CURSO CÁLCULO 3 2019.1
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1
CURSO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3
FMU 2019.1 PROF. RENATO CASAL DE REY
2
A INTEGRAL MÚLTIPLA PARA FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS
A INTERPRETAÇÃO DA INTEGRAL DUPLA
A integral de uma função de 1 variável f(x) pode ser interpretada como a ÁREA sob o gráfico da função. A integral de uma função de 2 variáveis f(x,y) pode ser interpretada como o VOLUME sob o gráfico da função, pois o volume de cada paralelepípedo do gráfico tem como área de base dA = dx.dy e a altura é a própria função z = f(x,y).
Dada uma função z=f(x,y) que existe no domínio R, o volume V, abaixo de seu gráfico e acima da região de domínio R, pode ser calculado pela integral dupla :
,
Volume = ∬ Como dA = dx.dy, podemos escrever
Volume = ∬
,
A integração deve ser feita por uma variável de cada vez, não importando a ordem e respeitando-se o domínio de cada variável. Ao integrar numa variável, a outra variável irá se comportar como uma CONSTANTE. Se o domínio da função z = f(x,y) é dado por RETANGULAR e podemos escrever:
,
, o domínio é chamado de
,
3 EXERCÍCIOS:
2
:
0 . 1 / 0 1
91 8
2 " 3 ² ²5
1 7 ²
/ A . ; 8sen 90 8 /
resp: V
6,5 u. v.
resp: V
2,5 u. v.
5
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B CD EFG H IJ:
36,51 u.v.
APLICAÇÃO 1) Uma tenda é projetada para ter o formato da superfície da função Z = f(x,y) = x² + y² + 3 . Calcule o volume sob a tenda, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio em 5K 5 . Resolver de 2 modos: a) iniciando a integração pela variável x . b) iniciando a integração pela variável y .
20 15 10 5 0
2) Uma estrutura coberta por uma lona é projetada para servir de garagem num estacionamento, para proporcionar um pouco de sombra. A cobertura tem o formato da superfície da função: Z = f(x,y) = 5 - ( x²/3 + y²/3 ) Calcule o volume sob a cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio em 5 5 K K . 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00
4 3) Uma estrutura coberta por uma lona é projetada para servir de depósito num supermercado. A cobertura tem o formato da superfície da função: Z = f(x,y) = x + xy/4 – y/2 + 6 Calcule o volume sob a cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio em L M L N . 20 15 10 5
4
0
2 0
1
2
3
4
0 5
6
EXERCÍCIOS EXTRAS: Calcule os volumes dados pelas integrais duplas abaixo, no domínio Retangular.
2 : X
Q
0
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3
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90 1 /
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B CD EFG
B CD EFG
B CD EFG
B CD EFG
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4 75 3
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W
5 A INTEGRAL DUPLA QUANDO O DOMÍNIO NÃO É RETANGULAR Quando o domínio para o cálculo do volume NÃO é RETANGULAR, mas definido por funções do tipo y = f(x) ou x = g(y), a integral dupla deverá ter na sua integral INTERNA os intervalos de integração dados pelas funções que a delimitam, marcando o início e o fim dos valores de x ou y. A Integral externa sempre deverá conter valores nos seus limites de integração, não podendo ser funções. y \ ]
YZ
YZ
[
[
y2=f2(x)
, y1=f1(x) a y
x1=f1(y)
b
x
x2=f2(y)
b \ ]
YZ
YZ
^
^
,
a x
EXERCÍCIOS 1) Calcule o volume da função z = f(x,y) = x³ + 4y , sabendo que o seu domínio é a região delimitada pela área entre as funções y1 = x² e y2 = 2x . Faça o gráfico do domínio em escala. 2) Calcule o volume da função z = f(x,y) = x - 4xy , sabendo que o seu domínio é a região delimitada pela área entre as funções y = 2x e y = x/2 no intervalo 2 6 . Faça o gráfico do domínio em escala. 3) Calcule o volume da função z = f(x,y) = 3x² + xy , sabendo que o seu domínio é a região delimitada pela área entre as funções y = -2x e y = x , para 1 2 . Faça o gráfico do domínio em escala. 4) Calcule o volume da função z = f(x,y) = 2x - 2y , sabendo que o seu domínio é a região delimitada pela área entre as funções y1 = x² - 4 e y2 = 9 . Faça o gráfico do domínio em escala.
6 CÁLCULO DE ÁREA DE SUPERFÍCIE EM FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS Para calcularmos a área da superfície do gráfico de uma função Z = f(x,y) num certo domínio R, usamos as INTEGRAIS DUPLAS e as DERIVADAS PARCIAIS de Z como segue:
ÁH
I J H í:_
` a;
,
@² " ;
,
@² " 1 .
APLICAÇÃO 1) Uma tenda é projetada para ter o formato da superfície da função Z = f(x,y) = 2x + 4y + 3 . Calcule a área de lona utilizada na cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio em 5K 5 .
2) Uma estrutura foi montada para servir de depósito e está coberta por uma lona. A cobertura tem o formato da superfície da função: Z = f(x,y) = 3x + 2y + 2 .Calcule a área de lona utilizada na cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada em L L .
7
GABARITOS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
1
0
0
90 9/ 1
b
90
1
0
3
2
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3
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"
0
9/ 90
u
0
0
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2
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90 8 90
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0
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/
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16 " 20 .
8
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5 63
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0 90
9/
164 4 ² u 5 v 9 3
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X
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1
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531,4 . y.
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90
67,874 . y.
I U 6 2
W
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cos 6y | 12 1
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24,8 5 6,26
"I U 7 W
: I7 " 5 | 2 7 8
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2
3 5
u6 5
310
8
{2
0
/
8
52
54
54
I U 2 ³ " 3 2
0
0
30 . y.
6I U 2 2
.
1
2
6: I 2
37 I U 8 T " 3 2
216 . y.
1
{
A
37 ² cos 8 { 5 6 16
0
0
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3
54ƒ
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0 . 1
"3 v
u
"
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90 8
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0
85,34 . y.
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1
3
3
20,083 5 7,5
8
95 . y.
0 9/
v|
x² " 2 ² " 3
90 1 8
"3 v
u
8
95 . y.
V 266,25 u.v PAG 4 EXERCÍCIOS EXTRAS
0
5 / 80 u " v 3 3 90
" 12
0
/
3
90
u
0
90
/
90
9/ 90
9/
"3
0
80 35 ² " 7 3
0
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"
1
1
8
PÁG 3 INTEGRAL MÚLTIPLA - APLICAÇÃO 1
/
:
9 " 0,22v 2 0
9 ² " 0,22 7 4 8
18,54 y
42,64 5 10
5390,37 . y.
32,64 . y.
8 4 Encontrando o Domínio da integral na variável “x”.
PAG 5 INTEGRAL DUPLA DOMÍNIO NÃO RETANG.
y1 y2 → x² - 4 9 → x² 13 →
Encontrando o Domínio da integral na variável “x”.
1
y1 y2 → x² 2x → x²-2x 0 → x1 0 e x2 2 0
0
8
“0 “ ²
8
5
Q
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0
0
0
u
1
1
“
15 ³ u v 2
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"
4 ² v 2
“0
√1/ 9√1/
u
5
4
2
² v
“0
28,125 . y.
1
/
58
5
" 26 5 65
0
2 ² v 2
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“ ²9.
5474,97 . y.
“
0
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1
1
“ “90
90
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ž√21 xŸ9/ dy
1 ›“š 8 ›“8
1 8
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1
² u3 ² " v 2
` a;fš x, y @² " ;f› x, y @² " 1 . dxdy
52296 . y.
3 ²"
52
9√1/
u2
Área de superfície
0
0
.
√1/
2 52
“ ²9.
9√1/
“ ²
“—
PAG 6 ÁREA DE SUPERFÍCIE
”
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0
“90
8
u
10,677 . y.
0
“0 “
0
"4
3 ² 15 ³ 5 v 2 2
0
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”
2
/
√1/
∓√13
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" 2
ž√14 yŸ›“8 dx
" 1 dxdy
90
√21 dxdy
68,739 u. a.
1 ›“š
" 1 dydx √14 x dx
0
90 9/
22,913 dy
0 1
1
8 ›“8
√14 dydx
√14 u. a. 2
9
INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO’s) Uma EDO é uma igualdade que contém uma variável independente x, uma variável dependente y (y = f(x)) e algumas de suas derivadas y’ , y’’ , y’’’ , ... , yn. Ao longo deste curso, consideraremos que as variáveis dependentes e independentes são sempre Reais. Na resolução de uma EDO, queremos determinar quem é a função y(x). Designa-se por ORDEM da EDO a maior ordem da derivada. De uma forma geral, uma EDO de ordem n pode ser escrita na forma : F(x, y, y’, y’’, ... , yn) = 0 Exemplos:
a) y' + 3y – 6x = 0
b) c)
d)
e)
"K 5N 5
ordem:
L
ordem:
L
5
ordem:
" " ³ "
¡¡
5
L L
f) y' - e2x =0
ordem:
ordem: ordem:
Uma relação fundamental y=f(x), num certo intervalo I, que verifique a EDO, será uma solução desta EDO. Exemplo: Dê a ordem da EDO e verifique se a função dada y=f(x) é solução desta EDO.
1
y' – 2xy = 0
testar a solução
2
-3y' – 6xy = 0
testar a solução
3
y’’ – y + 3 = 0
testar a solução
1a ordem
SIM K 9
5K "K
NÃO
1a ordem
SIM 2a ordem
10 ¡
5
4 "
5
"¢
5
" N ² L
6
y’’’x³ + y’’x² - 1 = 0
7
y’ +3y -2 = 0
£ ¤
5
5 ¥
testar a solução
" K
5
testar a solução y = ln x
9
2y” + 32y + 64=0
10
5
11
y’ – 4x3y2 = 0
12
3y" - 6y’ + 3y = 0
"¦
L
testar a solução
√
SIM 1a ordem com x>0
5
9§
testar a solução y = xex
SIM 2a ordem SIM 2a ordem
K
testar a solução
testar a solução
3a ordem
SIM
testar a solução y = cos(4x) - 2
L
SIM 2a ordem
NÃO 1a ordem
testar solução y = 2/3 + 2e-3x
8
"
L testar a solução
SIM
2a ordem
SIM
1a ordem
SIM
2a ordem
SOLUÇÕES DE UMA EDO As soluções se classificam em : SOLUÇÃO GERAL: quando a função y(x) apresenta uma constante C não definida. Esta solução indica uma “família” de soluções possíveis para a EDO, pois a constante C pode assumir qualquer valor Real. Exemplos: a) y = 3ex + C b) y = x² - 2x + C c) y = C.x.senx SOLUÇÃO PARTICULAR: quando a função y(x) pode ser completamente definida, estabelecendo-se o valor da constante C. Isto ocorre mediante condições dadas na formulação inicial do problema, onde são apresentadas as chamadas “condições iniciais” ou “condições de contorno” do problema. Exemplos: a) y = 3ex –7 b) y = x² - 2x + 3 c) y = 5.x.senx
11
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª.ORDEM:
DEFINIÇÕES E OPERAÇÕES.
Apresenta-se na forma F(x, y, y’) = 0 Ex: a) b) c) d)
y' – 2y –x² + 7 = 0 y’ – y = 0 y’ – 4x³ = 0 y’ = 0
RESOLUÇÃO DE UMA EDO DE 1ª. ORDEM PELO MÉTODO DAS VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
Todas as vezes que conseguimos separar uma EDO de 1ª. ordem numa equação do tipo F(y,y’)=g(x) ( os termos y e y’ deverão estar na forma de produto ou divisão → y’.y ; y’.y² ; ; ² ; … ), dizemos que esta EDO possui uma solução por VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Temos 3 tipos de “famílias” de resolução: Vamos resolver cada uma delas.
1) 2y’ – 4x² + 6 – e3x = 0
2A) 3y’ + 7yx = 0
3
/
5
Q
2B )
/
5
18
0 3ª
.
/
Q ²
0
”
5
0
Q
=0
Exemplo de uma EDO que não pode ser resolvida pelo Método das Variáveis Separáveis: y’ + y - 6x² = 0
12
Resolva as EDO’s abaixo pelo Método das Variáveis Separáveis (encontre a Solução Geral):
0
/
2 4
:
5 cos 15
"
5 12
0
0
0
5
Q
3
d)
Q
0 √ .
"
”
2y’ – 12cos(3x)+
f)
3y’ + 6ysen(
g)
2y’ – 8yx3 = 0
h)
/
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2x y’ –
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testar solução
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28
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±a4I Už¼[ Ÿ"° ¯
H IJ:
5 35 U " °
>¯[¥ ¼ >¼½
"4 "°
5 3 ln " °
Q³´µ 0 ¥Q
H IJ: =0
91
2I U 3
H IJ:
testar solução
"2
EXERCÍCIOS EXTRAS: Encontre a solução geral das EDO’s abaixo:
1)
"°
testar solução
2xy’ - 6• = 0 5
¬-® 1Q
H IJ:
H IJ:
e)
.
Q «
0
0
5
"
”
.°
13
H IJ:
4) 2x³y’ - 8x²y= 0 5) y’xe5x – xe2x = 0
6)
7)
:
5
/
.
" 8 ?
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0
0
√
0
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8) 2
5
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0
9) 3
5 2 I U
0
10)
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√
5 ?• .
/
Q
.
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H IJ:
9- >?[
H IJ:
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08
0¥ /
" °º
¾¥
¼¥ ?
"°
"°
" °7
?
0
cos 6 ³
0
SOLUÇÃO PARTICULAR DE UMA EDO DE 1ª.ORDEM Encontrando a solução geral e particular de uma EDO, dado uma condição inicial. Exemplo: y’ – 2x = 0
1)
5 L√
2)
5 K
3)
"
4) N 5)
para y(4) = 6
L
K
L L
5
L
"
M
K
L
sabendo que y(1) = 10
¿ £À:
¢
M¥
M
sabendo que y(ln2) = 5
¿ £À:
sabendo que y(e3) = 10
¿ £À:
5 Á¤ " N
sabendo que y(5) = 4
¿ £À:
±a "
sabendo que y(2) = 3
¿ £À:
K
.
"
¢
²
N
> M
¦
. K ä M
N
14
APLICAÇÕES DE EDO’s EM CINEMÁTICA MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MUV) ,SEM ARRASTO Revisão Básica: Dada a função que descreve a posição em função do tempo [ S(t) ] de um objeto numa trajetória ( SI -seg, metro, kg), determine V(t) , a(t) e responda as questões abaixo. S(t) = posição em função do tempo → m
(aonde ele está em determinado instante)
V(t) = velocidade em função do tempo → m/s
(qual sua velocidade em determinado instante)
a(t) = aceleração em função do tempo → m/s²
(qual sua aceleração em determinado instante)
S(t) = 2t² + 3t + 4
t = 0 seg S(0) = V(0) = a(0) =
t = 2 seg S(2) = V(2) = a(2) =
t = 3 seg S(3) = V(3) = a(3) =
S(t)=156
S(t) = 156 V(t) = 55 a(t) = 15
t= t=
V(t)=55
Â
Â
S’= V(t) =
 V’ = a(t) =
Â
∆G ∆Ä
∆ ∆Ä
G Ä
Ä
G Å Æ
Å
Ç
È Æ
È
Å
Ç Æ
Å Æ
15
APLICAÇÕES DE EDO’s EM PROBLEMAS DE CINEMÁTICA, COM ACELERAÇÃO CONSTANTE (MUV) E SEM FORÇAS DE ARRASTO
1) Uma calculadora é lançada (tem velocidade inicial) para cima, do alto de um prédio de 80m de altura. Sabemos que no instante 2 seg. ela já está caindo com velocidade de 16m/s . A. Qual a altura máxima que ela atingiu (ponto A)? B. Com que velocidade e depois de quanto tempo ela passa pelo 5º.andar (ponto B)? C. Com que velocidade e depois de quanto tempo ela atinge o chão (ponto C)? A
g =10m/s²
t= 0 seg
t = 0 seg
10 m 80m +S
+V +a
em A
em B
em C
S(0) =
S(t) =
S(t) =
S(t) =
V(0) =
V(t) =
V(t) =
V(t) =
a(0) =
a(t) =
a(t) =
a(t) =
B 23 m C
RESOLVENDO O MESMO PROBLEMA ADOTANDO OUTROS REFERENCIAIS 2)
g =10m/s² A
V=4m/s t= 0 seg
t = 0 seg +S 80m
B 23m C
+V +a
em A
em B
em C
S(0) =
S(t) =
S(t) =
S(t) =
V(0) =
V(t) =
V(t) =
V(t) =
a(0) =
a(t) =
a(t) =
a(t) =
16
3) A
g =10m/s²
V=4m/s
t= 0 seg
t = 0 seg B
80m m
0
23m -S
-V
em A
em B
em C
S(0) =
S(t) =
S(t) =
S(t) =
V(0) =
V(t) =
V(t) =
V(t) =
a(0) =
a(t) =
a(t) =
a(t) =
-a
C
4) A
g =10m/s²
V=4m/s t= 0 seg
t = 0 seg 80m
B 23m C
em A
em B
em C
S(0) = V(0) =
S(t) = V(t) =
S(t) = V(t) =
S(t) = V(t) =
a(0) =
a(t) =
a(t) =
a(t) =
0 -S
-V
-a
5) LANÇANDO A CALCULADORA PARA BAIXO:
g =10m/s²
t = 0 seg V= 4m/s 80m
B
0
23m +S C
+V +a
em B
em C
S(0) =
S(t) =
S(t) =
V(0) =
V(t) =
V(t) =
a(0) =
a(t) =
a(t) =
17
6) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) = 3t – 6 . Sabendo-se que após 2 seg do acionamento do cronômetro, sua velocidade é 10m/s, e que após 1 seg (do acionamento do cronômetro) ele passa pela posição 4m, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 5 seg. Resposta: a(t) = 3t – 6 S(0)=
V(0)=
v(t) = 3t²/2 - 6t +16 a(0)=
S(5)=58 m
s(t) = t³/2 -3t² +16t -19/2 V(5)=23,5 m/s
a(5)=9 m/s²
7) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) = t²-8t . Sabendo-se que após 2 seg do acionamento do cronômetro ele passa pela posição 56 m, e que após 3seg (do acionamento do cronômetro) sua velocidade é 2m/s, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 5 seg. Resposta: a(t) = t² - 8t S(0)=
V(0)=
v(t) = t³/3 - 4t² + 29 a(0)=
S(5)= 37,74 m
s(t) = t4/12 –4t3/3 + 29t +22/3 V(5)= -29,33 m/s
a(5)= -15 m/s²
8) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) = 2t +4 . Sabendo-se que após 2 seg do acionamento do cronômetro, sua velocidade é -7 m/s, e que após 3 seg (do acionamento do cronômetro) ele passa pela posição 4m, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 5 seg. Resposta: a(t) = 2t + 4 S(0)=
V(0)=
v(t) = t² + 4t -19 a(0)=
S(5)=30,67 m
s(t) = t³/3 +2t²- 19t +34 V(5)= 26 m/s
a(5)=14m/s²
9) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) = 3t²-2t . Sabendo-se que após 1 seg do acionamento do cronômetro ele passa pela posição 6 m, e que após 2 seg (do acionamento do cronômetro) sua velocidade é 9m/s, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 3 seg. Resposta: a(t) = 3t²-2t S(0)=
V(0)=
v(t) = t³-t² + 5 a(0)=
S(3)= 27,33m
s(t) = t4/4 –t3/3 +5t +13/12 V(3)= 23 m/s
a(3)=21m/s²
18
10) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) = -3t . Sabendo-se que após 3 seg do acionamento do cronômetro ele passa pela posição 0 m, e que após 2 seg (do acionamento do cronômetro) sua velocidade é 10 m/s, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 5 seg. Resposta: a(t) = -3t S(0)=
v(t) = -3t²/2 +16 V(0)=
s(t) = -t³/2 + 16t – 69/2
a(0)=
S(5)= -17 m
V(5)=-21,5 m/s
a(5)=-15 m/s²
11) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) abaixo. Sabendo-se que no instante de acionamento do cronômetro (t = 0) sua posição é 2m e sua velocidade é 3m/s, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 2 seg.
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Resposta:
Ä S(0)=
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V(0)=
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5
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S(2)= 6,292 m
55 6
>?É
"
V(2)= 1,812 m/s
7Ä 17 " 4 6 a(2)= - 0,093 m/s²
12)Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) abaixo. Sabendo-se que no instante de acionamento do cronômetro (t = 0) sua posição é 5 m e sua velocidade é 3m/s, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 5 seg.
È Æ
>Æ¥ §
Resposta:
Ä S(0)=
2
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V(0)=
a(0)=
Ä
58
>É¥ ¶
" 11 G Ä
S(5)= 37,168 m
32
>É¥ ¶
V(5)= 8,708 m/s
" 11Ä 5 27 a(5)= 0,573 m/s²
19
RESOLUÇÃO DE EDO’S LINEARES DE 1ª. ORDEM PELO FATOR INTEGRANTE (FI) A técnica de resolver as EDO’s pelo MÉTODO DO FATOR INTEGRANTE permite a resolução de TODAS as EDO’s lineares de 1ª.ordem . Todas as EDO’s resolvidas pelo Método das Variáveis Separáveis podem ser resolvidas pelo Método do Fator Integrante, mas algumas EDO’s que são resolvidas pelo Método do Fator Integrante NÃO podem ser resolvidas pelo Método das Variáveis Separáveis. Uma EDO na forma y’ + P(x).y = Q(x) (será chamada de EDO PADRÃO) não pode ser resolvida pela técnica das variáveis separáveis, somente pelo Método do Fator Integrante. Ê
Resolver pelo FATOR INTEGRANTE é multiplicar a EDO PADRÃO pelo fator (FI) ambos os lados na variável x ( utilizando apenas dx ). Isolar y no final.
1
J 1 ∶ 2
2
J 2:
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20
RESOLUÇÃO DE EDO’s DE 2ª. ORDEM HOMOGÊNEA COM COEFICIENTES CONSTANTES Encontre a solução das EDO’s homogêneas de coeficientes constantes abaixo. Dada a EDO de 2ª. Ordem:
ay” + by’ + cy = 0 ,
e a partir da equação auxiliar temos:
Se (am² + bm + c = 0) ∆ > 0, com raízes m1 = p e m2 = q , então
Se (am² + bm + c = 0) ∆ = 0, uma única raíz m1 = p , então
Se ∆ < 0, raízes complexas conjugadas
± 2 _, então
y(x) = C1.epx + C2.eqx
y(x) = C1.epx + C2.x.epx
y(x) = eax(C1.cos bx + C2.sen bx)
1) y” - 5y’ + 6y = 0
RESPOSTAS: y(x) = C1.e3x + C2.e2x
2) 2y” - 18y = 0
y(x) = C1.e3x + C2.e-3x
3) 3y” + 12y’ = 0
y(x) = C1 + C2.e4x
4) y” + 2y’ – 8y = 0
y(x) = C1.e-4x + C2.e2x
5) 5y”+ 20y = 0
y(x) = C1.e3x + C2.e2x
6) 6y” – 3y’ = 0
y(x) = C1 + C2.e0,5x
7) 2y” + 10y’ + 8y = 0
y(x) = C1.e-4x + C2.e-x
8) -3y”-3y’ + 18y = 0
y(x) = C1.e-3x + C2.e2x
9) y” + 6y’ + 9y = 0
y(x) = C1.e-3x + C2.x.e-3x
10) 4y” + 8y’ – 32y = 0
y(x) = C1.e-4x + C2.e2x
11) y” – 4y’ + 4y = 0
y(x) = C1.e2x + C2.x.e2x
12) 2y” – 20y’ +50y = 0
y(x) = C1.e5x + C2.x.e5x
13) y” – 10y’ + 41y = 0
y(x) = e5x(C1.cos 4x + C2.sen 4x)
14) 4y” + 36y = 0
y(x) = C1.cos 3x + C2.sen 3x
15) y” + 6y’ + 34y = 0
y(x) = e-3x(C1.cos 5x + C2.sen 5x)
21
APLICAÇÕES DE EDO’s DE 1ª.ORDEM
22
QUEDA LIVRE COM ARRASTO a = V’ = dV/dt
Força resultante :
Fp= M.g FR
Fa= K.V
FR = ƩF
Fa
FR=M.a
FR= M.a
= FP – FA
Fp
M.a = M.g – K.V M.V’ = M.g – K.V
M.V’ + K.V = M.g
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t) Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal.
1) Um aluno da engenharia, após ver sua média final em CDI 2, foi comemorar fazendo um salto de para-quedas. Após pular do avião (considerar velocidade inicial de queda : V(0) = 1 m/s ), caiu em queda livre por 7 segundos, quando abriu seu para-quedas. Determine: a) A velocidade (em km/h) que ele estava no momento em que abriu o pára-quedas? b) Caso o pára-quedas não abrisse, qual sua velocidade limite de queda (adotar tempo de queda infinito)? c) Qual sua velocidade após 3 seg. de queda? d) Quanto tempo ele leva para atingir a velocidade de 100 km/h (27,78 m/s) e) Quantos metros ele caiu até abrir o para-quedas? f) Qual a função aceleração durante a queda? Considerar:
aceleração da gravidade: g = 10 m/s².
Coeficiente de arrasto SEM paraquedas: K = 18 kg/s. Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal.
massa do aluno: M = 72 kg. Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h
V(t) = velocidade em função do tempo
RESPOSTA: V(t) = 40 – 39e-0,25 t a) b) c) d) e) f)
V(7) = 33,22 m/s = 119,60 km/h V(∞) = 40 m/s = 144 km/h V(3) = 21,58 m/s = 77,68 km/h t = 4,68 s S(t) = 40t + 156e-0,25t-156 S(7) = 151,11m -0,25t a(t) = 9,75e
2) Para o aluno do problema anterior, sabendo-se que ele estava a uma velocidade de 33,22 m/s (NOVO V(0) ) quando abriu o pára-quedas, determine: a) a velocidade com que ele tocou o chão (adotar tempo de queda infinito). b) quanto tempo levou para sua velocidade reduzir a 4,5 m/s ?
M.V’ + K.V = M.g
Considerar:
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t)
aceleração da gravidade: g = 10 m/s².
massa do aluno: M = 72 kg
Coeficiente de arrasto COM pára-quedas ABERTO: K = 165,6 kg/s. Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal. RESPOSTA:
V(t) = 4,35 +28,87e-2,3 t
Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h
V(t) = velocidade em função do tempo
a) V(∞) = 4,35 m/s = 15,66 km/h
b) t = 2,29 s
23 3) Um aluno da engenharia, após ver sua média final em CDI 2, foi comemorar fazendo um salto de pára-quedas. Após pular do avião, ficou 10 segundos em queda livre e depois abriu o pára-quedas. Ficou 90 segundos com o pára-quedas aberto até tocar o chão. Tudo correu bem. a) b) c) d)
Qual a velocidade em que o aluno estava quando abriu o pára-quedas? Quantos metros o aluno caiu em queda livre antes da abertura do pára-quedas? Qual a velocidade (em km/h) com que o aluno chegou ao chão? Se sua queda com o pára-quedas aberto tivesse um tempo absurdamente grande ( t → infinito), qual seria a velocidade limite do pára-quedista (em km/h)? e) Qual a altura em que o avião estava no momento do pulo inicial?
M.V’ + K.V = M.g
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t)
Considerar: aceleração da gravidade( g ) = 10 m/s².
massa do aluno = 80 kg
Coef. de arrasto em queda livre ( K1 )= 20 kg/s.
Coef. de arrasto com pára-quedas ( K2 )= 100 kg/s
Velocidade vertical inicial do pára-quedas na saída do avião : V(0) = 0 m/s Posição inicial do salto ao sair do avião: S(0) = 0 m.
Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h
Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal. Resolver em 2 etapas. 1º. Determine V(t) e S(t) para a queda livre (pára-quedas FECHADO) e calcule a velocidade (m/s) e a distância percorrida (m) após 10 seg de queda livre (coeficiente de arrasto é 20 kg/s). 2º. Considerar o instante em que o pára-quedas é aberto como o NOVO t = 0 seg, portanto a velocidade final da primeira etapa é o novo V(0) e a nova posição inicial é S(0)=0 . Refazer os cálculos de V(t) e S(t) para a condição em que o pára-quedas está aberto (coeficiente de arrasto é 100 kg/s). Com as equações em mãos, responder as questões.
RESPOSTA:
Antes de abrir o paraquedas:
V(t) = 40 - 40e-0,25 t S(t) = 40t+160e-0,25 t -160
a) V(10) = 36,72 m/s = 132,18 km/h b) S(10) = 253,13 m (espaço percorrido em queda livre)
Após abertura do para quedas: Adotaremos na abertura do para quedas S(0) = 0 m e V(0)= 36,72 m/s V(t) = 8 + 28,72e-1,25 t
c) V(90) = 8 m/s = 28,8 km/h
S(t) = 8t - 22,97e-1,25 t + 22,97 pára-quedas até chegar no chão) e) Altura do avião:
d) V(∞) = 8 m/s = 28,8 km/h
S(90) = 742,97 m (espaço percorrido desde a abertura do
253,13 + 742,97 = 996,10 m
24 4) Um aluno da engenharia, após ver sua média final em CDI 2, foi comemorar fazendo um salto de para quedas. Após pular do avião, caiu em queda livre até atingir a velocidade de 20 m/s (72 km/h), quando abriu seu para quedas. Ele desceu sem problemas, pousando sobre uma árvore. Determine: a) A velocidade (em km/h) com que o aluno chegou ao chão? Considerar um tempo absurdamente grande de queda com o para quedas aberto ( t → infinito). b) Determine quanto tempo ele levou para atingir a velocidade de 7,7 m/s ? (tempo aproximado para atingir a velocidade limite após a abertura do para quedas) Considerar: estabeleça os referenciais: Aceleração da gravidade: g = 10 m/s².
Massa do aluno: M = 75 kg
Coeficiente de arrasto com para quedas aberto: K = 98 kg/s. Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal. M.V’ + K.V = M.g
Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h
V(t) = velocidade em função do tempo
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t)
Resp: V(t) = 7,63 + 12,37e-1,31 t
a) V(∞) = 7,63 m/s = 27,47 km/h
b) t = 3,52 seg
5) Um aluno da engenharia, após ver sua média final em CDI 2, num momento de fúria, jogou pela janela da sala de aula sua mochila com todo o material. A velocidade inicial de queda da mochila foi de 2 m/s para baixo (V(0) = 2 m/s). A queda da mochila levou 3 segundos até atingir o chão. Por sorte não acertou ninguém. Um ônibus ainda passou por cima de tudo, atrapalhando o trânsito. O aluno foi expulso da faculdade. Determine: a) A velocidade (em km/h) com que a mochila acertou o chão? b) Se o tempo de queda fosse absurdamente grande, qual a velocidade limite da mochila em queda livre ( t → infinito)? c) Determine quanto tempo a mochila levou para atingir a velocidade de 10 m/s (36 km/h)? d) Determine a altura em que a mochila foi lançada (adotar S(0) = 0 m) ? Considerar: Estabeleça os referenciais. massa da mochila: M = 8 kg.
Aceleração da gravidade: g = 10 m/s².
Coeficiente de arrasto da mochila: K = 5 kg/s
Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h. Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal. V(t) = velocidade em função do tempo
M.V’ + K.V = M.g
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t)
Resp: V(t) = 15,87 – 13,87e-0,63 t a) V(3) = 13,76 m/s = 49,54 km/h
b) V(∞)= 15,87 m/s = 57,13 km/h
S(t) = 15,87t + 22,02e-0,63 t – 22,02
d) S(3) = 28,91 m
c) t = 1,38seg
25 6) Um gato que estava andando no parapeito de um prédio, após tentar dar um pulo para pegar um passarinho que por ali passava, errou a mira, perdeu o equilíbrio e caiu do alto do prédio. A velocidade inicial de queda do gato foi de 1 m/s para baixo (V(0) = 1 m/s). A queda do gato levou 2,5 segundos até atingir o chão. Seu grito foi assustador!! O gato caiu sobre o jardim do prédio e conseguiu sobreviver, graças ao seu coeficiente de arrasto provocar uma velocidade limite de queda na qual ele não sofre maiores danos ao atingir o chão. Ele ficou um bom tempo sem andar no parapeito de sua janela. Determine: a) A velocidade (em km/h) com que o gato caiu sobre o jardim do prédio? b) Se o tempo de queda fosse absurdamente grande, qual a velocidade limite do gato em queda livre ( t → infinito)? c) Determine a altura da janela de onde ele caiu (adotar S(0) = 0 m) ? Considerar: Estabeleça os referenciais. aceleração da gravidade: g = 10 m/s². Coeficiente de arrasto do gato: K = 6 kg/s. Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal. M.V’ + K.V = M.g
Massa do gato: M = 4,5 kg Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h V(t) = velocidade em função do tempo
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t)
Resp: V(t) = 7,5 – 6,5e-1,33 t S(t) = 7,5t + 4,88e-1,33 t – 4,88
a) V(2,5) = 7,27 m/s = 26,17 km/h c) S(2,5) = 14,05 metros de altura.
b) V(∞)= 7,5m/s = 27 km/h
26
TRANSFERÊNCIA DE CALOR Î′
Ï Î 5 Ð Î′
T = T(t )= Temperatura do corpo em função do tempo (t) ;
Î Æ
M = Temperatura do meio (forno onde aquece ou ambiente onde resfria);
T’= derivada de T K= cte de transf. calor.
arredondar K na 4ª casa decimal 1) Um material é retirado de um forno e é deixado resfriando a temperatura ambiente. Sua temperatura inicial ao sair do forno é de 400 oC e o ambiente está a 30oC. Quatro minutos depois sua temperatura é de 285oC. a) Quanto tempo levará para resfriar e atingir a temperatura de 50oC? b) Qual sua temperatura após 20 min fora do forno? Resp: T(t) = 30 +370e-0,0931 t a) t = 31,34 min. b) T = 87,48 oC 2) Um outro material é retirado do mesmo forno e é deixado resfriando dentro de uma geladeira. Sua temperatura inicial ao sair do forno é de 275 oC e a geladeira está a -1 oC. Dez minutos depois sua temperatura é de 155 oC. a) Quanto tempo levará para resfriar e atingir a temperatura de 15oC? Resp: T(t) = -1 + 276e-0,0571 t a) t = 49,87 min 3) Um engenheiro colocou uma pizza de mussarela (que estava congelada) num forno cuja temperatura era de 250oC. Sabendo que a temperatura inicial da pizza era de -10oC e que depois de 12 minutos sua temperatura era de 103oC, determine: a) quanto tempo levará para aquecer e atingir a temperatura de 180oC ? b) Qual sua temperatura após 20 minutos dentro do forno? Resp: T(t) = 250 -260e-0,0475 t a) t = 27,62 min. b) T(20) = 149,45 oC 4) Um engenheiro colocou um material que estava a temperatura ambiente num forno cuja temperatura é de 500oC. Depois de 20 minutos a temperatura do material era de 190oC. Sabendo que ele precisa retirar o material quando ele atingir 300oC e que a temperatura ambiente era de 25oC (temperatura inicial do material), depois de quanto tempo ,contados a partir do início do aquecimento, ele deverá retirar o material? Resp: T(t) = 500 - 475e-0,0213 t t = 40,61 min. 5) Um material é retirado de um forno e é deixado resfriando a temperatura ambiente. Sua temperatura inicial ao sair do forno é de 240 oC e o ambiente está a 25oC. Três minutos depois sua temperatura é de 200oC. a) Quanto tempo levará para resfriar e atingir a temperatura de 50oC? b) Qual sua temperatura após após 20 min fora do forno? Resp: T(t) = 25 +215e-0,0686 t a) t = 31,37 min. b) T(20)=79,52 oC 6) Um engenheiro colocou um vaso de argila num forno cuja temperatura era de 300oC. Sabendo que a temperatura inicial da argila era de 20oC e que depois de 5 minutos sua temperatura era de 70oC, quanto tempo levará para aquecer e atingir a temperatura de 250oC? Resp: T(t) = 300 – 280e-0,0393 t t = 43,84 min.
27
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
P(t) = População em função do tempo = População em determinado instante “t”. P’ = dP/dt = Taxa de variação da população.
P’ = KP
K = cte de crescimento ou decrescimento
1) Estudando a proliferação de fitoplâncton em um lago, um engenheiro analisou amostras de água e calculou sua concentração, estabelecendo o valor de 200 unid/l (unidades por litro e considerar este momento como t = 0 horas). 16 horas depois, havia 280 unidades por litro. Sabendo que a taxa de reprodução é proporcional ao tamanho da população, determine: Arredondar K na 4ª casa decimal. a) Quanto tempo levará para a quantidade de fitoplâncton atingir a concentração de 400 unid/l? Resp: P(t)= 200.e0,021t t = 33,01 h b) Qual a concentração após decorridos 30 horas do instante inicial? Resp: P(30) = 375,52 unid/l 2) Um osso fossilizado contém 40% da quantidade original do C-14. Sabendo que a meiavida do C-14 são 5600 anos (o C-14 perde 50% de sua quantidade original em 5600 anos) e que a taxa de decrescimento é proporcional a quantidade presente em qualquer tempo, determine a idade do fóssil. Arredondar K na 5ª casa decimal. Resp: P(t) = 100.e-0,00012t t = 7635,76 anos
arredondar K na 4ª casa decimal 3) Estudando a proliferação de fitoplâncton em um lago, um engenheiro ambiental analisou amostras de água e calculou sua concentração, estabelecendo o valor de 100 unid/l (unidades por litro e considerar este momento como t = 0 horas). 24 horas depois, havia 120 unidades por litro. Sabendo que a taxa de reprodução é proporcional ao tamanho da população, determine: c) Quanto tempo levará para a quantidade de fitoplâncton atingir a concentração de 500 unid/l ? d) Qual a concentração após decorridos 40 horas do instante inicial? 4) Este mesmo engenheiro, após o fitoplâncton atingir a concentração de 500 unid/l (novo t = 0 horas), lançou um agente biológico que ataca o fitoplâncton, buscando reduzir sua concentração. 48 horas depois, a concentração do fitoplâncton caiu para 450 unid/l. Sabendo que a taxa de decréscimo é proporcional ao tamanho da população, determine: a) Quanto tempo levará para atingir novamente a concentração de 100 unid/l ? b) Qual a concentração após 60 horas? 5) O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo, Sua meia vida é 3,3 horas. Se 20 gramas de chumbo estão presentes inicialmente, quanto tempo levará para 90% do chumbo desaparecer?
6) Um engenheiro ambiental começou a monitorar o crescimento da população de uma pequena cidade. Após 3 anos sua população era de 10000 habitantes e após 5 anos ela duplicou sua quantidade inicial. Quantos habitantes ela tinha inicialmente?
28 7) Um osso fossilizado contém 17% da quantidade original do C-14. Sabendo que a meia-vida do C14 são 5600 anos (o C-14 perde 50% de sua quantidade original em 5600 anos) e que a taxa de decrescimento é proporcional a quantidade presente em qualquer tempo, determine a idade do fóssil. OBS: Carbono-14 : Essa forma mais pesada dos átomos do elemento carbono (mais pesada porque tem oito nêutrons, em vez dos seis do carbono-12, a forma mais comum) é instável. Ou seja, com o passar do tempo, vai lentamente perdendo nêutrons e virando nitrogênio, segundo uma taxa conhecida ao longo do tempo. Isso é uma maravilha para os arqueólogos e paleontólogos porque os seres vivos que incorporam carbono-14 em seu organismo, ao morrer, começam a passar por esse decaimento. Basta contar quanto carbono-14 sobrou na costela de mamute, versus quanto normalmente existe num organismo vivo, para estimar quando o paquiderme morreu. A taxa de sumiço do carbono-14 é tal que o método é útil, em geral, para a datação de objetos com até uns 50 mil anos de idade. 8) Uma plantação de milho foi atacada por roedores. Um engenheiro ambiental cercou uma área de 100m² (10m x 10m) e contou 4 ratos. Um mês depois tinham 10 ratos. Caso nenhuma providência seja tomada, qual a estimativa de roedores após 6 meses na área cercada? CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO - GABARITO 3 P t 100.e0,0076 t P t 500
500 100.e0,0076 t t 211,77 h conc. P 40 135,53 unid/litros
4 P t 500.e-0,0022 t P t 100
100 500.e -0,0022 t t 731,56 h conc. P 60 438,17 unid/litros
5 P t 100.e-0,21 t
P t 10 restaram 10% do chumbo original 10 100.e-0,21 t t 10,96 h
6 P 0 x
P 3 10.000 P 5 2x C x K 0,1386 X 6598,12 hab inicialmente 7 P t 100.e-0,0001 t Idade do fóssil: P t 17 17 100.e-0,0001 t t 17.719,57 anos 8 P t 4.e0,9163 t P 6 976,62 ratos
29
CIRCUITOS RL E RC CIRCUITO R-L - Determinando a função i(t) = corrente em função do tempo O que é um indutor? O indutor, também conhecido por bobina, é um elemento usado em circuitos elétricos, eletrônicos e digitais com a função de acumular energia através de um campo magnético, servindo também para impedir variações na corrente elétrica. Os indutores também são usados para formar um transformador, além de ser extensamente utilizados como filtro do tipo passa baixa (que exclui sinais de alta frequência). Quando uma corrente elétrica atravessa um indutor, induz uma voltagem em seus terminais. A indutância é o parâmetro usado, nos circuitos elétrico/eletrônico/digital para descrever a característica do indutor. A indutância é usada para calcular a voltagem induzida por um campo magnético devido a uma corrente de valor variável, que atravessa os fios da bobina de um indutor.
V1
L
E
R V
L = indutor (henry) R = resistor (ohm) E = DDP (voltagem) i(t) = i = corrente em função do tempo Ö× Tensão no indutor (L): V1 = L . = L.i’ ÖØ Tensão no resistor (R): V2 = R.i V1 + V2 = E Ö×
L . ÖØ + Ri =E
Li’ + Ri = E
RESOLUÇÃO PELO FATOR INTEGRANTE (determinando i(t) )
30
Circuitos elétricos em série R-L : 1) Uma bateria de 12V é conectada a um circuito em série R-L , no qual a indutância (L) é de 0,5 henry e a resistência é de 10 ohms. Determine a corrente i(t) se a corrente inicial é zero (o circuito estava desligado e no instante em que é ligado, i(0)= 0 ampère ). Determine a corrente quando t → ∞.
2) Uma bateria de 42V é conectada a um circuito em série R-L, no qual a indutância (L) é de 0,2 henry e a resistência é de 7 ohms . Determine a corrente i(t) se a corrente inicial é zero (o circuito estava desligado e no instante em que é ligado, i(0)= 0 ampère ). Determine a corrente quando t → ∞.
3) Uma bateria de 24V é conectada a um circuito em série R-L, no qual a indutância (L) é de 1,25 henry e a resistência é de 12 ohms. Determine a corrente i(t) se a corrente inicial é zero (o circuito estava desligado e no instante em que é ligado, i(0)= 0 ampère). Determine a corrente quando t → ∞.
CIRCUITOS ELÉTRICOS EM SÉRIE R-L - GABARITO 1) i(t) = 1,2 – 1,2.e-20 t i(∞) = 1,2 A 2) i(t) = 6 – 6.e-35 t i(∞) = 6 A 3) i(t) = 2 – 2.e-9,6 t i(∞) = 1,2 A
31 CIRCUITO R-C
Determinando q(t) = carga do capacitor em função do tempo.
O que são capacitores? Também chamado de condensador, ele é um dispositivo de circuito elétrico que tem como função armazenar cargas elétricas e consequentemente energia eletrostática, ou elétrica. Os capacitores são utilizados nos mais variados tipos de circuitos elétricos, como nas máquinas fotográficas armazenando cargas para o flash, luzes de emergência etc.
V1
R
E
C V
C = capacitor (farad) R = resistor (ohm) E = DDP (voltagem) q(t) = q = carga do capacitor em função do tempo (coulomb) i = q’ =
ÖÚ ÖØ
Tensão no resistor (R): V1 = R.i Ú
Tensão no capacitor (C): V2 = Û V1 + V2 = E Ri +
Ú Û
ÖÚ
=E
Rq’ +
Ü Ý
R. ÖØ +
=E
Ú Û
=E
RESOLUÇÃO PELO FATOR INTEGRANTE (determinando q(t) )
32
Circuitos elétricos em série R-C :
4) Uma força eletromotriz de 100V é conectada a um circuito em série R-C, no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância (C) é de 10-3 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor e i(t) do circuito. (no instante t = 0 seg , q(0) = 0 coulomb )
5) Uma força eletromotriz de 50V é conectada a um circuito em série R-C, no qual a resistência é de 400 ohms e a capacitância (C) é de 4.10-2 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor e i(t) do circuito. (no instante t = 0 seg , q(0) = 0 coulomb )
6) Uma força eletromotriz de 60V é conectada a um circuito em série R-C, no qual a resistência é de 50 ohms e a capacitância (C) é de 8.10-2 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor e i(t) do circuito. (no instante t = 0 seg , q(0) = 0 coulomb )
CIRCUITOS ELÉTRICOS EM SÉRIE R-C - GABARITO 1) q(t) = 0,1 – 0,1.e-5 t q’(t) = i(t) i(t) = 0,5.e-5 t
2) q(t) = 2 – 2.e-0,0625 t q’(t) = i(t) i(t) = 0,125.e-0,0625 t
3) q(t) = 4,8 – 4,8.e-0,25 t q’(t) = i(t) i(t) = 1,2.e-0,25 t
33
DILUIÇÃO (VOLUME CONSTANTE E VARIÁVEL)
Q(t) = Q = Quantidade de sal no tanque no instante “t”. Q’(t) = Q’ = dQ/dt = taxa de variação de sal no tanque Q’ = (taxa de entrada de sal) – (taxa de saída de sal) = Te - Ts
→
Q’ = Te - Ts
Taxa de entrada (Te) ou saída (Ts) de sal = Vazão (l/min) x concentração (g/l) = g/min (gramas por minuto) Concentração = (Quantidade de sal no instante “t”) / (volume) = Q/V
V=V0+∆V. t
OBS: arredondar na 2ª casa decimal em todos os exercícios. VOLUME CONSTANTE
1)
Inicialmente, 50 gramas de sal são diluídos em um tanque contendo 300 litros de água pura. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 l/min (litros por minuto), o tanque é agitado e a mistura é então drenada na mesma taxa (3 l/min), permanecendo o volume constante no tanque. Se a concentração de sal da solução que entra é de 2 g/l (gramas por litro), determine a concentração de sal no tanque após 20 minutos. Para um tempo muito grande ( t = infinito), qual a concentração do tanque?
2)
Um tanque contém 100 litros de água pura. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 l/min (litros por minuto), o tanque é agitado e a mistura é então drenada na mesma taxa (2 l/min), permanecendo o volume constante no tanque. Se a concentração de sal da solução que entra é de 3 g/l (gramas por litro), determine a concentração de sal no tanque após 30 minutos. Para um tempo muito grande ( t = infinito), qual a concentração do tanque?
3) Um tanque contendo 100 litros de água está com uma concentração de 10 g/l (gramas por litro) de sal. Começa então a ser bombeada para dentro do tanque água pura, numa taxa de 3 l/min (litros por minuto). O tanque é agitado e é então drenado na mesma taxa (3 l/min), permanecendo então o volume constante no tanque. Qual a concentração de sal no tanque após 40 minutos?
34 VARIAÇÃO DE VOLUME
4) Um tanque contendo 100 litros de água está com uma concentração de sal de 3 g/l (gramas por litro). Uma solução salina começa a ser bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 l/min (litros por minuto), é agitada e é então drenada na taxa de 3 l/min, aumentando assim o volume de mistura no tanque. Se a concentração de sal da solução que entra é de 2 g/l (gramas por litro), qual a concentração de sal após 30 minutos? Qual o volume do tanque neste instante?
5) Um tanque contendo 200 litros de água pura começa a receber uma solução salina bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 8 l/min (litros por minuto), é agitada e é então drenada na taxa de 2 l/min, aumentando assim o volume de mistura no tanque. Se a concentração de sal da solução que entra é de 4 g/l (gramas por litro), determine a concentração de sal após 40 minutos. Qual o volume do tanque neste instante?
6) Um tanque contendo 50 litros de água está com uma concentração de sal de 15 g/l (gramas por litro). Começa a ser bombeada para dentro do tanque água pura a uma taxa de 5 l/min (litros por minuto), é agitada e é então drenada do tanque na taxa de 1 l/min, aumentando assim o volume de mistura no tanque. Determine a concentração de sal após 20 minutos. Qual o volume do tanque neste instante?
35 GABARITO DILUIÇÃO
VOLUME CONSTANTE
Q t quantidade de sal em função do tempo “t”. Q t gramas de sal
1
Q t 600 -550.e-0,010 t
Q 20 149,70 gramas de sal
Concentração Quant. sal / volume
VARIAÇÃO DE VOLUME
Q t quantidade de sal em função do tempo “t”. Q t gramas de sal
1 ã Ä
Após 30 minutos: V t
Conc. 600g/300 litros 2 g/l
2
Q t 300 -300.e-0,020 t
100 " 3t V 30 190 litros
Concentração Quant. sal / volume
Conc. 432,63 g/190 litros 2,28 g/l
2 ã Ä
800 " 24Ä 5
4678,43 200 " 6Ä 8,//
Q 30 135,6 gramas de sal
Após 40 minutos:
Conc. 135,36 g/100 litros 1,35 g/l
Q 40 1144,9 gramas de sal
Concentração Quant. sal / volume Q ∞ 300 g
10000 100 " 3Ä 1
Q 30 432,63 gramas de sal
Conc. 149,70 g/300 litros 0,5 g/l Q ∞ 600 g
200 " 6Ä "
Conc. 300g/100 litros 3 g/l
3
Q t 1000.e-0,030 t
Q 40 301,19 gramas de sal
Concentração Quant. sal / volume
Conc. 301,19 g/100 litros 3,01 g/l Q ∞ 0 g
Conc. 0 g/100 litros 0 g/l
V t
200 " 6t V 40 440 litros
Concentração Quant. sal / volume
Conc. 1144,9 g/440 litros 2,6 g/l
3 ã Ä
1994,36 50 " 4Ä 8,0Q
Após 20 minutos: V t
50 " 4t V 40 130 litros
Q 20 590,63 gramas de sal
Concentração Quant. sal / volume
Conc. 590,63 g/130 litros 4,54 g/l
CURSO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3
FMU 2019.1 PROF. RENATO CASAL DE REY
2
A INTEGRAL MÚLTIPLA PARA FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS
A INTERPRETAÇÃO DA INTEGRAL DUPLA
A integral de uma função de 1 variável f(x) pode ser interpretada como a ÁREA sob o gráfico da função. A integral de uma função de 2 variáveis f(x,y) pode ser interpretada como o VOLUME sob o gráfico da função, pois o volume de cada paralelepípedo do gráfico tem como área de base dA = dx.dy e a altura é a própria função z = f(x,y).
Dada uma função z=f(x,y) que existe no domínio R, o volume V, abaixo de seu gráfico e acima da região de domínio R, pode ser calculado pela integral dupla :
,
Volume = ∬ Como dA = dx.dy, podemos escrever
Volume = ∬
,
A integração deve ser feita por uma variável de cada vez, não importando a ordem e respeitando-se o domínio de cada variável. Ao integrar numa variável, a outra variável irá se comportar como uma CONSTANTE. Se o domínio da função z = f(x,y) é dado por RETANGULAR e podemos escrever:
,
, o domínio é chamado de
,
3 EXERCÍCIOS:
2
:
0 . 1 / 0 1
91 8
2 " 3 ² ²5
1 7 ²
/ A . ; 8sen 90 8 /
resp: V
6,5 u. v.
resp: V
2,5 u. v.
5
> ?
/
@
B CD EFG H IJ:
36,51 u.v.
APLICAÇÃO 1) Uma tenda é projetada para ter o formato da superfície da função Z = f(x,y) = x² + y² + 3 . Calcule o volume sob a tenda, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio em 5K 5 . Resolver de 2 modos: a) iniciando a integração pela variável x . b) iniciando a integração pela variável y .
20 15 10 5 0
2) Uma estrutura coberta por uma lona é projetada para servir de garagem num estacionamento, para proporcionar um pouco de sombra. A cobertura tem o formato da superfície da função: Z = f(x,y) = 5 - ( x²/3 + y²/3 ) Calcule o volume sob a cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio em 5 5 K K . 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00
4 3) Uma estrutura coberta por uma lona é projetada para servir de depósito num supermercado. A cobertura tem o formato da superfície da função: Z = f(x,y) = x + xy/4 – y/2 + 6 Calcule o volume sob a cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio em L M L N . 20 15 10 5
4
0
2 0
1
2
3
4
0 5
6
EXERCÍCIOS EXTRAS: Calcule os volumes dados pelas integrais duplas abaixo, no domínio Retangular.
2 : X
Q
0
8
/
"4
91 .
8
/
3
/
90 1 /
8
/
1
90
A
90 8 0
1
0
8
0
8
.
/
8
/
1
53
0
T 2
0
" 52
;6cos 2
;
/
"3
54 @
"
T2I U 3
B CD EFG
B CD EFG
B CD EFG
B CD EFG
@
" : I 2 / Q
"I U 7 W
4 75 3
0
W
5 A INTEGRAL DUPLA QUANDO O DOMÍNIO NÃO É RETANGULAR Quando o domínio para o cálculo do volume NÃO é RETANGULAR, mas definido por funções do tipo y = f(x) ou x = g(y), a integral dupla deverá ter na sua integral INTERNA os intervalos de integração dados pelas funções que a delimitam, marcando o início e o fim dos valores de x ou y. A Integral externa sempre deverá conter valores nos seus limites de integração, não podendo ser funções. y \ ]
YZ
YZ
[
[
y2=f2(x)
, y1=f1(x) a y
x1=f1(y)
b
x
x2=f2(y)
b \ ]
YZ
YZ
^
^
,
a x
EXERCÍCIOS 1) Calcule o volume da função z = f(x,y) = x³ + 4y , sabendo que o seu domínio é a região delimitada pela área entre as funções y1 = x² e y2 = 2x . Faça o gráfico do domínio em escala. 2) Calcule o volume da função z = f(x,y) = x - 4xy , sabendo que o seu domínio é a região delimitada pela área entre as funções y = 2x e y = x/2 no intervalo 2 6 . Faça o gráfico do domínio em escala. 3) Calcule o volume da função z = f(x,y) = 3x² + xy , sabendo que o seu domínio é a região delimitada pela área entre as funções y = -2x e y = x , para 1 2 . Faça o gráfico do domínio em escala. 4) Calcule o volume da função z = f(x,y) = 2x - 2y , sabendo que o seu domínio é a região delimitada pela área entre as funções y1 = x² - 4 e y2 = 9 . Faça o gráfico do domínio em escala.
6 CÁLCULO DE ÁREA DE SUPERFÍCIE EM FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS Para calcularmos a área da superfície do gráfico de uma função Z = f(x,y) num certo domínio R, usamos as INTEGRAIS DUPLAS e as DERIVADAS PARCIAIS de Z como segue:
ÁH
I J H í:_
` a;
,
@² " ;
,
@² " 1 .
APLICAÇÃO 1) Uma tenda é projetada para ter o formato da superfície da função Z = f(x,y) = 2x + 4y + 3 . Calcule a área de lona utilizada na cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio em 5K 5 .
2) Uma estrutura foi montada para servir de depósito e está coberta por uma lona. A cobertura tem o formato da superfície da função: Z = f(x,y) = 3x + 2y + 2 .Calcule a área de lona utilizada na cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada em L L .
7
GABARITOS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
1
0
0
90 9/ 1
b
90
1
0
3
2
/
3
"
/
"
0
9/ 90
u
0
0
"3
9/
{5 5 u
0
"
3 /
9
"
u
" 12
/
}5 5 u
9/
1
/
3 3
/
164 4 ³ 5 v 9 9 9/
Q
0
Q
0 Q
2
0 8
/
90 8 90
"4
91
"
0
9/
/
0
v~
/
3
/
16 " 20 .
8
/
53
8 ³ 5 24
/
³
5 63
90
/
1
/
0 90
9/
164 4 ² u 5 v 9 3
0
8
/
8
X
3
/ Q
1
52 v
;
T 2
v
A
8
52ƒ ²
|
. /
5 "
/ Q
531,4 . y.
/ 90
@
" : I 2
0
90
67,874 . y.
I U 6 2
W
"
0
cos 6y | 12 1
"
24,8 5 6,26
"I U 7 W
: I7 " 5 | 2 7 8
"
/
2
3 5
u6 5
310
8
{2
0
/
8
52
54
54
I U 2 ³ " 3 2
0
0
30 . y.
6I U 2 2
.
1
2
6: I 2
37 I U 8 T " 3 2
216 . y.
1
{
A
37 ² cos 8 { 5 6 16
0
0
"
3
54ƒ
90
/ 91
0 . 1
"3 v
u
"
/
/
90 8
/
0
85,34 . y.
"3
1
3
3
20,083 5 7,5
8
95 . y.
0 9/
v|
x² " 2 ² " 3
90 1 8
"3 v
u
8
95 . y.
V 266,25 u.v PAG 4 EXERCÍCIOS EXTRAS
0
5 / 80 u " v 3 3 90
" 12
0
/
3
90
u
0
90
/
90
9/ 90
9/
"3
0
80 35 ² " 7 3
0
0
"
1
1
8
PÁG 3 INTEGRAL MÚLTIPLA - APLICAÇÃO 1
/
:
9 " 0,22v 2 0
9 ² " 0,22 7 4 8
18,54 y
42,64 5 10
5390,37 . y.
32,64 . y.
8 4 Encontrando o Domínio da integral na variável “x”.
PAG 5 INTEGRAL DUPLA DOMÍNIO NÃO RETANG.
y1 y2 → x² - 4 9 → x² 13 →
Encontrando o Domínio da integral na variável “x”.
1
y1 y2 → x² 2x → x²-2x 0 → x1 0 e x2 2 0
0
8
“0 “ ²
8
5
Q
”
0
0
0
u
1
1
“
15 ³ u v 2
/
"
4 ² v 2
“0
√1/ 9√1/
u
5
4
2
² v
“0
28,125 . y.
1
/
58
5
" 26 5 65
0
2 ² v 2
“—
“ ²9.
5474,97 . y.
“
0
œ
1
1
“ “90
90
2
• 2
0
" 4
0 1
0
ž√21 xŸ9/ dy
1 ›“š 8 ›“8
1 8
0
90 9/
1
² u3 ² " v 2
` a;fš x, y @² " ;f› x, y @² " 1 . dxdy
52296 . y.
3 ²"
52
9√1/
u2
Área de superfície
0
0
.
√1/
2 52
“ ²9.
9√1/
“ ²
“—
PAG 6 ÁREA DE SUPERFÍCIE
”
54
0
“90
8
u
10,677 . y.
0
“0 “
0
"4
3 ² 15 ³ 5 v 2 2
0
3
"8
”
2
/
√1/
∓√13
• 3 ›“š
0
90
" 2
ž√14 yŸ›“8 dx
" 1 dxdy
90
√21 dxdy
68,739 u. a.
1 ›“š
" 1 dydx √14 x dx
0
90 9/
22,913 dy
0 1
1
8 ›“8
√14 dydx
√14 u. a. 2
9
INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO’s) Uma EDO é uma igualdade que contém uma variável independente x, uma variável dependente y (y = f(x)) e algumas de suas derivadas y’ , y’’ , y’’’ , ... , yn. Ao longo deste curso, consideraremos que as variáveis dependentes e independentes são sempre Reais. Na resolução de uma EDO, queremos determinar quem é a função y(x). Designa-se por ORDEM da EDO a maior ordem da derivada. De uma forma geral, uma EDO de ordem n pode ser escrita na forma : F(x, y, y’, y’’, ... , yn) = 0 Exemplos:
a) y' + 3y – 6x = 0
b) c)
d)
e)
"K 5N 5
ordem:
L
ordem:
L
5
ordem:
" " ³ "
¡¡
5
L L
f) y' - e2x =0
ordem:
ordem: ordem:
Uma relação fundamental y=f(x), num certo intervalo I, que verifique a EDO, será uma solução desta EDO. Exemplo: Dê a ordem da EDO e verifique se a função dada y=f(x) é solução desta EDO.
1
y' – 2xy = 0
testar a solução
2
-3y' – 6xy = 0
testar a solução
3
y’’ – y + 3 = 0
testar a solução
1a ordem
SIM K 9
5K "K
NÃO
1a ordem
SIM 2a ordem
10 ¡
5
4 "
5
"¢
5
" N ² L
6
y’’’x³ + y’’x² - 1 = 0
7
y’ +3y -2 = 0
£ ¤
5
5 ¥
testar a solução
" K
5
testar a solução y = ln x
9
2y” + 32y + 64=0
10
5
11
y’ – 4x3y2 = 0
12
3y" - 6y’ + 3y = 0
"¦
L
testar a solução
√
SIM 1a ordem com x>0
5
9§
testar a solução y = xex
SIM 2a ordem SIM 2a ordem
K
testar a solução
testar a solução
3a ordem
SIM
testar a solução y = cos(4x) - 2
L
SIM 2a ordem
NÃO 1a ordem
testar solução y = 2/3 + 2e-3x
8
"
L testar a solução
SIM
2a ordem
SIM
1a ordem
SIM
2a ordem
SOLUÇÕES DE UMA EDO As soluções se classificam em : SOLUÇÃO GERAL: quando a função y(x) apresenta uma constante C não definida. Esta solução indica uma “família” de soluções possíveis para a EDO, pois a constante C pode assumir qualquer valor Real. Exemplos: a) y = 3ex + C b) y = x² - 2x + C c) y = C.x.senx SOLUÇÃO PARTICULAR: quando a função y(x) pode ser completamente definida, estabelecendo-se o valor da constante C. Isto ocorre mediante condições dadas na formulação inicial do problema, onde são apresentadas as chamadas “condições iniciais” ou “condições de contorno” do problema. Exemplos: a) y = 3ex –7 b) y = x² - 2x + 3 c) y = 5.x.senx
11
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª.ORDEM:
DEFINIÇÕES E OPERAÇÕES.
Apresenta-se na forma F(x, y, y’) = 0 Ex: a) b) c) d)
y' – 2y –x² + 7 = 0 y’ – y = 0 y’ – 4x³ = 0 y’ = 0
RESOLUÇÃO DE UMA EDO DE 1ª. ORDEM PELO MÉTODO DAS VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
Todas as vezes que conseguimos separar uma EDO de 1ª. ordem numa equação do tipo F(y,y’)=g(x) ( os termos y e y’ deverão estar na forma de produto ou divisão → y’.y ; y’.y² ; ; ² ; … ), dizemos que esta EDO possui uma solução por VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Temos 3 tipos de “famílias” de resolução: Vamos resolver cada uma delas.
1) 2y’ – 4x² + 6 – e3x = 0
2A) 3y’ + 7yx = 0
3
/
5
Q
2B )
/
5
18
0 3ª
.
/
Q ²
0
”
5
0
Q
=0
Exemplo de uma EDO que não pode ser resolvida pelo Método das Variáveis Separáveis: y’ + y - 6x² = 0
12
Resolva as EDO’s abaixo pelo Método das Variáveis Separáveis (encontre a Solução Geral):
0
/
2 4
:
5 cos 15
"
5 12
0
0
0
5
Q
3
d)
Q
0 √ .
"
”
2y’ – 12cos(3x)+
f)
3y’ + 6ysen(
g)
2y’ – 8yx3 = 0
h)
/
i)
0 Q
”- >¶[
?
j)
2x y’ –
"
18
/ >¯ 18
±•10 ² " °
5 12 ”
0
H IJ:
1²
H IJ:
=0
)=0
?
testar solução
¶
±√4
H IJ:
·
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a
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.°
.°
H IJ:
H IJ:
=0
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2) 3 3) 4
5
.
√
5
5
"
18
Q³´µ Q ¥”
10
0
9/ > 0
9.
"° 0
" °º "°
¯[ -¼
=0
0
H IJ:
28
=0
H IJ:
±a4I Už¼[ Ÿ"° ¯
H IJ:
5 35 U " °
>¯[¥ ¼ >¼½
"4 "°
5 3 ln " °
Q³´µ 0 ¥Q
H IJ: =0
91
2I U 3
H IJ:
testar solução
"2
EXERCÍCIOS EXTRAS: Encontre a solução geral das EDO’s abaixo:
1)
"°
testar solução
2xy’ - 6• = 0 5
¬-® 1Q
H IJ:
H IJ:
e)
.
Q «
0
0
5
"
”
.°
13
H IJ:
4) 2x³y’ - 8x²y= 0 5) y’xe5x – xe2x = 0
6)
7)
:
5
/
.
" 8 ?
/
0
0
√
0
?
8) 2
5
√
0
9) 3
5 2 I U
0
10)
?
√
5 ?• .
/
Q
.
.°
H IJ:
9- >?[
H IJ:
·
— ²
H IJ:
9.
H IJ:
/
3
—
0
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08
0¥ /
" °º
¾¥
¼¥ ?
"°
"°
" °7
?
0
cos 6 ³
0
SOLUÇÃO PARTICULAR DE UMA EDO DE 1ª.ORDEM Encontrando a solução geral e particular de uma EDO, dado uma condição inicial. Exemplo: y’ – 2x = 0
1)
5 L√
2)
5 K
3)
"
4) N 5)
para y(4) = 6
L
K
L L
5
L
"
M
K
L
sabendo que y(1) = 10
¿ £À:
¢
M¥
M
sabendo que y(ln2) = 5
¿ £À:
sabendo que y(e3) = 10
¿ £À:
5 Á¤ " N
sabendo que y(5) = 4
¿ £À:
±a "
sabendo que y(2) = 3
¿ £À:
K
.
"
¢
²
N
> M
¦
. K ä M
N
14
APLICAÇÕES DE EDO’s EM CINEMÁTICA MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MUV) ,SEM ARRASTO Revisão Básica: Dada a função que descreve a posição em função do tempo [ S(t) ] de um objeto numa trajetória ( SI -seg, metro, kg), determine V(t) , a(t) e responda as questões abaixo. S(t) = posição em função do tempo → m
(aonde ele está em determinado instante)
V(t) = velocidade em função do tempo → m/s
(qual sua velocidade em determinado instante)
a(t) = aceleração em função do tempo → m/s²
(qual sua aceleração em determinado instante)
S(t) = 2t² + 3t + 4
t = 0 seg S(0) = V(0) = a(0) =
t = 2 seg S(2) = V(2) = a(2) =
t = 3 seg S(3) = V(3) = a(3) =
S(t)=156
S(t) = 156 V(t) = 55 a(t) = 15
t= t=
V(t)=55
Â
Â
S’= V(t) =
 V’ = a(t) =
Â
∆G ∆Ä
∆ ∆Ä
G Ä
Ä
G Å Æ
Å
Ç
È Æ
È
Å
Ç Æ
Å Æ
15
APLICAÇÕES DE EDO’s EM PROBLEMAS DE CINEMÁTICA, COM ACELERAÇÃO CONSTANTE (MUV) E SEM FORÇAS DE ARRASTO
1) Uma calculadora é lançada (tem velocidade inicial) para cima, do alto de um prédio de 80m de altura. Sabemos que no instante 2 seg. ela já está caindo com velocidade de 16m/s . A. Qual a altura máxima que ela atingiu (ponto A)? B. Com que velocidade e depois de quanto tempo ela passa pelo 5º.andar (ponto B)? C. Com que velocidade e depois de quanto tempo ela atinge o chão (ponto C)? A
g =10m/s²
t= 0 seg
t = 0 seg
10 m 80m +S
+V +a
em A
em B
em C
S(0) =
S(t) =
S(t) =
S(t) =
V(0) =
V(t) =
V(t) =
V(t) =
a(0) =
a(t) =
a(t) =
a(t) =
B 23 m C
RESOLVENDO O MESMO PROBLEMA ADOTANDO OUTROS REFERENCIAIS 2)
g =10m/s² A
V=4m/s t= 0 seg
t = 0 seg +S 80m
B 23m C
+V +a
em A
em B
em C
S(0) =
S(t) =
S(t) =
S(t) =
V(0) =
V(t) =
V(t) =
V(t) =
a(0) =
a(t) =
a(t) =
a(t) =
16
3) A
g =10m/s²
V=4m/s
t= 0 seg
t = 0 seg B
80m m
0
23m -S
-V
em A
em B
em C
S(0) =
S(t) =
S(t) =
S(t) =
V(0) =
V(t) =
V(t) =
V(t) =
a(0) =
a(t) =
a(t) =
a(t) =
-a
C
4) A
g =10m/s²
V=4m/s t= 0 seg
t = 0 seg 80m
B 23m C
em A
em B
em C
S(0) = V(0) =
S(t) = V(t) =
S(t) = V(t) =
S(t) = V(t) =
a(0) =
a(t) =
a(t) =
a(t) =
0 -S
-V
-a
5) LANÇANDO A CALCULADORA PARA BAIXO:
g =10m/s²
t = 0 seg V= 4m/s 80m
B
0
23m +S C
+V +a
em B
em C
S(0) =
S(t) =
S(t) =
V(0) =
V(t) =
V(t) =
a(0) =
a(t) =
a(t) =
17
6) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) = 3t – 6 . Sabendo-se que após 2 seg do acionamento do cronômetro, sua velocidade é 10m/s, e que após 1 seg (do acionamento do cronômetro) ele passa pela posição 4m, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 5 seg. Resposta: a(t) = 3t – 6 S(0)=
V(0)=
v(t) = 3t²/2 - 6t +16 a(0)=
S(5)=58 m
s(t) = t³/2 -3t² +16t -19/2 V(5)=23,5 m/s
a(5)=9 m/s²
7) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) = t²-8t . Sabendo-se que após 2 seg do acionamento do cronômetro ele passa pela posição 56 m, e que após 3seg (do acionamento do cronômetro) sua velocidade é 2m/s, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 5 seg. Resposta: a(t) = t² - 8t S(0)=
V(0)=
v(t) = t³/3 - 4t² + 29 a(0)=
S(5)= 37,74 m
s(t) = t4/12 –4t3/3 + 29t +22/3 V(5)= -29,33 m/s
a(5)= -15 m/s²
8) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) = 2t +4 . Sabendo-se que após 2 seg do acionamento do cronômetro, sua velocidade é -7 m/s, e que após 3 seg (do acionamento do cronômetro) ele passa pela posição 4m, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 5 seg. Resposta: a(t) = 2t + 4 S(0)=
V(0)=
v(t) = t² + 4t -19 a(0)=
S(5)=30,67 m
s(t) = t³/3 +2t²- 19t +34 V(5)= 26 m/s
a(5)=14m/s²
9) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) = 3t²-2t . Sabendo-se que após 1 seg do acionamento do cronômetro ele passa pela posição 6 m, e que após 2 seg (do acionamento do cronômetro) sua velocidade é 9m/s, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 3 seg. Resposta: a(t) = 3t²-2t S(0)=
V(0)=
v(t) = t³-t² + 5 a(0)=
S(3)= 27,33m
s(t) = t4/4 –t3/3 +5t +13/12 V(3)= 23 m/s
a(3)=21m/s²
18
10) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) = -3t . Sabendo-se que após 3 seg do acionamento do cronômetro ele passa pela posição 0 m, e que após 2 seg (do acionamento do cronômetro) sua velocidade é 10 m/s, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 5 seg. Resposta: a(t) = -3t S(0)=
v(t) = -3t²/2 +16 V(0)=
s(t) = -t³/2 + 16t – 69/2
a(0)=
S(5)= -17 m
V(5)=-21,5 m/s
a(5)=-15 m/s²
11) Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) abaixo. Sabendo-se que no instante de acionamento do cronômetro (t = 0) sua posição é 2m e sua velocidade é 3m/s, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 2 seg.
5 M ¢
È Æ
>KÆ
Resposta:
Ä S(0)=
515 8
>?É
V(0)=
Ä
5
a(0)=
>?É
4
7 " G Ä 4
S(2)= 6,292 m
55 6
>?É
"
V(2)= 1,812 m/s
7Ä 17 " 4 6 a(2)= - 0,093 m/s²
12)Um objeto possui uma aceleração variável, dada pela função a(t) abaixo. Sabendo-se que no instante de acionamento do cronômetro (t = 0) sua posição é 5 m e sua velocidade é 3m/s, determine sua posição, velocidade e aceleração no instante 5 seg.
È Æ
>Æ¥ §
Resposta:
Ä S(0)=
2
>É¥ ¶
V(0)=
a(0)=
Ä
58
>É¥ ¶
" 11 G Ä
S(5)= 37,168 m
32
>É¥ ¶
V(5)= 8,708 m/s
" 11Ä 5 27 a(5)= 0,573 m/s²
19
RESOLUÇÃO DE EDO’S LINEARES DE 1ª. ORDEM PELO FATOR INTEGRANTE (FI) A técnica de resolver as EDO’s pelo MÉTODO DO FATOR INTEGRANTE permite a resolução de TODAS as EDO’s lineares de 1ª.ordem . Todas as EDO’s resolvidas pelo Método das Variáveis Separáveis podem ser resolvidas pelo Método do Fator Integrante, mas algumas EDO’s que são resolvidas pelo Método do Fator Integrante NÃO podem ser resolvidas pelo Método das Variáveis Separáveis. Uma EDO na forma y’ + P(x).y = Q(x) (será chamada de EDO PADRÃO) não pode ser resolvida pela técnica das variáveis separáveis, somente pelo Método do Fator Integrante. Ê
Resolver pelo FATOR INTEGRANTE é multiplicar a EDO PADRÃO pelo fator (FI) ambos os lados na variável x ( utilizando apenas dx ). Isolar y no final.
1
J 1 ∶ 2
2
J 2:
3
"
K
4
K
5
§
§
7
"
8
K
K
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5K 5
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11
0
0
L
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9
" ³
Q
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5§ 5¢ 5
"
/
9
5K "
5
6
"
0
54 55
e integrar
"°
9.
20
RESOLUÇÃO DE EDO’s DE 2ª. ORDEM HOMOGÊNEA COM COEFICIENTES CONSTANTES Encontre a solução das EDO’s homogêneas de coeficientes constantes abaixo. Dada a EDO de 2ª. Ordem:
ay” + by’ + cy = 0 ,
e a partir da equação auxiliar temos:
Se (am² + bm + c = 0) ∆ > 0, com raízes m1 = p e m2 = q , então
Se (am² + bm + c = 0) ∆ = 0, uma única raíz m1 = p , então
Se ∆ < 0, raízes complexas conjugadas
± 2 _, então
y(x) = C1.epx + C2.eqx
y(x) = C1.epx + C2.x.epx
y(x) = eax(C1.cos bx + C2.sen bx)
1) y” - 5y’ + 6y = 0
RESPOSTAS: y(x) = C1.e3x + C2.e2x
2) 2y” - 18y = 0
y(x) = C1.e3x + C2.e-3x
3) 3y” + 12y’ = 0
y(x) = C1 + C2.e4x
4) y” + 2y’ – 8y = 0
y(x) = C1.e-4x + C2.e2x
5) 5y”+ 20y = 0
y(x) = C1.e3x + C2.e2x
6) 6y” – 3y’ = 0
y(x) = C1 + C2.e0,5x
7) 2y” + 10y’ + 8y = 0
y(x) = C1.e-4x + C2.e-x
8) -3y”-3y’ + 18y = 0
y(x) = C1.e-3x + C2.e2x
9) y” + 6y’ + 9y = 0
y(x) = C1.e-3x + C2.x.e-3x
10) 4y” + 8y’ – 32y = 0
y(x) = C1.e-4x + C2.e2x
11) y” – 4y’ + 4y = 0
y(x) = C1.e2x + C2.x.e2x
12) 2y” – 20y’ +50y = 0
y(x) = C1.e5x + C2.x.e5x
13) y” – 10y’ + 41y = 0
y(x) = e5x(C1.cos 4x + C2.sen 4x)
14) 4y” + 36y = 0
y(x) = C1.cos 3x + C2.sen 3x
15) y” + 6y’ + 34y = 0
y(x) = e-3x(C1.cos 5x + C2.sen 5x)
21
APLICAÇÕES DE EDO’s DE 1ª.ORDEM
22
QUEDA LIVRE COM ARRASTO a = V’ = dV/dt
Força resultante :
Fp= M.g FR
Fa= K.V
FR = ƩF
Fa
FR=M.a
FR= M.a
= FP – FA
Fp
M.a = M.g – K.V M.V’ = M.g – K.V
M.V’ + K.V = M.g
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t) Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal.
1) Um aluno da engenharia, após ver sua média final em CDI 2, foi comemorar fazendo um salto de para-quedas. Após pular do avião (considerar velocidade inicial de queda : V(0) = 1 m/s ), caiu em queda livre por 7 segundos, quando abriu seu para-quedas. Determine: a) A velocidade (em km/h) que ele estava no momento em que abriu o pára-quedas? b) Caso o pára-quedas não abrisse, qual sua velocidade limite de queda (adotar tempo de queda infinito)? c) Qual sua velocidade após 3 seg. de queda? d) Quanto tempo ele leva para atingir a velocidade de 100 km/h (27,78 m/s) e) Quantos metros ele caiu até abrir o para-quedas? f) Qual a função aceleração durante a queda? Considerar:
aceleração da gravidade: g = 10 m/s².
Coeficiente de arrasto SEM paraquedas: K = 18 kg/s. Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal.
massa do aluno: M = 72 kg. Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h
V(t) = velocidade em função do tempo
RESPOSTA: V(t) = 40 – 39e-0,25 t a) b) c) d) e) f)
V(7) = 33,22 m/s = 119,60 km/h V(∞) = 40 m/s = 144 km/h V(3) = 21,58 m/s = 77,68 km/h t = 4,68 s S(t) = 40t + 156e-0,25t-156 S(7) = 151,11m -0,25t a(t) = 9,75e
2) Para o aluno do problema anterior, sabendo-se que ele estava a uma velocidade de 33,22 m/s (NOVO V(0) ) quando abriu o pára-quedas, determine: a) a velocidade com que ele tocou o chão (adotar tempo de queda infinito). b) quanto tempo levou para sua velocidade reduzir a 4,5 m/s ?
M.V’ + K.V = M.g
Considerar:
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t)
aceleração da gravidade: g = 10 m/s².
massa do aluno: M = 72 kg
Coeficiente de arrasto COM pára-quedas ABERTO: K = 165,6 kg/s. Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal. RESPOSTA:
V(t) = 4,35 +28,87e-2,3 t
Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h
V(t) = velocidade em função do tempo
a) V(∞) = 4,35 m/s = 15,66 km/h
b) t = 2,29 s
23 3) Um aluno da engenharia, após ver sua média final em CDI 2, foi comemorar fazendo um salto de pára-quedas. Após pular do avião, ficou 10 segundos em queda livre e depois abriu o pára-quedas. Ficou 90 segundos com o pára-quedas aberto até tocar o chão. Tudo correu bem. a) b) c) d)
Qual a velocidade em que o aluno estava quando abriu o pára-quedas? Quantos metros o aluno caiu em queda livre antes da abertura do pára-quedas? Qual a velocidade (em km/h) com que o aluno chegou ao chão? Se sua queda com o pára-quedas aberto tivesse um tempo absurdamente grande ( t → infinito), qual seria a velocidade limite do pára-quedista (em km/h)? e) Qual a altura em que o avião estava no momento do pulo inicial?
M.V’ + K.V = M.g
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t)
Considerar: aceleração da gravidade( g ) = 10 m/s².
massa do aluno = 80 kg
Coef. de arrasto em queda livre ( K1 )= 20 kg/s.
Coef. de arrasto com pára-quedas ( K2 )= 100 kg/s
Velocidade vertical inicial do pára-quedas na saída do avião : V(0) = 0 m/s Posição inicial do salto ao sair do avião: S(0) = 0 m.
Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h
Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal. Resolver em 2 etapas. 1º. Determine V(t) e S(t) para a queda livre (pára-quedas FECHADO) e calcule a velocidade (m/s) e a distância percorrida (m) após 10 seg de queda livre (coeficiente de arrasto é 20 kg/s). 2º. Considerar o instante em que o pára-quedas é aberto como o NOVO t = 0 seg, portanto a velocidade final da primeira etapa é o novo V(0) e a nova posição inicial é S(0)=0 . Refazer os cálculos de V(t) e S(t) para a condição em que o pára-quedas está aberto (coeficiente de arrasto é 100 kg/s). Com as equações em mãos, responder as questões.
RESPOSTA:
Antes de abrir o paraquedas:
V(t) = 40 - 40e-0,25 t S(t) = 40t+160e-0,25 t -160
a) V(10) = 36,72 m/s = 132,18 km/h b) S(10) = 253,13 m (espaço percorrido em queda livre)
Após abertura do para quedas: Adotaremos na abertura do para quedas S(0) = 0 m e V(0)= 36,72 m/s V(t) = 8 + 28,72e-1,25 t
c) V(90) = 8 m/s = 28,8 km/h
S(t) = 8t - 22,97e-1,25 t + 22,97 pára-quedas até chegar no chão) e) Altura do avião:
d) V(∞) = 8 m/s = 28,8 km/h
S(90) = 742,97 m (espaço percorrido desde a abertura do
253,13 + 742,97 = 996,10 m
24 4) Um aluno da engenharia, após ver sua média final em CDI 2, foi comemorar fazendo um salto de para quedas. Após pular do avião, caiu em queda livre até atingir a velocidade de 20 m/s (72 km/h), quando abriu seu para quedas. Ele desceu sem problemas, pousando sobre uma árvore. Determine: a) A velocidade (em km/h) com que o aluno chegou ao chão? Considerar um tempo absurdamente grande de queda com o para quedas aberto ( t → infinito). b) Determine quanto tempo ele levou para atingir a velocidade de 7,7 m/s ? (tempo aproximado para atingir a velocidade limite após a abertura do para quedas) Considerar: estabeleça os referenciais: Aceleração da gravidade: g = 10 m/s².
Massa do aluno: M = 75 kg
Coeficiente de arrasto com para quedas aberto: K = 98 kg/s. Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal. M.V’ + K.V = M.g
Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h
V(t) = velocidade em função do tempo
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t)
Resp: V(t) = 7,63 + 12,37e-1,31 t
a) V(∞) = 7,63 m/s = 27,47 km/h
b) t = 3,52 seg
5) Um aluno da engenharia, após ver sua média final em CDI 2, num momento de fúria, jogou pela janela da sala de aula sua mochila com todo o material. A velocidade inicial de queda da mochila foi de 2 m/s para baixo (V(0) = 2 m/s). A queda da mochila levou 3 segundos até atingir o chão. Por sorte não acertou ninguém. Um ônibus ainda passou por cima de tudo, atrapalhando o trânsito. O aluno foi expulso da faculdade. Determine: a) A velocidade (em km/h) com que a mochila acertou o chão? b) Se o tempo de queda fosse absurdamente grande, qual a velocidade limite da mochila em queda livre ( t → infinito)? c) Determine quanto tempo a mochila levou para atingir a velocidade de 10 m/s (36 km/h)? d) Determine a altura em que a mochila foi lançada (adotar S(0) = 0 m) ? Considerar: Estabeleça os referenciais. massa da mochila: M = 8 kg.
Aceleração da gravidade: g = 10 m/s².
Coeficiente de arrasto da mochila: K = 5 kg/s
Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h. Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal. V(t) = velocidade em função do tempo
M.V’ + K.V = M.g
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t)
Resp: V(t) = 15,87 – 13,87e-0,63 t a) V(3) = 13,76 m/s = 49,54 km/h
b) V(∞)= 15,87 m/s = 57,13 km/h
S(t) = 15,87t + 22,02e-0,63 t – 22,02
d) S(3) = 28,91 m
c) t = 1,38seg
25 6) Um gato que estava andando no parapeito de um prédio, após tentar dar um pulo para pegar um passarinho que por ali passava, errou a mira, perdeu o equilíbrio e caiu do alto do prédio. A velocidade inicial de queda do gato foi de 1 m/s para baixo (V(0) = 1 m/s). A queda do gato levou 2,5 segundos até atingir o chão. Seu grito foi assustador!! O gato caiu sobre o jardim do prédio e conseguiu sobreviver, graças ao seu coeficiente de arrasto provocar uma velocidade limite de queda na qual ele não sofre maiores danos ao atingir o chão. Ele ficou um bom tempo sem andar no parapeito de sua janela. Determine: a) A velocidade (em km/h) com que o gato caiu sobre o jardim do prédio? b) Se o tempo de queda fosse absurdamente grande, qual a velocidade limite do gato em queda livre ( t → infinito)? c) Determine a altura da janela de onde ele caiu (adotar S(0) = 0 m) ? Considerar: Estabeleça os referenciais. aceleração da gravidade: g = 10 m/s². Coeficiente de arrasto do gato: K = 6 kg/s. Todos os arredondamentos na 2ª casa decimal. M.V’ + K.V = M.g
Massa do gato: M = 4,5 kg Conversão: 1 m/s = 3,6 km/h V(t) = velocidade em função do tempo
Resolver pelo Fator integrante: obter V(t)
Resp: V(t) = 7,5 – 6,5e-1,33 t S(t) = 7,5t + 4,88e-1,33 t – 4,88
a) V(2,5) = 7,27 m/s = 26,17 km/h c) S(2,5) = 14,05 metros de altura.
b) V(∞)= 7,5m/s = 27 km/h
26
TRANSFERÊNCIA DE CALOR Î′
Ï Î 5 Ð Î′
T = T(t )= Temperatura do corpo em função do tempo (t) ;
Î Æ
M = Temperatura do meio (forno onde aquece ou ambiente onde resfria);
T’= derivada de T K= cte de transf. calor.
arredondar K na 4ª casa decimal 1) Um material é retirado de um forno e é deixado resfriando a temperatura ambiente. Sua temperatura inicial ao sair do forno é de 400 oC e o ambiente está a 30oC. Quatro minutos depois sua temperatura é de 285oC. a) Quanto tempo levará para resfriar e atingir a temperatura de 50oC? b) Qual sua temperatura após 20 min fora do forno? Resp: T(t) = 30 +370e-0,0931 t a) t = 31,34 min. b) T = 87,48 oC 2) Um outro material é retirado do mesmo forno e é deixado resfriando dentro de uma geladeira. Sua temperatura inicial ao sair do forno é de 275 oC e a geladeira está a -1 oC. Dez minutos depois sua temperatura é de 155 oC. a) Quanto tempo levará para resfriar e atingir a temperatura de 15oC? Resp: T(t) = -1 + 276e-0,0571 t a) t = 49,87 min 3) Um engenheiro colocou uma pizza de mussarela (que estava congelada) num forno cuja temperatura era de 250oC. Sabendo que a temperatura inicial da pizza era de -10oC e que depois de 12 minutos sua temperatura era de 103oC, determine: a) quanto tempo levará para aquecer e atingir a temperatura de 180oC ? b) Qual sua temperatura após 20 minutos dentro do forno? Resp: T(t) = 250 -260e-0,0475 t a) t = 27,62 min. b) T(20) = 149,45 oC 4) Um engenheiro colocou um material que estava a temperatura ambiente num forno cuja temperatura é de 500oC. Depois de 20 minutos a temperatura do material era de 190oC. Sabendo que ele precisa retirar o material quando ele atingir 300oC e que a temperatura ambiente era de 25oC (temperatura inicial do material), depois de quanto tempo ,contados a partir do início do aquecimento, ele deverá retirar o material? Resp: T(t) = 500 - 475e-0,0213 t t = 40,61 min. 5) Um material é retirado de um forno e é deixado resfriando a temperatura ambiente. Sua temperatura inicial ao sair do forno é de 240 oC e o ambiente está a 25oC. Três minutos depois sua temperatura é de 200oC. a) Quanto tempo levará para resfriar e atingir a temperatura de 50oC? b) Qual sua temperatura após após 20 min fora do forno? Resp: T(t) = 25 +215e-0,0686 t a) t = 31,37 min. b) T(20)=79,52 oC 6) Um engenheiro colocou um vaso de argila num forno cuja temperatura era de 300oC. Sabendo que a temperatura inicial da argila era de 20oC e que depois de 5 minutos sua temperatura era de 70oC, quanto tempo levará para aquecer e atingir a temperatura de 250oC? Resp: T(t) = 300 – 280e-0,0393 t t = 43,84 min.
27
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
P(t) = População em função do tempo = População em determinado instante “t”. P’ = dP/dt = Taxa de variação da população.
P’ = KP
K = cte de crescimento ou decrescimento
1) Estudando a proliferação de fitoplâncton em um lago, um engenheiro analisou amostras de água e calculou sua concentração, estabelecendo o valor de 200 unid/l (unidades por litro e considerar este momento como t = 0 horas). 16 horas depois, havia 280 unidades por litro. Sabendo que a taxa de reprodução é proporcional ao tamanho da população, determine: Arredondar K na 4ª casa decimal. a) Quanto tempo levará para a quantidade de fitoplâncton atingir a concentração de 400 unid/l? Resp: P(t)= 200.e0,021t t = 33,01 h b) Qual a concentração após decorridos 30 horas do instante inicial? Resp: P(30) = 375,52 unid/l 2) Um osso fossilizado contém 40% da quantidade original do C-14. Sabendo que a meiavida do C-14 são 5600 anos (o C-14 perde 50% de sua quantidade original em 5600 anos) e que a taxa de decrescimento é proporcional a quantidade presente em qualquer tempo, determine a idade do fóssil. Arredondar K na 5ª casa decimal. Resp: P(t) = 100.e-0,00012t t = 7635,76 anos
arredondar K na 4ª casa decimal 3) Estudando a proliferação de fitoplâncton em um lago, um engenheiro ambiental analisou amostras de água e calculou sua concentração, estabelecendo o valor de 100 unid/l (unidades por litro e considerar este momento como t = 0 horas). 24 horas depois, havia 120 unidades por litro. Sabendo que a taxa de reprodução é proporcional ao tamanho da população, determine: c) Quanto tempo levará para a quantidade de fitoplâncton atingir a concentração de 500 unid/l ? d) Qual a concentração após decorridos 40 horas do instante inicial? 4) Este mesmo engenheiro, após o fitoplâncton atingir a concentração de 500 unid/l (novo t = 0 horas), lançou um agente biológico que ataca o fitoplâncton, buscando reduzir sua concentração. 48 horas depois, a concentração do fitoplâncton caiu para 450 unid/l. Sabendo que a taxa de decréscimo é proporcional ao tamanho da população, determine: a) Quanto tempo levará para atingir novamente a concentração de 100 unid/l ? b) Qual a concentração após 60 horas? 5) O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo, Sua meia vida é 3,3 horas. Se 20 gramas de chumbo estão presentes inicialmente, quanto tempo levará para 90% do chumbo desaparecer?
6) Um engenheiro ambiental começou a monitorar o crescimento da população de uma pequena cidade. Após 3 anos sua população era de 10000 habitantes e após 5 anos ela duplicou sua quantidade inicial. Quantos habitantes ela tinha inicialmente?
28 7) Um osso fossilizado contém 17% da quantidade original do C-14. Sabendo que a meia-vida do C14 são 5600 anos (o C-14 perde 50% de sua quantidade original em 5600 anos) e que a taxa de decrescimento é proporcional a quantidade presente em qualquer tempo, determine a idade do fóssil. OBS: Carbono-14 : Essa forma mais pesada dos átomos do elemento carbono (mais pesada porque tem oito nêutrons, em vez dos seis do carbono-12, a forma mais comum) é instável. Ou seja, com o passar do tempo, vai lentamente perdendo nêutrons e virando nitrogênio, segundo uma taxa conhecida ao longo do tempo. Isso é uma maravilha para os arqueólogos e paleontólogos porque os seres vivos que incorporam carbono-14 em seu organismo, ao morrer, começam a passar por esse decaimento. Basta contar quanto carbono-14 sobrou na costela de mamute, versus quanto normalmente existe num organismo vivo, para estimar quando o paquiderme morreu. A taxa de sumiço do carbono-14 é tal que o método é útil, em geral, para a datação de objetos com até uns 50 mil anos de idade. 8) Uma plantação de milho foi atacada por roedores. Um engenheiro ambiental cercou uma área de 100m² (10m x 10m) e contou 4 ratos. Um mês depois tinham 10 ratos. Caso nenhuma providência seja tomada, qual a estimativa de roedores após 6 meses na área cercada? CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO - GABARITO 3 P t 100.e0,0076 t P t 500
500 100.e0,0076 t t 211,77 h conc. P 40 135,53 unid/litros
4 P t 500.e-0,0022 t P t 100
100 500.e -0,0022 t t 731,56 h conc. P 60 438,17 unid/litros
5 P t 100.e-0,21 t
P t 10 restaram 10% do chumbo original 10 100.e-0,21 t t 10,96 h
6 P 0 x
P 3 10.000 P 5 2x C x K 0,1386 X 6598,12 hab inicialmente 7 P t 100.e-0,0001 t Idade do fóssil: P t 17 17 100.e-0,0001 t t 17.719,57 anos 8 P t 4.e0,9163 t P 6 976,62 ratos
29
CIRCUITOS RL E RC CIRCUITO R-L - Determinando a função i(t) = corrente em função do tempo O que é um indutor? O indutor, também conhecido por bobina, é um elemento usado em circuitos elétricos, eletrônicos e digitais com a função de acumular energia através de um campo magnético, servindo também para impedir variações na corrente elétrica. Os indutores também são usados para formar um transformador, além de ser extensamente utilizados como filtro do tipo passa baixa (que exclui sinais de alta frequência). Quando uma corrente elétrica atravessa um indutor, induz uma voltagem em seus terminais. A indutância é o parâmetro usado, nos circuitos elétrico/eletrônico/digital para descrever a característica do indutor. A indutância é usada para calcular a voltagem induzida por um campo magnético devido a uma corrente de valor variável, que atravessa os fios da bobina de um indutor.
V1
L
E
R V
L = indutor (henry) R = resistor (ohm) E = DDP (voltagem) i(t) = i = corrente em função do tempo Ö× Tensão no indutor (L): V1 = L . = L.i’ ÖØ Tensão no resistor (R): V2 = R.i V1 + V2 = E Ö×
L . ÖØ + Ri =E
Li’ + Ri = E
RESOLUÇÃO PELO FATOR INTEGRANTE (determinando i(t) )
30
Circuitos elétricos em série R-L : 1) Uma bateria de 12V é conectada a um circuito em série R-L , no qual a indutância (L) é de 0,5 henry e a resistência é de 10 ohms. Determine a corrente i(t) se a corrente inicial é zero (o circuito estava desligado e no instante em que é ligado, i(0)= 0 ampère ). Determine a corrente quando t → ∞.
2) Uma bateria de 42V é conectada a um circuito em série R-L, no qual a indutância (L) é de 0,2 henry e a resistência é de 7 ohms . Determine a corrente i(t) se a corrente inicial é zero (o circuito estava desligado e no instante em que é ligado, i(0)= 0 ampère ). Determine a corrente quando t → ∞.
3) Uma bateria de 24V é conectada a um circuito em série R-L, no qual a indutância (L) é de 1,25 henry e a resistência é de 12 ohms. Determine a corrente i(t) se a corrente inicial é zero (o circuito estava desligado e no instante em que é ligado, i(0)= 0 ampère). Determine a corrente quando t → ∞.
CIRCUITOS ELÉTRICOS EM SÉRIE R-L - GABARITO 1) i(t) = 1,2 – 1,2.e-20 t i(∞) = 1,2 A 2) i(t) = 6 – 6.e-35 t i(∞) = 6 A 3) i(t) = 2 – 2.e-9,6 t i(∞) = 1,2 A
31 CIRCUITO R-C
Determinando q(t) = carga do capacitor em função do tempo.
O que são capacitores? Também chamado de condensador, ele é um dispositivo de circuito elétrico que tem como função armazenar cargas elétricas e consequentemente energia eletrostática, ou elétrica. Os capacitores são utilizados nos mais variados tipos de circuitos elétricos, como nas máquinas fotográficas armazenando cargas para o flash, luzes de emergência etc.
V1
R
E
C V
C = capacitor (farad) R = resistor (ohm) E = DDP (voltagem) q(t) = q = carga do capacitor em função do tempo (coulomb) i = q’ =
ÖÚ ÖØ
Tensão no resistor (R): V1 = R.i Ú
Tensão no capacitor (C): V2 = Û V1 + V2 = E Ri +
Ú Û
ÖÚ
=E
Rq’ +
Ü Ý
R. ÖØ +
=E
Ú Û
=E
RESOLUÇÃO PELO FATOR INTEGRANTE (determinando q(t) )
32
Circuitos elétricos em série R-C :
4) Uma força eletromotriz de 100V é conectada a um circuito em série R-C, no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância (C) é de 10-3 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor e i(t) do circuito. (no instante t = 0 seg , q(0) = 0 coulomb )
5) Uma força eletromotriz de 50V é conectada a um circuito em série R-C, no qual a resistência é de 400 ohms e a capacitância (C) é de 4.10-2 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor e i(t) do circuito. (no instante t = 0 seg , q(0) = 0 coulomb )
6) Uma força eletromotriz de 60V é conectada a um circuito em série R-C, no qual a resistência é de 50 ohms e a capacitância (C) é de 8.10-2 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor e i(t) do circuito. (no instante t = 0 seg , q(0) = 0 coulomb )
CIRCUITOS ELÉTRICOS EM SÉRIE R-C - GABARITO 1) q(t) = 0,1 – 0,1.e-5 t q’(t) = i(t) i(t) = 0,5.e-5 t
2) q(t) = 2 – 2.e-0,0625 t q’(t) = i(t) i(t) = 0,125.e-0,0625 t
3) q(t) = 4,8 – 4,8.e-0,25 t q’(t) = i(t) i(t) = 1,2.e-0,25 t
33
DILUIÇÃO (VOLUME CONSTANTE E VARIÁVEL)
Q(t) = Q = Quantidade de sal no tanque no instante “t”. Q’(t) = Q’ = dQ/dt = taxa de variação de sal no tanque Q’ = (taxa de entrada de sal) – (taxa de saída de sal) = Te - Ts
→
Q’ = Te - Ts
Taxa de entrada (Te) ou saída (Ts) de sal = Vazão (l/min) x concentração (g/l) = g/min (gramas por minuto) Concentração = (Quantidade de sal no instante “t”) / (volume) = Q/V
V=V0+∆V. t
OBS: arredondar na 2ª casa decimal em todos os exercícios. VOLUME CONSTANTE
1)
Inicialmente, 50 gramas de sal são diluídos em um tanque contendo 300 litros de água pura. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 l/min (litros por minuto), o tanque é agitado e a mistura é então drenada na mesma taxa (3 l/min), permanecendo o volume constante no tanque. Se a concentração de sal da solução que entra é de 2 g/l (gramas por litro), determine a concentração de sal no tanque após 20 minutos. Para um tempo muito grande ( t = infinito), qual a concentração do tanque?
2)
Um tanque contém 100 litros de água pura. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 l/min (litros por minuto), o tanque é agitado e a mistura é então drenada na mesma taxa (2 l/min), permanecendo o volume constante no tanque. Se a concentração de sal da solução que entra é de 3 g/l (gramas por litro), determine a concentração de sal no tanque após 30 minutos. Para um tempo muito grande ( t = infinito), qual a concentração do tanque?
3) Um tanque contendo 100 litros de água está com uma concentração de 10 g/l (gramas por litro) de sal. Começa então a ser bombeada para dentro do tanque água pura, numa taxa de 3 l/min (litros por minuto). O tanque é agitado e é então drenado na mesma taxa (3 l/min), permanecendo então o volume constante no tanque. Qual a concentração de sal no tanque após 40 minutos?
34 VARIAÇÃO DE VOLUME
4) Um tanque contendo 100 litros de água está com uma concentração de sal de 3 g/l (gramas por litro). Uma solução salina começa a ser bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 l/min (litros por minuto), é agitada e é então drenada na taxa de 3 l/min, aumentando assim o volume de mistura no tanque. Se a concentração de sal da solução que entra é de 2 g/l (gramas por litro), qual a concentração de sal após 30 minutos? Qual o volume do tanque neste instante?
5) Um tanque contendo 200 litros de água pura começa a receber uma solução salina bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 8 l/min (litros por minuto), é agitada e é então drenada na taxa de 2 l/min, aumentando assim o volume de mistura no tanque. Se a concentração de sal da solução que entra é de 4 g/l (gramas por litro), determine a concentração de sal após 40 minutos. Qual o volume do tanque neste instante?
6) Um tanque contendo 50 litros de água está com uma concentração de sal de 15 g/l (gramas por litro). Começa a ser bombeada para dentro do tanque água pura a uma taxa de 5 l/min (litros por minuto), é agitada e é então drenada do tanque na taxa de 1 l/min, aumentando assim o volume de mistura no tanque. Determine a concentração de sal após 20 minutos. Qual o volume do tanque neste instante?
35 GABARITO DILUIÇÃO
VOLUME CONSTANTE
Q t quantidade de sal em função do tempo “t”. Q t gramas de sal
1
Q t 600 -550.e-0,010 t
Q 20 149,70 gramas de sal
Concentração Quant. sal / volume
VARIAÇÃO DE VOLUME
Q t quantidade de sal em função do tempo “t”. Q t gramas de sal
1 ã Ä
Após 30 minutos: V t
Conc. 600g/300 litros 2 g/l
2
Q t 300 -300.e-0,020 t
100 " 3t V 30 190 litros
Concentração Quant. sal / volume
Conc. 432,63 g/190 litros 2,28 g/l
2 ã Ä
800 " 24Ä 5
4678,43 200 " 6Ä 8,//
Q 30 135,6 gramas de sal
Após 40 minutos:
Conc. 135,36 g/100 litros 1,35 g/l
Q 40 1144,9 gramas de sal
Concentração Quant. sal / volume Q ∞ 300 g
10000 100 " 3Ä 1
Q 30 432,63 gramas de sal
Conc. 149,70 g/300 litros 0,5 g/l Q ∞ 600 g
200 " 6Ä "
Conc. 300g/100 litros 3 g/l
3
Q t 1000.e-0,030 t
Q 40 301,19 gramas de sal
Concentração Quant. sal / volume
Conc. 301,19 g/100 litros 3,01 g/l Q ∞ 0 g
Conc. 0 g/100 litros 0 g/l
V t
200 " 6t V 40 440 litros
Concentração Quant. sal / volume
Conc. 1144,9 g/440 litros 2,6 g/l
3 ã Ä
1994,36 50 " 4Ä 8,0Q
Após 20 minutos: V t
50 " 4t V 40 130 litros
Q 20 590,63 gramas de sal
Concentração Quant. sal / volume
Conc. 590,63 g/130 litros 4,54 g/l
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