple muestra lo contrario. Comprender estas sorpresas forma parte de la diversión de la física.

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El principio de Bernoulli se deduce de las consideraciones de la energía y postula que la suma de la presión más la energía cinética por unidad de volumen permanece constante de un punto de un fluido a otro. Esto es válido si el fluido no es compresible y no hay cambios en la altura. Por tanto, la presión es menor donde la rapidez del fluido es mayor. Este efecto explica muchos fenómenos sorprendentes que comportan tuberías, mangueras, alas de aviones y el hecho de que soplar a lo largo de la superficie de una hoja de papel provoque que éste se eleve en vez de caer.

resumen La presión del fluido es fundamental para comprender el comportamiento de los fluidos, los cuales comprenden los líquidos y los gases. Este capítulo se ha centrado en los efectos de la presión al determinar el comportamiento de los fluidos en reposo y en movimiento.

objeto. Si la fuerza de flotación es menor que el peso del objeto, éste se hundirá en el fluido. De lo contrario, flotará.

y principio de Pascal. La presión se define co1mo la Presión razón de la fuerza al área ejercida sobre un fluido o por él. De W

acuerdo con el principio de Pascal, la presión se extiende de manera uniforme en todas direcciones a través de un fluido, lo cual explica la operación de los sistemas hidráulicos.

FB

4

F A

Fluidos en movimiento. La razón de flujo de un fluido es igual a la rapidez por el área transversal vA. En flujo continuo, la rapidez aumenta si el área disminuye. Los fluidos con alta viscosidad tienen mayor resistencia al flujo que los de viscosidad baja. Cuando la rapidez del flujo aumenta, el flujo puede cambiar de laminar (uniforme) a turbulento.

v1

v2

_ P=F A

atmosférica y comportamiento de los ga2ses. Presión Podemos medir la presión atmosférica al determinar la altura de una columna de mercurio soportada por la atmósfera. La presión atmosférica disminuye con el incremento de la altitud. La densidad del aire también cambia con la altitud, debido a que una presión inferior conduce a un volumen mayor, de acuerdo con la ley de Boyle.

V1

A2

A1

v1A1 = v2A2

de Bernoulli. Las consideraciones sobre la 5energíaPrincipio requieren que la energía cinética por unidad de masa aumente a medida que la presión disminuye. Éste es el principio de Bernoulli para casos en los que los cambios en la altura no son importantes. La rapidez grande en fluidos se asocia con presión baja. Estas ideas sirven para explicar la curva que describe una bola curva en el béisbol y otros fenómenos.

V2

P1V1

= P2V2

de Arquímedes. En un fluido, la presión au3mentaPrincipio con la profundidad, lo que produce una fuerza de flotación sobre objetos sumergidos en el fluido. El principio de Arquímedes establece que esta fuerza es igual al peso del fluido desplazado por el

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1

P + –2 dv2 5 constante

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184

Capítulo 9

El comportamiento de los fluidos

conceptos clave presión, 167 principio de Pascal, 168 presión atmosférica, 169 densidad, 170

ley de Boyle, 173 fuerza de flotación, 174 principio de Arquímedes, 174 viscosidad, 177

flujo turbulento, 178 perfil aerodinámico, 179 principio de Bernoulli, 180

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. ¿Es posible que una mujer de 100 lb ejerza una presión mayor sobre el suelo que un hombre de 250 lb? Explica por qué. P2. Si medimos la fuerza en libras (lb) y la distancia en pies (ft), ¿cuáles son las unidades de la presión en este sistema? Explica por qué. P3. La misma fuerza se aplica a dos cilindros que contienen aire. Uno tiene un pistón con un área grande y el otro lo tiene pero con área pequeña. ¿En cuál cilindro la presión será mayor? Explica por qué. P4. Una moneda grande y una pequeña están incrustadas en el fondo de concreto de una piscina llena de agua. ¿Cuál de las dos experimenta la mayor fuerza descendente debida a la presión del agua que actúa sobre ella? Explica por qué. *P5. ¿Por qué las llantas de bicicleta con frecuencia se inflan a una presión mayor que las de un automóvil, aun cuando estas últimas deban soportar un peso mucho mayor? Explica por qué. P6. El fluido en un sistema hidráulico empuja contra dos pistones, uno de área grande y el otro de área pequeña. a) ¿Cuál pistón experimenta la mayor fuerza debida a la presión del fluido que actúa sobre ella? Explica. b) Cuando el pistón más pequeño se mueve, ¿el pistón más grande se mueve la misma distancia, una distancia mayor o una menor que el pistón menor? Explica por qué. P7. Si el pistón de salida en una bomba hidráulica ejerce una fuerza mayor que la aplicada al pistón de entrada, ¿la presión en el pistón de salida también es mayor que en el pistón de entrada? Explica por qué. P8. Cuando un barómetro de mercurio se usa para medir la presión atmosférica, ¿el extremo cerrado del tubo sobre la columna de mercurio en general contiene aire? Explica por qué. *P9. ¿Podríamos usar agua en vez de mercurio para construir un barómetro? ¿Qué ventajas y desventajas se asociarían con ello? Explica por qué. P10. Una lectura de presión sanguínea está dada como 130/75. a) ¿Qué unidades suponen estos números? b) ¿Estos números son presiones totales o manométricas? Explica por qué.

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P11. Si subieras a una montaña llevando un barómetro de mercurio, ¿el nivel de la columna del metal en el tubo de vidrio del barómetro aumenta o disminuye (comparado con la reserva de mercurio) a medida que subes por la montaña? Explica por qué. P12. Si llenas un globo hermético en la cima de una montaña, ¿el globo se expandirá o se contraerá cuando bajes? Explica por qué. *P13. Cuando pasas por una montaña en un automóvil, tus oídos con frecuencia se “destapan” tanto cuando subes como cuando bajas. ¿Cómo explicas este efecto? P14. El émbolo de una jeringa hipodérmica sellada que contiene aire se jala lentamente. ¿La presión del aire dentro de la jeringa aumenta o disminuye cuando esto ocurre? Explica por qué. P15. Un globo impermeable al flujo de gas se infla con helio y se sella. Si repentinamente cae una tormenta, ¿cabe esperar que el globo se expanda o se contraiga? Explica por qué. (Imagina que no hay cambio en la temperatura. P16. ¿Es posible que una bola de metal sólido flote en el mercurio? Explica por qué. P17. Un bloque de metal rectangular se suspende mediante una cuerda en un vaso de precipitados lleno de agua de modo que el bloque queda totalmente rodeado de agua. ¿La presión del agua en la parte inferior del bloque es igual, mayor o menor que la presión del agua en su parte superior? Explica por qué. P18. ¿Es posible que un barco hecho de concreto flote? Explica por qué. P19. Un bloque de madera flota en una piscina llena de agua. a) ¿La fuerza de flotación que actúa sobre el bloque es mayor, menor o igual al peso del bloque? Explica por qué. b) ¿El volumen del fluido desplazado por el bloque es mayor, menor o igual al volumen del bloque? Explica por qué. P20. Un pájaro grande se para en un bote de remos que flota en una piscina. ¿El nivel del agua en ésta aumenta, disminuye o sigue siendo el mismo cuando el pájaro se para en el bote? Explica por qué. P21. ¿Es posible que ciertos objetos floten en agua salada pero se hundan en agua dulce? Explica por qué. *P22. Un barco de remos flota en una alberca cuando se suelta el ancla por la borda. En ese instante, ¿el nivel del agua en la

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Ejercicios alberca aumenta, disminuye o sigue siendo el mismo? Explica por qué. P23. Si un objeto tiene menor densidad que el agua, se sumerge total o parcialmente, o sube por completo a la superficie cuando se suelta debajo del agua. Explica por qué. P24. Una corriente continua de agua que fluye por una tubería estrecha llega a un punto donde la tubería se ensancha. ¿La rapidez del agua aumenta, disminuye o sigue siendo la misma cuando la tubería se ensancha? Explica por qué. P25. ¿Por qué la corriente de agua que fluye desde una llave suele volverse más estrecha cuando el agua cae? Explica por qué. P26. ¿Una corriente de un líquido con una viscosidad alta fluye más rápido en las mismas condiciones que una corriente con una viscosidad baja? Explica por qué. P27. Si la rapidez del flujo en una corriente disminuye, ¿es probable que el flujo cambie de laminar a turbulento? Explica por qué.

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P28. ¿Por qué el flujo de humo de un cigarro con frecuencia es laminar cerca de la fuente pero turbulento cuando se aleja de ella? Explícalo. P29. Si soplas entre dos trozos de papel flexibles que cuelgan a dos pulgadas de distancia, ¿se acercan o se alejan entre sí? Explica por qué. *P30. Una ráfaga de viento sopla de lado a través de una puerta giratoria ligeramente entreabierta. ¿Esto provocará que la puerta se cierre de un portazo o se abra? Explica por qué. P31. Una secadora de aire puede usarse para crear una corriente de aire. ¿La presión del aire en el centro de la corriente es mayor, menor o igual a la presión del aire a cierta distancia del centro de la corriente? Explica por qué. P32. Desde la perspectiva de un bateador diestro, ¿una bola rápida elevada gira en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario? Explica por qué.

Ejercicios E1. Una fuerza de 40 N empuja hacia abajo sobre el pistón movible de un cilindro cerrado que contiene un gas. El área del pistón es 0.5 m2. ¿Qué presión produce esto en el gas? E2. Una mujer de 110 lb pone todo su peso sobre uno de los tacones altos de sus zapatos. El tacón tiene un área de 0.4 in2. ¿Cuál es presión que ejerce el tacón sobre el suelo en libras por pulgada cuadrada (psi)? E3. Un hombre de 250 lb soporta todo su peso sobre una raqueta para la nieve con un área de 200 in2. ¿Qué presión ejerce sobre la nieve (en libras por pulgada cuadrada, psi)? E4. La presión de un gas contenido en un cilindro con un pistón movible es 450 Pa (450 N/m2). El área del pistón es 0.2 m2. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre el pistón por el gas? E5. En un sistema hidráulico, una fuerza de 400 N se ejerce sobre un pistón con un área de 0.001 m2. El pistón de carga en el sistema tiene un área de 0.2 m2. a) ¿Cuál es la presión en el fluido hidráulico? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre el pistón por el fluido hidráulico? E6. El pistón de carga en cierto sistema hidráulico tiene un área 50 veces el tamaño del pistón de entrada. Si el pistón más grande soporta una carga de 6000 N, ¿cuánto debe medir la fuerza aplicada al pistón de entrada? E7. Una columna de agua en una tubería vertical tiene un área transversal de 0.2 m2 y un peso de 450 N. ¿Cuál es el aumento en la presión (en Pa. desde la parte superior hasta la parte inferior de la tubería? E8. Si la temperatura se mantiene constante, la presión de un gas en un cilindro con un pistón movible se incrementa de 10 kPa a 90 kPa. El volumen inicial del gas en el cilindro es de 0.36 m3. ¿Cuál es el volumen final del gas después de que aumenta la presión?

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E9. Con la temperatura constante, el pistón de un cilindro que contiene un gas se jala hacia fuera de modo que el volumen aumenta de 0.1 m3 a 0.3 m3. Si la presión inicial del gas era de 80 kPa, ¿cuál es la presión final? E10. Un bloque de madera de 0.5 flota en agua. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de flotación que actúa sobre el bloque? E11. Un bloque de madera de densidad uniforme flota de tal manera que exactamente la mitad de su volumen queda bajo el agua. La densidad del agua es 1000 kg/m3. ¿Cuál es la densidad del bloque? E12. Cierto bote desplaza un volumen de 4.5 m3 de agua. (La densidad del agua es 1000 kg/m3.) a) ¿Cuál es la masa del agua desplazada por el bote? b) ¿Cuál es la fuerza de flotación que actúa sobre el bote? E13. Una piedra con un volumen de 0.2 m3 está completamente sumergida en agua, la cual tiene una densidad de 1 000 kg/m3. ¿Cuál es la fuerza de flotación que actúa sobre la piedra? E14. Una corriente que se mueve a una rapidez de 0.5 m/s llega a un punto donde su área transversal disminuye a un cuarto del área original. ¿Cuál es la rapidez del agua en esa parte estrecha de la corriente? E15. De una llave sale agua a una rapidez de 1.5 m/s. Después de caer una distancia corta, su rapidez aumenta a 3 m/s como resultado de la aceleración gravitacional. ¿Por qué número multiplicarías el área transversal original de la corriente para calcular el área en la posición inferior? E16. El ala de un avión con una área transversal media de 10 m2 experimenta una fuerza de propulsión de 60 000 N. ¿Cuál es la diferencia en la presión del aire, en promedio, entre la parte inferior y la parte superior del ala?

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Capítulo 9

El comportamiento de los fluidos

Problemas de síntesis PS1. Imagina que el pistón de entrada de un gato hidráulico tiene un diámetro de 2 cm y que el pistón de carga tiene un diámetro de 25 cm. El gato se usa para elevar un automóvil que tiene una masa de 1 400 kg. a) ¿Cuáles son las áreas de los pistones de entrada y de carga en centímetros cuadrados? (A = πr2) b) ¿Cuál es la razón del área del pistón de carga al pistón de entrada? c) ¿Cuál es el peso del automóvil en newtons? (W = mg) d) ¿Qué fuerza debe aplicarse al pistón de entrada para que soporte al automóvil? PS2. El agua tiene una densidad de 1 000 kg/m3. La profundidad de una piscina en su parte más profunda es aproximadamente 3 m. a) ¿Cuál es el volumen de una columna de agua a 3 m de profundidad y 0.5 m2 en el área transversal? b) ¿Cuál es la masa de esa columna de agua? c) ¿Cuál es peso de esa columna de agua en newtons? d) ¿Cuál es el exceso de presión (encima de la presión atmosférica) ejercida por esa columna de agua en el fondo de la piscina? e) ¿Cómo se compara este valor con la presión atmosférica? PS3. Un bloque de acero de 7800 kg/m3 de densidad se suspende de una cuerda en un vaso de precipitados con agua, de modo que queda completamente sumergido pero no descansa en el fondo. El bloque es un cubo de 3 cm (0.03 m) por lado. a) ¿Cuál es el volumen del bloque en metros cúbicos? b) ¿Cuál es la masa del bloque? c) ¿Cuál es el peso del bloque? d) ¿Cuál es la fuerza de flotación que actúa sobre el bloque?

e) ¿Qué tensión en la cuerda se necesita para mantener al bloque en su lugar? PS4. Una caja de madera de fondo plano mide 3 m de largo y 1.5 m de ancho, con lados de 1 m de alto. La caja sirve como un bote que transporta a cinco personas cuando flota en un estanque. La masa total del barco y de las personas es de 1 200 kg. a) ¿Cuál es el peso total del bote y las personas en newtons? b) ¿Cuál es la fuerza de flotación requerida para mantener el bote y su carga a flote? c) ¿Qué volumen de agua debe desplazarse para soportar el bote y su carga? (La densidad del agua de es 1 000 kg/m3.) d) ¿Qué parte del bote queda bajo el agua? (¿Hasta qué altura deben sumergirse los lados para producir un volumen igual al del inciso c?) PS5. Una tubería con una sección transversal tiene un diámetro de 8 cm. Se estrecha en un punto hasta un diámetro de 5 cm. La tubería lleva un flujo continuo de agua que la llena por completo y se mueve a una rapidez de 1.5 m/s en la parte más ancha. a) ¿Cuáles son las áreas transversales de las partes más estrechas y anchas de la tubería? (A = πr2, y el radio es la mitad del diámetro.) b) ¿Cuál es la rapidez del agua en la parte más estrecha de la tubería? c) ¿La presión en la parte más estrecha de la tubería es mayor, menor o igual a la que hay en la parte más ancha? Explica por qué.

Experimentos y observaciones para la casa EC1. Con un punzón o un taladro, haz tres agujeros del mismo tamaño en un envase de plástico para leche vacío a tres alturas. Tapa los agujeros y llena el envase con agua. a) Coloca el envase en el borde del fregadero, destapa los agujeros y deja que el agua salga. ¿Cuál agujero produce la rapidez inicial mayor para el agua que sale? b) ¿Cuál corriente recorre la mayor distancia horizontal? ¿Qué factores determinan cuán lejos irá el agua horizontalmente? c) Observa la forma de las corrientes de agua mientras caen en el fregadero. ¿Se estrechan cuando el agua cae? Si es así, ¿cómo puedes explicarlo? EC2. Si tienes plastilina o arcilla disponible, trata de modelar un barco. a) ¿La plastilina se hunde cuando formas una bola? ¿Qué indica esto respecto a la densidad de la plastilina? b) ¿El barco plano es mejor que una canoa para transportar la máxima carga de lavadoras de acero u otros pesos?

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Haz la prueba con los dos. ¿Qué problemas presenta cada uno? EC3. Si tienes una secadora de pelo a mano, trata de sostener una pelota de ping-pon en una columna vertical de aire que salga de la secadora. a) ¿Puedes hacer que la pelota permanezca en su lugar? ¿A qué distancia del centro puede mantenerse la pelota y aún así regresar? b) ¿Una pelota de tenis o un globo pequeño funcionarán? ¿Qué diferencias notas en cada uno de estos casos? EC4. Usando clips de papel y una pluma o un lápiz como varilla de apoyo, suspende dos trozos de papel periódico a unas pulgadas de distancia, de manera que cuelguen verticalmente. a) Sopla hacia abajo entre los dos pedazos y observa el efecto. ¿Cómo afecta el resultado el aumento en el espacio? b) Trata de soplar a diferentes razones. ¿Cómo afecta esto el resultado?

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Temperatura y calor

descripción del capítulo

esquema del capítulo

1 2

3

4 5

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Temperatura y su medición. ¿Qué es la temperatura? ¿Cómo la medimos? ¿Dónde se coloca el cero de una escala de temperatura? Calor y capacidad calorífica específica. ¿Qué es el calor? ¿En qué difiere de la temperatura? ¿Siempre que se añade calor cambia la temperatura de una sustancia? ¿Cómo interviene el calor en los cambios de fase? Experimento de Joule y la primera ley de la termodinámica. ¿Hay otras formas de cambiar la temperatura de un cuerpo, aparte de añadirle calor? ¿Qué dice la primera ley de la termodinámica y qué significa? Comportamiento de los gases y la primera ley. ¿Cómo se explica el comportamiento de los gases en función de la primera ley de la termodinámica? ¿Qué es un gas ideal? El flujo de calor. ¿Cuáles son las formas en que se transfiere calor de un cuerpo a otro? ¿Cómo se aplican estas ideas al sistema de calefacción de una casa?

capítulo

10 unidad dos

En las primeras dos secciones de este capítulo exploraremos los conceptos de temperatura y calor y la relación que guardan uno con otro. Por tanto, exponemos la primera ley de la termodinámica, que nos ayuda a explicar por qué la broca de un taladro se calienta al trabajar, así como muchos aspectos del comportamiento de los gases. Finalmente, estudiamos las formas de transferencia de calor de un cuerpo a otro.

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188 Capítulo 10 Temperatura y calor

¿A

lguna vez has tocado la broca de un taladro después de perforar un agujero en un pedazo de madera o de metal (figura 10.1)? Lo más probable es que apartaras la mano rápidamente, ya que sin duda la broca estaba caliente, sobre todo si acababa de usarse para perforar un metal. El mismo fenómeno ocurre cuando los frenos de una bicicleta o un automóvil se calientan, o en cualquier proceso donde una superficie se frota con otra. También podríamos calentar la broca del taladro colocándola en una olla de agua hirviendo o en la flama de un soplete. En cualquier caso, cuando la broca se calienta más decimos que su temperatura ha aumentado. Pero ¿qué es la temperatura y cómo comparamos una temperatura con otra? ¿La condición final de la broca es diferente si se calienta por hacer perforaciones con el taladro que por ponerla en contacto con agua caliente? Preguntas como ésta pertenecen al campo de la termodinámica, que se dedica al estudio del calor y sus efectos sobre la materia. La termodinámica versa sobre la energía pero en un contexto más amplio que la energía mecánica, la cual estudiamos en el capítulo 6. La primera ley de la termodinámica, expuesta en este capítulo, amplía el principio de conservación de la energía para incluir los efectos del calor. ¿Cuál es la diferencia entre el calor y la temperatura? Nuestro lenguaje cotidiano suele combinar estos dos conceptos, mas el entendimiento cabal de la diferencia

figura 10.1

La broca del taladro se siente caliente tras perforar un agujero en una pieza de metal. ¿Qué causa el aumento en su temperatura?

entre ellos no surgió sino hasta aproximadamente la mitad del siglo XIX, cuando se desarrollaron las leyes de la termodinámica. Sin embargo, el calor, la temperatura y la distinción entre ellos son fundamentales para comprender por qué las cosas se calientan o se enfrían y por qué algunas permanecen en ese estado más tiempo que otras. Las mismas ideas llevadas al contexto del enfriamiento de una bebida son importantes para entender los patrones del clima global.

10.1 Temperatura y su medición Piensa que no te sientes bien y estás buscando una excusa para faltar a la escuela. Crees que podrías tener fiebre; una de tus compañeras coloca su mano en tu frente y te dice que estás un tanto caliente. No obstante, para confirmar tu corazonada encuentras un termómetro y te tomas la temperatura (figura 10.2). El termómetro marca 38.3°C (101.3°F). ¿Qué indica exactamente tal lectura? Que tu temperatura es superior a 37°C (98.6°F), la cual se considera normal, y que tienes fiebre. Quizá se justifique que pases el día en cama. El termómetro proporciona una medición cuantitativa de cuán calientes o frías están las cosas y una base para comparar tu temperatura actual con la normal. En general, esta medición cuantitativa permite tener mayor credibilidad con el jefe o con un profesor que la simple afirmación de que creíste tener fiebre.

figura 10.2 ¿Cómo medimos la temperatura? Tomar la temperatura o leer un termómetro es una experiencia común. Sin embargo, además de la función obvia de comparar lo “caliente” o “frío” de diferentes objetos, ¿los números tienen algún significado más fundamental? Para plantearlo básicamente: ¿en qué difieren los objetos calientes de los fríos? ¿Qué es la temperatura?

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Al tomar la temperatura, ¿qué indica el

termómetro?

Aun cuando todos tenemos una idea intuitiva del significado de caliente y frío, expresar esa impresión con palabras es difícil. Trata de hacerlo antes de seguir leyendo: ¿cómo definirías el término caliente? Aun nuestros sentidos pueden engañarnos. El dolor que sentimos al tocar un objeto muy

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10.1 Temperatura y su medición

caliente puede ser difícil de distinguir del que padecemos cuando tocamos uno muy frío. Un bloque de metal se siente más frío al contacto que uno de madera, aunque ambos tengan la misma temperatura. Al final, la medición de la temperatura es una comparación y los términos comparativos más caliente y más frío tienen más significado que caliente o frío en sí mismos. Una mirada más cercana a lo que ocurre cuando usamos un termómetro nos permitirá entenderlo mejor. El termómetro clínico tradicional era un tubo de vidrio sellado parcialmente lleno de algún fluido, en general mercurio (hoy día esos termómetros han sido remplazados en buena parte por los digitales). El diámetro interno del tubo era muy pequeño, pero se ensanchaba en la parte inferior para formar un depósito que contenía la mayor parte del mercurio (figura 10.3). Comúnmente colocas el termómetro debajo de la lengua y esperas unos minutos hasta que alcanza la misma temperatura que el interior de tu boca. Al principio, el mercurio sube dentro del tubo estrecho; cuando su nivel ya no cambia, se supone que ha llegado a la misma temperatura que tu boca. ¿Por qué sube el mercurio? La mayoría de los materiales se expanden al calentarse, y el mercurio y muchos otros líquidos lo hacen a una razón mayor que el vidrio. Cuando ese metal se expande en el depósito debe ir a alguna parte, así que sube por el tubo estrecho. Usamos la propiedad física de la expansión térmica del mercurio para dar una indicación de la temperatura; al colocar marcas a lo largo del tubo creamos una escala de temperatura. En principio, cualquier otra propiedad física que cambie con la temperatura podría usarse. Esas propiedades incluyen cambios en la resistencia eléctrica, expansión térmica de los metales e incluso cambios en el color. En este proceso suponemos que si dos objetos entran en contacto el tiempo suficiente para que sus propiedades físicas (por ejemplo, el volumen) no cambien, ambos adquieren la misma temperatura. Cuando tomamos una temperatura con un termómetro clínico, esperamos hasta que el mercurio deja de subir antes de leer la escala. Este procedimiento proporciona parte de la definición de temperatura al establecer cuándo dos o más objetos tienen la misma temperatura. Cuando

figura 10.3

El termómetro clínico tradicional es un tubo de vidrio con un depósito de mercurio en la parte inferior.

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189

las propiedades físicas ya no cambian, se dice que los objetos están en equilibrio térmico. Dos o más objetos en equilibrio térmico tienen la misma temperatura. Esta suposición a veces se conoce como ley cero de la termodinámica, ya que en ella subyace la definición de temperatura y el proceso de medirla.

¿Cómo se elaboran las escalas de temperatura? ¿Qué significan los números en un termómetro? Cuando se construyó el primer termómetro rudimentario, los números que marcaban las divisiones sobre la escala eran arbitrarios. Eran útiles para comparar temperaturas sólo si se usaba el mismo termómetro. Para comparar una temperatura tomada con un termómetro en Alemania con otra tomada con un termómetro diferente en Inglaterra, se necesitaba una escala de temperatura estándar. Gabriel Fahrenheit (1686-1736) inventó a principios de la década de 1700 la primera escala de temperatura usada ampliamente. Más tarde, en 1743 Anders Celsius (1701-1744) creó otra escala de uso extendido. Las dos escalas utilizan los puntos de congelación y ebullición del agua como referentes. La escala Celsius moderna usa el punto triple del agua, donde el hielo, el agua y el vapor están en equilibrio. A una presión atmosférica normal, ese punto varía sólo ligeramente del de congelación. Fahrenheit estableció en su escala el punto de congelación del agua en 32° y el de ebullición en 212°. Estos dos puntos se fijan en 0° y 100° en la escala Celsius (figura 10.4). Como se muestra en la figura 10.4, el grado Celsius es más grande que el Fahrenheit. Sólo 100 grados Celsius abarcan el rango de temperatura entre el punto de congelación y el de ebullición del agua; por otra parte, se necesitan 180 grados Fahrenheit (212°-32°) para abarcar el mismo rango. Por tanto, la razón de grados Fahrenheit a Celsius es 180/100, o 9/5. El grado Fahrenheit es 5/9 el tamaño del grado Celsius, así que se precisan más grados Fahrenheit para abarcar el mismo rango de temperatura. La escala Celsius se usa en la ciencia y en la mayor parte del mundo. Como las temperaturas Fahrenheit aún son muy conocidas en Estados Unidos, comúnmente debemos convertir de una escala a la otra; al hacerlo hemos de tomar en cuenta que los puntos cero y el tamaño del grado difieren. Por ejemplo, una temperatura ambiente ordinaria de 72° Fahrenheit está 40 grados por encima del punto de congelación del agua de 32°F. Debido a que sólo se requieren 5/9 grados Celsius para abarcar el mismo rango, esta temperatura sería (5/9)(40°) o 22 grados Celsius sobre el punto de congelación del agua. La escala Celsius tiene su cero en ese punto, así que 72°F es igual a 22°C. Recapitulemos. Primero, calculamos a cuántos grados Fahrenheit por encima del punto de congelación del agua se halla esta temperatura restándole 32. Luego multiplicamos por el factor 5/9, que es la razón del tamaño del grado Fahrenheit

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190 Capítulo 10 Temperatura y calor Celsius 100°

Fahrenheit 212° Punto de ebullición del agua 200°

80° 60° 40°

150°

100°

20° 50° 0°

32° Punto de congelación del agua

–20°

0°

–40°

–40°

figura 10.4

Las escalas Fahrenheit y Celsius usan valores numéricos diferentes para los puntos de congelación y ebullición del agua. El grado Celsius es mayor que el Fahrenheit.

¿Hay un cero absoluto? ¿Los puntos cero en cualquier escala tienen algún significado especial? Si bien el punto cero de la escala Celsius es el de congelación del agua, no significa nada especial. Esos puntos se eligieron arbitrariamente. De hecho, la temperatura va por debajo de cero en cualquier escala, como ocurre con frecuencia en lugares como Minesota y Alaska durante el invierno. El punto cero de la escala Fahrenheit se basó en la temperatura de una mezcla de sal y hielo en una solución salina saturada. Aun cuando los puntos cero de las escalas Fahrenheit y Celsius se seleccionaron de forma arbitraria, hay un cero absoluto con un significado más fundamental. El cero absoluto se propuso hace alrededor de 100 años, tiempo después de que esas escalas ya se habían creado. La primera indicación de un cero absoluto para las mediciones de la temperatura provino del estudio de los cambios en la presión y el volumen ocurridos en los gases cuando se modifica la temperatura. Si mantenemos el volumen de un gas constante y aumenta la temperatura, la presión del gas subirá. La presión es otra propiedad física que cambia con la temperatura, igual que el volumen del mercurio en el caso del termómetro. (En el capítulo 9 estudiamos la presión.) Puesto que la presión de un gas a volumen constante aumenta con la temperatura, podemos usar esta propiedad como medio para medir la temperatura (figura 10.5). Si graficamos la presión de un gas en función de la temperatura medida en la escala Celsius, obtendremos una gráfica como la mostrada en la figura 10.6. Si las temperaturas y presiones no son demasiado altas, surge una característica

al Celsius. Sabemos que se requieren menos grados Celsius para abarcar este rango, ya que el grado Celsius es más grande que el Fahrenheit. Podemos expresar esta conversión en una ecuación: TC =

5 9

(TF − 32).

Si seguimos la misma lógica para realizar la conversión inversa de Celsius a Fahrenheit, o simplemente reordenamos la ecuación, se vuelve en: TF =

9 5

Gas

TC + 32.

La multiplicación de la temperatura en Celsius por 9/5 nos dice a cuántos grados Fahrenheit sobre el punto de congelación se encuentra la temperatura. Luego este valor se suma a 32°F, el punto de congelación sobre la escala Fahrenheit. Usando esta relación puedes confirmar que el punto de ebullición del agua (Tc = 100°C) es igual a 212°F. La temperatura normal del cuerpo (98.6°F) equivale a 36°C. Una temperatura corporal de 38°C sería suficiente para evitar que fueras al trabajo o a la escuela.

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Mercurio

Tubo flexible

figura 10.5

Un termómetro de gas a volumen constante permite que la presión cambie con la temperatura cuando el volumen se mantiene constante. La diferencia en la altura de las dos columnas de mercurio es proporcional a la presión.

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10.2 Calor y capacidad calorífica específica Presión

A

x x xGas B x x x x x x Gas

–273° –300°

Gas C –200°

–100°

0

100°

200° T (°C)

figura 10.6

La presión graficada en función de la temperatura para diferentes cantidades de distintos gases. Cuando se extienden hacia atrás, todas las líneas cortan el eje de la temperatura en el mismo punto, sin importar el tipo o la cantidad del gas.

191

10.2 Calor y capacidad calorífica específica Estás retrasado para ir a la escuela o al trabajo, pero tu taza de café matutina está demasiado caliente para beberla. ¿Qué puedes hacer para enfriarla y que no te escalde la lengua? Puedes soplarle, pero no es una manera eficiente de enfriar rápido el café. Si tomas leche con el café, puedes verter un poco en la taza y la temperatura del café bajará (figura 10.7). ¿Qué sucede cuando los objetos o los fluidos a diferentes temperaturas entran en contacto entre sí? La temperatura del objeto más frío aumenta y la del más caliente disminuye, para que a la postre ambos alcancen la misma temperatura intermedia. Algo fluye del cuerpo más caliente al más frío (o viceversa). Pero ¿qué es lo que fluye?

¿Qué es la capacidad calorífica específica? sorprendente en la gráfica. Las curvas para diferentes gases o cantidades son líneas rectas, y cuando éstas se extienden hacia atrás a una presión cero, todas cortan el eje de la temperatura en el mismo punto. Esto ocurre así sin importar el gas utilizado (oxígeno, nitrógeno, helio, etc.) o su cantidad. Todas las curvas cortan el eje en –273.2°C. Como una presión negativa no tiene significado, esta intersección indica que la temperatura no puede ser menor de 273.2°C. Es importante tener en cuenta que la mayoría de los gases se condensará en líquido y luego se solidificará mucho antes de alcanzar ese punto. Nos referimos a esta temperatura, –273.2°C, como cero absoluto. La escala de temperatura Kelvin, o absoluta, tiene su cero en ese punto y utiliza intervalos del mismo tamaño que el grado Celsius. Para convertir temperaturas Celsius en kelvins simplemente sumamos 273.2 a la temperatura Celsius, o

Los primeros intentos por explicar fenómenos como el del ejemplo del café que se enfría suponían la idea de un fluido invisible, llamado calórico, que fluía del cuerpo más caliente al más frío. La cantidad de calórico transferida dictaba el grado en el que cambiaba la temperatura. Se creía que distintos materiales almacenaban diferentes cantidades de calórico en la misma cantidad de masa, lo cual ayudaba a explicar algunas observaciones. Si bien el modelo del calórico explicaba satisfactoriamente muchos fenómenos simples que implican cambios en la temperatura, también presentaba problemas, los cuales estudiaremos en la sección 10.3.

TK = TC + 273.2. La temperatura ambiente de 22°C es una temperatura absoluta de aproximadamente 295 K (el término grado y el símbolo de grado no se usan para expresar temperaturas absolutas; simplemente se llaman kelvins). La escala de temperatura absoluta usada en la actualidad es básicamente la misma que la sugerida en un principio al observar el comportamiento de los gases. El cero absoluto es una temperatura a la que podemos aproximarnos pero nunca alcanzar. Representa un valor restrictivo. Hablar de algo más frío que el cero absoluto no tiene sentido. Las mediciones de la temperatura se basan en propiedades físicas que cambian con la temperatura, como el volumen de un líquido o la presión de un gas. Las escalas Fahrenheit y Celsius tienen distintos puntos cero y grados de diferente tamaño. La escala Kelvin o absoluta empieza en el cero absoluto y utiliza intervalos del mismo tamaño que la escala Celsius.

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figura 10.7

Verter leche fría en una taza de café caliente baja la temperatura de éste.

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192 Capítulo 10 Temperatura y calor Ahora denominamos con el término calor a la cantidad que fluye de un cuerpo a otro de diferente temperatura al entrar en contacto con él. Como veremos en la sección 10.3, el flujo de calor es una forma de transferencia de energía entre cuerpos. La idea del intercambio de calor arroja luz sobre una gran variedad de fenómenos. Si dejas caer 100 gramos de balines de acero, inicialmente a temperatura ambiente, en tu taza de café, te darás cuenta que son menos eficaces para enfriarlo que 100 gramos de leche o agua a temperatura ambiente. El acero tiene una capacidad calorífica específica menor que la leche o el agua (la leche es principalmente agua, igual que el café). Se necesita menos calor para cambiar la temperatura de 100 gramos de acero que para cambiar la temperatura de una masa igual de agua. La capacidad calorífica específica de un material es la cantidad de calor necesario para cambiar una unidad de masa del material una unidad de temperatura (por ejemplo, cambiar 1 gramo 1 grado Celsius). Es una propiedad del material.

La capacidad calorífica específica de un material se refiere a la cantidad de calor necesario para aumentar su temperatura. Este número se determina de manera experimental para cada sustancia. Por ejemplo, la capacidad calorífica específica del agua es 1 cal/g·C°, es decir, se requiere 1 caloría de calor para aumentar 1°C la temperatura de 1 gramo de agua. La caloría se usa comúnmente como unidad de calor. Se define como la cantidad de calor requerida para aumentar 1 grado Celsius la temperatura de 1 gramo de agua. Asimismo, si 1 gramo de agua pierde 1 caloría, su temperatura disminuye 1°C. Sucede que el agua tiene una capacidad calorífica específica muy grande. Por consiguiente, la usamos como un material de referencia para medir las capacidades caloríficas específicas de otros materiales, algunos de los cuales se enumeran en la tabla 10.1.

La capacidad calorífica específica del acero es aproximadamente 0.11 cal/g·C°, mucho menor que la del agua. Dejar caer 100 gramos de acero a temperatura ambiente en nuestra taza de café es mucho menos eficaz para enfriar el café que verter 100 gramos de agua a temperatura ambiente en la taza. El acero absorbe menos calor del café por cada grado de temperatura que cambia que lo que absorbe el agua (figura 10.8). Cuando los balines de acero frío se dejan caer en el agua caliente, el calor fluye del agua a ellos. A partir de la definición de capacidad calorífica específica podemos calcular cuánto calor debe absorber el acero para cambiar su temperatura una cantidad dada. Como la capacidad calorífica específica es la cantidad de calor por unidad de masa por unidad de cambio en la temperatura, el calor total requerido es Q = mcΔT, donde Q es el símbolo estándar para una cantidad de calor, m la masa, c el símbolo para la capacidad calorífica específica y ΔT el cambio en la temperatura. Como la capacidad calorífica específica c es mucho mayor para el agua que para el acero, se necesita una cantidad mayor de calor para calentar a cierta temperatura 100 gramos de agua que 100 gramos de acero. Como este calor proviene de la cafetera caliente, el agua es mejor que el acero para enfriar el café. La mayor capacidad calorífica específica del agua es parcialmente responsable de su efecto moderador sobre las temperaturas cerca de la costa o de la orilla de un lago grande. Un cuerpo de agua grande, con su gran capacidad calorífica específica, requiere que se añada o elimine una gran cantidad de calor para cambiar su temperatura. El cuerpo de agua tendrá una influencia moderadora sobre la temperatura del aire de sus alrededores. Las noches serán más cálidas y los días más fríos que a cierta distancia tierra adentro, pues es difícil cambiar la temperatura del agua.

¿Cuál es la diferencia entre temperatura y calor?

tabla 10.1 Capacidades caloríficas específicas de algunas sustancias comunes Sustancia

Capacidad calorífica específica en cal/g·°C

agua

1.0

hielo

0.49

vapor

0.48

alcohol etílico

0.58

vidrio

0.20

granito

0.19

acero

0.11

aluminio

0.215

plomo

0.0305

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Cuando dos cuerpos a diferentes temperaturas entran en contacto, el calor fluye del cuerpo con mayor temperatura al que tiene menor temperatura (figura 10.9). El calor añadido Agua

Balines de acero

figura 10.8

Cien gramos de agua a temperatura ambiente (20°C) son más eficaces que 100 gramos de balines de acero a temperatura ambiente para enfriar un vaso de precipitados con agua caliente.

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10.2 Calor y capacidad calorífica específica T1 > T2

T1

Q T2

m1, c1

m2, c2

figura 10.9

El calor fluye del cuerpo más caliente al más frío cuando los dos tienen diferente temperatura y entran en contacto. Los cambios en la temperatura resultantes dependen de las cantidades del material y de la capacidad calorífica específica de cada cuerpo.

aumenta la temperatura y el calor eliminado la baja, es decir, calor y temperatura no son lo mismo. La cantidad de calor añadida o eliminada para producir un cambio en la temperatura depende de la cantidad de material implicada (su masa) y de su capacidad calorífica específica. La temperatura es una cantidad que nos indica en qué dirección fluirá el calor. Si dos objetos tienen la misma temperatura, el calor no fluye. Si tienen temperaturas diferentes, la dirección del flujo de calor es del que tiene una temperatura mayor al que la tiene menor. La cantidad de calor transferido depende de la diferencia de temperatura entre los dos materiales, así como de sus masas y capacidades caloríficas específicas. El calor y la temperatura son conceptos estrechamente relacionados pero tienen papeles diferentes en nuestra explicación de los procesos de calentamiento y enfriamiento:

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El hielo, el agua líquida y el vapor de agua son fases diferentes de la misma sustancia, agua. Si la temperatura del agua se enfría a 0°C y seguimos eliminando calor, el agua se congelará hasta formar hielo. De la misma forma, si calentamos el hielo a 0°C y seguimos añadiendo calor, el hielo se fundirá (figura 10.10). A medida que añadimos calor, la temperatura del hielo y el agua permanecen en 0°C mientras ocurre la fusión. El calor se ha añadido, pero no ocurre ningún cambio en la temperatura. Aparentemente, la adición o eliminación de calor produce otro tipo de cambios distinto del de temperatura. Las mediciones detalladas han mostrado que se requieren aproximadamente 80 calorías de calor para fundir 1 gramo de hielo. Esta razón, 80 cal/g, se conoce como calor latente de fusión del agua y con frecuencia se denota con el símbolo Lf. El calor latente cambia la fase del agua sin modificar su temperatura. Asimismo, se requieren aproximadamente 540 calorías de calor para convertir 1 gramo de agua a 100°C en vapor. Esta razón, 540 cal/g, se llama calor latente de vaporización, Lv. Estos valores son válidos sólo para el agua. Otras sustancias tienen sus propios calores latentes de fusión y vaporización. ¿Qué pasa cuando enfriamos un vaso de agua agregándole hielo? Primero, el hielo y el agua tienen diferente temperatura, el primero en algún punto debajo de 0°C y la segunda en algún punto arriba de esta temperatura. El calor fluye del agua al hielo hasta que éste alcanza una temperatura de 0°C. En este

El calor es energía que fluye de un cuerpo a otro cuando hay una diferencia de temperaturas entre ambos.

La temperatura es la cantidad que indica si el calor fluirá o no, y en qué dirección lo hará. Los cuerpos con la misma temperatura están en equilibrio térmico y no fluye calor de uno a otro.

¿Cómo interviene el calor en la fusión o el enfriamiento? ¿Se puede añadir o quitar calor a una sustancia sin cambiar su temperatura? De hecho, esto ocurre cuando las sustancias pasan por un cambio de fase o estado. La fusión del hielo y la ebullición del agua son los ejemplos más conocidos de los cambios de fase. Siempre que enfriamos una bebida usando hielo o hervimos agua para té o café producimos cambios de fase. ¿Qué es lo que sucede?

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10.10 Al añadir calor a una mezcla de agua y hielo a 0°C se funde el hielo sin cambiar la temperatura de la mezcla.

figura

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194 Capítulo 10 Temperatura y calor punto, el hielo comienza a fundirse mientras el calor sigue fluyendo del agua al hielo. Si hay hielo suficiente, este flujo de calor continuará hasta que el agua llegue a una temperatura de 0°C. En el cuadro de ejemplo 10.1 se ilustran estas ideas. Si el vaso de vidrio estuviera aislado de tal manera que el calor no pudiera fluir hacia él de los alrededores más calientes, la mezcla de hielo y agua permanecería en 0°C después de que tanto el agua como el hielo hubieran alcanzado esta temperatura, y no se fundiría más hielo. En general, no obstante, el calor fluye hacia el sistema desde los alrededores, y el hielo sigue fundiéndose más lentamente. Una vez que desaparece, la bebida comienza de nuevo a calentarse y con el tiempo alcanza la temperatura ambiente mientras fluya calor hacia el vaso desde el aire circundante. Una vez que se alcanza el equilibrio térmico, una mezcla de hielo y agua, bien revuelta, permanece en 0°C. Pequeñas cantidades de calor pueden fluir hacia dentro o hacia fuera de la mezcla desde los alrededores, y pequeñas cantidades de hielo pueden fundirse o congelarse, pero la temperatura no cambiará. Ésta es una de las razones por las que la temperatura de 0°C es útil como punto de referencia para nuestras escalas de temperatura. Se trata de una temperatura estable y reproducible. Cuando hervimos los alimentos para cocerlos, aprovechamos el hecho de que el agua hierve a 100°C y que podemos seguir añadiendo calor sin cambiar la temperatura. La adición

cuadro de ejemplo 10.1 Ejercicio: transformación de hielo en agua Si la capacidad calorífica específica del hielo es 0.5 cal/g·C°, ¿cuánto calor tendría que añadirse a 200 g de hielo, inicialmente a una temperatura de –10°C, para: a) aumentar la temperatura del hielo hasta el punto de fusión? b) fundir completamente el hielo? a) Calor requerido para aumentar la temperatura: m = 200 g

Q = mcΔT

c = 0.5 cal/g·C°

= (200 g)(0.5 cal/g·C°)(10°C)

T = −10°C

= 1 000 cal

Q aumento = ? b) Calor requerido para fundir el hielo: Lf = 80 cal/g Qfusión= ?

Q = mLf = (200 g)(80 cal/g) = 16 000 cal

El calor total requerido para aumentar el hielo a 0°C y fundirlo es 1 000 cal + 16 000 cal = 17 000 cal o 17 kcal.

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de calor desde el quemador hace que el agua líquida cambie a vapor de agua mientras la temperatura permanece en 100°C. Como la temperatura es constante, el tiempo de cocción requerido para cocer un huevo o una papa también es muy constante, según el tamaño del huevo o de la papa. Sin embargo, los cocineros deben estar concientes de los efectos de la altitud en la temperatura de ebullición. En ciudades como Denver o Albuquerque, ambas situadas aproximadamente a una milla sobre el nivel del mar, el agua hierve a una temperatura de aproximadamente 96°C debido a la menor presión atmosférica a esa altitud. Es más tardado hervir un huevo o una papa ahí que en el nivel del mar, donde el punto de ebullición es de 100°C. Si no haces los ajustes necesarios en el tiempo de cocción, tus papas quedarán mal cocidas del centro. Los cambios en la temperatura pueden ser provocados por el flujo de energía como calor de un cuerpo a otro. La cantidad de calor necesaria para producir un cambio en la temperatura depende de la masa y de la capacidad calorífica específica del cuerpo, así como del cambio en la temperatura. La temperatura es una cantidad que indica cuándo y en qué dirección fluirá el calor: el calor fluye del cuerpo más caliente al más frío. Cuando una sustancia cambia de fase, como de hielo a agua o de agua a vapor, se añade o elimina calor sin cambiar la temperatura. La cantidad de calor necesaria por unidad de masa para producir un cambio de fase se llama calor latente.

10.3 Experimento de Joule y la primera ley de la termodinámica ¿La temperatura de un cuerpo puede aumentar sin que entre en contacto con otro más caliente? ¿Qué sucede cuando las cosas se ponen más calientes al frotarlas? Estas preguntas fueron tema de debate científico durante la primera mitad del siglo xix. Gracias al trabajo experimental de James Prescott Joule (1818-1889), quien había seguido el enunciado de la primera ley de la termodinámica a mediados de ese mismo siglo, esas preguntas hallaron respuesta. Una de las primeras personas en plantearlas enérgicamente fue el pintoresco científico y aventurero estadounidense Benjamin Thompson (1753-1814), también conocido como conde Rumford. Thompson formaba parte de los derrotados en la Guerra de Independencia de Estados Unidos, por lo que emigró a Europa, donde sirvió al rey de Bavieria como asesor en armamento. En Baviera recibió el título de conde Rumford. Gracias a su experiencia en supervisión del barrenado de cañones, Rumford sabía de primera mano que los cañones y las brocas de taladro se calientan mucho cuando se perforan aquéllos con éstas (figura 10.11). Una vez demostró que el agua podía hervir al ponerla en contacto con el cañón mientras era perforado. ¿Cuál era la fuente del calor que provocaba el aumento en la temperatura? No había presente ningún otro cuerpo más caliente desde el cual pudiera fluir el calor. Se usaban caballos para hacer girar el taladro, pero su temperatura, aunque

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10.3 Experimento de Joule y la primera ley de la termodinámica

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Aislamiento

m

figura 10.11

El aparato de perforación del cañón de Rumford. ¿Cuál es la fuente de calor que aumenta la temperatura del taladro y del cañón?

caliente, desde luego estaba por debajo del punto de ebullición del agua. Los caballos realizaban trabajo mecánico sobre la máquina del taladro. ¿Esta fuerza era capaz de generar calor?

¿Qué demostraron los experimentos de Joule? La demostración de Rumford ocurrió en 1798 y fue discutida por muchos científicos durante la primera parte del siglo xix. La investigación cuantitativa sobre las observaciones de Rumford no se realizó sino hasta la década de 1840, cuando Joule llevó a cabo una famosa serie de experimentos y mostró que varias formas de realizar trabajo mecánico en un sistema tenían un efecto consistente y predecible en el aumento de la temperatura del sistema. En su experimento más espectacular, Joule metió una simple rueda hidráulica de paletas en un vaso de precipitados con agua aislado y midió el incremento en la temperatura (figura 10.12). Un sistema de pesas y poleas hacia girar la rueda hidráulica de paletas, con lo que se transfería energía de las pesas al agua. Cuando aquéllas descendían, perdiendo energía potencial gravitacional, la rueda hidráulica de paletas realizaba un trabajo contra las fuerzas viscosas de resistencia del agua. Este trabajo era igual a la pérdida en la energía potencial de las pesas. Un termómetro colocado en el agua medía el aumento en la temperatura. Joule descubrió que se precisaban 4.19 J de trabajo para aumentar 1 C° la temperatura de 1 gramo de agua. [El uso del joule (J) como unidad de energía no ocurrió sino hasta tiempo después del trabajo de Joule. Él estableció sus resultados en unidades de energía más arcaicas. Consulta en el capítulo 6 la definición de joule.] Como también podemos aumentar 1 C° la temperatura de 1 gramo de agua si le añadimos 1 caloría de calor, el experimento de Joule implica que 4.19 J de trabajo equivalen a 1 caloría de calor. Joule aplicó varias formas de realizar trabajo en sus experimentos, así como varios tipos de sistemas. El resultado fue siempre el mismo: 4.19 J de trabajo producían el mismo aumento de temperatura que 1 caloría de calor.

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10.12 Representación esquemática del aparato de Joule. Una masa que pende hace girar una paleta en un vaso de precipitados con agua aislado para medir el aumento en la temperatura producido al realizar trabajo mecánico en un sistema.

figura

El estado final del sistema no proporcionaba pistas en cuanto a si la temperatura aumentaba por añadir calor o por realizar trabajo mecánico.

La primera ley de la termodinámica En la época que Joule realizó su trabajo varias personas ya habían indicado que la transferencia de calor lo era de energía entre los átomos y las moléculas de los sistemas implicados. Los experimentos de Joule respaldaban este punto de vista y conducían directamente al enunciado de la primera ley de la termodinámica planteado por William Thomson (lord Kelvin). La idea que subyace en la primera ley es que tanto el trabajo como el calor representan transferencias de energía hacia dentro o hacia fuera de un sistema. Si se añade energía a un sistema, ya sea como trabajo o como calor, su energía interna aumenta en consecuencia. El cambio en la energía interna es igual a la cantidad de calor y trabajo transferida al sistema. Un aumento en la temperatura es una manera en que un cambio en la energía podría ponerse de manifiesto. La primera ley de la termodinámica resume estas ideas: El aumento en la energía interna de un sistema es igual a la cantidad de calor que se le añade menos la cantidad de trabajo realizado por él.

Símbolicamente, con frecuencia escribimos la primera ley de la termodinámica como ΔU = Q − W,

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196 Capítulo 10 Temperatura y calor donde U representa la energía interna del sistema, Q la cantidad de calor que se le añade y W la cantidad de trabajo realizado por él (figura 10.13). El signo menos en este enunciado es resultado directo de la convención de elegir que el trabajo realizado por el sistema sea positivo en vez de ser un trabajo realizado en el sistema. El trabajo realizado en el sistema le añade energía, pero el que realiza el propio sistema en sus alrededores la elimina y reduce su energía inicial. Esta convención de signos es práctica para el estudio de las máquinas térmicas, tema central del próximo capítulo. A simple vista, la primera ley parece un enunciado de la conservación de la energía, y de hecho lo es. Su simplicidad aparente impide ver con claridad las importantes ideas que comporta. La primera y más relevante de ellas es que el flujo de calor es una transferencia de energía, idea totalmente reforzada por los experimentos de Joule. Antes de 1850 el concepto de energía se había restringido a la mecánica. De hecho, sólo entonces se demostró su propia mecánica y no fue significativa en la teoría original de Newton. La primera ley de la termodinámica llevó el concepto de energía a áreas nuevas.

¿Qué es la energía interna? La primera ley también introdujo el concepto de energía interna de un sistema. Un aumento en la energía interna puede mostrarse de diversas formas: una es un aumento en la temperatura, como en el experimento de Joule con la rueda hidráulica de paletas. Un aumento en la temperatura se relaciona con un incremento en la energía cinética media de los átomos o moléculas que componen el sistema. Un cambio de fase, como la fusión o la vaporización, es otra forma en que el aumento en la energía interna de un sistema lo afecta. En un cambio de fase, la energía potencial media de los átomos y moléculas aumenta cuando ambos se alejan unos de otros. No ocurre ningún cambio en la temperatura, pero aún hay un incremento en la energía interna. Un aumento en la energía interna, por tanto, puede mostrarse como un incremento ya sea en la energía cinética o en la potencial (en ambas) de los átomos o moléculas que forman el sistema:

La energía interna del sistema es la suma de las energías potencial y cinética de los átomos y moléculas que lo forman.

La energía interna es una propiedad del sistema determinada únicamente por su estado. Si sabemos que un sistema está en cierta fase y se especifican la temperatura, la presión y la cantidad de material, sólo hay un valor posible de la energía interna. La cantidad de calor o trabajo que se ha transferido al sistema, por otra parte, no está determinada únicamente por su estado. Como mostró el experimento de Joule, cualquiera de los dos, el calor o el trabajo, podrían transferirse al vaso de precipitados con agua para producir el mismo aumento en la temperatura. El sistema en estudio puede ser cualquier cosa que deseemos: un vaso de precipitados con agua, una máquina de vapor o un elefante. Es mejor, no obstante, considerar un sistema que tiene fronteras distintas, de modo que podamos definir fácilmente dónde comienza y dónde termina. Elegir el sistema es parecido al proceso de aislar un cuerpo en mecánica para aplicar la segunda ley de Newton. En la mecánica, las fuerzas definen la interacción del cuerpo escogido con otros cuerpos. En termodinámica, la transferencia de calor o trabajo define la interacción de un sistema con otros sistemas o con los alrededores. En el cuadro de ejemplo 10.2 se aplica la primera ley de la termodinámica. El sistema es un vaso de precipitados con agua y hielo (figura 10.14). La energía interna del sistema crece tanto por el calor de una placa caliente como por el trabajo realizado al agitar el agua. Observa que el trabajo realizado por la agitación es una cantidad negativa, ya que representa el trabajo hecho en el sistema. El aumento en la energía interna resulta en la fusión del hielo.

Conteo de calorías en los alimentos Vale la pena incluir una nota final sobre las unidades de energía. Cuando ingerimos alimentos añadimos energía a nuestro sistema al tomar material que puede liberar energía potencial en reacciones químicas. Con frecuencia medimos esa energía en una unidad llamada caloría. Esta unidad es, en realidad, una kilocaloría, o 1000 calorías. El conteo de calorías que se lleva a cabo para la comida usa la unidad: 1 Cal = 1 kilocaloría = 1000 cal

Q

U

–W

10.13 La energía inicial U de un sistema aumenta por la transferencia ya sea de calor o de trabajo hacia el sistema.

figura

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La C mayúscula usada en el símbolo indica que se trata de una unidad mayor que la caloría ordinaria. Los valores de las calorías dados para diferentes tipos de alimentos son la cantidad de energía que éstos liberan al digerirlos o metabolizarlos. Esa energía puede almacenarse de varias maneras dentro del cuerpo, incluidas las células de grasa. Nuestros cuerpos convierten incesantemente energía almacenada en los músculos en otras formas de energía. Cuando realizamos un trabajo físico, por ejemplo, transferimos la energía mecánica a otros sistemas y calentamos los alrededores por el

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10.4 Comportamiento de los gases y la primera ley

cuadro de ejemplo 10.2 Ejercicio: aplicación de la primera ley de la termodinámica Una placa caliente se usa para transferir 400 cal de calor a un vaso de precipitados con hielo y agua. También se realizan 500 J de trabajo sobre el contenido del vaso de precipitados al agitar el agua. a) ¿Cuál es el aumento en la energía interna de la mezcla de hielo y agua? b) ¿Cuánto hielo se funde en este proceso? a) Primero convertimos las unidades de calor en joules: Q = 400 cal W = −500 J ΔU = ?

Q = (400 cal)(4.19 J/cal) = 1 680 J ΔU = Q − W = 1 680 J − (−500 J) = 2 180 J

b) Lf = 80 cal/g

ΔU = mLf

= 335 J/g m = ?

m= =

ΔU Lf 2 180 J 335 J/g

= 6.5 g (cantidad de hielo fundido) Como la energía interna se expresó en joules, convertimos el calor latente en unidades J/g multiplicando por 4.19 J/cal.

10.14 El hielo en el vaso de precipitados puede fundirse ya sea al añadir calor con una placa caliente o al realizar un trabajo agitando la mezcla de hielo y agua.

figura

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197

flujo de calor de nuestro cuerpo. Cuando cuentas las calorías, estás midiendo la entrada de energía. Si lo que desechas es menor que lo que consumes, cabe esperar que crezcas. Joule descubrió que al realizar 4.19 joules de trabajo en un sistema aumentaba su temperatura la misma cantidad que si se añadía 1 caloría de calor. Este descubrimiento convenció a los científicos de que el flujo de calor era una forma de transferencia de energía y conducía al enunciado de la primera ley de la termodinámica. Ésta establece que el cambio en la energía interna de un sistema es igual a la cantidad neta de calor y trabajo que le es transferida. La energía interna es la suma de las energías cinética y potencial de los átomos que forman el sistema. Estas ideas amplían el principio de conservación de la energía.

10.4 Comportamiento de los gases y la primera ley ¿Qué sucede cuando comprimimos aire en un cilindro? ¿Cómo funciona un globo de aire caliente? El comportamiento de los gases en éstas y otras situaciones puede investigarse usando la primera ley de la termodinámica, con la ayuda de algunos hechos adicionales sobre la naturaleza de los gases. Nuestra atmósfera es otro sistema interesante para las leyes de la termodinámica.

¿Qué pasa cuando comprimimos un gas? Imagina que un gas está contenido en un cilindro con un pistón movible, como en la figura 10.15. Si el pistón se empuja hacia adentro por medio de una fuerza externa realiza trabajo sobre el gas. ¿Qué efecto tiene esto en la presión o la temperatura del gas? A partir de la primera ley de la termodinámica sabemos que la realización de trabajo en un sistema le añade energía. Por sí mismo, el trabajo podría aumentar la energía interna del gas, pero el cambio en ésta también depende del flujo de calor hacia dentro o hacia fuera del gas. Saber cuánto trabajo se realiza sobre el gas proporciona sólo parte del panorama. Por su definición (sección 6.1), sabemos que el trabajo realizado sobre el gas es igual a la fuerza ejercida por el pistón por la distancia que éste se mueve. Como la presión es la fuerza por unidad de área, la fuerza ejercida sobre el pistón por el gas es igual a la presión del gas por el área del pistón (F = PA). Si movemos el pistón sin acelerarlo, la fuerza neta que actúa sobre él es cero y la fuerza externa que le es aplicada equivale a la ejercida por el gas sobre el pistón. Al integrar estas ideas, el trabajo realizado sobre el gas es la fuerza por la distancia d que el pistón se mueve, o W = Fd = (PA)d. El movimiento del pistón produce un cambio en el volumen del gas y este cambio en el volumen es igual al área del pistón por la distancia que se desplaza, ΔV = Ad (véase la figura 10.15). El trabajo realizado por el gas en una expansión es, por tanto, W = PΔV.

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198 Capítulo 10 Temperatura y calor antes

d

después

F

P ΔV

10.15 Un pistón movible comprime un gas en un cilindro. El trabajo realizado es W = Fd = PΔV.

figura

Si el gas se comprime, su volumen disminuye, y el cambio en el volumen ΔV será negativo, lo que indica que el trabajo realizado también lo es. El trabajo es negativo cuando se efectúa sobre el sistema. A partir de la primera ley, ΔU = Q – W, el trabajo negativo aumenta la energía del sistema, ya que el signo menos se cancela. Realizamos un trabajo sobre el gas al comprimirlo, y ese trabajo incrementa la energía interna del gas. Si el gas se expande, realiza un trabajo positivo sobre sus alrededores y su energía interna disminuye. La compresión de un gas hace que su energía interna aumente en proporción al cambio en su volumen, siempre que no haya un flujo de calor a través de los límites del recipiente. ¿Qué efecto tiene esto sobre el gas? ¿Cómo un cambio en la energía interna afecta al gas?

to. Ésta es una buena aproximación para los gases en muchas situaciones. Para un gas ideal, la energía interna del gas es exclusivamente cinética: el incremento en la energía interna aumenta la energía cinética de las moléculas de gas. La temperatura absoluta está directamente relacionada con la energía cinética media de las moléculas de un sistema. Si la energía interna de un gas ideal aumenta, la temperatura también lo hace en proporción directa. Una gráfica de la energía interna en una función de la temperatura absoluta para un gas ideal se ve como la de la figura 10.16. Por tanto, la temperatura de un gas crecerá en la compresión adiabática. De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, la energía interna del gas se incrementa una cantidad igual al trabajo realizado sobre él. Si conocemos la capacidad calorífica específica y la masa del gas podemos calcular el aumento en la temperatura a partir del incremento en la energía. Lo inverso también es cierto. Si permitimos que el gas se expanda contra el pistón, realizando un trabajo sobre sus alrededores, la energía interna del gas disminuirá. La temperatura del gas baja en una expansión adiabática; así es como funciona un refrigerador. Un gas presurizado se puede expandir bajando su temperatura. El gas frío luego circula por el serpentín de enfriamiento dentro del refrigerador, con lo que elimina calor del contenido de éste.

¿Cómo podemos evitar que la temperatura de un gas cambie? ¿Es posible que la temperatura de un gas permanezca constante durante una compresión o expansión? En un proceso isotérmico, la temperatura no cambia (iso significa igual y térmico se refiere al calor o la temperatura). Debido a la relación directa entre la temperatura y la energía interna en un gas ideal, la energía interna debe ser constante si no hay cambio en la temperatura. El cambio en la energía interna, ΔU, es cero para un proceso isotérmico en un gas ideal.

Muchos procesos naturales relacionados con los gases son adiabáticos, lo que significa que no fluye calor hacia dentro ni hacia fuera del gas durante el proceso. Si comprimimos un gas en un cilindro, por ejemplo, la compresión puede ocurrir con la suficiente rapidez para que no haya tiempo para que se transfiera una cantidad considerable de calor. El aumento en la energía interna es igual al trabajo realizado sobre el gas. ¿Qué sucede al gas? En general, la energía interna está formada tanto por la energía cinética como por la potencial de los átomos y moléculas del sistema. En un gas, la energía interna casi es exclusivamente cinética, ya que las moléculas están tan alejadas (en promedio) que la energía potencial de interacción entre ellas es insignificante. Un gas ideal es aquel para el cual las fuerzas entre los átomos (y la energía potencial asociada) son lo suficientemente pequeñas como para ignorarlas por comple-

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Energía interna (U)

¿Cómo se relaciona la energía interna con la temperatura?

Temperatura absoluta (T)

10.16 La energía interna se traza en función de la temperatura absoluta para un gas ideal. La energía interna aumenta en proporción directa a la temperatura.

figura

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10.4 Comportamiento de los gases y la primera ley

Si ΔU es cero, la primera ley de la termodinámica (ΔU = Q – W) requiere que W = Q. En otras palabras, si una cantidad de calor Q se añade al gas, éste realizará una cantidad igual de trabajo W sobre sus alrededores si la temperatura y la energía interna permanecen constantes. Es posible añadir calor a un gas sin cambiar su temperatura, siempre que el gas realice una cantidad igual de trabajo en sus alrededores al expandirse. (Éste no es un proceso adiabático, ya que el calor fluye hacia el sistema.) De nuevo, lo inverso también es cierto. Si comprimimos un gas mientras mantenemos la temperatura constante, el calor se elimina del gas, de acuerdo con la primera ley de la termodinámica. Para que la energía interna y la temperatura permanezcan constantes, la energía añadida al gas en forma de trabajo debe dar como resultado una cantidad igual de energía en la forma del calor que se elimina. Las compresiones isotérmicas y las expansiones son procesos importantes en las máquinas térmicas, las cuales consideraremos en el capítulo 11.

¿Qué sucede con el gas en un globo de aire caliente? Cuando se calienta el gas de un globo de aire caliente (figura 10.17), la presión, no la temperatura, permanece constante. La presión del gas dentro del globo no puede ser considerablemente mayor que en la atmósfera circundante. Cuando la pre-

10.17 En un globo de aire caliente se añade calor al aire por medio del quemador de propano encima de la góndola. El aire calentado se expande volviéndose menos denso que el aire que rodea al globo.

figura

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sión permanece constante en este proceso, se llama isobárica (bárica se refiere a la presión). La energía interna aumenta a medida que el gas se calienta, igual que la temperatura. Sin embargo, el gas también se expande en este proceso, lo cual elimina un poco de energía interna. El gas se expande en el proceso de calentamiento isobárico debido a otra propiedad de los gases ideales descubierta a principios del siglo xix. Una serie de experimentos mostraron que la presión, el volumen y la temperatura absoluta de un gas ideal se relacionan mediante la ecuación PV = NkT, donde N es el número de moléculas en el gas y k es una constante de la naturaleza llamada constante de Boltzmann. (Ludwig Boltzmann (1844-1906) fue un físico austriaco que desarrolló una teoría estadística del comportamiento de los gases.) Esta ecuación se llama ecuación de estado de un gas ideal. La temperatura T usada en la ecuación de estado debe ser la absoluta. Recuerda que el concepto de temperatura absoluta surgió originalmente en el estudio del comportamiento de los gases (véase la sección 10.1). La ecuación de estado combina la ley de Boyle (sección 9.2) con el efecto de la temperatura sobre la presión estudiado en la primera sección de este capítulo. La ecuación de estado muestra que si la temperatura aumenta cuando la presión y el número de moléculas se mantienen constantes, el volumen del gas también debe crecer. En otras palabras, el gas se expande. Asimismo, si el gas se expande a presión constante, la temperatura debe incrementarse. Para una expansión isobárica, la primera ley de la termodinámica indica que el calor añadido al gas ha de ser mayor que la cantidad de trabajo realizado por el gas en expansión. La energía interna U, aumenta cuando la temperatura aumenta. Como ΔU = Q – W, Q debe ser mayor que W (que es positiva porque el gas está en expansión) para que la energía interna crezca. Por tanto, la primera ley de la termodinámica y la ecuación de estado de un gas ideal pueden usarse para calcular cuánto calor debe añadirse al sistema para que produzca cierta cantidad de expansión. Como el gas dentro del globo se ha expandido, el mismo número de moléculas ahora ocupa un volumen mayor, y la densidad del gas ha disminuido. En otras palabras, el globo se eleva debido a que la densidad del gas en su interior es menor que la densidad del aire fuera del globo. La fuerza de flotación que actúa sobre el globo se describe por medio del principio de Arquímedes (sección 9.3). El mismo fenómeno ocurre en la atmósfera a una escala mucho menor. Una masa de aire caliente se elevará en comparación con masas de aire más frío por la misma razón que se eleva un globo de aire caliente. El aire calentado cerca del suelo en un día cálido de verano se expande, se vuelve más denso y se eleva a la atmósfera. El aire que se eleva transporta vapor de agua que proporciona humedad para la formación de las nubes a elevaciones más altas. Las columnas de aire caliente que se elevan también crean turbulencia en el aire, lo cual puede llegar a ser un problema para el aparato. Estas corrientes de aire caliente son una gran ayuda, no obstante, para los entusiastas del deslizador y las águilas en vuelo.

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200 Capítulo 10 Temperatura y calor El comportamiento de los gases y las implicaciones de la primera ley de la termodinámica resultan de gran importancia en nuestra comprensión del fenómeno climático. El calor latente interviene en la evaporación y condensación del agua, así como en la formación de cristales de hielo en la nieve o aguanieve. La fuente de energía de todos estos procesos es el Sol: la superficie del agua y la atmósfera de la Tierra tienen un motor enorme impulsado por ese astro.

T1 > T2 Barra de metal T1

Q

T2

10.18 En la conducción térmica, la energía fluye por un material cuando hay una diferencia de temperaturas en éste.

figura

La primera ley de la termodinámica explica muchos procesos relacionados con los gases. La temperatura absoluta de un gas está directamente relacionada con su energía interna: en el caso de un gas ideal, la energía interna es la energía cinética de sus moléculas. La cantidad de calor añadido y el trabajo realizado por el gas determinan su temperatura, produciendo diferentes resultados para los procesos adiabático, isotérmico e isobárico. La primera ley, junto con la ecuación de estado, puede usarse para predecir el comportamiento de los gases en las máquinas térmicas, los globos de aire caliente y las masas de aire en la atmósfera.

10.5 El flujo de calor En la mayoría de las regiones de Estados Unidos es necesario calentar las casas y edificios durante el invierno. Las casas se calientan quemando madera o combustibles fósiles como carbón, petróleo o gas natural en una caldera, o por medio de calefacción eléctrica. Como el combustible que se usa se paga, ello constituye un incentivo para evitar que el calor se escape. ¿Cómo fluye el calor hacia fuera de una casa o de cualquier otro objeto caliente? ¿Qué mecanismos están implicados y cómo podemos reducir la pérdida de calor al cobrar conciencia de estos mecanismos? La conducción, la convección y la radiación son tres medios básicos de flujo de calor. Los tres son significativos en la pérdida (o ganancia) de calor en una casa. Entenderlos bien puede ayudarte a tener comodidad en tu casa, residencia universitaria o lugar de trabajo.

El calor fluye por conducción En la conducción, el calor fluye a través de un material cuando cuerpos con diferentes temperaturas entran en contacto (figura 10.18). El calor fluye directamente del cuerpo más caliente al más frío a una razón que depende de la diferencia de temperaturas entre ellos y de una propiedad de los materiales llamada conductividad térmica. Algunos materiales tienen conductividades térmicas mucho mayores que otros. Los metales, por ejemplo, son mucho mejores conductores de calor que la madera o el plástico. Imagina que tomas un bloque de metal con una mano y otro de madera con la otra (figura 10.19). Los dos bloques están a temperatura ambiente, pero tu cuerpo en general está de 10 a 15 grados Celsius más caliente que esa temperatura, así que el calor fluirá de tus manos a los bloques. El bloque de metal, no obstante, se sentirá más frío que el de madera. Como ambos

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10.19 Cuando sostienes un bloque de metal y uno de madera, los dos a temperatura ambiente, el bloque de metal se siente más frío.

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bloques están inicialmente a la misma temperatura, la diferencia radica en la conductividad térmica de los dos materiales, no en la temperatura. El metal conduce el calor con más facilidad que la madera, de modo que el calor fluye más rápido de tu mano al metal que a la madera. Como el contacto con el metal enfría tu mano a mayor rapidez que el contacto con la madera, el bloque de metal se siente más frío. El flujo de calor es un flujo de energía, la transferencia real de energía cinética de los átomos y electrones. Debido a que tus manos tienen una temperatura más alta, la energía cinética media de los átomos en tus manos es mayor que la energía cinética media de los átomos en los bloques. Cuando los átomos chocan entre sí, la energía cinética se transfiere, y la energía cinética media de los átomos y electrones de los bloques aumenta gracias a los átomos de tus manos. Los electrones libres de los metales son importantes en este proceso: los metales son buenos conductores tanto de calor como de carga eléctrica. Al analizar el aislamiento térmico de una casa, con frecuencia usamos el concepto de resistencia térmica o valores R para comparar la eficacia de diversos materiales como aislantes. Cuanto mayor sea la conductividad, menor será el valor R, ya que los buenos conductores térmicos son aislantes térmicos pobres. El valor R, de hecho, se relaciona tanto con el espesor del material como con su conductividad térmica. El efecto aislante de un material crece cuando su espesor aumenta; por consiguiente, los valores R se incrementan con el espesor del material.

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10.5 El flujo de calor

De todos modos el aire es un buen aislante térmico. Los materiales porosos con espacios de aire como la lana de roca o el aislante de fibra de vidrio constituyen aislantes excelentes y tienen valores R altos. Sus bajas conductividades térmicas son resultado de los espacios de aire atrapado en ellos en vez del material mismo. Cuando usamos este tipo de materiales para aislar las paredes, techos y pisos de una casa reducimos su capacidad para conducir el calor y disminuimos la pérdida de calor de la casa.

¿Qué es la convección? Si calentamos un volumen de aire y luego movemos el aire por medio de calefactores o del flujo natural transferimos calor por convección. Al calentar una casa con frecuencia hacemos mover aire, agua o vapor por tuberías o conductos para transportar calor de una caldera central a diferentes habitaciones. La convección transfiere calor por el movimiento de un fluido que contiene energía térmica. La convección, por ende, es la forma principal de calentar una casa. El aire caliente es menos denso que el aire frío, así que tiende a subir de los radiadores o calefactores por la pared al techo. Cuando lo hace, el aire caliente forma corrientes de aire dentro de la habitación que le distribuyen energía. El aire caliente se eleva por la pared que contiene la fuente de calor, y el aire más frío desciende por la pared opuesta (figura 10.20). La convección también está relacionada con la pérdida de calor de los edificios. Cuando se filtra aire caliente hacia fuera de un edificio o aire frío hacia dentro de él decimos que estamos perdiendo calor por infiltración, una forma de convección. La infiltración puede prevenirse hasta cierto punto, poniendo juntas impermeabilizadoras en puertas y ventanas y sellando otras grietas o agujeros. Sin embargo, no es conveniente eliminar la infiltración por completo. La renovación del aire en una casa es necesaria para mantener el aire fresco y libre de olores.

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¿Qué es la radiación y cómo transfiere calor? La radiación consiste en el flujo de energía por medio de ondas electromagnéticas. El movimiento ondulatorio y las ondas electromagnéticas se estudiarán en los capítulos 15 y 16. Las ondas electromagnéticas que intervienen en la transferencia de calor se basan principalmente en la parte infrarroja del espectro electromagnético. Las longitudes de las ondas infrarrojas son más cortas que las longitudes de las ondas de radio, pero más largas que las longitudes de las ondas de luz visible (véase la fig. 16.5.) La conducción requiere un medio para viajar; la convección uno a lo largo del cual transportarse, mas la radiación puede ocurrir a través del vacío, como el espacio evacuado de una botella térmica (figura 10.21). La radiación se reduce al mínimo revistiendo con un baño de plata las paredes del espacio en el que se ha hecho el vacío. El baño de plata hace que las ondas electromagnéticas se reflejen en vez de ser absorbidas y reduce el flujo de energía hacia dentro o fuera del recipiente. El mismo principio se aplica al uso del aislamiento reforzado en la construcción de casas. Parte del calor que fluye a través del espacio de aire atrapado dentro de una pared se debe a la radiación y parte a la conducción a través del aire. El uso del aislamiento reforzado reduce el flujo de calor de la radiación. Las hojas delgadas del aislamiento reforzado pueden tener valores R iguales a los de las hojas más gruesas del aislamiento sin reforzar.

Radiación infrarroja

Aislamiento

Vacío

10.20 En la convección, la energía térmica se transfiere por el movimiento de un fluido calentado. En una habitación, esto ocurre cuando el aire caliente fluye de un radiador o ducto de calefacción.

figura

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10.21 La radiación es el único mecanismo que puede transportar energía térmica a través del espacio evacuado en una botella térmica. Un revestimiento de plata en las paredes de ésta reduce el flujo de radiación.

figura

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202 Capítulo 10 Temperatura y calor

fenómenos cotidianos

cuadro 10.1

Colectores solares y el efecto invernadero Situación. Los colectores solares planos se usan con frecuencia para reunir energía solar a fin de calentar el agua o las casas. El colector plano se compone de una placa de metal con tubos que transportan agua adheridos a su superficie. La placa y los tubos se pintan de negro y se meten en un marco aislado debajo de la placa, con una cubierta de vidrio o plástico transparente en la parte superior. ¿Cómo funciona el colector plano? ¿Qué procesos del flujo de calor intervienen y qué relación, si hay alguna, tiene el colector solar con el muy discutido efecto invernadero? Análisis. El colector plano recibe energía del Sol como radiación electromagnética, la única forma de flujo de calor que puede ocurrir a través del vacío del espacio. Las ondas electromagnéticas emitidas por el Sol están principalmente en la parte visible del espectro electromagnético, donde se encuentran las longitudes de onda a las cuales nuestros ojos son sensibles. Esas ondas pasan con facilidad a través de la placa transparente que cubre al colector. La superficie negra de la placa colectora absorbe la mayor parte de la luz visible que cae sobre ella, y refleja muy poco. Esa energía absorbida aumenta la energía interna y la temperatura de la placa. El agua que viaja a través de los tubos adheridos a ella se calienta por conducción. La placa debe estar a mayor temperatura que el agua para que ocurra el flujo de calor. El aislamiento debajo de la placa reduce el flujo de calor en los alrededores.

Cubierta de vidrio Luz visible

Placa colectora de metal

Aislamiento

La superficie negra de la placa colectora de metal de un colector solar plano se aísla debajo y se cubre con una placa de vidrio o plástico transparente por encima.

Como está caliente, la placa de metal irradiará calor en forma de ondas electromagnéticas infrarrojas. El vidrio (o plástico) es opaco a la radiación infrarroja, así que estas ondas no pueden pasar a través de la cubierta de vidrio. La cubierta de vidrio también reduce la pérdida de calor por convección, ya que impide que las corrientes de aire pasen sobre la placa de metal. El recinto de

(continúa) La radiación también participa en la pérdida de energía de los techos o de la superficie de las carreteras hacia el cielo de la noche oscura (y fría). La superficie de las carreteras asfaltadas en particular y las superficies negras en general son radiadores eficaces de las ondas electromagnéticas. La superficie de la carretera irradia energía al cielo, con lo que se enfría la superficie a mayor rapidez que el aire de los alrededores. Aun cuando la temperatura del aire sigue estando por encima del punto de congelación, la superficie de una carretera asfaltada puede descender por debajo del punto de congelación, lo que la lleva a cubrirse de hielo. Los buenos absorbedores de radiación electromagnética son también buenos emisores: los materiales negros absorben más energía solar en el verano y pierden más calor en el invierno. Un techo negro puede parecer bonito, pero no es el mejor color para la conservación de la energía. Un color más claro es más eficaz tanto para mantener una casa fría en el verano como caliente en el invierno. El conocimiento de los mecanismos básicos de la transferencia de calor es útil en el diseño de una casa. La conducción, la convección y la radiación son importantes para comprender cómo fluye el calor hacia dentro y fuera de una casa, igual

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que la forma como circula el calor dentro de ella. El vidrio es un buen conductor de calor, así que las ventanas grandes producen una gran pérdida de calor, incluso cuando se usan ventanas de doble panel. Si la ventana está en el lado sur de la casa, no obstante, esa pérdida de calor puede compensarse de manera parcial con la ganancia de calor obtenida por la radiación del Sol. Los mecanismos de calor también son importantes para comprender cómo ha de usarse adecuadamente la energía solar, que se estudia en el cuadro de fenómenos cotidianos 10.1. El flujo de calor puede ocurrir por tres formas: conducción, convección y radiación. En la conducción, la energía se transfiere a través de un material: ciertos materiales son mejores conductores térmicos que otros. La convección consiste en la transferencia de calor por medio del flujo de un fluido que contiene energía térmica. La radiación es el flujo de la energía a través de ondas electromagnéticas. Los tres procesos son importantes en cualquier aplicación de la primera ley de la termodinámica, ya que el flujo del calor es una forma de cómo la energía interna puede cambiar.

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Resumen

vidrio de un invernadero sirve para el mismo propósito. Además de reducir las pérdidas por convección, el vidrio permite ver la luz solar al mismo tiempo que evita la pérdida de calor por radiación a longitudes de onda mayores. Es una trampa de energía. Ésta es una transmisión de radiación a longitudes de onda visibles, pero a longitudes de ondas infrarrojas más grandes, es el efecto invernadero. Es lo que causa que tu automóvil se caliente en un día soleado cuando las ventanas se cierran. La Tierra también semeja un efecto invernadero grande. El gas dióxido de carbono, así como otros gases presentes en la atmósfera en cantidades menores, es transparente a la radiación visible pero no a la infrarroja. El dióxido de carbono es un producto derivado de la combustión de cualquier combustible basado en carbón como el petróleo, el gas natural, el carbón o la madera. Las plantas toman el dióxido de carbono para sus procesos vitales y lo convierten en otros compuestos de carbono, de modo que la capa de vegetación que cubre la Tierra también es un factor que ha de considerarse al determinar la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera. Nuestro uso intensivo de combustibles fósiles como el petróleo, el gas natural y el carbón parecen estar aumentando la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera superior. De ser así, y algunas mediciones parecen respaldar esta conclusión, el efecto invernadero atribuible al dióxido de carbono puede evitar que escape menos calor por radiación, lo que a la vez aumenta cada vez más la temperatura del planeta (la Tierra y su atmósfera forman un sistema complejo, por lo que es difícil hacer predicciones exactas). La pérdida de bosques y otras formas de vida vegetal también puede contribuir a la concentración de dióxido de carbono.

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Luz visible del Sol

Dióxido de carbono

Radiación infrarroja Tierra

El dióxido de carbono y otros gases en la atmósfera de la Tierra tienen el mismo papel que la placa que cubre un colector solar. La luz visible pasa por ahí, pero la radiación infrarroja no.

Si la temperatura de la Tierra está aumentando lentamente, las capas superiores del hielo polar comenzarán a fundirse. La fundición de las capas de hielo ocasionará que los océanos aumenten el nivel de agua y las regiones bajas de la costa pueden inundarse. Los cambios en los patrones del clima global podrían afectar la producción de los cultivos. Las soluciones posibles a este problema son la reducción de la dependencia en la quema de combustibles fósiles o de alguna manera el aumento de la capa de vegetación que cubre la superficie de la Tierra. Para desarrollar políticas ambientales razonables necesitamos monitorear el efecto invernadero y otros que pueden aumentar o disminuir la temperatura terrestre.

resumen El calor, el cual es importante en la primera ley de la termodinámica, es el tema central de este capítulo. Usamos la primera ley de la termodinámica para explicar los cambios en la temperatura o fase de una sustancia, así como el comportamiento de un gas ideal. La distinción entre los conceptos de calor y temperatura es fundamental.

Temperatura y su medición. Las escalas de temperatu1ra se inventaron para proporcionar un medio consistente para la descripción de cuán caliente o frío está un cuerpo. Cuando los cuerpos tienen la misma temperatura, no fluye calor entre ellos y sus propiedades físicas permanecen constantes. La idea de un cero absoluto de temperatura surgió de los estudios del comportamiento de los gases.

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100°C

0°C

212°F

32°F

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204 Capítulo 10 Temperatura y calor Calor y capacidad calorífica específica. La energía que 2fluye entre 4 Comportamiento de los gases y la primera ley. La los cuerpos porque tienen diferentes temperaturas se llaenergía interna de un gas ideal es igual a la energía cinética de sus ma calor. La cantidad de calor necesaria para provocar el cambio de un grado en la temperatura de una unidad de masa se llama capacidad calorífica específica. El calor latente es la cantidad de calor por unidad de masa que se requiere para cambiar la fase de una sustancia sin cambiar la temperatura.

moléculas. Varía directamente con la temperatura absoluta del gas. El trabajo realizado por el gas es proporcional a su cambio en el volumen; por tanto, la primera ley de la termodinámica puede usarse para predecir cómo cambiarán la temperatura o la presión cuando se haya realizado trabajo o se haya añadido presión.

T1 > T2 Q T1 Q

ΔV

T

v

T2 W = P ΔV

Q = mcΔT

PV = NkT

Experimento de Joule y la primera ley de la termo3dinámica. 5 El flujo del calor. Hay tres mecanismos básicos de flujo de La primera ley de la termodinámica establece que la calor de un sistema a otro. La conducción es el flujo directo de calor

energía interna de una sustancia o sistema puede aumentarse ya sea añadiédole calor o realizando un trabajo sobre el sistema. El incremento de la energía interna aumenta las energías potencial y cinética de los átomos y moléculas que forman el sistema y puede mostrarse como un incremento en la temperatura, un cambio de fase o como cambios en otras propiedades del sistema.

a través de los materiales. La convección es el flujo de calor transportado por un fluido en movimiento. La radiación es el flujo de calor por medio de ondas electromagnéticas. T1 > T2 T1

T2 Conducción

Q

U

W Convección

ΔU = Q – W

Radiación

conceptos clave termodinámica, 188 equilibrio térmico, 189 ley cero de la termodinámica, 189 cero absoluto, 191 temperatura absoluta, 191 calor, 192 capacidad calorífica específica, 192 temperatura, 193

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cambio de fase, 193 calor latente, 193 primera ley de la termodinámica, 195 energía interna, 196 adiabático, 198 gas ideal, 198 isotérmico, 198 isobárica, 199

ecuación de estado, 199 conducción, 200 conductividad térmica, 200 convección, 201 radiación, 201 efecto invernadero, 203

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Preguntas

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preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. ¿Un objeto que tiene una temperatura de 0° C es más caliente, más frío o tiene la misma temperatura que un objeto con una temperatura de 0°F? Explica por qué. P2. ¿Cuál cambio de temperatura abarca un mayor rango: uno de 10 grados Fahrenheit u otro de 10 grados Celsius? Explica por qué. P3. El volumen de un gas que se mantiene a presión constante aumenta de manera predecible cuando su temperatura aumenta. ¿Podría usarse como termómetro un sistema como éste? Explica por qué. *P4. A veces intentamos determinar si otra persona tiene fiebre poniendo una mano en su frente. ¿Este procedimiento es confiable? ¿Qué suposiciones hacemos en este proceso? P5. ¿Es posible que una temperatura sea menor que 0°C? Explica por qué. P6. ¿Es posible que una temperatura sea menor que 0 K en la escala de temperatura Kelvin? Explica por qué. P7. ¿Un cuerpo con una temperatura de 273.2 K es más caliente, más frío o tiene la misma temperatura que otro con una temperatura de 0°C? Explica por qué. P8. Dos objetos con diferentes temperaturas se ponen en contacto entre sí pero se aíslan de los alrededores. ¿Cambiará la temperatura de alguno de ellos? Explica por qué. P9. ¿Es posible que las temperaturas finales de los objetos de la pregunta 8 sean mayores que sus temperaturas iniciales? Explica por qué. P10. Dos cuerpos de la misma masa pero de diferente material tienen inicialmente la misma temperatura. Cantidades iguales de calor se añaden a cada uno. ¿La temperatura final de los objetos será necesariamente la misma? Explica por qué. P11. Dos ciudades, una cerca de un lago grande y otra en un desierto, alcanzan la misma temperatura durante el día. ¿Cuál cuidad, si es que alguna, esperarías que se enfriara más rápido una vez que el Sol se oculta? Explica por qué. P12. ¿Es posible añadir calor a una sustancia sin cambiar su temperatura? Explica por qué. P13. ¿Qué sucede si añadimos calor al agua que está a la temperatura de 100°C? ¿La temperatura cambia? Explica por qué. P14. ¿Qué pasa si eliminamos calor del agua a 0°C? ¿La temperatura cambia? Explica por qué. P15. ¿Es posible cambiar la temperatura de un vaso de agua al agitar el agua, aun cuando el vaso esté aislado de sus alrededores? Explica por qué. P16. Un martillo se usa para martillar a una pieza de metal blando y darle una forma nueva. Si el metal está térmicamente aislado

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de sus alrededores, ¿este cambio en la temperatura se deberá al martilleo? Explica por qué. P17. ¿Cuál opción representa la mayor cantidad de energía: 1 J o 1 cal? Explica por qué. *P18. Imagina que la energía interna de un sistema se ha incrementado, lo que ha provocado que suba su temperatura. ¿Es posible decir a partir del estado final del sistema si el cambio en la energía interna se debió a la adición de calor o al trabajo realizado sobre el sistema? Explica por qué. P19. ¿Es posible que la energía interna de un sistema sea mayor que la energía cinética de las moléculas y átomos que lo forman? Explica por qué. *P20. Con base en sus experimentos, Joule propuso que el agua de un estanque en la parte inferior de una cascada debe tener una temperatura mayor que en la parte superior. ¿Por qué pasaría esto? Explícalo. P21. Un gas ideal se comprime sin permitir que el calor fluya hacia dentro o hacia fuera de él. ¿La temperatura del gas aumenta, disminuye o sigue siendo la misma en este proceso? Explica por qué. P22. ¿Es posible que la temperatura de un gas disminuya sin eliminar ningún calor del gas? Explica por qué. P23. Se añade calor a un gas ideal y el gas se expande en este proceso. ¿Es posible que su temperatura permanezca constante en esta situación? Explica por qué. P24. Se añade calor a un gas ideal mantenido a volumen constante. ¿Es posible que su temperatura permanezca constante en este proceso? Explica por qué. P25. Se añade calor a un globo de aire caliente, lo que provoca que el aire se expanda. ¿Este incremento en el volumen del aire hace que el globo se caiga? Explica por qué. *P26. Se añade calor a unos cubos de hielo, con lo que éste se funde pero sin producir un cambio en la temperatura. Como el agua se expande cuando se congela en hielo, el volumen del agua obtenido de la fusión del hielo es menor que el volumen inicial del hielo. ¿La energía interna del sistema de hielo y agua cambia en este proceso? Explica por qué. P27. Un bloque de madera y otro de metal han estado sobre una mesa durante largo tiempo. El bloque de metal se siente más frío al contacto que el de madera. ¿Esto significa que el metal en realidad tiene una temperatura más baja que la madera? Explica por qué. P28. A veces el calor de una casa se pierde a través de las rendijas de las puertas y ventanas. ¿Qué mecanismo de transferencia de calor (conducción, convección o radiación) interviene? Explica por qué. P29. ¿Es posible que el agua en la superficie de una carretera se congele incluso a pesar de que la temperatura del aire justo encima de la carretera rebase los 0° C? Explica por qué.

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206 Capítulo 10 Temperatura y calor P30. ¿Qué mecanismos de transferencia de calor (conducción, convección o radiación) intervienen cuando el calor fluye a través del cristal de una ventana? Explica por qué.

P33. ¿Qué mecanismo del flujo de calor (conducción, convección o radiación) interviene en el transporte hacia fuera de energía térmica útil en un colector solar plano? Explica por qué.

P31. ¿Es posible que el calor fluya a través del vacío? Explica por qué.

P34. ¿Una planta de energía solar (que genera electricidad a partir de la energía del Sol) tiene la misma tendencia a aumentar el efecto invernadero de la atmósfera como una planta eléctrica de carbón? Explica por qué.

P32. ¿Qué propiedad comparte el vidrio con el gas de dióxido de carbono que ayudan a producir el efecto invernadero? Explica por qué.

ejercicios E1. Un cuerpo tiene una temperatura de 45°C. ¿Cuál es su temperatura en grados Fahrenheit? E2. La temperatura en un día de invierno es 14°F. ¿Cuál es la temperatura en grados Celsius? E3. La temperatura en una habitación de una residencia universitaria es de 24°C. ¿Cuál es la temperatura de la habitación en la escala de temperatura absoluta (Kelvin)? E4. La temperatura de un caluroso día de verano es 95°F. ¿A cuánto equivale esta temperatura a) en grados Celsius? b) en la escala absoluta (Kelvin)? E5. La temperatura de un vaso de precipitados con agua es 318.2 K. ¿A cuánto equivale esta temperatura a) en grados Celsius? b) en grados Fahrenheit? E6. ¿Cuánto calor se requiere para aumentar la temperatura de 70 g de agua de 20°C a 80°C? E7. ¿Cuánto calor debe eliminarse de un bloque de cobre de 200 g para reducir su temperatura de 150°C a 30°C? La capacidad calorífica específica del cobre es 0.093 cal/g·C°. E8. ¿Cuánto calor debe añadirse a 60 g de hielo a 0°C para fundirlo por completo? E9. Si 600 cal de calor se añaden a 50 g de agua inicialmente a una temperatura de 10°C, ¿cuál es la temperatura final del agua? E10. ¿Cuánto calor debe añadirse a 120 g de agua a una temperatura inicial de 60°C para a) calentarla hasta el punto de ebullición?

b) convertir completamente los 100°C de agua en vapor? E11. Si se añaden 200 cal de calor a un sistema, ¿cuánta energía se ha añadido en joules? E12. Si 600 J de calor se añaden a 50 g de agua inicialmente a 20°C, a) ¿cuánta energía es esto en calorías? b) ¿cuál es la temperatura final del agua? E13. Cuando un gas realiza 300 J de trabajo sobre sus alrededores, se añaden 800 J de calor al gas. ¿Cuál es el cambio en la energía interna de éste? E14. El volumen de un gas ideal se incrementa de 1 m3 a 2.5 m3 mientras se mantiene una presión constante de 1000 Pa (1 Pa = 1 N/m2). a) ¿Cuánto trabajo realiza el gas en esta expansión? b) Si no se ha añadido calor, ¿cuál es el cambio en la energía interna del gas? E15. El trabajo de 1500 J se realiza sobre un gas ideal, pero la energía interna aumenta sólo 800 J. ¿Cuál es la cantidad y la dirección del flujo de calor hacia dentro o hacia fuera del sistema? E16. Si se añaden 500 cal de calor a un gas y éste se expande realizando 500 J de trabajo en sus alrededores, ¿cuál es el cambio en su energía interna? E17. Se realiza un trabajo de 600 J al agitar un vaso de precipitados aislado que contiene 100 g de agua. a) ¿Cuál es el cambio en la energía interna del sistema? b) ¿Cuál es el cambio en la temperatura del agua?

problemas de síntesis PS1. Se añade calor a un cuerpo inicialmente a 30°C, con lo que aumenta su temperatura a 80°C. a) ¿Cuál es el cambio de temperatura del cuerpo en grados Fahrenheit? b) ¿Cuál es el cambio de temperatura del cuerpo en kelvins? c) ¿Hay alguna diferencia en el valor numérico de una capacidad calorífica expresada en cal/g·C°de la expresada en cal/g·K? Explica por qué.

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PS2. Una estudiante construye un termómetro e inventa su propia escala de temperatura con el punto de congelación del agua a 0°E (E de estudiante) y el punto de ebullición del agua a 50°E. Mide la temperatura de un vaso de precipitados con agua con su termómetro y encuentra que es de 15°E. a) ¿Cuál es la temperatura del agua en grados Celsius? b) ¿Cuál es la temperatura del agua en grados Fahrenheit? c) ¿Cuál es la temperatura del agua en kelvins?

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Experimentos y observaciones para la casa d) ¿El rango de temperatura abarcado por 1 grado Estudiante es mayor o menor que el rango abarcado por 1 grado Celsius? Explica por qué. PS3. La temperatura inicial de 150 g de hielo es –20°C. La capacidad calorífica específica del hielo es 0.5 cal/g·C° y la del agua es 1 cal/g·C°. El calor latente de fusión del agua es 80 cal/g. a) ¿Cuánto calor se requiere para aumentar la temperatura del hielo a 0°C y fundir completamente el hielo? b) ¿Cuánto calor adicional se requiere para calentar el agua (obtenida al fundir el hielo) a 25°C? c) ¿Cuál es el calor total que debemos añadir para convertir 80 g de hielo a –20°C en agua a +25°C? d) ¿Podemos determinar este calor total simplemente calculando cuánto calor se requiere para fundir el hielo y añadir la cantidad de calor requerida para aumentar 45°C la temperatura de 80 g de agua? Explica por qué. PS4. Una cantidad de 150 g de cierto metal, inicialmente a 120°C, se deja caer en un vaso de precipitados aislado que contiene 100 g de agua a 20°C. La temperatura final del metal y el agua

207

en el vaso de precipitados se mide como 35°C. Supón que la capacidad calorífica del vaso de precipitados puede ignorarse. a) ¿Cuánto calor se ha transferido del metal al agua? b) Dado el cambio de temperatura y la masa del metal, ¿cuál es la capacidad calorífica específica de éste? c) Si la temperatura final del agua y este metal es de 70°C en vez de 35°C, ¿qué cantidad de metal (inicialmente a 120°C) se dejó caer en el vaso de precipitados aislado? PS5. Se ha realizado un trabajo de 1200 J sobre un vaso de precipitados que contiene 400 g de agua al agitarlo y se añadieron 200 cal de calor al mismo desde una placa caliente. a) ¿Cuál es el cambio en la energía interna del agua, en joules? b) ¿Cuál es el cambio en la energía interna del agua, en calorías? c) ¿Cuál es el cambio de temperatura del agua? d) ¿Tus respuestas a los primeros tres incisos difieren si se han realizado 200 J de trabajo y se han añadido 1200 cal de calor? Explica por qué.

experimentos y observaciones para la casa EC1. Busca en tu casa todos los tipos de termómetros que puedas encontrar. En la mayoría de las casas hay termómetros interiores, exteriores, clínicos o de cocina. Para cada termómetro, observa: a) ¿Qué escalas de temperatura se usan? b) ¿Cuál es el rango de temperatura del termómetro? c) ¿Cuál es el cambio de temperatura menor que puede leerse en cada termómetro? d) ¿Qué propiedad física cambiante se usa para indicar un cambio en la temperatura de cada termómetro? EC2. Toma dos tazas de espuma de poliestireno, llénalas parcialmente con cantidades iguales de agua fría y deja caer cantidades de hielo iguales en cada taza para obtener una mezcla de hielo y agua. a) Vierte la mezcla de agua y hielo en una de las tazas vigorosamente con un agitador no metálico hasta que todo el hielo se funda. Anota el tiempo que se requiere para fundir el hielo. b) Pon la segunda taza aparte y obsérvala aproximadamente cada 10 minutos hasta que todo el hielo se haya fundido. Anota el tiempo que se requiere para fundir el hielo. c) Compara estos tiempos. ¿De dónde proviene la energía para fundir el hielo de cada taza?

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EC3. Llena una taza de espuma de poliestireno con agua muy caliente (o café). Toma objetos hechos de diferente material, como una cuchara de metal, un lápiz de madera, una pluma de plástico o una varilla de vidrio. Pon un extremo de cada objeto en el agua y haz estas observaciones: a) ¿Cuán cerca de la superficie debes sostener el objeto para que se perciba caliente al contacto? b) A partir de tus observaciones, ¿cuál material consideras que es el mejor conductor de calor? ¿Cuál es el peor? ¿Puedes clasificar los materiales de acuerdo con su capacidad para conducir calor? EC4. Realiza una encuesta de energía en tu casa u otro lugar destinado a la vivienda. Observa: a) ¿Cuál es la fuente (o fuentes) de calor hacia la habitación en la que estás? ¿Qué mecanismos del flujo de calor intervienen? b) ¿Cómo se pierde calor de la habitación? ¿Qué mecanismos del flujo de calor intervienen? c) ¿Qué podrías hacer para reducir la pérdida de calor o mejorar de alguna otra manera la eficiencia de energía de la habitación?

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Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica esquema del capítulo

1

capítulo

11

descripción del capítulo Después de estudiar las máquinas térmicas, exploraremos la segunda ley de la termodinámica, fundamental para comprender la eficiencia de tales máquinas. Luego consideraremos el uso de los recursos energéticos en la economía global en función de la primera y la segunda leyes de la termodinámica. Estos temas revisten un significado importante tanto para la calidad del ambiente como para la salud de la economía. Las leyes de la termodinámica son críticas para tomar decisiones inteligentes respecto a la política energética.

Máquinas térmicas. ¿Qué es una máquina térmica? ¿Qué dice la primera ley de la termodinámica respecto a cómo operan esas máquinas?

2 Segunda ley de la termodinámica.

¿Funcionaría una máquina ideal si pudiéramos construirla? ¿Cómo se relaciona el concepto de máquina ideal con la segunda ley de la termodinámica: qué dice la segunda ley y qué significa?

3 Refrigeradores, bombas de calor

y entropía. ¿Qué hace un refrigerador o una bomba de calor? ¿Qué es la entropía? ¿Cómo se relaciona con las limitaciones del uso de la energía calorífica?

4 Centrales térmicas y recursos

energéticos. ¿Cómo podemos generar electricidad de modo eficiente? ¿Cuáles son las implicaciones de la segunda ley de la termodinámica en el uso de recursos energéticos como los combustibles fósiles y la energía solar?

unidad dos

5 Movimiento perpetuo y fraudes

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energéticos. De acuerdo con las leyes de la termodinámica, ¿es posible el movimiento perpetuo? ¿Cómo podemos evaluar las afirmaciones de los inventores?

208

21/10/07 11:09:45

209

11.1 Máquinas térmicas

M

uchos de nosotros pasamos una buena parte de nuestra vida manejando o viajando en automóviles. Hablamos acerca de cuántos kilómetros por litro rinde nuestro auto o comentamos los méritos de diferentes tipos de motores. Por lo regular vamos a las gasolineras a comprar gasolina sin plomo y comúnmente tenemos una buena noción de cuánto cuesta este combustible en diferentes lugares (figura 11.1). Pero ¿cuántos de nosotros entendemos realmente qué sucede dentro de un motor? Cuando giramos la llave de encendido y oprimimos el pedal del acelerador, el motor arranca, consume combustible y hace que el auto funcione a nuestras órdenes, sin necesidad de tener conocimiento detallado de sus principios de operación. La ignorancia puede hacernos sentir felices hasta que algo sale mal; en ese momento comprender el funcionamiento del motor puede resultar útil. ¿Qué hace un motor de automóvil y cómo funciona? La combustión interna realizada en la mayoría de los automóviles modernos se hace en una máquina térmica. La ciencia de la termodinámica surgió en un intento por comprender mejor los principios de operación de las máquinas de vapor. La construcción de máquinas más eficientes era el principal objetivo. Aunque en general las de vapor son máquinas de combustión externa, cuyo

figura 11.1

Abasteciendo gasolina al automóvil familiar. ¿Cómo usa el motor el combustible para producir movimiento?

combustible se quema fuera de ellas, los principios básicos de su funcionamiento son los mismos que los de los motores de los automóviles. ¿Cómo funcionan las máquinas térmicas? ¿Qué factores determinan su eficiencia y cómo puede ésta potenciarse al máximo? La segunda ley de la termodinámica tiene en ello un papel central. Las máquinas térmicas nos llevarán a estudiar la segunda ley y el concomitante concepto de entropía.

11.1 Máquinas térmicas Reflexiona un instante en lo que hace la combustión interna dentro de un automóvil. Hemos dicho que tanto las máquinas de vapor como los motores de gasolina son máquinas térmicas. ¿Qué significa esto? Sabemos que el combustible se quema en la máquina y que se realiza trabajo para mover el auto. El trabajo se genera a partir del calor liberado al quemarse el combustible. ¿Podemos desarrollar un modelo que describa las funciones básicas de todas las máquinas térmicas? v

¿Qué hace una máquina térmica? Describamos lo que hace el motor de gasolina de un automóvil: el combustible, en forma de gasolina, se mezcla con aire y se introduce en una cámara con forma de lata que se halla en el motor y se llama cilindro. Una chispa producida por una bujía inflama la mezcla de gasolina y aire, la cual se quema rápidamente (figura 11.2). A medida que el combustible se quema libera calor, lo que hace que los gases en el cilindro se expandan y, con ello, que se realice trabajo en el pistón. Mediante conexiones mecánicas, el trabajo realizado en los pistones se transfiere al eje de transmisión y a las llantas del auto, las cuales empujan contra la superficie de la carretera y, por la tercera ley de Newton, la carretera ejerce una fuerza sobre ellas que realiza el trabajo de mover el automóvil.

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Bujía

figura 11.2

El calor liberado al quemar gasolina en el cilindro de un automóvil hace que el pistón se mueva, con lo que parte del calor se convierte en trabajo.

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210

Capítulo 11

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

No todo el calor obtenido de la quema de combustible se convierte en trabajo realizado en el movimiento del vehículo. Los gases de la combustión que salen por el tubo de escape están calientes, así que se libera calor al ambiente. El calor sin usar es una característica general de la operación de una máquina térmica. Esta descripción general muestra las funciones comunes de todas las máquinas térmicas: la energía térmica (calor) se introduce en la máquina. Parte de esa energía se convierte en trabajo mecánico. Parte del calor se libera al ambiente a una temperatura inferior que la de entrada. En la figura 11.3 se presentan estas ideas esquemáticamente. El círculo representa la máquina térmica; el rectángulo de la parte superior es la fuente de calor a alta temperatura, en tanto que el rectángulo de la parte inferior es un entorno a baja temperatura en el que se libera el calor residual.

cuadro de ejemplo 11.1 Ejercicio: ¿cuán eficiente es esta máquina? Una máquina térmica absorbe 1 200 J de calor de la fuente de calor a alta temperatura en cada ciclo y realiza un trabajo de 400 J por ciclo. a) ¿Cuál es la eficiencia de esta máquina? b) ¿Cuánto calor se libera en el ambiente en cada ciclo? a) Qcal = 1 200 J W = 400 J e = ?

¿Cuánto trabajo mecánico útil puede producir una máquina para una energía calorífica de entrada concreta? Es importante saber cuán productiva o eficiente es una máquina. La eficiencia se define como la razón del trabajo neto realizado por la máquina a la cantidad de calor que debe suministrarse para realizarlo. En símbolos, W , Qcal

TH QH

W

TC QC

figura 11.3

Representación esquemática de una máquina térmica. El calor se absorbe a altas temperaturas, Tcal . Parte del calor se convierte en trabajo y el resto se libera a una temperatura inferior, Tfr .

GRIFFITH 11.indd 210

W Qcal

=

400 J 1 200 J

=

1 = 0.33 3

= 33%

Eficiencia de una máquina térmica

e =

e =

b) Qfr = ?

W = Qcal so Qfr = Qcal

Qfr W

= 1 200 J – 400 J = 800 J

donde e es la eficiencia, W el trabajo neto realizado por la máquina y Qcal la cantidad de calor absorbido por la máquina de la fuente a alta temperatura o depósito de calor. El trabajo W es positivo, ya que representa el trabajo realizado por la máquina en los alrededores. (Los subíndices cal y fr usados en ésta y en secciones ulteriores denotan calor y frío.) En el cuadro de ejemplo 11.1, una máquina térmica absorbe 1 200 J de calor de una fuente a alta temperatura y realiza 400 J de trabajo por ciclo, lo que resulta en una eficiencia de 1/3. En general expresamos la eficiencia como una fracción decimal, 0.33, o un porcentaje, 33% en este caso. Una eficiencia de 33% es mayor que la eficiencia de la mayoría de los motores de automóvil pero menor que la de las turbinas de vapor que funcionan con carbón o gasolina utilizadas en muchas centrales eléctricas. Para calcular la eficiencia usamos valores del calor y del trabajo para un ciclo completo. Por lo común, una máquina funciona en ciclos en los que repite el mismo proceso una y otra vez. Es preciso usar un ciclo completo o un promedio de varios ciclos completos para calcular la eficiencia, ya que las transferencias de calor y trabajo ocurren en diferentes partes del ciclo.

¿Qué dice la primera ley de la termodinámica respecto a las máquinas térmicas? La primera ley de la termodinámica plantea ciertos límites a lo que puede hacer una máquina térmica. Como ésta regresa a su

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11.1 Máquinas térmicas

TH QH = 1 200 J

W = 400 J

TC QC = 800 J

figura 11.4

El ancho de las flechas describe la cantidad de energía indicada en el ejercicio del cuadro de ejemplo 11.1.

211

La flecha que representa el calor liberado es el doble de ancha que la que describe el trabajo, y el ancho combinado de estas dos flechas es igual al de la flecha del calor de entrada original. Los motores de los automóviles, los de diesel, los de los aviones y las turbinas de vapor utilizadas en las plantas de energía y centrales eléctricas son, todos, máquinas térmicas. Puedes crear una turbina de vapor simple colocando un rehilete frente a la boca de una tetera, como se muestra en la figura 11.5. La hornilla o placa caliente suministra el calor de entrada a la tetera. Parte de ese calor se convierte en trabajo que hace girar el rehilete. El resto del calor no realiza trabajo sobre el rehilete, se libera a la habitación y la calienta ligeramente. Si se ata una cuerda o un hilo al mango del rehilete, el trabajo realizado sobre éste podría usarse para elevar un peso pequeño. Esta turbina de vapor de rehilete no sería poderosa ni eficiente. El diseño de mejores máquinas tanto con mayor potencia (la razón de realizar el trabajo) como con mayor eficiencia (la fracción del calor de entrada convertido en trabajo) ha sido el objetivo de los científicos e ingenieros mecánicos durante los últimos 200 años. El cuadro de fenómenos cotidianos 11.1 analiza un desarrollo reciente en este esfuerzo. El descubrimiento de los factores que influyen en la eficiencia es una parte importante de esta búsqueda.

estado inicial al final de cada ciclo, su energía interna en ese instante tiene el mismo valor que al principio. El cambio en la energía interna de la máquina para un ciclo completo es cero. La primera ley establece que el cambio en la energía interna es la diferencia entre el calor neto añadido y el trabajo neto realizado por la máquina (ΔU = Q – W). Como el cambio en la energía interna ΔU es cero para un ciclo completo, el calor neto Q que fluye hacia dentro o hacia fuera de la máquina por ciclo debe ser igual al trabajo realizado W por la máquina durante el ciclo. La energía se conserva. El calor neto es la diferencia entre el calor que entra de la fuente a alta temperatura Qcal y el calor liberado al entorno a baja temperatura (o más frío) Qfr. La primera ley de la termodinámica muestra que el trabajo realizado por la máquina térmica es: W = Qcal − Qfr , ya que el trabajo realizado es igual al calor neto.* En el ejercicio del cuadro de ejemplo 11.1 se liberan 800 J de calor al ambiente. El ancho de las flechas de la figura 11.4 corresponde a las cantidades de calor y trabajo que se utilizaron en ese ejemplo. Comienza con la flecha ancha en la parte superior: en cada ciclo se absorben 1 200 J de calor, de los cuales 400 J (1/3 del total) se convierten en trabajo y el resto, 800 J de calor (2/3 del total), se liberan al depósito a baja temperatura. * Estamos usando el valor absoluto de Qfr. Puesto que Qfr fluye hacia fuera de la máquina, a menudo se considera una cantidad negativa. La relación es más clara si hacemos explícito el signo menos.

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figura 11.5

El vapor emitido desde la tetera hace girar el rehilete en esta turbina de vapor simple. Podría realizarse trabajo para elevar un peso pequeño con una máquina como ésta.

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212

Capítulo 11

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

fenómenos cotidianos

cuadro 11.1

Motores híbridos para automóviles Situación. Las compañías automovilísticas han trabajado por años en el desarrollo de motores y sistemas de transmisión mejores, con objeto de lograr mayor eficiencia y menores emisiones de gases sin aumentos excesivos en el costo. Las normas ambientales federales y estatales ofrecen incentivos para ello. Los automóviles eléctricos han sido una solución. Si bien los motores eléctricos en esencia no producen emisión de gases, presentan problemas de peso y alcance limitado asociados con los acumuladores, así como la necesidad de recargarse durante varias horas con energía eléctrica a un costo relativamente alto. La introducción de sistemas híbridos que suponen un motor eléctrico y uno de gasolina es un invento reciente. ¿Cómo funcionan estos sistemas híbridos? ¿Cuáles son sus ventajas y desventajas? Análisis Aunque es posible tener diferentes arreglos, la mayoría de los diseños híbridos permite que tanto el motor eléctrico como

Motor de gasolina

el de gasolina enciendan la transmisión, lo cual transmite energía a las llantas de tracción del automóvil. El motor de gasolina es una máquina térmica, pero el eléctrico no. Este último convierte la energía eléctrica almacenada en baterías en energía mecánica para impulsar el automóvil. Cualquiera de los dos motores, o ambos, pueden propulsar el auto, según las condiciones. Se requiere una transmisión de potencia dividida compleja para dirigir los flujos de energía. En condiciones de manejo citadinas, el motor eléctrico se usa para impulsar al automóvil cuando arranca desde el alto total o al acelerar a baja rapidez. Ello evita la emisión de gases asociados con el uso de un motor de gasolina a una rapidez a la que no resulta muy eficiente. También evita la necesidad de un motor de gasolina grande que de lo contrario se requeriría para una buena aceleración. El motor de gasolina puede incluso apagarse en estas situaciones.

Tanque de gasolina

Generador Motor eléctrico

Transmisión de potencia dividida

Paquete de baterías

El motor de gasolina y el motor eléctrico pueden impulsar las llantas de un automóvil híbrido. El tanque de gasolina y el paquete de baterías representan diferentes maneras de almacenar energía.

(continúa)

11.2 La segunda ley de la termodinámica Una máquina térmica absorbe calor de una fuente a alta temperatura, convierte parte de ese calor en trabajo y libera el calor restante al ambiente a una temperatura inferior. Los motores de gasolina de los automóviles, los motores de los aviones, los de los cohetes y las turbinas de vapor son, todos, máquinas térmicas. La eficiencia de una máquina es la razón del trabajo realizado a la cantidad de trabajo absorbido de la fuente a alta temperatura. Como el cambio en la energía interna es cero para un ciclo completo, la primera ley de la termodinámica establece que el trabajo realizado en un ciclo sea igual al trabajo que fluye hacia dentro y hacia fuera de la máquina.

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Si la eficiencia de un motor de automóvil típico es menor que 30%, parece que desperdiciamos mucha energía. ¿Cuál es la mejor eficiencia que podríamos lograr? ¿Qué factores la determinan? Éstas son preguntas importantes en la actualidad para los ingenieros automotrices y los diseñadores de plantas de energía modernas, como lo fueron para los primeros diseñadores de las máquinas de vapor.

¿Qué es una máquina de Carnot? Uno de los primeros científicos a quienes intrigaron esas cuestiones fue un joven ingeniero francés llamado Sadi Carnot

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11.2 La segunda ley de la termodinámica

Al manejar en carretera, el motor de gasolina proporciona la energía primaria mediante el motor eléctrico que entra en operación cuando se necesita una aceleración adicional. A veces, cuando no se precisa toda la energía del motor de gasolina para manejar el auto, se usa para hacer funcionar un generador a fin de producir electricidad para cargar las baterías. (En el capítulo 14 se estudian los motores eléctricos y los generadores.) La energía eléctrica también puede generarse al operar el motor eléctrico en reversa cuando el automóvil se desplaza cuesta abajo o frena en un alto. De esta manera recuperamos y almacenamos energía en las baterías, energía que de otra forma se perdería como calor de bajo grado. El esquema muestra las diferentes direcciones posibles del flujo de energía en un vehículo híbrido.

Paquete de baterías

Generador

Transmisión Motor de gasolina

Motor eléctrico

Transmisión de potencia dividida

Diagrama que muestra las direcciones posibles del flujo de energía en un vehículo híbrido. Durante el frenado, la energía fluye de las llantas al paquete de baterías a través del motor eléctrico.

(1796-1832). Carnot se inspiró en el trabajo de su padre, también ingeniero, quien había estudiado y escrito sobre el diseño de las ruedas hidráulicas, una fuente importante de energía mecánica en aquel entonces. El funcionamiento de la rueda hidráulica dio a Carnot las bases para modelar una máquina térmica ideal. Su padre se había dado cuenta de que si se llevaba el agua al punto más alto y se la soltaba en el punto más bajo se maximizaba la eficiencia de la rueda hidráulica. Carnot razonó que la mayor eficiencia de una máquina térmica se obtendría si se absorbía todo el calor de entrada a una sola temperatura alta y se liberaba todo el calor sin utilizar a una sola temperatura baja. Esto maximizaría la diferencia de temperatura efectiva dentro de los límites de las temperaturas de la fuente de calor y el ambiente.

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213

Las ventajas del sistema híbrido son: 1. Como no se usa el motor de gasolina para la máxima potencia necesaria para la aceleración, podemos obtenerla con un pequeño motor de gasolina. Cuanto más pequeño sea el motor, mayor será la economía de combustible. 2. Las baterías del automóvil híbrido se cargan por medio del motor de gasolina y mediante la recuperación de energía en el proceso de frenado. No necesitan recargarse durante la noche con un alto costo de energía eléctrica, como se hace en un automóvil completamente eléctrico. Además, no se precisa un paquete de baterías tan grande para el vehículo híbrido como el que se requiere para un alcance decente en un automóvil totalmente eléctrico. 3. Como se emplea principalmente para manejar en carretera y hacer funcionar el generador, el motor de gasolina puede operar a su rapidez más eficiente. Esto implica menores emisiones de gases, las cuales son mayores a baja rapiez y aceleraciones grandes. Las desventajas de los sistemas híbridos radican principalmente en el costo adicional de tener a un tiempo un motor de gasolina y uno eléctrico relativamente grande, así como por tener una transmisión compleja para dirigir la energía a partir de esas dos fuentes. (Los automóviles con motor de gasolina estándar requieren un motor eléctrico para el arranque, pero el usado en los automóviles híbridos debe tener una potencia y un tamaño mayores.) Además, el automóvil híbrido cuenta con un paquete de baterías grande que a la larga debe remplazarse. Estas desventajas se reflejan en un costo más elevado de los vehículos híbridos que el de los vehículos de gasolina estándar de tamaño y funciones similares. Pese a ello, los automóviles híbridos han logrado una rápida aceptación por parte de las personas concientes de los beneficios que aportan al ambiente una mayor economía del combustible y menos emisiones de gases. Las normas ambientales más estrictas harán que estos vehículos sean una opción aún más atractiva.

Carnot impuso otro requisito a su máquina ideal: todos los procesos debían ocurrir sin demasiada turbulencia o falta de equilibrio. Esto también era análogo a las ideas de su padre sobre las ruedas hidráulicas. En una máquina térmica ideal, el fluido de operación de la máquina (vapor o cualquier otro que pueda usarse) debe estar aproximadamente en equilibrio en todos los puntos del ciclo. Esta condición significa que la máquina es completamente reversible, es decir, puede invertirse y operar a la inversa en cualquier punto del ciclo, ya que siempre está cerca del equilibrio. Éste era el ideal de Carnot; en la realidad una máquina puede desviarse de manera considerable de estas condiciones. Cuando Carnot publicó su documento sobre la máquina térmica ideal en 1824, aún no se comprendían los aspectos

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214

Capítulo 11

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

energéticos relacionados con el calor ni la primera ley de la termodinámica. Carnot representó el flujo del calor a través de su máquina simplemente como en una rueda hidráulica. No fue sino hasta después del desarrollo de la primera ley alrededor de 1850 que se hizo patente la importancia de las ideas de Carnot. Se volvió claro que el calor no fluye simplemente a través de la máquina; parte se convierte en trabajo mecánico realizado por ella.

¿Cuáles son los pasos de un ciclo de Carnot? En la figura 11.6 se ilustra el ciclo ideado por Carnot para una máquina térmica ideal. Imagina un gas o algún otro fluido contenido en un cilindro con un émbolo movible. En el paso 1 (la entrada de energía), el calor fluye hacia el cilindro a una sola temperatura alta Tcal. El gas o fluido se expande isotérmicamente (a temperatura constante) durante este proceso y realiza un trabajo sobre el émbolo. En el paso 2, el fluido sigue expandiéndose, pero no se permite que el calor fluya entre el cilindro y sus alrededores. Esta expansión es adiabática (sin flujo de calor). El paso 3 es una compresión isotérmica: el émbolo realiza trabajo sobre el fluido para comprimirlo. Éste es el paso del escape de gases, ya que el calor Qfr fluye hacia fuera del fluido a una sola temperatura baja Tfr durante esta compresión. El paso final el 4, regresa el fluido a su condición inicial por medio de una compresión adicional realizada de manera adiabática. Los cuatro pasos deben realizarse lentamente, de modo que el fluido se halle en equilibrio aproximado en todo momento. Por tanto, todo el proceso es reversible, una función crucial de la máquina de Carnot. Cuando el fluido está en expansión en los pasos 1 y 2, realiza trabajo positivo sobre el émbolo, trabajo que puede transmitirse por medio de conexiones mecánicas para darle otro uso. En los pasos 3 y 4, el fluido se está comprimiendo, lo cual requiere que fuerzas externas realicen trabajo sobre la máquina. Sin embargo, el trabajo añadido en los pasos 3 y 4 es

menor que la cantidad de trabajo realizado por la máquina en los pasos 1 y 2, de forma que la máquina realiza una cantidad neta de trabajo sobre los alrededores.

¿Cuál es la eficiencia de una máquina de Carnot? La primera ley de la termodinámica permitió calcular la eficiencia del ciclo de Carnot si se presuponía que el fluido motor era un gas ideal. El proceso implica el cálculo del trabajo realizado sobre o por el gas en cada paso y las cantidades de calor que deben añadirse y eliminarse en los pasos 1 y 3. A partir de la definición de eficiencia expuesta en la sección 11.1: ec =

Tcal − Tfr Tcal

,

donde ec es la eficiencia de Carnot y Tcal y Tfr son las temperaturas absolutas a las que se absorbe y libera el calor. En el cuadro de ejemplo 11.2 se ilustran estas ideas. Para las temperaturas dadas, se obtiene una eficiencia de Carnot aproximada de 42%. De acuerdo con las ideas de Carnot, ésta sería la eficiencia máxima posible para cualquier máquina que opere entre esas dos temperaturas. Cualquier máquina real que funcione entre ellas tiene una eficiencia un tanto menor porque es imposible operar una máquina real de manera completamente reversible, como se requiere para una máquina de Carnot.

La segunda ley de la termodinámica En la década de 1850, lord Kelvin desarrolló la escala de temperatura absoluta en Inglaterra. Kelvin estaba al tanto de los experimentos de Joule y había tomado parte en la exposición de la primera ley de la termodinámica. Se hallaba en excelente posición para estudiar con frescura las ideas de Carnot sobre las máquinas térmicas.

1

2

3

4

Expansión isotérmica

Expansión adiabática

Compresión isotérmica

Compresión adiabática

v v

v

Tcal

Qcal

v

Tfr

Qfr

figura 11.6

El ciclo de Carnot. Paso 1: expansión isotérmica; paso 2: expansión adiabática; paso 3: compresión isotérmica; paso 4: compresión adiabática.

GRIFFITH 11.indd 214

21/10/07 11:09:55

11.2 La segunda ley de la termodinámica

cuadro de ejemplo 11.2

215

Tcal Qcal

Ejercicio: eficiencia de Carnot Una turbina de vapor absorbe vapor a una temperatura de 400°C y lo libera al condensador a una temperatura de 120°C. a) ¿Cuál es la eficiencia de Carnot de esta máquina? b) Si la turbina absorbe 500 kJ de calor en cada ciclo, ¿cuál es la cantidad máxima de trabajo que podría generar en cada ciclo? a) Tcal = 400°C

ec =

= 673 K Tfr = 120°C

Tcal− Tfr 673 K − 393 K 673 K

=

280 K 673 K

= 0.416 b) Qcal = 500 kJ W = ?

e =

(41.6%)

W , so W = eQcal Qcal = (0.416)(500 kJ)

Wexceso

Carnot motor

Tcal

=

= 393 K e = ?

WCarnot

Qfr

Qfr

Motor más eficiente

Tfr

11.7 Diagrama que muestra que si una máquina tuviera una eficiencia mayor que la de Carnot, que opera entre las mismas dos temperaturas, la segunda ley de la termodinámica se violaría.

figura

= 208 kJ

Al combinar las ideas del ingeniero francés con el reciente reconocimiento de que el flujo de calor es una transferencia de energía, Kelvin propuso un principio general, o ley de la naturaleza, que ahora llamamos segunda ley de la termodinámica, que en general expresa: Ninguna máquina que trabaje en un ciclo continuo puede absorber calor de un depósito a una sola temperatura y convertirlo completamente en trabajo.

En otras palabras, no es posible que ninguna máquina térmica tenga una eficiencia de 1 o de 100%. Con la segunda ley de la termodinámica también podemos demostrar que ninguna máquina que opere entre dos temperaturas puede tener una eficiencia mayor que una máquina de Carnot que funcione entre las mismas temperaturas. Esta prueba, que implica la función reversible del ciclo de Carnot, justifica la opinión de este ingeniero francés acerca de que su máquina es la mejor que puede lograrse. Si alguna máquina tuviera una eficiencia mayor que la de Carnot, se infringiría la segunda ley de la termodinámica. Este argumento se ilustra en la figura 11.7. Enseguida se explica este argumento. Una máquina con una eficiencia mayor que la de Carnot produciría una cantidad mayor de trabajo para la misma cantidad de calor de entrada Qcal. Parte de ese trabajo podría usarse para operar la máquina de Carnot en sentido inverso, regresando el calor liberado por

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la primera máquina al depósito a temperatura alta. Para que la máquina funcione a la inversa, invertimos las direcciones de las flechas sin cambiar las cantidades de calor y trabajo. El trabajo restante (Wexceso en la figura 11.7) estaría disponible para uso externo y el depósito a temperatura baja no terminaría con calor. Las dos máquinas que operan conjuntamente absorberían una cantidad pequeña de calor del depósito a temperatura alta y lo convertirían completamente en trabajo. Esto viola la segunda ley de la termodinámica. Por consiguiente, ninguna máquina puede tener una eficiencia mayor que una de Carnot que opera entre los mismos dos depósitos. Por ende, la eficiencia de Carnot es la eficiencia máxima posible para cualquier máquina térmica que opera entre esas dos temperaturas. Como la prueba se deduce de la segunda ley de la termodinámica, la eficiencia de Carnot a veces se conoce como la eficiencia de la segunda ley. No es posible demostrar la segunda ley de la termodinámica. Se trata de una ley de la naturaleza que, hasta donde sabemos, no puede infringirse. Establece un límite a lo que puede lograrse con la energía calorífica. El tiempo ha mostrado que es precisa. Asimismo, es consistente con lo que sabemos sobre la transferencia de calor, las máquinas térmicas, los refrigeradores y muchos otros fenómenos. Sadi Carnot desarrolló el concepto de una máquina térmica ideal completamente reversible. La máquina de Carnot absorbe todo su calor a una sola temperatura alta y libera el calor sin utilizar una sola temperatura baja; su eficiencia depende de esta diferencia de temperaturas. La segunda ley de la termodinámica, según la estableció lord Kelvin, afirma que ninguna

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216

Capítulo 11

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

máquina que opere continuamente puede absorber calor a una sola temperatura y convertirlo completamente en trabajo. Con base en la segunda ley, es posible demostrar que ninguna máquina puede tener una eficiencia mayor que una máquina de Carnot que opere entre las dos mismas temperaturas.

11.3 Refrigeradores, bombas de calor y entropía

Qfr

Para un adolescente, el automóvil y el refrigerador pueden ser los dos inventos más importantes. El motor de gasolina de un auto es una máquina térmica. Pero ¿qué es un refrigerador? En la sección 11.2 hablamos acerca de la operación inversa de una máquina térmica, la cual resultaba en que el trabajo se usaba para extraer calor de un depósito frío hacia uno caliente. ¿Un refrigerador hace lo mismo? ¿Hay alguna relación entre las máquinas térmicas y los refrigeradores?

Qcal

¿Qué hacen los refrigeradores y las bombas de calor? El término refrigerador requiere poca explicación. Todos conocemos los refrigeradores, incluso si no comprendemos cómo funcionan. Un refrigerador mantiene fríos los alimentos al bombear el calor de su interior frío hacia fuera, a la habitación, que está más caliente (figura 11.8). Un motor eléctrico o una máquina impulsada por gasolina hace el trabajo necesario para ello. El refrigerador también calienta la habitación, como puedes comprobar si pones la mano cerca de las bobinas de la parte posterior cuando está funcionando. En la figura 11.9 se muestra un diagrama de una máquina térmica que opera de manera inversa: es el mismo diagrama utilizado para las máquinas térmicas, pero las direcciones de las flechas que muestran el flujo de energía se han invertido. El trabajo W se realiza sobre la máquina, el calor Qfr se elimina del depósito a temperatura baja y se libera una mayor cantidad de calor Qcal hacia el depósito a temperatura alta. Un dispositivo que extrae el calor de un depósito frío hacia un depósito caliente por medio del trabajo suministrado desde alguna fuente externa se llama bomba de calor o refrigerador. La primera ley de la termodinámica establece que, para un ciclo completo, el calor liberado a temperatura alta sea igual a la energía aplicada a la máquina en forma tanto de calor como de trabajo. Como antes, la máquina regresa a su condición inicial al final de cada ciclo, por lo que la energía interna de la máquina no cambia. Se libera más calor a temperatura alta del que se absorbe a temperatura baja (figura 11.9). Por ejemplo, si se usan 200 J de trabajo para extraer 300 J de calor del depósito a temperatura baja, entonces 500 J de calor pasarán al depósito a temperatura alta. Si bien un refrigerador es una bomba de calor, este término en general se refiere a un dispositivo que calienta un edificio bombeando calor del aire frío de los alrededores hacia el interior más caliente (figura 11.10). Para operar una bomba como ésta, un motor eléctrico realiza el trabajo necesario. La

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figura 11.8

Un refrigerador bombea calor desde el interior frío del refrigerador hacia la habitación, que está más caliente. Las bobinas de transferencia de calor que liberan éste a la habitación en general están en la parte posterior del refrigerador.

Tcal Qcal

W

Tfr

Qfr

figura 11.9

Diagrama de una máquina términa que opera a la inversa, de forma que se convierte en una bomba de calor o refrigerador.

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11.3 Refrigeradores, bombas de calor y entropía

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grande, como en el sureste o el noroeste de Estados Unidos, donde los inviernos no son muy fríos. Una bomba de calor entrega una cantidad de calor al interior del edificio dos o tres veces mayor que la cantidad de energía eléctrica suministrada como trabajo. De nuevo, la primera ley de la termodinámica no se infringe, ya que la energía adicional se suministra desde el aire exterior. El trabajo aplicado a la bomba de calor permite eliminar la energía térmica en la dirección opuesta a su tendencia natural, de manera muy parecida a una bomba de agua que lleva el agua cuesta arriba.

Qfr

Enunciado de Clausius de la segunda ley de la termodinámica Qcal

11.10 Una bomba de calor elimina calor del aire exterior y lo bombea hacia la casa más caliente.

figura

El calor normalmente fluye de los cuerpos calientes a los fríos. Esta tendencia natural es la base de otra forma de expresar la segunda ley de la termodinámica. Con frecuencia llamada enunciado de Clausius en honor a su creador, Rudolf Clausius (1822-1888), se define así: El calor no fluirá de un cuerpo frío a uno caliente a menos que intervengan otros procesos.

11.11 Las bobinas de transferencia de calor exteriores de una bomba de calor aire a aire en general se sitúan en la parte posterior de la casa o edificio.

figura

cantidad de energía calorífica disponible para calentar la casa es mayor que la cantidad trabajo suministrado porque Qcal es igual en magnitud a la suma del trabajo W más el calor Qfr eliminado desde el aire exterior. Podemos obtener una mayor cantidad de calor de la bomba de calor que al convertir la energía eléctrica directamente en calor, como se hace en un horno o caldera eléctrica. Dos conjuntos de bobinas se usan para la transferencia de calor en la bomba de calor: una se sitúa fuera (figura 11.11) y elimina el calor del aire exterior, mientras que la otra lo libera al aire en el interior del edificio. Muchas bombas de calor están diseñadas para bombear calor en cualquier dirección y pueden usarse como acondicionadores de aire en el verano (la mayoría de los acondicionadores de aire son bombas de calor que extraen calor del interior de un edificio y lo llevan al exterior, que está más caliente). Las bombas de calor son más eficaces para calentar casas donde la temperatura interior no es muy

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En el caso de una bomba de calor, el otro proceso es el trabajo utilizado para bombear el calor contra la dirección de su flujo usual. Aun cuando esta definición de la segunda ley parece muy diferente de la de Kelvin, los dos expresan la misma ley fundamental de la naturaleza. Ambas ponen límites a lo que puede hacerse con el calor, y los límites de cada una de ellas son equivalentes. Ello puede demostrarse mediante un argumento parecido al que confirmó que ninguna máquina puede tener una eficiencia mayor que la de una máquina de Carnot que opera entre las mismas dos temperaturas. En la figura 11.12 se ilustra tal razonamiento. Si fuera posible que el calor fluyera del depósito frío al caliente, sin ningún trabajo, el calor liberado por la máquina térmica del lado derecho del diagrama fluiría hacia atrás, al depósito caliente. Parte del calor podría entonces eliminarse del depósito caliente y convertirse completamente en trabajo. No se agregaría calor al depósito frío. Este resultado viola el enunciado de la segunda ley de la termodinámica de Kelvin, que afirma que es imposible absorber calor de un depósito a una sola temperatura y convertirlo completamente en trabajo. Una violación del enunciado de la segunda ley de Clausius es, por tanto, una infracción del enunciado de Kelvin. Un razonamiento parecido mostrará que una violación del enunciado de Kelvin lo es también del enunciado de Clausius. (Tal vez quieras tratar de desarrollar este razonamiento por tu cuenta.) Estos dos enunciados expresan la misma ley fundamental de la naturaleza de dos formas

¿Qué es la entropía? ¿Existe algo inherente al calor que conduce a las limitaciones descritas en los dos enunciados de la segunda ley de la

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Capítulo 11

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

Tcal

Tcal

Tcal Qcal

Q

Qcal

W

W

Qfr

Qfr

Tfr Tfr

figura 11.12

Si suponemos que el calor puede fluir espontáneamente de un depósito frío a uno caliente, se infringe el enunciado de Kelvin de la segunda ley de la termodinámica.

termodinámica? Ambos enunciados describen procesos que no infringen la primera ley de la termodinámica (conservación de la energía), pero aparentemente no es posible. Ciertas cosas no pueden realizarse sin energía calorífica. Imagina que tenemos cierta cantidad de calor en un depósito a temperatura alta (tal vez un simple recipiente con agua caliente). Podríamos imaginar dos formas de eliminar el calor de la fuente. Primero podríamos dejar que el calor fluyera a través de un buen conductor de calor hacia el entorno frío, como se muestra en la figura 11.13a. Segundo, podríamos usar ese calor para hacer funcionar una máquina térmica y realizar trabajo útil (figura 11.13b). Si usáramos una máquina de Carnot el proceso sería completamente reversible, por lo que habríamos obtenido el máximo trabajo posible a partir del calor disponible. El primer proceso, el del calor que fluye simplemente a través de un conductor hacia el depósito a temperatura baja, es irreversible. El sistema no está en equilibrio cuando ocurre tal flujo de calor y la energía no se convierte en trabajo útil. En el proceso irreversible, perdemos un poco de capacidad para realizar trabajo útil. La entropía es la cantidad que describe la magnitud de esa pérdida. A medida que aumenta la entropía, perdemos la capacidad de realizar trabajo. A veces la entropía se define como una medida del desorden de un sistema. La entropía de un sistema crece en todo momento que el desorden o la aleatoriedad de éste aumentan. Un sistema organizado en dos depósitos a temperaturas diferentes está, en este sentido, más organizado que tener toda la energía a una sola temperatura intermedia. Si usamos el calor disponible en el depósito caliente para operar una máquina de Carnot completamente reversible,

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Tfr a.

Qfr b.

11.13 El calor puede eliminarse de una fuente a alta temperatura ya sea por medio del flujo directo a través de un material conductor o utilizándolo para operar una máquina térmica.

figura

no hay aumento en la entropía del sistema y sus alrededores. Obtenemos el máximo trabajo útil de la energía disponible. En sistemas aislados (y también en el Universo), la entropía sigue siendo constante en los procesos reversibles, pero se incrementa en los irreversibles donde las condiciones no están en equilibrio. La entropía de un sistema disminuye sólo si éste interactúa con algún otro sistema cuya entropía crezca en el proceso (esto ocurre, por ejemplo, en el crecimiento y desarrollo de los organismos biológicos). La entropía del Universo nunca disminuye. Esta afirmación es otra versión de la segunda ley de la termodinámica: La entropía del Universo o de un sistema aislado sólo puede aumentar o permanecer constante. Su entropía no puede disminuir.

La aleatoriedad de la energía calorífica es responsable de las limitaciones de la segunda ley de la termodinámica. La entropía del Universo disminuiría si el calor pudiera fluir por sí mismo de un cuerpo frío a uno caliente, pero el enunciado de Clausius de la segunda ley establece que ello no es posible. Asimismo, la entropía del Universo disminuiría si el calor a una sola temperatura pudiera convertirse completamente en trabajo, con lo que se violaría el enunciado de Kelvin de la segunda ley. La energía térmica de un gas se forma por la energía cinética de las moléculas. No obstante, las velocidades de estas moléculas están dirigidas al azar, como se indica en la

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11.4 Centrales térmicas y recursos energéticos

v

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La termodinámica resuta fundamental en todo análisis del uso de la energía. ¿Cuáles son las formas más eficientes de usar recursos energéticos como carbón, petróleo, gas natural, energía nuclear, energía solar o energía geotérmica? ¿Qué relación guardan las leyes de la termodinámica con la eficiencia de las máquinas térmicas en estas cuestiones?

¿Cómo funciona una central térmica?

figura 11.14

Las direcciones aleatorias de las moléculas de gas nos impiden convertir completamente su energía cinética en trabajo mecánico útil.

figura 11.14. Sólo algunas de ellas se mueven en la dirección apropiada para empujar el émbolo de modo que produzca trabajo. Si todas las moléculas se desplazaran en la misma dirección, podríamos convertir su energía cinética completamente en trabajo. Ésta sería una condición de entropía menor (más organizada), pero no representa la condición normal de la energía térmica de un gas. La desorganización básica de la energía calorífica es responsable de las limitaciones que engloban los tres enunciados de la segunda ley. Igual que la energía interna, podemos calcular la entropía para cualquier estado de un sistema. La noción de desorden o aleatoriedad está en el corazón de la materia. El estado de mi oficina o de una habitación de la residencia de estudiantes tiende a volverse más desordenado. Esta tendencia natural de la entropía a crecer sólo puede contrarrestarse mediante la introducción de energía en forma de trabajo para enderezar las cosas. Una bomba de calor, o refrigerador, es una máquina térmica que opera en sentido inverso: el trabajo se suministra a la bomba de calor de un cuerpo frío a uno caliente. El enunciado de Clausius de la segunda ley de la termodinámica, equivalente al enunciado de Kelvin, postula que el calor normalmente fluye de un cuerpo caliente a uno frío y no puede fluir en dirección opuesta sin que intervengan otros procesos. Las limitaciones en el uso del calor expresadas en la segunda ley ocurren debido a la naturaleza desorganizada de la energía calorífica. La entropía es una medida del desorden de un sistema. La entropía del Universo sólo puede crecer.

11.4 Centrales térmicas y recursos energéticos Usamos la energía eléctrica tan rutinariamente que la mayoría de nosotros no nos detenemos a pensar de dónde proviene. Las inquietudes en torno al efecto invernadero (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 10.1) y otros problemas ambientales han llevado al debate público preguntas sobre cómo se genera la energía eléctrica. ¿Cómo se genera la electricidad en tu zona? Si la energía hidroeléctrica no contribuye a ello de forma importante, el grueso de la energía con que cuentas procede de las fuentes de energía térmica que usan las máquinas térmicas.

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Una de las formas más comunes de producir energía eléctrica es una central térmica alimentada por carbón, petróleo o gas natural (combustibles fósiles). La parte esencial de una planta de energía como ésta es una máquina térmica. El combustible se quema para liberar calor, lo cual produce un aumento en la temperatura del fluido motor (en general, agua y vapor). El vapor caliente pasa por una turbina (figura 11.15) que hace girar un eje conectado a un generador eléctrico. Luego la electricidad se transmite a través de las líneas eléctricas a los consumidores (por ejemplo, a las casas, oficinas y fábricas). Como la turbina de vapor es una máquina térmica, su eficiencia está limitada inherentemente por la segunda ley de la termodinámica al máximo dado por la eficiencia de Carnot. La eficiencia de una máquina térmica real siempre es menor que su límite porque se queda corta respecto a las condiciones ideales de una máquina de Carnot. En toda máquina real siempre ocurren procesos irreversibles. No obstante, una turbina de vapor se acerca más al ideal que las máquinas de combustión internas utilizadas en los automóviles. El consumo rápido de mezclas de gasolina y aire en un motor de automóvil son procesos muy turbulentos e irreversibles. Puesto que la eficiencia máxima posible está dictada por la diferencia de temperatura entre los depósitos frío y caliente, el calentamiento del vapor a la temperatura más alta que permiten los materiales es ventajoso. Los materiales de que están hechas la caldera y la turbina establecen un límite superior a las temperaturas que pueden tolerarse. Si esos materiales comienzan a suavizarse o fundirse, el equipo obviamente se deteriorará. En la mayoría de las turbinas de vapor el límite de temperatura superior está alrededor de 600°C, muy por debajo del punto de fusión del acero. En la práctica, la mayor parte de las turbinas operan a temperaturas por debajo de ese límite; 550°C es una temperatura común. Si una turbina de vapor funciona entre una temperatura de entrada de 600°C (873 K) y una de salida cercana al punto de ebullición del agua (100°C o 373 K), donde el vapor se condensa en agua, podemos calcular su eficiencia máxima posible como sigue: ec =

Tcal− Tfr Tcal

.

La diferencia entre estas dos temperaturas es 500 K. Al dividir esta cantidad entre la temperatura de entrada de 873 K obtenemos una eficiencia de Carnot de 0.57 o 57%. Ésta es la eficiencia ideal. La eficiencia real es un poco inferior; en general se halla entre 40 y 50% para las plantas de energía que funcionan con petróleo o carbón.

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Capítulo 11

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

Vapor Caldera

Turbina

Qcal Combustible

Generador

Condensador

Agua Qfr

11.15 Diagrama que muestra los componentes básicos de una central termoeléctrica. El calor de la caldera genera vapor, el cual hace girar la turbina de vapor. La turbina realiza un trabajo para originar electricidad en el generador.

figura

Cuando mucho, podemos convertir aproximadamente la mitad de la energía térmica liberada en la combustión del carbón o el petróleo en trabajo mecánico o energía eléctrica. El resto debe liberarse al ambiente a temperaturas demasiado bajas para hacer funcionar máquinas térmicas o realizar las demás funciones, salvo la calefacción ambiental. La parte de gases de combustión de las turbinas debe enfriarse para alcanzar la eficiencia máxima, y el agua de refrigeración regresa a algún cuerpo de agua o pasa por torres de refrigeración, donde el calor se disipa en la atmósfera (figura 11.16). Éste es el calor residual que se menciona con frecuencia en las discusiones sobre el impacto ambiental de las centrales eléctricas. Si el calor residual se tira en un río, la temperatura de éste aumenta, con efectos perceptibles en los peces, la flora y la fauna.

Opciones para los combustibles fósiles Las centrales nucleares, estudiadas en el capítulo 19, también generan calor para operar turbinas de vapor. Sin embargo, debido a los efectos de la radiación sobre los materiales no es factible hacer funcionar las turbinas de una planta nuclear a temperaturas tan altas como las de las plantas de combustibles fósiles. Las eficiencias térmicas de las plantas nucleares son un tanto menores, en general entre 30 y 40 por ciento. Para cantidades iguales de energía generada, la cantidad de calor liberado al ambiente es mayor en una planta nuclear que una de combustibles fósiles. Por otra parte, las centrales nucleares no liberan dióxido de carbono y otros gases de combustión a la atmósfera y no contribuyen al efecto invernadero. El procesamiento y la eliminación de los desperdicios concomitantes, así como la preocupación por los accidentes nucleares siguen siendo problemas significativos. El calor también está disponible de otras fuentes como la energía geotérmica, la cual es calor que proviene del interior

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11.16 Las torres de refrigeración características de muchas centrales térmicas transfieren calor del agua de enfriamiento a la atmósfera.

figura

de la Tierra. Los manantiales de agua caliente y los géiseres indican la presencia de agua caliente cerca de la superficie del planeta que podría servir para la producción de energía, pero en general la temperatura del agua no es mucho mayor que 200°C. En lugares donde hay vapor disponible de los géiseres, pueden usarse turbinas de vapor de baja temperatura, como en el norte de California en la central Geysers (figura 11.17).

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11.4 Centrales térmicas y recursos energéticos

11.17 La central Geysers, en California, utiliza energía geotérmica para operar turbinas de vapor.

figura

Si la temperatura del agua está por debajo de 200°C, las turbinas de vapor no son eficaces y es preferible otro fluido con una temperatura de ebullición menor para operar una máquina térmica. El isobutano se ha estudiado como fluido motor de máquinas térmicas de baja temperatura. Sin embargo, la eficiencia de una máquina de este tipo sería muy baja. Si el agua estuviera disponible a una temperatura de 150°C (423 K), por ejemplo, y el agua de refrigeración a 20°C (293 K), la eficiencia de Carnot sería 31%. En la práctica, la eficiencia sería incluso menor, así que es común hallar eficiencias de sólo 20% a 25% en las centrales geotérmicas propuestas. Las corrientes oceánicas cálidas son una fuente más de calor. Se han propuesto y desarrollado prototipos de centrales que aprovechan la diferencia de temperatura entre el agua cálida de la superficie del mar y el agua fría tomada de mayores profundidades. Generalmente, la diferencia de temperatura es de sólo 20°C más o menos, y la eficiencia térmica es muy baja. Para una temperatura de entrada de 25°C (298 K) y una de salida de 5°C (278 K), la eficiencia de Carnot es de sólo 6.7%. Pero aunque la eficiencia es baja, también lo es el costo del agua calentada por el Sol. Sigue siendo factible producir energía de esta manera. El Sol es una fuente de energía con un enorme potencial de desarrollo si los costos se vuelven competitivos. Las temperaturas que pueden obtenerse con la energía solar dependen del tipo de sistema de recolección empleado. El colector plano ordinario sólo alcanza temperaturas relativamente bajas, de 50 a 100°C, pero los colectores concentradores que usan espejos o lentes para enfocar la luz solar ofrecen temperaturas mucho mayores. En una planta de energía solar cerca de Barstow, California, un arreglo de espejos enfoca la luz del Sol sobre una caldera en una torre central (figura 11.18). Las temperaturas generadas son comparables con las de las plantas de combustibles fósiles, por lo que es posible usar turbinas de vapor similares.

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221

11.18 En una planta de energía solar en Barstow, California, las temperaturas altas se obtienen de la energía del Sol al enfocar su luz sobre una caldera central con un arreglo de espejos.

figura

Calor de alto y de bajo grado La temperatura marca una gran diferencia en la cantidad de trabajo útil que podemos extraer del calor. La segunda ley de la termodinámica y la eficiencia de Carnot correlativa definen el límite. ¿Qué efectos tienen estos factores en nuestras políticas de energía nacionales y en nuestro uso diario de la energía? Desde luego, el calor a temperaturas alrededor de 500°C o superiores es mucho más útil para hacer funcionar máquinas térmicas y producir trabajo mecánico o energía eléctrica que calor a temperaturas más bajas. El calor en estas temperaturas altas a veces se llama calor de alto grado debido a su potencial para producir trabajo. Incluso así, sólo 50% o menos del calor puede convertirse realmente en trabajo. El calor a temperaturas bajas puede producir trabajo pero con una eficiencia considerablemente menor. El calor a temperaturas alrededor de los 100°C o menos se llama en general calor de bajo grado. El calor de bajo grado se usa mejor en actividades como la calefacción de casas o edificios (calefacción ambiental). La calefacción ambiental o del agua son usos óptimos para el calor reunido por los colectores solares planos, e incluso de fuentes geotérmicas si están lo suficientemente cerca de los edificios que necesitan calor. El calor geotérmico se utiliza para la calefacción espacial en Klamath Falls, Oregon, igual que en otras partes del mundo donde las condiciones son favorables. Gran parte del calor de bajo grado, como el calor de baja temperatura liberado de las centrales eléctricas, se vuelve desperdicio porque no es económico transportarlo a lugares donde se necesite calefacción ambiental. Por ejemplo, comúnmente las centrales nucleares no se construyen en zonas pobladas. Hay otros usos posibles del calor de bajo grado, como en la agricultura o la acuacultura, pero no hemos llegado muy lejos en su desarrollo.

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Capítulo 11

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

La ventaja principal de la energía eléctrica es que puede transportarse fácilmente a través de líneas eléctricas a usuarios alejados del punto de generación. La energía eléctrica también puede convertirse sin problema en trabajo mecánico por medio de motores eléctricos, los cuales operan a eficiencias de 90% o superiores debido a que no son máquinas térmicas. La eficiencia implícita en la producción de energía eléctrica en primer lugar, por supuesto, puede haber sido considerablemente inferior. La energía eléctrica también puede convertirse de nuevo en calor si se desea. La electricidad se usa para la calefacción ambiental en regiones de Estados Unidos como el noroeste de la zona del Pacífico, donde esa energía ha sido relativamente barata debido a los vastos recursos hidroeléctricos del río Columbia y sus afluentes. El desarrollo de estos recursos en la Unión Americana ha recibido subsidios del gobierno federal. Los precios bajos estimulan el uso de un tipo de alto grado de energía con fines que también podrían ser atendidos por fuentes de menor grado. La energía ha sido relativamente barata en Estados Unidos y en muchas otras partes del mundo. El continuo desarrollo económico y el agotamiento de los recursos fósiles cambiarán gradualmente este escenario. A medida que surja la escasez, las preguntas acerca de los usos óptimos de los recursos energéticos se volverán críticas. Las decisiones acertadas dependerán de la participación de una ciudadanía informada y científicamente instruida. Las centrales térmicas utilizan máquinas térmicas (turbinas de vapor) para generar energía eléctrica. Estas máquinas están limitadas por la eficiencia de Carnot, la cual depende de las temperaturas de entrada y salida. La mayor eficiencia que puede lograrse es de 50%, más o menos, de las plantas de combustibles fósiles. Las temperaturas que pueden obtenerse con otros recursos energéticos determinan la mejor forma de usar estos recursos. Las temperaturas bajas son más adecuadas para la calefacción ambiental y aplicaciones similares que para la generación de electricidad. Las leyes de la termodinámica establecen límites a la generación de electricidad.

11.5 Movimiento perpetuo y fraudes energéticos La idea del movimiento perpetuo ha fascinado durante mucho tiempo a los inventores. El atractivo de inventar una máquina que pueda funcionar sin combustible, o de una fuente abundante como el agua, es parecido a encontrar oro. Si pudiera construirse una máquina así y patentarla, el inventor se volvería más rico que si hubiera descubierto ese metal precioso. ¿Es posible una máquina como esa? Las leyes de la termodinámica imponen ciertos límites. Peusto que esas leyes son consistentes con todo lo que la física sabe acerca de la energía y las máquinas, cualquier afirmación que las infrinja resulta sospechosa. Podemos analizar las afirmaciones del

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Tcal Qcal

W

Tfr Qfr

11.19 Una máquina de movimiento perpetuo de primera clase. La energía de salida excede a la de entrada y, por consiguiente, infringe la primera ley de la termodinámica.

figura

movimiento perpetuo o de máquinas milagrosas si las confrontamos para ver si violan la primera o la segunda ley de la termodinámica.

Máquinas de movimiento perpetuo de primera clase Un motor o máquina propuesta que viole la primera ley de la termodinámica se llama máquina de movimiento perpetuo de primera clase. Como la primera ley de la termodinámica implica la conservación de la energía, una máquina de movimiento perpetuo de primera clase es la que produce más energía como trabajo o calor que la que absorbe. Si la máquina o motor opera en un ciclo continuo, la energía interna debe regresar a su valor inicial, y la energía de salida debe ser igual a la de entrada, como ya hemos visto. En la figura 11.19, la magnitud total del trabajo y el calor de salida es mayor que la magnitud del calor de entrada (como se representa con el ancho de las flechas). Esto sólo podría ocurrir si hubiera alguna fuente de energía, digamos una batería, dentro de la máquina misma. Si éste fuera el caso, la energía de la batería se reduciría gradualmente y la energía interna de la máquina disminuiría. La máquina no podría funcionar indefinidamente. El que la física no acepte que una máquina como ésta es posible no impide que los inventores sigan proponiéndola. De vez en vez, vemos en periódicos y otros medios populares afirmaciones informadas acerca de máquinas que pueden funcionar de manera indefinida impulsadas por un galón de agua o una cantidad minúscula de gasolina. Dado el alto precio

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11.5 Movimiento perpetuo y fraudes energéticos

Tcal Qcal

W

Tfr

11.20 Una máquina de movimiento perpetuo de segunda clase. El calor se extrae de un depósito a una sola temperatura y se convierte completamente en trabajo, con lo que se viola la segunda ley de la termodinámica.

figura

que a veces alcanza la gasolina, estas afirmaciones tienen un atractivo evidente y con frecuencia atraen a inversionistas y otros interesados. Con tu conocimiento de la física, no obstante, podrías plantear algunas preguntas sencillas al inventor: ¿de dónde proviene la energía? ¿Cómo puede la máquina sacar más energía que la que absorbe? Guarda la cartera, no parece una buena inversión.

¿Qué es una máquina de movimiento perpetuo de segunda clase? Las máquinas que violarían la segunda ley de la termodinámica sin infingir la primera ley son un tanto más sutiles. Sus inventores han aprendido a responder a las preguntas del párrafo anterior. Tienen una fuente de energía; tal vez planean extraer calor de la atmósfera o del océano. Estas afirmaciones deben evaluarse en términos de la segunda ley de la termodinámica. Si se viola la segunda ley, el inventor propone una máquina de movimiento perpetuo de segunda clase (figura 11.20). La segunda ley establece que no es posible tomar calor de un depósito a una sola temperatura y convertirlo completamente en trabajo. Debemos tener disponible un depósito a temperatura baja y parte del calor debe liberarse en él. Además, aun si tenemos un depósito de temperatura baja, la eficiencia de cualquier máquina que opere entre dos depósitos será mucho menor si la diferencia de temperatura entre ellos no es grande. Cualquier afirmación de una eficiencia mayor que la de Carnot

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(para la diferencia de temperatura disponible) también infringe la segunda ley de la termodinámica. Las leyes de la termodinámica son útiles para evaluar las afirmaciones de un inventor y también guían nuestros intentos por construir mejores máquinas y usar la energía de forma más eficiente. Es posible construir y se construirán mejores máquinas, y sus inventores podrán enriquecerse en el proceso. Hay una gran cantidad de posibilidades que implican fuentes de energía de un grado relativamente bajo u otras circunstancias especiales. Los ingenieros y científicos trabajan en el desarrollo de materiales especiales y diseños innovadores para máquinas que podrían emplearse incluso a temperaturas más altas que son comunes en las plantas de combustibles fósiles de la actualidad. Tales esfuerzos no violan las leyes de la termodinámica. La mayoría de los departamentos de física reciben solicitudes de inventores locales que buscan promoción o ayuda con sus esquemas para producir o usar energía. Los inventores suelen ser sinceros y a veces están muy bien informados. Ocasionalmente sus ideas son meritorias, pero con frecuencia se basan en una mala comprensión de las leyes de la termodinámica (véae el cuadro de fenómenos cotidianos 11.2). Por desgracia, a veces es difícil persuadirlos de que sus ideas no funcionarán, aun cuando supongan violaciones obvias a las leyes de la termodinámica. En otros casos es más claro que se trata de un trabajo de charlatanes. Los inventores que empiezan con buenas intenciones a veces descubren que sus ideas atraen dinero de inversionistas impacientes aun cuando el invento no llegue a funcionar. Algunos inventores se las han arreglado para recaudar varios millones de dólares para diseñar y probar máquinas prototipo. De algún modo, las máquinas nunca se terminan por completo o las pruebas quedan inconclusas y se precisa más dinero para continuar el trabajo. Los inventores, mientras tanto, viven muy bien y se dan cuenta de que promover sus inventos es más lucrativo que construirlos y probarlos. Que se cuiden los inversionistas. No conocemos ninguna circunstancia que infrinja las leyes de la termodinámica. La falla de intentos repetidos por violarlas refuerza nuestra creencia en su validez. Las leyes no pueden demostrarse, pero su capacidad probada para describir con precisión resultados experimentales brinda a los físicos la seguridad de que seguirán siendo indicadores útiles de lo que es posible. Una máquina de movimiento perpetuo de primera clase viola la primera ley de la termodinámica debido a que se obtiene más trabajo que la energía de entrada. Una máquina de movimiento perpetuo de segunda clase infringe la segunda ley de la termodinámica ya sea al convertir el calor por completo en trabajo o al afirmar una eficiencia mayor que la de Carnot. Los físicos no creen que ninguna de esas opciones sea posible, pero los inventores siguen medrando y los inversionistas gastando dinero en estos esquemas. Las leyes de la termodinámica establecen límites sobre lo que podemos hacer y guían nuestros intentos por construir mejores máquinas.

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Capítulo 11

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

fenómenos cotidianos

cuadro 11.2

Una laguna productiva Situación. Un vecino granjero me consultó acerca de una idea que tenía para generar electricidad en su granja, donde tenía un estanque que podría usar para operar una noria que a su vez haría funcionar un generador eléctrico. Trajo un boceto como el dibujo que aparece abajo. El boceto mostraba una tubería de drenaje que pasaba por debajo del estanque. El granjero estaba consciente de que el agua fluiría hacia abajo por un drenaje como éste a una velocidad considerable. Su plan era dirigir el agua por una tubería al lado del estanque y luego hacia arriba sobre el nivel de éste, donde fluiría a una noria, con lo que haría funcionar el generador. El agua regresaría al estanque después de dejar la noria, así que no habría necesidad de reabastecer su suministro, sino sólo de remplazar la pérdida de agua por evaporación o filtración. ¿Qué aconsejarías al granjero? ¿Funcionará su plan? ¿Representa una máquina de movimiento perpetuo y, de ser así, de qué clase?

Turbina de agua

Generador

Análisis. Con sólo mirar el resultado general, vemos que el trabajo para hacer funcionar el generador se obtiene sin entrada de energía en forma de calor o trabajo. Como el estanque regresa a su estado inicial (con la misma energía interna), la propuesta viola la primera ley de la termodinámica (o el principio de conservación de la energía). El plan del granjero es una máquina de movimiento perpetuo de primera clase. Si consideramos la mecánica con más detalle, vemos que el agua adquirirá energía cinética a medida que fluye hacia abajo por el drenaje. Esta ganancia en energía cinética se da a expensas de una pérdida en energía potencial cuando el nivel del estanque baja. Dirigir el agua hacia arriba hace que se recupere energía potencial a expensas de la energía cinética: el flujo se volverá más lento. Si no hay pérdidas debidas a la fricción, su velocidad debe llegar a cero en el punto donde alcanza el nivel original del estanque. En la oleada inicial al abrir la válvula, el agua podría rebasar el nivel original del estanque, pero no podría elevarse por encima de él en un proceso continuo. Con el tiempo, el agua en los tubos verticales alcanzaría el mismo nivel que el estanque y no fluiría. Aunque el autor explicó al granjero estas ideas detenidamente, y el granjero era una persona instruida e inteligente, no logró persuadirlo de que su idea no funcionaría. Como el granjero no quedó convencido con los argumentos teóricos, el autor lo animó a que hiciera un modelo de pequeña escala antes de invertir dinero en la instalación de su estanque. Los modelos o prototipos son una buena forma de probar las ideas y a veces son más convincentes que los argumentos teóricos. (No se informó al autor si el granjero puso en práctica su plan.)

Un boceto del plan del granjero para obtener energía eléctrica de su estanque. ¿Cuál ley de la termodinámica propone infringir?

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Resumen

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resumen Los intentos por construir mejores máquinas de vapor conducen a un análisis más general de las máquinas térmicas y, a la larga, a un enunciado de la segunda ley de la termodinámica. La segunda ley explica el funcionamiento de las máquinas térmicas y los refrigeradores, así como el concepto de entropía. La comprensión de las leyes de la termodinámica es fundamental para tomar decisiones adecuadas de política energética.

de Clausius de la segunda ley establece que el calor no fluirá de manera espontánea de un cuerpo frío a uno caliente. La entropía puede pensarse como una medida del desorden de un sistema. El desorden es responsable de las limitaciones expresadas en la segunda ley. Los procesos irreversibles siempre aumentan la entropía del Universo. Tcal

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1sitivo que absorbe calor de una fuente a alta temperatura y convierte

Máquinas térmicas. Una máquina térmica es un dispo-

parte de ese calor en trabajo mecánico útil. En el proceso, parte del calor siempre se libera a temperaturas bajas en el ambiente. La eficiencia de una máquina térmica se define como el trabajo de salida dividido entre el calor de entrada. Tcal

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Centrales térmicas y recursos energéticos. Las plantas de energía que utilizan calor generado a partir de carbón, petróleo, gas natural, combustibles nucleares, fuentes geotérmicas o el Sol para producir energía eléctrica son ejemplos de centrales térmicas. Su eficiencia no puede ser mayor que la de Carnot, así que resulta conveniente tener temperaturas altas de entrada.

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La segunda ley de la termodinámica. El enunciado de Kelvin de la segunda ley establece que no es posible que una máquina, que trabaja en un ciclo continuo, absorba calor a una sola temperatura y lo convierta completamente en trabajo. La eficiencia máxima posible de cualquier máquina que opere entre dos temperaturas es la misma que la de una máquina de Carnot. Siempre es menor que 1 o 100%. Tcal

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Movimiento perpetuo y fraudes energéticos. 5Cualquier dispositivo propuesto que infrinja la primera ley de la termodinámica se llama máquina de movimiento perpetuo de primera clase. Una máquina que viole la segunda ley, pero no la primera, se denomina máquina de movimiento perpetuo de segunda clase. Ninguna funcionará.

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en sentido inverso, es decir, utiliza el trabajo para mover calor de un cuerpo de temperatura baja a uno de temperatura alta. El enunciado

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bombas de calor y entropía. Una 3bombaRefrigeradores, de calor, o refrigerador, es una máquina térmica que opera

Segunda clase

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Capítulo 11

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

conceptos clave Calor de bajo grado, 221 Máquina de movimiento perpetuo de primera clase, 222 Máquina de movimiento perpetuo de segunda clase, 223

Segunda ley de la termodinámica, 215 Bomba de calor, 216 Entropía, 218 Central térmica, 219 Calor de alto grado, 221

Máquina térmica, 209 Eficiencia, 210 Reversible, 213 Máquina de Carnot, 214 Eficiencia de Carnot, 214

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P8. ¿Es posible que una máquina térmica opere como se muestra en el diagrama siguiente? Explícalo en función de las leyes de la termodinámica. Tcal

P1. ¿Cuál de estos tipos de motores o máquinas son térmicas? a) El motor de un automóvil. b) Un motor eléctrico. c) Una turbina de vapor. Explica tus razones para clasificar cada uno de estos motores como una máquina térmica. P2. ¿Una máquina simple, digamos una palanca, un sistema de poleas o un gato hidráulico podría considerarse máquina térmica? Explica por qué. P3. Al aplicar la primera ley de la termodinámica a una máquina térmica, ¿por qué se supone que el cambio en la energía interna de la máquina es cero? Explícalo. P4. ¿La cantidad total de calor liberado por una máquina térmica a un depósito a baja temperatura por ciclo es mayor que la cantidad de calor absorbido del depósito a alta temperatura por ciclo? Explica por qué. P5. Desde la perspectiva de la primera ley de la termodinámica, ¿es posible que una máquina térmica tenga una eficiencia mayor que 1? Explica por qué. P6. ¿Cuál ley de la termodinámica requiere que el trabajo de salida de la máquina sea igual a la diferencia en las cantidades de calor absorbido y liberado por la misma máquina? Explica por qué. P7. ¿Es posible que una máquina térmica opere como se muestra en el diagrama siguiente? Explícalo en función de las leyes de la termodinámica. Tcal

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P9. ¿Es posible que una máquina térmica opere como se muestra en el diagrama siguiente? Explícalo en función de las leyes de la termodinámica. Qcal

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Tfr P10. ¿Es posible que la eficiencia de una máquina térmica sea igual a 1? Explica por qué. P11. ¿Una máquina de Carnot puede operar de manera irreversible? Explica por qué. P12. ¿Un motor de automóvil que consume gasolina opera de manera reversible? Explica por qué.

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P13. ¿Qué tendría una mayor eficiencia: una máquina de Carnot que opera entre los 400°C y los 300°C, o una que funcina entre los 400 K y los 300 K? Explica por qué. *P14. Si quisiéramos aumentar la eficiencia de una máquina de Carnot, ¿sería más eficaz aumentar la temperatura del depósito a alta temperatura 50°C o disminuir la temperatura del depósito a baja temperatura 50°C? Explica por qué.

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Preguntas P15. ¿Una bomba de calor es lo mismo que una máquina térmica? Explica por qué. P16. ¿Una bomba de calor es esencialmente lo mismo que un refrigerador? Explica por qué. P17. Cuando se emplea una bomba de calor para calentar un edificio, ¿de dónde procede el calor? Explícalo. P18. ¿Es posible enfriar una habitación cerrada dejando la puerta abierta de un refrigerador que está en la habitación? Explica por qué. P19. ¿Sería posible transferir calor de una temperatura baja a una temperatura alta? Explica por qué. P20. ¿Es posible que una bomba de calor opere como se muestra en el diagrama? Explícalo en función de las leyes de la termodinámica. Tcal

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P23. ¿Qué tiene mayor entropía: un mazo de cartas en el que éstas están organizadas por palo o un mazo de cartas barajadas? Explica por qué. P24. Una taza de café caliente puede enfriarse, calentando así sus alrededores. ¿La entropía del Universo aumenta en este proceso? Explica por qué. *P25. Cuando una sustancia se congela, las moléculas se vuelven más organizadas y la entropía disminuye. ¿Implica esto una violación del enunciado de la entropía de la segunda ley de la termodinámica? Explica por qué. P26. ¿Qué tendría normalmente la mayor eficiencia térmica, una central eléctrica de carbón o una geotérmica? Explica por qué. P27. ¿En qué se parece una central nuclear a una central eléctrica de carbón? Explica por qué. P28. ¿Cuál es la diferencia entre calor de alto grado y calor de bajo grado? Explica. *P29. Los motores eléctricos convierten la energía eléctrica en trabajo mecánico con una eficiencia mucho mayor que aquella con la que los motores de gasolina convierten el calor en trabajo. ¿Por qué no tendría sentido, entonces, operar todos nuestros vehículos con energía eléctrica? ¿Dónde se origina la energía eléctrica? Explícalo.

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P21. ¿Es posible que una bomba de calor opere como se muestra en el diagrama? Explícalo con base en las leyes de la termodinámica. Tcal

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P30. ¿El calor ontenido de un colector solar plano es más adecuado para operar una máquina térmica o para la calefacción ambiental? Explica por qué. P31. ¿Un motor de automóvil es una máquina de movimiento perpetuo? Explica por qué. P32. Un ingeniero propone una planta de energía que extraerá calor de la superficie tibia del agua del océano, convertirá parte en trabajo y liberará el restante en el agua fría a mayores profundidades. ¿Esta máquina es de movimiento perpetuo y, de ser así, de qué clase? Explícalo. P33. Un ingeniero propone un dispositivo que extraerá calor de la atmósfera, convertirá parte en trabajo y liberará el restante de nuevo a la atmósfera a la misma temperatura que el calor de entrada. ¿Se trata de una máquina de movimiento perpetuo y, de ser así, de qué clase? Explícalo.

P22. ¿Es posible que una bomba de vapor opere como se muestra en el diagrama? Explícalo en función de las leyes de la termodinámica. Tcal

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Capítulo 11

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

ejercicios E1. En un ciclo, una máquina térmica absorbe 1 000 J de calor de un depósito a alta temperatura, libera 600 J de calor a un depósito a baja temperatura, y realiza un trabajo de 400 J. ¿Cuál es su eficiencia? E2. Una máquina térmica con una eficiencia de 25% realiza un trabajo de 400 J en cada ciclo. ¿Cuánto calor debe suministrarse desde la fuente a alta temperatura en cada ciclo? E3. En un ciclo, una máquina térmica absorbe 900 J de calor de un depósito a alta temperatura y libera 600 J de calor a un depósito a baja temperatura. a) ¿Cuánto trabajo realiza la máquina en cada ciclo? b) ¿Cuál es su eficiencia? E4. Una máquina térmica con una eficiencia de 40% absorbe 600 J de calor desde el depósito de alta temperatura en cada ciclo. a) ¿Cuánto trabajo realiza la máquina en cada ciclo? b) ¿Cuánto calor se libera al depósito de baja temperatura? E5. En un ciclo, una máquina térmica realiza un trabajo de 400 J y libera 500 J de calor en un depósito a baja temperatura. a) ¿Cuánto calor absorbe del depósito de alta temperatura? b) ¿Cuál es la eficiencia de la máquina? E6. Una máquina de Carnot absorbe calor a una temperatura de 650 K y libera calor a un depósito a una temperatura de 350 K. ¿Cuál es su eficiencia? E7. Una máquina de Carnot absorbe calor de un depósito a 400°C y lo libera a un depósito a temperatura más baja de 150°C. ¿Cuál es su eficiencia?

E9. Una bomba de calor absorbe 300 J de calor de un depósito a baja temperatura en cada ciclo y utiliza 150 J de trabajo por ciclo para mover el calor a un depósito a alta temperatura. ¿Cuánto calor se libera al depósito de alta temperatura en cada ciclo? E10. En cada ciclo de su operación, un refrigerador saca 18 J de dentro de él y libera 30 J de calor a la habitación. ¿Cuánto trabajo por ciclo se necesita para hacerlo funcionar? E11. Un refrigerador eléctrico común tiene una potencia de operación de 400 W, que es la razón (en J/s) con la que se suministra energía eléctrica para realizar el trabajo necesario para sacar calor del aparato. Si éste libera calor a la habitación a una razón de 900 W, ¿a qué razón (en watts) elimina calor de su interior? E12. Una central nuclear típica libera calor del reactor a las turbinas a una temperatura de 540°C. Si las turbinas liberan calor a una temperatura de 200°C, ¿cuál es la eficiencia máxima posible de estas turbinas? E13. Una central térmica absorbe calor de la superficie del agua del mar a una temperatura de 22°C y libera calor a 10°C al agua más fría que se halla a mayor profundidad. ¿Es posible que esta central opere a una eficiencia de 8%? Justifica tu respuesta. E14. Un ingeniero diseña una máquina térmica utilizando colectores solares planos. Los colectores proporcionan calor a 70°C y la máquina libera calor a los alrededores a 35°C. ¿Cuál es la máxima eficiencia posible de la máquina?

E8. Una máquina de Carnot opera entre las temperaturas de 600 K y 400 K y realiza un trabajo de 150 J en cada ciclo. a) ¿Cuál es su eficiencia? b) ¿Cuánto calor absorbe del depósito a alta temperatura en cada ciclo?

problemas de síntesis PS1. Imagina que un motor de automóvil típico opera con una eficiencia de 25%. Un galón de gasolina libera aproximadamente 150 MJ de calor cuando se quema. (Un megajoule, MJ, es un millón de joules.) a) De la energía disponible en un galón de gasolina, ¿cuánta energía puede usarse para realizar trabajo útil a fin de mover al auto y hacer funcionar sus accesorios? b) ¿Cuánto calor por galón se libera al ambiente en los gases de la combustión que salen del escape y a través del radiador? c) Si el automóvil se mueve a rapidez constante, ¿cuánto trabajo de salida realiza el motor usado? d) ¿Esperarías que la eficiencia del motor fuera mayor en un día caluroso o en un día frío? Explica por qué. (Los resultados pueden generar conflictos.)

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PS2. Cierta máquina de Carnot funciona entre las temperaturas de 500°C y 150°C y produce 30 J de trabajo en cada ciclo. a) ¿Cuál es la eficiencia de esta máquina? b) ¿Cuánto calor absorbe del depósito de 450°C en cada ciclo? c) ¿Cuánto calor se libera al depósito de 150°C en cada ciclo? d) ¿Cuál es el cambio, si es que hay alguno, en la energía interna de la máquina en cada ciclo?

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Experimentos y observaciones para la casa PS3. Una máquina de Carnot que opera en sentido inverso como una bomba de calor transfiere el calor de un depósito frío a 5°C a un depósito caliente a 25°C. a) ¿Cuál es la eficiencia de una máquina de Carnot que opera entre esas dos temperaturas? b) Si la bomba de calor de Carnot libera 200 J de calor al depósito de alta temperatura en cada ciclo, ¿cuánto trabajo debe proporcionarse en cada ciclo? c) ¿Cuánto calor se elimina del depósito de 5°C en cada ciclo? d) El rendimiento de un refrigerador o una bomba de calor se describe por medio de un “coeficiente de rendimiento” definido como K = Qfr/W. ¿Cuál es el coeficiente de rendimiento de nuestra bomba de calor de Carnot? e) ¿Las temperaturas usadas en este ejemplo son apropiadas para la aplicación de una bomba de calor para la calefacción del hogar? Explica por qué.

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PS5. Se diseña una central eléctrica basada en petróleo para producir 100 MW (megawatts) de electricidad. La turbina opera entre temperaturas de 650°C y 240°C y tiene una eficiencia que es 80% de la eficiencia ideal de Carnot para tales temperaturas. a) ¿Cuál es la eficiencia de Carnot para estas temperaturas? b) ¿Cuál es la eficiencia de las turbinas de petróleo reales? c) ¿Cuántos kilowatt-horas (kW-h) de energía eléctrica genera la planta en 1 h? (El kilowatt-hora es una unidad de energía igual a 1 kW de energía multiplicado por 1 h.) d) ¿Cuántos kilowatt-horas de calor deben obtenerse del petróleo cada hora? e) Si un barril de petróleo produce 1 700 kW·h de calor, ¿cuánto petróleo utiliza la central cada hora?

PS4. En la sección 11.3, mostramos que una violación del enunciado de Clausius de la segunda ley de la termodinámica es una infracción del enunciado de Kelvin. Desarrolla un argumento para mostrar que lo inverso también es cierto: una violación del enunciado de Kelvin lo es también del de Clausius.

experimentos y observaciones para la casa EC1. Si tienes un refrigerador, estudia su construcción para observar lo siguiente: a) ¿Qué fuente de energía (gas o electricidad) proporciona el trabajo necesario para eliminar el calor? ¿Puedes encontrar índice de consumo de energía en alguna parte del refrigerador? b) ¿Dónde se hallan las bobinas de transferencia de calor usadas para liberar calor a la habitación? (Generalmente están en la parte posterior del refrigerador, con frecuencia cerca de la parte inferior.) c) Usa un termómetro para determinar las temperaturas dentro del refrigerador, dentro del compartimiento del congelador, cerca de las bobinas de transferencia de calor al exterior y en la habitación a cierta distancia del refrigerador. Debes tomar medidas en diferentes momentos para ver cuánto varían esas temperaturas.

a) Compara el tamaño del motor de gasolina, los caballos de fuerza y el kilometraje por litro de gasolina estimado de un vehículo híbrido y de un vehículo estándar de tamaño parecido. b) ¿Cuáles son los índices de voltaje y de corriente de las baterías de los vehículos híbridos y estándar? c) ¿Qué ventajas encuentras en comprar un vehículo híbrido comparado con uno estándar de tamaño similar? EC3. ¿Qué tipo de centrales se usan para producir electricidad en tu área? ¿Emplean máquinas térmicas y, de ser así, cuál es la fuente de calor? ¿Tienen torres de refrigeración u otras estructuras de refrigeración usadas para liberar el calor residual a la atmósfera? (La instalación de tu localidad debe proporcionarte esta información.)

EC2. Busca un distribuidor de automóviles local que venda automóviles híbridos (actualmente Honda y Toyota cuentan con las mejores opciones). Reúne información que describa las especificaciones de los vehículos híbridos, así como de otros vehículos de tamaño similar. (Esta información también puede obtenerse de Internet.)

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unidad

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Electricidad y magnetismo

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ingún área de la física ha tenido un mayor impacto en nuestra forma de vida que el estudio de la electricidad y el magnetismo. Hoy día, usar electricidad y aparatos electrónicos es como nuestra segunda naturaleza, pero habría sido difícil imaginarlo hace 200 años. La invención y el diseño de televisores, hornos de microondas, computadoras, teléfonos celulares y miles de otras aplicaciones y dispositivos conocidos han supuesto la comprensión de los principios fundamentales de la electricidad y el magnetismo. Si bien los efectos de los imanes y la electricidad estática se conocen de hace mucho tiempo, nuestro conocimiento básico de la electricidad y el magnetismo es, principalmente, un producto del siglo XIX. Una invención señera al final de ese siglo abrió la puerta a los dispositivos mencionados. En 1800, el científico italiano Alessandro Volta (1745-1827) inventó la batería. Esa invención surgió del trabajo realizado por el físico italiano Luigi Galvani (1737-1798), quien había descubierto efectos que llamaba electricidad animal. Galvani halló que podía producir efectos eléctricos al introducir una sonda en la pata de una rana con escalpelos de metal. Volta descubrió que la rana no era necesaria. Dos tipos de metales separados por una solución química adecuada bastaban para producir muchos de los efectos eléctricos observados por Galvani. Las pilas voltaicas de Volta, que consistían en varias placas de cobre y zinc separadas

por papel e impregnadas con una solución química, podían producir corrientes eléctricas continuas. Como suele ocurrir, este nuevo dispositivo posibilitó numerosos experimentos e investigaciones nuevas. La invención de la batería condujo a Hans Christian Oersted (1777-1851) a descubrir los efectos magnéticos de las corrientes eléctricas en 1820. El hallazgo de Oersted estableció una conexión formal entre la electricidad y el magnetismo, lo que llevó al término moderno de electromagnetismo. El electromagnetismo fue el campo de investigación más atractivo para los físicos durante las décadas de 1820 y 1830, y Ampére, Faraday, Ohm y Weber realizaron avances importantes en él. En 1865, el físico escocés James Clerk Maxwell (1831-1879) publicó una teoría global de los campos eléctricos y magnéticos que integró muchas de las ideas de esos científicos. Maxwell inventó los conceptos de campos eléctricos y magnéticos, que demostraron ser sumamente productivos. En la actualidad, el electromagnetismo es aún un área de investigación activa. Sus ramificaciones son importantes en la radio y la televisión, las computadoras, las comunicaciones y otras áreas tecnológicas. Pese a esta importancia, la invisibilidad del fenómeno subyacente hace parecer el tema del electromagnetismo abstracto y misterioso para muchas personas. Sin embargo, las ideas básicas no son difíciles y pueden comprenderse si se examina detenidamente fenómenos conocidos.

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Fenómenos electrostáticos

esquema del capítulo

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capítulo

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descripción del capítulo El propósito central de este capítulo consiste en describir y explicar la fuerza electrostática. También investigaremos conceptos como campo eléctrico y potencial eléctrico, los cuales se tornarán más vívidos al describir e interpretar algunos experimentos simples. La experimentación puede desembocar en una mejor comprensión de la carga eléctrica, la distinción entre conductores y aislantes y muchas otras ideas.

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unidad tres

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Efectos de la carga eléctrica. ¿Qué es la carga eléctrica? ¿Cómo interviene en la fuerza electrostática? ¿Cómo adquieren carga los objetos? Conductores y aislantes. ¿Cuál es la diferencia entre los materiales de aislamiento y los de conducción? ¿Cómo podemos probarla? ¿Cómo funciona la carga por inducción? ¿Por qué los pedazos de papel o de unicel son atraídos a los objetos cargados? Fuerza electrostática: la ley de Coulomb. ¿Qué es la fuerza electrostática descrita por la ley de Coulomb? ¿Depende de la carga y la distancia? ¿En qué se parece y en qué difiere de la fuerza gravitacional? Campo eléctrico. ¿Cómo se define el concepto de campo eléctrico? ¿Por qué es útil? ¿Cómo podemos usar líneas de campo eléctricas como ayuda para visualizar los efectos electrostáticos? Potencial eléctrico. ¿Cómo se define el concepto de potencial electrostático? ¿Cómo se relaciona con la energía potencial? ¿Qué es el voltaje? ¿Cómo se relacionan los conceptos de campo eléctrico y potencial eléctrico?

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12.1 Efectos de la carga eléctrica

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a mayoría de nosotros ha tenido la experiencia de pasar un peine por el cabello en un día seco de invierno y escuchar un crujido, o si la habitación donde estamos es lo suficientemente oscura, incluso ver chispas. Según la longitud y pérdida del cabello, cabellos sueltos pueden pegarse en el extremo del peine, como se observa en la figura 12.1. Este fenómeno es fascinante pero también molesto. A menudo tienes que mojar el peine para lograr que tu cabello se comporte. ¿Qué sucede? Parece haber una fuerza en acción, que provoca que algunos cabellos se repelan entre sí. Quizá identificarías esa fuerza como una fuerza electrostática, o al menos podrías decir que la electricidad estática hace que tu cabello se rebele. No obstante, mencionar un fenómeno no es lo mismo que explicarlo. ¿Por qué la electricidad estática se presenta en estas condiciones, y qué es esa fuerza? Las chispas del cabello y peine son sólo un ejemplo de fenómenos electrostáticos que forman parte de nuestra experiencia cotidiana. ¿Por qué un pedazo de plástico se rehúsa a dejar tu mano después de que lo quitas de un paquete? ¿Por qué recibes una ligera descarga después de caminar por un piso alfombrado y tocas un interruptor de luz? Los fenómenos varían desde la adherencia estáti-

figura 12.1

A veces el cabello parece tener mente propia cuando lo peinas en un día seco de invierno. ¿Qué causa que los cabellos se repelan entre sí?

ca y molestias parecidas a exhibiciones espectaculares de iluminación en una gran tormenta eléctrica. Son conocidos y, aun así, para muchos de nosotros, misteriosos. A pesar de su cercanía, sorprende que muchos de nosotros ignoremos qué es la electricidad estática. A menudo, las personas sentimos rechazo a ella por temor a recibir una descarga eléctrica, así como por su naturaleza abstracta. No es necesario que sea así. Muchos de los fenómenos pueden explicarse con ideas accesibles para todos nosotros.

12.1 Efectos de la carga eléctrica ¿Qué tienen en común el ejemplo del peine y el cabello y algunos de los mencionados en la introducción del capítulo? El peine que pasa por tu cabello, tus zapatos que pasan sobre la alfombra o el trozo de plástico que se desprende de una caja, todos suponen diferentes materiales que se frotan entre sí. Tal vez esa frotación sea la causa del fenómeno. ¿Cómo podemos probar esta idea? Un método sería reunir diferentes materiales, frotarlos entre sí en varias combinaciones y ver qué generamos, ya sea chispas u otros efectos observables. Experimentos como éste podrían ayudarnos a establecer qué combinaciones de materiales son más eficaces en la producción de crujidos y estallidos electrostáticos. Desde luego, también necesitaríamos una forma consistente de medir la intensidad de esos efectos.

¿Qué podemos aprender de los experimentos con las esferas de médula de saúco? Una forma común de demostrar los efectos electrostáticos es frotar barras de plástico o vidrio con diferentes prendas de piel o de tela. Si frotamos una barra de plástico o de goma dura con una parte de la piel de un gato, por ejemplo, podemos ver que los pelos del animal se erizan y se quiebran entre sí. Igual que las chispas del peine y el cabello, estos efectos son más sorprendentes en un día seco de invierno, cuando hay poca humedad en el aire. Otra pieza de equipo usada con fre-

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figura 12.2

Las esferas de médula de saúco colgadas de una base pequeña son atraídas a una barra de plástico cargada.

cuencia en estas demostraciones es una base pequeña a la que se atan con hulos esferas de médula de saúco (figura 12.2). Las esferas de médula de saúco son pedazos de material seco como el papel lo suficientemente ligero como para sufrir una fuerte influencia de las fuerzas electrostáticas. Una secuencia interesante de sucesos ocurre cuando una barra de plástico, que se frota vigorosamente con la piel de un gato en un día seco, se lleva cerca de las esferas de médula de saúco. Al principio, las esferas son atraídas a la barra como

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Capítulo 12

Fenómenos electrostáticos

limaduras de hierro a un imán. Después de entrar en contacto con ella, y quizá pegársele durante unos segundos, las esferas se alejan de la barra, meciéndose. Son repelidas por la barra en este punto y también se repelen entre sí. Los hilos que soportan las esferas de médula de saúco ahora forman un ángulo respecto a la vertical, como se observa en la figura 12.3, en vez de colgar en línea recta hacia abajo. ¿Cómo podemos explicar lo que ha sucedido? Una fuerza de repulsión debe actuar entre las dos esferas después de haber tocado la barra. Podríamos imaginar que han recibido algo, llamémosle carga eléctrica, de la barra, algo que es responsable de la fuerza que observamos. Esa carga, sea lo que fuere, de cierto modo se generó mediante la frotación de la barra con la piel del gato. La fuerza que ejerce una carga estacionaria sobre otra se llama fuerza electrostática. Podemos observar más cambios si frotamos una barra de vidrio con un pedazo de tela sintética como el nylon. Si luego la acercamos a las esferas que se cargaron con la barra de plástico, éstas serán ahora atraídas a la barra de vidrio. Aún son repelidas por la barra de plástico. Si permitimos que toquen la barra de vidrio, repetirán la secuencia observada antes con la barra de plástico. Al principio, serán atraídas por la barra y se pegarán brevemente a ella; después se mecerán hacia fuera y serán repelidas por la barra y entre sí. Si acercamos la barra de plástico, ahora veremos que las esferas son atraídas a ella. Estas observaciones complican un poco el cuadro. Aparentemente, hay al menos dos tipos de carga: una generada por la frotación de una barra de plástico con la piel de gato y otra generada por la frotación de una barra de vidrio con el nylon. ¿Podría haber más tipos de carga? Experimentos posteriores con diferentes materiales indicarían que estos dos tipos son

todo lo que necesitamos para explicar los efectos. Otros cuerpos cargados provocarán una atracción o una repelencia con los dos tipos de carga ya identificados y pueden entrar en una de estas dos categorías.

¿Qué es un electroscopio? Un electroscopio simple consiste en dos láminas de metal delgadas suspendidas frente a frente de un gancho de metal (figura 12.4). En un tiempo se usó oro en las láminas, pero hoy se prefiere el mylar aluminizado. Las láminas se conectan por medio del gancho a una esfera de metal que sobresale de la parte superior del instrumento. Además, están protegidas contra corrientes de aire y otras alteraciones gracias a un recipiente de paredes de vidrio. Si las laminas de metal no tienen carga, colgarán en línea recta hacia abajo. No obstante, si acercamos una barra con carga para que entre en contacto con la esfera de metal de la parte superior, las láminas se separan de inmediato. Permanecerán separadas incluso después de retirar la barra, presumiblemente porque ahora están cargadas. Si se acerca ahora un objeto cargado a la esfera de metal, el electroscopio muestra qué tipo de carga tiene el objeto y da una indicación aproximada de cuánta carga está presente. Si un objeto con el mismo tipo de carga que la barra original se acerca a la esfera, las láminas se separarán aún más. Un objeto con la carga opuesta hará que las láminas se acerquen entre sí. Una carga más grande produce un efecto mayor. Aun cuando es menos espectacular que las esferas de médula de saúco, el electroscopio ofrece varias ventajas para detectar el tipo y la intensidad de la carga. Primero, las láminas de metal no se mecen y se enredan ente sí como suele suceder con las esferas de médula de saúco. La esfera de metal del

Esfera de metal y gancho F

F Láminas de metal

figura 12.3 Una vez que se aleja la barra de las esferas, también se repelen entre sí, lo que indica la presencia de una fuerza de repulsión.

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figura 12.4

Un electroscopio simple consiste en dos láminas de metal suspendidas de un gancho de metal dentro de un recipiente con paredes de vidrio.

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12.1 Efectos de la carga eléctrica

electroscopio brinda un punto fijo para probar otros objetos. Además, el hecho de que la distancia entre las láminas aumente o disminuya cuando un objeto cargado se acerca a la esfera es una indicación consistente de la intensidad de la carga. Un electroscopio proporciona más información acerca del proceso de carga. Cuando cargamos la barra de plástico frotándola con la piel de gato, la piel también se carga pero con una carga del tipo opuesto. Podemos comprobarlo acercándola a la esfera de la parte superior del electroscopio después de haberla cargado con la barra. Cuando la piel se acerca a la esfera de metal, las láminas se acercan entre sí. Se alejan cuando la barra se aproxima. Experimentos parecidos muestran que la barra de vidrio y la tela de nylon también adquieren tipos opuestos de carga cuando se frotan entre sí. En el cuadro de ejemplo 12.1 se da otro ejemplo de carga por medio de frotación.

El modelo del fluido simple de Benjamín Franklin A mediados del siglo xviii era sabido que había dos tipos de carga que producían fuerzas electrostáticas entre cuerpos cargados. Esas fuerzas eran de atracción o de repulsión, de acuerdo con una regla simple: Las cargas iguales se repelen y las cargas opuestas se atraen.

Sin embargo, había menos acuerdo en cuanto a qué se referían estos dos tipos de carga. Carga producida en una barra de goma por medio de la piel de un gato y carga producida en una barra de vidrio al frotarla con la seda son un tanto difíciles de manejar. Los nombres positivo y negativo usados ahora fueron introducidos por el estadista y científico estadounidense Benjamín Franklin (1706-1790) alrededor de 1750. Durante la década de 1740, Franklin había realizado una serie de experimentos sobre la electricidad estática como los que hemos descrito. Propuso que los hechos, como se les conocía, podían explicarse por medio de la acción de un fluido simple que se transfería de un cuerpo a otro durante la carga. La carga adquirida cuando se ganaba un excedente de ese fluido era positiva (+) y la asociada a una falta del fluido era negativa (–) (figura 12.5). Pero no quedaba claro cuál de ellas era la positiva y cuál la negativa, ya que el fluido mismo era invisible y no era detectable de ninguna otra forma. Franklin propuso arbitrariamente que la carga en una barra de vidrio después de frotarla con seda (no existían telas sintéticas en ese entonces) sería positiva. Además de simplificar los nombres de los dos tipos de carga, el modelo de Franklin ofrecía una idea de lo que podría estar ocurriendo durante la carga. En ese modelo, dos cuerpos se volvían opuestamente cargados debido a cierta cantidad neutral o estable del fluido invisible que está presente en todos los cuerpos; al frotar dos cuerpos se transfiere parte de ese fluido

Cargas iguales

Cargas opuestas

cuadro de ejemplo 12.1 Ejercicio: juegos artificiales en una alfombra Pregunta: ¿Por qué salen chispas cuando caminamos por una alfombra en un día seco y después tocamos un interruptor de luz? Respuesta: el arrastrar nuestros pies por una alfombra es un proceso de frotación entre dos materiales. Las suelas de los zapatos con frecuencia están hechas de un material de goma y las fibras de la alfombra de tela sintética. El proceso de frotación crea una separación de carga parecida a la que hemos descrito con el uso de barras y tela. La carga que adquieren los zapatos puede fluir a otras partes de nuestro cuerpo, que es un buen conductor. Cuando tocamos un interruptor de luz, la carga que acabamos de adquirir se descarga produciendo las chispas. Esto se debe a que, cuando los alambres están colocados adecuadamente, el interruptor está conectado a tierra. Ello significa que las partes externas del interruptor están conectadas por medio de alambres y otros conductores a la Tierra, la cual sirve como un depósito grande de carga. El exceso de carga en nuestro cuerpo se descarga a tierra mediante el interruptor.

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F

+

+

F

+

F

–

–

F

F

–

F

figura 12.5

Cargas iguales se repelen y cargas opuestas se atraen. Los signos más y menos fueron introducidos en el modelo de fluido simple de Franklin.

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236

Capítulo 12

Fenómenos electrostáticos

de uno a otro. Durante la frotación, un cuerpo gana un excedente del fluido, mientras el otro experimenta una deficiencia. El modelo de Franklin era más simple que una teoría anterior que proponía sendas sustancias para los dos tipos de carga. El modelo de Franklin se acerca sorprendentemente a nuestra visión moderna de lo que ocurre durante el proceso de carga. Ahora sabemos que los electrones se transfieren entre los cuerpos cuando se frotan entre sí. Los electrones son partículas pequeñas cargadas negativamente presentes en todos los átomos y, por tanto, en todos los materiales. Un cuerpo cargado negativamente tiene un excedente de electrones y uno cargado positivamente tiene una deficiencia de ellos. Las propiedades atómicas o químicas de los materiales dictan de qué manera fluyen los electrones al frotar cuerpos entre sí. La frotación de diferentes materiales entre sí a veces provoca que la carga eléctrica se mueva de uno a otro. Por tanto, esa carga produce fuerzas electrostáticas de atracción o repulsión entre los cuerpos. Cargas iguales se repelen y cargas opuestas se atraen. Un electroscopio mide de forma consistente el signo y la intensidad de la carga. Según las etiquetas propuestas por Benjamín Franklin, hay dos tipos de carga: positiva y negativa. En el modelo de Franklin, las etiquetas positiva y negativa originalmente significaban, respectivamente, un excedente o una falta de un fluido invisible, pero ahora sabemos que durante la frotación se transfieren electrones con carga negativa de un cuerpo a otro.

12.2 Conductores y aislantes Los experimentos descritos en la sección 12.1 nos dan cierta información básica sobre la fuerza electrostática. No obstante, las propiedades de los materiales también son importantes para entender todo el espectro que abarcan los fenómenos electrostáticos. ¿Por qué las esferas de médula de saúco inicialmente fueron atraídas a la barra, por ejemplo, aun cuando no fueron

cargadas? ¿Por qué las láminas del electroscopio están hechas de metal? La distinción entre aislantes y conductores es una pieza importante del rompecabezas.

¿En qué se diferencian los aislantes de los conductores? Imagina que tocas el electroscopio con una barra de plástico o de vidrio cargada. Las láminas se repelen entre sí. ¿Qué sucede si tocas la esfera de metal de la parte superior del electroscopio con el dedo? Las láminas caen hacia abajo en línea recta de inmediato. Has descargado el electroscopio al tocar la esfera con el dedo (figura 12.6). Pensemos que cargas de nuevo el electroscopio positivamente, tocas la esfera de metal de la parte superior con una barra sin carga hecha de plástico o vidrio. Ello no tendrá efecto alguno en las láminas. No obstante, si tocas la esfera con una barra de metal que hayas sostenido en las manos, las láminas de inmediato caerán hacia abajo. El electroscopio se ha descargado. ¿Cómo podemos explicar estas observaciones? Al parecer, tanto la varilla de metal como tu dedo permiten que la carga fluya de las láminas del electroscopio a tu cuerpo. Tu cuerpo es un depósito natural de carga. Puedes absorber fácilmente la carga del electroscopio sin mucho cambio en tu carga general. Las barras de plástico o de vidrio, por otra parte, no parecen permitir el flujo de la carga del electroscopio a tu cuerpo. La barra de metal y nuestros cuerpos son ejemplos de conductores, materiales por los que la carga puede fluir con facilidad. El plástico y el vidrio son ejemplos de aislantes, materiales que generalmente no permiten el flujo de carga. Al realizar experimentos parecidos usando el electroscopio cargado, podríamos probar muchos otros materiales. Descubriríamos que los metales son buenos conductores, en tanto que el vidrio, el plástico y los materiales no metálicos son buenos aislantes. En la tabla 12.1 se presentan algunos ejemplos de materiales aislantes y conductores.

Metal

Vidrio

figura 12.6

Tocar la esfera de la parte superior de un electroscopio cargado, ya sea con el dedo o con una varilla de metal, hace que el electroscopio se descargue. Tocar un electroscopio cargado con una barra de vidrio sin cargar no produce ningún efecto.

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12.2 Conductores y aislantes

237

tabla 12.1 Algunos conductores, aislantes y semiconductores comunes* Conductores

Aislantes

Semiconductores

cobre

vidrio

silicio

plata

plástico

germanio

acero

cerámica

oro

papel

solución salina

aceite

ácidos

La diferencia en la capacidad de los buenos conductores y los buenos aislantes para conducir carga eléctrica es sorprendentemente grande. La carga fluye con mucha mayor facilidad por varias millas de alambre de cobre que a lo largo de unas cuantas pulgadas de material cerámico usado como aislante para recubrir líneas de transmisión eléctrica. Sin embargo, ciertos materiales, los semiconductores, son intermedios entre un buen conductor y un buen aislante. El silicio es, quizá, el ejemplo más conocido. Una barra de madera se comporta como semiconductor al descargar el electroscopio. Con la cantidad apropiada de humedad en la madera, la barra producirá una lenta descarga del electroscopio. Aun cuando los semiconductores son mucho menos comunes que los buenos conductores o los buenos aislantes, su importancia en la tecnología moderna es enorme. La capacidad de controlar el nivel de conducción de estos materiales al mezclarlos con pequeñas cantidades de otras sustancias ha permitido el desarrollo de aparatos electrónicos miniaturizados como los transistores y los circuitos integrados. La revolución de las computadoras se ha basado en el uso de estos materiales, sobre todo del silicio. En el capítulo 21 estudiaremos los pormenores de este tema.

figura 12.7

La barra cargada negativamente se acerca a la esfera de metal montada sobre un poste aislante, con lo que se produce una separación de las cargas de la esfera.

Carga de un conductor por inducción ¿Puedes cargar un objeto sin tocarlo en lo absoluto con otro objeto cargado? Resulta que sí puedes. El proceso se llama carga por inducción y supone la propiedad de conducción de los metales. Digamos que cargas una barra de plástico con la piel de gato y luego la acercas a una esfera de metal montada en un poste aislante, como en la figura 12.7. Los electrones libres de la esfera serán repelidos por la barra cargada negativamente. Libres para fluir dentro de la esfera, producen una carga negativa (excedente de electrones) en el lado opuesto de la barra y una carga positiva (deficiencia de electrones) en el lado cercano a la barra. La carga general de la esfera de metal sigue siendo cero. Para cargar la esfera por inducción, ahora con el dedo tocas la esfera del lado opuesto a la barra mientras mantienes ésta cerca de la esfera, pero sin tocarla. La carga negativa fluye de la esfera a tu cuerpo, ya que aún está siendo repelida por la car-

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figura 12.8

Al tocar con el dedo el lado opuesto de la esfera de metal retiras la carga negativa y dejas en la esfera una carga neta positiva.

ga negativa en la barra. Si ahora quitas el dedo y luego alejas más la barra (en ese orden), la esfera quedará con una carga neta positiva (figura 12.8). Puedes probar fácilmente este hecho si aproximas la esfera de metal a un electroscopio que ha recibido la carga negativa de la barra de plástico. Las láminas se acercarán entre sí cuando la esfera cargada por inducción se acerque, lo que indica la presencia de carga positiva en esta esfera.

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Capítulo 12

Fenómenos electrostáticos

Para que este experimento funcione es muy importante seguir la secuencia adecuada de pasos. La barra cargada debe mantenerse en su lugar mientras el dedo toca la esfera por el lado opuesto y se retira. Sólo después de que el dedo se ha quitado puedes alejar la barra cargada. La esfera termina con una carga opuesta a la de la barra. Esto también sería válido si hubiéramos usado una barra de vidrio cargada positivamente. Entonces, la esfera de metal terminaría con una carga negativa. El proceso de carga por inducción ilustra la movilidad de las cargas en un objeto conductor como la esfera de metal. El proceso no funcionará con una esfera de vidrio. La carga por inducción es un proceso importante en las máquinas utilizadas para generar cargas electrostáticas y en muchos otros dispositivos prácticos. También explica algunos de los fenómenos asociados con las tormentas eléctricas (véase la página 247).

¿Por qué los aislantes son atraídos a los cuerpos cargados? En nuestros experimentos iniciales con las esferas de médula de saúco notamos que eran atraídas a la barra cargada antes de que tuvieran oportunidad de cargarse ellas mismas (figura 12.2). ¿Cómo explicamos este fenómeno? ¿Qué sucede dentro de un cuerpo aislante cuando se acerca a un cuerpo cargado? A diferencia de las cargas en la esfera de metal, los electrones en la esfera de médula de saúco u otro material aislante no son libres de emigrar del material, pues están unidos a los átomos o moléculas de éste. Dentro de un átomo o molécula, no obstante, las cargas tienen cierta libertad de movimiento. La distribución de la carga dentro del átomo o de la molécula puede cambiar. Sin ahondar en detalles de la estructura atómica, podemos elaborar una idea aproximada de lo que ocurre a la carga de los átomos cuando un material aislante se acerca a un cuerpo cargado. La idea básica se ilustra en la figura 12.9, la cual magnifica la esfera de médula de saúco y exagera en gran medida el tamaño de los átomos. Dentro de cada átomo se presenta una pequeña distorsión de la distribución de la carga. La carga negativa en el átomo es atraída a la barra cargada positivamente y la carga positiva se repele. Cada átomo se ha convertido ahora en un dipolo eléctrico, en el cual el centro, o la posición media, de la carga negativa está separada por una pequeña distancia a partir del centro de la carga positiva. El átomo ahora tiene polos positivo y negativo —de ahí el término dipolo— y el material se ha polarizado. En general, estos dipolos atómicos dentro del material aislante producen una carga ligeramente negativa en la superficie de la esfera de médula de saúco cerca de la barra cargada positivamente y una ligera carga positiva en la superficie opuesta. Las cargas positiva y negativa adyacentes dentro del material se cancelan entre sí. La esfera de médula de saúco misma se vuelve un dipolo eléctrico en presencia de la barra cargada. Como la superficie cargada negativamente está más cerca de la barra que la

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+

+ + + +++ + +

–+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+ –+

figura 12.9

La carga negativa en los átomos es atraída a la barra de vidrio cargada positivamente, en tanto que la carga positiva se repele. Esto produce una polarización de la carga en los átomos. El tamaño de los átomos está sumamente exagerado.

cargada positivamente, experimenta una fuerza electrostática mayor, con el resultado de que la esfera es atraída a la barra cargada. En este punto, la carga general en la esfera de médula de saúco sigue siendo cero. Sin embargo, una vez que la esfera entra en contacto con la barra cargada, parte de la carga de la barra puede transferirse a la esfera, la cual se carga positivamente como la barra. Por tanto, la barra repele las esferas de médula de saúco, como observamos antes. La capacidad de polarizarse es una propiedad importante de los materiales aislantes. La polarización explica por qué pedacitos de papel o de unicel serán atraídos a un objeto cargado como un suéter de tela sintética frotado con otro material (figura 12.10). Los precipitadores electrostáticos usados para eliminar partículas del humo en una columna de humo industrial aprovechan esta propiedad. Las partículas polarizadas son atraídas a placas cargadas en el precipitador, eliminándolas de los gases emitidos.

12.10 Las “virutas” de empaque hechas de espuma de plástico son atraídas a una barra cargada.

figura

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12.3 Fuerza electrostática: la ley de Coulomb

Los experimentos sobre la descarga de un electroscopio muestran que los diferentes materiales varían ampliamente en su capacidad para permitir el flujo de carga eléctrica. La mayoría de los metales son buenos conductores, pero el vidrio, el plástico y muchos otros materiales no metálicos son malos conductores y, por ende, buenos aislantes. Unos cuantos materiales, llamados semiconductores, tienen capacidades intermedias para conducir carga. Los conductores pueden cargarse por inducción sin que otro cuerpo cargado llegue a tocarlos. Los aislantes se polarizan en presencia de cuerpos cargados, lo cual explica por qué son atraídos a los cuerpos cargados.

Alambre delgado

12.3 Fuerza electrostática: la ley de Coulomb Aun cuando no podemos ver la carga eléctrica, podemos observar los efectos de las fuerzas ejercidas sobre los objetos cargados. Las esferas de médula de saúco y las láminas de metal se rehúsan a colgar en línea recta hacia abajo cuando transportan cargas del mismo signo. Una fuerza de repulsión las empuja para separarlas. ¿Podemos describir esta fuerza de manera cuantitativa? ¿Cómo varía con la distancia y la cantidad de carga? ¿Es similar en cierto modo a la fuerza gravitacional? Los científicos exploraron activamente preguntas como éstas en la última parte del siglo xviii. Igual que la fuerza gravitacional, la fuerza electrostática aparentemente estaba presente aun cuando los cuerpos no estaban en contacto, lo que significaba que actuaba a distancia. Aunque otros investigadores ya habían especulado acerca de la forma de la ley de la fuerza, los experimentos de Charles Coulomb (1736-1806) durante la década de 1780 resolvieron el problema al establecer lo que ahora conocemos como ley de Coulomb.

¿Cómo midió Coulomb la fuerza electrostática? A primera vista, la medición de la intensidad de una fuerza como la electrostática podría parecer un ejercicio sencillo. En realidad, no lo es. Aun cuando es mucho más intensa que la fuerza gravitacional existente entre cuerpos de tamaño normal, la fuerza electrostática sigue siendo relativamente débil, así que Coulomb tuvo que desarrollar técnicas para medir fuerzas pequeñas. Además, se enfrentó al problema de definir cuánta carga estaba presente, algo que dista mucho de ser un asunto trivial. La respuesta de Coulomb al problema de medir fuerzas débiles consistió en desarrollar lo que ahora llamamos balanza de torsión (figura 12.11). Dos pequeñas esferas de metal están equilibradas en una varilla aislante suspendida en medio de un alambre delgado. Las esferas y el alambre están contenidos en un recinto con paredes de vidrio para evitar la alteración debido a las corrientes de aire. Una fuerza aplicada a cualquier esfera perpendicular a la varilla produce un momento de torsión que hace que el alambre gire. Si determinamos previamente cuánto momento de torsión se requiere para producir un ángulo de giro específico, tenemos un método para medir las

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239

Recipiente de vidrio

Esferas cargadas + +

12.11 Diagrama de la balanza de torsión de Coulomb. El grado de giro del alambre proporciona una medida de la fuerza de repulsión que hay entre las dos cargas.

figura

fuerzas débiles. Para medir la fuerza electrostática debemos cargar de alguna manera una de las esferas. Una tercera esfera, también cargada, puede insertarse en el extremo de la varilla aislante (figura 12.11). Si tiene el mismo tipo de carga que la esfera en el extremo de la varilla suspendida, las dos cargas se repelerán y el momento de torsión resultante hará girar el alambre. Si ajustamos la distancia entre las dos esferas cargadas podemos medir la intensidad de la fuerza de repulsión a diferentes distancias. El problema de determinar la cantidad de carga colocada en las esferas requirió aún más ingenuidad. Un electroscopio simple da sólo una indicación aproximada de la cantidad de carga presente, y cuando Coulomb realizó su trabajo no se usaba ningún conjunto de unidades o procedimientos para especificar la cantidad de carga. Su solución fue crear un sistema de división de cargas. Empezó con una cantidad desconocida de carga en una sola esfera de metal montada en una base aislante, como en la figura 12.12. Hizo que esta esfera tocara una idéntica montada en una base similar. Razonó que las dos esferas contendrían ahora cantidades iguales de carga (la mitad de la cantidad original en la primera esfera), lo cual se verificó al acercar las esferas a un electroscopio. Si una tercera esfera de metal idéntica tocara una de las primeras dos, la carga se dividiría de nuevo en partes iguales, y esas dos esferas tendrían, cada una, la mitad de la carga de la esfera que no participó en este segundo intercambio. Si contáramos

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240

Capítulo 12

Fenómenos electrostáticos

q1

–F

r

+

q2

+

F

12.13 Dos cargas positivas ejercen fuerzas iguales pero con direcciones opuestas, de acuerdo con la ley de Coulomb y la tercera ley de Newton del movimiento. La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que hay entre las dos cargas.

figura

cuadro de ejemplo 12.2 figura 12.12

Al hacer que dos esferas de metal idénticas entren en contacto, una cargada y la otra inicialmente sin cargar, se obtienen cantidades iguales de carga en las dos esferas.

con otras esferas idénticas, la división de la carga continuaría. Aunque este proceso no ofrece una medida absoluta de la carga, podemos decir con seguridad que una esfera contiene el doble de carga, o tal vez cuatro veces más de carga, que otra. Coulomb utilizó este proceso para probar los efectos de diferentes cantidades de carga en la fuerza electrostática. Si las esferas usadas en la división de la carga fueran idénticas en tamaño a aquella en la balanza de torsión, tocar una de las esferas de la balanza con una de las otras esferas era sólo una división más de la carga. Al usar estos procedimientos, Coulomb podía determinar cómo variaba la intensidad de la fuerza electrostática con la cantidad de carga en cada objeto y la distancia entre los dos objetos cargados.

¿Cuáles fueron los resultados de las mediciones de Coulomb? Los resultados del trabajo de Coulomb pueden establecerse en una relación generalmente conocida como ley de Coulomb: La fuerza electrostática entre dos cuerpos cargados es proporcional a la cantidad de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas, o F=

kq1q2 r2

Dos cargas positivas, una de 2 μC y la otra de 7 μC, están separadas por una distancia de 20 cm. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza electrostática que ejerce cada carga sobre la otra? q1 = 2 μ C

(1 μC = 10−6 C = 1 microcoulomb)

q2 = 7 μ C r = 20 cm = 0.2 m F = ? F =

kq1q2 r2

=

(9.0 × 109 N•m2/C2) (2 × 10−6 C) (7 × 10−6 C) (0.2 m)2

=

0.126 N•m2 0.04 m2

= 3.15 N

Aunque Coulomb mismo utilizó unidades diferentes, ahora en general expresamos la carga en unidades llamadas coulombs (C). Si la distancia se mide en metros, el valor de la constante de Coulomb resulta ser aproximadamente k = 9 × 109 N·m2/C2. El coulomb en sí está determinado por mediciones que suponen la corriente eléctrica estudiada en el capítulo 14. El cálculo de una fuerza usando la ley de Coulomb se muestra en el cuadro de ejemplo 12.2.

.

Aquí la letra q representa la cantidad de carga, k es una constante (llamada constante de Coulomb) cuyo valor depende de las unidades usadas, y r es la distancia entre los centros de las dos cargas. En la figura 12.13 se ilustra la ley de Coulomb. Las fuerzas obedecen la tercera ley de Newton: las dos cargas experimentan fuerzas iguales pero en dirección opuesta. Las dos cargas mostradas son positivas, así que la fuerza es de repulsión, ya que cargas iguales se repelen. Si una carga fuera negativa y la otra positiva, las direcciones de las dos fuerzas se invertirían.

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Ejercicio: cálculo de la fuerza electrostática

Comparación de las leyes de Coulomb y de Newton de la gravedad La fuerza electrostática tiene la misma dependencia del cuadrado inverso en la distancia que la ley de la gravitación de Newton (véase el capítulo 5). Si duplicamos la distancia entre dos cargas, la fuerza entre ellas disminuye a un cuarto de la que era antes de que la distancia se duplicara. Si triplicamos la distancia se producirá una fuerza que es un noveno de la fuerza en distancia original, y así sucesivamente. La intensidad de la interacción entre las dos cargas disminuye rápidamente cuando la distancia entre ellas aumenta.

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12.4 Campo eléctrico

Puesto que la fuerza gravitacional y la electrostática son dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza, resulta interesante compararlas. ¿En qué difieren? Colocar sus expresiones simbólicas lado a lado resalta sus semejanzas y diferencias: Fg =

Gm1m2 kq1q2 y Fe = . r2 r2

Una diferencia obvia es que la fuerza gravitacional depende del producto de las masas de los dos cuerpos, y la fuerza electrostática depende del producto de las cargas de éstos, en lo demás, las formas de estas dos fuerzas son similares. Una diferencia más sutil consiste en la dirección. La fuerza gravitacional siempre es atractiva. Hasta donde sabemos, no existe una masa negativa. La fuerza electrostática, por otro lado, puede ser de atracción o de repulsión, según los signos de las dos cargas. La regla de que cargas iguales se repelen y cargas distintas se atraen determina la dirección. Otra diferencia se relaciona con las intensidades de estas dos fuerzas. Para cuerpos de tamaño ordinario y partículas subatómicas, la fuerza gravitacional es mucho más débil que la fuerza electrostática. Al menos uno de los cuerpos debe tener una masa enorme (como la Tierra) para producir una fuerza gravitacional significativa. Para las partículas cargadas en el nivel atómico o subatómico, la fuerza electrostática es mucho más importante que la gravitacional, que es más débil. Es la fuerza electrostática la que mantiene a los átomos unidos y une un átomo a otro en los líquidos y los sólidos. Aunque las formas básicas de estas dos leyes de fuerzas se han conocido durante más de 200 años, los físicos aún tratan de comprender las razones subyacentes para las intensidades relativas de éstas y otras fuerzas fundamentales de la naturaleza. La búsqueda de una teoría del campo unificado que explique las relaciones entre todas las fuerzas fundamentales es un área importante de investigación en la física teórica moderna (véase el capítulo 21). Algunos de los estudiantes que leen esta obra ahora desempeñarán, sin duda, papeles importantes en esta búsqueda. Charles Coulomb diseñó una balanza de torsión para medir la intensidad de la fuerza electrostática entre dos cargas. Encontró que la fuerza es proporcional al tamaño de cada carga e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La ley de Coulomb tiene una forma muy parecida a la ley de Newton de la gravitación, que describe la fuerza entre dos masas. No obstante, la fuerza gravitacional siempre es de atracción, y en general es mucho más débil que la electrostática.

12.4 Campo eléctrico La ley de Coulomb nos dice cómo determinar la fuerza entre dos cuerpos cargados si éstos son pequeños comparados con la distancia que los separa. Estas fuerzas actúan a cierta dis-

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241

tancia; las cargas no tienen que estar en contacto para que se ejerza la fuerza. ¿La presencia de la carga eléctrica modifica de alguna forma el espacio que rodea la carga? ¿Cómo podemos describir los efectos de una distribución grande de cargas sobre otra carga? El concepto de campo eléctrico describe el efecto de una distribución de las cargas como ésta sobre otra carga individual. La utilidad de la idea de campo la ha convertido en un concepto central en la física teórica moderna. Para la mayoría de nosotros, la palabra campo sugiere un campo de trigo o un prado lleno de flores silvestres. El concepto de campo eléctrico en la física es un tanto más abstracto. Un ejemplo que involucra sólo algunas cargas puede ayudar a presentar las ideas.

Cálculo de la fuerza ejercida por varias cargas A partir de la ley de Coulomb podemos determinar la magnitud de la fuerza electrostática que hay entre dos cuerpos cargados. Si los cuerpos son pequeños en comparación con la distancia que los separa, los llamamos cargas puntuales. Si hay más de dos cargas puntuales, podemos calcular la fuerza neta sobre cualquiera de ellas sumando (como vectores) las fuerzas debidas a cada una de las otras cargas. En la primera parte del cuadro de ejemplo 12.3, calculamos la fuerza sobre una carga q0 ejercida por otras dos cargas para la situación mostrada, donde la carga q0 se halla entre las cargas q1 y q2. Las fuerzas resultantes se suman vectorialmente para obtener la fuerza neta sobre q0. Las fuerzas debidas a cada una de las demás cargas debe calcularse por separado con base en la ley de Coulomb (véase el cuadro de ejemplo 12.2 para obtener detalles de este proceso). Observa que la fuerza F1 sobre la carga q0 ejercida por la carga q1 es considerablemente mayor que la fuerza F2 ejercida por q2, principalmente porque q2 está más lejos de q0 que q1. La fuerza electrostática descrita por la ley de Coulomb es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las dos cargas. Las dos fuerzas que actúan sobre q0 están en direcciones opuestas, con lo que se produce una fuerza neta de 9 N en la dirección de la fuerza mayor.

¿Qué es un campo eléctrico? Piensa que queremos saber la fuerza sobre alguna otra carga colocada en el mismo lugar que q0. ¿Tendríamos que usar la ley de Coulomb de nuevo, calcular las fuerzas debidas a cada una de las otras cargas y sumarlas como hicimos en el cuadro de ejemplo 12.3? Hay una forma más fácil de hacerlo, la cual supone el concepto de campo eléctrico. Imagina la carga q0 como una carga de prueba que se ha insertado en este lugar específico para calcular la intensidad del efecto electrostático en ese punto. Por la naturaleza de la ley de Coulomb, la fuerza sobre esta carga de prueba será proporcional a la magnitud de la carga seleccionada. Si dividimos la fuerza neta entre la magnitud de la carga de prueba, obtenemos la fuerza por unidad de carga en esta posición (véase la segunda parte del ejercicio en el cuadro de ejemplo 12.3.)

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242

Capítulo 12

Fenómenos electrostáticos

cuadro de ejemplo 12.3 Ejercicio: un campo eléctrico Dos cargas puntuales con cargas q1 = 3 μC y q2 = 2 μC están separadas por una distancia de 30 cm, como se muestra en el dibujo. Una tercera carga, q0 = 4 μC, se coloca entre las dos cargas iniciales a 10 cm de q1. Por la ley de Coulomb, la fuerza ejercida por q1 sobre q0 es de 10.8 N, y la fuerza ejercida por q2 sobre q0 es de 1.8 N. q1

+

F1 = 10.8 N

q0

+

q2

F2 = 1.8 N

10 cm

+

20 cm

a) ¿Cuál es la fuerza electrostática neta que actúa sobre la carga q0? b) ¿Cuál es el campo eléctrico (fuerza por unidad de carga) en el lugar donde se encuentra la carga q0 debido a las otras dos cargas? a)

F 1 = 10.8 N a la derecha Fneta = F1 − F2 F 2 = 1.8 N a la izquierda F neta = ?

b) E = ?

= 10.8 N − 1.8 N = 9N

F neta = 9 N a la derecha Fneta E = q0 =

9N 4 × 10−6 C

= 2.25 × 106 N/C E = 2.25 × 106 N/C a la derecha

Conocer la fuerza por unidad de carga nos permite calcular la fuerza sobre cualquier otra carga colocada en el mismo punto. El uso de la fuerza por unidad de carga como medida de la intensidad del efecto electrostático en un punto en el espacio es la base del concepto de campo eléctrico. De hecho, definimos el campo eléctrico como El campo eléctrico en un punto en el espacio es la fuerza eléctrica por unidad de carga positiva que se ejercería sobre una carga si se colocara en ese punto. Fe E = q Se trata de un vector que tiene la misma dirección que la fuerza sobre una carga positiva colocada en ese punto.

El símbolo E representa el campo eléctrico.

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En otras palabras, la razón Fneta/q0 que calculamos en el cuadro de ejemplo 12.3 es la magnitud del campo eléctrico en ese punto. Por tanto, podemos usar el campo para hallar la fuerza sobre cualquier otra carga colocada en ese punto si multiplicamos la carga por el campo eléctrico, Fe = qE. Si la carga resulta negativa, el signo menos indica que la dirección de la fuerza sobre ella es opuesta a la dirección del campo. La dirección del campo eléctrico en cualquier punto en el espacio es la dirección de la fuerza que se ejercería sobre una carga positiva colocada en ese punto. Ten en mente que el campo eléctrico y la fuerza electrostática no son iguales. Podemos hablar acerca del campo en un punto del espacio incluso si no hay carga en ese punto. El campo indica la magnitud y la dirección de la fuerza que se ejercería sobre cualquier carga colocada en ese punto. Debe haber una carga si hay una fuerza, pero el campo existe independientemente de que haya una carga en ese punto o no. El campo eléctrico puede existir incluso en el vacío. Cuando usamos el concepto de campo, desplazamos nuestra atención de las interacciones entre las partículas o los objetos a la forma en que un objeto cargado afecta el espacio que lo rodea. El concepto de campo no está restringido a la electrostática. También podemos definir un campo gravitacional o uno magnético, entre otros.

¿Cómo se usan las líneas del campo eléctrico? El concepto de campo eléctrico fue introducido formalmente por James Clerk Maxwell (1831-1879) alrededor de 1865 como parte de su teoría sumamente fructífera del electromagnetismo. Esta idea ya había sido utilizada de modo informal por Michael Faraday (1791-1867), quien desarrolló el concepto de lo ahora llamamos líneas de campo como una ayuda en la visualización de los efectos eléctricos y magnéticos. Faraday no estudió matemáticas pero era un experimentalista brillante que usó bien las imágenes mentales. Para ilustrar las líneas de campo, podemos usar una carga positiva de prueba a fin de evaluar la dirección y la intensidad del campo en varios puntos alrededor de una sola carga positiva. Encontraremos que la carga positiva original repele a la carga de prueba siempre que la colocamos alrededor de ella. Si trazamos líneas para indicar la dirección de la fuerza sobre la carga de prueba (que también es la dirección del campo), obtenemos un dibujo como el de la figura 12.14. La figura 12.14 es sólo una parte bidimensional de un fenómeno tridimensional. Las líneas del campo eléctrico asociadas con una sola carga positiva se irradian en todas direcciones a partir de la carga. Si además adoptamos la convención de que siempre comenzamos las líneas en las cargas positivas y las terminamos en las negativas, la densidad de las líneas del campo es proporcional a la intensidad de éste. Cuanto más juntas se hallen las líneas del campo, más intenso será éste. Las líneas del campo son un medio de visualizar tanto la dirección como la intensidad del campo. En la figura 12.15

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12.5 Potencial eléctrico

243

E

F

+

q0

–

+

+

12.16 Las líneas del campo eléctrico asociadas con dos cargas iguales pero de signo opuesto (un dipolo eléctrico).

figura

12.14 La dirección de las líneas del campo eléctrico alrededor de una carga positiva pueden hallarse imaginando una carga positiva de prueba q0 colocada en varios puntos alrededor de la carga de origen. El campo tiene la misma dirección que la fuerza en una carga positiva de prueba.

figura

E

+

se muestra una parte bidimensional de las líneas del campo eléctrico asociadas con una carga negativa. Aquí las líneas del campo terminan en la carga y deben estar dirigidas hacia dentro para indicar la dirección apropiada de la fuerza sobre una carga positiva de prueba. Como ejemplo final, considera las líneas del campo asociadas con el dipolo eléctrico de la figura 12.16. Un dipolo eléctrico son dos cargas de igual magnitud pero de signo opuesto, separadas por una distancia pequeña. Las líneas del campo se originan en la carga positiva y terminan en la negativa. Imagina una carga positiva de prueba colocada en varios puntos alrededor del dipolo. ¿Las líneas del campo concuerdan con tus expectativas para la dirección correcta de la fuerza sobre la carga de prueba? Ésta es la prueba del ácido para cualquier diagrama de líneas de campo.

q0

F

–

El concepto de campo eléctrico centra nuestra atención en cómo el espacio que rodea una carga eléctrica se ve afectado por ella. El campo se define como la fuerza por unidad de carga que se ejercería sobre una carga de prueba colocada en algún punto en el espacio en la vecindad de las cargas de origen. La dirección del campo eléctrico es la misma que la de la fuerza sobre una carga positiva de prueba colocada en ese punto en el espacio. El campo es un concepto útil para tratar los efectos de muchas cargas puntuales sobre alguna otra carga. Las líneas del campo eléctrico pueden utilizarse para visualizar esos efectos.

12.5 Potencial eléctrico

12.15 Las líneas del campo eléctrico asociadas con una carga negativa están dirigidas hacia dentro, como indica la fuerza sobre una carga positiva de prueba, q0.

figura

GRIFFITH 12.indd 243

En el capítulo 6 definimos la energía potencial asociada con la fuerza gravitacional, así como la energía potencial de un resorte. ¿Podemos definir la energía potencial de una partícula cargada sobre la que se ejerce una fuerza electrostática? La electrostática es una fuerza conservativa, lo que significa que podemos definir una energía potencial electrostática. Esta energía potencial conduce al concepto relacionado de

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244

Capítulo 12

Fenómenos electrostáticos

potencial eléctrico, con frecuencia conocido simplemente como voltaje. El voltaje es conocido porque lo usamos para estudiar las baterías y los circuitos domésticos. ¿Qué es el voltaje y cómo se relaciona con la energía potencial electrostática?

Cálculo del cambio en la energía potencial de una carga Para ver cómo cambia la energía potencial de una carga con la posición, el caso más sencillo de considerar es una partícula cargada que se mueve en un campo eléctrico uniforme. En él, las líneas del campo eléctrico son paralelas y están espaciadas regularmente. El campo no varía en dirección o intensidad a medida que nos movemos de un punto a otro dentro de la región donde existe: es constante dentro de ella. ¿Qué hacemos para producir un campo eléctrico uniforme? Dos placas de metal paralelas con cargas opuestas, acomodadas como en la figura 12.17, sirven para lograrlo. Si una placa está cargada positivamente y la otra tiene una carga negativa igual, las líneas del campo son líneas rectas que se originan en las cargas positivas y terminan en las negativas, como se muestra. Puedes probar esta conclusión tú mismo al pensar en la fuerza sobre una carga positiva de prueba colocada entre las dos placas, como hicimos en la sección 12.4. Dos conductores separados por un material aislante como el aire representan un medio útil de almacenar la carga. Si los dos conductores tienen cargas de signo opuesto, esas cargas se mantienen en su lugar debido a la fuerza electrostática de atracción entre las cargas en las placas opuestas. Llamamos a este arreglo un condensador (o capacitor), el cual es básicamente un dispositivo para almacenar carga. Los condensadores tienen muchas aplicaciones, en particular en los circuitos eléctricos. Piensa que ahora colocamos una carga positiva en la región del campo uniforme entre las dos placas del condensador de placas paralelas. Esa carga experimentará una fuerza electrostática en la dirección del campo eléctrico. Será atraída hacia las cargas negativas en la placa inferior y será repelida por las cargas positivas en la placa superior. Si liberamos la carga, se acelera hacia la placa inferior. (Esta aceleración no guarda

+

+

+ +

+ +

+ +

+

ninguna relación con la gravedad. Podemos suponer que la fuerza gravitacional sobre la partícula cargada es muy pequeña comparada con la fuerza electrostática.) Si aplicamos una fuerza externa para mover la carga en la dirección opuesta al campo eléctrico, como en la figura 12.18, esa fuerza externa realiza un trabajo sobre la carga. Ese trabajo aumenta la energía potencial de la carga (véase el capítulo 6). El proceso es parecido a lo que ocurre cuando levantamos un cuerpo contra la fuerza gravitacional o tiramos de una cuerda de arco realizando un trabajo contra la fuerza elástica. Realizar trabajo contra una fuerza conservativa aumenta la energía potencial del sistema. Para mover la carga sin acelerarla, la fuerza externa debe ser igual en magnitud pero opuesta en dirección a la fuerza electrostática, de modo que la fuerza neta que actúa sobre la carga es cero. La fuerza electrostática que actúa sobre la carga es igual en magnitud a la carga por el campo eléctrico (qE); en consecuencia, la fuerza externa también debe tener esa magnitud. El trabajo realizado por la fuerza externa es qEd, la fuerza por la distancia, y esto es igual al aumento en la energía potencial de la carga (ΔEP = qEd). Lo que estamos describiendo aquí se asemeja a usar una fuerza externa para levantar un cuerpo contra la fuerza de gravedad, con lo que aumentamos su energía potencial gravitacional (figura 12.19). La energía potencial gravitacional siempre crece cuando levantamos un cuerpo, pero la dirección del aumento de la energía potencial electrostática depende de la dirección del campo eléctrico. Si colocamos la placa cargada positivamente abajo, de modo que la dirección del campo sea

+

+

+

d

–

– –

– –

–

–

12.17 Dos placas de metal paralelas que contienen cargas iguales pero de signo opuesto producen un campo eléctrico uniforme en la región que hay entre ellas.

figura

GRIFFITH 12.indd 244

–

–

F

E

– –

+

+

q

–

+

+ qE

–

–

12.18 Una fuerza externa F, igual en magnitud a la fuerza electrostática qE, se usa para mover la carga q una distancia d en un campo uniforme.

figura

24/10/07 10:22:43

12.5 Potencial eléctrico

+

m

d F q

+

F m

qE

mg

ΔPE = W = Fd

12.19 El aumento en la energía potencial cuando una carga q se mueve contra la fuerza electrostática es análoga a lo que ocurre cuando una masa m se levanta contra la fuerza gravitacional.

figura

ascendente, la energía potencial de la carga positiva aumentará cuando movamos la carga hacia abajo. Siempre que se realiza un trabajo para mover una particula cargada contra la dirección en que la fuerza electrostática normalmente tendería a moverse, aumentamos su energía potencial. Por ejemplo, si movemos una partícula cargada negativamente alejándola de una partícula cargada positivamente, aumentamos la energía potencial del sistema. Como comprimir un resorte, el incremento en la energía potencial puede convertirse sin problema en energía cinética si liberamos la carga negativa y le permitimos que se acelere hacia la carga positiva.

¿Qué es el potencial eléctrico? ¿Cómo se relaciona el potencial eléctrico con el voltaje o la energía potencial? El potencial eléctrico se relaciona con la energía potencial de forma muy parecida a como un campo eléctrico se relaciona con la fuerza electrostática. Podemos considerar la carga positiva que se mueve en la figura 12.18 como una carga de prueba usada para determinar cómo varía la energía potencial con la posición. El cambio en el potencial eléctrico se define como El cambio en el potencial eléctrico es igual al cambio en la energía potencial electrostática por unidad de carga positiva, o ΔV =

ΔPE . q

El símbolo V representa el potencial eléctrico (voltaje). Como puedes ver a partir de esta ecuación, las unidades del potencial eléctrico son las mismas que las de la energía por unidad de carga. En el sistema métrico, esta unidad se llama volt (V), que se define como 1 joule por coulomb (1 J/C = 1 V). La unidad y el término voltaje indican el símbolo V generalmente usado para el potencial eléctrico. Igual que el campo eléctrico, no es necesario que esté presente una carga para hablar acerca del potencial eléctrico en un

GRIFFITH 12.indd 245

245

punto en el espacio. El cambio en el potencial eléctrico a medida que nos movemos de un punto a otro es igual al cambio en la energía potencial por unidad de carga positiva que ocurriría si se moviera una carga positiva entre esos dos puntos. En otras palabras, para hallar el cambio en la energía potencial de una carga como ésta, multiplicaríamos el cambio en el potencial eléctrico por la magnitud de la carga, ∆EP = q∆V. El potencial eléctrico y la energía potencial guardan una estrecha relación, pero no son lo mismo. Si la carga q fuera negativa, su energía potencial disminuiría cuando se moviera en la dirección del potencial eléctrico creciente. Lo mismo que con la energía potencial gravitacional, es el cambio en la energía potencial electrostática lo que es significativo en vez de un valor específico de la energía potencial. Para establecer un valor específico de la energía potencial electrostática o bien, del potencial eléctrico, definimos un punto de referencia en donde el potencial es cero. Otros valores de la energía potencial se definen a partir de esa posición. En el cuadro de ejemplo 12.4 se presenta un ejemplo numérico que consiste en el cálculo del potencial eléctrico. En la figura 12.20 se ilustra la situación expuesta en el cuadro de ejemplo 12.4. La energía potencial de la carga aumenta 0.15 J a medida que la carga se mueve de la placa inferior a la superior del condensador de placas paralelas. Como la carga es positiva, puede servir como una carga de prueba, de modo que podemos calcular el cambio en el potencial eléctrico, lo que conduce a un cambio en el potencial de 30 V. Si elegimos

cuadro de ejemplo 12.4 Ejercicio: cálculo del potencial eléctrico Un campo eléctrico uniforme de 1000 N/C se establece entre dos placas de metal con carga opuesta. Una partícula con una carga de +0.005 C se mueve de la placa inferior (cargada negativamente) a la superior. (Imagina que hay una cuerda atada a la carga y que con ella se tira de ésta hacia arriba.) La distancia entre las placas es de 3 cm. a) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial de la carga? b) ¿Cuál es el cambio en el potencial eléctrico de la placa inferior a la superior? a) E = 1000 N/C ΔPE = W = Fd q = 0.005 C

= qEd

d = 3 cm

= (0.005 C)(1000 N/C)(0.03 m)

ΔPE = ?

= 0.15 J

b) ΔV = ?

ΔV = =

ΔPE q 0.15 J 0.005 C

= 30 V

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246

Capítulo 12

Fenómenos electrostáticos

+

+

+

+

+

+

+

V = 30 V

3 cm

+

E = 1000 N/C Fext

–

figura 12.20

–

–

–

+

–

–

–

–

V=0V

Una carga positiva se mueve de la placa inferior a la superior mediante una fuerza externa.

un valor de referencia de 0 V para la placa inferior, la placa superior tendría un potencial de 30 V. A mitad del camino entre las dos placas, el potencial eléctrico sería de 15 V. El potencial eléctrico crece de manera continua de 0 V a 30 V de la placa inferior a la superior. 20 V

¿Cómo se relacionan el potencial eléctrico y el campo eléctrico?

15 V

En el caso de un campo eléctrico uniforme, hay una relación simple entre la magnitud del campo eléctrico y el cambio en el potencial eléctrico. Como ΔEP = qEd para este caso, y por definición la diferencia en el potencial eléctrico es ΔV = ΔEP/q, al dividir ΔEP entre q obtenemos: ΔV = Ed Sin embargo, en la figura 12.20 el aumento en el potencial eléctrico ocurre en dirección opuesta a la del campo, ya que la energía potencial de una carga positiva aumenta cuando nos movemos contra el campo. Esta relación simple entre E y ΔV sólo es válida para un campo uniforme. Si la intensidad del campo varía con la posición, el cálculo es más complejo y se encuentran diferentes relaciones. En muchas situaciones prácticas, no obstante, el campo es más o menos uniforme. De hecho, como E = ΔV/d en este caso, con frecuencia expresamos el valor de la intensidad del campo en unidades de volts por metro (V/m), que es igual a newtons por coulomb (N/C). El potencial eléctrico siempre aumenta con mayor rapidez en la dirección opuesta al campo eléctrico. Para el campo asociado con una carga positiva, por ejemplo, el potencial eléctrico crece a medida que te mueves hacia la carga, y las líneas del campo se irradian hacia fuera a partir de ésta. En la figura 12.21 se representa el campo eléctrico para una carga positiva con algunos valores de potencial eléctrico indicados a diferentes distancias de la carga. El nivel de referencia en este caso se define igualando a cero el potencial eléctrico a una distancia infinita de la carga.

GRIFFITH 12.indd 246

+

10 V

5V

12.21 El potencial eléctrico (representado por las líneas punteadas de potencial constante) aumenta a medida que nos acercamos a una carga positiva.

figura

En cualquier situación, siempre podemos determinar cómo varía el potencial eléctrico si imaginamos qué sucedería a una carga positiva de prueba que se moviera dentro del campo eléctrico de marras. El potencial eléctrico siempre aumenta a medida que nos movemos hacia las cargas positivas desde las negativas, ya que la energía potencial de una carga positiva se incrementa en tales condiciones. Una carga positiva se mueve hacia regiones de potencial eléctrico inferior, con lo que disminuye su energía potencial mientras gana energía cinética, de forma muy similar a una piedra que cae. Una tormenta eléctrica (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 12.1) brinda varios ejemplos asombrosos de este proceso.

24/10/07 10:22:44

247

12.5 Potencial eléctrico

fenómenos cotidianos

cuadro 12.1

Relámpagos +

Situación. Todos hemos observado la impresionante belleza y poder de una buena tormenta eléctrica. Los relámpagos, seguidos por intervalos variados de truenos, pueden ser fascinantes y aterradores. ¿Qué es un relámpago? ¿Cómo pueden los truenos producir las impresionantes descargas eléctricas que vemos? ¿Qué sucede en una tormenta eléctrica?

+ +

+

+ + +

+ + + +

– – – – – – – – –

++

Los relámpagos iluminan el área. ¿Qué son los relámpagos y cómo se producen?

Análisis. La mayoría de los truenos genera una separación de carga dentro de la nube, lo que produce una carga neta positiva cerca de la parte superior de la nube y una carga neta negativa cerca de la parte inferior. La convección, muy turbulenta, que ocurre en la nube separa y transporta la carga: los truenos se componen de columnas de aire y agua que suben y caen rápidamente, con celdas de aire ascendente en contacto con celdas de aire y agua descendentes. La separación de cargas en un trueno produce campos eléctricos intensos en la nube, así como entre ella y la Tierra. Como el suelo húmedo es un conductor razonablemente bueno, una carga positiva se induce en la superficie de la Tierra debajo de la nube debido a la carga negativa que hay en su parte inferior. El campo eléctrico generado por esta distribución de carga (representada en el dibujo) puede ser de varios miles de volts por metro. En general, como la base de la nube flota a cientos de metros sobre la superficie de la Tierra, ¡la diferencia de potencial entre ella y la Tierra puede medir fácilmente varios millones de volts! (Incluso durante un buen clima, hay un campo eléctrico de algunos cientos de volts por metro en la atmósfera, cerca de la superficie de la Tierra. Sin embargo, este campo es más débil y la dirección opuesta a lo que suele generarse entre la nube y la Tierra en una tormenta eléctrica.) ¿Qué pasa cuando caen los relámpagos? El aire seco es un buen aislante, pero el aire húmedo conduce la electricidad con mayor facilidad.

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++ +

+ ++ +

+ ++ ++

+

+ +

+

– – –

+ +

+

– –

++

+

+

+

La distribución de cargas dentro de un trueno induce una carga positiva sobre los cuerpos en la Tierra que están directamente debajo de la nube.

No obstante, cualquier material conducirá si el voltaje a través del material es lo suficientemente grande. El voltaje muy grande entre la base de la nube y la Tierra crea un flujo inicial de carga (llamado líder) junto con una trayectoria que ofrece las propiedades que conducen mejor sobre la distancia más corta. Este líder calienta el aire e ioniza (elimina electrones de) algunos de los átomos a lo largo de la trayectoria. Como los átomos ionizados están cargados, mejoran la capacidad del aire para conducir a lo largo de la trayectoria que marca el líder, y un flujo mucho mayor de carga puede proceder. Todas las descargas eléctricas siguientes ocurren muy rápidamente a lo largo de esta misma trayectoria de conducción, aumentando cada una la conductividad a lo largo de la trayectoria. Una descarga o flujo muy grande ocurre entre la Tierra y la nube en un periodo muy breve. El calentamiento y la ionización del aire por la descarga producen el relámpago que vemos. La onda sonora que escuchamos como trueno se produce al mismo tiempo, pero tarda más en llegar a nosotros porque el sonido viaja a una rapidez mucho menor que la luz. Un árbol grande o una persona parada en la parte superior de una colina sin árboles proporcionan trayectorias favorables para una descarga de relámpagos. Pararse bajo un árbol aislado durante una tormenta eléctrica resulta, por tanto, peligroso. Lo mejor que puedes hacer es estar dentro de un edificio o automóvil, pero si estás afuera, busca un lugar que no esté cerca del objeto conductor más alto en tu vecindad inmediata. Elige un lugar bajo (y de preferencia seco) y agáchate.

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248

Capítulo 12

Fenómenos electrostáticos

en la energía potencial por unidad de carga. El potencial eléctrico de una carga positiva crece cuando mueves ésta más cerca de otras cargas positivas, pues ello incrementa su energía potencial. La tendencia normal de las cargas positivas es moverse a regiones de menor potencial eléctrico.

La energía potencial de una carga positiva aumenta cuando aplicamos una fuerza externa para mover la carga en una dirección opuesta al campo eléctrico. El trabajo realizado es igual al aumento en la energía potencial. Un cambio en el potencial eléctrico (también llamado voltaje) se define como el cambio

resumen La curiosidad respecto a los fenómenos electrostáticos simples nos lleva a la descripción de la fuerza electrostática y la ley de Coulomb. La diferencia entre los conductores y los aislantes, y los conceptos de campo eléctrico y potencial eléctrico también son importantes en la explicación de la variedad de fenómenos electrostáticos que observamos.

de la carga eléctrica. Al frotar diferentes materia1lesEfectos entre sí se separa una cantidad que llamamos carga eléctrica, la

3

Fuerza electrostática: la ley de Coulomb. Mediante experimentos detallados con su balanza de torsión, Coulomb pudo mostrar que la fuerza electrostática que dos cuerpos cargados ejercen entre sí es proporcional al producto de las dos cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que las separa. –F

q1

q2

r

+

cual es capaz de ejercer una fuerza sobre otras cargas. Existen dos tipos de carga, positiva y negativa, que siguen el modelo del fluido simple introducido por Benjamin Franklin. Cargas iguales se repelen y cargas diferentes se atraen.

+

F

kq1q2 F= _ r2

eléctrico. El campo eléctrico se define como la 4fuerzaCampo eléctrica por unidad de carga positiva de prueba que se ejercería si una carga estuviera presente en un punto en el espacio. El conocimiento del campo en algún punto nos permite calcular la fuerza de cualquier carga colocada en ese punto. Las líneas del campo nos ayudan a visualizar el campo eléctrico. –F

+

F

+

q

+

F

E

F = qE

Conductores y aislantes. Los distintos materiales va2rían mucho 5 Potencial eléctrico. El potencial eléctrico se define como en su capacidad para permitir el flujo de carga. Estas la energía potencial por unidad de carga positiva que existiría en aldiferencias entre los conductores y los aislantes ayudan a explicar por qué la carga por inducción funciona y por qué los pedazos de papel sin carga (u otros aislantes) son atraídos a los objetos cargados.

– – –

+ + +

gún punto en el espacio si hubiera una carga ahí. También se le llama voltaje, y sus unidades son los volts. El cambio en la energía potencial de una carga puede determinarse calculando el trabajo realizado para mover la carga contra la fuerza electrostática. ΔV V2

Fext

V1

+

qE

E

q W = ΔEP = q ΔV

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249

Preguntas

conceptos clave carga eléctrica, 234 fuerza electrostática, 234 electrones, 236 conductores, 236 aislantes, 236 semiconductores, 237

líneas de campo, 242 condensador, 244 potencial eléctrico, 245 voltaje, 245 ioniza, 247

inducción, 237 dipolo eléctrico, 238 polarizado, 238 ley de Coulomb, 240 campo eléctrico, 241

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. Cuando dos materiales diferentes se frotan entre sí, ¿los dos adquieren el mismo tipo de carga o diferentes tipos? Explica cómo justificarías tu respuesta con un experimento simple. P2. Dos esferas de médula de saúco se cargan por contacto con una barra de plástico que se ha frotado con piel de gato. a) ¿Qué signo tendrán las cargas en las esferas de médula de saúco? Explica por qué. b) ¿Las dos esferas de médula de saúco se atraen o se repelen entre sí? Explica por qué. P3. Cuando una barra de vidrio se frota con una tela de nylon, ¿cuál de estos dos objetos gana electrones? Explica por qué. P4. Dos esferas de médula de saúco se cargan por contacto, una con una barra de vidrio que se ha frotado con una tela de nylon y la otra con la tela misma. a) ¿Qué signo tendrá la carga en cada esfera? Explica por qué. b) ¿Las dos esferas se atraen o repelen entre sí? Explica por qué. P5. ¿Las dos láminas de metal de un electroscopio ganan cargas de signo opuesto cuando el aparato se carga? Explica por qué. P6. Si cargas un electroscopio con una barra de plástico que se ha frotado con piel de gato, ¿las láminas de metal se alejarán más o se acercarán más entre sí cuando lleves la piel del gato cerca de la esfera del aparato? Explica por qué. P7. Cuando te peinas con un peine de plástico, ¿cuál será el signo en la carga adquirida por el peine? Explica por qué. (Pista: compara este proceso con el frotamiento de una barra de plástico con piel de gato.) *P8. Describe cómo el modelo del fluido simple de Benjamín Franklin puede explicar qué sucede cuando cargamos una barra de vidrio frontándola con una tela de nylon. ¿Cómo obtenemos dos tipos de carga de un fluido simple? Explícalo. P9. Si tocas la esfera de metal de un electroscopio cargado con una barra de vidrio sin cargar sostenida en tu mano, ¿el electroscopio se descarga por completo? Explica por qué.

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P10. Si tocas con el dedo la esfera de un electroscopio cargado, ¿se descargará? ¿Qué indica esto respecto a las propiedades conductoras de las personas? Explícalo. P11. Cuando una esfera de metal se carga por inducción usando una barra de plástico cargada negativamente, ¿cuál es el signo de la carga adquirida por la esfera? Explica por qué. *P12. Si, cuando cargamos por inducción, retiras la barra cargada de la vecindad de la esfera de metal antes de mover tu dedo de la esfera, ¿qué pasará? ¿La esfera terminará cargándose? Explica por qué. P13. ¿Los pedazos de papel serán atraídos a una barra cargada incluso si no tienen carga neta? Explica por qué. *P14. ¿Por qué las esferas de médula de saúco inicialmente son atraídas a una barra cargada y posteriormente son repelidas por la misma barra, aun cuando no hayan tocado a ningún otro objeto cargado? Explícalo. P15. ¿El concepto de momento de torsión interviene en la operación de la balanza de torsión de Coulomb? Explica por qué. P16. Si tuviste varias esferas de metal idénticas montadas sobre bases aislantes, explica cómo podrías obtener una cantidad de carga en la esfera que mide cuatro veces la cantidad en la otra esfera. P17. Si la distancia entre dos objetos cargados se duplica, ¿la fuerza electrostática será aquella que un objeto ejerce sobre el otro reducida a la mitad? Explica por qué. P18. Si dos cargas se duplican en magnitud sin cambiar la distancia entre ellas, ¿la fuerza que una carga ejerce sobre la otra también se duplicará? Explica por qué. P19. ¿Pueden tanto la fuerza electrostática como la gravitacional ser ya sea de atracción o de repulsión? Explica por qué. *P20. Dos cargas, de igual magnitud pero signo opuesto, yacen a lo largo de una línea como se muestra en el diagrama. Con flechas, indica las direcciones del campo eléctrico en los puntos A, B, C y D mostrados en el diagrama. C

–q

–

A

q

+

B

D

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250

Capítulo 12

Fenómenos electrostáticos

P21. ¿Es posible que haya un campo eléctrico en algún punto en el espacio donde no haya carga? Explica por qué.

P25. Si aproximamos una carga positiva a una negativa, ¿la energía potencial de la carga positiva aumenta o disminuye? Explica por qué.

*P22. Si cambiamos la carga negativa en el diagrama de la pregunta 20 a una carga positiva de la misma magnitud, ¿cuál son las direcciones del campo eléctrico en los puntos A, B, C y D? (Indícalo con flechas.)

P26. Si movemos una carga negativa hacia una segunda carga negativa, ¿la energía potencial de la primera carga aumenta o disminuye? Explica por qué.

*P23. Tres cargas positivas iguales se localizan en las esquinas de un cuadrado, como en el diagrama. Usando flechas, indica la dirección del campo eléctrico en los puntos A y B del diagrama.

P27. Si una carga negativa se mueve en la misma dirección que las líneas del campo eléctrico en alguna región de espacio, ¿la energía potencial de la carga negativa aumenta o disminuye? Explica por qué.

A

P28. ¿El potencial eléctrico aumenta o disminuye a medida que nos movemos hacia una carga negativa? Explica por qué.

q

+

+

q

P29. ¿El potencial eléctrico es lo mismo que la energía potencial eléctrica? Explica por qué. B

q

+

P24. ¿El campo eléctrico producido por una sola carga positiva es uniforme? Explica por qué.

*P30. En el dibujo de la pregunta 20, ¿cuál punto, B o C, tendrá el mayor potencial eléctrico? Explica por qué. P31. ¿Una particula cargada negativamente, inicialmente en reposo en un campo eléctrico, tiende a moverse hacia una región de potencial eléctrico inferior si se libera? Explica por qué. P32. ¿Sería más probable que te cayera un rayo si te paras en una plataforma hecha de un buen aislante eléctrico que si te paras en el suelo? Explica por qué.

ejercicios E1. Un electrón tiene una carga de –1.6 × 10–19 C. ¿Cuántos electrones se necesitarían para producir una carga neta de –4.8 × 10–6 C? E2. Dos esferas de latón idénticas montadas sobre postes de madera inicialmente tienen diferentes cantidades de carga, una +3 μC y la otra +15 μC. Se permite que las esferas se toquen y luego se separan de nuevo. ¿Cuál es la carga final de cada una? E3. Dos esferas de acero idénticas montadas sobre postes de madera inicialmente tienen diferentes cantidades de carga, una de +12 μC y la otra de –4 μC. Se permite que las esferas se toquen y luego se separen de nuevo. ¿Cuál es la carga final sobre cada una? E4. Dos partículas cargadas ejercen una fuerza electrostática de 8 N una sobre la otra. ¿Cuál será la magnitud de la fuerza electrostática si la distancia entre las dos cargas se reduce a la mitad de la distancia original? E5. Dos partículas cargadas ejercen una fuerza electrostática de 27 N entre sí. ¿Cuál será la magnitud de la fuerza si la distancia entre las dos partículas aumenta a tres veces la distancia original? E6. Dos cargas positivas, cada una de magnitud 4 × 10–6 C, se hallan a una distancia de 10 cm entre sí. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre cada carga? b) En un dibujo, indica las direcciones de los momentos de torsión que actúan sobre cada carga.

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E7. Una carga de +2 × 10–6 C se halla a 20 cm de una carga de –4 × 10–6 C. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre cada carga? b) En un dibujo, indica las direcciones de las fuerzas que actúan sobre cada carga. E8. Un electrón y un protón tienen cargas de igual magnitud pero signo opuesto de 1.6 × 10–19 C. Si el electrón y el protón en un átomo de hidrógeno están separados por una distancia de 5 × 10–11 m, ¿cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza electrostática ejercida sobre el electrón por el protón? E9. Un campo eléctrico uniforme está dirigido hacia arriba y tiene una magnitud de 20 N/C. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza ejercida sobre una carga de –5 C colocada en este campo? E10. Una carga de prueba de +4 × 10–6 C experimenta una fuerza electrostática descendente de 12 N cuando se coloca en cierto punto en el espacio. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo eléctrico en ese punto? E11. Una carga de prueba de +1.5 × 10–6 C experimenta fuerzas de otras dos cargas cercanas: una fuerza de 12 N con dirección este y una fuerza de 8 N con dirección oeste. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto donde se halla la carga de prueba? E12. Una carga de –3 × 10–6 C se coloca en un punto en el espacio donde el campo eléctrico está dirigido hacia la derecha y tiene una magnitud de 8.5 × 104 N/C. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza electrostática sobre esta carga?

24/10/07 10:22:48

Problemas de síntesis E13. Una carga de +0.25 C se mueve de una posición donde el potencial eléctrico es 10 de V a otra donde es de 60 V. ¿Cuál es el cambio en la energía potencial de la carga asociada con este cambio de posición? E14. Cuatro coulombs de carga positiva fluyen de la terminal positiva de +6 V de una batería a la terminal negativa a 0 V. ¿Cuál es el cambio en la energía potencial de la carga?

251

E16. El potencial eléctrico aumenta de 100 V a 500 V de la placa inferior a la superior de un condensador de placas paralelas. a) ¿Cuál es la magnitud del cambio en la energía potencial de una carga de –5 × 10–4 C que se mueve de la placa inferior a la superior? b) ¿La energía potencial aumenta o disminuye?

E15. La energía potencial de una carga de +2 × 10–6 C disminuye de 0.06 J a 0.02 J cuando se mueve del punto A al B. ¿Cuál es el cambio en el potencial eléctrico entre estos dos puntos?

problemas de síntesis PS1. Tres cargas positivas se hallan a lo largo de una línea, como en el diagrama. La carga de 0.10 C en el punto A está a 2 m a la izquierda de la carga de 0.02 C en el punto B, y la carga 0.04 C en el punto C está a 1 m a la derecha del punto B. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga de 0.02 C por la de 0.10 C? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga de 0.02 C por la de 0.04 C? c) ¿Cuál es la fuerza neta ejercida sobre la carga de 0.02 C por las otras dos cargas? d) Si consideramos la carga de 0.02 C como una carga de prueba que sirve para demostrar la intensidad del campo eléctrico producido por las otras dos cargas, ¿cuáles son la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto B? e) Si la carga de 0.02 C en el punto B es remplazada por una carga de –0.06 C, ¿cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza electrostática ejercida sobre esta nueva carga? (Usa el valor del campo eléctrico para hallar esta fuerza.) +0.10 C

+

A

+

+

B

C

A

+ G

GRIFFITH 12.indd 251

F

E B

H

+

B

+

A

+

PS2. Dos cargas positivas iguales están cerca una de la otra, como se muestra en el diagrama. a) Con flechas pequeñas, indica la dirección del campo eléctrico en los puntos rotulados en el diagrama. Piensa en la dirección de la fuerza que se ejercería sobre una carga positiva colocada en cada uno de esos puntos. b) Mediante un dibujo de un número igual de líneas del campo que surgen de cada carga, traza las líneas del campo eléctrico para la distribución de la carga (ve los diagramas en la sección 12.4). D

PS4. Cuatro cargas positivas iguales se ubican en las esquinas de un cuadrado, como en el diagrama. a) Con flechas pequeñas, indica la dirección del campo eléctrico en cada uno de los puntos etiquetados. b) ¿La magnitud del campo eléctrico sería igual a cero en cualquiera de los puntos etiquetados? Explica por qué.

E

+0.02 C +0.04 C 1m

2m

PS3. Una de las dos cargas del problema de síntesis 2 es el doble de grande que la otra. Usa los procedimientos indicados en los incisos a y b del problema de síntesis 2 para esta nueva situación. (Cuando traces el campo, ahora debe haber el doble de líneas que surgen del campo más grande, de las que surgen del más pequeño.)

D

C

+

PS5. La placa superior de un condensador de placas paralelas tiene un potencial eléctrico de 0 V y que la placa inferior tiene un potencial de 400 V. Hay una distancia de 1.2 cm entre ellas. a) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial de una carga de +3 × 10–4 C que se mueve de la placa inferior a la superior? b) ¿Cuál es la dirección de la fuerza electrostática ejercida sobre esta carga cuando se halla entre las placas? c) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico entre las placas? d) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico entre las placas?

C

+ I

24/10/07 10:22:49

252

Capítulo 12

Fenómenos electrostáticos

experimentos y observaciones para la casa EC1. Los experimentos con la esfera de médula de saúco descritos en la sección 12.1 pueden realizarse con equipo casero. Pedazos de papel pequeños, ligeramente enrollados o trozos de unicel de una taza de café pueden usarse en lugar de las esferas de médula de saúco. A éstos pueden atarse pedazos de hilo y colgarlos de cualquier soporte conveniente. Los lápices de madera, los bolígrafos de plástico o las barras de vidrio movibles pueden usarse en lugar de las barras, y muchos tipos de tela están disponibles en forma de ropa. a) Usando los materiales disponibles en un día seco, prueba qué combinaciones de barras y tela producen la mayor carga cuando se frotan. b) Repite los experimentos descritos en la sección 12.1. ¿Puedes obtener los dos tipos de carga con los materiales disponibles?

una hoja de cartulina en la parte superior de un vaso o jarra de vidrio (ve el dibujo), y tu electroscopio estará completo. a) Prueba tu electroscopio con algunos de los materiales sugeridos en el experimento para la casa 1. b) Prueba la conductividad de diferentes materiales, como en la sección 12.2. c) Intenta cargar una cuchara de metal por inducción. Envuelve el mango de la cuchara en una servilleta, de modo que no la descargues cuando la cojas. Prueba la carga en la cuchara con tu electroscopio.

EC2. Para ampliar las observaciones del experimento para la casa 1, también puede construirse un electroscopio simple. Usa papel aluminio como las láminas, las cuales pueden suspenderse de un clip. Puedes enderezar un extremo del clip, atravesando con él un trozo de cartulina y retorciéndolo. Coloca

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24/10/07 10:22:50

Circuitos eléctricos

descripción del capítulo

esquema del capítulo

1 2 3 4 5

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Circuitos y corriente eléctricos. ¿Qué realiza un circuito eléctrico al encender un foco? ¿Qué es la corriente eléctrica y en qué se parece al paso del agua por una tubería? Ley de Ohm y resistencia. ¿Cuál es la relación entre corriente y voltaje en un circuito simple? ¿Cómo se define la resistencia eléctrica? Circuitos en serie y en paralelo. ¿Cómo se ve afectado el flujo de corriente eléctrica por las conexiones en serie y en paralelo de un circuito? ¿Cómo usamos los voltímetros y los amperímetros?

capítulo

13

Energía eléctrica y potencia. ¿Cómo aplicamos los conceptos de energía y potencia a los circuitos eléctricos? ¿Qué unidades se usan en el análisis del uso de la energía eléctrica en nuestros hogares? Corriente alterna y circuitos domésticos. ¿Qué es la corriente alterna? ¿Cómo están conectados los aparatos electrodomésticos a los circuitos en el hogar y qué factores de seguridad han de tenerse en cuenta?

unidad tres

El objetivo principal de este capítulo consiste en investigar los conceptos de los circuitos y la corriente eléctricos. Junto con el potencial eléctrico (o voltaje), tema expuesto en el capítulo 12, esos temas resultan indispensables para entender cómo funcionan los aparatos eléctricos. Como se indica en el esquema del capítulo, comenzamos por estudiar los circuitos y la corriente y luego analizamos cómo se relaciona esta última con el voltaje (ley de Ohm) y con la energía y la potencia. Todos estos conceptos se aplican después a los circuitos del hogar.

24/10/07 10:33:43

254 Capítulo 13 Circuitos eléctricos

¿A

lguna vez te has preguntado cómo funciona una linterna? Sus componentes son simples y conocidos: un foco, un par de baterías y una caja cilíndrica con un interruptor. Su funcionamiento también nos resulta conocido. Al oprimir el interruptor la luz se enciende o se apaga. Las baterías se desgastan y deben remplazarse o recargarse. De vez en vez, el foco se funde y hay que cambiarlo. Pero ¿qué ocurre dentro? Enciendes interruptores eléctricos todos los días para producir luz, calor, sonido o para hacer funcionar un motor eléctrico. De hecho, cada que enciendes un automóvil utilizas un motor eléctrico (el de arranque) impulsado por una batería. Sabes que la electricidad interviene en estas situaciones, pero exactamente cómo funcionan las cosas puede no resultarte claro. Imagina que te presentan los componentes de una linterna: un foco, una batería y un cable de metal (figura 13.1). Tu tarea consiste en lograr que el foco prenda. ¿Cómo lo harías? ¿Qué principios te guiarían para conectar los elementos de modo que funcionen? Si tienes esos objetos a la mano, intenta hacer que el foco encienda. Este ejercicio de batería y foco plantea todo un reto para muchas personas. Incluso quienes pronto logran hacer que el foco prenda tal vez no puedan explicar los

consejo de estudio Si tienes los materiales a la mano, trata de hacer el experimento de la batería y el foco antes de proseguir. El placer de conseguir que el foco encienda es algo que no debes estropear al leer antes de tiempo. Una vez que logres encender el foco (sin agotar la batería, esperamos), acaso quieras experimentar otras conexiones y tratar de comprender qué marca la diferencia entre las que funcionan y las que no. La experimentación ayudará a hacer más vívido el concepto de circuito.

13.1 Circuitos y corriente eléctricos Una linterna, un tostador eléctrico y el motor de arranque de un automóvil contienen, todos, circuitos eléctricos y usan corriente eléctrica para cumplir sus propósitos. Los conceptos de circuito y corriente van de la mano y son cruciales para entender cómo funcionan los aparatos eléctricos. ¿Cómo podemos usar el ejercicio de la batería y el foco de la introducción del capítulo para encontrar lo importante de estos conceptos?

¿Cómo hacer que el foco encienda? El ejercicio de la batería y el foco muestra los elementos esenciales de una linterna: el foco, la batería y un conductor simple.

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figura 13.1

Una batería, un cable y un foco. ¿Puedes hacer que el foco encienda?

principios implícitos. No obstante, este sencillo ejemplo es un buen punto de partida para empezar a entender lo básico de los circuitos eléctricos. Desde que tu radio-reloj te despierta en las mañanas hasta que apagas la última luz antes de ir a la cama, constantemente usas circuitos como éstos.

El resto sólo sirve para mantenerla unida y ofrece una forma práctica de prenderla y apagarla. ¿Cómo hacemos que el foco encienda con un solo cable? Lo que muchas personas no logran reconocer al realizar este experimento es que el foco tiene dos lugares de conexión que están eléctricamente aislados entre sí. Debes conectarlos ambos. También debes completar una trayectoria que vaya del foco a los dos extremos de la batería. Una trayectoria cerrada o completa como ésta se llama circuito. La palabra circuito implica por sí misma un ciclo cerrado. En la figura 13.2 se presentan tres conexiones posibles, una que funciona y dos que no lo hacen funcionan. (¿Cuál funciona?) El circuito mostrado en la figura 13.2a no está completo. Nada ocurrirá. El foco no se encenderá y el cable no se calentará. Se trata en este caso de un circuito incompleto o abierto. Para que esté completo, el circuito debe tener una trayectoria cerrada de elementos de conducción que unan los dos extremos de la batería. Sin una trayectoria completa no sucede nada. En la figura 13.2b aparece un circuito completo, pero no pasa por el foco. En este arreglo el foco no prenderá pero el cable sí se calentará. La batería se agotará rápidamente si el cable se queda conectado. En la figura 13.2c, el cable corre de la parte inferior de la batería al lado del foco, cuya “punta” se conecta a la otra terminal de la batería. Éste es el arreglo que funciona. Un circuito completo pasa por el foco y la batería. El circuito de una linterna es básicamente el mismo que el mostrado en la figura 13.2c. El foco se sitúa en la parte

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13.1 Circuitos y corriente eléctricos

a)

figura 13.2

b)

c)

Tres arreglos posibles de la batería, el foco y el cable. ¿Cuál enciende el foco y por qué funciona?

superior de una columna de dos o más baterías y se pone en contacto directo con la batería superior. El lado del foco se mete en una funda de metal, la cual se aísla del resto de la caja de la linterna. El interruptor conecta esta funda con la parte inferior de la batería, ya sea mediante la caja misma o con una tira de metal que corre hasta la parte inferior de la linterna. Al oprimir el interruptor se cierra la trayectoria. Si tienes una linterna a la mano, desármala y ve si puedes determinar cómo está hecha.

¿Qué es la corriente eléctrica? Veamos más de cerca qué ocurre en el arreglo que aparece en la figura 13.2c. La batería es la fuente de energía de ese circuito (como veremos con más detalle en la sección 13.4). La batería utiliza energía de reacciones químicas para separar las cargas negativa y positiva en su interior. El trabajo realizado en este proceso produce un aumento en la energía potencial electrostática de las cargas, lo cual conduce a una diferencia de voltaje. Las baterías de la linterna comúnmente generan una diferencia de potencial de 1.5 volts entre las terminales. Como en un extremo de la batería hay un exceso de carga positiva y en el otro de carga negativa, estas cargas tenderán a reintegrarse al reunirse fluyendo de una terminal a la otra si proporcionamos una trayectoria de conducción adecuada. Sin embargo, estas cargas sólo pueden fluir por medio de una trayectoria de conducción externa, debido a las fuerzas que se oponen asociadas con las reacciones químicas dentro de la batería. Si conectamos simplemente un alambre de metal a las dos terminales, la carga fluirá por él a la terminal opuesta. Un flujo de carga eléctrica es una corriente eléctrica. Para ser más precisos, la corriente es la razón de flujo:

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255

La corriente eléctrica es la razón de flujo de la carga eléctrica. En símbolos, I =

q , t

donde I es el símbolo de la corriente eléctrica, q la carga y t el tiempo. La dirección de la corriente se define como la dirección de flujo de la carga positiva.

La unidad estándar de la corriente eléctrica es el ampere, definido como 1 coulomb por segundo (1 A = 1 C/s). En el capítulo anterior explicamos que el coulomb es la unidad de carga. El ampere recibe su nombre en honor al matemático y físico francés André Marie Ampère (1775-1836), quien hizo numerosos aportes a la teoría del electromagnetismo (algunas de ellos se estudian en el capítulo 14). El ampere con frecuencia se conoce de manera informal como amp, pero el símbolo correcto es A. A partir de la definición y sus unidades de medida, vemos que el tamaño de una corriente eléctrica depende de cuánta carga fluya en cierto momento. Si 3 C de carga fluyen por un cable en un tiempo de 2 s, entonces la corriente eléctrica I es 3C 2s

= 1.5 A.

En la figura 13.3 se presentan dos vistas de cargas que fluyen en un conductor. Si los portadores de carga estuvieran cargados positivamente, su dirección de movimiento, por definición, sería la de la corriente eléctrica convencional (a la derecha, como en la figura 13.3a). En realidad, los portadores de carga en un alambre de metal son los electrones, los cuales están cargados negativamente. Puesto que la eliminación de

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256 Capítulo 13 Circuitos eléctricos las cargas negativas aumenta la carga neta positiva, las cargas negativas que fluyen a la izquierda producen el mismo efecto que las cargas positivas que fluyen a la derecha. La dirección de la corriente eléctrica convencional también es a la derecha en la figura 13.3b, es decir, en la dirección opuesta al movimiento de los electrones. Los portadores de carga a veces son positivos, como los iones positivos en una solución química o los agujeros en un semiconductor (véase el capítulo 21). Por tanto, la corriente eléctrica está en la misma dirección que el movimiento de los portadores de carga. Las células nerviosas a veces se comparan en términos generales con los alambres de un sistema telefónico. La descripción del comportamiento de esas células en el cuadro de fenómenos cotidianos 13.1 muestra que no es así de simple.

¿Qué limita el flujo de corriente?

+

+ +

+

+

+

+ +

a) I

–

– –

–

–

– –

–

b)

figura 13.3

Si la batería en nuestro circuito simple es nueva, las reacciones químicas que ocurren en su interior seguirán separando la carga y la corriente seguirá fluyendo. No obstante, un alambre

fenómenos cotidianos

I

Las cargas positivas que se mueven a la derecha tienen el mismo efecto que las cargas negativas que se desplazan a la izquierda. Por definición, la corriente eléctrica va a la derecha en los dos casos.

cuadro 13.1

Impulsos eléctricos en las células nerviosas Situación. Si tomas una decisión conciente para mover el dedo gordo del pie, el dedo gordo se moverá al instante. De algún modo una señal viaja de tu cerebro a los músculos del dedo gordo, haciendo que se contraigan. Ese proceso ocurre rápidamente —no hay gran demora entre la decisión y el movimiento del dedo. ¿Cómo llega la orden de movimiento de tu cerebro al dedo del pie? ¿La señal viaja por un alambre o cable biológico de algún tipo? ¿Interviene un flujo de carga eléctrica parecido a lo que ocurre en los alambres de una línea telefónica? Sabemos que las células nerviosas toman parte en ello, pero ¿cómo funciona? Análisis. El estudio de los efectos eléctricos en las células nerviosas nos remonta al trabajo de Galvani y Volta sobre la “electricidad animal” que condujo a la invención de la batería. En ese entonces estaba claro que intervenía un proceso eléctrico. Núcleo

Sinapsis

Terminaciones nerviosas

Axón Dendritas Una neurona tiene una extensión larga llamada axón, la cual suele ser mucho más grande respecto al resto de la célula que lo que se muestra aquí. Las terminaciones nerviosas pueden entrar en contacto con las dendritas de otras células en un proceso llamado sinapsis.

Sin embargo, este proceso es mucho más complicado que el simple flujo de carga por un alambre. La señal se transmite por células nerviosas (o neuronas) como la que se representa en el primer dibujo. Igual que cualquier célula biológica, el cuerpo principal de la neurona contiene un núcleo y también tiene una serie de dendritas que pueden recibir señales de otras células. Sin embargo, a diferencia de casi todas las demás células, del cuerpo de las neuronas surge un segmento largo en forma de cola llamado axón. Los axones pueden ser tan largos como de un metro o más, y partir tal vez de la médula espinal y terminar en los pies o en las manos. En el extremo del axón hay varios filamentos más delgados o terminaciones nerviosas que pueden entrar en contacto con las dendritas de otras células en uniones llamadas sinapsis. Como en un sistema telefónico, la señal transmitida supone un cambio de voltaje. Sin embargo, el cambio de voltaje a lo largo del axón de una célula nerviosa se transmite de manera muy diferente que por un alambre de metal. De hecho, el principal flujo de carga en una célula nerviosa ocurre de manera perpendicular al axón en vez de hacerlo a lo largo del mismo. Para comprender esto debemos estudiar la estructura del axón con más pormenores. Cualquier célula tiene una membrana que, en esencia, es su cubierta exterior y mantiene todo unido. La membrana de un axón tiene algunas propiedades inusuales. Mantiene el equilibrio entre ciertos iones químicos (átomos cargados) en las superficies interior y exterior de la membrana. En su estado normal (reposo), los iones de sodio cargados positivamente (Na+) se excluyen del interior de la célula. Hay un pequeño excedente de iones cargados positivamente (principalmente de potasio, K+) en la superficie

(continúa)

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24/10/07 10:33:50

13.1 Circuitos y corriente eléctricos

de metal es un conductor excelente, así que si lo conectamos directamente a las dos terminales de la batería, creando así lo que se conoce como cortocircuito, una corriente grande fluirá. Esto reduce los reactantes químicos, y la batería se agotará en un lapso breve. El alambre también se calentará como resultado de la corriente grande. Para evitar esto debemos colocar un elemento en nuestro circuito (como el foco) que proporcione mayor resistencia al flujo de carga. Si miras de cerca al foco, verás que consta de un filamento de alambre muy delgado encerrado dentro de la bombilla de vidrio. Ese filamento está conectado a dos puntos: un extremo está conectado al cilindro de metal que forma los lados inferiores del foco y el otro a un poste de metal en el centro de la base del foco (figura 13.4). Esos dos puntos están eléctricamente aislados entre sí por medio de un material de cerámica que recubre el poste. El filamento de alambre delgado, aunque es de metal exterior de la membrana y de los iones cargados negativamente (en su mayoría de cloro, Cl–) en la superficie interior. Esto crea una diferencia de voltaje entre las superficies interior y exterior del axón. Si describimos esta diferencia como ∆V = Vinterior – Vexterior, en general es de aproximadamente –70 mV, debido a que la superficie interior está cargada negativamente. Esta diferencia de voltaje se llama potencial de reposo. Cuando el axón es estimulado por una señal eléctrica o cualquier otra perturbación, la membrana cambia de pronto su comportamiento normal de guardiana. Brevemente permite que los iones de sodio cargados positivamente se apresuren a atravesar la membrana, cambiando así la carga neta en el interior de menos a más cerca del punto de estimulación. El interior del axón Exterior

++––+++++++++++ – –++––––––––––– Interior Punto de estimulación

Membrana

ΔV (mV) +40 0 –70

Potencial de acción Distancia Potencial de reposo

Un influjo de iones de sodio en el punto de estimulación provoca que la carga se invierta del otro lado la membrana del axón. Esto crea el potencial de acción que se mueve a lo largo de éste.

entonces se carga positivamente, invirtiendo el signo de la diferencia de voltaje del otro lado de la membrana como se muestra

GRIFFITH 13.indd 257

257

y el metal es un buen conductor, restringe el flujo de carga (la corriente) porque su área transversal es muy pequeña. Si forzamos la corriente para que fluya por el foco, como en la figura 13.2c, circulará una corriente mucho menor que cuando el alambre está conectado directamente entre las terminales de la batería. El filamento de alambre delgado del foco limita la cantidad de carga que puede fluir debido a la resistencia de los alambres de conexión más gruesos. El filamento de alambre es el cuello de botella del circuito y se calienta mucho cuando obligamos a las cargas a pasar por este estrechamiento. Su alta temperatura lo hace brillar y así tenemos luz.

Una analogía con el flujo de agua En el análisis del circuito de batería y foco, describimos la corriente eléctrica como el flujo de carga eléctrica. Como la en el segundo dibujo, creando un pico de voltaje positivo llamado potencial de acción. El cambio en la carga de la superficie en el punto de la estimulación original provoca que las cargas cercanas fluyan distancias cortas a lo largo de la superficie para contrarrestar el cambio. Como se indica en el dibujo, las cargas positivas en la superficie exterior de la membrana son atraídas a la carga negativa en el punto de estimulación, lo cual deja un déficit de carga positiva en los puntos vecinos al axón. Un efecto parecido que supone cargas negativas ocurre en la superficie interior. El déficit de carga sirve como estímulo para los puntos vecinos en el axón, haciendo que los iones de sodio se apresuren en esos puntos. Como resultado, el potencial de acción (pico de voltaje) se mueve hacia abajo por el axón. Cuando el pico de voltaje llega al extremo de éste, puede transmitirse a otra neurona en una sinapsis o a una célula muscular que hace que el dedo gordo se mueva. Una vez que pasa el pico de voltaje, la membrana del axón trabaja para restaurar el equilibrio original de iones bombeando los de sodio afuera de la célula, pero este proceso tarda un poco. La neurona en este estado de reposo es como una pistola amartillada en espera de ser disparada y una vez que se dispara, debe volver a su estado inicial. Una explicación exacta de cómo logra esto la membrana está fuera del ámbito de esta simple descripción. Se trata de un proceso bioquímico que consiste en una difusión selectiva de iones por la membrana. Se trata de un proceso mucho más complejo que el simple flujo de electrones en un alambre que causa que una señal de voltaje se propague en un cable telefónico. ¿Con qué rapidez se propaga la señal? Para los axones más grandes, la rapidez de propagación puede alcanzar los 150 m/s. Para una persona de altura media, la señal puede alcanzar los dedos gordos de los pies desde el cerebro en una centésima de segundo. Esta rapidez es suficiente para casi todos los propósitos de un organismo biológico. Sin embargo, es lenta comparada con la rapidez de propagación de las señales eléctricas en un alambre de metal, que se aproxima a la rapidez de la luz, 300 000 000 m/s. Incluso en el alambre, los electrones viajan distancias relativamente cortas cuando la señal se propaga.

24/10/07 10:33:51

258 Capítulo 13 Circuitos eléctricos Filamento

tabla 13.1 Conceptos correspondientes en la analogía entre el sistema de flujo de agua y un circuito eléctrico

Cubierta de metal

Sistema de flujo de agua

Circuito eléctrico

agua

carga

bomba

batería

tuberías

alambres

tobera

filamento de alambre

válvula

interruptor

presión

voltaje

Aislante Contacto de metal

figura 13.4

Vista de corte transversal de un foco. El filamento está conectado al poste de metal en la parte inferior y al interior del cilindro de metal.

carga es invisible, la representación del flujo de carga requiere un poco de imaginación. Una analogía puede ayudarnos a visualizar lo que sucede aquí. El agua que circula por la tubería es similar a la corriente eléctrica que fluye por un circuito. En la figura 13.5a se muestra una bomba que bombea agua de un tanque inferior a uno superior, con lo que se aumenta la energía potencial gravitacional del agua (como ya lo estudiamos en el capítulo 6). El agua podría permanecer en el tanque superior de manera indefinida a menos que proporcionemos un medio para que fluya hacia abajo al tanque inferior. Si usamos para ello una tubería grande, el agua circulará hacia abajo muy rápidamente. Su razón de flujo (la corriente de agua) puede medirse en unidades de galones o litros por segundo. El tanque superior se vaciará muy pronto a menos que la bomba funcione continuamente para remplazar el agua perdida. Sin embargo, si colocamos una tubería estrecha en algún punto de la trayectoria del agua que regresa, este estrechamiento limitará la cantidad de agua que bajará. La tubería estrecha proporciona mayor resistencia al flujo del agua.

En la figura 13.5b, la batería corresponde a la bomba. Las dos producen un aumento en la energía potencial —de agua por un lado y de carga por el otro. La tubería gruesa es como los alambres de conexión en el circuito y la tobera es análoga al filamento en el foco. De hecho, el agua se calienta a medida que fluye por la tobera en la tubería, como el calentamiento del filamento de alambre. Una válvula colocada en algún punto del sistema de agua corresponde a un interruptor en un circuito eléctrico. En la tabla 13.1 se resumen los elementos que se corresponden. Comprender la corriente eléctrica puede resultar más sencillo si tienes en mente su parecido con una corriente de agua. Las dos pueden definirse como razones de flujo, de agua por una parte y de carga por la otra. En un circuito eléctrico debe haber una trayectoria continua de conductores (el circuito) para que la carga fluya. Si interrumpimos el circuito en algún punto, la corriente se detendrá. El sistema de agua también requiere un ciclo completo (a menos que estemos suministrando agua continuamente al tanque superior con una fuente externa). Para encender un foco, o hacer que cualquier circuito eléctrico funcione, debe haber una trayectoria de conducción cerrada que vaya de una terminal del suministro eléctrico a la otra. Esta trayectoria cerrada es el circuito, y la razón de flujo de carga que pasa por él es la corriente eléctrica. El filamento de un foco sirve Interruptor

Válvula

Constricción de la tobera

Bomba a)

figura 13.5

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b)

La corriente eléctrica es análoga al flujo de agua. ¿Qué elementos se corresponden en los dos sistemas?

24/10/07 10:33:51

13.2 Ley de Ohm y resistencia

como una constricción en la trayectoria de conducción que limita el flujo de corriente. El filamento se calienta a medida que la carga fluye por él, con lo que se produce luz. Una analogía de un sistema de flujo de agua, en la que una bomba hace las veces de batería y el agua de la carga, puede ayudarnos a visualizar el concepto de corriente.

13.2 Ley de Ohm y resistencia ¿Qué determina el tamaño de una corriente eléctrica? En la sección 13.1 observamos que la resistencia grande del filamento de alambre restringió el flujo de corriente. ¿Éste es el único efecto o el voltaje de la batería también tiene que ver en ello? ¿Es posible predecir cuánta corriente fluirá por un circuito?

¿Cómo depende del voltaje la corriente eléctrica? En un sistema de flujo de agua, una diferencia de presión alta entre dos puntos producirá una razón grande de flujo de agua o de corriente. La presión alta puede producirse subiendo el tanque de almacenamiento a una altura considerable sobre el punto de uso; esta presión se relaciona con la energía potencial gravitacional del agua. De igual forma, una diferencia grande en la energía potencial entre las cargas en los dos extremos de una batería se asocia con un voltaje alto y una mayor tendencia a que la carga fluya. La magnitud de la corriente eléctrica se relaciona con el voltaje de la batería y con la resistencia de los elementos del circuito. Para la mayoría de los componentes en un circuito, existe una relación simple entre la corriente, el voltaje y la resistencia de cada uno de ellos que sirve para predecir la magnitud de la corriente. El físico alemán Georg Ohm (17891854) descubrió esta relación de manera experimental durante la década de 1820, por lo que se le denomina ley de Ohm: La corriente eléctrica que fluye por una parte de un circuito es igual a la diferencia de voltaje que pasa por esa parte divida entre la resistencia. En símbolos, I =

ΔV , R

259

La resistencia R es la razón de la diferencia de voltaje a la corriente para cierta parte de un circuito. La unidad de la resistencia es volts por ampere, la cual se llama ohm (1 ohm = 1 V/A). El ohm se abrevia con la letra mayúscula griega omega, Ω. La resistencia de un alambre u otro elemento de un circuito depende de varios factores, entre ellos la conductividad del material de que esté hecho el alambre. Un alambre hecho de material con alta conductividad eléctrica tendrá menor resistencia que el hecho de un material de menos conductividad. La resistencia también depende de la longitud del alambre y de su área de corte transversal. Cuanto más largo sea, mayor será su resistencia, pero un alambre más grueso tendrá una resistencia menor. La temperatura también tiene un efecto. Cuando calentamos el filamento de un foco, su resistencia aumenta. Esto es válido para cualquier conductor metálico. Si conocemos tanto la resistencia de una parte de un circuito como el voltaje aplicado, es posible determinar la corriente esperada. Imagina, por ejemplo, que una batería de 1.5 volts está conectada a un foco con una resistencia de 20 ohms, como aparece en la figura 13.6. Si la resistencia de la batería misma es insignificante, la corriente puede calcularse aplicando la ley de Ohm, I = ∆V/R. Si dividimos 1.5 volts entre la resistencia de 20 ohms obtenemos: I =

1.5 V = 0.075 A. 20 Ω

Este resultado puede expresarse como 75 miliamperes (mA).

¿Cuál es la fuerza electromotriz de una batería? En el cálculo de la corriente que pasa por un foco de 20 ohms ignoramos la resistencia de la batería. También ignoramos las resistencias muy pequeñas de los alambres de conexión. Si la batería es nueva, su resistencia interna es pequeña y a menudo puede depreciarse. Sin embargo, la resistencia interna se vuelve más grande a medida que la batería se usa y sus reactantes químicos se reducen. Por tanto, al determinar la corriente hemos de considerar la resistencia total del circuito, incluida la de la batería. Esto se hace en el ejercicio del cuadro de ejemplo

donde R es la resistencia e I y V representan la corriente y el voltaje, respectivamente. 20 Ω

En otras palabras, la corriente es directamente proporcional a la diferencia de voltaje e inversamente proporcional a la resistencia. La ley de Ohm es un enunciado del hecho experimental de que la resistencia es aproximadamente constante para los diferentes valores de corriente y voltaje. En la sección 13.1 usamos el término resistencia en un sentido cualitativo, como una propiedad que restringe el flujo de corriente. Una definición cuantitativa de resistencia se obtiene por medio del álgebra para expresar de otra forma la ley de Ohm: R =

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ΔV . I

1.5 V

figura 13.6

Un circuito simple que conecta una batería de 1.5 V con un foco de 20 Ω. ¿Cuál es la magnitud de la corriente eléctrica?

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260 Capítulo 13 Circuitos eléctricos

cuadro de ejemplo 13.1 Ejercicio: estudio de la corriente y el voltaje de un circuito Una batería de 1.5 V con una resistencia interna de 5 Ω se conecta a un foco con una resistencia de 20 Ω en un circuito simple de un solo ciclo. a. ¿Cuál es la corriente que fluye por este circuito? b. ¿Cuál es la diferencia de voltaje en el foco? a)

ε

= 1.5 V

La resistencia total del circuito es:

Rbatería = 5 Ω

R = Rbatería + Rfoco

Rfoco = 20 Ω

= 5 Ω + 20 Ω = 25 Ω

I = ? I = =

ε R 1.5 V 25 Ω

= 0.06 A = 60 mA b) ΔVfoco = ?

ΔV = IR = (0.06 A)(20 Ω)

que ocurre debido a las reacciones químicas en la batería. Sus unidades son volts (joules/coulomb) y en general se denota con ε. (El concepto de fuerza electromotriz se estudia con más detalle en la sección 13.4, donde consideramos los aspectos de la energía de circuitos). Si medimos la diferencia de voltaje ya sea en la batería o en el foco mientras éste está funcionando, obtenemos un valor de 1.2 V, como en la segunda parte del ejercicio de ejemplo. Si interrumpimos el circuito al desconectar el foco y medimos de nuevo el voltaje en todas las terminales de la batería, obtenemos una lectura de 1.5 V, aproxiamadamente, para ésta. Tal valor de 1.5 V, medido cuando no hay flujo de corriente por la batería, es la fuerza electromotriz de ésta. Es el voltaje de la batería cuando no hay pérdidas de energía debidas a los efectos de resistencia dentro de ella. Para calcular la corriente en el cuadro de ejemplo 13.1, la fuerza electromotriz ε de la batería se divide entre la resistencia total del circuito (I = ε/R). Esta ecuación es parecida a la ley de Ohm pero ε sustituye a ΔV con una diferencia importante: la ley de Ohm puede aplicarse a cualquier parte de un circuito. La diferencia de voltaje ΔV a través de esta parte es igual a la corriente por la resistencia de la misma (ΔV = IR). Por otro lado, la ecuación que incluye la fuerza electromotriz se aplica a todo el circuito, o malla, y a veces se conoce como ecuación de la malla.

= 1.2 V

¿Qué pasa cuando una batería se agota? I = 60 mA 20 Ω 1.5 V 5Ω 1.2 V 1.2 V

I = 60 mA

figura 13.7

Los valores del voltaje para el circuito de batería y foco, suponiendo que la batería tiene una resistencia interna de 5 Ω. La corriente ahora es 60 mA.

13.1, utilizando los valores mostrados en la figura 13.7. Se obtiene una corriente más pequeña cuando se tiene en cuenta la resistencia interna de la batería. En el cuadro de ejemplo 13.1, damos al voltaje de la batería el símbolo ε, que representa la fuerza electromotriz. El término mismo es engañoso, ya que se trata de una diferencia de potencial, o voltaje, no de una fuerza. La fuerza electromotriz es el aumento en la energía potencial por unidad de carga

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A medida que una batería se va volviendo vieja, su resistencia interna se torna cada vez más grande. La resistencia total del circuito aumenta y reduce la corriente que fluye por él, como predice la ecuación de la malla. Conforme la corriente se vuelve más pequeña, el foco se vuelve más tenue hasta que finalmente ya no brilla. En una batería agotada, la resistencia interna se ha vuelto tan grande que la batería ya no puede producir una corriente medible. Resulta sorprendente que si esta batería muerta se retira del circuito y se prueba con un buen voltímetro, aún se leerá un voltaje de casi 1.5 volts. ¿Cómo es posible? La batería aún tiene una fuerza electromotriz, pero su resistencia interna es tan grande que ya no es capaz de proporcionar una corriente apreciable a un elemento externo como el foco. Sin embargo, un buen voltímetro no extrae mucha corriente, de modo que aún puede medir de manera aproximada la fuerza electromotriz de la batería. La condición de ésta se describe por medio de su resistencia interna en vez de hacerlo por su fuerza electromotriz. La ley de Ohm establece que la corriente eléctrica que pasa por cualquier parte de un circuito es proporcional a la diferencia de voltaje a través de ese segmento e inversamente proporcional a su resistencia. Para calcular la corriente que fluye por un circuito, dividimos la fuerza electromotriz de la batería entre la resistencia total del circuito. Esta resistencia total incluye la resistencia interna de la batería, la cual se vuelve más grande a medida que la batería se debilita.

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13.3 Circuitos en serie y en paralelo

13.3 Circuitos en serie y en paralelo Una corriente eléctrica, igual que una corriente serpenteante, puede dividirse en varias corrientes que se vuelven a unir después. A veces, el reacomodo de un circuito ofrece ventajas para que esto ocurra en vez de conectar todos los elementos en una sola malla. ¿Cómo describimos y analizamos las diferentes formas de conectar los circuitos? Distinguir entre las conexiones en serie y en paralelo es un paso importante de este proceso.

¿Qué es un circuito en serie? El circuito simple del foco que hemos analizando es una sola malla, o un circuito en serie. Un circuito en serie no tiene puntos donde la corriente puede dividirse en corrientes laterales o bucles secundarios. Todos los elementos se alinean en un solo bucle. La corriente que pasa por un elemento también debe pasar por los otros, ya que no tiene ningún otro lugar a donde ir. Esto puede verse en el diagrama de este circuito mostrado en la figura 13.6, pero a veces es más fácil de ver en

261

los diagramas (con frecuencia llamados esquemas) utilizados para representar circuitos. En la figura 13.8, el circuito de la batería y el foco se muestra con su esquema al lado. Los símbolos usados para representar varios componentes en el esquema son normales. En cualquier parte del mundo donde las personas estudien o utilicen circuitos eléctricos se les reconocerán. El foco, por ejemplo, se muestra como una resistencia, para la cual el símbolo normal es una línea en zigzag, . En este caso, aparece dentro de un círculo que representa al foco. Las líneas del esquema representan los alambres de conexión, los cuales, en general, se dibujan como líneas rectas aun cuando es probable que no estén así en un circuito real. Comúnmente suponemos que la resistencia de los alambres de conexión es lo suficientemente pequeña como para ignorarla (en comparación con las otras resistencias del circuito). El esquema muestra los componentes del circuito y las conexiones que establecen de una manera clara y fácil de trazar. ¿Qué sucede si ponemos más focos en el circuito, en serie con los otros, como se muestra tanto en forma pictórica

Interruptor

Batería

figura 13.8

+ Foco (resistencia)

El circuito de la batería y el foco con su esquema correspondiente.

+

figura 13.9

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Una combinación en serie de tres focos y el esquema correspondiente.

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262 Capítulo 13 Circuitos eléctricos Además de atenuar las luces hay otra desventaja seria al conectar los focos en serie. Cuando un foco se funde, el filamento se rompe, lo cual interrumpe el circuito. Cuando un foco en un circuito en serie se funde los otros también se apagan porque no puede fluir corriente por la malla rota. Esto es poco deseable, en particular en un sistema como el de iluminación de un automóvil. También dificulta mucho encontrar el foco fundido, como ocurre en las series de luces de Navidad, que están conectadas en serie.

como esquemática en la figura 13.9? En una combinación de resistencias en serie, cada una de ellas contribuye a restringir el flujo de corriente alrededor del circuito. La resistencia en serie total de la combinación, Rs, es la suma de las resistencias individuales: Rseries = R1 + R2 + R3. Esto es válido independientemente de cuántas resistencias se combinen en serie. Simplemente añadimos más términos a la suma si hay más resistencias. Las personas suelen creer que la corriente de alguna manera se agota al pasar por las resistencias en un circuito en serie. No es así. La misma corriente debe pasar por cada componente de forma muy parecida a un flujo continuo de agua por una tubería. El voltaje es lo que cambia cuando la corriente circula por el circuito. El voltaje disminuye por la ley de Ohm (ΔV = IR) a medida que la corriente pasa por cada resistor. La diferencia de voltaje total a lo largo de la combinación es la suma de estos cambios individuales. Si dos focos están conectados en serie con una batería, la corriente será menor que con un solo foco, ya que la resistencia en serie total es mayor. Los focos brillarán con menos intensidad en este arreglo. Si queremos luz más brillante, tendríamos que añadir más baterías en serie para aumentar el voltaje. Esto es lo que se hace en muchas linternas (aunque en general sólo tienen un foco).

¿Qué es un circuito paralelo? En la figura 13.10 se muestra otra forma de conectar los focos que evita estos problemas. Ahí los focos no están alineados alrededor de la malla, sino que están conectados en paralelo. Observa que ahora hay más de una malla en el circuito. En un circuito en paralelo, hay puntos en los que la corriente puede ramificarse o dividirse en varias trayectorias como la corriente serpenteante mencionada al principio de esta sección. El flujo se divide y después se vuelve a unir. ¿La resistencia efectiva total del circuito aumenta o disminuye si añadimos focos en paralelo? La analogía del flujo de agua puede servirnos aquí. Imagina que añadimos tuberías en paralelo a un sistema de flujo de agua (figura 13.10b), ¿aumenta o disminuye la cantidad de agua (la corriente) que circula por el sistema? ¿Qué dice esto acerca de la resistencia al flujo de agua?

A

+

Boceto

B a)

Esquema

Sistema de agua b)

13.10 Focos conectados en paralelo. El esquema y la analogía del flujo de agua también se muestran. La corriente ahora se divide en tres trayectorias.

figura

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263

13.3 Circuitos en serie y en paralelo

Debes concluir que el flujo de agua aumenta cuando añadimos tuberías en paralelo. En realidad, estamos incrementando el área de corte transversal total por la que fluye el agua, con lo que disminuye consiguientemente la resistencia al flujo. Lo mismo es válido en un circuito eléctrico cuando las resistencias están conectadas en paralelo. Dicho en términos de resistencias individuales, la resistencia en paralelo efectiva Rp,es 1 R paralelo

=

1 1 1 + + . R1 R2 R3

Para calcular Rp sumamos los recíprocos de cada resistencia y después obtenemos el recíproco de la suma. Esto siempre resulta en un valor menor que cualquiera de las resistencias individuales, como se ilustra en el cuadro de ejemplo 13.2. En una combinación de resistencias en paralelo, la diferencia de voltaje por cada resistencia es la misma, ya que todas están conectadas entre los mismos dos puntos (los puntos A y B en la figura 13.10). Las corrientes, por otro lado, pueden ser diferentes, es decir, se suman para dar la corriente total que pasa por la combinación. La corriente se divide y se recombina. Una parte fluye por cada rama. En el cuadro de ejemplo 13.2, los dos focos tienen resistencias iguales, es decir, pasa por ellos la misma corriente. Si un foco tuviera una resistencia mayor que el otro la corriente no se dividiría equitativamente. En vez de ello, una parte más grande de la corriente pasaría por el foco con menor resistencia, como cabría esperar. Los cálculos de la resistencia equivalente y la corriente proseguirían justo como se muestra en el cuadro de ejemplo 13.2. Como se muestra en este cuadro de ejemplo, la resistencia de la combinación en paralelo es menor que la resistencia de cualquier foco por sí solo. Las combinaciones en paralelo disminuyen la resistencia y la cantidad de corriente que fluirá. La corriente aumentada causa que los focos brillen más que en un circuito en serie pero también agota las baterías más rápido. Nada es gratis: podemos elegir una luz tenue con una vida útil larga o una luz brillante con una vida útil corta según cómo conectamos los focos a las baterías. La energía disponible de éstas es la misma en ambos casos.

cuadro de ejemplo 13.2 Ejercicio: resistencia y corriente de los focos en paralelo Dos focos de 10 Ω están conectados en paralelo y esta combinación está conectada a una batería de 6 V, como se muestra en el esquema. a) ¿Cuál es la corriente total que fluye por la malla? b) ¿Cuánta corriente pasa por cada foco? 1 1 1 = + Rp R1 R2

a) R1 = R2 = 10 Ω

ε

= 6V

I = ?

=

1 1 + 10 Ω 10 Ω

=

2 10 Ω

Rp = I = =

ε

10 Ω = 5Ω 2

R 6V 5Ω

= 1.2 A b) I = ? (por cada foco)

I = =

ΔV R 6V 10 Ω

= 0.6 A Una corriente de 0.6 A pasa por cada foco para dar un total de 1.2 A.

Uso de amperímetros y voltímetros ¿Cómo medimos las corrientes o las diferencias de voltaje? Tal vez hayas usado medidores como el voltímetro o el amperímetro para revisar los sistemas eléctricos de un automóvil o para resolver problemas parecidos. El voltímetro es el más fácil de usar de los dos y también es más común encontrarlo en la reparación de automóviles y otras actividades. Imagina que quieres medir la diferencia de voltaje por un foco en un circuito, por ejemplo. Muchos de los medidores disponibles son multímetros, que miden el voltaje, la corriente y la resistencia. Eliges la función apropiada y el rango con un interruptor. La figura 13.11 muestra los dos, un multímetro análogo que usa una aguja y una escala y un multímetro digital más moderno, que ofrece una lectura digital.

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6V

+ 6V

10Ω

10Ω

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264 Capítulo 13 Circuitos eléctricos Amperímetro +

ε

figura 13.11

Un multímetro análogo (con aguja y varias escalas) y un multímetro digital son de uso común en los instrumentos de medición.

Voltímetro +

+ R

V

13.12 Un voltímetro se inserta en paralelo con el elemento cuya diferencia de voltaje se está midiendo.

figura

Para medir el voltaje, las terminales del voltímetro están conectadas en paralelo con el foco, como en la figura 13.12. Una diferencia de voltaje es la diferencia en la energía potencial por unidad de carga entre dos puntos de un circuito. Por consiguiente, el voltímetro debe estar conectado entre estos dos puntos, sin importar que haya otras trayectorias para la corriente. Dada la conexión en paralelo, un voltímetro ha de tener una resistencia grande, de modo que no desvíe mucha corriente del componente cuyo voltaje se está midiendo. ¿Este mismo tipo de conexión fucionaría para medir la corriente con un amperímetro? Piensa en el flujo de agua: para medir la corriente, la cual es una razón de flujo, necesitas insertar el indicador directamente en este último. Si midiéramos el flujo de agua, tendríamos que cortar la tubería e insertar un indicador de flujo entre las secciones cortadas, para que la corriente que se mide fluyera directamente por el indicador. Del mismo modo, al medir la corriente eléctrica debemos interrumpir el circuito e insertar el medidor en serie con los otros componentes, como en la figura 13.13. Puesto que el amperímetro se inserta en serie en el circuito y debe tener cierta resistencia, será inevitable aumentar la resistencia total del circuito y disminuir la corriente. Un amperímetro debe tener una pequeña resistencia, de modo que su efecto sobre la corriente sea pequeño. Debido a esa pequeña resistencia, el uso de un amperímetro exige más cuidado que el de un voltímetro. Si colocas un amperímetro directamente en las terminales de una batería, por ejemplo, una corriente grande fluirá. Esto podría dañar el medidor y la batería.

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A

+

R

13.13 Un amperímetro se inserta en serie en el circuito cuya corriente se está midiendo.

figura

Tanto con los amperímetros como con los voltímetros la terminal positiva del medidor ha de insertarse en la dirección apropiada y conectarse como en las figuras 13.12 y 13.13. Al trazar la trayectoria de la terminal positiva de la batería o suministro eléctrico, debes llegar primero a la terminal positiva del medidor. Si lo haces funcionar hacia atrás, la aguja del medidor análogo se desviará en la dirección equivocada, lo cual puede dañarlo. Las terminales positiva y negativa de un medidor en general están marcadas claramente. Los componentes de un circuito pueden estar conectados en serie o en paralelo, o en combinaciones de los dos. Una conexión en serie no tiene ramas. La corriente pasa por cada elemento en sucesión, y la resistencia de la combinación es la suma de las resistencias individuales. La corriente en una combinación en paralelo se divide en varias ramas. La resistencia efectiva de la combinación es menor que cualquiera de las resistencias individuales. Los voltímetros están conectados en paralelo y miden la diferencia de voltaje, pero los amperímetros están insertados en serie para medir la corriente.

13.4 Energía eléctrica y potencia Hemos hablado acerca de las baterías como fuentes de energía eléctrica en un circuito. También usamos el término potencia al estudiar nuestras aplicaciones diarias de la electricidad. La energía o potencia sirve también para comprender mejor el comportamiento de los circuitos eléctricos, precisamente como usamos estas ideas en el capítulo 6 para examinar los sistemas mecánicos. ¿Qué pasa, por ejemplo, con la energía suministrada por una batería?

¿Cómo ocurren las transformaciones de energía en un circuito? La analogía entre los circuitos eléctricos y los sistemas de flujo de agua resulta práctica. La energía es suministrada al sistema de flujo de agua por la bomba, la cual recibe su energía de alguna fuente externa. La electricidad, la gasolina o el viento son fuentes de energía que se utilizan comúnmente para bombear agua. La bomba aumenta la energía potencial gravitacional del agua al elevarla hacia un tanque superior (figura 13.14).

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13.4 Energía eléctrica y potencia Energía potencial gravitacional

Fuente de energía

h

¿Cómo se relaciona la energía eléctrica con la corriente y el voltaje?

Energía cinética Calor

13.14 Transformaciones de energía en el sistema de flujo de agua. ¿Qué pasa con la energía introducida por la bomba?

figura

Mientras el agua fluye hacia abajo por las tuberías a un tanque o depósito inferior, la energía potencial gravitacional se transforma en energía cinética del agua en movimiento. Una vez que el líquido entra en reposo en el tanque inferior, la energía cinética se disipa por medio de fuerzas de fricción o viscosas dentro del agua o entre el agua y las superficies interiores de las tuberías y el tanque. Las fuerzas de fricción generan calor que aumenta la energía interna del agua y de las tuberías y el aire que la rodea. Esta energía interna aumentada se manifiesta como un incremento en la temperatura del agua y sus alrededores. Puede establecerse una analogía para el circuito eléctrico. La energía es suministrada por la batería, la cual la obtiene de la energía potencial almacenada en los reactantes químicos. (La energía eléctrica también puede generarse a partir de energía mecánica, como veremos en el capítulo 14.) La batería, de manera muy parecida a la bomba, aumenta la energía potencial de las cargas eléctricas mientras mueve las cargas positivas hacia la terminal positiva y las cargas negativas hacia la terminal negativa. Cuando completamos el circuito al crear una trayectoria de conducción externa que vaya de la terminal positiva a la negativa, la carga fluye desde puntos de mayor energía potencial hasta puntos de menor energía potencial por los alambres de conexión y las resistencias. Cuando la energía potencial se pierde, la energía cinética se adquiere por medio del movimiento de los electrones en la corriente eléctrica. En el extremo, esta energía cinética se vuelte aleatoria debido a las colisiones con otros electrones y átomos dentro de los resistores del circuito. Ello aumenta la energía interna de los resistores y alambres de conexión, la cual se manifiesta como un aumento en la temperatura. La energía cinética se ha convertido en calor mediante esas colisiones. Tanto en el sistema de flujo de agua como en el circuito eléctrico ocurren las transformaciones de energía siguientes:

La diferencia de potencial producida por una batería cuando no se está tomando corriente de ella se llama fuerza electromotriz y se denota con el símbolo ε. Es simplemente la energía potencial por unidad de carga suministrada por la fuente de energía, y sus unidades son los volts. Como la fuerza electromotriz (un voltaje) representa una diferencia en la energía potencial por unidad de carga, al multiplicarla por la carga obtenemos energía. Si multiplicamos por la corriente eléctrica en vez de por la carga, obtenemos energía por unidad de tiempo, ya que la corriente es el flujo de carga por unidad de tiempo. Esta cantidad es la potencia. La potencia es la razón de realizar un trabajo o usar energía y tiene unidades de energía por unidad de tiempo (véase la sección 6.1). La potencia suministrada por cualquier fuente de energía eléctrica es igual a la fuerza electromotriz por la corriente: P = εI Una expresión similar puede obtenerse para la potencia disipada o perdida cuando la corriente pasa por una resistencia. Sustituimos la fuerza electromotriz ε con la diferencia de voltaje ΔV a través de la resistencia para obtener P = ΔVI. Con base en la ley de Ohm, la diferencia de voltaje puede expresarse como ΔV = IR, de modo que la potencia adopta la forma: P = (IR)(I ) = I 2R. La potencia disipada en la resistencia R es proporcional al cuadrado de la corriente I. ¿Qué sucede a la potencia en un circuito simple? La potencia suministrada por la batería debe ser igual a la potencia disipada en las resistencias en una situación de estado estable. En símbolos:

εI

= I 2R.

Siempre que la corriente permanezca constante, la energía es suministrada por la batería a razón constante y se disipa a la misma razón en las resistencias. No hay acumulación de energía en ningún punto del circuito. La entrada de energía o de potencia es igual a la salida de energía o de potencia (figura 13.15): la energía se conserva.

Calor + luz 1.5 V P = I 2R

P =ε I

fuente de energía → energía potencial → energía cinética → calor

Las tuberías y resistencias se calientan a medida que la corriente fluye. En los circuitos eléctricos, con frecuencia usamos el calor con un propósito específico: encender una lámpara, tostar un pan o calentar nuestras casas.

GRIFFITH 13.indd 265

265

13.15 La potencia suministrada por la batería en un circuito eléctrico es igual a la potencia disipada en las resistencias como calor.

figura

24/10/07 10:33:58

266 Capítulo 13 Circuitos eléctricos

cuadro de ejemplo 13.3 Ejercicio: análisis de un circuito ¿Cuál es la potencia disipada en un foco de 20 Ω que funciona con dos baterías de 1.5 V en serie?

ε

=

ε1

+

ε2

= 3V

R = 20 Ω

ε

= IR

I = =

ε R

3V 20 Ω

= 0.15 A P =

I 2R

= (0.15 A)2(20 Ω) = 0.45 W Esto puede comprobarse calculando la potencia suministrada por las baterías: P =

εI

= (3 V)(0.15 A) = 0.45 W

Este principio de equilibrio de energía es la base de la ecuación de la malla (presentada en la sección 13.2) que se usa en el análisis de circuitos. Si dividimos ambos miembros de la ecuación de balance de energía entre la corriente I obtenemos ε = IR, la ecuación de la malla. La ecuación de la conservación de la energía subyace a nuestro proceso de análisis de circuitos. El cuadro de ejemplo 13.3 ilustra estas ideas.

¿Cómo distribuimos y usamos la energía eléctrica? Siempre que enciendes una luz o usas un aparato eléctrico, utilizas energía eléctrica. En general, esta energía no proviene

de una batería sino de líneas eléctricas (cables) que la suministran desde una fuente generadora distante (figura 13.16). El inventor estadounidense Thomas Alva Edison (1847-1931) desarrolló muchos dispositivos eléctricos y tuvo una participación significativa en la promoción del uso de la energía eléctrica. La invención de Edison y el refinamiento del foco eléctrico dieron el impulso original a la creación de sistemas para distribuir energía. La facilidad con la que la energía eléctrica puede transmitirse a lo largo de distancias considerables es una de sus ventajas principales frente a otros tipos de energía. ¿Qué fuentes de energía intervienen cuando usas la energía eléctrica? La fuente podría ser la energía potencial gravitacional del agua almacenada en una presa. También podría ser la energía potencial química guardada en combustibles fósiles como el carbón, el petróleo o el gas natural, o la energía potencial nuclear almacenada en el uranio. Igual que el combustible químico en una batería, los combustibles fósiles y nucleares pueden terminarse, pues se extraen de la Tierra. (¿Cuál es la fuente de energía que interviene al elevar el agua almacenada en una presa? ¿Puede acabarse?) En el caso de los combustibles químicos o nucleares, la energía potencial almacenada en ellos se convierte primero en calor, después se usa para operar una máquina térmica, en general una turbina de vapor (véase el capítulo 11). En el caso de la energía hidroeléctrica, el agua almacenada en la presa se hace correr por turbinas de agua para convertir la energía potencial en energía cinética. Cualquiera que fuere la fuente de energía, todas las centrales eléctricas usan generadores eléctricos que convierten la energía cinética mecánica producida por las turbinas en energía eléctrica. Los generadores eléctricos son la fuente de la fuerza electromotriz del sistema de distribución de energía. (Cómo operan esos generadores es tema de estudio del capítulo 14, donde se explica la ley de Faraday de la inducción electromagnética.) Cuando saldas la cuenta de luz, pagas la cantidad de energía eléctrica usada durante el mes anterior. La unidad de energía empleada para este fin es el kilowatt-hora, el cual se obtiene multiplicando una unidad de energía (el kilowatt) por una unidad de tiempo (una hora). Como un kilowatt es igual a 1 000 El transformador cambia el voltaje

Carbón

Fuente de energía Uso de energía

figura 13.16

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Transformador

La energía eléctrica se genera en una central eléctrica y se distribuye a los usuarios mediante líneas de energía.

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13.5 Corriente alterna y circuitos domésticos

watts y una hora son 3 600 segundos, 1 kilowatt-hora es igual a 3.6 millones de joules. El kilowatt-hora es, por tanto, una unidad de energía más grande que el joule (explicado en el capítulo 6). Sin embargo, es un tamaño práctico para las cantidades de energía eléctrica ocupadas generalmente en una casa. ¿Cuánto cuesta mantener encendido un foco de 100 watts durante un día? Las tarifas eléctricas varían de 4 a 5 centavos de dólar hasta 15 centavos por kilowatt-hora, pero una tarifa media podría ser de alrededor de 10 centavos de dólar por kilowatt-hora. Si el foco se enciende durante 24 horas, la energía usada se calcula multiplicando la energía por el tiempo: (100 W)(24 h) = 2400 Wh 2400 Wh = 2.4 kWh. A 10 centavos de dólar el kilowatt-hora, el costo es aproximadamente de 24 centavos de dólar. Parece una ganga, pero como cualquiera que pague el recibo de la luz sabe que el costo aumenta rápidamente cuando el número de aparatos eléctricos se multiplica. Muchos dispositivos requieren cantidades mayores de energía que un foco. Los primeros sistemas de distribución de energía se construyeron a finales del siglo xix, de forma que nuestra creciente dependencia de la energía eléctrica es un fenómeno del siglo xx. La utilidad de la electricidad para hacer funcionar los aparatos sin el ruido y los gases de escape asociados con el uso directo de combustibles químicos es la razón principal de su uso extendido. Algunos lugares del mundo aún carecen de energía eléctrica, pero es difícil para la mayoría de nosotros imaginar la vida sin ella. Las transformaciones de energía que ocurren en un circuito eléctrico se asemejan a un sistema de flujo de agua. La fuente de energía (bomba o batería) aumenta la energía potencial del agua o de las cargas. Esta energía potencial se convierte en la energía cinética de la corriente, la cual, al final se disipa como calor. La razón de uso de energía en un circuito es igual a la fuerza electromotriz de la fuente por la corriente, que también debe ser igual a la razón a la que la energía se disipa en las resistencias. Varias fuentes de energía se usan para generar la energía eléctrica empleada en nuestros sistemas de distribución de energía.

13.5 Corriente alterna y circuitos domésticos ¿Qué tipos de circuitos intervienen en el uso cotidiano de la energía eléctrica? ¿Son similares a los circuitos simples que usan baterías y focos? Probablemente sabes que la corriente que extraemos de una toma de corriente en la pared es corriente alterna (ca), no corriente directa (cd). ¿Cuál es la diferencia entre estos dos tipos de corriente? ¿Podemos usar las mismas ideas empleadas en el análisis de los circuitos simples de batería y foco para describir los circuitos domésticos que usan corriente alterna?

GRIFFITH 13.indd 267

267

¿En qué difiere la corriente alterna de la directa? La corriente directa supone que la corriente fluye en una sola dirección de la terminal positiva de una batería o suministro de energía a la terminal negativa. Éste es el resultado normal cuando se usa una batería. La corriente alterna, por su parte, invierte continuamente su dirección, es decir, primero fluye en una dirección, después en la otra y luego vuelve a cambiarla. La corriente alterna usada en América del Norte pasa por 60 ciclos de ida y vuelta cada segundo, de modo que su frecuencia es 60 ciclos por segundo o 60 hertz (Hz). Un galvanómetro es un amperímetro diseñado de forma que la aguja se desvía en cualquier dirección, según la que tiene la corriente. Si colocáramos uno en un circuito de corriente alterna, la aguja se movería hacia atrás y hacia delante rápidamente —si suponemos que en verdad el medidor puede registrar todos los cambios. Como los galvanómetros simples no pueden responder a cambios rápidos, el resultado usual es que la aguja vibra pero permanece centrada en el cero. El valor medio de una corriente alterna ordinaria es cero. Un osciloscopio es un instrumento electrónico que registra el voltaje eléctrico cuando varía con el tiempo. Podemos usar un osciloscopio para medir una corriente al mostrar la diferencia de voltaje a través de una resistencia en el circuito (∆V = IR). Para una corriente alterna, la gráfica resultante se vería como la de la figura 13.17. En ella, los valores positivos de la corriente representan una dirección de flujo, en tanto que los valores negativos indican la dirección opuesta. Esta curva se llama curva senoidal porque se describe mediante una función trigonométrica, el seno. Vimos una curva parecida antes en nuestra descripción del movimiento armónico simple en el capítulo 6. La dirección en constante cambio de la corriente alterna hace poco diferencia para muchas aplicaciones eléctricas. En un foco, por ejemplo, el efecto de calentamiento de las cargas que se mueven por el filamento no depende de la dirección en la que se mueven las cargas. Muchas aplicaciones eléctricas aprovechan el efecto de calentamiento (focos, hornos, secadoras, tostadores, calentadores eléctricos, etc.). En el cuadro de fenómenos cotidianos 13.2 se describe la operación de un tostador. Ciertas aplicaciones, como los motores eléctricos, sí dependen del tipo de corriente. Podemos diseñar motores que funcionen con corriente directa, y también podemos diseñarlos (de manera más fácil) que trabajen con corriente alterna. Sin embargo, un motor de cd puede no operar con corriente alterna, y uno de ca puede no operar con corriente directa, según su diseño (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 14.1).

¿Cuál es la corriente efectiva o el voltaje? Como el valor medio de una corriente alterna es cero, ¿cómo podemos caracterizar el tamaño de una corriente alterna? Puesto que la potencia disipada en una resistencia es proporcional al cuadrado de la corriente, es lógico usar la media aritmética de la corriente cuadrada como medida. (Elevar al cuadrado un número negativo da como resultado un número positivo.) Para calcular una corriente efectiva, por tanto,

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268 Capítulo 13 Circuitos eléctricos

fenómenos cotidianos

cuadro 13.2

El interruptor oculto en tu tostador Situación. ¿Alguna vez te has preguntado por qué el pan salta de repente de un tostador eléctrico cuando ya está tostado? ¿O por qué una cafetera se enciende y apaga para mantener caliente el café? ¿Dónde está el interruptor en estos circuitos? Muchas aplicaciones con elementos de calefacción también usan algún tipo de termostato. Un termostato es un interruptor sensible a la temperatura que interrumpe un circuito cuando la temperatura alcanza cierto punto. ¿Cómo funciona y dónde podríamos encontrarlo en el tostador?

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Una banda bimetálica se flexiona cuando se calienta porque los dos metales tienen diferentes razones de expansión térmica. La flexión de la banda forma o interrumpe un circuito.

Los tostadores, los calentadores eléctricos y las cafeteras están entre las aplicaciones que contienen termostatos. ¿Cómo funcionan sus termostatos?

Análisis. Si desarmas un tostador o una cafetera (¡primero asegúrate que esté desconectada! ) y sigues los cables dentro del aparato, en general encontrarás una banda o lámina de metal que forma parte del circuito. Esa banda se halla casi siempre cerca de los cables de entrada, en un punto donde puede detectar el calor generado por los serpentines calentadores del aparato. Aunque parece simple, esta banda especial de metal y sus conexiones forman el termostato. La banda especial de metal es una banda bimetálica hecha de dos tipos de metal unidos por sus lados largos. como los metales se expanden a diferentes razones a medida que su temperatura aumenta, el calentamiento del aparato hace que un lado de la banda bimetálica crezca más que el otro. Como los dos metales están unidos, esta razón diferencial de expansión provoca que la banda se flexione, como en el dibujo. El metal con la mayor razón de expansión está en el exterior de la curva, y el metal con la menor razón está en el interior, con lo que se compensa la mayor longitud del metal con la mayor razón de expansión.

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No es difícil ver cómo un dispositivo como éste se ha usado como interruptor. Si hacemos que la banda forme parte del circuito eléctrico, puede entrar en contacto con una lengüeta de metal en su estado sin flexionar y después jalar e interrumpir el circuito cuando se calienta y se flexiona, como en el dibujo. En un tostador, la banda forma parte de un sistema de liberación mecánico. Cuando la manija del tostador se oprime hacia abajo, un trinquete la mantiene en su lugar contra la tensión de un resorte. La flexión de la banda bimetálica libera al trinquete, lo que hace que el pan tostado salte al mismo tiempo que el circuito eléctrico se interrumpe. En aparatos como los termostatos ambientales, donde se requiere mayor sensibilidad a pequeños cambios de temperatura, la banda bimetálica en general se flexiona hacia una bobina. Esto permite que una banda mucho más larga se use en un espacio pequeño. También proporciona un método práctico para ajustar el punto fijo del termostato. Una perilla o disco nos permite aflojar o apretar la bobina, con lo que se restablece la temperatura a la que los cambios causados por el calentamiento interrumpirán el circuito. Este efecto físico simple que implica diferentes razones de expansión térmica de distintos metales se usa mucho en los aparatos eléctricos. Quizá hay aplicaciones que aún no se han inventado. Tal vez podrías inventar una y obtener la patente.

24/10/07 10:34:00

13.5 Corriente alterna y circuitos domésticos

269

I

Ip

I ef

t

1 __ s 60

I ef = 0.707 Ip

figura 13.17

La corriente eléctrica trazada en función del tiempo para una corriente alterna. La corriente efectiva Ief es 0.707 por la corriente máxima Ip.

V

115 V

160 V

t

1 __ s 60

figura 13.18

Voltaje doméstico trazado contra el tiempo. El pico de voltaje es aproximadamente de 160 V si el voltaje efectivo es de 115 V.

primero elevamos al cuadrado la corriente, promediamos este valor a lo largo del tiempo y obtenemos la raíz cuadrada del resultado.* Para una variación senoidal con el tiempo, este proceso produce una corriente efectiva de aproximadamente siete décimas (con más precisión, 0.707) del valor máximo de la corriente (figura 13.17). Si la variación de voltaje por una toma de corriente eléctrica se traza contra el tiempo, obtenemos otra curva senoidal (figura 13.18). El valor efectivo de este voltaje, obtenido de la misma forma que para la corriente, en general se halla entre 110 y 120 volts en América del Norte. La electricidad doméstica estándar suministrada en Estados Unidos es de 115 volts, ca de 60 hertz. En otras partes del mundo se emplean otros voltajes y frecuencias; por tanto, los aparatos con motores eléctricos (como las rasuradoras o las secadoras de pelo) pueden requerir adaptadores para funcionar adecuadamente en diversos lugares. * La corriente efectiva a veces se llama corriente rms por las siglas en inglés de raíz media cuadrada debido a este método de cálculo.

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Podemos usar estos valores de corriente y voltaje efectivos para analizar los circuitos de corriente alterna y para calcular valores de energía eléctrica como hicimos para los circuitos de corriente directa (véase el cuadro de ejemplo 13.4).

¿Cómo están conectados los circuitos domésticos? Imagina que conectas un aparato eléctrico a una toma de corriente. ¿Ello crea un circuito en serie o un circuito en paralelo con otros aparatos eléctricos? ¿El voltaje disponible depende de los demás aparatos conectados al mismo circuito? Éstas son preguntas prácticas con implicaciones cotidianas. Los circuitos domésticos siempre están conectados en paralelo para asegurar que es posible añadir o quitar aparatos eléctricos del circuito sin afectar el voltaje disponible para cada uno (figura 13.19). En general, varias tomas de corriente están conectadas como parte del mismo circuito. Cada vez que conectas otro aparato, creas otro bucle en el circuito en paralelo.

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270 Capítulo 13 Circuitos eléctricos Fusible

A la línea principal

13.19 Un circuito doméstico típico puede tener varios aparatos eléctricos conectados en paralelo. Un fusible o interruptor de circuito está conectado en serie en una terminal del circuito.

figura

cuadro de ejemplo 13.4

Indicadores de potencia y de corriente de algunos aparatos eléctricos

Ejercicio: física de un foco

Aparato

Potencia (W)

Corriente (A)

horno

6 000 (220 V)

27

secadora de ropa

5 400 (220 V)

25

calentador de agua

4 500 (220 V)

20

lavadora de ropa

1 200

10

P ΔV

lavadora de trastes

1 200

10

plancha eléctrica

1 100

9

60 W 120 V

cafetera

Un foco de 60 W está diseñado para funcionar con ca de 120 V. a) ¿Cuál es la corriente efectiva tomada del foco? b) ¿Cuál es la resistencia del filamento del foco? a) P = 60 W

P = IΔV

ΔVefectiva = 120 V

I =

Iefectiva = ?

=

= 0.5 A b) R = ?

A partir de la ley de Ohm: ΔV = IR R = =

ΔVefectiva Iefectiva 120 V 0.5 A

= 240

A medida que añades más dispositivos, la corriente total tomada del circuito aumenta, ya que la resistencia total efectiva del circuito disminuye cuando se añaden resistencias en paralelo. Una corriente demasiado grande podría provocar que los cables se calentaran demasiado. Como protección contra un sobrecalentamiento, añadimos un fusible o interruptor de circuito en serie con una terminal del circuito. Si la corriente llega a ser demasiado grande, el fusible se fundirá o el interruptor se activará. Todo el circuito se interrumpe y no fluirá corriente hacia ninguno de los aparatos conectados.

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tabla 13.1

1 000

8

tostadora

850

7

secadora de pelo

650

5

procesador de alimentos

500

4

ventilador grande

240

2

televisión en color

100

0.8

ventilador pequeño

50

0.4

computadora personal

45

0.4

radio reloj

12

0.1

Estos valores varían según el tamaño y diseño del aparato.

El indicador de corriente o de potencia de un aparato indica la corriente máxima que usa normalmente. Un foco de 60 watts tomará sólo la mitad de un ampere, como en el ejercicio del cuadro de ejemplo 13.4. Como un circuito doméstico común se funde entre 15 a 20 A, varios focos de 60 watts podrían encenderse sin que el fusible se funda. Un tostador o una secadora de pelo, por su parte, necesitan mucho más corriente que un foco de luz común. Un tostador con frecuencia toma de 5 a 10 amperes y puede ocasionar problemas si está conectado al mismo circuito que otro aparato eléctrico con un elemento de calefacción. Encontrará

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Resumen

los indicadores de corriente o potencia impresos en alguna parte del aparato. En la tabla 13.2 te damos algunos valores característicos. Salvo cuando se indique lo contrario, una línea de voltaje efectivo de 120 V se usa para calcular la corriente de los indicadores de potencia de esta tabla. Los aparatos con requisitos de potencia mayores como los hornos, las secadoras de ropa y los calentadores de agua en general están conectados a una línea de 220 V separada. Como puedes observar en la tabla 13.2, los aparatos con elementos de calefacción requieren más potencia que dispositivos como los ventiladores o los procesadores de alimentos, que usan la potencia principalmente para hacer funcionar un motor eléctrico. Los dispositivos electrónicos como los televisores o los radios requieren menos potencia. Es buena idea revisar el indicador de potencia o de corriente de cada aparato y estar al tanto de cuáles otros están presentes cuando conectas un tostador de pan o un aparato similar en una toma de corriente nueva. Si un tostador que toma 7 A y una cafetera que toma 8 A están en uso y conectados al mismo circuito que una lavadora de trastes que toma 10 A, puedes fundir un fusible o activar el interruptor del circuito. No tienes que ser un electricista para comprender lo básico de los circuitos eléctricos. La caja de fusibles o del interruptor

271

en tu casa debe indicar dónde se localiza cada circuito dentro de la casa y el valor del límite de corriente del fusible o interruptor del circuito. Cambiar el fusible o restablecer el interruptor es una operación de rutina que todos podemos hacer. La comprensión de las ideas expuestas en este capítulo nos ayudará a usar los aparatos eléctricos de manera segura.

La corriente directa fluye en una sola dirección, pero al alternar los flujos de corriente hacia adelante y hacia atrás, su dirección cambia continuamente. Debido a que los valores medios de la corriente alterna y el voltaje son cero, describimos las magnitudes de estas cantidades usando la corriente efectiva o el voltaje. Los circuitos domésticos operan con ca de 115 V a 60 Hz en Norteamérica. Cuando un aparato eléctrico se conecta a una toma de corriente, se conecta en paralelo con otros aparatos eléctricos en ese circuito. Un fusible o interruptor de circuito en una terminal del circuito limita la corriente total que puede fluir en ese circuito. Debes estar conciente de los requisitos de corriente cuando varios aparatos eléctricos estén funcionando en el mismo circuito, en particular si los aparatos eléctricos tienen elementos de calefacción.

resumen Empezando con el ejemplo simple de encender el foco de una linterna, expusimos los conceptos de circuito eléctrico, corriente eléctrica y resistencia eléctrica. La ley de Ohm y la relación entre potencia y corriente también se usaron para analizar las conexiones en serie y en paralelo y algunas funciones básicas de los circuitos domésticos.

1

Circuitos y corriente eléctricos. Un circuito eléctrico es una trayectoria de conducción cerrada por la que puede fluir carga. La razón de flujo de la carga se llama corriente eléctrica. Tiene unidades de carga por unidad de tiempo, o amperes. +

también debe fluir por los otros, los elementos están conectados en serie. Cuando la corriente puede ramificarse en diferentes trayectorias, los elementos están conectados en paralelo. La resistencia equivalente de una combinación en paralelo es menor que la de cualquiera de sus componentes. R1

R2

R3

Rserie = R1 + R2 + R3

+ +

Circuitos en serie y paralelos. Cuando los elementos 3están conectados en línea de modo que la corriente que pasa por uno

+ q

I = t_

de Ohm y resistencia. La resistencia es la propie2dad queLeypresenta un elemento de un circuito de oponerse al flujo de corriente. La ley de Ohm establece que la corriente que fluye por un elemento es proporcional a la diferencia de voltaje en ese elemento e inversamente proporcional a la resistencia.

R1 R2 R3 1 ______ 1 + __ 1 + __ 1 = __ Rparalelo R1 R2 R3

R ΔV

I = ΔV R

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24/10/07 10:34:05

272 Capítulo 13 Circuitos eléctricos

4

Energía eléctrica y potencia. Como el voltaje es energía potencial por unidad de carga, al multiplicar una diferencia de voltaje por la carga el resultado es energía. Puesto que la corriente es la razón del flujo de carga, al multiplicar una diferencia de voltaje por la corriente se obtiene potencia, la razón del uso de la energía. La potencia suministrada por una fuente debe ser igual a la potencia disipada en las resistencias.

5

Corriente alterna y circuitos domésticos. Los circuitos domésticos usan corriente alterna, la cual invierte continuamente su dirección, a diferencia de la corriente directa, la cual fluye en una sola dirección. Cuando conectamos aparatos eléctricos, los conectamos en paralelo con otros aparatos eléctricos en el mismo circuito. El fusible o interruptor de circuito usado para limitar la corriente está en serie con una terminal del circuito.

I 1.5 V P = I 2R

I ef

Ip

0

t

I ef = 0.707 Ip P = εI P = ε I = I 2R

conceptos clave corriente directa, 267 corriente alterna, 267 curva senoidal, 267

conductividad, 259 fuerza electromotriz, 260 circuito en serie, 261 circuito paralelo, 262

circuito, 254 corriente eléctrica, 255 ley de Ohm, 259 resistencia, 259

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

el dibujo siguiente. Indica con un dibujo dónde colocarías el segundo cable para hacer que el foco encienda. Explica tu decisión en cada caso.

P1. Abajo se muestran dos arreglos de una batería, foco y cable. ¿Cuál de ellos, si es que alguno, encenderá el foco? Explica por qué. 1.5 V

1.5 V

1.5 V a) 1.5 V a)

b)

P2. Tienes dos cables, una batería y un foco. Uno de los cables ya está conectado en cada uno de los arreglos mostrados en

GRIFFITH 13.indd 272

b)

P3. En un circuito simple de batería y foco, ¿la corriente eléctrica que entra en éste en el lado más cercano a la terminal positiva de la batería es mayor que la corriente que sale del foco en el lado opuesto? Explica por qué. P4. ¿Corriente eléctrica y carga eléctrica son lo mismo? Explica.

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Preguntas P5. Considera el circuito mostrado abajo, donde los cables están conectados a ambos lados de un bloque de madera y al foco. ¿El foco encenderá en este arreglo? Explica por qué.

273

P9. Considera los dos letreros mostrados abajo, ubicados en diferentes laboratorios de física. ¿Cuál de ellos indica que debes tener más cuidado? Explica por qué. ¡Peligro! 100,000 Ω

¡Peligro! 10,000 V

P10. Si disminuimos la diferencia de potencial en una resistencia de un circuito, ¿la corriente que fluye por ella aumenta, permanece igual o disminuye? Explica por qué.

1.5 V

Bloque de madera

*P6. Considera el circuito mostrado abajo. ¿Podríamos aumentar la intensidad de la luz del foco conectando un alambre entre los puntos A y B? Explica por qué. A

ε

P11. Una batería agotada aún indica un voltaje cuando se conecta un buen voltímetro en las terminales. ¿La batería puede seguir usándose para encender un foco? Explica por qué. P12. Cuando una batería se está usando en un circuito, ¿el voltaje en sus terminales será menor que el medido cuando no hay corriente que se esté tomando de ella? Explica por qué. P13. Dos resistores están conectados en serie con una batería como se muestra en el diagrama. R1 es menor que R2. a) ¿Por cuál de los dos resistores, si es que por alguno, fluye mayor corriente? Explica por qué. b) ¿En cuál de los dos resistores, si es que por alguno, hay una mayor diferencia de voltaje? Explica por qué. R1

B

*P7. Dos diagramas de circuitos se muestran enseguida. ¿Cuál de ellos, si es que alguno, hará que el foco se encienda? Explica tu análisis de cada caso.

ε

R2

Interruptor abierto

1.5 V 1.5 V

b)

a)

P8. Si usamos una pinza de metal sin recubrimiento para sostener los cables colocados en el circuito de batería y foco mostrado. ¿Esto será eficaz para mantener al foco encendido con luz intensa? Explica por qué.

1.5 V

P14. En el circuito mostrado abajo, R1, R2 y R3 son tres resistores de diferentes valores. R3 es mayor que R2 y R2 que R1. ε es la fuerza electromotriz de la batería, cuya resistencia interna es insignificante. ¿Por cuál de los tres resistores pasa un mayor flujo de corriente? Explica por qué.

ε

R1

R2

R3 *P15. En el circuito mostrado en la pregunta 14, ¿en cuál de los tres resistores, si es que en alguno, hay una mayor diferencia de voltaje? Explica por qué. *P16. Si desconectamos R2 del resto del circuito mostrado en el diagrama de la pregunta 14, ¿la corriente que pasa por R3 aumenta, disminuye o permanece igual? Explica por qué. P17. Cuando la corriente pasa por una combinación de resistores en serie, ¿la corriente se vuelve más pequeña a medida que pasa por cada resistor en la combinación? Explica por qué.

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24/10/07 10:34:06

274 Capítulo 13 Circuitos eléctricos P18. En el circuito mostrado abajo, el círculo con una V representa un voltímetro. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es correcta? Explica por qué. a) El voltímetro está en la posición correcta para medir la diferencia de voltaje en R. b) La corriente no fluirá por el medidor, así que no tendrá ningún efecto. c) El medidor tomará una corriente grande.

ε

+

+ R

V

+

+ R

P22. Si la corriente que pasa por cierto resistor se duplica, ¿la potencia disipada en ese resistor también lo hace? Explica por qué. P23. ¿La potencia que proporciona una batería depende de la resistencia del circuito conectado a ella? Explica por qué. P24. ¿Cuál fuente de energía aumenta la energía potencial del agua en la presa de una central hidroeléctrica? Explica cómo lo hace. *P25. ¿Una batería conectada a un motor eléctrico representa una máquina de movimiento perpetuo (véase el capítulo 11)? Explica por qué.

P19. En el circuito mostrado abajo, el círculo con una A representa un amperímetro. ¿Cuál de estas afirmaciones es correcta? Comenta cada una. a) El medidor está en la posición correcta para medir la corriente que pasa por R. b) No pasará corriente por el medidor, así que no tendrá ningún efecto conectarlo de ese modo. c) El medidor tomará una corriente considerable de la batería.

ε

P21. ¿Energía eléctrica es lo mismo que potencia eléctrica? Explica por qué.

A

P26. Al usar un voltímetro de cd, es importante conectar la terminal positiva del medidor en la dirección correcta en el circuito respecto a la terminal de la batería. ¿Es probable que esto también se aplique al uso de un voltímetro de ca? Explica por qué. P27. ¿Cuál de estos aparatos tiene mayor probabilidad de ocasionar un problema de sobrecarga cuando está conectado a un circuito que ya tiene otros aparatos tomando corriente: una rasuradora eléctrica, una cafetera o un televisor? Explica por qué. P28. ¿Sería lógico conectar un fusible o un interruptor de circuito en paralelo con otros elementos de un circuito? Explica por qué. P29. Si los aparatos conectados a un circuito doméstico estuvieran conectados en serie en vez de estarlo en paralelo. ¿Qué desventajas habría en este arreglo? Explícalas.

P20. ¿Normalmente cuál tendrá la mayor resistencia: un voltímetro o un amperímetro? Explica por qué.

P30. ¿Cómo una banda bimetálica interrumpe un circuito cuando las cosas se calientan? Explícalo.

ejercicios E1. Una carga de 30 C pasa a razón constante por un resistor en 5 s. ¿Qué corriente pasa por el resistor? E2. Una corriente de 2.5 A fluye por una batería durante 1 min. ¿Cuánta carga pasa por la batería en ese tiempo? E3. Un resistor de 24 Ω en un circuito tiene una diferencia de voltaje de 6 V en sus terminales. ¿Cuál es la corriente que pasa por este resistor? E4. Una corriente de 1.5 A pasa por una resistencia de 18 Ω. ¿Cuál es la diferencia de voltaje en esta resistencia? E5. Una corriente de 0.6 A fluye por un resistor con una diferencia de voltaje de 120 V en él. ¿Cuál es la resistencia de este resistor? E6. Tres resistores de 20 Ω están conectados en serie a una batería de 6 V de resistencia interna insignificante. a) ¿Qué corriente pasa por cada resistor? b) ¿Cuál es la diferencia de voltajes en cada resistor?

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E7. Un resistor de 40 Ω y otro de 60 Ω están conectados en serie a una batería de 12 V. a) ¿Qué corriente pasa por cada resistor? b) ¿Cuál es la diferencia de voltaje en cada resistor? E8. En el circuito siguiente, la resistencia de 1 Ω es la resistencia interna de la batería y puede considerarse que está en serie, como se muestra, con la batería y la carga de 9 Ω. a) ¿Qué corriente fluye por el resistor de 9 Ω? b) ¿Cuál es la diferencia de voltaje en el resistor de 9 Ω?

3V

+

1Ω

9Ω

24/10/07 10:34:07

Problemas de síntesis E9. Tres resistores están conectados a una batería de 6 V como se muestra. La resistencia interna de la batería es insignificante. a) ¿Qué corriente pasa por el resistor de 15 Ω? b) ¿La misma corriente fluye por el resistor de 25 Ω? c) ¿Cuál es la diferencia de voltaje en el resistor de 20 Ω?

12 V

+

24 Ω

24 Ω

275

24 Ω

15 Ω

6V

+

20 Ω

E13. Una batería de 9 V en un circuito simple produce una corriente de 1.5 A por el circuito. ¿Cuánta potencia suministra? E14. Un resistor de 30 Ω tiene una diferencia de voltaje de 3 V a través de sus terminales. a) ¿Qué corriente pasa por el resistor? b) ¿Qué potencia se disipa en este resistor?

25 Ω E10. Dos resistores, cada uno con una resistencia de 8 Ω, están conectados en paralelo. ¿Cuál es la resistencia equivalente de esta combinación? E11. Tres resistores de 3 Ω, 6 Ω y 2 Ω están conectados en paralelo entre sí. ¿Cuál es la resistencia equivalente de esta combinación? E12. Tres resistores idénticos, cada uno de 24 Ω, están conectados en paralelo como se muestra en el esquema. La combinación está conectada a una batería de 12 V cuya resistencia interna es insignificante. a) ¿Cuál es la resistencia equivalente de esta combinación en paralelo? b) ¿Cuál es la corriente total que pasa por la combinación? c) ¿Cuánta corriente fluye por cada resistor en la combinación?

E15. Un foco de 60 W funciona con un voltaje efectivo de ca de 110 V. a) ¿Cuál es la corriente efectiva que pasa por el foco? b) Con base en la ley de Ohm, ¿cuál es la resistencia del foco? El6. Un tostador toma corriente de 7 A cuando se conecta a una línea de ca de 110 V. a) ¿Cuál es su consumo de potencia? b) ¿Cuál es la resistencia del elemento de calefacción del tostador? E17. Una secadora de ropa utiliza 5 500 W de potencia cuando está conectada a una línea de ca de 220 V. ¿Cuánta corriente toma de la línea?

problemas de síntesis PS1. En el circuito mostrado abajo, la resistencia interna de la batería puede considerarse insignificante. a) ¿Cuál es la resistencia equivalente de la combinación de dos resistores en paralelo? b) ¿Cuál es corriente total que pasa por la batería? c) ¿Qué corriente fluye por el resistor de 6 Ω? d) ¿Cuál es la potencia disipada en el resistor de 8 Ω? e) ¿La corriente que fluye por el resistor de 8 Ω es mayor o menor que la que pasa por el de 6 Ω? Explica por qué.

1.5 V

+

6Ω

12 Ω

PS3. En el circuito que aparece abajo, la batería de 6 V está colocada de manera opuesta a la de 9 V. El voltaje total de las dos se calculará mediante una resta. a) ¿Qué corriente fluye por el circuito? b) ¿Cuál es la diferencia de voltaje en el resistor de 20 Ω? c) ¿Cuál es la potencia suministrada por la batería de 9 V? d) ¿La batería de 6 V se está cargando o descargando en este arreglo? 50 Ω

9V

+

6V

+

20 Ω 8Ω PS2. Tres focos de 30 Ω están conectados en paralelo a una batería de 1.5 V con resistencia interna insignificante. a) ¿Qué corriente fluye por la batería? b) ¿Qué corriente fluye por cada foco? c) Si un foco se funde, ¿la intensidad de la luz de los otros dos cambia? Explica por qué.

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PS4. En la combinación de los resistores de 3 Ω que se muestra en el diagrama de la página siguiente, hay dos combinaciones en paraelelo que, a su vez, están en serie con el resistor de en medio. a) ¿Cuál es la resistencia de cada una de las dos combinaciones en paralelo? b) ¿Cuál es la resistencia total equivalente entre los puntos A y B?

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276 Capítulo 13 Circuitos eléctricos c) Si hay una diferencia de voltaje de 6 V entre los puntos A y B, ¿qué corriente pasa por toda la combinación? d) ¿Qué corriente fluye por cada uno de los resistores en la combinación de tres resistores en paralelo? 3Ω

3Ω 3Ω

A

3Ω

3Ω

B

PS5. Un tostador de 600 W, una plancha de 1200 W y un procesador de alimentos de 500 W están conectados al mismo circuito doméstico de 115 V, con un fusible de 15 A. a) ¿Qué corriente toma cada uno de estos aparatos? b) Si todos los aparatos se encienden al mismo tiempo, ¿habrá problemas? Explica por qué. c) ¿Cuál es la resistencia del elemento de calefacción de la plancha?

3Ω

experimentos y observaciones para la casa EC1. Si tienes una linterna a la mano, tienes un ejemplo funcional de un circuito simple de batería y foco. a) Abre la linterna, saca las baterías y quita el foco. ¿Puedes ver cómo opera el interruptor? ¿Qué hace contacto cuando el interruptor está cerrado? Haz un dibujo del interruptor para hacer esto más claro. b) ¿Cómo están hechas las conexiones al foco en la linterna? c) Si dejas el foco en el socket, ¿puedes hacer que se encienda usando alambres externos para hacer conexiones a las baterías? Traza el esquema que funciona. EC2. Si tienes dos focos de linterna, una batería de linterna y algunos cables o alambres disponibles, puedes tratar de construir una serie de circuitos en serie y paralelos tú mismo. Los alambres pueden enrollarse alrededor de cada foco para sostenerlos, y la base de contacto puede ser cualquier objeto de metal que puedas tocar con otro cable. Los sockets del foco de una linterna pueden ser útiles. a) Construye un circuito en serie con los dos focos y la batería. Observa el brillo de los focos cuando están encendidos. (Si utilizas sólo una batería, tal vez su brillo sea tenue.) b) Ahora construye un circuito con los dos focos en paralelo. Nota la intensidad del brillo de los focos en este caso. c) Construye un circuito con solo un foco y compara el brillo del foco en esta situación con el brillo que observaste en los incisos a y b.

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EC3. Algunos focos están diseñados para operar a diferentes niveles de brillo. Localiza un foco de este tipo ya sea en tu casa, en la escuela o en tu tienda local. a) Destornilla el foco del socket y examina su base. Traza un boceto de los puntos en los que se puede hacer contacto eléctrico con la base del foco. b) Desconecta la lámpara y examina el socket. ¿Cómo hace contacto eléctrico con el foco? (Si no tienes una lámpara a mano, en una ferretería podrás encontrar a la venta sockets de tres sentidos que puedes examinar.) c) Si puedes ver el interior del foco, ¿cuántos filamentos identificas? d) Desarrolla una explicación para la manera en que el foco puede producir tres niveles de brillo según la posición del interruptor. EC4. Localiza todos los aparatos eléctricos que utilices en tu habitación o en una sola habitación de tu casa. a) ¿Puedes encontrar los indicadores de corriente o de potencia en ellos? ¿Cuáles son? b) Incluso si no encuentras los indicadores de potencia para estos aparatos, ¿puedes calcular (con ayuda de la tabla 13.2) aproximadamente cuánta corriente toman? Clasifica los aparatos eléctricos en orden del que probablemente toma más corriente al que probablemente toma menos. c) ¿Es probable que surja un problema si conectas y enciendes todos los aparatos al mismo tiempo en un solo circuito con un fusible de 20 A?

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Imanes y electromagnetismo

descripción del capítulo

esquema del capítulo

1 2 3 4 5

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Imanes y fuerza magnética. ¿Qué son los polos de un imán? ¿En qué se parece la fuerza magnética a la electrostática? ¿Por qué funciona una brújula y cuál es la naturaleza del campo magnético de la Tierra? Efectos magnéticos de las corrientes eléctricas. ¿Qué relación hay entre corrientes eléctricas y fuerzas y campos magnéticos? ¿Cómo se describe la fuerza magnética en términos de cargas en movimiento?

capítulo

14

Efectos magnéticos de espiras con corriente. ¿Cuáles son las características magnéticas de los circuitos cerrados? ¿En qué se parece un circuito cerrado eléctrico a una barra de imán? Ley de Faraday: inducción electromagnética. ¿Cómo pueden producirse corrientes eléctricas cuando se usan campos magnéticos? ¿Qué es la ley de Faraday? Generadores y transformadores. ¿Cómo puede usarse la ley de Faraday para explicar cómo funcionan los generadores y los transformadores eléctricos? ¿Qué importancia tienen estos dispositivos en la producción y la transmisión de energía eléctrica?

unidad tres

Luego de describir el comportamiento de los imanes a partir de sus semejanzas con la fuerza electrostática, exploramos la relación entre corrientes eléctricas y fuerzas magnéticas. Después exponemos la ley de Faraday, que describe cómo pueden generarse las corrientes eléctricas mediante la interacción con los campos magnéticos (inducción electromagnética). Nuestro objetivo principal consiste en captar la naturaleza de las fuerzas y los campos magnéticos, así como de la ley de Faraday de la inducción electromagnética.

24/10/07 10:44:45

278 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo

¿R

ecuerdas que cuando eras niño jugabas con imanes para el refrigerador? Podías acomodar a tu gusto las letras y figuras de plástico, con imanes pequeños en la parte posterior. Se pegaban en la puerta de acero gracias a los imanes, hecho que has aceptado desde que tenías más o menos cuatro años. Son una herramienta de enseñanza maravillosa, al tiempo que un juguete, ya que con las letras puedes formar palabras sencillas (figura 14.1). Gracias a estos juguetes, en general estamos más familiarizados con las fuerzas magnéticas que con las electrostáticas. Hemos jugado con pequeños imanes en forma de herradura y con brújulas, tal vez incluso con electroimanes simples hechos de un clavo de acero, un alambre y una batería. Sabemos que hay una fuerza que atrae a los imanes ciertos tipos de metales pero no otros. Igual que la fuerza gravitacional y la electrostática, esta fuerza actúa incluso cuando los objetos no están en contacto entre sí. Aunque la fuerza magnética es conocida, también puede ser un misterio. Más allá de estos hechos simples que acabamos de mencionar, quizá nuestra comprensión de la fuerza magnética sea limitada. ¿En qué se parece a la fuerza electrostática y en qué difiere de ella? En un nivel más fundamental, ¿existe una relación entre los efectos eléctricos y el magnetismo? Nuestra mención de los electroimanes sugiere que sí la hay. En efecto, hay una conexión entre las corrientes eléctricas y las fuerzas magnéticas. Esa relación se descubrió a principios del siglo XIX y culminó en una teoría del electromagnetismo desarrollada durante la década de 1860

figura 14.1

Una niña juega con letras con imanes en la parte posterior que se pegan a la puerta del refrigerador. ¿Cuál es la fuerza que mantiene las letras unidas a la puerta?

por el físico escocés James Clerk Maxwell. En la primera parte del siglo XX se hizo evidente que la fuerza electrostática y la magnética en realidad eran simplemente aspectos distintos de una fuerza electromagnética fundamental. Nuestros conocimientos de las relaciones que hay entre la electricidad y el magnetismo han desembocado en numerosos inventos que tienen papeles de enorme importancia en la tecnología moderna; entre ellos se cuentan los motores y los generadores eléctricos, los transformadores y muchos otros dispositivos.

14.1 Imanes y fuerza magnética Si recoges varios imanes de tu casa u oficina (figura 14.2) puedes establecer hechos básicos respecto a su comportamiento con algunos experimentos simples. Quizá ya sabes que los imanes atraen clips, clavos o cualquier objeto metálico hecho de hierro o acero. No atraen objetos hechos de plata, cobre o aluminio, ni la mayoría de los objetos no metálicos. Los imanes también se atraen entre sí pero sólo si los extremos se alinean de manera apropiada; de no ser así, la fuerza entre ellos es de repulsión, no de atracción. Los tres elementos magnéticos más comunes son los metales hierro, cobalto y níquel. Los imanes pequeños para pegar cosas a la puerta del refrigerador o a gabinetes metálicos están hechos de combinaciones de estos tres metales, con otros elementos añadidos para obtener las propiedades deseadas. Los primeros imanes que se conocieron fueron una forma de hierro llamada magnetita, la cual se presenta en la naturaleza y con frecuencia está magnetizada débilmente. La existencia de la magnetita se conocía desde la antigüedad, y sus propiedades habían sido durante largo tiempo una fuente de curiosidad y asombro.

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figura 14.2

Una colección de imanes. ¿Dónde es probable que se encuentren los polos en cada uno de ellos?

¿Qué son los polos magnéticos? Si miras de cerca algunos de los imanes de tu colección, tal vez encuentres que sus extremos están etiquetados con las letras N y S para norte y sur. Si exploramos el origen de estas etiquetas, descubriremos que originalmente significaban que busca el norte y que busca el sur. Si suspendes una barra de imán mediante un hilo atado alrededor de su parte media y

24/10/07 10:44:48

14.1 Imanes y fuerza magnética

279

le permites que gire con entera libertad en torno al punto de suspensión, con el tiempo entrará en reposo con un extremo apuntando aproximadamente al Norte. Éste es el extremo o polo magnético que etiquetamos con N; por consiguiente, el otro se etiqueta como S. Si tus imanes están etiquetados de esta forma, reconocerán de inmediato que los polos opuestos de dos imanes se atraen entre sí. El polo norte de uno atrae el polo sur del otro. Si sostienes los imanes firmemente en cada mano y acercas los dos polos norte uno al otro, puedes sentir una fuerza de repulsión que los empuja, alejándolos. Lo mismo es válido para dos polos sur. De hecho, si uno de los imanes está sobre la mesa y tratas de acercar los polos iguales, el imán sobre la mesa se girará de modo que el polo opuesto entre en contacto con el polo del imán que se aproxima. Estas observaciones simples pueden resumirse en una regla que acaso aprendiste primero como parte de una unidad de ciencia en la escuela primaria (figura 14.3):

figura 14.4

Polos iguales se repelen; polos diferentes se atraen.

Imanes de anillo se elevan sobre una barra de madera vertical. La barra evita que los imanes giren hacia los lados.

Hay una clara similitud aquí con las reglas para las fuerzas electrostáticas entre cargas iguales y diferentes. La regla para los imanes, no obstante, ya era muy conocida antes que la de la fuerza electrostática. Es divertido jugar con imanes, persiguiéndolos unos con otros. En general, los imanes pequeños de disco o anillo tienen sus polos en los lados opuestos. Si acercas una barra de imán pequeña a polos iguales que están uno frente al otro, el disco puede alejarse de un salto o hacer un giro rápido y ser atraído a la barra de imán. A veces el giro es tan veloz que es difícil verlo. Si los imanes tienen forma de anillos pequeños, puedes hacer que leviten fácilmente sobre una barra delgada de madera, como se muestra en la figura 14.4. Algunos imanes parecen tener más de dos polos: debe haber un polo sur y uno norte en alguna parte en medio del imán. Las limaduras de hierro esparcidas sobre una hoja de papel colocada en la parte superior del imán mostrarán dónde están sus polos. Las limaduras se agruparán de manera más densa cerca de los polos (figura 14.5).

figura 14.5

Las limaduras de hierro pueden usarse para observar el campo magnético alrededor de una barra de imán simple.

Fuerza magnética y la ley de Coulomb La similitud entre el comportamiento de los polos magnéticos y las cargas electrostáticas va más allá de las reglas de atracción y repulsión. Si intentamos medir cómo varía la fuerza que ejercen dos polos entre sí con la distancia o la intensi-

S

N

S

N

figura 14.3 repelen.

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F

F

F

F

S

N

N N

S

Polos distintos se atraen y polos iguales se

dad de polo, hallaremos un comportamiento semejante al de la ley de Coulomb para la fuerza electrostática. De hecho, Coulomb mismo hizo las mediciones iniciales y estableció primero la ley de la fuerza de los imanes. Coulomb tomó sus mediciones con imanes sustituyendo barras de imanes delgadas por esferas de metal en su balanza de torsión (véase la sección 12.3). Los imanes deben ser lo suficientemente largos para que los polos opuestos estén lo suficientemente alejados del punto de medición de modo que su efecto pueda ignorarse. Los experimentos de Coulomb mostraron que la fuerza magnética entre dos polos disminuye con el cuadrado de la distancia que los separa, precisamente como sucede con la

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280 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo fuerza electrostática. La fuerza también es proporcional a una cantidad llamada intensidad de polo de cada polo. Algunos imanes son más fuertes que otros y la magnitud de la fuerza ejercida por uno sobre el otro depende de la intensidad de polo de ambos.

¿Podemos asociar las líneas de campo con los imanes? Un imán siempre es al menos un dipolo magnético: no podemos aislar por completo un solo polo magnético. Un dipolo se compone de dos polos opuestos separados cierta distancia. Si bien puede haber más de dos polos, al parecer nunca puede haber menos de dos. Los físicos han hecho un esfuerzo considerable por hallar monopolos magnéticos (partículas que consten de un solo polo magnético aislado), pero no hay datos convincentes de que los haya. Si dividimos un dipolo magnético a la mitad siempre se producirán dos dipolos. Por tanto, en este aspecto los polos magnéticos no son similares a las cargas eléctricas. Las cargas positivas y negativas pueden aislarse. Los dipolos eléctricos sí existen, se componen de cargas iguales pero opuestas separadas por una pequeña distancia, como en la figura 14.6. Las líneas de campo eléctrico producidas por un dipolo eléctrico se originan en la carga positiva y terminan en la negativa. ¿Un dipolo magnético tiene líneas de campo parecidas? De hecho podemos definir un campo magnético cuyas líneas de campo para un dipolo magnético sean semejantes a las líneas del campo eléctrico de un dipolo eléctrico. (La definición de campo magnético se considera con más detalle en la sección 14.2.) Las líneas de campo magnético surgen en el polo norte del dipolo y van hacia el polo sur (figura 14.6). Sin embargo, a diferencia de las líneas de campo eléctrico, las de campo magnético no terminan, sino que forman lazos continuos. Puedes hacer este diseño geométrico visible si esparces limaduras de hierro en una hoja de papel colocada sobre una barra de imán.

B

Las limaduras se alinean en la dirección del campo. Si colocamos un dipolo eléctrico en un campo eléctrico producido por otras cargas, el dipolo se alineará con este campo. Las fuerzas que actúan en cada carga del dipolo se combinan para producir un momento de torsión en éste que lo hace girar hacia la dirección del campo (figura. 14.7). De igual modo, un dipolo magnético se alinea con un campo magnético producido externamente. Ésta es la razón por la que las limaduras de hierro se alinean con las líneas de campo alrededor de un imán. Las limaduras se magnetizan en presencia del campo y cada una se vuelve un pequeño dipolo magnético.

¿La Tierra es un imán? La aguja de una brújula es un dipolo magnético. Las primeras brújulas se hacían equilibrando un cristal delgado de magnetita sobre un soporte de modo que pudiera girar libremente. Como sabes, el polo norte (o que busca el norte) del imán apuntará hacia el Norte, aunque no exactamente hacia ese punto. La invención de la brújula fue de gran ayuda para la navegación en los mares a principios del Renacimiento. Antes los marineros eran incapaces de navegar en días o noches nublados en los que no podían guiarse por el Sol o las estrellas. ¿La Tierra es un imán? ¿A qué tipo de campo magnético responde la aguja de la brújula? La brújula fue inventada por los chinos, pero un físico inglés llamado William Gilbert (1540-1603) fue el primero en estudiar estos fenómenos pormenorizadamente. Gilbert indicó que la Tierra se comporta como un gran imán. Puedes formarte una idea del campo magnético producido por nuestro planeta si imaginas que en su interior hay una enorme barra de imán orientada como se muestra en la figura 14.8. (No tomes esta imagen literalmente; se trata de un mero recurso para describir el campo.) Como los polos opuestos se atraen, el polo sur del imán de la Tierra debe apuntar en una dirección hacia el norte. El polo que busca el norte de la brújula se alinea hacia el Norte a lo

E

N

S

+

–

figura 14.6

Las líneas de campo magnético producidas por un dipolo magnético forman un esquema geométrico similar al de las líneas de campo eléctrico producidas por un dipolo eléctrico. Sin embargo, las líneas de campo magnético forman lazos continuos.

GRIFFITH 14.indd 280

24/10/07 10:44:59

14.2 Efectos magnéticos de las corrientes eléctricas Campo magnético B

Campo eléctrico E

F

F

N

+

S

– F

F

281

Los imanes simples tienen dos polos, casi siempre etiquetados como norte y sur, lo cual obedece a reglas de las fuerzas como las de las cargas eléctricas. Polos iguales se repelen y polos diferentes se atraen, y la fuerza que ejercen entre sí es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Hasta donde sabemos, no existen monopolos magnéticos aislados: el imán más simple es un dipolo. Las líneas de campo magnético de un dipolo magnético forman un esquema geométrico similar a las líneas de campo eléctrico de un dipolo eléctrico. La Tierra parece un dipolo magnético grande con su polo sur magnético apuntando más o menos hacia el Norte.

figura 14.7

Un dipolo magnético se alinea con un campo magnético producido externamente del mismo modo que un dipolo eléctrico se alinea con un campo eléctrico. Eje de rotación

S N

figura 14.8

El campo magnético de la Tierra puede representarse si imaginas una barra de imán dentro del planeta (no existe, desde luego), orientada como se muestra en la figura.

largo de las líneas de campo producidas por el planeta. Sin embargo, el eje del campo magnético de la Tierra no está alineado exactamente con su eje de rotación. Como el eje rotacional define el Norte geográfico o Norte verdadero, la aguja de la brújula no apunta exactamente hacia el Norte en la mayoría de los lugares. En la costa este de Estados Unidos, el norte magnético está unos cuantos grados al oeste del verdadero Norte, mientras que en la costa oeste está varios grados al este del Norte real. En alguna parte en medio de ese país, el polo magnético y el polo verdadero son idénticos. La ubicación precisa de esa línea varía ligeramente con el tiempo. No sabemos exactamente cómo se produce el campo magnético de la Tierra, aun cuando se han desarrollado modelos que representan muchas de sus características. La mayor parte de tales modelos suponen que las corrientes eléctricas asociadas con el movimiento de fluidos en el núcleo terrestre son responsables de ello. Pero ¿qué relación guardan las corrientes eléctricas con los campos magnéticos?

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14.2 Efectos magnéticos de las corrientes eléctricas La invención de la batería por Volta en 1800 hizo posible producir corrientes eléctricas continuas por primera vez. Antes, las corrientes sólo se producían como descargas rápidas de carga acumulada en experimentos electrostáticos. La conexión de un alambre largo y delgado en las dos terminales de la batería de Volta permitía un flujo de carga mucho más constante. Los científicos pudieron entonces estudiar las corrientes eléctricas como nunca antes. Las semejanzas entre los efectos magnéticos y electrostáticos estudiadas en la sección 14.1 llevaron a los científicos a sospechar que había una conexión directa entre la electricidad y el magnetismo. Las mismas personas con frecuencia se dedicaron al estudio de ambas áreas. William Gilbert exploró tanto los efectos electrostáticos como el magnetismo, y Charles Coulomb midió la ley de la fuerza tanto para los polos magnéticos como para las cargas eléctricas. Luego de 20 años de inventada la batería, el científico danés Hans Christian Oersted (1777-1851) hizo un descubrimiento asombroso.

Un efecto inesperado El descubrimiento inicial de Oersted del efecto magnético de una corriente eléctrica fue hecho durante una demostración en una conferencia en 1820. Las demostraciones suelen no salir exactamente como se planea, pero éste es un caso donde la falla fue fortuita. Oersted demostraba los efectos de las corrientes eléctricas y tenía una brújula en la mano. Observó que su aguja se desviaba cuando cerraba un circuito que constaba de un alambre largo y una batería. Él había usado antes una brújula cerca de un alambre que transportaba corriente, pero no había notado ningún efecto. Otros científicos también habían buscado esos efectos sin éxito, así que la desviación de la aguja de la brújula durante la conferencia de Oersted fue inesperada. Para no parecer un tonto frente de sus estudiantes, decidió explorar la situación con más detenimiento una vez que terminó la conferencia. Encontró un efecto reproducible en la aguja siempre que la corriente fuera lo suficientemente grande y la brújula y el alambre estuvieran situados de ciertas maneras.

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282 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo

I

I N

E

I

B

figura 14.9

Con el alambre orientado a lo largo de una línea que va de norte a sur, la aguja de la brújula se desvía hacia fuera de esa línea cuando fluye corriente por el alambre.

Los extraños aspectos direccionales de este efecto recientemente descubierto explicaban por qué no se había observado antes. Para obtener el máximo efecto con un alambre horizontal, éste ha de estar orientado a lo largo de una línea que va de norte a sur (a lo largo de la cual la aguja apuntaría si no hubiera corriente). Cuando se permite el paso de corriente, la aguja se desvía del norte (figura 14.9). Al parecer, el campo magnético producido por la corriente en el alambre es perpendicular a la dirección de la corriente. Un estudio posterior de Oersted y sus colaboradores mostró que las líneas de campo magnético producidas por un alambre recto que transporta corriente forma círculos centrados en el alambre. Oersted no habló sobre las líneas de campo sino sobre la dirección en que apuntó la aguja de la brújula en varias posiciones. Cuando colocó la brújula debajo del alambre, la aguja se desvió en la dirección opuesta de la que lo hizo cuando estaba encima del alambre. Una simple regla de la mano derecha describe la dirección del campo. Si imaginas sostener el alambre en tu mano derecha con tu pulgar apuntando en la dirección de la corriente eléctrica, tus dedos envuelven el alambre en la dirección de las líneas de campo magnético (figura 14.10). No es de sorprender que el efecto se debilite a medida que la brújula se aleja del alambre. Se necesita una corriente de algunos amperes para obtener una desviación grande de la aguja, aun cuando la brújula esté a unos centímetros del alambre. Las primeras baterías no podían mantener corrientes grandes. Esta limitación, junto con la dirección inesperada del efecto, quizá retrasó su descubrimiento.

La fuerza magnética en un alambre que lleva corriente Si podemos producir campos magnéticos con corrientes eléctricas, ¿las corriente se comportan como imanes en otros aspectos? ¿Una corriente eléctrica experimenta una fuerza magnética en presencia de un imán u otro alambre que transporte corriente? Esta pregunta fue explorada por muchos científicos, quienes se emocionaron con el descubrimiento de Oersted; entre ellos estaba André Marie Ampére, en Francia. Ampére descubrió que existe una fuerza ejercida por un alambre sobre otro que transporta corriente. Demostró detalladamente que esa fuerza está relacionada con el efecto magnético descubierto por Oersted y que no puede explicarse como un

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14.10 La regla de la mano derecha da la dirección de las líneas de campo magnético que circundan un alambre que transporta corriente. El pulgar apunta en la dirección de la corriente y los dedos envuelven el alambre en la dirección de las líneas de campo.

figura

I1

I2

F

F r

14.11 Dos alambres paralelos que transportan corriente ejercen una fuerza de atracción entre sí cuando las dos corrientes tienen la misma dirección.

figura

efecto electrostático. En general, un alambre que lleva corriente es eléctricamente neutro, sin carga neta positiva o negativa. Ampére midió la intensidad de la fuerza magnética entre dos alambres paralelos que transportan corriente y estudió cómo ésta varía con la distancia que separa los alambres y la cantidad de corriente en cada uno (figura 14.11). Los experimentos de Ampére demostraron que la fuerza magnética entre dos alambres paralelos es proporcional a las dos corrientes (I1 e I2) e inversamente proporcional a la distancia r que los separa. En general establecemos esta relación como 2k′ I1I2 F = , r l donde la constante k′ es igual a 1 × 10–7 N/A2, y F/l representa la fuerza por unidad de longitud del alambre. Cuanto más largo sea éste, mayor será la fuerza. La fuerza ejercida por un alambre sobre el otro es de atracción cuando las corrientes fluyen en la misma dirección, y de repulsión cuando circulan en direcciones opuestas.

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14.2 Efectos magnéticos de las corrientes eléctricas

El valor extrañamente simple de la constante k′ no es accidental. Definimos la unidad de corriente, el ampere, usando esta relación y midiendo la fuerza entre dos alambres que transportan corriente: Un ampere (A) es la cantidad de corriente que fluye por cada uno de dos alambres paralelos separados una distancia de 1 metro y que produce una fuerza por unidad de longitud sobre cada alambre de 2 × 10–7 N/m (newtons por metro).

El ampere es la unidad básica del electromagnetismo. Se estandariza por medio de mediciones de la fuerza magnética entre dos alambres. El coulomb se define a partir de ampere. Como la corriente se define como carga por unidad de tiempo (I = q/t), la carga es el resultado de la corriente multiplicada por el tiempo (q = It). Por tanto, 1 coulomb es igual a 1 ampere-segundo (1 C = 1 A·s).

La fuerza magnética en una carga en movimiento ¿Cuál es la naturaleza básica de la fuerza magnética? Las fuerzas magnéticas son ejercidas por imanes sobre otros imanes (sección 14.1), por imanes sobre alambres que transportan corriente y por alambres que transportan corriente entre sí. Puesto que la corriente eléctrica es el flujo de carga eléctrica, al parecer obtenemos fuerzas magnéticas cuando las cargas se mueven. ¿El movimiento de carga es de cierta forma un criterio fundamental para que haya fuerzas magnéticas? Ampere también trató de responder a esta pregunta durante la década de 1820. Piensa en la dirección de la fuerza que ejerce un alambre que transporta corriente sobre otro: esta fuerza es perpendicular a la dirección de la corriente. Debido a que la dirección de la corriente eléctrica es la del flujo de carga positiva, cabe suponer que una fuerza magnética es ejercida sobre las cargas en movimiento en el alambre. Esta fuerza debe ser perpendicular a la velocidad de las cargas para que sea consistente con la fuerza observada sobre un alambre (figura 14.12). La fuerza magnética sobre un alambre que transporta corriente alcanza su valor máximo cuando el alambre está perpendicular a la dirección del campo magnético. Todos estos hechos indican que se ejerce una fuerza magnética sobre una carga en movimiento. Esta fuerza es proporcional a la canti-

283

dad de carga y a la velocidad de la carga en movimiento (las cuales se relacionan con la corriente por las cargas que fluyen por el alambre) y con la intensidad del campo magnético. En símbolos, escribimos esto como F = qvB, donde q es la carga, v su velocidad y B la intensidad del campo magnético. No obstante, para que esta relación sea válida la velocidad ha de ser perpendicular al campo. Sin embargo, la carga no puede estar restringida a un alambre. Esta expresión para la fuerza magnética en realidad define la magnitud del campo magnético. Al dividir entre q y v, puede escribirse en la forma B=

F , qv⊥

donde v⊥ denora la componente de la velocidad que es perpendicular al campo. A partir de esta definición, la unidad de campo magnético es igual a 1 newton por ampere-metro (N/A·m), el cual ahora se llama tesla (T). Igual que el campo eléctrico es la fuerza electrostática por unidad de carga, el campo magnético es la fuerza magnética por unidad de carga y unidad de velocidad. Si la velocidad de la carga es cero, no hay fuerza magnética, pero el campo magnético podría aún estar presente. El campo magnético es la fuerza por unidad de carga y unidad de velocidad que se ejercería si una carga en movimiento estuviera presente con su velocidad perpendicular al campo.

¿Cuál es la dirección de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento? Otra regla de la mano derecha, ilustrada en la figura 14.13, se usa para describir la dirección de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento. Si apuntas el dedo índice de tu mano derecha en la dirección de la velocidad de una carga positiva, y el dedo de en medio en la dirección del campo magnético, el pulgar apuntará en la dirección de la fuerza magnética sobre la carga en movimiento. Esta fuerza siempre es perpendicular tanto a la velocidad como la dirección del campo. La fuerza sobre una carga negativa está en la dirección opuesta de una carga en movimiento en la misma dirección del campo.

F

B

I +q

+

v

B

F

figura 14.12

La fuerza magnética ejercida sobre las cargas en movimiento de una corriente eléctrica es perpendicular tanto a la velocidad de las cargas como al campo magnético.

GRIFFITH 14.indd 283

+

v

14.13 Si el dedo índice de la mano derecha apunta en la dirección de la velocidad de la carga y el dedo de en medio en la dirección del campo magnético, el pulgar indicará la dirección de la fuerza magnética que actúa sobre una carga positiva.

figura

24/10/07 10:45:02

284 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo

cuadro de ejemplo 14.1 Ejercicio: fuerza magnética Un alambre recto con una longitud de 15 cm transporta una corriente de 4 A. El alambre está orientado en forma perpendicular al campo magnético con una magnitud de 0.5 T. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre él? l = 15 cm = 0.15 m

F = IlB

I = 4A

= (4 A)(0.15 m)(0.5 T)

B = 0.5 T

= 0.3 N

(La dirección de esta fuerza será perpendicular tanto a la corriente en el alambre como al campo magnético, como se describe mediante la regla de la mano derecha en la figura 14.13.)

Debido a que la fuerza magnética sobre una carga en movimiento es perpendicular a la velocidad de la carga, esta fuerza no realiza trabajo sobre la carga y no puede aumentar su energía cinética. La aceleración resultante de la carga es una aceleración centrípeta que cambia la dirección de la velocidad de la carga. Si esta última se mueve en dirección perpendicular a un campo magnético uniforme, la fuerza magnética sesgará la trayectoria de la partícula cargada para formar un círculo. El radio del círculo está determinado por la masa y la rapidez de la partícula, y puede calcularse aplicando la segunda ley de Newton (véase el problema de síntesis 2). Como la dirección de la corriente eléctrica es la misma que la del flujo de carga positiva, la regla de la mano derecha usada para encontrar la dirección de la fuerza sobre una carga en movimiento también sirve para describir la dirección de la fuerza sobre un alambre que transporta corriente. En este caso, el dedo índice apunta en la dirección de la corriente y el dedo de en medio y el pulgar tienen los mismos significados que antes. La fuerza magnética sobre un segmento de alambre puede expresarse en términos del campo magnético como F = IlB, donde I es la corriente, l la longitud del segmento de alambre y B la intensidad del campo magnético (véase el cuadro de ejemplo 14.1). La dirección de la corriente debe ser perpendicular al campo para que sea válida esta expresión, la cual es simplemente otra forma de escribir la relación F = qvB. El producto de la carga por la velocidad (qv) se sustituye por el producto de la corriente por la longitud del segmento de alambre (Il). La fuerza magnética es ejercida por las cargas en movimiento entre sí. Como las corrientes eléctricas son cargas en movimiento, también podemos decir que la fuerza magnética es una fuerza ejercida por las corrientes eléctricas entre sí, y siempre podemos reemplazar el producto qv con el producto Il en expresiones en que intervengan campos o fuerzas magnéticos. Oersted descubrió que, cuando se orientaba apropiadamente, una corriente eléctrica provocaba una desviación de la aguja de una brújula. Continuando con la investigación de este experi-

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mento, Ampére mostró que un alambre que transporta corriente eléctrica ejerce una fuerza magnética sobre otro alambre. Como una corriente eléctrica consiste en cargas en movimiento, el tamaño de un campo magnético puede definirse como la fuerza por unidad de carga por unidad de velocidad, siempre que la velocidad sea perpendicular al campo magnético.

14.3 Efectos magnéticos de espiras con corriente Hasta este punto, los alambres que transportan corriente que hemos considerado han sido rectos, aun cuando deben doblarse en alguna parte para completar el circuito eléctrico. Muchas aplicaciones del electromagnetismo suponen espiras de alambre. Las bobinas de alambre se usan en electroimanes, motores y generadores eléctricos, transformadores y en una gran cantidad de otras aplicaciones. ¿Qué sucede cuando devanamos (enrollamos) un alambre que transporta corriente hasta formar una bobina? ¿Cómo se ve el campo magnético y cómo afectan otros campos magnéticos a la bobina? La intensa actividad experimental de la década de 1820 que siguió al descubrimiento de Oersted exploró estas preguntas. Ampére, igual que muchos otros científicos, era activo en su trabajo.

El campo magnético de una espira con corriente Como estudiamos en la sección 14.2, las líneas de campo magnético alrededor de un alambre recto forman círculos centrados en el alambre. Imagina el proceso de doblar un alambre como éstos para formar una espira circular: ¿qué pasa con las líneas de campo? Muy cerca del alambre, presumiblemente las líneas de campo aún serán círculos. No obstante, hacia el centro del circuito los aportes del campo producidos por diferentes segmentos de alambre están todos aproximadamente en la misma dirección. Se suman para proporcionar un campo intenso en el centro.

B

I I

14.14 Cuando un alambre que transporta corriente se dobla para formar una espira circular, los campos magnéticos producidos por diferentes segmentos del alambre se suman para producir un campo intenso cerca del centro de la espira.

figura

24/10/07 10:45:03

285

14.3 Efectos magnéticos de espiras con corriente

B

B

N S

I I

14.15 El campo magnético producido por una espira con corriente es idéntico a uno producido por una pequeña barra de imán (un dipolo magnético).

figura

Eje de rotación

El campo resultante se representa en la figura 14.14. Las líneas de campo están muy juntas cerca del centro de la espira, lo que indica un campo intenso. El campo también es intenso cerca del alambre mismo. Más lejos de la espira, el campo se debilita, como cabría esperar. Lo mismo que las líneas de campo en un alambre recto, las líneas de campo magnético para la espira con corriente se sesgan hasta encontrarse a sí mismas, por lo que forman lazos cerrados. Observa que el campo mostrado en la figura 14.14 se parece al de una barra de imán (figura 14.6). De hecho, si la barra es lo suficientemente pequeña, como en la figura 14.15, los patrones de los campos son idénticos. Podríamos concluir que una espira con corriente es un dipolo magnético, ya que su campo es el mismo que el dipolo más conocido, la barra de imán.

¿Hay un momento de torsión magnético en una espira con corriente? La similitud entre una espira con corriente y una barra de imán va más allá de los campos producidos. Si colocas una espira con corriente en un campo externo, experimenta un momento de torsión, como lo haría una barra de imán si no estuviera inicialmente alineada con el campo. Es posible usar una o varias espiras de alambre con corriente como la aguja de una brújula, pues su eje (perpendicular al plano de la espira) se alinearía con un campo externo, del mismo modo que la aguja de una brújula normal. Podemos ver fácilmente el origen del momento de torsión en una espira con corriente si consideramos una espira en forma de rectángulo, como en la figura 14.16. Cada segmento de la espira rectangular es un alambre recto, y la fuerza sobre cada segmento está dada por la expresión F = IlB, presentada en la sección 14.2. La regla de la mano derecha proporciona las direcciones de las fuerzas en la figura 14.13. Haz ejercicios con tu mano derecha y comprueba las direcciones de las fuerzas en el diagrama. Cada uno de los cuatro lados de la espira de la figura 14.16 experimenta una fuerza magnética. Las fuerzas sobre los dos extremos de la espira (F1 y F2) no producen momento de torsión

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F2

F3

B

F4 F1

I

14.16 Las fuerzas sobre cada segmento de una espira rectangular de alambre con corriente se combinan para producir un momento de torsión que tiende a hacer girar la bobina hasta que su plano está perpendicular al campo magnético externo.

figura

respecto al centro de ésta, ya que sus líneas de acción pasan por su centro. Sus brazos de palanca respecto a cualquier eje que pasa por el centro de la espira son cero, y no producen un momento de torsión en torno al centro (véase el capítulo 8 para estudiar el momento de torsión y el movimiento angular.) Las fuerzas en los otros dos lados (F3 y F4) tienen líneas de acción que no pasan por el centro de la espira, siempre que el plano de la espira no esté perpendicular al campo magnético externo. A partir del diagrama, vemos que estas dos fuerzas se combinan para producir un momento de torsión que tiende a hacer girar la espira respecto al eje mostrado, de modo que su plano termina perpendicular al campo magnético. Como las fuerzas magnéticas sobre los segmentos de la espira son proporcionales a la corriente eléctrica que fluye por la espira, la magnitud del momento de torsión sobre ésta

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286 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo

B

N

S

Bobina Resorte

I

–

+

I

14.18 Una bobina de alambre que transporta corriente produce un campo magnético mayor que una sola espira y es proporcional en intensidad al número de espiras en la bobina.

figura

figura 14.17

Un amperímetro simple se compone de una bobina de alambre, un imán permanente y un resorte de restitución para regresar la aguja a cero cuando no fluya corriente por la bobina.

también es proporcional a la corriente. Este hecho hace que el momento de torsión en una bobina con corriente sea útil para medir la corriente eléctrica. La mayoría de los amperímetros simples tienen una bobina de alambre con una aguja conectada a ella en su centro. Un imán permanente proporciona el campo magnético, y un resorte regresa la aguja a cero cuando no hay corriente (figura 14.17). Este momento de torsión también es la base de operación de los motores eléctricos. Sin embargo, para mantener la bobina girando la corriente que pasa por ella debe invertir las direcciones cada media vuelta. De lo contrario, la bobina entraría en reposo con el resto del plano de su espira perpendicular al campo magnético externo. La corriente alterna es adecuada para hacer funcionar motores eléctricos, pero también podemos diseñar motores que trabajen con corriente directa (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 14.1). Hay motores eléctricos en todas partes, desde de arranque de un automóvil hasta los de los aparatos eléctricos para la cocina, las aspiradoras, las lavadoras y secadoras, igual que las rasuradoras eléctricas.

¿Cómo hacemos un electroimán? Hemos hablado sobre espiras con corriente y bobinas individuales, que tienen varias espiras, todas devanadas en la misma dirección. Cuando añadimos varias espiras para formar una bobina, ¿el campo magnético es más intenso que para una sola espira? ¿Qué efecto logramos al devanar una bobina de alambre sobre un núcleo de hierro o acero? Podemos concluir fácilmente que el campo magnético producido por una bobina de alambre será más intenso que uno producido por una sola espira que transporta la misma corriente. Los campos magnéticos producidos por cada espira están todos en la misma dirección cerca del eje de la bobina y, por tanto, se suman. La intensidad de campo resultante es proporcional al número de espiras N devanadas en la bobina (figura 14.18). El momento de torsión sobre la bobina, cuando

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se coloca en un campo externo, también es proporcional tanto a la corriente como al número de espiras en la bobina. La eficacia de una bobina de alambre como imán fue descubierta por el científico francés Dominique-Francois Arago (1786-1853) poco tiempo después del descubrimiento de Oersted. Arago observó por primera vez que las limaduras de hierro eran atraídas hacia un alambre de cobre que transporta corriente de un modo muy parecido a como son atraídas hacia un imán. Siguiendo una indicación de Ampére, encontró que el efecto aumenta si el alambre está devanado en forma de una hélice o bobina. Sin embargo, se obtiene un efecto aún mayor si la bobina se devana alrededor de una aguja o un clavo de acero. La capacidad para atraer limaduras de hierro en este caso es mejor que la mayoría de los imanes naturales. Arago demostró que este electroimán simple tenía un polo norte y uno sur como los de una barra de imán. De hecho, el campo magnético de una barra de imán es idéntico al producido por un electroimán de la misma longitud e intensidad. Esta similitud llevó a Ampére a sugerir que la fuente del magnetismo en un material naturalmente magnético como la magnetita son espiras con corriente en los átomos que forman el material. Si, por alguna razón, todas esas espiras atómicas con corriente se alinean unas con otras y fijan sus posiciones, el resultado es un imán permanente. En los días de Ampére no se sabía nada acerca de la estructura de los átomos. La estructura atómica se comprendió hasta principios del siglo xx, casi cien años después. Aun así, la teoría de Ampére es extraordinariamente cercana a nuestro punto de vista moderno de lo que ocurre en los metales ferromagnéticos como el acero, níquel, cobalto y sus aleaciones. Ahora sabemos que las espiras con corriente se asocian con los espines de los electrones en los átomos. Apenas recientemente hemos entendido por qué estos espines tienden a alinearse en los materiales ferromagnéticos pero no en otros. Diez años después del descubrimiento inicial de Oersted, en 1820, del efecto magnético de una corriente eléctrica

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14.3 Efectos magnéticos de espiras con corriente

fenómenos cotidianos

287

cuadro 14.1

Motores de corriente directa Situación. Cuando eras niño, tal vez hayas construido un motor de corriente directa que funcionaba con baterías de linterna. Se venden equipos baratos y la construcción de motores es una actividad científica común en los grados de nivel medio. ¿Cómo funciona un motor de corriente directa? ¿Cómo podemos mantener el rotor en movimiento en la misma dirección sin usar una fuente de poder de corriente alterna? ¿Cómo podemos variar la rapidez del motor? Análisis. Hay muchas formas de construir un motor, pero las más sencillas en general adoptan la ilustrada en el dibujo. Una bobina de alambre se devana sobre un rotor montado de tal manera que puede girar entre las caras del polo de un imán permanente en forma de herradura. La bobina se conecta a una batería mediante contactos deslizables que se encuentran en cualquiera de los lados de un anillo partido montado sobre el eje del rotor.

Bobina

S 1.5 V

illo An rtido N pa

Cepillos

Un motor de cd simple consta de un rotor de alambre devanado montado sobre un eje entre las caras de los polos de un imán permanente. El anillo partido hace que la corriente invierta las direcciones cada media vuelta.

Si consideramos el rotor un electroimán tendremos una manera sencilla de entender cómo funciona el motor. El polo sur del rotor es atraído hacia el polo norte del imán en forma de herradura, lo que lo hace girar. Cuando el rotor llega a la posición donde estos dos polos están más cercanos, la corriente que pasa por el rotor se invierte. Los contactos de la batería cruzan el vacío entre las dos mitades del anillo partido conectado a la bobina, de modo que los extremos opuestos de la bobina ahora están conectados a las terminales positivas y negativas de la batería. Esta inversión en la corriente cambia la polaridad de los electroimanes. Lo que había sido el polo sur ahora se vuelve el polo norte y viceversa. Como su cantidad de movimiento lleva el rotor

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más allá de la posición vertical, su polo norte recientemente creado ahora será atraído al polo sur del imán con forma de herradura, lo que lo hará seguir girando en la misma dirección en que había estado moviéndose. El momento de torsión sobre el rotor proviene de la atracción de los polos opuestos de los dos imanes, el electroimán del rotor y el imán permanente con forma de herradura. Cada media vuelta, los polos del electroimán se voltean debido al efecto de los contactos del anillo partido. Este arreglo de anillo partido es una característica crucial de los motores de corriente directa y se llama conmutador de anillo partido. Consta de dos bandas de metal en forma de semicírculos, cada una conectada a un extremo de la bobina, montadas sobre un cilindro aislante. Los medios anillos de metal forman contactos deslizables con bandas de metal de posición fija o cepillos en cualquier lado del cilindro. Un motor de corriente alterna no necesita un conmutador de anillo partido porque la corriente invierte la dirección cada medio ciclo. Aunque hemos considerado el rotor como un electroimán, también podríamos ver el momento de torsión sobre el rotor como resultado de las fuerzas magnéticas sobre los elementos de la corriente en cualquier lado de la bobina (véase la figura 14.16 en la sección 14.3). Cuando la corriente en ella invierte su dirección, estas fuerzas también lo hacen, de modo que el momento de torsión puede mantenerse en la dirección apropiada. La rapidez de un motor cd está relacionada con el voltaje aplicado, una conveniencia en situaciones donde se necesita un motor de rapidez variable. A primera vista, esta dependencia del voltaje podría no parecer sorprendente, pero su explicación en realidad se deriva de la ley de Faraday (sección 14.4), no de la de Ohm. Si comparas nuestra descripción de un motor con la del generador de la sección 14.5, puedes quedar admirado por el parecido de estos dos dispositivos. De hecho, podríamos usar un motor como generador si suministráramos energía eléctrica desde una fuente externa para hacer girar el rotor. Esto ocurre cuando un automóvil híbrido frena, como se describió en el cuadro 11.1. Puesto que un motor se comporta como un generador, hay un voltaje “contrario” o fuerza contraelectromotriz inducida en la bobina del rotor debido a la ley de Faraday y al flujo magnético en constante cambio que pasa por la bobina. La magnitud de este voltaje inducido aumenta a medida que la velocidad rotacional de la bobina disminuye, como ocurre en un generador. Se requiere un mayor voltaje de la fuente de energía para superar la mayor fuerza contraelectromotriz inducida a medida que la velocidad rotacional del rotor aumenta. Para alcanzar mayores velocidades, por tanto, el voltaje aplicado debe aumentar. Un motor de corriente alterna en general opera a rapidez fija, pero la rapidez de un motor de corriente directa puede variarse continuamente si modificamos el voltaje de la energía que se le suministra.

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288 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo muchos de los fenómenos del electromagnetismo fueron explorados y descritos meticulosamente. En buena medida, Ampére lideró este trabajo y también fue responsable del desarrollo de la teoría matemática relacionada con las fuerzas magnéticas sobre los alambres y las bobinas que transportan corriente. Su teoría, que relaciona el magnetismo en los imanes naturales con los circuitos cerrados de los átomos, completó el vínculo entre la electricidad y el magnetismo. Todos los efectos magnéticos pueden considerarse la acción de corrientes eléctricas o cargas en movimiento. El campo magnético de una sola espira de alambre que transporta corriente eléctrica es idéntico al de una barra de imán pequeña o dipolo magnético. Lo mismo que una barra de imán, una espira con corriente también experimenta un momento de torsión cuando se coloca en un campo magnético producido externamente. Este momento de torsión es la base del funcionamiento de los motores eléctricos simples. El efecto aumenta si devanamos el alambre en una bobina y es mayor aún si colocamos un núcleo de hierro en su centro. Una bobina devanada alrededor de un núcleo de hierro se vuelve un electroimán si hacemos pasar corriente por la bobina. Podemos considerar que los imanes naturales se componen de espiras con corriente autoalineadas con los espines de los electrones de los átomos del material magnético.

14.4 Ley de Faraday: inducción electromagnética El trabajo de Oersted, Ampére y otros estableció firmemente que las fuerzas magnéticas están asociadas con las corrientes eléctricas. A partir del concepto de campo introducido por Maxwell, ahora sabemos que una corriente eléctrica produce un campo magnético. ¿Qué hay respecto a lo inverso? ¿Los campos magnéticos pueden producir una corriente eléctrica? Michael Faraday tuvo su comienzo en la ciencia como asistente del químico inglés sir Humphry Davy. El principal interés de Davy, y gran parte de los primeros trabajos de Faraday, radicaba en la acción química de las corrientes eléctricas, o electrólisis. Posteriormente, Faraday comenzó una serie de experimentos para explorar la posibilidad de producir una corriente eléctrica a partir de los efectos magnéticos.

¿Qué mostraron los experimentos de Faraday? Faraday estaba conciente de que los efectos magnéticos de las corrientes eléctricas aumentan con las bobinas, así que empezó sus experimentos devanando de bobinas de alambre sin conectar en el mismo cilindro de madera. Una bobina estaba conectada a una batería y la otra a un galvanómetro (éste mide tanto la dirección como el tamaño de la corriente eléctrica). Faraday quería ver si podía detectar una corriente en la bobina conectada al galvanómetro cuando fluía una corriente por la otra bobina conectada a la batería. Los resultados de estos primeros experimentos fueron negativos: no detectó ninguna corriente en la segunda bobina.

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Sin dejarse intimidar, Faraday persistió al devanar bobinas más y más grandes. Finalmente, con bobinas de alrededor de 61 metros de alambre de cobre, observó un efecto. Aún no había evidencia de una corriente continua en la segunda bobina, pero había una desviación muy breve y débil de la aguja del galvanómetro cuando conectaba la primera bobina a la batería. Había otra desviación momentánea en la dirección opuesta cuando interrumpía el contacto con la batería. Faraday no había esperado este efecto, pero los experimentadores no pueden elegir qué resultados obtener. Mediante experimentos posteriores, Faraday encontró que podía obtener una desviación considerablemente mayor (aunque todavía momentánea) si devanaba las dos bobinas en un núcleo de hierro (figura 14.19) en vez de hacerlo en un cilindro de madera. Faraday devanó dos bobinas en ambos lados de un anillo de hierro soldado. Una bobina, la primaria, estaba conectada a una batería, la otra, la secundaria, a su galvanómetro. De nuevo, la aguja del galvanómetro se desviaba en una dirección cuando el circuito primario estaba cerrado al hacer contacto con la batería y en la dirección opuesta cuando el circuito primario estaba interrumpido. No se detectó corriente en la bobina secundaria cuando había una corriente continua en la bobina primaria. Sólo si esta corriente principal se cambiaba cuando el circuito estaba cerrado o interrumpido se observaba una desviación. La intensidad de la desviación era proporcional al número de espiras de alambre devanadas en la bobina secundaria y la potencia de la batería usada con la bobina primaria. Faraday comenzó a plantear la idea de que era posible inducir una corriente eléctrica por medio de efectos magnéticos que cambian con el tiempo, en vez de hacerlo por la presencia de un estado estacionario de un imán o de una corriente eléctrica. Faraday continuó con esta idea con muchos otros experimentos. Uno de ellos suponía mover una barra de imán permanente hacia dentro y hacia fuera de una bobina helicoidal de alambre conectada a un galvanómetro (figura 14.20). Cuando el imán se movía hacia dentro, la aguja del galvanómetro se desviaba en una dirección. Cuando el imán se movía hacia fuera, la aguja se desviaba en la dirección opuesta. Cuando el imán no se movía, no ocurría ninguna desviación. Éste es un B Galvanómetro

I

Batería Bobina primaria

Bobina secundaria

14.19 El campo magnético producido por la bobina primaria se canalizó a través de la bobina secundaria por el anillo de hierro utilizado en uno de los experimentos de Faraday.

figura

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14.4 Ley de Faraday: inducción electromagnética

v

N

o

14.20 Un imán movido hacia dentro o hacia fuera de una bobina helicoidal de alambre produce una corriente eléctrica en la bobina.

figura

efecto fácil de demostrar con equipo disponible en casi cualquier laboratorio de física.

289

Debemos dar una calificación importante a esta definición. El flujo máximo se obtiene cuando las líneas de campo pasan por el circuito en una dirección perpendicular al plano del circuito. Si las líneas de campo son paralelas a este plano, no hay flujo porque esas líneas no pasan por el circuito (figura 14.21). Para tener en cuenta este hecho, usamos sólo una componente de B que es perpendicular al plano de la espira para calcular el flujo. Ahora podemos hacer un enunciado cuantitativo de la ley de Faraday que resume los resultados de sus experimentos: Un voltaje (fuerza electromotriz) es inducido en un circuito cuando un flujo magnético cambiante pasa por el circuito. El voltaje inducido es igual a la razón de cambio del flujo magnético. En símbolos,

ε

=

ΔΦ . t

La ley de Faraday Los resultados de todos los experimentos de Faraday indican que una corriente eléctrica es inducida en una bobina o circuito cuando el campo magnético que pasa por el circuito está cambiando. Como la cantidad de corriente que fluye en el circuito secundario depende de la resistencia de ese circuito, en general expresamos estos resultados en términos del voltaje inducido y no de la corriente. Sin embargo, para construir un enunciado cuantitativo que describa este efecto debemos definir de algún modo cuánto del campo magnético pasa por el circuito. Este problema posterior fue resuelto al introducir el concepto de flujo magnético. El flujo magnético está relacionado con el número de líneas de campo magnético que pasan por el área delimitada por la espira de alambre. Para una espira simple de alambre que está en un plano perpendicular al campo magnético, el flujo magnético es el producto del campo magnético B y el área A delimitada por la espira (figura 14.21). En símbolos, la definición de flujo se expresa como sigue: Φ = BA.

La letra griega Φ (phi) es el símbolo normal usado para representar el flujo. Φ = BA Φ B Φ=0 Φ A

A

B

La razón de cambio del flujo se calcula dividiendo el cambio en el flujo ∆Φ entre el tiempo t requerido para producir tal cambio. El proceso de inducir un voltaje como se describe en la ley de Faraday se llama inducción electromagnética. Cuanto más rápido cambie el flujo magnético que pasa por el circuito, mayor será el voltaje inducido, lo cual puede observarse fácilmente en el experimento que supone el imán en movimiento. Si movemos rápidamente el imán hacia fuera y hacia dentro de la bobina, obtenemos desviaciones más pronunciadas de la aguja del galvanómetro que si lo movemos con lentitud. El flujo magnético que pasa por una bobina de alambre recorre cada espira, por tanto, el flujo total que fluye por la bobina es igual al número de espiras de alambre que tiene ésta por el flujo que pasa por cada espira, o Φ = NBA. (Piensa en el básquetbol profesional para recordar esta expresión.) Cuanto más vueltas de alambre tenga la bobina, mayor será el voltaje inducido. Una bobina de alambre puede usarse para medir la intensidad de un campo magnético. El flujo magnético que pasa por la bobina puede reducirse rápidamente a cero ya sea retirando la bobina del campo o dándole un cuarto de vuelta de modo que las líneas de campo queden paralelas al plano de la bobina. Si conocemos el tiempo requerido para hacer este cambio, podemos obtener la intensidad del campo magnético al medir el voltaje inducido. La aplicación de la ley de Faraday en el cuadro de ejemplo 14.2 invierte este procedimiento al predecir el voltaje inducido a partir de un campo magnético conocido.

La ley de Lenz ¿Podemos predecir la dirección de la corriente inducida en la bobina? La regla para hacerlo, la ley de Lenz, va de la mano con la ley de Faraday y se atribuye a Heinrich Lenz (18041865):

14.21 El flujo magnético que pasa por la espira de alambre tiene su valor máximo cuando las líneas de campo son perpendiculares al plano de la espira. Es cero cuando las líneas de campo son paralelas al plano de la espira y no cruzan el plano.

figura

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La dirección de la corriente inducida generada por un flujo magnético cambiante produce un campo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético original.

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290 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo

cuadro de ejemplo 14.2 Ejercicio: ¿cuánto voltaje se induce? Una bobina de alambre con 50 vueltas tiene un campo magnético uniforme de 0.4 T que pasa por la bobina perpendicular a su plano. La bobina encierra un área de 0.03 m2. Si el flujo que pasa por la bobina se reduce a cero al retirarla del campo en un tiempo de 0.25 segundos, ¿cuál es el voltaje inducido en la bobina?

S

Movimiento del imán

Binducida 

N = 50 vueltas El flujo inicial que pasa por la bobina es: A = 0.03

N

Φ = NBA

B = 0.4 T m2

t = 0.25 s

= (50)(0.40 T)(0.03

m2)

= 0.60 T·m2

I inducida

El voltaje inducido es igual a la razón de cambio del flujo:

v

ε = ΔΦ

Bimán

t

=

− 0) (0.60 (0.25 s) Τ•m2

= 2.4 V

Si el flujo magnético disminuye con el tiempo, el campo magnético producido por la corriente inducida tendrá la misma dirección que el campo externo original, oponiéndose así a la disminución. Por otra parte, si el flujo magnético aumenta con el tiempo, el campo magnético producido por la corriente inducida estará en dirección opuesta al campo externo original, oponiéndose por consiguiente al aumento. La ley de Lenz se ilustra en la figura 14.22. Cuando el imán se mueve hacia la bobina y el flujo aumenta con el tiempo, la corriente inducida está en la dirección contraria a la de las manecillas del reloj. El campo magnético producido por esta corriente inducida es ascendente a través del área delimitada por la bobina, oponiéndose así al aumento en el campo descendente asociado con el imán en movimiento. La ley de Lenz también explica por qué la aguja del galvanómetro se desvió en direcciones opuestas cuando Faraday cerraba o abría el circuito primario en sus experimentos.

¿Qué es la autoinducción? Faraday informó por primera vez los resultados de sus descubrimientos sobre la inducción electromagnética en 1831. Un año después, Joseph Henry (1797-1878), quien trabajaba en la universidad de Princeton, en Estados Unidos, notificó el descubrimiento de un efecto relacionado. Henry experimentaba con electroimanes cuando observó que la chispa o impacto obtenido cuando conectaba un electroimán a una batería era mayor que el obtenido al tocar las terminales de ésta con un alambre sin devanar. Las chispas más grandes se obtenían cuando el circuito se interrumpía.

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14.22 La corriente inducida en la espira de alambre produce un campo magnético ascendente dentro del circuito que se opone al aumento del campo descendente asociado con el imán en movimiento.

figura

Henry exploró este fenómeno con más detalle. Encontró que un alambre largo produce una chispa más grande y que enrollar el alambre en forma de hélice produce una chispa aún mayor. Si el alambre se devana en un clavo de acero para hacer un electroimán, el efecto es todavía más grande. Calibró de manera aproximada la intensidad del impacto al observar a qué distancia con sus brazos levantados podía sentirse. Si podía sentirse sólo en los dedos, no era muy intenso; uno que se sintiera en los codos obviamente era más intenso. Recibes un choque mucho más intenso cuando conectas los alambres de un electroimán a una batería que cuando tocas las terminales de ésta directamente con los dedos. Henry había descubierto la autoinducción. El flujo magnético cambiante que pasa por una bobina de alambre producido cuando ésta está conectada o desconectada de la batería produce un voltaje inducido en la misma bobina. La corriente inducida en la bobina y su campo magnético asociado se oponen al flujo magnético cambiante. La magnitud del voltaje inducido se describe por medio de la ley de Faraday y es proporcional al número de vueltas que tiene la bobina y a la razón de cambio de la corriente en ésta. El voltaje inducido cuando el circuito se interrumpe puede ser varias veces mayor que el voltaje de la batería misma. La autoinducción tiene numerosas aplicaciones. Las bobinas de alambre se utilizan en circuito para uniformar los cambios en la corriente. El voltaje inducido cuando la corriente aumenta hace que el cambio ocurra de manera más lenta que si no estuviera la bobina. Esta fuerza contraelectromotriz inducida se opone a la diferencia de voltaje que está produciendo el aumento de la corriente. Un inductor o bobina añade de

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14.4 Ley de Faraday: inducción electromagnética

fenómenos cotidianos

291

cuadro 14.2

Sensores de vehículos en los semáforos Situación. Cuando te acercas a un semáforo en un automóvil, quizá notas con frecuencia una línea circular o con forma de diamante en el pavimento, como se muestra en la fotografía. Tal vez sepas que este dibujo en el pavimento se relaciona con la causa del cambio de luz del semáforo. Si tu automóvil no está parado sobre el dibujo, quizá la luz no cambie. ¿Cómo funciona este detector? ¿Qué hay debajo del dibujo en el pavimento? ¿Por qué estos dibujos son cada vez más comunes en las aplicaciones de control de tráfico?

Controlador del semáforo Sistema de circuitos del sensor

La espira de alambre en el pavimento forma parte de un circuito detector que envía una señal a los controles de tiempo del semáforo. El dibujo circular en el pavimento indica la presencia de un detector de vehículos. ¿Cómo funciona este detector?

Análisis. El dibujo en el pavimento oculta una gran espira de alambre con múltiples vueltas. Esta espira o bobina es un inductor. En general se coloca en el pavimento una vez que éste está terminado. Se usa una sierra para cortar una hendidura circular o en forma de diamante en el pavimento y ahí se pone la bobina. Luego se usa un compuesto sellador como la goma para cubrir la espira. El inductor de espira de alambre forma parte de un circuito, cuyo resto en general se halla en alguna parte en el lado de la calle. Puedes ver una línea en el pavimento que contiene alambres que conducen a este circuito o tal vez se hayan puesto antes de que se terminara de colocar el pavimento. El circuito que contiene el inductor está conectado a los controles de tiempo del semáforo como se muestra en el diagrama. ¿Cómo detecta esta espira de alambre la presencia de un automóvil? Cuando tu auto se encuentra sobre la espira, el acero del bastidor del coche incrementa el campo magnético que está produciendo la corriente en la bobina. El efecto es parecido al de colocar un pedazo de hierro dentro de la bobina de un electroimán. La presencia del hierro fortalece el campo magnético, con lo que incrementa la inductancia de la bobina. El hierro es un componente de acero que se usa mucho en los bastidores de automóviles o camiones. No obstante, cualquier metal tendrá cierto efecto en la inductancia, debido a su capacidad para conducir corriente inducida. Como la espira de alambre es parte de un circuito eléctrico, el cambio en la inductancia afectará el comportamiento de és-

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te. Hay muchos diseños de circuitos posibles que podrían usarse para convertir este cambio en la inductancia en una señal que controle al semáforo. Por ejemplo, el inductor podría formar parte de un circuito que oscile y cuya frecuencia dependa del valor de inductancia. El efecto de aumentar la inductancia en la corriente es similar al de aumentar la masa de un oscilador mecánico. Una masa (o inductancia) más grande conduce a una frecuencia de oscilación menor. Este cambio en la frecuencia puede servir para señalar otros sistemas de circuitos presentes en un vehículo. De acuerdo a cómo están programados los controles de tiempo del semáforo, la señal que indica la presencia de un vehículo hará que la luz cambie, quizá después de un breve lapso. Detectores adicionales más atrás de la intersección pueden indicar cuántos vehículos están presentes. Esta información puede emplearse para determinar cuánto tiempo debe permanecer la luz verde encendida para un carril de vuelta o calle transversal. Estos detectores inductivos se han vuelto muy comunes para el manejo del flujo de la circulación. Si el tránsito es pesado en todas direcciones todo el tiempo, entonces se usa un sistema de reloj simple para controlar los semáforos. Si los patrones de tráfico varían con la hora del día y otros factores, entonces se pueden utilizar detectores para optimizar la sincronización de las luces para las condiciones de circulación que haya en ese momento. Por ejemplo, si no hay tránsito en una calle transversal, no tiene sentido detenerlo en una avenida principal o carretera. Si podemos aumentar la eficiencia del flujo de tránsito con técnicas como ésta, podemos reducir la frustración de los conductores y disminuir la necesidad de soluciones costosas de construcción de calles y carreteras.

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292 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo manera efectiva inercia eléctrica al sistema, lo cual reduce los cambios súbitos en la corriente. (Lee el cuadro de fenómenos cotidianos 14.2 para conocer una aplicación de este efecto.) Las bobinas de inducción también se usan para generar pulsos de voltaje grandes como los requeridos para encender las bujías de un automóvil. Michael Faraday descubrió que una corriente eléctrica puede inducirse en una bobina de alambre cuando el campo magnético que pasa por esa bobina está cambiando. La ley de Faraday establece que el voltaje inducido en la bobina es igual a la razón de cambio del flujo magnético que pasa por ella. El flujo magnético se define como el campo magnético por el área encerrada por la bobina. La ley de Lenz establece que la dirección de la corriente inducida genera un campo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético original. Joseph Henry descubrió el efecto relacionado de la autoinducción, en el cual un voltaje se induce en la misma bobina donde se está produciendo el flujo magnético cambiante.

14.23 Un generador simple consta de una bobina de alambre que genera un circuito eléctrico cuando se hace girar entre las caras de los polos de los imanes permanentes.

figura

Φ

14.5 Generadores y transformadores Nuestro uso de la electricidad es tan común que en general no nos detenemos a pensar de dónde proviene la energía eléctrica o cómo se genera. Sabemos que llega a nosotros mediante cables aéreos o subterráneos y que hace funcionar nuestros aparatos, las luces de la casa u oficina y a veces calienta o enfría nuestros hogares. También podemos estar concientes de los transformadores visibles en los postes de electricidad y las subestaciones eléctricas. Los generadores y transformadores eléctricos son fundamentales en la producción y el uso de la electricidad. Los dos se basan en la ley de Faraday de la inducción electromagnética. ¿Cómo funcionan y qué importancia tienen en el sistema de distribución de energía?

t

ε

t

¿Cómo funciona un generador eléctrico?

14.24 Gráficas del flujo magnético Φ y el voltaje inducido ε para un generador eléctrico, trazado en la misma escala de tiempo.

Ya hemos mencionado el uso de los generadores eléctricos en nuestro estudio de los recursos energéticos, en el capítulo 11. La función básica de un generador es convertir la energía mecánica, la cual podría obtenerse de una turbina de agua en una presa o de una turbina de vapor en una central eléctrica, en energía eléctrica. ¿Cómo se hace esto? ¿Cómo interviene la ley de Faraday en la descripción del funcionamiento de un generador? En la figura 14.23 se muestra un generador eléctrico simple. La energía mecánica suministrada al girar el cigüeñal hace rotar la bobina de alambre ubicada entre las caras de los polos de los imanes permanentes. El flujo magnético a lo largo del plano de la bobina tiene su valor máximo cuando este plano es perpendicular a las líneas de campo magnético que pasan entre los polos de los imanes. Cuando la bobina se gira a una posición donde su plano queda paralelo a las líneas de campo, el flujo se vuelve cero. Si seguimos girando la bobina, al pasar este punto las líneas de campo pasan por la bobina en dirección opuesta a la dirección inicial (respecto a la bobina).

La rotación de la bobina hace que el flujo magnético que pasa por ella cambie de manera continua desde un máximo en una dirección, a cero, y luego a un máximo en la dirección opuesta, y así sucesivamente, como se muestra en la gráfica superior de la figura 14.24. Por la ley de Faraday, se induce un voltaje en la bobina debido a este flujo magnético cambiante. La magnitud del voltaje inducido depende de la razón de cambio del flujo magnético y de factores asociados con el imán y la bobina que determinan el tamaño del flujo magnético máximo. Cuanto más rápido se haga girar la bobina, mayor será el valor máximo del voltaje inducido, ya que la mayor rapidez ocasiona que el flujo magnético cambie más pronto. En la figura 14.24 se muestran gráficas del flujo magnético que varía continuamente y el voltaje inducido trazado contra el tiempo. Si el eje de la bobina se hace girar a una razón constante, obtenemos una ligera variación del flujo, como en la gráfica de arriba. Debajo de la gráfica de flujo, la gráfica del voltaje

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figura

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14.5 Generadores y transformadores

inducido se traza en la misma escala de tiempo. Por la ley de Faraday, el voltaje inducido es igual a la razón de cambio del flujo magnético, así que sus valores máximos ocurren cuando la pendiente de la curva de flujo es más pronunciada y sus valores cero ocurren cuando el flujo no cambia momentáneamente (pendiente cero). La curva resultante del voltaje inducido tiene la misma figura que para el flujo, pero se desplaza en relación con la curva de flujo. Como se muestra en la gráfica, el voltaje que produce normalmente un generador es un voltaje alterno: ésta es una de las razones por las que usamos corriente alterna en nuestro sistema de distribución de energía. Para la producción de energía, la velocidad de giro de las bobinas del generador debe mantenerse a un valor específico a fin de producir la corriente alterna de 60 Hz (60 ciclos/s), la frecuencia estándar en Estados Unidos. Los generadores eléctricos utilizados en las centrales eléctricas se parecen al generador simple que acabamos de describir. Comúnmente, tienen más de una bobina, e imanes y electroimanes en vez de imanes permanentes, pero el principio de operación es el mismo. También hay un generador eléctrico en un automóvil; esto significa que la energía eléctrica generada mantiene la batería cargada, hace funcionar las luces y otros sistemas eléctricos.

¿Qué hace un transformador? Otra ventaja de la corriente alterna en la distribución de energía es que los transformadores pueden cambiar el voltaje. Los transformadores son comunes. Los ves en los postes de electricidad, en subestaciones eléctricas y como adaptadores de bajo voltaje similares a los modelos de trenes eléctricos (figura 14.25). Su función es ajustar el voltaje hacia arriba y hacia abajo para ajustarse a las necesidades de una aplicación en particular. En algunos de sus primeros experimentos, Faraday utilizó prototipos del transformador moderno. Su aparato con bobinas primaria y secundaria devanado en cualquiera de los lados de un anillo de hierro (figura 14.19) es un ejemplo de un transfor-

Bobina primaria

293

Bobina secundaria N1

ΔV1

ΔV1

N2

ΔV2

ΔV2

t

t

14.26 Un voltaje alterno aplicado a la bobina primaria de un transformador produce un flujo magnético cambiante, lo cual induce un voltaje en la bobina secundaria.

figura

mador simple. Según la ley de Faraday, se inducirá un voltaje en la bobina secundaria si la corriente (y el campo magnético asociado) de la bobina primaria está cambiando: esa condición está presente si hacemos funcionar la bobina primaria con una fuente de corriente alterna (figura 14.26). ¿Qué determina el tamaño del cambio en el voltaje que puede producir un transformador? De la ley de Faraday se deduce una relación simple. El voltaje inducido en la bobina secundaria es proporcional al número de vueltas que tiene, ya que ese número determina el flujo magnético total que pasa por esa bobina. El voltaje inducido también es proporcional al voltaje en la bobina primaria, ya que esto determina el tamaño de la corriente primaria y su campo magnético asociado. Sin embargo, el voltaje inducido es inversamente proporcional al número de vueltas en la bobina primaria. Escrita con símbolos, esta relación toma la forma: ΔV2 = ΔV1

N2 , N1

donde N1 y N2 son el número de vueltas de alambre en las bobinas primaria y secundaria, y ∆V1 y ∆V2 son los voltajes asociados. Esta relación con frecuencia se escribe como la proporción N2 ΔV2 = . ΔV1 N1

figura 14.25

Los transformadores en los postes de electricidad y las subestaciones eléctricas se ven con frecuencia. Los más pequeños son componentes comunes de los dispositivos eléctricos.

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La razón del número de vueltas en las dos bobinas determina la razón de los voltajes. La autoinducción es la razón de que el voltaje inducido en la bobina secundaria sea inversamente proporcional al número de vueltas en la bobina primaria. Cuanto más vueltas haya en esta última bobina, más difícil será producir un cambio súbito en la corriente que lleva porque el contravoltaje producido por

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294 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo autoinducción. Este efecto limita la corriente y la magnitud del campo magnético producido por la bobina primaria, el cual limita el flujo magnético que pasa por la secundaria. Imagina que quieres usar un tren eléctrico de 12 volts, pero la energía eléctrica suministrada en el enchufe de la pared es de 120. Necesitas un transformador con diez veces el número de vueltas en la bobina primaria que el que tiene la secundaria, lo cual resulta en un voltaje en la bobina secundaria de 1/10 de la bobina primaria, o 12 volts. Un televisor requiere voltajes mucho mayores que 120 volts para hacer funcionar el tubo catódico, así que usamos un transformador con mucho menos vueltas en la bobina secundaria que en la primaria. Si el voltaje de salida es mayor que el de entrada, ¿estamos de alguna manera sacando más energía del transformador de la que entra? La respuesta, desde luego, es no. La energía suministrada al circuito secundario siempre es menor que, o en el mejor de los casos igual que la energía suministrada a la bobina primaria. Puesto que la energía eléctrica puede expresarse como el producto del voltaje por la corriente, la conservación de la energía proporciona una segunda relación útil para analizar los transformadores: ΔV2 I2 ≤ ΔV1I1. Un voltaje de salida alto se asocia con una corriente de salida baja. La energía de salida no excede la de entrada. Si estamos bajando el voltaje del circuito secundario, la corriente secundaria puede ser mayor que la proporcionada a la bobina primaria, pero la energía no puede exceder la suministrada por esa bobina.

Transformadores y distribución de energía Los altos voltajes son deseables para la transmisión de energía eléctrica. Cuanto más alto sea el voltaje, menor será la corriente para cierta cantidad de energía transmitida. Como las pérdidas de calor que provoca el flujo de una corriente por una resistencia se relacionan de manera más directa con la corriente (P = I 2R), las corrientes más pequeñas significan menos pérdida de energía por la calefacción resistiva en los alambres de transmisión. Los voltajes de transmisión altos, como de 230 kV (230 kilovolts o 230 000 volts) son comunes. Voltajes como esos no son seguros ni prácticos para la distribución de energía en una ciudad para usarlos en las casas o edificios. Los transformadores en las subestaciones eléctricas los reducen a 7 200 volts para la distribución citadina. Los transformadores en los postes de electricidad o parcialmente

subterráneos reducen este voltaje aún más, de 220 a 240 volts para entrar en los edificios. Este voltaje de ca puede dividirse dentro de los hogares para producir los 110 volts que comúnmente se utilizan en los circuitos domésticos, mientras mantienen 220 volts disponibles para los hornos, las secadoras y la calefacción eléctrica. El sistema de distribución eléctrica original en Estados Unidos era de corriente directa de 110 volts y fue diseñado en 1882 por Thomas Edison para una zona de la ciudad de Nueva York. Durante varios años hubo controversia respecto a si eran más apropiados los sistemas de corriente directa o de corriente alterna para el suministro de electricidad. A la postre, los defensores del sistema de ca prevalecieron. Las capacidades para transmitir energía eléctrica a altos voltajes y para usar transformadores para bajarlos al punto de uso fueron las razones principales de esta decisión. La corriente directa ocasionalmente se usa para transmitir energía a lo largo de grandes distancias debido a que no pierde energía por la radiación de las ondas electromagnéticas. La radiación es una desventaja de la corriente alterna. La línea eléctrica actúa como una antena que irradia ondas electromagnéticas cuando la corriente está oscilando (véase la sección 16.1). La estática que escuchas en el radio de un automóvil cuando pasa cerca de una línea eléctrica de ca es causada por esta radiación. Un transformador funciona mejor con corriente alterna. La ley de Faraday requiere que el flujo magnético cambie para que haya un voltaje inducido. Si tratamos de usar un transformador con una batería u otra fuente de cd, deberemos tomar continuamente e interrumpir el circuito primario de alguna manera para inducir un voltaje en el secundario. Hay formas de hacerlo, pero añaden complejidad y costo a un sistema y son menos eficientes que usar corriente alterna. Los generadores eléctricos convierten la energía mecánica en energía eléctrica al hacer girar una bobina en un campo magnético, con lo que se induce un voltaje debido al flujo magnético cambiante. Los transformadores ajustan los voltajes hacia arriba o hacia abajo haciendo pasar un campo magnético producido por una corriente alterna en una bobina primaria por una bobina secundaria. Por la ley de Faraday, esto induce un voltaje en la bobina secundaria. La operación de los generadores y transformadores se basa en la ley de Faraday, y los dos son muy importantes en los sistemas de distribución de energía.

resumen El descubrimiento de que las fuerzas magnéticas están asociadas con las corrientes eléctricas unificó el estudio de la electricidad y el magnetismo en la primera parte del siglo xix. La naturaleza fundamental del magnetismo fue mostrada debido al movimiento de las cargas eléctricas. Los campos magnéticos cambiantes pueden producir corrientes eléctricas, según describe la ley de Faraday.

1

Imanes y fuerza magnética. Igual que las fuerzas electrostáticas, la fuerza magnética entre los polos de dos imanes obedece la ley de Coulomb y la regla de que polos iguales se repelen y polos opuestos se atraen. La Tierra misma se comporta como un imán grande con su polo sur apuntando hacia el Norte. S

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N

F

–F

S

N

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Preguntas

Efectos magnéticos de las corrientes eléctricas. El 2descubrimiento de Oersted de que los efectos magnéticos están aso-

momento de torsión magnético ejercido sobre un circuito cerrado en un campo externo es similar al ejercido en una barra de imán.

ciados con las corrientes eléctricas condujo a la descripción del campo magnético de un alambre que transporta corriente. Una fuerza magnética se ejerce ya sea sobre un alambre que lleva corriente o sobre una carga en movimiento cuando se hallan en un campo magnético.

B

B

N I

F B

295

S

de Faraday: inducción electromagnética. Fa4raday Ley descubrió que un voltaje es inducido en un circuito igual a la razón de cambio del flujo magnético que pasa por el circuito (ley de Faraday). El flujo magnético es igual al producto del campo magnético y el área delimitada por el circuito cuando las líneas de campo son perpendiculares al plano de la espira. La ley de Lenz describe la dirección de la corriente inducida: la corriente se opone al cambio que la produce.

I F = I lB

B

F

S

N

B

+

v

A

v

Φ = BA

_ ε = ΔΦ t

5

F = qvB

magnéticos de los circuitos cerrados. Un 3circuitoEfectos de alambre que transporta corriente produce un campo magnético idéntico al de una barra de imán pequeña. Los circuitos cerrados y las bobinas son dipolos magnéticos, y el magnetismo de los imanes naturales puede atribuirse a los circuitos cerrados de los átomos. Un

Generadores y transformadores. Un generador convierte la energía mecánica en energía eléctrica por inducción electromagnética y produce de manera natural una corriente alterna. Los transformadores se usan para ajustar los voltajes alternos hacia arriba y hacia abajo. La ley de Faraday es el principio básico de operación de los dos dispositivos, y ambos son de uso común en nuestro sistema de distribución de energía.

conceptos clave polo magnético, 279 dipolo magnético, 280 monopolos magnéticos, 280 fuerza magnética, 283 campo magnético, 283

electroimán, 286 flujo magnético, 289 ley de Faraday, 289 inducción electromagnética, 289

ley de Lenz, 289 autoinducción, 290 generador, 292 transformadores, 293

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P3. ¿En qué aspectos se parece la fuerza entre dos polos magnéticos a la fuerza entre dos partículas cargadas? Explícalo. P4. ¿Es posible que una barra de imán tenga sólo un polo? Explica por qué.

P1. El polo norte de una barra de imán sostenida con la mano se acerca al polo norte de una segunda barra de imán que se halla en una mesa. ¿Cómo tenderá a moverse el segundo imán? Explica por qué.

P5. ¿La aguja de una brújula siempre apunta directamente al norte en ausencia de otros imanes o corrientes cercanas? Explica por qué.

P2. Si la distancia entre los polos sur de dos barras de imán grandes se reduce a la mitad de su valor original, ¿la fuerza entre estos polos se duplica? Explica por qué.

*P6. Si consideramos la Tierra como un imán, ¿su polo norte magnético coincide con su polo norte geográfico? ¿Qué define la posición del polo norte geográfico? Explica por qué.

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296 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo P7. Visualizamos el campo magnético de la Tierra al imaginar que hay una barra de imán dentro de ella (figura 14.8). ¿Por qué dibujamos este imán con el polo sur apuntando hacia el Norte? Explícalo.

*P18. Si la espira rectangular de alambre mostrado en la pregunta 17 estuviera orientada de modo que el plano del circuito quede paralelo a las líneas de campo magnético, ¿habría un momento de torsión neto que actuaría sobre el circuito? Explica por qué.

P8. Un alambre horizontal está orientado a lo largo de una línea de norte a sur, y se coloca una brújula sobre él. ¿La aguja de la brújula se desviará cuando fluya corriente por el alambre y, de ser así, en qué dirección lo hará? Explica por qué.

P19. Como los campos magnéticos de una bobina de alambre y de una barra de imán son idénticos, ¿hay espiras de corriente dentro de los materiales magnéticos como el hierro o el cobalto? Explica por qué.

P9. Un alambre horizontal está orientado a lo largo de una línea con dirección este-oeste, y se coloca una brújula sobre él. ¿La aguja de la brújula se desviará cuando una corriente fluya por el alambre de este a oeste y, de ser así, en qué dirección lo hará? Explica por qué.

P20. ¿En qué sentido un amperímetro simple está diseñado para medir corriente eléctrica como un motor eléctrico? Explica por qué.

P10. ¿La fuerza ejercida por un alambre que transporta corriente sobre otro alambre se debe a efectos electrostáticos o a efectos magnéticos? Explica por qué. P11. Un campo magnético uniforme está dirigido horizontalmente hacia el norte, y una carga positiva se mueve al oeste a través de este campo. ¿Existe una fuerza magnética sobre esta carga y, si es así, qué dirección tiene? Explica por qué. P12. Una partícula cargada positivamente está momentáneamente en reposo en un campo magnético uniforme. ¿Hay una fuerza magnética que actúa sobre ella? Explica por qué. P13. Si un campo magnético uniforme está dirigido horizontalmente al este y una carga negativa se está moviendo al este a través de ese campo, ¿hay una fuerza magnética sobre la carga y, de ser así, qué dirección tiene? Explica por qué. P14. ¿Por qué la fuerza magnética sobre un segmento de alambre que transporta corriente se comporta como una sobrecarga positiva que viaja en la misma dirección que la corriente? Explícalo. P15. Si miramos hacia abajo a la parte superior de una espira circular de alambre cuyo plano es horizontal y transporta una corriente en la dirección de las manecillas del reloj, ¿cuál es la dirección del campo magnético en el centro del círculo? Explica por qué. P16. Si quisiéramos representar la espira con corriente de la pregunta 15 como una barra de imán o un dipolo magnético, ¿en qué dirección apuntaría el polo norte? Explica por qué. *P17. Una espira rectangular de alambre que transporta corriente se coloca en un campo magnético externo con las direcciones de la corriente y el campo como se muestra en el diagrama. ¿En qué dirección tenderá a girar esta espira como resultado del momento de torsión magnético ejercido sobre ella? Explica por qué. B

P21. ¿Un motor de ca requiere un conmutador de anillo partido para funcionar? Explica por qué. P22. Si Faraday hubiera devanado suficientes espiras de alambre en la segunda bobina de su anillo de acero, ¿hubiera encontrado que una corriente estacionaria en la bobina primaria induce una corriente en la bobina secundaria? Explica por qué. P23. ¿Flujo magnético es lo mismo que campo magnético? Explica por qué. *P24. Una espira de alambre horizontal tiene un campo magnético que pasa hacia arriba por su plano. Si este campo magnético aumenta con el tiempo, ¿la dirección de la corriente inducida estará en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario (visto desde arriba) como predice la ley de Lenz? Explica por qué. P25. Dos bobinas de alambre son idénticas excepto que la bobina A tiene el doble de vueltas que la B. Si un campo magnético aumenta con el tiempo a la misma razón en las dos bobinas, ¿cuál de ellas (si es que alguna) tendrá el mayor voltaje inducido? Explica por qué. *P26. Imagina que el flujo magnético que pasa por una bobina de alambre varía con el tiempo, como se muestra en la gráfica. Usando la misma escala de tiempo, traza una gráfica que muestre cómo el voltaje inducido varía con el tiempo. ¿Dónde tiene su magnitud más grande el voltaje inducido? Explica por qué. Φ

1

2

3

4

5

t (s)

P27. Si el campo magnético producido por los imanes en un generador es constante, ¿el flujo magnético que pasa por la bobina del generador cambiará cuando ésta esté girando? Explica por qué. P28. ¿Un generador simple produce una corriente directa constante? Explica por qué.

I

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P29. Un generador simple y un motor eléctrico simple tienen diseños muy parecidos. ¿Tiene la misma función? Explica por qué.

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Problemas de síntesis P30. ¿Se puede usar un transformador, como se muestra en el diagrama siguiente, para aumentar el voltaje de una batería? Explica por qué.

ε

+

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P31. Al aumentar el voltaje de una fuente de corriente alterna usando un transformador, ¿podemos aumentar la cantidad de energía eléctrica tomada de la fuente? Explica por qué.

R

ejercicios E1. Dos barras de imán grandes están sobre una mesa con sus polos sur uno frente al otro; las barras ejercen una fuerza de 10 N entre sí. Si la distancia entre estos dos polos se duplica, ¿cuál es el nuevo valor de esta fuerza? E2. Dos alambres paralelos largos que transportan cada uno una corriente de 4 A, están colocados a una distancia de 10 cm entre sí. ¿Cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud ejercida por un alambre sobre el otro? E3. Si la distancia entre los dos alambres del ejercicio 2 se triplica, ¿cómo cambia la fuerza por unidad longitud? E4. Dos alambres paralelos que transportan una corriente de 2 A cada uno ejercen entre sí una fuerza por unidad de longitud de 1.6 × 10–5 N/m. ¿Cuál es la distancia que hay entre los alambres? E5. Un alambre transporta una corriente de 4 A. ¿Cuánta carga fluye pasando un punto en el alambre en un tiempo de 5 s? E6. Una partícula con una carga de 0.06 C se mueve en ángulos rectos hacia un campo magnético uniforme con una intensidad de 0.5 T. La velocidad de la carga es 600 m/s. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula? E7. Un segmento de alambre recto tiene una longitud de 10 cm y transporta una corriente de 5 A. Está orientado en ángulo recto respecto a un campo magnético de 0.6 T. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética sobre este segmento de alambre? E8. La fuerza magnética sobre un segmento de alambre recto de 30 cm que transporta una corriente de 5 A es 6 N. ¿Cuál es la magnitud de lA componente del campo magnético perpendicular al alambre? E9. Una bobina de alambre con 80 vueltas tiene un área transversal de 0.04 m2. Un campo magnético de 0.6 T pasa por Ella. ¿Cuál es el flujo magnético que pasa por la bobina?

E10. Una espira de alambre que encierra un área de 0.03 m2 tiene un campo magnético que pasa por su plano a cierto ángulo respecto al plano. La componente del campo perpendicular al plano es de 0.4 T, y la componente paralelo al plano es de 0.6 T. ¿Cuál es el flujo magnético que pasa por esta bobina? E11. El flujo magnético que pasa por una bobina de alambre cambia de 6 T·m2 a cero en 0.25 s. ¿Cuál es la magnitud del voltaje medio inducido en la bobina durante este cambio? E12. Una bobina de alambre con 60 vueltas y un área transversal de 0.02 m2 está colocada con su plano perpendicular a un campo magnético de magnitud 1.5 T. La bobina se retira rápidamente del campo magnético en 0.2 s. a) ¿Cuál es el flujo magnético inicial que pasa por la bobina? b) ¿Cuál es el valor medio del voltaje inducido en la bobina? El3. Un transformador tiene 15 vueltas de alambre en su bobina primaria y 60 en la secundaria. a) ¿Se trata de un transformador elevador o de uno reductor? b) Si un voltaje alterno con un voltaje efectivo de 110 V se aplica a la bobina primaria, ¿cuál es el voltaje efectivo inducido en la bobina secundaria? E14. Si una corriente de 6 A se suministra a la bobina primaria del transformador del ejercicio 13, ¿cuál es la corriente efectiva en la bobina secundaria? E15. Se usará un transformador reductor para convertir un voltaje de ca de 120 V en 6 V para hacer funcionar un tren eléctrico. Si hay 300 vueltas en la bobina primaria, ¿cuántas vueltas debe tener la secundaria? E16. Un transformador elevador está diseñado para producir 1 380 V de una fuente de ca de 115 V. Si hay 400 vueltas en la bobina secundaria, ¿cuántas vueltas deben devanarse en la primaria?

Problemas de síntesis PS1. Dos alambres paralelos largos transportan corriente de 5 A y 10 A en direcciones opuestas, se muestra en el diagrama de la página siguiente. La distancia entre los alambres es de 5 cm. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza por unidad de longitud ejercida por un alambre sobre el otro?

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b) ¿Cuáles son las direcciones de las fuerzas en cada alambre? c) ¿Cuál es la fuerza total ejercida sobre una longitud de 30 cm del alambre de 10 A?

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298 Capítulo 14 Imanes y electromagnetismo d) A partir de esta fuerza, calcula la intensidad del campo magnético producido por el alambre de 5 A en la posición del alambre de 10 A (F = IlB). e) ¿Cuál es la dirección del campo magnético producido por el alambre de 5 A en la posición del alambre de 10 A?

I =5A

I = 10 A

5 cm

PS2. Una pequeña esfera de metal con una carga de +0.05 C y una masa de 25 g (0.025 kg) entra en una región donde hay un campo magnético de 0.5 T. La esfera viaja a una velocidad de 200 m/s en dirección perpendicular al campo magnético, como se muestra en el diagrama. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética que actúa sobre ella? b) ¿Cuál es la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre la esfera cuando está en la posición mostrada? c) ¿Esta fuerza cambiará la magnitud de la velocidad de la esfera? Explica por qué. d) A partir de la segunda ley de Newton, ¿cuál es la magnitud de la esfera cargada? e) Como la aceleración centrípeta es igual a v2/r, ¿cuál es el radio de la curva por el que se moverá la esfera por la influencia de la fuerza magnética?

B

+ v

PS3. Una bobina rectangular de alambre tiene dimensiones de 3 cm por 6 cm y se devana con 60 vueltas de alambre. Se gira entre las caras de los polos de un imán de herradura que produce un campo aproximadamente uniforme de 0.4 T, de modo que a veces el plano de la bobina es perpendicular al campo y a veces es paralelo a él. a) ¿Cuál es el área delimitada por la bobina rectangular? b) ¿Cuál es el valor máximo del flujo magnético total que pasa por la bobina cuando gira? c) ¿Cuál es el valor mínimo del flujo total que pasa por la bobina cuando gira? d) Si la bobina da una vuelta completa cada segundo y gira a una razón uniforme, ¿cuánto tiempo supone el campo del flujo del valor máximo al mínimo? e) ¿Cuál es el valor medio del voltaje generado en la bobina cuando pasa del valor máximo al valor mínimo del flujo? PS4. Un transformador está diseñado para reducir la línea de voltaje de 110 V a 22 V. La bobina primaria tiene 400 vueltas de alambre. a) ¿Cuántas espiras de alambre debe haber en la bobina secundaria? b) Si la corriente en la bobina primaria es de 5 A, ¿cuál es la corriente máxima posible en la secundaria? c) Si el transformador se calienta durante su operación, ¿la corriente en la bobina secundaria será igual al valor calculado en el inciso b? Explica por qué.

experimentos y observaciones para la casa EC1. Mira alrededor de tu casa o escuela para ver cuántos imanes puedes encontrar. En muchas tiendas o ferreterías puedes comprar paquetes de imanes pequeños para colgar herramientas o usos similares. a) Si tienes una barra de imán, busca su polo que busca al norte suspendiéndola de una cuerda y mira cuál extremo apunta al norte. b) Usa este imán, u otro cuyos polos norte y sur estén bien identificados, para encontrar los polos de tus otros imanes y rotularlos como norte o sur con un lápiz de cera. c) Verifica que los polos iguales se repelan y los polos opuestos se atraigan para cualquier combinación que hagas con tus imanes. d) Trata de determinar cuál de tus imanes es el más intenso al observar desde qué distancia atrae un clip u otro objeto pequeño de acero. (¡Es posible que el imán más grande no sea el más intenso!) EC2. Si tienes una brújula pequeña, puedes usarla para explorar el campo magnético de los imanes y de las corrientes. La aguja de la brújula siempre apuntará en la dirección del campo magnético neto, dondequiera que se encuentre.

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a) Sirviéndote de una brújula cerca de una barra de imán o de un imán de herradura, calcula a qué distancia del imán debes mover la brújula antes de que el campo del imán ya no sea observable y la aguja de la brújula simplemente apunte al norte. b) Acerca la brújula al imán para determinar la dirección del campo magnético en varios puntos alrededor del imán. Traza un esquema que muestre la dirección del campo en puntos seleccionados alrededor de éste. EC3. Enrolla un alambre aislante largo varias veces (de 50 a 100) alrededor de un clavo de acero. Conecta los extremos libres del alambre a una batería para construir un electroimán. (Para evitar que se agote la batería, no dejes el alambre conectado a ella durante mucho tiempo.) a) Compara la intensidad de tu electroimán con algunos de los imanes permanentes que tal vez tengas disponibles. (¿A qué distancia puede cada cada uno levantar un clip?) b) Observa si ves una chispa cuando interrumpes la conexión entre el electroimán y la batería. ¿Obtienes el mismo efecto con un alambre largo sin enrollar?

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unidad

Cuatro

Movimiento ondulatorio y óptica

I

saac Newton es muy conocido por su trabajo precursor en mecánica, pero también escribió un tratado importante sobre óptica, donde explicó numerosos aspectos del comportamiento de la luz, la cual suponía compuesta de un flujo de partículas invisibles. Con base en este modelo y un prisma era posible explicar la reflexión, la refracción y la división de la luz en sus componentes de colores. Contemporáneo de Newton, el holandés Christian Huygens (1629-1695) tenía un punto de vista diferente. Él suponía que la luz estaba formada por ondas y explicó satisfactoriamente los mismos fenómenos tratados por Newton. Durante los cien años siguientes, estas dos teorías compitieron por aceptación, pero gracias al prestigio de Newton, la suya gozaba de mayor validez. En 1800 un físico inglés, Thomas Young (1773-1829), realizó su famoso experimento de la doble rendija, con el que demostró los efectos de interferencia relacionados con la luz. La interferencia es un fenómeno ondulatorio (es decir, de ondas), por lo que el experimento de Young inclinó la balanza a favor del modelo de la luz formada por ondas. Durante los cincuenta años siguientes, los físicos y matemáticos desarrollaron una detallada descripción matemática del comportamiento de las ondas y explicaron satisfactoriamente muchas características nuevas de la interferencia de la luz. En 1865, James Clerk Maxwell predijo la existencia de ondas electromagnéti-

cas que tenían la misma velocidad que la luz. Ello sugirió que la luz se componía de ondas electromagnéticas y, al describirse la naturaleza de éstas, se reforzó el modelo de la luz como flujo de ondas. Hoy se reconoce el movimiento ondulatorio como una característica universal de una amplia variedad de fenómenos. Las ondas sonoras, las ondas de luz, las ondas en resortes y cuerdas, las ondas de agua, las ondas sísmicas (implicadas en los temblores) y las ondas gravitacionales se estudian activamente. La teoría de la mecánica cuántica, desarrollada en el siglo XX, incluso aplica los conceptos de onda a partículas como los electrones. La reflexión, la refracción y la interferencia, temas que exploramos en los capítulos 15, 16 y 17, son características del movimiento ondulatorio. Irónicamente, los avances del siglo xx han mostrado que la luz a veces se comporta como partículas. Ahora vemos una onda de luz como un rayo de fotones, partículas de luz que comparten algunas características con las ondas. Aunque este concepto difiere del modelo de partículas de Newton, podemos reivindicarlo parcialmente gracias a tales avances. La luz (o cualquier movimiento ondulatorio) puede exhibir tanto el comportamiento de una onda como el de las partículas, y a la inversa, cualquier partícula tiene características parecidas a las de una onda. Las ondas están en todas partes, por lo que se han convertido en un tema central de la física.

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Formación de ondas

esquema del capítulo

1

capítulo

15

descripción del capítulo El objetivo principal de este capítulo consiste en investigar la naturaleza básica de las ondas y sus propiedades, entre las que se hallan la rapidez, la longitud, el periodo y la frecuencia, así como los fenómenos de reflexión, interferencia y transmisión de energía. Examinaremos algunos tipos de movimiento ondulatorio con detalle, incluidas las ondas sobre una cuerda y las ondas sonoras. También exploraremos las características de las ondas musicales

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3

unidad cuatro

4

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5 300

Pulsos de onda y ondas periódicas. ¿Cómo viajan los pulsos de onda a lo largo de un resorte o de una cuerda? ¿Cuál es la diferencia entre un pulso longitudinal y uno transversal? ¿Cómo se relacionan los pulsos de onda con ondas periódicas más largas? Ondas sobre una cuerda. ¿Cuáles son las características generales de una onda simple que viaja por una cuerda? ¿Qué relación guardan entre sí las propiedades de frecuencia, periodo, longitud de onda y rapidez de las ondas? ¿Qué factores influyen en la rapidez de onda? Interferencia y ondas estacionarias. ¿Qué sucede cuando dos o más ondas se combinan? ¿Qué es la interferencia? ¿Qué es una onda estacionaria y cómo se produce? Ondas sonoras. ¿Qué son las ondas sonoras? ¿Cómo se producen? ¿Qué relación guardan las propiedades musicales del tono y la armonía con las propiedades de las ondas sonoras? La física de la música. ¿Cómo podemos analizar las ondas sonoras producidas por los instrumentos musicales? ¿Por qué algunas combinaciones de frecuencias son armónicas y otras disonantes?

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301

15.1 Pulsos de onda y ondas periódicas

S

i alguna vez has ido a una playa o a un lago grande, quizá hayas disfrutado con el pasatiempo inocuo de observar las olas. Un acantilado o algún otro lugar alto es un buen mirador para esta diversión. Desde ahí puedes seguir la pista de la cresta de una sola ola mientras se acerca a la playa y cuando rompe en la orilla (figura 15.1). Debido a su regularidad, mirar las olas puede resultar relajante, incluso hipnótico. Mientras observabas las olas tal vez te haya llamado la atención un aspecto curioso. Aunque el agua parece moverse a la orilla, no se acumula en la playa. ¿Qué sucede, qué es lo que en realidad se mueve? ¿Este movimiento aparente del agua de alguna manera nos engaña? Si te paras en la tabla de surf y dejas que las olas rompan sobre ti, seguramente tendrás la sensación de que las olas tienen energía. Una ola grande puede tirarte o arrastrarte. Una persona sobre una tabla de surf puede lograr una gran velocidad si toma la cresta de la ola. La energía cinética ganada de esta manera proviene de la ola. Aun cuando el comportamiento de las olas cerca de la orilla es complejo, ahí exhiben muchas de las caracte-

figura 15.1

Las olas se acercan y rompen en la orilla de la playa. ¿Por qué el agua no se acumula ahí?

rísticas generales asociadas con los movimientos ondulatorios de todo tipo. La luz, el sonido, las ondas de radio y las ondas sobre las cuerdas de una guitarra, todos son ejemplos de movimiento ondulatorio que tienen mucho en común con las olas que observamos en la playa. El movimiento ondulatorio se relaciona con todas las áreas de la física, incluida la física atómica y la nuclear. Una enorme variedad de fenómenos puede explicarse en términos de las ondas.

15.1 Pulsos de onda y ondas periódicas Aunque las olas tienen características comunes a cualquier movimiento ondulatorio, los detalles de su movimiento son muy complejos, en particular cerca de la playa. Esa complejidad se suma a su belleza y encanto, pero para empezar a discernir la naturaleza de las olas necesitamos un ejemplo más sencillo. Un Slinky, ese resorte de juguete que baja por las escaleras, es un medio ideal para estudiar las ondas simples. Los Slinky originales estaban hechos de metal, pero ahora también los hay de plástico. Son equipo común en la mayoría de las bodegas de física, pero tal vez tengas uno que te quedó de tu infancia o puedas pedir uno prestado a un niño. Contar con un Slinky puede ayudar a que te formes una idea del fenómeno ondulatorio. ¿Qué tipos de ondas puedes generar con el Slinky?

¿Cómo viajan los pulsos de onda a lo largo de un Slinky? Si colocas un Slinky en una mesa lisa y fijas uno de sus extremos, puedes producir fácilmente un solo pulso que lo recorra. Comprímelo un poco y mueve el extremo libre hacia delante y hacia atrás una vez a lo largo del eje del Slinky. Cuando lo hagas, verás un movimiento de perturbación en su extremo libre que se propaga hacia el extremo fijo (figura 15.2). Es fácil ver el movimiento del pulso de onda creado de esta manera. El pulso viaja a lo largo del Slinky y puede reflejarse en el extremo fijo y volver a su punto de partida antes de extinguirse. Pero ¿qué es lo que en realidad se mueve? El pulso se mueve por el Slinky, y partes del juguete se mueven

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v

figura 15.2

Con un extremo del Slinky fijo, un simple movimiento hacia delante y hacia atrás en el otro extremo produce un pulso que viaja.

a medida que el pulso pasa por ellas. Sin embargo, una vez que el pulso se extingue el Slinky se halla exactamente donde estaba antes de que el pulso empezara. El Slinky no ha ido a ninguna parte. Una mirada más cercana a lo que sucede en el Slinky puede esclarecer las características básicas del pulso. El movimiento de un extremo del Slinky hacia delante y hacia atrás como en la figura 15.2 crea una compresión local donde los anillos del resorte están más cerca que en el resto del Slinky. Esa región de compresión se mueve a lo largo del Slinky y constituye el pulso que ves. Espiras individuales del resorte se mueven hacia delante y hacia atrás a medida que esa región pasa por ellas.

Algunas características generales del movimiento ondulatorio Un pulso en un Slinky muestra algunas características generales del movimiento ondulatorio. La onda o pulso se desplaza por el medio (en este caso, el Slinky), pero el medio no se

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302

Capítulo 15

Formación de ondas

mueve de su sitio. Las olas se mueven hacia la playa, pero el agua no se acumula. Lo que se mueve es una perturbación en el medio, la cual puede ser una compresión local, un desplazamiento lateral o algún otro tipo de cambio local en el estado del medio. La perturbación se mueve a una velocidad definida, la cual está determinada por las propiedades del medio. En un Slinky, la rapidez del pulso se determina en parte por la tensión que tiene. Puedes confirmarlo fácilmente si lo estiras diferentes cantidades y observas los cambios en la velocidad del pulso. El pulso viaja más rápido cuando comprimes más el Slinky que cuando lo comprimes ligeramente. El otro factor que determina la rapidez del pulso en el Slinky es la masa del resorte: para la misma tensión, un pulso viaja más lento en un Slinky de acero que en uno de plástico, ya que la masa de una misma longitud del resorte es mayor para el acero que para el plástico. La transmisión de energía por el medio es otra característica general del movimiento ondulatorio. El trabajo realizado al mover un extremo del Slinky aumenta tanto la energía potencial del resorte como la energía cinética de cada una de las espiras. Por tanto, esta región de mayor energía se mueve a lo largo del Slinky y llega al extremo opuesto. Ahí la energía podría usarse para hacer sonar un timbre o realizar otros tipos de trabajo. La energía transportada por las olas realiza un trabajo considerable en la erosión y formación de una costa. La transmisión de energía es un aspecto sumamente importante de cualquier movimiento ondulatorio.

¿En qué difieren las ondas longitudinales y transversales? El pulso de onda que hemos descrito en el Slinky se llama onda longitudinal. En una onda longitudinal, el desplazamiento o perturbación en el medio es paralelo a la dirección en que viaja la onda o pulso. En el Slinky, las espiras del resorte se mueven hacia delante y hacia atrás a lo largo del eje del Slinky, y el pulso también viaja a lo largo del eje. También puedes producir una onda transversal en un Slinky o resorte. En una onda transversal, la perturbación o desplazamiento es perpendicular a la dirección en que viaja la onda (figura 15.3). Si mueves la mano hacia delante y hacia atrás en forma perpendicular al eje del resorte, creas un pulso transversal. Esto funciona mejor en un Slinky muy comprimido. Un resorte largo y delgado en realidad es más eficaz que un Slinky para producir pulsos u ondas transversales. Igual que el pulso longitudinal, el transversal se mueve hacia abajo por el resorte y también transmite energía a lo largo de él. Las ondas en una cuerda, estudiadas en la sección 15.2, en general son transversales, como las ondas electromagnéticas, las cuales se estudian en la primera sección del capítulo 16. Los efectos de polarización (sección 16.5) se asocian con las ondas transversales pero no con las longitudinales. Las ondas sonoras (sección 15.4) son longitudinales y en muchos aspectos se asemejan a las ondas longitudinales en un Slinky. Las olas tienen propiedades longitudinales y transversales.

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Longitudinal

v Transversal

v

figura 15.3

En un pulso longitudinal, la perturbación es paralela a la dirección del recorrido. En un pulso transversal, la perturbación es perpendicular a la dirección de viaje.

¿Qué es una onda periódica? Hasta ahora hemos estudiado los pulsos de onda en un Slinky. Si en vez de mover la mano hacia delante y hacia atrás una sola vez sigues produciendo pulsos, enviarás una serie de pulsos longitudinales por el Slinky. Si intervalos de tiempo iguales separan los pulsos, produces una onda periódica en el Slinky (figura 15.4). El tiempo entre las pulsaciones se llama periodo de la onda y suele representarse con el símbolo T. La frecuencia es el número de pulsos o ciclos por unidad de tiempo y es igual al recíproco del periodo: f =

1 , T

donde el símbolo f representa la frecuencia. Dimos los mismos símbolos y significados de estas cantidades en el capítulo 6 (sección 6.5), cuando estudiamos el movimiento armónico simple. La unidad de frecuencia es el hertz (Hz), y 1 Hz = 1 ciclo por segundo (véase el cuadro de ejemplo 15.1). A medida que los pulsos se mueven hacia abajo por Slinky, se espacian a intervalos de distancia regulares si se crearon en intervalos de tiempo regulares. La distancia entre los mismos puntos sobre pulsos sucesivos se llama longitud de onda. Esta distancia se muestra en la figura 15.4 y se simboliza con la letra griega lambda, λ, símbolo comúnmente usado para denotar la longitud de onda. Un pulso en una onda periódica viaja una distancia de una longitud de onda en un tiempo igual a un periodo antes de que se cree el siguiente pulso. La rapidez de la onda puede expresarse en términos de estas cantidades. La rapidez es igual a una

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15.2 Ondas sobre una cuerda

v

λ

figura 15.4

Una serie de pulsos producidos a intervalos de tiempo regulares genera una onda periódica en el Slinky. La longitud de onda λ es la distancia entre los puntos correspondientes en pulsos adyacentes.

cuadro de ejemplo 15.1 Ejercicio: ondas en un Slinky Una onda longitudinal que viaja en un Slinky tiene un periodo de 0.25 s y una longitud de onda de 30 cm. a) ¿Cuál es la frecuencia de la onda? b) ¿Cuál es la rapidez de la onda? a) T = 0.25 s

f = =

1 T 1 0.25 s

= 4 Hz b) λ = 30 cm

v = fλ = (4 Hz) (30 cm) = 120 cm/s

longitud de onda (la distancia recorrida entre pulsos) dividida entre un periodo (el tiempo entre pulsos), o v =

λ = fλ, T

La última parte de esta igualdad es verdadera porque la frecuencia f es igual a 1/T, el recíproco del periodo. Estas ideas se ilustran en el cuadro de ejemplo 15.1. Esta relación es válida para cualquier onda periódica y es útil para calcular la frecuencia o longitud de onda cuando se conoce una de estas cantidades. La rapidez de onda depende sólo de las propiedades del medio. A menudo, la rapidez se conoce a partir de otras consideraciones: la rapidez de las ondas electromagnéticas (sección 16.1) en el espacio libre, por ejemplo, tiene un valor fijo (la rapidez de la luz), independiente de la longitud de onda o de la frecuencia. La relación entre rapidez, longitud de onda y frecuencia se ilustrará muchas veces en las secciones siguientes.

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303

Un pulso de onda es una perturbación que se mueve por un medio, pero éste, en sí, no se mueve. Si movemos el extremo de un Slinky hacia delante y hacia atrás a lo largo de su eje, creamos un pulso longitudinal cuya perturbación es un área de compresión en el resorte. Si ondulamos el extremo del Slinky hacia arriba y hacia abajo en dirección perpendicular a su eje, creamos un pulso transversal. Una onda periódica se compone de varios pulsos espaciados a intervalos regulares de tiempo (periodo) y espacio (longitud de onda). La frecuencia es el recíproco del periodo, y la rapidez del pulso es igual a la frecuencia por la longitud de onda.

15.2

Ondas sobre una cuerda

Imagina una cuerda pesada, atada a una pared o poste por uno de sus extremos. Si mueves el extremo libre hacia arriba y hacia abajo, puedes crear un pulso de onda transversal o una onda periódica transversal que recorra la cuerda hasta llegar a su extremo fijo. La situación es la misma que cuando se produce una onda transversal en un Slinky o resorte: piensa en la cuerda como un resorte muy rígido. ¿Cómo se ve la onda mientras viaja a lo largo de la cuerda? En este caso, la perturbación es un desplazamiento vertical de la cuerda desde su posición en línea recta. Esta perturbación es fácil de visualizar y graficar, razón por la cual el estudio de este tipo de ondas es muy útil para comprender el fenómeno ondulatorio.

¿Cómo es la gráfica de una onda? Imagina que en el extremo de una cuerda imprimimos un movimiento hacia arriba y hacia abajo, con lo que producimos un pulso como el presentado en la figura 15.5. El borde derecho de este pulso corresponde al principio del movimiento, en tanto que el izquierdo corresponde al final. Lo mismo que el pulso en el Slinky, esta perturbación se desplaza a lo largo de la cuerda. Sin embargo, en este caso el dibujo de la cuerda puede pensarse como una gráfica, con el eje vertical para trazar el desplazamiento y de la cuerda y el eje horizontal para la posición horizontal x de un punto sobre la cuerda. Una sola imagen del pulso en la cuerda no describe todo lo que sucede; se trata más bien de una fotografía que muestra el y

v

x

figura 15.5

En un instante cualquiera un pulso transversal se mueve a lo largo de una cuerda estirada, cuya forma puede pensarse como una gráfica del desplazamiento vertical de la cuerda trazado contra la posición horizontal.

24/10/07 10:49:22

304

Capítulo 15

Formación de ondas

desplazamiento de la cuerda en un solo instante. El pulso se mueve, así que en un momento posterior estará más lejos del extremo libre de la cuerda en una posición horizontal diferente. Debemos dibujar una serie de gráficas de diferentes tiempos para representar el pulso. Éste puede disminuir gradualmente en tamaño debido a los efectos de la fricción, pero su forma sigue siendo básicamente la misma mientras recorre la cuerda. Si en vez de imprimir a la cuerda sólo un movimiento hacia arriba y hacia abajo, repites una serie de pulsos idénticos a intervalos de tiempo regulares, podrías producir una onda periódica como la mostrada en la figura 15.6. La longitud de onda λ (mostrada en la gráfica) es la distancia cubierta por un ciclo completo de la onda. Este patrón de ondas se mueve a la derecha a lo largo de la cuerda, conservando su forma, del mismo modo que lo hizo el pulso individual. Cuando el borde del principio de la onda alcance el extremo fijo de la cuerda, se reflejará y comenzará a moverse hacia tu mano. Al ocurrir esto, la onda reflejada interfiere con la onda que aún viaja hacia a la derecha, y el dibujo se vuelve más complejo. La forma de la onda de la figura 15.6 depende del movimiento exacto de la mano o de otro oscilador que la genere. La onda podría ser mucho más compleja que en la figura. No obstante, para analizar el movimiento ondulatorio, una forma particularmente simple es muy adecuada. Si mueves tu mano hacia arriba y hacia abajo suavemente en un movimiento armónico simple, el desplazamiento de este extremo de la cuerda variará de manera senoidal con el tiempo, como se estudia en el capítulo 6. La onda periódica resultante también tiene forma senoidal, y la llamamos onda armónica (figura 15.7). Como otras ondas, la onda senoidal mostrada en la figura 15.7 viaja a lo largo de la cuerda hasta que se refleja en el extremo fijo. Si mueves el extremo de la cuerda con cuidado, pue-

des producir una onda similar a la mostrada en la figura 15.7. Los segmentos individuales de una cuerda o resorte tienden a ondular con movimiento armónico simple, ya que la fuerza de restitución que jala la cuerda hacia atrás hasta la línea central es aproximadamente proporcional a su distancia desde la línea central. Ésta fue la condición para el movimiento armónico simple estudiado en el capítulo 6. Las ondas armónicas son importantes en el estudio del movimiento ondulatorio por otra razón: resulta que cualquier onda periódica puede representarse como una suma de ondas armónicas con longitudes de onda y frecuencias diferentes. Llamamos a esto análisis de Fourier, o análisis armónico, proceso que consiste en separar una onda compleja en sus componentes armónicos simples (véase la sección 15.5). Las ondas armónicas pueden considerarse bloques básicos de ondas más complejas.

¿Qué determina la rapidez de una onda sobre una cuerda? Lo mismo que las producidas en un Slinky, las ondas en un resorte o en una cuerda se mueven a lo largo de ellos a una rapidez independiente de la forma o frecuencia de los pulsos. ¿Qué determina esta rapidez? Para responder a tal pregunta debemos pensar en qué hace que la perturbación se propague por la cuerda. ¿Por qué se mueven los pulsos? Si dibujamos un solo pulso que se mueve a lo largo de una cuerda, observamos que los segmentos de la ésta que se hallan frente de este pulso están en reposo antes de que el pulso llegue ahí. Algo debe causar que se aceleren a medida que el pulso se aproxima. La razón por la que el pulso se mueve es que el levantamiento de la cuerda provoca que la tensión de ésta (la λ v

figura 15.6

Una onda periódica se mueve a lo largo de una cuerda estirada. La distancia entre los pulsos es la longitud de onda, λ.

v

figura 15.7

Una onda armónica resulta cuando un extremo de la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo con movimiento

armónico simple.

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24/10/07 10:49:23

305

15.2 Ondas sobre una cuerda

cuadro de ejemplo 15.2

T Ty Tx

figura 15.8

A medida que la parte elevada de un pulso se aproxima a cierto punto en la cuerda, la tensión en ésta adquiere una componente ascendente, lo que ocasiona que el segmento siguiente se acelere hacia arriba.

Ejercicio: formación de ondas Una cuerda tiene una longitud de 10 m y una masa de 2 kg. La cuerda se estira con una tensión de 50 N. Uno de sus extremos está fijo y el otro se mueve hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia de 4 Hz. a) ¿Cuál es la rapidez de las ondas en esta cuerda? b) ¿Cuál es la longitud de onda para la frecuencia de 4 Hz? a) L = 10 m m = 2 kg F = 50 N v =?

cual es una fuerza que actúa a lo largo de la línea de la cuerda) adquiera una componente ascendente. Esta componente ascendente actúa en el segmento de la cuerda que está a la derecha de la parte elevada, como en la figura 15.8. La fuerza ascendente que resulta provoca que este segmento siguiente se acelere hacia arriba, y así sucesivamente a lo largo de la cuerda. La rapidez del pulso depende de la razón de la aceleración de los segmentos de cuerda siguientes, es decir, cuanto más pronto puedan empezar a moverse, más rápido se desplazará el pulso por la cuerda. Por la segunda ley de Newton, esta aceleración es proporcional a la magnitud de la fuerza neta e inversamente proporcional a la masa del segmento (a = Fneta/ m). La tensión en la cuerda proporciona la fuerza de aceleración, así que una tensión mayor produce una aceleración mayor. La aceleración también está relacionada con la masa del segmento: una masa más grande produce una aceleración menor. Estas ideas indican que la rapidez de un pulso sobre la cuerda aumentará con la tensión y disminuirá con la masa por unidad de longitud de la cuerda. En realidad, el cuadrado de la rapidez está directamente relacionado con la proporción de la tensión a la masa por unidad de longitud, v2 = F/μ; por tanto, la expresión para la rapidez de onda lleva una raíz cuadrada: v =

F , μ

donde F es la magnitud de la tensión en la cuerda (una fuerza) y μ (la letra griega mu) representa la masa por unidad de longitud. Esta cantidad se obtiene dividiendo la masa total de la cuerda entre su longitud, o μ = m/L. Si aumentas la tensión al jalar la cuerda con más fuerza, cabe esperar que la rapidez de onda sea mayor, como ocurrió en el Slinky. Por otra parte, una cuerda gruesa, con una masa grande por unidad de longitud, producirá una rapidez de onda más lenta que una cuerda delgada. Por ello, una cuerda pesada es mejor para demostrar el movimiento ondulatorio. Las ondas se mueven demasiado aprisa en una cuerda ligera como para seguirlas visualmente.

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μ=

2 kg m = L 10 m

= 0.2 kg/m (masa por unidad de longitud) F μ

v= =

50 N 0.2 kg /m

=

250 m2/s2

= 15.8 m/s b) f = 4 Hz

λ =?

v = fλ

λ= =

v f 15.8 m /s 4 Hz

= 3.95 m

¿Qué determina la frecuencia y la longitud de la onda? La expresión que relaciona la rapidez de onda con la frecuencia y la longitud de onda (v = f λ, de la sección 15.1) es útil para predecir qué longitud de onda resultará en una cuerda. Como acabamos de ver, la rapidez depende de la tensión y la masa por unidad de longitud. Una vez determinadas estas cantidades, la rapidez de onda es constante pero la frecuencia y la longitud pueden variar. Una frecuencia dada determinará la longitud de onda, y viceversa. Estas ideas se demuestran en el cuadro de ejemplo 15.2. Los valores numéricos de este ejemplo son ciertos para producir ondas que pueden seguirse visualmente. La tensión supuesta de 50 N debe ser lo suficientemente grande para evitar que la parte media de la cuerda pesada caiga demasiado, mientras produce una rapidez de onda relativamente lenta. La frecuencia de onda está determinada por la frecuencia del movimiento de la mano. Esta frecuencia es de 4 ciclos por segundo (Hz) en el cuadro de ejemplo 15.2, lo cual da una longitud de onda de 3.95 metros. Como esto es casi 4 metros, dos ciclos y medio completos de la onda cabrán a lo largo de una longitud de 10 metros de la cuerda. Frecuencias menores resultarían en longitudes de onda mayores, frecuencias mayores en longitudes de onda menores.

24/10/07 10:49:24

306

Capítulo 15

Formación de ondas

Con una rapidez de onda de casi 16 m/s, tarda menos de un segundo que un pulso viaje la longitud de 10 metros de la cuerda. Para observar estas ondas debes mirar al instante, porque en un segundo la onda alcanzará el extremo fijo de la cuerda y se reflejará. Esta onda reflejada interferirá con la onda que sigue viajando en la dirección original. Necesitas una cuerda más larga o algún medio para amortiguar la onda reflejada si quieres ver todo más cómodamente. La ventaja real de las ondas en una cuerda es la facilidad con la que podemos representarlas gráficamente y formarnos una idea de cómo se producen. En las conferencias o demostraciones de laboratorio, generalmente se usa un resorte largo pero no muy rígido en vez de la cuerda para tener una masa por unidad de longitud mayor y una rapidez de onda menor. La fotografía de una onda que se mueve en una cuerda es como una gráfica que describe el desplazamiento vertical de la cuerda trazado contra la posición horizontal. Sin embargo, este dibujo muestra la onda en un solo instante, ya que el patrón de ondas está en movimiento. La rapidez de la onda aumenta con el incremento de la tensión y disminuye con el incremento de la masa por unidad de longitud de la cuerda. La frecuencia está determinada por la rapidez con que mueves la mano. Junto con la rapidez, la frecuencia determina la longitud de onda.

15.3 Interferencia y ondas estacionarias Cuando una onda en una cuerda llega al extremo fijo de ésta, se refleja y viaja en dirección opuesta hasta tu mano. Si sólo hay un pulso, puedes verlo que regresa con mucha claridad. Si la onda es periódica, más grande, entonces la onda reflejada interfiere con la onda que está incidiendo. El patrón resultante se vuelve más complejo y confuso. Cuando las olas se acercan a la playa, las olas reflejadas interfieren con las que están llegando y se crea un patrón más complejo que el de las olas del mar que están a cierta distancia de la playa. Este proceso, en el que dos o más ondas se combinan, se llama interferencia. ¿Qué sucede cuando las olas interfieren unas con otras? ¿Podemos predecir cuál será el patrón ondulatorio resultante?

¿Cómo se combinan las ondas en una cuerda? Las ondas en una cuerda proporcionan ejemplos de interferencia que son fáciles de visualizar y útiles para destacar los con-

ceptos básicos. Imagina una cuerda que consta de dos segmentos idénticos unidos suavemente para formar una sola cuerda de la misma masa por unidad de longitud que los dos segmentos originales (figura 15.9). Si sostienes un segmento en la mano izquierda y el otro en la derecha, puedes generar ondas en cada uno, las cuales se combinarán al llegar a la unión. Si mueves las dos manos hacia arriba y hacia abajo de la misma forma, las ondas generadas en cada segmento de la cuerda deben ser idénticas. ¿Qué pasa cuando llegan a la unión? Como cada onda por sí misma generaría una perturbación igual a su propia altura, cabe suponer que el efecto combinado de las dos producirá una onda con la misma frecuencia y longitud de onda pero con el doble de altura que las dos ondas iniciales. Y esto es lo que ocurre: la onda de doble altura continúa a lo largo de la cuerda a la derecha de la unión. La idea de que podemos calcular el efecto total obtenido cuando dos o más ondas se interfieren mediante la simple suma de sus desplazamientos se llama principio de superposición: Cuando dos o más ondas se combinan, la perturbación o desplazamiento resultante es igual a la suma de las perturbaciones individuales.

Este principio es válido para la mayoría de los tipos de movimiento ondulatorio. En algunas situaciones, la perturbación resultante podría ser tan grande que el medio en el que viaja la onda no puede responder por completo. En este caso, la perturbación neta es menor que lo predicho por el principio de superposición. No obstante, en el grueso de las situaciones este principio es válido. Es la base para el análisis de todo fenómeno de interferencia. Cuando dos ondas se mueven de la misma forma al mismo tiempo, como en la figura 15.9, se dice que están en fase. Cuando llegan a la unión, ambas van hacia arriba o hacia abajo al mismo tiempo. Sin embargo, podemos producir ondas que no están en fase. Por ejemplo, si mueves los dos segmentos de modo que uno vaya hacia arriba cuando el otro va hacia abajo, las dos ondas resultantes estarán completamente fuera de fase (figura 15.10). ¿Qué pasa en este caso? Si las dos ondas tienen la misma altura, el principio de superposición predice que la perturbación neta será cero. Cuando los desplazamientos de las dos ondas llegan a la unión, el desplazamiento de una es positivo (ascendente) y el de la otra negativo (descendente), y se anulan mutuamente. La suma siempre es cero y ninguna onda se propaga más allá de la unión.

Unión

Unión

figura 15.9

Dos ondas idénticas que viajan por dos cuerdas unidas se combinan para producir una onda más grande.

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15.10 Dos ondas, exactamente fuera de fase en sus movimientos ascendente y descendente, se combinan y no producen perturbación neta sobre la cuerda más allá de la unión.

figura

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307

15.3 Interferencia y ondas estacionarias

El resultado de sumar dos o más ondas depende de sus fases, así como de su amplitud o altura. Las dos situaciones que hemos representado con la cuerda unida son extremas, es decir, en un caso las ondas están completamente en fase y en el otro están completamente fuera de fase. En el primero obtenemos la suma completa o interferencia constructiva. En el otro, obtenemos la anulación completa, o interferencia destructiva. También es posible que las dos ondas no estén completamente en fase ni completamente fuera de fase, sino en algún punto intermedio. En tales circunstancias, la onda resultante tiene una altura entre cero y la suma de las dos alturas iniciales.

¿Qué es una onda estacionaria? Aunque es difícil lograr que se combinen dos ondas que viajan en la misma dirección en cuerdas separadas, la interferencia de dos o más ondas que viajan en la misma dirección es muy común en las ondas de agua, las sonoras o las de luz. La diferencia de fase entre las ondas determina si la interferencia será constructiva, destructiva o estará en algún punto intermedio, precisamente como las ondas en la cuerda. Lo que suele suceder con las ondas en cuerdas o resortes es que hay una interferencia de dos ondas que viajan en direcciones opuestas, lo cual ocurre cuando las ondas se reflejan en un soporte fijo. ¿Cómo se combinan las ondas en esta situación? En la figura 15.11 se muestran dos ondas de la misma altura y longitud que viajan en direcciones opuestas en una cuerda. Podemos aplicar el principio de superposición seleccionando diferentes puntos en la cuerda y considerando cómo las dos ondas se suman en diferentes momentos. En el punto A, por ejemplo, las dos ondas se cancelarán en todo momento. En todo momento una onda es positiva y la otra negativa una cantidad igual, ya que ambas se acercan a ese punto desde lados opuestos. En este punto, la cuerda no oscilará en lo absoluto. Si nos movemos un cuarto de longitud de onda en cualquier dirección desde el punto A vemos un resultado muy diferente. En el punto B, por ejemplo, las dos ondas estarán en fase en todo momento, puesto que se aproximan desde lados opuestos. Cuando una es positiva, también lo es la otra, y así sucesivamente. En este punto, las dos ondas siempre se suman, lo que produce un desplazamiento del doble del que tendría cada onda por sí sola. Cabe destacar que estos dos puntos permanecen fijos en el espacio a lo largo de la cuerda. El punto A, en el que no hay movimiento, se llama nodo. Hay nodos a intervalos regulares a lo largo de la cuerda, separados por media longitud de onda de las dos ondas que viajan. Puedes confirmarlo moviendo la mitad de una longitud de onda en cualquier dirección a partir del punto A, con lo que verás que las dos ondas también se anulan en estos puntos. Estos nodos no se mueven. Lo mismo es válido para puntos como B, donde las ondas se suman para producir una altura grande o amplitud. Estos puntos se denominan antinodos y también se encuentran en lugares fijos separados por media longitud de onda a lo largo de la cuerda. El patrón resultante se presenta en la figura 15.12, donde aparece la posición de la cuerda en varios tiempos. Las

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λ _ 4 v A B′

B

v

λ _ 2

λ 1 – 4

ciclo después

v

A 1 – 2

ciclo después

B

v

v A B

v

15.11 Dos ondas de la misma amplitud y longitud viajan en direcciones opuestas en una cuerda. El dibujo de en medio muestra las dos cuerdas en un tiempo de un cuarto de periodo después del dibujo superior, y el dibujo inferior medio periodo después del dibujo superior. Resulta un nodo en el punto A y un antinodo en el punto B cuando las ondas se combinan.

figura

Nodos

Antinodos

A

λ _ 2

B

λ _ 2

15.12 El patrón producido por las dos ondas que viajan en direcciones opuestas en la figura 15.11 se llama onda estacionaria. (La posición de la cuerda se muestra en diferentes tiempos.) La distancia entre nodos o antinodos adyacentes es la mitad de la longitud de onda de las ondas originales.

figura

dos ondas que viajan en direcciones opuestas producen un patrón fijo con nodos y antinodos espaciados de manera regular. En los antinodos, la cuerda oscila con una amplitud grande. En los nodos, no se mueve para nada. En puntos entre los nodos y antinodos la amplitud tiene valores intermedios. Este patrón de oscilación de la cuerda recibe el nombre de onda estacionaria porque el patrón no se mueve. Las dos ondas que lo producen se mueven en direcciones opuestas; sin embargo, se interfieren de tal manera que crean un patrón estacionario o fijo. En todo tipo de movimiento ondulatorio se observan ondas estacionarias y éstas siempre implican la interferencia de ondas que viajan en direcciones opuestas. En general, la interferencia de una onda reflejada con una onda incidente es la causa de que se presente este patrón.

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308

Capítulo 15

Formación de ondas

¿Qué determina la frecuencia en una onda de guitarra? El autor de este libro toca la guitarra y con los años ha disfrutado mucho la generación de ondas estacionarias en las cuerdas. Una guitarra, un piano y cualquier otro instrumento de cuerdas están hechos de cuerdas o alambres de distintos grosores que están fijos en ambos extremos, con clavijas de afinación para ajustar la tensión. Una onda generada al puntear la cuerda se refleja hacia atrás y hacia delante sobre la cuerda, con lo que se produce una onda estacionaria. La frecuencia de la onda sonora producida por la cuerda es igual a la frecuencia de oscilación de la cuerda, y esta frecuencia se relaciona con el tono musical que escuchamos. Tono es un término musical que indica cuán grave o agudo es un sonido. Una frecuencia mayor representa una nota de tono más alto. ¿Qué condiciones determinan la frecuencia de las cuerdas de la guitarra? ¿Cómo intervienen las ondas estacionarias? La onda estacionaria en una cuerda de guitarra punteada tiene nodos en ambos extremos, a los que está fija y no puede oscilar en ellos. La onda estacionaria más simple es aquella con nodos en cualquier extremo y un antinodo en la parte media (figura 15.13a). Esta onda estacionaria en general resulta cuando se puntea la cuerda. Como la distancia entre los nodos es la mitad de la longitud de onda de las ondas que se interfieren para producir la onda estacionaria, la longitud de onda de estas ondas en interferencia debe ser el doble de la longitud de la cuerda (2L) en este caso. L

λ _ 2 a)

λ _ 2 b)

λ _ 2 c)

15.13 Los primeros tres armónicos son los tres patrones de ondas estacionarias más simples que pueden generarse en una cuerda de guitarra fija en ambos extremos. Las posiciones de las cuerdas se muestran en diferentes tiempos.

figura

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Esta onda estacionaria, la más simple, se llama fundamental o primer armónico (figura 15.13a). La longitud de onda de las ondas que se interfieren está determinada por la longitud de la cuerda. La frecuencia puede deducirse de la relación entre rapidez, frecuencia y longitud de onda, v = f λ. La rapidez está determinada por la tensión en la cuerda, F, y la masa por unidad de longitud de la cuerda, μ, como se estudió en la sección 15.2. La frecuencia de la onda fundamental se expresa entonces como: f =

ν ν = λ 2L

Una cuerda con una longitud mayor L dará como resultado una frecuencia menor, razón por la cual en un piano las cuerdas de los tonos graves son mucho más largas que las de los agudos. En una guitarra, puedes cambiar la longitud efectiva de las cuerdas usando trastes; es decir, colocando tu dedo firmemente sobre la cuerda a lo largo del mástil de la guitarra. Al reducir la longitud efectiva de la cuerda se produce una frecuencia mayor y un tono más alto. Otros factores que afectan la frecuencia son la tensión en la cuerda y la masa por unidad de longitud de ésta, los cuales determinan en conjunto la rapidez de onda. Una tensión mayor implica una rapidez de onda mayor y una frecuencia mayor. Puedes confirmarlo fácilmente al tensar una clavija de afinación en una guitarra. Una cuerda más gruesa, por otro lado, produce una rapidez de onda menor y una frecuencia menor. Las cuerdas graves de una guitarra o de un piano con cuerdas de acero están hechas de alambre que recubre un alambre central para producir una masa por unidad de longitud mayor. Aunque la frecuencia fundamental de una cuerda de guitarra domina si sólo punteas la cuerda cerca de su parte media, también puedes producir los otros dos patrones mostrados en la figura 15.13, así como patrones con más nodos. Para producir el segundo armónico, por ejemplo, tocas la cuerda ligeramente en el punto medio al mismo tiempo que punteas la cuerda. Esto crea el patrón mostrado en la figura 15.13b, con nodos en el centro y en cualquier extremo. En este patrón, la longitud de onda de las ondas que se interfieren es igual a la longitud L de la cuerda. Como esta longitud de onda es la mitad de la fundamental, la frecuencia resultante es el doble de la fundamental, como se muestra en el cuadro de ejemplo 15.3. Desde el punto de vista musical, el tono producido al duplicar la frecuencia es un octavo sobre la fundamental (véase la sección 15.5). Si tocas la cuerda ligeramente en una posición a un tercio de la longitud de la cuerda desde un extremo, obtienes el patrón de la figura 15.13c, el cual tiene cuatro nodos (si contamos los de los extremo) y tres antinodos. La frecuencia resultante es tres veces la fundamental y 3/2 de la frecuencia del segundo armónico. En términos musicales, ésta no es una octava completa sobre el segundo armónico sino un intervalo llamado quinto sobre el tono.

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15.4 Ondas sonoras

309

cuadro de ejemplo 15.3 Ejercicio: ondas y armónicos Una cuerda de guitarra tiene una masa de 4 g, una longitud de 74 cm y una tensión de 400 N. Estos valores producen una rapidez de onda de 274 m/s. a) ¿Cuál es su frecuencia fundamental? b) ¿Cuál es la frecuencia del segundo armónico? a) L = 74 cm = 0.74 m

ν = 274 m/s λ = 2L f1 = ?

b) λ = L f2 = ?

f1 = =

ν ν = λ1 2L 274 m /s 1.48 m

= 185 Hz f2 =

ν ν = L λ2

=

274 m /s 0.74 m

= 370 Hz (Observa que f2 = 2f1.)

Las guitarras son comunes en muchas residencias universitarias. Si tienes una a la mano, trata de generar algunos de estos armónicos y observa el tono que resulta. No se requiere ninguna habilidad en particular como músico y te ayudará a aclarar estas ideas. Si observas de cerca la cuerda, puedes ver los patrones de ondas estacionarias (figura 15.14), los cuales resulta más fácil ver cuando los iluminas con una luz fluorescente. Cuando dos o más ondas se combinan, sus perturbaciones se suman de acuerdo con el principio de superposición. Si están en fase, la interferencia resultante es constructiva. Si están completamente fuera de fase, las ondas se cancelan entre sí y la interferencia es destructiva. Si las ondas viajan en direcciones opuestas, la interferencia produce un patrón de ondas estacionarias con posiciones fijas para los nodos y antinodos. Esto es lo que ocurre en una cuerda de guitarra. La longitud de la cuerda y la forma del patrón de ondas estacionarias determinan la longitud de onda. La longitud de onda determina la frecuencia, ya que la rapidez de onda se establece por la tensión y la masa de la cuerda.

15.14 Las cuerdas de acero de una guitarra tienen diferentes pesos. La cuerda del tono grave se ha punteado, lo que produce un sonido poco claro cerca de la parte media, donde la amplitud es mayor.

figura

tal con un palo. Los niños pequeños son expertos en encontrar maneras de generar ondas sonoras, y cuanto más fuertes, mejor. Puesto que las ondas sonoras llegan a nuestros oídos, deben poder viajar por el aire. ¿Cómo lo hacen? ¿A qué rapidez viajan? ¿Pueden interferir como ondas en una cuerda para formar ondas estacionarias?

¿Cuál es la naturaleza de una onda sonora? Si miras de cerca una de las bocinas de tu aparato de sonido de casa o de un automóvil, verás un mecanismo como el mostrado en la figura 15.15. Un material flexible como el cartón (el diafragma) está montado frente a un imán permanente fijo a la caja protectora de la bocina. Una bobina de alambre se conecta a la base del diafragma de modo que esté centrada en el extremo del imán permanente. Una corriente oscilante

Bobina de alambre

S Generador de ondas senoidales

15.4 Ondas sonoras Las ondas sonoras pueden generarse por medio de una cuerda oscilante en una guitarra o piano, pero por supuesto puedes pensar en muchas otras formas de producirlas. Las obtendrás si disparas una pistola, usas tu voz o golpeas una olla de me-

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Imán Diafragma

15.15 Una corriente oscilante aplicada a la bobina de alambre conectada al diafragma de una bocina hace que éste oscile cuando es atraído o repelido por el imán, con lo que se genera una onda sonora.

figura

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310

Capítulo 15

Formación de ondas

aplicada a la bobina de alambre provoca que se comporte como un electroimán, alternadamente atraído o repelido por el imán permanente. El diafragma entonces oscila con la misma frecuencia que la corriente eléctrica aplicada. ¿Qué efecto tiene el diagrama oscilante en el aire que lo rodea? Cuando el diafragma se mueve hacia delante, comprime el aire frente a él; cuando lo hace hacia atrás, produce una región de presión inferior. La región comprimida, a su vez, empuja el aire frente a ella, con lo que aumenta ahí la presión. Esta región de presión aumentada se propaga por el aire, igual que las regiones de presión reducida. La perturbación podría tomar la forma de un solo pulso, pero si el diafragma se mueve hacia delante y hacia atrás de manera repetida, produce una onda periódica continua de variaciones de presión. Esta onda de variaciones de presión es una onda sonora. En las regiones de presión elevada, las moléculas en el aire están más juntas, en promedio, de lo que están en las regiones de presión reducida. En la figura 15.16 se muestra una onda sonora con variaciones en la densidad del aire exageradas. Debajo del dibujo de la onda hay una gráfica de la presión contra la posición. Para una onda armónica simple, esta gráfica de la presión tiene una forma senoidal simple. Para completar la ilustración, imagina que todo el patrón está alejándose de la fuente, donde nuevas regiones de presión elevada y reducida se generan constantemente. Las moléculas que forman el aire están en movimiento constante en todas direcciones, como ocurre en cualquier gas. Sin embargo, además del movimiento aleatorio, debe haber un movimiento hacia delante y hacia atrás de las moléculas a lo

P

v P0

A

x

15.16 Variaciones en la presión del aire (y densidad) se mueven a través del aire en una onda sonora. La gráfica muestra la presión trazada contra la posición.

figura

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largo de la línea de la trayectoria de la onda para crear las regiones de mayor y menor densidad. Por ende, una onda sonora es una onda longitudinal. El desplazamiento de las moléculas es paralelo a la dirección de propagación de la onda, de manera muy parecida a lo que ocurre en un Slinky cuando un extremo se mueve hacia delante y hacia atrás. Las espiras del Slinky se mueven hacia delante y hacia atrás a lo largo de la dirección de propagación del mismo modo que lo hacen las moléculas del aire, y en el Slinky también hay regiones de mayor densidad (compresión) en movimiento, como en el aire.

¿Qué determina la rapidez del sonido? ¿A qué rapidez viajan las ondas sonoras y qué factores determinan la rapidez del sonido? La primera mitad de esta pregunta es más fácil de responder que la segunda. En el aire a temperatura ambiente, las ondas sonoras viajan a una rapidez de aproximadamente 340 m/s (1 100 pies/s) o cerca de 750 mi/h. Si alguna vez has observado desde cierta distancia cuando alguien martilla un clavo, probablemente habrás notado que el sonido llega a tu oído una fracción de segundo después de ver el golpe del martillo en el clavo. Si te paras en la meta de los 100 metros planos, verás el destello del disparo de salida antes de escuchar el tiro. El sonido viaja rápidamente pero no tanto como la luz (consulta la sección 16.1). De manera similar, escuchas un trueno unos segundos después de que ves el rayo. Como la luz viaja mucho más rápido, el rayo te llega casi al instante. La onda sonora, por otra parte, tarda alrededor de 3 segundos en recorrer 1 kilómetro (o 5 segundos en recorrer 1 milla), dado el valor de la rapidez del sonido que se acaba de exponer. Cuenta los segundos entre el rayo y el trueno para saber a qué distancia cayó el primero (figura 15.17). Si el rayo y el trueno ocurren casi simultáneamente, ¡tal vez estés en problemas! Los factores que determinan la rapidez del sonido están relacionados con la rapidez con que una molécula transmite los cambios en la velocidad a moléculas cercanas para propagar la onda. En el aire, la temperatura es un factor importante, ya que las moléculas que lo forman tienen velocidades medias mayores a temperaturas más altas y chocan con más frecuencia. Un aumento de 10° C en la temperatura aumenta la rapidez del sonido aproximadamente 6 m/s. Para gases distintos del aire, las masas de las moléculas o átomos marcan una diferencia en la rapidez de propagación. Las moléculas de hidrógeno o de helio, debido a sus masas pequeñas, son más fáciles de acelerar que las de nitrógeno u oxígeno, ingredientes principales del aire. La rapidez del sonido en el hidrógeno es casi cuatro veces mayor que en el aire para presiones y temperaturas parecidas. Las ondas sonoras también pueden viajar por líquidos y sólidos, con frecuencia a rapidez considerablemente mayor que en los gases. La rapidez del sonido en el agua, por ejemplo, es cuatro veces mayor que en el aire. Las moléculas del agua están mucho más cerca entre sí que las de un gas, así que la propagación de una onda no depende de oscilaciones aleatorias. El sonido viaja incluso con más rapidez por una barra de

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15.4 Ondas sonoras

311

15.17 Tomar el tiempo del intervalo que hay entre la caída de un rayo y el trueno asociado da una estimación de la distancia a la que cayó el primero.

figura

15.18 Si colocas tu labio inferior en el borde de una botella y soplas suavemente por la abertura se produce una onda estacionaria en la botella.

acero en la que los átomos están unidos con rigidez dentro de una red cristalina. En general, las ondas sonoras en las piedras o el metal tienen una rapidez cuatro a cinco veces mayor que en el agua y de quince a veinte veces más grande que en el aire. Si alguien golpea una barra de acero larga con un martillo en un extremo y escuchas el sonido en el otro extremo, puedes escuchar dos golpes. El primero te llega por la barra de acero y lo escuchas un instante antes que el segundo, el cual te llega por el aire. La diferencia en tiempo depende de cuán lejos te halles del golpe del martillo. El movimiento de la fuente u observador también puede influir en lo que se escucha, como se describe en el cuadro de fenómenos cotidianos 15.1.

donde no hay movimiento longitudinal del aire.) Por otra parte, esperamos un antinodo de desplazamiento en alguna parte cerca de la abertura de la botella, ya que es donde estamos provocando la oscilación. La onda estacionaria más simple que puede existir en un tubo abierto en un extremo varía en amplitud de desplazamiento como la trazada en la figura 15.19a. La línea curva es una gráfica de la amplitud del desplazamiento trazada contra la posición. Es una medida de cuánto se mueven las moléculas hacia delante y hacia atrás en promedio. Hay un nodo en el extremo cerrado y un antinodo cerca del extremo abierto. Como hay una distancia de tan sólo un cuarto de longitud de onda entre un nodo y un antinodo, la longitud de onda de las ondas sonoras que se interfieren para formar esta onda estacionaria debe ser de aproximadamente cuatro veces la longitud del tubo. Podemos determinar la frecuencia de esta onda estacionaria a partir de la rapidez del sonido en el aire (aproximadamente 340 m/s) y la longitud de onda. Para un tubo de 25 cm de longitud (más o menos la longitud de una botella de medio litro), la longitud de onda de las ondas sonoras en interferencia es aproximadamente 1 metro (4 L). Puesto que f = v/λ, esto debe producir una frecuencia de

Haz música con botellas de refresco ¿Podemos observar fenómenos como las ondas estacionarias en las ondas sonoras? Sí, sí podemos; de hecho, la capacidad de tocar muchos instrumentos musicales depende de la creación de ondas estacionarias en un tubo. Un tubo de órgano, un tubo de clarinete y los varios metros de tubo de metal de un saxofón todos sirven para ese propósito. Una botella de refresco es el ejemplo más práctico para observar este fenómeno. Si colocas tus labios cerca del borde de la boca de una botella, como en la figura 15.18, y soplas suavemente por la abertura, la onda sonora reflejada desde el fondo de la botella interfiere con la onda que está entrando, con lo que se produce una onda estacionaria en la botella. Como la botella está cerrada en un extremo, debe haber un nodo de desplazamiento en el fondo de la botella. (Un nodo de desplazamiento es aquel

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figura

f =

340 m /s = 340 Hz . 1m

Como una botella de refresco no es un tubo simple con lados rectos, la frecuencia producida ahí puede diferir de esta estimación.

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312

Capítulo 15

Formación de ondas

fenómenos cotidianos

cuadro 15.1

El claxon de un automóvil en movimiento y el efecto Doppler Situación. Todos hemos tenido la experiencia de pararnos en una calle congestionada y escuchar que alguien toca el claxon de su automóvil cuando pasa. Si recuerdas cómo suena y tratas de imitar el sonido, emitirás un tono para representar el claxon cuando el automóvil está cerca de ti y otro, más bajo, después de que el automóvil ha pasado. En otras palabras, escuchas una onda sonora de frecuencia más baja después de que pasa el auto que cuando se acerca, como en el dibujo.

Fuente estacionaria

Fuente en movimiento v

f Tono

Observador

t

x

v

v

El tono del claxon del automóvil parece cambiar de alto a bajo cuando el automóvil pasa.

¿La frecuencia de la onda sonora producida por el claxón del auto en realidad cambia? Parece poco probable. Algo relacionado con el movimiento del auto debe afectar la frecuencia del tono que escuchamos. ¿Cómo podemos explicar este cambio de frecuencia? Análisis. La mitad superior del segundo diagrama muestra las crestas de onda o frentes de onda del claxon cuando el automóvil no está en movimiento. Cada curva representa una superficie a lo largo de la cual la presión del aire está en su máximo valor en las variaciones de la presión asociadas con la onda sonora. La distancia entre estas curvas es la longitud de onda de la onda sonora. La longitud de onda está determinada por la frecuencia del claxon y la rapidez del sonido en el aire. La rapidez de onda dicta a qué distancia se moverá la cresta en cierto instante, mientras que la frecuencia del claxon determina cuando aparecerá la cresta siguiente. La frecuencia que escuchamos es igual a la razón a la que las crestas de onda llegan a nuestros oídos, lo cual está determinado por la distancia entre las crestas (la longitud de onda) y por la rapidez de onda. Puedes pensar que estas crestas de onda inciden en tu oído de manera muy parecida a las olas que son llevadas a la orilla. Cuanto mayor sea la rapidez, mayor será la razón a la que llegan las crestas a tu oído. Sin embargo, cuanto más grande sea la longitud de onda, menor será la razón (frecuencia) a la que llegan al oído (v = fλ, o f = v/λ). ¿Qué sucede cuando el claxon se mueve? En la parte inferior del diagrama se muestra el caso en el que el claxon se está moviendo

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Frentes de onda del claxon de un automóvil estacionado (superior) y de uno que se mueve hacia el observador (inferior). El movimiento de la fuente cambia la longitud de onda en ambos lados de la fuente.

hacia el observador. Entre el tiempo que el claxon emite una cresta y la siguiente, el claxon se ha movido una distancia corta. Como aparece en el diagrama, este movimiento reduce la distancia entre crestas de onda sucesivas. Aun cuando el claxon sigue emitiendo la misma frecuencia que antes, la longitud de onda de la onda sonora que viaja hacia el observador ahora es más corta. Como la longitud de onda de las ondas que viajan hacia el observador es más corta que la producida por el claxon estacionario, las crestas de onda ahora llegan a tu oído a una razón mayor. Hay menos distancia entre las crestas de onda, pero las ondas se siguen moviendo a la misma rapidez que antes. La razón mayor a la que llegan a ti es detectada por tu oído como una frecuencia mayor. La frecuencia del claxon que escuchas cuando éste se mueve hacia ti es mayor que la que escuchas cuando el claxon está estacionario. Este cambio en la frecuencia detectada de una onda que resulta del movimiento ya sea de la fuente o del observador se llama efecto Doppler. Con un razonamiento similar, puedes ver que la longitud de onda en el aire se volverá más grande si el claxon se aleja de ti. Una longitud de onda mayor producirá una frecuencia menor que la detectada por el observador. Para el auto en movimiento, la frecuencia que escuchas a medida que el auto se aproxima es mayor que la frecuencia natural del claxon y lo que escuchas cuando el auto se aleja de ti es menor que la frecuencia natural. También hay un efecto Doppler si el observador se mueve respecto al aire en el que viaja la onda. Si el observador se desplaza hacia la fuente de la onda, intersecará las crestas de onda más rápido que si está estacionario y detecta una frecuencia mayor que la natural. Un observador que se aleja detecta una frecuencia menor. El efecto Doppler también ocurre para la luz y otros tipos de movimiento ondulatorio, pero es más conocido en la experiencia común de escuchar vehículos en movimiento.

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15.5 La física de la música L

Las ondas sonoras producidas por los tubos y cuerdas de los instrumentos musicales pueden incidir en nuestros oídos. Estas ondas sonoras son longitudinales y constan de regiones de compresión y descompresión del aire. Las moléculas de aire deben moverse hacia delante y hacia atrás a lo largo del eje de la onda para producir estos cambios. Las ondas sonoras pueden interferir con otras ondas. En los tonos producidos por los instrumentos de aliento o las botellas intervienen ondas estacionarias de sonido.

λ = 4L λ _ 4 a)

λ=

4 _ L 3 3λ _ 4 b)

15.5 La física de la música Nodos

4 λ = _L 5 5λ _ 4 c)

15.19 Patrones de onda estacionaria para los primeros tres armónicos en un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro. Las curvas representan la amplitud del movimiento molecular hacia delante y hacia atrás en cada punto en el tubo.

figura

Con un poco de práctica puedes generar armónicos más altos que la frecuencia simple, o fundamental. En la figura 15.19b se muestra el patrón de onda estacionaria para el siguiente armónico alto. Éste tiene un antinodo cerca de la abertura y otro antinodo y dos nodos dentro del tubo. Como tres cuatros de longitud de onda están contenidos dentro del tubo, las longitudes de onda de las ondas en interferencia debe ser de aproximadamente cuatro tercios la longitud del tubo, o alrededor de 33 cm en un tubo de 25 cm. La frecuencia de las ondas sonoras generadas por este armónico es, por tanto, de alrededor de 1020 Hz (340 m/s dividido entre 0.33 m). Esta frecuencia es tres veces la fundamental y corresponde a un tono en la siguiente octava. Un razonamiento similar sirve para predecir las frecuencias de los armónicos más altos. También podemos analizar los patrones de ondas estacionarias producidos en un tubo ya sea abierto o cerrado en ambos extremos. En general, el tono real producido por una botella o un instrumento musical es una combinación de varios armónicos posibles, la cual determina la calidad o riqueza de las ondas sonoras resultantes. Las ondas estacionarias son un tipo de interferencia que se observa fácilmente con las ondas sonoras. Las ondas sonoras que viajan en la misma dirección también pueden interferirse y producir interferencia constructiva o destructiva, según la relación de fase entre las ondas en interferencia. Los “puntos muertos” en los auditorios a veces se producen por la interferencia destructiva. El diseño acústico en las salas de concierto es un arte complejo que debe tener en cuenta la interferencia.

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313

En las secciones 15.3 y 15.4 estudiamos las ondas estacionarias formadas en una cuerda de guitarra y en un tubo cerrado en un extremo. La longitud de la cuerda o tubo determinó las frecuencias producidas, las cuales se relacionan con nuestra percepción del tono musical. Estas ideas respecto a la física y la música se conocen desde la antigüedad. Sin embargo, la física de los sonidos musicales es mucho más extensa. Por ejemplo, ¿por qué la misma nota tocada en un clarinete suena muy diferente en una trompeta o casi en cualquier otro instrumento musical? ¿Por qué obtienes diferentes notas de sonido cuando punteas una cuerda de guitarra en distintos puntos? ¿Por qué ciertas combinaciones de notas (acordes) suenan mejor que otras? El concepto del análisis armónico o de frecuencia es importante en la comprensión de muchas de estas cuestiones. Al determinar la combinación de las frecuencias presentes en una nota interpretada en un instrumento es posible explicar la calidad del tono producido. Las relaciones entre las diferentes frecuencias o armónicos explican por qué las distintas notas tocadas juntas suenan armoniosamente. Los factores culturales también son significativos en nuestra apreciación musical. El heavy metal puede sonar bien para unos, mientras que otros prefieren a Bach.

¿Qué es el análisis armónico? Recuerda las diferentes ondas estacionarias que podíamos generar en una cuerda de guitarra estudiadas en la sección 15.3. El primer armónico o fundamental tenía nodos en cualquier extremo y un antinodo a la mitad de la cuerda. El segundo armónico tenía dos lóbulos (las áreas de oscilación entre nodos adyacentes) con un nodo adicional en el centro de la cuerda. El tercer armónico tenía dos lóbulos con dos nodos a lo largo de la cuerda, además de los dos nodos de los extremos, y así sucesivamente. Cada uno de estos armónicos tiene una frecuencia diferente, la cual son simples proporciones de la fundamental. Si sólo punteamos la cuerda con una uñeta o dedo en alguna parte a lo largo de ella, resulta que no obtenemos un armónico solo. En vez de ello habrá una combinación de modos de ondas estacionarias o armónicos. Si podemos determinar de algún modo la amplitud de cada uno de los armónicos que forman la compleja onda estacionaria en la cuerda, entonces habremos

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Formación de ondas

Amplitud

Capítulo 15

Amplitud

314

f1

2f 1

3f 1

4f 1

5f 1

6f 1

7f1

f1

2f1

3f1

4f1

5f1

6f 1

7f1

Frecuencia

Frecuencia

15.20 Cuando se puntea la cuerda de una guitarra en la posición usual, el segundo y el tercer armónicos dominan el espectro armónico. f1 es la frecuencia del primer armónico.

figura

15.21 Cuando se puntea la cuerda de una guitarra cerca del puente, muchos armónicos más altos están presentes en el espectro armónico. Esto resulta en un sonido gangoso.

realizado un análisis de frecuencia o análisis armónico. Los dos términos significan lo mismo.* En el caso de una cuerda de guitarra, los resultados del análisis armónico pueden parecer sorprendentes. En general, punteamos la cuerda aproximadamente a un cuarto del camino hacia el puente, donde la cuerda termina. El segundo armónico (f2 = 2f1) tiene un antinodo en esta posición, así que es estimulado con fuerza. La fundamental no se estimula con tanta fuerza, ya que su antinodo se halla a la mitad de la cuerda. En una guitarra acústica, su cuerpo también determina qué armónicos se reforzarán cuando se genere una onda sonora. La combinación resultante de armónicos podría parecerse mucho a la representada en la figura 15.20. Cada pico en la gráfica de esa figura representa un armónico diferente. La altura del pico denota la amplitud de ese armónico. La mayoría de los departamentos de física cuentan con equipo y software de cómputo que permiten generar fácilmente una gráfica como ésta. Observa que el segundo y tercer armónicos son más fuertes que la fundamental. Resulta interesante que cuando punteamos la cuerda de esta manera seguimos identificando el tono asociado con esta combinación de armónicos como si fuera el tono ladel fundamental, no del segundo o tercer armónicos. Nuestros oídos y cerebro realizan su propio análisis e interpretación. Si punteamos la cuerda mucho más cerca del puente, obtenemos una combinación distinta de armónicos. La calidad del tono también es muy diferente, por lo que el sonido puede describirse como gangoso. Un análisis de frecuencia mostraría muchos armónicos altos (figura 15.21) porque éstos tienen antinodos más cercanos al puente. La amplitud del segundo y tercer armónicos puede reducirse. Aún interpretamos el tono de la nota como si fuera el de la fundamental, pero la nota suena diferente. Este sonido gangoso con frecuencia se usa en la música country y western.

Los diferentes instrumentos musicales generan tonos que tienen combinaciones armónicas o gráficas distintas. En general, una trompeta produce muchos armónicos altos en su espectro de frecuencia. Son estos armónicos altos lo que da un sonido “claro” o “estridente” a la música. Una flauta, por otra parte, puede tocarse de tal manera que la fundamental domine el espectro de frecuencia con casi ningún armónico más alto presente. Esto produce el tono muy “puro” que asociamos con la flauta. La manera como se interpreta el instrumento también puede tener un efecto importante en los armónicos producidos. Si tienes acceso al equipo y software necesarios para generar un espectro armónico, puede resultar divertido probar estas ideas con diferentes instrumentos musicales (incluida tu voz).

* Un análisis de frecuencia de este tipo también se llama análisis de Fourier, en honor al físico-matemático francés Jean-Baptiste Fourier (1768-1830), quien desarrolló las técnicas matemáticas inherentes al análisis.

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figura

¿Cómo se definen los intervalos musicales? En la sección 15.3 observamos que al duplicar la frecuencia de una nota (yendo desde el primer hasta el segundo armónico) se produce un cambio en el tono que llamamos un salto de octava. La palabra octava tiene su raíz en el número ocho. En la música occidental, por tradición se utiliza una escala musical de ocho tonos. Cuando aprendemos a cantar, identificamos las ocho notas en la escala por las sílabas do, re, mi, fa, sol, la, si, do (figura 15.22). Los dos do de los extremos están separados una octava. Si tocas o cantas dos notas separadas por una octava, suenan muy parecido. De hecho, con frecuencia tenemos dificultad para exponer la diferencia entre las notas. En parte, esto se debe al hecho de que, salvo la fundamental de la nota inferior, dos notas separadas por una octava tienen la mayoría de los armónicos más altos presentes cuando se tocan en un instrumento. Al identificar la nota, nuestros oídos y cerebro usan estos armónicos más altos. Cuando tocamos el tercer armónico en una guitarra, la frecuencia es tres veces la fundamental, pero sólo 3/2 veces el segundo armónico. Llamamos al intervalo musical entre el segundo y tercer armónicos un quinto. Al cantar, ésta es la

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315

15.5 La física de la música

cuadro de ejemplo 15.4 Ejercicio: cálculo de frecuencias para diferentes intervalos Una escala en do mayor comienza con do central y tiene una frecuencia de aproximadamente 264 Hz. Si suponemos que se han afinado para las proporciones perfectas para los intervalos en cuestión, ¿cuál debe ser la frecuencia para estas notas: C

D

E

F

G

A

B

C

do

re

mi

fa

sol

la

ti

do

15.22 En una escala de do mayor que comienza y termina en do, las ocho notas que la forman se tocan en las teclas blancas de un piano.

figura

diferencia entre do y sol, la primera y quinta notas en la escala de ocho tonos. Es el intervalo entre el primer par de notas y el segundo par de notas en la tonada “Brilla, brilla, estrellita”. El cuarto armónico tiene una frecuencia de cuatro veces la de la fundamental y, por ende, el doble de la frecuencia del segundo armónico. Es una octava arriba del segundo armónico y dos octavas sobre la fundamental. El tercero y cuarto armónicos tienen la razón de frecuencia 4/3 y éste es el intervalo entre sol y el do en la parte superior de la escala. Este intervalo se denomina cuarta, la cual también es el intervalo entre do y fa, la primera y cuarta notas en la escala (véase el cuadro de ejemplo 15.4). El quinto armónico tiene una frecuencia de cinco veces la fundamental, pero sólo 5/4 veces el cuarto armónico. El intervalo musical entre el cuarto y quinto armónicos se llama tercera mayor. Al cantar, es el intervalo entre do y mi, la primera y tercera notas en la escala. Otros intervalos pueden definirse de manera similar. Las otras tres notas en la escala también pueden definirse como proporciones de frecuencia simples de otras notas de la escala (véase el problema de síntesis 5). Si es un tercio musical arriba de sol (5/4), re es un cuarto musical abajo de sol (3/4) y la es un tercio musical sobre fa (5/4). Por consiguiente, todas las notas de la escala pueden relacionarse con las proporciones de longitud de una cuerda estirada en un instrumento como una guitarra. El papel de estas proporciones de longitud en la música fue reconocido por el matemático griego Pitágoras alrededor del 530 a.n.e., aunque se limitó a la octava y la quinta al construir su escala. Sin embargo, hay un problema al afinar una guitarra y en particular un piano de esta manera. Aunque el instrumento puede sonar bien en una clave (aquella para la que se afinó), sonará terrible en otras. Así que si afinamos el piano de tal modo que todas las proporciones estén correctas (a lo que se llama afinación justa), comenzamos nuestra escala en do central (f = 264 Hz para la afinación justa), las proporciones no serán correctas si comenzamos nuestra escala en la siguiente nota arriba (llamada re). Así que a menos que quieras tocar el piano sólo en una clave, debes arreglar las proporciones

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a) sol? b) fa? c) do en la parte superior de la escala (do agudo)? a) Sol está un quinto arriba de do con una proporción de 3/2. f =

3 2

(264 Hz) = 396 Hz

b) Fa está un cuarto arriba de do con una proporción de 4/3. f =

4 3

(264 Hz) = 352 Hz

c) De do al siguiente do agudo hay una octava, lo cual

duplica la frecuencia. f = 2(264 Hz) = 528 Hz

entre las notas. El arreglo más común se llama afinación de temperamento igual. En este método de afinación, todas las proporciones son aproximadamente correctas, pero no perfectas, para cualquier clave. No obstante, las proporciones entre semitonos adyacentes en la escala son todas idénticas, de manera que las escalas suenan correctamente sin importar donde empieces (véase el problema de síntesis 4). En la tabla 15.1 se muestran las frecuencias tanto para la afinación de temperamento igual como para la afinación justa en una escala de do. Ambas se basan en la frecuencia estándar de 440 Hz para re arriba del do central. La escala de temperamento igual muestra los sostenidos (#) y los bemoles (♭), que junto con las notas de la escala mayor forman una escala que se compone de 12 semitonos de igual proporción. La proporción de frecuencia de cada nota del semitono anterior es 1.05946, que es la raíz doceava de (12√2). Multiplicada por sí misma 12 veces es igual a 2, que es la razón apropiada de una octava completa. No hemos mostrado las frecuencias para los sostenidos y los bemoles de la afinación justa. En algunas versiones de esta afinación, los bemoles pueden tener una frecuencia diferente que los sostenidos de la nota que está justo debajo, por ejemplo, la bemol (la ♭) podría tener una frecuencia diferente que sol sostenido (sol#). Históricamente, muchos físicos y matemáticos han participado en discusiones sobre el método de afinación ideal. Pitágoras, Ptolomeo, Kepler y Galileo aportaron ideas. Claudio Ptolomeo, a quien se conoce principalmente por su modelo geocéntrico del Sistema Solar, tuvo un papel decisivo en la introducción de la afinación justa. El padre de Galileo, Vincenzo Galilei, fue un músico teórico. Galileo mismo participó activamente en estos temas en la época en que se había propuesto el temperamento igual y estaba en debate. Hoy día, el

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316

Capítulo 15

Formación de ondas

tabla 15.1 Frecuencias y proporciones para diferentes métodos de afinación Temperamento igual

Afinación justa

Nota

f (Hz)

Ratios

C C♯ (D♭) D D♯ (E♭) E F F♯ (G♭) G G♯ (A♭) A A♯ (B♭) B C

261.6 277.2 293.7 311.1 329.6 349.2 370.0 392.0 415.3 440.0 466.2 493.9 523.3

1.05946 1.05946 1.05946 1.05946 1.05946 1.05946 1.05946 1.05946 1.05946 1.05946 1.05946 1.05946

Nota

f (Hz)

C (do)

264.0

D (re)

297.0

9/8 5/4 4/3 E (mi) F (fa)

330.0 352.0

3/2 4/3 6/5

G (sol)

396.0

A (la)

440.0

B (ti) C (do)

495.0 528.0

5/4 5/4 4/3

temperamento igual predomina en la afinación de pianos y nos hemos acostumbrado a los arreglos que implica.

¿Por qué algunas combinaciones de notas suenan armoniosas? ¿Por qué algunas notas nos parecen agradables cuando las tocamos juntas, pero otras no? Esta cuestión es parcialmente cultural, mas también hay una base física para lo que llamamos armonía. Como es lógico, puede explicarse parcialmente mediante los armónicos presentes en las notas. Por ejemplo, si tocamos notas do y sol juntas, el sonido es agradable para la mayoría de las personas. Estas dos notas suenan semejantes, incluso para personas de diferentes culturas. Recuerda que cuando tocas o cantas una nota, el sonido resultante en general contendrá armónicos altos de la frecuencia fundamental. Como la proporción de frecuencia simple entre estas dos notas está separada por un quinto, muchos de estos armónicos altos serán iguales. El tercer armónico para do, por citar un caso, es idéntico al segundo armónico para sol. Se refuerzan entre sí en los armónicos altos. Si añadimos dos notas más para producir el acorde mayor de do mi, sol, do, el sonido es aún más armonioso. Una vez más, hay una superposición de los armónicos altos en estas notas. Lo mismo se aplica a muchos otros acordes simples. En un piano o guitarra, usamos intensivamente acordes como éstos para construir nuestras estructuras musicales. En una banda o en un coro, los diferentes instrumentos o voces proporcionan las notas en los acordes. Algunas notas no suenan bien juntas, cuando menos para las personas acostumbradas a la música clásica. Si tocamos un do y un re juntos, por ejemplo, el sonido es disonante. Aunque la falta de una superposición marcada en los armónicos altos puede explicar parcialmente el sonido discordante que resul-

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Proporciones de frecuencia

6/5

ta, otro fenómeno físico llamado pulsaciones está en acción. Cuando dos ondas de diferentes frecuencias se combinan, interfieren entre sí. Como sus frecuencias difieren, entran y salen de fase una con otra a medida que el tiempo avanza. Cuando están en fase, la onda combinada tiene una amplitud grande. Cuando están fuera de fase, la amplitud es mucho menor. Esta fluctuación en la amplitud de la onda combinada se llama pulsaciones (figura 15.23). La frecuencia de la variación en la amplitud (llamada frecuencia de pulsaciones) es igual a la diferencia en frecuencia de las dos ondas. Si las dos notas están muy cerca en frecuencia, la frecuencia de pulsaciones es lo suficientemente lenta para escucharse como una variación en la amplitud. En otras palabras, puedes escuchar que el sonido se vuelve más alto y suave en un patrón de wah-wah repetitivo. Este efecto puede ser útil en la afinación de un instrumento con otro. Cuando las pulsaciones se vuelven muy lentas o desaparecen juntas, los dos instrumentos están afinados. (Las pulsaciones también son muy útiles en la afinación de las cuerdas dobles de una mandolina o en una guitarra de doce cuerdas.) Cuando dos notas difieren por un tono completo en la escala, como con do y re, la frecuencia de pulsaciones es lo suficientemente rápida como para que escuchemos un zumbido disonante. Este zumbido produce, lo que para muchos de nosotros es, un sonido disonante. En la música moderna, sin embargo, este sonido disonante a veces se usa para producir los efectos deseados. A medida que la frecuencia se vuelve aún mayor, la frecuencia de pulsación a veces puede escucharse como un tono separado. El tono corresponde a la frecuencia de pulsación. Por ejemplo, si tocamos do y sol juntas, la frecuencia de pulsación es 3 2

f − f =

1 2

f

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Resumen y

y1

y2 t

y

y1 + y2

t

1 Pulsación

15.23 Las dos ondas con frecuencia ligeramente distinta en el dibujo superior interfieren entre sí para producir las pulsaciones mostradas en el dibujo inferior. Las dos ondas entran y salen de fase a medida que el tiempo avanza.

figura

donde f es la frecuencia de la nota inferior, do. Una nota con una frecuencia de un medio de do es una octava por debajo de do, así que se escucha bien con un acorde que contiene do y sol. Por tanto, las pulsaciones pueden ayudar a explicar la riqueza de la armonía que obtenemos cuando tocamos acordes mayores. La física de la música abarca mucho más que estas ideas básicas. La acústica de una buena sala de conciertos, por ejemplo,

317

supone la interferencia, la reflexión, la absorción del sonido y muchos otros efectos. Un buen músico desarrolla un “oído” refinado y puede detectar e identificar intervalos musicales y acordes con mucha mayor facilidad que una persona sin entrenamiento, pero la mayoría de nosotros tenemos suficiente exposición a la música para apreciar los efectos producidos. Tocar una guitarra o el piano puede demostrar muchas de las ideas que acabamos de analizar. La frecuencia de una onda sonora se asocia con su tono musical. Cuando tocamos una nota en un instrumento musical, el sonido contendrá la frecuencia fundamental así como los armónicos más altos con frecuencias que son múltiplos enteros de la fundamental. Un análisis armónico del sonido determina la amplitud de cada una de las frecuencias presentes. Los armónicos son importantes en la definición de los intervalos musicales en la escala utilizada en la música occidental. Las distintas combinaciones de estas notas suenan armoniosas cuando los armónicos altos en las notas se refuerzan entre sí como lo hacen en un acorde mayor. Dos notas de diferente frecuencia se interfieren para producir una frecuencia de pulsación igual a la diferencia en la frecuencia entre las dos notas. La frecuencia de pulsación también es significativa al determinar si la combinación de dos notas sonará agradable o disonante.

resumen Una onda es una perturbación en movimiento que propaga energía por un medio. Las ondas de agua, las ondas en un Slinky, las ondas en un resorte o cuerda, lo mismo que las ondas sonoras comparten características como la reflexión y la interferencia, que son comunes a cualquier movimiento ondulatorio. Estas ondas difieren en el tipo de medio en el que se propagan, en la naturaleza de la perturbación que se transmite y en la rapidez de onda. Las ondas estacionarias y el análisis armónico son muy importantes en la física de la música.

1 Pulsos de onda y ondas periódicas. Las características básicas del movimiento ondulatorio pueden demostrarse en un Slinky, incluidos los pulsos individuales, así como las ondas continuas. Para las ondas longitudinales, la perturbación está a lo largo de la línea de recorrido; para las transversales, es perpendicular a la dirección de viaje. La rapidez de onda es igual a la frecuencia por la longitud de onda de la onda. v

una forma senoidal. La rapidez de onda depende de la tensión en la cuerda y de la masa por unidad de longitud (μ = m/L) de la cuerda.

v

v=

F _ μ

Interferencia y ondas estacionarias. Cuando dos o 3más ondas se combinan, las perturbaciones se suman para formar una onda nueva. La interferencia puede ser constructiva, con lo que se produce una amplitud mayor si las ondas están en fase, o puede ser destructiva, con lo que se crea una amplitud menor o cero si están fuera de fase. Dos ondas que viajan en direcciones opuestas producen una onda estacionaria.

λ v = fλ

2

Ondas sobre una cuerda. Las ondas transversales pueden generarse en una cuerda o en un resorte. Si se aplica un movimiento armónico simple en un extremo de la cuerda, la onda tiene

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Capítulo 15

Formación de ondas

sonoras. Las ondas sonoras son ondas longitudifísica de la música. El análisis armónico muestra 4nales Ondas 5que lasLanotas que intervienen en la propagación de variaciones de presión musicales tocadas por la mayoría de los instrumentos por el aire u otro medio. La rapidez del sonido es aproximadamente de 340 m/s en el aire a temperatura ambiente. Las ondas sonoras estacionarias pueden formarse en tubos o botellas. La longitud del tubo determina la longitud de onda y la frecuencia de los diversos armónicos.

contienen una combinación de armónicos altos junto con la frecuencia fundamental. Las escalas e intervalos musicales se basan en las proporciones entre estos armónicos altos. Las combinaciones de notas suenan armoniosas cuando los armónicos altos se superponen. Cuando el tono de dos notas es muy cercano, las pulsaciones pueden producir un zumbido disonante.

λ _ 4

λ _ 2

λ _ 2 v f =_ λ

conceptos clave pulso de onda, 301 onda periódica, 302 longitud de onda, 302 onda armónica, 304 interferencia, 306 principio de superposición, 306

nodo, 307 antinodos, 307 onda estacionaria, 307 tono, 308 onda sonora, 310 efecto Doppler, 312

análisis armónico, 314 afinación justa, 315 temperamento igual, 315 pulsaciones, 316

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P5. Si aumentas la frecuencia con la que mueves el extremo de un Slinky hacia delante y hacia atrás, ¿la longitud de onda de la onda en el Slinky aumenta o disminuye? Explica por qué.

P1. Un pulso de onda se transmite a lo largo de un Slinky, pero el éste no cambia de posición. ¿Ocurre una transferencia de energía en este proceso? Explica por qué.

P6. Si aumentas la rapidez de una onda en un Slinky al aumentar la tensión pero mantienes la misma frecuencia del movimiento hacia delante y hacia atrás, ¿la longitud de onda aumenta o disminuye? Explica por qué.

P2. En un lago viajan olas con dirección este. ¿El agua del lago necesariamente se mueve en esa dirección? Explica por qué.

P7. ¿Es posible producir una onda transversal en un Slinky? Explica cómo.

P3. Una máquina lenta choca contra una hilera de vagones de ferrocarril estacionados en una vía muerta. Un pulso de onda se transmite a lo largo de la hilera de vagones a medida que cada uno choca contra el siguiente. ¿Esta onda es transversal o longitudinal? Explica por qué.

*P8. En los encuentros deportivos la gente a veces genera una “ola” que se propaga a lo largo del estadio. ¿Esa ola es transversal o longitudinal? ¿Qué provoca que la ola viaje a través de la gente? Explica por qué.

P4. Una onda puede propagarse en una manta al sostener las esquinas adyacentes con tus manos y mover el extremo de la manta hacia arriba y hacia abajo. ¿Esta onda es transversal o longitudinal? Explica por qué.

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*P9. ¿Es posible producir una onda longitudinal en una cuerda? Explica cómo. P10. Si duplicamos la masa por unidad de longitud de una cuerda al unir dos cuerdas en una. ¿Qué efecto tiene esto en la rapidez de una onda en esta cuerda? Explica por qué.

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Ejercicios P11. ¿Qué fuerza provoca que segmentos individuales de una cuerda se aceleren cuando un pulso transversal viaja a lo largo de la cuerda? Explica por qué. P12. ¿Por qué es más fácil observar las ondas transversales en una cuerda pesada que en una cuerda ligera? Explícalo. P13. Si aumentamos la tensión en una cuerda, manteniendo la frecuencia de oscilación del extremo de la cuerda igual. ¿Qué efecto tiene esto en la longitud de onda de la onda producida? Explica por qué. P14. ¿Es posible que dos ondas viajen en la misma dirección para producir una onda (cuando se interfieren) que tenga una altura menor (amplitud) que cualquiera de las ondas individuales? Explica por qué. P15. Dos cuerdas unidas suavemente forman una sola cuerda, que está atada a la pared. Si los extremos de las dos cuerdas se mueven hacia arriba y hacia abajo en fase, pero una cuerda tiene la mitad de longitud de onda que la otra en el punto donde se unen, ¿la interferencia de las dos ondas al unirse será constructiva o destructiva? Explica por qué.

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P23. ¿Es posible que el sonido viaje por una barra de acero? Explica por qué. P24. Si aumentamos la temperatura del aire por el que viaja una onda sonora. a) ¿Qué efecto tiene esto en la rapidez de la onda de sonido? Explica por qué. b) Para cierta frecuencia, ¿qué efecto tiene aumentar la temperatura sobre la longitud de onda de la onda sonora? Explícalo. P25. Si la temperatura de un tubo de órgano aumenta por arriba de la temperatura ambiente, con lo que se incrementa la rapidez de las ondas sonoras en el tubo pero sin afectar la longitud del tubo considerablemente, ¿qué efecto tiene esto en la frecuencia de las ondas estacionarias producidas en este tubo? Explícalo. P26. ¿La longitud de onda de la onda estacionaria fundamental en un tubo abierto en ambos extremos es mayor, igual o menor que la longitud de onda de la onda fundamental en un tubo abierto en un solo extremo? Explica por qué.

*P16. Cuando dos ondas en cuerdas separadas llegan a la unión empalmada, se interfieren destructivamente y producen una onda más allá de la unión. ¿Qué sucede con la energía transportada por las ondas? ¿Habrá ondas reflejadas? Explica por qué.

P27. Una banda que toca en un camión de plataforma se aproxima a ti rápidamente casi al final de un desfile. ¿Escucharás el mismo tono para los diversos instrumentos que una persona que está en la calle a quien ya ha pasado el camión? Explica por qué.

P17. Podemos formar ondas estacionarias en una cuerda conectada a una pared moviendo el extremo opuesto de la cuerda hacia arriba y hacia abajo a una frecuencia apropiada. ¿De dónde viene la segunda onda que interfiere con la onda inicial para formar la onda estacionaria? Explícalo.

P28. ¿Es posible que las ondas sonoras viajen por el vacío? Explica por qué.

P18. Una onda estacionaria se produce en una cuerda fija en ambos extremos de modo que hay un nodo en medio, así como en ambos extremos. ¿La frecuencia de esta onda será mayor, igual o menor que la frecuencia fundamental, que tiene nodos sólo en los extremos? Explica por qué. P19. ¿La distancia entre los antinodos de una onda estacionaria es igual a la longitud de onda de las ondas que se interfieren para formar la onda estacionaria? Explica por qué. P20. Si aumentamos la tensión de una cuerda de guitarra, ¿qué efecto producimos en la frecuencia y en la longitud de onda de la onda estacionaria fundamental formada en esa cuerda? Explica por qué.

P29. Cuando punteas una cuerda de guitarra, ¿es probable que obtengas una onda sonora que contenga una sola frecuencia? Explica por qué. *P30. ¿Por qué es probable que el segundo armónico de una cuerda de guitarra punteada sea mayor que el primer armónico o fundamental cuando la cuerda está punteada en la posición inicial? Explícalo. P31. ¿Qué estamos midiendo cuando realizamos un análisis armónico de una onda sonora? Explícalo. P32. ¿Cómo se relaciona el intervalo musical que llamamos un quinto con el tercer armónico de una cuerda punteada? Explícalo. P33. ¿Por qué dos notas separadas por una octava suenan muy parecido? Explícalo.

P21. Si enrollamos un segundo alambre en una cuerda de guitarra para aumentar su masa, ¿qué efecto produciremos en la frecuencia y la longitud de onda de la onda estacionaria fundamental formada en esa cuerda? Explica por qué.

*P34. La frecuencia y el tono están relacionados, pero ¿son lo mismo? Cuando identificamos que una nota tiene cierto tono, ¿es probable que contenga una sola frecuencia? ¿Cómo difiere la percepción de un tono para alguien que no puede seguir una melodía de aquella de un músico entrenado? Coméntalo.

P22. ¿Por qué es mucho más fácil producir ondas longitudinales que viajan en el aire que producir ondas transversales? Explícalo.

P35. Dos notas muy juntas en la escala como do y re producen un zumbido cuando se tocan juntas. ¿Cuál es el origen de ese sonido? Explícalo.

ejercicios E1. Imagina que a un muelle llegan olas a una velocidad de 1.2 m/s y una longitud de onda de 2.4 m. ¿Con qué frecuencia chocan estas ondas con el muelle?

E3. Una onda longitudinal en un Slinky tiene una frecuencia de 5 Hz y una rapidez de 2.0 m/s. ¿Cuál es la longitud de onda de esta onda?

E2. Si las olas tienen una longitud de onda de 2.4 m y un periodo de 1.6 s. ¿Cuál es la velocidad de estas olas?

E4. En el diagrama aparece una onda en una cuerda. a) ¿Cuál es su longitud de onda?

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Capítulo 15

Formación de ondas

b) Si la frecuencia de la onda es 2 Hz, ¿cuál es su rapidez?

6m E5. Una onda en una cuerda tiene una rapidez de 12 m/s y un periodo de 0.4 s. a) ¿Cuál es su frecuencia? b) ¿Cuál es su longitud de onda? E6. Si una cuerda de guitarra tiene una longitud de 0.8 m, una masa de 0.12 kg y una tensión de 135 N. a) ¿Cuál es la masa por unidad de longitud de esta cuerda? b) ¿Cuál es la rapidez de una onda en esta cuerda? E7. Una cuerda con una longitud de 0.8 m está fija en ambos extremos. a) ¿Cuál es la mayor longitud de onda posible para las ondas que pueden interferirse para formar una onda estacionaria en esta cuerda? b) Si las ondas viajan a una rapidez de 120 m/s en esta cuerda, ¿cuál es la frecuencia asociada con esta longitud de onda mayor? E8. Si la cuerda del ejercicio 7 se puntea de tal forma que hay dos nodos a lo largo de ella, además de lo de ambos extremos. ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas que se interfieren para este modo? E9. Las ondas sonoras tienen una rapidez de 340 m/s en el aire a temperatura ambiente. ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas sonoras para el tono musical concert A, el cual tiene una frecuencia de 440 Hz? E10. ¿Cuál es la frecuencia de una onda sonora con una longitud de onda de 0.85 m que viaja en aire a temperatura ambiente (v = 340 m/s)? E11. Un tubo de órgano cerrado en un extremo y abierto en el otro tiene una longitud de 0.5 m.

a) ¿Cuál es la mayor longitud de onda posible para las ondas sonoras en interferencia que pueden formar una onda estacionaria en este tubo? b) ¿Cuál es la frecuencia asociada con esta longitud de onda si la rapidez del sonido es de 340 m/s? E12. Imagina que empezamos una escala mayor en concert A, la cual por definición tiene una frecuencia de 440 Hz. Si llamamos a esta frecuencia do, ¿cuál es la frecuencia de proporción ideal de a) mi? b) sol? E13. Si sol en cierta escala tiene una frecuencia de 396 Hz, ¿cuál es la frecuencia de proporción ideal de do en la parte inferior de esta escala? E14. En la afinación justa, la proporción para una tercera mayor es 5/4. En la afinación con temperamento igual la proporción es 1.260. Si empezamos una escala en una frecuencia de 440 Hz para do, ¿cuál es la diferencia en frecuencia para mi (una tercera mayor arriba de do) en un piano con temperamento igual y un piano con afinación justa? E15. Si do tiene una frecuencia de 263 Hz y re una frecuencia de 323 Hz, ¿cuál es la frecuencia de pulsación producida cuando estas dos notas se interpretan juntas? E16. Si una cuerda de guitarra se afina a una frecuencia de 440 Hz y una cuerda en otra guitarra produce seis pulsaciones por segundo cuando se toca junto con la primera cuerda, ¿cuáles son las frecuencias posibles de la segunda cuerda? E17. ¿Cuál es la frecuencia de pulsaciones que resulta cuando una nota de 880 Hz se toca con otra de 660 Hz? Si esta frecuencia de pulsación se escucha como un tono musical, ¿cómo se relaciona este tono con las dos notas originales? ¿Cuáles son los intervalos?

problemas de síntesis PS1. Cierta cuerda tiene una longitud de 8 m y una masa de 2.4 kg. Está fija en un extremo y se mantiene tensa en el otro extremo con una tensión de 30 N. El extremo de la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia de 2.5 Hz. a) ¿Cuál es la masa por unidad de longitud de la cuerda? b) ¿Cuál es la rapidez de las ondas en esta cuerda? c) ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas en esta cuerda que tienen una frecuencia de 2.5 Hz? d) ¿Cuántos ciclos completos de estas ondas cabrán en la cuerda? e) ¿Cuánto tiempo tardará que el primer frente de las ondas llegue al final de la cuerda y empiece su regreso? PS2. Una cuerda de guitarra tiene una longitud general de 1.25 m y una masa total de 40 g (0.04 kg) antes de que se encuerde en la guitarra. Sin embargo, una vez en la guitarra hay una distancia de 64 cm entre sus extremos fijos. Se ajusta a una tensión de 720 N. a) ¿Cuál es la masa por unidad de longitud de esta cuerda?

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b) ¿Cuál es la rapidez de onda para las ondas en la cuerda tensada? c) ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas que viajan y entran en interferencia para formar la onda estacionaria fundamental (nodos en cualquier extremo) de esta cuerda? d) ¿Cuál es la frecuencia de la onda fundamental? e) ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia del siguiente armónico (con un nodo en medio de la cuerda)? PS3. Un tubo abierto en ambos extremos formará ondas estacionarias si se excita apropiadamente, con antinodos cerca de los dos extremos del tubo. Imagina que tenemos un tubo abierto de 40 cm de longitud. a) Traza el patrón de ondas estacionarias para la onda estacionaria fundamental para este tubo. (Habrá un nodo en medio y antinodos en los dos extremos.) b) ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas sonoras que se interfieren para formar la onda fundamental? c) Si la rapidez del sonido en el aire es de 340 m/s, ¿cuál es la frecuencia de esta onda sonora?

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Experimentos y observaciones para la casa

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d) Si la temperatura del aire aumenta de modo que la rapidez del sonido es ahora de 350 m/s, ¿por cuánto cambia la frecuencia? e) Traza el patrón de ondas estacionarias y calcula la longitud de onda y la frecuencia del siguiente armónico en este tubo.

c) En la afinación justa, el do central tiene una frecuencia de 264 Hz. ¿Cómo se compara tu resultado del inciso b con este valor? d) Yendo hacia arriba, encontramos la frecuencia de do encima de concert A en un temperamento igual. ¿Esta frecuencia es el doble de la obtenida para do central?

PS4. Para una afinación normal, por definición concert A tiene una frecuencia de 440 Hz. En un piano, la está a cinco teclas blancas arriba de do, a 9 medios tonos arriba de do contando tanto las teclas blancas como las negras (véase la fig. 15.22) Una octava completa se compone de 12 medios tonos (semitonos). En la afinación con temperamento igual, cada semitono tiene la proporción de 1.0595 arriba de su tono anterior. (Esta proporción es la raíz dozava de 2.0.) a) ¿Cuál es la frecuencia de la bemol, un semitono debajo de la para el temperamento igual? b) Yendo hacia abajo, encontramos la frecuencia de cada semitono anterior hasta que llegamos a do. (Realiza tus cálculos hasta cuatro cifras, para evitar errores de redondeo. Por cada semitono, divide entre 1.0595.)

PS5. Usando el procedimiento descrito en la sección 15.5, donde se explican las proporciones ideales para una escala con afinación justa, calcula las frecuencias de todas las teclas blancas entre do central (264 Hz) y el do arriba del do central (una escala de do mayor). Si resolviste el problema de síntesis 4, compara las frecuencias para la afinación justa con las del temperamento igual. a) sol está una quinta arriba de do (3/2). b) fa está una cuarta arriba de do (4/3). c) mi está una tercera mayor arriba de do (5/4). d) si está una tercera mayor arriba de sol. e) re está una cuarta arriba de sol. f) la está una tercera mayor arriba de fa.

experimentos y observaciones para la casa EC1. Si tienes un Slinky, ya sea de tu hermano o hermana menor, o te prestan uno en el laboratorio de física, trata de producir algunos de los efectos descritos en la sección 15.1. a) ¿Puedes estimar la rapidez de pulsos longitudinales individuales producidos en el Slinky? b) ¿Cómo cambia esta rapidez a medida que el Slinky se estira? c) ¿Un pulso transversal viaja con la misma rapidez que uno longitudinal? d) ¿Puedes producir una onda longitudinal continua en el Slinky? EC2. Las ondas de agua pueden crearse fácilmente si mueves la mano en una tina u otro recipiente que contenga agua. Las crestas de onda pueden observarse directamente. a) Trata de mover la mano a diferentes frecuencias. ¿Cómo varía la longitud de onda con la frecuencia? b) ¿Puedes estimar la rapidez de un pulso de onda? c) Usando ambas manos, puedes crear dos ondas que se unan y se interfieran. Si mueves las manos al unísono, debes observar la interferencia constructiva a lo largo de la línea central entre las dos ondas. ¿Qué efecto tiene esto sobre la onda que observaste a lo largo de la línea central? d) ¿Puedes producir interferencia destructiva si mueves las manos de modo que una vaya hacia arriba mientras la otra va hacia abajo? Describe lo que ocurre cuando intentas hacer esto. EC3. Vacía una botella y practica a soplar sobre la abertura de la boca como se describe en la sección 15.4 hasta que produzcas un tono consistente. a) ¿Cómo varía el tono si pones agua en la botella? ¿Cuál es la relación del tono cuando la botella está medio llena a cuando está vacía? b) Trata de producir armónicos altos al soplar más fuerte y reducir la abertura de tus labios. (Esto es fácil para un

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flautista pero requiere un poco de práctica para los simples mortales.) ¿Cómo se relaciona el tono de un armónico alto con el tono de la fundamental? c) Al llenar ocho botellas a diferentes niveles puedes producir todas las notas de una escala de un octavo. Reúne algunos amigos y traten de tocar alguna melodía sencilla. EC4. Si tienes una guitarra, trata de generar algunos de los armónicos altos usando la técnica estudiada en la sección 15.3. a) ¿Cuántos armónicos altos puedes producir? ¿Las ubicaciones de los puntos en el mástil de la guitarra son una guía sobre dónde colocar tu dedo? b) Trata de puntear la guitarra del modo usual y también mucho más cerca del puente. ¿Puedes escuchar armónicos altos en el tono producido? ¿Cómo difiere el tono en estas dos situaciones? c) Si tienes acceso a un equipo de análisis armónico en tu laboratorio de física, compara el espectro armónico producido al puntear una cuerda en las dos posiciones descritas en el inciso b. EC5. Si nunca has tocado el piano, puedes aprender mucho si te sientas frente a un teclado y pruebas algunas escalas e intervalos. a) Toca una escala de do mayor como se muestra en la figura 15.22. b) Toca una escala de re mayor, que empiece y termine en re. ¿Cuáles teclas negras usaste para hacer que la escala se escuchara bien? c) Toca una escala de sol mayor que empiece y termine en sol. ¿Cuáles teclas negras usaste? d) Toca un acorde mayor (do, mi, sol, do) que empiece en las diferentes notas enumeradas en los incisos a, b y c, así como otros. ¿Cuáles teclas usaste? e) Toca do en varias octavas diferentes. ¿Estas notas suenan parecidas? ¿Puedes escuchar diferentes armónicos?

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Ondas de luz y color

esquema del capítulo

1

capítulo

16

descripción del capítulo ¿Qué es la luz, cuáles son sus propiedades y cómo podemos explicar la abundante variedad de fenómenos del color que forman parte de nuestra experiencia cotidiana? Empezando por el reconocimiento de que la luz es una forma de onda electromagnética, exploramos su comportamiento, incluidas las propiedades de absorción, reflexión selectiva, interferencia, difracción y polarización. Nuestra percepción del color se ve afectada por todas ellas.

2

3

unidad cuatro

4

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5 322

Ondas electromagnéticas. ¿Qué son las ondas electromagnéticas y cómo se producen? ¿Qué es la luz? ¿En qué se parecen las ondas de radio y las de luz y en qué se diferencian? Longitud de onda y color. ¿Cómo se relaciona el color con la longitud de onda? ¿Cómo percibimos el color? ¿De qué manera los procesos de reflexión selectiva, absorción y dispersión determinan los colores que vemos? ¿Por qué el cielo es azul? Interferencia de las ondas de luz. ¿Cómo demuestra el experimento de interferencia de doble rendija de Young que la luz es una onda? ¿Qué es la interferencia en películas delgadas? ¿Cómo podemos explicar los colores de interferencia que vemos en la marea negra y otras películas delgadas? Difracción y redes de difracción. ¿Qué es la difracción? ¿Cómo limita nuestra capacidad para ver los detalles finos? ¿Qué son las redes de difracción y cómo se usan para medir las longitudes de onda? Luz polarizada. ¿Qué es la luz polarizada? ¿Cómo se produce la polarización y cómo podemos decir si la luz está polarizada? ¿Qué es la birrefringencia, y cómo puede producir el fenómeno del color?

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16.1 Ondas electromagnéticas

¿A

lguna vez te has preguntado por qué nuestro mundo nos parece tan colorido? Desde luego, la luz interviene en lo que vemos, pero ¿qué es la luz? ¿Por qué las películas de jabón parecen multicolores y por qué el cielo es azul? Todos estos fenómenos se relacionan con la naturaleza ondulatoria de la luz. Todos hemos jugado con burbujas de jabón en algún momento de nuestra vida. Tal vez también hayas quedado fascinado con las películas de jabón en el aro de alambre que casi siempre se usa para hacer burbujas. Si sostienes el aro sin moverlo, la película se forma con un patrón de franjas de colores (figura 16.1). Mientras observas estas franjas, los colores cambian hasta que finalmente la película se rompe. ¿Cómo explicamos esto? El comportamiento colorido de las películas y burbujas de jabón, igual que el de muchos otros fenómenos relacionados con el color, supone la interferencia de las ondas de luz. Numerosas ideas referentes a las ondas, entre ellas la de la interferencia, se expusieron en el capítulo 15, pero las ondas de luz ofrecen algunos ejemplos más, sorprendentes e interesantes. La luz es una onda electromagnética, así que habremos de explorar lo que eso significa. Las ondas de luz pueden reflejarse, refractarse, polarizarse, dispersarse y absorberse. También pueden interferir entre sí para producir algunos efectos asombrosos. La reflexión y la refracción pueden describirse en términos de la óptica de

16.1 Ondas electromagnéticas ¿Qué tienen en común las ondas de luz, las ondas de radio, las microondas y los rayos X? Todos son tipos de ondas electromagnéticas. En conjunto representan una enorme variedad de fenómenos que han cobrado gran relevancia en nuestro tecnológico mundo moderno. James Clerk Maxwell predijo por primera vez, en 1865, la existencia de las ondas electromagnéticas, al tiempo que describió su naturaleza. Maxwell era un físico teórico muy talentoso que hizo aportes significativos en numerosas áreas de la física, entre ellas la del electromagnetismo, la termodinámica, la teoría cinética de los gases, la visión del color y la astronomía. Sin embargo, es más conocido por su tratado sobre los campos eléctricos y magnéticos, que ya hemos mencionado. Su descripción de las ondas electromagnéticas, con una predicción de su rapidez, fue sólo un detalle de ese trabajo.

¿Qué es una onda electromagnética? Para comprender las ondas electromagnéticas debemos repasar los conceptos de campo eléctrico y campo magnético. Los dos campos pueden producirse mediante partículas cargadas. El movimiento de la carga es necesario para generar un campo magnético, pero un campo eléctrico está presente

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figura 16.1

Una película de jabón vista en la luz reflejada muestra colores de interferencia llamativos.

rayos, como veremos en el capítulo 17. La óptica de rayos describe el comportamiento de las lentes y los espejos, los cuales se usan para construir muchos instrumentos ópticos, como los microscopios y los telescopios. En este capítulo nos centraremos en aspectos de la luz que dependen directamente de las propiedades ondulatorias de la luz. La óptica ondulatoria describe los fenómenos de interferencia y difracción y propiedades como la absorción, dispersión y polarización. Todos estos fenómenos intervienen en la producción de los colores que vemos.

sin importar si la carga se mueve o no. Estos campos son una propiedad del espacio que rodea las cargas y son útiles para predecir las fuerzas sobre otras cargas, como se estudió en los capítulos 12 y 14. Si esa carga fluye hacia arriba y hacia abajo en dos tramos de un alambre conectado a una fuente de corriente alterna como en la figura 16.2. Si se invierte la dirección de la corriente lo suficientemente rápido, una corriente alterna fluirá en este arreglo aun cuando parezca ser un circuito abierto. La carga de un signo comenzará a acumularse en los alambres, pero antes de que sea demasiado grande, la corriente se invierte, la carga fluye hacia atrás y la carga del signo opuesto comienza a aumentar. De esta manera tenemos tanto una cantidad de carga en constante cambio como una corriente electrónica cambiante en los alambres. Los campos magnéticos generados por este arreglo pueden representarse con líneas de campo circulares centradas en los alambres, como se muestra en la figura. Sin embargo, este campo cambia constantemente de magnitud y dirección conforme la corriente cambia. Por la ley de Faraday, Maxwell sabía que un campo magnético cambiante generaría un voltaje en un circuito cuyo plano es perpendicular a las líneas del campo magnético. Un voltaje implica un campo eléctrico, e incluso en la ausencia de un circuito, un campo magnético

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Capítulo 16

Ondas de luz y color

I

B

Generador de ondas senoidales

figura 16.2

Una corriente eléctrica que alterna rápidamente en los alambres genera campos magnéticos cuya dirección y magnitud cambian con el tiempo.

cambiante generará un campo eléctrico en cualquier punto en el espacio donde el campo magnético esté cambiando. Por tanto, esperamos que se genere un campo eléctrico cambiante por un campo magnético cambiante, de acuerdo con la ley de Faraday. Maxwell vio una simetría en el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos: un campo eléctrico cambiante también genera un campo magnético. Maxwell predijo este fenómeno en sus ecuaciones que describen el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos. Las mediciones experimentales confirmaron su existencia. Maxwell se percató de que una onda inherente a estos campos podría propagarse por el espacio. Un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico cambiante, el cual, a su vez, produce un campo magnético cambiante, y así sucesivamente. En el vacío, el proceso puede seguir indefinidamente y afectar las partículas cargadas a distancias mucho mayores a partir de la fuente de lo que sería posible con los campos estáticos generados por las corrientes o cargas que no cambian. E

B

De esta manera se produce una onda electromagnética. Los alambres en la figura 16.2 sirven como antena de transmisión para las ondas. Es posible emplear una segunda antena para detectar las ondas. Aun cuando Maxwell predijo la existencia de estas ondas en 1865, el primer experimento para producirlas y detectarlas con circuitos eléctricos fue realizado por Heinrich Hertz (18571894) en 1888. Las antenas originales de Hertz eran circuitos de alambre circulares en vez de alambres rectos, pero también utilizó alambres rectos en un trabajo posterior. Él detectó una onda producida por el circuito fuente con otro circuito a una distancia considerable de la fuente. Hertz descubrió las ondas de radio al realizar estos experimentos. La figura 16.3 presenta un esquema más detallado de la naturaleza de las ondas electromagnéticas simples. Si el campo magnético está en el plano horizontal, como en la figura 16.2, el campo eléctrico generado por el campo magnético cambiante está en dirección vertical. Estos dos campos son perpendiculares entre sí, y también son perpendiculares a la dirección en que se alejan de la antena fuente. Por consiguiente, las electromagnéticas son ondas transversales. Las magnitudes de los campos eléctricos y magnéticos se representan aquí como variables senoidales y en fase entre sí, pero patrones más complejos también son posibles. Igual que los otros tipos de ondas que hemos estudiado, el patrón de onda senoidal se mueve. En la figura 16.3 se observan las magnitudes y dirección de los campos en un solo instante y a lo largo de una sola línea en el espacio. El mismo tipo de variación ocurre en todas las direcciones perpendiculares a la antena. A medida que el patrón senoidal se mueve, los valores del campo en cualquier punto en el espacio aumentan y disminuyen alternadamente. Cuando los campos pasan por cero, cambian de dirección y comienzan a aumentar en la dirección opuesta. Estos cambios coordinados de los campos eléctricos y magnéticos forman la onda electromagnética.

¿Cuál es la rapidez de las ondas electromagnéticas? Al predecir la existencia de las ondas electromagnéticas en su teoría de los campos eléctricos y magnéticos, Maxwell

v=c

x

figura 16.3

En una onda electromagnética, las direcciones de los campos eléctricos y magnéticos que varían con el tiempo son perpendiculares entre sí y respecto a la rapidez de la onda.

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16.1 Ondas electromagnéticas

también pudo predecir su rapidez. La rapidez de estas ondas en el vacío puede calcularse a partir de sólo dos constantes, la de Coulomb, k en la ley de Coulomb, y la de la fuerza electromagnética, k′ en la expresión de Ampére para la fuerza entre dos alambres que transportan corriente. La teoría de Maxwell predijo que la rapidez de onda debería ser igual a la raíz cuadrada de la proporción de estos dos números (v = √— k/k′), lo cual produce un valor de 3 × 108 m/s, o 300 millones de metros por segundo. El hecho sorprendente respecto a este valor, además de su tamaño increíble, es que correspondía al de la rapidez de la luz, que ya se conocía. Algunos años antes del trabajo de Maxwell, distintos científicos habían medido con precisión la rapidez de la luz. Esta coincidencia llevó a Maxwell a indicar que la luz misma era una forma de onda electromagnética; ésta fue la primera conexión directa entre los campos de la óptica y del electromagnetismo. La medición de la rapidez de la luz no era una tarea fácil en la época de Maxwell. Galileo fue uno de los primeros en intentar hacerlo 250 años antes. Envió a un asistente con una linterna con contrapuertas a una colina distante con instrucciones de abrirla cuando viera la luz de una linterna similar operada por Galileo. Galileo planeó medir el tiempo que tardaba la luz en viajar hasta su asistente y de regreso. Este intento estaba condenado al fracaso. Los tiempos de reacción que implica abrir las linternas eran mucho mayores que el tiempo real que demora el rayo de luz en viajar. Si bien los astrónomos habían hecho mediciones de la rapidez de la luz, la primera que tuvo éxito fue la de ArmandHippolyte Fizeau (1819-1896), realizada en tierra en 1849. Utilizó un aparato con una rueda dentada como el que aparece en la figura 16.4. Un rayo de luz pasa por el espacio entre los dientes de la rueda giratoria y se refleja desde un espejo distante. El rayo se bloqueará al regresar a la rueda si ésta ha girado lo suficiente para que un diente esté en el lugar donde había estado el hueco. Al medir la rapidez rotacional de la rueda y conocer la distancia que recorría el rayo de luz para regresar a la rueda, Fizeau calculó la rapidez de la luz. La rapidez de la rueda de Fizeau permitió que un diente se moviera a la posición anterior de un hueco en menos de 1/10 000 de segundo. Incluso a esa razón, debía colocar su espejo reflejante a una distancia mayor de 8 kilómetros (aproximadamente 5 millas) de la rueda. Saber que el rayo de luz viajaba más

de 10 millas en menos de 1/10 000 de segundo en el experimento de Fizeau puede darte una idea de la enorme magnitud de la rapidez de la luz. La rapidez de la luz es una constante importante de la naturaleza, así que le damos su propio símbolo c, su valor en el vacío. Este valor ahora se define como c = 2.99792458 × 108 m/s, muy cercano al valor de 3 × 108 m/s que generalmente citamos y recordamos. De cierto modo, la luz (y otras formas de ondas electromagnéticas) viaja más lentamente en otros medios como el vidrio o el agua, pero la rapidez de las ondas electromagnéticas en el aire es muy parecida a su rapidez en el vacío.

¿Hay diferentes tipos de ondas electromagnéticas? Ya hemos observado que tanto las ondas de radio como las de luz son electromagnéticas. ¿Son iguales o difieren en algún aspecto importante? La diferencia principal entre las ondas de radio y las de luz radica en sus longitudes de onda y frecuencias. Las ondas de radio tienen longitudes de onda largas, de varios metros o más, pero las de luz tienen longitudes de onda muy cortas, menores que un micrón (un millonésimo de metro). Como los diferentes tipos de ondas electromagnéticas viajan con la misma rapidez en el vacío (y también en el aire, aproximadamente), sus frecuencias se relacionan con sus longitudes de onda mediante la relación v = f λ, donde la rapidez v es igual a c. Las frecuencias para las longitudes de onda comunes de las ondas de radio y las ondas de luz se calculan en el cuadro 16.1. Con sus longitudes de onda más cortas, las ondas de luz tienen frecuencias mucho mayores que las de radio. Si se conoce la frecuencia, podemos usar la relación entre la longitud de onda y la frecuencia para calcular la longitud de onda. Una estación de radio de AM que transmite a una frecuencia de 600 kilohertz produce ondas de radio con una longitud de onda de 500 m, los cuales obtenemos dividiendo la rapidez de la luz entre la frecuencia (λ = c/f). Las ondas de radio en la banda AM tienen longitudes de onda muy largas. En la figura 16.5 se muestra la longitud de onda y las bandas de frecuencia de varias partes del espectro electromagnético. Las ondas en las distintas partes de este espectro difieren no sólo en su longitud de onda y frecuencia sino también en cómo se generan y en los materiales por los cuales viajan. Los rayos

8.6 km

Fuente de luz

Espejo transparente (semiplateado)

325

Rueda dentada giratoria

Espejo distante

figura 16.4

Diagrama del aparato de la rueda dentada de Fizeau para medir la rapidez de la luz. Cuando la rueda gira una fracción pequeña de revolución rápidamente, uno de sus dientes bloquea el rayo de luz que regresa.

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Capítulo 16

Ondas de luz y color

cuadro de ejemplo 16.1

des de onda un tanto mayores que el extremo rojo del espectro visible se llaman luz infrarroja, y las ondas con longitudes de onda más cortas que el extremo violeta se denominan luz ultravioleta. Aunque los rayos X y los rayos gamma tienen longitudes de onda incluso más cortas que la luz ultravioleta, también son ondas electromagnéticas. Las ondas electromagnéticas sufren el fenómeno de interferencia igual que otros tipos de ondas. La interferencia de la luz puede producir efectos asombrosos, algunos de los cuales se estudian en la sección 16.3. Las ondas de radio reflejadas de cinturones de partículas cargadas en la atmósfera pueden interferir con las que llegan directamente desde el transmisor, lo que hace que la estación gane y pierda intensidad. La forma como se producen los distintos tipos de ondas electromagnéticas varía en gran medida para las diferentes partes del espectro, pero todas implican partículas cargadas aceleradas. Las cargas aceleradas pueden estar en un circuito eléctrico oscilante como en las ondas de radio, o dentro de los átomos como en la luz, los rayos X y los rayos gamma. Como cualquier cuerpo caliente, tu cuerpo irradia ondas electromagnéticas en la parte infrarroja del espectro. En este caso, los átomos oscilantes dentro de las moléculas de tu piel sirven como antenas.

Ejercicio: frecuencias de dos tipos de ondas electromagnéticas ¿Cuáles son las frecuencias de a) las ondas de radio con una longitud de onda de 10 m? b) las ondas de luz con una longitud de onda de 6 × 10–7 m? a) λ = 10 m v = c = 3 × 108 m/s f = ?

v = fλ = c c f = λ =

3 × 108 m/s 10 m

= 3 × 107 Hz b) λ = 6 × 10−7 m f = ?

f = =

c λ 3 × 108 m/s 6 × 10−7 m

= 5 × 1014 Hz La frecuencia de las ondas de luz es 10 millones de veces mayor que la de las ondas de radio de 10 m.

La teoría de Maxwell de los campos eléctricos y magnéticos predijo que una onda que supone estos campos podría propagarse en el vacío. Llamamos a estas ondas electromagnéticas. Su rapidez en el vacío es de aproximadamente 300 millones de metros por segundo, según predijo Maxwell. Como se sabía que este valor era el de la rapidez de la luz, la luz se identificó como una onda electromagnética, junto con las ondas de radio, las microondas, los rayos X y los rayos gamma, los cuales se descubrieron después del trabajo de Maxwell. Varios tipos de ondas electromagnéticas difieren entre sí en sus longitudes de onda y frecuencias, y en cómo se generan. Sin embargo, todas son ondas y presentan las propiedades generales del movimiento ondulatorio.

X, por ejemplo, pasarán por los materiales opacos para la luz visible. Las ondas de radio también atravesarán paredes en que la luz no puede penetrar. Las longitudes de onda de la luz se asocian con el color y van de aproximadamente 3.8 × 10–7 m en el extremo violeta del espectro visible a 7.5 × 10–7 m en el extremo rojo. Los colores cambian progresivamente del violeta pasando por azul, verde, amarillo, anaranjado y rojo a medida que las longitudes de onda se alargan. Las ondas electromagnéticas con longitu-

F (frecuencia) 1021 Hz

1018 Hz

1015 Hz

1012 Hz

109 Hz

106 Hz

Luz Rayos gamma

Rayos X

Ultravioleta

103 Hz

Radio Infrarojo

Microondas

TV

FM

AM

Onda larga

Visible 10–15 m

10–12 m

10–9 m

10–6 m

10–3 m

1m

103 m

106 m

λ(longitud de onda)

figura 16.5

El espectro de ondas electromagnéticas. Tanto las longitudes de onda como las frecuencias se muestran para las distintas partes del espectro.

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16.2 Longitud de onda y color

16.2 Longitud de onda y color Vivimos en un mundo colorido y aprendemos a distinguir los colores cuando estamos en preescolar. ¿Cómo lo hacemos? ¿Qué provoca que diferentes objetos tengan colores distintos? ¿Por qué el cielo es azul? Estos fenómenos están relacionados con la longitud de onda de la luz, con las propiedades de diferentes materiales y con la forma en que vemos. En esta sección exploraremos diversos aspectos del color y de la visión del color.

¿La luz se compone de diferentes colores? Si alguna vez has jugado con un prisma, sabes que puede producir un arco iris. Si permitimos que un rayo de luz blanca de un foco pequeño o del Sol incida en el prisma, éste flexionará el rayo. Sin embargo, el rayo emergente no es blanco, sino multicolor y exhibe la luz violeta en uno de sus extremos y la roja en el otro. En medio encontramos azul, verde, amarillo y anaranjado. Una de las primeras personas en estudiar este fenómeno sistemáticamente fue Isaac Newton. Newton es más conocido por su trabajo en mecánica, pero también realizó un trabajo exhaustivo en óptica. En un experimento hizo que un rayo estrecho de luz solar pasara por un agujero en la pantalla de su ventana hacia la sombra. Hizo pasar ese rayo por un prisma de vidrio y mostró el espectro de colores de la luz que acabamos de describir. Esto parecía demostrar que la luz blanca tenía dentro de sí luz de distintos colores. Sin embargo, Newton no se detuvo en esta observación. Pasó la luz que surge del prisma por un segundo prisma idéntico que estaba invertido respecto al primer prisma (figura 16.6). La luz que emergía del segundo prisma era blanca como el rayo de Sol original. Cuando los diferentes colores se recombinaban producían luz blanca. Estos estudios de Newton demostraban que la luz blanca era una mezcla de distintos componentes de color. Ahora sabemos que los diferentes colores de luz que observó Newton se asocian con la longitud de onda de la luz. Como dijimos en la sección 16.1, la luz violeta tiene longitudes de onda más cortas que la luz roja y los demás colores del

espectro tienen valores intermedios. Estas longitudes de onda pueden medirse mediante experimentos de interferencia que describiremos en las secciones 16.3 y 16.4. No obstante, las longitudes de onda son muy cortas, y es lógico que Newton no estuviera convencido de que existieran. Las longitudes de onda de la luz visible ¡miden aproximadamente un centésimo del diámetro de un cabello! En general expresamos las longitudes de onda de la luz visible en nanómetros (nm). Un nanómetro es igual a 10–9 metros o un mil millonésimo de metro. Las longitudes de onda de la luz visible varían de 380 nm en el extremo violeta del espectro visible a 750 nm en el extremo rojo. En la tabla 16.1 se muestran los límites de onda aproximados de los distintos colores del espectro visible.

¿Cómo distinguen nuestros ojos los diferentes colores? Aun cuando las longitudes de onda de la luz visible son muy cortas, nuestro sistema de la vista puede distinguir fácilmente diferentes colores. Nuestros ojos son el extremo frontal de ese sistema, pero el cerebro también es muy importante en la manera como vemos. En la figura 16.7 se muestra un diagrama simplificado de algunas estructuras del ojo.

tabla 16.1 Colores asociados con diferentes longitudes de onda de la luz Color

Longitud de onda (nm)

violeta

380-440

azul

440-490

verde

490-560

amarillo

560-590

anaranjado

590-620

rojo

620-750

Lentes de acomodación Agujero en la pantalla

Córnea

Retina

Pantalla

Íris Nervio óptico

figura 16.6

Newton mostró que la luz blanca del Sol, después de separarse en diferentes colores mediante un prisma, podía volver a combinarse por medio de un segundo prisma para formar luz blanca otra vez.

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figura 16.7

La luz que entra en el ojo es enfocada por la córnea y las lentes de acomodación para formar una imagen en la retina. La retina contiene células sensibles a la luz que envían señales al cerebro por el nervio óptico.

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Capítulo 16

Ondas de luz y color

La córnea y las lentes del cristalino enfocan la luz en la retina. Ésta está formada por células sensibles a la luz de dos tipos: conos y bastones. Los conos se concentran cerca del centro de la retina en un área llamada fóvea, y son responsables de nuestra visión diurna y del color. Los bastones se distribuyen en toda la retina y son responsables de nuestra visión nocturna y periférica; no proporcionan información sobre el color: somos ciegos al color de noche o en otras condiciones de baja iluminación. Los conos dominan nuestra visión en condiciones de iluminación adecuada y son los responsables de nuestra capacidad para ver los detalles finos y el color. En realidad hay tres tipos de conos sensibles a la luz en diferentes partes del espectro: los S, los M y los L. Los conos S son los más sensibles a las longitudes de onda más cortas (la S proviene de shorter, más corto); los conos M a longitudes de onda medianas y los conos L a longitudes de onda largas (figura 16.8). Sin embargo, los límites de sensibilidad se superponen, por lo que la luz cerca de la parte media del espectro visible estimulará todos los conos. Entonces, ¿cómo identificamos los diferentes colores? Imagina que entra luz en tus ojos con una longitud de onda de 650 nm. A partir de las curvas de sensibilidad de los conos podemos ver que esta luz estimulará los conos L con mayor intensidad que los M, los cuales a su vez reciben un estímulo mucho mayor que los S. Cuando empezamos a identificar colores en la infancia, aprendimos a identificar esta combinación de señales como el color rojo. Así, la luz de 450 nm estimula los conos S con mayor intensidad e identificamos ese color como azul. La luz con una longitud de onda de 580 nm estimula con intensidad tanto los conos M como los L, e identificamos este color como amarillo. Sin embargo, una mezcla de luz roja y verde producirá una respuesta similar, y también percibiremos esta mezcla como amarillo. Éste es esencialmente el proceso que subyace a la mezcla de colores aditivos. La combinación de los tres colores primarios, azul, verde y rojo, en diferentes

figura 16.9

La mezcla de colores aditivos se demuestra emitiendo desde proyectores separados círculos de luz azul, verde y roja que se superponen en una pantalla.

cantidades puede producir respuestas en nuestro cerebro que corresponden a todos los colores que estamos acostumbrados a identificar. El rojo y el verde producen amarillo, el azul y el verde producen cian (azul-verde), y el azul y el rojo producen magenta, como se muestra en la figura 16.9. La combinación de los tres colores primarios en cantidades apropiadas produce una respuesta que identificamos como blanco. Esto es válido a pesar de que todas las longitudes de onda que forman la luz blanca del Sol pueden no estar presentes. No obstante, percibimos el blanco porque los conos están siendo estimulados en una proporción similar a la que produce la luz solar. Cuando los niveles de luz son muy bajos comparados con el fondo, vemos el negro, que es esencialmente la ausencia de luz.

¿Por qué los objetos tienen colores diferentes? Conos M

Sensibilidad espectral relativa

Conos S

Conos L

400

500

600

700

Longitud de onda (nm)

figura 16.8

Los tres diferentes tipos de conos son sensibles a las distintas longitudes de onda de la luz, pero sus límites se superponen.

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¿Por qué un vestido azul se ve azul o una camisa verde se ve verde? La mayoría de los objetos no son productores de luz; simplemente reflejan o dispersan la que les llega de otras fuentes. El color que percibimos depende de las longitudes de onda presentes en la fuente de luz, así como de la manera en la que el objeto refleja o dispersa la luz. La mezcla de colores realizada por los pintores en su paleta es otra forma de producir colores diferentes. Los pigmentos empleados en pinturas o las tinturas usadas en las telas son resultado de la absorción selectiva. Esto significa que absorben algunas longitudes de onda de la luz más que otras. Cuando la luz se absorbe, la energía contenida en la onda de luz se convierte en otras formas de energía, en general en energía térmica. El objeto que realiza la absorción se vuelve más cálido. La absorción selectiva de la luz es un proceso sustractivo que también sirve para producir una gama de colores completa.

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16.2 Longitud de onda y color

Imagina que iluminamos un libro azul-verde (también llamado cian) con un foco de luz incandescente. Una lámpara incandescente produce luz al calentar un filamento de tungsteno a una temperatura muy alta, provocando que brille. Como resultado hay un rango continuo de longitudes de onda, parecido a la luz blanca producida por el Sol que generalmente contiene una mayor intensidad de luz en el extremo rojo del espectro. Cuando esta luz incide en el libro es posible que ocurran varias cosas. Si la cubierta del libro es brillante, parte de la luz sufre una reflexión especular (figura 16.10). La reflexión especular es parecida a la del espejo; la luz se refleja en una dirección específica definida por la ley de la reflexión. (La ley de la reflexión y el comportamiento de los espejos se estudian en el capítulo 17.) La luz que se refleja de esta forma casi siempre aparece como un resplandor blanco, el color del foco. El resto de la luz se reflejará de manera difusa, lo que significa que se refleja en todas direcciones. Es posible que esto se deba a que la superficie es un tanto rugosa, pero también es resultado de que la luz penetra una distancia pequeña en la superficie del libro, como se muestra en la figura 16.10. Cuando esto ocurre, las partículas de pigmento en la capa de la superficie absorben selectivamente parte de la luz. Si el libro se ve azul-verde, los pigmentos absorben selectivamente la luz roja, dejando un exceso de longitudes de onda de luz azul y verde en la luz reflejada difusamente. Los pigmentos sustraen algunas longitudes de onda que provienen de la fuente de luz blanca y producen una mezcla alterada de longitudes de onda en la luz reflejada. La mezcla de colores sustractivos tiene su propio conjunto de reglas. En la impresión en color se usan tres pigmentos primarios: cian, amarillo y magenta (también se usa tinta negra para oscurecer algunos colores). El cian (azul-verde) tiene una capacidad de absorción mayor en la parte roja del espectro, pero transmite y refleja las longitudes de onda azules y verdes. Los pigmentos amarillos absorben en el azul, pero transmiten y reflejan en el verde y el rojo. El magenta absorbe en longitudes de onda intermedias, pero transmite y refleja el azul y el rojo. Especular

Difusa

16.10 La reflexión especular obedece la ley de la reflexión, ya que todos los colores se reflejan por igual. En la reflexión difusa, los rayos de luz penetran una distancia corta y algunas longitudes de onda se absorben.

figura

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329

Magenta

Cian

Amarillo

16.11 La mezcla de colores sustractivos se demuestra superponiendo pigmentos amarillo, magenta y cian usados en la impresión en color.

figura

Cuando la luz se refleja desde una superficie cubierta con sólo uno de estos pigmentos, vemos los colores apropiados para ese pigmento: cian, amarillo o magenta. No obstante, si mezclamos estos pigmentos podemos obtener una gama de colores completa. Por ejemplo, si mezclamos pigmentos cian y amarillos, tanto la luz roja como la azul se absorben (figura 16.11), con lo que permiten la transmisión únicamente de las longitudes de onda intermedias. Esto resulta en que la luz verde se refleje intensamente. Asimismo, el cian y el magenta producen el azul, y el amarillo y el magenta producen el rojo. Estos colores resultantes (verde, rojo y azul) son los tres colores primarios de la mezcla de colores aditivos, la cual genera las respuestas en nuestros ojos antes descritas. La percepción del color abarca mucho más de lo expuesto en este análisis básico. Por ejemplo, la adición de blanco reduce la saturación del color que produce rosa a partir de rojo. Las longitudes de onda presentes en la fuente de luz que iluminan un objeto afectarán el color que percibimos. Aun cuando los detalles pueden ser complejos, los mismos fenómenos básicos están presentes en todos estos efectos. Las diferentes mezclas de longitudes de onda estimulan los distintos conos en la retina en diferentes cantidades, y nuestro cerebro identifica esa respuesta como un color determinado (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 16.1 para conocer algunos efectos relacionados con el color). La luz blanca que llega del Sol es en realidad una mezcla de luz de diferentes longitudes de onda. Isaac Newton lo demostró por primera vez; para ello usó dos prismas, uno primero para separar la luz solar en un espectro de diferentes colores y otro después para volver a combinar esos colores en luz blanca. Tres tipos de células sensibles a la luz (llamadas conos) en la retina de nuestros ojos nos permiten distinguir los colores. La luz que llega a nuestros ojos se compone de mezclas de longitudes de onda que determinan el color que percibimos. Las reglas de la adición y sustracción del color se basan en cómo las diferentes mezclas estimulan los tres tipos de conos.

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Capítulo 16

Ondas de luz y color

fenómenos cotidianos

cuadro 16.1

¿Por qué el cielo es azul? Situación. “Mami, ¿por qué el cielo es azul?” Ésta es una pregunta que casi todos los niños hacen a sus padres en algún momento. Las preguntas relacionadas como “¿por qué hay cielo?” o “¿por qué el Sol está rojo al atardecer?” también pueden frustrar a los padres. Sabemos que la luz que llega directamente desde el Sol se ve blanca al mediodía. Contiene una mezcla continua de longitudes de onda visibles que alcanzan sus niveles más altos en la porción verde-amarillo del espectro. Entonces, ¿por qué vemos el cielo azul? ¿Qué provoca los anaranjados y rojos espectaculares que miramos en la puesta del Sol? Todos estos fenómenos se relacionan con un proceso llamado dispersión. Análisis. Antes de considerar el color del cielo, deberíamos preguntar cuál es la razón de que veamos un cielo. ¿De dónde viene la luz? La luz del cielo proviene del Sol, pero se dispersa hacia fuera del rayo directo del astro rey. La dispersión puede describirse como un proceso en el que la luz es absorbida por partículas pequeñas en la atmósfera y se vuelve a emitir rápidamente a la misma longitud de onda. Pero la luz dispersa viaja en una dirección diferente de la de la luz incidente. Si no hubiera atmósfera, no habría dispersión. En este caso el cielo se vería negro debido a la ausencia de luz. La Tierra tiene una atmósfera que se extiende unas cuantas millas más allá de su superficie. Esta atmósfera se compone principalmente de moléculas de nitrógeno y oxígeno, así como de otros gases en menores cantidades. Además con frecuencia hay partículas de humo, ceniza

volcánica u otra materia particulada. Estas partículas son muy pequeñas, pero siguen siendo considerablemente más grandes que las moléculas de gas individuales. Es la dispersión por las moléculas de gas la principal responsable de que el cielo sea azul. Cuando las partículas que realizan la dispersión son más pequeñas que la longitud de onda de luz, el proceso se llama dispersión de Rayleigh, llamada así en honor de lord Rayleigh (William Thompson). La dispersión de Rayleigh depende de la longitud de onda, es decir, cuanto más cortas sean las longitudes de onda se dispersan de una manera mucho más efectiva que las longitudes de onda más largas. Podemos pensar en las moléculas como antenas diminutas. Puesto que las moléculas de gas están formadas por partículas cargadas (capítulo 18), cuando una onda electromagnética incide en ellas estas cargas oscilan a la frecuencia de la onda. Igual que las ondas de radio se producen mediante la oscilación de corrientes eléctricas, la onda de luz dispersa se produce por las corrientes que oscilan en las moléculas de gas. Este proceso es más eficiente cuando la longitud de onda tiene aproximadamente el mismo tamaño que la antena. Como las moléculas de gas miden sólo unos nanómetros y las longitudes de onda de la luz visible miden unos cientos de nanómetros, el proceso de dispersión no es muy eficiente. No obstante, es más eficiente para las longitudes de onda más cortas, es decir, aquellas que están en la región azul del espectro visible. Ésta es la razón por la que el cielo sea azul. La luz azul se dispersa hacia fuera del rayo directo del Sol de manera más eficaz que la

(continúa)

16.3 Interferencia de las ondas de luz Durante los siglos xvii y xviii, los científicos discutieron respecto a si la luz era un fenómeno ondulatorio o un flujo de partículas. La mayoría de los efectos conocidos podía explicarse mediante cualquier modelo. Sin embargo, la interferencia es inherentemente un efecto ondulatorio. La pregunta sería si se pueden producir los efectos de la interferencia en que interviene la luz. En 1800, el físico británico Thomas Young realizó su famoso experimento de la doble rendija con el que demostró la interferencia de la luz. ¿Por qué pasó tanto tiempo para que la interferencia de la luz se reconociera? Las longitudes de onda muy cortas de la luz visible hacen que los efectos sean sutiles y difíciles de observar. Una vez reconocida esta dificultad, se abrió la puerta a una serie de predicciones y experimentos que dejaron firmemente establecido que la luz es una onda.

Experimento de la doble rendija de Young En cualquier experimento de interferencia necesitamos al menos dos ondas que tengan una relación de fase sistemática

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entre sí, como las dos ondas en las cuerdas estudiadas en el capítulo 15. Puesto que la fase de las ondas de luz normales cambia continuamente, debemos empezar con una onda de luz aislada y separarla en dos o más partes para cumplir esta condición. Young logró hacerlo al pasar un rayo de luz por dos rendijas estrechas muy cercanas entre sí. En la figura 16.12 se muestra un diagrama del arreglo de Young. La luz de la fuente pasa primero por una rendija simple para aislar una pequeña parte del rayo. Por tanto, esta luz incide en la doble rendija, y la luz que pasa por las dos rendijas se ve en la pantalla que aparece a la derecha de ellas. Para hacer estas dobles rendijas, Young depositó una capa de negro de humo en un portaobjetos de microscopio y trazó dos líneas finas sobre la capa con una navaja fina. Para que funcionara para la luz visible, el espacio entre las dos rendijas debía medir menos de un milímetro. ¿Qué determina si las ondas de luz que llegan desde las dos rendijas tendrán una interferencia constructiva o destructiva? En el punto donde la línea central entre las dos rendijas se encuentra con la pantalla, las dos ondas de luz han recorrido distancias iguales desde cada rendija.

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16.3 Interferencia de las ondas de luz

331

Rayo del Sol

Rayo del Sol

En la puesta del Sol, la luz solar viaja más lejos en la atmósfera que al mediodía. Las longitudes de onda más cortas se dispersan hacia fuera del rayo dejando las longitudes de onda rojas más largas.

Las longitudes de onda cortas se dispersan desde el rayo directo del Sol al mediodía de manera más eficaz que las longitudes de onda más largas. Estas ondas dispersas producen el cielo azul.

luz roja o de longitudes de onda intermedias. Para llegar a nuestros ojos la luz debe dispersarse de nuevo, tal vez varias veces, como se muestra en el primer dibujo. Cuando vemos el cielo, no miramos directamente al Sol (esto podría resultar dañino). Vemos la luz que se ha dispersado varias veces, lo cual concentra las longitudes de onda azul y violeta más cortas en la luz que llega a nuestros ojos. Como el espectro de la luz solar contiene más azul que violeta y nuestros ojos tienen una respuesta mayor a las longitudes de onda azules que a las violetas, el color que identificamos es el azul.

Las dos ondas estaban en fase inicialmente, ya que provenían de una sola onda. Al haber recorrido distancias iguales para llegar al punto central, aún están en fase cuando inciden en la pantalla. Por tanto, interfieren de manera constructiva y producen un punto o línea clara en el centro de la pantalla. ¿Qué pasa con los otros puntos en la pantalla? Las dos ondas que alcanzan puntos en cualquier lado de la línea central han recorrido distancias desiguales, por lo que tal vez ya no estén en fase. Como se requiere más tiempo para recorrer una distancia grande, cuando llegan a la pantalla, la onda que recorre la distancia mayor está en un punto diferente de su ciclo que la que recorre la distancia más corta. Si la diferencia en la distancia es sólo la mitad de una longitud de onda, las dos ondas están la mitad de un ciclo fuera de fase, y se genera una interferencia destructiva (figura 16.13). Esto produce un punto o línea oscura en la pantalla. Si las distancias recorridas por las dos ondas difieren por una longitud de onda completa. Las ondas entonces están de nuevo en fase, ya que una diferencia de un ciclo completo regresa la oscilación de la onda a la etapa inicial de su ciclo. Las diferencias en la distancia recorrida de una longitud de onda, dos longitudes de onda, tres longitudes de onda, y así

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¿Por qué la luz del Sol aparece anaranjada o roja cerca de la puesta o la salida del astro? La luz que llega a nuestros ojos desde el rayo directo del Sol al atardecer viaja una distancia mucho mayor por la atmósfera que al mediodía, como se muestra en el segundo dibujo. Como la luz azul y las longitudes de onda intermedias se dispersan hacia fuera del rayo de una manera más eficaz que la luz roja, el rayo directo se queda predominantemente con las longitudes de onda rojas. Cuanto más se acerca el Sol al horizonte, más rojo se ve. La dispersión también puede ocurrir a partir de partículas más grandes como las gotas de agua en las nubes. En general, las gotas de agua son más grandes que las longitudes de onda de la luz visible. En este caso, la cantidad de dispersión no depende mucho de la longitud de onda. Por consiguiente, la luz dispersada en las nubes se ve blanca o gris. Todas las longitudes de onda están igualmente dispersas y el color resultante es el mismo que el de la luz solar que llega, pero menos intenso.

sucesivamente, producen interferencia constructiva y líneas claras en la pantalla. En las posiciones intermedias entre las líneas claras, las ondas están medio ciclo fuera de fase, por lo que la interferencia destructiva produce líneas oscuras en esos puntos. El patrón de interferencia resultante de líneas alternas claras y oscuras en la pantalla se llama patrón de franjas. Si se usa una luz monocroma (una sola longitud de onda), este patrón puede extenderse a varias franjas. Si se usa luz blanca (la cual consiste en una combinación de longitudes de onda), el patrón es visible sólo para una o dos franjas a cualquier lado del centro, ya que las diferentes longitudes de onda producen interferencia constructiva en distintos puntos en la pantalla (¿por qué pasa esto?) Aun cuando están limitadas en extensión, las franjas son de color y muestran un resultado visualmente llamativo.

¿Qué determina el espacio entre las franjas? Podemos predecir las posiciones de las franjas claras y oscuras en la pantalla si conocemos la longitud de onda de la luz y la geometría de la figura 16.13. La diferencia en las

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332

Capítulo 16

Ondas de luz y color Pantalla de observación Fuente de luz

Rendija simple

Doble rendija

y d (Espacio entre rendijas)

x

16.12 La luz de la fuente pasa por una sola rendija antes de incidir en la doble rendija en el experimento de Young. La interferencia de las franjas se observa en la pantalla. (Los espacios entre las rendijas y las franjas se exageraron en este dibujo.)

figura

Rendija simple

Doble rendija y d

Fuente de luz

x Diferencia en 1 las trayectorias = –2 λ

Pantalla de observación

16.13 Cuando la diferencia en las trayectorias de las dos ondas es igual a media longitud de onda, las dos ondas llegan a la pantalla medio ciclo fuera de fase, con lo que se produce una interferencia destructiva.

figura

trayectorias de las dos ondas es la cantidad crítica. Si la pantalla no está demasiado cerca de la doble rendija, la diferencia en las trayectorias puede obtenerse a partir de la geometría del dibujo y está dada aproximadamente por y diferencia en las trayectorias = d , x donde d es la distancia entre los centros de las rendijas, y la distancia desde el punto central en la pantalla y x la distancia entre la pantalla y las rendijas. Como indicamos antes, si esta diferencia en las trayectorias es igual a un número entero por la longitud de onda, se obtiene una interferencia constructiva (véase el cuadro de ejemplo 16.2). Como indica el resultado del cuadro de ejemplo 16.2, la segunda franja clara a partir del centro está a sólo 2.5 mm del centro de la pantalla, cuando la separación entre las rendijas es de medio milímetro. La primera franja clara a partir del centro se encontraría a la mitad de esta distancia, o a sólo 1.25 mm

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del centro. Estas franjas están muy cercanas entre sí, lo cual dificulta verlas. Un espacio entre rendijas d, más pequeño produce una separación de franjas mayor, como puedes ver a partir de la ecuación para y en el cuadro de ejemplo 16.2. En la época de Young, se necesitaba una ingenuidad experimental considerable para querer producir espacios entre rendijas menores a un milímetro. En la actualidad, podemos conseguirlo fácilmente gracias a la reducción fotográfica y a otras técnicas.

¿Qué es la interferencia en películas delgadas? Si alguna vez has observado las franjas de colores en una película de jabón o en la marea negra del charco de un estacionamiento, has observado la interferencia en películas delgadas. ¿Cómo surgen estos colores? Las ondas de luz reflejadas desde las superficies superior e inferior de la película interfieren para producir estos efectos.

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16.3 Interferencia de las ondas de luz

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cuadro de ejemplo 16.2 Ejercicio: trabajo con el experimento de la doble rendija Sobre una doble rendija con un espacio de 0.5 mm incide luz roja con una longitud de onda de 630 nm. Si el patrón de interferencia se observa en una pantalla situada a 1 m de la doble rendija, ¿a qué distancia del centro de la pantalla está la segunda franja clara a partir de la franja clara central (cero)?

λ = 630 nm = 6.3 × 10−7 m d = 0.5 mm = 5 × 10−4 m x = 1m y = ?

Como estamos interesados en la segunda franja clara desde el centro, la diferencia en las trayectorias es: d

y = 2λ x

Al reordenar esta expresión obtenemos: y = =

2λ x d 2(6.3 × 10−7 m)(1 m) (5 × 10−4 m)

= 0.0025 m = 2.5 mm

En la figura 16.14 se muestra una película muy delgada de aceite que yace en la parte superior de un charco de agua. Para que sea eficaz, la película no debe ser más gruesa que unas cuantas longitudes de onda de luz. Se supone que el agua subyacente es mucho más gruesa (con frecuencia varios milímetros) que la película de aceite, la cual mide una fracción de micrómetro. Las dos ondas que se muestran aparecen reflejadas desde la película, una desde la superficie superior y la otra desde la superficie inferior. Cuando estas dos ondas llegan a nuestros ojos, la reflejada desde la superficie inferior de la película ha recorrido una distancia ligeramente mayor que la reflejada desde la superficie superior. Igual que con el experimento de la doble rendija, esta diferencia en las trayectorias provoca una diferencia en fase entre las dos ondas. Como las dos ondas reflejadas son casi perpendiculares a la superficie de la película, la diferencia en distancia recorrida será el doble del grosor de ésta. La onda reflejada desde la superficie superior pasa por la película dos veces. El efecto de esta diferencia en las trayectorias se relaciona con la longitud de onda de la luz en la película, la cual es menor en ella que en el aire (la longitud de onda en la película está dada por λ/n, donde n es el índice de refracción de la película, estudiado en el capítulo 17, y λ es la longitud de onda en el aire). La diferencia de fases entre las dos ondas reflejadas depende de cuántas longitudes de onda han recorrido más allá de la onda reflejada desde la superficie superior. Por ejemplo, si

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16.14 Dos ondas interfieren después de reflejarse desde una película de aceite sobre agua. Una onda se refleja desde la superficie superior de la película y la otra desde la superficie inferior.

figura

la onda reflejada desde la superficie superior viaja la mitad de una longitud de onda más lejos que la onda reflejada desde la superficie superior, entonces las dos ondas estarían fuera de fase y cabría observar la interferencia destructiva.* ¿Por qué vemos diferentes colores? La condición de interferencia depende del grosor de la película y de la longitud de onda de la luz. Algunas longitudes de onda pueden interferir destructivamente, mientras que otras interfieren de manera constructiva (o algún punto intermedio). Si el grosor de la película de aceite es tal que tenemos una interferencia destructiva para longitudes de onda cercanas a la mitad del espectro (verde-amarillo), entonces dichas longitudes de onda se perderán y veremos una mezcla de azul y rojo (magenta). Por otra parte, si el grosor es tal que obtenemos interferencia destructiva para la luz roja, la película se verá azul-verde. Se aplican las reglas usuales de la adición de color. Por ende, los colores que refleja la película de aceite dependen del grosor de ésta. A medida que el grosor cambia, el color se modifica (figura 16.15). La diferencia en las trayectorias de las dos ondas reflejadas también depende del ángulo de la luz incidente y reflejada. Si la luz incide en la película desde varios ángulos, los colores cambiarán con el ángulo de visión a medida que la diferencia en las trayectorias se modifique. Hay muchas otras formas de producir interferencia en películas delgadas. Las burbujas y las películas de jabón pueden ser muy coloridas. La película delgada en este caso es una solución de jabón y agua con aire en cualquier lado. En la figura 16.1 se presenta una película de jabón vista en la luz reflejada donde los diferentes colores forman franjas horizontales. Las franjas se producen gracias a la gravedad, lo que significa que la película es más gruesa cerca de la parte inferior del aro que cerca de la parte superior. * Esto es válido si no hay otros factores que afecten la fase de la onda. El proceso de reflexión mismo a veces cambia de fase, así que este efecto también debe considerarse en un análisis completo.

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Capítulo 16

Ondas de luz y color

16.15 Las franjas coloridas de las películas de aceite son comunes en los estacionamientos y las calles. Los diferentes colores son resultado de los cambios en el grosor de la película o de los diferentes ángulos de visión.

16.16 Las franjas de interferencia de colores se producen por la luz reflejada desde una película de aire entre dos placas de vidrio. Cada franja de color representa un grosor de película distinto.

Cuando la película de jabón se vuelve demasiado delgada (justo antes de que se rompa), la diferencia en las trayectorias de las dos superficies debe acercarse a cero. En este caso, cabría esperar que las ondas de luz reflejadas desde dos superficies estén en fase y produzcan una reflexión clara. Sin embargo, en vez de ello la película aparece bastante oscura para esta condición, lo que indica una interferencia destructiva. Las dos ondas están fuera de fase debido a una diferencia de fase introducida por el proceso de reflexión mismo, es decir, la onda reflejada desde la superficie superior se desplaza en fase medio ciclo, mientras que la reflejada desde la superficie inferior no. La diferencia en las trayectorias de las dos ondas no produce ningún cambio de fase, pero el proceso de reflexión sí. Esto ocurre siempre que el medio en cualquiera de los lados de la película es el mismo (el aire en este caso), así como en algunas otras circunstancias. En algunos casos la película delgada puede ser el aire. Esto ocurre cuando colocamos una placa de vidrio encima de otra. Si las placas son lisas y están limpias, esto permite que haya una película de aire muy delgada entre ellas. Conforme el grosor de la película varía vemos franjas alternas claras y oscuras (figura 16.16). El color de estas franjas depende de la naturaleza de la fuente de luz y del grosor de la película, así como del ángulo de visión. La interferencia en películas delgadas también interviene en la capa antirreflejante de los anteojos, como se describe en el cuadro de fenómenos cotidianos 16.2.

es un número semientero de longitudes de onda, obtenemos franjas oscuras. La luz reflejada desde dos superficies de una película delgada también recorrerá diferentes distancias. Esto produce los efectos de interferencia coloridos que se observan en las películas de jabón, las películas de aceite o la película de aire entre dos placas de vidrio.

figura

La interferencia se observa en muchos tipos de ondas y la luz no es la excepción. La naturaleza ondulatoria de la luz se estableció por primera vez por el experimento de la doble rendija realizado por Thomas Young. Si las dos ondas que llegan de dos rendijas viajan diferentes distancias, pueden llegar a la pantalla en fase o fuera de fase. Si la diferencia en las trayectorias es un número entero de longitudes de onda, las ondas están en fase y obtenemos una franja clara. Si la diferencia en las trayectorias

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figura

16.4 Difracción y redes de difracción Si observas de cerca el patrón de interferencia de la doble rendija como el descrito en la sección 16.3, podrás notar que no todas las franjas claras tienen la misma claridad. Al alejarse del centro del patrón, las franjas se vuelven más claras y parecen ganar y perder intensidad. Este efecto se debe a otro aspecto de la interferencia que en general llamamos difracción. La difracción consiste en la interferencia de la luz que llega de diferentes partes de la misma rendija o abertura.

¿Cómo se difracta la luz de una rendija simple? La difracción de una rendija simple es la más fácil de describir. Si remplazamos la doble rendija mostrada en la figura 16.12 con una rendija simple lo suficientemente estrecha, resulta un patrón como el que se exhibe en la figura 16.17. Una serie de franjas oscuras y claras aparece a cada lado de una franja central brillante. La franja central brillante no es sorprendente. Las ondas de luz que llegan al centro de la pantalla desde distintas partes de la rendija recorren aproximadamente la misma distancia; por consiguiente, llegan a la pantalla en fase y se interfieren de manera constructiva. Se suman para producir la franja brillante que vemos. La explicación de las demás franjas requiere un análisis más elaborado. Podemos pensar que las dos franjas oscuras en cualquiera de los lados de la franja central que surgen de la

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16.4 Difracción y redes de difracción

fenómenos cotidianos

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cuadro 16.2

Capas antirreflejantes en los anteojos Situación. Cuando escoges unos anteojos nuevos, tu optometrista u oculista te mostrará diversas lentes y estilos de armazón. Quizá también te recomienden unos anteojos con una capa antirreflejante (AR). Te dirá que esta capa te ayudará a ver mejor cuando manejes bajo una la luz tenue o en la noche. También te verás mejor porque las personas podrán ver tus ojos sin la interferencia distractores de las reflexiones en las lentes.

¿Puedes decir cuál de las dos lentes de los anteojos tiene una capa antirreflejante?

¿Cómo funcionan estas capas? ¿Cómo es posible reducir la cantidad de luz que reflejan las lentes de vidrio o plástico? La interferencia en películas delgadas tiene las respuestas. Análisis. Cuando la luz incide en la superficie de una lente de vidrio o plástico, parte se refleja de manera inevitable. Para los tipos de vidrio y plástico usados en las lentes de los anteojos, aproximadamente 4% de la luz incidente se refleja en cada superficie (frontal y posterior) cuando la luz llega perpendicular a la superficie. Cuando llega en cierto ángulo, la cantidad de luz reflejada es aún mayor. Por tanto, perdemos cuando menos 8% de la luz que llega con las lentes sin capa antirreflejante. Estas reflexiones pueden distraer a las personas con las que estás hablando, ya que tus ojos son una parte importante de la comunicación interpersonal. Las reflexiones también reducen la cantidad de luz que llega a tu retina en condiciones de luz tenue. Una capa antirreflejante está diseñada para reducir tales reflexiones. Una película delgada de material transparente se de-

luz que llega desde las dos mitades de la rendija. Si la luz que llega desde la mitad inferior de la rendija viaja media longitud de onda más lejos que la luz que llega de la mitad superior, estas ondas interferirán de manera destructiva (figura 16.18). Esto produce una franja oscura en el punto en la pantalla para el que se cumple esta condición.

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posita en ambas superficies de la lente. La película debe ser dura y durable, lo cual limita nuestra selección de los materiales que funcionarán. Con frecuencia se usa fluoruro de magnesio para las lentes de vidrio. El grosor de la película debe controlarse cuidadosamente. La película está diseñada para producir interferencia destructiva para la luz reflejada a longitudes de onda cerca de la mitad del espectro visible. Para una capa individual usamos una película que tiene un grosor de sólo un cuarto de longitud de onda. (La longitud de onda de que hablamos es la que está en la película delgada, que de alguna manera es más corta que la longitud de onda en el aire.) Si el diseño de longitud de onda es de 550 nm (en el aire), el grosor apropiado de la película sería de aproximadamente 100 nm, que de hecho es una película muy delgada. ¡Esto es igual a un milésimo de milímetro! Debido a que la onda reflejada desde la superficie inferior de la película viaja por la película dos veces, el grosor del cuarto de longitud de onda resulta en una diferencia en las trayectorias de media longitud de onda entre las ondas reflejadas desde las superficies inferior y superior. Esto produce una interferencia destructiva para la longitud de onda diseñada. Si las dos ondas reflejadas fueran iguales en amplitud, la interferencia destructiva sería total y no se reflejaría luz en esa longitud de onda. En la práctica, esta condición no puede lograrse y una cantidad pequeña de luz se reflejará. La capa resulta más eficaz para longitudes de onda cerca de la mitad del espectro visible. En los extremos rojo o azul del espectro, la condición para la interferencia destructiva no se cumple, así que obtenemos reflexiones más grandes en cualquiera de esos extremos. Sin embargo, el ojo no es tan sensible ahí, por lo que estas reflexiones son menos perceptibles. Esto da como resultado que las lentes tengan una apariencia purpúrea cuando se ven en la luz reflejada. Se pueden lograr mejores resultados usando múltiples capas de películas delgadas hechas de diferentes materiales en vez de una sola capa. No obstante, cuanto más capas se usen, más caro es el proceso. Las capas disponibles actualmente para lentes de anteojos son múltiples. Además del costo adicional, la desventaja de las capas antirreflejantes es que se rayan y ensucian con más facilidad que las lentes normales. El comprador debe decidir si la ventaja de reducir la reflexión supera las desventajas.

Un argumento más completo consiste en dividir la rendija en varios segmentos. Para las franjas más alejadas del centro del patrón, este procedimiento es necesario para comprender los resultados. Al moverse hacia fuera del centro del patrón, la luz que llega de diferentes segmentos de la rendija entra y sale de fase, con lo que se producen las franjas que vemos.

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336

Capítulo 16

Ondas de luz y color

16.17 El patrón de difracción para una rendija simple estrecha tiene una serie de franjas claras y oscuras en cualquiera de los lados de una franja central brillante.

figura

cuadro de ejemplo 16.3

Franja oscura en el patrón de difracción

Ondas de luz

Ejercicio: ¿qué anchura tiene la franja central de una rendija simple?

1 –λ 2

w

y x

λ

16.18 Cuando la diferencia en las trayectorias de la luz que llega desde la mitad superior de la rendija y la que llega desde la mitad inferior es ½ λ, aparece una franja oscura en el patrón de difracción de una rendija simple.

figura

Un rayo de luz con una longitud de onda de 550 nm incide en una rendija simple de 0.4 mm de ancho. El patrón de difracción producido por la rendija se observa en una pared a una distancia de 3.0 m desde la rendija. a) ¿Cuál es la distancia desde el centro del patrón a la primera franja oscura? b) ¿Qué anchura tiene la franja central brillante de este patrón de difracción? a) λ = 550 nm w = 0.4 mm x = 3.0 m

y = =

λx w (5.50 × 10 −7 m) (3.0 m) 0.4 × 10 −3 m

= 0.0041 m = 4.1 mm b) 2y = ?

Si bien las diferentes ondas nunca están todas en fase al mismo tiempo, como estaban en el centro del patrón, la franja central es mucho más brillante que las franjas claras secundarias a cualquiera de los lados del centro. Para la primera franja oscura a cualquiera de los lados del centro, la diferencia en las trayectorias de luz que llega desde las dos mitades de la rendija es de media longitud de onda. Esto requiere que la diferencia en las trayectorias de luz proveniente de los bordes superior e inferior de la rendija sea de una longitud de onda completa, como se indica en la figura 16.18. Por ende, a partir de la misma geometría empleada para describir el patrón de la doble rendija, la posición y de la primera franja oscura está dada por y =

λx , w

donde w es el ancho de la rendija, λ, como antes, la longitud de onda de la luz y x la distancia a la pantalla (véase el cuadro de ejemplo 16.3).

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2y = 2(4.1 mm) = 8.2 mm

La franja central brillante se extiende hacia fuera de la primera franja oscura en cualquiera de los lados; por tanto, su ancho es sólo el doble de y.

Este resultado es importante porque describe el ancho de la franja central brillante. Este ancho es 2y donde y es la distancia desde el centro de la pantalla a la primera franja oscura en cualquiera de los lados. A medida que el ancho w de la rendija disminuye, la anchura 2y del máximo central disminuye. Por tanto, conforme la rendija se estrecha el patrón de difracción se extiende hacia fuera. Un rayo de luz no puede estrecharse de manera indefinida al pasarlo por rendijas cada vez más estrechas. Para una rendija muy estrecha, la franja central brillante es mucho más amplia que la rendija misma. La luz se desvía por la difracción hacia regiones que esperaríamos que estuvieran sombreadas.

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16.4 Difracción y redes de difracción

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¿Cómo se difracta la luz por otras formas? Quizá has observado los efectos de difracción sin estar consciente de ellos. Si miras una estrella o una luz lejana en la calle por una pantalla de ventana, observarás un patrón de difracción similar al mostrado en la figura 16.19. Una pantalla de ventana tiene múltiples aberturas cuadradas, pero en la figura se presenta el patrón de difracción producido por una sola abertura cuadrada en un objeto de que otra manera sería opaco. Si remplazamos la rendija simple ya descrita con una apertura cuadrada, esto es lo que veríamos en la pantalla. La explicación del patrón de abertura cuadrada es parecida a la que dimos para la rendija simple. No obstante, el patrón varía en dos dimensiones, en vez de hacerlo en una sola, por lo que el razonamiento ha de ser más amplio. Una abertura rectangular produciría un patrón parecido, pero el espacio entre los puntos claros sería diferente en la dirección horizontal que en la vertical. La dimensión más estrecha de la abertura rectangular produciría espacios más anchos entre los puntos de difracción. Las aberturas o rendijas en la mayoría de los instrumentos ópticos como los telescopios, microscopios o nuestros ojos son circulares en vez de cuadradas o rectangulares. El patrón de difracción producido por una abertura circular se muestra en la figura 16.20. Este patrón de ojo de buey puede crearse haciendo un agujero pequeño en una hoja de aluminio con un alfiler. Si después iluminamos el agujero con un apuntador láser o una fuente de luz brillante, veremos que el patrón de difracción forma anillos en la pared. Igual que con la rendija simple, la anchura del punto central brillante aumenta a medida que reducimos el diámetro del agujerito. Esto implica que si hacemos la abertura de nuestro

16.20 El patrón de difracción producido por una abertura circular tiene un punto central brillante rodeado por una serie de anillos más tenues.

figura

instrumento con un diámetro demasiado pequeño, la luz de objetos que parecen puntos tales como las estrellas se dispersará debido a los efectos de difracción. Esto producirá imágenes borrosas y provocará que las estrellas cercanas unas de otras se desdibujen. Decimos entonces que nuestro telescopio no resuelve estas estrellas. Por ello, en general usamos espejos grandes para el elemento de abertura en los telescopios de alta calidad. En el capítulo siguiente describiremos telescopios con más detalle. El tamaño de las pupilas de nuestros ojos puede variar según los niveles de luz. A niveles altos de luz, cuando tus pupilas tienen un diámetro pequeño, los efectos de difracción pueden limitar nuestra agudeza visual. Una pupila pequeña dispersa la luz procedente de los objetos puntuales en círculos borrosos más grandes debido a la difracción. Nuestra capacidad para ver el detalle fino en realidad puede mejorar en niveles de luz un tanto más altos que permiten un tamaño de pupila mayor. También vemos los efectos de la difracción producidos por nuestras pupilas cuando miramos las estrellas. En vez de semejar puntos, las estrellas parecen tener pequeños picos de luz que irradian hacia fuera del centro. Esos picos son generados por la difracción de los segmentos con bordes rectos de nuestras pupilas circulares. Tales bordes producen efectos más parecidos a los causados por una rendija simple que a los producidos por una abertura circular.

¿Qué es una red de difracción?

16.19 El patrón de difracción producido por una abertura cuadrada tiene un arreglo de puntos claros. Una exposición más grande mostraría más puntos fuera del eje.

figura

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Una red de difracción es un dispositivo de interferencia de varias rendijas usado para ver el espectro de colores de una fuente luminosa. Aunque el término difracción está implícito en el nombre, sería más apropiado llamar a este aparato red de interferencia. El principal efecto es el de la interferencia de

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Capítulo 16

Ondas de luz y color m=2

m=1

m=0

m=1

m=2

16.21 Una red de difracción produce un espectro de colores de una fuente de luz blanca. El espectro de segundo orden (m = 2) se dispersa hacia fuera más que el espectro de primer orden (m = 1).

figura

la luz que llega desde diferentes rendijas. Aunque los términos interferencia y difracción a veces son intercambiables, en general usamos interferencia cuando nos referimos a los efectos de rendijas o aberturas separadas y difracción para los efectos de una sola abertura. Cuando aumentas el número de rendijas en un experimento de interferencia, surge un patrón interesante. Si el espacio entre las rendijas permanece igual, las franjas claras se vuelven más claras y más estrechas a medida que el número de rendijas aumenta. Al mismo tiempo, aparecen unas cuantas franjas mucho más tenues entre las franjas claras principales. Por ejemplo, si tenemos cuatro rendijas, hay dos franjas secundarias más tenues que están entre cada par de franjas claras. En general, el número de franjas más tenues está dado por N – 2, donde N es el número de rendijas. Diez rendijas deben tener ocho franjas más tenues secundarias entre cada par de franjas claras. A medida que aumentamos el número de rendijas, esas franjas secundarias tenues se tornan cada vez más tenues, mientras que las franjas claras se vuelven más estrechas. Una red de difracción tiene una serie de rendijas muy cercanas entre sí. Una buena red puede tener varios cientos de rendijas en un espacio de tan sólo 1 mm. Las máquinas de precisión se diseñaron para producir estas rendijas o líneas con espacios muy cerrados entre sí, necesarios para producir redes de alta calidad. Hoy día, las buenas redes se hacen con gran facilidad usando rayos láser y técnicas holográficas (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 21.1). La condición para localizar las franjas claras producidas por una red de difracción es esencialmente la misma que la expuesta para la doble rendija. Si la distancia entre franjas adyacentes es d, entonces igual que para la doble rendija, la diferencia en las trayectorias de las ondas que llegan de rendijas adyacentes es d·(y/x), donde y es la distancia desde el centro de la pantalla de observación y x la distancia desde la red a la pantalla de observación. Siempre que esta diferencia en las trayectorias sea igual a un número entero múltiplo de la longitud de onda de la luz, se obtiene una franja muy clara para esa longitud de onda. Esta condición puede expresarse* como d

y = mλ , x

* Esta condición únicamente es válida para ángulos relativamente pequeños desde el centro de la pantalla. Para ángulos más grandes debemos usar una condición más precisa que implica el seno de un ángulo θ respecto a un punto en la pantalla. La condición exacta es d sen θ = mλ. Para ángulos pequeños, sen θ ≈ y/x.

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donde m es un entero que tiene valores posibles de 0, ±1, ±2, ±3, etcétera. Puesto que la condición de ubicación de las franjas depende de la longitud de onda de la luz, diferentes longitudes de onda aparecerán en puntos distintos en la pantalla para un orden dado m. Así, cuando la luz pasa a través de una red de difracción se dispersa en su espectro de colores (figura 16.21). Una buena red produce una separación de colores mayor que un prisma y, además, permite el cálculo directo de la longitud de onda a partir de la condición de interferencia. Las redes de difracción se usan para separar y medir las longitudes de onda de la luz en instrumentos denominados espectrómetros. Son una pieza común en los aparatos de los laboratorios de química y física. Actualmente también se ven redes producidas holográficamente en muchos productos novedosos que incluyen los “lentes espaciales” y las envolturas de regalos reflectantes. Los efectos de color que vemos al mirar un disco compacto (cd) también son un fenómeno de red. El disco contiene una pista en espiral continua que gira alrededor de la superficie del interior al exterior. Las vueltas adyacentes de esta pista en espiral tienen espacios muy cerrados entre sí y actúan como una red de difracción reflejante. La difracción supone la interferencia de las ondas de luz que llegan desde distintas partes de una misma abertura. La difracción de una rendija simple produce una franja central brillante con una serie de franjas oscuras y claras de luz más tenue en cualquiera de los lados de la franja central más ancha. Una abertura circular produce un patrón de ojo de buey. Al hacer la abertura más pequeña el patrón de difracción se dispersa, frustrando los esfuerzos de estrechar un rayo de luz. Una red de difracción es un dispositivo de interferencia de varias rendijas que permite separar y medir las longitudes de onda de la luz.

16.5 Luz polarizada Muchos de nosotros hemos usado anteojos polarizados o filtros de cámara para reducir el resplandor y oscurecer el cielo. ¿Cómo funcionan? Tal vez hayas usado unos anteojos polarizados especiales para ver un video o una película en tercera dimensión. En este caso, tus dos ojos reciben la luz con diferentes direcciones de polarización. ¿Qué queremos decir cuando hablamos de la polarización de la luz? ¿En qué difiere la luz polarizada de la luz normal? Para responder a estas preguntas debemos repasar la naturaleza de las ondas electromagnéticas.

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16.5 Luz polarizada

¿Qué es la luz polarizada? Observa la onda electromagnética representada en la figura 16.3 de la sección 16.1. La luz es una onda electromagnética que se compone de campos eléctricos y magnéticos que oscilan. La onda representada en la figura 16.3 en realidad está polarizada. El vector del campo eléctrico oscilante está en el plano vertical en este diagrama, y el campo magnético es horizontal. Sin embargo, ésta no es la única posibilidad. Podríamos haber representado el campo eléctrico oscilante en dirección horizontal y el campo magnético en el plano vertical. O podríamos haber representado el campo eléctrico oscilante en cierto ángulo con la horizontal. Todas estas opciones representarían diferentes direcciones de polarización. Para definir la dirección de polarización de una onda de luz especificamos la dirección de oscilación del vector del campo eléctrico. En la figura 16.22 se muestran diferentes estados de polarización. En estos diagramas la onda de luz llega directamente de la página hacia ti. El vector del campo eléctrico está representado por una flecha verde bidireccional debido a que está oscilando hacia delante y hacia atrás a medida que la onda avanza. ¿En qué difiere la luz no polarizada de la polarizada? El último diagrama de la figura 16.22 describe la luz no polarizada. El vector del campo eléctrico aparece en este caso apuntando en varias direcciones (en realidad, hay un número infinito de direcciones posibles). La luz no polarizada es una mezcla de muchas ondas que tienen diferentes orientaciones para las oscilaciones del campo eléctrico. La luz que proviene de un foco común no está polarizada. Para producir luz polarizada algo debe ocurrir para seleccionar sólo una dirección de oscilación del campo entre estas múltiples posibilidades. La luz u otras ondas electromagnéticas no son el único tipo de onda que puede polarizarse. Cualquier onda transversal, incluidas las ondas en una cuerda normal o en una cuerda de gui-

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tarra, pueden polarizarse. Si mueves una cuerda hacia arriba y hacia abajo para producir una onda que viaje por ella, la onda producida es una onda polarizada verticalmente. Si la mueves hacia delante y hacia atrás en un plano horizontal, produces una onda polarizada horizontalmente. Si mueves tu mano en direcciones al azar, produces una onda no polarizada.

¿Cómo producimos luz polarizada? La forma más común de producir luz polarizada es con un filtro polarizador (a veces llamado Polaroid por su fabricante original). Los primeros filtros polarizadores empleaban cristales dicroicos, que eran materiales especiales que absorbían la luz con una dirección de polarización, mientras transmitían luz en dirección perpendicular a la polarización. El truco en la fabricación del filtro consistía en alinear un número grande de estos pequeños cristales en la misma dirección. Los procesos posteriores usaban polímeros (plásticos) para hacer filtros polarizadores. Al estirar estos polímeros en el proceso de manufactura se vuelven dicroicos. El proceso de estiramiento también asegura que todas las moléculas queden alineadas en la misma dirección. Los filtros polarizadores modernos se fabrican de esta manera y se venden en las tiendas de fotografía, pero también como lentes de sol polarizados. ¿Qué sucede cuando la luz sin polarizar pasa por un filtro polarizador? ¿Sólo permite que pase esa diminuta fracción de luz que por casualidad tiene la orientación correcta del campo eléctrico? Recuerda que los campos eléctricos son vectores. El filtro polarizador selecciona esa porción o componente de cada vector de campo eléctrico que tiene la orientación apropiada. En la figura 16.23 se ilustra este proceso. La componente del vector del campo eléctrico que pasa es la que tiene la dirección

Polarizada en diferentes direcciones

Eje de transmisión

No polarizada

16.22 El vector del campo eléctrico oscila en una sola dirección para la luz polarizada. La luz no polarizada tiene direcciones aleatorias de oscilación.

figura

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16.23 Un filtro polarizador selecciona las componentes del vector del campo eléctrico que están en la dirección del eje de transmisión del filtro.

figura

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340

Capítulo 16

Ondas de luz y color

del eje de transmisión del filtro. La componente perpendicular a este eje es absorbida. Por consiguiente, un filtro polarizador ideal transmite 50% de un rayo de luz no polarizado. La luz que emerge está polarizada con el campo eléctrico en la dirección del eje de transmisión del filtro. En la práctica, un poco menos de la mitad de la luz logra pasar por el filtro ya que hay cierta absorción incluso en la dirección del eje de transmisión. ¿Cómo podemos decir si un rayo de luz está polarizado o no? Colocamos un filtro polarizador en la trayectoria del rayo y luego giramos el filtro. Si la intensidad de la luz transmitida varía a medida que hacemos esto, entonces sabemos que el rayo está parcialmente o completamente polarizado. Si la intensidad se vuelve cero para cierta orientación del filtro, entonces el rayo de luz que se analiza está polarizado por completo.

¿Por qué usamos lentes polarizados? Hay varias maneras de que la luz se polarice sin pasar por un filtro polarizador. La reflexión desde la superficie lisa de un material transparente como el vidrio o el agua puede producir polarización, por ejemplo. Cuando la luz del Sol se refleja en la superficie de un lago en ángulo recto, la onda reflejada puede polarizarse toda. En la figura 16.24 se muestra la luz que incide sobre la superficie de un lago en el ángulo de polarización. Esa luz no está polarizada, como se representa con las flechas, tanto las perpendiculares a la página (puntos) como las que están en el plano del dibujo. Cuando el ángulo que forman la onda reflejada y la onda transmitida es recto (90°), la onda reflejada está completamente polarizada, con la dirección de polarización perpendicular a la página (puntos) y paralela a la superficie del lago. Para el agua, el ángulo de polarización se halla aproximadamente a 37° respecto a la horizontal. ¿Cómo pueden ayudarnos los lentes polarizados? La luz reflejada desde la superficie de un lago producirá un resplandor intenso que puede resultar muy molesto a los navegantes

37°

figura 16.24

Luz no polarizada que incide en la superficie del agua a 37° respecto a la horizontal. La onda reflejada está completamente polarizada y el campo eléctrico está paralelo a la superficie del agua.

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o esquiadores. Como esta luz está muy polarizada cuando el Sol está en el ángulo de polarización o cerca de él, los lentes de sol polarizados pueden eliminar prácticamente este resplandor. Puesto que la luz reflejada está polarizada horizontalmente, queremos que el eje de transmisión de nuestros lentes de sol esté vertical. Aun cuando el Sol no incida en el ángulo de polarización, la luz reflejada está parcialmente polarizada, así que los lentes de sol seguirán siendo útiles. Los lentes de sol polarizados pueden ayudar a reducir el resplandor de la luz solar reflejada por la superficie de una carretera o por la cajuela de un automóvil pulido. También pueden ayudar a los esquiadores que están expuestos al resplandor de la luz solar que refleja la nieve. Incluso la luz del cielo está polarizada, aunque aquí el proceso implica la dispersión en vez de la reflexión (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 16.1). Resulta que la luz del cielo está parcialmente polarizada en la dirección del campo horizontal, por lo que los filtros polarizadores hacen que el cielo se vea más oscuro. Ésta es la razón principal por la que se usan en la fotografía.

¿Qué es la birrefringencia? Muchos efectos coloridos e interesantes de la luz polarizada se relacionan con el fenómeno de birrefringencia, también conocido como doble refracción. En general, los cristales de calcita se usan para demostrar este efecto. Si dibujas un punto pequeño en una hoja de papel y lo ves por un cristal de calcita, observarás dos puntos en vez de uno. Éste es el origen del término doble refracción. Uno de los dos puntos que vemos obedece las reglas usuales de la refracción (la flexión de la luz), las cuales se estudian en el capítulo 17. La onda de luz asociada con este punto (llamada onda ordinaria) pasa directamente por el cristal. La onda asociada con el segundo punto se denomina onda extraordinaria y no obedece las reglas usuales de la refracción. En vez de ello, la cantidad de luz que esta onda flexiona depende del rayo de luz relacionado con la red cristalina. La onda extraordinaria no pasa directamente por el cristal y por tanto este punto parece estar corrido desde el otro. En la fotografía de la figura 16.25 se presenta una serie de líneas rectas vistas por un cristal de calcita. Cada línea parece duplicada debido a la birrefringencia. Una prueba sencilla que utiliza un filtro polarizador demuestra que dos ondas asociadas con los dos puntos (o líneas) están polarizadas en ángulos rectos entre sí. Si vemos las dos líneas por el filtro y giramos éste lentamente en torno a nuestra línea visual, primero desaparece una línea. Cuando giramos el filtro otros 90°, la segunda línea desaparece mientras la primera vuelve a aparecer. La dirección de polarización debe guardar cierta relación con el efecto de la doble refracción. ¿Cómo podemos explicar estos efectos? Un cristal de calcita es un ejemplo de un cristal anisótropo. El cuarzo y muchos otros cristales también son anisótropos. En un cristal isótropo, donde los átomos están acomodados en un arreglo simple (a menudo cúbico), la luz pasa de la misma forma en todas direcciones. Los cristales anisótropos tienen arreglos de los

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16.5 Luz polarizada

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16.25 Las líneas aparecen duplicadas por el cristal de calcita. Este efecto se llama doble refracción o birrefringencia.

figura

átomos en la red cristalina. Esto provoca que la luz viaje a diferentes velocidades en distintas direcciones. La dirección de la polarización también afecta la manera como la luz viaja por un cristal anisótropo. Si se colocan dos filtros polarizadores con sus ejes de transmisión perpendiculares entre sí, la luz no pasa. La luz que pasa por un filtro emerge polarizada, y su dirección de polarización queda completamente bloqueada por el segundo filtro que tiene su eje a 90° respecto al primero. Sin embargo, si ponemos una pieza de material birrefrigente entre ambos filtros, en general un poco de luz logra pasar. El material birrefringente modifica el estado de la polarización de la luz. El grado en el que cambia la polarización de la luz depende tanto del grosor del material como de la longitud de onda de la luz. Por ello, si se colocan piezas delgadas de material birrefringente entre dos filtros polarizadores cruzados (ejes a 90°) se produce un cuadro de colores. Un análisis completo de los colores resultantes es complejo, pero las franjas de color dan una clara indicación de que el material insertado en realidad es birrefringente. Los materiales plásticos proporcionan aplicaciones interesantes de estos fenómenos. Aunque los plásticos (polímeros) no son cristalinos, cuando uno de ellos se tensa al comprimirlo o estirarlo con frecuencia produce birrefringencia. Cuando los ingenieros analizan una estructura que están diseñando a veces construyen un modelo de plástico a escala. Cuando aplican

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16.26 Una lente de plástico comprimida entre dos abrazaderas muestra birrefringencia por estrés cuando se ve entre polarizadores cruzados.

figura

fuerzas en la estructura, pueden ver dónde es mayor la tensión al colocar el modelo de plástico entre polarizadores cruzados y observar los patrones resultantes (figura 16.26).

La luz se polariza si el vector del campo eléctrico oscila en una sola dirección en vez de hacerlo en direcciones aleatorias. Podemos producir luz polarizada si pasamos luz no polarizada por un filtro polarizador. El filtro transmite la luz con una dirección de polarización y absorbe la luz polarizada a 90° respecto al eje de transmisión. La reflexión de la luz desde una superficie lisa de agua, vidrio o plástico también producirá una polarización completa o parcial del rayo reflejado. Los lentes de sol polarizados están diseñados para bloquear el rayo reflejado, con lo que reducen el resplandor. La luz con diferentes polarizaciones viaja con distintas velocidades cuando pasa por un material birrefringente. Esto ocasiona que se visualicen colores cuando el material birrefringente se ve por los polarizadores cruzados.

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Capítulo 16

Ondas de luz y color

resumen La luz es una onda electromagnética que tiene longitudes de onda muy cortas. Las propiedades ondulatorias de la luz son responsables de muchos fenómenos que producen efectos del color. Los efectos de absorción, dispersión, interferencia, difracción y polarización se explican en términos de las ondas. Nuestra visión del color nos permite observar estos fenómenos.

1

Ondas electromagnéticas. James Clerk Maxwell predijo la existencia de ondas electromagnéticas en su teoría del electromagnetismo. Las cargas eléctricas que oscilan producen variaciones en los campos eléctricos y magnéticos que se propagan en el espacio con una rapidez de 3 × 108 m/s. Las ondas de radio, las microondas, la luz y los rayos X son formas de ondas electromagnéticas. E

4

Difracción y redes de difracción. La interferencia de la luz que llega desde distintas parte de la misma abertura se llama difracción. La luz difractada por una rendija simple produce un punto central brillante de luz con puntos de luz más tenue en cualquiera de los lados del centro. Los patrones de difracción se producen por medio de aberturas cuadradas o circulares. Las redes de difracción usan la interferencia de varias rendijas para separar y medir las longitudes de onda de la luz.

v=c

x

B

5

2

Longitud de onda y color. Los distintos colores se asocian con diferentes longitudes de onda de la luz. Tres tipos de conos en la retina de nuestros ojos son sensibles a los diferentes rangos de longitud de onda. Las respuestas combinadas de estos conos definen el color que vemos y explican las reglas de las mezclas de colores aditivos y sustractivos.

Luz polarizada. Una onda de luz polarizada tiene el campo eléctrico oscilando en una sola dirección, pero el campo eléctrico de una onda no polarizada oscila en direcciones aleatorias. La luz puede polarizarse si se hace pasar por un filtro o si se la refleja desde una superficie lisa de agua, vidrio o plástico. Los efectos de birrefringencia son el resultado de la luz con diferentes polarizaciones que viaja a diferente rapidez en un cristal anisótropo o una pieza de plástico tensada. Polarizada en diferentes direcciones

No polarizada

3

Interferencia de las ondas de luz. Igual que con otros tipos de onda, dos o más ondas de luz pueden interferirse de manera constructiva o destructiva según sus fases relativas. El experimento de la doble rendija de Thomas Young fue el primero en demostrar de manera concluyente la interferencia de la luz. La interferencia de las ondas de luz reflejadas desde películas delgadas como la de jabón producen efectos de color. y

d

x

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Preguntas

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conceptos clave ondas electromagnéticas, 323 espectro electromagnético, 325 luz infrarroja, 326 luz ultravioleta, 326 mezcla de colores aditivos, 328

absorción selectiva, 328 mezcla de colores sustractivos, 329 dispersión, 330 interferencia en películas delgadas, 332 difracción, 334

red de difracción, 337 luz no polarizada, 339 luz polarizada, 339 birrefringencia, 340

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. ¿Qué características de las ondas electromagnéticas que predice la teoría de Maxwell lo llevaron a sugerir que la luz podría ser una onda electromagnética? Explícalas. P2. ¿El campo eléctrico asociado con una onda electromagnética es constante en el tiempo? Explica por qué. P3. ¿Es posible que una onda electromagnética viaje en el vacío? Explica por qué. P4. ¿Para cuál de las características siguientes: rapidez, longitud de onda y frecuencia, la luz es parecida a las microondas y para cuáles es diferente? Explícalo. P5. Al inicio de una carrera se dispara una pistola de arranque. Si estás en el otro extremo de la pista, ¿qué percibirás primero: el sonido de la pistola o el destello asociado con su disparo? Explica por qué. P6. ¿Cuál es el color de la luz con una longitud de onda de 470 nm? Explica por qué. P7. ¿Los conos L en la retina del ojo responden a una sola longitud de onda? Explica por qué. P8. Si combinamos luz roja y luz verde en proporciones iguales, ¿qué color vemos? Explica por qué.

P13. Si dos ondas comienzan en fase una con respecto a la otra, pero una viaja media longitud de onda más lejos que la otra antes de juntarse, ¿estarán en fase o fuera de fase cuando se combinen? Explica por qué. P14. Si dos ondas empiezan en fase entre sí, pero una viaja dos longitudes de onda más lejos que la otra antes de unirse, ¿estarán en fase o fuera de fase cuando se combinen? Explica por qué. P15. Cuando la luz se refleja desde una película delgada de aceite en un charco de agua, los colores que vemos se producen por interferencia. ¿Cuáles dos ondas se interfieren en esta situación? P16. La interferencia en películas delgadas ocurre cuando una placa de vidrio limpia se coloca encima de otra placa de vidrio. ¿De qué se compone la película delgada en este caso? Explícalo. *P17. Supón que una película de jabón delgada refleja la luz blanca. Si el grosor es tal que ocurre una interferencia destructiva por la luz roja, ¿qué color aparecerá en la película cuando se vea en la luz reflejada? Explica por qué. P18. Una capa antirreflejante en los anteojos emplea una capa de película delgada en las lentes. Si la capa se diseña apropiadamente, ¿la luz reflejada desde la película experimenta una interferencia constructiva o destructiva? Explica por qué. P19. ¿Difracción es lo mismo que interferencia? Explica por qué.

P9. Cierto pigmento absorbe la luz verde, mientras refleja longitudes de onda azules y rojas. Si una superficie cubierta con este pigmento se ilumina con luz blanca, ¿qué color tiene la luz reflejada desde esta superficie? Explica por qué. *P10. Un televisor en color emite puntos de fósforo rojos, verdes y azules para producir los colores que vemos. Sin embargo, para imprimir usamos magenta, amarillo y cian como colores primarios. ¿En qué difieren estas situaciones? Explícalo. P11. La luz del cielo se produce por la dispersión de los rayos directos que llegan desde el Sol. ¿Por qué el color del cielo es diferente del color de la luz solar? Explícalo. P12. Dos ondas interfieren para formar franjas en el experimento de la doble rendija de Young. ¿Estas dos ondas provienen de la misma fuente de luz? Explícalo.

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*P20. Un rayo de luz pasa por una rendija y forma un punto de luz en una pantalla que se halla a cierta distancia de la rendija. ¿Podemos hacer este punto de luz tan pequeño como queramos si estrechamos cada vez más la rendija? ¿Qué ocurre en este proceso? Explícalo. P21. ¿Cuál es la función usual de la red de difracción? Explícalo. P22. Si una luz compuesta por solo dos longitudes de onda, una azul y otra verde, pasa por una red de difracción. ¿Cuál de estos dos colores estará más alejado del centro de la pantalla en el espectro de primer orden (m = 1) producido por la red? Explica por qué. P23. ¿En qué difiere la luz polarizada de la no polarizada? Explica por qué.

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Capítulo 16

Ondas de luz y color

P24. ¿Puede polarizarse una onda en una cuerda de guitarra? Explica cómo.

zador de los lentes debe estar orientado en dirección vertical u horizontal? Explica por qué.

P25. Si pasas un rayo de luz polarizada por un filtro polarizador, ¿el rayo de luz que emerge del filtro será más tenue o más intenso que el rayo incidente? Explica por qué.

P28. Una imagen doble de un punto se observa cuando el punto se ve por un cristal de calcita. ¿Hay alguna diferencia en la polarización de la luz asociada con estas dos imágenes? Explica por qué.

P26. Además de pasar la luz por un filtro polarizador, ¿hay otra forma de polarizar la luz no polarizada? Explica por qué. P27. Si usas lentes de sol polarizados para eliminar el resplandor de las superficies de agua, ¿el eje de transmisión del polari-

P29. La birrefringencia se asocia con los cristales anisótropos pero los plásticos en general no son cristalinos. ¿Hay alguna forma de que un material plástico pueda presentar birrefringencia? Explica cuál.

ejercicios E1. Las microondas usadas en los experimentos de laboratorio a menudo tienen una longitud de onda de aproximadamente 1 cm. ¿Cuál es la frecuencia de estas ondas?

b) ¿Esto produce una interferencia constructiva o destructiva?

E4. Los rayos X a menudo tienen una longitud de onda de aproximadamente 10–10 m. ¿Cuál es la frecuencia de estas ondas?

E10. Un rayo de luz con una longitud de onda de 600 nm (6 × 10–7 m) incide en una rendija simple de 0.5 mm (5 × 10–4 m) de ancho. El patrón de difracción producido por la rendija se observa en una pared a una distancia de 2.0 m de la rendija. a) ¿Cuál es la distancia desde el centro del patrón a la primera franja oscura? b) ¿Cuál es el ancho de la franja central brillante de este patrón de difracción?

E5. Luz con una longitud de onda de 500 nm (5 × 10–7 m) incide sobre una doble rendija con una separación de 0.4 mm (4 × 10–4 m). Una pantalla se sitúa a 2.0 m de la doble rendija. ¿A qué distancia del centro de la pantalla aparecerá la primera franja clara más allá de la franja central?

E11. Cuando una habitación se ilumina con luz de 500 nm (5 × 10–7 m), la primera franja oscura producida por una rendija simple está a una distancia de 1.2 cm desde el centro de la pantalla colocada a 4.0 m desde la rendija. ¿Cuánto mide de ancho la rendija?

E6. Para las mismas condiciones descritas en el ejercicio 5, ¿a qué distancia del centro de la pantalla aparecerá la segunda franja oscura?

E12. Un red de difracción tiene 1000 rendijas o líneas trazadas en un espacio de 1.6 cm. ¿Cuál es la distancia d entre las rendijas adyacentes?

E7. Una franja verde producida por la interferencia de la doble rendija está a 2 cm del centro de una pantalla colocada a 1.2 m de la doble rendija. Si la pantalla se mueve hacia atrás de modo que ahora esté a una distancia de 3.6 m de la doble rendija, ¿a qué distancia del centro de la pantalla estará esta franja verde?

E13. Un haz de luz con una longitud de onda de 546 nm (5.46 × 10–7 m) emitido por una lámpara de mercurio pasa por una red de difracción con un espacio entre las rendijas adyacentes de 0.005 mm (5 × 10–6 m). Una pantalla se coloca a una distancia de 2.5 m de la red. a) ¿A qué distancia del centro de la pantalla estará la franja clara de primer orden? b) ¿A qué distancia del centro de la pantalla estará la franja clara de segundo orden?

E2. ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas de radio de una estación que transmite a 600 kilohertz? E3. ¿Cuál es la frecuencia de las ondas de luz verde con una longitud de onda de 520 nm?

E8. Un haz de luz de 600 nm se refleja desde una película de aire delgada entre dos placas de vidrio. El grosor de la película es de 1.5 μm (1500 nm). a) ¿Cuánto más lejos viaja la luz reflejada desde la superficie inferior de la película que la luz reflejada desde la superficie superior? b) ¿Cuántas longitudes de onda de la luz representa esto? E9. Una capa antirreflejante está diseñada con un grosor de un cuarto de longitud de onda de la luz que viaja en la película. a) ¿Cuántas longitudes de onda más lejos viaja la luz reflejada desde la superficie inferior de la capa que la reflejada desde la superficie superior?

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E14. Cuando pasa por una red de difracción con un espacio entre rendijas de 0.004 mm (4 × 10–6 m), la franja de primer orden para la luz de una sola longitud de onda está a una distancia de 29 cm del centro de una pantalla ubicada a 2.0 m de la red. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz?

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Experimentos y observaciones para la casa

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problemas de síntesis PS1. El espectro visible de colores varía de aproximadamente 380 nm en longitud de onda en el extremo violeta a 750 nm en el extremo rojo. a) ¿Cuáles son las frecuencias asociadas con estas dos longitudes de onda? b) Cuando la luz pasa por un vidrio, la rapidez de la luz se reduce a v = c/n donde n se conoce como el índice de refracción. Para muchos tipos de vidrio o plástico, n es aproximadamente 1.5. ¿Cuál es la rapidez aproximada de la luz en el vidrio? c) La frecuencia de la luz no cambia cuando la luz entra en el vidrio, la longitud de onda debe cambiar para explicar la reducción en la rapidez. ¿Cuáles son las longitudes de onda para los dos extremos del espectro visible en el vidrio? PS2. La luz con una longitud de onda de 600 nm (6 × 10–7 m) pasa por dos rendijas separadas por sólo 0.03 mm (3 × 10–5 m). Un patrón de franjas se observa en una pantalla colocada a 1.2 m de la doble rendija. a) ¿A qué distancia del centro de la pantalla aparecerá la primera franja clara en cualquiera de los lados de la franja central? b) ¿Dónde aparecerá la segunda franja clara en cualquiera de los lados? c) ¿A qué distancia desde el centro de la pantalla aparecerá la primera franja oscura en cualquiera de los lados? d) Traza un diagrama que muestre las posiciones de las siete franjas centrales brillantes (la franja central y tres franjas a cualquiera de los lados de la franja central). Indica claramente la distancia de cada franja al centro de la pantalla. PS3. Las ondas estacionarias (véase la sección 15.3) pueden formarse haciendo incidir un haz de luz en un espejo y permi-

tiendo que la onda reflejada interfiera con la onda incidente. Imagina que para este experimento usamos luz con una longitud de onda de 500 nm (5 × 10–7 m). Piensa también que hay un nodo en la superficie del espejo. a) ¿A qué distancia del espejo estará el primer antinodo? b) ¿Cuál es la distancia de separación entre antinodos adyacentes (franjas derechas) a medida que nos alejamos del espejo? c) ¿Será más fácil observar las franjas claras y oscuras asociadas con los nodos y antinodos de la onda estacionaria? Explica por qué. PS4. Una película de jabón tiene un índice de refracción (véase el problema de síntesis 1) de n = 1.333. Esto significa que la longitud de onda de la luz en la película es más corta que en el aire por un factor de 1/n. El índice de refracción del aire es aproximadamente de 1.0, por tanto, hay poca diferencia entre una longitud de onda en el aire y una en el vacío. a) Si un rayo de luz con una longitud de onda de 600 nm en el aire o en el vacío entra en una película de jabón, ¿cuál es la longitud de onda de esta luz en la película? b) Si la película tiene un grosor de 900 nm, ¿cuántas longitudes de onda más recorre la onda reflejada desde la superficie inferior de la película que la onda reflejada desde la superficie superior? c) ¿Te sorprendería descubrir que este grosor produce una interferencia destructiva para la luz reflejada?*

* Las dos ondas están fuera de fase debido a una diferencia de fases introducida por el proceso de reflexión mismo, lo que significa que la onda reflejada desde la superficie superior presenta un desfasamiento, mientras que la onda reflejada desde la superficie inferior no. La diferencia en las trayectorias de las dos ondas no produce ningún cambio de fase, pero el proceso de reflexión sí.

experimentos y observaciones para la casa EC1. Si cuentas con una impresora de inyección de tinta en color que puedas usar, imprime un patrón de prueba. Obsérvalo con una lupa. a) ¿Puedes ver los puntos de colores individuales que forman los colores en la página? ¿Cuál de los colores del patrón de prueba parece estar formado por puntos de un solo color? b) Con ayuda de la lupa, describe cómo se producen los otros colores en el patrón. c) Usa la lupa para observar las líneas en la pantalla de una televisión en color (¡con la televisión apagada!). ¿Qué colores observas? ¿Cómo difieren estos colores de los usados en la impresión en color? EC2. Es muy sencillo producir películas de jabón que demuestren el fenómeno de interferencia en películas delgadas. Pon unas cuantas gotas de detergente líquido en un tazón poco pro-

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fundo y añade suficiente agua para formar una solución relativamente fluida. Forma un aro con un pedazo de alambre, y deja un tramo pequeño que sirva como mango. (También puedes comprar una solución para hacer burbujas con el aro de alambre incluido a un precio muy bajo.) a) Mete el aro en la solución de jabón en el plano del aro. Haz que un rayo de luz de una lámpara de escritorio se refleje en la película. Describe los patrones de colores que observas. b) Si sostienes el aro en un plano vertical, los colores deben formar un patrón de franjas horizontales. Traza las franjas que ves indicando tanto su color como su anchura. Explica por qué obtenemos franjas horizontales. c) Trata de iluminar tu película de jabón primero con una lámpara de luz incandescente y luego con una lámpara fluorescente. Describe las diferencias que observas.

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Capítulo 16

Ondas de luz y color

EC3. Consigue dos placas de vidrio planas (los portaminas de los microscopios te servirán). Límpialas y coloca una sobre la otra. Observa las placas en la luz reflejada desde la luz del techo de tu habitación. a) Describe el patrón de franjas claras y oscuras que observas. ¿Hay colores asociados con estas franjas? b) Coloca un objeto muy delgado como un cabello entre las dos placas cerca de un extremo. ¿Esto cambia el patrón de franjas? ¿Puedes explicar el patrón que ves? EC4. Ve una fuente de luz en un punto distante (como un farol de la calle o una estrella brillante) en la noche por el mosquitero de una ventana. a) Haz un dibujo de la apariencia de la luz cuando se ve por el mosquitero. ¿En qué difiere de la apariencia que tiene la luz cuando la ves directamente (sin mirar por el mosquitero)?

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b) Contrasta tus observaciones con el patrón de aberturas cuadradas representado en la figura 16.19. ¿Qué semejanzas y diferencias puedes identificar? EC5. Localiza dos filtros polarizadores. (Tu maestro de física probablemente sea tu mejor fuente. La mayoría de los lentes de sol no están polarizados.) a) Ve el cielo azul por un polarizador mientras giras éste en torno a tu línea de visión. ¿Qué cambios en la intensidad observas? b) Coloca un polarizador en el otro extremo y gira uno de ellos. Cuando los polarizadores se crucen (los ejes estén a 90°), no debe pasar luz por ellos. ¿Cómo varía la luz transmitida a medida que giras el segundo polarizador? c) Coloca varios objetos de plástico (reglas, transportadores, anteojos, etc.) entre los polarizadores cruzados. Describe los patrones que observas.

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Luz y formación de imágenes

descripción del capítulo

esquema del capítulo

1 2

3 4

5

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Reflexión y formación de imágenes. ¿Cuál es la relación entre los rayos y las ondas? ¿Qué es la ley de la reflexión y cómo se forman las imágenes en un espejo plano? Refracción de la luz. ¿Cómo describe la ley de la refracción la desviación de los rayos de luz cuando pasan de un medio a otro? ¿Cómo podemos explicar la separación de los colores por medio de un prisma?

capítulo

17

Lentes y formación de imágenes. ¿Cómo explica la ley de la refracción la formación de imágenes por medio de lentes simples? ¿Cuál es la diferencia entre lentes positivas y lentes negativas? Enfoque de la luz con espejos curvos. ¿Cómo se usan los espejos curvos para enfocar la luz? ¿En qué difieren las propiedades de la formación de imágenes de los espejos cóncavos y de los espejos convexos? Anteojos, microscopios y telescopios. ¿Cómo nos ayudan los anteojos a ver mejor? ¿Cómo se combinan lentes y espejos para producir microscopios y telescopios?

unidad cuatro

Nuestro objetivo principal en este capítulo es enseñarte las leyes de la reflexión y la refracción y cómo se usan para explicar la formación de imágenes. Para ello, analizaremos la relación entre las ondas y los rayos y te mostraremos cómo se trazan éstos para definir y ubicar imágenes. Mientras exploramos la formación de imágenes, examinaremos el comportamiento de los espejos y las lentes, así como el funcionamiento de instrumentos ópticos simples como las cámaras, las lentes de aumento, los microscopios y los telescopios.

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348 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes

¿A

lguna vez te has visto en un espejo y te has preguntado cómo puedes mirar tu cara? ¿Cómo esa cara desaliñada que finge ser tú aparece temprano por la mañana detrás de la placa de vidrio (figura 17.1)? Sabes que ves una imagen que, según la calidad del espejo, puede o no ser una reflexión precisa de la realidad. Eres libre de creer lo que quieras. Quizá también uses anteojos, y acaso hayas empleado instrumentos ópticos que incorporan lentes, como los binoculares, los retroproyectores y los microscopios. Las imágenes formadas en los espejos requieren la reflexión de la luz. Las imágenes formadas por las lentes implican la refracción o la flexión de la luz. Tanto la reflexión como la refracción intervienen en la producción de arco iris. En el capítulo 16 explicamos que la luz es un flujo de ondas electromagnéticas cuyas características generales describimos. ¿Cómo intervienen estas ondas en la formación de imágenes en un espejo, por medio de un proyector de diapositivas o en tu ojo? ¿Cuáles son los principios básicos de la formación de imágenes? ¿Podemos predecir dónde se formarán las imágenes y cómo aparecerán? Estas preguntas pertenecen al campo de la óptica geométrica, en la cual el comportamiento de las ondas de luz se describe en función de rayos perpendiculares

figura 17.1

Una mirada al espejo por la mañana. ¿Cómo llegó ahí esa imagen desalentadora?

a los frentes de onda. Las leyes de la reflexión y la refracción son los principios fundamentales de la óptica geométrica. Nos permiten trazar las trayectorias de los rayos de luz y predecir cómo y dónde se formarán las imágenes. La óptica física (capítulo 16) trata fenómenos como la interferencia y la difracción, que suponen los aspectos ondulatorios de la luz más directamente.

17.1 Reflexión y formación de imágenes ¿Cómo se produce tu imagen en el espejo del baño? Sabes que la luz interviene de alguna manera, como puedes comprobarlo fácilmente si apagas la luz del baño. Si éste está completamente oscuro la imagen desaparece, sólo para reaparecer al instante en cuanto enciendes la luz de nuevo. Las ondas luminosas de la luz del baño deben rebotar en tu cara, viajar desde ahí al espejo y luego reflejarse en tus ojos. ¿Cómo se crea la imagen que vemos en este proceso?

¿Cómo se relacionan los rayos de luz con los frentes de onda?

figura 17.2

Si consideramos un solo punto en tu cara y trazamos la trayectoria que siguen las ondas que se reflejan desde él, nos formaremos una idea clara de lo que sucede. Como la piel de la cara es un tanto áspera (cuando menos a escala microscópica), la luz que llega a ella se refleja o dispersa en todas direcciones desde cualquier punto. La punta de la nariz, por ejemplo, se comporta como si fuera una fuente de ondas de luz que se dispersan hacia fuera de manera uniforme desde ese punto (figura 17.2). Estas ondas son como las del agua que se propagan en un estanque al arrojar una pieda a él. Las ondas de luz que se dispersan desde tu cara son ondas electromagnéticas, no ondas de agua, pero tienen crestas (donde los campos eléctricos y magnéticos son más intensos) que se mueven hacia fuera de la fuente puntual del mismo

modo que lo hacen las ondas de agua. Si conectamos todos los puntos de la onda que se hallan en el mismo punto de su ciclo, definimos un frente de onda. A menudo elegimos la cresta de la onda (el punto de amplitud máxima positiva) para este propósito, ya que es posible observarla con claridad en las ondas de agua. El frente de onda que viene después del principal es el siguiente punto en el que las ondas están en sus crestas, y está separado del primer frente de onda por una distancia de una longitud de onda, como se observa en la figura 17.3. Para las ondas de luz, estos frentes de onda se mueven alejándose de la fuente puntual a la rapidez de la luz.

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Cualquier punto de tu cara actúa como una fuente secundaria de rayos de luz que se reflejan en todas direcciones desde ese punto.

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17.1 Reflexión y formación de imágenes

Podemos describir casi por completo estas ondas si trazamos lo que ocurre con los frentes de onda. Pero como los frentes de onda son curvos, es más sencillo examinar su comportamiento trazando rayos que sean perpendiculares a ellos. Si las ondas viajan en el mismo medio (aire, por ejemplo), los frentes de onda se mueven hacia delante de manera uniforme y los rayos resultantes son líneas rectas (figura 17.3). Estos rayos son más fáciles de trazar que los frentes de onda curvos y pueden examinarse más fácil. Como cada punto de la cara dispersa la luz en todas direcciones, estos puntos actúan como fuentes de rayos de luz divergentes, como en la figura 17.2. Los rayos de luz viajan de tu cara al espejo, donde se reflejan de una manera predecible debido a la lisura del espejo. Tus ojos reciben la luz desde el foco, pero antes de regresar a ellos esa luz ha sido reflejada tanto por tu cara como por el espejo.

¿Qué es la ley de la reflexión? ¿Qué sucede cuando los rayos de luz y los frentes de onda inciden en una superficie lisa y reflejante, como la de un espejo plano? Las ondas se reflejan y luego se alejan del espejo con la misma rapidez que tenían antes de la reflexión. En la figura 17.4 se representa este proceso para frentes de onda planos (sin curvatura) que se aproximan al espejo plano en cierto ángulo en vez de hacerlo de frente. Puesto que los frentes de onda se aproximan al espejo en cierto ángulo, algunas de sus partes se reflejan primero que otras (figura 17.4). Estos frentes de onda ahora se alejan del

λ

Superficie normal

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θr θi

figura 17.4 Las ondas de luz planas se aproximan a un espejo en cierto ángulo con la misma rapidez que tenían antes y después de incidir en el espejo. El ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

espejo con el mismo espacio entre ellos y la misma rapidez pero en una dirección nueva. No obstante, el ángulo entre el frente de onda y el espejo es el mismo para la onda emergente. Como los frentes de onda salientes viajan a la misma rapidez y recorren la misma distancia en cierto tiempo, igual que las ondas entrantes, se producen ángulos iguales entre los frentes de onda y la superficie del espejo. En general, este resultado se indica mediante rayos. El ángulo que un rayo forma respecto a una línea trazada perpendicularmente a la superficie es el mismo ángulo que forma el frente de onda con la superficie del espejo. Usamos la palabra normal para referirnos a perpendicular (como en el capítulo 4 cuando estudiamos las fuerzas normales), por lo que llamamos normal a la superficie a la línea perpendicular respecto a la superficie del espejo. Los ángulos iguales formados por los frentes de onda con el espejo indican que el ángulo creado por el rayo reflejado con la normal a la superficie es igual al ángulo que el rayo entrante, o incidente, forma con la normal a la superficie (figura 17.4). Esto que acabamos de describir es la ley de la reflexión, que puede plantearse concisamente como Cuando la luz se refleja en una superficie reflejante lisa, el ángulo que forma el rayo reflejado con la normal a la superficie es igual al ángulo que el rayo incidente forma con la normal a la superficie.

figura 17.3

Los rayos de luz se trazaron de tal manera que son perpendiculares a los frentes de onda en todas partes. Si las ondas viajan con una rapidez uniforme, los rayos son líneas rectas.

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En otras palabras, el ángulo de reflexión (θr en la figura 17.4) es igual al ángulo de incidencia (θi). El rayo reflejado también está dentro del plano definido por el rayo incidente y la normal a la superficie. No se desvía hacia dentro o hacia fuera del plano de la página en nuestro diagrama.

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350 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes

¿Cómo se forman las imágenes en los espejos planos? ¿Cómo nos ayuda la ley de la reflexión a explicar la formación de una imagen en un espejo plano? ¿Qué sucede a los rayos de luz que se dispersan desde tu nariz? Si los trazamos desde su origen en la nariz, a lo largo de su reflexión desde el espejo, de acuerdo con la ley de la reflexión, veremos qué ocurre a cada uno de ellos (figura 17.5). Si extendemos hacia atrás los rayos reflejados en el espejo, veremos que se intersecan en un punto que se halla detrás del espejo, como se advierte en la figura. Cuando tu ojo recibe un pequeño haz de rayos reflejados, percibe una imagen que parece estar en ese punto de intersección. En otras palabras, en lo que respecta a tu ojo, esos rayos de luz llegan desde ese punto. Ves la punta de tu nariz como si estuviera detrás del espejo. El mismo razonamiento es válido para cualquier otro punto de tu cara: todos parecen estar detrás del espejo. Si usamos geometría simple, notaremos que la distancia que hay de esta imagen al punto detrás del espejo (medida desde la superficie de éste) es igual a la distancia que hay del objeto real a la superficie del espejo. Estas distancias iguales cumplen la ley de la reflexión, como se ilustra en la figura 17.6, donde tomamos sólo dos rayos que llegan desde la parte superior de una vela y los trazamos como se indicó arriba. El rayo que llega al espejo en dirección horizontal y perpendicular al espejo se refleja hacia atrás a lo largo de la misma línea. El ángulo de incidencia de este rayo es cero, igual que el ángulo de reflexión. El otro rayo se muestra como si estuviera reflejado desde un punto en el espejo en el mismo plano de la base de la vela. Este rayo se refleja en un ángulo igual al ángulo de incidencia. Cuando estos dos rayos se extienden hacia atrás, su intersección señala la posición de la imagen. Cualquier otro rayo que se trace desde la parte superior de la vela también parecerá provenir de este punto. Los dos rayos mostrados forman triángulos idénticos en cualquiera de los lados del espejo (figura

figura 17.5

Algunos rayos trazados desde la punta de la nariz para mostrar su reflexión en el espejo. Divergen después de la reflexión como si provinieran de un punto detrás del espejo.

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o

i

h

h

θi θr

θr = θi

figura 17.6

Dos rayos de luz que llegan desde la parte superior de una vela parecen divergir después de la reflexión desde un punto tan lejano detrás del espejo como lo está la vela frente a éste.

17.6). Como los ángulos son iguales y sus lados más cortos son iguales a la altura de la vela, sus lados largos idénticos también deben ser iguales. Por consiguiente, la imagen se ubica detrás del espejo a una distancia a la imagen i, igual a la distancia al objeto o, la vela medida a partir de la superficie del espejo. Como es fácil tener acceso a un espejo plano, puedes comprobar algunas de estas ideas mirando tu imagen y las de otros objetos a medida que te mueves frente al espejo. Éste no tiene que ser tan alto como tú, por ejemplo, para que te veas de cuerpo completo. ¿Ves más de ti cuando te acercas o cuando te alejas del espejo? ¿Qué sucede con otros objetos? ¿Dónde debes colocarte para ver otros objetos en la habitación? ¿Puedes explicar estas observaciones en función de la ley de la reflexión y de cuáles rayos llegan a tus ojos? La imagen formada por un espejo plano se denomina imagen virtual porque en realidad la luz nunca pasa por el punto donde se ubica. De hecho, la luz nunca llega detrás del espejo, sólo parece provenir de ahí al ser reflejada. La imagen también se caracteriza por estar derecha (el lado correcto hacia arriba) y tener el mismo tamaño que el objeto (sin amplificar). Sin embargo, la imagen está invertida de derecha a izquierda: lo que parece ser la mano derecha de tu imagen en realidad es tu mano izquierda y viceversa. Mira de nuevo. Ves imágenes como ésta todos los días, pero quizá no les des mucha importancia. Los rayos de luz se trazan perpendiculares a los frentes de onda y a menudo su trazo brinda una forma más sencilla de ver lo que ocurre a la luz que seguir los frentes de onda mismos. La ley de la reflexión establece que cuando la luz se refleja en una superficie reflejante y lisa, el ángulo de reflexión es igual al de incidencia (los dos medidos desde la normal a la superficie). La imagen formada por un espejo plano se ubica en el punto desde donde parecen divergir los rayos de luz después de la reflexión; este punto está tan lejos detrás del espejo como el objeto real lo está al frente a él.

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351

17.2 Refracción de la luz

17.2 Refracción de la luz Las imágenes más conocidas son las formadas por los espejos planos. No obstante, pueden formarse de otras maneras; por ejemplo, con prismas, lentes o tal vez por un simple depósito de agua. Todos estos casos comportan sustancias transparentes a la luz visible. ¿Qué pasa con los rayos de luz cuando se encuentran con la superficie de un objeto transparente? ¿Por qué tenemos impresiones engañosas de la ubicación de los objetos debajo del agua? La ley de la refracción nos ayuda a responder a estas preguntas.

¿Qué es la ley de la refracción? Imagina que las ondas de luz se encuentran con la superficie plana de un pedazo de vidrio después de viajar inicialmente por el aire. ¿Qué sucede con estas ondas cuando penetran en el vidrio y siguen su viaje a través de él? Las mediciones experimentales han demostrado que la rapidez de la luz en el vidrio o el agua es menor que en el vacío o el aire. (La rapidez de la luz en el aire es muy cercana a su rapidez en el vacío.) La distancia entre los frentes de onda (longitud de onda) es más corta en el vidrio o el agua que en el aire (figura 17.7), ya que las ondas recorren una distancia más corta en un ciclo porque su rapidez es menor. La diferencia en la rapidez de la luz en diferentes sustancias suele describirse por medio de una cantidad llamada índice de refracción, el cual se representa con el símbolo n. El índice de refracción se define como la proporción de la rapidez de la luz c en el vacío con respecto a la rapidez de la luz v en alguna sustancia, n = c/v. Por tanto, la rapidez de la luz v en la sustancia se relaciona con la rapidez de la luz c en el vacío por medio de

Dicho de otra forma, para calcular la rapidez de la luz en algún material transparente, dividimos la rapidez de la luz en el vacío (c = 3 × 108 m/s) entre el índice de refracción de ese material. Los valores comunes para el índice de refracción del vidrio están entre 1.5 y 1.6, por lo que la rapidez de la luz en él es aproximadamente dos tercios de la que tiene en el aire. ¿Qué efecto tiene esta reducción en la rapidez y la longitud de onda sobre la dirección de los rayos de luz cuando atraviesan el vidrio? Si consideramos los frentes de onda y sus rayos correspondientes que se aproximan a la superficie en cierto ángulo, como en la figura 17.8, veremos que estos últimos se desvían cuando las ondas pasan por el vidrio. La desviación ocurre debido a que los frentes de onda no viajan tan lejos en un ciclo a través del vidrio como lo hacen en el aire. Como se muestra en el diagrama, el frente de onda que está a medio camino dentro del vidrio recorre una distancia más corta en el vidrio que en el aire, lo que lo hace desviarse en esa parte media. Por tanto, el rayo, que es perpendicular al frente de onda, también se desvía. La situación es como cuando una banda marcial que se dirige a un campo lleno de lodo en cierto ángulo respecto a la orilla del campo. Las filas se desviarán a medida que su rapidez disminuya por el lodo. La cantidad de desviación depende del ángulo de incidencia y de los índices de refracción de los materiales implicados, lo cual determina el cambio en la rapidez. Una diferencia mayor en la rapidez producirá una diferencia mayor en la distancia que recorren los frentes de onda en las dos sustancias. Por consiguiente, una diferencia más grande en los índices de refracción de ambas sustancias produce una desviación mayor en el frente de onda y el rayo.

c ν= . n

θ1 λ1

n1

d1 = λ 1

d2 = λ 2 n1

n2

figura 17.7

n2

λ2

La longitud de onda de las ondas de luz que viajan desde el aire hacia el vidrio es más corta en el vidrio que en el aire, ya que las ondas se desplazan con menor rapidez en el vidrio.

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θ2

figura 17.8

Los frentes de onda que se acercan a una superficie de vidrio en cierto ángulo respecto a la superficie se desvían a medida que atraviesan por ese material. El ángulo de refracción, θ2, es menor que el ángulo de incidencia, θ1. (n2 es mayor que n1.)

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352 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes La desviación descrita por la ley de la refracción puede establecerse en términos cualitativos* como: Cuando la luz pasa de un medio transparente a otro, los rayos se desvían hacia la normal a la superficie (el eje trazado perpendicular a la superficie) si la rapidez de la luz es menor en el segundo medio que en el primero. Los rayos se desvían alejándose del eje si la rapidez de la luz en el segundo medio es mayor que en el primero.

n2

n1 i

Si los ángulos son pequeños, el enunciado cuantitativo de la ley de la refracción adquiere una forma simple. Para ángulos pequeños, la función seno es proporcional al ángulo mismo, por tanto

o

n1θ1 = n2θ2 . El producto del índice de refracción del primer medio por el ángulo de incidencia es aproximadamente igual al producto del índice de refracción del segundo medio por el ángulo de refracción. A medida que el índice de refracción del segundo medio aumenta, el ángulo de refracción en el primero debe disminuir, lo cual significa que el rayo se desvía más cerca del eje (la normal a la superficie) para índices de refracción mayores. Para las ondas de luz que viajan desde el vidrio hacia el aire, la desviación tiene dirección opuesta: los rayos se desvían alejándose de la normal a la superficie, de acuerdo con la ley de la refracción. Esta idea se entiende mejor si se invierten las direcciones de los rayos y frentes de onda en la figura 17.8. El aumento en la rapidez a medida que la onda viaja desde el vidrio hacia el aire provoca que el rayo se desvíe alejándose del eje.

¿Por qué los objetos parecen más cercanos bajo el agua de lo que realmente están? La desviación de los rayos de luz en la superficie de contacto de dos sustancias transparentes es causante de algunas apariencias engañosas. Imagina que estás de pie en un puente sobre un arroyo, miras hacia abajo y ves un pez. El agua tiene un índice de refracción de alrededor de 1.33 y el aire de aproximadamente 1. La luz que viaja desde el pez a tus ojos se desvía alejándose de la normal a la superficie, como aparece en la figura 17.9. Esta desviación de los rayos de luz que llegan desde el pez hace que su divergencia sea más pronunciada en el aire que cuando viajaban en el agua. Si extendemos estos rayos hacia atrás, vemos que ahora parecen provenir desde un punto más cercano a la superficie del agua que su punto de origen real (figura 17.9). Como esto es válido para cualquier punto en el pez, parece que éste se halla más cerca de la superficie de lo

* La ley de la refracción se estableció cuantitativamente usando la función trigonométrica seno, que sólo te resultará conocida si tienes conocimientos básicos de trigonometría. En general se escribe simbólicamente como n1 sen θ1 = n2 sen θ2, donde n1 y n2 son los índices de refracción de los dos medios, y θ1, y θ2 son el ángulo de incidencia y el de refracción (figura 17.8).

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figura 17.9

Los rayos de luz que llegan desde el pez se desvían cuando pasan del agua al aire, de modo que parecen desviarse desde un punto más cercano a la superficie.

que realmente está. Si trataras de disparar al pez (acto ilegal en la mayoría de los lugares), probablemente falles a menos que lo hicieras en línea recta hacia abajo. La distancia aparente del pez debajo de la superficie puede predecirse a partir de la ley de la refracción si conocemos la distancia real. El razonamiento implica un poco de geometría y la suposición de que los ángulos de incidencia y refracción son pequeños. Encontramos que la distancia aparente vista desde el aire (la distancia a la imagen i) está relacionada con la distancia real bajo el agua (la distancia al objeto o) y los índices de refracción mediante i = o

n2 . n1

donde el índice de refracción del segundo medio n2 es el del aire (naire = 1) y el del primer medio n1, es el del agua (nagua = 1.33). La distancia a la imagen es, por ende, menor que la distancia real, como se ilustra claramente en la figura 17.9. Si el pez está en realidad a 1 m debajo de la superficie, su distancia aparente debajo de la superficie será i = 1m

1 1.33

= 0.75 m.

Esta ubicación aparente del pez es la posición de la imagen del pez. Parece que los rayos de luz dispersos desde el pez llegaran desde ese punto en vez de hacerlo desde la posición real del pez. Vemos una imagen virtual, como la imagen vista en un espejo, ya que en realidad los rayos de luz no pasan por la posición de la imagen. Sólo parece que provienen de ese punto. Si en vez de ello vemos un objeto en el aire desde debajo del agua,

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353

17.2 Refracción de la luz

cuadro de ejemplo 17.1 Ejercicio: un objeto visto desde debajo del agua Una niña que nada bajo el agua ve una libélula en el aire sobre ella. La libélula parece estar aproximadamente a 60 cm sobre la superficie del agua. ¿Cuál es la altura real del insecto sobre el agua? Como el objeto (la libélula) está en el aire, la luz viaja inicialmente en el aire, así que: n1 = 1.00 n2 = 1.33 i = 60 cm

n i = o n21 n o = i n1 2

= 60 cm

1 1.33

= 45 cm

17.10 Si se ve desde arriba, un popote parece flexionarse cuando una parte de él está fuera del agua y el resto dentro. Vista de lado, la imagen del popote se amplifica.

figura

El objeto en realidad está más cerca de la superficie del agua de lo que parece.

Reflexión interna total la imagen parece más alejada desde la superficie del agua que la posición real del objeto (cuadro de ejemplo 17.1). Esta posición engañosa de los objetos vistos desde debajo del agua es algo que observamos a diario pero solemos no percatarnos de ello porque la experiencia es muy común. Un popote derecho parece flexionarse o romperse si una parte de él está fuera del agua y el resto dentro. Cuando lo vemos desde arriba, cada punto del objeto debajo del agua parece estar más cerca de la superficie que su distancia real. Un popote o cuchara en un vaso de agua o de otro líquido parecido parece flexionarse, como se advierte en la figura 17.10. Estamos acostumbrados a esta vista engañosa y a veces no reparamos en ello.

1

Otro fenómeno interesante ocurre cuando los rayos de luz viajan ya sea del agua o el vidrio al aire. Como hemos indicado, los rayos de luz se desvían alejándose del eje a medida que atraviesan un medio con un índice de refracción menor (aire en estos ejemplos). Pero ¿qué pasa si los rayos se desvían tanto que el ángulo de refracción es de 90o? Si el ángulo de refracción fuera mayor los rayos no podrían seguir atravesando el segundo medio. Esta situación se representa en la figura 17.11. Cuando el ángulo de incidencia de los rayos que viajan en el vidrio aumenta, también lo hace el ángulo de refracción (rayo 1). Al final, llegamos al punto en el que el ángulo de refracción es de 90° (rayo 2). En ese punto, el rayo refractado simplemente pasaría rozando la superficie cuando saliera del vidrio. Para

2

2 3

n1

n1

n2

n2

n1 > n2

n1 > n2

θ c θc 2

Dirección prevista del rayo refractado para el rayo 2

3

n1 n2 n1 > n2

17.11 Cuando la luz viaja desde el vidrio hacia el aire, el ángulo de incidencia que produciría un ángulo de refracción de 90° (rayo 2) se llama ángulo crítico θC. Los rayos incidentes en ángulos iguales o mayores que θC se reflejan totalmente.

figura

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354 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes cualquier ángulo de incidencia dentro del vidrio mayor que este ángulo (rayo 3), el rayo no se escapa del vidrio sino que se refleja en él. El ángulo de incidencia para el cual el ángulo de refracción es 90° se llama ángulo crítico θc.* Los rayos que inciden en ángulos mayores que el crítico se reflejan hacia atrás, al interior del vidrio y obedecen la ley de la reflexión en vez de la de la refracción. Este fenómeno se llama reflexión interna total. Para ángulos iguales o mayores que el crítico, detona (100%) la luz se refleja dentro del material con el índice de refracción mayor. En estas condiciones, el punto de contacto del vidrio y el aire forma un espejo excelente. Para vidrio con un índice de refracción de 1.5, el ángulo crítico es de aproximadamente 42°. Los vidrios con índices de refracción más grandes tienen ángulos críticos incluso menores. Un prisma cortado con dos ángulos de 45°, como el mostrado en la figura 17.12, puede usarse como reflector. La luz que incide perpendicularmente sobre

45°

45° 45° 90°

45°

17.12 Un prisma cortado con dos ángulos de 45° puede usarse como espejo, ya que la luz se refleja totalmente en él.

figura

* Con base en la ley de la refracción, sen θC = n2 /n1, donde n2 debe ser menor que n1 para que la expresión sea válida.

fenómenos cotidianos

cuadro 17.1

Arco iris Situación. La figura 1.1 del capítulo 1 es una fotografía de un arco iris. Todos hemos visto un arco iris y nos hemos asombrado con su belleza. Sabemos que los arco iris aparecen cuando el Sol brilla y llueve en las cercanías. Si las condiciones son correctas, podemos ver todo el arco semicircular de colores con rojo en la parte externa y violeta en la interna. A veces también podemos ver un arco de colores más tenue que forma un arco iris secundario fuera del primero, y cuyos colores están en orden inverso de los del arco iris primario, como se muestra en la fotografía. ¿Cómo se forma un arco iris? ¿Qué condiciones son necesarias para observar uno? ¿Hacia dónde debemos mirar? ¿Las leyes de la reflexión y la refracción sirven para explicar este fenómeno?

Ahora podemos responder a estas preguntas, algunas de la cuales se plantearon en el capítulo 1. Análisis. El secreto para comprender a los arco iris radica en considerar lo que ocurre a los rayos de luz cuando entran en una gota de agua, como en el primer dibujo. Cuando un rayo de luz incide en la primera superficie de la gota de agua, parte de él se refracta hacia la gota. Como la cantidad de desviación depende del índice de refracción, que a su vez depende de la longitud de onda de la luz, la luz azul se desvía más que la roja en esta primera superficie. Este efecto es el mismo que la dispersión ocurrida cuando la luz pasa por un prisma. Luz

blan

ca

Gota de agua

Azul

Rojo

El arco iris primario tiene rojo en la parte externa y violeta en la interna. El arco iris secundario, a veces visible, tiene los colores invertidos.

Los rayos de luz que entran en una gota de agua se refractan en diferentes cantidades en la primera superficie de la gota, luego se reflejan en la superficie posterior y se refractan de nuevo cuando salen.

(continúa)

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17.2 Refracción de la luz

la primera superficie llega en un ángulo de 45°, que es mayor que el ángulo crítico. Se refleja totalmente en esta superficie, así que la superficie actúa como un espejo plano.

¿Cómo desvían los prismas la luz y qué es la dispersión? Sabes que la luz blanca puede separarse en diferentes colores produciendo un efecto parecido al arco iris. ¿Cómo obtenemos los colores del arco iris cuando partimos de luz blanca normal? El índice de refracción de un material varía con la longitud de onda de la luz: distintas longitudes de onda se desvían en diferentes cantidades. La longitud de onda, a su vez, se asocia con el color que percibimos, como hemos visto en el capítulo 16. La luz roja, en un extremo del espectro visible, tiene longitudes de onda más grandes y frecuencias menores que la violeta, en el extremo opuesto del espectro. El índice de refracción de la luz violeta o azul es mayor que el de la luz roja para casi todos los tipos de vidrio y otras sustancias transparentes como el agua. La luz azul se desvía más que la roja y las longitudes

Después de refractarse en la primera superficie, los rayos de luz viajan por la gota e inciden en su superficie posterior, donde se reflejan parcialmente. Parte de la luz atraviesa la gota y parte se refleja hacia atrás, a la superficie frontal, como se muestra. Allí los rayos se refractan de nuevo, provocando más dispersión mientras los rayos salen de la gota. Resulta paradójico que la luz roja, que es la que sufre una desviación menor en las refracciones, en realidad diverge en un ángulo mayor que la luz azul en su trayectoria general por la gota y de regreso. La razón puede comprenderse al estudiar el primer dibujo. La desviación menor en la primera superficie hace que los rayos rojos incidan en la superficie posterior de la gota en un ángulo de incidencia mayor que los violeta. Los rayos rojos se reflejan en un ángulo mayor, de acuerdo con la ley de la reflexión. Este ángulo de reflexión mayor predomina al establecer la desviación general del rayo. Cuando vemos un arco iris, el sol debe estar detrás de nosotros, ya que estamos observando los rayos reflejados. Vemos distintos colores en diferentes puntos del cielo porque, para cierto color, las gotas deben estar a la altura apropiada para que los rayos de luz lleguen a nuestros ojos. Puesto que los rayos rojos son los que más se desvían, vemos la luz roja reflejada desde las gotas de lluvia en la parte superior del arco iris o en el ángulo mayor desde el centro del arco. La luz violeta llega a nosotros desde las gotas que se hallan en ángulos menores. Los otros colores están en medio, con lo que se producen los colores que vemos. El arco iris secundario, que en general es mucho más tenue que el primario, se produce debido a la doble reflexión dentro de las gotas de lluvia, como se muestra en el segundo dibujo. Los rayos de luz que entran cerca de la parte inferior de la primera superfi-

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355

de onda intermedias asociadas con los colores verde, amarillo y anaranjado se desvían en cantidades intermedias. Cuando la luz atraviesa un prisma en cierto ángulo, se desvía al entrar y al salir. La desviación mínima de la luz ocurre cuando atraviesa el prisma simétricamente, como se ve en la figura 17.13. Los rayos se desvían hacia la normal a la superficie cuando entran en el prisma y se alejan de la normal en la segunda superficie, de acuerdo con la ley de la refracción. Como el índice de refracción varía para diferentes longitudes de onda, los rayos violetas y azules son los que más se desvían y están en la parte inferior del espectro de colores resultante, como se observa en la figura 17.14. Esta variación del índice de refracción con la longitud de onda se llama dispersión, y existe para todos los materiales transparentes incluida el agua, el vidrio y los plásticos. La dispersión es la causa de los colores que ves cuando la luz atraviesa una pecera o pasa por los bordes de una lente, como en un retroproyector. También es la razón de las hermosas manifestaciones de color que se ven en los arco iris, como se explica en el cuadro de fenómenos cotidianos 17.1.

Gota de agua

Sunlight o Roj ul Az

Los rayos de luz que entran cerca de la parte inferior de la primera superficie de una gota de agua pueden reflejarse dos veces antes de volver a salir. Estos rayos producen el arco iris secundario.

cie de la gota pueden incidir en la superficie posterior en un ángulo de incidencia lo suficientemente grande para reflejarse dos veces antes de salir de la gota. Los rayos de luz se cruzan en este caso y se desvían en términos generales en ángulos mayores que cualquiera de los colores en el arco principal. Por ello, el arco secundario se ve fuera del principal. La luz azul se desvía en un ángulo mayor que la roja, por lo que está en la parte superior del arco iris secundario. El sol debe estar razonablemente bajo en el cielo para que se observe cualquiera de los dos arco iris. En la tarde de un día de verano es posible ver un arco iris en la regadera. Sin embargo, los arco iris pueden verse casi a cualquier hora durante el día desde una posición estratégica alta, como un avión, y a veces forman un círculo completo en vez de un arco. Si puedes entender por qué ocurre esto, habrás dominado las explicaciones que damos aquí.

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356 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes Normales a la superficie

Luz blanca incidente

Rojo Amarillo Azul

17.13 Los rayos de luz que pasan por un prisma se desvían en ambas superficies; la luz azul presenta una desviación más pronunciada.

figura

figura 17.14

La luz blanca incidente en un lado del prisma emerge como un espectro de diferentes colores debido a la dispersión.

Los rayos de luz se desvían cuando pasan por una sustancia transparente hacia otra, ya que la rapidez de la luz cambia en la frontera entre ambas sustancias. La ley de la refracción describe cuánta desviación ocurre y si está hacia la normal a la superficie o se aleja de ella. Debido a esta desviación, la imagen de un objeto debajo del agua parece estar más cerca de la superficie que la posición real del objeto. Para la luz que viaja inicialmente dentro de vidrio o agua, hay un ángulo crítico de incidencia más allá del cual la luz se refleja totalmente en vez de refractarse. El índice de refracción varía con la longitud de onda, por lo que se produce dispersión de los colores que vemos cuando la luz pasa por un prisma.

contramos lentes en las cámaras, retroproyectores, gemelos y lupas simples. ¿Cómo forman las imágenes estas lentes? En general, las lentes están hechas de vidrio o plástico, por lo que la refracción rige su comportamiento. La desviación de los rayos de luz cuando pasan por una lente es la causa del tamaño y la naturaleza de las imágenes formadas. Podemos comprender los fundamentos de este proceso si trazamos la trayectoria que siguen algunos de estos rayos.

Trazado de rayos que atraviesan lentes positivas En la figura 17.15 se representa una lente que tiene las superficies de ambos lados esféricas con los lados convexos uno frente al otro. De acuerdo con la ley de la refracción, los rayos de luz se desvían hacia la normal a la superficie en la primera superficie (yendo del aire al vidrio) y se alejan de ella en la segunda superficie (yendo del vidrio al aire). Si las dos superficies son convexas, como se muestra, cada una de estas refracciones desvía el rayo hacia el eje (una línea que pasa por el centro de la lente y es perpendicular a ella). Una lente como ésta hace que los rayos de luz converjan. Una lente convergente se llama lente positiva. La forma más fácil de ver que la luz se desviará como se representa en la figura 17.15 es imaginar que cada sección de la lente se comporta como un prisma. El ángulo del prisma (el ángulo entre los dos lados) aumenta de tamaño hacia la parte superior de la lente, de modo que la luz que pasa por la lente cerca de la superficie se desvía más que la luz que pasa por la mitad. Como el efecto del prisma se vuelve más marcado cuando se aleja del eje, los rayos de luz que llegan paralelos al eje se desvían en diferentes cantidades cuando atraviesan la lente. Esto ocasiona que todos los rayos converjan aproximadamente en un solo punto F en el lado opuesto de la lente, al cual llamamos punto focal. El punto focal es el sitio donde los rayos que viajan paralelos al eje convergen después de salir de la lente. La distancia desde el centro de la lente al punto focal se llama distancia focal f. La distancia focal es una propiedad

F

17.3 Lentes y formación de imágenes Todos los días vemos imágenes formadas por espejos pero rara vez pensamos en ellas. Incluso podemos estar menos concientes de las imágenes formadas por lentes, aunque muchos de nosotros llevemos lentes montados en nuestra nariz o pegados a nuestros ojos en forma de lentes de contacto. También en-

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F

ƒ

ƒ

17.15 Los rayos de luz paralelos que atraviesan una lente convexa simple se desvían hacia el eje de modo que todos pasan aproximadamente por el punto focal F. Una lente tiene dos puntos focales, uno en cada lado.

figura

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17.3 Lentes y formación de imágenes

de las lentes que depende de la curvatura de su superficie y del índice de refracción del material con que está hecha la lente. También hay un punto focal a una distancia f en el otro lado de la lente asociado con los rayos de luz paralelos que llegan en la dirección opuesta. Como las trayectorias de los rayos son reversibles, los rayos que divergen desde cualquiera de los puntos focales y atraviesan la lente emergerán paralelos al eje. ¿Cómo podemos usar las técnicas de trazado de rayos para mostrar de qué modo una lente como ésta forma las imágenes? El proceso se ilustra en la figura 17.16 para un objeto que se encuentra más allá del punto focal de la lente. En el diagrama se trazaron tres rayos (etiquetados) para aprovechar las propiedades de los puntos focales: 1. Un rayo proveniente de la parte superior de un objeto y que viaja paralelo al eje se desvía de tal manera que pasa por el punto focal en el extremo alejado de la lente. 2. Un rayo que llega por el punto focal en el extremo cercano emerge paralelo al eje. 3. Un rayo que llega por el centro de la lente no se desvía y atraviesa la lente sin que eso ocurra. Los extremos de la lente cerca del centro son paralelos (como el vidrio de una ventana), razón por la cual el rayo 3 no se desvía. Cuando trazamos rayos, en general mostramos la desviación como si ocurriera en la línea vertical que pasa por el centro de la lente. La imagen del objeto de la figura 17.16 está en el lado opuesto de la lente y es una imagen real, ya que los rayos de luz atraviesan el punto de imagen. Los rayos de luz que divergen desde el objeto convergen en este punto de imagen al pasar por la lente. Si colocaras una pantalla en ese punto, verías la imagen al revés (invertida) en ella. Cuando se usa un proyector de diapositivas, éstas deben insertarse de cabeza para producir imágenes correctas en la pantalla.

¿Cuál es la relación entre la distancia a la imagen y la distancia al objeto?

do las relaciones entre los triángulos y la ley de la refracción, también podemos desarrollar una relación cuantitativa entre la distancia al objeto o, la distancia a la imagen i y la distancia focal f de una lente (todas estas distancias se miden desde el centro de la lente). La relación supone los recíprocos de estas distancias, es decir, el recíproco de la distancia al objeto más el recíproco de la distancia a la imagen es igual al recíproco de la distancia focal. Expresado en símbolos, 1 1 1 + = . o i f En el caso de la figura 17.16, todas estas distancias son cantidades positivas. En la convención de los signos más frecuente, las distancias al objeto y a la imagen para los objetos o imágenes reales son positivas, pero la distancia a la imagen para una imagen virtual es negativa. La distancia focal es positiva para una lente convergente (positiva), que desvía los rayos hacia el eje, y es negativa para una lente divergente (negativa), que desvía los rayos alejándose del eje. La geometría de la figura 17.16 también sirve para encontrar una relación entre la amplificación de la imagen m y las distancias al objeto y a la imagen. La amplificación se define como la razón de la altura de la imagen hi a la altura del objeto ho, o m =

hi ho

=−

i . o

En esta ecuación el signo indica si la imagen está al derecho o invertida. Una magnificación negativa representa una imagen invertida, como ocurre cuando la distancia a la imagen y la distancia al objeto son positivas (figura 17.16). Según las distancias al objeto y a la imagen, ésta puede estar amplificada o reducida. Si el objeto está “dentro” del punto focal (más cerca de la lente) de una lente positiva, podemos obtener una imagen virtual con una amplificación positiva, como en la figura 17.17. En este caso, la distancia a la imagen es una cantidad negativa, ya que se asocia con una imagen virtual. Los rayos de luz

¿Podemos predecir dónde se formará una imagen con base de cierta ubicación de un objeto? Una forma de hacerlo es trazando los rayos meticulosamente, como ya hemos explicado. Usan-

2

i

1

1

F 3

F

F

F

3

i

17.16 Para ubicar una imagen, desde la parte superior de un objeto se trazan tres rayos que atraviesan una lente positiva. Si el objeto está más allá del punto focal, se forma una imagen invertida en el lado opuesto de la lente.

GRIFFITH 17.indd 357

o

2 o

figura

357

17.17 Una imagen virtual amplificada se forma cuando el objeto está dentro del punto focal de una lente positiva. Los rayos de luz que emergen parecerán divergir desde un punto detrás del objeto.

figura

24/10/07 11:05:29

358 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes

cuadro de ejemplo 17.2 Ejercicio: una imagen virtual amplificada Un objeto de 2 cm de altura está 10 cm a la izquierda de una lente positiva con una distancia focal de 20 cm. a) ¿Dónde se localiza la imagen? b) ¿Cuál es su amplificación? a) f = +20 cm o = +10 cm i = ?

1 1 1 + = o i f 1 1 1 = − o i f =

1 1 − 20 cm 10 cm

=

1 2 − 20 cm 20 cm

= −

1 20 cm

i = −20 cm La imagen está 20 cm a la izquierda de la lente, en el mismo lado que el objeto (figura 17.17). b) m = ?

m = − = −

i o −20 cm 10 cm

= +2 La imagen está amplificada al doble de la altura del objeto, como se muestra en la figura 17.17. Está derecho, ya que la amplificación es positiva.

mos que cada sección de la lente se comporta como un prisma (como vimos en la página 356), estas secciones del prisma están invertidas en comparación con las lentes convexas. Como puedes ver en la figura 17.18, estas secciones del prisma desvían los rayos de luz alejándose del eje en vez de hacia él. Por tanto, la es una lente divergente o negativa. Los rayos de luz que llegan paralelos al eje se desvían alejándose del eje al pasar por la lente negativa de manera que todos parecen divergir desde un punto común F, el punto focal (figura 17.18). Este punto es uno de los dos puntos focales de la lente negativa. El otro se halla en el lado opuesto a la misma distancia desde el centro de la lente, como el primero. La luz que llega hacia el punto focal en el extremo lejano de la lente se desvía de tal forma que sale paralela al eje. Como ya mencionamos, la distancia focal f de una lente negativa se define como una cantidad negativa. Podemos trazar los mismos tres rayos que seguimos para las lentes positivas a fin de ubicar una imagen para las lentes negativas, como en la figura 17.19. El rayo que llega paralelo al eje desde la parte superior del objeto (rayo 1) se desvía alejándose del eje en este caso, de modo que parece provenir del punto focal en el extremo cercano de la lente. Un rayo que llega hacia el punto focal en el extremo lejano (rayo 2) se desvía y sale paralelo al eje. El rayo 3 pasa por el centro de la lente sin desviarse, como antes. La imagen resultante está en el mismo lado de la lente en que se halla el objeto y está al derecho, con un tamaño reducido (figura 17.19). Esto puede verificarse usando la fórmula de la distancia al objeto y a la imagen, tratando la distancia focal como una cantidad negativa. La imagen es virtual porque los rayos parecen proceder desde el punto de imagen pero en realidad no pasan por él (excepto el rayo desviado). Esto es válido sin importar la distancia al objeto, por lo que una lente negativa siempre forma una imagen virtual más pequeña que el objeto.

parecen divergir desde el punto de imagen pero en realidad no pasan por él. Una imagen virtual está en el lado de la lente desde el que llega la luz, el izquierdo en este caso. Tal situación se trata en el cuadro de ejemplo 17.2. Cuando vemos la imagen de un objeto colocado dentro del punto focal de una lente positiva, la lente actúa como lupa. La imagen se amplifica pero también está detrás del objeto, más allá de nuestros ojos. Esta distancia mayor vuelve más fácil para nosotros fijar la vista en la imagen que en el objeto mismo, lo cual brinda una ventaja, en particular para las personas mayores que han perdido la capacidad de enfocar la vista para ver objetos cercanos.

F

ƒ

Trazo de rayos por lentes negativas Como hemos visto, una lente convexa simple es una lente positiva convergente: desvía los rayos de luz fuera del eje. ¿Qué sucede si cambiamos la dirección de la curvatura de las superficies de las lentes de modo que sea cóncavas? Si imagina-

GRIFFITH 17.indd 358

F

17.18 Los rayos de luz que viajan paralelos al eje se desvían alejándose de éste al pasar por una lente negativa, por lo que parecen divergir desde un punto focal común F.

figura

24/10/07 11:05:30

17.4 Enfoque de la luz con espejos curvos

esfera. Una superficie reflejante esférica tiene la capacidad para enfocar los rayos de luz de manera parecida a una lente. Las técnicas de trazado de rayos nos permiten comprender las imágenes resultantes.

1

o

359

2

Trazo de rayos con un espejo cóncavo F

i

F 3

17.19 Tres rayos se trazan desde la parte superior para localizar la imagen formada por una lente negativa. La imagen derecha virtual está en el mismo lado de la lente que el objeto y es de tamaño reducido.

figura

Si sostienes una lente negativa cerca de una página impresa y ves la página por la lente, las letras se verán más pequeñas que su tamaño real. La distinción entre una lente negativa y una positiva es fácil: una hace que la impresión se ve más pequeña y la otra (la lente positiva) la aumenta o amplifica. Si alejas la lente positiva de la página, la imagen desaparece cuando llegas a una distancia igual a la distancia focal y luego reaparece invertida. Una lente positiva hace converger la luz hacia el eje. Si los rayos que llegan son paralelos a éste, convergen aproximadamente en un solo punto, el focal. Las propiedades de los puntos focales pueden usarse para trazar rayos a fin de ubicar y describir las imágenes formadas. La distancia que hay de los puntos focales a una lente delgada se llama distancia focal, la cual sirve para calcular la posición de la imagen para cualquier posición conocida de un objeto. Una lente negativa hace divergir los rayos de luz y siempre forma una imagen virtual de tamaño reducido de un objeto real. La fórmula de distancia al objeto y a la imagen y las técnicas de trazados de rayos asociadas se usan para calcular y describir las imágenes formadas tanto por lentes positivas como negativas.

Los espejos que producen aumento son cóncavos, lo que significa que la luz se refleja desde el interior de una superficie esférica. Sus propiedades de enfoque pueden comprenderse si seguimos la trayectoria de los rayos que se aproximan al espejo paralelos al eje, como se observa en la figura 17.20. El centro de curvatura de la superficie esférica está en el eje, como se muestra, y la ley de la reflexión dicta dónde irá cada rayo. Cada rayo que hemos trazado en la figura 17.20 obedece a la ley de la reflexión, es decir, el ángulo de reflexión es igual al de incidencia. La normal a la superficie para cada rayo se calcula trazando una línea del centro de curvatura de la esfera a la superficie reflejante. El radio de una esfera siempre es perpendicular a su superficie. Como puedes ver a partir del diagrama, cada rayo se refleja de modo que cruza el eje aproximadamente en el mismo punto que todos los demás. Este punto de intersección es el punto focal, etiquetado con la letra F. Igual que el punto focal de una lente, es el punto donde se enfocan los rayos que llegan paralelos al eje. Como la dirección de cualquiera de estos rayos puede invertirse y aún así los rayos cumplen con la ley de la reflexión, los rayos que pasan por el punto focal en su camino al espejo emergen paralelos al eje de éste. También podemos ver a partir del diagrama de la figura 17.20 que la distancia del espejo al punto focal F es aproximadamente la mitad de la distancia del espejo al centro de curvatura, C. Estos dos puntos, F y C, pueden usarse en el

C

F

17.4 Enfoque de la luz con espejos curvos La mayoría de nosotros hemos usado un espejo para afeitarse o maquillarse que amplifica los rasgos de la cara. En la madrugada, esta experiencia puede ser aún más desconcertante que si nos viéramos en un espejo común. ¿Qué sucede aquí? ¿Cómo se logra la amplificación? En los espejos de aumento las superficies son curvas, no planas. En general, la curvatura es de naturaleza esférica, lo que significa que la superficie del espejo es una parte de una

GRIFFITH 17.indd 359

ƒ R

17.20 Los rayos de luz que se aproximan a un espejo cóncavo esférico paralelos al eje se reflejan de tal manera que todos pasan aproximadamente por un punto focal común F. La distancia focal f es la mitad del radio de curvatura R.

figura

24/10/07 11:05:31

360 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes trazado de los rayos para ubicar y describir imágenes formadas por el espejo. Cuando usas un espejo como éste para examinar tu cara, en general colocas “dentro” del punto focal (más cerca del espejo). Esto produce la imagen amplificada que normalmente observas. En la figura 17.21 se muestra cómo pueden trazarse los rayos para encontrar la imagen de un objeto colocado dentro del punto focal del espejo. Hay tres rayos que podemos trazar fácilmente pero dos de ellos, cualesquiera, bastarían para ubicar la imagen. Los tres rayos son:

o

1 2 3

C

F

1. Un rayo proveniente de la parte superior de un objeto y que viaja paralelo al eje y se refleja por el punto focal. 2. Un rayo que llega por el punto focal y se refleja paralelo al eje. 3. Un rayo que llega a lo largo de una línea que pasa por el centro de curvatura y se refleja hacia atrás a lo largo de sí mismo. El tercer rayo llega y sale a lo largo de la misma línea porque incide en el espejo perpendicular a su superficie. Los ángulos de incidencia y reflexión son ambos cero en este caso. Cuando estos rayos se extienden hacia atrás, vemos que todos parecen provenir desde un punto detrás del espejo. Este punto define la posición de la parte superior de la imagen; la parte inferior está sobre el eje. Vemos la imagen como si estuviera detrás del espejo y, como es obvio en el diagrama, amplificada. La imagen resultante está al derecho, amplificada y es virtual. Es virtual porque igual que en el caso del espejo plano, los rayos de luz en realidad no pasan por ella; nunca llegan detrás del espejo, pero la imagen parece estar en ese lugar. También es posible formar imágenes reales con un espejo cóncavo. Esto ocurre cuando el objeto se ubica más allá del punto focal del espejo, como se ilustra en la figura 17.22. En este caso, al trazar los tres rayos vemos que convergen en vez

2

3

C

o

i

1

17.21 Tres rayos se trazan desde la parte superior de una vela colocada frente a un espejo. Al extender hacia atrás los rayos reflejados se localiza la parte superior de la imagen detrás del espejo.

GRIFFITH 17.indd 360

17.22 Los rayos de luz provenientes de un objeto situado más allá del punto focal de un espejo cóncavo convergen para intersecarse frente al espejo, con lo que se forma una imagen real invertida.

figura

de divergir cuando dejan el espejo. Los rayos que llegan desde la parte superior del objeto se intersecan en un punto en el mismo lado del espejo que el objeto y luego divergen de nuevo desde este punto. Si nuestros ojos reciben estos rayos, ves una imagen que está en frente del espejo. Como estamos acostumbrados a ver imágenes que están detrás del espejo, nos resulta un tanto más difícil enfocar la vista en una que está en frente. Sin embargo, esta imagen puede observarse usando un espejo curvo para maquillarse o afeitarse. A medida que alejas el espejo de tu cara, la imagen original amplificada se vuelve más grande y finalmente desaparece. Es remplazada por una imagen al revés que se vuelve más pequeña conforme sigues alejándote del espejo. Esta imagen es real porque los rayos de luz atraviesan la imagen y luego divergen de nuevo desde estos puntos. Como también se ve claramente en el diagrama, la imagen está invertida (abajo de cabeza).

Distancias al objeto y a la imagen

F

figura

i

¿Podemos predecir dónde se localizará una imagen para una ubicación conocida de un objeto? Una forma de hacerlo es simplemente trazar los rayos con cuidado como ya se explicó. Usando las relaciones de los triángulos y la ley de la reflexión, también es posible desarrollar una relación cuantitativa entre las distancias al objeto y a la imagen. La relación resulta ser la misma que se estableció antes para una lente delgada: 1 1 1 + = . o i f

24/10/07 11:05:32

17.4 Enfoque de la luz con espejos curvos

La distancia al objeto o, la distancia a la imagen i y la distancia focal f se miden desde el vértice, el punto donde el eje se encuentra con el espejo. Como se muestra en la figura 17.20, la distancia focal es la mitad del radio de curvatura. En el caso mostrado en la figura 17.22 todas estas distancias son cantidades positivas. En general, las distancias son positivas si están en el mismo lado del espejo que los rayos de luz mismos. Si están detrás del espejo, las distancias son negativas. El ejercicio del cuadro de ejemplo 17.3 demuestra el uso de la relación entre las distancias al objeto y a la imagen. Los triángulos de las figuras 17.21 y 17.22 también pueden usarse para encontrar una relación entre la altura de la imagen y la del objeto, o, dicho de otra forma, la amplificación m. Esta relación también es la misma que la obtenida antes para una lente delgada, i m = − . o En el cuadro de ejemplo 17.3, donde la distancia a la imagen es –10 cm y al objeto es +5 cm, la amplificación es +2.0. Es decir, la altura de la imagen es el doble de la altura del objeto. El hecho de que esta amplificación sea positiva indica que la imagen está al derecho en este caso.

361

Espejos convexos Hasta ahora hemos considerado espejos cóncavos, los cuales tienen una curvatura interior hacia el espectador. ¿Qué sucede si la curvatura del espejo está en la dirección opuesta? Los espejos convexos, para los cuales la luz se refleja desde el exterior de la superficie esférica, se usan como espejos panorámicos en los pasillos de las tiendas o como espejo lateral en los automóviles en el lado del pasajero. Estos espejos producen una imagen reducida en tamaño, pero el campo de visión es más amplio. Esta vista panorámica es lo que los hace útiles. En la figura 17.23 se representan rayos que se aproximan a un espejo convexo paralelos al eje de éste. Allí el centro de curvatura C está detrás del espejo. Las líneas trazadas desde el centro de curvatura son perpendiculares a la superficie del espejo, como antes. La ley de la reflexión establece que cuando los rayos reflejados se extienden hacia atrás, parece que todos llegan desde el mismo punto F, el punto focal. Por tanto, un espejo convexo es divergente o negativo. Los rayos de luz paralelos divergen cuando dejan el espejo en vez de convergir, como ocurre en un espejo cóncavo. Sin embargo, podemos usar las mismas técnicas de trazado de rayos para ubicar una imagen. En la figura 17.24 se ilustra este proceso. El rayo que llega paralelo al eje y de la parte superior del objeto (1) se refleja como si proviniera del punto focal. Un rayo que llega al punto focal (2) se refleja paralelo al eje y el rayo que llega al centro de la curvatura (3) se refleja de regreso a lo largo de sí mismo ya que es perpendicular a la superficie.

cuadro de ejemplo 17.3 Ejercicio: localización de una imagen en un espejo cóncavo Un objeto está a 5 cm a la izquierda de un espejo cóncavo con una distancia focal de +10 cm. ¿Dónde está la imagen? ¿Es real o virtual? o = 5 cm f = 10 cm i = ?

1 1 1 + = o i f F

1 1 1 = − o i f

C

1 1 1 = − i 10 cm 5 cm 1 1 2 = − i 10 cm 10 cm 1 1 = − i 10 cm i = − 10 cm Como la distancia a la imagen es negativa, la imagen está a 10 cm detrás del espejo y es virtual. La situación es muy parecida a la representada en la figura 17.21.

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17.23 Los rayos de luz que viajan paralelos al eje de un espejo convexo se reflejan de tal manera que parecen provenir de un punto focal F localizado detrás del espejo.

figura

24/10/07 11:05:32

362 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes 1 3 2

F o

C

i

17.24 Tres rayos se trazan para localizar la imagen virtual de un objeto colocado frente a un espejo convexo. Los rayos reflejados divergen como si provinieran desde el punto de imagen detrás del espejo.

figura

Cuando se extienden hacia atrás, estos tres rayos parecen proceder de un punto detrás del espejo, con lo que se localiza la parte superior de la imagen. Esta última es virtual, ya que está detrás del espejo, obviamente está al derecho y reducida en tamaño. Compruébalo la siguiente vez que estés en una tienda que tenga uno de esos espejos montado sobre un pasillo. Las imágenes son pequeñas pero reflejan un área extensa. La fórmula de distancia al objeto y a la imagen para los espejos y las lentes cóncavos también sirven para ubicar imágenes en un espejo convexo. La única diferencia es que la distancia focal de un espejo convexo debe tratarse como una cantidad negativa, igual que aquella para una lente negativa. La imagen formada por un espejo convexo siempre está detrás del espejo y, por consiguiente, la distancia a ella siempre será negativa para cualquier distancia al objeto que elijas. En general, el espejo lateral del lado del pasajero en un automóvil es convexo. Produce una vista panorámica del tránsito en el carril derecho. Como es un espejo negativo, la imagen está reducida en tamaño y se ubica justo detrás del espejo, como se advierte en la figura 17.24. No obstante, comúnmente tiene inscrita una advertencia que dice: “LOS OBJETOS EN EL ESPEJO ESTÁN MÁS CERCA DE LO QUE PARECEN”. ¿Cómo puede ser esto posible si la imagen que se está viendo está muy cerca del espejo en sí? La respuesta radica en el hecho de que nuestro cerebro usa muchas pistas para determinar la distancia. En este caso, como el tamaño de la imagen vista en el espejo es pequeño, nuestro cerebro interpreta que los vehículos deben hallarse más lejos de lo que en realidad están. Conocemos el tamaño real de un camión o automóvil, y nuestro cerebro usa esta información para determinar la distancia. Si vieras algunos objetos de tamaño desconocido, tu percepción binocular de profundidad podría colocar su imagen en la ubicación de la imagen real detrás del espejo.

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Los espejos con superficies curvas pueden usarse para enfocar los rayos de luz y formar imágenes. Podemos ubicar y describir esas imágenes si trazamos rayos asociados con el punto focal del espejo y su centro de curvatura. La misma fórmula utilizada para las lentes sirve para las distancias al objeto y a la imagen relacionadas con los espejos. Un espejo cóncavo produce una imagen amplificada virtual cuando el objeto está dentro del punto focal e imágenes reales cuando el objeto está más allá de ese punto. Un espejo convexo produce una imagen de tamaño reducido para cualquier posición que tengan los objetos pero proporciona un ángulo de visión amplio.

17.5 Anteojos, microscopios y telescopios La fabricación de lentes fue un arte que se desarrolló durante el Renacimiento. Antes no era posible corregir problemas visuales como la miopía e hipermetropía, o amplificar objetos con una lupa. Una vez que las lentes se volvieron comunes, no pasó mucho tiempo para que las personas empezaran a descubrir que al combinarlas podían hacer instrumentos ópticos como microscopios y telescopios. Los dos fueron inventados en Holanda al despuntar el siglo xvii. La corrección de los problemas visuales sigue siendo el uso más conocido de las lentes. La mayoría de las personas usará lentes en algún momento de su vida, y muchos los utilizamos desde la adolescencia, incluso antes. ¿Qué hay de malo en nuestra visión que requiere lentes correctivas? Para responder a esta pregunta debemos explorar la óptica del ojo.

¿Cómo funcionan tus ojos? Nuestros ojos contienen lentes positivas que concentran los rayos de luz en la superficie posterior del globo ocular cuando funcionan bien. Como se muestra en la figura 17.25, el ojo en realidad contiene dos lentes positivas: la córnea, que es la membrana curva que forma la superficie frontal del ojo, y las lentes acomodativas unidas a los músculos dentro del ojo. La mayor parte de la desviación de la luz ocurre en la córnea. Las lentes acomodativas se utilizan más para el ajuste fino. Existe una buena analogía entre el ojo y una cámara. Una cámara utiliza un sistema de lentes positivas compuestas para enfocar los rayos de luz que llegan desde los objetos que se están fotografiando en la película que se halla en la parte posterior del aparato. El sistema de lentes de una cámara se mueve hacia delante y hacia atrás para enfocar los objetos situados a diferentes distancias. En el ojo, la distancia entre el sistema de lentes y la superficie posterior del ojo es fija, de modo que necesitamos una lente de distancia focal variable, las lentes acomodativas, para enfocar los objetos ubicados a diferentes distancias. Las lentes positivas forman una imagen real invertida en la retina, la capa de las células receptoras en la superficie interna posterior del ojo. La retina hace las veces de la película en una cámara y es el sensor que detecta la imagen. La luz que llega

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17.5 Anteojos, microscopios y telescopios

Córnea

Iris

363

Retina

Lentes acomodativas

Nervio óptico

Película

17.25 Los rayos de luz que entran en el ojo desde un objeto distante se concentran en la parte posterior, la retina, por medio de la córnea y las lentes acomodativas, de forma muy parecida a los rayos de luz que la lente de una cámara enfoca en la película.

figura

a las células de la retina desencadena impulsos nerviosos que son llevados a nuestro cerebro. El cerebro procesa los impulsos nerviosos recibidos desde los dos ojos e interpreta la imagen de acuerdo con su experiencia. La mayor parte del tiempo esta interpretación es sencilla y vemos lo que obtenemos, pero a veces el cerebro puede producir impresiones engañosas. Aun cuando la imagen en la retina esté de cabeza, nuestro cerebro interpreta la escena como si estuviera al derecho. Resulta interesante que si una persona usa unos anteojos que voltean la imagen en la retina con el lado correcto hacia arriba, inicialmente ven las cosas como si estuvieran al revés. Después de un tiempo, el cerebro hace un ajuste y comienzan a ver las cosas de nuevo al derecho. Todo está bien hasta que se quitan los anteojos invertidos. ¡Parece que todo está hacia abajo otra vez hasta que el cerebro se reajusta! Entre la señal recibida por tus ojos y lo que en realidad percibes hay una gran cantidad de procesamiento.

¿Qué problemas corrigen los anteojos? El problema visual más común de las personas que leen mucho es la miopía. Los ojos de una persona miope desvían los rayos de luz que llegan desde un objeto distante de manera muy pronunciada, lo que hace que enfoquen en frente de la retina, como se ve en la figura 17.26a. Cuando los rayos llegan a la retina, de nuevo divergen y ya no forman un foco nítido. Las cosas parecen borrosas, aunque a veces no nos damos cuenta porque nos acostumbramos a esta visión poco clara. Una persona miope puede ver objetos cercanos perfectamente, porque

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a)

b)

17.26 Para una persona miope, los rayos de luz que viajan paralelos desde un objeto distante se enfocan en frente de la retina. Una lente negativa colocada en frente del ojo puede corregir el problema.

figura

los rayos de luz incidentes divergen de forma más marcada desde un objeto cercano que otro distante. Las lentes negativas de los anteojos corrigen la tendencia del ojo a converger demasiado los rayos de luz (figura 17.26b). Como una lente negativa diverge los rayos de luz, compensa

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364 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes la convergencia excesiva que producen las lentes en el ojo y forma en la retina imágenes definidas de los objetos distantes. Para una persona miope que no ha usado anteojos antes, la diferencia puede ser sorprendente. Una persona hipermétrope tiene el problema opuesto. El ojo no hace converger los rayos de luz lo suficiente, y las imágenes de los objetos cercanos se forman detrás de la retina. Las lentes positivas corrigen el problema. La cirugía láser refractiva (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 17.2) puede corregir tanto la miopía como la hipermetropía al reparar la forma de la córnea, con lo que se elimina la necesidad de los anteojos. A medida que envejecemos, las lentes acomodativas pierden su flexibilidad. Gradualmente perdemos la capacidad para cambiar la convergencia de nuestros ojos y no podemos centrarnos en los objetos cercanos, ya que los rayos de luz divergen más pronunciadamente desde los objetos cercanos que desde los lejanos. En este punto, necesitamos lentes bifocales, en los cuales la mitad superior de las lentes tiene una distancia focal y la mitad inferior otra. Miramos por la mitad inferior para ver de cerca y por la superior para ver de lejos.

¿Cómo funciona un microscopio? ¿Cómo se combinan las lentes para formar un microscopio? Un microscopio se compone de dos lentes positivas separadas como se muestra en la figura 17.27. En general se sostienen juntas por medio de un tubo conector, que no aparece en el diagrama. Si alguna vez has usado un microscopio, sabes que el objeto que estás viendo está colocado cerca de la primera lente, llamada lente objetivo. La lente objetivo forma una imagen real e invertida del objeto, siempre que éste se encuentre más allá del punto focal de esa lente. Si lo está, la imagen real tiene una distancia a la imagen grande y la imagen se amplifica. Esto puede comprobarse trazando rayos o usando la fórmula de distancia al objeto y a la imagen. Como los rayos de luz en realidad atraviesan una imagen real y divergen de nuevo a partir de ese punto, esta imagen real

Objeto

se vuelve el objeto para la segunda lente del microscopio, la cual se llama lente ocular, o simplemente ocular, y se emplea como lente de aumento para observar la imagen real formada por la lente objetivo. Esta imagen real se enfoca dentro del punto focal del ocular, el cual después produce la imagen virtual amplificada que vemos. La imagen virtual también se localiza más allá de nuestros ojos, de modo que puede enfocarse más fácilmente (figura 17.27). Las dos lentes de un microscopio cooperan para producir la amplificación deseada. La lente objetivo forma una imagen real aumentada que se amplifica de nuevo en el ocular. La amplificación general del microscopio se calcula multiplicando estas dos amplificaciones, las cuales ofrecen a veces ampliaciones de varios cientos de veces el tamaño del objeto real. Puesto que las potencias del ocular tienen un alcance limitado, la capacidad de amplificación de un microscopio está determinada principalmente por la potencia de la lente objetivo. Una lente objetivo de alta potencia tiene una distancia focal muy corta y el objeto debe colocarse muy cerca de ella. Los microscopios suelen tener dos o tres lentes objetivo distintas de diferentes potencias montadas en una torreta (figura 17.28). La invención del microscopio abrió todo un mundo nuevo para los biólogos y otros científicos. Los microorganismos demasiado pequeños para ser observados a simple vista con una lupa simple se volvieron visibles cuando se miraron en un microscopio. Se reveló que en el agua de un estanque aparentemente limpia en realidad bulle la vida. De pronto fue posible ver la estructura del ala de una mosca y varios tipos de tejido humano. El microscopio es un ejemplo extraordinario de cómo los inventos en un área de la ciencia han tenido un efecto espectacular en otras.

¿Cómo funciona un telescopio? La invención del microscopio abrió el mundo de lo muy pequeño. La del telescopio, ocurrida unos años antes, también fue muy importante porque abrió el mundo de los objetos distantes. La astronomía fue la principal beneficiada. Un telescopio

Imagen real Fo

Fo

Fe Fe

Imagen virtual

17.27 Un microscopio se compone de dos lentes positivas separadas por un tubo conector (que no se muestra). La imagen real formada por la primera lente se ve a través de la segunda. Las dos lentes producen una amplificación.

figura

GRIFFITH 17.indd 364

24/10/07 11:05:34

365

17.5 Anteojos, microscopios y telescopios

fenómenos cotidianos

cuadro 17.2

Cirugía láser refractiva Situación. Megan Evans ha sido miope desde que entró en la adolescencia. Ha usado lentes de contacto durante varios años después de usar primero anteojos. Ahora, a sus veinte, ha escuchado a sus amigos hablar de un nuevo procedimiento llamado cirugía láser refractiva que permite a las personas ver bien sin usar lentes correctivas. Está intrigada y quiere saber más acerca de ella. ¿Cómo el bombardeo del ojo con un rayo láser puede mejorar su visión? Sabe que los rayos láser pueden ser peligrosos en otras situaciones. ¿El procedimiento es seguro? ¿Cómo funciona? ¿Puede ayudarle en su situación? Análisis. En nuestra cultura, la miopía es el problema visual más común. Puede desarrollarse a partir de un esfuerzo visual en visión próxima, por ejemplo leer durante la infancia, aunque también existen factores hereditarios. Como se describe en la figura 17.26, el sistema de lentes del ojo miope es demasiado rígido, lo cual provoca que la luz que llega de objetos distantes se enfoque en frente de la retina en vez de hacerlo en ella. La mayor parte de la potencia óptica del ojo es producida por la superficie frontal de la córnea. La potencia óptica se mide en dioptrías, que es el recíproco de la distancia focal medida en metros (P = 1/f ) cuando la lente está rodeada de aire. Cuanto más corta sea la distancia focal, mayor será la potencia óptica debido a que una distancia focal corta implica que la lente desvíe mucho los rayos de luz. La potencia general del sistema de lentes del ojo es aproximadamente 60 dioptrías, pero la superficie frontal de la córnea produce de 40 a 50 dioptrías por sí misma. La potencia óptica de la córnea (o de cualquier lente) se determina a partir de dos elementos: cuán pronunciada es la curvatura de la superficie y la diferencia en el índice de refracción en cualquiera de los lados de la superficie. Para una persona miope, la superficie de la córnea tiene una curva demasiado pronunciada para la longitud del globo ocular. No es inusual que la córnea de una persona como Megan tenga una potencia óptica demasiado rígida de 4 a 5 dioptrías. Por tanto, requiere lentes correctivas de –4 a –5 dioptrías que le permitan ver claramente los objetos distantes. El propósito de la cirugía láser refractiva es corregir la forma de la córnea al vaporizar el tejido de distintas partes de la misma en diferentes cantidades. El procedimiento más común se llama LASIK, que es un acrónimo en inglés de queratomileusis in situ asistida por láser. En este procedimiento, el cirujano hace un corte circular en la capa externa de la córnea con un bisturí y lo jala hacia un lado, como se ve en el dibujo. Después usa un láser excimer de pulsos para vaporizar pequeñas cantidades de tejido córneo a fin de dar una forma nueva a la parte central de la córnea. Cuando termina, el corte de la capa externa se remplaza. El láser excimer utilizado tiene una longitud de onda de 192 nm, que está en la parte ultravioleta del espectro. Esta longitud de onda es totalmente absorbida por el tejido córneo, así que lo

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Rayo láser

Córnea

Corte Iris

En el procedimiento LASIK un corte circular de la capa externa de la córnea se aparta. Los pulsos controlados del láser corrigen la forma de la región central de la córnea.

vaporiza o hace una ablación en él sin calentar el tejido circundante. El láser opera por pulsos, e imprime en cada uno una cantidad determinada de energía. El cirujano, por consiguiente, puede controlar cuánto tejido se separa por el número de pulsos que llegan a cada sección de la córnea. Todo esto se controla por medio de un programa de computadora para lograr la forma buscada. El procedimiento LASIK se aplica a pacientes externos, y la córnea cicatriza en unos cuantos días. Cuando la operación tiene éxito, la córnea corregida en general permite que una persona se deshaga de sus anteojos o lentes de contacto. Sin embargo, a veces se requiere una corrección menor más debido a que la córnea no cicatriza con la potencia deseada. Las personas mayores que han perdido la capacidad acomodativa suelen necesitar anteojos para leer a menos que un ojo se haya operado para tener una potencia mayor que el otro. El procedimiento LASIK es más común para curar la miopía cuando el objetivo es alisar la forma de la córnea, aunque también se usa para hipermetropía o astigmatismo. En el caso del astigmatismo, la córnea no es esférica y esto también puede tratarse remodelando con el láser. ¿El procedimiento es seguro? Aún no se ha llegado a un acuerdo sobre los posibles efectos en el largo plazo, pero la mayoría de los pacientes sólo experimentan problemas menores, si los hay. Siempre se corre un pequeño riesgo de infección o de una mala cicatrización, como en cualquier procedimiento quirúrgico. A veces las personas experimentan problemas con la visión nocturna después de someterse al LASIK. Esto se debe a que sólo se corrige la parte central de la córnea, por lo que hay una frontera circular entre las porciones tratadas y sin tratar de ella. En la noche, cuando los niveles de luz son bajos, la pupila del ojo se abre más y un poco de luz puede pasar esta región fronteriza produciendo una imagen borrosa.

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366 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes astronómico simple, igual que un microscopio, puede construirse a partir de dos lentes positivas. ¿En qué se diferencia un telescopio de un microscopio en su diseño y función? Los objetos distantes, como las estrellas, son muy grandes pero están tan lejos que parecen diminutos. Una diferencia evidente entre los usos de un microscopio y un telescopio es que los objetos vistos con este último se hallan mucho más lejos de la lente objetivo. Como se muestra en la figura 17.29, la lente objetivo de un telescopio, igual que en un microscopio, forma una imagen real del objeto, el cual luego se ve a través del ocular. No obstante, a diferencia del microscopio, la imagen real formada por un telescopio está reducida en tamaño en vez de estar amplificada.

Si la imagen real formada por la lente objetivo es más pequeña que el objeto, ¿cuál es la ventaja de usar un telescopio? La respuesta es que esta imagen está mucho más cerca del ojo que el objeto original. Aun cuando esta imagen es más pequeña que el objeto mismo, forma una imagen más grande en la retina del ojo cuando se ve por el ocular. En la figura 17.30 se prsentan dos objetos de igual altura a diferentes distancias del ojo. Si suponemos que las imágenes de los dos objetos están enfocadas en la retina y trazamos sólo el rayo central sin desviar desde la parte superior de cada objeto, vemos que el objeto más cercano forma una imagen más grande en la retina. Cuando quieres ver los detalles finos de un objeto, acercas el objeto a tu ojo para aprovechar la imagen más grande formada en la retina. Como el tamaño de la imagen en la retina es proporcional al ángulo que el objeto forma en el ojo, decimos que hemos logrado una amplificación angular al acercar el objeto. Los seres humanos estamos limitados en cuanto a la distancia a la que podemos acercar un objetos debido a la potencia ocular del ojo. El ocular de un telecopio o microscopio resuelve este problema al formar una imagen virtual más alejada del ojo pero con el mismo ángulo que la imagen real original. El efecto de aumento de un telescopio es básicamente una amplificación angular. Como está más cerca del ojo, la imagen vista por el telescopio forma un ángulo mayor en el ojo que el objeto real. Este ángulo mayor produce una imagen más grande en la retina y nos permite ver más detalles del objeto, aun cuando la imagen real es mucho más pequeña que el objeto real. La amplificación angular general producida por un telescopio es igual a la razón de las distancias focales de las dos lentes, M = −

17.28 Un microscopio de laboratorio por lo común tiene tres o cuatro lentes objetivo montadas en una torreta giratoria. La luz atraviesa el objeto en el portaobjetos desde una fuente debajo de éste.

figura

fo fe

,

donde fo es la distancia focal de la lente objetivo, fe la distancia focal de la lente ocular y M la amplificación angular. A veces se incluye un signo menos en esta relación para indi-

Fo Fe

Fe

Fo

17.29 La lente objetivo de un telescopio forma una imagen real y reducida del objeto, la cual después se ve por el ocular. La imagen real está mucho más cerca del ojo que el objeto original. (El dibujo no es a escala.)

figura

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17.5 Anteojos, microscopios y telescopios

367

17.30 Dos objetos del mismo tamaño pero a diferentes distancias del ojo forman imágenes de distintos tamaños en la retina. Podemos ver con más detalle el objeto más cercano.

figura

espejo con una apertura grande para que entre la luz. Como es más fácil fabricar y apoyar físicamente espejos grandes que lentes grandes, los telescopios de la mayoría de los observatorios usan espejos cóncavos.

Binoculares y gemelos

17.31 Los anteojos y los binoculares prismáticos emplean diferentes medios para reinvertir la imagen con objeto de enderezarla.

figura

car que la imagen está invertida. A partir de esta relación, vemos que es recomendable tener una distancia focal grande para la lente objetivo de un telescopio a fin de producir una amplificación angular grande. Un microscopio, por otro lado, utiliza una lente objetivo con una distancia focal muy corta. Tal es la diferencia fundamental en el diseño de los telescopios y los microscopios. Los telescopios grandes usados en la astronomía tienen espejos cóncavos en vez de lentes para la lente objetivo. Los objetos que los astrónomos estudian con frecuencia son muy tenues y el telescopio debe reunir toda la luz posible proveniente de ellos. Para ello se requiere una lente objetivo o un

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La imagen formada por un telescopio astronómico está invertida, igual que la imagen formada por un microscopio. La imagen invertida no representa un gran problema para ver las estrellas o los planetas, pero puede resultar confusa para mirar objetos sobre tierra. La forma más conocida de telescopio terrestre es un par de binoculares prismáticos, que usan múltiples reflexiones para volver a invertir la imagen (figura 17.31). Los gemelos son una forma más simple de telescopio terrestre. Los dos tubos son rectos y la imagen se vuelve a invertir usando lentes negativas en vez de positivas para los oculares. El uso de lentes negativas tiene la ventaja adicional de que los tubos pueden ser más cortos debido a que las lentes deben colocarse en frente de donde se formaría la imagen real. La desventaja de los gemelos es su estrecho campo de visión y su amplificación débil. Sin embargo, caben en un monedero o bolsillo más fácilmente que los binoculares prismáticos. Los dos tubos en los binoculares y los gemelos nos permiten usar los dos ojos cuando vemos objetos distantes. Al usar los dos ojos se conserva parte de los aspectos tridimensionales que vemos. En la visión normal, tus dos ojos forman imágenes un poco distintas de lo que estás viendo, ya que cada ojo ve objetos desde un ángulo ligeramente distinto. Tu cerebro interpreta tal diferencia como si fuera producida por las características tridimensionales de la escena. Trata de cerrar un

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368 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes ojo cuando mires objetos cercanos y luego vuelve a abrirlo. ¿Notas la diferencia? Una persona con un solo ojo funcional ve un mundo más plano al principio, aunque el cerebro puede usar movimientos de la cabeza y otras pistas para considerar las distancias.

lentes correctivas. Las lentes negativas sirven para corregir la miopía y las lentes positivas para corregir la hipermetropía. Un microscopio utiliza una combinación de lentes positivas para producir una imagen virtual amplificada. La amplificación general es el producto de las amplificaciones producidas por cada lente. Un telescopio produce una amplificación angular de los objetos lejanos al acercar la imagen que vemos a nuestros ojos. Los binoculares y los gemelos son telescopios terrestres que vuelven a invertir la imagen y nos permite usar los dos ojos.

Nuestros ojos son parecidos a las cámaras fotográficas. Usan lentes positivas para enfocar una imagen invertida en la retina o película. Si el punto focal no está en la retina, necesitamos

resumen La propagación de la luz puede estudiarse con muchos propósitos usando rayos que se trazan perpendiculares a los frentes de onda. Las leyes de la reflexión y la refracción son los principios básicos que rigen a esos rayos. Con base en estas ideas podemos explicar cómo se forman las imágenes por medio de espejos y lentes y cómo estos elementos pueden combinarse para construir instrumentos ópticos.

exión y formación de imágenes. La ley de la re1flexiónRefl establece que el ángulo que los rayos reflejados forman con

y formación de imágenes. Las lentes pueden 3enfocarLentes los rayos de luz para formar imágenes virtuales o reales. Una lente convexa o positiva hace converger los rayos de luz y puede usarse como lente de aumento. Una lente cóncava o negativa hace divergir los rayos de luz y forma imágenes reducidas. Las posiciones de las imágenes pueden predecirse al trazar rayos o usar la fórmula de la distancia a la imagen y al objeto. ƒ

un eje trazado perpendicular a la superficie es igual al ángulo formado por el rayo incidente. La imagen formada por un espejo plano está a la misma distancia detrás del espejo a la que está el objeto del frente del espejo. Los rayos de luz parecen divergir desde esta imagen.

F F o

i 1 – o

θi θr

θr = θi

de la luz. Un rayo de luz que pasa hacia el 2vaso oRefracción al agua desde el aire se desvía hacia el eje en una cantidad que depende del índice de refracción n. Debido a esta desviación, la imagen de un objeto debajo del agua parece hallarse más cerca de la superficie de lo que realmente está. El índice de refracción depende de la longitud de onda de la luz, lo que provoca una dispersión o diferentes cantidades de desviación para los distintos colores.

θ1

=

1 – ƒ

4

Enfoque de la luz con espejos curvos. Un espejo con una superficie esférica curva puede enfocar la luz de tal manera que los rayos que llegan paralelos pasan o parecen provenir de un solo punto focal. Un espejo cóncavo puede formar imágenes reales o virtuales amplificadas según la posición del objeto. Un espejo convexo forma imágenes virtuales reducidas con un ángulo de visión amplio.

C

F

5

n1 n2

θ2

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+

1 – i

Anteojos, microscopios y telescopios. Las lentes se pueden usar para corregir problemas de visión y también pueden combinarse para construir instrumentos ópticos. Para la miopía se prescriben lentes negativas y para la hipermetropía lentes positivas. Un microscopio forma una imagen real amplificada del objeto con la lente objetivo. Por tanto, esta imagen real se amplifica de nuevo cuando se ve por la lente ocular. Un telescopio produce una amplificación angular al formar una imagen de un objeto lejano que está mucho más cerca del ojo que el objeto real.

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Preguntas

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conceptos clave ley de la refracción, 352 dispersión, 355 lente positiva, 356 punto focal, 356 distancia focal, 356 amplificación, 357

óptica geométrica, 348 óptica física, 348 frente de onda, 348 normal a la superficie, 349 ley de la reflexión, 349 índice de refracción, 351

lente negativa, 358 espejos cóncavos, 359 espejos convexos, 361 miopía, 363 microscopio, 364 telescopio, 364

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. ¿La velocidad o la rapidez de la luz cambian cuando un rayo de luz se refleja en un espejo? Explica por qué. P2. ¿La luz realmente pasa por la posición de la imagen formada por un espejo plano? Explica por qué. P3. ¿Cómo puede haber una imagen detrás de un espejo que cuelga sobre una pared cuando no llega luz a ese punto? Explícalo. *P4. Cuando ves tu imagen en un espejo plano, tu mano derecha parece ser la izquierda y viceversa. Explica por qué ocurre esta inversión.

perpendicular a la superficie) del vidrio o se aleja de ese eje? Explica por qué. P10. ¿La rapidez o la velocidad de la luz cambian cuando la luz pasa del aire a un bloque de vidrio? Explica por qué. P11. Cuando vemos un objeto debajo del agua, ¿la imagen que miramos es real o virtual? Explica por qué. P12. Un pez que nada en una laguna mira un objeto que está a 60 cm sobre la superficie del agua. Para el pez, ¿el objeto parece estar más cerca o más lejos de la superficie que su distancia real? Explica por qué.

P5. Siquieres ver tu altura completa en un espejo plano, ¿éste debe ser de tu tamaño? Explícalo usando un diagrama de rayos.

P13. Un rayo de luz que viaja en el vidrio para el cual el ángulo crítico es 42° incide en una superficie entre el vidrio y el aire en un ángulo de 45° respecto a la normal a la superficie. ¿El rayo se refracta hacia el aire en esta superficie? Explica por qué.

P6. ¿Un espejo plano puede enfocar los rayos de luz en un punto como lo hace una lente positiva? Explica por qué.

P14. ¿Todas las ondas de luz de diferentes colores viajan a la misma rapidez en el vidrio? Explica por qué.

P7. Los objetos A, B y C están en la habitación de al lado ocultos de la vista directa de la persona que aparece en el diagrama. Un espejo plano se coloca en la pared del pasillo entre las dos habitaciones, como se muestra. ¿Cuáles de los objetos podrá ver la persona en el espejo? Explícalo mediante un diagrama de rayos.

P15. ¿La separación de los colores en un arco iris se debe a la reflexión o la refracción? Explica por qué.

Espejo

C

P16. ¿Podemos ver un arco iris mirando al este si está lloviendo temprano por la mañana? Explica por qué. P17. Un objeto se localiza a una distancia del doble de la distancia focal desde una lente positiva. Traza tres rayos desde la parte superior del objeto para ubicar la imagen. ¿La imagen es real o virtual, está al derecho o invertida? P18. ¿Es posible formar una imagen virtual con una lente positiva (convergente)? Explica por qué.

Persona

A

B

Pared

*P8. Cuando dos espejos planos se unen formando un ángulo recto entre sí, se pueden ver tres imágenes de un objeto. La imagen del objeto formada por cada espejo puede servir como objeto para el otro espejo. ¿Dónde se localiza la tercera imagen? Explica mediante un diagrama de rayos. P9. Un rayo de luz que viaja en el agua (n = 1.33) pasa del agua hacia una pieza rectangular de vidrio (n = 1.5). ¿El rayo de luz se desvía hacia la normal a la superficie (el eje trazado

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P19. Un objeto se ubica a la izquierda del punto focal de una lente negativa. Traza tres rayos desde la parte superior del objeto para ubicar la imagen. ¿La imagen es real o virtual, está al derecho o invertida? *P20. ¿Existe alguna posición en frente de una lente negativa (divergente) donde podría estar ubicado un objeto que resulte en la formación de una imagen real? Explica cuál. P21. Imagina que unos rayos de luz se aproximan a una lente negativa de tal manera que convergen hacia el punto focal en el extremo alejado de la lente. ¿Estos rayos divergirán cuando salgan de la lente? Explica por qué.

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370 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes P22. ¿Los rayos que viajan paralelos al eje de un espejo cóncavo pasan por el centro de curvatura del espejo después de reflejarse? Explica por qué. P23. Un objeto se localiza en el centro de curvatura de un espejo cóncavo. Traza dos rayos desde la parte superior del objeto para ubicar la imagen formada por el espejo. ¿La imagen es real o virtual, está al derecho o invertida? Explica por qué. P24. Un objeto se localiza dentro del punto focal de un espejo cóncavo. ¿La imagen del objeto estará más cerca o más lejos del observador que el objeto mismo? Explica por qué. P25. ¿Existe una distancia en la que se pueda localizar un objeto en frente de un espejo convexo que producirá una imagen real? Explica por qué. P26. ¿Por qué usarías un espejo convexo en vez de uno cóncavo o de uno plano para ver las actividades en el pasillo de una tienda? Explica por qué. *P27. Cuando se usa un espejo convexo como espejo lateral en un automóvil, ¿dónde se localiza la imagen? ¿Por qué hay una leyenda en el espejo que advierte que los vehículos pueden estar más cerca de lo que parecen cuando se ven por el espejo? Explícalo.

P28. ¿Una persona miope tiene problemas para ver objetos cercanos? Explica por qué. P29. ¿Qué usarías, una lente positiva o una negativa, para corregir la visión de una persona con miopía? Explica por qué. P30. ¿Cada una de las dos lentes utilizadas en un microscopio produce una amplificación del objeto que se está viendo? Explica por qué. P31. ¿Cada una de las dos lentes utilizadas en un telescopio produce una amplificación del objeto que se está viendo? Explica por qué. P32. ¿Es posible producir una amplificación angular de un objeto simplemente al acercarlo a tus ojos? Explica por qué. P33. ¿Es probable que la lente objetivo de un microscopio tenga una distancia focal mayor que aquella de la lente objetivo de un telescopio? Explica por qué. P34. ¿Cuáles son las ventajas de usar binoculares en vez de un telescopio astronómico para ver objetos distantes en tierra? Explica por qué.

ejercicios E1. Un hombre con una altura de 1.8 m está parado a 3.0 m frente a un espejo plano viendo su imagen. ¿Qué altura tiene la imagen y a qué distancia del hombre se ubica?

E7. Una lente positiva forma una imagen real de un objeto colocado 8 cm a la izquierda de ella. La imagen real se encuentra a 16 cm a la derecha de la lente. ¿Cuál es la distancia focal de la lente?

E2. Un pez está a 80 cm debajo de la superficie de un estanque transparente. Si se supone que el índice de refracción del agua es 1.33 y que el del aire es aproximadamente 1, ¿a qué distancia debajo de la superficie parece estar el pez para una persona que lo mira desde arriba?

E8. Una lente negativa tiene una distancia focal de –10 cm. Un objeto se localiza a 20 cm de ella. a) ¿A qué distancia de la lente está la imagen? b) ¿La imagen es real o virtual, está al derecho o invertida?

E3. Una piedra parece estar a sólo 24 cm debajo de la superficie de un arroyo en calma cuando se ve por encima de la superficie del arroyo. Usando los índices de refracción dados en el ejercicio 2, ¿cuál es la distancia real de la piedra bajo la superficie?

E9. Una lupa con una distancia focal de +4 cm se coloca a 2 cm encima de una página impresa. a) ¿A qué distancia de la lente está la imagen de la página? b) ¿Cuál es la amplificación de esta imagen?

E4. Un insecto está incrustado en un bloque de vidrio (n = 1.5) de manera que se ubica a 2.4 cm debajo de una superficie plana del bloque. ¿A qué distancia parece estar este insecto para una persona que observa el bloque?

E10. Un espejo cóncavo tiene una distancia focal de 12 cm. Un objeto se ubica a 6 cm de la superficie del espejo. a) ¿A qué distancia del espejo está la imagen de este objeto? b) ¿La imagen es real o virtual, está al derecho o invertida?

E5. Una lente positiva tiene una distancia focal de 6 cm. Un objeto se localiza a 24 cm de la lente. a) ¿A qué distancia de la lente está la imagen? b) ¿La imagen es real o virtual, está al derecho o invertida? c) Traza tres rayos desde la parte superior del objeto para confirmar tus resultados. E6. Una lente positiva tiene una distancia focal de 12 cm. Un objeto se localiza a 3 cm de la lente. a) ¿A qué distancia de la lente está la imagen? b) ¿La imagen es real o virtual, está al derecho o invertida? c) Traza tres rayos desde la parte superior del objeto para confirmar tus resultados.

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E11. Un espejo cóncavo tiene una distancia focal de 10 cm. Un objeto se localiza a 30 cm de la superficie del espejo. a) ¿A qué distancia del espejo está la imagen de este objeto? b) ¿La imagen es real o virtual, está al derecho o invertida? c) Traza tres rayos desde la parte superior del objeto para comprobar tus resultados numéricos. E12. Un espejo convexo tiene una distancia focal de –10 cm. Un objeto se localiza a 10 cm de la superficie del espejo. a) ¿A qué distancia del espejo está la imagen de este objeto?

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Problemas de síntesis b) ¿La imagen es real o virtual, está al derecho o invertida? c) Traza tres rayos desde la parte superior del objeto para comprobar tus resultados numéricos. E13. Un espejo convexo utilizado en el pasillo de una tienda tiene una distancia focal de –60 cm. Una persona en el pasillo está a 3.0 m del espejo. a) ¿A qué distancia del espejo está la imagen de este objeto? b) Si la persona mide 1.8 m de altura, ¿qué altura tiene la imagen que se ve en el espejo? E14. La lente objetivo de un microscopio tiene una distancia focal de 0.4 cm. Un objeto en el microscopio se coloca a una distancia de 0.5 cm de la lente. a) ¿A qué distancia de la lente está la imagen formada por la lente objetivo? b) ¿Cuál es la amplificación de esta imagen?

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E15. La lente objetivo de un telescopio tiene una distancia focal de 1.0 m. Un objeto se localiza a una distancia de 10 m de la lente. a) ¿A qué distancia de la lente objetivo está la imagen formada por esta lente? b) ¿Cuál es amplificación de esta imagen? E16. Un telescopio tiene una lente objetivo con una distancia focal de +40 cm y una lente ocular con una distancia focal de +2.5 cm. ¿Qué amplificación angular produce este telescopio? E17. Un telescopio que produce una amplificación angular general de 20× utiliza una lente ocular con una distancia focal de 2.5 cm. ¿Cuál es la distancia focal de la lente objetivo?

problemas de síntesis PS1. Un pez se ve a través de una pared de vidrio de una pecera. El índice de refracción del vidrio es 1.5 y el del agua de la pecera es 1.33. El pez está a una distancia de 6 cm detrás del vidrio. Los rayos de luz que llegan desde el pez se desvían cuando pasan del agua al vidrio y luego se desvían otra vez cuando pasan del vidrio al aire (n = 1). El vidrio tiene un grosor de 0.4 cm. a) Considerando sólo el primer punto de contacto entre el agua y el vidrio, ¿a qué distancia detrás del vidrio está la imagen del pez? (Ésta es una imagen intermedia formada por la desviación de la luz exactamente en la primera superficie.) b) Usando esta imagen como el objeto para el segundo punto de contacto entre el vidrio y el aire, ¿a qué distancia detrás de la superficie del vidrio está ese “objeto”? c) Considerando la desviación de la luz en este segundo punto de contacto entre el vidrio y el aire, ¿a qué distancia detrás de la superificie frontal del vidrio parece estar el pez? PS2. Un objeto se localiza en el punto focal de una lente positiva con una distancia focal de 12 cm. a) ¿Cuál es la distancia a la imagen prevista por la fórmula de distancia al objeto y a la imagen? b) Traza dos rayos para combrobar la conclusión del inciso a. c) ¿La imagen estará enfocada en esta situación? Explica por qué. PS3. Un objeto con una altura de 2.5 cm está a 10 cm frente a una lente con una distancia focal de 6 cm. a) Con la fórmula de distancia al objeto y a la imagen, calcula la distancia a la imagen de este objeto. b) ¿Cuál es la amplificación de esta imagen? c) Traza tres rayos para comprobar tus conclusiones de los incisos a y b. d) Si esta imagen sirve como el objeto para una segunda lente que tiene una distancia focal de +4 cm. La segunda

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lente se coloca 6 cm más allá de la imagen que le sirve como objeto. ¿Dónde se ubica la imagen formada por esta segunda lente y cuál es su amplificación? e) ¿Cuál es la amplificación general producida por este sistema de dos lentes? PS4. Un objeto de 2 cm de altura se localiza a 30 cm de un espejo cóncavo con una distancia focal de 15 cm. Como la distancia focal es la mitad del radio de la curvatura, el objeto está en el centro de la curvatura del espejo. a) Con la fórmula de distancia al objeto y a la imagen, determina la ubicación de ésta. b) Calcula la amplificación de esta imagen. c) ¿La imagen es real o virtual, está al derecho o invertida? d) Traza dos rayos desde la parte superior del objeto para confirmar tus resultados. PS5. Si un microscopio tiene una lente objetivo con una distancia focal de 0.8 cm y una lente ocular con una distancia focal de 2.5 cm. El objeto está a 1.0 cm frente a la lente objetivo. a) Calcula la posición de la imagen formada por la lente objetivo. b) ¿Cuál es la amplificación de esta imagen? c) Si la lente ocular se localiza 2 cm más allá de la posición de la imagen formada por la lente objetivo, ¿dónde está la imagen formada por la lente ocular? (La imagen formada por el objetivo sirve como objeto para el ocular.) d) ¿Cuál es la amplificación de esta imagen? e) ¿Cuál es la amplificación general producida por este sistema de dos lentes? (Ésta se obtiene al multiplicar las amplificaciones producidas por cada lente.*)

* No se trata de la manera usual de calcular la capacidad de amplificación de un microscopio. El método estándar compara el tamaño del ángulo subtendido en el ojo con y sin el uso del microscopio (llamado amplificación angular).

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372 Capítulo 17 Luz y formación de imágenes

experimentos y observaciones para la casa EC1. Llena de agua y casi por completo un vaso transparente e inserta varios objetos en él. a) ¿Los objetos parecen ser más pequeños que su longitud real cuando se ven desde arriba? b) ¿Los objetos parecen ser más pequeños que su longitud real cuando se ven desde los lados del vaso? ¿Qué distorsiones notas cuando ves a los objetos desde los lados? EC2. Localiza dos espejos planos pequeños como los que se llevan en una cartera. Colócalos uno al lado del otro de manera que hagan contacto a lo largo de un borde y formen un ángulo de 90° entre ellos. Coloca un objeto pequeño como un clip en frente de los dos espejos. a) ¿Cuántas imágenes ves en los dos espejos cuando el ángulo entre éstos es recto (de 90°)? b) Cuando reduces el ángulo entre los dos espejos, describe lo que ocurre con el número de imágenes que puedes ver. c) Considerando la idea de que cada una de las imágenes formadas puede servir como objeto para el otro espejo, ¿puedes explicar tus observaciones? (Los diagramas de rayos pueden ser útiles.) EC3. Si tienes un espejo de aumento (cóncavo) disponible, como un espejo para rasurarse o para maquillarse, trata de alejarlo de tu cara lentamente. a) Describe los cambios en la imagen de tu cara cuando alejas el espejo de ella. b) La imagen debe volverse borrosa y poco clara cuando tu cara está en el punto focal del espejo. ¿Puedes estimar la

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distancia focal del espejo al calcular la distancia desde tu cara donde desaparece la imagen? EC4. El espejo lateral del lado del pasajero en la mayoría de los automóviles es convexo. (La advertencia de que los objetos pueden estar más cerca de lo que parecen indica que lo es.) a) Ve algunos objetos de altura conocida en el espejo. Una amiga o amigo puede ayudarte. Estima la altura de la imagen vista en el espejo. ¿Cuál es la amplificación aproximada producida por el espejo? b) Usando tu percepción binocular de profundidad, estima la distancia detrás del espejo a la que se ubica la imagen. (Primero debes convencer a tu cerebro de que la imagen está detrás del espejo.) Estima también la distancia del objeto al espejo. Usando estos valores, calcula la distancia focal del espejo. (Debe ser negativa.) EC5. Si tienes acceso a un retroproyector, examínalo detenidamente de manera que puedas describir el sistema óptico que interviene. a) ¿Qué elementos ópticos (lentes o espejos) están presentes? b) ¿Cuál es la función de cada uno de estos elementos? (Sostener una tarjeta blanca o un papel grueso en varios lugares entre los elementos cuando el proyector esté en uso puede ayudarte a analizar su función.) c) ¿Puedes producir un diagrama de rayos que muestre cómo convergen o divergen los rayos que provienen del objeto (la transparencia que se está viendo) en su camino a la pantalla?

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unidad

Cinco

El átomo y su núcleo

L

a idea de que la materia está formada por partículas diminutas llamadas átomos tiene una historia larga que se remonta por lo menos a los antiguos griegos, cientos de años antes del nacimiento de Cristo. Prácticamente no se supo nada acerca de la estructura del átomossino hasta la primera parte del siglo XX. Poco antes de concluir ese siglo los físicos discutieron si los átomos existían o simplemente formaban parte de una ficción práctica utilizada principalmente por los químicos. En ese entonces las pruebas de la existencia de los átomos no eran abrumadoras. De alrededor de 1895 a 1930, una serie de descubrimientos y desarrollos teóricos revolucionaron nuestro punto de vista acerca de la naturaleza del átomo. Pasamos de saber casi nada de la estructura atómica (e incluso cuestionar su existencia) a una teoría de su estructura firmemente fundamentada y capaz de explicar una enorme variedad de fenómenos físicos y químicos. Esta revolución es a todas luces uno de los logros más asombrosos del intelecto humano y comporta una enorme variedad de implicaciones en los ámbitos de la economía y la tecnología. Su historia merece ser conocida por un gran sector de nuestra población, no sólo por una pequeña parte. El descubrimiento del electrón en 1897, seguido del de núcleo del átomo en 1911, resultaron avances cardinales que sentaron las bases de los modelos atómicos.

El modelo atómico de Niels Bohr unió algunas de estas piezas y estimuló la investigación que desembocó en una teoría más completa y fructífera que ahora llamamos mecánica cuántica. La mecánica cuántica sirve de base para la mayor parte del trabajo en la física y la química teóricas; sus intrincadas predicciones acerca de la naturaleza del átomo han posibilitado numerosos avances en la ciencia y la tecnología. También se ha descubierto que el núcleo del átomo, ese centro diminuto que contiene toda la carga positiva y la mayoría de la masa atómica, tiene una estructura subyacente. Los avances en la física nuclear, tema del capítulo 19, condujeron a la invención de los reactores y las armas nucleares, las cuales llevaron la física a la escena de la política mundial. La historia del desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial es una mezcla fascinante de ingenuidad y conflicto humanos. La ciencia y la política internacional cambiaron irrevocablemente en el proceso. El siglo xx ha atestiguado una revolución en nuestros conocimientos acerca del átomo y en el papel de la ciencia en la vida moderna. Esa revolución tiene sus pros y sus contras, pero no puede ignorarse: abarca la química, la biología molecular y la física. En los capítulos 18 y 19 se estudia cómo comenzó esta revolución… a dónde nos llevará aún está por verse.

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La estructura del átomo

esquema del capítulo

1

capítulo

18

descripción del capítulo Nuestros principales objetivos en este capítulo consisten en investigar parte de las pruebas de la existencia de los átomos y en describir varios descubrimientos que permitieron entender su estructura. Comenzaremos con los datos químicos y proseguiremos con los descubrimientos del electrón, los rayos X, la radiactividad natural, el núcleo del átomo y el espectro atómico. Después analizaremos el modelo atómico de Bohr y su relación con el punto de vista moderno expresado en la teoría de la mecánica cuántica.

2 3 4

unidad cinco

5

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Pruebas químicas. ¿Qué información brinda el estudio de las reacciones químicas respecto a la existencia y la naturaleza de los átomos? ¿Cómo se desarrolló la tabla periódica de los elementos? Rayos catódicos, electrones y rayos X. ¿Qué son y cómo se producen los rayos catódicos? ¿Cómo condujo el estudio de los rayos catódicos al descubrimiento del electrón y los rayos X? Radiactividad y el descubrimiento del núcleo. ¿Qué es y cómo se descubrió la radiactividad natural? ¿Qué papel tuvo la radiactividad natural en el descubrimiento del núcleo del átomo? Espectro atómico y el modelo atómico de Bohr. ¿Qué son los espectros atómicos? ¿Qué importancia tuvieron en la comprensión de la estructura atómica? ¿Cuáles son las características básicas del modelo atómico de Bohr? Ondas de partículas y mecánica cuántica. ¿Cuáles fueron las limitaciones del modelo atómico de Bohr y cómo la teoría de la mecánica cuántica resuelve tales deficiencias? ¿Qué queremos decir con que las partículas tienen propiedades ondulatorias?

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18.1 Pruebas químicas

¿H

as visto un átomo? Sin duda has escuchado a la gente hablar sobre los átomos y acaso has visto imágenes de los modelos atómicos como la que aparece en la figura 18.1, pero ¿sabes por qué pensamos que los átomos existen? Quizá la pregunta que debe plantearse es ¿crees en los átomos? De ser así, ¿por qué? La mayoría de nosotros hemos aceptado la existencia de los átomos con base en las afirmaciones que leímos en los libros de la escuela o escuchamos de nuestros maestros de la secundaria. Tal vez te hayas escandalizado al enterarte de que muchos de estos maestros nunca se cuestionaron seriamente por qué creían en los átomos o dónde se originaron las pruebas de la existencia de los átomos. ¿Por qué, entonces, debemos creer en los átomos o en las descripciones de su estructura? Aunque no podemos ver los átomos directamente y tal vez no podamos reconocerlos como parte de nuestra experiencia cotidiana, los fenómenos atómicos son evidentes en nuestro mundo diario. La operación de un televisor, los cambios químicos que ocurren en nuestro cuerpo, el uso del diagnóstico de los rayos X y muchos otros fenómenos comunes pueden comprenderse a partir de nuestro conocimiento moderno del comportamiento atómico. Lo más importante es que consideraremos la pregunta de por qué creemos en la existencia de los átomos y

figura 18.1

Un átomo estilizado. ¿Un átomo realmente se

parece a esto?

en nuestros modelos de estructura atómica. ¿Cómo se desarrollaron estas ideas? Si comprendemos cómo se originó nuestro conocimiento acerca del átomo quizá los átomos nos parezcan más reales.

18.1 Pruebas químicas ¿Por qué debemos creer en la existencia de cosas que nunca hemos visto en persona? ¿Por qué muchos científicos del siglo xix hablaban con confianza de la existencia de propiedades de los átomos de diferentes sustancias aunque no sabían nada acerca de su estructura real? ¿Qué cosas en nuestra experiencia cotidiana pueden llevarnos a creer en los átomos? Gran parte de la ciencia moderna supone la existencia de cosas que no podemos ver directamente. Inferimos su existencia a partir de observaciones que, en conjunto, proporcionan pruebas convincentes de su comportamiento y características. En el caso de los átomos, la mayoría de las primeras pruebas provinieron del estudio de la química. Los procesos químicos son muy comunes en nuestra vida diaria, aunque no reparemos mucho en ello. Si el concepto de átomo no existiera, tal vez tendríamos que inventarlo sólo para explicar estos fenómenos.

¿Qué revelan sobre los átomos los primeros estudios en la química? La química es el estudio de las diferencias en las sustancias y cómo pueden combinarse éstas para formar otras diferentes. En la civilización griega antigua, los filósofos trataron de identificar las sustancias elementales que forman todas las cosas. El fuego, la tierra, el agua y el aire fueron las primeras opcio-

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figura 18.2

Una pastilla de colorante vegetal se deja caer en un vaso de agua. ¿Cómo podríamos explicar lo que ocurre?

nes, las cuales, desde luego, requerían cierto refinamiento. La tierra, en particular, era capaz de cobrar múltiples formas. Una de las demostraciones más sorprendentes en la química básica consiste en tomar una pastillita de colorante artificial o vegetal y dejarla caer en un vaso de agua (figura 18.2). El color se esparce muy rápido, hasta que el agua originalmente transparente se torna de color uniforme. Al parecer, ha ocurrido un cambio, pero ¿cómo podríamos explicarlo?

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Capítulo 18

La estructura del átomo

Aun sin conocimientos del lenguaje de la química, podríamos pensar que las partículas diminutas del colorante artificial migran en el agua y se mueven entre las partículas de ésta por espacios no evidentes. Explicaciones parecidas podrían darse para la desaparición del azúcar o la sal cuando las vertemos en agua u otros líquidos. También sabemos que casi cualquier sustancia sólida puede triturarse hasta formar un polvo fino. Al someter ese polvo al calor (o fuego), a menudo podemos formar un sólido de nuevo, aunque tal vez modificado en comparación con la sustancia original. Si el polvo se combina con otra sustancia pulverizada y calentada, el producto resultante puede ser muy diferente de cualquiera de las dos sustancias originales. La cocción de alimentos en el horno es un ejemplo conocido de ese proceso, pero los experimentos sobre el refinamiento y la modificación de metales pueden ser los ejemplos más importantes en la química de antaño. Los alquimistas se sentían atraídos por la posibilidad difícil de obtener oro a partir de los metales comunes. ¿Es posible reducir algo a un polvo de partículas aún más pequeñas? Los primeros científicos estuvieron tentados a creer que no era así. Como en sus experimentos ciertas sustancias elementales siempre parecían recuperables, supusieron que las partículas irreducibles de tales sustancias conservaban su forma. La noción de que cada una de las sustancias elementales o elementos se componía de partículas diminutas o átomos fue un modelo atractivo para explicar los fenómenos químicos. Esos átomos podían combinarse después con átomos de otros elementos para formar diferentes sustancias, pero siempre podían recuperarse a partir de éstas si se las calentaba lo suficiente o por medio de otros procesos. El estudio sistemático de cómo se combinaban los elementos entre sí reveló regularidades y reglas que sentaron las bases de los primeros conocimientos sobre química. Evidentemente, ciertos elementos eran más parecidos en sus propiedades y reacciones que otros. Por tanto, los elementos podían agruparse o clasificarse, lo cual indicó más tarde que los átomos de esos elementos debían tener estructuras semejantes. Los detalles de esa estructura, e incluso el tamaño de los átomos, eran completamente desconocidos y, al parecer, inaccesibles.

¿La masa se conserva en las reacciones químicas? El origen de la química moderna se remonta al trabajo del científico francés Antoine Lavoisier (1743-1794). Lavoisier descubrió que la masa total de los reactantes y productos químicos se conserva en las reacciones químicas. Este descubrimiento determinó la importancia de pesar a los reactantes y productos, lo cual se volvió un procedimiento rutinario en el grueso de los experimentos químicos. Si bien la idea de que la masa se conserva en los cambios químicos puede parecer obvia ahora, no era nada clara en la época de Lavoisier. La razón era simple: la mayoría de los experimentos químicos se realizaban al aire libre, por lo que el oxígeno y otros gases del aire intervenían en las reacciones.

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figura 18.3

La quema de madera es una reacción química. ¿Qué sustancias reaccionan? ¿Qué se produce?

Como las cantidades de estos gases que reaccionaban no se reconocían ni medían, las masas de las sustancias sólidas o líquidas no parecían conservarse en las reacciones. El aire mismo no es una sustancia simple, un hecho que apenas empezaba a comprenderse en aquel entonces. Una de las reacciones químicas más comunes es la quema o combustión de compuestos de carbono tales como la madera o el carbón (figura 18.3). Esta reacción combina el oxígeno del aire con el carbono de la madera o el carbón para formar bióxido de carbono (un gas) y vapor de agua (otro gas). Si no estuviéramos conscientes del papel de los gases, podríamos caer fácilmente en el engaño de creer que hemos perdido un poco de masa durante la combustión. Lavoisier realizó una serie de experimentos en los que controló y pesó meticulosamente las cantidades de gas que participaban ya sea como reactantes o como productos. El resultado de esos experimentos mostró claramente que la masa total de los productos era igual a la masa total inicial de los reactantes: no se perdió ni se ganó masa. En el proceso, pudo distinguir el oxígeno (o “aire muy respirable”) del bióxido de carbono y el vapor de agua, y brindó la primera descripción exacta de las reacciones de la combustión. Los resultados de este trabajo se publicaron en 1789 como Tratado elemental de química (Traite Elémentaire de Chimie).

¿Cómo surgió el concepto de peso atómico? Aun cuando la brillante carrera de Lavoisier se interrumpió de manera trágica (literalmente) cuando perdió la cabeza en la guillotina durante la Revolución francesa, sus descubrimientos pronto fueron retomados bajo la visión de otro químico importante, el inglés John Dalton (1766-1844). Dalton trató de dar sentido a las regularidades observadas en las proporciones de los pesos de los reactantes y productos químicos.

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18.1 Pruebas químicas

Las ideas de Dalton se basan en gran medida en el trabajo experimental de otros químicos, quienes se dedicaban a la nueva práctica establecida por Lavoisier de pesar meticulosamente todos los reactantes y productos. Dalton estaba intrigado porque cuando ocurría una reacción química, los reactantes siempre parecían combinarse en las mismas proporciones de masa. Por ejemplo, cuando el carbono se combinaba con oxígeno para formar el gas llamado ahora bióxido de carbono, la proporción de la masa de oxígeno a la del carbono que reaccionaba siempre era la misma: 8 a 3. En otras palabras, si se tenían 3 gramos de carbono, se requerían 8 gramos de oxígeno para completar la reacción, ni más ni menos. Si había más de 8 gramos de oxígeno presentes, sobraría una parte; si había menos de 8 gramos, sobraba parte del carbono. Esta idea de las proporciones de masa específicas era válida para otras reacciones, aunque con diferentes proporciones en cada caso. Cuando el hidrógeno se combina con oxígeno para formar agua, la proporción de las masas es 8 a 1. Es decir, se requieren 8 gramos de oxígeno para reaccionar con 1 gramo de hidrógeno. Cada reacción requería una proporción específica para llevarse a cabo por completo. Esta observación se conoce como ley de Dalton de las proporciones definidas. Dalton reconoció que estas observaciones podían explicarse mediante un modelo que usaba átomos. Pensó que cada elemento estaba formado por átomos diminutos, todos idénticos en masa y forma, pero que los distintos elementos tenían masas atómicas diferentes. Un compuesto químico podría ser entonces la combinación de algunos átomos de un elemento con algunos átomos de otro para formar moléculas, es decir, varios átomos de diferentes elementos unidos de cierta forma. La masa característica de los átomos era la causante de las proporciones regulares de masa observadas en las reacciones. Esta idea se ilustra en la figura 18.4. Imagina (como sabemos) que el compuesto químico del agua está formado por dos átomos de hidrógeno que se combinan con uno de oxígeno para formar una molécula de agua (H2O en la notación moderna). Si la masa de un átomo de oxígeno es 16 veces la de un átomo de hidrógeno, esto representaría la proporción observada del oxígeno respecto al hidrógeno de 8 a 1 (16 a 2), ya que cada molécula de agua tiene dos átomos de hidrógeno por cada átomo de oxígeno. Cuando diferentes átomos o moléculas interactúan para formar moléculas nuevas, llamamos a esto reacción química. La reacción en la que el oxígeno se combina con hidrógeno para formar agua se estudia en el cuadro de fenómenos cotidianos 18.1. En una reacción química, los átomos de los elementos se combinan de diferentes formas, pero no cambian su naturaleza fundamental. Sin embargo, los compuestos químicos que resultan pueden parecer muy diferentes de los reactantes originales. La proporción de 8 a 3 para el bióxido de carbono también puede explicarse si la masa del átomo de carbono es 12 veces la del hidrógeno, y dos átomos de oxígeno (cada uno con 16 veces la masa del hidrógeno) se combinan con uno de carbono para formar una molécula de bióxido de carbono (CO2).

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O 16 H 1

H 1

16 __ = 8 _ 2 1

figura 18.4

Dos átomos de carbono se combinan con uno de oxígeno para formar agua (H2O). La proporción de masa es 8 a 1 debido a que la masa atómica del oxígeno es 16 veces la del hidrógeno.

La proporción de masa sería entonces 32 partes de oxígeno (2 × 16) a 12 partes de carbono, u 8 a 3 (dividiendo cada número entre 4). Una reacción por sí misma no es suficiente para establecer las masas atómicas relativas, pero el estudio de varias reacciones proporciona un cuadro sistemático, que Dalton presentó en su tratado Nuevo sistema de filosofía química, publicado en 1808. La hipótesis atómica de Dalton no estableció la masa real de los átomos individuales; aún no sabía cuán grande era un átomo. La hipótesis de Dalton es una manera de determinar las masas de los átomos de un elemento respecto a los átomos de otro, tarea que mantuvo ocupados a los químicos durante el resto del siglo xix. Como cualquier buena teoría, el modelo de Dalton fue una guía provechosa para la investigación química posterior. También presentó el concepto del átomo desde un punto de vista nuevo y más detallado: algunos átomos eran más pesados que otros, y la masa atómica era una propiedad de un elemento. En la tabla 18.1 se compara las masas de los átomos de varios elementos comunes. Tradicionalmente se le conoce como

tabla 18.1 Comparación de masas atómicas de algunos elementos comunes Elemento

Símbolo químico

Masa atómica

hidrógeno

H

1.01

helio

He

4.00

carbono

C

12.01

nitrógeno

N

14.01

oxígeno

O

16.00

sodio

Na

22.99

cloro

Cl

35.45

hierro

Fe

55.85

plomo

Pb

207.2

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Capítulo 18

La estructura del átomo

fenómenos cotidianos

cuadro 18.1

Celdas de combustible y economía del hidrógeno

tricidad hasta que la celda se agote. Hay varios tipos de celdas de combustible, pero la de membrana de intercambio de protones (PEM) es el más prometedor para usar en los automóviles y camiones ligeros. La celda de combustible PEM está formada por varios componentes: el ánodo, el cátodo, la membrana de intercambio de protones y el catalizador (véase el diagrama). El ánodo y el cátodo es donde ocurren las reacciones químicas. La membrana de intercambio de protones es un material delgado, tratado especialmente, que sólo permite el paso de los protones y bloquea el de los electrones. La celda PEM está insertada entre el ánodo y el cátodo. Un catalizador es una sustancia que acelera una reacción química sin consumirse durante ella. Para la celda de combustible PEM, el catalizador es una capa delgada de polvo de platino sobre papel carbón. El polvo proporciona un área de superficie grande sobre la cual el hidrógeno y el oxígeno pueden reaccionar. Tanto el ánodo como el cátodo se cubren con el catalizador. ¿Cómo funciona la celda de combustible? El ánodo se alimenta con gas hidrógeno. Un átomo de hidrógeno contiene un protón con carga positiva y otro con carga negativa. El gas hidrógeno se compone de moléculas de hidrógeno, las cuales se denotan mediante H2, ya que están formadas por dos átomos de hidrógeno individuales unidos entre sí. Cuando una molécula de H2 entra en contacto con el catalizador de platino en el ánodo, reacciona químicamente y se separa en dos protones y dos electrones. Tanto los protones como los electrones son atraídos al oxígeno en el cátodo. No obstante, la PEM permite que sólo los protones atraviesen el cátodo y bloquea los electrones. Para que los electrones lleguen

Situación. La mayor parte de la energía usada por las sociedades industriales modernas proviene de combustibles fósiles, como el petróleo, el gas natural y el carbón. Cada uno de estos combustibles produce cantidades significativas de contaminación. También producen bióxido de carbono, un gas invernadero que contribuye al calentamiento global. Los combustibles fósiles son no renovables, lo que significa que hay una cantidad limitada de petróleo, gas natural y carbón. Esto puede desembocar en una escasez irreversible en el futuro, en especial en el caso del petróleo. ¿Existen opciones para los combustibles fósiles que no tengan estos inconvenientes? Muchos científicos e ingenieros han propuesto cambiar a una «economía del hidrógeno» en lugar de nuestra economía actual basada en el petróleo. La celda de combustible, un dispositivo inventado en el siglo XIX y desarrollado por la NASA para impulsar los vehículos espaciales, combina el hidrógeno y el oxígeno para producir electricidad y agua. ¿Es factible que esta tecnología generadora de energía y libre de contaminación remplace los motores de combustión interna que utilizan combustibles basados en petróleo? Análisis. Las celdas de combustible de hidrógeno convierten el hidrógeno y el oxígeno en agua y generan electricidad en el proceso. Una celda de combustible es parecida a una batería porque aprovecha una reacción química para producir electricidad. Sin embargo, en una batería los químicos se almacenan internamente, mientras que el hidrógeno y el oxígeno se almacenan fuera de la celda de combustible y pueden reabastecerse para producir elec-

Circuito eléctrico (Eficiencia de 40%–60%)

Combustible H2 (hidrógeno)

2H2

El combustible utilizado recircula

e e

– –

e e

– –

e e

– –

e e

– –

O2 (oxígeno) del aire H+ H1

O

H+ H+

O

–

O2 –

H2O

Aire + vapor de agua

Placa de campo de flujo Placa de campo de flujo Electrodo de difusión de gas (ánodo) Electrodo de difusión de gas (cátodo) Catalizador Catalizador Membrana de intercambio de protones

El gas hidrógeno se suministra a la celda de combustible. La membrana de intercambio de protones permite que sólo los iones de hidrógeno positivos pasen por ella, pero los electrones deben viajar por el circuito externo. Los gases de escape son vapor de agua.

(continúa)

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18.1 Pruebas químicas

al cátodo, viajan por un circuito a través de un motor eléctrico u otro dispositivo del ánodo al cátodo. Estos electrones proporcionan la corriente eléctrica que hace funcionar el motor. Cuando los protones y los electrones llegan al cátodo por sus diferentes rutas, entran en contacto con el catalizador y reaccionan con las moléculas de oxígeno para formar agua. Si no se suministra oxígeno al cátodo, los protones y electrones no son atraídos a él. Por fortuna, la celda de combustible puede usar el oxígeno que hay en el aire. La reacción química neta en general es 2H2 + O2 ⇒ 2H2O. Observa que hay cuatro átomos de hidrógeno y dos de oxígeno en ambos miembros de esta ecuación, por lo que la reacción química está balanceada. Muchas instancias de esta reacción ocurren simultáneamente, por lo que se produce una gran cantidad de electrones para proporcionar energía al motor eléctrico. Como una sola celda de combustible no puede dar suficiente energía para hacer funcionar un automóvil, se usa una pila de celdas de combustible. Todo suena maravilloso… un dispositivo libre de contaminación que produce sólo electricidad y agua para operar nuestros automóviles. De hecho, la NASA ha estado usando celdas de combustible durante años para impulsar los vehículos espaciales, así que son eficaces y confiables. Por desgracia, hay varios retos prácticos que deben superarse antes de que la celda de hidrógeno se use de manera generalizada en vez de los motores de combustión interna. Algunos de los retos tecnológicos principales son 1. El desarrollo de celdas de combustible de larga duración a un precio razonable. Actualmente las celdas de combustible son mucho más caras que los motores de combustión interna de una potencia comparable. Además, es necesario el desarrollo de celdas de combustible con una vida útil más larga para emplearlas en los automóviles.

peso atómico, pero masa atómica es un término más apropiado, dada nuestra distinción entre la masa y el peso. Una lista completa se encuentra en la tabla periódica que aparece en el forro interno posterior de este libro. Observa que muchas de las masas relativas son aproximadamente números enteros, pero otras no. Ahí reside otro misterio fascinante y una pista de la estructura del átomo.

¿Cómo se desarrolló la tabla periódica? A medida que los químicos reunieron más y más información sobre las masas atómicas y las propiedades químicas de los distintos elementos, algunas otras regularidades interesantes comenzaron a surgir. Se sabía desde hacía tiempo que las familias de los elementos presentaban propiedades químicas parecidas. El cloro (Cl), flúor (F) y bromo (Br) (llamados halógenos), por ejemplo, formaban compuestos similares cuando se combinaban con metales sumamente reactivos como el sodio (Na), potasio (K) o litio (Li) (metales alcalinos). Sin embargo,

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2. El desarrollo de eficaces sistemas de almacenamiento de hidrógeno integrados. Hasta el momento no se ha diseñado un sistema de este tipo para el hidrógeno que tenga una densidad de energía parecida a los sistemas de almacenamiento para gasolina. Ello significa que los automóviles que utilizan celdas de combustible no tienen tanta autonomía como los de gasolina antes de que requieran reabastecimiento de combustible. 3. El desarrollo de sistemas para suministrar hidrógeno al usuario final. Necesitaríamos retirar de la circulación a los petroleros, oleoductos y camiones, y crear un sistema nuevo para transportar el hidrógeno a fin de reabastecer de combustible a las estaciones. Es un reto enorme. 4. El desarrollo de métodos ambientalmente sanos que permitan la producción de suficiente hidrógeno para remplazar la gasolina y los combustibles diesel. Es conveniente recalcar este último punto. Como el hidrógeno no existe en cantidades grandes en la Tierra en forma aislada, debe separarse del agua u otros compuestos que lo contienen. Esto requiere la entrada de energía de otra fuente. Es fácil separar el agua en hidrógeno y oxígeno, pero no hay una ganancia neta en la energía si el hidrógeno y el oxígeno se vuelven a combinar en una celda de combustible para producir electricidad. En vez de una fuente de energía, es mejor pensar en el hidrógeno como un medio de almacenamiento de energía que puede usarse posteriormente. Si la energía para separar el hidrógeno proviene de combustibles fósiles (digamos, la quema de carbón en una central eléctrica), los problemas de usar combustibles fósiles no se resuelven mediante la economía del hidrógeno. El uso de recursos energéticos renovables como la energía eólica, solar o geotérmica ayudaría, pero eso requiere de una gran inversión en otras tecnologías energéticas. La economía del hidrógeno precisaría avances técnicos importantes si ha de cumplirse su promesa.

los pesos atómicos de los elementos dentro de cualquier familia eran muy diferentes. Cuando todos los elementos se enumeraron en orden según su incremento en el peso atómico, los miembros de una familia aparecían a intervalos más o menos regulares, en particular los más ligeros. Aun cuando otros habían tratado de dar sentido a estas regularidades, la persona que hizo la organización más útil fue el químico ruso Dimitri Mendeleiev (1834-1907). El esquema de Mendeleiev, publicado por primera vez en 1869, ahora se llama tabla periódica de los elementos. Para comprender la tabla de Mendeleiev imagina una lista que incluya todos los elementos conocidos según el incremento en su peso atómico en una tira larga de papel. Luego, para hacer la tabla, cortamos la tira en varios puntos y ponemos las tiras en filas. Comenzamos a cortar donde veamos un metal alcalino en la lista. Luego alineamos las tiras en nuestra tabla de modo que todos los metales alcalinos estén en una columna a la izquierda de la tabla (figura. 18.5).

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La estructura del átomo

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Ni

27

Co

1

✄

C

7

N

8

O

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34

33

10

F N 11 12 e N a M 13 14 g Al Si

✄

H

6

Li Be B He

2

✄ ✄

1

5

4

3

Cu

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36

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38

✄

29

32

Se Br Kr Rb S a Ge As r Zn G

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✄

Capítulo 18

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S

15

P

✄

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2

H

He

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Li Be

Na Mg

Cs Ba

6

C

Al Si

K Ca Sc Ti

Rb Sr

B

Y

V

7

N P

8

O S

9

10

F Ne

Cl Ar

Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr

Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te

I

Xe

etc.

figura 18.5

La tabla periódica puede formarse enumerando los elementos en orden según su peso atómico, luego cortando los que tienen propiedades químicas parecidas y después alineándolos en columnas.

Para obtener los halógenos a fin de alinearlos, debemos cortar las tiras restantes de nuevo, a veces cerca de sus puntos medios, en ciertos puntos, debido a que en algunas filas hay más elementos que en otras. Los halógenos también están ordenados uno encima del otro en una columna cerca del lado derecho de la tabla. En la tabla original de Mendeleiev, los halógenos formaban la columna del extremo derecho, ya que los elementos de los gases nobles [el helio (He), neón (Ne), argón (Ar), criptón (Kr), xenón (Xe) y radón (Rn)] aún no se habían descubierto. En la tabla terminada, los elementos con propiedades químicas comunes se alinean en columnas una sobre otra, pero el orden de los pesos atómicos se preserva en las filas y en toda la tabla (véase la tabla periódica completa en el forro interno posterior del libro). Aunque la tabla periódica era una manera interesante de organizar el conocimiento de los elementos químicos, planteaba más preguntas de las que respondía. Los átomos de los elementos en una columna de cierta forma tenían propiedades similares, pero los químicos seguían sin saber prácticamente nada acerca de la estructura de los átomos. Se vieron orillados a dibujar pequeños ganchos y anillos en sus átomos en un intento

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por explicar cómo se combinaban los átomos, pero era poco probable que esas imágenes fueran exactas. Se estaba formando un cuerpo de conocimiento que exigía una explicación, pero ésta no llegó sino hasta la primera parte del siglo xx. A partir de muchas observaciones de la manera como las sustancias se combinaban para formar otras sustancias, los científicos especularon que cada una de ellas se componía de partículas diminutas, o átomos, con propiedades de la sustancia correspondiente. El descubrimiento de Lavoisier de la conservación de la masa en las reacciones químicas estableció la importancia de pesar los reactantes y productos. La ley de Dalton de las proporciones definidas introdujo la propiedad del peso atómico para los átomos de diferentes sustancias. La tabla periódica de los elementos fue desarrollada por Mendeleiev en la década de 1860. Enumeró los elementos en filas de peso atómico creciente y después dividió la lista en filas, de modo que los elementos con propiedades similares se situaban unos encima de otros en las columnas. Estas regularidades sugirieron similitudes recurrentes en la estructura atómica.

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18.2 Rayos catódicos, electrones y rayos X

18.2 Rayos catódicos, electrones y rayos X

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S

Para fines del siglo xix, los químicos se sentían muy cómodos con el concepto de los átomos y tenían un amplio conocimiento de sus masas relativas y propiedades, si bien no de su estructura real. Los físicos, por su parte, estaban menos convencidos. Muchos de ellos no estaban conscientes de los detalles de los datos químicos y algunos incluso negaban la existencia de los átomos. En ese entonces se hicieron varios descubrimientos en física que demostraron ser cruciales para la comprensión de la estructura atómica. Esta parte de la historia comienza con el estudio de los rayos catódicos, el centro de atención de gran parte de la curiosidad e investigación de la segunda mitad del siglo.

N

A la fuente de energía

figura 18.7

Si el polo norte de un imán se lleva hacia abajo a la parte superior de un tubo de rayos catódicos, el punto de luz se desvía a la izquierda a través de la cara del tubo.

¿Cómo se producen los rayos catódicos? Usas rayos catódicos casi todos los días, aunque tal vez no estés consciente de ello. La parte central de la mayor parte de los televisores, su tubo de imagen, lo es de rayos catódicos (crt, cathode ray tube, como se le conoce en la industria de la electrónica). El descubrimiento de los rayos catódicos es resultado de la fusión de dos tecnologías: la capacidad para producir vacíos buenos con bombas neumáticas mejoradas y la creciente comprensión de los fenómenos eléctricos. (El tubo de rayos catódicos utilizado en un televisor se describe en el cuadro de fenómenos cotidianos 18.2.) Johann Hittorf (1824-1914) fue uno de los primeros en observar los rayos catódicos. En un artículo publicado en 1869, describió con detalle lo que ocurre cuando se coloca un alto voltaje conectado a dos electrodos sellados en un tubo de vidrio unido a una bomba de vacío (figura 18.6). A medida que el aire se bombea hacia fuera del tubo, primero aparece un brillo A la bomba de vacío

–

+

Cátodo

Ánodo

Fuente de alto voltaje

de color en el gas cercano al cátodo, el electrodo negativo. Cuando la presión del gas en el tubo se reduce, el brillo se extiende a todo el volumen entre los dos electrodos. Los colores de esta descarga luminiscente dependen del tipo de gas que había originalmente en el tubo. Cuando el tubo se evacua a presiones aún más bajas, la descarga luminiscente desaparece. Una región oscura empieza a formarse cerca del cátodo y luego se mueve a lo largo del tubo hacia el ánodo, el electrodo positivo, cuando la temperatura se reduce aún más. Cuando la región oscura se ha movido completamente a lo largo del tubo, aparece un fenómeno nuevo. En vez del brillo del gas, ahora hay un brillo tenue en la pared del tubo de vidrio opuesta al cátodo. Como el oscurecimiento empezó cerca del cátodo y se extendió a todo el tubo, los científicos supusieron que algo emitido desde aquél causaba el brillo en la pared opuesta del tubo. Por ello, la radiación invisible se llamó rayos catódicos. Uno de los experimentos más simples que pueden realizarse con rayos catódicos es desviar el rayo con un imán. Si los rayos catódicos se concentran en un haz estrecho al darles forma y colocar de manera apropiada el cátodo y el ánodo, el haz puede moverse alrededor con un imán. Si el polo norte de éste se lleva hacia abajo desde la parte superior, como aparece en la figura 18.7, el punto de luz creado por el haz se desvía a la izquierda en la cara del tubo. Este resultado es consistente con la suposición de que los rayos catódicos son partículas cargadas negativamente, lo cual puedes confirmar usando la regla de la mano derecha para las fuerzas magnéticas explicada en el capítulo 14.

¿Cómo se descubrió el electrón?

figura 18.6

Un tubo de rayos catódicos simple se compone de dos electrodos sellados en un tubo de vidrio. Una descarga brillante aparece en el gas entre los electrodos mientras el tubo se evacua. Con una evacuación posterior, la descarga desaparece y un brillo aparece en el extremo del tubo opuesto al cátodo.

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Las preguntas sobre la naturaleza de los rayos catódicos fueron resueltas en gran parte gracias a J. J. Thomson (1856-1940). Thomson realizó una serie de experimentos para medir las masas de las partículas cargadas negativamente que creía estaban presentes en el haz de rayos catódicos. En un experimento, Thomson pasó el haz por campos eléctricos y magnéticos

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Capítulo 18

La estructura del átomo

fenómenos cotidianos

cuadro 18.2

Electrones y televisión Situación. La televisión juega un papel sumamente importante en la vida moderna. Es la fuente principal de entretenimiento y noticias de gran parte de nuestra población. Para muchos de nosotros, pasar un tiempo viendo la luz danzante de la TV es un pasatiempo diario.

Bobinas de desviación

Filamento Cañón de electrones Una vista de corte transversal de un tubo de imagen moderno muestra el cañón de electrones y otros electrodos que se usan para desviar el haz a diferentes puntos en la pantalla.

Una familia realiza el ritual común de convivir viendo la televisión.

¿Cómo funciona un televisor? ¿Podrías explicar los principios básicos de su operación a tu hermana o hermano menor? ¿Cómo intervienen los rayos catódicos en la producción de la imagen que vemos? Análisis. La parte central de la mayoría de los televisores es el tubo de rayos catódicos o CRT. Como describimos antes, un CRT es un tubo al vacío que contiene electrodos en los cuales conectamos un alto voltaje. Esto produce un haz de electrones en el tubo, que crea destellos de luz cuando chocan contra la pared del tubo de vidrio. En el dibujo se muestra el tipo de tubo de rayos catódicos utilizado en los televisores . Los electrodos que producen y enfocan el haz de electrones cerca del socket del tubo en el lado izquierdo del diagrama y se llama cañón de electrones. El cañón contiene un cátodo (cargado negativamente), detrás del cual está un filamento. Una corriente eléctrica pasa por el filamento para calentar el cátodo, lo cual aumenta la tasa de emisión de electrones. Más allá del cátodo calentado está el ánodo, el cual está cargado positivamente y tiene un agujero en el centro. Los electrones se aceleran desde el cátodo hacia el ánodo por medio del alto voltaje conectado a estos dos electrodos. Los electrones que pasan por el agujero en el ánodo forman el haz de electrones. Estos electrones se concentran en un haz de luz estrecho mediante otros electrodos situados más allá del ánodo. El filamento, el cátodo, el ánodo y los electrodos de enfoque constituyen el cañón de electrones. Después de dejar el cañón, el haz de electrones viaja por el tubo, y produce un punto de luz brillante cuando choca con la cara del tubo de vidrio. Este efecto mejora al cubrir el interior de la superficie frontal del tubo con una capa de fósforo especial, un material que emite luz cuando es golpeado por partículas que se mueven

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rápidamente. Las bobinas magnéticas, en general acomodadas en un yugo que se coloca alrededor del tubo, se usan para desviar el haz de electrones de modo que golpee diferentes puntos en la cara del tubo en distintos momentos. El haz de electrones puede moverse con rapidez de un punto a otro en la cara del tubo, y la intensidad del haz varía para producir grados de brillantez en diferentes puntos. El patrón de brillantez variable de los diferentes puntos forma la imagen que vemos. Por lo común, el haz se mueve en un patrón de recorrido en zigzag hacia delante y hacia atrás a lo largo de la cara del tubo en una fracción de un segundo. En el sistema usado en Estados Unidos, se requieren 525 recorridos horizontales para formar una imagen, y este proceso se repite 30 veces por segundo. El proceso que acabamos de describir produce una imagen en blanco y negro. Para producir una imagen en color se emplean tres fósforos para tres colores distintos. De hecho, cada punto en la cara del tubo está separado por tres puntos o líneas, y se usan tres cañones de electrones, uno por color. Las distintas combinaciones de estos tres colores producen la gama de colores que vemos. Si miras de cerca la cara de un tubo de imágenes de un televisor en color (¡con el aparato apagado!), puedes detectar el patrón de líneas verticales que contiene tres fósforos. La información utilizada para producir las imágenes y el sonido llega al televisor por medio de ondas electromagnéticas que están en la parte de longitud de onda más corta del espectro de ondas de radio. Las señales también pueden transmitirse mediante cables o recibirse y volverse a transmitir por medio de satélites (como las microondas) y recogerse con antenas parabólicas en lugares remotos. La disponibilidad de múltiples estaciones y la programación y la variedad de tecnología utilizada para registrar y transmitir las señales habría parecido un sueño absurdo hace sólo cien años, cuando las ondas de radio empezaban a estudiarse por primera vez.

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18.2 Rayos catódicos, electrones y rayos X

+

+ Campo eléctrico

X

X

+ + + + +

+

X

– Cátodo

383

Ánodo

X X

X –

Campo magnético de bobinas externas (perpendicular a la página)

figura 18.8

Thomson utilizó tanto los campos eléctricos como los magnéticos para desviar el haz de rayos catódicos en un tubo diseñado especialmente para medir la masa de las partículas de los rayos catódicos.

cruzados de intensidad conocida (figura 18.8). El efecto combinado de los campos eléctricos y magnéticos en el haz le permitió estimar la velocidad de las partículas, ya que la fuerza magnética depende de la velocidad, pero la fuerza eléctrica no. Al conocer la velocidad y el grado de desviación producida por el campo magnético por sí solo, pudo estimar la masa de las partículas. Por la segunda ley de Newton, la aceleración de las partículas por medio de la fuerza magnética que provoca su desviación es inversamente proporcional a su masa. Como la fuerza magnética (F = qvB) también depende de la carga de las partículas, la cual no era conocida, en realidad terminó midiendo la razón de la carga a la masa, q/m. Publicó los resultados de este trabajo en 1897. El aspecto más destacado de los resultados de Thomson era la masa aparentemente pequeña de estas partículas y el hecho de que todas parecían tener la misma razón de la carga a la masa, lo cual indicaba que las partículas eran idénticas. El elemento más ligero de la tabla periódica es el hidrógeno. Si los iones de hidrógeno y las partículas de rayos catódicos tenían la misma carga, la masa del átomo de hidrógeno era casi 2000 veces más grande que la masa de una partícula de rayos catódicos. Estas partículas no sólo eran idénticas para un cátodo, también tenían la misma razón de carga a masa incluso si el cátodo estaba hecho de un metal diferente. Thomson comprobó este resultado repitiendo el experimento con cátodos hechos de varios metales. Las mismas partículas parecían estar presentes en todos los que probó. Este hecho, aunado a su masa pequeña, sugería que estas partículas debían ser componentes de diferentes tipos de átomos. Ahora llamamos a las partículas cargadas negativamente del haz de rayos catódicos electrones, y se atribuye a Thomson el descubrimiento del electrón en estos experimentos. Un haz de rayos catódicos es un haz de electrones. Ahora se sabe que cada electrón tiene una masa de 9.1 × 10–31 kg y una carga de –1.6 × 10–19 C. El descubrimiento de Thomson proporcionó la primera partícula subatómica conocida, una partícula de menor tamaño que el átomo más pequeño conocido. El elec-

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Tubo de rayos catódicos cubierto con papel negro –

Pantalla fluorescente que brilla +

figura 18.19

Roentgen observó que un material fluorescente brillaba cuando lo colocaba cerca de su tubo de rayos catódicos cubierto. El brillo aparecía sólo cuando el tubo de rayos catódicos estaba encendido.

trón se volvió el primer candidato posible para conocer los fundamentos de los átomos.

¿Cómo se descubrieron los rayos X? El estudio de los rayos catódicos aportó otros beneficios aparte del descubrimiento del electrón. Un físico alemán, Wilhelm Roentgen (1845-1923), descubrió otro tipo de radiación asociada con el tubo de rayos catódicos. Su descubrimiento creó sensación en la prensa popular y en la comunidad científica. Como ocurre con frecuencia, en parte Roentgen hizo su descubrimiento por accidente. Por razones que nunca aclaró por completo, estaba experimentando con un tubo de rayos catódicos que había cubierto con un papel negro. Cerca de su mesa de trabajo había una hoja de papel cubierta con un material fluorescente, platinocianuro de bario. Roentgen observó que el papel brillaba en la oscuridad cuando el tubo de rayos catódicos estaba encendido, incluso cuando no escapaba luz del tubo (figura 18.9). El brillo se interrumpía cuando se apagaba el tubo. Ya se sabía que los rayos catódicos no podían viajar lejos en el aire ni podían viajar por las paredes del tubo de vidrio. Sin embargo, la fluorescencia apareció incluso cuando el papel estaba a una distancia de 2 metros del tubo. La nueva

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Capítulo 18

La estructura del átomo

18.11 Un tubo de rayos X en una máquina de diagnóstico de rayos X utiliza un ánodo en cierto ángulo para proyectar los rayos X por el lado del tubo.

figura

18.10 Roentgen descubrió que un diagrama de sombras de los huesos de su mano podía producirse al pasar los rayos X por la mano.

figura

radiación que causaba la fluorescencia no podía deberse a los rayos catódicos. Sin saber exactamente lo que eran, Roentgen los llamó rayos X, debido a que la letra X se usa con frecuencia para representar una cantidad desconocida. Lo más sorprendente de estos rayos X era su poder de penetración. Aparentemente pasaban fácilmente por las paredes del tubo de vidrio e incluso por otros obstáculos en su camino. En algunos de sus primeros experimentos, Roentgen mostró que podía producir una sombra de los huesos de su mano si la colocaba entre el extremo del tubo de los rayos catódicos y la pantalla fluorescente (figura 18.10). También demostró que los rayos X podían exponer una placa fotográfica cubierta. Tomó fotografías de los contornos de pesas de latón dentro de una caja de madera. Roentgen publicó los resultados de sus experimentos iniciales con los rayos X en 1895. Su capacidad para «ver» a través de objetos opacos a la luz visible despertó la imaginación de la prensa popular. Todos, incuidos los científicos, querían ver un tubo de rayos X funcionando. Un año después, los doctores ya usaban rayos X para tomar radiografías de huesos rotos y otro tejido denso. Lamentablemente, sabían muy poco acerca de los peligros de la exposición repetida a los rayos X, así que muchos doctores y dentistas sufrieron varios efectos de radiación severos en los primeros años de su uso. Roentgen realizó una serie de experimentos exhaustivos con su recientemente descubierta radiación mientras intentaba determinar qué era. Como resultado del trabajo realizado por Roentgen y otros científicos, al final se concluyó que los rayos X están formados por ondas electromagnéticas con longitudes de onda muy cortas y frecuencias muy altas (véase la sección 16.1 y la figura 16.5). Los rayos X se producen mediante coli-

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siones de los rayos catódicos (electrones) con las paredes del tubo de rayos catódicos o con el ánodo del tubo. Los haces de rayos X más intensos se producen colocando el ánodo de metal en un ángulo de 45° respecto al haz de electrones y usando voltajes altos para excitar el tubo (figura 18.11). Aunque el descubrimiento de los rayos X fue importante para la medicina, también tuvo relevancia para los físicos, en parte porque los llevó directamente al descubrimiento de otro tipo de radiación y, por tanto, promovió la exploración de la estructura del átomo. Este nuevo tipo de radiación, llamado radioactividad natural, en realidad son tres formas de radiación. En la sección 18.3 describiremos cómo este descubrimiento suscitó una investigación exhaustiva para llegar al interior de un átomo. Los rayos catódicos se producen colocando un alto voltaje en dos electrodos sellados en un tubo al vacío. Los experimentos con estos rayos mostraron que se compone de partículas cargadas negativamente, todas con una proporción idéntica de carga a masa. La masa de estas partículas aparentemente era menor que la masa del átomo más pequeño, y parecía estar presente en diferentes tipos de metales, lo cual indicaba que estas partículas podían ser componentes de todos los átomos. El estudio de los rayos catódicos también ocasionó el descubrimiento de los rayos X, que son ondas electromagnéticas muy penetrantes con una longitud de onda muy corta. Este descubrimiento, a su vez, condujo al descubrimiento de la radiactividad y el núcleo del átomo.

18.3 Radiactividad y el descubrimiento del núcleo La mayoría de nosotros hemos oído hablar de la radiactividad y quizá hayamos entrado en pánico debido a la publicidad acerca de la energía nuclear, las armas nucleares y el radón en nuestra casa y otros edificios. Sin embargo, a pesar del tiempo que los seres humanos hemos vivido en la Tierra, no nos habíamos percatado de su presencia. ¿Cómo se descubrió la

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18.3 Radiactividad y el descubrimiento del núcleo

radiactividad y cómo este hecho condujo al descubrimiento del núcleo atómico? Los campos de la física atómica y la física nuclear, los cuales no existían antes de principios del siglo xx, surgieron a partir de estos acontecimientos.

¿Cómo se descubrió la radiactividad? Un científico francés, Antoine-Henri Becquerel (1852-1908), descubrió la radiactividad natural en 1896. Sus experimentos estaban motivados directamente por el descubrimiento de Roentgen de los rayos X el año anterior. Durante muchos años, Becquerel había estudiado los materiales fosforescentes, que brillaban en la oscuridad después de ser expuestos a luz visible o ultravioleta. Muchos de los materiales fosforescentes que Becquerel estudiaba eran compuestos que contenían uranio, el elemento más pesado conocido en aquella época. Becquerel se preguntaba si la radiación penetrante como los rayos X de Roentgen era emitida por sus compuestos fosforescentes. Realizó un experimento simple en el que expuso algunos de esos compuestos a la luz solar durante cierto lapso y luego los colocó en la parte superior de placas fotográficas envueltas en papel negro, de manera que no pudiera llegarles ninguna luz. En efecto, las placas fotográficas estuvieron expuestas cerca de las piezas de material fosforescente (figura 18.12). La radiación aparentemente pasaba desde estos materiales a través del papel negro para exponer la película. Aunque resulta un descubrimiento interesante por sí mismo, faltaba más por venir. Experimentos posteriores realizados por Becquerel mostraron que no todos los materiales fosforescentes podían exponer una placa fotográfica, sólo lo hacían aquellos que contenían uranio o torio. Además, un tanto por accidente, Becquerel descubrió que no era necesario exponer estos materiales a la luz para producir el efecto. En una ocasión Becquerel preparó muestras con la intención de exponerlas a la luz solar. Pero el Sol no salió ese día, así que las guardó en un cajón durante unos días, junto con la placa fotográfica cubierta. Cuando regresó al proyecto varios días después, decidió revelar la placa antes de proseguir, porque no estaba totalmente convencido de que no se había expuesto. Para su gran sorpresa, descubrió que la placa había sido muy expuesta cerca de las muestras de uranio. Al parecer, la exposición anterior a la luz del Sol (necesaria para la fosfores-

Muestra sobre la placa fotográfica cubierta

Placa revelada

18.12 Cuando Becquerel colocó un pedazo de material fosforescente sobre una placa fotográfica cubierta, la placa revelada mostró una silueta de la muestra, lo que indicaba que la placa había sido expuesta por la radiación que atravesó la cubierta de papel negro.

figura

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385

cencia) no se necesitaba para producir la radiación que estaba exponiendo las placas. Becquerel quedó aún más sorprendido al descubrir que las muestras de uranio conservaban la capacidad de exponer la película de manera indefinida, incluso si se mantenían en una caja oscura o un cajón durante semanas. El efecto fosforescente, por otro lado, desapareció rápidamente (en sólo unos minutos) después de que las muestras se eliminaron de la fuente de luz. La radiación penetrante que llegaba desde sus muestras de uranio no parecía estar relacionada con la fosforescencia en lo absoluto. Becquerel llamó a esta nueva radiación radiactividad natural, ya que parecía producirse continuamente por compuestos que contenían uranio o torio sin necesidad de una preparación especial. La radiactividad natural intrigó a los físicos de la época porque no había una fuente de energía evidente que la produjera. ¿De dónde provenían entonces estos rayos? ¿Cómo se podían seguir emitiendo los rayos cuando no se aplicaba energía a las muestras de ninguna manera obvia? ¿Esta radiación era una propiedad intrínseca de los átomos?

¿Interviene más de un tipo de radiación en la radiactividad? Junto con el descubrimiento de los rayos X, el de la radiactividad natural generó mucha actividad experimental y especulación teórica nuevas. Muchos científicos hicieron aportaciones, los más notables fueron Marie (1867-1935) y Pierre (1859-1906) Curie y un joven físico nacido en Nueva Zelanda, Ernest Rutherford (1871-1937). Los Curie, al aplicar meticulosamente técnicas químicas, pudieron aislar dos elementos radiactivos más, el radio y el polonio. Los dos elementos estaban contenidos en muestras de uranio y torio pero eran mucho más radiactivos que el uranio o el torio mismos. Rutherford se interesó en la naturaleza de la radiación. Uno de sus primeros experimentos con este nuevo fenómeno mostró que cuando menos tres tipos de radiación provenían de las muestras de uranio. Al colocar una muestra de uranio en la base de un agujero perforado en un pedazo de plomo, podía producir un haz de radiación. Cuando este rayo se hacía pasar por un campo magnético producía un imán potente, el cual dividió en tres componentes, como se muestra en la figura 18.13. Rutherford utilizó las primeras tres letras del alfabeto griego, α (alfa), β (beta) y γ (gamma), para nombrar estos tres componentes. Uno de ellos, alfa, se desviaba un poco a la izquierda (figura 18.13). Ésta es la dirección que obtenemos, usando la regla de la mano derecha para la fuerza magnética, para la radiación que consiste en partículas cargadas positivamente. La ubicación del haz podía detectarse con una película fotográfica o, lo que resulta más práctico, con una pantalla de sulfuro de zinc, la cual produce destellos de luz cuando es golpeada por el haz. El segundo componente del rayo, beta, se desviaba en la dirección opuesta (como cabría esperar de las partículas cargadas negativamente) y era mucho más intenso que los rayos alfa. Estudios posteriores indicaron que estos rayos beta eran

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Capítulo 18

La estructura del átomo

γ

α Campo magnético (perpendicular a la página)

más masivas que los electrones en la porción beta del rayo. También eran el componente principal emitido por el radio aislado por Marie y Pierre Curie. En 1908, Rutherford y Royds establecieron que los rayos alfa eran electrones desprendidos de los átomos de helio. Llegaron a esta conclusión al colocar una pequeña muestra de radio en un tubo sellado de paredes muy delgadas dentro de un tubo un tanto más grande. Las partículas alfa podían escapar del tubo de paredes delgadas pero no del tubo mayor, el cual contenía electrodos por los que se introducía un alto voltaje a fin de producir una descarga luminiscente en el gas de partículas alfa que se acumulaba. Los colores de esta descarga eran característicos del helio, el cual no había estado presente inicialmente en el tubo. (Lee en la sección 18.4 un análisis del espectro atómico.)

X

X

X

X

β

Revestimiento de plomo

¿Cómo se descubrió el núcleo del átomo?

Uranio

18.13 Cuando el haz de radiación procedente de una muestra de uranio atraviesa un campo magnético, se separa en tres componentes, llamados α (alpha), β (beta) y γ (gamma).

figura

electrones recientemente descubiertos por J. J. Thomson. Los rayos gamma, el tercer componente, no eran desviados por el campo magnético. Resulta que estos rayos eran una variedad de onda electromagnética parecida a los rayos X pero con longitud de onda aún más corta. Sin embargo, qué eran exactamente los rayos alfa seguía siendo un misterio, hasta que un experimento realizado por Rutherford y uno de sus asistentes estudiantes, T. D. Royds, lo aclararon. El hecho de que el campo magnético desviara estos rayos o partículas ligeramente indicaba que eran mucho

Rutherford se percató rápidamente de que las partículas alfa eran verdaderos objetos de investigación para el estudio de la estructura del átomo. Como su masa era mucho mayor que la de los electrones, y también eran muy energéticas, parecía posible obtener partículas alfa dentro del átomo. Al disparar un rayo de partículas alfa en una hoja de metal delgada y ver que nada ocurría al rayo, Rutherford creyó que podría deducir características de la estructura atómica. Este experimento se llamó de dispersión. El esquema básico de los experimentos de dispersión de Rutherford se ilustra en la figura 18.14. Una sustancia que emite rayos alfa como el radio o el polonio se coloca en el fondo de un agujero en un revestimiento de plomo para producir un rayo de partículas alfa. Este rayo está dirigido a una hoja muy delgada de oro o de algún otro metal. La dispersión de las partículas alfa se detecta después mediante una mira de mano con una pantalla de sulfuro de zinc en un extremo y un ocular de aumento en el otro. El experimento cuenta los

Radio

θ

Detector de destellos

Partículas alfa Revestimiento de plomo Hoja de oro

figura 18.14

Un rayo de partículas alfa se dispersa desde una hoja delgada de oro en los experimentos realizados por los asistentes

de Rutherford.

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18.3 Radiactividad y el descubrimiento del núcleo

destellos de luz (centelleos) producidos por las partículas alfa que golpean la pantalla en varios ángulos respecto a la dirección inicial del rayo. Los resultados iniciales de estos experimentos no fueron sorprendentes ni informativos. La mayoría de las partículas alfa atravesaron directamente la hoja de oro sin desviarse mucho. Algunas partículas se dispersaron en ángulos mayores, pero el número disminuía rápidamente cuando el ángulo respecto a la dirección inicial del rayo aumentaba. Estos resultados parecían coincidir con el punto de vista preponderante sobre el átomo: se consideraba que la masa y la carga positiva del átomo se estaban distribuidas de manera uniforme en todo el volumen de este último. Se creía que los electrones, conocidos por estar presentes en los átomos, se esparcían por aquí y por allá dentro de este volumen, de manera muy parecida a las pasas en un pudín de ciruela (un postre británico). Tal arreglo no sería lo suficientemente denso como para afectar un rayo de partículas alfa energéticas. No obstante, sólo para estar seguro, Rutherford sugirió a uno de sus asistentes, un estudiante universitario llamado Ernest Marsden, que buscara partículas alfa dispersas que se reflejaran hacia atrás de la hoja. Después de algunos días en el oscuro laboratorio entrecerrando los ojos ante los destellos de luz ocasionales a través de la mira de detección, Marsden informó a Rutherford que sí se dispersaban algunas partículas alfa en estos ángulos mucho mayores. Rutherford no quedó muy convencido, pero una comprobación posterior realizada por Marsden y un colega investigador, Hans Geiger (18821947), comprobaron este hecho. Mucho tiempo después, Rutherford dijo que la dispersión hacia atrás era como si alguien hubiera disparado balas hacia un pañuelo desechable y rebotaran. El resultado fue totalmente inesperado. Con frecuencia se usa una analogía para explicar este experimento de dispersión, la cual se ilustra en la figura 18.15. En esta analogía tratamos de adivinar qué hay dentro de un regalo de Navidad sin abrir la caja. Podemos levantarla y agitarla para formarnos una idea de su peso y naturaleza. También podríamos hacer otra prueba (un tanto más destruc-

figura 18.15

tiva) al disparar un rifle contra ella y observar lo que sucede con las balas cuando salen por el otro lado (figura 18.15). Este experimento de dispersión es parecido al que realizaron Rutherford y sus asistentes. Si ya determinamos que la caja no pesa, sería sorprendente encontrar que algunas de las balas, incluso unas cuantas, regresan hacia nosotros. En alguna parte del paquete debe haber objetos densos pero pequeños con suficiente masa para invertir la cantidad de movimiento de una bala que se desplaza rápidamente. Como la caja no es pesada y muchas de las balas la atraviesan, los objetos causantes de la dispersión en un ángulo mayor deben ser pequeños. Podrías hacer una prueba con balines de acero pequeños envueltos en un material de empaque ligero pero rígido. Un razonamiento parecido se aplica al átomo. Si la mayoría de las partículas alfa atraviesan, pero unas cuantas se dispersan en ángulos grandes, debe haber centros muy densos pero pequeños dentro de los átomos con suficiente masa para invertir la cantidad de movimiento de las partículas alfa que se desplazan con gran rapidez. Para explicar los resultados cuantitativos del experimento de dispersión, Rutherford tuvo que suponer que esos centros masivos eran pequeñísimos. Para ese entonces, se sabía que los átomos tenían un diámetro de aproximadamente 10–10 m. El diámetro de los centros diminutos pero masivos debía ser de sólo un diezmilésimo del diámetro de un átomo para poder explicar los datos. El descubrimiento del núcleo del átomo se dedujo del análisis de estos experimentos de dispersión. Se supuso que el núcleo era un centro muy denso que contenía la mayor parte de la masa del átomo y toda su carga positiva. El resto del átomo consistía en electrones cargados negativamente acomodados de cierta forma alrededor del centro. Los electrones eran pues causantes de la mayor parte del tamaño del átomo, pero de muy poco de su masa. Para darte una idea de la escala, imagina que el átomo se agranda hasta el tamaño de una cancha de futbol americano (aproximadamente 100 m, contando las zonas de anotación). El núcleo sería más o menos del tamaño de un chícharo en la línea de 50 yardas.

El contenido de un regalo de Navidad podría adivinarse disparando un rifle hacia él y observando cómo el contenido

dispersa las balas.

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Capítulo 18

La estructura del átomo

El análisis de Rutherford de los experimentos de dispersión de las partículas alfa realizado por Geiger y Marsden se publicó en 1911. La idea de que el átomo era un núcleo diminuto que contenía la mayor parte de la carga positiva presentaba un punto de vista nuevo y radical acerca del átomo. Becquerel descubrió que una radiación penetrante, a la cual llamó radiactividad natural, era emitida por los materiales fosforescentes que contenían uranio o torio. Rutherford mostró que esta radiación tenía tres componentes: alfa (iones de helio), beta (electrones) y gamma (rayos X de longitud de onda corta). Usando las partículas alfa como objeto de investigación en los experimentos de dispersión, Rutherford y sus asistentes descubrieron que el átomo debe tener un centro masivo diminuto, al cual ahora llamamos núcleo. Esto creó el marco para el primer modelo atómico fructífero.

18.4 Espectro atómico y el modelo atómico de Bohr Si el átomo tiene un núcleo cargado positivamente y los electrones (con sus cargas negativas) se acomodan de cierta forma alrededor de él, es natural comparar el átomo con el sistema solar. En este último, los planetas se mantienen en órbita alrededor del Sol debido a la fuerza gravitacional, que es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia (1/r2) entre los planetas y el astro (véase el capítulo 5). En un átomo, los electrones son atraídos hacia el núcleo debido a la fuerza electrostática, la cual, según la ley de Coulomb, también es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. Quizás un átomo es como un sistema solar en miniatura. Aunque la comparación era interesante, planteaba algunos problemas. Puesto que un electrón que orbita debe actuar como una antena transmisora e irradiar ondas electromagnéticas, el átomo perdería energía y el electrón describiría espirales en el núcleo, provocando que el átomo se colapsara. Sin embargo, los físicos estaban conscientes de que los átomos a veces emiten ondas electromagnéticas en forma de luz. Los patrones de la luz emitida por el átomo más pequeño, el hidrógeno, eran particularmente interesantes debido a su simplicidad. Niels Bohr (1885-1962) trabajaba con Rutherford cuando el núcleo fue descubierto. El modelo atómico de Bohr fue el primero en indicar respuestas a esos problemas y señalaba el porqué de las longitudes de onda de la luz (el espectro) emitidas por el hidrógeno. La publicación del modelo atómico de Bohr en 1913 dio lugar a un periodo muy apasionante que se tradujo en nuestros conocimientos actuales de la estructura atómica.

¿Cuál es la naturaleza del espectro del hidrógeno? El estudio de la luz emitida por diferentes sustancias comenzó más de cincuenta años antes del trabajo de Bohr. Si una sustan-

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18.16 Un alto voltaje colocado en los electrodos de un tubo de descarga de gas produce un brillo de colores. Los colores son característicos del tipo de gas en el tubo.

figura

cia se calienta bajo la flama de mechero de Bunsen y la luz emitida se observa con un prisma, cada sustancia produce colores o longitudes de onda característicos. Estas longitudes de onda características son el espectro atómico de esa sustancia. Para los gases, la forma más práctica de producir el espectro era mediante un tubo de descarga de gases (encontramos este fenómeno en la sección 18.2 cuando estudiamos los rayos catódicos). Cuando un voltaje alto se coloca en los electrodos sellados dentro de un tubo que contiene un gas a presión baja, se observa una descarga de color (figura 18.16). Esto es lo que ocurre también en una luz fluorescente, aunque el tubo de luz tiene un revestimiento fluorescente para producir una distribución más uniforme de las longitudes de onda. Si observas con un prisma o una red de difracción la luz emitida por una descarga de gas , verás que el espectro se compone de una serie de líneas brillantes discretas a longitudes de onda específicas. (Como estudiamos en la sección 16.4, las redes de difracción usan efectos de interferencia para separar las longitudes de onda.) Si la fuente misma es larga y delgada (figura 18.16), o si la luz pasa por una ranura de entrada, las longitudes de onda separadas se manifiestan como líneas de colores. Cada tipo de gas tiene su propio espectro, el cual puede usarse como un medio confiable de identificación de la sustancia. El espectro del hidrógeno es muy simple. La parte visible tiene sólo cuatro longitudes de onda: una línea roja, una azul y dos violeta, una de las cuales es muy difícil de ver (figura 18.17). En 1884, un maestro suizo, J. J. Balmer (1825-1898), descubrió que las longitudes de onda de estas cuatro líneas podían calcularse a partir de una fórmula sencilla. La fórmula

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18.4 Espectro atómico y el modelo atómico de Bohr (Violeta)

(Azul)

(Rojo)

410 nm 434 nm

486 nm

656 nm

400 nm

500 nm

600 nm

389

700 nm

λ (longitud de onda)

figura 18.17

El espectro de descarga del gas hidrógeno tiene cuatro líneas en su parte visible: una roja, una azul y dos violeta.

de Balmer no está basada en la teoría subyacente, tan sólo es una forma numérica de calcular las longitudes de onda de las líneas observadas. Cuando se descubrieron otras líneas en la parte ultravioleta del espectro, la fórmula de Balmer también las describió correctamente. Poco tiempo después, otra serie de líneas espectrales se descubrieron para el hidrógeno en las regiones infrarrojas y ultravioletas. Todas ellas podían predecirse a partir de una forma generalizada de la fórmula de Balmer publicada en 1908 por Rydberg y Ritz. En general, esta fórmula se escribe como 1 1 1 = R 2 − 2 , λ n m donde n y m son números enteros y R se conoce como la constante de Rydberg, R = 1.097 × 107 m–1. Al establecer n = 2, obtenemos la serie de Balmer de líneas que están en el espectro visible y cerca del ultravioleta. Para n = 1, obtenemos una serie en la parte ultravioleta del espectro y para n = 3 o 4, obtenemos líneas en infrarrojo. El entero m siempre es mayor que n para una serie dada. Para la serie de Balmer, n = 2 y m puede ser 3, 4, 5 y así sucesivamente. Cada valor del entero m genera una línea diferente en la serie. La fórmula desarrollada por Rydberg y Ritz señaló una regularidad simple en el espectro del hidrógeno que exigía una explicación. Thomson, al crear su conocido modelo atómico del pudín de ciruela, había intentado explicar esta regularidad sin éxito. Bohr, gracias a su trabajo con el nuevo punto de vista del átomo proporcionado por Rutherford, dio un nuevo enfoque al problema.

Cuantización de la energía luminosa Si bien el descubrimiento del núcleo y las regularidades en el espectro del hidrógeno fueron cruciales para el modelo de Bohr, otra idea nueva resultó ser de igual importancia. Introducida tentativamente por Max Planck (1858-1947) en 1900 y más tarde reforzada por Albert Einstein (1879-1955), también tuvo su origen en el estudio del espectro, en este caso en el producido por un cuerpo negro calentado.

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18.18 Un radiador de cuerpo negro se compone de un agujero tallado en un material que puede calentarse a temperaturas altas. Cuando se calienta, emite un espectro continuo de radiación electromagnética.

figura

Un cuerpo negro se representa mejor mediante un agujero o cavidad tallada en un material metálico o cerámico que puede calentarse a temperaturas altas (figura 18.18). Un agujero como éste se ve negro a temperatura ambiente. El espectro que emite cuando se calienta depende sólo de la temperatura y no del material en el que se talla la cavidad. El espectro es continuo (líneas no discretas), pero la longitud de onda promedio emitida se vuelve más corta a medida que la temperatura aumenta. A temperaturas altas, las longitudes de onda se vuelven lo suficientemente pequeñas para ser visibles: la cavidad primero se ve de color «rojo intenso» e incluso a temperaturas más altas «blanco intenso», lo que significa que la longitud de onda promedio está cerca de la parte media del espectro visible. Planck y otros teóricos trataban de explicar la distribución de las longitudes de onda que surgían de un cuerpo negro calentado. Planck llegó a la fórmula que logró predecir satisfactoriamente la distribución apropiada y su dependencia de la temperatura. Al exponer la lógica de su fórmula, no obstante, se vio obligado a obtener una conclusión radical: al parecer, la luz no podía ser absorbida o emitida desde la superficie del

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390

Capítulo 18

La estructura del átomo

cuerpo negro en energías que variaban continuamente sino sólo en pedazos discretos, o cuantos, cuya energía dependía de la frecuencia o longitud de onda. Para ser más precisos, a cierta frecuencia las únicas energías permitidas eran enteros múltiplos de la energía:

–

E = hf

Fotón

+

donde f es la frecuencia y h una constante llamada constante de Planck. El valor de esta constante es sumamente pequeño. En unidades métricas es h = 6.626 × 10−34 J·s. De acuerdo con la teoría de Planck, para una frecuencia particular f la luz podía emitirse con energías de hf, 2hf, 3hf y así sucesivamente, pero con ninguna energía entre estos valores. Esta idea inquietaba tanto a Planck como a otros físicos de su época. Anteriormente no tenían razón para sospechar que las ondas de luz no podían emitirse en energías que variaban continuamente, lo cual sólo dependía de la cantidad de energía disponible. La idea de que este proceso estaba cuantizado, lo que significaba que sólo podía ocurrir en pedazos de energía discretos, era radical. En 1905, Einstein mostró que la cuantización de la energía luminosa servía para explicar muchos otros fenómenos. Cuando Bohr comenzó a desarrollar su novedoso modelo atómico, existía la idea del cuanto de luz (o partículas de luz que ahora llamamos fotones) que tiene energía E = hf, aun cuando no era totalmente aceptada.

¿Cuáles eran las características del modelo de Bohr? El logro de Bohr consistió en combinar en un modelo atómico nuevo todas estas ideas, en concreto el descubrimiento del núcleo, el conocimiento del electrón, las regularidades en el espectro del hidrógeno y las nuevas ideas del cuanto de Planck y Einstein. Empezó con el modelo miniatura del sistema solar mencionado en la página 388, en el cual el electrón en el átomo de hidrógeno orbita alrededor del núcleo. La fuerza electrostática proporciona la aceleración centrípeta necesaria. El primer paso audaz de Bohr partió de la física clásica: él suponía que ciertas órbitas estables no irradiaban continuamente ondas electromagnéticas, como se esperaba a partir de la física clásica. En vez de ello, imaginó que la luz era emitida desde el átomo cuando el electrón saltaba de una órbita estable a otra (figura 18.19). Como la energía de un cuanto de luz o fotón, según lo establecido por Planck y Einstein, es E = hf, la energía del fotón emitido es igual a la diferencia de energías de las dos órbitas estables (o casi estables). Expresado en símbolos, E = hf = Einicial − Efinal , donde Einicial es la energía del electrón en la órbita inicial y Efinal es la energía del electrón en la órbita final. Estas energías podían calcularse para un radio de órbita específico con la mecánica newtoniana ordinaria.

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18.19 Bohr representó el electrón describiendo órbitas cuasiestables alrededor del núcleo. La luz se emitía cuando el electrón saltaba de una órbita a otra.

figura

Por tanto, la diferencia de energía podía emplearse para calcular la frecuencia o longitud de onda del fotón emitido. La comparación de la fórmula resultante con la fórmula de Rydberg-Ritz para las líneas en el espectro del hidrógeno mostraba que las energías de las órbitas estables deben estar dadas por una constante dividida entre un entero elevado al cuadrado, E = E0/n2. Esta relación ponía una condición a las órbitas: las únicas órbitas permitidas eran aquellas cuya cantidad de movimiento angular L, era igual a L = n

h , 2π

donde n es un entero y h la constante de Planck. Éstas son características esenciales del modelo de Bohr: 1. Los electrones se representan describiendo órbitas cuasiestables alrededor del núcleo, dadas por la condición L = n(h/2π). 2. La luz se emite cuando un electrón salta de una órbita de mayor energía a una de menor energía. 3. Las frecuencias y las longitudes de onda de la luz emitida se calculan a partir de las diferencias de energía entre las dos órbitas, produciendo las longitudes de onda en el espectro del hidrógeno. En la figura 18.20 se muestra un diagrama de los niveles de energía calculado a partir del modelo de Bohr para el hidrógeno. En el cuadro de ejemplo 18.1 se utilizan estos valores para calcular la longitud de onda de una línea en la serie de Balmer del espectro del hidrógeno. Los valores de energía en el diagrama y el ejercicio se expresan en electrón volts en vez de joules. Un electrón volt (eV) es la cantidad de energía cinética ganada cuando un electrón se acelera debido a una diferencia de potencial de 1 volt. Tiene el valor 1 eV = 1.6 × 10–19 J.

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18.5 Ondas de partículas y mecánica cuántica

n=4 n=3

E=0 E4 = –0.85 eV E3 = –1.51 eV

n=2

E2 = –3.4 eV

391

cuadro de ejemplo 18.1 Ejercicio: niveles de energía en un átomo de hidrógeno Con los valores de energía mostrados en la figura 18.20, calcula la longitud de onda del fotón emitido en la transición del nivel de energía n = 4 al nivel de energía n = 2 en el modelo atómico de Bohr para el hidrógeno. E2 = −3.4 eV

La diferencia de energía es ΔE = E4 − E2 E4 = −0.85 eV = −0.85 eV − (−3.4 eV) λ = ? = 2.55 eV

Usando h = 6.626 × 10–34 J·s = 4.14 × 10–15 eV·s, la frecuencia del fotón emitido está dada por n=1

E1 = –13.6 eV

E = hf

figura 18.20

Las energías de las diferentes órbitas se muestran en el diagrama de niveles de energía del hidrógeno. Las líneas de Balmer se producen por las transiciones indicadas. La transición de la línea azul está resaltada.

Todos los niveles de energía de la figura 18.20 se obtienen dividiendo el nivel inferior (–13.6 eV) entre n2, según predice el modelo de Bohr. Todos los valores de energía son negativos debido a que la energía potencial asociada con las cargas de signo opuesto es negativa. Uno de los éxitos más sorprendentes del modelo de Bohr fue que podía predecir el valor correcto de la constante de Rydberg a partir de cantidades como la masa y la carga del electrón, la constante de Planck y la rapidez de la luz. La teoría de Bohr tuvo un éxito instantáneo y controversial en la comunidad de los físicos. Su introducción estimuló una actividad intensa en la física experimental y teórica. Gran parte del trabajo experimental se centró en hacer mediciones más precisas del espectro atómico de diferentes elementos. El trabajo teórico buscaba extender el modelo de Bohr a átomos distintos del hidrógeno y tratar de comprender las propiedades periódicas observadas en la tabla periódica de los elementos. A pesar de su impresionante éxito, el modelo de Bohr dejó muchas preguntas sin responder. La más molesta era por qué sólo aquellas pocas órbitas descritas por la condición de Bohr debían ser estables y no otras. Los intentos por extender el modelo de Bohr a otros elementos diferentes del hidrógeno tuvieron un éxito limitado. Los físicos ahora reconocen que el modelo de Bohr es impreciso en muchos de sus detalles. Su importancia histórica radica en que abrió la puerta a la investigación, lo que a la larga condujo a nuestra teoría atómica moderna. El espectro atómico del hidrógeno tiene una forma particularmente simple y regular; las longitudes de onda medidas se describen con precisión por medio de la fórmula de Rydberg. Bohr utilizó estos resultados, junto con el descubrimiento de

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f = =

E h 2.55 eV 4.14 × 10−15 eV.s

= 6.16 × 1014 Hz De v = c = f λ, la longitud de onda del fotón emitido es, por tanto

λ = =

c f 3 × 108 m/s 6.16 × 1014 Hz

= 4.87 × 10−7 m = 487 nm Ésta es la línea azul en la serie de Balmer del espectro del hidrógeno.

Rutherford del núcleo y la condición de Planck-Einstein para la cuantización de la energía luminosa, para desarrollar un modelo atómico del hidrógeno. Bohr dio por sentado que sólo había unas cuantas órbitas estables para el electrón alrededor del núcleo. La luz se emitía cuando el electrón saltaba de una órbita de mayor energía a otra de menor energía. Su modelo describía con precisión las longitudes de onda del espectro del hidrógeno y predecía el valor de la constante de Rydberg a partir de cantidades fundamentales.

18.5 Ondas de partículas y mecánica cuántica Las preguntas sin responder y la intensa actividad generada por el modelo atómico de Bohr atrajeron a muchos físicos jóvenes

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392

Capítulo 18

La estructura del átomo

al campo de la física atómica. Era apremiante un modelo más completo del átomo que explicara por qué sólo eran estables ciertas órbitas. Esa necesidad se vio satisfecha cuando se desarrolló la mecánica cuántica en 1925. La mecánica cuántica en realidad se fundó en partir de dos enfoques independientes que rápidamente demostraron ser básicamente los mismos en estructura y predicciones. El enfoque que en general se describe se deduce del trabajo de Louis de Broglie (1892-1987) y Erwin Schrödinger (18871961). De Broglie encendió la chispa al plantear una pregunta simple pero radical: si las ondas de luz a veces se comportan como partículas (como mostraron Planck y Einstein), ¿las partículas pueden comportarse a veces como ondas? Esta pregunta suscitó una revolución en nuestras ideas sobre los principios de la física básica.

¿Qué son las ondas de De Broglie? La pregunta planteada por De Broglie fue inspirada por el concepto de fotón introducido por Planck y Einstein. En 1865, Maxwell había mostrado que la luz podía describirse como una onda electromagnética. Por otra parte, la luz a veces se comportaba como si estuviera formada por partículas discretas y localizadas como paquetes de energía, ahora llamados fotones. Ciertos experimentos que implicaban la interacción de la luz con electrones se explicaban de forma más simple al pensar en la luz como una partícula. Einstein fue el primero en señalar este aspecto de la luz. Su trabajo de 1905 estudió una serie de fenómenos que podían tratarse de tal modo, y el más simple fue el efecto fotoeléctrico, fenómeno en el que la luz que brilla sobre un electrodo en un tubo al vacío provoca que una corriente eléctrica pase por el tubo. Este efecto se usa con frecuencia en los dispositivos de celda fotoeléctrica que abren las puertas cuando una persona interrumpe el rayo de luz. Einstein mostró que el efecto fotoeléctrico podía explicarse suponiendo que un fotón de luz, con energía E = hf como sugería el trabajo de Planck, expulsaba un electrón al golpear el electrodo. Este modelo simple predijo la dependencia de la frecuencia observada del efecto fotoeléctrico, así como otras de sus características. Otros efectos también podían tratarse de esta manera al atribuir una energía E = hf, y una cantidad de movimiento, p = h/λ, al fotón. Aunque esta idea era sencilla, los físicos tardaron en aceptarla porque se creía que las partículas y las ondas eran fenómenos muy diferentes. Era difícil comprender cómo la luz podía comportarse como una partícula en algunos aspectos y como una onda en otros. Una onda ideal se extiende de manera indefinida en el espacio, pero una partícula ideal está completamente localizada, es un simple punto en el espacio (figura 18.21). Las ondas reales tienen una longitud finita, desde luego, y las partículas reales tienen cierta extensión en el espacio, pero los conceptos siguen siendo muy diferentes. De Broglie sugirió que ciertas cosas que tradicionalmente se consideraban partículas, como el electrón, a veces podían comportarse como ondas. En concreto, propuso que se invirtieran las relaciones que describían la energía y la cantidad

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Onda

v

Partícula

figura 18.21

Una onda ideal viaja de manera indefinida, pero una partícula ideal es sólo un punto sin volumen o extensión en el espacio.

de movimiento de un fotón para determinar la frecuencia y la longitud de onda asociadas con una partícula. Al invertir la relación de la energía se obtiene una frecuencia para la partícula de f = E/h. Los fotones tienen una cantidad de movimiento p = h/λ, y al invertir esta relación se obtiene la longitud de onda de De Broglie

λ =

h , p

donde p es la cantidad de movimiento y h la constante de Planck. Si conocemos la energía y la cantidad de movimiento de un electrón, por ejemplo, podríamos calcular su frecuencia y longitud de onda a partir de estas relaciones. La sugerencia de De Broglie podría haber pasado inadvertida de no ser por un resultado asombroso que obtuvo. Si trataba al electrón como una entidad que se comporta como onda y orbita alrededor del núcleo del átomo de hidrógeno, podía explicar la condición de las órbitas cuasiestables del modelo atómico de Bohr. Representó la onda del electrón como si formara una onda estacionaria enrollada alrededor de la órbita circular, como se presenta en la figura 18.22.

+

3 λ = 2π r

18.22 Si el electrón se representaba como una onda estacionaria enrollada alrededor de una órbita circular, De Broglie mostró que su longitud de onda sólo podía tomar ciertos valores. Estos valores producen las órbitas cuasiestables predichas por Bohr.

figura

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18.5 Ondas de partículas y mecánica cuántica

Para formar una onda estacionaria circular, la longitud de onda tendría que restringirse a valores tales que un número entero de longitudes de onda cupieran en la circunferencia del círculo. Al usar la longitud de onda de de Broglie para el electrón, pudo deducir la condición de Bohr sobre los valores permitidos de la cantidad de movimiento angular, L = n(h/2π). Es decir, al suponer que las partículas tenían propiedades ondulatorias y visualizar una onda de partícula estacionaria, enrollada alrededor de una órbita circular, De Broglie pudo explicar por qué únicamente ciertas órbitas eran estables. Había respondido a una de las preguntas fundamentales de la teoría de Bohr. La imagen de De Broglie de una onda estacionaria sobre una órbita circular no debía tomarse literalmente. De hecho, tanto el modelo de Bohr como la explicación de la onda estacionaria predicen un valor incorrecto para la cantidad de movimiento angular de los distintos estados estables en el átomo de hidrógeno. La dificultad básica estriba en que una órbita circular es bidimensional y el átomo mismo es tridimensional. Necesitamos un análisis más complejo para representar las ondas estacionarias adecuadamente. La sugerencia de que las partículas tenían propiedades ondulatorias rápidamente se corroboró mediante la experimentación. Se sabía que los rayos X, que son ondas electromagnéticas, podían refractarse por medio de una red cristalina para formar patrones de interferencia característicos de la estructura del cristal. Varios investigadores pronto demostraron que los haces de electrones también podían difractarse. Los patrones de interferencia que resultaron se parecían a los obtenidos con los rayos X para el mismo cristal, y las longitudes de onda necesarias para explicar los patrones eran exactamente iguales a las que predecía la relación de De Broglie, λ = h/p.

393

18.23 La probabilidad de encontrar el electrón a diferentes distancias del núcleo está dada por estos diagramas de densidad de partículas de unas cuantas órbitas cuasiestables del hidrógeno previstas por la mecánica cuántica.

figura

Estas distribuciones se basan en tratar al electrón como una onda estacionaria. Estas ondas estacionarias describen la probabilidad de hallar electrones a ciertas distancias y orientaciones respecto al núcleo. Las distribuciones de probabilidad para unas cuantas órbitas cuasiestables del átomo de hidrógeno aparecen en la figura 18.23. Las áreas oscuras o más densas son los lugares donde es más probable encontrar el electrón. Las distancias medias del electrón al núcleo para las diferentes órbitas cuasiestables son congruentes con el radio de la órbita proporcionada por el modelo de Bohr.

¿En qué difiere la mecánica cuántica del modelo de Bohr?

¿Qué es el principio de incertidumbre de Heisenberg?

Erwin Schrödinger había pasado la mayor parte de su vida profesional estudiando las matemáticas de las ondas estacionarias en dos y tres dimensiones. Estaba bien preparado para explorar las implicaciones de las ondas de electrones estacionarias en el átomo. En el año que siguió a la sugerencia de De Broglie, Schrödinger desarrolló una teoría del átomo que usaba ondas estacionarias tridimensionales para describir las órbitas del electrón en torno al núcleo. En los cinco años siguientes, Schrödinger y otros científicos abordaron el mismo problema desde diferentes enfoques, con los cuales resolvieron los detalles de la teoría que ahora llamamos mecánica cuántica. Esta nueva teoría aportó un nuevo punto de vista, mucho más completo, del átomo de hidrógeno que el modelo de Bohr. Aun cuando la mecánica cuántica predijo los mismos niveles de energía primarios para las diferentes órbitas que el modelo de Bohr, conservó las características básicas de la idea de Bohr sobre cómo se produce el espectro del hidrógeno. En la mecánica cuántica, las órbitas no son curvas simples, como representaba el modelo de Bohr. Más bien son distribuciones de probabilidad tridimensional centradas en el núcleo.

Ocuparse de las distribuciones de probabilidad en vez de las trayectorias de órbitas bien definidas es una característica fundamental y necesaria de la física cuántica. Las ondas asociadas con los electrones y otras partículas predicen una probabilidad de encontrar el electrón en varias posiciones, pero no pueden indicar exactamente dónde se halla la partícula. Asimismo, las ondas electromagnéticas dan una probabilidad de encontrar fotones en distintas posiciones. En situaciones donde las propiedades ondulatorias predominan, perdemos información sobre las posiciones de las partículas. Esta limitación sobre lo que podemos saber acerca de la ubicación de la partícula se resume en el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg, expuesto por Werner Heisenberg (1901-1976). Este principio establece que la posición y la cantidad de movimiento de una partícula no pueden conocerse al mismo tiempo con gran precisión. Habrá incertidumbre en una que depende de con qué exactitud hayamos determinado la otra. En símbolos, esta limitación toma la forma:

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ΔpΔx ≥

h , 2π

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Capítulo 18

La estructura del átomo

donde h es la constante de Planck, ∆p la incertidumbre en la cantidad de movimiento de la partícula y ∆x es la incertidumbre en su posición. Si la incertidumbre en la posición es pequeña, la incertidumbre en la cantidad de movimiento debe ser grande, y viceversa. Como la cantidad de movimiento p se relaciona con la longitud de onda asociada con la partícula mediante la relación de De Broglie λ= h/p, el principio de incertidumbre afirma que si conocemos la longitud de onda con precisión, no podemos saber la posición de la partícula con exactitud. Lo contrario también es cierto: si conocemos la posición con precisión, no podemos saber la longitud de onda con exactitud. Algunos experimentos tienden a poner de manifiesto los aspectos del comportamiento de los fotones o electrones como partículas (el conocimiento de la posición), y otros resaltar las características ondulatorias (el conocimiento de la longitud de onda). El principio de incertidumbre de Heisenberg es una limitación fundamental sobre lo que podemos observar y no una falta de capacidad experimental. La limitación es una característica inevitable de los pulsos de onda. Si intentamos localizar una onda al crear un pulso breve, la longitud de onda no puede definirse con precisión. Por otro lado, una onda extendida, que permite una definición precisa de la longitud de onda, no nos proporciona información precisa sobre la posición.

¿Cómo explica la mecánica cuántica la tabla periódica? La mecánica cuántica brinda un medio para responder la mayoría de las preguntas planteadas por el modelo de Bohr respecto a la estructura y el espectro atómicos. En particular, la mecánica cuántica predice de manera satisfactoria la estructura y el espectro de los átomos que tienen muchos electrones, aunque los cálculos sean difíciles. También esclarece otras características del espectro que no pueden comprenderse con el modelo de Bohr. La imagen de la estructura atómica que surge de la mecánica cuántica ya se había ensamblado parcialmente en intentos por explicar las regularidades de la tabla periódica de los elementos. La teoría proporciona números cuánticos que describen las distintas órbitas estables posibles. Uno de ellos es el número cuántico principal n, que se requiere para calcular las energías en el modelo de Bohr. No obstante, la mecánica cuántica proporciona otros tres, asociados con la magnitud y orientación de la cantidad de movimiento angular y con el espín del electrón. (Los datos experimentales indican que el electrón se comporta como un dipolo magnético, lo que indica que debe estar girando para formar una espira con corriente diminuta.) Ningún par de electrones en un átomo puede tener el mismo conjunto de números cuánticos. Una vez que se completa una órbita, otros electrones deben tomar valores nuevos y, en general, mayores para al menos uno de los números cuánticos. La cantidad de combinaciones posibles aumenta rápidamente a medida que se incrementa el número cuántico principal n. Para n = 1, sólo hay dos combinaciones posibles que corresponden a dos orientaciones diferentes del eje de giro del

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+

+

Hidrógeno (H)

Litio (Li)

+

Sodio (Na)

18.24 Las propiedades químicas del sodio, con un electrón en la capa n = 3, son parecidas a las del hidrógeno y el litio, que también tienen un solo electrón en sus capas externas.

figura

electrón, pero para n = 2, hay ocho, para n = 3, dieciocho y así sucesivamente. Una vez que los dos estados posibles para n = 1 se completan, el siguiente electrón ganado debe ir en un nivel o capa n = 2. A partir de esta concepción podemos explicar ciertas regularidades de la tabla periódica. Los primeros dos elementos, el hidrógeno (H) y el helio (He), tienen uno y dos electrones, respectivamente. Dos electrones llenan la capa n = 1. El elemento siguiente, el litio (Li), que cuenta con tres electrones, debe tener su tercer electrón en la capa n = 2. Como el litio tiene una capa completa n = 1 y un electrón que le sobra, sus propiedades químicas son muy parecidas a las del hidrógeno, el cual sólo tiene un electrón. Además, al siguiente elemento de esa columna de la tabla periódica, el sodio (Na), le sobra un electrón de la capa n = 2. Sus otros diez electrones llenan los niveles n = 1 y n = 2, dos en la primera capa y ocho en la segunda. En la figura 18.24 se muestra un esquema de la estructura de las capas del hidrógeno, el litio y sodio. El elemento que está justo antes del sodio en la tabla periódica es el neón (Ne), que cuenta con diez electrones, dos en la capa n = 1 y ocho en la capa n = 2. Por tanto, igual que el helio, tiene sus capas completas y no reacciona fácilmente con otros elementos. El helio y el neón son gases nobles, los cuales son no reactivos químicamente. Sin embargo, el flúor (F) tiene nueve electrones, le sobra uno de una capa llena y es muy reactivo. Forma compuestos con elementos como el hidrógeno o el sodio, que pueden ceder un electrón para completar una capa.

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Resumen

Los principios que acabamos de exponer resumidamente también son válidos para explicar toda la tabla periódica, aunque los detalles se vuelven más complicados con números más grandes de electrones. La teoría explica las regularidades de la tabla periódica y predice de manera muy satisfactoria las formas en que se combinan los distintos compuestos químicos. La mecánica cuántica se ha vuelto una teoría fundamental tanto para la química como para la física atómica, nuclear y de la materia condensada.

395

el átomo de hidrógeno. El considerar que las partículas tienen propiedades ondulatorias conduce directamente al principio de incertidumbre de Heisenberg, que afirma que no podemos determinar con precisión y al mismo tiempo tanto la posición de una partícula como su cantidad de movimiento. La mecánica cuántica se ocupa de estudiar las ondas estacionarias asociadas con los electrones del átomo como distribuciones de probabilidad tridimensional. Esta teoría ha tenido éxito al predecir las propiedades del espectro y químicas de los átomos con muchos electrones. Las capas explican por qué obtenemos las regularidades descritas por la tabla periódica. Actualmente la mecánica cuántica es la teoría fundamental que subyace la mayoría de las áreas de la física y la química.

Louis de Broglie indicó que las partículas como los electrones tenían propiedades como las de las ondas. Al aplicar esta idea pudo explicar la condición de Bohr de las órbitas estables en

resumen En menos de cincuenta años, progresamos de saber prácticamente nada acerca de la estructura del átomo a tener un conocimiento detallado de ella. Algunos de los descubrimientos críticos que condujeron a este conocimiento se estudiaron, empezando por las pruebas químicas de la existencia de los átomos y culminando en la teoría llamada mecánica cuántica que explica la estructura atómica.

beta (electrones) y gamma (rayos X de longitud de onda corta). Los rayos alfa se utilizaron para estudiar la estructura del átomo en experimentos de dispersión, los cuales llevaron al descubrimiento del núcleo del átomo.

1

Pruebas químicas. El reconocimiento de la importancia de pesar los reactantes y productos químicos condujo al enunciado de la ley de las proporciones definidas y al concepto de masa atómica. Si cada elemento se compone de átomos que tienen la misma masa, podríamos explicar las proporciones de masa observadas en las reacciones químicas. La tabla periódica muestra regularidades en las propiedades de diferentes elementos cuando están organizados en orden según su incremento en el peso atómico. m __O = 16 __ = 8_ 2 1 mH

16 1

1 H2O

Espectro atómico y el modelo atómico de Bohr. 4Bohr explicó las regularidades observadas en el espectro del hidrógeno (los colores de luz emitidos por átomos de hidrógeno excitados) con un modelo que incorporaba las nuevas ideas cuánticas presentadas por Planck y Einstein. Bohr representó la luz como una emisión que ocurría cuando un electrón saltaba de una órbita estable a otra de menor energía. La diferencia de energía explicaba la frecuencia y la longitud de onda de los fotones emitidos.

2

Rayos catódicos, electrones y rayos X. El estudio de los rayos catódicos, producidos al conectar un alto voltaje a dos electrodos en un tubo al vacío, llevó al descubrimiento del electrón y los rayos X. El electrón es una partícula cargada negativamente con una masa mucho más pequeña que el átomo más pequeño, así que fue la primera partícula subatómica disponible para la construcción de los modelos atómicos.

__ ΔE = hf = hc λ

5

Radiactividad y el descubrimiento del núcleo. La 3radiactividad natural, descubierta poco tiempo después del descubrimiento de los rayos X, tiene tres componentes: alfa (iones de helio),

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Ondas de partículas y mecánica cuántica. La sugerencia de De Broglie de que las partículas como los electrones podían tener propiedades ondulatorias caracterizadas por una longitud de onda relacionada con la cantidad de movimiento de la partícula λ = h/p, fue un camino que nos llevó al desarrollo de la mecánica cuántica. Las órbitas estables de los electrones en los átomos pueden describirse en términos de ondas estacionarias tridimensionales en esta teoría. Las distribuciones de probabilidad resultantes pueden explicar el espectro atómico y las propiedades químicas de los átomos con múltiples electrones.

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Capítulo 18

La estructura del átomo

conceptos clave elementos, 376 átomos, 376 combustión, 376 ley de Dalton de las proporciones definidas, 377 moléculas, 377 masa atómica, 377 tabla periódica de los elementos, 379

rayos catódicos, 381 electrones, 383 rayos X, 384 radiactividad natural, 385 núcleo, 387 espectro atómico, 388 constante de Rydberg, 389 cuerpo negro, 389

constante de Planck, 390 cuantizado, 390 fotones, 390 mecánica cuántica, 393 principio de incertidumbre de Heisenberg, 393 números cuánticos, 394 gases nobles, 394

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. ¿Es lo mismo elemento químico que compuesto químico? Explica por qué. P2. ¿El elemento hierro (Fe) puede transmutarse en oro calentándolo a una temperatura lo suficientemente alta? Explica por qué. P3. Cuando una sustancia se quema, ¿todos los productos de esa reacción son sustancias sólidas que pueden pesarse fácilmente? Explica por qué. P4. ¿La masa se conserva en una reacción química? Explica por qué. P5. En una reacción química, ¿los elementos que intervienen se transmutan en elementos diferentes a medida que avanza el proceso? Explica por qué.

P13. ¿Crees que un tubo de imagen de televisión puede producir rayos X? Explica por qué. P14. Si el haz de electrones en un tubo de televisión golpea sólo un punto en la pantalla a la vez, ¿cómo podemos ver la imagen completa? Explícalo. P15. A partir del descubrimiento de Roentgen de los rayos X, Becquerel descubrió un tipo muy parecido de radiación que despiden los materiales fosforescentes que contienen uranio o torio. ¿Esa nueva radiación era igual que los rayos X? Explica por qué. P16. ¿Era necesario que los materiales fosforescentes de Becquerel estuvieran expuestos a la luz del Sol para que exhibieran una radiactividad natural? Explica por qué. P17. ¿Cuáles son dos diferencias importantes que distinguen las partículas alfa de las beta cuando atraviesan un campo magnético? Explica por qué.

P6. ¿Un átomo de carbono (C) tiene la misma masa que un átomo de oxígeno (O)? Explica por qué.

*P18. Cuando las partículas alfa se dispersan a partir de una hoja de oro delgada, ¿por qué la mayoría de ellas pasan con muy poca desviación? Explícalo.

P7. ¿Es posible que cualquier número de átomos de hidrógeno se combine con un solo átomo de oxígeno? Explica por qué.

P19. ¿La mayor parte de la masa del átomo reside dentro o fuera del núcleo? Explica por qué.

*P8. ¿La ley de las proporciones definidas puede explicarse en función de un modelo en el que diferentes átomos del mismo elemento tengan masas que varían mucho? Explica por qué. P9. ¿Los rayos catódicos se componen de ondas electromagnéticas? Explica por qué. P10. ¿Los rayos X se componen de ondas electromagnéticas? Explica por qué. P11. Suponiendo que los rayos catódicos son un haz de partículas cargadas, ¿cómo podrías demostrar que esas partículas están cargadas negativamente? Explícalo. P12. ¿Qué características de las partículas cargadas negativamente que forman los rayos catódicos sugirieron a Thomson que podrían ser partes fundamentales del átomo? Explica por qué.

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*P20. ¿Qué importancia tuvo el experimento de dispersión de Rutherford para nuestros conocimientos del desarrollo de la estructura atómica? Explica por qué. P21. ¿Esperarías que los electrones tuvieran un efecto en la desviación del rayo de partículas alfa? Explica por qué. *P22. ¿Cómo se genera el espectro atómico del hidrógeno o de otros gases en forma experimental? ¿Cómo se miden? Explícalo. P23. ¿El espectro del hidrógeno se compone de longitudes de onda espaciadas al azar o hay un patrón para el espaciado? Explica por qué. P24. De acuerdo con la teoría de Planck, ¿un radiador de cuerpo negro puede emitir luz en cantidades de energía que varían constantemente para una longitud de onda o frecuencia dadas? Explica por qué.

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397

Problemas de síntesis P25. De acuerdo con la teoría de Bohr del átomo de hidrógeno, ¿puede suceder que el electrón orbite alrededor del núcleo con cualquier energía posible? Explica por qué.

tridimensional para ubicar al electrón. ¿Cuál de estos puntos de vista da el panorama más objetivo del átomo de hidrógeno? Explica por qué.

P26. ¿Qué pasa con el exceso de energía cuando el electrón salta de una órbita de energía mayor a otra de menor energía en el átomo de hidrógeno? Explica por qué.

P30. Las propiedades químicas del sodio (Na), con once electrones, son parecidas a las del litio (Li), el cual tiene sólo tres electrones. ¿Cómo explicamos este hecho?

P27. ¿Un electrón tiene longitud de onda? Explica por qué.

P31. ¿El helio (He), con dos electrones (uno más que el hidrógeno), reacciona químicamente con otras sustancias con más facilidad o con menos facilidad que el hidrógeno? Explica por qué.

P28. De acuerdo con la teoría de la mecánica cuántica, ¿es posible determinar con exactitud la ubicación de un electrón en el átomo? Explica por qué. P29. El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno predice una órbita circular para el electrón en torno al núcleo; la teoría de la mecánica cuántica predice la distribución de probabilidad

P32. ¿Por qué la segunda fila de la tabla periódica tiene más elementos que la primera, que contiene hidrógeno y helio? Explícalo.

ejercicios E1. Si el sodio (Na), con un peso atómico de 23, se combina con el oxígeno (O), con un peso atómico de 16, para formar el compuesto Na2O, ¿cuál es la razón de la masa de sodio al oxígeno que reaccionaría completamente en esta transformación? E2. Si el carbono (C), con un peso atómico de 12, se combina con el oxígeno (O), con un peso atómico de 16, para formar bióxido de carbono (CO2), ¿cuántos gramos de carbono reaccionarían con 96 g de oxígeno? E3. Si 38 g de flúor (F) reaccionan completamente con 2 g de hidrógeno (H) para formar el compuesto fluoruro de hidrógeno (HF), ¿cuál es el peso atómico del flúor? E4. Si el aluminio (Al), con un peso atómico de 27, se combina con oxígeno (O), con un peso atómico de 16, para formar el compuesto óxido de aluminio (Al2O3), ¿cuánto oxígeno se requiere para que reaccione completamente con 54 g de aluminio? E5. Si la masa de un átomo de hidrógeno es 1.67 × 10–27 kg y la de un electrón es 9.1 × 1031 kg, ¿cuántos electrones se requieren para tener una masa equivalente al átomo de hidrógeno? E6. ¿Cuántos electrones se necesitan para producir 5 microcoulombs (5 × 10–6 C) de carga negativa? (e = –1.6 × 10–19 C)

E8. Calcula en términos de la fórmula de Rydberg la longitud de onda de la línea en la serie de Balmer del espectro del hidrógeno para m = 3. (n = 2 para la serie de Balmer.) E9. Calcula en términos de la fórmula de Rydberg la longitud de onda de la línea espectral para la cual m = 3 y n = 1. ¿Esta línea estaría visible a la vista común? Explica por qué. E10. Si un fotón tiene una longitud de onda de 650 nm (rojo). a) ¿Cuál es la frecuencia del fotón? b) ¿Cuál es la energía del fotón en joules? E11. Imagina que un fotón tiene una energía de 3.6 × 10–19 J. a) ¿Cuál es la frecuencia del fotón? (h = 6.626 × 10–34 J·s) b) ¿Cuál es la longitud de onda del fotón? E12. Un electrón en el átomo de hidrógeno salta de una órbita en la cual la energía es 1.89 eV mayor que la energía de la órbita de energía menor final. a) ¿Cuál es la frecuencia del fotón emitido en esta transición? (h = 4.14 × 10–15 eV·s. Véase el cuadro de ejemplo 18.1.) b) ¿Cuál es la longitud de onda del fotón emitido?

E7. Si un haz de rayos X tiene una longitud de onda de 1.5 × 10–10. ¿Cuál es la frecuencia de estos rayos X? (v = c = fλ.)

problemas de síntesis PS1. Un haz de electrones en un tubo de rayos catódicos pasa por dos placas paralelas que tienen una diferencia de voltaje de 300 V entre ellas y están separadas por una distancia de 2 cm, como se muestra en el diagrama. a) ¿En qué dirección se desviará el haz de electrones cuando pase entre estas placas? Explica por qué.

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b) Usando la expresión para un campo uniforme, ∆V = Ed, calcula el valor del campo eléctrico en la región entre las placas. c) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre electrones individuales por este campo? (F = qE, q = 1.6 × 10–16 C.)

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398

Capítulo 18

La estructura del átomo

d) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la aceleración de un electrón? (m = 9.1 × 10–31 kg). e) ¿Qué tipo de trayectoria seguirá el electrón cuando pase por la región entre las dos placas? Explica por qué.

+

+

+

– –

–

+

+

2 cm

–

–

–

+

+

+

300 V

–

–

–

PS2. Estudia el diagrama de niveles de energía mostrado en la figura 18.20. La serie de Balmer de todas las líneas espectrales comprende las transiciones al nivel de energía n = 2, y la serie de Lyman en la parte ultravioleta abarca las transiciones al nivel n = 1. Todas las energías son negativas como resultado de la energía potencial negativa para las dos cargas de signo opuesto. a) ¿Cuál transición en la serie de Balmer produce el fotón de frecuencia menor (y la longitud de onda más larga)? b) ¿Cuál es la diferencia de energía en joules para los dos niveles implicados en la transición del inciso a? c) ¿Cuáles son la frecuencia y la longitud de onda del fotón emitido en esta transición?

d) De igual modo, calcula la frecuencia y la longitud de onda del fotón con la longitud de onda más larga en la serie de Lyman. PS3. Cuando un átomo pierde totalmente un electrón, decimos que el átomo está ionizado. Un átomo ionizado tiene una carga neta positiva ya que ha perdido un electrón. a) A partir del diagrama de niveles de energía de la figura 18.20, ¿cuánta energía se requeriría para ionizar un átomo de hidrógeno cuando está en su nivel de energía más bajo? b) ¿Cuánta energía se requeriría para ionizar el átomo cuando está en el primer estado excitado arriba del nivel inferior? c) Si un electrón con energía cinética cero fue “capturado” por un átomo de hidrógeno ionizado y de inmediato se fue al nivel de menor energía, ¿qué longitud de onda se observaría para el fotón emitido en esta transición? PS4. Imagina que un electrón (m = 9.1 × 10–31 kg) se mueve con una velocidad de 1500 m/s. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento de este electrón? b) ¿Cuál es la longitud de onda de de Broglie para este electrón? c) ¿Cómo se compara esta longitud de onda con la de la luz visible? (véase la figura 16.5).

experimentos y observaciones para la casa EC1. Consigue un poco de colorante vegetal líquido azul o rojo en tu cocina o en una tienda de abarrotes. Llena dos vasos o tazas de plástico transparente con iguales cantidades de agua, una fría y otra caliente. Deja caer una gota de colorante vegetal en cada taza y observa lo que ocurre. (No agites una vez que hayas agregado el colorante.) a) Describe los cambios que ocurren durante varios minutos hasta que el colorante artificial se haya dispersado bien en las dos tazas. ¿Qué diferencias notas entre la taza con el agua fría y la taza con el agua caliente? b) Desarrolla una explicación para tus observaciones. ¿Sugieren la presencia de partículas diminutas como moléculas o átomos?

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EC2. Con el televisor en color apagado, observa de cerca la pantalla. Si tienes una lupa disponible, te ayudará a observar con lujo de detalle. a) Describe el patrón de líneas que ves. Haz un boceto detallado que muestre la disposición de las líneas. ¿Cuántas líneas hay aproximadamente? b) Si tienes a la mano un televisor en blanco y negro, compara el patrón de su pantalla con el del televisor en color. ¿Qué diferencias puedes describir?

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El núcleo y la energía nuclear

descripción del capítulo

esquema del capítulo

1 2 3

4

5

GRIFFITH 19.indd 399

La estructura del núcleo. ¿Cuáles son los componentes del núcleo y cómo embonan para formarlo? ¿Cuál es la diferencia entre los diferentes isótopos de un mismo elemento? Decaimiento radiactivo. ¿Qué es el decaimiento radiactivo y cómo se relaciona con los cambios en el núcleo? ¿Por qué la radiactividad puede ser peligrosa? Reacciones nucleares y fisión nuclear. ¿Qué son las reacciones nucleares y en qué se diferencian de las reacciones químicas? ¿Cómo se descubrió la fisión nuclear? ¿Cómo puede la fisión producir una reacción en cadena? Reactores nucleares. ¿Cómo funcionan los reactores nucleares? ¿Cuáles son las funciones del moderador, las barras de control, el refrigerante y otros de sus componentes? ¿De qué se componen los residuos nucleares? Armas nucleares y fusión nuclear. ¿Cómo funciona una bomba nuclear? ¿Qué es la fusión nuclear y cómo se usa para liberar energía?

capítulo

19 unidad cinco

En este capítulo se narra la historia de cómo los físicos exploraron el núcleo y su estructura, cómo descubrieron la fisión nuclear poco antes de la Segunda Guerra Mundial y el esfuerzo que emprendieron durante la conflagración para desarrollar la bomba atómica. El deseo de la posguerra de encontrar usos pacíficos para el átomo desembocó en la construcción de centrales eléctricas comerciales; no obstante, durante esta era también se presenció la invención de la bomba de hidrógeno (fusión) y la rápida acumulación de armas nucleares por las principales potencias mundiales. Nuestro objetivo radica en comprender la ciencia subyacente a estos temas.

27/10/07 12:57:56

400 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear

E

n 1986, los medios de comunicación rebosaban artículos y comentarios sobre un grave accidente nuclear ocurrido en la central nuclear de Chernobyl, en Ucrania, entonces parte de la Unión Soviética. La radiactividad se había dispersado hacia parte de Europa, varios bomberos y trabajadores del reactor habían muerto y los temores de la gente respecto a la energía nuclear volvieron a despertarse de manera espectacular. En Estados Unidos hay aproximadamente setenta reactores nucleares que producen energía eléctrica; submarinos que usan reactores nucleares como fuente de energía y reactores más pequeños utilizados para la investigación y otros propósitos. La mayoría de esos reactores operan con problemas menores y tienen un impacto mínimo en el medio. Sin embargo, las consecuencias ambientales y económicas de la energía nuclear han sido temas muy controvertidos en las tres décadas pasadas. ¿Qué sucede dentro de un reactor nuclear? ¿Cómo obtenemos energía del uranio y qué residuos nucleares se generan? ¿Hemos de temer a esas nubes de apariencia benigna que salen de la torre de enfriamiento (figura 19.1)? ¿Un reactor puede estallar como una bomba nuclear? ¿Cuál es la diferencia entre fisión y fusión nuclear? Si conoces las respuestas a estas preguntas quedarás menos a merced de los extremistas de toda laya que imponen sus puntos de vista simples y engañosos.

19.1 La estructura del núcleo Empezamos a comprender la estructura del núcleo apenas en el siglo xx. Incluso no se sospechaba de su existencia sino hasta después de los famosos experimentos de dispersión de las partículas alfa realizados por Rutherford entre 1909 y 1911 (véase la sección 18.3). La idea de que este centro diminuto del átomo también tiene una estructura que podemos descifrar puede parecer asombrosa. ¿Cuáles son las partes fundamentales que forman el núcleo? Ernest Rutherford, a quien se atribuye el descubrimiento del núcleo, también tuvo un papel relevante en responder a esta pregunta. Las pruebas proceden de más experimentos de dispersión. Los distintos tipos de tales experimentos fueron la herramienta principal para investigar el núcleo y otras partículas subatómicas.

¿Cómo se descubrió el protón? Rutherford realizó el experimento con el que se descubrió la primera pieza nuclear en 1919. Una vez más, usó partículas alfa en su investigación. En la figura 19.2 se muestra un diagrama conceptual del experimento. Bombardeó con un rayo de partículas alfa una celda que contenía gas nitrógeno. Como se esperaba, algunas partículas atravesaron la muestra sin chocar con nada y otras se desviaron (dispersaron) debido al núcleo de

GRIFFITH 19.indd 400

figura 19.1

La gran torre de enfriamiento es la característica más prominente de una central nuclear. ¿Cuál es la fuente de energía en una planta como ésta?

La historia de cómo fue ampliándose nuestro conocimiento acerca del núcleo del átomo es una de las más fascinantes de la ciencia del siglo XX. Las consecuencias políticas de las armas y la energía nucleares han sido parte fundamental de esa historia. Estos temas, más que cualesquiera otros, han llevado la ciencia y la física al terreno de la política nacional e internacional. Las cuestiones nucleares se han vuelto parte de nuestras preocupaciones comunes como ciudadanos.

los átomos de nitrógeno. Las partículas desviadas podían observarse con detectores de destellos (véase la sección 18.3). El resultado inesperado de este experimento fue la aparición de una partícula diferente en la celda que contenía el nitrógeno. Estas partículas nuevas estaban cargadas positivamente, como las partículas alfa, pero se distinguían de ellas por la distancia que recorrían en el aire, amén de otras características. De hecho, las partículas nuevas se comportaban como los núcleos de los átomos de hidrógeno que Rutherford había observado en experimentos anteriores al bombardear el gas hidrógeno con partículas alfa. La masa del átomo de hidrógeno es de aproximadamente una cuarta parte de la de una partícula alfa, que es el núcleo de un átomo de helio, como se indica en el capítulo 18. Encontrar núcleos de hidrógeno emitidos desde una celda que no lo contenía insinuaba una posibilidad fascinante: tal vez el núcleo de hidrógeno era un componente básico del núcleo de otros elementos. Ya se sabía que las masas atómicas de muchos elementos se acercaban a múltiplos enteros de la masa atómica del hidrógeno. La masa atómica del nitrógeno, por ejemplo, es alrededor de 14 veces la masa atómica del hidrógeno, mientras que la del carbono y la del oxígeno son más o menos 12 y 16 veces, respectivamente, la del hidrógeno. Estas masas podían explicarse si los núcleos de estos elementos estuvieran formados por 12, 14 y 16 núcleos de hidrógeno para el carbono, nitrógeno y oxígeno, correspondientemente.

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19.1 La estructura del núcleo

401

Celda que contiene gas nitrógeno Microscopio

Fuente movible de partículas alfa

Pantalla para observar los destellos

figura 19.2

Dibujo de los aparatos usados en el experimento de dispersión de Rutherford, que desembocó en el descubrimiento del protón. El gas nitrógeno era el objetivo de las partículas alfa.

Experimentos posteriores realizados por Rutherford y otros mostraron que los núcleos de hidrógeno también podían expulsarse del sodio y otros elementos si se les bombardeaba con partículas alfa. Ahora llamamos a esta partícula protón, un componente tanto del núcleo del átomo de hidrógeno como de otros núcleos. Un protón tiene una carga de +e = 1.6 × 10–19 C, opuesta en signo pero idéntica en magnitud a la carga del electrón –e. No obstante, su masa es mucho más grande que la del electrón y es aproximadamente igual a la del átomo de hidrógeno, 1835 veces la masa del electrón.

¿Cómo se descubrió el neutrón? La hipótesis de que los núcleos de los diferentes elementos podían estar formados simplemente por protones planteaba algunos problemas serios, el más obvio de los cuales era la carga del núcleo. A partir de la ubicación del nitrógeno en la tabla periódica y de otros datos, la carga del núcleo de nitrógeno debía ser +7e en vez de +14e. Si hubiera 14 protones en el núcleo del átomo de nitrógeno, la carga nuclear sería demasiado grande. Asimismo, el carbono y el oxígeno tienen cargas nucleares de +6e y +8e, respectivamente, en vez de 12 o 16 veces e. Durante un tiempo los físicos consideraron la posibilidad de que los electrones también estuvieran presentes en el núcleo, con lo que neutralizaban parcialmente la carga adicional de los protones. Sin embargo, este punto de vista presentaba serios inconvenientes a la luz de los nuevos conocimientos de la mecánica cuántica. Las energías de los electrones confinados a la diminuta región del núcleo tendrían que ser mucho mayores que las energías medidas de los electrones que surgen como rayos beta en el decaimiento radiactivo. Por consiguiente, no parecía probable que los electrones existieran como partículas separadas en el núcleo.

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Se precisó de varios años para resolver este acertijo. Otro experimento de dispersión, realizado en Alemania por Walther Bothe y Wilhelm Becker alrededor de 1930, permitió un gran avance. Bothe y Becker bombardearon delgadas muestras de berilio con partículas alfa y encontraron que se emitía una radiación muy penetrante. Como los rayos gamma eran la única radiación tan penetrante conocida, Bothe y Becker supusieron primero que intervenían rayos gamma. Sin embargo, otros experimentos mostraron que esta nueva emisión tenía capacidad mayor para atravesar el plomo que los rayos gamma, aparte de poseer otras propiedades muy distintas de las de esos rayos. En 1932 un físico británico, James Chadwick (1891-1974), mostró que esta nueva emisión del berilio se comportaba como una partícula cargada neutralmente con una masa más o menos igual a la del protón. Chadwick utilizó en su experimento la emisión penetrante del bombardeo alfa del berilio para bombardear un pedazo de parafina (figura 19.3), la cual es un compuesto de carbono e hidrógeno; los núcleos de hidrógeno (protones) emergían de ella cuando se colocaban en la trayectoria de la radiación penetrante que llegaba desde el berilio. El hecho de que una partícula neutral nueva con masa igual a la del protón chocara con los protones en la parafina explicaba ingeniosamente las energías de los protones que emergían de ésta. Tal partícula nueva se llamó neutrón, la cual no tiene carga y su masa es casi del mismo tamaño que la del protón. El descubrimiento de Chadwick del neutrón planteó la pregunta de las piezas fundamentales del núcleo (figura 19.4): si el núcleo está formado de neutrones y protones, podemos explicar tanto su carga como su masa. El nitrógeno, por ejemplo, puede tener un núcleo formado de siete protones y siete neutrones para tener una masa total de 14 veces la del hidrógeno. Puedes deducir sin problema los números requeridos de protones y neutrones para el carbono y el oxígeno. En la figura 19.5 se muestran los números para varios elementos.

27/10/07 12:58:09

402 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear Hoja delgada de berilio

Hoja delgada de parafina

Radio o polonio

Protones

Rayo de partículas alfa

Radiación penetrante (neutrones)

Neutrones

figura 19.3

Diagrama del experimento de Chadwick. La radiación que llega desde el objetivo de berilio se usó para bombardear un objetivo de parafina.

Protón

Neutrón

+

Número de neutrones y protones para diferentes isótopos de los mismos elementos

q = +e m = 1.673 × 10–27 kg

figura 19.4

tabla 19.1

q=0 m = 1.675 × 10–27 kg

Las partes básicas del núcleo son el protón y el

neutrón.

Nombre

Símbolo*

Hidrógeno-1

1H

Protones

Neutrones

1

1

0

Hidrógeno-2 (deuterio)

1H

2

Hidrógeno-3 (tritio)

1

1

1H

3

1

2

Carbono 12

12 6C 14 6C

6

6

6

8

17

18

Cloro 37

35 17Cl 37 17Cl

17

20

Uranio 235

92U

235

92

143

Uranio 238

92U

238

92

146

Carbono 14

¿Qué son los isótopos? Con el descubrimiento del neutrón se resolvió otra interrogante. Se sabía desde hacía tiempo que los átomos del mismo elemento podían tener diferentes valores de masa nuclear. Las masas nucleares se medían con gran precisión haciendo pasar núcleos a velocidad conocida por un campo magnético y observando cómo se desviaban sus trayectorias debido a la fuerza magnética del núcleo cargado positivamente. Por ejemplo, gracias a la química se sabía que el cloro tenía una masa atómica media de 35.5 veces la del hidrógeno. Sin embargo, cuando se pasaban iones de cloro por un campo magnético, dos masas distintas estaban presentes, una de 35 veces y otra de 37 veces la del hidrógeno. Sus propiedades químicas eran idénticas, es decir, ambas se comportaban como el cloro. Hoy en día llamamos isótopos a las diferentes versiones de masa de un mismo elemento. Los distintos isótopos tienen la misma cantidad de protones en el núcleo, pero diferente número de neutrones. De los dos isótopos comunes del cloro, por citar un caso, uno tiene 17 protones en el núcleo, pero uno tiene 18 neutrones, lo que da una masa total de 35, en tanto que el otro posee 20 neutrones, lo que da un número de masa total de 37. (El número de masa es la suma de los protones y neutrones.) En la tabla 19.1 se presentan otros ejemplos. Como vimos en el capítulo 18, las propiedades químicas de un elemento están determinadas por el número y la disposición de los electrones. Para un átomo neutral con una carga neta de

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Cloro 35

* En la sección 19.2 se explica la notación empleada en esta tabla.

cero, el número de electrones debe ser igual al de protones, a lo cual se denomina número atómico. El nitrógeno, por ejemplo, tiene un número atómico de 7: hay siete protones en el núcleo y siete electrones que describen órbitas alrededor de él. También hay siete neutrones en el núcleo, pero, en general, el número de neutrones no es igual al número atómico. Excepto por los elementos más ligeros, la cantidad de neutrones comúnmente es mayor que el número atómico. Con el descubrimiento del neutrón en 1932, muchas piezas del rompecabezas encajaron. Ahora podían explicarse tanto las masas atómicas como las propiedades químicas de los átomos. Los físicos comenzaron a crear modelos del núcleo y a diseñar nuevos experimentos para probarlos. Quizá más importante aún, el neutrón proporcionó un objeto de investigación nuevo y poderoso para explorar la estructura del núcleo.

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19.2 Decaimiento radiactivo Número de protones

Número de neutrones

Isótopo

Símbolo

Helio-4

2He

2 + +

2

+ +

Berilio-9

9 4Be

4 + + + +

5

+ + +

Nitrógeno-14

14 7N

7 + + + + + + +

7

+ + + + +

Cloro-37

37 17Cl

17

20

++ + + ++ + ++ +

30

+ + + ++ + + + + + + + + + +

146

+ + + + + + + ++ + + + ++ + + + + + + + + + + +

Fierro-56

Uranio-238

4

56

26Fe

238

92U

26

92

403

Tamaño relativo

figura 19.5

Números de protones y neutrones para los isótopos más comunes de varios elementos. El núcleo se vuelve más grande a medida que el número de protones y neutrones aumenta.

Como no tiene carga, un neutrón puede penetrar el núcleo y reordenarlo. El protón y la partícula alfa, por otra parte, están cargados positivamente; por consiguiente, son repelidos por la carga positiva del núcleo. Esto dio lugar a una gran cantidad de experimentos, algunos de los cuales provocaron sorpresas aún más espectaculares que las descritas aquí. Una serie de experimentos de dispersión realizados por Rutherford y otros físicos dieron pistas para encontrar las piezas fundamentales del núcleo. El protón, que es el núcleo del átomo de hidrógeno, se encontró en otros núcleos también. El neutrón, que tiene una masa casi igual a la del protón pero con carga cero, también podía generarse en los experimentos de dispersión. En conjunto, el protón y el neutrón representan tanto la masa como la carga de diferentes núcleos, así como la existencia de diferentes isótopos del mismo elemento.

19.2 Decaimiento radiactivo Como vimos en la sección 18.3, Becquerel descubrió la radiactividad natural en 1896. Para 1910 Rutherford y otros habían demostrado que un elemento en realidad se transformaba en otro durante el decaimiento radiactivo. El núcleo del átomo

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como tal se modifica cuando ocurre un decaimiento. ¿De qué nos sirven las ideas aprendidas sobre la estructura nuclear para esclarecer este fenómeno?

¿Qué pasa en el decaimiento alfa? El radio, que aislaron e identificaron a fines del siglo xx Marie y Pierre Curie, fue uno de los primeros elementos radiactivos estudiados exhaustivamente. El radio se encontró en el mineral de uranio, en forma de pechblenda (o uraninita), que pronto demostró ser mucho más radiactivo que el uranio mismo. Las partículas alfa, a las cuales Rutherford identificó como los núcleos de los átomos de helio, eran la radiación principal emitida en el decaimiento del radio. El isótopo dominante del radio encontrado en la pechblenda contiene un total de 226 nucleones (neutrones y protones) en su núcleo. Llamamos a este isótopo radio 226 y solemos escribirlo 226 88Ra , donde Ra es el símbolo químico del radio, el subíndice 88 es el número atómico y el superíndice 226 es el número de masa, es decir, el número total de neutrones y protones. Como el número atómico es 88, hay 88 protones y 138 neutrones (22688) en el núcleo de este isótopo. Si sabemos que el radio 226 emite partículas alfa, podemos averiguar qué elemento resulta de este decaimiento. El

27/10/07 12:58:12

404 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear proceso es sencillo: sabemos cuántos protones y neutrones están contenidos tanto en el radio como en las partículas alfa (un núcleo de helio), por tanto, también sabemos cuánto sobra de cada uno en el producto de decaimiento o elemento hija. Con frecuencia escribimos la ecuación de una reacción como ayuda para llevar la cuenta de los números y como abreviatura para describir la reacción: 226 88Ra

⇒

222 86X

+ 2He4.

El número atómico (86) del elemento conocido X se obtiene restando el número atómico del helio 2, del radio, 88. El número de masa se calcula de modo parecido: al restar 4 de 226 se obtiene el número de masa 222. Tanto los números atómicos como los de masa deben sumarse al mismo total en cualquier miembro de la ecuación de reacción. Por ende, el elemento desconocido puede identificarse en una tabla periódica (véase la contraportada interna para saber qué elemento tiene el número atómico 86). Resulta ser el gas noble radón (Rn), de modo que el núcleo hija que se etiquetó temporalmente como X es el radón 222 (86Rn222). El decaimiento alfa del radio 226 se ilustra en la figura 19.6, donde la partícula alfa aparece emergiendo a una velocidad mucho mayor que la de retroceso del núcleo del radón, como dicta la conservación de la cantidad de movimiento (véase el capítulo 7). Si la cantidad de movimiento inicial del sistema era cero, después del decaimiento la partícula alfa y el núcleo del radón deben tener cantidades de movimiento iguales pero con dirección opuesta. Como la partícula alfa tiene una masa mucho menor que el núcleo del radón, su velocidad ha de ser mucho mayor que la del núcleo del helio para que las cantidades de movimiento sean de igual magnitud (p = mv). Aun cuando no obtuvimos oro, el sueño de los alquimistas de convertir un elemento en otro sí se materializa en el decaimiento radiactivo y otras reacciones nucleares. El isótopo hija, el radón 222, es por sí mismo radiactivo y sufre decaimiento alfa para producir polonio 218, el cual, a su vez, sufre decaimiento alfa para producir plomo 214. Aunque el plomo 214 no es un isótopo estable, por lo regular el plomo es el producto final del decaimiento radiactivo de los elementos más pesados. Antes del decaimiento 226 88Ra

Después del decaimiento 222 86Rn

α (2He4)

figura 19.6 el radón 222.

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Decaimiento alfa del radio 226. El isótopo hija es

¿Qué sucede en los decaimientos beta y gamma? El plomo 214 sufre un decaimiento beta, es decir, la partícula emitida en el decaimiento beta es un electrón o un positrón (una versión con carga positiva del electrón). En el caso del plomo 214, se emite un electrón normal (con carga negativa). La masa de un electrón es tan pequeña que puede ignorarse en la escala de las masas nucleares, es decir, su número de masa de hecho es cero. Como un electrón se carga negativamente, su carga o número atómico es –1, así que la ecuación de la reacción toma la forma siguiente: 214 82Pb

⇒

83X

214

+

−1e

0

+ 0ν 0.

La tercera partícula que aparece en el miembro derecho de la ecuación de la reacción del decaimiento beta se llama antineutrino y se representa con la letra griega nu (ν). La barra sobre el símbolo indica una antipartícula. Todas las partículas elementales tienen antipartículas. Las antipartículas tienen masas idénticas pero cargas de signo opuesto si están cargadas. Por ejemplo, el positrón es la antipartícula de un electrón. Si las antipartículas interactúan se anulan entre sí, con lo que se libera energía en otras formas. El antineutrino no se había observado directamente en el decaimiento beta pero se incluyó para conservar la energía. Como los electrones en dicho decaimiento emergen con una variedad de energías, los físicos pensaron que algo más debía intervenir para explicar la energía restante. Los neutrinos no fueron detectados con precisión sino hasta 1957, pero los físicos creían en su existencia desde hacía muchos años, debido a su certeza acerca del principio de conservación de la energía. Los neutrinos (y los antineutrinos) tienen una masa diminuta y no tienen carga, por lo que no afectan la carga ni los números de masa en la ecuación de reacción. De nuevo, aquí vemos que los números de masa y los de carga se suman en cualquier lado de la ecuación de reacción. El número atómico del elemento resultante es 83, ya que 83 – 1 = 82, que es el número atómico original del isótopo de plomo (Pb). Arriba del número atómico 83 en la tabla periódica aparece el bismuto 214, que es el elemento hija en este decaimiento (figura 19.7). Uno de los neutrones dentro del núcleo del plomo 214 ha cambiado a un protón, con lo que se produce un núcleo con un número atómico mayor. Por tanto, podemos sustituir 83Bi214 por la X desconocida en la ecuación de reacción. Mediante una serie de decaimientos beta y alfa posteriores, el bismuto 214 decae finalmente a un isótopo estable de plomo, el plomo 206. Algunos de los isótopos implicados en esta cadena de decaimiento también emiten rayos gamma, que son rayos X de alta energía. Como la partícula emitida en este caso es un fotón, que no tiene carga o masa, ni el número de masa ni el número de carga cambian en un decaimiento gamma. Simplemente nos quedamos con una versión más estable del isótopo original (figura 19.8).

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405

19.2 Decaimiento radiactivo

cuadro de ejemplo 19.1

Antes del decaimiento 214

Ejercicio: un isótopo médico

82Pb

El tecnecio 99 es un isótopo radiactivo usado en gammagrafías óseas y otras pruebas médicas. Tiene una vida media de 6.0 horas.

Después del decaimiento Antineutrino 214

(0–ν0)

a) Si una muestra de tecnecio 99 se prepara medio día (12 horas) antes de usarse, ¿qué fracción de la cantidad original del isótopo queda al momento de utilizarlo? b) ¿Qué fracción queda un día (24 horas) después de su preparación?

Electrón 83Bi

–

(–1e0)

figura 19.7

Decaimiento beta del plomo 214. El isótopo hija, el bismuto 214, tiene un número atómico mayor que el plomo.

12 h t = =2 1 6h t2 a) t 1 = 6.0 h 2

Antes del decaimiento

fracción =

t = 12 h 214 83Bi*

(*Estado excitado)

24 h t = =4 1 t2 6h

fracción que queda = ? b) t = 24 h fracción que queda = ?

Después del decaimiento

1 1 1 1 1 = × × × 2 2 2 2 16

fracción = Fotón (0γ0)

figura 19.8

Decaimiento gamma del bismuto 214. El isótopo hija es una versión más estable (energía más baja) del bismuto 214 original.

¿Cómo describimos la razón de decaimiento? ¿Cuánto tardan en ocurrir estos distintos decaimientos? Los diferentes tipos de decaimiento radiactivo son todos sucesos espontáneos que ocurren al azar. No hay forma de predecir exactamente cuándo un núcleo inestable específico arrojará una partícula distinta y se transformará en un isótopo diferente. Los diversos isótopos radioactivos tienen tiempos promedio o característicos que transcurren antes del decaimiento. El concepto de vida media describe este tiempo característico: la vida media es el tiempo requerido para que el número original de átomos decaiga a la mitad. Por ejemplo, la vida media del radón 222 es de aproximadamente 3.8 días. Si empezamos con 20 000 átomos de radón 222, 3.8 días después quedarán aproximadamente 10 000. La otra mitad habrá decaído a polonio 218 (84Po218). En dos vidas medias, o 7.6 días, la mitad de los átomos restantes habrá decaído, dejando sólo 5 000 átomos de radón 222. En tres vidas medias, se habrán reducido a 2 500, y en cuatro vidas medias este número se habrá reducido a la mitad de nuevo: 1250. En el cuadro de ejemplo 19.1 se expone otro caso relacionado con el isótopo médico tecnecio 99. Puesto que el número de átomos de radón 222 se reduce a la mitad cada 3.8 días, no se requieren muchas vidas medias

GRIFFITH 19.indd 405

para reducir el número restante de átomos de un isótopo a una fracción diminuta de la cantidad original. Después de 10 vidas medias, o 38 días, el número de átomos que restan de los 20 000 originales sería de sólo 20 átomos, o un milésimo del número original. Este proceso de decaimiento se representa en la gráfica de la figura 19.9. La curva resultante se llama curva de decaimiento exponencial, ya que puede describirse por medio de una función exponencial. El decaimiento exponencial o el creRestante de los núcleos de Rn222

83

Bi214

1 1 1 × = 2 2 4

20 000 15 000 10 000 5000

3.8 (t _1 ) 2

7.6 (2t _1 ) 2

11.4 (3t _1 )

t (días)

2

15.2 (4t _1 ) 2

figura 19.9

Curva de decaimiento del radón 222. La cantidad restante se reduce a la mitad cada 3.8 días, que es la vida media.

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406 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear cimiento exponencial ocurren en la naturaleza siempre que el número de decaimiento o sucesos adicionales es proporcional al número total de candidatos para el decaimiento o crecimiento. Esto es válido para cualesquiera procesos aleatorios. Las vidas medias de los distintos isótopos radiactivos varían enormemente. La vida media del radio 226 es de 1620 años, por ejemplo, una duración muy corta comparada con la vida media de 4.5 mil millones de años del isótopo común de uranio, el uranio 238. En el otro extremo, el polonio 214 tiene una vida media de sólo 0.000164 de segundo. ¡Perdura muy poco tiempo! Cuanto más larga sea su vida media, más estable será un isótopo. Por otra parte, cuanto más corta sea la vida media de un isótopo, mayor será la razón de radiactividad. Desde el punto de vista ambiental, los isótopos con vidas medias intermedias plantean el mayor problema. Un isótopo con una vida media muy corta es muy radiactivo mientras dura pero decae rápidamente y deja de ser peligroso. Un isótopo con una vida media sumamente larga como el uranio 238 no es muy radiactivo aunque puede ser perjudicial si permanece el tiempo suficiente. Un isótopo como el estroncio 90, con una vida media de 28.8 años, es mucho más radiactivo que el uranio 238 y perdura en el medio lo suficiente para generar cierta inquietud. A

fenómenos cotidianos

veces está presente en la precipitación radiactiva causada por las pruebas de bombas o los accidentes nucleares.

¿Por qué la radiactividad es dañina para nuestra salud? La radiactividad es dañina porque las partículas emitidas, las partículas alfa y los rayos beta (electrones) y gamma penetran en el cuerpo y alteran los compuestos químicos que forman nuestras células. Tales alteraciones pueden provocar cáncer y otros males, entre ellas, mutaciones en la progenie. En dosis lo suficientemente altas, producen asimismo enfermedades por radiación e incluso la muerte. Los efectos de las dosis muy bajas siguen en discusión. Algunos científicos creen que cualquier dosis es potencialmente dañina, pero otros sostienen que los niveles muy bajos pueden tener efectos benéficos que contrarrestan los efectos negativos. Como la vida media del uranio 238 y del torio 232 es parecida a la edad estimada de la Tierra, estos isótopos no han decaído completamente y siguen presentes de manera natural en nuestro medio. Aparecen rastros en todas las piedras y suelos y, en cantidades más concentradas, en los minerales de uranio. Constantemente estamos expuestos a niveles muy bajos

cuadro 19.1

Exposición a la radiación Situación. En su vida diaria, las personas están expuestas a la radiación que procede de varias fuentes. ¿Cómo cuantificamos esta exposición? ¿Cuánta exposición es probable que sea peligrosa? Análisis. Aunque hay una variedad de unidades para medir las cantidades de radiación iónica y su efecto en el tejido humano, la más usada para comparar las dosis de distintos tipos de radiación iónica (rayos X, radiactividad natural, etc.) es el rem. Rem es un acrónimo en inglés de equivalente roentgen en el ser humano; el roentgen es una unidad que describe la cantidad de ionización producida por la radiación. El rem tiene en cuenta diferentes efectos de los distintos tipos de radiación sobre el tejido humano. En general, una dosis de cuerpo entero de 600 rems es letal. Las dosis mucho menores también pueden producir daños y casi siempre se citan en milirems (mrems, un milésimo de un rem). En promedio, en Estados Unidos una persona recibe alrededor de 295 mrems de radiación al año procedentes de fuentes naturales, más otros 64 mrems anuales que le llegan de fuentes artificiales. Como se muestra en la tabla,* la fuente más grande producida artificialmente son los rayos X para diagnóstico y los isótopos radiactivos empleados en la medicina. * Para leer un análisis más completo, consulta “Efectos de la radiación de bajo nivel en la salud” (Física Hoy, agosto de 1991, págs. 34-39), de donde se tomó la información para esta tabla.

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Fuentes naturales

mremslyr

radón inhalado rayos cósmicos radiactividad terrestre radiactividad interna

200 27 28 40 295

Fuentes producidas artificialmente médicas productos de consumo otras

53 10 1 64

Tanto las fuentes naturales como las artificiales varían mucho, de acuerdo con el lugar donde vivas y los procedimientos médicos a los que te sometas. La dosis que los estadounidenses reciben en promedio de las fuentes energía nuclear no es significativa en esta escala, pero las personas que trabajan en la industria están expuestas a cantidades mayores. Las normas actuales ponen un límite de 5 rems al año (5000 mrems/año) a los empleados de las centrales nucleares, los técnicos de rayos X u otros individuos expuestos a la radiación en su trabajo.

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19.3 Reacciones nucleares y fisión nuclear

de emisiones de radiactividad de los rastros de esos isótopos y de los productos de su decaimiento, así como a los rayos cósmicos que inciden en la Tierra desde el espacio (véase el cuadro de fenómenos cotidianos 19.1). Pero sólo hay motivo de preocupación cuando los niveles de radiactividad son mayores que la radiación natural de fondo. En el decaimiento radiactivo, el núcleo del átomo radiactivo se modifica cuando emite distintos tipos de partículas. En el decaimiento alfa, se emiten núcleos de helio, lo que deja el isótopo hija con un número atómico y un número de masa menores. Por su parte, en el decaimiento beta se emiten electrones o positrones, lo cual cambia el número atómico pero no el de masa. Finalmente, en el decaimiento gamma se emite un rayo X de alta energía, lo cual no modifica el número atómico ni el de masa del isótopo original. Los isótopos inestables son como bombas de tiempo en espera de estallar. Tienen un tiempo de decaimiento característico que describimos en términos de su vida media.

19.3 Reacciones nucleares y fisión nuclear Hemos visto que el núcleo puede cambiar de manera espontánea en el decaimiento radiactivo. Un elemento se transforma en otro cuando esto ocurre. ¿Es posible que provoquemos estos cambios experimentalmente en vez de esperar los decaimientos espontáneos? El descubrimiento del neutrón en 1932 proporcionó un nuevo objeto de investigación para reordenar el núcleo. Como resultado, la física nuclear se volvió un campo de intensa actividad durante la década de 1930. Este trabajo produjo algunos resultados anticipados con implicaciones enormes tanto para la ciencia como para la salud.

¿Qué son las reacciones nucleares? Hemos determinado experimentalmente los cambios producidos en el núcleo: el descubrimiento de Rutherford de que los protones son emitidos desde núcleos de nitrógeno cuando se bombardean con partículas alfa es un ejemplo de un cambio como éste. Podríamos escribir la ecuación de reacción para el experimento de Rutherford como 4 2He

+ 7N14 ⇒ 8O17 + 1H 1.

Una partícula alfa es un núcleo de helio, y el protón emitido es un núcleo de hidrógeno, como se indica en la ecuación. El otro producto de la reacción es un elemento con un número atómico de 8, que resulta ser oxígeno (figura 19.10). El oxígeno 17 no es el isótopo más común del oxígeno (ése es el oxígeno 16), pero se encuentra en la naturaleza como un isótopo estable. Éste es un ejemplo de reacción nuclear. Observa que la carga y los números de masa se suman al mismo total en cualquier lado de la ecuación: la carga total o número atómico es 9 y el número de masa total es 18. (Esto también es válido para

GRIFFITH 19.indd 407

Antes

α

407

Después

14 7N

17 8O

p 4 14 2α + 7N

⇒ 8O17 + 1p1

19.10 La colisión de una partícula alfa y un núcleo de nitrógeno produce la emisión de un protón y un núcleo de oxígeno 17 que permanece en el lugar del nitrógeno.

figura

las ecuaciones del decaimiento radiactivo en la sección 19.2.) Los números de masa y atómico se usan para identificar el otro producto de la reacción, el oxígeno 17, pero también podríamos confirmar este resultado al analizar el gas encontrado en la celda después del experimento. Encontraríamos oxígeno, aun cuando no estuviera presente al principio del experimento. A diferencia de la reacción química, en la que se supone el reordenamiento de los electrones que orbitan alrededor del núcleo, los elementos mismos pueden cambiar en una reacción nuclear. La emisión de neutrones a partir de muestras de berilio bombardeadas con partículas alfa es otro ejemplo de reacción nuclear. La ecuación de reacción en este caso sería 4 2He

+ 4Be9 ⇒ 6C12 + 0 n1.

El neutrón no tiene carga; por tanto, su número atómico o número de carga es 0, y su número de masa, igual que el protón, es 1. El otro producto de la reacción, el carbono 12, se identifica ubicando en la tabla periódica qué elemento tiene un número atómico de 6. El isótopo resultante del carbono resulta ser el más común. Una vez que se ha realizado el experimento, encontramos pequeñas cantidades de carbono presentes en el objetivo de berilio puro.

¿Cómo intervienen la energía y la masa en estas reacciones? La fuente de la energía de la radiactividad era uno de sus misterios originales. Las partículas alfa y los rayos beta o gamma emergían con energías cinéticas grandes aun cuando las muestras de uranio de Becquerel se habían almacenado en un cajón oscuro durante semanas. ¿Cuál era la fuente de esa energía? La respuesta se encontró en la famosa relación E = mc2 de Einstein, desarrollada como parte de su teoría de la relatividad más o menos diez años después del descubrimiento de la radiactividad. El significado de esta ecuación es que la masa y la energía son equivalentes: la masa es energía y la energía es masa (en el capítulo próximo explicaremos con pormenores esta ecuación). La constante c2, la rapidez de la luz al cuadrado,

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408 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear

cuadro de ejemplo 19.2 Ejercicio: transformación de la energía de la masa en energía cinética Las masas nucleares de los reactantes y productos de la reacción 4 2He

+ 4Be9 ⇒ 6C12 + 0 n1

se proporcionan aquí. Con ellos y la relación E = mc 2 de Einstein, calcula la energía liberada en esta reacción. Reactantes

Productos

Be9

9.012 186 u

He4

+4.002 603 u

neutrón C12

13.014 789 u E = ?

1.008 665 u +12.000 000 u 13.008 665 u

La diferencia de masas es 13.014 789 u −13.008 665 u

Δm = 0.006 124 u

Esta idea se ilustra para la reacción del berilio en los cálculos mostrados en el cuadro de ejemplo 19.2. Las masas de los isótopos y las partículas implicadas se proporcionan en unidades de masa atómica (o unidades de masa unificada, u), las cuales se basan en la masa del átomo de carbono 12. La masa del carbono 12 es exactamente 12.000 000 u, según la definición de la unidad de masa atómica. (Una unidad de masa atómica es igual a 1.661 × 10–27 kg.) La diferencia de masas se convierte en kilogramos y luego se multiplica por c2 para obtener la energía liberada en joules. Esta energía aparecerá como energía cinética del neutrón emergente y del núcleo de carbono 12 en retroceso. Aunque la cantidad de energía liberada en una sola reacción puede parecer pequeña, es aproximadamente un millón de veces más grande que la que se libera comúnmente (por átomo) en una reacción química. Estos cambios en la masa son la fuente de las energías de las partículas que intervienen en el decaimiento radiactivo y otras reacciones nucleares. A partir de estas ideas formuladas a principios de la década de 1900, los físicos cobraron conciencia de la posibilidad de liberar cantidades grandes de energía en las reacciones nucleares.

¿Cómo se descubrió la fisión nuclear?

1 u = 1.661 × 10−27 kg Δm = (0.006 124 u)(1.661 × 10−27 kg/u) = 1.017 × 10−29 kg E = Δmc2 = (1.017 × 10−29 kg)(3.0 × 108 m/s)2 = 9.15 × 10−13 J

es un factor de conversión de unidades que nos permite transformar las unidades de masa en unidades de energía y viceversa. Si la masa de los productos es menor que los reactantes, la energía representada por esta diferencia de masas se manifiesta de otras formas, en general como energía cinética de las partículas emergentes.

Antes de 1932, las partículas alfa o protones eran los principales objetos de investigación disponibles para intentar reordenar el núcleo. El descubrimiento del neutrón ofreció de inmediato un nuevo y poderoso objeto de investigación, ya que su carga cero significaba que no era repelido por la carga positiva del núcleo. Como las partículas alfa y los protones están cargados positivamente y son repelidos por la carga del núcleo, requieren energías iniciales altas y colisiones de frente para producir una reacción. El neutrón, por su parte, puede entrar en el núcleo a energías bajas. El físico italiano Enrico Fermi (1901-1954) fue uno de los primeros en explorar el potencial del neutrón para producir reacciones nucleares. En una serie de experimentos de 1932 a 1934, intentó producir nuevos elementos pesados. El elemento con los números de masa y atómico más grandes que se conocía entonces era el uranio, así que Fermi decidió bombardear

Berilio

Uranio

Radio

Partículas alfa

Neutrones

Análisis químico para elementos nuevos

figura 19.11

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Diagrama de los experimentos de Fermi, en los que intentó producir elementos nuevos bombardeando uranio con neutrones.

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19.3 Reacciones nucleares y fisión nuclear

muestras de uranio con los neutrones producidos a partir de la reacción del berilio (figura 19.11). Después analizó las muestras para ver si detectaba elementos con números atómicos mayores que 92. Al principio, los resultados fueron confusos y decepcionantes. Fermi y sus colegas químicos pudieron predecir las posibles propiedades químicas de los elementos que buscaban, pues conocían la ubicación de los elementos en la tabla periódica, pero sus intentos por aislarlos no tuvieron éxito en esos primeros experimentos. Como las cantidades esperadas eran pequeñas y las propiedades químicas exactas se desconocían, no extraña que no obtuvieran resultados definidos. Otros retomaron el trabajo, y el primer gran adelanto real en esta línea de investigación ocurrió en 1938, cuando dos científicos alemanes, Otto Hahn y Fritz Strassmann, aislaron el elemento bario de las muestras de uranio que habían sido bombardeadas con neutrones de energía baja. Hahn y Strassmann volvieron a comprobar meticulosamente este resultado asombroso antes de anunciar su hallazgo. El resultado fue inesperado porque el bario no está cerca del uranio en la tabla periódica y tiene un número atómico de 56, sólo un poco más de la mitad del número atómico del uranio. ¿Qué tipo de reacción podría producir bario a partir de uranio? Otros dos científicos alemanes, que entonces trabajaban en Dinamarca y Suecia debido a la creciente persecución de los judíos en Alemania, dieron una respuesta posible. Lise Meitner y su sobrino, O. R. Frisch, especularon que los núcleos de uranio podrían dividirse en dos núcleos más pequeños, un proceso que ahora llamamos fisión nuclear. Si uno de estos núcleos era el bario con un número atómico de 56, el otro debía tener un número atómico de 36 para que sumara 92, el número atómico del uranio. Sucede que este elemento es el criptón, un gas noble (figura 19.12). Por tanto, una ecuación posible de la reacción sería 1

0n

+

235 92U

⇒

142 56Ba

+

91 36Kr

+ 30 n1.

En esta ecuación se han escrito algunos neutrones adicionales que se están emitiendo. De hecho, terminaremos con un exceso de neutrones si dividimos un núcleo grande en dos más pequeños debido a que la proporción de los neutrones a los protones crece cada vez más a medida que aumenta el número atómico para los elementos más pesados en la tabla periódica (véase la figura 19.5). Los isótopos de bario y criptón que hemos propuesto en la ecuación de la reacción también contienen demasía de neutrones. Por consiguiente, son inestables y sufren un decaimiento beta, lo que significa que los productos de la reacción son radiactivos. Nos hemos adelantado en la historia al escribir que el uranio 235 es el isótopo implicado. El uranio que se encuentra naturalmente es, en su mayoría, uranio 238, sólo 0.7% es uranio 235. Sin embargo, este último sufre fácilmente la fisión nuclear. Los neutrones de energía baja son absorbidos más facil por el uranio 235 que por el 238, y la fisión es más probable para el uranio 235 que para el 238 cuando se absorbe un neutrón.

GRIFFITH 19.indd 409

409

Antes 235 92U

n

Durante

236 92U

Después

91 36Kr

n

n 142 56Ba

n

19.12 El bario 142 y el criptón 91 son los dos fragmentos de fisión posibles que se producen cuando el uranio 235 absorbe un neutrón, lo que provoca una reacción de fisión.

figura

Los dos elementos que emergen de una reacción de fisión se llaman fragmentos de fisión; en este caso, el bario y el criptón. Sin embargo, muchos otros elementos se pueden obtener como resultado, todos con números atómicos entre 30 y 60, cerca de la parte media de la lista de elementos conocidos. Estos fragmentos de fisión en general son radiactivos debido al exceso de neutrones y forman la mayor parte de los residuos nucleares de las aplicaciones de la fisión nuclear. El entusiasmo que estos descubrimientos e ideas despertaron entre los científicos fue trascendental. En 1939, Niels Bohr, quien estudió estas especulaciones con Meitner y Frisch en Dinamarca, indicó que el uranio 235 era el isótopo implicado. Bohr viajó entonces a Estados Unidos, donde corrió la voz a una comunidad creciente de científicos nucleares. Muchos de ellos eran refugiados que habían huido de la situación precaria que había en Europa por el inicio de la Segunda Guerra Mundial y la persecución de los judíos en áreas bajo el control nazi. La excitación y la preocupación se suscitaron, en parte, debido a que se reconoció de inmediato que era posible producir una reacción en cadena que comportaba una fisión nuclear. Puede generarse una reacción en cadena porque la reacción de fisión se inicia con un neutrón, pero en cada reacción se emiten varios neutrones más, lo cual provoca que el número de reacciones aumente rápidamente (figura 19.13). Una reacción en cadena liberaría cantidades enormes de energía, como predijo la ecuación de masa-energía de Einstein.

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410 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear

19.4 Reactores nucleares Para 1940, la posibilidad de producir una reacción en cadena mediante la fisión nuclear era evidente para los físicos europeos y estadounidenses. Si la reacción de la fisión se inicia por medio de neutrones, y cada reacción produce varios neutrones adicionales, ¿por qué no ocurren todas las reacciones al mismo tiempo en las muestras de uranio? ¿Qué condiciones son necesarias para producir una reacción en cadena? Estas preguntas exigían respuestas, puesto que la guerra continuaba en Asia y Europa, y Estados Unidos y sus aliados temían que Alemania estuviera desarrollando una bomba nuclear.

¿Cómo se logra una reacción en cadena?

figura 19.13

Una reacción en cadena que implica la fisión nuclear. En cada fisión de un núcleo de uranio 235 se producen neutrones, lo cual, a su vez, puede iniciar más reacciones de fisión.

Entre los científicos nacidos en Europa que trabajaban en la Unión Americana en 1939 se hallaban Enrico Fermi, Edward Teller y Albert Einstein. Aun cuando en un principio este último no se interesó en la física nuclear, se le reconocía en todo el mundo como un teórico brillante. El público estaba familiarizado con el nombre Einstein, razón por la cual algunos de sus colegas lo convencieron de escribir una carta al presidente Franklin D. Roosevelt donde expusiera la necesidad de un programa de investigación estricto para explorar las implicaciones militares de la fisión nuclear. El Proyecto Manhattan arrancó poco después, y condujo al desarrollo de los reactores y las armas nucleares. Las reacciones nucleares consisten en cambios en el núcleo de los átomos, que con frecuencia resultan en la transformación de un elemento en otro. El decaimiento radiactivo y las reacciones relacionadas con los descubrimientos del protón y el neutrón son ejemplos de ello. La cantidad de energía liberada o absorbida puede predecirse a partir de la diferencia en las masas de los reactantes y productos usando la famosa ecuación de masa-energía de Einstein. El descubrimiento del neutrón proporcionó un nuevo objeto de investigación para iniciar las reacciones nucleares. Los experimentos basados en él desembocaron en el descubrimiento de la fisión nuclear a fines de la década de 1930. La posibilidad de una reacción en cadena estimuló la investigación, lo que permitió que se produjeran tanto los reactores como las armas nucleares.

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Comprender las condiciones necesarias para una reacción en cadena es un paso crucial para saber cómo funcionan los reactores y las bombas nucleares. La clave estriba en analizar lo que ocurre con los neutrones producidos en la reacción de fisión. Si otros núcleos de uranio 235 capturan suficientes neutrones, se llevarán a cabo fisiones nuevas y la reacción se mantendrá. Si otros elementos o gases de escape del reactor absorben demasiados de los neutrones producidos, con lo que evitan que choquen con otros núcleos de uranio 235, la reacción termina. Ten en cuenta que el uranio natural se compone principalmente de uranio 238 (99.3%), es decir, sólo 0.7% es uranio 235. El uranio 238 también absorbe neutrones, pero en general no da como resultado una fisión. La razón principal de que una reacción en cadena no ocurra en el uranio natural es que es más probable que los neutrones producidos en una reacción de fisión sean absorbidos por el uranio 238 que por los núcleos de uranio 235. Una forma de incrementar la posibilidad de una reacción en cadena es aumentando la proporción de uranio 235 en la muestra. Por desgracia (o, por fortuna, según tu punto de vista), es muy difícil separar el uranio 235 del uranio 238. Los distintos isótopos del mismo elemento tienen propiedades químicas idénticas, de modo que las técnicas químicas de separación resultan inútiles. Sólo es posible usar como base para la separación la diferencia muy pequeña de masas entre ambos isótopos. Durante los años que duró la guerra se probaron varias técnicas; la más prometedora fue una de difusión de gas probada en una planta en Oak Ridge, Tennessee. Después de un esfuerzo y un gasto enormes, los científicos lograron separar uranio 235 apenas suficiente para construir una bomba (unos cuantos kilogramos) en el ocaso de la guerra. Una estrategia diferente para lograr una reacción en cadena se usa en los reactores nucleares diseñados para operar con uranio natural o uranio ligeramente enriquecido en uranio 235. El truco consiste en volver lentos los neutrones entre las reacciones de fisión. Los neutrones lentos tienen una mayor probabilidad de ser absorbidos en colisiones con núcleos de uranio 235 que con núcleos de uranio 238. Los neutrones más rápidos emitidos en las reacciones de fisión tienen probabilidades casi iguales de absorción cuando se encuentran los dos isótopos. Por tanto, si los neutrones pueden volverse más lentos antes

27/10/07 12:58:25

19.4 Reactores nucleares Bloques de grafito Barras de control

411

pues actúan como el acelerador de un automóvil. El ajuste frecuente de algunas posiciones de las barras pone a punto el nivel de reacción. Otras barras de control están diseñadas para insertarse rápidamente con el propósito de apagar al reactor.

¿Por qué se produce plutonio en los reactores nucleares? Combustible de uranio natural

19.14 Diagrama de la “pila” de Fermi, el primer reactor nuclear producido artificialmente. Pequeñas piezas de uranio natural se intercalaron entre bloques de grafito (carbono).

figura

de encontrar núcleos de uranio adicionales, se tiene una mayor oportunidad de producir reacciones de fisión adicionales. A partir de esta idea, Enrico Fermi y sus colaboradores de la Universidad de Chicago lograron en 1942 la primera reacción en cadena controlada. Fermi construyó una pila nuclear de bloques de grafito puro intercalados con piezas pequeñas de uranio natural (figura 19.14). El grafito es una forma sólida del elemento carbono, el cual tiene un número de masa relativamente pequeño, 12. Como el carbono no absorbe neutrones fácilmente, los que chocan con núcleos de carbono 12 simplemente rebotan hacia fuera. En cada colisión los neutrones pierden energía, mientras que los núcleos de carbono ganan energía cinética. El grafito vuelve lentos los neutrones sin absorberlos. Un material como éste se denomina moderador. Además del moderador y del combustible de uranio, en cualquier reactor se requiere otra función. Como una reacción en cadena puede crecer muy rápido en condiciones adecuadas, necesitamos alguna manera de controlar la razón de reacción. Las barras de control contienen material que absorbe neutrones y se insertan o retiran de la pila para mantener el nivel de reacción buscado. En la pila de Fermi, las barras de control se hicieron de cadmio, pero el boro es el material más utilizado en la actualidad. El 2 de diciembre de 1942 Fermi y sus colegas quitaron despacio algunas de las barras de control de su pila, meticulosamente construida. Al monitorear la razón del flujo de los neutrones en diferentes puntos de ésta, determinaron que había ocurrido una reacción en cadena autosustentable. El reactor había entrado en un estado crítico; es decir, por cada reacción de fisión, uno de los neutrones nuevos generados siguió para ser absorbido por otros núcleos de uranio 235, con lo que se produjo otra reacción de fisión. Si se produce más de una reacción de fisión nueva por cada reacción inicial, decimos que el reactor es supercrítico. Si se produce menos de una, el reactor es subcrítico. Al poner en marcha un reactor, dejamos que se vuelva supercrítico al principio, hasta que se logra el nivel de reacción deseado. Después se vuelven a insertar un poco las barras de control para mantenerlo en un nivel crítico o constante. La inserción de las barras disminuye aún más el nivel de reacción,

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Hasta ahora sólo hemos considerado lo que ocurre cuando el uranio 238 absorbe un neutrón para indicar que en general éste no es el resultado de una fisión. El objetivo original de Fermi de producir elementos nuevos más pesados que el uranio de hecho sí se logra: una serie de reacciones nucleares produce plutonio, que ahora es el material principal en las bombas de fisión. Las reacciones que generan plutonio 239 a partir de uranio 238 se resumen en la tabla 19.2 y en la figura 19.15. El primer paso es la absorción de un neutrón por parte de un núcleo de

tabla 19.2 Reacciones que intervienen en la producción de plutonio 1. Absorción de neutrones por uranio 238 0n

1

+

⇒

238

92U

239 92U

2. Decaimiento beta del uranio 239 239 92U

⇒

239 93Np

+

−

0 −1e

+ 0ν 0

0 −1e

+ 0ν 0

3. Decaimiento beta del neptunio 239 239 93Np

⇒

239 94Pu

+

−

Absorción de neutrones

+

n

238 92U

⇒

239 92U

(0n1) Decaimiento beta 239 92U

⇒

239 93Np

+

– (–1

+ (0– ν0)

e0)

Segundo decaimiento beta 239 93Np

⇒

239 94Pu

+

– (–1

e0)

+

(0– ν0)

19.15 La absorción de neutrones por el uranio 238 seguida por dos reacciones de decaimiento produce plutonio 239, que también puede usarse como combustible de fisión.

figura

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412 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear uranio 238 para producir uranio 239. El uranio 239, a su vez, sufre un decaimiento beta (vida media, 23.5 minutos) para producir neptunio 239, un elemento nuevo con un número atómico de 93, 1 más grande que el uranio. El neptunio 239 también sufre decaimiento beta (vida media, 2.35 días), después del cual produce otro elemento nuevo con un número atómico de 94, el plutonio 239. Este elemento es relativamente estable, ya que su vida media es de alrededor de 24 000 años. Igual que el uranio 235, sufre fácilmente una fisión nuclear cuando absorbe un neutrón. Como los reactores nucleares usan uranio natural o uranio ligeramente enriquecido en uranio 235, la producción de plutonio 239 es un producto natural derivado de la operación de un reactor. Además, puesto que se trata de un elemento diferente, sus propiedades químicas no son las mismas que las del uranio, y puede separarse de éste mediante técnicas químicas. Los reactores nucleares pueden ocuparse para producir plutonio, un material fisionable, para armas nucleares. Un programa intensivo se inició en Hanford, Washington, durante los años en que la Segunda Guerra Mundial llegó a su fin para construir reactores nucleares precisamente con este propósito.

¿Qué características tienen los reactores de energía modernos? La mayoría de los reactores modernos diseñados para la producción de energía no utilizan grafito como moderador, sino agua común (ligera). El agua (H2O) contiene núcleos tanto de oxígeno (O) como de hidrógeno (H) , y éstos resultan eficaces para volver lentos los neutrones. Lamentablemente, el hidrógeno también absorbe neutrones para formar sus isótopos más Edificio de contención

Turbina de vapor de alta presión

pesados, el deuterio (H2) y el tritio (H3). El agua pesada, hecha con deuterio en lugar del isótopo común de hidrógeno, absorbe neutrones con menos facilidad que el agua ligera, así que a veces se usa como moderador. Como los neutrones absorbidos por el hidrógeno común se retiran de la circulación, el agua común no es eficaz como moderador cuando el combustible es uranio natural. El enriquecimiento del uranio 235 de una concentración de 0.7% en el uranio natural a aproximadamente 3% compensa los neutrones perdidos en la absorción del hidrógeno y, por tanto, puede obtenerse una reacción en cadena. Los reactores de agua ligera deben utilizar uranio ligeramente enriquecido como combustible, pero los reactores que usan agua pesada como moderador pueden emplear uranio natural. La ventaja de usar agua como moderador es que ese líquido también puede servir como refrigerante, con lo que se elimina el calor del núcleo del reactor. La energía cinética de los neutrones y los fragmentos de fisión liberados en las reacciones de fisión se manifiesta como calor cuando se vuelve aleatoria debido a las colisiones con otros átomos. Cualquier reactor grande debe contar con algún medio para enfriar el núcleo, o la temperatura aumentará al punto que algunos de sus componentes se fundan. El refrigerante circula por todo el reactor llevando la energía generada en las reacciones de fisión a las turbinas de vapor, las cuales encienden los generadores para producir electricidad. Las turbinas deben enfriarse para operar con eficiencia. El calor del agua utilizada para enfriar las turbinas es liberado hacia la atmósfera por medio de las torres de enfriamiento. Esta agua nunca pasa por el reactor en sí. En la figura 19.16 se muestra el diagrama de un reactor de energía nuclear moderno. Su núcleo está contenido dentro de un

Turbinas de vapor de baja presión

Generador eléctrico

Generador de vapor

Reactor Torre de enfriamiento Bomba

Bomba Bomba

19.16 Diagrama de un reactor nuclear moderno de agua presurizada. El agua caliente que llega desde el reactor se convierte en vapor cuando la presión se reduce en los generadores de vapor. El vapor enciende las turbinas, las cuales hacen funcionar el generador eléctrico.

figura

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19.4 Reactores nucleares

recipiente con paredes gruesas de acero, por el cual circula el refrigerante. El recipiente del reactor se almacena en un edificio de contención de concreto muy reforzado, diseñado para resistir fuertes variaciones en la presión y para proteger al reactor de influencias externas, así como para contener la radiactividad generada en los accidentes. El refrigerante pasa por los generadores de vapor, y el vapor pasa por las turbinas de vapor que encienden los generadores eléctricos. En una central nuclear hay una gran cantidad de tuberías. Dentro de la planta, pero fuera del edificio de contención, hay una sala de control donde se supervisan las bombas, las barras de control y otro equipo para operar al reactor. Aquí también encontramos indicadores de temperatura y radiación, junto con otro equipo de monitoreo que indica a los operadores qué sucede dentro. Casi todos los reactores se diseñaron con mucha redundancia en el equipo de seguridad, y los operadores de reactores están entrenados para enfrentar numerosas contingencias. Sin embargo, dada la complejidad de la operación del reactor, el error del operador suele ser factor primordial cuando ocurren accidentes, ya sea en un suceso inicial o como respuesta a un problema. En el cuadro de fenómenos cotidianos 19.2 se describe el accidente del reactor de Chernobyl.

Problemas ambientales relacionados con la energía nuclear Cualquier material como el hidrógeno, que absorbe neutrones en un reactor, se llama tóxico. Las impurezas en el moderador o en los elementos combustibles, o incluso los productos de la fisión misma, pueden actuar como tóxicos que vuelven más lenta la reacción. Cuanto más tiempo se opere un reactor, más se consumen los tóxicos formados en los elementos combustibles y, desde luego, el combustible uranio 235. Las barras de combustible deben remplazarse de vez en cuando (figura 19.17). Las que están gastadas y contienen uranio, plutonio y fragmentos de fisión radiactiva deben almacenarse o eliminarse de alguna manera, ya que los elementos radiactivos que contienen constituyen la mayor parte de los residuos nucleares producidos por los reactores nucleares. La actual política estadounidense sobre la eliminación de residuos establecida por el gobierno federal propone quemar estos materiales radiactivos en una formación de roca sólida sin separar el plutonio y el uranio que quedan de los fragmentos de fisión. Esta política evita la necesidad de un procesamiento costoso y ambientalmente peligroso que consiste en la separación química. Sin embargo, la desventaja es que desperdicia material fisionable en forma de plutonio y uranio. Además, el lugar de eliminación de los residuos debe permanecer estable durante miles de años, pues el plutonio y el uranio tienen vidas medias mucho mayores que la mayoría de los fragmentos de fisión. El plutonio 239 tiene una vida media de 24 000 años, pero la mayor parte de los fragmentos de fisión tienen vidas medias de varios años o menos. Decaen más rápido y no es necesario aislarlos por tanto tiempo. Cuando la energía nuclear se introdujo por primera vez a fines de la década de 1950, se le consideraba un medio limpio

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413

19.17 Un ensamblaje que contiene elementos de combustible y barras de control para un reactor de energía moderno.

figura

y económico de generar electricidad. Las inquietudes respecto a la seguridad de los reactores y a la eliminación de los residuos han provocado que muchas personas modifiquen sus puntos de vista, pero la energía nuclear produce mucha menos contaminación atmosférica (y no genera gases invernadero) que la quema de combustibles fósiles como el carbón o el petróleo para producir energía. No obstante, la eliminación de los residuos nucleares se ha vuelto un problema político y la seguridad del reactor y los aspectos económicos también son tema de discusión. El desarrollo de la energía nuclear en Estados Unidos está prácticamente paralizado debido a problemas económicos. Los altos costos y el largo tiempo necesarios para construir una planta, aunado a las inquietudes respecto a su aceptación pública han hecho que las empresas de servicio público eviten ordenar reactores nuevos. En Japón, Europa y otras partes del mundo donde los combustibles fósiles son escasos, el uso de la energía nuclear sigue extendiéndose. Al despuntar el siglo xxi, el futuro de la energía nuclear en la Unión Americana era incierto. El desarrollo de reactores nuevos más pequeños, intrínsecamente estables, puede revitalizar esta industria en el futuro próximo. Los reactores nucleares sirven para muchos otros propósitos además de la producción de energía. Una aplicación importante es la producción de isótopos radiactivos empleados en la medicina nuclear, en los procedimientos diagnósticos y en el tratamiento de varios tipos de cáncer. Los isótopos radiactivos producidos en los reactores nucleares también se usan como trazadores en procesos industriales y en estudios ambientales, amén de muchas otras aplicaciones en la industria y la investigación.

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414 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear

fenómenos cotidianos

cuadro 19.2

¿Qué pasó en Chernobyl? Situación. En 1986, un grave accidente ocurrió en una central nuclear en Chernobyl, Ucrania, entonces parte de la Unión Soviética. En términos de pérdida de vidas y emisión de radiación al medio, este es el peor accidente de reactores ocurrido en cualquier parte del mundo hasta la fecha. La publicidad en todo el orbe respecto al accidente de Chernobyl planteó muchas preguntas y encendió el debate público respecto a la seguridad de la energía nuclear. ¿De qué tipo de reactor se trataba y cómo ocurrió el accidente? ¿Un accidente parecido podría ocurrir en Estados Unidos?

El reactor dañado de Chernobyl. La rápida concentración de calor provocó explosiones que incendiaron el moderador de grafito. Análisis. El reactor nuclear de Chernobyl, igual que muchos otros en la ex Unión Soviética, era de doble uso diseñado tanto para generar energía como para producir plutonio para armamento. Usaba grafito como moderador y también circulaba agua por el núcleo co-

mo refrigerante. La presencia de agua normal en ese lugar necesita un poco de enriquecimiento de uranio 235 (aproximadamente a 2%) pero no tanto como si el agua también se usara como moderador, como en los reactores comerciales de Estados Unidos. Debido al uso del agua como refrigerante pero no como moderador, el reactor tenía una característica de diseño inusual. En caso de pérdida del refrigerante o de aumento en la temperatura del núcleo, la razón de reacción en realidad aumenta, ya que el agua utilizada como refrigerante absorbe neutrones. Sin embargo, si el agua se pierde (o cambia a vapor, se vuelve menos densa), absorbe menos neutrones y la reacción en cadena se acelera. Este resultado no es posible en un reactor en el que el agua sirve como moderador, ya que la pérdida del moderador reduce la razón de reacción. En un reactor usado para producir plutonio para armamento, las barras de combustible deben eliminarse del reactor aproximadamente 30 días después de ser insertadas a fin de evitar el consumo del plutonio 239 mediante fisión y para evitar la acumulación de plutonio 240 (otro isótopo del plutonio menos fisionable). Reactores como los de Chernobyl se diseñaron para que el acceso a su parte superior para remplazar las barras de combustible fuera sencillo, como se muestra en la segunda fotografía. El edificio que contiene el reactor no está diseñado para soportar variaciones de presión muy marcadas, como casi todos los edificios de contención donde se ubican la mayoría de los reactores en la Unión Americana. Cuando ocurrió el accidente se realizaba un experimento para ver si los generadores eléctricos servían para proporcionar energía eléctrica a las bombas del reactor en caso de pérdida de la energía externa. El experimento requería que el reactor operara en un nivel de energía bajo para estimular las condiciones en las que se había apagado el reactor. La persona a cargo del experimento era un ingeniero eléctrico cuyo principal interés era la respuesta del generador, no se trataba de un experto en la operación del reactor.

(continúa)

Para mantener una reacción en cadena, en promedio, cuando menos un neutrón liberado en cada fisión debe ser absorbido por un núcleo de uranio 235 a fin de desencadenar una reacción de fisión nueva. Si se absorbe más de un neutrón, la reacción es supercrítica y crecerá rápidamente. Si se absorbe menos de uno, la reacción es subcrítica y se detendrá. En un reactor nuclear, los neutrones se vuelven más lentos gracias al moderador, lo que aumenta la probabilidad de que sean absorbidos por otros núcleos de uranio 235. Las barras de control absorben neutrones y permiten ajustar la razón de reacción. El reactor original de Fermi utiliza grafito como moderador, pero los reactores modernos ocupan agua, la cual también sirve como refrigerante. Los fragmentos de fisión y plutonio acumulados en las barras

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de combustible, las cuales finalmente se retiran del reactor, se vuelven residuos nucleares.

19.5 Armas nucleares y fusión nuclear En un reactor nuclear el objetivo es liberar energía de las reacciones de fisión de manera controlada, sin permitir nunca que se pierda el control de la reacción en cadena. En una bomba, por otro lado, el objetivo es liberar energía muy rápido, es decir, lo que se busca es una reacción en cadena supercrítica. ¿Cómo se logra este estado? ¿Qué condiciones son necesarias para una explosión nuclear? ¿Cuál es la diferencia entre las armas de fisión y las armas que utilizan la fusión nuclear?

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19.5 Armas nucleares y fusión nuclear

Parte superior de un reactor como el de Chernobyl, que muestra un técnico trabajando en las superficies cuadradas de los ensamblajes de las barras de combustible.

Enseguida se resume la compleja serie de acontecimientos y errores. Primero, el reactor se apagó parcialmente a fin de realizar el experimento. Para encenderlo de nuevo con el nivel de energía deseado, la mayoría de las barras de control se retiraron y varias otras funciones de seguridad se desactivaron para establecer las condiciones que precisaba el experimento. En las primeras etapas de éste, el flujo de agua hacia el núcleo del reactor se redujo, lo que ocasionó un incremento rápido en las reacciones de fisión. El calor generado provocó explosiones que volaron la parte superior del edificio del reactor e incendiaron el moderador de grafito (el cual se puede quemar de manera muy parecida al carbón).

¿Qué significa masa crítica? El método inicial para producir armamento nuclear consistía en la separación de uranio 235 del uranio 238 para producir una muestra muy enriquecida de uranio 235. Si la mayor parte del uranio 238 se elimina, es mucho más probable que los neutrones emitidos en las reacciones de fisión iniciales encuentren otros núcleos de uranio 235 y se genere una reacción en cadena cada vez más rápida. El tamaño de la masa de uranio también es importante: si es demasiado pequeño, los neutrones se escaparán por su superficie antes de encontrar otros núcleos de uranio. Una masa crítica de uranio 235 es una masa lo suficientemente grande para posibilitar una reacción en cadena auto-

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415

El fuego en el grafito debía apagarse, así que se llamó a los bomberos de los pueblos vecinos. De los 31 muertos causados directamente por el accidente, muchos fueron bomberos que estuvieron expuestos a altos niveles de radiación. La radiación, en forma de fragmentos de fisión transportados por las emisiones del fuego, se extendió sobre las áreas rurales de los alrededores y, en niveles cada vez menores, sobre gran parte de Europa. Ciertas funciones de los reactores comerciales en Estados Unidos hacen imposible que suceda un accidente como el de Chernobyl. Más importante aún es que una pérdida de refrigerante vuelve más lenta la reacción en cadena debido a que el agua se usa como moderador en nuestros reactores comerciales. Es imposible que haya un aumento explosivo en la reacción en cadena. La fusión parcial en Three Mile Island, Pennsylvania, en 1979 fue provocada por el calor generado a partir de la radiactividad residual de los fragmentos de fisión que siguió a la paralización de la reacción en cadena. El calor residual sigue siendo un problema serio, pero no genera una acumulación de explosivos de la reacción en cadena. En segundo lugar, la mayoría de los reactores de todo el mundo se construyeron en edificios de contención de concreto muy reforzados, por lo que es poco probable que los fragmentos de fisión escapen de ahí (o del contenedor del reactor mismo) en caso de una fusión parcial u otro accidente. Aunque es grave, el accidente de Three Mile Island liberó poca radiactividad al medio. Sin embargo, su impacto económico fue considerable debido a la pérdida del reactor y a los costos de operación de la limpieza correspondiente. El error del operador fue un factor importante en el accidente de Chernobyl. Nos gustaría pensar que la capacitación dada a los operadores de reactores en la Unión Americana evita errores de cálculo graves como los cometidos en Chernobyl. No obstante, los cálculos erróneos de los operadores también plantean un problema en los accidentes de nuestra propia industria nuclear. Los intrincados detalles del comportamiento de un reactor dificultan la planeación y capacitación para todas las contingencias posibles.

sustentable. Para una masa menor que la crítica, se escapan demasiados neutrones generados en las reacciones de fisión iniciales por la superficie del uranio sin encontrar otros núcleos. Para una masa más grande que la crítica, más de uno de los neutrones producidos en cada reacción de fisión serán absorbidos por otros núcleos de uranio 235 y producirán reacciones de fisión adicionales. La reacción en cadena crecerá muy rápido, ya que el tiempo entre reacciones es muy corto. Éste es el estado supercrítico necesario para una explosión. ¿Cómo podemos crear una masa supercrítica sin hacer que estalle prematuramente? La energía liberada en una reacción en cadena de fisión produce calentamiento y expansión rápidos.

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416 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear Cilindro de uranio con fuente de neutrones

Carga explosiva

Esfera de uranio con agujero cilíndrico

19.18 El concepto de cañón usado en el diseño de la bomba de uranio Little Boy. Un cilindro de tamaño subcrítico de uranio 235 se dispara hacia el agujero de una esfera subcrítica de uranio 235 para hacer una masa supercrítica de uranio 235.

figura

Si una masa supercrítica se forma lentamente a partir de piezas subcríticas, la masa comenzará a deshacerse en cuanto se vuelva supercrítica. La bomba se consume. Un método para resolver este problema es unir rápido dos piezas subcríticas de uranio 235 casi puro para producir una masa totalmente supercrítica. Un diseño de cañón, como el de la figura 19.18, se desarrolló para la primera bomba de uranio. Un cilindro subcrítico de uranio 235 se dispara hacia una esfera subcrítica del mismo material que contiene un agujero cilíndrico, con lo que se ensambla muy rápido una masa supercrítica. Una fuente de neutrones también debe estar presente para que se inicie la reacción. El principal problema en la producción de una bomba como ésta es la dificultad extrema de separar el uranio 235 del isótopo más abundante, el uranio 238. Durante la guerra, las plantas de difusión de gas en Oak Ridge, Tennessee, podían producir uranio 235 puro suficiente para una sola bomba. La construcción de un arsenal nuclear a esa velocidad habría sido lenta y costosa. Se tornó evidente que el plutonio 239 podría ser un combustible nuclear mucho mejor que el uranio 235.

¿Cómo se diseñan las bombas de plutonio? El plutonio 239 es un producto natural derivado de los reactores nucleares que usan uranio como combustible. Como se expuso en la sección 19.4, los reactores construidos en Hanford, Washington, durante la Segunda Guerra Mundial fueron diseñados para producir plutonio con fines bélicos. Sin embargo, la reacción de fisión del plutonio 239 es diferente de la del uranio 235, de modo que el diseño de cañón utilizado para la bomba de uranio no funciona con el plutonio. El plutonio 239 absorbe neutrones rápidos con mucha mayor facilidad que el uranio 235, lo cual provoca que la reacción en cadena crezca aún más pronto que para el uranio, y dos piezas subcríticas no pueden unirse con la suficiente rapidez para evitar el consumo debido a la desintegración prematura. El diseño empleado para las bombas de plutonio se basa en la implosión: explosivos acomodados alrededor de una masa subcrítica de plutonio y disparados juntos para crear una enor-

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me presión hacia dentro sobre el plutonio, la cual aumenta lo suficiente la densidad de la muestra de este elemento para hacer la masa supercrítica (figura 19.19). El mismo número de átomos están ahora confinados en un volumen más pequeño, lo que aumenta la probabilidad de absorción de los neutrones por otros núcleos de plutonio. Hacia el final de la Segunda Guerra Mundial se había ensamblado suficiente material para producir tres bombas nucleares. Dos de ellas, bautizadas Fat Men debido a su forma, eran de plutonio; la tercera era de uranio y se le llamó Little Boy debido a su delgadez. En una prueba histórica, una de las bombas de plutonio se hizo estallar en White Sands, Nuevo México, en el verano de 1945, y produjo las primeras nubes impresionantes con forma de hongo características de las explosiones nucleares. Poco tiempo después, las otras dos bombas se lanzaron contra Hiroshima y Nagasaki, en Japón. Durante la guerra, el esfuerzo por construir y probar bombas nucleares estableció una competencia con la Alemania nazi, donde se había descubierto originalmente la reacción de fisión. Muchos de los científicos que trabajaban en el Proyecto Manhattan eran refugiados europeos. La idea de que Alemania podía hacer la bomba primero era una posibilidad horrorosa. Cuando el conflicto estaba por terminar y el éxito del esfuerzo para construir las bombas estaba próximo, resultaba claro que Alemania ya no tenía los recursos para producir una. Los científicos comenzaron entonces a discutir cómo usar la bomba. Muchos científicos eran partidarios de una demostración de los efectos de la bomba sin usarla realmente en objetivos militares.

Detonadores

Capa de ignición Explosivos químicos Reflector de neutrones Plutonio Fuente de neutrones

figura 19.19

La bomba de plutonio Fat Man utilizó explosivos químicos acomodados alrededor de una masa subcrítica de plutonio 239. Cuando los explosivos la hicieron implosionar, la densidad aumentada hizo esta masa supercrítica.

27/10/07 12:58:45

417

19.5 Armas nucleares y fusión nuclear

Sin embargo, una demostración suponía serios problemas, en especial debido a que sólo había dos bombas disponibles después de la prueba con la de plutonio. Una de ellas, la bomba de uranio, no podía probarse antes puesto que sólo se había construido una. La decisión de dejar caer las bombas sobre Japón fue tomada por las autoridades militares superiores, incluido el presidente Harry S. Truman. Aunque sigue siendo polémica, esa decisión probablemente aceleró el fin de la guerra, lo que evitó la necesidad de una costosa invasión a Japón. Después del conflicto, la producción de armas prosiguió, mientras los reactores Hanford continuaron generando más plutonio. Pronto Rusia tuvo la capacidad de fabricar bombas de fisión y aumentó la presión por dar el paso siguiente en la carrera, el desarrollo de la bomba de hidrógeno, la cual se probó con éxito por primera vez en 1952. En una bomba de hidrógeno interviene la fusión nuclear en vez de la fisión.

¿Qué es la reacción de fusión? ¿Qué pasa en una bomba de hidrógeno? La fusión nuclear es otro tipo de reacción nuclear que también libera grandes cantidades de energía. La fusión es la fuente de energía del Sol y de otras estrellas, así como de las bombas termonucleares. ¿Cuál es la diferencia entre fusión y fisión nuclear y cómo podemos generar una reacción en cadena que implique la fusión? La fusión nuclear combina núcleos muy pequeños para formar núcleos un poco más grandes. En cierto modo, es lo opuesto de la fisión nuclear, la separación de núcleos grandes en fragmentos de fisión más pequeños. El combustible para la fusión se compone de elementos muy ligeros, en general isótopos de hidrógeno, helio y litio. (El litio tiene un número atómico de 3.) El producto final suele ser un núcleo particularmente estable, el helio 4, que ya hemos encontrado como partícula alfa. Siempre que la masa del núcleo de helio 4 y otros productos de la reacción sea ligeramente menor que la suma de las masas de los isótopos que se combinan para producirla, esta diferencia de masas se manifiesta como energía cinética, según predijo la fórmula de Einstein E = mc2. Una reacción posible es la combinación de dos isótopos de hidrógeno, deuterio (H2) y tritio (H3), para formar helio 4 más un neutrón: 1H

2

+ 1H3 ⇒ 2He4 + 0n1.

Como se muestra en la figura 19.20, la suma de las dos partículas en el miembro derecho de esta ecuación es menor que la suma de las masas de las dos partículas en el miembro izquierdo. La energía cinética total de la partícula alfa y el neutrón será mayor que la energía cinética de las dos partículas iniciales. Lo que hace que esta reacción sea tan difícil de producir es que todos los núcleos están cargados positivamente y se repelen entre sí. Se necesitan energías cinéticas grandes para reducir la fuerza electrostática repulsiva de modo que dos núcleos puedan combinarse. Una manera de asegurar energías cinéticas grandes es calentar los reactantes a temperatura muy

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+ 2 1H

+

+

⇒

+ +

+

+

3 1H

→

4 2He

+

Masas 2 1H 2.014 102 u 3 1H 3.016 050 u ______________ 5.030 152 u

0n

1

4 2He 4.002 603 u 1 1.008 665 u 0n _______________

5.011 268 u

19.20 Un núcleo de deuterio y otro de tritio se combinan para formar un núcleo de helio 4 y un neutrón. La diferencia en las masas se convierte a la energía cinética de las partículas emergentes.

figura

alta. También se requieren densidades altas de los isótopos que participan en la reacción para aumentar la probabilidad de que ocurran las reacciones. Los reactantes deben estar confinados a un espacio muy pequeño y a una temperatura muy alta, dos requisitos difíciles de lograr de manera simultánea. La reacción en cadena resultante en estas condiciones se llama reacción en cadena térmica. Se precisan temperaturas muy altas para iniciar la reacción, y la energía que ésta libera eleva la temperatura aún más. Las temperaturas requeridas para las reacciones en cadena térmicas son de un millón de grados Celsius o más. Las explosiones químicas también son reacciones en cadena térmicas, pero las temperaturas que necesitan para llevarse a cabo son mucho más bajas y fáciles de lograr. La forma más fácil de obtener las temperaturas y densidades altas requeridas para una reacción en cadena de fusión es haciendo explotar una bomba de fisión para desencadenar la reacción de fusión. La temperatura alta producida por la bomba de fisión crea las energías cinéticas necesarias para la fusión. La explosión de fisión también condensa el combustible de fusión momentáneamente y, aunque breve, el tiempo es suficiente para que las reacciones de fusión liberen una cantidad considerable de energía adicional (figura 19.21). Básicamente, así funciona una bomba de hidrógeno (también llamada bomba termonuclear). Las bombas de hidrógeno pueden ser de diferentes tamaños, a diferencia de las de fisión, que se restringen a un tamaño según la masa crítica del material fisionable. Las bombas de fusión permiten una producción de energía mucho mayor que las de fisión. Aun cuando la energía liberada por la reacción es menor para las reacciones de fusión que para la reacción de fisión común, libra por libra las reacciones de fusión tienen un impacto mayor debido a que los combustibles de fusión se componen de elementos muy ligeros. Las bombas de hidrógeno se pueden hacer con una capacidad explosiva equivalente a 20 millones de toneladas de tnt o más. (Las toneladas de tnt son la base para la comparación del poder destructivo en la producción de bombas.) En la actualidad, los arsenales de las potencias nucleares cuentan con bombas de fisión y de fusión.

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418 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear Detonadores

Explosivo químico Combustible de fusión (litio, deuterio, tritio)

Plutonio

Combustible de fusión adicional

figura 19.21

Una bomba de fisión explota alrededor del combustible de fisión para producir las altas temperaturas y la densidad requeridas para una reacción en cadena de fusión en una bomba termonuclear.

¿Podemos generar energía a partir de la fusión controlada? La producción de reacciones de fusión como fuente de energía comercial todavía no se logra. El confinamiento de combustible a temperaturas muy altas en un espacio muy pequeño durante el tiempo suficiente para liberar una cantidad considerable de energía presenta dificultades extremas. En virtud de que cualquier sólido se funde a temperaturas muy por debajo de las requeridas para las reacciones de fusión, es necesario emplear campos magnéticos o algún otro esquema para confinar el combustible (figura 19.22). Otro método consiste en bombardear una pequeña bola de combustible de fusión con rayos láser (o rayos de partículas) desde varias direcciones tanto para calentar la bola como para comprimirla. Los pronósticos hechos en la década de 1970 de que estaríamos trabajando con reactores de fusión para la década de 1990 fueron muy optimistas. Ahora parece que este objetivo tal vez no se logre sino hasta avanzado el siglo xxi. No podemos estar seguros por completo de que se llegará a construir un reactor económicamente viable, pero ya hemos invertido mucho en el esfuerzo y algún día la meta se alcanzará. Los reactores experimentales, como el Tokamak (figura 19.22), han generado energía a partir de la fusión, pero no han alcanzado el punto de equilibrio donde se libere la energía requerida para iniciar la reacción. Debemos mejorar las producciones para hacer el proceso comercialmente factible. Hace varios años se suscitó un gran alboroto (1988-1989) cuando los científicos que trabajaban en Utah afirmaron haber logrado la fusión en frío en una celda que no precisaba temperaturas o densidades extraordinarias. Su celda consistía en un electrodo de paladio inmerso en un vaso de precipitados que contenía agua pesada (en la cual el deuterio remplaza al isótopo común del hidrógeno). Al pasar una corriente por la celda, los átomos de deuterio son atraídos hacia los espacios que hay entre los átomos en el electrodo de paladio. El grupo de Utah

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19.22 El reactor de prueba de fusión Tokamak en Princeton, New Jersey, diseñado para confinar y calentar combustibles de fusión usando campos magnéticos.

figura

sostenía haber observado exceso de calor (que se suponía era producido mediante fusión) que no podía explicarse por otros procesos químicos y físicos que ocurrían en la celda. Aunque en estas circunstancias ocurren reacciones de fusión ocasionales, no se obtiene la suficiente fusión para producir cantidades utilizables de energía. No obstante, si fuera posible, el potencial comercial sería enorme. Las afirmaciones del grupo de Utah generaron una gran cantidad de publicidad y despertaron el interés público. Muchos trabajadores han intentado reproducir sus experimentos, pero hasta ahora los resultados han sido decepcionantes. La mayoría de los físicos no creen que la energía de fusión utilizable provenga de la fusión en frío. Aún no conocemos el mejor método para obtener energía de la fusión. El trabajo sobre la contención magnética y sobre las técnicas de rayos de partículas y rayos láser continúa. Algunos científicos siguen explorando la fusión en frío. Si hay un gran avance en un futuro próximo, algunos de los estudiantes actuales de ciencia e ingeniería participarán en una nueva expansión de las aplicaciones de la energía nuclear. Para producir una explosión nuclear usando la fisión, debe ensamblarse rápidamente una masa supercrítica de uranio 235 o de plutonio 239 a partir de componentes subcríticos. En una bomba de uranio, al incendiar un cilindro subcrítico de uranio en una esfera subcrítica con un agujero cilíndrico se obtiene una masa crítica. En una bomba de plutonio, esto se logra quemando explosivos químicos acomodados alrededor de una esfera subcrítica de plutonio, que se comprime hasta alcanzar una condición supercrítica. La fusión nuclear libera energía al combinar núcleos pequeños para formar otros más grandes. La fusión es la fuente de energía del Sol y del hidrógeno o las bombas termonucleares. Los intentos por producir energía a partir de la fusión controlada aún no son comercialmente viables, pero la investigación sobre este tema algún día puede lograr ese objetivo.

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Resumen

419

resumen Hemos detallado cómo la identificación de los componentes nucleares, el protón y el neutrón, condujo a comprender los isótopos y lo que sucede en el decaimiento radiactivo. El descubrimiento del neutrón también nos dio una nueva herramienta para investigar y modificar los núcleos, lo cual nos llevó a descubrir la fisión nuclear. La fisión y la fusión son reacciones nucleares que pueden liberar grandes cantidades de energía.

1

nucleares y fisión nuclear. En cualquier 3reacciónReacciones nuclear, un elemento puede transformarse en otro, pero el número de carga total (número atómico) y el número de masa (número de nucleones) se conservan. La fisión se descubrió al bombardear muestras de uranio con neutrones, lo cual conduce a la separación del núcleo de uranio 235 en fragmentos de fisión y a la emisión de neutrones adicionales.

La estructura del núcleo. Los experimentos en los que las partículas alfa se dispersaban a partir de varios núcleos condujeron al descubrimiento tanto del protón como del neutrón como componentes del núcleo. El número de protones en un núcleo es el número atómico de un elemento. El número total de protones y neutrones (nucleones) es el número de masa de un isótopo dado. El mismo elemento puede tener isótopos de diferentes masas.

U235

Litio-7 (3Li7) + ++

3 protones 4 neutrones __ 7 nucleones

4

Decaimiento radiactivo. El decaimiento radiactivo es 2una reacción nuclear espontánea en la que se emite una partícula o rayo gamma y la estructura del núcleo cambia. Un elemento se transforma en otro en el decaimiento alfa o beta. La vida media es el tiempo requerido para que el número original de núcleos radiactivos se reduzca a la mitad al sufrir un decaimiento.

Reactores nucleares. Los reactores nucleares generan energía al permitir que ocurra una reacción en cadena de fisión nuclear controlada. El moderador vuelve lentos los neutrones, con lo que aumenta la probabilidad de absorción del uranio 235, el isótopo fisionable del uranio. Las barras de control absorben neutrones para controlar el nivel de reacción, y el refrigerante transporta la energía generada. Las barras de combustible gastadas contienen fragmentos de fisión radiactivos, así como uranio y plutonio.

5

Número

Armas nucleares y fusión nuclear. Se pueden construir bombas con uranio o con plutonio. El plutonio se produce en los reactores cuando los neutrones son absorbidos por el uranio 238. En la fusión nuclear, los núcleos pequeños se combinan para formar núcleos más grandes, con lo que también se libera energía. Las bombas de hidrógeno utilizan una bomba de fisión para desencadenar las altas temperaturas y densidades requeridas para la fusión. +

t _1 2

2 1H

+

+

⇒

+ +

+

+

3 1H

→

4 2He

+

0n

1

Tiempo

conceptos clave protón, 401 neutrón, 401 isótopos, 402 número atómico, 402 decaimiento radiactivo, 403 nucleones, 403 número de masa, 403

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antipartícula, 404 vida media, 405 decaimiento exponencial, 406 reacción nuclear, 407 fisión nuclear, 409 reacción en cadena, 409 moderador, 411

barras de control, 411 enriquecimiento, 412 refrigerante, 412 masa crítica, 415 fusión nuclear, 417

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420 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. En 1919, Rutherford bombardeó una muestra de gas nitrógeno con un rayo de partículas alfa. a) Además de las partículas alfa, ¿qué otra partícula emergió del gas nitrógeno en este experimento? b) ¿A qué conclusión llegó Rutherford a partir de este experimento? Explica por qué. P2. Cuando se bombardeó una muestra de berilio con partículas alfa, emitió una radiación muy penetrante. ¿Esta radiación se compone de rayos X? Explica por qué. P3. ¿Es posible que dos átomos del mismo elemento químico tengan masas distintas? Explica por qué. P4. ¿Es posible que los átomos del mismo elemento químico tengan diferentes propiedades químicas? Explica por qué. P5. ¿Qué número, el de masa o el atómico, determina las propiedades químicas de un elemento? Explica por qué. P6. ¿Por qué el peso atómico del cloro, según se determinó a partir de experimentos químicos, no es un número múltiplo entero del peso atómico del hidrógeno? Explícalo. *P7. En una reacción nuclear, ¿la masa total de los productos de la reacción puede ser menor que la masa total de los reactantes? Explica por qué. P8. En el decaimiento alfa, ¿esperamos que el número atómico del núcleo hija sea igual, mayor o menor que el número atómico del isótopo que sufre el decaimiento? Explica por qué. P9. En el decaimiento beta, ¿esperamos que el número atómico del núcleo hija sea igual, mayor o menor que el número atómico del isótopo que sufre el decaimiento? Explica por qué. P10. ¿Qué es un neutrino y por qué los científicos creían en su existencia mucho antes de que se le detectara? Explícalo. P11. En el decaimiento gamma, ¿esperamos que el número atómico del núcleo hija sea igual, mayor o menor que el número atómico del isótopo que sufre el decaimiento? Explica por qué.

menor que lo que se libera en una reacción nuclear? Explica por qué. *P16. ¿Por qué esperamos que los fragmentos de fisión tengan números de neutrones mayores que los isótopos estables del mismo elemento y, por consiguiente, sean radiactivos? Explícalo. P17. Si enciendes un cerillo para una mezcla de oxígeno e hidrógeno, la cual reacciona de manera explosiva para formar agua. ¿Se trata de una reacción química o nuclear? Explica por qué. P18. El isótopo más común del uranio es el uranio 238. ¿Éste es el isótopo que es más probable que sufra una fisión? Explica por qué. P19. ¿Qué propiedad de la reacción de fisión conduce a la posibilidad de una reacción en cadena? Explica por qué. *P20. ¿Cuál es la función del moderador en un reactor nuclear? Explica por qué el moderador es necesario para obtener una reacción en cadena usando uranio natural. P21. ¿Las barras de control de un reactor nuclear absorben o emiten neutrones? Explica por qué. P22. Si quisieras volver más lenta la reacción en cadena en un reactor nuclear, ¿retirarías o insertarías las barras de control? Explica por qué. *P23. Un reactor que utiliza agua normal como moderador ¿podrá operar usando uranio enriquecido como combustible? Explica por qué. P24. Si un reactor se vuelve subcrítico, ¿la reacción en cadena se acelera? Explica por qué. *P25. Si el plutonio y el uranio se retiran del combustible gastado de un reactor nuclear, ¿los residuos nucleares restantes deben almacenarse durante miles de años antes de dejar de ser radiactivos? Explica por qué. P26. En los experimentos originales de Fermi, en los que bombardeó muestras de uranio con neutrones, intentaba producir elementos nuevos más pesados que el uranio. ¿Es posible hacerlo? Explica por qué.

P12. ¿Todas las sustancias radiactivas decaen a la misma razón? Explica por qué.

P27. ¿Cuál era el propósito de los reactores nucleares construidos en Handford, Washington, durante la Segunda Guerra Mundial? Explícalo.

P13. En un tiempo igual a dos vidas medias de un isótopo radiactivo, ¿esperarías que todo ese isótopo hubiera decaído? Explica por qué.

P28. ¿Cuál es la diferencia entre fusión y fisión nuclear? Explícala.

P14. En las reacciones químicas, los elementos individuales presentes en ellas son los mismos que en los productos de la reacción. ¿Esto también se aplica a una reacción nuclear? Explica por qué. P15. Las reacciones químicas y las nucleares pueden liberar energía. En promedio, ¿esperarías que la energía liberada por unidad de masa en una reacción química fuera mayor, igual o

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P29. ¿La fisión nuclear es el proceso principal que interviene en la energía generada en el Sol? Explica por qué. P30. ¿Actualmente existen reactores nucleares comerciales que utilizan la fusión nuclear como fuente de energía? Explica por qué. *P31. ¿Cuál arma puede producir campos de energía más grandes, un arma de fusión o una de fisión? Explica por qué.

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Problemas de síntesis

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ejercicios E1. El sodio tiene un número atómico de 11 y un peso atómico aproximadamente de 23. ¿Cuántos neutrones esperarías encontrar en el núcleo del isótopo más común del sodio? E2.

239 es un isótopo producido en los reactores nucleares. a) ¿Cuántos protones hay en el núcleo de este isótopo? b) ¿Cuántos neutrones hay en el núcleo de este isótopo?

93Np

E3. Cierto isótopo tiene 13 protones y 14 neutrones en su núcleo. Identifica el elemento implicado y escribe su símbolo en la notación estándar que incluye los números atómico y de masa. E4. El estroncio 90 es un isótopo radiactivo del estroncio, que tiene un número atómico de 38. ¿Cuántos protones y neutrones están presentes en el núcleo de este isótopo? E5. El torio 232 sufre un decaimiento alfa. Completa la ecuación de reacción para este decaimiento e identifica el núcleo hija. 232 90Th

⇒ ? + α

E6. El fragmento de fisión yodo 131 sufre un decaimiento beta negativo. Completa la ecuación de reacción e identifica el núcleo hija. 131 53I

⇒ ? +

0 −1e

+ 0v¯ 0

E7. El nitrógeno 13 es un isótopo radiactivo del nitrógeno que sufre un decaimiento beta positivo en el que se emite un electrón positivo (o positrón). Completa la ecuación de reacción e identifica el núcleo hija. 13 7N

⇒ ? +

0 +1e

E8. Si tenemos 10 000 átomos de sustancia radiactiva con una vida media de 30 minutos. a) ¿Cuántos átomos de ese elemento permanecen después de 2 horas? b) ¿Cuántos átomos permanecen después de 4 horas? E9. Cuando medimos la razón de radiactividad de cierto isótopo 18 días después de hacer una medición inicial, descubrimos que la razón ha disminuido a un octavo de su valor inicial. ¿Cuál es la vida media de este isótopo? E10. ¿Cuántas vidas medias deben transcurrir para que la radiactividad de cierto isótopo disminuya a a) Un dieciseisavo (1/16) de su valor original? b) Un sesentaicuatroavo (1/64) de su valor original? E11. Si descubrimos que uno de los fragmentos de fisión para una reacción de fisión dada de uranio 235 es estaño 130 y que cuatro neutrones se emiten en esta reacción. Completa la ecuación de la reacción e identifica el otro fragmento de fisión. 1 0n

+

235 92U

⇒ ? +

130 50Sn

+ 4 0n1

E12. Si dos núcleos de deuterio (1H2) se combinan en una reacción de fusión en la que se emite un neutrón. Completa la ecuación de la reacción e identifica el núcleo resultante. 2 1H

+ 1H2 ⇒ ? + 0n1

+ 0− ν0

problemas de síntesis PS1. Observa la tabla periódica que aparece en la contraportada interna del libro para formarte una idea de cómo aumenta el número de neutrones comparado con el de protones cuando se incrementa el número atómico. Al redondear el peso atómico al número entero más cercano, podemos estimar el número total de nucleones (neutrones y protones). a) ¿Cuáles son el número de neutrones y el de protones para el carbono (C), el nitrógeno (N) y el oxígeno (O)? b) ¿Cuál es la proporción de neutrones a protones para los isótopos estables de estos tres elementos? (Proporción = Nn/Np) c) Toma tres elementos cercanos a la parte media de la tabla, plata (Ag), cadmio (Cd) e indio (In) y calcula el número de neutrones y protones para cada uno de la misma manera. d) Calcula la proporción de neutrones a protones para los elementos del inciso c y determina la proporción media. e) Repite el proceso de los incisos c y d para el torio (Th), protactinio (Pa) y uranio (U). f) Compara las proporciones de los incisos b, d y e. ¿Puedes ver por qué hay neutrones adicionales cuando el uranio o el torio sufren una fisión?

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PS2. El uranio y el torio son elementos radiactivos que se encuentran en abundancia en la corteza terrestre. A medida que cada isótopo de estos elementos decae, se crean nuevos elementos radiactivos que tienen vidas medias mucho más cortas que el uranio o el torio. Ocurren una serie de decaimientos alfa o beta que conducen a un isótopo estable de plomo (Pb). Una serie de este tipo comienza con el isótopo torio 232 y prosigue a través de estos elementos: Th ⇒ Ra ⇒ Ac ⇒ Th ⇒ Ra ⇒ Rn ⇒ Po ⇒ Pb ⇒ Bi ⇒ Po ⇒ Pb

a) Con la tabla periódica, encuentra los números atómicos de todos estos elementos. b) Identifica en cuáles de las reacciones de esta serie interviene un decaimiento alfa y en cuáles un decaimiento beta. (El cambio en el número atómico proporciona toda la información que necesitas.) c) Escribe las ecuaciones de reacción para los primeros tres decaimientos en esta serie. d) Determina los números de masa para todos los isótopos de esta serie

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422 Capítulo 19 El núcleo y la energía nuclear PS3. Considera la reacción de fusión: 1H2 + 1H2 ⇒ 2He3 + 0n1. A partir de las tablas de las masas nucleares, podemos obtener las masas para los reactantes y productos de esta reacción: H2 2.014 102 u He3 3.016 029 u n 1.008 665 u a) Calcula la diferencia de masas ∆m entre los reactantes y los productos para esta reacción. b) Siguiendo el procedimiento utilizado en el cuadro de ejemplo 19.2, convierte esta diferencia de masas en unidades de energía. c) ¿Se libera energía en esta reacción? De ser así ¿a dónde va? Explícalo. PS4. La energía nuclear ha sido objeto de controversia durante las últimas décadas. Aunque su uso ha aumentado durante este tiempo, seguimos obteniendo la mitad de nuestra energía eléctrica mediante la quema de combustibles fósiles. Los im-

pactos ambientales y económicos difieren según la fuente de energía. a) La quema de combustibles fósiles produce bióxido de carbono como un producto natural derivado. El bióxido de carbono es uno de los gases que contribuyen al efecto invernadero y al calentamiento global, como estudiamos en el capítulo 10. ¿La energía nuclear también plantea el mismo problema? Explica por qué. b) ¿Qué problemas ambientales asociados con la energía nuclear no están presentes en la quema de combustibles fósiles? Explica por qué. c) ¿Qué problemas ambientales asociados con los combustibles fósiles no están presentes en el uso de la energía nuclear? Explica por qué. d) En resumen, ¿cuál de estas fuentes de energía escogerías para desarrollar aún más si no hubiera otras opciones disponibles? Explica por qué. (Las personas razonables pueden diferir en sus puntos de vista sobre este tema.)

experimentos y observaciones para la casa EC1. El concepto de vida media y la curva de decaimiento exponencial asociada pueden explicarse gráficamente usando pilas de monedas (u otros objetos apilables) para representar los átomos. a) Consigue todas las monedas que puedas de un mismo valor. De cincuenta a cien serán suficientes. b) Divide tu montón en dos pilas iguales, colocadas una al lado de la otra. La pila de la izquierda representa el número original de átomos. c) Divide la pila de la derecha a la mitad. Coloca una de las pilas resultantes al lado de la pila original. Esta segunda pila representa el número de átomos que permanecen después del transcurso de una vida media.

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d) Continua este proceso, dividiendo siempre la pila derecha restante a la mitad y colocando la pila obtenida de la división al lado de las pilas que se van acumulando. La fila de pilas resultante, con cada pila más pequeña que la anterior, forma la curva de decaimiento exponencial. ¿Cuántas vidas medias obtienes antes de que quede una pila con una sola moneda?

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unidad

Seis

Relatividad y más allá

A

lo largo de esta obra hemos tratado de que construyas tus conocimientos de los conceptos de la física resaltando sus orígenes y aplicaciones en los fenómenos cotidianos, es decir, los acontecimientos que normalmente suceden en nuestro entorno. A título de sinceridad, hemos de confesar que a veces nos hemos apartado de las cuestiones cotidianas, sobre todo cuando estudiamos la estructura del átomo y su núcleo. Sin embargo, estas ideas tienen sus orígenes en experimentos simples y cuentan con numerosas aplicaciones en la tecnología común. Algunas de las ideas más fascinantes de la física moderna son un tanto más difíciles de relacionar con la experiencia cotidiana; por ejemplo, las teorías de la relatividad especial y general expuestas por Albert Einstein en los primeros años del siglo XX. No obstante, es divertido explorar la relatividad porque nos obliga a repensar conceptos básicos como espacio y tiempo. Las ideas de Einstein pueden ampliar tu mente. El desarrollo de la mecánica cuántica y su aplicación a la física nuclear también condujo a áreas de investiga-

ción muy distantes de la experiencia cotidiana. Se han descubierto partículas nuevas en lo que se denomina física de altas energías. Nunca vemos esas partículas y sus propiedades llevan nombres poco corrientes, como extrañeza y encanto, pero son asimismo importantes para descifrar la naturaleza fundamental del Universo. Junto con la relatividad, las teorías cuánticas de la física de altas energías nos conducen de vuelta al comienzo de los tiempos y del Big Bang. En los dos capítulos finales del libro se explora brevemente las teorías de la relatividad (capítulo 20) y los desarrollos recientes de la física moderna (capítulo 21). En el capítulo 21 se analiza el zoológico de las partículas y la cosmología, así como inventos en física de la materia condensada que propiciaron la revolución de la microelectrónica y las computadoras. Los descubrimientos de la fisión y la fusión ocurrieron hace 50 años, durante las décadas de 1930 y 1940. ¿Qué ha ocurrido desde entonces? ¿Qué podríamos escuchar de la física en el futuro? Los capítulos 20 y 21 pueden servir como un anticipo.

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Relatividad

esquema del capítulo

1

capítulo

20

descripción del capítulo Después de volver a estudiar cómo se usa el movimiento relativo en la física clásica, exponemos los postulados de Einstein de la relatividad especial y exploramos las implicaciones que tienen en nuestra concepción del espacio y el tiempo. Luego consideramos cómo deben modificarse las leyes de movimiento de Newton a fin de que sigan siendo válidas para velocidades muy altas y exploramos la idea de la equivalencia masaenergía. Finalmente, estudiamos brevemente la teoría general de la relatividad.

2

3

unidad seis

4

GRIFFITH 20.indd 424

5

Movimiento relativo en física clásica. ¿Cómo describen Galileo y Newton el movimiento relativo? ¿Cómo se suman velocidades cuando el marco de referencia se mueve? La rapidez de la luz y los postulados de Einstein. ¿Cuál es el marco de referencia adecuado para medir la rapidez de la luz? ¿De qué forma los datos experimentales condujeron a los postulados de Einstein de la relatividad especial? Dilatación del tiempo y contracción de la longitud. ¿De qué forma llevaron los postulados de Einstein a sorprendentes conclusiones acerca del tiempo y el espacio? ¿Cuáles son los efectos de la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud? Leyes de Newton y equivalencia masa-energía. ¿Cómo se debe modificar la segunda ley de Newton del movimiento para ser válida respecto a velocidades muy grandes? ¿Cómo surge el concepto de equivalencia masa-energía? Relatividad general. ¿En qué se diferencia la teoría general de la relatividad de la teoría especial de la relatividad? ¿Qué nuevas consecuencias surgen de la teoría general?

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20.1 El movimiento relativo en física clásica

¿A

lguna vez has estado en un autobús estacionado, viendo por la ventana otro autobús al lado, cuando súbitamente ese otro autobús se mueve hacia adelante y tú tienes la clara sensación de que tu autobús se desplazaba hacia atrás (figura 20.1)? La sensación perdura hasta que el otro autobús se mueve fuera de tu visión y te das cuenta de que tú no te desplazas. Tus sentidos te han engañado debido al movimiento de tu marco de referencia. En general, medimos nuestro movimiento respecto a los objetos que esperamos permanezcan en reposo. Si esos objetos están fijos a la superficie del planeta, nuestro marco de referencia es la Tierra: posición, velocidad y aceleración se miden respecto a ese marco. Sin embargo, si los objetos que hemos identificado dentro de él se mueven de pronto, podemos percibirnos a nosotros mismos como en movimiento. Todo movimiento debe medirse con relación a cierto marco de referencia, el cual también puede estar en movimiento. La Tierra gira respecto a su eje y también orbita en torno al Sol. El astro rey, a su vez, se desplaza respecto a otras estrellas, y así sucesivamente. Un cuerpo en reposo en un marco de referencia puede estar en movimiento respecto a otro marco, por lo que hemos de definir nuestro marco de referencia para dar una descripción íntegra del movimiento. El problema de definir un marco de referencia y describir las características de cierto movimiento cuando se estudia desde marcos distintos fue analizado por Galileo y Newton. Se trata de una cuestión sencilla si las velocidades relevantes no son grandes. En este aspecto, el

v

figura 20.1

El movimiento hacia delante de un autobús que está junto al tuyo puede darte la impresión de que el autobús donde te hallas se mueve hacia atrás.

movimiento relativo forma parte de nuestra experiencia cotidiana. El desplazamiento de un bote respecto a una riachuelo , por ejemplo, es familiar para muchos de nosotros. Sin embargo, si nos imaginamos a nosotros mismos moviéndonos junto a un haz de luz, como acaso hizo Einstein en su infancia, surgen algunas preguntas muy interesantes. Abordar algunas de ellas condujo a la teoría especial de la relatividad, que Einstein presentó en 1905 y que se refiere principalmente a casos en los que diferentes marcos de referencia se mueven con velocidad constante uno respecto al otro. La teoría general de la relatividad, publicada aproximadamente diez años después, aborda la relación de la gravedad y los marcos de referencia acelerados. Juntas, ambas teorías han revolucionado la forma como vemos el Universo.

20.1 El movimiento relativo en física clásica Imagina que dejas caer una varita en un riachuelo y observas su movimiento conforme se la lleva el agua (figura 20.2). ¿Cuál es su velocidad respecto a la orilla del riachuelo? ¿Cuál es su velocidad respecto al agua y cómo se relacionan esas dos velocidades? ¿Cómo cambia esta imagen si consideramos un bote de motor que se mueve en un río? Estas preguntas pueden abordarse dentro del marco de la mecánica clásica desarrollada por Galileo y Newton.

¿Cómo sumar velocidades? Cuando sueltas una varita en el agua rápidamente alcanza la velocidad de la corriente. Una vez que esto ocurre, su velocidad respecto a la orilla es la misma que la del agua, pero respecto al agua es cero. Si la observas desde un bote que también se desplaza con la corriente, la vara parecerá no moverse. Una situación más interesante se presenta si el bote se mueve respecto al agua con la ayuda de remos, un motor o una vela.

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figura 20.2

Una vara que flota se mueve con la corriente. ¿Cuál es su velocidad respecto a la orilla del riachuelo?

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426

Capítulo 20

Relatividad

vbt vba

dat

dba dbt

figura 20.3

Un bote de motor y un trozo de madera se mueven corriente abajo. El bote se mueve una distancia dbt respecto a la Tierra, mientras que la madera se mueve una distancia dat.

En este caso, su velocidad respecto al agua no es cero. El bote se desplaza respecto al agua y ésta respecto a la orilla (figura 20.3). Si el bote y la corriente se mueven en la misma dirección, podemos suponer que la velocidad de aquél respecto al agua debe sumarse a la velocidad de ésta respecto a la Tierra para obtener la velocidad global del bote respecto a la Tierra. Es como caminar sobre una escalera en movimiento o uno de esos pasillos de banda sin fin que se encuentran en los aeropuertos. Si expresamos esta idea en símbolos queda: vbe = vbw + vwe , donde vbt es la velocidad del bote respecto a la Tierra, vba la velocidad del bote respecto al agua y vat la velocidad del agua respecto a la Tierra. La velocidad del bote con relación a la Tierra es la suma vectorial de la velocidad del bote respecto al agua y la velocidad del agua respecto a la Tierra. Como se muestra en la figura 20.3, nuestra expectativa de que estas velocidades deban sumarse se justifica si consideramos las distancias que el agua y el bote recorren en algún tiempo fijo. En éste, el trozo de madera que flota en el agua se mueve una distancia dat, que es la distancia que el agua se movió respecto a la Tierra. Sin embargo, en este mismo tiempo el bote se desplazó una distancia dbt respecto al agua, de modo que ahora está esa cantidad adelante de la madera. La distancia total que el bote se movió con respecto a la Tierra en este tiempo dbt, es la suma de las otras dos distancias. Como la magnitud de la velocidad (la rapidez) es igual a la distancia dividida entre el tiempo, las velocidades también se suman. Aunque ejemplificamos esta idea para el caso simple en el que las tres velocidades iban en la misma dirección, el resultado de suma de velocidades es válido más generalmente. Por citar un caso, si apuntamos el bote corriente arriba, la dirección diferente de las velocidades del bote y la corriente puede indicarse mediante una diferencia en signo. Si el bote se

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vat

figura 20.4

Un bote de motor que se mueve corriente arriba pierde terreno con la corriente del caudal si no puede viajar lo suficientemente rápido respecto al agua (vba).

desplaza con una velocidad de 4 m/s corriente arriba respecto al agua, y ésta se mueve a una velocidad de 6 m/s (corriente abajo) respecto a la Tierra, la velocidad del bote respecto a la Tierra es –2 m/s (corriente abajo). Puesto que el resultado es negativo y elegimos corriente arriba como positivo, el bote se mueve corriente abajo (figura 20.4).

¿Cómo se suman velocidades en dos dimensiones? La suma de velocidades relativas también puede extenderse a dos o tres dimensiones. Imagina que te desplazas de un lado a otro de un río, como aparece en la figura 20.5. Si diriges el bote directamente a un punto enfrente del otro lado del río, ¿el bote terminará ahí? No si la corriente está en movimiento. Al mismo tiempo que el bote se mueve al otro lado del río respecto al agua, ésta se mueve corriente abajo respecto a la Tierra. El bote es llevado corriente abajo conforme se desplaza al otro lado del río. Como antes, las dos velocidades se suman. (El proceso de suma vectorial puede realizarse con el método gráfico expuesto en el apéndice C e ilustrado en la figura 20.5.) Observa que el tamaño de la velocidad del bote respecto a la Tierra en este caso no será igual a la simple suma numérica de la velocidad de los otros dos cuerpos. Como este vector de la velocidad es la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el diagrama vectorial, será igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Si quieres llegar a un punto en la orilla opuesta pasando por la corriente desde tu punto de partida, tendrías que dirigir el bote un tanto corriente arriba, en un ángulo respecto a la línea trazada perpendicular a la orilla (figura 20.6). En este caso, cuando las dos velocidades se suman producen una velocidad del bote respecto a la Tierra que es perpendicular al atravesar el río. Sin embargo, la magnitud de esta velocidad será menor que la del bote respecto al agua, como se advierte a partir del diagrama vectorial.

30/10/07 12:12:51

20.1 El movimiento relativo en física clásica

427

El principio de relatividad

vat

vba

vbt

figura 20.5

Un bote de motor que se dirige en línea recta al otro lado del río termina en un punto que se halla un tanto corriente abajo.

vat

vba

Las leyes de la física son las mismas en cualquier marco de referencia inercial. vbt

figura 20.6

El bote debe dirigirse un poco corriente arriba para que se desplace de manera perpendicular de la corriente.

Podemos aplicar el mismo análisis a un avión. La velocidad del avión respecto al aire se suma a la del aire respecto a la Tierra (la velocidad del viento) para producir la velocidad del avión respecto a la Tierra, vat = vav + vvt. Un viento de cola tiene un efecto diferente que un viento de frente o uno cruzado. La situación es directamente análoga al bote en el río.

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La suma de velocidades también se aplica a hechos que ocurren en vehículos en movimiento. Imagina que caminas por el pasillo de un gran avión que viaja a una velocidad constante respecto a la Tierra. Tu velocidad respecto al avión debe sumarse a la de éste respecto a la Tierra para determinar tu velocidad respecto al planeta. Sin embargo, en la práctica, en general estás mucho más consciente de tu velocidad respecto al avión que respecto a la Tierra: el avión es tu marco de referencia. En tanto el avión se mueva a velocidad constante, puedes desplazarte por él muy fácilmente sin gran conciencia de su movimiento. De hecho, puedes lanzar una pelota hacia delante o hacia atrás, o realizar experimentos físicos en el avión y obtener los mismos resultados que si los hicieras en un edificio fijo (puesto que la Tierra gira sobre su eje y, además, orbita en torno al Sol, tampoco está fija). Aun cuando un avión se desplace a velocidad aproximadamente constante, solemos tener cierto sentido de movimiento porque la turbulencia del aire hace que de pronto brinque. También podemos mirar por la ventanilla y observar las nubes o la tierra que pasan. No obstante, en aire sereno y con las cortinillas de las ventanas cerradas, perdemos la impresión de que nos movemos. Esta pérdida es todavía más marcada en un ascensor que se mueve arriba o abajo a velocidad constante. Puesto que los ascensores casi nunca tienen ventanas y pueden desplazarse muy suavemente, se vuelve difícil decir si en realidad se mueve o no. Estas ideas fueron analizadas tanto por Galileo como por Newton y con frecuencia se resumen en el principio de relatividad:

Este principio significa que no podemos decir si nuestro marco de referencia está en movimiento mediante ningún experimento físico. En tanto nuestro marco de referencia se mueva a velocidad constante respecto a otros marcos inerciales, el resultado de nuestros experimentos será el mismo.

Marcos de referencia inerciales Pero ¿qué es un marco de referencia inercial? En este punto, surgen dificultades lógicas, como Newton bien percibió. La segunda ley de Newton del movimiento es válida sólo en un marco de referencia inercial, esto es, en cualquier marco donde rija esa primera ley de Newton. Si un cuerpo en reposo permanece en tal estado cuando la fuerza neta que actúa sobre él es cero, ese cuerpo se halla en un marco de referencia inercial. Cualquier marco de referencia que se mueve a velocidad constante respecto a otro marco inercial válido también será un marco de referencia inercial. Si algún otro marco de referencia se acelera con relación a un marco inercial válido, el marco acelerado no es un marco

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Capítulo 20

Relatividad

de referencia inercial. Por ejemplo, si el avión donde vas se sacude de arriba abajo debido a la aceleración producida por la turbulencia del aire, tus resultados experimentales (y tu habilidad de caminar en línea recta) se modifican. Del mismo modo, si un ascensor se acelera hacia arriba o hacia abajo, tu peso aparente cambia. Si estuvieses en pie sobre una báscula casera, como explicamos en el capítulo 4, este cambio se registraría en el disco. El resultado de otros experimentos también se alterarían debido a esta aceleración. Si queremos aplicar la segunda ley de Newton en tales situaciones, debemos modificarla sumando fuerzas imaginarias o inerciales que aparecen producto de la aceleración del marco de referencia. La fuerza centrífuga que a veces se dice sentir en un marco de referencia en rotación es una de tales fuerzas imaginarias. Un marco en rotación tiene una aceleración centrípeta y no es un marco inercial válido. Sentimos como que nos jalan hacia fuera mediante una fuerza centrífuga, pero visto desde un marco inercial válido, vemos que esta fuerza aparente realmente sólo es nuestra propia inercia, nuestra tendencia a seguir moviéndonos en línea recta mientras gira nuestro marco de referencia. La fuerza centrífuga que parece estar presente en un marco de referencia en rotación no es una fuerza válida en el sentido newtoniano, porque no se deriva de la interacción del cuerpo afectado con algún otro cuerpo. En otras palabras, no obedece la tercera ley de Newton, que es parte de la definición de fuerza de acuerdo con Newton. Surge meramente debido a la aceleración del marco de referencia. Es como el aumento o la disminución del peso aparente observados en un ascensor acelerado. La definición de un marco de referencia inercial parece muy sencilla: es el que no está acelerado. Pero ¿con respecto a qué? Para muchos propósitos, podemos tratar la superficie de la Tierra como un marco de referencia inercial, pues su aceleración es pequeña. Sin embargo, nuetro planta rota y también orbita (en una trayectoria curva) en torno al Sol, de modo que está acelerado respecto a él. El Sol mismo está acelerado con relación a otras estrellas, de modo que tampoco es un marco de referencia inercial completamente válido. El problema se debe a la aparente imposibilidad de establecer un marco de referencia que esté absolutamente en reposo, o al menos no acelerado en algún sentido. La predicción de Maxwell y su descripción de las ondas electromagnéticas atrajo nueva atención a esta dificultad en la última mitad del siglo xix. La posibilidad de que la medición de la velocidad de la luz ayudaría a establecer un marco de referencia inercial absoluto era excitante. Las dudas acerca del marco adecuado para medir la velocidad de la luz desembocaron en la teoría especial de la relatividad de Einstein. La velocidad de un cuerpo debe medirse siempre respecto a algún marco de referencia. Para movimientos ordinarios, la superficie de la Tierra proporciona ese marco. Si nuestro marco de referencia se mueve respecto a algún otro marco, como sucede con un bote que flota en un río, la velocidad del bote respecto a

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la del río se puede sumar a la velocidad de la corriente respecto a la Tierra para obtener la velocidad del bote respecto a la Tierra. Este proceso también funciona en dos o tres dimensiones para el movimiento rectilíneo. Galileo y Newton reconocieron que las leyes de la física cobran la misma forma en cualquier marco de referencia inercial. La dificultad se presenta al tratar de establecer un marco inercial absoluto.

20.2 La rapidez de la luz y los postulados de Einstein La luz es una onda electromagnética, lo que originalmente fue predicho por la teoría del electromagnetismo de Maxwell, como explicamos en el capítulo 16. Una onda electromagnética se forma de campos eléctrico y magnético en oscilación que se propagan por el espacio vacío, lo mismo que por el aire, el vidrio y otros materiales transparentes. Las ondas de luz pueden viajar por el vacío. ¿Hay un medio por el que pasen las ondas de luz aun cuando estén viajando por el vacío? Casi todas las ondas viajan por algún medio o material: las ondas sonoras lo hacen por el aire (y otros materiales), las del agua, por el agua, las de una cuerda sobre la misma cuerda, etc. ¿La luz también tiene un medio? En el ocaso del siglo xix (e incluso ahora), ésta era una de las cuestiones fundamentales de la física.

¿Qué es el éter luminífero? Cuando Maxwell inventó los conceptos de campos eléctrico y magnético, usó un modelo mecánico para ayudarse a concebir estas ideas. Un campo eléctrico puede existir en el espacio de algún otro modo vacío: es la fuerza por unidad de carga que experimentaría una carga si se colocase en el punto del espacio donde se halla el campo. No es necesario que ahí haya una carga (o alguna otra cosa) para definir el campo: el campo es una propiedad del espacio. La presencia de un campo debe modificar o distorsionar de algún modo el espacio para ejercer su efecto en una partícula cargada. Maxwell imaginó que el espacio vacío tenía propiedades elásticas. Podríamos figurarnos el espacio vacío como un arreglo infinito de pequeños resortes sin masa interconectados (figura 20.7). Los campos eléctrico y magnético variables de una onda electromagnética se podrían ver como una distorsión de este arreglo de resortes. Aunque Maxwell no creía que ésta fuera una descripción precisa del espacio vacío, puede haberle ayudado a pensar acerca de los campos y el proceso de la propagación de ondas. Incluso si este modelo no se toma literalmente, atribuir propiedades elásticas al espacio vacío parecía necesario para explicar la propagación de una onda por ese medio. De otro modo, nada oscilaría cuando pasara una onda. Este medio invisible, elástico y aparentemente sin masa que podía existir en un vacío se llamó éter luminífero, y era el medio por el que supuestamente pasaban las ondas de luz y otras ondas

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20.2 La rapidez de la luz y los postulados de Einstein

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vot voc

vct

vot = voc + vct

figura 20.8

La velocidad de olarespecto a la corriente se suma a la velocidad de la corriente para obtener la velocidad de la ola respecto a la Tierra.

figura 20.7

Maxwell imaginó que el espacio vacío tenía propiedades elásticas. Un arreglo de resortes sin masa interconectados puede servir como modelo rudimentario de esa idea.

electromagnéticas. Si se necesitaba o no para explicar la propagación de las ondas electromagnéticas era asunto de discusión. Maxwell mismo no estaba totalmente convencido.

¿El éter podía servir como marco de referencia universal? La supuesta existencia del éter abrió una excitante posibilidad para resolver el problema de los marcos de referencia inerciales expuesto en la sección 20.1. Acaso el éter podía servir como marco de referencia absoluto o universal para medir todo movimiento. Cualquier otro marco de referencia inercial válido se desplazaría entonces a velocidad constante respecto al éter. El éter mismo podría describirse como incrustado y fijo en el espacio vacío. ¿Cómo podríamos medir el movimiento con relación al éter? Simplemente midiendo la velocidad de la luz. Si la Tierra se mueve en respecto al éter, la velocidad de la luz debe verse afectada por este movimiento. Debe aplicarse la fórmula de suma de velocidades presentada en la sección 20.1. Es más sencillo concebir esta idea si consideramos una ola de agua en una corriente de agua, como aparece en la figura 20.8. Si la onda se mueve a una velocidad voc respecto a la corriente, y ésta fluye en la misma dirección a una velocidad vct respecto a la Tierra, la velocidad de la ola respecto a la Tierra, vot, debe ser vot = voc + vct, igual que un bote que flota corriente abajo. La velocidad de la ola en el medio (el agua, en este caso) se suma a la velocidad del medio respecto a la Tierra para obtener la velocidad global de la ola respecto a la Tierra. No resulta difícil extender estas ideas a las ondas de luz que viajan en el éter. Si la Tierra se mueve por el éter, éste también fluye por la Tierra. La velocidad de la luz que medimos debe entonces ser la suma vectorial de la velocidad de la luz

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respecto al éter y la velocidad del éter respecto a la Tierra. La medición precisa de la velocidad de la luz respecto a la Tierra en diferentes momentos del año nos permitiría así determinar si el planeta se mueve en cierta dirección respecto al éter.

El experimento de Michelson-Morley El más famoso experimento diseñado para detectar el posible movimiento de la Tierra respecto al éter es el realizado por Albert Michelson (1852-1931) y Edward Morley (1838-1923) durante el decenio de 1880 en lo que ahora es la Case Western Reserve University, en Cleveland. Para detectar pequeñas diferencias en la velocidad de la luz, usaron un instrumento especial diseñado por Michelson, hoy llamado interferómetro de Michelson. Como indica su nombre, ese instrumento aprovecha fenómenos de interferencia para detectar pequeñas diferencias en la velocidad de la luz o en la distancia que ésta recorre (véase la sección 16.3). En la figura 20.9 se muestra un interferómetro de Michelson. La luz que se introduce desde la fuente a la izquierda se separa en dos haces mediante un espejo parcialmente plateado, o divisor de haz. Aproximadamente la mitad de la luz que llega a este espejo pasa por él y la otra mitad se refleja, lo que produce dos haces de igual intensidad. Ambos viajan a lo largo de trayectorias perpendiculares, como se muestra, y se reflejan mediante espejos completamente plateados, con lo que regresan por el divisor de haz. Allí, los haces se transmiten parcialmente y de nuevo se reflejan parcialmente. El observador mira las imágenes de la fuente a lo largo de una trayectoria en el cuarto lado del interferómetro, en la parte inferior del diagrama. Puesto que la luz que el observador ve proviene de la misma fuente pero viajó a lo largo de diferentes trayectorias, puede estar en fase o fuera de fase para diferentes puntos en la imagen de la fuente. Si se inclina ligeramente uno de los últimos espejos de modo que no quede exactamente perpendicular al haz de luz, estas diferencias de fase crearán un patrón de franjas oscuras y claras, como en la figura 20.9. Las franjas oscuras se producen por interferencia destructiva; las claras, por interferencia constructiva.

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430

Capítulo 20

Relatividad Espejos

Posible velocidad del éter

Divisor de haz Fuente de luz

Imagen de la fuente

Franjas

Órbita de la Tierra

20.10 Independientemente de la dirección del movimiento del éter respecto al Sol, en alguna época del año la Tierra debería moverse respecto al éter.

figura

Observador

figura 20.9

Un interferómetro de Michelson. Las ondas de luz que viajan a lo largo de dos brazos perpendiculares se interfieren entre sí para formar un patrón de franjas claras y oscuras.

Si algo hace que cambie el tiempo requerido para que alguno de los haces de luz llegue al último espejo y regrese, la diferencia de fase cambiará y el patrón de franjas se correrá. Michelson y Morley razonaron que si el éter se movía en una dirección paralela a uno de los brazos, el tiempo para que el haz se moviera paralelo a la corriente de éter sería ligeramente diferente del tiempo del haz que se movía perpendicular a la corriente de éter. Esas diferencias de tiempo se podrían calcular hallando las verdaderas velocidades de onda para que la luz viaje a lo largo de cada brazo. El cálculo es similar al de un bote que se mueve paralelo o perpendicular a la corriente de un río. Para ver el corrimiento de franjas esperado, el interferómetro debe hacerse rotar 90° (junto con el observador), de modo que el brazo que había estado paralelo a la corriente de éter quede ahora perpendicular a ella, y viceversa. Michelson y Morley montaron el interferómetro sobre una loza de roca y la hicieron flotar en un tanque lleno de mercurio para que el interferómetro girara de manera uniforme. (El mercurio era el único fluido lo suficientemente denso que podía obtenerse para hacer flotar una pesada loza de roca.) Michelson y Morley basaron sus cálculos en la suposición de que la velocidad de la Tierra respecto al éter se debía, en parte, al movimiento orbital del planeta alrededor del Sol. Como no podían suponer que el éter estaba fijo respecto al Sol, tuvieron que hacer el experimento en diferentes épocas del año. En algún momento durante el año, el movimiento de la Tierra debía ser paralelo a un componente del movimiento del éter, y seis meses después debía ser antiparalelo (figura 20.10). Supusieron que la velocidad mínima de la Tierra respecto al éter sería igual a la velocidad orbital del planeta en torno al Sol. Tendría este valor si el éter estuviera fijo respecto al Sol; si se moviese respecto al astro, su velocidad respecto a la Tierra sería incluso mayor en cierta época del año.

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Los resultados del experimento de Michelson y Morley fueron decepcionantes: no se observó corrimiento de franjas cuando el interferómetro rotaba en ninguna época del año. Aunque se esperaba que el corrimiento fuera pequeño (de la mitad del ancho de una franja), debía ser observable de acuerdo con los supuestos en los que se basaba el experimento. El experimento falló para detectar movimiento alguno de la Tierra respecto al éter. No obstante, en ciencia fracasar en el establecimiento de lo que se esperaba puede ser un resultado importante.

Postulados de relatividad especial de Einstein El fracaso del experimento de Michelson y Morley para detectar el movimiento de la Tierra respecto al éter sembró dudas nuevas acerca de éste. ¿Por qué no podíamos detectar su movimiento? Acaso era arrastrado junto con la Tierra, casi como ocurría con la atmósfera, de modo que un experimento realizado sobre la superficie terrestre no detectaría desplazamiento. Sin embargo, esta suposición parecía estar descartada, pues otras observaciones mostraban corrimientos en las posiciones aparentes de las estrellas vistas en diferentes épocas del año. Einstein era apenas un niño cuando Michelson y Morley llevaron a cabo su experimento y no conocía el resultado al empezar a trabajar en torno a la relatividad. Sin embargo, estaba al tanto del debate en cuanto a la existencia del éter. Su solución al dilema fue simple y radical. Simplemente tomó como postulado básico lo que parecía ser lo razonable desde el ángulo experimental: que la velocidad de la luz no se modifica por el movimiento de la fuente o del marco de referencia. En realidad Einstein estableció dos postulados en su ensayo introductorio sobre la relatividad especial publicado en 1905. El primero fue una confirmación del principio de relatividad establecido de igual modo, más de 200 años antes, por Galileo y Newton y estudiado en la sección 20.1:

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20.2 La rapidez de la luz y los postulados de Einstein

vs

c

Pelota

vp va

vs

Sonido Respecto a la Tierra:

431

vp

va

va

Luz

c

20.11 A diferencia de las ondas sonoras o de una pelota, la velocidad del avión no se suma a la de un haz de luz para producir la rapidez de la luz respecto a la Tierra. La rapidez de la luz es la misma para todos los observadores. (Los vectores de la velocidad no se trazaron a escala.)

figura

Postulado 1: las leyes de la física son las mismas en cualquier marco de referencia inercial.

El segundo postulado implica la rapidez de la luz:

Postulado 2: la rapidez de la luz en un vacío es la misma en cualquier marco de referencia inercial, independientemente del movimiento relativo de la fuente y el observador.

Aunque ambos postulados son importantes para la teoría de Einstein, el segundo exige un cambio radical en nuestro pensamiento. Lo que decía, en esencia, es que la luz (o cualquier onda electromagnética) no se comporta como la mayoría de las ondas u objetos en movimiento. Si lanzamos una pelota en un avión en movimiento, la velocidad de la pelota respecto a la Tierra es la suma vectorial de la velocidad de la pelota respecto al avión más la velocidad de éste respecto a la Tierra. Si el piloto habla por el sistema de sonido, la onda sonora viaja a una velocidad respecto a la Tierra, que es la suma vectorial de la velocidad del sonido en el aire del avión más la velocidad del avión respecto a la Tierra (figura 20.11).

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Sin embargo, si encendemos una lámpara en el avión, la velocidad de la luz medida en el avión debe ser la misma, de acuerdo con el segundo postulado de Einstein, que la medida para el mismo haz de lámpara visto por un observador en reposo sobre la Tierra. La fórmula clásica de suma de velocidades no es válida para la luz; una idea que no era fácil de aceptar por los físicos de 1905. De hecho, si examinamos meticulosamente el segundo postulado, veremos que requiere que repensemos el espacio y el tiempo. Este aspecto de la relatividad realmente cambia nuestras ideas. Comenzaremos a explorar algunas de estas consecuencias en la sección próxima. Se supuso que el éter era el medio para las ondas electromagnéticas. Como estas ondas podían viajar en el vacío, se creyó que el éter existía incluso en el vacío. Si la Tierra se mueve por el éter, podemos establecer un marco de referencia absoluto asociado con él. El experimento de Michelson y Morley se diseñó con este fin, pero no pudo detectar movimiento de la Tierra respecto al éter. En respuesta a éste y otros experimentos, Einstein postuló que la rapidez de la luz es la misma en cualquier marco de referencia inercial, lo que niega la existencia del éter. Este supuesto tiene implicaciones radicales para nuestros conceptos de espacio y tiempo.

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Capítulo 20

Relatividad

20.3 Dilatación del tiempo y contracción de la longitud Las unidades de la velocidad siempre son una razón de distancia (una medida de espacio) dividida entre tiempo; por ejemplo, metros por segundo. La ley de suma de velocidades depende del supuesto de que el espacio y el tiempo pueden medirse por diferentes observadores en la misma forma y con los mismos resultados, sin importar si se mueven uno respecto al otro. Este supuesto es congruente con nuestras experiencias diarias. Si la velocidad de la luz no se suma como las velocidades ordinarias, debe haber algún problema con la forma como diferentes observadores miden el espacio o el tiempo. Si aceptamos el segundo postulado de Einstein de que la rapidez de la luz es la misma para todos, debemos rechazar la idea de que el espacio y el tiempo son iguales para todos los observadores. Esto va contra nuestra intuición o sentido común y requiere que desechemos ideas que parecen ser inherentemente verdaderas. Para abordar estas cuestiones, Einstein ideó experimentos mentales, experimentos que son imprácticos de realizar debido a las enormes velocidades que suponen pero que pueden imaginarse sin problema y cuyas consecuencias es posible explorar. Los experimentos mentales nos permiten ver cómo debemos modificar los conceptos de espacio y tiempo para aceptar el segundo postulado de Einstein. Cualquier persona puede realizar experimentos mentales; no se necesita equipo físico.

Mediciones de tiempo por diferentes observadores Imagina que queremos medir el tiempo usando la velocidad de la luz como criterio de medición. Imagina también que viajas en una nave espacial que se desplaza a gran velocidad respecto a la Tierra. Si la nave tiene una gran ventana de vidrio en un lado, una observadora en la Tierra podría observar tus experimentos y hacer mediciones. ¿Cómo harías para usar la rapidez de la luz como criterio para medir el tiempo? Una forma consistiría en enviar un haz de luz a un espejo en el techo de la nave y usar el tiempo requerido para que el haz llegara al espejo y volviera a la fuente como unidad básica de tiempo. Este arreglo sería un reloj de luz: usa la rapidez de la luz para establecer un estándar de tiempo. Si la distancia de la fuente de luz al espejo es d (figura 20.12), el tiempo requerido para que la luz llegue al espejo y vuelva (una distancia de 2d) es t0 =

2d , c

donde c es la rapidez de la luz. Esta cantidad se vuelve tu medida básica o unidad de tiempo medido en la nave espacial. La observadora que está en la Tierra mientras tú destellas en la nave espacial con pared de vidrio también puede ver el tiempo que toma al haz de luz llegar al espejo y regresar.

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Espejo

d

v

Lámpara

20.12 En un reloj de luz, el tiempo que tarda la luz para viajar la distancia 2d al espejo y regresar se vuelve la medida básica de tiempo t0.

figura

Sin embargo, ella ve los hechos de forma un tanto diferente a la tuya. Si la nave se desplaza a una velocidad v respecto a la Tierra, el espejo también se mueve a esa velocidad. Para que el haz de luz se refleje en el espejo y regrese a la fuente (que, mientras tanto, se ha movido), debe viajar a lo largo de la trayectoria diagonal mostrada en la figura 20.13. Si la observadora en la Tierra usa el mismo reloj de luz para establecer una medida de tiempo, su medida básica t será mayor que t0. Ella ve el haz de luz que viaja una distancia mayor con la misma rapidez c que la distancia medida por el observador que va en la nave (tú). Suponemos que ella mide la distancia vertical d igual que tú, ya que esa distancia es perpendicular a la dirección de movimiento relativo y no debe verse afectada por el movimiento. Cuanto más grande sea el trayecto recorrido por el haz de luz mayor será el tiempo en hacerlo. La diferencia en los intervalos de tiempo medidos por los dos observadores puede determinarse considerando la geometría y las distancias de la figura 20.13 (véase el problema de síntesis 5). El tiempo t medido por la observadora en la Tierra puede expresarse en términos del tiempo t0 medido en la nave espacial como t =

t0 v2 1 − 2 c

.

Ésta es la fórmula de dilatación del tiempo. En ella, t siempre será mayor que t0, pues el número en el denominador siempre es menor que uno. La observadora en la Tierra mide un tiempo mayor dilatado con el reloj de luz. El tiempo t0 se llama tiempo propio. En este caso, es el intervalo de tiempo medido en la nave espacial donde la luz empieza y termina su recorrido en el mismo punto en el espacio. Un intervalo de tiempo propio es el tiempo transcurrido entre dos hechos medidos en un marco de referencia en el que los dos hechos ocurren en el mismo lugar dentro de ese marco de referencia.

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20.3 Dilatación del tiempo y contracción de la longitud

(2)

c _t

v

d

(2)

v _t

20.13 Para un observador en la Tierra, la luz toma una trayectoria diagonal hasta llegar al espejo y también para volver a la fuente. Esto produce tiempo mayor según se mide en el reloj de luz.

figura

Esto es cierto para el intervalo de tiempo medido por la persona en la nave espacial pero no para la que está en la Tierra. Ella ve la luz que sale de la fuente en un punto en el espacio y vuelve a la fuente en un punto diferente en el espacio y mide un intervalo de tiempo dilatado para el tiempo transcurrido entre el comienzo y el final del recorrido del haz. Toma distancia de la situación y trata de ver qué hicimos en realidad en este experimento mental. Usamos la rapidez de la luz como estándar para medir el tiempo en un reloj de luz. Al insistir en que los dos observadores que se mueven uno respecto al otro observan el mismo valor para la rapidez de la luz c, descubrimos que obtienen diferentes mediciones de tiempo con el mismo reloj. Si para ellos el valor de c es el mismo, no lo es el tiempo de recorrido del haz de luz. El tiempo no transcurre a la misma razón en diferentes marcos de referencia. Para rapidez ordinaria de movimiento relativo, la diferencia en estos dos intervalos de tiempo sería extremadamente pequeña. Para una rapidez de un centésimo la de la luz (0.01c), por ejemplo (la enorme rapidez de 3 millones de metros por segundo), la cantidad v/c en la fórmula de dilatación del tiempo es 0.01. El tiempo dilatado t en este caso es 1.000 05 multiplicado por t0, de modo que la diferencia entre t y t0 es muy pequeña. La rapidez relativa v de los dos observadores debe ser casi tan grande como la rapidez de la luz para que la diferencia en estos intervalos de tiempo sea observable. La cantidad que contiene la raíz cuadrada que aparece en la fórmula de la dilatación del tiempo está implicada en muchas expresiones de la relatividad, y se usa la letra griega γ (gamma) como su símbolo, donde

γ =

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1 v2 1 − 2 c

.

tabla 20.1 Valores de γ para diferentes valores de rapidez relativa v v = 0.01c

γ = 1.000 05

v = 0.1c

γ = 1.005

v = 0.5c

γ = 1.155

v = 0.6c

γ = 1.250

v = 0.8c

γ = 1.667

v = 0.9c

γ = 2.294

v = 0.99c

γ = 7.088

En la tabla 20.1 se muestra el valor de γ para algunos valores de la rapidez relativa v. Estos valores están muy cerca de 1 para pequeños valores de v, pero aumenta rápidamente conforme la magnitud de v tiende a c. (La rapidez relativa se expresa aquí como fracciones de la rapidez de la luz c.) Escrita en términos de gamma, la relación de dilatación del tiempo toma la forma t = γ t0, esto es, el tiempo propio t0 se debe multiplicar por el factor γ para obtener el tiempo dilatado t.

¿Cómo varían las mediciones de longitud para diferentes observadores? Nuestros dos observadores disienten en el tiempo transcurrido en el recorrido del haz de luz, lo mismo que en la distancia que recorren la nave espacial y el espejo durante ese tiempo. Podemos ver esto si extendemos nuestro experimento mental para medir la distancia que se desplaza la nave espacial en el tiempo requerido para que el haz de luz salga de la fuente y regrese a ella.

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Capítulo 20

Relatividad

v

v

L0

20.14 Con la ayuda de asistentes, la observadora en la Tierra puede marcar la posición de la nave espacial cuando se emite el pulso de luz y cuando regresa a la fuente. La distancia entre estas posiciones L0 se puede medir fácilmente.

figura

Esta distancia puede medirla más fácilmente el observador que está en la superficie de la Tierra. Con la ayuda de asistentes alineados a lo largo de la trayectoria de la nave, puede marcar dónde se halla ésta cuando se emite el pulso de luz y cuándo regresa el pulso a la fuente. Luego puede medir la distancia entre esos dos puntos como quiera, pues esta distancia es fija en la superficie de la Tierra (figura 20.14). El observador en la nave tiene una tarea un tanto más ardua para medir tal distancia. Él ve la Tierra conforme lo pasa y de algún modo debe ubicar simultáneamente los extremos de la distancia. Si pudiera medir la rapidez de la nave independientemente de esta distancia, entonces podría calcularla multiplicando la rapidez v por el tiempo de recorrido del haz de luz. Esta cantidad es el tiempo t0, el tiempo propio, pues es el tiempo medido por el astronauta. Con este método, obtendría una longitud L = vt0 para la distancia recorrida por la nave durante el recorrido del haz de luz. Con el mismo razonamiento, la observadora en la Tierra también podría calcular esta distancia. Encuentra que L0 = vt, donde t es el tiempo dilatado que mide para el recorrido del haz de luz. Usamos el símbolo L0 porque ésta es la longitud en reposo, la longitud medida por el observador que está en reposo relativo a la distancia que se mide. Puesto que ya descubrimos que t es mayor que t0, vemos que la longitud en reposo L0 debe ser mayor que la longitud L medida por el observador que se halla en la nave. Él mide una longitud contraída, o más corta, que la longitud en reposo. Puesto que t = γ t0, la longitud contraída puede expresarse como L=

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1 L . γ 0

Ésta es la fórmula de contracción de la longitud. Como γ siempre es mayor que 1, L siempre es menor que L0, la longitud en reposo. De nuevo, para que el efecto sea observable v debe ser muy grande, como se ilustra en el cuadro de ejemplo 20.1. En ese ejemplo, la nave espacial viaja con una velocidad de 0.6c. El piloto de la nave mide una longitud contraída de 720 km como distancia de su recorrido, mientras el observador en Tierra mide la distancia de recorrido como 900 km. El piloto también mide un tiempo más corto, 4 milisegundos (el tiempo propio) para el recorrido que el tiempo dilatado de 5 milisegundos medido por la observadora en la Tierra. Aunque estos efectos parecen extraños, se han observado en una amplia variedad de circunstancias. Si bien los objetos de tamaño ordinario rara vez se mueven a rapidez suficientemente grande para mostrar efectos que puedan advertirse, las partículas subatómicas rutinariamente lo hacen. Una partícula que tenga cierto tiempo de vida en reposo en el laboratorio parece tener un tiempo de vida más largo (dilatado) cuando se mueve a velocidades cercanas a la de la luz. Viaja más lejos antes de decaer, visto desde el ángulo de un observador en reposo en el laboratorio. Sin embargo, desde la óptica de un observador que viaje con la partícula, ésta tiene su tiempo de vida propio t0 y se desplaza una distancia contraída L más corta que la longitud en reposo medida por el observador en el laboratorio. La situación es básicamente la misma que para la nave espacial en el cuadro de ejemplo 20.1. Todas estas observaciones son congruentes si las tratamos de acuerdo con la teoría de Einstein. El problema de medir distancias desde una nave espacial en movimiento, si se examina con detalle, se reduce al de ubicar simultáneamente los extremos de la longitud que se va a medir. No sólo los dos observadores estarán en desacuerdo acerca del

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20.4 Leyes de Newton y equivalencia masa-energía

cuadro de ejemplo 20.1 Ejercicio: contracción en longitud Una nave espacial que viaja a la velocidad de 1.8 × 108 m/s (0.6c) recorre una distancia de 900 km medida por un observador en la Tierra. a) ¿Cuál es la distancia recorrida en ese tiempo medida por el piloto de la nave? b) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer esa distancia medido por el observador en la Tierra y por el piloto? a) v = 0.6c c = 3 ×

γ = 1.25

m/s

1 1 = γ 1.25

L = ?

1 = 0.8 γ L =

1 L γ 0

= (0.8)(900 km) = 720 km b) t = ? Medida por el observador en la Tierra: L0 = vt t = =

L0 v 9 × 105 m 1.8 × 10 8 m/s

= 5 × 10−3 s = 5 ms Medido por el piloto de la nave: L = vt0 t0 = =

20.4 Leyes de Newton y equivalencia masa-energía Si se aceptan los postulados de Einstein es preciso realizar cambios importantes en la forma como concebimos el espacio y el tiempo. Puesto que en la velocidad y la aceleración hay implícitas medidas de espacio y tiempo, y como la aceleración es de suma importancia en las leyes de Newton del movimiento, podemos sospechar que éstas también deben modificarse para hallarse en congruencia con los postulados de Einstein. ¿La segunda ley de Newton del movimiento aún es aplicable cuando los objetos se mueven a velocidades muy grandes? Para abordar esta pregunta, Einstein descubrió que era necesario modificar la segunda ley de Newton redefiniendo el concepto de cantidad de movimiento. Conforme exploró las consecuencias de este nuevo enfoque de la dinámica en sus primeros ensayos acerca de la relatividad, llegó a una conclusión sorprendente acerca de la relación entre masa y energía, la cual se resume en la multicitada ecuación E = mc2.

L v

¿Cómo debe modificarse la segunda ley de Newton?

7.2 × 105 m/s 1.8 × 105 m/s

Cuando Einstein examinó la segunda ley de Newton a la luz de sus postulados, descubrió problemas: una aceleración medida en un marco de referencia no es la misma que la aceleración del mismo cuerpo medida en otro marco. Si el piloto de una nave espacial dispara un proyectil con cierta aceleración, el observador en Tierra mediría una aceleración diferente. A velocidades ordinarias, no hay diferencia en las aceleraciones medidas por diferentes observadores. Podemos aplicar la segunda ley de Newton, Fneta = ma, en cualquier marco de referencia inercial usando las mismas fuerzas para explicar la aceleración del objeto. La segunda ley de Newton aparentemente no funcionará cuando las velocidades sean muy grandes porque las aceleraciones ya no son iguales en diferentes marcos de referencia. Entonces tenemos una violación del primer postulado de Einstein: la segunda ley de Newton no parece adoptar la misma forma en diferentes marcos de referencia inerciales. Como estudiamos en el capítulo 7, la forma más general de la segunda ley de Newton se establece en términos de cantidad de movimiento en vez de aceleración, Fneta = ∆p/∆t: la fuerza neta es igual a la razón de cambio de la cantidad de

= 4 × 10 − 3 s = 4 ms

tiempo transcurrido, también lo estarán acerca de si los hechos son simultáneos. Un observador puede considerar simultáneos dos hechos separados en el espacio, pero otro que se mueve respecto al primero puede tenerlos como si sucedieran en diferente tiempo. Estos efectos de espacio y tiempo se exploran aún más en el cuadro de fenómenos cotidianos 20.1, que trata acerca de la famosa paradoja de los gemelos, que supone la diferencia en la tasa de envejecimiento de dos gemelos, uno que emprende un viaje espacial a una estrella distante y regresa, y el otro que permanece en Tierra. El hecho de que el gemelo que viaja envejezca menos que el que permanece en la Tierra se comprende si se usa el concepto de dilatación del tiempo. ¡No es sólo ciencia ficción!

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Si aceptamos el segundo postulado de Einstein de que la rapidez de la luz tiene el mismo valor para diferentes observadores, sin importar su movimiento relativo, debemos desechar algunas ideas queridas acerca del espacio y el tiempo. Si se emplea la rapidez de la luz como estándar para medir el tiempo, encontramos que un tiempo dilatado o más largo se mide entre dos hechos para un observador que no los ve como si sucedieran en el mismo lugar. Además, un observador que se mueve respecto a una distancia que se mide encuentra una longitud contraída o más corta. Diferentes observadores no pueden estar de acuerdo incluso acerca de si dos hechos son simultáneos.

De la tabla 20.1, 108

L 0 = 900 km

t0 = ?

435

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436

Capítulo 20

Relatividad

fenómenos cotidianos

cuadro 20.1

La paradoja de las gemelas Situación. Uno de los fenómenos más analizados de la relatividad es la llamada paradoja de las gemelas. Una de un par de gemelas idénticas, Adele, viaja a muy alta velocidad a una estrella lejana y luego regresa a la Tierra. La otra gemela, Bertha, permanece en el planeta mientras su gemela viaja. Estrella distante

Adele

v

Bertha

Como una de las gemelas viaja a rapidez cercana a la de la luz, las gemelas deben medir el tiempo que transcurre a diferentes razones debido a la dilatación del tiempo. Cuando la gemela viajera regrese, ¿encontrará que es más joven que la que permaneció en casa? Puesto que cada gemela puede considerar a la otra como en movimiento mientras ella está quieta (en tanto la velocidad sea constante), ¿la otra gemela no se ve también a sí misma como más joven? Esta pregunta se encuentra en el corazón de la aparente paradoja. Análisis. Imagina que Adele realiza todo el viaje a la rapidez v = 0.6c. En la tabla 20.1 se indica que el factor γ que aparece en la fórmula de dilatación del tiempo es igual a 1.25. Si Adele percibe que el viaje dura 12 años, éste es un tiempo propio en su marco de referencia, la nave espacial. Ella ha vivido 12 años y experimenta un número adecuado de latidos cardiacos (u otras medidas biológicas adecuadas de tiempo) durante su viaje. En otras palabras, en lo que a ella concierne, es 12 años más vieja que cuando partió. Por otra parte, su gemela, Bertha, experimenta un tiempo dilatado para el mismo intervalo de tiempo. Ella vive un tiempo t = γt0, que es 15 años (1.25 × 12 años) para el viaje. Bertha ha envejecido 15 años esperando el regreso de su hermana.

Tierra

La gemela Adele viaja a una estrella lejana y regresa mientras su hermana gemela, Bertha, permanece en casa.

(continúa) movimiento. La cantidad de movimiento se define como el producto de la masa multiplicada por la velocidad, p = mv. También encontramos problemas a grandes velocidades cuando intentamos aplicar la segunda ley de Newton de esta forma. Incluso la ley de conservación de la cantidad de movimiento no parece funcionar cuando la consideran observadores en diferentes marcos de referencia. Para salvar la ley de conservación de la cantidad de movimiento a velocidades relativas (grandes), Einstein encontró que debía redefinir la cantidad de movimiento como p = γ mv. donde v es la velocidad de un objeto respecto a cierto marco de referencia y γ el factor relativista definido en la sección 20.3, que también depende de la magnitud de la velocidad v. Con esta nueva definición de la cantidad de movimiento, Einstein pudo demostrar que diferentes observadores podían estar de acuerdo en que la cantidad de movimiento se conservaba en

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una colisión, aunque medirían diferentes valores para las velocidades y cantidades de movimiento. A bajas velocidades, esta definición revisada de la cantidad de movimiento se reduce a la definición ordinaria de cantidad de movimiento, p = mv, ya que así el factor γ es aproximadamente igual a 1. Como la ley de conservación de la cantidad de movimiento se deduce directamente de la segunda ley de Newton, esta definición revisada debe usarse ahí también. En otras palabras, Einstein descubrió que podía hacer que la segunda ley de Newton se conformara a sus postulados empleando la nueva definición de cantidad de movimiento en la forma general de la segunda ley de Newton, Fneta = ∆p/∆t. A velocidades ordinarias, la segunda ley de Newton funciona de la manera usual porque la cantidad de movimiento relativista se reduce a la definición clásica. A velocidades muy grandes, debemos usar la definición relativista de cantidad de movimiento. La teoría especial de la relatividad de Einstein es una significativa revisión de la teoría de la mecánica de Newton.

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437

20.4 Leyes de Newton y equivalencia masa-energía

Puesto que Adele sólo ha envejecido 12 años durante el viaje, ¡es tres años más joven que su gemela al final del viaje! Sin embargo, piensa que hacemos el mismo análisis con la nave espacial fija y la Tierra en movimiento. ¿Llegaríamos a la conclusión inversa? ¿Tal análisis indicaría que Bertha sería tres años más joven que Adele? Sin duda es imposible que esos dos resultados sean verdaderos. Ahí yace la paradoja. La resolución de la paradoja se encuentra en el hecho de que hemos ignorado las aceleraciones y los cambios resultantes en el marco de referencia. Para hacer un viaje espacial como éste, la nave de Adele debe acelerar para alejarse de la Tierra hasta que alcance la enorme rapidez de 0.6c que hemos supuesto. Cuando arriba a la estrella, debe dar vuelta, lo que implica una desaceleración y aceleración en la dirección opuesta (y en un marco de referencia diferente). Debe desacelerar de nuevo cuando llegue a la Tierra. Nuestra situación realmente no es totalmente simétrica: la nave existe en dos marcos de referencia distintos, cada uno con rapidez v respecto a la Tierra pero con velocidades en direcciones opuestas. Aunque las aceleraciones pueden manejarse usando la relatividad general, realmente no es necesario para nuestros fines. Si suponemos que las aceleraciones tienen lugar en intervalos de tiempo pequeños en comparación con el tiempo de vuelo global, el cálculo realizado anteriormente con la relatividad especial produce el resultado correcto: Adele envejece menos que Bertha, lo que puede confirmarse haciendo un experimento mental a partir de los supuestos básicos de la relatividad especial y analizando meticulosamente el comportamiento de los relojes en cualquier marco de referencia. No obstante, debemos suponer que la nave espacial cambia de marcos de referencia, no la Tierra.

Adele Bertha

A una rapidez de 0.995c de la nave espacial, las diferencias en envejecimiento de Adele y Bertha podrían ser muy sorprendentes.

Esta diferencia en el transcurso del tiempo y la diferencia resultante en el envejecimiento de las gemelas es un efecto real que se ha comprobado experimentalmente usando relojes sumamemente precisos y la rapidez mucho más lenta de un avión de propulsión a chorro. Si alcanzáramos velocidades tan altas como 0.995c, la diferencia en envejecimiento de las gemelas sería muy sorprendente. A una velocidad de 0.995c, el factor de dilatación del tiempo es aproximadamente 10 en lugar de 1.25. Un viaje que dure 10 años para Adele tardaría 100 años para Bertha. Adele volvería a la Tierra 100 años después con un envejecimiento de sólo 10 años.

¿Cómo surge la idea de la equivalencia masa-energía? Mientras revisaba la segunda ley de Newton, Einstein descubrió que la energía mecánica también toma un nuevo significado. En la física clásica, la energía cinética de un cuerpo se determina calculando el trabajo realizado para acelerarlo a una 1 velocidad dada, lo que resulta en la conocida expresión EC = 2 mv2 (véase el capítulo 6 y la figura 20.15). Si utilizamos el mismo procedimiento, podemos calcular la energía cinética de un cuerpo que acelera a una velocidad muy grande. No obstante, en este caso debemos usar la versión modificada de la segunda ley de Newton para describir el proceso de aceleración. Cuando Einstein calculó la energía cinética usando la modificación relativista de la segunda ley de Newton, obtuvo el resultado EC = γ mc2 − mc2.

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d Fneta

v

W = Fnetad = ΔEC

0.15 Como antes, el trabajo realizado por la fuerza neta usada para acelerar un objeto es igual al aumento en la energía cinética del objeto.

figura 2

Nota que sólo el primer término de esta expresión depende de la rapidez del objeto, pues el factor γ contiene la rapidez. El segundo término es independiente de la rapidez del cuerpo. Llegar a este resultado fue un proceso simple para Einstein (el cálculo no es difícil para alguien experimentado en él). No obstante, interpretarlo ofrecía un desafío importante. La nueva

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Capítulo 20

Relatividad

expresión para la energía cinética es la diferencia entre dos términos, uno que depende de la rapidez y otro que no lo hace. Al parecer, si se acelera un cuerpo se aumenta su energía sobre una energía que ya posee en virtud de su masa, mc2. La cantidad mc2 suele denominarse energía en reposo y se le ha dado su propio símbolo, E0 = mc2. La expresión para la energía cinética obtenida por Einstein se puede reordenar, y poner la energía en reposo en el otro lado de la ecuación con la energía cinética, EC + E0 = γmc2. La expresión γmc2 es la energía total, la suma de la energía cinética y la energía en reposo. Cuando un cuerpo se acelera, las energías total y cinética aumentan porque el factor γ crece a medida que aumenta la rapidez.

¿Cómo interpretamos la energía en reposo? El término energía en reposo fue la característica más interesante del cálculo de Einstein de la energía cinética. Puesto que c es una constante de la naturaleza, al multiplicar la masa de un cuerpo por c2 para obtener un valor de energía (mc2), sólo multiplicamos la masa por una constante. Esto parece indicar que la masa equivale a la energía. Si aumentamos la masa de un objeto o sistema, incrementamos su energía; si aumentamos la energía de un sistema, incrementamos su masa. Ésta es la esencia de la relación E0 = mc2. La equivalencia masa-energía se ilustra en la figura 20.16, que muestra un mechero Bunsen calentando un matraz con agua. Como el flujo de calor lo es también de energía, aumen-

20.16 Un mechero Bunsen agrega masa a un matraz con agua al aumentar la energía interna de ésta. Energía y masa son equivalentes.

figura

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cuadro de ejemplo 20.2 Ejercicio: al añadir energía se agrega masa Un mechero Bunsen agrega 1000 J de energía térmica a un matraz con agua. ¿Cuál es el aumento en la masa del agua? E = 1000 J c = 3 × 108 m/s Δm = ?

E = Δmc2 Δm =

E c2

=

1000 J (3 × 108 m/s)2

=

1000 J 9 × 1016 m2/s2

= 1.11 × 10 −14 kg

tamos la energía interna del agua al calentarla. También incrementamos la masa del agua, pues la energía es masa. La cantidad que crece la masa en este ejemplo sería muy pequeña y extremadamente difícil (si no imposible) de medir. Si agregamos 1000 J de energía térmica, el aumento en masa sólo es de 1.1 × 10–14 kg, como se muestra en el cuadro de ejemplo 20.2. Puesto que un matraz con agua normalmente contendría algunas décimas de kilogramo de agua, un cambio de 10–14 kg sería absolutamente despreciable. Estamos muy acostumbrados a pensar que la masa y la energía son diferentes, y por ello la idea de que son equivalentes puede resultar difícil de aceptar. El principio mismo se ha confirmado ampliamente porque predice bien la cantidad de energía liberada en reacciones nucleares como la fusión o la fisión, como se describe en el capítulo 19. A veces se ha afirmado que la masa se convierte en energía en tales reacciones, pero sería mejor decir que la energía de la masa en reposo se transforma en energía cinética. En otras palabras, la masa no se puede convertir en energía porque ya es energía, simplemente se transforma de un tipo en otro . La equivalencia masa-energía, como las otras ideas que hemos expuesto, es sólo otro resultado de la aplicación meticulosa y sistemática de los postulados de Einstein a la mecánica. Los sorprendentes resultados condujeron a revisiones fundamentales en nuestra comprensión de los conceptos de energía y masa, así como de espacio y tiempo. Análisis más profundos de los postulados de Einstein demostraron que diferentes observadores no podían estar de acuerdo en valores de aceleración, o incluso en que la cantidad de movimiento se conserva. Se requería una modificación de la segunda ley de Newton del movimiento, que se logró cambiando la definición de la cantidad de movimiento en la forma general de la segunda ley. Si se utiliza la forma modificada de la segunda ley también se cambia la expresión de la energía cinética. Uno

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20.5 Relatividad general

de los términos en la nueva expresión para la energía cinética no depende de la rapidez del cuerpo, lo que sugiere el concepto de una energía en reposo asociada con la masa del cuerpo. La equivalencia masa-energía se ha demostrado espectacularmente en las reacciones nucleares.

439

a

20.5 Relatividad general Hasta ahora, nuestro estudio se ha limitado a casos que suponen marcos de referencia inerciales, esto es, marcos que se mueven a velocidad constante uno respecto a otro. ¿Qué ocurre si nuestro marco de referencia es acelerado? ¿Podemos extender el tipo de razonamiento utilizado en la relatividad especial a esta situación? Einstein abordó estas preguntas poco después de exponer la teoría especial de la relatividad, pero le tomó cierto tiempo perfeccionar las ideas. No publicó la teoría general de la relatividad sino hasta 1915, aproximadamente diez años después de su primer ensayo acerca de la relatividad especial. Una vez más, las ideas de Einstein llevaron a realizar ajustes radicales a nuestra concepción del Universo.

W

N

¿Qué es el principio de equivalencia? Anteriormente analizamos los marcos de referencia acelerados, cuando consideramos cómo se presentan las cosas a alguien que se halla dentro de un ascensor que acelera, al comienzo de este capítulo y en el capítulo 4. Si el ascensor se mueve a velocidad constante, el primer postulado de Einstein (el principio de relatividad) dice que las leyes de la física se comportarán exactamente como si estuviese en reposo. En otras palabras, ningún experimento que pudiéramos realizar dentro del ascensor establecería si nos movemos respecto a la Tierra. Sin embargo, si el ascensor se acelera, cabe esperar diferencias de lo que veríamos si estuviera en reposo o se moviera a velocidad constante. En particular, como vimos en el capítulo 4,una persona en pie en una báscula mientras el ascensor acelera hacia arriba registrará mayor peso que si el ascensor no acelerara (figura 20.17). A partir de la segunda ley de Newton, este mayor peso aparente resulta de la báscula que ejerce una mayor fuerza hacia arriba sobre tus pies (la fuerza normal) que tu peso real. La fuerza neta hacia arriba hace que aceleres hacia arriba junto con el ascensor. Este cambio en la lectura de la báscula se podría usar como una indicación de que el ascensor acelera. Si lo hace hacia arriba, la lectura será mayor que la normal. Si lo hace hacia abajo, la lectura será menor que la normal. Si se corta el cable del ascensor y él se acelera hacia abajo a una aceleración g (caída libre), en la báscula se leerá cero, aparente ausencia de peso. Hasta que las cosas lleguen a un alto ruidoso en el fondo del cubo, puedes flotar dentro del ascensor en forma muy parecida a un astronauta en un transbordador espacial en órbita.

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20.17 Si el ascensor acelera hacia arriba, en la báscula se lee un valor N, que es mayor que el peso usual de la persona, W.

figura

Otros experimentos también conducirán a resultados que cabría no esperar si el ascensor no acelerase. Por ejemplo, una pelota soltada se aproximará al piso del ascensor a una aceleración aparente distinta de g = 9.8 m/s2. Si el ascensor acelera hacia arriba, la aceleración aparente de la pelota será mayor que g: es la suma de la magnitud de la aceleración del ascensor a y la aceleración gravitacional g. Si el ascensor acelera hacia abajo, la aceleración aparente de la pelota será menor que g, como se muestra en la figura 20.18. El periodo de oscilación de un péndulo también diferirá del que observarías si el ascensor no acelerase. Estos experimentos tienen, todos, algo en común: pueden interpretarse en términos de una aceleración aparente de la gravedad distinta de g = 9.8 m/s2. Como el peso es igual a masa por aceleración de la gravedad (mg), es posible atribuir los cambios en el peso aparente a un cambio en el valor aparente de la aceleración gravitacional. Explicamos los cambios en la aceleración de la pelota o el periodo del péndulo de la misma forma. Aunque podemos detectar la aceleración del ascensor, no podemos distinguir estos efectos de lo que ocurriría si la aceleración debida a la gravedad aumentara o disminuyera un poco. Nuestra incapacidad para distinguir estas aceleraciones se encuentra en el postulado básico de Einstein de la relatividad general, el principio de equivalencia:

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440

Capítulo 20

Relatividad

a

a a g′ g

v

t3

t2 t1

20.19 Una pelota lanzada horizontalmente en un acensor que acelera en el espacio exterior (donde el tirón gravitacional de la Tierra es despreciable) cae hacia el suelo en la misma forma que un proyectil cerca de la superficie de la Tierra.

figura

a

20.18 Una pelota soltada en un ascensor que acelera hacia abajo se aproxima al suelo con una aceleración aparente g’ que es menor que g.

figura

Es imposible distinguir una aceleración de un marco de referencia de los efectos de la gravedad.

Desde el interior del ascensor no puedes decir si éste acelera o si la aceleración gravitacional g aumenta o disminuye. Puesto que no esperamos que cambie la gravedad, normalmente podríamos interpretar los efectos como debidos a una aceleración de nuestro marco de referencia. Ahora movamos el ascensor al espacio exterior, donde los efectos gravitacionales serán mucho menores que cerca de la superficie terrestre. Si el ascensor no acelera, no tendríamos peso. Sin embargo, si el elevador acelera hacia arriba, cualquier experimento que realicemos dentro de él se comportará como si una aceleración gravitacional actuara en la dirección opuesta a la aceleración del ascensor. Si una pelota se lanza horizontalmente en el elevador (figura 20.19), su trayectoria sería la misma que si se arrojara en la superficie de la Tierra. Desde la perspectiva de alguien dentro del elevador, la aceleración hacia arriba de su marco de referencia equivale a la presencia de una aceleración gravitacional hacia abajo de la misma magnitud que la aceleración del ascensor (éste es el principio de equivalencia en operación.) La pelota “cae” hacia el piso del ascensor y podemos predecir su movimiento con los mismos métodos usados en el capítulo 3 para describir el movimiento de proyectiles. Si la aceleración del elevador fuera igual a 9.8 m/s2, los experimentos mecánicos realizados en el ascensor y en la superficie de la Tierra tendrían resultados idénticos. A menudo

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se ha propuesto que una estación espacial tenga una aceleración constante para reproducir los efectos de la gravedad. Una aceleración en línea recta enviaría la estación espacial fuera de órbita, de modo que en general se imagina la estación con una aceleración centrípeta asociada con una velocidad angular constante. Puesto que la dirección de una aceleración centrípeta es hacia el centro de rotación, dicha dirección sería hacia arriba (figura 20.20).

¿Un haz de luz se flexiona en un campo gravitacional fuerte? El principio de equivalencia también tiene implicaciones en la propagación de la luz. Imagina un experimento similar al de la figura 20.19 pero usando un haz de luz en vez de una pelota. Si el ascensor no acelerara, el haz trazaría una línea horizontal por él. A partir de la teoría especial de la relatividad, sabemos que esto es cierto si el ascensor se mueve a velocidad constante respecto a cualquier otro marco de referencia inercial. Sin embargo, si el ascensor acelera hacia arriba, obtenemos un resultado diferente. Si la aceleración es suficientemente grande, la trayectoria del haz de luz será curva, como se ve desde el interior del ascensor, como la trayectoria de la pelota en la figura 20.19. Este efecto de flexión puede verse superponiendo las posiciones del ascensor acelerado sobre el haz de luz en línea recta observado desde dentro del ascensor, como hicimos para la pelota. Como se muestra en la figura 20.21, la trayectoria trazada por el haz en relación con el elevador es curva. No obstante, por el principio de equivalencia no podemos distinguir la aceleración de nuestro marco de referencia de la presencia de una aceleración gravitacional. Por tanto,

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20.5 Relatividad general

441

a (muy grande)

g′

Mirilla

ω

Desviación (exagerada)

ac

figura 20.20

La aceleración centrípeta ac de una estación espacial giratoria con forma de rueda puede producir una aceleración gravitacional artificial g’ para los astronautas.

esperaríamos que la trayectoria de un rayo de luz se flexionara al pasar por un campo gravitacional intenso. Para producir una flexión notable se necesita una aceleración muy grande del marco de referencia o una aceleración gravitacional muy grande, debido a la enorme velocidad de la luz. El campo relativamente insignificante de la Tierra no es suficiente para producir un efecto apreciable. Sin embargo, cuando la luz de una estrella lejana pasa cerca de nuestro Sol, el campo gravitacional del astro debe ser suficientemente grande para producir un efecto mensurable. Einstein fue capaz de predecir cuánta curvatura produce el campo gravitacional del Sol –y cómo se distorsiona la verdadera posición de las estrellas cuando su luz pasa cerca del Sol. El efecto es pequeño pero mensurable. Por desgracia, es difícil observar estrellas desde la superficie de la Tierra durante el día. La luz del Sol se dispersa en la atmósfera de la Tierra y desvanece la luz mucho más débil de las estrellas. Tales observaciones sólo son factibles durante un eclipse total de Sol, cuando la Luna bloquea la luz solar. Einstein sugirió que tales mediciones se intentaran durante un eclipse total, y esto se ha hecho casi cada vez que se presenta la oportunidad. Esas mediciones confirmaron las predicciones de Einstein.

¿Cuáles son los efectos de espacio y tiempo de la relatividad general? La relatividad especial indica que diferentes observadores que se mueven uno respecto a otro no estarán de acuerdo en las mediciones del tiempo. En el efecto de dilatación del tiempo,

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20.21 La trayectoria trazada por un haz de luz respecto a un ascensor de rápida aceleración se flexiona debido al movimiento del ascensor.

figura

el intervalo de tiempo medido por observadores que ven el principio y el final de algún proceso que ocurre en el mismo lugar en su marco (el tiempo propio) es más corto que el intervalo de tiempo medido por observadores que se mueven respecto a ese marco. La astronauta en la paradoja de las gemelas mide el tiempo propio para hechos que ocurren en su marco, que es más corto que el tiempo dilatado medido por su gemela que permanece en casa. El reloj de la astronauta corre más lentamente que el de su gemela y la astronauta mide un tiempo más corto. En la relatividad general también encontramos que un reloj acelerado corre más lentamente que uno no acelerado. Por el principio de equivalencia, también esperamos que un reloj en un campo gravitacional intenso corra más lentamente que uno en un campo gravitacional más débil. Este efecto de tiempo predicho por la relatividad general se conoce como corrimiento al rojo gravitacional. Si aumenta el periodo (el tiempo por un ciclo) de una onda de luz, la frecuencia disminuye. Una frecuencia reducida corre la luz hacia el extremo rojo del espectro visible. La teoría general de la relatividad aborda principalmente la naturaleza de la gravedad. La gravedad afecta una trayectoria en línea recta, así como el tiempo, es decir, tiene un efecto sobre cómo medimos tanto el espacio como el tiempo. Para desarrollar un marco matemático autoconsistente para manejar tales efectos, Einstein recurrió a una geometría no euclidiana o de espacio-tiempo curvo. Brevemente, en la geometría euclidiana, u ordinaria, dos líneas paralelas nunca se encuentran, pero en la geometría no euclidiana sí pueden hacerlo. Un ejemplo son las líneas paralelas

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442

Capítulo 20

Relatividad

20.23 Los efectos gravitacionales de un hoyo negro pueden representarse mediante una marcada flexión del espacio cerca del hoyo.

figura

20.22 Las líneas paralelas de longitud trazadas en el globo se encuentran en los polos de la esfera.

figura

trazadas en la superficie de una esfera, como las líneas de longitud en los mapas. Las líneas paralelas dibujadas perpendiculares al ecuador se encuentran en los polos porque la superficie en la que se trazan es una esfera (figura 20.22). Todo es cuestión de cómo definimos las reglas de la geometría. La teoría de la relatividad especial de Einstein demostró que la medición del tiempo depende de mediciones espaciales, en tanto que la medición de la longitud depende de mediciones de tiempo. Por tanto, ya no podemos considerar el espacio y el tiempo como independientes uno de otro. Para representar completamente estas ideas usando geometría, debemos usar cuatro dimensiones o coordenadas: tres coordenadas espaciales perpendiculares y una cuarta que represente el tiempo. Para describir un movimiento o hecho debemos ubicar su trayectoria en este continuo espacio-tiempo. Aunque el continuo espacio-tiempo es tetradimensional y un tanto difícil de visualizar, los diagramas como el de la figura 20.23 ilustran cómo se puede flexionar el espacio cerca de un campo gravitacional muy intenso. El diagrama muestra sólo dos dimensiones sobre una superficie curva, pero indica cómo pueden las cosas ser atraídas, como en un drenaje, hacia el centro del campo. Puesto que los rayos de luz se flexionan mediante campos gravitacionales intensos, junto con las partículas que tienen alguna masa pueden ser atraídos hacia el centro del campo.

¿Qué es un hoyo negro? La figura 20.23 es una representación bidimensional de un hoyo negro. Se cree que los hoyos negros son estrellas muy masivas que se destruyeron y que generan un campo gravitacional extremadamente intenso y, en consecuencia, una fuerte flexión del espacio en su derredor. Este campo es tan intenso

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que los rayos de luz que llegan en ciertos ángulos se flexionan en el centro y no salen. La luz entra, pero no sale. Un hoyo negro es un absorbedor perfecto de luz y aparece negro. Aunque no es posible observar directamente los hoyos negros porque no emiten ni reflejan luz, su presencia se puede inferir a partir de los efectos de sus campos gravitacionales sobre las estrellas cercanas y otra materia. Por ejemplo, si una estrella binaria consta de dos estrellas, una visible y la otra un hoyo negro, el movimiento de la estrella visible indica la presencia de su compañero. Los astrónomos han hallado muchos buenos candidatos para este tipo de hoyo negro. Muchas otras observaciones sugieren la presencia de hoyos negros, pero es difícil establecer pruebas convincentes de su existencia. Las teorías de Einstein de la relatividad especial y general han tenido una influencia enorme en la física moderna. Los efectos predichos están bien confirmados, desde la liberación de energía en las reacciones nucleares hasta los efectos astronómicos como la curvatura de la luz estelar. Nuestros conceptos fundamentales de espacio y tiempo se han modificado y entremezclado por estas ideas. Aunque alejadas de la experiencia cotidiana, estas concepciones ciertamente excitan la imaginación. La teoría especial de la relatividad de Einstein se refiere principalmente a marcos de referencia inerciales, en tanto que la teoría general de la relatividad se remite a marcos de referencia acelerados. El postulado básico adicional de la relatividad general es el principio de equivalencia, que afirma que no podemos distinguir la aceleración de un marco de referencia de los efectos de un campo gravitacional. La relatividad general predice la flexión de la luz en un campo gravitacional intenso, la marcha lenta de los relojes en los marcos de referencia acelerados o en campos gravitacionales, y la flexión del espacio-tiempo producida por los efectos gravitacionales. El concepto de hoyos negros surgió de estas ideas. El estudio de la relatividad general y la naturaleza de la gravedad siguen siendo un área activa de investigación.

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Resumen

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resumen La rapidez de la luz aparentemente no se suma a la de la fuente o marco de referencia en la forma que se hace con la rapidez ordinaria en la mecánica clásica. Esta idea condujo a Einstein a una forma nueva y radical de observar la naturaleza del espacio y el tiempo. En este capítulo describimos los postulados básicos de las teorías general y especial de la relatividad de Einstein y exploramos algunas de las consecuencias de aceptarlas.

relativo en física clásica. Si un cuerpo se 1mueveMovimiento respecto a un marco de referencia (digamos, un río) que está

4

Leyes de Newton y equivalencia masa-energía. Al extender estas ideas a la dinámica, Einstein encontró que la segunda ley de Newton del movimiento sólo podía preservarse si redefiníamos la cantidad de movimiento y usábamos la forma general de la segunda ley de Newton escrita en términos de cantidad de movimiento. Un cálculo de la energía cinética condujo luego al reconocimiento de que la masa equivale a la energía.

en movimiento, la mecánica clásica predice que las velocidades de estos movimientos se sumarán como vectores. Las leyes de Newton son válidas en cualquier marco de referencia inercial, que son los marcos que no aceleran en relación con otros marcos inerciales. ΔE ⇒ Δm

vbw vwe vbe vbe = vbw + vwe

E0 = mc2

de la luz y los postulados de Einstein. El 2fracasoLaderapidez los experimentos para detectar algún movimiento del éter (el supuesto medio de las ondas luminosas) respecto a la Tierra origió un debate que desembocó a la postre en los dos postulados básicos de Einstein de la relatividad especial: primero, las leyes de la física tienen la misma forma en cualquier marco de referencia inercial (el principio de relatividad), y segundo, la rapidez de la luz es la misma en cualquier marco de referencia inercial, independientemente del movimiento de la fuente.

Dilatación del tiempo y contracción de la longitud. 3La aplicación de los postulados de Einstein a la medición del tiempo y la longitud demostró que observadores en diferentes marcos de referencia no estarán de acuerdo en tales mediciones. Una persona que observe un reloj en movimiento verá un tiempo más largo (o dilatado) que el tiempo medido por un observador para quien el reloj está en reposo. Un observador que mide una longitud en movimiento observará una longitud más corta (contraída) que la longitud en reposo. t

5

Relatividad general. La relatividad especial se ocupa principalmente de los marcos de referencia inerciales. Los marcos de referencia acelerados y la gravedad se abordan en la relatividad general. El nuevo postulado básico de la relatividad general es el principio de equivalencia: una aceleración de un marco de referencia no puede distinguirse de la presencia de un campo gravitacional. Este postulado adicional condujo a nuevos efectos que suponen la flexión de la luz y la modificación del tiempo mediante campos gravitacionales. También requiere el uso de geometría no euclidiana, de espacio curvo, para describir el continuo espacio-tiempo.

t0 v

L0 t = γt0

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L=

1 – γ

L0

30/10/07 12:13:08

444

Capítulo 20

Relatividad

conceptos clave marco de referencia, 425 teoría especial de la relatividad, 425 teoría general de la relatividad, 425 principio de relatividad, 427

reloj de luz, 432 tiempo propio, 432 longitud en reposo, 434 energía en reposo, 438

principio de equivalencia, 439 corrimiento al rojo gravitacional, 441 continuo espacio-tiempo, 442 hoyo negro, 442

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. Si un bote se mueve río abajo, ¿su velocidad respecto al agua será mayor que su velocidad respecto a la orilla del río? Explica por qué. P2. Si un bote se mueve río arriba, ¿su velocidad respecto a la orilla será mayor que su velocidad con respecto al agua? Explica por qué. P3. Si un avión vuela en la misma dirección que el viento, ¿su velocidad respecto al suelo será mayor, menor o igual a su velocidad respecto al aire? Explica por qué. P4. ¿Es posible que una persona en un bote de remos no sea capaz de moverse río arriba? Explica por qué.

P13. ¿Cuál de los postulados de Einstein se refiere más directamente al fracaso por detectar el movimiento de la Tierra respecto al éter? Explica por qué. P14. ¿Es posible que dos observadores no estén de acuerdo en el tiempo que tarda un haz de luz en rebotar de un espejo y volver a su fuente? Explica por qué. P15. Un juego de ajedrez que se desarrolla en la Tierra es visto por el observador A, quien pasa en una nave espacial. El observador B está en pie en la Tierra observando sobre el hombro de los jugadores. ¿Cuál de estos dos observadores mide el tiempo más largo para el intervalo entre movimientos en el juego? Explica por qué. P16. Un isótopo radioactivo con cierta vida media se mueve a una gran rapidez en un acelerador de partículas. ¿Un observador en reposo en el laboratorio mide el tiempo propio para la vida media de este isótopo? Explica por qué.

P5. Si un bote se mueve por un río, ¿la rapidez del bote respecto a la orilla es igual a la suma numérica de la rapidez del bote respecto al agua y la rapidez del agua respecto a la orilla? Explica por qué.

P17. Una nave espacial se mueve a gran velocidad sobre el observador A, quien se halla en la Tierra. El observador B está a bordo de la nave. ¿Cuál de ellos mide la longitud más larga para la longitud de la nave? Explica por qué.

P6. Si un avión vuela en un viento cruzado que sopla en un ángulo de 90° con la dirección a la que apunta el avión, ¿la rapidez de éste respecto al suelo será menor que la rapidez del avión respecto al aire?

*P18. ¿Teóricamente es posible que un padre sea más joven (haya envejecido menos) que su hijo(a)? Explica por qué.

P7. ¿La suma de las velocidades de cosas como aviones y la rapidez del viento requiere usar la teoría de la relatividad especial? Explica por qué. *P8. ¿Sería adecuado, desde la perspectiva de la relatividad especial, sumar la velocidad de la luz respecto a la Tierra con la velocidad de la Tierra respecto al Sol para obtener la velocidad de la luz respecto al Sol? Explica por qué.

*P19. ¿Es posible que un astronauta salga en un viaje espacial y regrese un año antes de que nazca su hermano gemelo? Explica por qué. P20. ¿La segunda ley de Newton, escrita en la forma Fneta = ma, es válida para cuerpos que viajan a rapidez cercana a la de la luz? Explica por qué. P21. ¿Podríamos usar la expresión de cantidad de movimiento relativista, p = γmv, para cuerpos que se mueven a velocidades pequeñas? Explica por qué.

P9. ¿Se presumía que el éter (el supuesto medio de las ondas de luz) existía en el vacío? Explícalo.

P22. Si comprimimos un resorte y lo dejamos en su nueva configuración comprimida, ¿cambiamos su masa? Explica por qué.

*P10. ¿Para detectar qué se diseñó el experimento de Michelson y Morley? ¿Por qué esperaban que la rapidez de la luz pudiera variar en diferentes épocas del año? Explícalo.

P23. ¿El aumento en energía cinética de un cuerpo es igual al trabajo realizado para acelerarlo para un cuerpo que se mueve a muy alta rapidez? Explica por qué.

P11. ¿El experimento de Michelson y Morley tuvo éxito al medir la velocidad del éter respecto a la Tierra? Explica por qué.

*P24. ¿Es completamente correcto afirmar que la masa se convierte en energía en una reacción nuclear como la de fisión? Explica por qué.

P12. ¿Alguno de los postulados de Einstein contradice los supuestos clásicos de cómo se suman velocidades relativas? Explica por qué.

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P25. Si la velocidad de un cuerpo se reduce a cero, ¿toda su energía desaparece? Explica por qué.

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Problemas de síntesis P26. Si un ascensor acelera hacia abajo, ¿tu peso aparente (medido por una báscula) será mayor que tu peso medido cuando el elevador no acelera? Explica por qué.

445

mueve a velocidad constante cuando está a una gran distancia de cualquier planeta o estrella? Explica por qué. P29. ¿La luz que viaja en el espacio vacío siempre lo hace en línea recta? Explica por qué.

P27. Cuando estás dentro de un vehículo espacial cerrado, ¿es posible que digas si el vehículo acelera o si simplemente estás cerca de algún cuerpo masivo como el Sol o la Tierra? Explica por qué.

P30. ¿Un reloj ubicado en la superficie del Sol mediría el tiempo a la misma razón que otro situado a gran distancia de cualquier planeta o estrella? Explica por qué.

P28. ¿Tus experiencias dentro de un ascensor en caída libre serían similares a las tenidas dentro de una nave espacial que se

P31. ¿Un hoyo negro es sólo un hoyo en el espacio que no contiene masa? Explica por qué.

ejercicios E1. Un bote que puede viajar a una velocidad de 12 m/s en agua calma se mueve a máxima rapidez contra la corriente de un río que fluye a una velocidad de 5 m/s relativa a la Tierra. ¿Cuál es la velocidad del bote respecto a la orilla del río? E2. Un avión que puede viajar a 460 MPH en aire tranquilo vuela con un viento de cola de 40 MPH. ¿Cuánto tarda el avión en recorrer una distancia de 750 millas (respecto a la Tierra)? E3. Un nadador nada corriente arriba a una velocidad de 4 m/s respecto al agua. La velocidad de la corriente es 3.5 m/s (corriente abajo). ¿Cuál es la velocidad del nadador respecto a la orilla? E4. Una pelota se lanza a una velocidad de 60 MPH por el pasillo (hacia la cola del avión) de un avión que viaja a una velocidad de 300 MPH relativa a la Tierra. ¿Cuál es la velocidad de la pelota respecto a la Tierra? E5. Un astronauta apunta un haz de luz hacia la cola de su nave espacial, que viaja a una velocidad de 0.5c respecto a la Tierra. ¿Cuál es la velocidad del haz de luz respecto a la Tierra? E6. El factor γ = 1/ 1 − (v2/c2) aparece en muchas expresiones derivadas de la teoría especial de la relatividad. Demuestra que γ = 1.25 cuando v = 0.6c. E7. Un astronauta cocina un huevo de tres minutos en su nave espacial que pasa rozando la Tierra a una rapidez de 0.6c. ¿Cuánto tiempo se cocinó el huevo, medido por un observador en la Tierra? (véase la tabla 20.1).

E8. Un observador en la Tierra nota que un astronauta en una nave espacial pone un cambio de cuatro horas en los controles de la nave espacial. ¿Cuánto es este cambio, según mide el astronauta, si la nave espacial se mueve a una velocidad de 0.8c respecto a la Tierra? (véase la tabla 20.1). Ten cuidado: ¿cuál observador mide el tiempo propio? E9. Una nave espacial que mide 50 m de largo, según miden sus ocupantes, viaja a una rapidez de 0.1c respecto a la Tierra. ¿Cuán larga es la nave según mide el control de la misión en Houston? (véase la tabla 20.1). E10. La tripulación de una nave espacial, que viaja a una velocidad de 0.6c respecto a la Tierra, mide la distancia entre dos ciudades terrestes (en una dirección paralela a su movimiento) como 600 km. ¿Cuál es la distancia entre esas dos ciudades, según miden las personas en la Tierra? (véase la tabla 20.1) ¿cuál observador mide la longitud en reposo? E11. Una nave espacial viaja a una velocidad de 0.8c respecto a la Tierra. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de la nave si su masa es de 5000 kg? (p = γ mv y c = 3 × 108 m/s. Véase la tabla 20.1.) E12. Si un cuerpo tiene una masa-energía de 200 joules cuando está en reposo. a) ¿Cuál es su energía total cuando se mueve a una velocidad de 0.9c? (E = γE0. Véase la tabla 20.1.) b) ¿Cuál es la energía cinética del cuerpo a esa velocidad? (EC = E – E0)

problemas de síntesis PS1. Un bote que puede moverse a una velocidad de 6 m/s respecto al agua se dirige en forma perpendicular a un río que fluye a una velocidad de corriente de 3 m/s. El ancho del río es 48 m. a) Traza un diagrama vectorial para mostrar cómo se suma la velocidad del río con la del bote respecto al agua para obtener la velocidad del bote respecto a la Tierra.

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b) Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud de la velocidad del bote respecto a la Tierra. c) ¿Cuánto tarda el bote en cruzar el río? (Sugerencia: debemos considerar sólo la componente de la velocidad del bote perpendicular al río si usamos el ancho de éste como la distancia.)

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446

Capítulo 20

Relatividad

d) ¿Cuán lejos, corriente abajo, de su punto de partida llega a la orilla opuesta? e) ¿Cuánto viajó realmente el bote para llegar a la otra orilla? PS2. Si un haz de mesones π (o piones) se mueve a una velocidad de 0.9c respecto al laboratorio. Cuando los piones están en reposo decaen con una vida media de 1.77 × 10–8 s. a) Calcula el factor γ para la velocidad de los piones respecto al laboratorio. b) ¿Cuál es la vida media de los piones en movimiento, según ve un observador en el laboratorio? c) ¿Cuánto viajan los piones, según se mide en el laboratorio, antes de que decaigan la mitad? d) Según se mide en un marco de referencia que se mueve con los piones, ¿cuánto recorren éstos antes de que decaigan la mitad? PS3. Imagina que un astronauta viaja a una estrella lejana y regresa a la Tierra. Salvo por breves lapsos cuando acelera o desacelera, su nave espacial viaja a la increíble rapidez de v = 0.995c respecto a la Tierra. La estrella está a 40 años luz de distancia. (Un año luz es la distancia que la luz recorre en un 1 año.) a) Demuestra que el factor γ para esta velocidad es aproximadamente igual a 10. b) ¿Cuánto tarda el viaje a la estrella y de regreso de acuerdo con un observador en la Tierra? c) ¿Cuánto tarda el viaje según el astronauta? d) ¿Cuál es la distancia recorrida medida por el astronauta? e) Si el astronauta deja un hermano gemelo en la Tierra mientras él hace el viaje, al volver ¿cuánto más joven es el astronauta que su gemelo?

PS4. Si un matraz de agua contiene 1 kg (1 000 g) de agua. Se agrega calor al agua para elevar su temperatura de 0 °C a 100 °C. a) ¿Cuánta energía térmica, en joules, se deben agregar para que el agua eleve su temperatura? (ca = 1 cal/g∙C° y 1 cal = 4.186 J.) b) ¿Cuánto aumenta la masa del agua en este proceso? (E0 = mc2) c) Compara este aumento de masa con la masa original del agua. ¿Este aumento en masa sería mensurable? d) Si de algún modo fuese posible convertir la masa original del agua en energía cinética, ¿cuántos joules de energía cinética se podrían producir? PS5. Con el diagrama mostrado en la figura 20.13, deduce la fórmula de dilatación de tiempo. Los pasos son: a) A partir de la simetría del diagrama, suponemos que el tiempo total medido por el observador en la Tierra es el doble de tiempo requerido para llegar al espejo. b) Con el triángulo rectángulo que se muestra en el diagrama, y el teorema de Pitágoras, podemos escribir c2

t 2

2

= d 2 + v2

t 2 . 2

c) Al agrupar en un miembro de la ecuación los términos que contienen t y obtener la raíz cuadrada de ambos miembros podemos resolver esta expresión para el tiempo t medido por el observador en la Tierra. d) Puesto que la cantidad 2d/c es el tiempo medido por el piloto de la nave espacial t0, esta expresión se reduce a la fórmula de dilatación del tiempo expuesta en la sección 20.3.

experimentos y observaciones para la casa EC1. Si tienes acceso a un pequeño riachuelo que fluye de modo uniforme, puedes probar las ideas de la suma de velocidades de la primera sección de este capítulo. También es necesario un pequeño bote accionado por baterías o viento. Este se puede encontrar en una juguetería. a) Primero prueba tu bote en la bañera o un estanque para estimar cuán rápido puede moverse en agua tranquila. b) Encuentra un lugar en el riachuelo donde el flujo sea lento y uniforme (sin remolinos). Suelta una varita en el riachuelo y, con la ayuda de un reloj, estima la velocidad de éste.

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c) Coloca el bote en el riachuelo, con el motor encendido, y dirígelo corriente abajo. Estima su velocidad respecto a la orilla. ¿El resultado concuerda con lo que predijiste con base en la suma de velocidades relativas? d) ¿El bote se moverá corriente arriba? (Si la corriente es muy fuerte, puede ser difícil mantenerlo dirigido en esa dirección.) e) Intenta dirigir el bote al otro lado del riachuelo, hacia un lugar donde la corriente sea tan uniforme como sea posible. ¿Qué debes hacer para lograr que el bote cruce el riachuelo?

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Más allá de los fenómenos cotidianos descripción del capítulo

esquema del capítulo

1 2 3 4

5

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Quarks y otras partículas elementales. ¿Cuáles son las piezas fundamentales del Universo? ¿Cómo organizan y clasifican las teorías actuales las partículas elementales? Cosmología y el principio de los tiempos. ¿Cómo se formó el Universo y cómo está cambiando? ¿De qué forma los estudios sobre las partículas elementales arrojan luz sobre los orígenes del Universo?

capítulo

21

Semiconductores y microelectrónica. ¿Qué son los transistores y cómo funcionan? ¿Cómo revolucionaron la industria electrónica los dispositivos semiconductores? Computadoras e inteligencia artificial. ¿Qué hacen las computadoras? ¿De qué forma las analogías entre el cerebro y las computadoras llevaron a formas nuevas de diseñar y programar computadoras? Superconductores y otros nuevos materiales. ¿Qué son los superconductores? ¿Qué otros materiales nuevos surgieron del estudio de la física del estado sólido?

unidad seis

En este capítulo se ahonda un poco más en ciertas áreas de investigación en física, muy amplias, que han enfebrecido la imaginación popular o es probable que tengan un efecto significativo en el desarrollo tecnológico. Las ideas analizadas incluyen las partículas elementales, los orígenes del Universo, la electrónica de semiconductores, las computadoras y los superconductores, lo mismo que otros materiales exóticos. Las descripciones son necesariamente breves, ya que el objetivo radica en destacar las ideas y conflictos fundamentales.

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448 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos

U

no de los aspectos más intrigantes de la ciencia es que nunca podemos saber con certeza adónde nos llevará. Como todo buen misterio, hay pistas e indicaciones, pero las respuestas son escurridizas. A diferencia de una novela de misterio, no hay solución final. Los éxitos en ciencia aumentan nuestra comprensión de la naturaleza y a menudo desembocan en avances tecnológicos, mas siempre surgen preguntas nuevas. De cuando en cuando la física da noticia y seguirá siéndolo. Aparecen preguntas acerca del gasto de miles de millones de dólares para construir un acelerador de partículas o una estación espacial nuevos, y a veces se pide a los ciudadanos ordinarios verter juicios acerca de esos temas. La propuesta para construir el supercolisionador superconductor (un acelerador de partículas) fue tema político durante muchos años hasta que se canceló en el congreso estadounidense en 1993 (figura 21.1). Nuestras vidas cotidianas reciben la influencia más de lo que percibimos por los avances en la física. La mayoría de nosotros usamos computadoras personales y aparatos electrónicos como videograbadoras que tienen microcomputadoras dentro. Las computadoras han provocado cambios enormes en cómo vivimos, trabajamos y nos divertimos. La invención del transistor, que hizo factible la computadora moderna, llegó gracias a avances en la física del estado sólido y nuestros conocimientos sobre los semiconductores.

21.1 Quarks y otras partículas elementales Una de las búsquedas más duraderas en ciencia es la de las piezas fundamentales de la naturaleza, las partículas o entidades de las que todo lo demás está construido. Hasta el siglo xx se creía que esas piezas eran los átomos, idea fortalecida por los avances en química ocurridos en el siglo xix (véase el capítulo 18). El descubrimiento del electrón por J. J. Thomson en 1897 reveló la primera partícula subatómica presente en todos los átomos. Este avance fue seguido en 1911 por el descubrimiento del núcleo del átomo y por el posterior reconocimiento de que los núcleos se componían de protones y neutrones. Ahora sabemos que estas dos partículas también tienen una subestructura: están formados de quarks (figura 21.2). ¿Dónde terminará todo esto? ¿Qué son los quarks y por qué creemos que existen? ¿Algún día descubriremos que los quarks también tienen una subestructura? Esta pregunta final no puede responderse con certeza, pero avances recientes en la comprensión teórica de la física de altas energías trajeron orden a lo que parecía un elenco desconcertante de partículas nuevas. Consideraremos sólo algunas características de esta nueva teoría, con frecuencia llamada modelo estándar.

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21.1 Gráfica de un artículo de la revista Time acerca del supercolisionador superconductor (ssc) que se construiría en Texas. ¿Los beneficios esperados para la ciencia justifican su costo? Derechos reservados © 1990 The Time Inc. Magazine. Reimpreso con permiso.

figura

La física moderna es activa en numerosos frentes. Algunas áreas de investigación son impulsadas por la necesidad de mejorar la tecnología; otras están motivadas simplemente por el deseo de comprender mejor el universo donde vivimos. Aunque no podemos tocar todas estas áreas, describiremos algunas que han recibido atención pública y es probable que continúen haciéndolo. Actualmente, ideas que parecen haber sido eliminadas de la experiencia común algún día podrán volverse parte de los fenómenos cotidianos.

¿Cómo se descubren las partículas nuevas? El electrón, el protón y el neutrón, los constituyentes básicos del átomo, fueron los primeros de un largo desfile de partículas descubiertas en el siglo xx. El positrón, por ejemplo, se descubrió en 1932, poco después de que su existencia fue sugerida en el plano teórico por el físico británico Paul Dirac (19021984). Ese hallazgo fue seguido por el del muón y el pión. La lista creció rápidamente durante las décadas de 1950 y 1960, conforme se intensificó el trabajo en física de altas energías. ¿Cómo se hacen estos descubrimientos? La mayor parte implican experimentos diversos, similares a los realizados por Rutherford y sus colegas. Los blancos se bombardean con partículas de movimiento rápido y se usan detectores de partículas para estudiar lo que surge de los choques correspondientes. Las partículas que surgen dejan trazas en las emulsiones fotográficas, cámaras de niebla y de burbujas usadas en los primeros experimentos, lo mismo que en otros detectores más modernos que se utilizan hoy en día. En las cámaras de niebla y de burbujas, una partícula cargada que se mueve rápidamente crea núcleos en gotas de agua o burbujas en un vapor supersaturado o fluido supercaliente (figura 21.3). Análisis de estas trazas, junto con otras mediciones, nos permiten deducir la masa, la energía cinética y la carga de las

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21.1 Quarks y otras partículas elementales Materia

449

Átomo Núcleo

+

+ + ++ +

Protón

+ u

u d

Quarks

figura 21.2

Ahora se sabe que los átomos, que alguna vez se consideraron las piezas fundamentales de toda la materia, constan de electrones, protones y neutrones. Los neutrones y los protones también tienen una subestructura hecha de quarks.

(como en un acelerador lineal) o doblarse en un gran anillo. Es posible hacer que dos rayos de partículas choquen de frente en el punto donde se estudian las reacciones, lo que proporciona una mayor energía de colisión que de los choques con un blanco estacionario. En general, las energías de los rayos se miden en electronvolts (eV). Puesto que la masa equivale a la energía, producir partículas con masas mucho mayores que el protón o el neutrón requiere energías de choque muy altas, lo que ha estimulado la construcción de aceleradores de partículas cada vez más grandes. Los aceleradores modernos pueden alcanzar energías de choque de 1 000 GeV o más (1 GeV es un mil millones de eV). Los aceleradores más grandes y modernos ahora en operación incluyen el Stanford Linear Accelerator Center (slac), en California, el colisionador electrón-positrón del cern, en Suiza, y el colisionador protón-antiprotón del Fermilab, cerca de Chicago.

figura 21.3

Las trazas de partículas en una cámara de burbujas brindan información acerca de las nuevas partículas producidas en choques o decaimientos.

partículas creadas en los choques. La trayectoria de una partícula cargada positivamente, por ejemplo, se flexiona de cierta forma en un campo magnético, en tanto que la de otra partícula cargada negativamente lo hace en dirección opuesta. El grado de flexión de la trayectoria se relaciona con la masa de la partícula. Ésta reviste importancia especial, pues es una de las principales características de identificación de las partículas. En general, la fuente de partículas de alta energía en estos experimentos de dispersión es un acelerador de partículas de cierto tipo. Rutherford usó partículas alfa procedentes de sustancias radioactivas, mas esas partículas tienen energías limitadas. Otros de los investigadores precursores usaron partículas de alta energía en rayos cósmicos que entran procedentes del espacio exterior. Sin embargo, los aceleradores de partículas pueden producir haces de partículas de alta energía o densidad, lo que hace más probables interesantes colisiones. Un moderno acelerador de partículas usa campos eléctricos y magnéticos para acelerar y dar forma al rayo. Este último está contenido en un largo tubo al vacío que puede ser recto

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Habitantes del zoológico de partículas A medida que se descubren más y más partículas, los científicos trataron de organizarlas y clasificarlas guiados por consideraciones teóricas. Aunque los modelos solían ser incompletos, a veces resultaron fructíferos para predecir la existencia de partículas nuevas descubiertas después de forma experimental. Los esquemas de clasificación original se basaron principalmente en las masas de las partículas. Éstas se agruparon en tres grupos centrales: leptones, mesones y bariones. Los leptones son las partículas más ligeras e incluyen electrones, positrones y neutrinos implicados en el decaimiento beta. Los mesones son intermedios en masa e incluyen el pión (originalmente llamado mesón π) y el kaón. Los bariones son los más pesados, y entre ellos se cuentan el neutrón y el protón, así como muchas partículas más pesadas. En la tabla 21.1 se presenta una lista parcial de estas partículas. Cada partícula tiene una antipartícula, que tiene la misma masa que aquélla pero valores opuestos de otras propiedades, como la carga. El positrón, por citar un caso, es la antipartícula del electrón y tiene una carga positiva en vez de negativa. Cuando una partícula corre hacia su antipartícula, las dos se

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450 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos

tabla 21.1 Características básicas de leptones, mesones y bariones Masa (MeV)

Carga

Espín

Tiempo de vida

neutrino electrón

0?

0

½

neutrino muón

0?

0

½

electrón

0.511

–e

½

105.7

–e

½

2.2 × 10–6 s

pión

139.6

+e

0

2.6 × 10–8 s

pión neutro

135.0

0

0

8.3 × 10–15 s

kaón

493.7

+e

0

1.2 × 10–8 s

kaón neutro

497.7

0

0

9 × 10–11 s

eta

548.8

0

0

7 × 10–19 s

938.3

+e

½

neutrón

939.6

0

½

920 s

lambda

1115.6

0

½

2.5 × 10–10 s

sigma

1189.4

+e

½

8.0 × 10–11 s

sigma neutro

1192.5

0

½

5.8 × 10–20 s

xi

1321.3

–e

½

1.7 × 10–10 s

xi neutro

1314.9

0

½

3.0 × 10–10 s

omega

1672

–e

½

1.3 × 10–10 s

leptones

muón

mesones

bariones protón

pueden aniquilar mutuamente, lo que produce fotones de alta energía u otras partículas. En la tabla 21.1 no se muestran las antipartículas, pero sí se menciona el espín porque diferencia los mesones de los leptones y los bariones. Todos los mesones tienen espín cero, pero todos los leptones y bariones tienen espín de un medio. El espín es una propiedad cuántica relacionada con la cantidad de movimiento angular de la partícula. Si esta última está cargada, el espín también genera un dipolo magnético, que afecta la forma como la partícula interactúa con otras partículas.

¿Qué son los quarks? La electrodinámica cuántica y la cromodinámica cuántica, que se basan tanto en la mecánica cuántica como en la relatividad, son las teorías que describen las interacciones entre los quarks. Los adelantos en estas teorías acaecidas a principios de la década de 1970 indicaron un esquema de organización más fundamental para todas estas partículas, y es aquí donde los quarks entran en escena. Los mesones y los bariones (que en conjunto ahora se llaman hadrones) están hechos de quarks, las nuevas partículas sugeridas por la teoría. Cada

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mesón consta de dos quarks, un quark y un antiquark; los bariones son grupos de tres quarks. Conforme se desarrollaron las teorías, se volvió evidente que se necesitaban seis tipos de quarks (sin contar las antipartículas) para explicar todos los bariones y mesones. Éstos se apodaron quarks arriba, abajo, encanto, extraño, cima y fondo (up, down, charmed, strange, top y bottom). Diferentes combinaciones de estos seis quarks (y sus antipartículas) explican todas las partículas observadas en los grupos mesón y barión. Aparte de los quarks, sólo los leptones son aún elementales: no están formados de alguna otra partícula fundamental, hasta donde sabemos. El protón consta de tres quarks: dos quarks arriba, cada uno de carga +23e, y un quark abajo, con carga –13e. Un neutrón está hecho de dos quarks abajo y un quark arriba, lo que da una carga total de cero (figura 21.4). Los experimentos de dispersión en que electrones de energía extremadamente alta chocan con protones proporcionan pruebas marcadas de esta subestructura. Tales experimentos indican la presencia de centros de dispersión duros dentro del protón, con las cargas apropiadas para dos quarks arriba y un quark abajo. El análisis es similar al del descubrimiento del núcleo hecho por Rutherford (capítulo 18). También existen similitudes entre los grupos de leptones y quarks. Ahora agrupamos estas partículas en tres familias con propiedades similares. Cada familia consta de dos leptones y dos quarks, y uno de los leptones en cada familia es un neutrino. En la tabla 21.2 se muestran las partículas que pertenecen a cada familia. En este esquema, sólo hay doce partículas elementales (tres familias de cuatro partículas cada una), veinticuatro si se cuentan las antipartículas. Al momento de escribir este libro, la existencia de estas doce partículas se ha confirmado experimentalmente, excepto por el neutrino tau. Los neutrinos son muy difíciles de detectar, y se espera que los tau sean mucho más raros que el electrón o los neutrinos muón. El quark cima fue descubierto en fecha reciente (1944) por físicos que trabajaban en el Fermilab, cerca

Protón

Neutrón

– –1e 3 d

+ –2e u 3 + –2e u 3

– –1e 3

– –1e 3 d

+ –2e u 3

d

q = +e

q=0

figura 21.4

Un protón consta de dos quarks arriba y un quark abajo. Un neutrón consta de dos quarks abajo y un quark arriba.

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21.1 Quarks y otras partículas elementales

de Chicago. Los experimentos continúan para definir mejor su masa. Los éxitos del modelo global también nos dan enorme confianza en la existencia del neutrino tau. Los quarks nunca están presentes individualmente, sino en combinación con otros quarks. Por ello no es posible observarlos directamente como trazas en un detector de partículas. Sin embargo, su existencia puede inferirse mediante experimentos de dispersión y al observar reacciones que se predicen por el modelo de quarks. Se requieren altas energías de partículas y densidades de rayo para mejorar la probabilidad de advertir tales reacciones. El cancelado proyecto del supercolisionador superconductor habría proporcionado mejores condiciones para observar esas reacciones, pero los perfeccionamientos de otros aceleradores han proseguido para producir avances.

¿Qué son las fuerzas fundamentales? ¿Qué mantiene unidas todas estas partículas? La principal fuerza responsable del enlace de los quarks en los neutrinos, protones y otros bariones (así como mesones) es la interacción nuclear fuerte. Esta fuerza también enlaza los neutrones y protones dentro del núcleo de un átomo y debe ser más intensa que la repulsión electrostática de los protones cargados positivamente para evitar que el núcleo se separe. No obstante, la fuerza fuerte tiene un rango muy corto y disminuye rápidamente a distancias mayores que las dimensiones nucleares.

tabla 21.2 Las tres familias de partículas elementales Primera familia

Segunda familia

Tercera familia

electrón

muón

partícula tau

neutrino electrón

neutrino muón

neutrino tau

quark arriba

quark encanto

quark cima

quark abajo

quark extraño

quark fondo

451

Además de la interacción nuclear fuerte, los físicos reconocen otras tres fuerzas fundamentales: la electromagnética, la gravitacional y la nuclear débil. La fuerza nuclear débil está implicada en las interacciones de los leptones: el proceso del decaimiento beta, que comporta electrones y neutrinos, es un ejemplo. Una de las metas de la física teórica ha sido unificar todas estas fuerzas en una sola teoría. Puesto que en general describimos estas fuerzas en términos de sus campos, como hicimos con los campos eléctrico y magnético, tal teoría se denomina teoría del campo unificado. Uno de los principales éxitos del modelo estándar de la física de partículas es que ha unificado la fuerza nuclear débil con la fuerza electromagnética. Estas dos fuerzas ahora pueden considerarse diferentes manifestaciones de la misma fuerza fundamental, la fuerza electrodébil. La teoría del electromagnetismo de James Clerk Maxwell anteriormente unificó dos fuerzas al parecer independientes, la eléctrica y la magnética, en la fuerza electromagnética. Ahora ésta se unió con la fuerza nuclear débil. Acaso debamos decir que sólo hay tres fuerzas fundamentales: la interacción nuclear fuerte, la fuerza electrodébil y la fuerza gravitacional. Esta afirmación también puede resultar engañoso, pues se han realizado avances sustanciales hacia la unificación de la interacción nuclear fuerte con la electrodébil en extensiones del modelo estándar (figura 21.5). Estas teorías reciben el nombre de grandes teorías unificadas (gtu). Una fuerza, la gravitacional, se ha resistido mucho a incorporarse en una teoría del campo unificado. Las bases teóricas de la gravedad residen en la teoría general de la relatividad de Einstein, pero las matemáticas de la relatividad general parecen incompatibles con la mecánica cuántica y el modelo estándar. Fama y honor esperan a quien triunfe en unificar la fuerza gravitacional con las demás fuerzas fundamentales en una teoría del todo. La teoría de cuerdas, un modelo multidimensional que incorpora la gravedad, es una posible candidata, pero aún no ha sido posible probarla experimentalmente.

Fuerza gravitacional Fuerza eléctrica Fuerza electromagnética Fuerza magnética Fuerza nuclear débil

Teoría del todo

Fuerza "electrodébil" Gran teoría unificada (GTU)

Fuerza nuclear fuerte

figura 21.5

Las fuerzas fundamentales de la naturaleza, alguna vez vistas como independientes, se han unificado en menos fuerzas fundamentales gracias a los avances en la comprensión teórica. La unificación completa de todas las fuerzas fundamentales puede hallarse adelante.

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452 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos Los experimentos de dispersión realizados en energías cada vez mayores han revelado un arreglo de nuevas partículas subatómicas. El modelo estándar ha triunfado al organizarlas en tres familias, cada una con dos leptones y dos quarks (y sus antipartículas). Este modelo predice la existencia de nuevas partículas, incluido el quark cima que recientemente se detectó de manera experimental. Los teóricos siguen luchando por alcanzar una teoría unificada que abarque todas las fuerzas fundamentales.

21.2 Cosmología y el principio de los tiempos En la sección 21.1 vimos de manera resumida los avances en la física de lo muy pequeño: subestructuras de subestructuras de subestructuras. El quark es una pieza fundamental de los protones y los neutrones, que a su vez forman el núcleo. Junto con los electrones que lo orbitan, el núcleo forma átomos, que a su vez forman moléculas y éstas forman la materia ordinaria de nuestro mundo. ¿Qué sucede si nos centramos en lo muy grande? Nuestro mundo, la Tierra, forma parte del Sistema Solar (véase el capítulo 5). El Sol es una de un número al parecer infinito de estrellas agrupadas en galaxias, que a su vez parecen juntarse en clusters (racimos). ¿Cuál es la estructura del Universo y cómo va cambiando? La repuesta a esta pregunta procede de lo que sabemos sobre los átomos, núcleos y quarks.

figura 21.6

Una galaxia en espiral vista contra un fondo de estrellas, que están más cercanas. Nuestra Vía Láctea tiene una forma similar.

¿El Universo se expande? Durante largo tiempo los seres humanos hemos sentido fascinación por el cielo nocturno y nos hemos planteados interrogantes acerca de la naturaleza del Universo. La invención del telescopio, alrededor de 1600, nos dio un instrumento nuevo para observar los planetas y las estrellas. Con un telescopio burdo, Galileo descubrió las lunas de Júpiter y las fases de Venus, al tiempo que contribuyó a consolidar el modelo heliocéntrico copernicano del Sistema Solar (véase el capítulo 5). A medida que mejoraron los telescopios, quienes estudiaban los cielos descubrieron numerosos cuerpos que se aunaban a los que eran visibles a simple vista. Al parecer, no todos esos cuerpos eran estrellas puntuales. Algunas tenían apariencia “vellosa”, y conforme aumentó la resolución de los telescopios se tornó evidente que no se trataba de estrellas sino de colecciones de estrellas, que ahora llamamos galaxias. Muchas galaxias tienen una estructura de espiral, como la que aparece en la figura 21.6. La galaxia que vemos más fácilmente a simple vista es la nuestra, la Vía Láctea. En una noche despejada, la Vía Láctea es visible en lo que parece una nube continua de estrellas que forman una banda a lo largo del firmamento (figura 21.7). En realidad, observamos nuestra propia galaxia, que tiene forma de espiral, de un lado a otro la bóveda celeste. Las estrellas más brillantes se encuentran en el mismo lado de la espiral que el

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figura 21.7

La Vía Láctea aparece como una nube continua de estrellas que pueden verse como una banda a lo largo del firmamento en una noche despejada.

Sol y están mucho más cerca de nosotros. El Sol es una de las miles de millones de estrellas que forman la Vía Láctea. También hemos llegado a pensar que el Universo se expande y que las otras galaxias se alejan de nosotros. Esta concepción surgió de los estudios espectrográficos realizados por el astrónomo estadounidense Edwin Hubble (1889-1953) en la década de 1920. Hubble trataba de estimar la distancia que hay a varias estrellas y galaxias mediante la medición de su brillantez relativa. Para ello, necesitó cierta seguridad de que observaba el mismo tipo de estrella. En ese entonces ya se sabía que diferentes tipos de estrellas tienen colores o espectros característicos: las gigantes rojas son diferentes de las enanas blancas y así por el estilo. Medir la intensidad de la distribución de las longitudes de onda emitidas por las diferentes estrellas dio a Hubble una base para comparar su tamaño y temperatura.

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21.2 Cosmología y el principio de los tiempos

Sin embargo, cuando Hubble aplicó estas técnicas a las galaxias advirtió una características sorprendente. Líneas de absorción específicas en los espectros de las estrellas en esas otras galaxias se corrían todas en longitud de onda y frecuencia hacia la parte roja del espectro. (Las líneas de absorción son buenos puntos de referencia en el de otro modo continuo espectro de las estrellas. Se producen por la absorción de la luz a longitudes de onda específicas mediante gases en las partes externas de la estrella.) La única explicación razonable para tal corrimiento era que esas estrellas debían desplazarse, con lo que se alejaban de nosotros, lo que produce un corrimiento Doppler en la frecuencia de la luz. El corrimiento Doppler es el mismo fenómeno analizado en el capítulo 15 para las ondas sonoras. La frecuencia del claxon de un automóvil se corre hacia un valor más bajo cuando se aleja de nosotros. Para la luz, una frecuencia más baja indica un corrimiento hacia el extremo rojo del espectro visible. El corrimiento hacia el rojo cosmológico ahora se considera como un efecto relativista de la expansión del espacio. Cuanto más distante esté una galaxia, más aprisa parece alejarse de nosotros, lo cual resulta congruente con la hipótesis de que todo el Universo se expande. Hay incluso ciertas pruebas recientes que señalan que la razón de expansión va en aumento. A partir de lo que sabemos sobre la curvatura del espacio-tiempo introducida en la teoría general de la relatividad de Einstein, reconocemos que no es preciso estar en el centro del Universo para ver las cosas de esta forma. Una analogía usada con frecuencia es la de las manchas en un globo que se infla. Visto desde cualquier punto sobre la superficie del globo, todas las demás manchas parecen alejarse a medida que el globo se infla. Los puntos más distantes del punto de marras se alejan a mayor razón que los cercanos (figura 21.8).

figura 21.8

Conforme el globo se infla las manchas en la superficie se alejan una de otra. Las manchas que al principio están más lejanas de cierto punto se alejan más rápido de él que las más cercanas.

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453

¿Qué fue el Big Bang? Si el Universo se expande, en algún punto del tiempo, hace mucho, toda su masa debió estar mucho más comprimida que ahora. Si pudiésemos recorrer hacia atrás una película del Universo en expansión, debería regresar hasta donde se observara un volumen muy pequeño. El comienzo de la expansión (y acaso el del tiempo) fue un estallido a partir del cual el Universo ha ido expandiéndose. Esta rápida expansión o explosión inicial se llama Big Bang. Mientras recorremos la película hacia atrás y confinamos una gran cantidad de materia en un espacio muy pequeño, la materia ya no consta de átomos individuales y moléculas. Los electrones se separan de los átomos y lo que queda es un denso plasma de electrones, protones y neutrones. A densidades incluso mayores, los protones y los electrones se combinan para formar neutrones. Este proceso puede ocurrir en el colapso gravitacional de las estrellas que consumieron su combustible de fusión, lo que resulta en estrellas de neutrones muy pequeñas y densas. Si una de tales estrellas tiene suficiente masa, puede destruirse aún más hasta formar un hoyo negro (véase la sección 20.5). A densidades todavía mayores, la materia existiría como un mar de quarks, en la que éstas no pertenecerían a neutrones o protones específicos. En las primeras etapas del Big Bang (más o menos un microsegundo después del comienzo), toda la materia del Universo flotaba en un mar de quarks extremadamente caliente. A medida que avanzó la expansión, la materia se comportó como un gas: se enfrió y se condensó. Los quarks se condensaron en mesones y bariones, incluidos neutrones y protones. Aproximadamente 3 minutos después del comienzo, esos protones y neutrones probablemente empezaron a fundirse en núcleos, principalmente isótopos de hidrógeno y helio. En un punto muy posterior (aproximadamente medio millón de años), el Universo debió enfriarse lo suficiente como para que los electrones comenzaran a orbitar alrededor de los núcleos para formar átomos. La atracción gravitacional produjo aglomeraciones de materia que se convirtieron en galaxias, y la materia dentro de éstas se condensó en estrellas individuales. Dentro de las estrellas empezó la síntesis de núcleos más grandes por reacciones de fusión. El modelo estándar de la física de altas energías, analizado en la sección 21.1, pudo predecir cómo se dieron algunos de estos pasos. El modelo fue fructífero para explicar ciertas observaciones astronómicas, incluidas la razón de helio e hidrógeno que se observa en estrellas y galaxias. Otra observación confirmadora fue la detección del fondo uniforme de radiación de microondas, predicha como un efecto residual del Big Bang. Muchos físicos consideran la existencia y uniformidad general de la radiación de fondo como una de las pruebas más contundentes que corroboran el cuadro del Big Bang. Nuestro éxito para describir el mundo de lo muy pequeño (núcleos y quarks) es importante en nuestra comprensión del Universo. Gran parte de ese éxito se logró sólo en los treinta años anteriores, más o menos, pero aún queda por hacer. Los avances en la teoría de las fuerzas fundamentales se aplican

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454 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos muy rápidamente a modelos del Universo para probar sus implicaciones. Todavía hay muchas preguntas por responder. Puesto que aún no logramos crear una teoría del campo unificada integral, no podemos modelar las etapas prístinas del Big Bang. Por tanto, resulta imposible describir con precisión las condiciones iniciales del Universo. Puede haber muchos universos, algunos evolucionados de modo distinto del nuestro. Estas cuestiones fascinan hasta el delirio a físicos, astrónomos, filósofos y público en general. Nuestro propio sistema solar es una pequeña parte de la Vía Láctea, que es sólo una de muchas galaxias observables. El descubrimiento de que las galaxias lejanas parecen apartarse de nosotros desembocó en la teoría del Big Bang del Universo en expansión. Los modelos de las primeras fases de esta expansión se basan en nuestro conocimiento de las partículas y fuerzas elementales estudiadas en la sección 21.1. Esos modelos han tenido éxito para explicar y predecir numerosas observaciones astronómicas.

21.3 Semiconductores y microelectrónica La mayoría de nosotros hemos usado una calculadora de bolsillo. En casa contamos con hornos de microondas, videograbadoras y acaso computadoras. Quizá también tenemos otros aparatos electrónicos, entre ellos televisores, radios, relojes digitales, sistemas estereofónicos y de encendido electrónico en los automóviles. Todos estos dispositivos usan electrónica de estado sólido y muchos de ellos incorporan microcomputadoras. ¿Qué es la electrónica de estado sólido? ¿Qué condujo a la actual revolución tecnológica? Aunque esos aparatos electrónicos forman parte de nuestra experiencia cotidiana, su funcionamiento es invisible para nosotros. Pese a su enorme trascendencia en nuestra economía, el grueso de las personas comprende poco cómo trabajan.

rablemente menor que los buenos conductores. ¿Qué causa estas diferencias en la conducción eléctrica? ¿Podemos predecir cuáles materiales serán buenos conductores, aisladores o semiconductores? Si examinas la tabla periódica impresa en la cubierta interior del libro, observarás que los metales se ordenan todos a la izquierda o en las regiones de transición. Esos elementos tienen sólo uno, dos o a veces tres electrones fuera de una capa cerrada de estados electrónicos (véase el capítulo 18). Esos electrones exteriores son el origen de las propiedades químicas de un elemento específico. Menos fuertemente enlazados al núcleo del átomo que los demás electrones, son hasta cierto punto libres de migrar dentro del material como electrones de conducción. Por otra parte, los elementos que son buenos aisladores se encuentran en el lado derecho de la tabla periódica. Esos elementos carecen de uno, dos o tres electrones necesarios para completar una capa. Aceptan con facilidad electrones de otros elementos cuando se combinan para formar compuestos químicos. Al enlazarse en su estado puro para dar paso a sólidos o líquidos, no hay electrones flojamente enlazados que contribuyan a la conducción eléctrica. Los elementos que asi siempre se mencionan como semiconductores (germanio y silicio) se hallan en la columna IVA de la tabla periódica. Esos elementos tienen cuatro electrones exteriores más allá de una capa cerrada. Cuando esos elementos se enlazan en un sólido, los electrones se comparten con los átomos vecinos, como en el bosquejo bidimensional presentado en la figura 21.9 (La estructura cristalina real es tridimensional, desde luego, lo cual es más difícil de mostrar). Esos electrones compartidos están unidos más estrechamente a sus núcleos correspondientes que en un metal, pero tienen más libertad de migrar por la sustancia que en un buen aislador. Por tanto, las propiedades conductoras de estos materiales son intermedias entre los metales y los buenos aisladores.

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

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Si

Si

Si

Si

¿Qué son los semiconductores? En el capítulo 12 analizamos la distinción entre conductores y aisladores eléctricos. Los buenos conductores eléctricos, principalmente metales, permiten que los electrones y otros portadores de carga fluyan relativamente libres por el material. Los buenos aisladores no lo permiten. Hay una enorme diferencia en los valores de conductividad eléctrica entre estos dos tipos de materiales. La conductividad es una propiedad del material que, junto con su longitud y ancho, determina su resistencia eléctrica: una alta conductividad produce una baja resistencia. En la tabla 12.1 se citan algunos conductores y aisladores, así como algunos miembros de una tercera categoría llamada semiconductores. Los semiconductores tienen una conductividad mucho mayor que los buenos aisladores, pero conside-

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figura 21.9

Representación bidimensional del compartimiento de los cuatro electrones exteriores del silicio con los átomos vecinos en un silicio sólido.

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21.3 Semiconductores y microelectrónica

Aunque el germanio y el silicio son semiconductores, no conducen bien en su forma pura. La importancia de los semiconductores en la electrónica procede de su habilidad para modificar su conductividad al doparlos con pequeñas cantidades de impurezas. Imagina que agregamos una pequeña cantidad de fósforo o arsénico al silicio. Estos elementos se encuentran en la columna VA de la tabla periódica y tienen cinco electrones exteriores (figura 21.10). Cuatro de ellos participarán en el enlace de la impureza con los átomos de silicio vecinos. Sin embargo, el quinto electrón no es necesario en estos enlaces y tendrá libertad de emigrar por el material. En consecuencia, el dopado introduce electrones de conducción al material, lo que lo hace un mejor conductor que el silicio puro. El dopado con fósforo, arsénico o antimonio produce un semiconductor tipo n, ya que los portadores de carga son electrones negativamente cargados. También podemos producir dopado tipo p, en el que los portadores de carga son positivos, si agregamos átomos impuros de elementos de la columna IIIA de la tabla periódica, más comúnmente boro, galio o indio. Puesto que los átomos de estos elementos tienen tres electrones exteriores, dejan un hueco en uno de los enlaces entre el átomo impuro y los átomos de silicio vecinos (figura 21.10). Un hueco es la ausencia de un electrón; pero estos huecos también pueden migrar por el material. Un hueco que se mueve se comporta como un portador de carga positiva porque deja un exceso de carga positiva (asociado con la carga en el núcleo de los átomos de silicio) a donde va. Los electrones de los átomos de silicio vecinos se mueven para llenar el hueco, lo que deja un exceso de carga positiva en alguna otra parte del material.

¿Cómo funciona un diodo semiconductor? Además de mejorar las propiedades conductoras de los semiconductores por cantidades que pueden controlarse meticulosamente, el dopado brinda otras ventajas. Las fronteras, o uniones entre los materiales de tipos p y n tienen propiedades que resultan muy útiles en la electrónica. Tales uniones resultan esenciales para la operación de diodos, transistores y dispositivos relacionados. Un diodo es un dispositivo que permite el flujo de corriente eléctrica en una dirección pero no en otra: es una válvula de una sola dirección para la corriente eléctrica. Los diagramas presentados en la figura 21.11 ilustran por qué se comporta de esa forma. La característica esencial de un diodo semiconductor es la unión de los materiales de tipo n y de tipo p. Cuando la terminal positiva de una batería se conecta al material tipo p y la terminal negativa al lado de tipo n del diodo (figura 21.11a), se introducen electrones de la batería en el lado de tipo n. Esos electrones fluyen hacia la unión entre los materiales tipo n y tipo p. Ahí, atraen hacia la unión a los huecos en el material tipo p, y esos huecos se eliminan cuando los electrones se mueven al otro lado de la unión para llenarlos. Los huecos positivamente cargados se mueven por el material tipo p del lado positivo de la batería y fluye una corriente continua. Esta forma de conectar la batería se llama voltaje directo del diodo. Se tiene una situación diferente si invertimos las conexiones de la batería al diodo (figura 21.11b). Los huecos ahora se retiran de la unión mediante las cargas negativas de la terminal negativa de la batería (ahora conectada al lado tipo p del diodo). Del mismo modo, los electrones en el material tipo p se atraen hacia la terminal positiva de la batería. Como los huecos

tipo n

tipo p

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Si

Si

Si

Si

Si

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Si

Si

Si

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As

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Ga +

Si

–

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Hueco Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Electrón adicional

21.10 El silicio dopado con fósforo o arsénico proporciona un electrón adicional, con lo que se forma un semiconductor tipo n. Doparlo con boro o galio deja huecos y produce un material tipo p.

figura

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456 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos Voltaje directo

Voltaje inverso

I p

+

+

–

+

–

+

–

n

p

–

n

–

+

+

+

Flujo de corriente a)

Sin corriente b)

21.11 Un voltaje directo de un diodo permite que los electrones y huecos se recombinen en la unión y que fluya una corriente eléctrica por ella. El voltaje inverso no produce recombinación ni corriente.

figura

y los electrones se alejan de la unión, ahí no ocurre recombinación de huecos y electrones. En otras palabras, en el voltaje inverso no hay flujo de corriente por la unión. Los diodos tienen numerosas aplicaciones en los circuitos eléctricos. Una de las más fáciles de entender es la rectificación, el proceso de convertir la corriente alterna en corriente directa. Puesto que un diodo permite el flujo de corriente sólo en una dirección, el rectificador más sencillo es un solo diodo. Sin embargo, las combinaciones de diodos producen un flujo más estable de corriente.

Colector p

n

Base

–

R

¿Cómo funciona un transistor? Los transistores son probablemente los dispositivos semiconductores más importantes. Durante muchos años, el tipo más usado fue el transistor bipolar hecho de dos piezas de material semiconductor fuertemente dopado de la misma forma y separado por un delgado trozo de material dopado de manera opuesta. Según el tipo de dopado usado en las dos piezas exteriores del sándwich, se pueden hacer ya sea transistores p-n-p o n-p-n. En el diagrama de la figura 21.12 se muestra cómo funciona un transistor p-n-p. El transistor es una combinación de dos diodos que comparten la porción media, la base del transistor. Cuando se conecta en la forma usual, se introducen huecos en el emisor del transistor p-n-p desde la terminal positiva de una batería. La unión entre el emisor y la base se comporta como un diodo polarizado directamente, y los huecos fluyen hacia la delgada capa base. Puesto que la capa base es muy delgada y sólo ligeramente dopada en comparación con el emisor y el colector, esos huecos pueden fluir por la base hacia el colector, en tanto no se recombinen demasiado con electrones en la capa base. El número de electrones libres en la capa base es una propiedad crucial en la determinación de cuántos huecos pasan. Este número puede controlarse mediante la corriente que se permite fluir entre la base y el emisor.

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R

+ – +

p Emisor

21.12 La razón de flujo de huecos del emisor al colector de un transistor p-n-p depende de cuánta corriente se permita fluir a la base tipo n del transistor.

figura

Un pequeño cambio en la corriente de la base al emisor puede producir un gran cambio en la corriente que fluye entre el colector y el emisor, por lo que un transistor es tan eficaz como un amplificador. Pequeñas variaciones en la señal aplicada a la base pueden producir grandes variaciones en la corriente que fluye por el colector. Una señal débil recogida por una antena de radio, por ejemplo, puede convertirse en una señal más grande mediante amplificadores de transistores. Esto se hace rutinariamente en radios, televisores y amplificadores de estéreo. Otra importante aplicación de los transistores es como interruptores controlados por voltaje. Un valor del voltaje aplicado de la base al emisor puede causar un gran flujo de corriente por el colector, mientras que otro valor produce un flujo muy

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21.3 Semiconductores y microelectrónica

pequeño. Entonces el transistor está o encendido o apagado, según el valor del voltaje aplicado a la base. Esta característica del funcionamiento del transistor es muy útil en las computadoras, tema que estudiaremos en la sección 21.4. Un segundo tipo de transistor, llamado transistor de efecto de campo (fet, field-effect transistor) se usa frecuentemente en circuitos de computadora. En un fet, la corriente que fluye por un delgado canal de material tipo n se controla mediante el voltaje aplicado entre dos piezas de material tipo p en cualquier lado del canal. La intensidad del campo eléctrico resultante determina cuánta corriente pasará por el canal. El transistor se inventó en 1947 y 1948, por científicos de los Laboratorios Bell en New Jersey, entre los que se cuentan William Shockley, quien inventó el transistor de unión bipolar, y John Bardeen y Walter H. Brattain, quienes fueron los primeros en demostrar la acción del transistor en un transistor de punto de contacto, más simple pero menos eficaz. Estos inventos resultaron del crecimiento en la comprensión de la física de los semiconductores a mediados del siglo xx. Hacia 1960, los transistores se usaban de manera rutinaria en muchas aplicaciones electrónicas y de conmutación. Antes, la amplificación electrónica y la conmutación se lograban con tubos de vacío, que requerían voltajes mucho más altos y generaban mucho más calor que los diodos y transistores semiconductores. Los tubos de vacío también eran considerablemente más grandes que los transistores, de modo que requerían más espacio, lo que resultaba en instrumentos voluminosos. Durante los decenios de 1950 y 1960 los tubos de vacío fueron sustituidos por electrónica de estado sólido en dispositivos electrónicos de todo tipo.

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21.13 El punto de partida en la producción de circuitos integrados es una oblea pulida de cristal de silicio. La oblea mostrada aquí fue procesada para producir pequeños circuitos sobre su superficie.

figura

¿Qué son los circuitos integrados? Otra importante revolución tecnológica, el desarrollo y rápido crecimiento en el uso de circuitos integrados miniaturizados, tuvo lugar en la década de 1960. Un circuito integrado consta de muchos transistores, diodos, resistores y conexiones eléctricas, todo construido en un solo chip de material semiconductor —casi siempre silicio. Este avance permitió la producción de circuitos mucho más pequeños que los fabricados con transistores individuales o tubos de vacío. Una computadora que ocuparía una enorme habitación usando tubos de vacío ahora podía reducirse al tamaño de una calculadora de mano. La producción de circuitos integrados comienza con el crecimiento de un gran cilindro de cristal de silicio dopado. Este cristal se rebana en obleas, que en general tienen varios centímetros de diámetro por apenas unos cuantos milímetros de grosor (figura 21.13). Las obleas se pulen y pasan por un largo proceso en el que óxidos aislantes las recubren y estampados de circuitos las revisten mediante métodos fotográficos. Algunas regiones se enmascaran; las partes no enmascaradas se dopan opuestas al cristal de silicio subyacente para producir diodos y transistores. Tiras de metal se revisten para proporcionar conexiones conductoras entre los elementos. En general se imprimen muchos circuitos idénticos sobre una sola oblea de silicio. Casi al final del proceso, la oblea se

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21.14 Vista amplificada del circuito en un solo chip de circuito integrado sobre una moneda. En tal chip pueden incluirse millones de elementos de circuito, y es posible producir muchos chips a partir de una sola oblea de silicio.

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corta en chips individuales, cada uno de los cuales contiene un circuito en miniatura. Una sola oblea puede producir cientos o más chips (figura 21.14). Los pasos finales suponen la elaboración de conexiones eléctricas al chip, empacar el chip en una caja plástica sellada (figura 21.15) y probar el circuito resultante. La producción de circuitos integrados (o ci) se ha convertido en una gran industria. La competencia para producir circuitos cada vez más pequeños y rápidos para computadoras y otras aplicaciones continúa impulsando la tecnología. La física y la química son centrales para la invención y mejora de nuevas técnicas de procesamiento. Para ciertas aplicaciones, el silicio está siendo sustituido por compuestos semiconductores como arseniuro

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458 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos ¿Qué es una computadora digital? ¿Cómo se ha ligado el desarrollo de las computadoras con el de los circuitos integrados? ¿Las computadoras pueden pensar? ¿Sustituirán muchos tipos de empleo humano? Éstas y otras preguntas acompañan la revolución computacional que produce enormes cambios en la forma en que trabajamos, vivimos y pensamos.

¿Qué son las computadoras digitales?

21.15 Hileras de microchips embalados y ordenados sobre la placa de circuito de una computadora.

figura

de galio. La investigación en la física de materia condensada de los elementos y compuestos semiconductores se ha convertido en una de las áreas más dinámicas en la física moderna. La revolución en tecnología electrónica aún está en marcha.

Las primeras verdaderas computadoras electrónicas se construyeron durante la década 1940 con tubos de vacío como los dispositivos de conmutación básicos. La Univac 1, considerada la primera computadora digital completamente operativa, ocupaba toda una habitación y requería un gran sistema de acondicionamiento de aire para eliminar el calor generado por los tubos. Se necesitaba una cuadrilla de técnicos para sustituir esos tubos cuando se quemaban. Sin embargo, usaba lógica digital y pudo programarse. Computadoras mucho más poderosas que la Univac 1 y sus descendientes inmediatos se incluyen hoy en pequeñas consolas que se colocan en escritorios o en el regazo (figura 21.16). Emplean transistores contenidos en circuitos integrados como sus dispositivos de conmutación básicos. No obstante, la mayor parte de las computadoras aún usa lógica digital y se debe programar para realizar sus funciones. ¿Qué es lógica digital? Toda la información en una computadora digital se almacena como números binarios. En otras palabras, cada bit discreto de información sólo tiene dos valores posibles, 0 o 1. Las operaciones lógicas que realizan funciones como suma o multiplicación se realizan cambiando los valores de cada bit paso a paso hasta lograr la tarea. Esto es lo que se entiende por lógica digital.

Los semiconductores son materiales con propiedades conductoras intermedias entre los buenos conductores y los buenos aisladores. Podemos modificar su conductividad si los dopamos con elementos impuros que donan electrones adicionales o dejan brechas electrónicas (huecos) en los enlaces entre átomos, lo que permite construir diodos y transistores. Un diodo permite el flujo de corriente en una sola dirección. Los transistores pueden producir grandes variaciones en corriente a partir de pequeños cambios en la corriente o voltaje. Los circuitos integrados combinan muchos diodos, transistores y otros elementos de circuito sobre un pequeño chip semiconductor.

21.4 Computadoras e inteligencia artificial La revolución en la microelectrónica ha ido de la mano del desarrollo de las computadoras y de un cambio radical en el procesamiento de la información. Las computadoras son cada vez más importantes en la vida diaria. Algunos de nosotros las usamos directamente para hacer cálculos, escribir textos o jugar, y otros las utilizan menos directamente como componentes de aparatos como hornos de microondas y videograbadoras.

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21.16 Una microcomputadora moderna es autocontenida y fácilmente se coloca en un escritorio o en el regazo del usuario.

figura

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21.4 Computadoras e inteligencia artificial

Dentro de una computadora, los números están en forma binaria, o de base dos, a diferencia de los números ordinarios, que son números decimales (de base diez). En un número decimal cada dígito representa una potencia de 10 diferente. El número 238, por ejemplo, representa (2 × 102) + (3 × 101) + (8 + 100) = 200 + 30 + 8 Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a 1. En un número binario, cada dígito es una potencia de 2 diferente en vez de una potencia de 10. Por citar un caso, el número binario 1011 es igual a (1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 2) + 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 ¿Puedes demostrar que el número binario 11010 equivale al número decimal 26? ¿Cómo escribirías el número 5 en forma binaria? Escribir el número 11 como 1011 puede parecer complicado, pero su ventaja es que sólo se necesitan 0 y 1 para representarlo. Usar sólo dos valores es idealmente adecuado para conmutadores simples como los transistores, que tienen sólo dos estados, apagado o encendido, 0 o 1. Los transistores también pueden combinarse para producir elementos de memoria que pueden “recordar” en qué estado estuvieron la última vez. Esos elementos de memoria nos permiten almacenar números y códigos de programa. En una computadora digital, la información se almacena y se manipula en forma binaria.

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Más tarde, el autor aprendió BASIC, un lenguaje de alto nivel usado comúnmente en las microcomputadoras a fines de la década de 1960 y en la de 1970 (aún se utilizan versiones modernas de FORTRAN y BASIC). Compró su primera microcomputadora casera a principios del decenio de 1980 y ahora tiene tres por toda la casa, una de las cuales compró para su hijo y se usó casi exclusivamente para practicar juegos. Otra se dedica a escribir textos, por lo que se empleó mucho para redactar esta obra. La tercera está conectada a Internet y la usa toda la familia para el correo electrónico y navegar por la Web. Para usos como procesamiento de palabra no programamos en absoluto, y nos apoyamos en modernos programas o software de aplicación diseñado para la computadora personal. Los programas de aplicación se escriben de forma amigable para el usuario, de modo que perdonan más los errores introducidos que los programas de computadora tradicionales. Durante la década de 1960, la introducción de datos y programas casi siempre se realizaba con tarjetas perforadas o cinta de papel que debía prepararse en máquinas perforadoras o teletipos, que resultaban muy lentas (y ruidosas). La salida se manejaba de igual modo y luego se alimentaba una impresora separada, que también generalmente era lenta. Hoy en día la mayor parte de la introducción y salida de datos se maneja con discos magnéticos u ópticos que son mucho más rápidos, menos ruidos y más fáciles de emplear. Aún se utiliza la impresora para producir una “copia dura”, pero las modernas impresoras láser dan salida con excelente calidad de letra en operaciones silenciosas.

¿Cómo se programan las computadoras? Programar una computadora digital es muy tedioso si hay que hacerlo todo en código binario, como en los albores del desarrollo de esos aparatos. Muy pronto se inventaron lenguajes de programación para permitir al usuario codificar instrucciones para que la máquina fuera menos torpe. Programas especiales traducen o compilan esas instrucciones del lenguaje de programación en código binario. Los lenguajes de programación de alto nivel han hecho la tarea mucho más sencilla, pero aún se requiere prestar mucha atención a los detalles para que las instrucciones sean correctas a fin de cumplir los objetivos deseados. En cierto sentido, las computadoras son muy cuadradas: en general hacen exactamente lo que les dices que hagan, incluso si tales instrucciones son ilógicas. “Basura entra, basura sale” se ha convertido en una expresión común entre los usuarios de computadoras. El autor tomó su primer curso de programación como estudiante graduado de física de primer año en 1963, usando una IBM 1620, una de las primeras computadoras estándar, y el lenguaje de programación FORTRAN. Usó mucho la computadora en su investigación para modelar la cinética de las transiciones de fase y analizar datos experimentales. Las computadoras son muy buenas para hacer rápidamente cálculos reiterados, sin perder jamás la paciencia. Su empleo supuso un cambio drástico en la ciencia: cálculos que serían prohibitivamente tediosos si se hicieran a mano pueden realizarse sin problema en la máquina.

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¿Qué es la inteligencia artificial? ¿Qué pueden y qué no pueden hacer las computadoras? Acaso de mayor interés sea preguntar: ¿qué podemos hacer como seres pensantes que las computadoras no pueden hacer? ¿Realmente puede pensar una computadora o siempre sigue instrucciones? Estas preguntas forman parte de la nueva área de estudio llamada inteligencia artificial y tiene amplias implicaciones para el futuro de las computadoras y sus aplicaciones. Principalmente, una computadora no piensa en el sentido usual de la palabra. Calcula y manipula información binaria siguiendo un conjunto de instrucciones proporcionadas por el usuario o programador. La salida es tan buena como los datos que se le introdujeron y los pasos programados que se dieron. Las personas proporcionan tanto los datos como los programas. Por ello siempre debes recelar cuando alguien afirme: “la computadora hizo esto o aquello”. En realidad, lo que quieren decir es que no se sienten competentes para cuestionar el programa o los datos introducidos. Lo que las computadoras pueden hacer muy bien es ejecutar un complicado conjunto de cálculos o instrucciones a gran rapidez y con suma precisión. También pueden almacenar grandes cantidades de información en varios tipos de memoria, de modo que es posible volver a usarla sin problema. En la rapidez y la precisión con la que llevan a cabo esas tareas, las computadoras modernas superan con mucho las capacidades humanas. Sin embargo, todas esas operaciones

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460 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos se realizan paso a paso, siguiendo instrucciones colocadas ahí por programadores humanos. Una computadora ordinaria no hace saltos intuitivos. Aunque la rapidez y precisión de las computadoras son maravillosas, sin duda pensar implica mucho más: incluye la habilidad de organizar información, reconocer pautas en los hechos, aprender de la experiencia y crear nuevas formas de resolver problemas. El cerebro humano puede hacer cálculos paso a paso pero también tiene que ver en estos otros aspectos del pensamiento. (Desde luego, hay diferencias individuales en la forma como cada cual maneja las distintas formas de pensamiento.) Al estudiar cómo funciona el cerebro humano hemos llegado a reconocer que nuestros cerebros están organizados de modo muy diferente de una computadora digital. En lugar de transistores tenemos neuronas como procesadores de señal básicos. A diferencia de los transistores, que sólo pueden manejar una o dos señales de entrada, las neuronas reciben y transmiten información al interactuar con muchas otras neuronas en una amplia red interconectada llamada red neuronal (figura 21.17). La red neuronal es un sistema increíblemente complejo. El modo como transmite señales cada neurona está determinado por lo que ha experimentado antes, así como por la intensidad de la señal y las interconexiones que establece. Conforme interactuamos con nuestro entorno, ciertas rutas en la red neuronal se desarrollan más que otras: en un sentido enormemente simplificado, así es como aprendemos conceptos. Por ejemplo, la introducción de impulsos nerviosos transmitidos por nuestros ojos estimula un conjunto de neuronas, las cuales, cuando se disparan simultáneamente, transmiten

Dendritas

Cuerpo celular

Axón

21.17 El cerebro humano es una vasta red de neuronas interconectadas que transmiten y procesan señales eléctricas.

figura

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señales a lo largo de la ruta establecida en el cerebro. Esas señales crean un estado en el cerebro que puede corresponder al concepto de silla (o cualquier objeto reconocible que miremos). Estas rutas y la respuesta del cerebro se han desarrollado a lo largo de nuestra experiencia previa con las sillas. En cierto sentido, el mismo proceso se presenta cuando reconocemos conceptos físicos como aceleración o momento de torsión. Uno de los avances más emocionantes en la ciencia de la computación en años recientes es el de computadoras que imitan la red neuronal al procesar la información, ya sea mediante programas especiales o con elementos eléctricos que en realidad conectan muchos otros elementos en los circuitos (hardware). Si bien las computadoras actuales son aproximaciones muy burdas a una red neuronal biológica, aprenden de la experiencia previa de forma similar al aprendizaje en el cerebro. Tales computadoras plantean interesantes preguntas, todas ellas novedosas, sobre cómo programar, o capacitar la red. Aunque no anticipamos que las computadoras de red neuronal reflejarán algún día plenamente la complejidad de nuestros cerebros, tienen un aspecto agregado de inteligencia no presente en una computadora digital ordinaria. Son particularmente útiles para tareas de reconocimiento de pautas que no se logra fácilmente con las computadoras ordinarias. Quizá de igual importancia es que pensar acerca de cómo programar computadoras de red neuronal nos brinda cierta comprensión de la enseñanza y el aprendizaje que pueden realizarse en los humanos. Todo el campo de la inteligencia artificial nos ha hecho examinar de nuevo los fundamentos del pensamiento y la inteligencia. El campo de la inteligencia artificial no existiría sin las computadoras. El perfeccionamiento continuo de estas máquinas depende de nuestra ingenuidad para inventar nuevas formas de hacer y conectar componentes semiconductores. Los físicos, junto con los ingenieros eléctricos y los científicos de la computación, están muy involucrados en esta tarea. La revolución en el procesamiento de la información aún está en fase de evolución y puede acarrear cambios incluso mayores en nuestras vidas. Las computadoras digitales, que procesan información en forma binaria, se construyeron por primera ocasión en la década de 1940. El desarrollo de los circuitos integrados en la de 1960 comenzó el proceso de reducir las computadoras voluminosas a un tamaño suficientemente pequeño como para colocarse en máquinas de mano o escritorio. Una computadora digital ordinaria debe programarse con un conjunto detallado de instrucciones para que cumpla sus funciones. Puede ejecutar instrucciones a mayor rapidez y precisión. Las computadoras de red neuronal se modelaron como las neuronas de nuestros cerebros, lo que les permite llevar a cabo tareas de reconocimiento de pautas y otras funciones que semejan la forma como pensamos y aprendemos los seres humanos. Aunque las computadoras han tenido gran repercusión en la ciencia y la tecnología, aún es una pregunta sin respuesta establecer si algún día rivalizarán con el pensamiento humano.

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21.5 Superconductores y otros nuevos materiales

21.5 Superconductores y otros nuevos materiales Una noticia científica importante a fines del decenio de 1980 fue el descubrimiento de los llamados superconductores de alta temperatura. Una serie de noticias afirmaba que Japón estaba a la cabeza en la carrera de los superconductores y especulaba acerca de exóticas aplicaciones para ellos. El sacudimiento noticioso fue casi tan grande como el que rodeaba el supuesto descubrimiento de la fusión en frío más o menos un año después. ¿A qué se debía tanta excitación? ¿Qué es la superconductividad? ¿Qué tiene que ver la temperatura con esto? ¿Qué otros materiales exóticos se están trabajando? Estas preguntas surgen de un campo llamado ciencia de materiales, una combinación de metalurgia, química y física de la materia condensada. La investigación de materiales es otra disciplina relacionada con la física que ya tuvo un gran impacto en la tecnología y la forma como vivimos.

¿Qué es la superconductividad?

Resistencia (R)

Superconductividad es el fenómeno en el que la resistencia al flujo de una corriente eléctrica desaparece por completo. Originalmente se descubrió en 1911, por un físico holandés, Heike Kamerlingh Onnes, quien descubrió que si enfriaba mercurio a una temperatura de aproximadamente 4 K (4 grados sobre el cero absoluto), la resistencia eléctrica de su muestra desaparecía por completo. Una corriente eléctrica, una vez iniciada, fluiría indefinidamente sin fuente continua de poder. La resistencia eléctrica de la mayoría de los materiales disminuye con la baja de la temperatura, pero en la muestra de mercurio de Onnes desaparecía por completo a la temperatura de 4.2 K, como se ilustra en la figura 21.18. La resistencia cae

Tc = 4.2 K 0 2

4 T (K)

6

8

21.18 La resistencia eléctrica del mercurio disminuye conforme la temperatura disminuye. Sin embargo, cae abruptamente a cero a la temperatura crítica de 4.2 K.

figura

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461

abruptamente a cero a la temperatura crítica Tc y es cero para cualquier temperatura por abajo de la crítica. Investigación ulterior demostró que muchos metales se vuelven superconductores si se enfrían a una temperatura suficientemente baja. El metal niobio tiene una de las temperaturas críticas más altas de una sustancia pura a 9.2 k. Ciertas aleaciones tienen temperaturas críticas incluso mayores. En 1973 se descubrió que una aleación de niobio y el semiconductor germanio tenía una temperatura crítica de 23 K, aún una temperatura muy baja: 23 K es igual a –250 °C (o –418 °F). Una explicación teórica para el fenómeno de la superconductividad, desarrollada en 1957, aplica mecánica cuántica al comportamiento de los electrones en un metal a baja temperatura. Esta explicación se relaciona cercanamente con una teoría que explica el comportamiento de los superfluidos, fenómeno también observado a muy bajas temperaturas. El helio líquido se vuelve un superfluido por abajo de una temperatura crítica donde pierde su viscosidad (o resistencia al flujo del fluido), igual que un superconductor pierde su resistencia eléctrica. Tanto superconductividad como superfluidez son fenómenos cuánticos macroscópicos: la mecánica cuántica explica sus características, pero son observables a la escala de tamaño de los objetos ordinarios en vez de tamaños microscópicos.

¿Qué son los superconductores de alta temperatura? En 1986 se descubrió un nuevo tipo de compuesto superconductor: un material cerámico, un óxido metálico que contenía varios otros elementos. El superconductor cerámico original tenía una temperatura crítica de 28 K, no mucho más alta que las aleaciones metálicas. Sin embargo, el descubrimiento provocó una ráfaga de actividad experimental en la que se intentaban otras combinaciones de elementos. Hacia 1987 se habían desarrollado superconductores cerámicos con temperaturas críticas primero de 57 K y luego de 90 K. Finalmente, en 1988 se informó acerca de materiales con temperaturas críticas por arriba de 100 K, y quizá tan altas como 125 K. Estos nuevos superconductores cerámicos son superconductores de alta temperatura, aunque estas temperaturas críticas todavía no son lo que normalmente se consideraría alto: por ejemplo, 100 K es –173 °C, más bien frío para la mayoría de los estándares. No obstante, el desarrollo de materiales con temperaturas críticas alrededor de 90 K fue un rompimiento, ya que tales temperaturas pueden alcanzarse usando nitrógeno líquido, el cual se consigue fácilmente para usos industriales y científicos. Hierve a 77 K (–196 °C), de modo que un baño de nitrógeno líquido puede enfriar muestras a esa temperatura. Los superconductores cerámicos están hechos de varias combinaciones de materiales y la mayoría tienen óxidos de cobre como uno de sus componentes. El material cerámico superconductor más comúnmente disponible es una combinación de itrio (Y), bario (Ba), cobre (Cu) y oxígeno (O) en las proporciones Y1Ba2Cu3O7 (el número de átomos de oxígeno de la estructura varía según cómo se prepare el material). Este

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462 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos material puede prepararse en laboratorios de licenciatura y tiene una temperatura crítica de aproximadamente 90 K. Una propiedad sorprendente de un superconductor (llamada efecto Meissner) es que excluirá completamente las líneas de campo magnético producidas por un imán o corriente eléctrica externos. Un imán que se acerque a un material superconductor será repelido. Esta propiedad casi siempre se demuestra haciendo levitar un pequeño imán sobre un disco de material superconductor. (Los materiales para esta demostración se han distribuido ampliamente a profesores de ciencia.) Una pequeña cantidad de nitrógeno líquido en el fondo de un vaso de espuma de estireno es suficiente para enfriar el disco superconductor (figura 21.19). La teoría que explicó bien la superconductividad en materiales puros no fue adecuada para explicar la superconductividad de estos materiales cerámicos nuevos. Una característica común de la estructura de muchos de ellos es que contienen capas de cobre u óxido de cobre entre los átomos de los otros elementos (figura 21.20). Se sospecha que la superconducción ocurre por medio de estas capas y los teóricos han hecho buen progreso en comprender qué sucede. Continuo progreso teórico y experimental puede apuntar a la forma de diseñar materiales con temperaturas críticas incluso mayores. Los superconductores de alta temperatura tienen muchas aplicaciones potenciales, sobre todo en el uso de electroimanes. Un electroimán fuerte requiere que fluyan grandes corrientes en bobinas de alambre firmemente devanadas. Con los conductores ordinarios, esas grandes corrientes generan una gran cantidad de calor y limitan la cantidad de corriente que puede establecerse (y la resultante intensidad del electroimán). Ya existen imanes que usan bobinas superconductoras, pero deben mantenerse a temperaturas por abajo de la crítica del material superconductor. Si tuviésemos materiales que fueran

Átomos de cobre Oxígeno

O O

Ba

O

O

Ba

O

O

Ba

O

O

Y Y Y

O O

O

Ba O

O

Ba O

O

Ba O

21.20 La estructura atómica de muchas cerámicas superconductoras tiene capas de átomos de cobre entre otros elementos, como oxígeno, itrio y bario.

figura

superconductores a temperatura ambiente, tales electroimanes se volverían mucho más factibles para uso general. El supercolisionador superconductor habría usado imanes superconductores para controlar los haces de partículas. Tales imanes ahora se utilizan en otros aceleradores. Los imanes superconductores también se emplean en aparatos de resonancia magnética (mri), una importante herramienta diagnóstica en medicina (figura 21.21). Otras posibles aplicaciones incluyen la levitación magnética de trenes y otros vehículos para reducir la fricción y alcanzar mayor rapidez. Los cables superconductores podrían usarse en la transmisión eléctrica para reducir pérdidas debidas a la resistencia eléctrica. El grueso de estas aplicaciones requiere materiales superconductores a los que se les pueda fácilmente dar forma de alambres y cables, incluso con temperaturas críticas mayores que las disponibles ahora. Muchos de los superconductores cerámicos son muy quebradizos y no adecuados para cables o bobinas magnéticas. El éxito en la invención de materiales superconductores más utilizables puede esperar una nueva generación de científicos, ingenieros y soñadores.

Otros materiales exóticos

figura 21.19

Un pequeño imán levita sobre un disco superconductor enfriado con nitrógeno líquido. Esta simple prueba establece la presencia de la superconductividad.

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El descubrimiento de los nuevos superconductores fue inspirado por la investigación acerca de los óxidos metálicos cerámicos que ya se sabe tienen interesantes propiedades eléctricas. Un compuesto de bario, titanio y oxígeno, titanato de

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21.5 Superconductores y otros nuevos materiales

463

21.22 Las moléculas largas en algunos aislantes líquidos se alinean en capas, lo cual permite que el líquido fluya a lo largo de dichas capas pero no en una dirección perpendicular

figura

21.21 Un paciente a punto de entrar en la cámara que alberga los imanes superconductores de un aparato de resonancia magnética (MRI).

figura

bario (BaTiO3), por ejemplo, se ha empleado durante muchos años para convertir cambios en presión en señales eléctricas, o viceversa. Esta propiedad permite que un cristal de titanato de bario se use como pequeño micrófono o bocina. Otros óxidos metálicos son importantes en el procesamiento de circuitos integrados. La búsqueda de nuevos materiales surge de nuestro creciente conocimiento de cómo interactúan los átomos en los estados sólido o líquido. Nos hemos vuelto más capaces de diseñar materiales para satisfacer necesidades específicas. Tales necesidades pueden ser propiedades ópticas o electrónicas especiales para usar en electrónica o comunicación, o quizá materiales de gran resistencia pero ligeros para utilizarlos en aviones. Es posible combinar diferentes elementos en un número infinito de formas para hacer nuevos materiales, mas los resultados no siempre son predecibles. Los cristales líquidos son uno de los nuevos materiales que han encontrado extensa aplicación. Los cristales líquidos tienen una organización con forma de cristal en una dirección, pero son desordenados y libres de fluir a lo largo de otras direcciones en el material. Tienen ciertas propiedades tanto de líquidos como de sólidos. Los campos eléctricos pueden influir en la cantidad de luz que fluye por el material. Esta propiedad condujo emplearlos en pantallas de calculadoras de mano y en muy delgadas pantallas de televisores planos que no requieren un tubo de rayos catódicos voluminoso. Los cristales líquidos están hechos de largas moléculas orgánicas (basadas en carbono) que se alinean en capas, como aparece en la figura 21.22. Esas capas se deslizan una a lo largo de otra, de modo que el material puede fluir en las direcciones

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paralelas a las capas. Al regular espaciamiento perpendicular de esas capas se deben las propiedades parecidas al cristal. El autor ha dirigido investigación acerca de otra clase de sustancias conocidas como cristales plásticos, cuyas moléculas tienen forma globular y son parcialmente libres para rotar en el cristal sólido. Los cristales plásticos tienen muchas propiedades interesantes, pero hasta el momento no tienen la amplia aplicación (y rendimientos financieros) que ha surgido de la investigación en cristales líquidos. Es difícil saber a dónde conducirá esta investigación. Podemos estar seguros de dos cosas: algunos materiales nuevos tendrán propiedades inesperadas y excitantes, y algunos de ellos llevarán a nuevos productos que encontrarás en tus actividades cotidianas. En el cuadro de fenómenos cotidianos 21.1 se analiza otro de los desarrollos modernos que resultan de la investigación en física, éste en el subcampo de la óptica. Ahora exploramos el uso de hologramas para almacenamiento de datos en computadoras, lo que requiere el desarrollo de materiales ópticos especiales. Los superconductores son materiales que pierden toda resistencia al flujo de una corriente eléctrica por abajo de cierta temperatura crítica. Para metales puros, estas temperaturas críticas sólo están algunos grados arriba del cero absoluto, pero más recientemente se han descubierto compuestos superconductores con temperaturas críticas de 100 K o más. Esos superconductores de alta temperatura algún día pueden encontrar amplia aplicación en la transmisión eléctrica o en imanes superconductores. La ciencia de materiales ha inventado muchos otros materiales exóticos en años recientes, incluidos los cristales líquidos que se usan en las pantallas de calculadoras y computadoras portátiles. Nuestro creciente conocimiento de cómo interactúan los átomos en los estados sólido y líquido nos permite diseñar materiales para aplicaciones específicas, pero sus propiedades concretas aún nos reservan sorpresas.

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464 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos

fenómenos cotidianos

cuadro 21.1

Hologramas La situación. Todos hemos visto hologramas en las cajas de cereal, juguetes, tarjetas de crédito y acaso en joyería simple, como los pendientes de la fotografía de abajo. Aunque las tarjetas de crédito y otras superficies son claramente bidimensionales, las imágenes que vemos en un holograma son tridimensionales. Puedes mover tu cabeza de un lado a otro y mirar esas imágenes desde diferentes ángulos, del mismo modo que haces con un objeto tridimensional. ¿Cómo se producen estas imágenes tridimensionales?

La holografía parece ciencia-ficción para muchas personas. ¿Qué se puede lograr en realidad con un holograma? ¿Qué son los hologramas y cómo se fabrican? ¿Podrían usarse para desarrollar programas de televisión o películas tridimensionales? Análisis. Aunque la idea fue concebida anteriormente, los primeros buenos hologramas se produjeron a principios de la década de 1960, después de la invención del láser. Un holograma es un patrón de interferencia producido al combinar ondas de luz reflejadas de algún objeto con otra onda proveniente directamente desde el láser. Los láser son fuentes de luz sumamente coherente, producen trenes de ondas mucho más largos que las fuentes de luz ordinarias, que producen pulsos de luz cortos y no correlacionados. Se necesita la alta coherencia del láser para producir patrones de interferencia de luz dispersada de los objetos de tamaño ordinario. En el dibujo de abajo se muestra un arreglo común para fabricar un holograma. La luz proveniente del láser se divide, mediante un espejo parcialmente plateado, o divisor de rayo, en dos haces, uno llamado haz objeto y otro haz referencia. El haz objeto se dispersa o refleja por el objeto hacia la placa fotográfica. El haz referencia se dirige hacia la placa fotográfica en cierto ángulo con el haz objeto, y estos dos haces de luz se combinan luego para producir un patrón de interferencia sobre la placa fotográfica.

Un holograma en un pendiente visto desde dos ángulos. ¿Cómo se produce esta imagen tridimensional?

Divisor de haz

Haz referencia

Espejo

Láser

Espejo

Haz objeto Placa fotográfica

Objeto

La luz del láser se divide en dos haces, uno de los cuales se refleja del objeto e interfiere con el segundo haz (referencia) para formar el holograma.

(continúa)

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Resumen

Cuando la placa fotográfica se revela, el registro del patrón de interferencia se convierte en el holograma. Si luz similar a la luz láser original pasa a través del holograma, el patrón de interferencia la modifica de modo que una de las ondas de luz transmitida es idéntica a la onda de luz original reflejada del objeto. Esta onda de luz idéntica es lo que vemos cuando observamos un holograma. Se trata de una onda de luz divergente de una imagen del objeto original: observamos una imagen virtual tridimensional (véase el capítulo 17 para un análisis de la formación de imágenes). Los hologramas más familiares son hologramas de reflexión diseñados para verse en luz reflejada del holograma en lugar de luz transmitida por el holograma. Los hologramas de reflexión tienen la ventaja adicional de que no necesitamos un láser u otra fuente de luz monocroma para verlos. El proceso de reflexión selecciona sólo ciertas longitudes de onda de la luz. En los hologramas de reflexión de las cajas de cereal o tarjetas de crédito, el patrón de interferencia que representa el holograma se graba en relieve en una delgada película reflectora. Los hologramas se usan en las tarjetas de crédito porque es muy difícil producir copias falsificadas.

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Originalmente, el proceso de elaboración de hologramas requiere que el objeto se mantenga completamente quieto, sin vibraciones, para producir un patrón de interferencia preciso. Láser más potentes y mejores películas permiten ahora tiempos de exposición más cortos: los objetos no tienen que mantenerse quietos y sin movimiento. También es posible generar los patrones de interferencia a partir de cálculos matemáticos en una computadora, de modo que podemos diseñar hologramas generados por computadora de objetos no existentes. Sin embargo, un solo holograma contiene una enorme cantidad de información, así que los móviles que puedan transmitirse por señales de televisión aún no son factibles. La invención del láser en 1960 incitó un gran crecimiento del campo de la óptica. La holografía sólo es una de las aplicaciones que esta sorprendente fuente de luz ha hecho posible. La holografía se usa ahora en muchas aplicaciones técnicas, lo mismo que en el arte, anuncios publicitarios especiales y artículos novedosos.

resumen En este capítulo hemos ido más allá de los fenómenos cotidianos para tocar algunos de los descubrimientos más excitantes en áreas de investigación en física que continuamente avanzan. Las ideas exploradas incluyeron quarks y otras partículas elementales, cosmología y el Big Bang, circuitos integrados, computadoras digitales y computadoras de red neuronal, y superconductores y otros materiales “de diseñador”.

ros momentos del Universo después del Big Bang, que comenzó la expansión actual.

1

Quarks y otras partículas elementales. El modelo estándar de la física de altas energías ahora puede describir todas las partículas conocidas como combinaciones de veinticuatro partículas elementales: seis leptones, seis quarks y sus antipartículas. Se han realizado progresos para llevar las fuerzas fundamentales de la naturaleza a una sola teoría del campo unificado. Protón u u

d Quarks

2 Cosmología y el principio de los tiempos. Las observaciones astronómicas han demostrado que nuestro Sol sólo es

y microelectrónica. Nuestra com3prensiónSemiconductores de los semiconductores y cómo se puede modificar su conductividad al doparlos con átomos impuros condujo a la invención del transistor a finales de la década de 1940. Desde entonces, se han desarrollado circuitos integrados para combinar cientos de transistores y otros elementos en pequeños chips de silicio. Una enorme industria ha crecido a partir de esta habilidad para miniaturizar circuitos electrónicos y de computadora. 8065

una estrella en una gran galaxia de estrellas y que hay muchas otras galaxias, todas alejándose una de otra en un universo en expansión. El conocimiento de los quarks es necesario para modelar los prime-

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466 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos Computadoras e inteligencia artificial. La invención 4del transistor 5 Superconductores y otros nuevos materiales. Los y los circuitos integrados condujo al rápido crecimiento superconductores son materiales que pierden toda su resistencia elécen el uso de computadoras digitales. Las computadoras ordinarias realizan operaciones programadas paso a paso, con gran rapidez y precisión. Las nuevas computadoras de red neuronal están organizadas más como las conexiones entre las neuronas de nuestros cerebros. “Aprenden” de la experiencia para reconocer pautas en los datos proporcionados a la computadora.

trica a cierta temperatura crítica. Recientemente se han descubierto superconductores cerámicos con temperaturas críticas alrededor de 100 K, mucho más altas que los previamente conocidos, pero aún muy por abajo de la temperatura ambiente. La investigación en la física de sólidos y líquidos ha producido muchos otros materiales útiles como los cristales líquidos que se usan en las pantallas de calculadoras y aplicaciones similares.

Neurona

conceptos clave modelo estándar, 448 leptones, 449 mesones, 449 bariones, 449 quarks, 450 hadrones, 450 interacción nuclear fuerte, 451 fuerza nuclear débil, 451

teoría del campo unificado, 451 fuerza electrodébil, 451 grandes teorías unificadas, 451 galaxias, 452 Big Bang, 452 conductividad, 454 diodo, 455 transistores, 456

circuito integrado, 457 lógica digital, 458 programas de aplicación, 459 software, 459 inteligencia artificial, 459 superconductividad, 461 temperatura crítica, 461 superfluidos, 461

preguntas * = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo. P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D. P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center.

P1. ¿En general, los leptones son más pesados que los protones o que los neutrones? Explica por qué. P2. ¿Ahora consideramos los protones como partículas elementales que no tienen una estructura subyacente? Explica por qué. P3. ¿Los quarks constituyen los electrones? Explica cómo. P4. ¿Los bariones y los mesones están formados del mismo número de quarks? Explica cómo. P5. ¿Por qué se requieren altas energías para producir partículas con masas más grandes que protones o neutrones? Explícalo.

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P6. ¿Cuál fuerza fundamental de la naturaleza es la más difícil de incorporar en una teoría de campo completamente unificada? Explica por qué. *P7. ¿Por qué los físicos proponen gastar grandes cantidades de dinero para construir nuevos aceleradores de partículas? ¿Cómo podemos justificar esos enormes gastos? Explícalo. *P8. ¿Cómo sabemos que el Universo se expande? Explícalo. P9. ¿Nuestro propio Sol forma parte de una galaxia? Explica. P10. ¿La Vía Láctea es una nube de gases interestelares? Explícalo. P11. ¿Qué fuerza es la causante de la formación de átomos a partir de núcleos individuales y electrones? ¿Qué fuerza causa la condensación de los átomos individuales en estrellas? Explícalo.

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Problemas de síntesis P12. ¿El término Big Bang se refiere a explosiones de estrellas individuales? Explica por qué. *P13. ¿Es necesario saber algo acerca de las entidades muy pequeñas como los quarks para crear modelos fructíferos de fenómenos de escala muy grande como el comienzo del Universo? Explica por qué. P14. ¿La resistencia eléctrica de un semiconductor como el silicio aumenta cuando se dopa con átomos impuros de arsénico? Explica por qué. P15. ¿El dopado de silicio con galio vuelve el semiconductor resultante un semiconductor tipo n o tipo p? Explica por qué. P16. ¿La dirección en la que se conecta la batería a un diodo influye en la cantidad de corriente eléctrica que pasará por el diodo? Explica por qué. P17. ¿Puede hacerse un diodo de un material que esté dopado sólo con un tipo de átomo impuro? Explica por qué. *P18. ¿Qué propiedad de los transistores los hace útiles para amplificar una señal eléctrica? Explica por qué. P19. Al hacer instrumentos electrónicos más pequeños, ¿los circuitos integrados tienen una ventaja sobre el uso de transistores y diodos separados? Explica por qué. P20. ¿Los números decimales son más adecuados que los binarios para procesar información mediante circuitos que contengan transistores? Explica por qué. P21. ¿Las computadoras electrónicas originales usan transistores en sus circuitos? Explica por qué.

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P22. ¿Cuál es el propósito de un programa de computadora diseñado para utilizarse con una computadora digital ordinaria? ¿Qué hace? Explícalo. *P23. ¿Puede pensar una computadora digital ordinaria? Explica por qué. P24. ¿Los transistores en una computadora digital ordinaria están conectados como las neuronas de nuestro cerebro? Explica por qué. P25. ¿Una computadora de red neuronal está programada en la misma forma que una computadora digital ordinaria? Explica por qué. P26. ¿Un superconductor tiene resistencia cero sólo sobre cierta temperatura crítica? Explica por qué. P27. Con los superconductores de alta temperatura actualmente disponibles, ¿podemos construir imanes superconductores que funcionarán en modo superconductor a temperatura ambiente? Explica por qué. P28. ¿Los superfluidos son lo mismo que los superconductores? Explica por qué. P29. ¿Los cristales líquidos son fluidos o sólidos? Explica por qué. P30. ¿La producción de un holograma supone la interferencia de ondas de luz? Explica por qué. P31. ¿Podemos hacer hologramas usando una fuente de luz ordinaria en lugar de un láser? Explica por qué.

ejercicios E1. La distancia media del Sol a la Tierra es aproximadamente de 1.5 × 108 km. ¿Cuántos segundos se requieren para que la luz llegue del Sol a la Tierra? (c = 3 × 108 m/s, 1 km = 1 000 m)

E3. Escribe estos números decimales ordinarios en forma binaria: a) 7 b) 15

E2. Convierte estos números binarios en números decimales ordinarios: a) 101 b) 11 101

problemas de síntesis PS1. La estrella más cercana a nuestro Sol está aproximadamente a cuatro años luz de distancia (un año luz es la distancia que la luz recorre en un año). a) ¿Cuántos segundos hay en un año? b) Puesto que la luz viaja a razón de 3 × 108 m/s, ¿cuántos metros hay en un año luz? c) ¿Cuán lejos está la estrella más cercana, en metros? d) ¿Cuánto tardaría un viaje a la estrella más cercana si fuésemos capaces de viajar con una rapidez de un décimo de la luz?

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PS2. Si queremos desarrollar un sistema numérico de base tres para usar en lugar del sistema decimal o un sistema de base dos (binario). a) ¿Cuantos símbolos necesitaríamos en ese sistema? (En el sistema binario podemos arreglárnosla sólo con dos, 0 y 1.) ¿Esto funcionará en el sistema base 3? ¿Cómo escribirías el número decimal 2? b) Escribe el número decimal 6 en la forma de base tres. c) Escribe el número decimal 39 en la forma de base tres. d) ¿Puedes pensar en algún posible uso de tal sistema?

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468 Capítulo 21 Más allá de los fenómenos cotidianos

experimentos y observaciones para la casa EC1. En una noche clara (de preferencia lejos de las luces de la ciudad), sal y estudia el cielo nocturno. a) ¿Puedes ver la Vía Láctea? (Por lo común aparecerá como una tenue nube de estrellas formando una banda irregular a través del cielo.) Elabora un bosquejo de su orientación. b) ¿Cuáles son los objetos más brillantes en el cielo (distintos de la Luna)? ¿Algunos de esos objetos son planetas? Algunos planetas producirán una luz que parece más estable que las estrellas y son muy brillantes. c) ¿Puedes encontrar la gran sartén (parte de la constelación de la Osa Mayor) y otras constelaciones? Elabora un bos-

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quejo de los agrupamientos de estrellas más prominentes que observes. EC2. Encuentra un holograma en una tarjeta de crédito u obtén uno de tu instructor y examínalo meticulosamente. a) Conforme mueves tu cabeza de lado a lado, ¿puedes ver diferentes características del objeto? ¿La imagen que observas es claramente tridimensional? b) Mueve tu cabeza de arriba abajo mientras observas el holograma. ¿Cambian los colores? ¿Qué secuencia de colores observas? ¿Hay algún carácter tridimensional en el holograma en la dirección vertical (arriba y abajo)?

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apéndice A Uso de álgebra simple

E

n el capítulo 1 describimos las matemáticas como parte del lenguaje de la física. Brindan una forma concisa de expresar las relaciones entre cantidades físicas que hace su manipulación mucho más sencilla que si se indicaran con palabras y frases. Las personas diestras en el tema de las matemáticas se sienten muy cómodas interpretando y usando estas relaciones. Sin embargo, mucha gente no se siente segura con el uso de las matemáticas simples, por lo que en esta obra se emplean con moderación. La mayor parte de lo que se incluye es álgebra básica que casi todos los estudiantes aprendieron en secundaria. Por desgracia, suele ocurrir que esa introducción no logra sentar las bases para que se comprendan los principios implícitos en las operaciones algebraicas, lo que deja a los estudiantes con muy poca seguridad en su uso. En este apéndice se presentan los conceptos básicos que subyacen el manejo del álgebra simple y se dan ejemplos de su aplicación.

Conceptos básicos Tres conceptos simples pero fundamentales forman las bases para la mayor parte de las operaciones algebraicas. Esos conceptos son los siguientes: ■ Concepto 1. Las letras usadas en el álgebra representan números. Cualquier operación hecha con números (suma, resta, multiplicación, división, etc.) también puede realizarse con símbolos. En los cursos de matemáticas, las letras x y y se usan para representar incógnitas, es decir, números desconocidos, en tanto que se utilizan otras letras para representar constantes o números conocidos. En la física se emplean letras específicas para simbolizar cantidades específicas: t para tiempo, m para masa, d para distancia, s para rapidez, etc. Todas representan

cantidades numéricas, algunas de las cuales pueden ser conocidas y otras ignoradas inicialmente. Por ejemplo, la relación s = d/t indica que podemos obtener el valor numérico de la rapidez si dividimos un valor numérico para la distancia entre un valor numérico para el tiempo. Esta relación es válida para cualesquiera valores posibles de la distancia y el tiempo. ■ Concepto 2. Si se realiza la misma operación en ambos lados o miembros de una ecuación, la igualdad expresada por esa ecuación no cambia. Este principio es la base de todas las operaciones algebraicas para expresar una relación de diferentes maneras. Por ejemplo, si multiplicamos ambos miembros de la ecuación s = d/t por la cantidad t, la igualdad se conserva. Esta operación produce

st = d

t = d t

ya que t/t es igual a 1. Al realizar esta operación se expresa la ecuación original de otra forma: d = st dice que la distancia es igual a la rapidez multiplicada por el tiempo. Podemos multiplicar, dividir, sumar o restar ambos miembros de una ecuación por la misma cantidad y la ecuación sigue siendo válida. También podemos elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación o llevar a cabo otras operaciones, pero las operaciones mencionadas aquí son las más comunes. ■ Concepto 3. Cuando resolvemos (“despejamos”) una ecuación algebraica, simplemente reordenamos la ecuación como se acaba de describir de modo que la cantidad que queremos conocer se exprese en un miembro de la ecuación y todo lo demás en el otro. En el párrafo que explica el concepto, resolvimos la ecuación s = d/t para la cantidad d, con lo que expresamos la distancia

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Apéndice A

Uso de álgebra simple

en términos de las otras dos cantidades, rapidez y tiempo. Si quisiéramos expresar el tiempo de recorrido en función de la rapidez y la distancia, podríamos dividir ambos miembros de la ecuación d = st entre la cantidad s: st s d = = t s s s

= t

o, t = d/s, la distancia dividida entre la rapidez. Vemos que la ecuación original s = d/t puede expresarse de otros dos modos, d = st y t = d/s, los cuales replantean la igualdad original en formas adecuadas para el cálculo de una cantidad específica cuando se conocen las otras dos, lo que resulta sumamente útil. Como las letras representan números (concepto 1), siempre podemos comprobar la validez de las operaciones que realizamos inventando números para las cantidades y corroborando que las igualdades se mantienen en la forma nueva. Por ejemplo, si en la ecuación original, d = 6 cm y t = 2 s, entonces s =

d 6 cm = = 3 cm/s. t 2s

Si ponemos los mismos números en la ecuación final, t = d/s, tenemos t =

6 cm d = = 2s s 3 cm/s

o 2 s = 2 s, que claramente es una igualdad. Estos conceptos son sencillos y su aplicación no es difícil una vez que se comprenden las ideas básicas. Un poco de práctica, obtenida si se siguen los ejemplos adicionales presentados párrafos adelante y realizando los ejercicios al final debe ayudar a generar confianza en su uso. Para la mayoría de las personas que tienen dificultades con las matemáticas, la falta de confianza es el problema fundamental. En general, nunca han aceptado totalmente la idea de que las letras pueden representar números y, por consiguiente, el manejo y las reglas del álgebra les resultan arbitrarios y misteriosos.

Otros ejemplos 1. Resuelve la ecuación a = b + c para la cantidad c. Solución: buscamos una expresión en la que c quede sola en un miembro de la ecuación y las otras dos cantidades en el otro. Esto puede lograrse restando la cantidad b en ambos miembros de la ecuación, ya que al hacerlo c quedará sola en el derecho: a − b = b + c − b = c. Por tanto, vemos que c = a — b. (No importa qué miembro de la igualdad se escriba primero, la igualdad es la misma en cualquier caso.) Al restar b del miembro derecho de la ecuación original, despejamos c, así que obtenemos el resultado buscado.

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2. Resuelve la ecuación v = v0 + at para la cantidad t. Solución: esto se realiza mejor en dos pasos. El primer paso es restar la cantidad v0 en ambos miembros de la ecuación para aislar el producto at: v − v0 = v0 + at − v0 = at at = v − v0. Después dividimos los dos miembros de esta nueva ecuación entre a para despejar o resolver para t: v − v0 at = a a v − v0 . t = a Si puedes comprender por qué se realizó cada una de estas operaciones (cuál fue la motivación o el objetivo), vas por buen camino para entender el álgebra utilizada en este libro. 3. Resuelve la ecuación b = c + d/t para la cantidad t. Solución: de nuevo, primero restamos la cantidad c en ambos miembros de la ecuación para aislar el término que contiene a t: b − c = c +

d d − c = . t t

Sin embargo, la cantidad t está en el denominador, así que multiplicamos ambos miembros por t: (b − c) t =

d t = d. t

Luego los dividimos entre (b – c) para despejar t en el miembro izquierdo de la ecuación: (b − c) t d = b − c b − c d t = . b − c Aunque este ejemplo es más complejo, cada uno de estos pasos tiene un objetivo específico. El primer paso aísla la cantidad d/t, el segundo paso elimina t del denominador de modo que podemos resolver para t más fácilmente, y el paso final despeja t. Para adquirir seguridad al realizar estas operaciones, debes reconocer estos objetivos. Incluso las personas que están familiarizadas con el álgebra a menudo olvidan lo que están tratando de resolver, o se vuelven descuidadas y no se aseguran de hacer lo mismo en ambos miembros de una ecuación.

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Ejercicios

Ejercicios (Las respuestas a los ejercicios impares se encuentran en el apéndice D.) 1. Resuelve la ecuación F = ma para la cantidad a. 2. Resuelve la ecuación PV = nRT para la cantidad P. 3. Resuelve la ecuación b = c + d para la cantidad d. 4. Resuelve la ecuación h = g – f para la cantidad g. 5. Resuelve la ecuación a = bc + d para la cantidad d. 6. Resuelve la ecuación del ejercicio 5 para la cantidad b.

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8. Resuelve la ecuación del ejercicio 7 para la cantidad c. (Pista: primero vuelve a escribir la ecuación como a = bc – bd, multiplicando ambos términos dentro del paréntesis por b. Esto no cambia la igualdad.) 9. Resuelve la ecuación a + b = c – d para la cantidad b. 10. Resuelve la ecuación del ejercicio 9 para la cantidad c. 11. Resuelve la ecuación b(a + c) = dt para la cantidad b. 12. Resuelve la ecuación del ejercicio 11 para la cantidad c. 1

13. Resuelve la ecuación x = v0t + 2 at2 para la cantidad v0. 14. Resuelve la ecuación del ejercicio 13 para la cantidad a.

7. Resuelve la ecuación a = b(c – d) para la cantidad b.

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apéndice B Fracciones decimales, porcentajes y notación científica

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n física y en muchos otros campos en los que los números son importantes, en general expresamos las fracciones como fracciones decimales y a veces usamos los porcentajes como una manera de expresar las fracciones o las proporciones. Puesto que a veces necesitamos manejar números muy grandes o muy pequeños, los expresamos como potencias de 10, es decir, en notación científica para evitar escribir todos los ceros. Aunque la notación científica se usa con moderación en este libro, en ocasiones emplearla resulta muy práctico, acaso esencial, de modo que es importante que comprendas su significado. Forma parte del lenguaje de la ciencia.

Fracciones decimales A pesar de que la mayoría de los estudiantes preuniversitarios conocen las fracciones decimales y los porcentajes, no siempre están bien seguros de su significado. Las fracciones suponen razones o proporciones, las cuales no todas las personas comprenden bien. Uno de los beneficios de tomar un curso de física es que puede fortalecer tu capacidad para pensar en términos de razones y comprender cómo se describen. Una fracción decimal es una fracción para la que el número en el denominador es algún múltiplo del número 10 (10, 100, 1 000 y así sucesivamente); el múltiplo apropiado se indica por la ubicación del punto decimal. Por ejemplo, si empezamos con 1/2 y dividimos 1 entre 2 como indica la fracción, una calculadora mostrará el resultado como 0.5. El punto decimal delante del 5 es una notación abreviada para expresar la fracción 5/10. El número 5 es la mitad de 10; por tanto, la fracción 5/10 es equivalente a la fracción 1/2 (un medio). En otras palabras, la proporción 5 a 10 es igual a la proporción 1 a 2. Si la fracción 3/4 se evalúa en una calculadora dividiendo 3 entre 4, la máquina expresará el resultado como 0.75, que equivale a la fracción 75/100 o 75 centésimos. Por ende, la pri-

mera posición o número después del punto decimal representa los décimos, la segunda los centésimos, la tercera los milésimos y así sucesivamente. Por ejemplo, la fracción 346 milésimos (346/1 000) se expresa como 0.346. Podríamos leer esto como 3 décimos más 4 centésimos más 6 milésimos. Las fracciones decimales son muy comunes, aunque pocas veces nos detenemos a reflexionar en su significado. En el béisbol, por ejemplo, el rendimiento de bateo de un jugador se expresa como fracción decimal. Se dice que un bateador que conecta 35 sencillos en 100 turnos batea 350. En realidad, esto es 350/1 000 o 0.350, pero el punto decimal suele omitirse. No obstante, la mayoría de las personas comprenden que el punto debe estar ahí y que simplemente estamos expresando la fracción 35/100 en forma decimal e incluyendo tres cifras a la derecha del punto decimal.

¿Qué son los porcentajes? Otra forma común de expresar las fracciones decimales es escribirlas como porcentajes. La palabra por ciento significa por cada cien; en consecuencia, un porcentaje es sólo una fracción decimal en la que el denominador es 100. La fracción 1/2, por ejemplo, es 5/10 o 50/100 y puede expresarse como 50%, es decir 50 centésimos. La fracción 3/4 es 0.75 o 75% (75 centésimos) y la fracción 346/1000 es 0.346 o 34.6% (34.6 centésimos). Por tanto, al mover la posición decimal dos lugares a la derecha la fracción decimal se convierte en un porcentaje, lo que equivale a multiplicarla por 100. El uso de porcentajes es aún más común que el uso directo de las fracciones decimales. Las tasas de interés y los tipos de gravamen en general se expresan como porcentajes, así que todos debemos comprender su significado. Una tasa de interés de 7% significa que recibirás o pagarás $7 cada año por cada $100 que hayas invertido o te hayan prestado, 7/100 del monto 472

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¿Por qué se usa la notación científica?

total. (Estamos despreciando aquí los efectos posibles del interés compuesto.) Un tipo de gravamen de 28% significa que deberemos al gobierno $28 de cada $100 que ganemos (después de restar las deducciones). Por definición, un porcentaje siempre es por un ciento. Aunque es muy fácil comprender cómo se calcula un porcentaje (se calcula la fracción decimal y se multiplica por 100), tener una buena idea de las proporciones representadas por diferentes porcentajes es otra cosa. Las gráficas de pastel (o de rebanadas), como la mostrada en la figura B.1, se usan a menudo para dar una representación visual de estas proporciones. Las rebanadas deben tener tamaños proporcionales a los porcentajes o fracciones que se están representando. Si la persona que hizo la gráfica no entiende esto (como a veces ocurre), su trabajo puede ser engañoso. La gráfica de pastel de la figura B.1 representa los gastos mensuales promedio de una persona que obtiene $2 000 al mes (después de impuestos y otras deducciones). Si gasta $500 al mes en renta, esto es 500/2 000 o 0.25 (un cuarto de unidad) de su ingreso total. Como 0.25 es igual a 25%, esto se muestra como 25% en la gráfica de pastel, y toma un cuarto del pastel o círculo total. El tamaño de la rebanada es proporcional al porcentaje. Asimismo, si gasta $800 al mes en comida, esto es 800/2 000 o 0.40, que es 40% de su ingreso total. Las otras rebanadas representan porcentajes menores y tienen tamaños cada vez pequeños en proporción. Si hemos considerado todos sus gastos normales, la suma de los porcentajes en la gráfica debe dar un total de 100%.

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¿Por qué se usa la notación científica? Cuando necesitamos representar números muy grandes o fracciones muy pequeñas se requieren muchos ceros para colocar el punto decimal adecuadamente. Por ejemplo, los 1.2 billones de dólares (que corresponden aproximadamente al tamaño de la deuda estadounidense acumulada desde hace varios años) pueden escribirse como $1 200 000 000 000. Los ceros están ahí sólo para ubicar el punto decimal; no implican que todos los demás números a la derecha del 1 y del 2 sean exactamente cero. Si contamos los dígitos a la derecha del 1, vemos que hay 12 (11 ceros y el dígito 2). Otra forma de expresar este número sería decir que es 1.2 veces 1 billón, donde 1 billón es el número 1 seguido por 12 ceros. Un billón también es el número que resulta cuando multiplicas por diez 12 veces. 1 000 000 000 000 = 1 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 La notación abreviada para un número multiplicado por sí mismo 12 veces significa que ese número sea elevado a la dozava potencia, lo cual escribimos como 1012. El superíndice representa la potencia a la que se ha elevado el número, que es el número de veces que has multiplicado el número por sí mismo. Este número se lee como “diez a la dozava potencia” o simplemente “diez a la dozava.” Por tanto podemos escribir el número 1.2 billones como 1.2 × 1012

Ahorros 5% Diversión 5%

Renta 25%

Ropa 10%

Servicios, seguros, etcétera 15% Comida 40%

figura B.1

Gráfica de pastel que muestra las fracciones del ingreso total gastadas en diferentes categorías. Las rebanadas son proporcionales a los porcentajes que se representan.

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Esta notación, en la cual hemos escrito el número como un número de veces una potencia de diez, se llama notación científica. El número 12 (la potencia) sencillamente nos indica cuántos lugares a la derecha del punto decimal indicado moveríamos el punto decimal si escribiéramos todos los ceros. La notación científica ofrece varias ventajas: ahorra espacio, indica apropiadamente la exactitud o precisión del número que se está representando al eliminar los ceros y facilita el manejo de cantidades muy grandes o muy pequeñas en los cálculos. Algunos ejemplos que implican números más pequeños pueden ayudar a aclarar el concepto. El número 586, que elegí para trabajar con un número menor que 1.2 billones, puede expresarse como 5.86 veces 100, o 5.86 × 102 ya que 10 × 10 = 100 = 102 (10 al cuadrado). El número 6180 puede expresarse como 6.18 × 103, ya que 103 (10 al cubo) es 1 000. El número 5 400 000 (5.4 millones) puede expresarse como 5.4 × 106, ya que 10 a la sexta potencia es 1 millón. En la tabla B.1 se proporcionan varios ejemplos. El último número listado bajo las potencias positivas de 10 es la masa aproximada de la Tierra en kilogramos. En la tabla B.1 también se muestran varias fracciones decimales escritas en notación científica. Una fracción siempre tendrá un exponente negativo (potencia negativa de 10) si el

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Apéndice B

Fracciones decimales, porcentajes y notación científica

tabla B.1 Ejemplos de notación científica Potencias positivas de 10 5 460

= 5.46 veces 1 millar

= 5.46 × 103

23 400

= 23.4 veces 10 millares

= 2.34 × 104

6 700 000

= 6.7 veces 1 millón

= 6.7 × 106

9 400 000 000 = 9.4 veces 1000 millones

= 9.4 × 109

5 980 000 000 000 000 000 000 000

= 5.98 × 1024

Potencias negativas de diez (fracciones) 0.62

= 6.2 veces un décimo

= 6.2 × 10

0.0523

= 5.23 veces un centésimo

= 5.23 × 10–2

0.0082

= 8.2 veces un milésimo

= 8.2 × 10

0.000 0024

= 2.4 veces un millonésimo

= 2.4 × 10–6

–1

–3

0.000 000 0079 = 7.9 veces un mil millonésimo = 7.9 × 10–9 0.000 000 000 000 000 000 16

= 1.6 × 10–19

valor de la fracción es menor que 1. Por ejemplo, la fracción 0.000 000 000 001 2 es la diminuta fracción de 1.2 billonésimos. Puede expresarse como 1.2 × 10–12, lo cual equivale a dividir el número 1.2 entre 1012, o entre 1 billón. El superíndice –12 indica que debes mover el punto decimal 12 posiciones a la izquierda para expresar el número en forma decimal normal. Tomando un ejemplo más sencillo, la fracción decimal 0.0346 es 3.46 × 10–2 o 3.46 centésimos. Al mover el punto decimal dos posiciones a la izquierda, como indica la potencia de diez, se obtiene la fracción decimal original. La fracción 0.0079 es 7.9 milésimos o 7.9 × 10–3. El estudio de los otros ejemplos de la tabla B.1 debe volver claro el patrón. El último número en la tabla B.1 es el valor de la carga en el electrón en coulombs, una cantidad que se presenta frecuentemente en la física moderna. Los prefijos usados en el sistema métrico de unidades (estudiados en el capítulo 1) son otra ayuda para expresar números muy grandes o muy pequeños. Como el prefijo mega representa 1 millón, la cantidad 1.35 Mg (megagramos) es lo mismo que 1.35 × 106 g (106 es un millón). De la misma forma, 780 nm (nanómetros) es lo mismo que 780 × 10–9 m, ya que el prefijo nano significa un milmillonésimo o 10–9. Los valores de los prefijos métricos de uso común se listan en la tabla 1.3 del capítulo 1. Estos prefijos métricos y la notación científica de potencias de 10 son tipos de abreviaturas científicas utilizada para expresar números en formas más breves.

Multiplicación y división usando potencias de 10 El proceso de multiplicar o dividir números escritos con la notación de potencias de 10 es sencillo si comprendes qué significan. Es aún más fácil si cuentas con una calculadora

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que maneje notación científica, ya que sólo se necesita oprimir los números y la tecla de función apropiada. No obstante, comprender su significado puede servirte para comprobar tus resultados. Imagina que multiplicamos el número 3.4 × 103 (3400) por 100 (102). Al multiplicar por 100 se añaden dos ceros al número original, lo que da como resultado 340 000, como puedes comprobar rápidamente haciendo esta operación en una calculadora o multiplicando directamente. Por tanto, (3.4 × 103) × (102) = 3.4 × 105. En otras palabras, las potencias de diez se suman (3 + 2 = 5). Si dividimos entre 100, eliminamos dos ceros: 3.4 × 103 = 3.4 × 101 = 34. 102 En este caso, el exponente del denominador se resta del exponente del número que se está dividiendo (3 – 2 = 1). Por consiguiente, las reglas para estas operaciones son 1. Cuando los números se multiplican, las potencias de 10 se suman. 2. Cuando los números se dividen, la potencia del denominador se resta de la del numerador. Estas reglas son válidas sin importar si las potencias son negativas o positivas. Por tanto (3 × 106) × (2 × 10−4) = 6 × 102 = 600 porque 6 + (–4) = 2. Esto debe tener sentido para ti puesto que al multiplicar por una fracción (un número con una potencia negativa de 10) el resultado es un número menor que el que se está multiplicando.

Ejercicios Si cualquiera de estas ideas te son desconocidas o incluso si te resultan conocidas pero ya olvidaste cómo se usan, resolver algunos o todos estos ejercicios te ayudará a adquirir seguridad. Las respuestas a los ejercicios impares se incluyen en el apéndice D. (Ejercicios 1 a 4) Expresa estos números como fracciones decimales: 1. a)

6 10

2. a)

72 100

3. a)

1 4

4. a)

3 7

52 100

c)

874 5 d) 1 000 10 000

b)

7 10

c)

83 10 000

b)

5 8

c)

16 52

b)

11 15

b)

c)

147 654

d)

d)

45 1 000

312 (Usa una calculadora) 914 d)

65 (Usa una calculadora) 150

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Ejercicios

5. Expresa las fracciones del ejercicio 3 como porcentajes. 6. Expresa las fracciones del ejercicio 4 como porcentajes. 7. Calcula: a) 50% de 105 c) 60% de 180

b) 75% de 48 d) 85.2% de 100

8. Calcula: a) 40% de 120 c) 33.3% de 90

b) 90% de 400 d) 70% de 540

(Ejercicios 9 a 12) Expresa estos números en notación científica (notación de potencias de 10): 9. a) 5 475 b) 200 000 c) 67 000 d) 35 000 000 000 10. a) 3 560 b) 78 500

c) 622 000 d) 9 100 000

11. a) 0.0065 b) 0.000 333 c) 0.000 001 5 d) 0.000 000 065 12. a) 0.075 b) 0.00045 c) 0.0000032

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d) 0.000 89

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13. Expresa estos números como fracciones decimales: a) 6.7 × 10−3 b) 1.8 × 10−4 c) 5.77 × 10−6 d) 3.25 × 10−5 14. Realiza estas operaciones: a) (3.0 × 102) × (4.3 × 105) b) (7.5 × 103) × (5.0 × 106) c) (4.0 × 108) × (5.4 × 10−5) d) (6.0 × 108) ÷ (2.0 × 103) 15. Realiza estas operaciones: a) (3.0 × 105) × (2.0 × 104) b) (4.0 × 107) × (6.0 × 10−3 3.6 × 108 c) 2.0 × 105 3.6 × 1012 d) 2.0 × 10−6

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apéndice C Vectores y suma de vectores

M

uchas de las cantidades que encontramos en el estudio de la física son vectoriales, lo que significa que tanto su dirección como su tamaño o magnitud son importantes. Los ejemplos de cantidades vectoriales que vienen en el libro incluyen velocidad y aceleración (temas expuestos en el capítulo 2), así como fuerza, cantidad de movimiento, campo eléctrico y muchos otros que aparecen en los últimos capítulos. La dirección es una característica esencial de estas cantidades: desplazarse a una velocidad de 20 m/s con dirección norte es muy diferente de viajar a una velocidad de 20 m/s con dirección este. Las cantidades para las que la dirección no es una característica esencial (o para las que la dirección no tiene ningún significado) se llaman escalares. La masa, el volumen y la temperatura son ejemplos de cantidades escalares, no tiene sentido hablar sobre la dirección de un volumen o de una masa. Basta especificar la magnitud (el valor numérico con las unidades apropiadas) de una cantidad escalar; no se necesita otra información. Los vectores, por su parte, requieren cuando menos dos piezas de información que describan tanto su tamaño como su dirección.

¿Cómo se describe un vector? Supón que queremos describir la velocidad de un avión que vuela con dirección un tanto hacia el norte del este. La magnitud de la velocidad del avión puede especificarse estableciendo su rapidez como 400 km/h, por ejemplo. La dirección de la velocidad del avión puede determinarse de varias maneras; la más simple consiste en especificar un ángulo respecto a alguna dirección de referencia, por ejemplo 20° al norte del este. Estas dos cantidades, 400 km/h y 20° al norte del este, bastan para describir la velocidad del avión, siempre que su movimiento sea bidimensional (en un plano horizontal, sin as-

cender ni descender). Si el plano es ascendente o descendente, también hay que indicar un segundo ángulo, el de ascenso o descenso. Un diagrama ofrece una manera más gráfica de describir este mismo vector. En la figura C.1 se muestra la velocidad del avión como una flecha, que apunta en una dirección de 20° al norte del este. La magnitud de la velocidad puede representarse mediante la longitud de la flecha si elegimos un factor de escala apropiado para trazar el diagrama. Por ejemplo, si elegimos que 2 cm equivalen a 100 km/h, entonces dibujaríamos una flecha de una longitud de 8 cm (4 × 2 cm) para representar la rapidez de 400 km/h. Una rapidez menor se representaría con una flecha más pequeña, y una rapidez mayor con una más larga. La flecha es el símbolo universal para representar vectores en los diagramas. Una flecha indica claramente la dirección y también puede trazarse de diferentes longitudes para denotar la magnitud. Comúnmente los símbolos que representan las cantidades vectoriales se escriben en negritas: el símbolo v indica que se trata de una cantidad vectorial, la velocidad, mientras que el símbolo v representa una cantidad escalar, la rapidez.

¿Cómo se suman los vectores? Muchas veces nos interesa el vector resultante neto de la combinación de dos o más vectores. En el capítulo 4, por ejemplo, la fuerza neta determina la aceleración de un objeto. Esta fuerza neta es el vector suma de las fuerzas que actúan sobre el objeto, las cuales podrían ser varias. Como un segundo ejemplo, se determina la velocidad de un avión respecto al suelo por medio del vector suma de su velocidad respecto al aire y de la velocidad del aire respecto al suelo (la velocidad del viento), como vimos en el capítulo 20. 476

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¿Cómo se suman los vectores? N

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N

6.7 s)

dra

cua

20°

v

C(

8 cm h km/ 400

B (6 cuadras)

Escala: 1 cm = 1 cuadra

A (3 cuadras)

E

E

figura C.1

El vector velocidad de 400 km/h con dirección 20° al norte del este se representa mediante el dibujo de la flecha a escala (2 cm = 100 km/h) y con el ángulo apropiado (20°).

Escala: 1 cm = 1 cuadra

C.2 El resultado neto de la suma del desplazamiento A (tres cuadras al oeste) y el desplazamiento B (seis cuadras al norte) es el desplazamiento C obtenido al trazar un vector desde el punto de origen hasta el destino final.

figura

Uno de los ejemplos más fáciles de visualizar consiste en los desplazamientos de un cuerpo en movimiento. Piensa que una estudiante quiere ir a un complejo de departamentos ubicado en el norte de la calle Principal, unas cuantas cuadras al norte y al oeste del campus. Una manera de llegar ahí desde el punto de partida en el sur del campus es caminar tres cuadras al oeste por la avenida Pacífico y luego seis cuadras al norte por la calle Principal, como se indica en la figura C.2. La resultante de estos dos movimientos puede representarse mediante vectores desplazamiento; en el primer movimiento la estudiante camina tres cuadras hacia el oeste y en el segundo seis cuadras hacia el norte. Los dos desplazamientos descritos están dibujados a escala y en la dirección apropiada en la figura C.2 (en el dibujo 1 cm = 1 cuadra). La resultante de estos movimientos combinados se indica mediante el dibujo del desplazamiento C, que es el vector trazado desde el punto de origen hasta el destino final. Por tanto, el vector C es el vector suma de los vectores A y B: C = A + B. La suma combina sus efectos individuales en un solo desplazamiento neto. La longitud del vector C es aproximadamente 6.7 cm, lo cual equivale a una distancia de 6.7 cuadras dado el factor de escala utilizado en el dibujo del diagrama. Al medir el ángulo para el vector desplazamiento C con un transportador obtenemos un ángulo de aproximadamente 27° al oeste del norte. El procedimiento para la suma de vectores que acabamos de describir puede usarse con cualquier número de vectores. En general se llama método gráfico de suma de vectores o, de una manera más descriptiva, técnica de origen a extremo. Los pasos de este método son:

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1. Dibuja el primer vector a escala (define cuántas unidades de la cantidad vectorial equivalen a 1 cm) y en la dirección apropiada usando una regla y un transportador. 2. Traza el segundo vector colocando su origen en la punta de la flecha del primer vector; haz el trazo a escala y en la dirección apropiada. 3. Si hay más de dos vectores, traza los vectores subsiguientes a escala y con la dirección apropiada, poniendo el origen de cada uno de ellos en el extremo del vector anterior. 4. Para obtener el vector suma, dibuja un vector del origen del primer vector al extremo del vector final. Con el transportador, mide el ángulo que forma este vector respecto a alguna dirección de referencia y luego mide la longitud del vector con una regla. Estas dos mediciones representan la dirección y la magnitud del vector suma. (Para obtener las unidades apropiadas, multiplica la longitud medida por el factor de escala utilizado para trazar los vectores originales.) Este procedimiento se ilustra con otro ejemplo, en la figura C.3 se suman dos vectores velocidad. El primer vector, A, es una velocidad de 20 m/s en un ángulo de 15° al norte del este. El segundo vector, B, es una velocidad de 40 m/s a un ángulo de 55° al norte del este. Los vectores se trazaron a una escala de 1 cm = 10 m/s, de modo que el vector A mide 2 cm de longitud y el B, 4 cm. Para sumar los vectores, el origen del vector B se coloca en el extremo del vector A. El vector suma resultante,

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Apéndice C Vectores y suma de vectores N

Escala: 1 cm = 10 m/s /s)

/s)

20 m –A (

55° m/ s)

C

)

/s

m

E

figura C.3

Los vectores de velocidad A y B se suman para obtener el vector suma C. Se usa un factor de escala de 1 cm = 10 m/s y el origen del vector B se coloca en el extremo del vector A.

7°

(4 0

15°

B

A (20 m/s)

D (28 m/s

)

42°

(

56

15°

(40 m

N

B

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Escala: 1 cm = 5 m/s 55°

el vector C, mide aproximadamente 5.6 cm de longitud, lo cual se determinó midiéndolo con una regla. Usando el factor de escala de 1 cm = 10 m/s, tenemos: 5.6 cm × (10 m/s por cm) = 56 m/s. Al medir el ángulo que C forma con el eje horizontal (este), obtenemos que C está aproximadamente a 42° al norte del este. Por consiguiente, el vector suma de los vectores A y B es igual a 56 m/s en un ángulo de 42° al norte del este. Observa que tanto en este ejemplo que implica velocidades como en el ejemplo anterior que supone desplazamientos, la magnitud del vector suma no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores que se están sumando. En el primer caso, el vector suma C tenía una magnitud de 6.7 cuadras, menor que las 9 cuadras (3 + 6) que caminó la estudiante en realidad. En el ejemplo de velocidad, el vector suma tiene una magnitud de 56 m/s, menor que el total de 60 m/s obtenido al sumar las magnitudes de los vectores A y B. Ésta es una característica general del procedimiento de la suma de vectores. El único caso en el cual la magnitud del vector suma es igual a la suma de las magnitudes de los vectores que se están sumando (A + B) es cuando estos vectores están en la misma dirección.

¿Cómo se restan los vectores? Una vez que has dominado el concepto de la suma de vectores, la resta representa una extensión sencilla de las mismas ideas. La resta siempre puede representarse como la suma de la cantidad original más el valor menos (el negativo) de la cantidad que se está restando. Por tanto, el procedimiento para restar 2 de 6 es el mismo que para sumar 2 más 6. Si queremos restar el vector A del vector B para obtener el vector resta B – A, se suma –A a B. El negativo de un vector se obtiene invirtiendo su dirección. Para ilustrar este procedimiento, en la figura C.4 restamos la velocidad A de la velocidad B, usando los mismos dos

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E

figura C.4

El vector de velocidad A se resta del vector de velocidad B para obtener el vector resta D. La escala es 1 cm = 5 m/s.

vectores que sumamos en la figura C.3. Primero trazamos el vector B a escala y luego sumamos el negativo del vector A. Observa que invertimos la dirección de A para obtener –A. El vector negativo está 15° por debajo de la horizontal hacia el oeste en vez de 15° por encima de la horizontal hacia el este. Por consiguiente, el vector resta D se traza del origen del primer vector (B) al extremo del segundo (–A). El vector D tiene una longitud de aproximadamente 5.6 cm y forma un ángulo de alrededor de 7° con el eje vertical (norte). La longitud de 5.6 cm representa una velocidad de 28 m/s (5.6 cm × 5 m/s por 1 cm), ya que éste es el factor de escala usado en la figura C.4.

¿Qué son las componentes de un vector? Con frecuencia resulta útil describir los vectores en términos de sus componentes horizontal y vertical, en vez de trabajar directamente con todo el vector. Esto es válido en particular para el análisis del movimiento de proyectiles, como en el capítulo 3, pero también para calcular el trabajo (capítulo 6) y para muchas otras aplicaciones. Las componentes de un vector son dos (o más) vectores cualesquiera que al sumarse producen el vector que nos interesa.

Generalmente es más productivo definir estas componentes como perpendiculares entre sí, con frecuencia en las direcciones horizontal y vertical. Podemos utilizar técnicas gráficas para calcular las componentes de un vector, así como para sumar o restar vectores.

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Ejercicios

En la figura C.5 se muestra el procedimiento para obtener las componentes de un vector de fuerza. El vector de fuerza A tiene una magnitud de 8 N y una dirección de 30° respecto a la horizontal. (El newton, N, es la unidad métrica de la fuerza.) Nuestro primer paso para obtener las componentes horizontal y vertical de este vector es dibujar el vector a escala (1 cm = 1 N) en la dirección apropiada (30° respecto a la horizontal) usando una regla y un transportador, como antes. La componente horizontal del vector A se obtiene trazando una recta desde el extremo de A al eje horizontal (x), de modo que la recta forme un ángulo recto (o sea, perpendicular) con el eje x. La distancia a lo largo del eje x medida desde el origen de A hasta el punto donde la recta perpendicular se encuentra con el eje representa la magnitud Ax, la componente horizontal de A. La magnitud Ax es la parte de A que está en la dirección horizontal. Mediante un procedimiento similar se obtiene Ay, la componente vertical de A, pero en este caso se traza una recta punteada desde el extremo de A hasta el eje vertical (y), formando un ángulo recto con éste. Al medir las longitudes de estas componentes con una regla se obtienen las magnitudes de 6.9 N (6.9 cm en la gráfica) y 4 N (4 cm en la gráfica) para Ax y A y, respectivamente. Si tratamos estas dos componentes de A como vectores y las sumamos de la manera usual con la técnica de origen a extremo, obtenemos el vector A original, como aparece en la figura C.5. Por consiguiente, podemos usar estas dos componentes para representar al vector, ya que, al sumarlas, son idénticas al vector original. Sin embargo, es muy común que sólo nos interese el efecto horizontal o el vertical del vector, y por tanto usamos sólo una de las componentes. En el caso de un vector de fuerza, por citar un caso, el efecto de la fuerza en el movimiento de un objeto en dirección horizontal se de-

y

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termina mediante la componente horizontal del vector fuerza en vez del vector total. En el movimiento de proyectiles, la componente horizontal de la velocidad determina la distancia que recorrerá el objeto horizontalmente en cierto tiempo, etcétera. Las componentes de los vectores también sirven para sumar o restar vectores y para muchos otros propósitos. Sin embargo, en este libro aplicamos el concepto de las componentes de un vector principalmente para separar un vector en sus partes horizontal y vertical a fin de analizar los movimientos horizontal y vertical de manera independiente. Saber que puedes hacer esto resulta fundamental para tu comprensión del movimiento de proyectiles y de muchos otros procesos físicos.

Ejercicios (Las respuestas a los ejercicios impares se incluyen en el apéndice D.) Usa la técnica gráfica de origen a extremo para obtener las sumas de los vectores indicados en los ejercicios 1 a 4. 1. Vector A = un desplazamiento de 20 m con dirección al este. Vector B = un desplazamiento de 30 m con dirección al norte. 2. El vector A = una velocidad de 20 m/s a 30° al norte del este. Vector B = una velocidad de 50 m/s a 45° al norte del este. 3. Vector A = una aceleración de 4 m/s2 con dirección al este Vector B = una aceleración de 3 m/s2 a 40° al norte del este. 4. Vector A = una fuerza de 20 N a 45° con respecto a la horizontal (hacia la derecha) Vector B = una fuerza de 30 N a 20° a la izquierda de la vertical.

Escala: 1 cm = 1 N

Ay = 4 N

5. Calcula la magnitud y la dirección del vector resta B – A del ejercicio 1. A(

6. Determina la magnitud y dirección del vector resta A – B del ejercicio 1.

) 8N

7. Calcula la magnitud y dirección del vector resta A – B del ejercicio 2.

Ay 30°

8. Determina la magnitud y dirección del vector resta A – B del ejercicio 3.

Ax = 6.9 N x

figura C.5

Las componentes del vector de fuerza A se obtienen trazando el vector a escala y luego dibujando rectas desde el extremo del vector a los ejes x y y, de modo que esas rectas formen ángulos rectos (90°) con los ejes.

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9. Obtén las componentes este y norte (x y y) del vector A del ejercicio 2. 10. Calcula las componentes horizontal y vertical del vector A del ejercicio 4. 11. Calcula las componentes horizontal y vertical del vector

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apéndice D Respuestas a preguntas, ejercicios y problemas de síntesis selectos Capítulo 1

m/s b) 76.5 m E17. 9.09 s

P3. No. Las condiciones para las observaciones históricas no pueden repetirse o controlarse de la misma manera que un experimento físico. P9. La óptica, el estudio de la luz, explica la producción del arco iris. La mecánica explica la caída de una bellota. P15. La ventaja de seguir usando el sistema inglés, además de su familiaridad, es que evita tener que capacitar de nuevo a los trabajadores y revisar las normas y publicaciones.

PS1 a) 21 s PS5. a) auto A: 2.25 m, 9 m, 20.25 m, 36 m; B: 10 m, 20 m, 30 m, 40 m b) 4.5 s

E1. 1000 mL E3. 135 in, 11.25 pies E7. 8600 g, 8.6 × 106 mg E9. 1610 m E11. 62 500 cm2, 10 000 cm2

Capítulo 2 P3. Las unidades mm/semana o mm/día serían apropiadas porque las uñas por lo general crecen 1 o 2 mm en un tiempo de 1 semana. P9. Sí, la velocidad cambia. La dirección del movimiento se modifica después de que la pelota choca con pared, lo cual representa un cambio en la velocidad, ya que la velocidad implica tanto la rapidez como la dirección del objeto. P15. No. Aun cuando la velocidad sea cero, cambia en ese instante; por tanto, la aceleración no es cero. P21. a) No. La velocidad es positiva en todas partes, lo que indica un movimiento hacia adelante. b) La aceleración es mayor en el punto A, donde la pendiente es más pronunciada. P27. Sí. La aceleración es constante para la aceleración uniforme; por tanto, la aceleración instantánea es igual a la media durante todo el recorrido. E1. 57.5 MPH E3. 0.4 cm/día E5. 200 s E7. 4.32 km E9. 93.3 km/h E11. 21 m/s E13. a) 17 m/s b) 29 m E15. a) 21

Capítulo 3 P3. Sí, las dos pelotas están aceleradas porque su velocidad va cambiando. La pelota A tiene una velocidad que aumenta y la B tiene una velocidad que disminuye (aceleración negativa). P9. No, la aceleración aumenta con el tiempo porque la pendiente de la velocidad también lo hace. P15. No. La aceleración debida a la gravedad siempre es descendente. P21. No. El tiempo que la pelota tarda en llegar al piso sólo depende de la altura de la mesa. La velocidad horizontal no afecta el tiempo. P27. No. La distancia horizontal máxima se obtiene con un ángulo de tiro de 45º. E1. a) 8 m/s b) 16 m/s E3. 50 m/s, 112 MPH E5. 22 m/s E7. a) +5 m/s (hacia arriba) b) –5 m/s (hacia abajo) E9. 1.5 s E11. a) 0.167 s b) 13.9 cm E13. 1.25 m E15. a) 1.0 s b) 6 m PS1. a) 0 b) 1.6 s c) 12.8 m d) 12 m e) hacia abajo PS3. a) 0.4 s b) 1.2 m, 2.0 m c) no PS5. a) 40.2 m/s b) 18.3 m c) 0.455 s d) 1.0 m

Capítulo 4 P3. Aristóteles indicó que a medida que la pelota se mueve hacia delante el aire que la rodea llena el vacío que deja la posición anterior de la pelota, y este aire la empuja desde atrás. P9. Sí, la caja podría estarse moviendo a velocidad constante, pero no se está acelerando cuando la fuerza neta es cero. 480

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Respuestas a preguntas, ejercicios y problemas de síntesis selectos

P15. No. La masa es una propiedad del objeto que no depende de dónde se halla éste. El peso es una fuerza que depende del valor local de g, la aceleración debida a la gravedad. P21. La fuerza externa que empuja el auto hacia delante es la de fricción ejercida por la carretera sobre las llantas, lo cual es una reacción de la tercera ley de Newton a la fuerza que las llantas ejercen sobre la carretera. P27. No. La igualdad en tamaño de la fuerza normal y el peso es resultado de la segunda ley de Newton. La aceleración en la dirección vertical es cero, por tanto, la fuerza neta en la dirección vertical también debe ser cero. P33. No. La fuerza gravitacional es igual a tu peso, pero no hay fuerza normal que empuje hacia arriba sobre tus pies. E1. 8 m/s2 E3. 5 kg E5. 1.5 m/s2 E7. 5 kg E9. a) –2.5 N b) –0.625 m/s2 E11. 20 kg E13. a) 61.2 kg b) 135 lb E15. 6.05 m/s2, hacia abajo E17. a) 4.9 N b) 10.9 N, no E19. a) +72 N b) –588 N c) +660 N

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b) Sólo la componente horizontal de la fuerza (que está en la dirección del movimiento) realiza trabajo sobre el bloque. P9. Las dos fuerzas realizan un trabajo igual. La fuerza más pequeña ejercida por la persona actúa a través de una distancia más grande que la fuerza mayor ejercida sobre la roca. P15. Sí. El trabajo realizado aumenta la energía potencial. P21. ¡El mentón corre un gran peligro! La energía cinética añadida por el empujón aumenta la energía total del sistema, así que la bola volverá hacia atrás más lejos. P27. La energía total es una combinación de la energía cinética y la potencial. La masa se mueve y el resorte aún está parcialmente estirado o comprimido. P33. No. La energía potencial gravitacional también está implicada a medida que el atleta se eleva y cae. E1. 100 J E3. 5 m E5. a) 160 J b) 0 c) 160 J E7. a) 80 J b) 80 J E9. 0.8 J E11. 78.4 J, 100 J, acelerar la pieda E13. 40 J E15. 520 kJ E17. a) 32 J b) 32 J E19. 0.125 s

PS1. a) 5 m/s2 b) 15 m/s c) 22.5 m PS3. a) 0.375 m/s2 b) 0.075 m/s c) 0.75 cm PS5. a) 16 N b) 2.67 m/s2 c) 11.3 N PS7. a) 350 N b) 4.57 m/s2 c) 75 m/s

Ps1. a) 7.5 J b) 4.5 J c) 4.5 J Ps3. a) 48 J b) 48 J c) 43.8 m/s Ps5. a) sí b) 34.9 m

Capítulo 5

Capítulo 7

P3. El automóvil más rápido experimenta el mayor cambio en la velocidad. Al restar el vector de la velocidad inicial del de la velocidad final, la magnitud más grande de los vectores de la velocidad para el auto más rápido produce un ∆v mayor. P9. b) La dirección de la fuerza neta debe ser hacia el centro de la curva para producir la aceleración centrípeta. P15. No. Según la concepción de Ptolomeo, la Tierra fija era el centro del Sistema Solar y los demás cuerpos, incluido el Sol, se movían alrededor de ella. P21. Sí. Debe haber una fuerza neta que actúe sobre la Tierra para producir la aceleración centrípeta que precisa para seguir su trayectoria alrededor del Sol. P27. No. La Luna nueva ocurre cuando está en el mismo lado de la Tierra que el Sol. Sólo el lado de la Luna opuesto a la Tierra es iluminado por el Sol en ese caso. P33. No. La variación de la fuerza gravitacional respecto a la distancia produce la diferencia en fuerza por unidad de masa experimentada por el agua en la superficie de la Tierra y ejercida en el centro de la Tierra rígida.

P3. Sí. Como la cantidad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad, una velocidad mayor para la pelota de béisbol puede producir una cantidad de movimiento igual a la de una bola de boliche que se mueve más lento. P9. La bolsa de aire aumenta el tiempo implicado en el cambio en la cantidad de movimiento del pasajero. Como el impulso es el producto de la fuerza por el tiempo, se ejerce una fuerza menor sobre éste para producir el impulso necesario para cambiar su cantidad de movimiento. Una fuerza menor producirá lesiones menos severas. P15. No. Es la cantidad de movimiento total del sistema lo que se conserva. Los dos objetos pueden experimentar cambios de igual magnitud pero dirección opuesta en la cantidad de movimiento. P21. Sí, siempre que incluyamos el bote como parte del sistema que se considera. La cantidad de movimiento hacia delante del cañón se contrarrestará por la cantidad de movimiento del retroceso del cañón y del bote. P27. No. Parte de la energía se pierde; por tanto, la colisión es inelástica.

E1. 31.3 m/s2 E3. 1.0 m E5. 1.0 N E7. a) 18.2 m/s2 b)18.2 kN E9. 365/1 E11. 0.04 N E13. 0.56 N E15. 300 lb

E1. a) 12 N·s b) 12 kg·m/s E3. La bola de boliche E5. 4.8 N·s E7. a) 1080 N·s b) 2700 N E9. a) –7.5 kg·m/s b) –7.5 N·s E11. a) 0 b) –7.5 m/s E13. 20 000 kg·m/s E15. a) 2250 kJ b) 450 kJ c) no

PS1. a) 26.7 m/s2 b) 5.34 N c) 1.96 N PS3. a) 10.4 m/ s2 b) 9.36 kN c) 8.82 kN d) aproximadamente 9.1 kN e) no Ps5. a) 3.53 × 1022 N b) 2.01 × 1020 N c) 175/1, no d) 4.34 × 1020 N, sí

Capítulo 6 P3. a) Sí. El bloque se desplaza una distancia d por la influencia de la fuerza, así que ésta realiza trabajo.

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PS1. a) 12 kg·m/s b) sí c) 12 N·s d) 300N PS3. a) caso B b) caso B PS5. a) 30 000 kg·m/s, al sur b) 5 m/s, al sur c) 975 kJ d) 75 kJ e) no

Capítulo 8 P3. Sí. A medida que la moneda gana velocidad lineal mien-

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Apéndice D

Respuestas a preguntas, ejercicios y problemas de síntesis selectos

tras rueda hacia abajo por el plano inclinado también gana velocidad angular. Como ésta va en aumento, hay una aceleración angular. P9. La fuerza aplicada en el extremo del mango produce un mayor momento de torsión, ya que tiene un brazo de palanca más grande que la fuerza aplicada en la parte media del mango. P15. No. El centro de gravedad del lápiz debe localizarse en el fulcro para que el lápiz esté en equilibrio. Por consiguiente, el centro de gravedad está a dos tercios de distancia desde el extremo del lápiz. P21. Sí. La inercia rotacional depende de cómo se distribuye la masa en torno al eje de rotación; por tanto, la misma masa puede producir una inercia rotacional diferente si se distribuye de manera distinta. P27. La velocidad angular disminuirá. La masa adicional de la niña al saltar al tiovivo aumenta la inercia rotacional del sistema. Una inercia rotacional mayor implica una velocidad angular menor para que la cantidad de movimiento angular se conserve. P33. La cantidad de movimiento angular del trompo que gira proporciona estabilidad. Se requiere un momento de torsión neto para cambiar la dirección del vector de la cantidad de movimiento angular. El momento de torsión gravitacional en torno al punto de giro es cero o muy pequeño cuando el trompo está esencialmente vertical. E1. a) 0.167 rev/s b) 1.05 rad/s E3. a) 18.8 rad b) 4.7 rad/s E5. a) 4.8 rev/s b) 9.6 rev E7. a) 1.0 rev/s b) 2.5 rev E9. 15 cm E11. a) 96 N·m b) –60 N·m c) 36 N·m E13. 13.5 N·m E15. 0.1 kg·m2 E17. a) 0.08 kg·m2 b) 1.6 kg·m2/s PS1. a) 132 N·m b) 0.147 rad/s2 c) 2.2 rad/s d) –0.0133 rad/s2, 165 s PS3. a) 960 kg·m2, 2460 kg·m2 b) 1560 kg·m2 c) 1.89 rad/s d) sí

Capítulo 9 P3. La presión será mayor en el cilindro con el pistón de área más pequeña. La presión es igual a la fuerza por unidad de área; por tanto, un área menor produce una presión mayor para la misma fuerza. P9. Podría usarse agua, pero el barómetro tendría que ser mucho mayor que uno de mercurio debido a la densidad mucho menor del agua. Sin embargo, la columna de agua se movería mayores distancias para cambios pequeños en la presión, lo que produciría, por tanto, una medición más delicada. P15. El globo se expandirá. Una tormenta que se aproxima se asocia con una presión atmosférica menor que ejerce presión sobre el globo. Esto permite que el volumen de helio en éste aumente. P21. Sí. El agua salada tiene una densidad mayor que el agua dulce; por tanto, un objeto con una densidad intermedia entre la del agua salada y la del agua dulce flotaría en aquélla pero se hundiría en ésta. P27. No. El flujo turbulento se asocia con rapidez de flujo mayor; por tanto, disminuir la rapidez no producirá turbulencia.

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E1. 80 Pa E3. 1.25 lb/pulg.2 E5. a) 400 kPa b) 80 kN E7. 2250 Pa E9. 26.7 kPa E11. 500 kg/m3 E13. 1960 N E15. 0.5

PS1. a) 3.14 cm2, 491 cm2 b) 156/1 c) 13 720 N d) 88 N PS3.

a) 2.7 × 10–5 m3 b) 0.21 kg c) 2.06 N d) 0.26 N e) 1.8 N PS5. a) 50.3 cm2, 19.6 cm2 b) 3.85 m/s c) menor

Capítulo 10 P3. Sí. Cualquier sistema cuyas propiedades cambien con la temperatura podría, en principio, usarse como termómetro. P9. No, si ningún otro efecto está implicado, como el trabajo que se realiza en el sistema. El calor fluirá del cuerpo más caliente al más frío, lo que resultará en una temperatura intermedia para los dos objetos. P15. Sí. Al agitar el agua se realiza trabajo en el sistema, con lo que se aumenta su energía interna por la primera ley de la termodinámica. Esto resulta en un aumento en la temperatura. P21. La temperatura aumentará, ya que se realiza trabajo sobre el gas durante la compresión. Como no puede fluir calor hacia fuera del sistema en un proceso adiabático, la energía interna aumentará, lo cual resultará en un aumento en la temperatura. P27. El metal se siente más frío porque es un mejor conductor de calor. El calor fluirá con mayor facilidad de tu mano hacia un bloque de metal que a uno de madera, enfriando así tu mano. P33. La convección a través del fluido (líquido o gas) que fluye por los tubos colectores es el principal mecanismo de transporte de energía útil hacia fuera del colector. E1. 113º F E3. 297.2 K E5. a) 45º C b) 113º F E7. 2.23 kcal E9. 22º C E11. 838 J E13. 500 J E15. –700 J (fuera del sistema) E17. a) +600 J b) +1.43 Cº PS1. a) 90 Fº b) 50 K c) no PS3. a) 13.5 Kcal b) 3.75 kcal c) 17.25 kcal d) no Ps5. a) 2038 J b) 486 cal c) 1.2 Cº d) sí

Capítulo 11 P3. Se supone que el cambio en la energía interna de una máquina térmica es cero porque la máquina opera en ciclos, de forma que vuelve a su estado inicial al concluir cada ciclo. Como la máquina regresa a su estado inicial, no hay cambio en la energía interna. P9. No. La máquina mostrada infringe la segunda ley de la termodinámica porque elimina parte del calor de un depósito a una sola temperatura y lo convierte completamente en trabajo. El resto del calor eliminado se mantiene en el mismo depósito. P15. No. Aunque una bomba de calor puede considerarse una máquina térmica que opera en sentido inverso, se requieren distintos dispositivos para hacer que esto ocurra, ya que las máquinas térmicas reales no son completamente reversibles. P21. No. La máquina mostrada infringe la primera ley de la termodinámica porque la salida de energía es menor que la entrada de calor y trabajo.

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Respuestas a preguntas, ejercicios y problemas de síntesis selectos

P27. Las central nuclear y la eléctrica de carbón son centrales térmicas que utilizan máquinas térmicas para producir electricidad. En su forma usual, queman diferentes combustibles para calentar agua a fin de operar las turbinas de vapor. P33. Sí. Se trata de una máquina de movimiento perpetuo de segunda clase porque infringe el enunciado de Kelvin de la segunda ley de la termodinámica. E1. 40% E3. a) 300 J b) 33% E5. a) 900 J b) 44% E7. 59% E9. 450 J E11. 500 W E13. no PS1. a) 37.5 MJ b) 112.5 MJ PS3. a) 6.7% b) 13.4 J c) 187 J d) 14 PS5. a) 44.4% b) 35.5% c) 100 000 kW·h d) 282 000 kW·h e) 166 barriles

Capítulo 12 P3. La tela gana electrones que se transfieren de la barra de vidrio, porque ésta, al cargarse positivamente en el proceso de frotamiento, pierde electrones cargados negativamente. P9. No. El vidrio es un aislante, por lo que no permite a la carga fluir del electroscopio a tu cuerpo. El electroscopio no se descargará. P15. Sí. La fuerza de repulsión entre dos cargas produce un momento de torsión respecto al alambre delgado que soporta la barra, lo que ocasiona que el alambre gire. Este giro desarrolla un momento de torsión de restitución que regresa la barra a su posición original cuando se retira una carga. P27. La energía potencial aumenta. Para mover una carga negativa en la dirección del campo se necesita que una fuerza externa realice trabajo contra la fuerza electrostática, que tiene dirección opuesta a las líneas del campo para una carga negativa. E1. 3 × 1013 electrones E3. 4 µC por bola E5. 3 N E7. a) 1.8 N E9. 100 N, hacia abajo E11. 2.67 × 106 N/C, al este E13. 12.5 J E15. 20 kV PS1. a) 4.5 × 106 N b) 7.2 × 106 N c) 2.7 × 106 N, a la izquierda d) 1.35 × 108 N/C, a la izquierda e) 8.1 × 106 N, a la derecha PS5. a) –0.12 J b) hacia arriba c) hacia arriba d) 3.33 × 104 N/C

Capítulo 13 P3. No. La corriente que fluye alrededor de un circuito de una sola malla es la misma en cualquier punto de ésta. A menos que haya carga filtrándose o generándose en alguna parte, la corriente se conserva. P9. 10 000 V son mucho más peligrosos que 10 000 Ω. Una diferencia de potencial puede provocar que la corriente fluya hacia tu cuerpo, lo que quizá provoque resultados fatales. La resistencia (Ω), por otra parte, limita el flujo de corriente y no representa ningún peligro. El primer letrero es una broma de los físicos que a veces se ve en los laboratorios.

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P15. R3 tendrá la mayor diferencia de voltaje. R3 transporta la corriente más grande (la suma de las corrientes que pasan por R1 y R2) y también es el resistor más grande. El voltaje en el resistor es el producto de la corriente por la resistencia (∆V = IR). P21. No. La potencia eléctrica es la razón a la que se suministra o se usa la energía eléctrica. P27. La cafetera es el aparato con mayor probabilidad de ocasionar un problema. Tiene un elemento de calefacción, el cual toma más corriente que la rasuradora eléctrica o que el televisor. E1. 6 A E3. 0.25 A E5. 200 Ω E7. a) 0.12 A b) 4.8 V, 7.2 V E9. a) 0.1 A b) sí c) 2 V E11. 1 Ω E13. 13.5 W E15. a) 0.545 A b) 202 Ω E17. 25 A PS1. a) 4 Ω b) 125 mA c) 83.3 mA d) 125 mW e) mayor PS3. a) 42.9 mA b) 0.857 V c) 0.386 W d) carga PS5. a) 5.2 A, 10.4 A, 4.3 A b) sí c) 22 Ω

Capítulo 14 P3. Las dos fuerzas obedecen a reglas similares para la atracción y repulsión (polos o cargas iguales se repelen, polos o cargas parecidas se atraen). Además, ambas fuerzas disminuyen de manera proporcional al cuadrado inverso de la distancia a medida que ésta aumenta. P9. La aguja no debe desviarse mucho porque el campo magnético del alambre está dirigido hacia el norte y el alambre mismo tiene dirección este-oeste, en tanto que la aguja de la brújula ya está apuntando aproximadamente en esa dirección. P15. El campo magnético está dirigido de manera perpendicular hacia el plano de la espira. Esto se deduce a partir de la regla de la mano derecha para el campo producido por una corriente eléctrica. Todas las aportaciones al campo de cada parte del alambre están dirigidas hacia el centro de la espira. P21. No. La dirección de una corriente alterna se invierte a sí misma dos veces en cada ciclo, por lo que se elimina la necesidad del conmutador de anillo partido que se usa en un motor cd. P27. Sí. El flujo magnético cambia continuamente mientras la bobina gira debido a que el flujo que pasa por ella depende de su orientación respecto al campo. El flujo es cero cuando el plano de la bobina es paralelo al campo y tiene un valor máximo cuando el plano es perpendicular al campo. E1. 2.5 N E3. Un tercio del valor original. E5. 20 C E7. 0.3 N E9. 1.92 T·m2 E11. 24 V E13. a) step-up b) 440 V E15. 15 vueltas PS1. a) 2 × 10-4 N/m b) repulsiva c) 6 × 10-5 N d) 2 × 10-5 T e) en el plano de la página PS3. a) 0.0018 m2 b) 0.0432 T·m2 c) 0 d) 0.25 s e) 0.173 V

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Respuestas a preguntas, ejercicios y problemas de síntesis selectos

Capítulo 15 P3. El pulso de onda es longitudinal, ya que el movimiento de los vagones del ferrocarril está a lo largo de la misma línea (paralelo a) que el movimiento del pulso. P9. Es posible pero no es fácil producir una onda longitudinal en una cuerda. Cualquier cuerda tiene cierta elasticidad y se comporta un poco como un resorte muy rígido. No obstante, una onda longitudinal sería difícil de generar y de observar. P15. La interferencia será destructiva. La distancia mayor de media longitud de onda provoca que la onda en la cuerda más larga llegue a la unión medio ciclo después que la otra onda, y por consiguiente está exactamente fuera de fase con la onda en la cuerda más corta. P21. El aumento de la masa por unidad de longitud de la cuerda de guitarra produce una frecuencia menor pero no afecta la longitud de onda de la onda estacionaria. La masa por unidad de longitud más grande produce una rapidez de onda menor y, por tanto, una frecuencia menor para la misma onda estacionaria (v = f λ). P27. No. Debido al efecto Doppler, el observador a quien se aproxima el camión percibirá frecuencias mayores que las generadas por los instrumentos de la banda. A medida que el camión se aleja del observador, escucha frecuencias más bajas. P33. Dos notas separadas por una octava tienen mucho de los mismos armónicos altos. Usamos estos armónicos como ayuda en la identificación de una nota. E1. 0.5 Hz E3. 0.4 m E5. a) 2.5 Hz b) 4.8 m E7. a) 1.6 m b)75 Hz E9. 77.3 cm E11. a) 2 m b) 170 Hz E13. 264 Hz E15. 60 Hz E17. 220 Hz PS1. a) 0.3 kg/m b) 10 m/s c) 4.0 m d) 2 ciclos e) 0.8 s PS3. b) 80 cm c) 425 Hz d) 12.5 Hz de aumento PS5. a) 396 Hz b) 352 Hz c) 330 Hz d) 495 Hz e) 297 Hz f) 440 Hz

Capítulo 16 P3. Sí. Los campos eléctricos y magnéticos existen en el espacio vacío, así que una onda electromagnética compuesta de campos eléctricos y magnéticos cambiantes puede propagarse en el vacío. A diferencia de las ondas mecánicas, las electromagnéticas no requieren un medio de propagación. P9. La superficie se vería púrpura o magenta, según las cantidades de luz roja y azul reflejada. P15. Las dos ondas que se interfieren son las reflejadas desde la superficie superior de la película de aceite (en la interfase de aire/aceite) y las ondas reflejadas desde la parte inferior de la misma (en la interfase aceite/agua). P21. Una red de difracción es un dispositivo de interferencia de varias rendijas que sirve principalmente para medir y separar las diferentes longitudes de onda de la luz. Las redes se usan en los espectómetros y en instrumentos parecidos para el análisis de las ondas de luz.

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P27. El eje de transmisión de los lentes de sol polarizados debe estar en dirección vertical. Esto eliminará la mayor parte de la luz reflejada de las superficies horizontales (resplandor) debido a que está polarizado horizontalmente. E1. 3 × 1010 Hz E3. 5.77 × 1014 Hz E5. 2.5 mm E7. 6.6 cm E9. a) 1/2 la longitud de onda b) destructiva E11. 0.167 mm E13. a) 27.3 cm b) 54.6 cm PS1. a) 7.9 × 1014 Hz, 4.0 × 1014 Hz b) 2 × 108 m/s c) 253 nm, 500 nm PS3. a) 125 nm b) 250 nm c) no

Capítulo 17 P3. La luz se refleja en el espejo, así que los rayos de luz parecen divergir desde un punto detrás del espejo. La imagen virtual que vemos se ubica en ese punto. P9. El rayo se desvía hacia la normal a la superficie debido a que el índice de refracción del vidrio (el segundo medio) es mayor que el del agua. Las ondas de luz viajan más lentamente en el vidrio que en el agua. P15. Se debe a la refracción los colores del arco iris. Aunque tanto la reflexión como la refracción ocurren en las gotas de agua, la dispersión (variación del índice de refracción con la longitud de onda) es importante sólo para la refracción, no para la reflexión. P21. No. Los rayos de luz que convergen hacia el extremo alejado del punto focal de una lente negativa emergen desde la lente paralelos entre sí. No divergen ni convergen. P27. Las imágenes están a una distancia corta detrás del espejo lateral convexo. Sin embargo, a diferencia de las imágenes formadas por un espejo plano, estas imágenes se reducen mucho en tamaño comparadas con el tamaño real de los objetos. Para objetos de tamaño conocido, nuestros cerebros hacen juicios de distancia con base en el tamaño pequeño de las imágenes, lo cual hace que éstas parezcan estar más lejos. P33. No. La lente objetivo de un microscopio debe tener una distancia focal muy corta para amplificar objetos pequeños colocados muy cerca de ella. Un telescopio, por otra parte, debe tener una lente objetivo con una distancia focal mayor que la lente ocular a fin de producir una amplificación angular. E1. 1.8 m, 6 m E3. 32 cm E5. a) 8 cm b) real, invertido E7. 3.43 cm E9. a) –4 cm b) 2 E11. a) +15 cm b) real invertido E13. a) –50 cm b) 30 cm E15. a) 1.11 m b) –0.11 E17. 50 cm PS1. a) 6.77 cm b) 7.17 cm c) 4.78 cm PS3. a) 15 cm b) –1.5 d) 12 cm, –2 e) 3 PS5. a) 4.0 cm b) –4 c) –10 cm d) 5 e) –20

Capítulo 18 P3. Cuando una sustancia que contiene compuestos de carbo-no se quema, el gas oxígeno del aire reacciona con los compuestos para producir bióxido de carbono (un gas), así como una ceniza sólida y con frecuencia vapor de agua, el cual también es un gas. Los gases pueden ser difíciles de capturar y pesar.

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P9. No. Aunque los X se producen mediante un tubo de rayos catódicos, el haz mismo de rayos catódicos se compone de partículas diminutas cargadas negativamente que ahora llamamos electrones. P15. Había tres tipos de radiación (rayos alfa, beta y gamma) que despedían los materiales que contenían uranio y torio. Los rayos alfa y beta resultaron ser partículas cargadas, en tanto que los rayos gamma eran radiación electromagnética con energías mayores que las de los rayos X. P21. No. Un electrón tiene una masa diminuta comparada con una partícula alfa, la cual es el núcleo de un átomo de helio. Por consiguiente, un electrón tiene muy poco efecto sobre una partícula alfa que se mueve con rapidez. P27. Sí. De acuerdo con la mecánica cuántica, una partícula como un electrón se caracteriza por una longitud de onda dada por la relación de De Broglie λ = h/p. Por tanto, la longitud de onda depende de la cantidad de movimiento p de la partícula.

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146, 92; 1.58, 1.54, 1.59; proporción media = 1.57/1 PS3. a) 0.003 51 u b) 5.25 × 10–13 J c) sí

Capítulo 20

PS1. a) hacia arriba b) 15 000 N/C c) 2.4 × 10–15 N d) 2.64 × 1015 m/s2 e) trayectoria de flexión hacia arriba PS3. a) 13.6 eV b) 3.4 eV c) 91.3 nm

P3. La velocidad del avión respecto al suelo será mayor que su velocidad respecto al aire. Como el aire se mueve en la misma dirección que el avión, la velocidad del aire se suma directamente con la velocidad del avión respecto al aire. P9. Sí. Las ondas de luz podían viajar por un vacío, de modo que se supuso que el éter existía en el vacío. P15. El observador A mide el tiempo más largo. El observador B mide el tiempo propio para el movimiento de las piezas, pues tiene lugar en un solo punto en su marco de referencia. El observador A mide un tiempo dilatado (más largo). P21. La expresión relativista para la cantidad de movimiento es válida a cualquier rapidez. Sin embargo, el término de corrección γ estaría muy cerca de 1.0 a baja rapidez, de modo que las expresiones clásica y relativista en esencia son iguales a rapidez ordinaria. P27. No. De acuerdo con el principio de equivalencia de Einstein, es imposible distinguir una aceleración de tu marco de referencia de los efectos gravitacionales.

Capítulo 19

E1. 7 m/s E3. 0.5 m/s E5. c = 3 × 108 m/s E7. 3.75 min E9. 49.75 m E11. 2 × 1012 kg·m/s

E1. 23/8 = 2.88/1 E3. 19 E5. 1835 E7. 2 × 1018 Hz E9. 103 nm, no E11. a) 5.43 × 1014 Hz b) 552 nm

P3. Sí. Los diferentes isótopos del mismo elemento tienen masas distintas debido a que el número de neutrones en el núcleo es distinto. Las propiedades químicas que definen al elemento están determinadas por el número atómico, no por el número de neutrones. P9. El número atómico del elemento hija es mayor que el del isótopo original para el decaimiento beta normal, en el que se emite un electrón cargado negativamente. Uno de los neutrones en el núcleo cambia a un protón, con lo que aumenta el número atómico en uno. Si se emite un positrón, el número atómico disminuye en uno. P15. La energía liberada por átomo en una reacción química es mucho menor que la energía liberada en una reacción nuclear. La energía liberada por átomo en una reacción nuclear típica es alrededor de un millón de veces más grande que la de una reacción química. P21. Las barras de control absorben neutrones. Su función es volver más lenta la razón de reacción general cuando se insertan, ya que absorben algunos neutrones que de lo contrario podrían desencadenar reacciones de fisión adicionales. P27. Los reactores nucleares construidos en Handford durante la Segunda Guerra Mundial se desarrollaron para producir plutonio 239, que es fisionable y podía usarse para producir armas nucleares. E1. 12 E3. aluminio, 13Al27 E5. 88Ra228 E7. 6C13 E9. 6 días E11. 42Mo102 PS1. a) 6,6; 7,7; 8,8 b) 1.0/1 c) 61, 47; 64, 48; 66, 49 d) 1.30, 1.33, 1.35; proporción media = 1.33/1 e) 142, 90; 140, 91;

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PS1. b) 6.71 m/s c) 8 s d) 24 m e) 53.7 m PS3. b) 80.4 yr c) 8.04 años d) 8 años luz e) 72.4 años

Capítulo 21 P3. No. Los quarks son constituyentes de mesones y bariones, y estos últimos incluyen protones y neutrones. Los electrones son leptones y, hasta donde sabemos, los leptones no tienen subpartículas o constituyentes más fundamentales. P9. Sí. Nuestro Sol forma parte de la galaxia Vía Láctea, que contiene un enorme número de otras estrellas. Parte de la Vía Láctea es visible en una noche clara como una banda blanca a través del cielo. P15. El dopado con galio hace el silicio un semiconductor tipo p. El galio tiene tres electrones exteriores que pueden participar en enlaces con átomos de silicio. Esto deja un hueco (ausencia de un electrón) en uno de los cuatro enlaces formados por átomos de silicio. El hueco puede migrar y comportarse como un portador de carga positiva. P21. No. Las computadoras electrónicas originales se desarrollaron antes que los transistores se hubieran inventado, de modo que empleaban tubos de vacío (bulbos) voluminosos para las funciones de conmutación que ahora realizan los transistores en los circuitos integrados. P27. No. Los imanes superconductores usados en resonancia magnética y otras aplicaciones deben enfriarse con nitrógeno líquido para alcanzar la temperatura a la que las bobinas se vuelven superconductoras. Aún no se desarrollan materiales que sean superconductores a temperatura ambiente.

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E1. 500 s E3. a) 111 b) 1111 Ps1. a) 3.15 × 107 s b) 9.45 × 1015 m c) 3.78 × 1016 m d) 40 años

Apéndice A 1. a = F/m 3. d = d – c 5. d = a – bc 7. b = a/(c – d) x 1 9. b = c – d – a 11. b = dt/(a + c) 13. v0 = t − 2 (at)

c) 108 d) 85.2 9. a) 5.475 × 103 b) 2 × 105 c) 6.7 × 104 d) 3.5 × 1010 11. a) 6.5 × 10–3 b) 3.33 × 10–4 c) 1.5 × 10–6 d) 6.5 × 10–8 13. a) 0.006 7 b) 0.000 18 c) 0.000 005 77 d) 0.000 032 5 15. a) 6 × 109 b) 2.4 × 105 c) 1.8 × 103 d) 1.8 × 1018

Apéndice C 1. 36 m, 56º al norte del este 3. 6.6 m/s2, 17º al norte del este 5. 36 m, 56º al norte del oeste 7. 31 m/s, 55º al sur del oeste 9. 17.3 m/s, 10 m/s 11. –10.3 N, +28.2 N

Apéndice B 1. a) 0.6 b) 0.52 c) 0.874 d) 0.0005 3. a) 0.25 b) 0.625 c) 0.308 d) 0.341 5. a) 25% b) 62.5% c) 30.8% d) 34.1% 7. a) 52.5 b) 36

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créditos fotográficos Créditos fotográficos Introducción a las unidades 1: © Bill Sanderson/Photo Researchers; 2: © Colin Grant/CORBIS; 3: © J. A. Kraulis/Masterfile; 4: © Dan Coffey/Getty Images; 5: © PhotoDisc/Getty Images; 6: NASA y S. Gallagher (Universidad Estatal de Pensilvania). Capítulo 1 Introducción: © Sandia National Laboratories/SPL/ Photo Researchers; 1.1: © Craig Tuttle/CORBIS; 1.2: © Universidad Hebrea de Jerusalén, Albert Einstein representado por Roger Richman Agency, Inc. Beverly Hills, California 90212, www.hollywoodlegends.com. Esta foto es cortesía de la biblioteca Neils Bohr del Instituto Americano de Física; 1.4: © Chad Ehlers/Getty Images; 1.5: © NASA/SS/Photo Researchers; 1.6: © Astrid & Hanns Frieder/SS/Photo Researchers; 1.7: © Jean Collombet/SPL/Photo Researchers. Capítulo 2 Introducción: © Lloyd W. Black; 2.13: © Michelle Mauser; cuadro 2.2: © Fred Roe/Fundamental Photographs. Capítulo 3 Introducción: © Royalty-Free Image/CORBIS; 3.1: © Tony Freeman/PhotoEdit; 3.2: © David YoungWolff/Photo Edit; 3.3: © Richard Megna/Fundamental Photographs; 3.5: © Tony Freeman/PhotoEdit; 3.16: © Richard Megna/Fundamental Photographs. Capítulo 4 Introducción: © Alan Tannenbaum/Image Works; 4.1: © Tony Freeman/PhotoEdit; 4.3: © National Portrait Gallery/SuperStock. Capítulo 5 Introducción: NASA; 5.1: © Richard B. Dipplod/ Unicorn Photos; 5.2: © Lucinda Dowell; 5.7: © Takeshi Takahara/Photo Researchers; Cuadro 5.1: © Richard Olivier/CORBIS; 5.10: © Mary Evans/Photo Researchers; 5.14: © Topham Pictures/Image Works; 5.22: (centro) © Bob Daemmrich/Image Works; (izquierda): © Joe Sohm/Image Works; (derecha): © Tony Freeman/PhotoEdit. Capítulo 6 Introducción: © Richard Megna/Fundamental Photographs; 6.1: © Tony Freeman/PhotoEdit; 6.2:© The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; Cuadro 6.1: © Bob Daemmrich/Image Works.

Capítulo 7 Introducción: © Richard Megna/Fundamental Photographs; 7.1: © Brian Drake/Photri-Mictostock; 7.3: © Russ Kinne/Comstock; 7.5: © Stephen Marks/ Getty Images; 7.16: © Charles D. Winters/Photo Researchers; 7.19: © Richard Megna/Fundamental Photographs. Capítulo 8 Introducción: © Brad Wrobleski/Masterfile; 8.1: © Lloyd W, Black; 8.5, 8.6, 8.7, página 148, 8.10 (ambas): © The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; 8.12: © David Young-Wolff/Photo Edit; 8.14: © The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; 8.16 (ambas): © Vandystadt/ Allsport; 8.17: © The McGraw-Hill Companies, Inc./ James Ballard, fotógrafo; cuadro 8.1: © Lawrence Migdale/Stock Boston; 8.21: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Bob Coyle, fotógrafo; 8.23 (ambas): © The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; cuadro 8.2: © Chris Hammond/ PhotoFind. Capítulo 9 Introducción: © PhotoDisc/Getty Images; 9.1 (izquierda): © Anna Zuckerman-Vdovenko/PhotoEdit; 9.1 (derecha): © Chris Luneski/Image Cascade; 9.6: © Match York/Getty Images; cuadro 9.1: © Michael Newman/PhotoEdit; 9.8: © The Granger Collection; 9.14: © Tony Freeman/PhotoEdit; 9.16 (superior): © R. Krubner/Armstrong Roberts; 9.16 (inferior): © Russ Kinne/Comstock; 9.21: © Pablo Paul/Alamy; 9.22: NASA; 9.24, 9.26: © Tony Freeman/PhotoEdit; cuadro 9.2: © Donald Deitz/Stock Boston; resumen 9: © Tony Freeman/PhotoEdit. Capítulo 10 Introducción: © Tony Freeman/PhotoEdit; 10.1: © The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; 10.2, 10.3, 10.7: © Tony Freeman/PhotoEdit; 10.10: © Tom Pantages; 10.11: © The Granger Collection; 10.14 (ambas): © The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; 10.17: © Tony Freeman/PhotoEdit; 10.19: © The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo. Capítulo 11 Introducción: © David Arky/CORBIS; 11.1: © Tony Freeman/PhotoEdit; 11.5: © Tom Pantages; 11.11: © Patrick Watson; 11.16: © John Zoiner/Peter Arnold; 11.17: © Tom Myers/Photo Researchers; 11.18: © Tony Freeman/PhotoEdit.

Capítulo 12 Introducción: © Royalty-Free/CORBIS; 12.1: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Bob Coyle, fotógrafo; 12.2, 12.3, 12.4, 12.7, 12.8: © The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; 12.10: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Lars A. Niki, fotógrafo; 12.12: © The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; cuadro 12.1: © Deeks-Barber/Photo Researchers. Capítulo 13 Introducción: © Lloyd W. Black; 13.1: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Bob Coyle, fotógrafo; 13.11: © Tom Pantages; cuadro 13.2: © The McGrawHill Companies, Inc./Bob Coyle, fotógrafo. Capítulo 14 Introducción: © Cordelia Molloy/Photo Researchers; 14.1, 14.2: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Bob Coyle, fotógrafo; 14.4, 14.5: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Lars A. Niki, fotógrafo; cuadro 14.2: © Tony Freeman/PhotoEdit; 14.23: © The McGrawHill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; 14.25 (superior, ambas): © Mark Antman/Image Works; (inferior): © Tony Freeman/PhotoEdit. Capítulo 15 Introducción: © Lloyd W. Black; 15.1: © Felicia Martinez/PhotoEdit; 15.14: © Tony Freeman/ PhotoEdit; 15.18: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Bob Coyle, fotógrafo. Capítulo 16 Introducción: © Sinclair Stammers/Photo Researchers; 16.1: © Chris Hammond/PhotoFind; 16.9: © Fundamental Photographs; 16.15: © Yoav Levy/Photo Researchers; 16.16: © Chris Hammond/PhotoFind; cuadros 16.2, 16.19, 16.20: © Tom Pantages; 16.21: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Michelle Mauser, fotógrafa; 16.25: © Paul Silverman/Fundamental Photographs; 16.26: © Diane Kirsch/Fundamental Photographs; resumen 16: © Tom Pantages. Capítulo 17 Introducción: © The Exploratorium, fotografía tomada por Nancy Rodger; 17.1: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Bob Coyle, fotógrafo; 17.10: © C. P. Hammond/PhotoFind; cuadro 17.1: © PhotoDisc/ Getty Images; 17.14: © David Parker/SPL/SS/Photo Researchers; 17.28: © The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; 17.31: © The McGrawHill Companies, Inc./Bob Coyle, fotógrafo.

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Créditos fotográficos

Capítulo 18 Introducción: © Richard Megna/Fundamental Photographs; 18.1: © Michael Gilbert/SPL/Photo Researchers; 18.2: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Lars A. Niki, fotógrafo; 18.3: © Marlene Ferguson Cate/PhotoEdit; cuadro 18.2: © Spencer Grant/Photo Researchers; 18.10: © Bettmann/CORBIS; 18.11: © The McGraw-Hill Companies, Inc./James Ballard, fotógrafo; 18.16: © Richard Megna/Fundamental Photographs. Capítulo 19 Introducción: © Richard Megna/Fundamental Photographs; 19.1: © R. Dahlquist/SuperStock; 19.17:

Griffith creditos 498

cortesía de GE Nuclear Energy, San José, California; cuadro 19.2 (ambas): © Tass/Sovfoto; 19.22: cortesía de la Universidad de Princeton, Plasma Physics Laboratory. Capítulo 20 Introducción: NASA; 20.2: © Tony Freeman/ PhotoEdit; 20.16: © Richard Megna/Fundamental Photographs; 20.22: © Tony Freeman/PhotoEdit. Capítulo 21 Introducción: © Richard Megna/Fundamental Photographs; 21.1 (recuadro): © Shelly Katz; 21.3: © David Parker/SPL/Photo Researchers; 21.6: ©

Chris Bjornberg/Photo Researchers; 21.7: © Ronald Boyer/SPL/Photo Researchers; 21.13: © The McGrawHill Companies, Inc./Bob Coyle, fotógrafo; 21.14: © Michael Abbey/SS/Photo Researchers; 21.15: © David Parker/SPL/Photo Researchers; 21.16: © PhotoEdit; 21.19: © H. R. Bramaz/Peter Arnold; 21.21: © Royalty-Free/CORBIS; cuadro 21.1 (ambas): © The McGraw-Hill Companies, Inc./Bob Coyle, fotógrafo; resumen 21: © Chris Bjornberg/Photo Researchers. Arte lineal, capítulo 15 Figura 15.23: de University Physics por Sanny y Moebs, © 1996, WCB, fig. 17.3, pág. 310.

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glosario absorción selectiva Proceso en el que algunas longitudes de onda de la luz son absorbidas más que otras. aceleración Razón de cambio de la velocidad. aceleración centrípeta Razón de cambio de dirección de la velocidad de un cuerpo en una trayectoria sesgada o circular. La aceleración centrípeta siempre es perpendicular al vector de velocidad y está dirigida hacia el centro de la curva. aceleración debida a la gravedad Aceleración uniforme de un cuerpo en un campo gravitacional, g = 9.8 m/s2 cerca de la superficie de la Tierra (también llamada aceleración gravitacional). aceleración gravitacional Véase aceleración debida a la gravedad. aceleración instantánea Razón a la que la velocidad está cambiando en cierto momento en el tiempo. aceleración media Cambio en la velocidad dividido entre el tiempo requerido para producir ese cambio, a = ∆v/t. aceleración rotacional Razón de cambio de la velocidad rotacional. aceleración uniforme Aceleración con una razón estacionaria de cambio en la velocidad, el tipo más simple de movimiento de aceleración. acelerador Uno de varios tipos de dispositivos usados en el estudio de las partículas subatómicas que acelera éstas a altas velocidades, con lo que hace que choquen entre sí y, de ser posible, se separen en partículas desconocidas antes. adiabático Adjetivo que describe un cambio o proceso termodinámico sin ganancia o pérdida de calor. afinación justa Sistema de afinación basado en las razones de frecuencia ideales entre las notas. agujero negro Una estrella enorme colapsada con un campo gravitacional muy fuerte que permite que la luz entre pero no que salga, por lo cual absorbe la luz perfectamente.

aislante Material que en general no permite un flujo de carga por él. amperímetro Instrumento para medir la corriente eléctrica. ampliación Razón de la altura de una imagen producida por un instrumento o lentes respecto a la altura real del objeto. La imagen puede agrandarse o reducirse. En la ampliación negativa, la imagen se invierte. amplitud Desplazamiento máximo a partir del punto de equilibrio, por ejemplo en el movimiento de un péndulo. análisis armónico Separación de una onda compleja en sus componentes de onda senoidal más simples. ánodo Electrodo positivo. antinodo Punto, o puntos, en una onda estacionaria con la mayor amplitud. antipartícula Partícula elemental con algunas propiedades, como la carga eléctrica, opuestas a las de la partícula correspondiente. La antipartícula de un electrón, por ejemplo, es un positrón. Cuando estas dos partículas interactúan, se aniquilan entre sí. apertura Abertura, en especial la que permite que entre luz en una cámara o algún otro instrumento óptico. arco Parte de la circunferencia de un círculo o de otra línea curva. armónico simple, movimiento Movimiento de un sistema cuya energía cambia uniformemente de energía potencial a cinética y vuelve a su estado anterior. El movimiento es simétrico respecto al punto de equilibrio y se grafica como una curva senoidal (seno). átomo De la palabra griega usada para indivisible; se trata de la partícula más pequeña de un elemento, que ahora se sabe está constituida por un núcleo rodeado por uno o más electrones. aumento angular Amplificación de un objeto al acercarlo (o su imagen) al ojo; por tanto, formación de una imagen más grande en la retina del ojo.

autoinducción Voltaje inducido en la misma bobina que produce el cambio del flujo magnético. barión La más pesada de las partículas subatómicas, por ejemplo, que los neutrones y los protones. barómetro Instrumento, originalmente un tubo que contiene una columna de mercurio, para medir la presión atmosférica. barras de control Barras que pueden insertarse o retirarse del centro de un reactor nuclear para mantener una razón de reacción deseada. Las barras están hechas de una sustancia que absorbe neutrones; el boro es la más común. batería Celdas que producen electricidad por medio de una reacción química entre electrodos de diferentes materiales separados por una solución química. Big Bang Teoría que explica el principio del Universo hace 10 a 20 mil de millones de años a partir de una expansión, que aún continúa, de un volumen sumamente denso. birrefringencia Proceso (también llamado doble refracción) en el que la luz de diversas polarizaciones se desplaza a diferente rapidez en direcciones distintas dentro de un material. bit Contracción del inglés binary digit; un bit es el par de opciones, 0 o 1, en un número binario simple. Es la unidad básica para almacenar información digitalizada en una computadora. Ocho bits forman un byte. bomba de calor El opuesto de una máquina térmica; mueve el calor de un depósito más frío a uno más caliente por medio del trabajo proporcionado por una fuente externa. El refrigerador es el ejemplo mejor conocido. brazo de palanca Distancia perpendicular del fulcro a la línea de acción de la fuerza; un componente del momento de torsión. luz En general, parte visible del espectro electromagnético, aunque la luz a veces también se usa para hacer referencia a otras ondas electromagnéticas.

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caída libre Movimiento de un cuerpo que cae afectado sólo por la aceleración debida a la gravedad. calor Energía que fluye de un cuerpo a otro o a los alrededores cuando regiones de diferentes temperaturas están implicadas. calor de alto grado Calor a temperaturas de alrededor de 500° C o superiores que puede usarse para hacer funcionar máquinas térmicas que producen trabajo mecánico o energía eléctrica. calor de bajo grado Calor a temperaturas de alrededor de 100° C o inferiores cuyo mejor uso es en los sistemas de calefacción de casas o edificios. calor latente Cantidad de calor necesario para producir un cambio de fase sin un cambio en la temperatura. El calor latente de fusión funde una sustancia, y el calor latente de vaporización la convierte en un gas. calórico Fluido invisible que se creyó iba de un cuerpo caliente a otro más frío. Esta idea ya no se considera válida. cámara de burbujas Dispositivo que se llena con un líquido transparente calentado un poco más de su punto de ebullición. Una partícula en movimiento en una cámara de burbujas deja un rastro distintivo de burbujas a su paso, el cual se fotografía para su estudio posterior. cámara de niebla Dispositivo que contiene aire u otro gas saturado con vapor de agua. La cámara se enfría de manera que se forme niebla en una partícula y luego se ilumina su rastro para estudiarlo. cambio de estado Proceso de una sustancia que va de un estado físico —sólido, líquido o gaseoso— a otro. También llamado cambio de fase. campo eléctrico Fuerza eléctrica por unidad de carga positiva ejercida en una carga si estuviera colocada en ese punto. Es una propiedad del espacio que rodea una distribución de cargas eléctricas. campo magnético Fuerza magnética por unidad de carga y unidad de velocidad. Es una propiedad del espacio en la región que rodea las cargas en movimiento o un imán. cantidad de movimiento angular Equivalente rotacional de la cantidad de movimiento lineal, que se obtiene multiplicando la inercia rotacional I por la velocidad rotacional ω, o L = Iω. La cantidad de movimiento angular ayuda a explicar las órbitas de los planetas, los giros de los patinadores en hielo y el giro de las partículas subatómicas. También llamada cantidad de movimiento rotacional. cantidad vectorial Cualquier cantidad, como la velocidad o una fuerza, para la cual tanto la magnitud como la dirección son necesarias para una descripción completa.

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caos Condición de imprevisible o de inestabilidad. Un sistema es caótico si es inestable o impredecible: el clima con frecuencia es caótico. capa Agrupamiento de órbitas de electrones respecto al núcleo atómico definido por niveles de energía similares. Cada capa acomoda un cierto número de electrones. capacidad calorífica específica Propiedad de un material que es la cantidad de calor necesaria para cambiar una unidad de masa por una unidad de temperatura (por ejemplo, cambiar 1 g de una sustancia 1º C). capacitor Dispositivo para almacenar carga eléctrica. carga eléctrica Propiedad electromagnética de un cuerpo que produce la fuerza electrostática. La transferencia de electrones hacia o desde un cuerpo lo vuelve eléctricamente positivo o negativo. cátodo Electrodo negativo. centro de gravedad Punto de un cuerpo en el que su peso no ejerce ningún momento de torsión neto y el cuerpo entrará en equilibrio. cero absoluto La temperatura más baja posible, 0 K (kelvin) o –273 °C, punto en que un gas no tendría presión ni movimiento molecular. ciclo de Carnot Ciclo ideal reversible ideado por Carnot que es el modelo de un máquina térmica con la máxima eficiencia. El ciclo consta de cuatro pasos, dos isotérmicos y dos adiabáticos. circuito Trayectoria cerrada o completa para una corriente eléctrica. circuito en paralelo Circuito con elementos conectados por más de una ruta de modo que la corriente se divide y se vuelve a unir. circuito en serie Circuito conectado en una sola espira, de modo que la corriente pasa sucesivamente por cada componente . circuito integrado Muchos transistores, diodos, resistores y conexiones eléctricas todos integrados en un solo chip diminuto de material semiconductor. colisión elástica Colisión en la que no se pierde energía. Los cuerpos rebotan alejándose entre sí. colisión inelástica Colisión en la que se pierde cierta energía cinética. En una colisión parcialmente inelástica, los cuerpos se separan. Una colisión perfectamente inelástica es una en la que los cuerpos no se separan después de chocar. La mayor parte de la energía se pierde en este tipo de colisión. colisión parcialmente inelástica Colisión en la que parte de la energía se pierde, pero los cuerpos no permanecen unidos después de ella. colisión perfectamente inelástica Colisión en la que la mayor parte de energía se pier-

de. Los cuerpos no rebotan en lo absoluto sino que se quedan unidos después de ella. colisionador Un tipo de acelerador de partículas diseñado para provocar la circulación de rayos de alta energía a fin de que colisionen, produciendo así partículas nuevas para su estudio. combustión Combinación rápida de oxígeno con un combustible; arder. conducción (térmica) Capacidad del calor para fluir por un material cuando cuerpos con diferentes temperaturas entran en contacto. conductividad Capacidad de un material para transportar la corriente eléctrica. conductividad térmica Propiedad de una sustancia que determina a qué rapidez conduce el calor. Los metales son mejores conductores que la madera o el plástico. conductor Material que permite que la carga fluya fácilmente. constante de Boltzmann Constante universal k que relaciona la temperatura, la presión y el volumen de un gas bajo la ley de los gases ideales. La constante de Boltzmann también se aplica a otros sistemas. constante de gravitación universal Constante G igual a 6.67 × 10–11 N·m2/kg2. Como esta constante es tan pequeña, las fuerzas gravitacionales entre los cuerpos de tamaño normal casi son imperceptibles. constante de Planck Constante h que determina el tamaño de un cuanto de energía de luz para cierta frecuencia, según se resume en la ecuación E = hf. constante de resorte Constante que describe la relación entre cuán lejos se estira o desplaza un resorte y cuánta fuerza se requiere para hacer el estiramiento: un resorte estirado tiene una constante de resorte grande. constante de Rydberg Constante usada en el cálculo de las longitudes de onda y las líneas del espectro atómico, en particular para el hidrógeno. continuo espacio-tiempo Marco de trabajo de cuatro dimensiones para describir un suceso que reconoce que las tres dimensiones del espacio y el tiempo no son independientes entre sí y que el espacio es curvo. contracción de la longitud Efecto de la relatividad: un cuerpo que se mueve a gran rapidez se acorta comparado con su longitud en reposo. convección Transferencia de calor por medio del movimiento o la circulación de un fluido (gas o líquido) que contiene energía térmica. corriente alterna (ca) Corriente eléctrica que invierte continuamente su dirección. La corriente que se usa en Norteamérica a 60 Hz (60 ciclos hacia delante y hacia atrás

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Glosario por segundo) y tiene un voltaje efectivo de 115V. corriente directa (cd) Corriente eléctrica que fluye en una sola dirección. corriente eléctrica Razón de flujo de la carga eléctrica. corrimiento al rojo gravitacional Alargamiento en la longitud de onda de la luz hacia el extremo rojo del espectro a medida que los fotones se mueven por un campo gravitacional fuerte. cosmología Estudio de la estructura y los orígenes del Universo. crítico En la descripción de reactores nucleares, estado en cada reacción de fisión produce otra reacción de fisión, lo que conduce a una reacción en cadena. Si cada reacción produce más de una reacción, el reactor es supercrítico. Si produce menos reacciones, es subcrítico. cuantización División en las cantidades discretas más pequeñas posibles (cuantos) de energía o masa. cuanto Cantidad más pequeña de energía o masa de un tipo particular. Por ejemplo, un fotón es un cuanto de luz. cuerpo negro Cualquier cuerpo que absorbe toda la radiación que incide sobre él, lo que le hace aparecer totalmente negro. También es un instrumento con un agujero o cavidad (oscuro a temperatura ambiente) que, cuando se calienta, emite un espectro basado en la temperatura y no en la composición del material. curva senoidal Gráfica de la función trigonométrica seno que ilustra el movimiento armónico simple. La gráfica de la corriente alterna es una curva senoidal. También llamada curva seno. decaimiento (o crecimiento) exponencial Decaimiento (o crecimiento) a una razón de disminución (o aumento) respecto al tiempo, el cual se grafica como una curva exponencial. decaimiento alfa Véase decaimiento radiactivo. decaimiento beta Véase decaimiento radiactivo. decaimiento gamma Véase decaimiento radiactivo. decaimiento radiactivo Cambio de un elemento en otro elemento o estado como resultado de los cambios en su núcleo atómico inestable. Hay tres tipos de decaimiento, que reciben su nombre según sus emisiones radiactivas: alfa (iones de helio), beta (electrones) y gamma (rayos X). Cualquier núcleo con más de 82 protones (el número en el plomo) es inherentemente inestable. densidad Masa por unidad de volumen. desplazamiento Distancia lineal o angular de un cuerpo que se mueve desde su posi-

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ción original. También, cantidad de fluido desplazado por un cuerpo que flota o está sumergido. desplazamiento lineal Vector que representa qué distancia, y en qué dirección, se ha movido un cuerpo. desplazamiento rotacional Medida angular de qué distancia ha rotado un cuerpo, comúnmente expresada en radianes. diagrama de cuerpo libre Un dibujo de uso común en la física que identifica las interacciones y direcciones de las fuerzas sobre los cuerpos. difracción Interferencia de la luz y otras ondas que llegan desde diferentes partes de la misma ranura o abertura. dilatación del tiempo Efecto de la relatividad en el que el observador de un cuerpo que se mueve sumamente rápido experimenta un lapso más largo que un observador que se mueve con el cuerpo. diodo Dispositivo electrónico que permite que la corriente eléctrica fluya sólo en una dirección. dipolo Objeto con áreas separadas (polarizadas) positiva y negativa. En un dipolo eléctrico, la carga eléctrica se separa en regiones positiva y negativa. Los dipolos magnéticos tienen dos polos magnéticos, con frecuencia rotulados N y S. Todos los imanes tienen al menos dos polos. dipolo eléctrico Consta de dos cargas eléctricas de igual magnitud opuestas en signo y separadas por una pequeña distancia. dipolo magnético Consiste en dos polos magnéticos iguales, norte y sur, separados por una pequeña distancia, equivalentes en sus efectos magnéticos a una espira de corriente eléctrica. dispersión Proceso en el que la luz se absorbe y luego se vuelve a emitir en distintas direcciones. dispersión Variación del índice de refracción de una sustancia transparente con la longitud de onda. En un prisma, esto resulta en la separación de la luz en sus longitudes de onda, lo que produce su descomposición en distintos colores. dopado Adición de pequeñas cantidades de una sustancia a un semiconductor para mejorar, adaptar o alterar sus propiedades. eclipse Paso de un planeta por la sombra de otro planeta. En un eclipse lunar, la Luna entra en la sombra de la Tierra. En un eclipse solar, la Tierra entra en la sombra de la Luna. ecuación del estado Ecuación que proporciona la relación termodinámica entre la presión, el volumen y la temperatura de un tipo específico de sistema. efecto Doppler Cambio en la frecuencia detectada de una onda debido al movimiento de la fuente o del observador.

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efecto invernadero Fenómeno en el cual la radiación a longitudes de onda largas (calor) queda atrapada en un sistema como un invernadero o estacionamiento. La liberación de gases como dióxido de carbono en la atmósfera puede conducir a un resultado parecido, ya que aumenta la temperatura de la Tierra y desemboca a cambios en el clima. eficiencia Razón de trabajo que produce una máquina a la entrada de energía calorífica, en general dada como un porcentaje. eficiencia de Carnot Eficiencia de un máquina térmica ideal, o eficiencia máxima posible de un máquina térmica que opera entre dos temperaturas específicas. eje Recta imaginaria que atraviesa un objeto, alrededor de la cual éste puede rotar. electricidad estática Efectos eléctricos producidos por cuerpos cargados que no dependen del movimiento de las cargas. electricidad y magnetismo Subcampo de la física que estudia las fuerzas eléctricas y magnéticas y la corriente eléctrica. electroimán Bobina de alambre que transporta corriente con un núcleo de hierro cuyo campo magnético es producido por la corriente eléctrica. electromagnetismo Estudio de fenómenos relacionado con la electricidad, el magnetismo, los campos eléctricos y los campos magnéticos, aspectos todos ellos de la fuerza electromagnética. electrón Partículas muy pequeñas cargadas negativamente presentes en todos los átomos. electrónica de estado sólido Circuitos electrónicos que contienen dispositivos semiconductores –por ejemplo, transistores que controlan la corriente sin depender de partes que se mueven o tubos de vacío. elemento Sustancia química básica que se compone de átomos de un tipo determinado. elipse Curva ovalada con dos focos, por ejemplo la forma de las órbitas de los planetas. Un círculo es un caso especial de una elipse con los dos focos en un punto. energía cinética Energía de un objeto relacionada con su movimiento: un medio de la masa multiplicado por el cuadrado de la rapidez, EC = ½mv2. energía en reposo Energía que un cuerpo tiene simplemente por virtud de su masa, E0 = mc2, una expresión de la equivalencia de masa-energía. energía interna Suma de todas las energías cinéticas y potenciales de los átomos y las moléculas dentro de una sustancia o sistema, determinadas únicamente por el estado del sistema. energía potencial Energía almacenada asociada con la posición de un cuerpo en vez del movimiento del cuerpo.

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energía potencial elástica Energía potencial en un sistema que depende del desplazamiento de un cuerpo elástico a partir del equilibrio; por ejemplo, un resorte. energía potencial gravitacional Energía almacenada vinculada con la posición de un cuerpo en un campo gravitacional en vez de hacerlo con el movimiento del cuerpo. enriquecimiento Aumento de la proporción del isótopo más reactivo de un combustible nuclear mediante la separación de los isótopos. entropía Medida del desorden o aleatoriedad de un sistema. epiciclo Círculos imaginarios formados por los planetas en sus órbitas principales, usados en el obsoleto modelo ptolomeico para explicar los movimientos planetarios. equilibrio Estado cuando la fuerza neta ejercida sobre un objeto es cero o cuando un sistema deja de sufrir cambios. equilibrio térmico Estado en el que las propiedades físicas de los cuerpos, como el volumen, ya no varía unas respecto a otras, y los cuerpos alcanzan la misma temperatura. equivalencia masa-energía La masa es energía: el aumento de la masa de un cuerpo incrementa su energía, y el aumento de la energía de un cuerpo incrementa su masa. Esta idea revolucionaria fue resumida por Einstein en su conocida ecuación de masa-energía, E = mc2 (en la que E es la energía, m la masa y c la velocidad de la luz). espectro atómico Longitudes de onda de la luz emitida por una sustancia cuando ésta se calienta. En el espectro visible de luz, cada elemento produce una luz con un color característico. espectro atómico y electromagnético Véase espectro atómico y espectro electromagnético. espectro electromagnético Matriz de ondas electromagnéticas con diferentes longitudes de onda. En el extremo más alejado de longitud de onda del espectro están las ondas de radio y las microondas. La luz visible comienza con ondas rojas más largas y avanza al violeta. Más allá del violeta (ultravioleta) están los rayos X y los gamma. espejo cóncavo Espejo en el que la luz se refleja desde el interior de una superficie curva. espejo convexo Espejo en el cual la luz se refleja desde el exterior de una superficie curva. estado estacionario Equilibrio relativo de un sistema si las condiciones no cambian con el tiempo. éter Antes que los científicos llegaran a entender que la luz no necesariamente requie-

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re un medio, comúnmente se creía que la luz viajaba por un medio sin masa llamado éter que ocupaba todo el espacio. También llamado éter luminífero. experimento Observaciones hechas en condiciones controladas. Un experimento debe poder probarse y repetirse por otros investigadores. experimento de dispersión Un tipo de experimento sobre el núcleo atómico en el que las partículas se usan como proyectiles para producir cambios en el núcleo objetivo, entre éstos la emisión de otras partículas. experimento mental Tipo de experimento inventado por Einstein para probar los conceptos relativistas. Aunque las velocidades implicadas son enormes, las consecuencias pueden imaginarse y explorarse. A medida que el equipo ha mejorado, varios resultados de los experimentos mentales se han confirmado por medio de la observación. exponente Superíndice que indica a qué potencia se ha elevado un número o una variable, por ejemplo, x3 o 109. fase De la palabra phasis, significa manera, aspecto o etapa de la condición de ser. También es un estado de organización de la materia, como sólido, líquido o gas. fases de la Luna Apariencia o aspecto de la Luna en momentos determinados de sus ciclos. física atómica Subcampo de la física que estudia la estructura y el comportamiento de los átomos. física clásica Las cuatro ramas de la física —mecánica, termodinámica, electricidad y magnetismo, y óptica— que a principios del siglo xx ya estaban bien desarrolladas. física de la materia condensada Subcampo de la física que estudia las propiedades de la materia en estados sólido y líquido. física de partículas Subcampo de la física que estudia las partículas subatómicas (quarks, etcétera). física moderna Subcampos de la física atómica, nuclear, de partículas y de materia condensada, que en gran parte crearon e hicieron grandes avances en la primera mitad del siglo xx. física nuclear Subcampo de la física dedicado al estudio del núcleo del átomo. física óptica Rama de la óptica que trata la luz como una onda electromagnética para examinar sus efectos y propiedades. fisión nuclear Reacción que separa al núcleo acompañada por la conversión de parte de la masa de éste en energía cinética. El núcleo se separa en partes aproximadamente iguales (los fragmentos de fisión) en vez de simplemente emitir una partícula, como en la mayoría de otras reacciones nucleares.

fluido Algo que fluye, ya sea un gas o un líquido. flujo magnético Medida del número de líneas de campo magnético que pasan por un área delimitada por una espira o alambre de corriente . flujo turbulento Flujo más complicado y menos uniforme de un fluido provocado por fluctuaciones aleatorias que en general resultan de un aumento en la rapidez o una disminución de la viscosidad. foco En óptica, punto donde los rayos de luz se concentran por medio de la reflexión o refracción y producen una imagen. En geometría, uno de los dos puntos que definen la curva de una elipse y le dan su forma característica. fósforo Sustancia que emite luz cuando se golpea por medio del movimiento rápido de partículas. fotón Cuanto de energía electromagnética, en especial una partícula de luz. fragmento de fisión Cualquiera de los dos elementos más ligeros que surgen de la división de un átomo radiactivo grande durante una fisión nuclear. Tienden a ser muy inestables y radiactivos. frecuencia Número de pulsos, repeticiones o ciclos por unidad de tiempo. frente de onda Superficie dentro de una onda para la cual todos los puntos están en la misma fase (etapa de oscilación). fuerza Cantidad que describe la interacción mecánica de dos cuerpos, provocando que éstos se aceleren como se describe en las leyes del movimiento de Newton. fuerza centrífuga Fuerza imaginaria que parece estar dirigida hacia fuera como resultado de la rotación de un cuerpo. fuerza centrípeta Cualquier fuerza o combinación de fuerzas que produce una aceleración centrípeta. fuerza conservativa Una fuerza como la gravedad o la fuerza elástica que permite una restitución completa de la energía cuando se realiza un trabajo contra ella. fuerza de flotación Fuerza ascendente que empuja los objetos hacia la superficie del agua o de otro fluido. fuerza de fricción Fuerza que opone resistencia al movimiento de un cuerpo. fuerza de fricción cinética Fuerza de fricción entre dos cuerpos que se deslizan en el punto de contacto de sus superficies. fuerza de reacción Fuerza en dirección opuesta como respuesta a la fuerza inicial en una interacción regida por la tercera ley del movimiento de Newton. fuerza de restauración Fuerza o sistema de fuerzas que regresa un cuerpo al estado de equilibrio.

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Glosario fuerza elástica Fuerza ejercida por los objetos que puede deformarse o extenderse, como la cuerda de un arco o un resorte. fuerza electrodébil Fuerza electromagnética y fuerza nuclear débil en una sola fuerza fundamental. fuerza electromotriz Energía potencial por unidad de carga producida por una batería u otra fuente de energía eléctrica. El nombre es erróneo porque se trata de una diferencia de potencial o voltaje, no de una fuerza. fuerza electrostática Fuerza ejercida por una carga estacionaria sobre otra carga independientemente de su movimiento. La fuerza electrostática mantiene los átomos juntos y une un átomo con otro en los líquidos y sólidos. fuerza estática de fricción Fuerza de fricción que no implica el movimiento en dirección de la fuerza. fuerza magnética Fuerza ejercida por el movimiento de cargas eléctricas o corrientes unas en otras. fuerza neta Suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. fuerza normal La componente de una fuerza sobre un cuerpo que actúa perpendicular a la superficie de contacto, a diferencia de la fuerza de fricción, que actúa en forma paralela. fuerza nuclear débil Fuerza fundamental implicada en las interacciones de los leptones en el decaimiento beta. fulcro Punto de apoyo de una palanca. fusión nuclear Reacción que combina núcleos pequeños para producir núcleos un tanto más grandes y liberar una gran cantidad de energía. galaxia Colección de estrellas que rota; en general tiene la forma de una elipse o un disco con brazos en espiral. Nuestro Sistema Solar está en el brazo de Orión de la galaxia Vía Láctea. galvanómetro Instrumento que detecta y mide la cantidad y la dirección de las corrientes eléctricas. gas ideal Gas en el que las fuerzas entre los átomos (y la energía potencial) son lo suficientemente pequeñas como para ignorarlas. La relación entre propiedades como la temperatura, la presión y el volumen se resume en la ecuación del estado de un gas ideal, PV = NkT. La mayoría de los gases reales se comporta como gases ideales a presiones lo suficientemente bajas y temperaturas altas. gas interestelar Gases de los que está llena la galaxia. gas noble Gases que no reaccionan fácilmente con otros elementos porque sus capas exteriores están completas. (Véase capa.) Localizados en la columna VIIIA

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de la tabla periódica, los gases nobles son helio, neón, argón, criptón, xenón y radón. generador Dispositivo que convierte la energía mecánica de una bobina en rotación en energía eléctrica por medio de inducción electromagnética. geocéntrico Adjetivo usado para describir un modelo del Sistema Solar con la Tierra en el centro y los planetas y estrellas en órbita alrededor de ella; posteriormente llamado modelo heliocéntrico (centrado en el Sol). geotérmico Relativo al calor interno de la Tierra y a ciertos fenómenos y procesos en los que la Tierra produce calor (utilizable), como los géiser y las fuentes termales. gravitación Atracción mutua de dos cuerpos proporcional a su masas; también llamada gravedad. hadrón Mesón o barión. halógeno Elemento como el yodo o el cloro que se combinan rápidamente con un metal para formar una sal. heliocéntrico Modelo revolucionario del Sistema Solar propuesto por Copérnico y defendido por Galileo que colocó el Sol en el centro de las órbitas planetarias en vez de la Tierra. El modelo obsoleto de Ptolomeo, en el que el Sol y otros planetas orbitan alrededor de la Tierra, es un modelo geocéntrico. hidráulica Ciencia de los efectos y aplicaciones del agua y de otros fluidos bajo presión o en movimiento. hidrodinámica Estudio de la mecánica de fluidos. hipótesis Conjetura hecha con base en cierta información o generalización fundamentada en la experiencia y observación que puede probarse para examinar sus consecuencias. holograma Fotografía de un patrón de interferencia producido por un láser que forma una imagen tridimensional cuando se ilumina. hueco En un semiconductor, ausencia de un electrón que migra por el material y transporta una carga positiva, resultado del dopado con ciertos elementos. imagen real Imagen formada por los rayos de luz que convergen en punto de imagen. En general, las imágenes reales formadas por lentes simples o espejos están invertidas. imagen virtual Imagen formada por rayos de luz que divergen de donde parece estar la imagen. En general, en las imágenes virtuales formadas por lentes individuales o espejos la derecha e izquierda están invertidas. impulso Fuerza que actúa sobre un cuerpo multiplicada por el intervalo de tiempo durante el cual lo hace. incidente Que recae sobre o entra desde, en especial cuando se aplica a la luz.

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índice de refracción Número que produce la rapidez de la luz en un material transparente (v = c/n). Diferentes materiales tienen distintos índices de refracción. inducción Capacidad de un cuerpo para producir carga eléctrica o magnetismo en otro por medio de la acción de su campo en vez de hacerlo por contacto. inducción electromagnética Producción de corriente eléctrica por un flujo magnético cambiante. inercia Resistencia de un cuerpo a un cambio en su movimiento. inercia rotacional Resistencia de un cuerpo al cambio en su movimiento rotacional que depende de la masa de un cuerpo y la distribución de la masa alrededor del eje. También llamada momento de inercia. inteligencia artificial Computadoras y software programados para reproducir ciertos procesos del pensamiento y formas de percibir del ser humano. interacción nuclear fuerte Fuerza fundamental que une los quarks en neutrones y protones (y otros bariones y mesones). interferencia Combinación o interacción de dos o más ondas. En la interferencia constructiva, las ondas se suman entre sí. En la interferencia destructiva, las ondas se cancelan entre sí. interferencia de película delgada Interferencia de la luz reflejada desde las superficies superior e inferior de una película muy delgada de un material transparente. interferómetro Instrumento que funciona al separar un rayo de luz y volver a unir los rayos para producir interferencia que puede usarse para hacer mediciones de las velocidades, longitudes de onda y distancias. invertido En óptica, adjetivo que describe una imagen que está boca abajo. ión Átomo o molécula que ha ganado o perdido un electrón, lo cual cambia su carga. Ionización es la formación de iones. ionizar Añadir o quitar electrones de un átomo o molécula. isobárico Adjetivo que describe cualquier proceso en el que la presión se mantiene constante. isotérmico Adjetivo que describe cualquier proceso en el que la temperatura permanece igual. isótopo Una variedad de un elemento que tiene un número específico de neutrones que puede diferir de otros isótopos del mismo elemento. El carbono 12, el más común de los isótopos del carbono, tiene 6 neutrones, mientras que el carbono 14 tiene 8. laminar Acomodado en capas delgadas, como las líneas de corriente paralelas en el flujo uniforme de un líquido. láser Fuente de un rayo de luz sumamente coherente. Láser es una abreviatura en

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inglés de amplificación de la luz por emisión estimulada de radiación (light amplification by stimulated emission of radiation). lenguaje de programación Conjunto de instrucciones sistematizadas para la computadora que facilita la programación de ésta. Un lenguaje de programación de alto nivel se adapta lente negativa Lente que hace que los rayos de luz diverjan más que cuando los rayos entraron en la lente. lente positiva Lente que hace que los rayos de luz converjan más que cuando entran en la lente. lentes Una lente positiva es una lente convexa convergente que flexiona los rayos hacia el eje. Hace que las cosas parezcan más grandes si el objeto está dentro del punto focal. Una lente negativa es una lente cóncava divergente que flexiona los rayos hacia fuera del eje. Hace que las cosas se vean más pequeñas. leptón La más ligera de las partículas subatómicas, por ejemplo, electrones, positrones y neutrinos. ley cero de la termodinámica Suposición básica de la termodinámica: los cuerpos en equilibrio térmico tienen la misma temperatura. ley de Boyle El volumen de un gas a temperatura constante es inversamente proporcional a la presión ejercida sobre él; cuando la presión de un gas se duplica el volumen se reduce a la mitad. En símbolos, PV = constante, donde P es la presión de un gas y V es su volumen. ley de Coulomb Descripción de cómo la fuerza electrostática varía con la cantidad de carga y la distancia: la fuerza electrostática es proporcional al tamaño de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre dos cargas. ley de Dalton de las proporciones definidas Observación de Dalton de que la razón de las masas de ciertos elementos necesarios en las reacciones químicas no varía, lo cual ayudó a esclarecer las relaciones de las masas de los átomos de los elementos. ley de Faraday Voltaje inducido en una bobina igual a la razón de cambio del flujo magnético que pasa por la bobina, ε = ∆ϕ/t. ley de la reflexión Cuando la luz se refleja desde una superficie plana, el ángulo que el rayo reflejado forma con la superficie normal es igual al ángulo que el rayo incidente forma con la superficie normal. ley de Lenz Descripción de la dirección de la corriente inducida: la corriente se opone al cambio en el flujo magnético que la produce.

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ley de Newton de la gravitación universal La fuerza gravitacional entre dos cuerpos es proporcional a la masa de cada cuerpo e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los centros de las masas: Gm1m2 F= r2 Es atractiva y actúa a lo largo de la línea que une a los dos cuerpos. ley de Ohm Flujo de corriente que pasa por una parte de un circuito igual a la diferencia de voltaje que pasa por esa parte dividida entre la resistencia, I = ∆V/R. ley de refracción Cuando la luz pasa de un medio transparente a otro, los rayos se flexionan hacia la superficie normal si la rapidez de la luz es más pequeña en el segundo medio que en el primero. Los rayos se flexionan hacia fuera si la rapidez de la luz en el segundo medio es mayor que en el primero. ley empírica Regla o generalización deducida de la experiencia, que en las ciencias surge y se confirma por medio de experimentos y observaciones. leyes de conservación Principios de la física que demuestran cómo en condiciones una cantidad en un sistema no cambia pese a las acciones que puedan ocurrir. Por ejemplo, en la conservación de la cantidad de movimiento angular, la cantidad de movimiento angular total de un sistema permanece constante siempre que el momento de torsión total del sistema sea cero. Conservación de la energía significa que la cantidad de energía mecánica de un sistema permanece constante a lo largo de los cambios físicos o procesos (si no se realiza un trabajo en el sistema). La conservación de la cantidad de movimiento muestra que la cantidad de movimiento de un sistema permanece constante (los cambios en las diferentes partes del sistema se cancelan) si ninguna fuerza neta externa actúa sobre el mismo. leyes de Kepler del movimiento planetario Tres descripciones del movimiento de los planetas que ilustran cómo funciona el sistema solar: la primera ley es que cada planeta se mueve en una órbita en forma de elipse con el Sol en uno de los focos. En la segunda ley, cada planeta barre áreas iguales de su órbita en tiempos iguales. La tercera ley establece que el cuadrado del periodo de la revolución de un planeta alrededor del Sol es proporcional al cubo de su distancia media desde ese astro; por tanto, T2/r3 es una constante. leyes de Newton del movimiento Primera ley: a menos que se le aplique una fuerza, un cuerpo permanece en reposo o se mue-

ve a velocidad constante. Segunda ley: la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, a = Fneta/m, o Fneta = ma. Tercera ley: si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, el B ejerce una fuerza sobre el A de igual magnitud y con dirección opuesta a la fuerza ejercida sobre B. líneas de absorción Bandas o líneas oscuras en un espectro. En el espectro estelar, estas bandas o vacíos indican que la luz ha sido absorbida por los gases de las estrellas. líneas de campo Ilustraciones gráficas de los campos eléctricos y magnéticos. líneas de emisión Líneas brillantes en el espectro de una sustancia que indican la emisión de radiación electromagnética. lógica digital Operaciones realizadas en cadenas de números discretos, símbolos o caracteres, como en el caso de una computadora. longitud de onda Distancia entre los mismos puntos de pulsos sucesivos en una onda. Su símbolo es λ. longitud de onda de De Broglie Longitud de onda derivada de la cantidad de movimiento de una partícula y la constante de Planck que indica que tanto las partículas como los electrones tienen características parecidas a las de las ondas (λ = h/p). longitud en reposo Longitud medida por un observador en reposo respecto a la distancia medida. longitud focal Distancia desde el centro de una lente o espejo al punto o puntos focales. luz no polarizada Luz para la cual el vector del campo eléctrico oscila en direcciones aleatorias. luz infrarroja Ondas electromagnéticas con longitudes de onda un tanto más largas que la luz roja del espectro visible. luz polarizada Luz para la cual el vector del campo eléctrico oscila en una dirección específica. luz ultravioleta Ondas electromagnéticas con longitudes de onda más cortas que la luz violeta del espectro visible. magnitud Tamaño de algo expresado como una cantidad. máquina de Carnot Máquina térmica ideal reversible que usa el ciclo de Carnot. Cualquier máquina térmica con un paso irreversible en su ciclo será menos eficiente. máquina de movimiento perpetuo Una máquina de movimiento perpetuo de primera clase produce más energía como trabajo o calor que la energía entrante (una infracción de la primera ley de la termodinámica y conservación de la energía). Una máquina de movimiento perpetuo de segunda clase infringe la segunda ley de termodinámica al afirmar que convierte el

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Glosario calor completamente en trabajo o superar la eficiencia de Carnot. máquina simple Cualquier dispositivo mecánico elemental que multiplica el efecto de una fuerza aplicada, por ejemplo, palancas, cuñas y poleas. máquina térmica Dispositivo que toma energía (calor), convierte parte de ella en trabajo mecánico y libera la sobrante a una temperatura inferior en los alrededores. máquina térmica ideal Máquina térmica que cumple con el ciclo de Carnot, lo cual le permite una eficiencia máxima. marco de referencia Punto de vista u orientación desde la cual hacemos mediciones y observaciones de movimiento y a la cual las referimos. Un marco de referencia inercial no se acelera en relación con otros marcos inerciales. marco de referencia inercial Marco de referencia que no se acelera en relación con otros marcos de referencia inerciales –las leyes de Newton del movimiento se aplican en ellos. masa Medida de la inercia de un cuerpo. Esta propiedad hace que se resista al cambio en su movimiento. El kilogramo es la unidad métrica básica para la medición de la masa. masa atómica Masa promedio de un átomo de un elemento; es una característica distintiva de un elemento. masa crítica Masa de combustible lo suficientemente grande para producir una reacción en cadena autosustentable. mecánica Rama de la física que estudia las fuerzas y el movimiento. mecánica cuántica Mecánica (estudio de las fuerzas y el movimiento) aplicada en el nivel atómico y nuclear que trata los fotones y otros cuantos que muestran un comportamiento tanto de onda como de partícula. mesón Partícula subatómica de peso intermedio; por ejemplo, un pión o un kaón. Todos los mesones carecen de spin. metal Cualquiera de un número de elementos que son opacos, brillantes, conductivos y fáciles de moldear. Sus átomos tienen de uno a tres electrones libres en una capa de electrones llena. método científico Estudio sistemático de fenómenos por parte de personas dedicadas a la ciencia. La forma como los científicos emprenden la investigación de un fenómeno normalmente comienza con la observación y experimentos para probar generalizaciones e hipótesis que pueden incorporarse en teorías globales probadas. Las teorías con frecuencia producen nuevas áreas para explorar. mezcla de colores aditivos La producción de diferentes colores por medio de la com-

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binación de luz de los tres colores primarios: azul, verde y rojo. mezcla de colores sustractivos Producción de colores diferentes por medio de la absorción de diferentes longitudes de onda de la luz blanca. microonda Onda electromagnética con longitudes de onda entre las ondas de radio y las ondas infrarrojas del espectro electromagnético. Se usa principalmente en la cocina y los radares. microscopio Instrumento que usa cuando menos dos lentes positivas para producir una imagen ampliada de un objeto pequeño. miopía Enfermedad en la que el sistema de lentes del ojo es demasiado fuerte, lo que permite a las personas ver objetos cercanos claramente pero no objetos distantes. También llamado visión cercana. modelo estándar Marco de trabajo en desarrollo que se usa actualmente para explorar las fuerzas fundamentales y las partículas de nivel subatómico que incluye teorías de quarks, la fuerza electrodébil y una interacción nuclear fuerte. moderador Material usado en un reactor nuclear para hacer más lentos los neutrones producidos en las reacciones de fisión. molécula Combinación de átomos de un elemento o de un compuesto químico. momento de inercia Véase inercia rotacional. momento de torsión Producto de una fuerza y su brazo de palanca (τ = Fl) que provoca que un cuerpo rote. Momento lineal Producto de la masa de un cuerpo y su velocidad, p = mv, también llamado cantidad de movimiento por Newton. monopolo magnético Partícula con un solo polo magnético. Es probable que los monopolos magnéticos existieran en el Universo poco tiempo después del Big Bang pero probablemente ya no existan. movimiento armónico simple Véase armónico simple, movimiento. movimiento de proyectil Trayectorias y velocidades de cuerpos que se han lanzado, disparado o arrojado. movimiento rectilíneo Movimiento de un cuerpo de un punto a otro en línea recta. movimiento retrógrado Movimiento hacia atrás de un planeta en su órbita, una ilusión provocada por la posición del planeta respecto a la Tierra. movimiento rotacional Movimiento de un cuerpo que gira en torno a un eje. neutrino Partícula elusiva que es uno de los productos del decaimiento beta. Su antipartícula es el antineutrino. neutrón Partícula sin carga, aproximadamente de la masa de un protón, encontrada en el núcleo atómico.

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Newton Unidad métrica de fuerza: masa por aceleración, o kilogramos por metros por segundo al cuadrado. nodo Punto en una onda estacionaria donde no hay movimiento. norte magnético El norte según lo indica una brújula. El polo norte magnético de la Tierra se desplaza y no es el mismo que el polo norte geográfico. notación científica Sistema para escribir números de manera sucinta y clara que se basa en las potencias de 10; por ejemplo 12 150 000 000 se escribe 1.215 × 1010. núcleo Pequeño centro denso y cargado positivamente de un átomo formado por protones y neutrones. nucleón Partícula que habita en el núcleo atómico: un protón o neutrón. número atómico Número de protones en el núcleo de un elemento, lo cual determina su posición en la tabla periódica. El número atómico del oxígeno es 8, el del criptón es 36 y el del oro es 79. número cuántico Uno de un conjunto de números que relacionan las propiedades de los electrones u otras partículas en el nivel subatómico. Estos números cuánticos determinan la órbita de un electrón –ningún par de electrones de un átomo puede tener el mismo conjunto de números cuánticos. número de masa Número total de neutrones y protones en un elemento o sus isótopos. El carbono 14 tiene 6 protones y 8 neutrones que producen un número de masa de 14. onda Movimiento de energía por la materia y el espacio (y tiempo). onda armónica Onda con forma de curva senoidal. onda de De Broglie Onda de probabilidad asociada con partículas de materia. De Broglie propuso que el electrón, en particular, puede representarse por medio de una onda estacionaria en torno al núcleo subatómico. onda electromagnética Onda formada por campos eléctricos y magnéticos cambiantes. onda estacionaria Patrón inalterable de ondas u oscilaciones formadas por interferencia de ondas que se desplazan en direcciones opuestas. onda longitudinal Onda cuyo desplazamiento o interferencia en el medio es paralelo a la dirección en que viaja la onda. Las ondas sonoras son longitudinales. onda periódica Onda formada por pulsos separados por intervalos de tiempo iguales. onda sonora Onda longitudinal que propaga por el aire u otro medio las variaciones de presión . Los seres humanos generalmente escuchamos las ondas sonoras de 16 a 20 000 Hz en tono.

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onda transversal Onda transversal cuya interrupción o desplazamiento es perpendicular a su dirección de viaje. Las ondas electromagnéticas son transversales. óptica Subcampo de la física dedicado al estudio de la luz y la visión. óptica geométrica Rama de la óptica que describe esquemáticamente el comportamiento de la luz usando rayos en línea recta y las leyes de la reflexión y la refracción. órbita síncrona Órbita calculada para la rotación de un planeta a fin de mantener un satélite sobre el mismo punto de la superficie del planeta. orgánico Referente a la química de compuestos de carbono. oscilación Un ciclo repetido, vibración o movimiento respecto a un punto de equilibrio, fenómeno muy común en la naturaleza. osciloscopio Dispositivo electrónico que traza los cambios en los voltajes eléctricos en una pantalla para manejar ciertos tipos de aplicaciones por sus diseñadores. FORTRAN (Formula Translation), por ejemplo, se diseñó para matemáticas. partícula Un solo punto de masa, con frecuencia una molécula, un átomo o incluso partículas básicas más pequeñas como un quark. pendiente Cambio en la coordenada vertical de una gráfica dividido entre el cambio en la coordenada horizontal. En una gráfica de la posición de un cuerpo trazada contra el tiempo, la pendiente en un punto indica cuán rápido se mueve el cuerpo. pérdida de calor Calor liberado por una máquina térmica a temperatura baja en sus alrededores. perfil aerodinámico Ilustraciones gráficas del flujo del agua, del aire y de otros fluidos. perfil aerodinámico Superficie diseñada para aprovechar la corriente de aire a fin de elevar o dirigir un avión. periodo En astronomía, tiempo que se requiere para que un cuerpo regrese al punto de inicio, por ejemplo, una órbita planetaria completa. En la física, un ciclo completo, por ejemplo, una onda. peso Fuerza gravitacional sobre un cuerpo; en símbolos, W = mg. peso atómico Término tradicional para referirse a la masa atómica. pila de voltaje Batería hecha de discos que se alternan de dos sustancias distintas (Volta usó zinc y plata) con una sustancia suave humedecida (como el papel) en capas entre discos dispuestos en parejas. pila nuclear Otro nombre para reactor nuclear, en particular los primeros reactores construidos usando bloques de carbón.

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planta de energía térmica Produce electricidad al utilizar el calor obtenido de fuentes tales como carbón, petróleo, gas natural, combustibles nucleares o energía geotérmica para hacer funcionar una máquina térmica. polarizar Separar las áreas positiva y negativa de la carga de un cuerpo, por ejemplo, un cuerpo magnético o eléctricamente cargado. En óptica, seleccionar una dirección específica de oscilación del campo eléctrico en una onda de luz. polo magnético Región de un imán, casi siempre catalogada como N o S, para Norte y Sur, que muestra un comportamiento parecido al de la carga eléctrica. Los polos iguales se repelen y los opuestos se atraen. positrón Electrón positivo; antipartícula de un electrón. Los positrones son emitidos por un decaimiento beta-más. postulado Enunciado fundamental (posiblemente uno de varios) que son las bases de una teoría. potencia Razón de realizar un trabajo, determinada mediante la división de la cantidad de trabajo realizado entre el tiempo, P = W/t. potencial eléctrico Energía potencial por cantidad de carga eléctrica positiva; voltaje. potencias de 10 Base de la notación científica; las potencias de 10 dan los múltiplos de 10 como superíndices o exponentes: por ejemplo, 104 es igual a 10 × 10 × 10 × 10. presión Razón de una fuerza al área sobre la que es aplicada, o la fuerza por unidad de área. presión atmosférica Presión de la capa de aire que rodea la Tierra. En el nivel del mar, la presión atmosférica es 14.7 libras por pulgada cuadrada, pero disminuye con la altitud. presión de fluido Presión ejercida sobre o por un fluido. primera ley de la termodinámica Cambio en la energía interna de un sistema igual a la cantidad neta de calor y trabajo transferida hacia el sistema (conservación de la energía). principio de acción y reacción Para cada acción (fuerza que actúa sobre un cuerpo) hay una reacción igual pero de sentido opuesto (fuerza que actúa sobre otro cuerpo), según lo describe la tercera ley de Newton del movimiento. principio de Arquímedes La fuerza de flotación que actúa sobre un cuerpo completamente sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. principio de Bernoulli La presión es menor cuando la rapidez del fluido es mayor: la suma de la presión más la energía cinética por unidad de volumen de un fluido en movimiento es constante.

principio de equivalencia Parte de los fundamentos de la teoría general de la relatividad; el principio de equivalencia establece que es imposible distinguir la aceleración de un marco de referencia de los efectos de la gravedad. Por ejemplo, la masa de un cuerpo medido por su inercia es igual a su masa medida por la acción de un campo gravitacional que le es aplicado. principio de impulso–cantidad de movimiento El impulso que actúa sobre un cuerpo produce un cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo igual al impulso tanto en tamaño como en dirección. principio de incertidumbre de Heisenberg La posición y la cantidad de movimiento de una partícula no pueden determinarse al mismo tiempo con alta precisión: si estamos muy seguros de la posición de la partícula, no tendremos casi ninguna seguridad respecto a su cantidad de movimiento, y viceversa. principio de Pascal Cualquier cambio en la presión de un fluido se transmite de manera uniforme en todas direcciones del fluido. principio de relatividad El enunciar que las leyes de la física son las mismas en cualquier marco de referencia inercial. principio de superposición Cuando dos o más ondas se combinan, la interferencia es igual a la suma de las interferencias individuales. probabilidad Posibilidad de que un suceso ocurra. programa de aplicación Software de computadora diseñado para realizar una tarea o un conjunto de tareas específicas; por ejemplo, un programa de procesamiento de texto o uno de diseño gráfico. propagar En física, transmitir a cierta distancia, en especial una onda. proporción Comparación de la razón de cantidades respecto a otra o a un todo. protón Partícula cargada positivamente encontrada en el núcleo atómico. El número de protones en un núcleo determina las propiedades químicas de un átomo. pulsación Variación regular en la amplitud provocada por la interferencia de dos ondas de diferente frecuencia. pulso de onda Una sola onda corta que viaja por una sustancia o sistema. punto focal Punto donde una lente se enfoca o concentra rayos de luz paralelos. punto triple del agua Temperatura en la que el hielo, el agua y el vapor de agua están en todos en equilibrio, 0° en la escala Celsius. quark Una de las partículas que forman los mesones y bariones (por ejemplo, neutrones y protones). Hay seis tipos de quarks.

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Glosario radiación Flujo, emisión o propagación de energía por medio de ondas electromagnéticas o partículas. radiactividad Emisión espontánea de partículas del núcleo de los átomos de ciertos elementos inestables. radiactividad natural Penetración de la radiación producida sin necesidad de preparación especial por minerales o compuestos que contienen elementos radiactivos. radián Unidad de medición angular encontrada al dividir la distancia recorrida a lo largo de un arco de longitud s entre el radio del círculo r, o s/r. Una revolución = 360° = 2π radianes. radio Línea recta desde el centro de un círculo o esfera hacia su borde exterior. rapidez Cuán rápido se mueve algo sin importar la dirección del movimiento; no es sinónimo de velocidad. rapidez de la luz La rapidez de la luz es la rapidez máxima en el universo y una constante simbolizada por c. La rapidez de la luz es aproximadamente igual a 3 × 108 m/s o 186 282 millas por segundo. rapidez instantánea Cuán rápido se mueve un cuerpo en un instante en particular. La rapidez instantánea se relaciona con la rapidez media para intervalos de tiempo cortos. rapidez media Distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido (en símbolos, s = d/t), la razón a la que se recorre la distancia. rayos catódicos Radiación emitida por un cátodo en un tubo de vacío, posteriormente se descubrió que estaba formada por electrones. rayos X Ondas electromagnéticas de alta penetración con una longitud de onda muy corta, ahora usada comúnmente en la medicina para obtener imágenes de los órganos internos y huesos. razón Cantidad dividida entre otra, en especial una cantidad dividida entre una unidad de tiempo. Las razones de tiempo como las millas por hora y los metros por segundo son importantes en la medición del movimiento. reacción en cadena Reacción de fisión que, al iniciar varias reacciones más, se mantiene a sí misma. reacción nuclear Cambios provocados en el núcleo de los átomos, lo cual puede dar como resultado un elemento que se convierte en otro. red de difracción Instrumento hecho de líneas paralelas cerradas entre sí sobre una superficie (vidrio o metal) usado para difractar la luz a fin de producir el espectro y otros fenómenos ópticos. reducir Convertir la corriente eléctrica de un voltaje superior en uno inferior. “Elevar” es el proceso opuesto, es decir, convertir

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la corriente de un voltaje inferior en uno superior. reflexión Ondas de luz que rebotan hacia fuera de una superficie (un espejo o la superficie de un cuerpo de agua, por ejemplo), de manera que el ángulo del rayo entrante es el mismo que el ángulo del rayo reflejado. reflexión interna total Reflexión dentro de un cuerpo transparente que provoca que toda la luz se refleje. Esto ocurre cuando el ángulo de incidencia excede cierto valor. refracción Ondas de luz que pasan por una superficie transparente (como una lente o un prisma) y son flexionadas por ella. refrigerante Fluido (en general, agua) usado para eliminar el calor de un reactor nuclear u otros motores térmicos. regla de la mano derecha Para hallar la dirección de un vector de velocidad rotacional, dobla los dedos en dirección de la rotación. Su pulgar apuntará entonces en la dirección del vector. Otras reglas de la mano derecha se usan para describir las direcciones de las fuerzas y campos magnéticos. relatividad Descubrimiento de que la materia, el movimiento, el espacio y el tiempo son independientes y que nuestro marco de referencia a menudo determina cómo vemos y explicamos sus interacciones. reloj de luz “Instrumento” en un experimento difícil sobre la relatividad que usa la rapidez de la luz sobre una distancia fija establecida para definir una unidad de tiempo básica. Rem (equivalente roentgen en el ser humano) Unidad usada para medir la exposición a la radiación. Una persona promedio en los Estados Unidos recibe alrededor de 360 milirems de radiación al año desde varias fuentes. resistencia Propiedad que presenta un componente de un circuito de oponerse al flujo de la corriente eléctrica y generar calor. resistencia aerodinámica Los efectos de la fricción del aire o la atmósfera cuando un cuerpo está en movimiento; estos efectos son especialmente notorios en cuerpos con áreas de superficie grandes comparadas con sus masas; por ejemplo, las hojas y las plumas. resistividad Propiedad inherente o tendencia de un material a resistir el flujo de la corriente según se midió en una muestra del material. retina Capa de células en la parte posterior del ojo que detecta la luz. Las células son de dos tipos, bastoncillos y conos. retroceso Breve interacción entre dos cuerpos que provoca que se muevan en direcciones opuestas.

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reversible Describe un proceso termodinámico que siempre está cerca del equilibrio y puede cambiar completamente de estado en cualquier punto en el proceso. revolución Ciclo completo en el movimiento de un cuerpo respecto a algún punto. El periodo de cada una de las revoluciones de la Tierra respecto a su eje es de un día. satélite Cuerpo que orbita un planeta. La Luna es el único satélite natural de la Tierra, aunque muchos satélites artificiales se han puesto en órbita recientemente. segunda ley de la termodinámica Ninguna máquina que trabaja en un ciclo continuo puede tomar calor de una reserva a una sola temperatura y convertirlo completamente en trabajo (enunciado de Kelvin). El calor no fluirá de un cuerpo frío a uno más caliente a menos que también participe otro efecto (enunciado de Clausius). semiconductor Sustancia con propiedades intermedias entre aislantes y conductores eléctricos. Un uso de los conductores que está aumentando rápidamente son los chips de computadora, donde sus propiedades pueden ser adaptadas a la medida. serie de Balmer Absorción característica y líneas de emisión que aparecen en la parte visible del espectro del hidrógeno. Hay varias series de líneas en las otras partes (invisibles) del espectro del hidrógeno. simetría Cualidad común entre los objetos, las plantas y los animales de tener una forma o disposición similar en cada lado de una línea o líneas dibujadas a través de ellos. sistema Conjunto específico de partes u objetos que actúan juntos o entre sí. sistema métrico Sistema Internacional de unidades (Systéme International d’unités), se abrevia si. Se trata de un sistema decimal de medición. Las siete unidades fundamentales del si (“unidades básicas”) son metro (longitud), kilogramo (masa), segundo (tiempo), ampere (corriente eléctrica), kelvin (temperatura), mol (cantidad de sustancia) y candela (intensidad de una fuente de luz). Sistema Solar El Sol, los planetas, las lunas y otros cuerpos que lo orbitan. software Programa de computadora cargado en una máquina de éstas para que ejecute o realice tareas específicas, a diferencia del hardware, que es el equipo de cómputo (disco duro, monitor, chips de computadora, etcétera). sumidero Un lugar o dispositivo para deshacerse de la energía en un sistema. superconductividad Pérdida total de la resistencia eléctrica al flujo de corriente por debajo de una temperatura crítica (en general, muy baja).

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superficie normal Línea dibujada perpendicular a una superficie. superfluido Fluido que pierde su velocidad a una temperatura muy baja. tabla periódica de los elementos Tabla en que se ordenan los elementos según su peso y número atómicos. Empieza por el hidrógeno, el más ligero, la tabla agrupa los elementos (en columnas verticales en el formato característico) con otros que tienen propiedades iguales. telescopio Instrumento que usa dos o más lentes o espejos para acercar al ojo una imagen de un objeto distante. telescopio terrestre Tipo de telescopio, en especial catalejos, binoculares y gemelos, usados principalmente para observar fenómenos que ocurren en la Tierra en vez de en el cielo. A diferencia de los telescopios astronómicos, los terrestres producen una imagen invertida, por lo que están diseñados para invertirla. temperamento igual Sistema de afinación que se basa en razones iguales para todos los semitonos en una escala musical. temperatura Cantidad que indica en qué dirección fluirá el calor. Si dos cuerpos tienen diferentes temperaturas, el calor fluye del que tiene temperatura mayor al que la tiene menor. temperatura absoluta Temperatura dada en la escala Kelvin que establece 0 K como el cero absoluto. La temperatura ambiente de 72 °F o 22 °C es aproximadamente 295 K. temperatura crítica En la resistencia eléctrica, temperatura por debajo de la cual una sustancia se vuelve un superconductor de electricidad. teoría Conjunto organizado de principios usados para explicar hechos conocidos y para predecir nuevos fenómenos como una guía para la investigación posterior. teoría de la Gran unificación Teorías que buscan explicar todo sobre las partículas elementales y las fuerzas que actúan entre ellas. Un resultado de estas teorías es la unificación de las fuerzas electrodébiles y fuertes en una sola fuerza fundamental. teoría del campo Estudio de fenómenos que interactúan en el espacio o la distancia, incluidos los fenómenos que implican campos eléctricos, gravitacionales o magnéticos.

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teoría del campo unificado Teoría que busca unir las cuatro fuerzas fundamentales: la interacción nuclear fuerte, la fuerza electromagnética, la fuerza gravitacional y la fuerza nuclear débil, que se basa en el comportamiento de sus campos para explorarlos y analizarlos. teoría del todo Teoría que unifica la gravedad con las fuerzas fuertes y electrodébiles para englobar todas las fuerzas de la naturaleza en una sola fuerza. teoría especial de la relatividad Teoría “limitada” de Einstein basada en dos postulados básicos: las leyes de la física tienen la misma forma en cualquier marco de referencia inercial (principio de relatividad) y la rapidez de la luz es la misma en cualquier marco de referencia inercial. teoría general de la relatividad Generalización de Einstein de su teoría especial de la relatividad para incluir marcos de referencia acelerados. Basándose en el principio de equivalencia, su postulado básico es que la aceleración de un marco de referencia no puede distinguirse de la presencia de la gravedad. termodinámica Subcampo de la física que se ocupa de la temperatura, el calor y la energía. termonuclear Adjetivo que describe las reacciones en cadena de la fusión nuclear que alcanzan temperaturas muy altas, como en las estrellas o ciertos tipos de bombas. tiempopropio Intervalo de tiempo entre dos sucesos medidos en un marco de referencia en el que ambos ocurren en el mismo punto en el espacio. Tokamak Reactor experimental de fusión nuclear con forma de dona. tono Término musical para la altura o profundidad del sonido. Las ondas sonoras de las notas con tonos más altos tienen frecuencias mayores. trabajo Fuerza aplicada a un cuerpo por la distancia desplazada, W = Fd. La fuerza actúa a lo largo de la línea de movimiento del cuerpo. El joule es la unidad métrica de trabajo. trabajo negativo Trabajo realizado por una fuerza que actúa en una dirección opuesta al movimiento del cuerpo. transformador Dispositivo que detiene (ajusta) el voltaje de corriente alterna hacia

arriba o hacia abajo para adaptar las necesidades de una aplicación en particular. transistor Dispositivo electrónico hecho de semiconductores que realiza una serie de funciones, entre ellas, producir variaciones en la corriente eléctrica, amplificar señales de radio, y servir como interruptor de voltaje controlado. trayectoria Ruta de un proyectil u otro cuerpo en movimiento. turbina Dispositivo para generar energía manejado por un fluido (vapor, por ejemplo) que se mueve por un sistema de aspas fijas y giratorias. vacío Ausencia de materia, en especial aire. vector Cantidad que tiene tanto magnitud como dirección, con frecuencia representada por una flecha. La longitud de la flecha es proporcional al tamaño de la cantidad vectorial y el ángulo muestra su dirección. velocidad Cantidad vectorial que describe a qué rapidez se está moviendo un cuerpo y en qué dirección se mueve. velocidad instantánea Cantidad vectorial formada por la rapidez instantánea de un cuerpo y su dirección en ese instante. velocidad rotacional Razón de la rotación —cuán rápido rota un cuerpo. Las revoluciones por minuto (rpm) son una unidad de medida común para la velocidad rotacional. velocidad terminal Punto en el que la resistencia del aire en un cuerpo que cae es igual a la fuerza gravitacional, con lo que se produce una fuerza neta de cero, lo cual termina la aceleración del cuerpo. El cuerpo continuará hacia abajo a velocidad constante. ventaja mecánica Razón de la fuerza de salida a la fuerza de entrada de una máquina simple. vida media Tiempo requerido para que la mitad del número de átomos en un isótopo radiactivo se desintegre. Cada elemento radiactivo tiene una vida media diferente. viscosidad Medida de las fuerzas de fricción entre las capas de un fluido que produce resistencia al flujo. Los líquidos de alta viscosidad fluyen lento. voltaje Cambio o diferencia en el potencial eléctrico medido en volts. voltímetro Instrumento para medir el voltaje.

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índice analítico Nota: las referencias a páginas en itálicas remiten a figuras; seguidas por una “t”, a tablas, y seguidas por una “c”, a cuadros.

A aceleración, 25-27, 25 angular, 144-45, 145 ascensor y, 25, 25, 439-40, 439-440 centrípeta, 80-82, 80-83 82c, fuerzas en, 83-86, 83, 86 para el carrusel, 86, 86 para un automóvil en una curva, 83-86, 83 tamaño de, 81-82, 82 de carritos conectados, 72-73, 73, 73c de un automóvil, 25-26, 25, 70, 70 dirección de la, 26, 26, 27, 27 en 100 metros planos, 30c en paracaidismo, 71, 72 fuerza vs., 66-67, 67 fuerza y, 62-63, 63 gráfica de, 28-29, 29 gravitacional, 39-42, 39, 41, 40t, 66-67, 67 de objeto en caída, 39-44, 40, 44, 40t, golpear objetivo y, 49-52, 49, 51-52 lanzamiento de pelota hacia arriba y, 44-46, 45-46 masa y, 66-67, 67 movimiento de proyectiles y, 46-49, 47-48 peso y, 66-67, 67 instantánea, 26 masa y, 64-65, 65 media, 25-26, 25 negativa, 26-27, 26, 27c para una pelota lanzada hacia arriba, 45 rotacional constante, 144-45, 145 segunda ley de Newton y, 62-63, 63 uniforme, 31-33, 31-32, 32c acelerador de partículas, 449 acero, capacidad calorífica específica del, 192, 192, 192t adiabático, proceso, 198 afinación de temperamento igual, 315, 316t justa, 315, 316t agua. Véase también fluidos cambios de fase de, 193-94, 193-194 cambios de fase de, 193-94, 193, 196, 197

capacidad calorífica específica del, 192, 192, 192t flotación en, 174-78, 175-176 flujo de, 177-79, 177-178 laminar, 178-79, 178 razón de cambio del, 177, 177 turbulento, 178-79, 178 viscosidad y, 177, 177 índice de refracción de, 352-53, 353 movimiento de, 176, 177-79, 177-178 pastilla de color en, 375-76, 375 presión en, 174-75, 175 punto de ebullición del, 194 refracción de rayos de luz en, 352-53, 352-353 rotación de masa de, 377, 377 aire bolsas de, 84c-85c caliente, globo de, 176, 199-200, 199 cámara de, 334, 334 pelota suspendida en, 181, 181 peso del, 172-73, 172 resistencia del, 41, 41, 71, 72 aislantes, 201, 238, 238, 454 ala de avión, 179, 180-81, 181 alcanzar el objetivo, 49-52, 49, 51 ángulo de lanzamiento y, 49-52, 49, 51-52 alfa decaimiento, 403-4, 404 rayos, 385-86, 386 álgebra, 469-71 alimentos, calorías en, 196-97 altitud expansión de gas y, 170, 172-73, 172 punto de ebullición y, 194 ampere (A), 255, 283 Ampère, André Marie, 255, 282, 286 amperímetro, 263-64, 264, 285-86, 286 ampliación, 357-58, 357 binoculares y, 367-68 espejos cóncavos y, 359-60, 359-360 microscopio y, 364, 364 telescopio y, 364, 366-67, 366 amplitud, 116 análisis armónico, 304, 313-14, 314 ángulo de lanzamiento, 49-52, 49, 51-52

anteojos, 363-64, 367-68, 363, 367 antirreflejantes, capas para, 335c para sol, polarización de, 340, 340 antinodos, de onda, 307, 307 antipartículas, 404, 449-50 apertura, óptica, 337, 337 aplicaciones, 268c, 269-71, 270, 270t para el hogar, 268c, 269-71, 270, 270t Aquino, Tomas de, 60 Arago, Dominique-Francois, 286 arco iris, 2-3, 2, 354c-355c Aristóteles, 41-42, 59-60 armas nucleares, 414-18, 416, 418 armonía, 316-17 ascensor aceleración y, 25, 25, 439-40, 439-440 peso y, 69c astrología, 1 átomo, 374-98 descubrimiento del, 375-77, 379-80 modelo de Bohr del, 390-91, 390, 391 núcleo del, 386-88, 386, 400-402 tabla periódica y, 379-80, 380, 394-95, 394 autoinducción, 290 automóvil(es) aceleración de, 25-26, 25, 70, 70 alrededor de una curva peraltada, 84-85, 85 bolsas de aire para, 84c-85c cinturones de seguridad para, 84c-85c circulación de tránsito de, 22c-23c, 291c claxon de, 312c choque de, 84c-85c, 134c distancia de frenado para, 107 recorrida por, 32-33, 32, 33 eléctricos, 212c-213c en curva, 80, 80, 83-86, 83, 85 energía cinética de, 107 fuerza de fricción sobre, 83-84, 83, 107, 107 gato hidráulico para, 168-69, 169 motor de, 209-10, 209, 212c-213c híbrido, 212c-213c autoridad, apelar a, 2-3 axón, impulsos eléctricos en, 256c-257c

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Índice analítico

B balanza de torsión, 239, 239 balines de acero, colisiones de, 132, 132 Balmer, J. J., 388-89 banco, rotación de, 158-59, 158-159 banda bimetálica, 268b bariones, 449, 450t barras de control, en reacción nuclear, 411 bastón de animadora, 151, 151 batería, 254, 255. Véase también carga eléctrica; corriente eléctrica fuerza electromotriz de, 259-60 muerta, 260 potencia de, 265-66, 265 batuta, 151, 151 Becker, Wilhelm, 401 Becquerel, Antoine-Henri, 385 béisbol, bola curva en, 182c beta, decaimiento, 404, 405 bicicleta, 156-57, 157 cambio de velocidades en, 158c-159c Big Bang, 453-54 binoculares, 367-68, 367 birrefringencia, 340-41, 341 bocina (estéreo), 309-10, 309 Bohr, Niels, 388 bola curva, 182b bola(s) de billar, 131-133, 132, 135, 135 de boliche cantidad de movimiento de, 124, 125 desaceleración de, 64-65, 65 oscilación de péndulo de, 111, 111 Boltzmann, Ludwig, 199 bomba de calor, 216-17, 216-217 fisión, 416, 416 hidrógeno, 417, 418 plutonio, 416-17, 416 termonuclear, 417, 418 uranio, 416, 416 botella al vacío, 201-2, 201 música con, 311, 311, 313, 313 Bothe, Walther, 401 Boyle, Robert, 173 Brahe, Tycho, 88-89, 89 brazo de momento, 147, 147 palanca, 147, 147 broca, 188, 188 buceo, 71, 72 buque, flotación de, 176, 176 buzo, velocidad rotacional de, 153-54, 154

C ca (corriente alterna), 267, 269-71 caballo de fuerza (hp), 106 cafetera, 5c, 268c cajón empujón de, 104, 105, 105c, 106 levantamiento de 108, 108

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calor, 191-94, 191. Véase también temperatura de alto grado, 221-22 de bajo grado, 221-22 definición, 192 en fusión, 193-94, 193 flujo de, 191-92, 191, 193, 200-202, 200-201 dirección de, 192-93, 193 en cambios de fase, 193-94, 193 por conducción, 200-201, 200 por convección, 201, 201 latente, 193 radiación de, 201-2, 201 temperatura vs., 192-93, 193 transferencia de, 194-97, 195-196 caloría, 192, 196-97 calórico, 191-92 campo eléctrico, 241-43, 243 definición, 241-42 fuerza eléctrica vs., 242 potencial eléctrico y, 246, 246 uniforme, 246 gravitacional, curvatura de la luz en, 440-41, 440-441 magnético, 279-280, 280-281, 283 de la Tierra, 280-81, 281 del ciclo de corriente, 284-85, 284-285 cantidad de movimiento, 123-26, 123 angular, 9, 10, 152-53, 156, 156 conservación de, 152, 152-56, 154, 156 definición de, 152-53 paseo en bicicleta y, 156-57, 157 rotación de banco y, 158-59, 158-159 colisiones en un ángulo y, 132-36, 133, 135 colisiones y, 123, 123 conservación de, 126-27, 126, 435-36 colisión y, 127, 128 conservación de, 152-56, 152, 154, 156 definición, 124 recorrido en bicicleta y, 156-57, 157 rotación de banco y, 158-59, 158-159 capacidad calorífica específica, 191-92, 192, 192t carga(s) eléctrica(s), 233-36. Véase también corriente eléctrica aislantes y, 236-38, 237t, , 238 conductores y, 236-39, 237, 237t distintas, 235, 235 efectos de, 233-36, 233-234 electroscopio y, 234-36, 234, 236 energía potencial de, 245-46, 245 experimentos de esferas de médula de saúco sobre, 233-34, 233-234, 238 fuerza electrostática y, 239-41, 239-240 fuerza magnética y, 282-83, 282 iguales, 235, 235 modelo de fluido simple de, 235-36, 235 negativa, 235, 238, 238 positiva, 235, 238, 238 puntuales, 241 Carnot ciclo de, 214, 214 eficiencia de (segunda ley de la eficiencia), 214, 215 máquina de, 212-14, 214-215

Carnot, Sadi, 165 carritos carreta, tirada por una mula, 68, 70, 70 conectados, 72-73, 73, 73c de juguete, 27-29, 28-9, 28t carrusel, 143, 143 aceleración de, 144-45 inercia rotacional de, 151, 151-52 velocidad rotacional de, 145-46, 146 Cavendish, Henry, 92 celdas de combustible, 378c-379c Celsius, Anders, 189 células nerviosas, impulsos eléctricos en, 256c-257c centro de gravedad, 148-9, 148-149 cerámica, superconducción, 461-62, 462 cerebro, 460, 460 cero absoluto, 190-91, 190-191 Chadwick, James, 401 Chernobyl, reactor nuclear, 414c-415c cielo, color del, 330c-331c cien metros planos, carrera, 30c ciencia, 2-4 científico(a) explicación, 2-3 método, 3-4, 3t, 4 notación, 9, 9t, 473-74, 474t cinturones de seguridad, 84c-85c circuito de corriente campo magnético de, 284-85, 284-285 momento de torsión magnético, 285-86, 285-286 eléctrico, 253-76, 254. Véase también carga eléctrica; corriente eléctrica conductividad y, 259 corriente eléctrica alterna en, 267, 269-71 definición, 254, 255 en paralelo, 262-63, 262 en serie, 261-62, 261 hogar, 269-71, 270, 270t resistencia y, 259-60 transformaciones de energía en, 264-65, 265 voltaje y, 259-60, 260, 263-64, 264 integrado, 7, 457-58, 457-458 circulación de tránsito, 22c-23c, 291c cirugía láser refractiva, 365c Clausius, Rudolf, 217 claxon de automóvil, 312c cohete, retroceso de, 129-30, 130 colisión(es) cantidad de movimiento y, 123, 123, 126-27, 126, 128 conservación de la cantidad de movimiento y, 127, 128 conservación de la energía y, 130-31 de automóviles, 84c-85c, 134c de bolas de billar, 131-32, 132, 133, 135, 135 elástica, 130-32, 131 bidimensional, 133, 135, 135 en cierto ángulo, 132-36, 133, 135 inelástica, 130, 131, 131c bidimensional, 133, 133 parcialmente inelástica, 130 perfectamente inelástica, 131, 131

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Índice analítico color(es), 327-29, 327, 327t del cielo, 330c-331c mezcla de, aditivos, 328, 328 sustractivos, 329, 329 sensibilidad visual a, 327-28, 327-328 sustractivos, mezcla de, 329, 329 combustibles fósiles, 219-20, 220-221 combustión, 376, 376 computadora(s), 458-60, 458 digital, 458-59, 458 programación de, 459 comunicación, 3, 3 condensador, 245 conducción, 200-201, 200 conductividad, 259, 454 conductores, 236-39, 237, 237t, 454 carga por inducción de, 237-38, 237 congelación, 193-94 conservación de la cantidad de movimiento, 126-27, 126, 128 colisiones y, 127, 128 cantidad de movimiento angular, 152-56, 152, 154, 156 energía, 110-14, 110-112 conservativas, fuerzas, 110 constante de Boltzmann, 199 Coulomb, 240 Planck, 390 resorte, 109 continuo espacio-tiempo, 442, 442 contracción de la longitud, fórmula de la, 434 convección, 201, 201 conversiones, 12c, 20, 20c Copérnico, Nicolás, 60 modelo del movimiento planetario de, 88-89, 89 corriente alterna (ca), 267, 269-71 directa, motor de, 287c eléctrica, 255-56, 256 alterna, 267, 269-71, 269 definición, 255-56 directa, 267, 294 efectiva, 267, 269 efectos magnéticos de, 281-84, 282-283 flujo de, 257-59, 258, 258t formación de ciclos para, 284-86, 284-285 ley de Ohm y, 259-60, 259 límites, 256-57, 257 resistencia y, 259 unidad de, 255 corrientes oceánicas, energía de, 221 corrimiento al rojo gravitacional, 441 cortocircuito, 257 cosmología, 452-54, 452 Coulomb, Charles, 239, 283 crecimiento del pasto, 20c cristal(es) de calcita, 340-41, 341 líquidos, 463, 463 cuántica, mecánica, 393-95, 393-394 cuánticos, números, 394 cubierta de plata del termo, 201-2, 201

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cuerda(s), ondas en, 303-7, 303-306 de guitarra análisis armónico de, 313-14, 314 frecuencia de, 308-9, 308-309 cuerpo libre, diagrama de, 69c negro, 389, 389 Curie, Marie, 385 Curie, Pierre, 385 curva automóvil alrededor de, 80, 80, 83-86, 83 de decaimiento exponencial, 405-6, 405 peraltada, automóvil en, 84-86, 85

D Dalton, John, 376-77 De Broglie, Louis, 392 decaimiento radiactivo, 403-6, 404-405 alfa, 403-4, 404 beta, 404, 405 gamma, 404, 405 peligro del, 406 tasa de, 405-6, 405 densidad definición, 170 del aire, 172-73, 172-173 principio de Arquímedes y, 174-76, 175-176 desaceleración, 26-27, 26-27b. Véase también aceleración masa y, 64-65, 65 desplazamiento angular, 143-44, 145 Diálogos sobre dos nuevas ciencias, 60 difracción, 334-38, 336-337 diodo, 455-56, 456 dipolo eléctrico, 143, 143, 238, 238, 243, 243 magnético, 280, 280, 281 Dirac, Paul, 448 diseño de casa, transferencia de calor y, 202 disparo de rifle, 49, 49 una bala de cañón, 50-52, 51-52 dispersión de rayos de luz, 355-56, 356 distancia recorrida, 29, 29, 31 para una pelota lanzada hacia arriba, 45-46, 46c variación respecto al tiempo en, 32-33, 32-33 doble rendija, experimento de, 330-31, 332 dopado, 455

E eclipse, 93-94, 93 lunar, 93-94, 93 ecuación del estado del gas ideal, 199 Edison, Thomas Alva, 266 efecto Doppler, 312c, 453 eficiencia de máquina de Carnot, 214 de motor térmico, 210 segunda ley de la (eficiencia de Carnot), 214-215 Einstein, Albert, 389, 409-10, 430-31

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elasticidad, energía de, 109-10, 109, 114-17, 115-116 electricidad, 6t electroimán, 286, 286 electrón, 236, 383 descubrimiento del, 381, 383 televisión y, 382c electroscopio, 234-36, 234, 236 elementos, 376 isótopos de, 402-3, 402t masa atómica de los, 377, 377t, 379 tabla periódica de, 379-80, 380, 394-95, 394 elevación, fuerza de, 180-81 elipse, 89-90, 89-90 energía, 102-21 cinética, 106-7, 106, 107c, 218-19, 219 conservación de, 110-14, 110-112 de un trineo, 112, 112, 114, 114, 114t eléctrica, 219-22, 220-221, 264-67, 265-266 en primavera, 114-17, 115-116 en reposo, 438-39, 438 geotérmica, 220, 221 interna, 195-96, 196, 198, 198 temperatura y, 198, 198 luminosa, cuantificación de, 389-90, 389 masa equivalente para, 435-39, 437 nuclear, 407-8 potencial, 108-10, 108c, 108-109 elástica, 109-10, 109 gravitacional, 108, 108, 244-45, 245 salto con garrocha y, 113c solar, 221, 221 transferencia de, 104, 195-96, 196 enfriador, en reactor nuclear, 412 entropía, 217-19, 218-219 epiciclos del movimiento planetario, 87-88, 88 equilibrio, 65-66, 66, 146, 146 centro de gravedad y, 148-49, 148-149 equivalencia, principio de, 439-40, 440 escala de temperatura Celsius, 189-90, 190 Fahrenheit, 189-90, 190 Kelvin, 191 escopeta, culatazo de, 129, 129 esferas de médula de saúco, experimentos con, 23334, 233-234, 238 espectómetro, 338 espectro atómico, 388-89, 388-389 electromagnético, 325-26, 326 espejo. Véase también rayos de luz cóncavo, 359-60, 359-360 convexo, 361-62, 361-362 distancia de objeto-imagen y, 360-61 formación de imágenes en, 348-50, 348-350 plano, 350, 350 estación espacial, aceleración de, 440, 441 estacionarias, ondas, 307, 307, 311, 313 estrella de neutrones, 453 percepción de las, 337 estroboscopio, 40, 40 éter luminífero, 428-29, 429 experimentos para la casa, 12 explicación, 2-3

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Índice analítico

F Fahrenheit, Gabriel, 189 Faraday, ley de. Véase ley de Faraday Faraday, Michael, 288-89, 288 fase (estado), cambio de, 193-94, 193 fenómenos cotidianos, 9-10, 10 Fermi, Enrico, 408, 410-11 física atómica, 6t clásica, 6 definición, 4-5 de partículas, 6t moderna, 6 nuclear, 6t subcampos de la, 6-7, 6, 6t fisión nuclear, 408-10, 408-410 Fizeau, Armand-Hippolyte, 325 fluidos, 166-86. Ver también agua flotación en, 174-78, 175-176 flujo laminar de, 178-79, 178 flujo turbulento de, 178-79, 178 movimiento de, 177-79, 177-178 presión sobre, 168, 168 principio de Bernoulli y, 179-81, 180-181 viscosidad de, 177-78, 177-178 flujo laminar, 178-79, 178 turbulento, 178-79, 178 foco, 254-55, 255, 257-258 fotones, 390 Fourier, análisis, 304 fracciones, 472 decimales, 472 fragmentos de fisión, 409 Franklin, Benjamín, 235-36, 235 fraude energético, 222-23, 222-223 frecuencia, 116 de espectro electromagnético, 325-26, 326 de onda, 304-6, 308-9, 308 fundamental, 308, 308 fricción fuerza cinética de, 83 estática de, 83 Frisch, O. R., 409 fuerza aceleración vs., 66-67, 67 aceleración y, 62-63, 63 centrípeta, 83-86, 83, 86 centrípeta, 83-86, 83, 86 carrusel y, 86, 86 curvas peraltadas y, 84-86, 85 curvas planas y, 83-84, 83 conservativa, 110 de flotación, 174-75, 175 de fricción, 62 cinética, 83 estática, 83 de reacción, 70, 70 de restitución, 116-17, 116 distribución de, 167-68, 167-168 elástica, 109, 109 electrodébil, 451, 451 electromotriz, 259-60, 265 electrostática, 233, 234, 233, 239-41, 239-240

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campo eléctrico vs., 242 fuerza gravitacional vs., 240-41 en lanzamiento de pelota, 72, 72 en sistemas de carritos conectados, 72-73, 73, 73b flotante, 174-75, 175 fundamentales, 451, 451 gravitacional, 91-93, 92 fuerza electrostática vs., 240-41 magnética, 279-80, 282-84, 282-283 corriente eléctrica y, 281-84, 282-283 en carga en movimiento, 283-84, 283 en un cable que transporta corriente, 282-84, 283 espiras de corriente y, 284-86, 284-286 ley de Coulomb y, 279-80 neta, 62, 63b normal, 68, 68, 84-85, 85 nuclear, 451, 451 débil, 451, 451 suma de, 63-64, 63 tercera ley de Newton y, 67-70, 67-68 trabajo y, 105, 105 fulcro, 146, 146 fundamentales, fuerzas, 451, 451 fusión, 193-94, 193, 196-197 en frío, 418 nuclear, 414-18, 416-418 energía de, 418, 418 futbol, lanzamiento de balón, 49-50, 49 futbolistas, choque de, 123, 123, 126-27, 126, 128, 133, 133

G galaxia, 452, 452 Galileo, 17, 39, 60, 88 Galvani, Luigi, 231 galvanómetro, 267 gamma, decaimiento, 404, 405 gas(es) compresión de un, 197-98, 198 ecuación del estado de los, 199 en globo de aire caliente, 199-200, 199 energía cinética de, 218-19, 219 energía interna y, 198, 198 expansión de un, 170, 172-73, 172, 198 ideal, 198, 199, 198, ecuación del estado de, 199 líquidos vs., 172, 173 noble, 394 primera ley de la termodinámica y, 197-200, 198 proceso adiabático y, 198 isobáricos y, 199-200, 199 isotérmicos y, 198-99 temperatura y, 190-91, 190-191 volumen de, 173, 173 gato hidráulico, 168-69, 168-169 Geiger, Hans, 387 generador, 292-93, 292 geocentrismo, 87, 87 Gilbert, William, 280 globo, 176 aire caliente en, 199-200, 199 expansión relacionada con la altitud, 170, 172, 172 inflación de, 453, 453

grado, 143, 144 gráfica de corriente eléctrica alterna, 267, 269 de onda sonora, 310, 310 de onda, 303-4, 303, 304 de velocidad y aceleración uniforme, 31-32, 31 distancia recorrida, 32-33, 32-33 flujo magnético, 292-93, 292 movimiento, 27-31, 28, 29, 28t voltaje inducido, 292-93, 292 gran unificación, teoría de la, 451, 451 gravedad, centro de, 148-49, 148-149 gravitación universal constante de, 92 ley de Newton de la, 90-93, 91-92, 240-41 ley de Coulomb vs., 140-41 Newton de la, 90-93, 91-92 peso y, 92-93 guías de estudio, 10-11, 11

H hadrones, 450 Hahn, Otto, 409 Heisenberg, principio de incertidumbre de. Véase principio de incertidumbre de Heisenberg Heisenberg, Werner, 393 heliocentrismo, 88-89, 89 Henry, Joseph, 290 híbrido, motor de automóvil, 212c-213c hidrógeno, 394 bomba de, 417, 418 celdas de combustible de, 378c-379c espectro del, 388-89, 389 hielo, derretimiento del, 193-94, 193, 196, 197 hipermetropía, 364 hipótesis, 3 Hittorf, Johann, 381 holograma, 464c-465c Hooke, ley de. Véase ley de Hooke Hooke, Robert, 109 hoyo negro, 442-43 Hubble, Edwin, 452-53 humo de vela, 178, 179

I imágenes de resonancia magnética, 462, 463 imán(s), 278-81, 278 anillo, 279, 279 intensidad del polo de, 279-80 la Tierra como, 280-81, 287 líneas de campo y, 279-80, 279-280 polos de, 278-79, 278-279 impulso, 124-25 impulso-cantidad de movimiento, principio de, 124-26, 125 inducción electromagnética, 288-90, 288-289 autoinducida, 290 generadores y, 292-94, 292 ley de Lenz y, 289-90, 290 transformadores y, 290-94, 293 carga por, 237-38, 237

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Índice analítico

Joule (J), 104, 106, 195 Joule, James Prescott, 165, 194-95 Júpiter, 179, 179

lineal desplazamiento, 144 movimiento, 153t velocidad, 145-46, 145, 145t líneas de campo eléctrico, 242-43, 243 paralelas, 441-42, 442 linterna, 254-55, 254 líquido, gas vs., 172, 173 litio, 394 llave inglesa, 147, 147 longitud en reposo, 434 focal, 356-57 medición de, 433-35, 434 Luna, 93-95 fases de la, 93-94, 93-94 mareas y, 94c-95c órbita de la, 90, 94-95, 96

K

M

inercia, 63-65 rotacional, 149-52, 150-151 del carrusel, 151-52 151 inercial, marco de referencia, 427-28 infiltración, pérdida de calor por, 201 inteligencia artificial, 459-60 interacción nuclear fuerte, 451, 451 intervalos musicales, 314-16, 315 invernadero, efecto, 202c-203c isobárico, proceso, 199-200, 199 isotérmico, proceso, 198-99 isótopos, 402-3, 402t, 403 vida media de, 405-6, 405

J

Kelvin, Lord (William Thompson), 165 Kepler, leyes del movimiento planetario de primera, 89-91, 89, segunda, 89-90, 90, 154 tercera, 90-91 kilocaloría, 196 kilowatt (kW), 106, 266-67 kilowatt-hora, 266-67

L laminar, flujo, 178-79, 178 latidos, 316, 317 Lavoisier, Antoine, 376 lentes de plástico, 341, 341 lentes aumento y, 357-58, 357 de anteojos, 363-64, 363 de anteojos, 367-68, 367 de binoculares, 367-68, 367 de microscopio, 364, 364, 366 de telescopio, 364, 366-67, 366 del ojo, 362-64, 363 formación de imágenes con, 356-59, 356, 357 longitud focal de, 356-57 negativas (divergencia), 358-59, 358-359 positivas (convergencia), 356-57, 356 punto focal de, 356, 356 Lenz, Heinrich, 289 Lenz, ley de. Véase ley de Lenz leptones, 449, 450t ley cero de la termodinámica, 189 de Boyle, 173 de Coulomb, 239-41, 239-240, 279-80 de Newton de la gravitación universal vs., 240-41 de Dalton de las proporciones definidas 377 de Faraday, 289, 289 ley de Hooke, 109 de Lenz, 289-90, 290 de Ohm 259-60, 259 empírica, 3-4 libro, fuerzas sobre el, 68, 68

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magnético, dipolo, 280, 280-281 flujo, 289, 289 polo, 278-79, 278-279 magnetismo, 6t magnitud de la velocidad, 22-23 mangueras, presiones en, 180, 180 máquina de movimiento perpetuo de primera clase, 222, 222 de segunda clase, 222-23, 223 simple, 103-4, 104 térmica, 209-12, 209-210 características generales de la, 209-10, 209 Carnot y, 212-14, 214-215 eficiencia de, 210 inversa, 216-17, 216-217 primera ley de la termodinámica y, 210-12 reversible, 213-14, 214 segunda ley de la termodinámica y, 212-16, 214-215 marco de referencia, 425, 425 inercial, 427-28 universal, 429, 429 mareas, 94c-95c Mariotte, Edme, 173 Marsden, Ernest, 387 Marte, 87-88, 87 masa, 63 aceleración gravitacional y, 66-67, 67 aceleración y, 64-67, 65 atómica, 377-78, 377t crítica, 415-16, 416 en reacción nuclear, 407-8 equivalencia de energía con, 437-38, 437 peso y, 65-66, 66, 66c supercrítica, 415-16, 416 matematicas, 8-9, 8 materia condensada, física de, 6t Maxwell, James Clerk, 231, 323-24, 428 mécanica, 6t medición, 8-9, 8, 9t Meissner, efecto, 462, 462 Meitner, Lise, 409 Mendeleev, Dimitri, 379

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mesones, 449, 450t mezcla de colores aditivos, 328, 328 Michelson, Albert, 429 Michelson-Morley, experimento, 429-30, 430 microscopio, 364, 364, 366 miopía, 363, 363, 365c modelo estándar, 448-52 moderador en reacción nuclear, 411 molécula, 377 molino de viento, turbina de vapor, 211, 211 momento de inercia, 149-50 de torsión, 147-48, 147 definición, 147 magnético, 285-86, 285-286 suma de, 147-48 monitor de computadora, 337, 337 monopolo magnético, 280 Morley, Edward, 429 motor corriente directa en, 287c gasolina, 209-10, 209, 212c-213c. Véase también máquina térmica híbrido, 212c-213c movimiento, 18-37. Véase también aceleración; rapidez; velocidad armónico simple, 115-17, 115-116 concepción de Aristóteles sobre el, 59-60, 60 Galileo sobre el, 41-42, 60 de cuerpos en caída, 39, 39 de objetos conectados, 72-73, 73, 73b de pelota lanzada, 72, 72 fluidos y, 177-79, 177-178 gráficas del, 27-31, 28-29, 28t, leyes de Newton del, 58-78. Véase también Newton, ley(es) del movimiento perpetuo, 222-23, 222-223 planetario, 87-90. Véase también planetario, movimiento proyectil, 46-49, 46-47, 48b ángulo de lanzamiento y, 49-52, 49, 51-52 relativo, 425-28, 425-426 en la física clásica, 425-28 marcos de referencia inerciales y, 427-28 principio de relatividad y, 427 velocidad y, 425-27, 426-427 rotacional, 142-64, 153t. Véase también rotacional, movimiento aceleración y, 144-45, 145 del carrusel, 145-46, 146 desplazamiento rotacional y, 143-44, 145 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, 156, 156 equilibrio y, 146, 146 momento de torsión y, 147-48, 147 razón de cambio del, 143-44, 144-145 segunda ley de Newton y, 149-52, 150-151 velocidad lineal y, 145-46, 145, 145t velocidad rotacional y, 143, 144, 145 mulas, carreta tirada por, 68, 70, 70 multímetro, 263-64, 264 música, 313-17, 314-315, 316t, 317 análisis armónico y, 313-14, 314 armonía en, 316-17, 317

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Índice analítico

compás en, 316, 317 con botella, 311, 311, 313, 313 definición de intervalo en, 314-16, 315 disonante, 316 frecuencia de onda y, 308-9, 308 tono y, 308

N neutrón, 402, 402t descubrimiento del, 401, 402 newton (N), 63 Newton, Isaac, 17, 60-61, 61 Newton, ley(es) de la gravitación universal, 90-93, 91-92, 240-41 del movimiento de, 58-78 aplicaciones de, 70-73, 71 historia de, 60-61 primera, 62, 62, 80 segunda, 62-63, 63, 80-81, 149-52, 150-151, 435-36 tercera, 67-70, 67-68 nodo de onda, 307, 307 noria, 224c nuclear(es) armas, 414-18, 416, 418 planta de energía. Véase planta de energía nuclear reacción, 407-10, 407 reactor, 410-14, 411 núcleo, 386-88, 386 decaimiento radiactivo y, 403-6, 404-405 descubrimiento del, 386-88, 386 estructura del, 400-402, 402 isótopos y, 402-3, 402t neutrón del, 401, 402 protón del, 400-401, 402 nucleones, 403 Nuevo sistema de filosofía química (Dalton), 377 número atómico, 402 de masa atómica, 403 de pulsaciones, 43c

O objeto(s) flotante, 76, 167, 167, 174-78, 175 en caída ideas de Aristóteles sobre, 41-42 ideas de Galileo sobre, 41-42 movimiento de, 39-44, 39-43, 40t observación, 3, 4 odas de De Broglie, 392-93, 392 Oersted, Hans Christian, 281 Ohm, ley de. Véase ley de Ohm 259-60, 259 ojo, 362-63, 363, 367 pupila de, 337 sensibilidad al color, 327-28, 327-328 olas del océano, 301, 301 onda(s), 300-321 amplitud de, 307 antinodo de, 307, 307 armónicas, 304, 304, 308, 308 de De Broglie, 392-93, 392

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de luz, 322-46. Véase también ondas electromagnéticas; rayos de luz absorción selectiva de, 328-29, 329 color y, 327-29, 327-329, 327t difracción de rendija simple de, 334-36, 336 difracción de, 334-38, 336-337 dispersión de, 330c-331c dispersión de, 355-56, 356 distancia de, 310-11, 311 experimento de doble rendija sobre, 330-31, 332 extraordinarias, 340 frente de, 348-49, 349 infrarrojas, 326, 326 interferencia de película delgada de, 332-34, 333 interferencia de, 330-34, 332-333 longitud de, 326, 326, 327, 327t no polarizada, 339, 339 ordinarias, 340 polarizadas, 338-41, 339-340 rapidez de, 325, 325, 428-31, 430-431 red de difracción de, 337-38, 338 reflexión de, 348-50, 348-349 reflexión interna total de, 353-55, 353-354 refracción de, 351-56, 351 de partículas, 391-93, 392 de radio, 325-326 electromagnéticas, 323-26. Ver también ondas de luz definición de, 323-24, 324 en la transferencia de calor, 201-2, 201 espectro de, 325-26, 326 rapidez de, 324-25, 325 en cuerda, 303-7, 303-306 en fase, 306, 306 estacionarias, 307, 307, 311, 313 fase de, 306-7, 306 frecuencia de, 304-6, 308-9, 308 frente de, 348-49, 348-349 fuera de fase, 306, 306 fundamental, 308, 308 gráfica de, 303-4, 303-304 interferencia, 306-9, 306 longitud de, 302-6, 303, 304 de De Broglie, 392 de ondas electromagnéticas, 325-26, 326, 327t radiación del cuerpo negro, 389-90 longitudinales, 302, 302 nodo de, 307, 307 océano, 301-2, 301 periódicas, 302-3, 303 rapidez de, 302-5, 305 senoidales, 304, 304 sonoras, 309-13 efecto Doppler de, 312c estacionarias, 311, 313, 313 gráfica de, 310, 310 naturaleza de, 309-10, 309-310 rapidez de, 310-11, 311 superposición de, 306, 306 transmisión de energía por, 302 transversales, 302, 302 óptica, 6t física, 348. Véase ondas de luz geométrica, 348. Véase rayos de luz órbita síncrona, 96 oscilación de balines, aparato de, 132, 132 osciloscopio, 267, 269

P palanca, 103, 104 paradoja de las gemelas, 435, 436c-437c partículas, 451t descubrimiento de, 448-49, 449 Pascal (Pa), 167 Pascal, Blaise, 170, 172 Pascal, principio de. Véase principio de Pascal patinadores retroceso de, 128-30, 128-129 velocidad rotacional de, 152-54, 152 película de jabón, 323, 323, 333-34 delgada, interferencia de, 332-34, 333-334 de aceite, 333, 334 pelota(s) aceleración centrípeta de, 80-82, 80-83 al final de la cuerda, 103, 103, 110-12, 110-111 billar, 131-33, 132, 135, 135 bola curva, 182c bolos, 64-65,65, 111, 111, 124, 125 cantidad de movimiento de, 123-26, 123, 125-126 colisión perfectamente inelástica de, 131, 131 colisiones elásticas de, 131-33, 132, 135, 135 de billar, 131-33, 132, 135, 135 de ping-pong, 64-65, 65 de golf, cantidad de movimiento de, 125, 125, 175 de tenis cantidad de movimiento de 124-25, 125 soltada desde el reposo, 123-24, 123-124, 12526, 126 lanzada, 72, 72 con efecto, 182c en horizontal, 46-49, 47-48 hacia abajo, 43-44, 43-44, 44c hacia arriba, 44-46, 44-46, 46b lanzamiento de, en futbol americano, 49-50, 49 movimiento de, concepción de Aristóteles, 60, 60 oscilación, 132, 132 rodamiento, 39, 40 soltada desde el reposo, 39-44, 39-40, 40t, 42-44, 123-26, 123-124, 126 suspensión en el aire de, 181, 181 tiempo de vuelo de, 48, 48 tiro de basquetbol, 50c-51c velocidad rotacional de, 154 pendiente, 103, 103 de curva en una gráfica, 28 péndulo, 103, 103 cambios de energía en, 110-12, 110-111 perfil aerodinámico, 179-81, 181 periodo, 90, 116 peso, 64-67 atómico, 376-77, 377, 377t, 379 definición de, 65-66, 66 en ascensor, 69c ley de la gravitación y, 92-93, 92, 93c Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Newton), 17, 61 piano, afinación de, 315-16, 316t ping-pong, pelotas de, 64-65, 65 pistón, 168, 168 Planck, constante de, 390 Planck, Max, 389

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Índice analítico planetario, movimiento, 87-90 ley de la gravitación universal de Newton y, 9093, 91-92 leyes de Kepler del, 89-90, 89-90, 154 modelo de Copérnico del, 88-89, 89 modelo de Ptolomeo de, 87-88, 88 modelo de Tycho Brahe del, 88-89, 89 primeros modelos del, 87-88, 87 retrógrado, 87-88, 87-88 plano inclinado, aceleración hacia abajo, 39, 40 planta de energía eléctrica. Véase energía eléctrica nuclear, 220, 400, 400 barras de combustible de, 413, 413 diseño de, 412-13, 412 eliminación de desechos y, 413 en Chernobyl, 414c-415c problemas ambientales y, 413-14 plutonio, 411-12, 411 polarización, 238, 238 polea(s), 108, 108 sistema de, 104, 104 polo magnético, 278-79, 278-279 porcentajes, 472-73 positrón, 449-50 potencia. Véase también energía eléctrica, 264-67, 265 de laguna, 224b distribución de, 266-67, 266, 294 transformadores para, 293-94, 293 nuclear. Véase Planta de energía nuclear solar, 221, 221 térmica, 219-22, 220-221 trabajo y, 105-6 potencial eléctrico, 243-46 campo eléctrico y, 246, 246 definición, 245-46 energía potencial vs., 245-46, 246 unidades de, 245 energía, 108-10, 108c, 108-109 elástica, 109-10, 109 gravitacional, 244-45, 245 potencial eléctrico vs., 245-46, 246 potencias de diez, 474 presión atmosférica, 169-70, 170, 172-73, 172 variaciones en, 170, 172, 172 definición, 167-68 en gato hidráulico, 168-69, 169 en mangueras, 180, 180 en tuberías, 180, 180 principio de Arquímedes y, 174-78, 175-176 Bernoulli y, 179-81, 180-181 Pascal y, 168, 168 sanguínea, 171b primera ley de la termodinámica, 195-96 máquina térmica y, 210-12, 211 principio de acción y reacción, 67-70, 67 Arquímedes, 174-78, 175-176 Bernoulli, 179-81, 180-181 incertidumbre de Heisenberg, 393-94 Pascal, 168, 168 superposición, 306

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prisma, 327, 327, 355-56, 356 como espejo, 354, 354 proceso isobárico, 199-200, 199 isotérmico, 198-99 proporción(es), 8, 8 definidas, ley de Dalton de, 377 protón(es), 402, 402, 402t descubrimiento del, 400-1, 401 número de, 402, 402t proyectil, movimiento de, 46-49, 46-48, 48c Ptolomeo, modelo del movimiento planetario de, 87-88, 88 pulso de onda, 301, 301 rapidez del, 302-5, 305 punto de ebullición, 194 focal, 356, 356 pupilas, reflexión de la luz de, 337

Q quarks, 448-51, 450

R radiación, 201-2, 201 radiactividad, 384-88, 385-386 componentes de, 385-86, 386 descubrimiento de, 385 exposición a, 406c natural, 385 núcleo y, 386-88, 386 peligro de, 406, 406c radián, 143-144 rapidez instantánea, 21, 21 media, 19-20, 20 de la luz, 325, 325, 428-31, 430-431 en carrera de 100 metros planos, 30c relativa, 433, 433t unidades de, 20-21, 21t velocidad vs., 22-23 del sonido, 310-11, 311 instantánea, 21, 21 rayos beta, 385-86, 386 catódicos, 381, 381 de luz, 347-72. Véase también ondas de luz dispersión de, 355-56, 356 divergencia de lentes negativas, 358-59, 358359 divergencia de lentes positivas, 355-56, 356357 flexión gravitacional de, 440-41, 440-441 formación de imágenes en espejo plano y, 350, 350 reflexión de espejo cóncavo, 359-60, 359-360 reflexión de espejo convexo, 361-62, 361-362 reflexión de, 348-50, 348-349, 353-354 reflexión interna total, 353-55, 353-354 refracción de, 351-56, 351 gamma, 385-86, 386 razón de cambio, 20

505

reacción en cadena, 409-11, 410 nuclear, 407-10, 407 energía de, 407-8 química, 376, 376 fuerza de, 70, 70 reactor nuclear, 410-14, 411 diseño de, 412-13, 412 problemas ambientales y, 413-14 producción de plutonio en, 411-12, 411 reacción en cadena en, 408-10, 410 red de difracción, 337-38, 338 neuronal, 460, 460 reflexión especular de la luz, 329, 329 de rayos de luz, 348-50, 348-349, 353-354 interna total, 353-55, 353 ley de la, 349 refracción de rayos de luz, 351-56, 351 índice de, 351-52 ley de, 351-52, 351 refrigerador, 216-17, 216 regla de la mano derecha, 282-84, 282-83 relámpago, 247b ultravioleta, 326, 326 visible, 326, 326 relatividad contracción de longitud y, 433-35, 434 corrimiento al rojo gravitacional, 441 del movimiento, 425-28, 425-427 dilatación del tiempo y, 432-33, 432-433 equivalencia masa-energía y, 435-39, 437 experimento de Michelson-Morley y, 429-30, 430 hoyos negros y, 442-43 leyes de Newton y, 435-39 marcos de referencia inerciales y, 427-28 principio de equivalencia y, 439-440, 439-440 principio de, 427 rapidez de la luz y, 428-31 teoría especial de la, 425, 430-31, 431 teoría general de, 425, 439-42, 439-442 reloj de luz, 432, 432-433 Rem (equivalente roentgen en el ser humano), 406c reposo, energía en, 438-39, 438 reserva de calor, 210 resistencia, 259, 261-62, 261 resorte de juguete, 301-02, 301 restitución, fuerza de, 116-17, 116 retina, 362-63, 363 retroceso, 128-30, 128-130 retrógrado, movimiento, 87-88, 87 revolución, 143, 144 Roentgen, Wilhelm, 383-84, 383-384 Rumford, Count (Benjamin Thompson), 194 Rutherford, Ernest, 385-86, 400 Rydberg, constante de, 389

S salto con garrocha, 113b satélites, órbitas de, 95-96, 96 semiconductor, 237, 454-56, 454-456

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506

Índice analítico

senoidal curva, 267, 269 onda, 304, 304 sensores de vehículos, 291c silicio, 454-55, 454-455 silla, movimiento de, 59, 62, 67-68, 67, 70-71, 71 símbolos, 8 sistema métrico, 8-9, 9t slinky. Véase resorte de juguete sodio, 394 software, 459 solar colector, 202c-203c eclipse, 93, 94 energía, 221, 221 Strassmann, Fritz, 409 superconductividad, 461, 461 superconductor, 461-62, 462 de alta temperatura, 461-62, 462 supercolisionador, 448 superficie de carretera asfaltada, 202 superfluidos, 461 superposición, principio de, 306 Super-Protón- Sincrotón, 7

T tabla periódica, 379-80, 380, 394-95, 394 telescopio, 364, 366-67, 366 televisión, 382c temperatura, 187-207. Véase también calor absoluta, 191 calor vs., 192-93, 193 cero absoluto para, 190-91, 190-191 crítica, 461, 461 definición, 188-89, 193 del gas, 198-200, 198 energía interna y, 195-96, 196, 198, 198 escalas para, 189-90, 190 experimentos de Joule sobre, 195, 195 Rumford sobre, 194, 195 fricción y, 188, 188 medición de, 188-91, 188-191 teoría, 3 del campo unificado, 241, 451, 451 térmico(a) conductividad, 200-201, 200 corrientes, 199 equilibrio, 189 plantas de energía, 219-22, 220-221 termo, 201-2, 201 termodinámica, 6t ley cero de, 189 primera ley de la, 195-96 máquina térmica y, 210-12, 211 segunda ley de la, 214-16 enunciado de Clausius de, 217, 218 termómetro, 188-89, 188-189 de gas de volumen constante, 190-91, 190-191 de mercurio, 188-89, 188-189

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termostato, 268b Thompson, Benjamín (conde Rumford), 194 Thomson, J. J., 381, 383, 448 Thomson, William (lord Kelvin), 195 tiempo de vuelo, 48, 48 dilatación del, 432-33, 432-433 medición de, 432-33, 432 principio de, 452-54 propio, 432 relatividad general y, 441-42 Tierra, propiedades magnéticas de la, 280-81, 281 tiro de básquetbol, 50c-51c Tokamak, prueba del reactor de fusión, 418, 418 tono musical, 308 Torricelli, Evangelista, 169-70 tostador, 268c, 270, 270t trabajo de máquina simple, 103-4, 104 definición, 104-5 fuerzas y, 105, 105 negativo, 107, 107 potencia y, 105-6 Traite Élémentaire de Chimie (Lavoisier), 376 transformador, 293-94, 293 transistor, 456-57, 456 de efecto campo, 457 trayectoria, 47-48, 47-48 ángulo de lanzamiento y, 49-52, 49, 51-52 trineo, en una colina, 112, 112, 114, 114, 114t truco del mantel, 64c-65c truenos, 310, 311 tuberías flujo de agua en, 177-80, 177-178, 180 presión en, 180, 180 tubo de rayos catódicos, 381, 381, 382c, 383, 383 turbina de vapor, 211, 211, 219-20, 220-221

U Universo. Véase también planetario, movimiento concepción geocéntrica del, 87, 87 heliocéntrica del, 88-89, 89 expansión del, 452-54, 452 uranio, 408-10, 408, 409, 410 enriquecimiento del, 412 masa crítica del, 415-16, 416

vela, humo de, 178, 179 velocidad, 22-24 aceleración uniforme y, 31-32, 31 ángulo de lanzamiento y, 51-52, 52 cambio en, 81, 81, 124. Véase también aceleración de un cuerpo en caída, 42-44, 42-43 de una pelota en movimiento, 47, 47 dirección de, 23 cambio en la, 23, 23, 25-26, 27. Véase también aceleración distancia recorrida y, 29, 29, 31 en carrera de 100 metros planos, 30c flecha para, 24, 24 gráfica de, 28-29, 29, 31 inicial, 72 instantánea, 24, 28 lineal, 145-46, 145 magnitud de, 22-23 para pelota lanzada hacia arriba, 44-46, 44-46 para una pelota lanzada hacia abajo, 43-44, 43-44, 44b primera ley de Newton y, 62, 62 rapidez vs., 23 retroceso y, 128-30, 128-130 rotacional, 143-46, 145 de buzo, 153-54, 154 de patinador, 152-54, 152 dirección de, 156, 156 suma de, 425-27, 426-427 terminal, 71 vectores y, 24, 24 ventaja mecánica, 104 Vía Láctea, 452, 452 vida media, 405-6, 405 vidrio, conducción de calor por, 202 viscosidad, 177-78, 177-178 volt (V), 231 Volta, Alessandro, 231 voltaje, 243-46, 259 efectivo, 267, 269 medición del, 260, 263-64, 264 voltímetro, 263-64, 264 Von Guericke, Otto, 170, 172

W watt (W), 106

V vaporización, calor latente de, 193 vector(es), 24, 24, 476-79 cantidad de movimiento angular, 156-57 cantidad de movimiento lineal, 124 componentes de, 478-79 de aceleración, 26-27, 26 de fuerza, 63-64, 63 de velocidad, 24, 24 resta de, 478 suma de, 476-78

X X, rayos, 325-326, 326, 406c descubrimiento de, 383-84, 383-384

Y Young, Thomas, 330-31 yo-yo, 155c

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Factores de conversión LONGITUD 1 in = 2.54 cm 1 cm = 0.394 in 1 ft = 30.5 cm 1 m = 39.4 in = 3.281 ft 1 km = 0.621 mi 1 mi = 5280 ft = 1.609 km 1 año luz = 9.461 × 1015 m MASA Y PESO 1 lb ⇒ 0.4536 kg (donde g = 9.80 m/s2) 1 kg ⇒ 2.205 lb (donde g = 9.80 m/s2) 1 unidad de masa atómica (u) = 1.66061 × 10–27 kg VOLUMEN 1 litro = 1.057 cuartos 1 in3 = 16.4 cm3 1 galón = 3.786 litros 1 ft3 = 2.832 × 10–2 m3 ENERGÍA Y POTENCIA 1 cal = 4.186 J 1 J = 0.239 cal 1 kW-h = 3.60 × 106 J = 860 cal 1 hp = 746 W 1 J = 6.24 × 1018 eV 1 eV = 1.6022 × 10–19 J TEMPERATURA Cero absoluto (0 K) = –273.15°C RAPIDEZ 1 km/h = 0.278 m/s = 0.621 mi/h 1 m/s = 3.60 km/h = 2.237 mi/h = 3.281 ft/s 1 mi/h = 1.61 km/h = 0.447 m/s = 1.47 ft/s 1 ft/s = 0.305 m/s = 0.682 mi/h FUERZA 1 N = 0.2248 lb 1 lb = 4.448 N PRESIÓN 1 atm = 1.013 bar = 1.013 × 105 N/m2 = 14.7 lb/in2 1 lb/in2 = 6.90 × 103 N/m2 ÁNGULO 1 rad = 57.30° 1° = 0.01745 rad 1 rev = 360° = 2π rad

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PREFIJOS MÉTRICOS Prefijos Símbolos GigaG MegaM KiloK Hectoh Decada

Significado 1 000 000 000 veces la unidad 1 000 000 veces la unidad 1 000 veces la unidad 100 veces la unidad 10 veces la unidad

Unidad base DeciCentiMiliMicroNano-

0.1 de la unidad 0.01 de la unidad 0.001 de la unidad 0.000 001 de la unidad 0.000 000 001 de la unidad

d c m µ n

CONSTANTES Y DATOS FÍSICOS Cantidad Valor aproximado Aceleración de la gravedad (cerca de la superficie de la Tierra) g = 9.80 m/s2 Constante de la ley gravitacional G = 6.67 × 10–11 N · m2/kg2 Radio de la Tierra (medio) 6.38 × 106 m Masa de la Tierra 5.98 × 1024 kg Distancia de la Tierra al Sol (media) 1.50 × 1011 m Distancia de la Tierra a la Luna (media) 3.84 × 108 m Carga fundamental e = 1.60 × 10–19 C Constante de la ley de Coulomb k = 9.00 × 109 N · m2/C2 Masa del electrón en reposo 9.11 × 10–31 kg Masa del protón en reposo 1.6726 × 10–27 kg Masa del neutrón en reposo 1.6750 × 10–27 kg Radio de Bohr 5.29 × 10–11 m Número de Avogadro 6.02 × 1023/mol Constante de Planck 6.626 × 10–34 J · s Rapidez de la luz (vacío) 3.00 × 108 m/s CONSTANTES Y FÓRMULAS MATEMÁTICAS Pi 3.1416 Área del círculo π r2 Circunferencia del círculo 2π r Área de la esfera 4π r2 Volumen de la esfera 4/3 π r3

27/10/07 22:17:16

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27/10/07 22:17:17

104 Rf (257)

72 Hf 178.5

59 Pr 140.9 91 Pa (231)

90 Th 232.0

106 Sg (263)

74 W 183.9

42 Mo 95.94

58 Ce 140.1

105 Db (260)

73 Ta 180.9

41 Nb 92.91

24 Cr 52.00

92 U 238.0

60 Nd 144.2

107 Bh (262)

75 Re 186.2

43 Tc (98)

25 Mn 54.94

78 Pt 195.1

77 Ir 192.2 109 Mt (266)

76 Os 190.2 108 Hs (265)

93 Np (237)

61 Pm (147)

94 Pu (242)

62 Sm 150.4

46 Pd 106.4

45 Rh 102.9

44 Ru 101.1

95 Am (243)

63 Eu 152.0

110

28 Ni 58.69

27 Co 58.93

26 Fe 55.85

96 Cm (247)

64 Gd 157.3

111

79 Au 197.0

47 Ag 107.9

29 Cu 63.55

97 Bk (247)

65 Tb 158.9

112

80 Hg 200.6

48 Cd 112.4

30 Zn 65.39

98 Cf (249)

66 Dy 162.5

(113)

81 Tl 204.4

49 In 114.8

31 Ga 69.72

99 Es (254)

67 Ho 164.9

114

82 Pb 207.2

50 Sn 118.7

32 Ge 72.59

14 Si 28.09

6 C 12.01

14 4A

100 Fm (253)

68 Er 167.3

(115)

83 Bi 209.0

51 Sb 121.8

33 As 74.92

15 P 30.97

7 N 14.01

15 5A

101 Md (256)

69 Tm 168.9

(116)

84 Po (210)

52 Te 127.6

34 Se 78.96

16 S 32.07

8 O 16.00

16 6A

102 No (254)

70 Yb 173.0

(117)

85 At (210)

53 I 126.9

35 Br 79.90

17 Cl 35.45

9 F 19.00

17 7A

La designación de los grupos 1 a 18 es la recomendada por la Unión Internacional de Química Pura y Aplicada (IUPAC) pero su uso aún no se ha generalizado. No se asignaron nombres a los elementos 110 a 112 y 114. Los elementos 113 y 115 a 118 todavía no se han sintetizado.

No metales

Metaloides

Metales

89 Ac (227)

57 La 138.9

40 Zr 91.22

23 V 50.94

88 Ra (226)

12 2B

87 Fr (223)

11 1B

56 Ba 137.3

39 Y 88.91

22 Ti 47.88

10

9 8B

8

55 Cs 132.9

7 7B

38 Sr 87.62

21 Sc 44.96

6 6B

37 Rb 85.47

5 5B

20 Ca 40.08

4 4B

19 K 39.10

3 3B

13 Al 26.98

12 Mg 24.31

13 3A

11 Na 22.99

Masa atómica

Número atómico

5 B 10.81

24 Cr 52.00

4 Be 9.012

2 2A

3 Li 6.941

1 H 1.008

1 1A

Tabla periódica de los elementos

103 Lr (257)

71 Lu 175.0

(118)

86 Rn (222)

54 Xe 131.3

36 Kr 83.80

18 Ar 39.95

10 Ne 20.18

2 He 4.003

18 8A

Griffith 507_508.indd 509

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prefacio sa y detenida. Muchos instructores consideran esenciales los capítulos 18 y 19, que tratan sobre los fenómenos atómicos y nucleares, incluso en un curso de un semestre. Si se incluyen en un curso como ése, recomendamos abreviar la cobertura de otras áreas para no recargar de trabajo a los estudiantes. El Instructor Center del Online Learning Center contiene planes de estudio de muestra para los distintos tipos de cursos. Algunos instructores preferirían pasar el capítulo 20 sobre la relatividad al final de la sección de mecánica o antes del material acerca de física moderna. La relatividad guarda poca relación con los fenómenos cotidianos, desde luego, pero se incluye debido al gran interés que generalmente despierta en los estudiantes. El capítulo final (21) presenta una variedad de temas sobre física moderna —entre ellos la física de partículas, la cosmología, los semiconductores, las computadoras y la superconductividad—, por lo que podría emplearse para estimular el interés sobre diversos aspectos a lo largo el curso. Valga hacer una petición tanto a los instructores como a los estudiantes: no intenten memorizar demasiado material en poco tiempo. Hemos trabajado con diligencia para exponer con profundidad razonable los conceptos básicos que suelen incluirse en la introducción a la física. Esas ideas se disfrutan más cuando se dedica tiempo a la discusión activa y a la luz de preguntas que permitan comprenderlas cabalmente. Si se intenta abarcar el material con rapidez excesiva no se aprenderán los conceptos y los estudiantes quedarán aturdidos con la profusión de palabras y definiciones. Menos puede resultar mejor si redunda en una mejor comprensión.

L

a satisfacción de comprender cómo se forman el arco iris, cómo giran los patinadores en hielo o por qué las mareas suben y bajan –fenómenos que todos hemos visto o experimentado– es uno de los principales motivos para la introducción a la ciencia. Esta obra busca infundir esa satisfacción en los estudiantes que cursan materias no relacionadas con la ciencia. El libro, que puede usarse en cursos de un semestre o de dos trimestres, está escrito en estilo narrativo y a menudo emplea preguntas diseñadas para incluir al lector en el estudio de las ideas de la física. Este estilo permite que el texto sea útil para cualquier persona interesada en explorar la naturaleza de la física y obtener explicaciones de los fenómenos físicos cotidianos. “Griffith ha hecho un trabajo muy respetable al presentar este curso de física conceptual de manera clara y práctica. Es una obra magnífica que, al parecer, está convirtiéndose muy aprisa en un libro de texto de primera.” —Michael Bretz, Universidad de Michigan

Organización del libro Salvo los capítulos 15, 16 y 17, introducidos en la cuarta edición y reorganizados en ésta, hemos conservado el mismo orden de las ediciones anteriores, que es el tradicional, con algunas variaciones menores. El capítulo sobre energía (el 6) precede al de cantidad de movimiento (7), por lo que las ideas expuestas en aquél pueden usarse en el estudio de las colisiones. El movimiento ondulatorio se encuentra en el capítulo 15, después de los correspondientes a la electricidad y el magnetismo, y antes de los capítulos 16 y 17, acerca de la óptica. El capítulo sobre fluidos (19) va después del de mecánica y antecede a los capítulos sobre termodinámica. Los primeros 17 capítulos están diseñados para exponer a los estudiantes las ideas principales de la física clásica y pueden estudiarse en un curso de un semestre, con algunas reducciones razonables. Los 21 capítulos que forman la obra podrían impartirse en un curso de dos trimestres, e incluso en un curso de dos semestres en el que los conceptos se abordaran de forma meticulo-

Matemáticas en un curso de física conceptual La aplicación de las matemáticas en un curso de física conceptual constituye un reto formidable para muchos estudiantes, sobre todo para los que que cursan especialidades no relacionadas con la ciencia. Si bien hay intentos por enseñar física conceptual sin matemáticas, es preciso señalar que pierden la oportunidad de ayudar a los estudiantes a adquirir seguridad en el uso y la manipulación de relaciones cuantitativas sencillas. A todas luces las matemáticas son una herramienta poderosa para expresar las relaciones cuantitativas de la física. xi

Griffith prefacio xi

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xii

Prefacio

Sin embargo, su uso puede limitarse con prudencia y quedar subordinado a los conceptos físicos que se estudian. Muchos usuarios de la primera edición de esta obra consideraron que las expresiones matemáticas aparecían con demasiada frecuencia para comodidad de ciertos estudiantes. En respuesta, las redujimos considerablemente en el cuerpo del texto en la segunda edición. La mayoría de los lectores han señalado que el nivel actual es más o menos adecuado, así que no lo modificamos en esta edición. “El nivel de presentación de los temas es perfecto para un curso de física de bachillerato. Da la casualidad que necesitaba un libro justo con ese nivel, que mantuviera el equilibrio entre un libro conceptual sin matemáticas y uno que abordara los temas para el bachillerato, no de manera profesional. Por añadidura, la brevedad de la exposición se presta para un curso de un semestre.” —Brent Royuk, Concordia University

La coherencia lógica es una característica importante de este libro. Las fórmulas se presentan con cuidado después de cada concepto y, en general, van acompañadas de una explicación de la relación que denotan. Hemos seguido perfeccionando los cuadros de ejemplo que presentan ejercicios y preguntas. La mayor parte incluye figuras numeradas de las ideas expuestas. No se requiere matemáticas más allá del álgebra necesaria para la secundaria. En el apéndice A se presenta un repaso de los conceptos básicos de álgebra simple, junto con algunos ejercicios de práctica, para los estudiantes que necesitan ayuda en esos temas.

Novedades de esta edición Hemos hecho algunas adiciones y cambios significativos en la quinta edición. Sin embargo, a medida que el libro ha evolucionado hemos tratado de permanecer fieles a los principios en que se basó la obra desde el principio. Uno de ellos ha sido mantener el texto con una extensión razonable, tanto en el número de capítulos como en el contenido en general. Muchos libros crecen sin gran orden a medida que los lectores y revisores solicitan más y más de sus temas preferidos. Hemos hecho un arduo esfuerzo por mantener un esquema de trabajo que ayude a fortalecer la comprensión de la física básica. 1.

Respuestas a preguntas selectas. A solicitud de usuarios y revisores, en el apéndice D añadimos las respuestas a preguntas selectas. Se proporcionan las respuestas de cada sexta pregunta, empezando por la 3, en un formato que consiste en una o dos oraciones. Además, puede hallar la respuesta de las preguntas 6, 12, 18, etc., en el Online Learning Center (OLC) a través de internet. Estas respuestas brindan retroalimentación en un estilo apropiado para responder a las preguntas conceptuales sobre las que pueden explayarse los estudiantes e instructores.

Griffith prefacio xii

2.

3.

4.

5.

6.

Nuevos cuadros de fenómenos cotidianos. Se han agregado tres cuadros nuevos sobre fenómenos cotidianos. Dos de ellos contienen aplicaciones biológicas de ideas de la física y en el tercero se incluye un poco de química. La mayor parte de los capítulos ahora cuenta con dos cuadros de fenómenos cotidianos. Los nuevos títulos son: Cuadro 9.1 de fenómenos cotidianos: medición de la presión sanguínea Cuadro 13.1 de fenómenos cotidianos: impulsos eléctricos en las células nerviosas Cuadro 18.1 de fenómenos cotidianos: pilas de combustible y economía de hidrógeno Secretos del éxito. Antes del capítulo 1 se ha añadido una breve sección, Secretos del éxito al estudiar física, que contiene sugerencias sobre cómo estudiar esta materia y que quizá sean distintas del modo como los alumnos estudian otras asignaturas. Material gráfico actualizado. Las fotografías y figuras del texto se han actualizado en varias partes para obtener una mayor relevancia y claridad. Se añadieron algunas fotografías nuevas. En muchos casos, los cambios son menores y buscan ayudar al usuario a advertir las características fundamentales. Muchos de estos cambios fueron sugeridos por lectores y revisores con vista de lince. Nuevos ejercicios de ejemplo. A solicitud de los revisores, se añadieron algunos ejercicios de ejemplo nuevos, con los que se pretende apoyar al estudiante para que comprenda aspectos cuantitativos simples de los conceptos abordados. Mejoras continuas en la claridad del texto. Aun cuando la claridad en la redacción, la cual ha sido elogiada por los revisores, es una de las características más destacadas de la obra, siempre puede mejorarse. Los cambios casi siempre son sutiles, pero tienen el objetivo de hacer que las explicaciones sean técnicamente correctas y claras.

Material de aprendizaje El objetivo fundamental de esta obra es presentar los conceptos físicos por medio de fenómenos cotidianos cuando sea posible. Para lograrlo, se ha incluido una variedad de características que vuelven más eficaz y ameno el estudio de La física de los fenómenos cotidianos. Algunos conceptos clave sientan las bases para entender la física y las características del texto descritas aquí refuerzan tal estructura, de modo que el lector no se perderá en un aluvión de definiciones y fórmulas. “La presentación es extraordinaria: clara, concisa, no demasiado complicada ni superficial. El estilo es refrescante. Se invita a los estudiantes a pensar; no se les abruma con explicaciones complicadas…” —Klaus Rossberg, Oklahoma City University

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xiii

Prefacio

Entradas de los capítulos Cada capítulo comienza con una ilustración de la experiencia cotidiana, la cual sirve como tema para exponer conceptos físicos relevantes. La física puede parecer abstracta a muchos estudiantes, pero el uso de fenómenos cotidianos y ejemplos concretos reduce esa abstracción. La descripción del capítulo reseña el contenido respectivo y lo que los estudiantes pueden esperar aprender. La descripción introduce los conceptos que se expondrán, facilita la integración de los temas y ayuda a los estudiantes a centrarse y organizarse cuando leen el capítulo por primera vez. El esquema del capítulo incluye los títulos de los temas importantes abordados en el capítulo. También contiene preguntas que dan a los estudiantes una guía de lo que cabe esperar que sepan a fin de comprender los conceptos principales del capítulo. Esas preguntas después se correlacionan con los resúmenes al final del capítulo.

Impulso y cantidad de movimiento

Los esquemas, preguntas y resúmenes brindan un marco de trabajo claro para las ideas estudiadas en cada capítulo. Una de las dificultades que los estudiantes encaran al estudiar física (o cualquier materia) es que no logran formarse una idea cabal del orden de las cosas. Un marco de trabajo sistemático del capítulo constituye una herramienta poderosa para ayudarles a notar cómo se engarzan las ideas. Otras características del texto Al final de cada sección se incluyen párrafos de resumen enmarcados para complementar el resumen más general que viene al final del capítulo. La cantidad de movimiento y el impulso son muy útiles para evaluar fenómenos tales como los choques, donde actúan fuerzas poderosas brevemente para producir cambios sorprendentes en el movimiento de los cuerpos. El principio de impulso y cantidad de movimiento establece que el cambio en la cantidad de movimiento es igual al impulso. Ésta es otra forma de enunciar la segunda ley de Newton. El impulso, el producto de la fuerza media por el tiempo que es aplicada, permite predecir el cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo. Los impulsos grandes producen cambios grandes en la cantidad de movimiento.

esquema del capítulo

1

capítulo

unidad uno

7

descripción del capítulo En este capítulo exploramos la cantidad de movimiento y el impulso, conceptos cuya aplicación estudiamos al analizar sucesos tales como un choque de dos jugadores de futbol americano. Asimismo, exponemos el principio de conservación de la cantidad de movimiento y explicamos sus límites. Varios ejemplos nos permitirán entender cómo aplicar estas ideas, en particular la conservación de la cantidad de movimiento. Fundamental para comprender los temas expuestos en el capítulo, la cantidad de movimiento es a un tiempo herramienta poderosa para entender gran parte de los cambios que ocurren repentinamente en la vida diaria.

2

3 4

5

Cantidad de movimiento e impulso. ¿Cómo pueden describirse los cambios rápidos en el movimiento con base en los conceptos de cantidad de movimiento e impulso? ¿Cómo se relacionan estos conceptos con la segunda ley de Newton del movimiento? Conservación de la cantidad de movimiento. ¿Cuál es el principio de conservación de la cantidad de movimiento y cuándo es válido? ¿Cuál es la relación de ese principio con las leyes de Newton del movimiento? Retroceso. ¿Cómo podemos explicar el retroceso de un rifle o una escopeta con base en el concepto de cantidad de movimiento? ¿Qué semejanza hay entre disparar esas armas y lanzar un cohete? Colisiones elásticas e inelásticas. ¿Cómo pueden analizarse las colisiones con base en la conservación de la cantidad de movimiento? ¿Cuál es la diferencia entre una colisión elástica y otra inelástica? Colisiones en cierto ángulo. ¿Cómo podemos ampliar el concepto de cantidad de movimiento a dos dimensiones? ¿En qué se parece el juego de billar a los choques automovilísticos?

“Encontré un uso abundante de preguntas como ‘¿Cree en los átomos? ¿Por qué?’ para motivar que el análisis sea excepcional. También hallé la historia intercalada de modo que el estudio de los temas es excelente. Con frecuencia, también uso ese método. En general, supone un flujo natural de los conceptos, informa al estudiante cómo sabemos lo que sabemos y lo entrena en el pensamiento científico, además de mostrar cómo se aplica y manifiesta la ciencia en la realidad… Sólo alguien que se resista enérgicamente a la comprensión no entendería el libro de Griffith, quien escribe de manera clara, lógica e interesante.” —Charles W. Rogers, Southwestern Oklahoma State University

Los títulos de las subsecciones con frecuencia se plantean como preguntas para motivar al lector y despertar su curiosidad.

¿Cuál es la diferencia entre rapidez y velocidad? “Una descripción y un esquema muy buenos por cada capítulo y cada unidad. Una introducción e ilustración muy claras de los fenómenos, conceptos y principios de la física, y excelentes ejercicios, problemas y experimentos/observaciones para la casa al final de cada capítulo.” —Hai-Sheng Wu, Minnesota State University, Mankato

Griffith prefacio xiii

Imagina que conduces un automóvil para tomar una curva (figura 2.5) y que mantienes una rapidez constante de 60 km/h. En este caso, ¿tu velocidad también es constante? No, ya que la velocidad se refiere tanto a la dirección del movimiento de un objeto como a la rapidez con que se desplaza. La dirección del movimiento cambia a medida que el automóvil recorre la curva. P d i l di i ió l id

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xiv

Prefacio

Los consejos y las sugerencias de estudio proporcionan a los estudiantes ideas acerca de cómo utilizar el libro, recomendaciones sobre la aplicación de los principios de los conceptos físicos y sugerencias para realizar experimentos en casa.

consejo de estudio Con excepción de los ejemplos en que interviene el impulso, la mayoría de las situaciones descritas en este capítulo ponen énfasis en el principio de conservación de la cantidad de movimiento. Las ideas básicas usadas en la aplicación de la conservación de la cantidad de movimiento son las siguientes:

de movimiento después del suceso pfinal. La cantidad de movimiento se conserva, no cambia. 3. La igualdad de la cantidad de movimiento antes y después del suceso puede aprovecharse para obtener otra información sobre el movimiento de los cuerpos.

1. Se supone que las fuerzas externas son mucho menores que las grandes fuerzas de interacción en una colisión u otro suceso breve. Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema pueden ignorarse, la cantidad de movimiento se conserva. 2. La cantidad de movimiento total del sistema antes de la colisión u otra interacción breve pinicial es igual a la cantidad

Como repaso, lee de nuevo cómo se utilizan estos tres aspectos en los ejemplos de este capítulo. La cantidad de movimiento total del sistema antes y después del suceso siempre se calcula sumando los valores de la cantidad de movimiento de los cuerpos individuales como vectores. Debes poder describir la magnitud y la dirección de esta cantidad de movimiento total en cada ejemplo.

Dentro del capítulo se incluyen cuadros de ejemplo que contienen una o más muestras concretas de un problema y una solución práctica. Mediante el estudio meticuloso de estas muestras los estudiantes pueden advertir mejor los diversos usos de la resolución de problemas en la física.

cuadro de ejemplo 2.4 Ejercicio: aceleración uniforme Un automóvil que viaja hacia el este con una velocidad inicial de 10 m/s acelera durante 6 segundos a una razón constante de 4 m/s2. a) ¿Cuál es su velocidad al final de ese lapso? b) ¿Cuánta distancia recorre durante ese tiempo? a) v0 = 10 m/s a = 4

v = v0 + at

m/s2

Transiciones en la circulación vehicular (capítulo 2) Los 100 metros planos (capítulo 2) Tiro de una pelota de básquetbol (capítulo 3) El truco del mantel (capítulo 4) Transporte en ascensor (capítulo 4) Cinturones de seguridad, bolsas de aire y dinámica de los accidentes (capítulo 5) fenómenos cotidianos Medición de la presión sanguínea Situación. Cuando vas al médico, en general la enfermera mide tu presión sanguínea antes de la revisión. Te colocan un brazalete alrededor del brazo (como se muestra en la fotografía) y luego bombean aire a él, lo que te produce la sensación de que te aprietan el brazo. Luego la columna de aire se suelta lentamente mientras la enfermera escucha algo con un estetoscopio y anota algunos números como 125 sobre 80.

= 10 m/s + (4 m/s2)(6 s)

t = 6s

= 10 m/s + 24 m/s

v = ?

= 34 m/s

b) d = v0t + at2

Brazalete Válvula

La medición de la presión sanguínea es un procedimiento normal en la mayoría de las visitas al médico. ¿Cómo funciona este procedimiento?

1

= (10 m/s)(6 s) + 2 (4 m/s2)(6 s)2 = 60 m + (2 m/s2)(36 s2) = 60 m + 72 m = 132 m

Los cuadros de fenómenos cotidianos relacionan los conceptos físicos estudiados en el texto con temas de la realidad, problemas sociales y tecnología moderna, siempre con énfasis en la relevancia de la física y su relación con la vida diaria. La lista de temas incluye: El caso de la cafetera descompuesta (capítulo 1)

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cardiaco. La lectura baja, la presión diastólica, se toma cuando el flujo sanguíneo ocurre incluso en el punto inferior del ciclo. Existen sonidos distintivos que recoge el estetoscopio. La presión registrada es, en realidad, la del brazalete para estas dos condiciones. Es una presión manométrica, que representa la diferencia de presión entre la presión que se está midiendo y la presión atmosférica. Se registra en unidades de mm de mercurio, que es la forma común de registrar la presión atmosférica. Por ende, una lectura de 125 significa que la presión en el brazalete es 125 mm de mercurio arriba de la presión atmosférica. Un manómetro de mercurio que está abierto al aire en un lado (observa el dibujo) medirá el indicador de presión directamente.

Manómetro abierto

v = 34 m/s este 1 2

cuadro 9.1

¿Cuál es el significado de esos dos números? ¿Qué es la presión sanguínea y cómo se mide? ¿Por qué esta lectura es un factor importante, junto con la de tu peso, temperatura e historia médica, en la valoración de tu salud? Análisis. Tu sangre fluye por un intrincado sistema de arterias y venas en tu cuerpo. Como sabemos, este flujo es impulsado por el corazón, el cual es básicamente una bomba; dicho con más exactitud, es una bomba doble. Una mitad bombea sangre a través de los pulmones, donde las células sanguíneas recogen oxígeno y desechan bióxido de carbono. La otra mitad del corazón bombea sangre por el resto de tu cuerpo para entregar oxígeno y nutrientes. Las arterias transportan sangre desde el corazón hacia pequeños vasos capilares que funcionan en conjunto con otras células en los músculos y los órganos. Las venas reúnen sangre de los vasos capilares y la llevan de vuelta al corazón. Medimos la presión sanguínea en una arteria principal de tu brazo superior aproximadamente a la misma altura a la que se halla tu corazón. Cuando se bombea aire hacia el brazalete alrededor de tu brazo, comprime esa arteria de manera que la sangre deja de fluir. La enfermera coloca el estetoscopio, un dispositivo para escuchar, cerca de la arteria en un punto inferior del brazo y escucha el flujo sanguíneo que reinicia cuando suelta el aire del brazalete. El corazón es una bomba palpitante que bombea sangre con más fuerza cuando el músculo cardiaco está comprimido casi completamente. Por tanto, la presión fluctúa entre valores alto y bajo. La lectura más alta en la medición de la presión sanguínea, la presión sistólica, se toma cuando la sangre acaba de comenzar a fluir por la arteria comprimida en el punto máximo del ciclo

Estetoscopio

Un manómetro abierto sirve para medir la presión manométrica del brazalete. El estetoscopio se usa para escuchar sonidos que indiquen el reinicio del flujo sanguíneo.

La presión sanguínea alta puede ser un síntoma de muchos problemas de salud, pero concretamente es una advertencia de ataques al corazón y derrames cerebrales. Cuando las arterias se constriñen debido a la formación de depósitos de placas dentro de ellas, el corazón debe trabajar más duro para bombear sangre por el cuerpo. Con el tiempo esto puede debilitarlo. El otro peligro radica en que los vasos sanguíneos podrían reventarse en el cerebro, provocando un derrame o produciendo coágulos sanguíneos que podrían soltarse y bloquear las arterias más pequeñas del corazón o del cerebro. En todo caso, la presión sanguínea alta es un indicador importante de un problema potencial. La presión sanguínea baja también puede ser un indicio de problemas. Puede causar mareos cuando no llega suficiente sangre al cerebro. Cuando te paras rápidamente, a veces experimentas una sensación de “vértigo” porque el corazón tarda un momento breve en ajustarse a la nueva condición en la que tu cabeza está en una posición más alta. Las jirafas tienen una presión sanguínea aproximadamente tres veces mayor que la de los seres humanos (en términos de la presión manométrica). ¿Por qué crees que sea así?

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Prefacio

“Este libro comparado con otros es sencillamente interesante. Temas como la física de la música y la percepción del color realmente captaron mi atención, aun cuando leí gran parte de los capítulos de una sentada. La explicación de los fenómenos cotidianos es excelente.” —Tim Bolton, Kansas State University

Impulsos eléctricos en las células nerviosas (capítulo 13) El interruptor oculto en el tostador (capítulo 13) Motores de corriente directa (capítulo 14) Sensores de vehículos en los semáforos (capítulo 14) El claxon de un automóvil en movimiento y el efecto Doppler (capítulo 15) ¿Por qué el cielo es azul? (capítulo 16) Capas antirreflejantes en los anteojos (capítulo 16) El arco iris (capítulo 17) Cirugía láser refractiva (capítulo 17) Pilas de combustible y economía de hidrógeno (capítulo 17) Electrones y televisión (capítulo 18) Exposición a la radiación (capítulo 18) ¿Qué ocurrió en Chernobyl? (capítulo 19) La paradoja de los gemelos (capítulo 20) Hologramas (capítulo 21)

Explicación de las mareas (capítulo 5) Energía y salto con garrocha (capítulo 6) Choque de automóviles (capítulo 7) El arte de dominar el yo-yo (capítulo 8) Medición de la presión sanguínea (capítulo 9) Lanzamiento de una bola curva (capítulo 9) Colectores solares y el efecto invernadero (capítulo 11) Motores híbridos para automóviles (capítulo 11) Una laguna productiva (capítulo 11) Rayos (capítulo 12)

Características de fin de capítulo • El resumen destaca los elementos fundamentales expuestos en el capítulo y correlaciona las preguntas planteadas sobre ellos hechas en la entrada del mismo.

Resumen

resumen En este capítulo redefinimos la segunda ley de Newton del movimiento en términos del impulso y la cantidad de movimiento para describir interacciones entre los cuerpos tales como las colisiones, que implican grandes fuerzas de interacción que actúan durante intervalos de tiempo muy breves. El principio de conservación de la cantidad de movimiento, el cual se deduce de la segunda y tercera leyes de Newton, tiene en ello un papel central.

• Los conceptos clave tienen referencias a las páginas donde los estudiantes los hallarán definidos en el contexto apropiado. • Las preguntas están diseñadas para desafiar a los estudiantes a que demuestren su comprensión de los conceptos clave. En el apéndice D se dan las respuestas a preguntas selectas para ayudar a los alumnos en el estudio de los conceptos más difíciles.

Preguntas

impulso, 124 cantidad de movimiento, 124 principio de impulso y cantidad de movimiento, 125

conservación de la cantidad de movimiento, 126 retroceso, 129 colisión perfectamente inelástica, 130

consejo de estudio

Δp

1. Se supone que las fuerzas externas son mucho menores que las grandes fuerzas de interacción en una colisión u otro suceso breve. Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema pueden ignorarse, la cantidad de movimiento se conserva. 2. La cantidad de movimiento total del sistema antes de la colisión u otra interacción breve pinicial es igual a la cantidad

Antes Como repaso, lee de nuevo cómo se utilizan estos tres aspectos en los ejemplos de este capítulo. La cantidad de movimiento P total del sistema antes y después del suceso siempre se calcula sumando los valores de la cantidad de movimiento de los cuerpos individuales como vectores. Debes poder describir la magnitud y la dirección de esta cantidad de movimiento total en cada ejemplo. Si Fexterna = 0

Después

Elástica

P7. ¿Existe una ventaja de seguir el movimiento con el bate después de golpear la pelota de béisbol, manteniendo de ese modo un contacto mayor entre el bate y la bola? Explica por qué.

P1. ¿El tiempo en que una fuerza actúa sobre un cuerpo ejerce algún efecto en la intensidad del impulso producido? Explica por qué.

P8. ¿Cuál es la ventaja de un tablero de control acolchado sobre uno rígido para reducir las lesiones durante un choque? Explícalo usando los conceptos de cantidad de movimiento e impulso.

Perfectamente inelástica

sional. Cuando los cuerpos cochan en cierto ángulo, la cantidad de movimiento total del sistema antes y después del impacto se obtiene sumando los vectores de la cantidad de movimiento de cada cuerpo.

pf

Antes

movimiento dicta que la cantidad de movimiento total después del suceso aún debe ser cero si no hay una fuerza externa neta. Los vecto-

* = preguntas más abiertas, que requieren respuestas más extensas, adecuadas para el análisis en grupo P = algunas respuestas se hallan en el apéndice D P = algunas respuestas se hallan en el Online Learning Center

vi

5cantidad de movimiento no se restringe al movimiento unidimen-

P

Si una explosión o empujón ocurre entre dos 3cuerposRetroceso. inicialmente en reposo, la conservación de la cantidad de

preguntas

P6. Si una pelota rebota en una pared de modo que su velocidad de regreso tiene la misma magnitud que antes de rebotar: a) ¿Hay un cambio en su cantidad de movimiento? Explica

vi

vf

Colisiones en cierto ángulo. La conservación de la

Ptotal = constante

P5. ¿Impulso y cantidad de movimiento son lo mismo? Explica por qué.

p2 = –p1

4

Colisiones elásticas e inelásticas. Una colisión perfectamente inelástica es aquella en la que los cuerpos permanecen juntos después de chocar. Si es posible ignorar las fuerzas externas, la cantidad de movimiento total se conserva. Una colisión elástica es aquella en la que la energía cinética total también se conserva.

2

de movimiento después del suceso pfinal. La cantidad de moConservación de la cantidad de movimiento. La vimiento se conserva, no cambia. segunda y tercera leyes de Newton se combinan para producir el prin3. La igualdad de la cantidadcipio de movimiento antes de y después de conservación la cantidad de movimiento: si la fuerza neta del suceso puede aprovecharse para otra externa queobtener actúa en uninformasistema es cero, su cantidad de movimiento ción sobre el movimiento de losescuerpos. total constante.

P4. ¿Impulso y fuerza son lo mismo? Explica por qué.

Griffith prefacio xv

p1

FnetaΔt = Δp, p = mv

Con excepción de los ejemplos en que interviene el impulso, la mayoría de las situaciones descritas en este capítulo ponen énfasis en el principio de conservación de la cantidad de movimiento. Las ideas básicas usadas en la aplicación de la conservación de la cantidad de movimiento son las siguientes:

P3. ¿Es posible que una pelota de béisbol tenga una cantidad de movimiento tan grande como una bola de boliche, que tiene mayor masa? Explica por qué.

• Los ejercicios y problemas de síntesis buscan ayudar a los estudiantes a probar sus conocimientos de resolución de problemas. En el apéndice D se incluye la respuesta de los ejercicios impares. Cuando los estudiantes resuelven estos ejercicios y comprueban sus respuestas en el apéndice D, adquieren confianza para resolver los ejercicios pares y reforzar así sus habilidades de resolución de problemas.

Cantidad de movimiento e impulso. La segunda ley de Newton puede redefinirse en términos de la cantidad de movimiento y el impulso para expresar que el impulso neto que actúa sobre un cuerpo es igual al cambio en su cantidad de movimiento. El impulso se define como la fuerza media que actúa sobre un cuerpo colisión elástica, 130 multiplicada por el tiempo durante el que actúa la fuerza. La cantidad colisión parcialmente inelástica, 131 de movimiento se define como la masa de un cuerpo por su velocidad. Impulso

P2. Dos fuerzas producen impulsos iguales, pero la segunda actúa durante el doble de tiempo que la primera. ¿Cuál fuerza, si es que alguna, es mayor? Explica por qué.

Ejercicios

p2

1

conceptos clave

Conceptos clave

res de la cantidad de movimiento final de los dos cuerpos son iguales en tamaño pero opuestos en dirección.

Después pf = pi

Problemas de síntesis

P9. ¿Cuál es la ventaja de una bolsa de aire en la reducción de lesiones durante un choque? Explícalo en función de los conceptos de impulso y cantidad de movimiento.

problemas de síntesis

*P10. Si una bolsa de aire se infla con demasiada rapidez y firmeza durante una colisión, a veces puede hacer más daño en los PS1. Una bola rápida lanzada a una velocidad de 40 m/s (aproxichoques de baja velocidad. Explícalo usando los conceptos madamente 90 mi/h) es golpeada por un bate de béisbol y de impulso y cantidad de movimiento. regresa al pitcher a una velocidad de 60 m/s. La pelota está conlaelmano bate sólo P11. Si atrapas una pelota de béisbol oen decontacto softball con des-0.04 s y tiene una masa de 120 g (0.120 nuda, ¿la fuerza ejercida sobre ella por lakg). pelota se reducirá si ¿Cuál jalas tu brazo hacia atrás? Explicaa)por qué. es el cambio en la cantidad de movimiento de la pelota durante el proceso? P12. Un camión y una bicicleta se mueven a lado mis- de movimiento es mayor que b) ¿Ellado cambio en alalacantidad la cantidad de movimiento final? Explica por qué. c) ¿Cuál es la magnitud del impulso requerido para producir este cambio en la cantidad de movimiento? d) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza media que actúa sobre la pelota para producir tal impulso?

ejercicios E1. Una fuerza media de 300 N actúa durante un intervalo de 0.04 s sobre una pelota de golf. a) ¿Cuál es la magnitud del impulso que actúa sobre la pelota? b) ¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento de la pelota? E2. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de un automóvil de 1200 kg que viaja a una rapidez de 27 m/s (60 mi/h)? E3. Una bola de boliche tiene una masa de 6 kg y una rapidez de 1.5 m/s. Una pelota de béisbol tiene una masa de 0.12 kg y una rapidez de 40 m/s. ¿Cuál pelota tiene la mayor cantidad de movimiento? E4. Una fuerza de 45 N actúa sobre una pelota durante 0.2 s. Si la pelota está inicialmente en reposo: a) ¿Cuál es el impulso sobre ella? b) ¿Cuál es su cantidad de movimiento final?

PS2. Una bala se dispara hacia un bloque de madera que está sobre un bloque de hielo. La bala tiene una velocidad inicial de 500 m/s y una masa de 0.005 kg. El bloque de madera tiene una masa de 1.2 kg y está en reposo. La bala se queda incrustada en el bloque de madera. a) Suponiendo que la cantidad de movimiento se conserva, la velocidad del bloque de madera y de la bala a) ¿Cuál es el cambio calcula en su cantidad de movimiento? después de la producir colisión. tal cambio? b) ¿Qué impulso se requeriría para b) ¿Cuál es la magnitud del impulso que actúa sobre el bloE9. Una pelota que viaja con una de el movimiento que decantidad madera en proceso? inicial de 4.0 kg·m/s rebota hacia fuera de una pared y regresa en c) ¿El cambio en la cantidad de movimiento de la bala es dirección opuesta con una de movimiento –3.5 por qué. igualcantidad al del bloque de madera?deExplica kg·m/s. Considera dos casosdeenmovimiento? los que la misma pelota se lanza cona) ¿Cuál es PS3. el cambio en su cantidad trarequiere una pared a la mismatal velocidad b) ¿Qué impulso se para producir cambio?inicial. En el caso A, la pelota golpea la pared y no rebota. En el caso B, la pelota E10. Un corredor de futbol americano con una masa de 100 kg y rebota hacia atrás a la misma rapidez con que llegó. una velocidad de 3.5 m/s con dirección oeste choca de frente a) ¿En cuál de estos dos casos el cambio en la cantidad de con un defensivo profundo que tiene una masa de 80 kg y una movimiento es mayor? velocidad de 6 m/s con dirección este. b) Suponiendo que el tiempo durante el que la cantidad de a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento inicial de cada jumovimiento cambia es aproximadamente el mismo para gador? b)¿Cuál es la cantidad de movimiento total del sistema antes de la colisión? c) Si se mantienen juntos y se pueden ignorar las fuerzas é di ió i j á i di d

los dos casos, ¿en cuál de ellos está implicada la mayor fuerza media? c) ¿La cantidad de movimiento se conserva en esta colisión? Explica por qué. PS4. Un automóvil que viaja a una rapidez de 18 m/s (aproximadamente 40 mi/h) choca contra una pared de concreto. El conductor tiene una masa de 90 kg. a) ¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento del conductor cuando llega a detenerse? b) ¿Qué impulso se requiere para producir tal cambio en la cantidad de movimiento? c) ¿Cómo difieren la aplicación y la magnitud de esta fuerza en dos casos: el primero, en el cual el conductor usa el cinturón de seguridad, y el segundo, en el que no lo usa y se detiene el estrellarse contra el parabrisas y el árbol de dirección? ¿Cambiará el tiempo de acción de la fuerza que logra detenerlo? Explica por qué. PS5. Un automóvil de 1500 kg que viaja hacia el norte a una rapidez de 25 m/s choca de frente con un camión que viaja con dirección sur a una rapidez de 15 m/s. Los dos vehículos se matienen unidos después del choque. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento total del sistema antes del choque? b) ¿Cuál es la velocidad de los dos vehículos justo después de la colisión? c) ¿Cuál es la energía cinética total del sistema antes de la colisión? d) ¿Cuál es la energía cinética total justo después de la colisión? e) ¿La colisión es elástica? Explica por qué.

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• Como muchos cursos de especialidades no relacionadas con la ciencia no suponen un laboratorio, al final de cada capítulo se incluyen experimentos y observaciones para el hogar, cuyo propósito es permitir a los estudiantes explorar el comportamiento de los fenómenos físicos usando objetos fáciles de conseguir, como reglas, cuerda, clips, pelotas, carritos de juguete, baterías para linterna, etc. A muchos instructores les parecen útiles para situar a los estudiantes en un marco de pensamiento explicativo y de observación que es importante para el razonamiento científico. Desde luego éste es uno de nuestros objetivos en el desarrollo de la instrucción científica.

Experimentos y observaciones para el hogar experimentos y observaciones para el hogar EC1. Toma dos canicas o balines de acero del mismo tamaño y practica disparando una contra la otra. Observa: a) Si produces una colisión de frente con la misma segunda canica que inicialmente estaba en reposo, ¿la primera canica se detiene completamente después de la colisión? b) Si la colisión con una segunda canica ocurre en cierto ángulo, ¿las trayectoras de las dos canicas después de chocar forman un ángulo recto (de 90°)? c) Si se usan canicas de diferente tamaño y masa, ¿cómo difieren los resultados de los incisos a y b de los obtenidos con canicas de la misma masa? EC2. Si tienes acceso a una mesa de billar, haz pruebas sobre ella con base en los inicisos a y b del experimento 1. ¿Qué sucede en las colisiones si se pone efecto a la primera bola? EC3. Si tienes una pelota de básquetbol y una de tenis, trata de soltarlas hacia un piso de superficie dura, primero por separado y luego juntas, con la pelota de tenis encima de la de básquetbol. a) Compara la altura del rebote de cada pelota en cada caso. El caso donde las dos pelotas se sueltan juntas puede sorprenderte.

b) ¿Puedes explicar estos resultados usando el impulso y la tercera ley de Newton? (Considera la fuerza entre la pelota de básquetbol y el piso, así como entre la pelota de tenis y la de básquetbol para el caso en que se sueltan juntas.) EC4. Coloca una caja de cartón sobre un piso liso de losetas o de madera. Practica a rodar una pelota de básquetbol o una pelota de soccer a diferente rapidez, permitiendo que la pelota choque con la caja. Observa el movimiento de ambas, pelota y caja, justo después del choque. a) ¿Cómo varían los resultados del choque para la distinta rapidez de la pelota (lenta, media, rápida)? b) Si aumentamos el peso de la caja colocando libros dentro, ¿cómo cambian los resultados de la colisión para los casos del inciso a? c) ¿Puedes explicar tus resultados en términos de la conservación de la cantidad de movimiento?

“La selección de problemas y preguntas al final de cada capítulo es excelente. Proporciona a los estudiantes un repaso global de los capítulos y, al mismo tiempo, presentan retos para reforzar los conceptos... Muchos estudiantes que asisten a un curso de introducción a la física no tienen oportunidad de asistir a un laboratorio. Los experimentos para el hogar pueden contribuir mucho a superar tal deficiencia.” —Farthang Amiri, Weber State University

Complementos CD-ROM de pruebas y recursos para el instructor El Instructor’s Testing and Resource CD-ROM multiplataforma contiene un banco de pruebas y un manual del instructor (con respuestas a las preguntas y ejercicios de fin de capítulo) tanto en formato PDF como en Word. Las preguntas del banco de pruebas también se encuentran en un banco de pruebas computarizado. El EZ Test de McGraw-Hill es un programa de pruebas electrónico flexible y fácil de usar, que permite a los instructores crear exámenes de elementos específicos del libro. Se adapta a una amplia gama de tipos de preguntas y los instructores pueden añadir las suyas. Es posible crear múltiples versiones del examen y cualquiera de ellas puede ex-

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portarse para usarla con sistemas de administración de cursos como WebCT, BlackBoard o PageOut. EZ Test Online es un servicio nuevo que permite administrar en línea fácilmente los exámenes y cuestionarios creados con EZ Test. El programa está disponible para ambientes Windows y Macintosh. El disco compacto (CD) de pruebas y recursos para el instructor también contiene preguntas de un sistema de respuestas personal en una base de datos CPS e Instruction y como archivos de PowerPoint. Sistema de rendimiento del salón de clases El Classroom Performance System (CPS) de e Instruction aporta interactividad al salón de clases o a la sala de estudio. Se trata de un sistema de respuestas inalámbrico que brinda al instructor y a los estudiantes retroalimentación inmediata de toda la clase. Los tableros de respuesta inalámbricos son básicamente remotos, por lo que son fáciles de usar y captan el interés de los estudiantes. CPS permite a los instructores estimular la preparación, la interactividad y el aprendizaje activo de los estudiantes. Los instructores reciben retroalimentación inmediata para evaluar cuáles conceptos comprenden los alumnos. Las preguntas que cubren el contenido de La física de los fenómenos cotidianos en texto y en formato de CPS eInstruction y PowerPoint están disponibles en el Online Learning Center y en el Instructor’s Testing and Resource CD-ROM. Administrador de contenido digital en CD ¡Arte electrónico en sus manos! Este DVD/CD-ROM multiplataforma proporciona a los instructores material visual del texto en múltiples formatos. Los instructores pueden crear fácilmente presentaciones personalizadas para el salón de clase, pruebas y cuestionarios basados en imágenes, contenido dinámico para un sitio web del curso o materiales de apoyo impresos. Los recursos siguientes están disponibles en el DVD o CD en formatos digitales. Estos ítems también se han incluido en archivos de PowerPoint en caso de que se requieran: • Biblioteca de arte y fotografías: archivos digitales en todo color de todas las figuras y muchas de las fotos del libro pueden incorporarse rápidamente a presentaciones para conferencias, lectura, exámenes o materiales adaptados para el salón de clases. • Biblioteca de animaciones: archivos de animaciones y videos que cubren los diversos temas de La física de los fenómenos cotidianos se incluyen a fin de usarlos fácilmente en una conferencia o presentación en el salón de clases. • Esquemas de clases: se han incluido notas de clase que incorporan ilustraciones e imágenes animadas para la quinta edición del libro. Vienen en formato de PowerPoint, de modo que los instructores puedan usarlas tal como están o adaptarlas a conveniencia. Online Learning Center (OLC) El OLC es un sitio web que ofrece a los estudiantes herramientas de estudio útiles, diseñadas para mejorar su comprensión del material presentado en el texto y en la clase. Para el instructor, el OLC está diseñado para reducir las cargas de

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tiempo del curso, ya que ofrece herramientas de presentación y preparación valiosas. Para los estudiantes Integración de la guía de estudio del estudiante • Cuestionario de dominio • Conocimiento • Comprensión • Consejos de estudio • Problemas de práctica • Respuestas a las preguntas Animaciones Crucigramas Biblioteca de enlaces Resumen del capítulo Objetivos del capítulo Para los instructores Todo el contenido de los estudiantes Clases en PowerPoint Manual del instructor Muestra de programa de estudio CPS de eInstruction Biblioteca de imágenes

Agradecimientos Muchas personas han contribuido a esta quinta edición de forma directa o indirecta. Agradezco en particular a quienes participaron en la edición anterior. Sus amables sugerencias han tenido una influencia directa en la claridad y precisión de esta edición, incluso cuando no era posible incorporar por completo todas sus ideas debido a limitaciones de espacio o de otro tipo. También doy las gracias a los colaboradores siguientes: del sitio web, Joseph Schaefer; del manual del instructor y banco de pruebas, Lyle Ford, y de las clases en PowerPoint, Daniel Bubb, Art Braundmeier, Virgil Stubblefield y Mikolaj Sawicki.

Lista de revisores Farhang Amiri, Weber State University Dr. Jean-Claude Ba, Columbus State Community College Tim Bolton, Kansas State University Ron Brown, Mercyhurst College Daniel M. Bubb, Seton Hall University Lou Cadwell, Providence College Richard Cárdenas, St. Mary’s University Jerry Clifford, Seton Hall University Matt Evans, University of Wisconsin, LaCrosse Marco Fornari, Central Michigan University Igor Glozman, Highline Community College Laura Greene, University of Illinois at Urbana Charles W. Johnson, South Georgia College David H. Kaplan, Southern Illinois University, Edwardsville Kara Jayne Keeter, Idaho State University Michael C. LoPresto, Henry Ford Community College Michael J. Lysak, San Bernardina Valley College

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Melvyn J. Oremland, Pace University Eric Peterson, Highland Community College T. A. K. Pillai, University of Wisconsin, LaCrosse Steven T. Poindexter, Pittsburgh Technical Institute Brian A. Raue, Florida International University Charles W. Rogers, Southwestern Oklahoma State University Klaus Rossberg, Oklahoma City University Brent Royuk, Concordia University Steve Storm, Arkansas State University, Heber Springs Oswald Tekyi-Mensah, Alabama State University Fiorella Terenzi, Pace University Scott W. Wissink, Indiana University Bonnie Wylo, Eastern Michigan University Raymond L. Zich, Illinois State University Revisores de ediciones anteriores Murty A. Akundi, Xavier University of Louisiana Charles Ardary, Edmonds Community College

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James W. Arrisen, Villanova University Richard A. Atneosen, Western Washington University Dr. Jean-Claude Ba, Columbus State Community College María Bautista, University of Hawaii Richard L. Bobst, LaSierra University Ferdinando Borsa, Iowa State University Art Braundmeier, Southern Illinois State University, Edwardsville Michael Bretz, University of Michigan Dan Bruton, Stephen F. Austin State University Richard A. Cannon, Southeast Missouri State University Edward H. Carlson, Michigan State University Cary Caruso, Fayetteville State University Rory Coker, University of Texas, Austin Doug Davis, Eastern Illinois University Renee D. Diehl, Penn State University David Donnelly, Sam Houston State University Matt Evans, University of Wisconsin, Eau Claire Abbas M. Faridi, Orange Coast College Clarence W. Fette, Penn State University Lyle Ford, University of Wisconsin, Eau Claire Bernard Gilpin, Golden West College Robert Grubel, Stephen F. Austin State University James Gundlach, John A. Logan College Kenneth D. Hahn, Truman State University John M. Hauptman, Iowa State University H. James Harmon, Oklahoma State University Lionel D. Hewett, Texas A & M University, Kingsville Robert C. Hudson, Roanoke College Scott Johnson, Idaho State University Stanley T. Jones, University of Alabama Sanford Kern, Colorado State University James Kernohan, Milton Academy

John B. Laird, Bowling Green State University Paul L. Lee, California State University, Northridge Joel M. Levine, Orange Coast College Tan M. Littlewood, California State University, Stanislaus John Lowenstein, New York University Robert R. Marchini, University of Memphis Paul Middents, Olympic College Joseph Mottillo, Henry Ford Community College William J. Mullin, University of Massachusetts, Amherst Jeffrey S. Olafsen, University of Kansas Dr. Arnold Pagnamenta, University of Illinois at Chicago Russell L. Palma, Sam Houston State University Ervin Poduska, Kirkwood Community College Michael Read, College of the Siskiyous Mohammad Samiullah, Truman State University Joseph A. Schaeffer, Loras College Rahim Setoodeh, Milwaukee Area Technical College Elwood Shapanasky, Santa Barbara City College Lawrence C. Shepley, University of Texas, Austin Bradley M. Sherrill, Michigan State University Cecil G. Shugart, University of Memphis John W. Snyder, Southern Connecticut State University Thor F. Stromberg, New Mexico State University Charles R. Taylor, Western Oregon State College Fred Thomas, Sinclair Community College Jeffrey S. Thompson, University of Nevada, Reno Michael Thorensen, University of Northern Iowa Paul Varlashkin, East Carolina University Douglas Wendel, Snow College Hai-Sheng Wu, Minnesota State University, Mankato John Yelton, University of Florida Mike Young, Santa Barbara City College Jens Zorn, University of Michigan

Además, quisiera agradecer las contribuciones del equipo editorial y de los miembros del equipo del libro de McGraw-Hill Higher Education. Su compromiso y entusiasmo por este trabajo ayudaron en gran medida a sacar adelante el proyecto. También estoy en deuda con mis colegas de la Pacific University por sus útiles sugerencias, así como por su paciencia cuando esta obra limitó el tiempo que dedicaba a otras actividades. Muchos otros usuarios también brindaron su apoyo con críticas constructivas o sugerencias; por ejemplo Jerry Clifford, de Seton Hall University, Mikolaj Sawicki, de John A. Logan College, y Mike Crivello, de San Diego Mesa College. Finalmente, expreso mi gratitud a mi familia, cuyos miembros no se quejaron pese a verse directamente afectados por el tiempo que dediqué al proyecto. Mi esposa, Adelia, y mis hijos con frecuencia han servido como conejillos de India cuando he tenido que hacer pruebas de demostraciones o ideas. Mi hijo Mark me dio las fotografías digitales preliminares para parte del material nuevo del capítulo 16. El apoyo de toda mi familia ha sido constante y fundamental para este trabajo.

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Ssecretos del éxito al estudiar física

así que a veces les resulta difícil percatarse de dónde pueden tener dudas los estudiantes. Las preguntas lubrican el motor que permite que las cosas avancen.

producente porque evita dormir bien. El sueño puede ser fundamental para tener la mente despejada y encarar los retos que supone un examen.

7. Repasa la comprensión. La preparación para los exámenes no debe limitarse a la memorización de último momento. Mejor repasa los conocimientos que tienes de todo el conjunto y pregúntate por qué se hizo lo que se hizo cuando se respondió a las preguntas y se resolvieron los ejercicios previamente. La memorización suele resultar inútil, ya que muchos instructores de física proporcionan o permiten usar hojas de fórmulas que incluyen definiciones o información semejante. Estudiar hasta tarde por la noche resulta contra-

Aunque en la mayoría de estas sugerencias hay cierta dosis de sentido común, quizá no te sorprenda saber que muchos estudiantes no las siguen. Los viejos hábitos son difíciles de romper y a veces la presión de los compañeros también puede ser una influencia negativa. Los estudiantes caen en patrones que saben que son ineficaces, pero no pueden apartarse de la rutina. Hemos cumplido nuestro deber al revelar estos secretos. Si eliges hacerlo de otra forma sin ayuda. Avísanos si funciona.

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secretos del éxito al estudiar física 3. Explora las preguntas. El libro incluye una lista de preguntas conceptuales al final de cada capítulo, pero también las plantea a lo largo de éste. Será más provechoso si tratas de responderlas primero por ti mismo y luego mediante un análisis en clase. Anota las respuestas usando oraciones completas en vez de frases de respuesta cortas. Compara tus respuestas con las que vienen al final del libro, pero sólo después de haber intentado plantearlas tú mismo.

Antes que todo debemos admitir que no hay secretos. El trabajo serio, la lectura continua, la resolución de los problemas de tarea y la participación en clase rendirán los frutos que, como cabe esperar, se cosecharán como en cualquier otro curso. Si no se realizan tales actividades también cabe esperar los resultados correspondientes. Sin embargo, hay ciertas formas de estudiar física diferentes de cómo se estudia biología, historia o muchas otras materias. La física no es un área de estudio que pueda dominarse por medio de la memorización de hechos diferenciados o de una preparación intensiva antes de los exámenes. Los estudiantes a veces aplican en física estrategias de estudio que han utilizado en otras clases y se decepcionan cuando no logran que funcionen. Las sugerencias siguientes son infalibles para aprovechar al máximo el curso de física y esta obra.

4. Trata de resolver los ejercicios. El libro también contiene ejercicios y problemas de síntesis al final de cada capítulo. Su propósito es que practiques con aplicaciones numéricas simples de los conceptos de física. Sólo son útiles si los resuelves tú mismo y anotas los pasos que deben darse para obtener la solución de manera que entiendas tu trabajo. Copiar las respuestas y los pasos de tus compañeros o de otras fuentes pueden darte puntos en la tarea pero no te ayudará en la comprensión. Igual que en los deportes y en muchas otras actividades, el éxito en los exámenes de física es para quienes practican.

1. Experimenta. Los experimentos tienen un papel importante en el desarrollo de la física, pero también en la comprensión de sus conceptos para cualquier persona que los estudie. Con frecuencia en el texto sugerimos que pruebes con experimentos simples, como lanzar una pelota, caminar por una habitación u otras actividades muy rudimentarias. Prueba de inmediato en cuanto surjan en el texto, pues ello no sólo te beneficiará por el mayor flujo sanguíneo que correrá a varias partes del cuerpo, incluido el cerebro, sino que además lo que sigue en la lectura cobrará mayor sentido. La experiencia con fenómenos cotidianos no puede obtenerse de forma pasiva.

5. Asiste. Los estudiantes universitarios establecen sus prioridades para usar su tiempo, y en ocasiones la asistencia a clases no está en los primeros lugares de la lista. En ciertas materias esto puede estar justificado por la naturaleza del beneficio de las actividades en clase, pero rara vez ocurre así en física. Las demostraciones, las explicaciones, la resolución de los ejercicios y el análisis con el grupo que en general forma parte de lo que ocurre durante una clase de física proporcionan una ayuda invaluable para formarse una visión de conjunto y llenar los huecos de tu comprensión. Las demostraciones por sí mismas compensan la asistencia. (Lo que obtienes por asistir se llama instrucción.)

2. Fórmate una visión de conjunto. La física es una ciencia con visión de conjunto. La comprensión de las leyes de Newton del movimiento, por ejemplo, no puede condensarse en una fórmula o mediante la memorización de las leyes mismas: necesitas ver todo el contexto, comprender las definiciones y trabajar con la forma en que se aplican. Los esquemas y resúmenes proporcionados al principio y al final de cada capítulo pueden ayudarte a obtener el contexto. Sin embargo, no pueden ser independientes. Debes ubicar en el salón de clases los ejemplos y las descripciones dadas y en el marco de trabajo el texto proporcionado por los esquemas y resúmenes. Si logras formarte una visión de conjunto captarás también los detalles.

6. Haz preguntas. Si las explicaciones de las demostraciones u otros problemas no son claras, haz preguntas. Si estás confundido es muy probable que otros estudiantes también lo estén. Les encantará que tomes la iniciativa. A menos que el instructor sea una persona insegura, lo cual es raro, le gustará brindarte la oportunidad de obtener una mayor claridad. Los instructores de física ya conocen la materia, xix

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acerca del autor Tom Griffith actualmente es profesor universitario emérito y distinguido de Pacific University en Forest Grove, Oregon; recientemente se retiró después de 36 años de impartir la materia de física en la universidad. Debido a su interés continuo en la docencia y la investigación, aún se le encuentra por los pasillos del edificio de ciencias o la biblioteca, y ocasionalmente aparece como invitado con su guitarra en los cursos de física. También le gusta ir de excursión, andar en bicicleta, cantar, leer y actuar en obras de teatro y comedias musicales. Durante su estancia en la Pacific University, también fue jefe del Departamento de Física y de la División de Ciencias, Decano Interino de Administración de Inscripciones y Director de Investigación Institucional, entre otras cosas, pero su principal interés siempre ha sido la docencia. También ha sido miembro activo de la Sección de Oregon de la American Association of Physics Teachers (aapt) y de la Pacific Northwest Association for College Physics (pnacp).

El autor y su esposa, Adelia, de caminata por las montañas de Oregon.

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